Vektory
1
Def. 1.6.
Báze ě^,.. .,ě^ Eukl. vektorového prostom nazveme ortonormální pokud platí:
ě[ ■   = 0     pro    i ^ j ě[ ■ ě[ = 1     pro Vi
Pozn.
Vektoru = (u1( u2, u3) v E3 je možno v ortonormální bázi vyjádřit
u = ujěí + u2ě£ + u3ě^
ěí = (1,0,0) ě^ = (0,1,0) ^ = (0,0,1)
Ve/tfory ě^, ě^,    obvykle značíme í, },k.     (v Kartézském souř. systému)
Pak u = uxí + u2) + u3k,       kde   u-J, u2~j, u3k.. .ozn. složky vektoru.
Koeficienty lin. kombinace u1; u2, u3 ozn. yä/co souřadnice vektoru. Pravotočivá (kladná), levotočivá (záporná) báze.
VEKTORY V GEOMETRII
Geom. vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou délku a jsou souhlasně rovnoběžné.
Def. 1.7.
Dva nenulové vektory a, b se nazývají kolineární, jestliže jejich umístění jsou rovnoběžná.
Def. 1.8.
Tři nebo více nenulových vektorů se nazývají koplanární, jestliže každý z nich je rovnoběžný s touž rovinou.
Věta 1.6.
Dva nenulové vektory a, b jsou lineárně závislé, právě když jsou kolineární. Věta 1.7.
Tři nenulové vektory v prostoru jsou lineárně závislé, právě když jsou koplanární.
Vektory
2
Def. 1.9.
Úhlem <p dvou nenulových nekolineárních vektorů a, b nazýváme dutý úhel poloprímekČM , 05.
Def. 1.10.
Skalárním součinem a ■ b definujeme výraz a ■ b = |a| ■ |b| ■ cos (p. Def. 1.11.
Vektorový součin a x b je vektor c, pro který platí:
a) a x b = |a| ■ |b| ■ sin (p
b) c 1 a, c 1 b
c) vektor c je orientován tak, že vektory a, b, c tvoří kladnou (pravotočivou) bázi. Věta 1.8.
Pro vektorový součin c = a x b daných souřadnicemi v ortonormální bázi platí:
—*
~?     ^ 7>
a,  a2 a3
*>,     1>2 »3
íl2	a3	r +	a3 a,		<h «2
l>2			b3 b}		
= (a2b3 - a3b2) ■ í + {a3bt - atb3) ■ j + {axb2 - a2b^) ■ k
Věta 1.9.
Vektorový součin má tyto vlastnosti: a x b = —b ■ a
k-(axb) = (k-a)xb = a x(k-b) (a + b)xc = axc + b x Č
Vektory
3
Def. 1.12.
Smíšeným součinem 3 vektorů a, b, c nazýváme [a b c] = ( a x b ) ■ Č.
Věta 1.10.
Pro smíšený součin daných vektorů v ortonormální bázi platí:
[a b c] =
t>i b2 Cl c2
Def. 1.13.
Dvojným součinem tří vektorů a,b,c nazýváme vektor:
axbxc = b(a-c)-c(a-b) = = b(a-c) — a(b-c)
Pozn. Transformace souřadnic vektoru - máme
v = (v1( v2, v3)     v bázi (ul,   , % )    (souřadnice vektoru v Ďáz/ nečárkované)
v = (ví, v2, v3)    1/ Ďáz/ (u^, u£,   )    (souřadnice toho stejného vektoru v bázi
čárkované)
Nyní souřadnice vektorů čárkované báze v nečárkované bázi: uí,u2,u3 v bázi (uí,u|,uj):    u[ = (11^,11^,uls)
í£ = (u2l,u22,u2s)
W3 = (u3l,U32,u33)
Pa/c pro přechod mezi souřadnicemi nečárkovanými a čárkovanými vektoru v p/af/:
vi = viull +v2u2i +v3u3i v2 = víulz + v2u2z + v3u3z v3 = VÍUj, + v£u2, + v3u.