Raketa Raketa je létající stroj, který se pohybuje pouze na principu akce a reakce. Nejjednodušší konstrukcí rakety je např. komora naplněná stlačeným plynem. Malý otvor dovoluje plynu unikat a vzniká síla táhnoucí raketu opačným směrem. Vzduch uvnitř balónku je tlačen gumovými stěnami. Vzduch reaguje opačnou silou, takže síly se tak vyrovnávají. Pokud se uvolní výpusť balónku, vzduch jím uniká a balónek se pohybuje opačným směrem. Aeolipile (Heronova koule) funguje na principu reaktivního parního motoru. See the source image See the source image Catherine wheel (pinwheel) je druh pyrotechniky. Parní turbína je turbína, točivý tepelný stroj, který převádí tlakovou a kinetickou energii páry, přicházející z generátoru páry, tj. parního kotle, na energii mechanického rotačního pohybu hřídele, osy stroje. Parní turbína Použití: v energetice pro pohon alternátoru tepelných elektráren (uhelných nebo jaderných) a jako lodní pohon (parník, bitevní loď, jaderná ponorka). Související obrázek Pohyb medúz a hlavonožců See the source image Conceptual diagram of underwater jet locomotion for both (a) squid and... | Download Scientific Diagram Reaktivní pohyb: plášťová dutina uvnitř těla se stáhne a dojde k vystříknutí vody dopředu → tělo se pohybuje směrem dozadu. Magnusův jev je vznik boční síly při obtékání rotujícího tělesa proudícím plynem nebo kapalinou. V důsledku vnitřního tření vzniká mezi pohybujícím se tělesem a proudící tekutinou tzv. mezní vrstva. Ta těleso na jedné straně (horní) urychluje, na druhé (spodní) je naopak brzdí. V místě, kde obtéká tekutina těleso vyšší rychlosti, vzniká (ve shodě s Bernoulliho rovnicí) podtlak vzhledem k místu, kde je velikost rychlostí obtékající tekutiny menší. Magnusův jev Jev je významný zvláště ve vnější balistice. See the source image Velikost síly vytvořené válcem poloměru r jednotkové délky, rotujícím rychlostí ω v proudu tekutiny o hustotě ρ pohybujícím se rychlostí v je určena vztahem Síla působí kolmo na směr rychlosti v. Background EcoFlettner | MariGreen EN Flettnerův rotor je rotující válec využívající Magnusův jev. Magnusův jev spočívá v rozdílném tlaku proudícího plynu na protilehlých stranách rotujícího tělesa. Boční vítr, který obtéká rotující Flettnerovy válce, vytváří při správném směru otáčení podtlak na přední straně válce, díky čemuž se loď pohybuje dopředu. Výhodou tudíž má být jednoduchost ovládání oproti plachtám, a zároveň využití menších motorů k rotaci válců, než by bylo třeba k samotnému pohonu lodi lodním šroubem. Flettnerův rotor Stokesův zákon a sedimentace Při sedimentaci je částice vystavena působení tíhové síly Fg = m.g = V.ρp.g kde m = hmotnost částice, ρp = hustota částice a vztlakové síly podle Archimédova zákona Fvz = V.ρr.g kde ρr = hustota kapaliny Když je hustota částice větší, než hustota kapaliny, částice začne klesat. Proti jejímu pohybu působí odporová síla, daná Stokesovým vztahem: Fo = 6⋅π⋅η⋅r⋅v kde r = poloměr částice, η = dynamická viskozita prostředí, v = rychlost částice. See the source image Odtud pro rychlost sedimentace: See the source image Höpplerův kuličkový viskozimetr Viskozimetr s kalibrovanou kuličkou padající ve skleněném temperovaném válci mezi dvěma ryskami. Měří se pádová doba ve skleněném temperovaném válci, který je odkloněn o 10° od vertikálního směru. Viskozimetr může být použit jen pro průhledné newtonské kapaliny. ρk je hustota kuličky, ρ a ρref hustoty měřené a srovnávací kapaliny, u a uref rychlosti pádu kuličky, τ a τref doby průchodu kuličky mezi dvěma ryskami A a B, je-li trubice naplněna měřenou a standardní kapalinou. Odpor prostředí Image result for Falling Ball Viscometer Force Balance Odpor prostředí je soubor všech sil, kterými plyn nebo kapalina působí proti pohybu těles v něm. Odpor je způsoben třením, které vzniká při kontaktu tělesa a prostředí. Protože pohyb je relativní, je jedno, zda se těleso pohybuje v nehybném plynu či kapalině, nebo jestli je těleso v klidu a kolem něj proudí plyn nebo kapalina (obtékání těles). Rozhodující je relativní rychlost mezi tělesem a tekutinou. Odporová síla působí vždy proti směru relativního pohybu, tzn. těleso pohybující se v nehybné tekutině je zpomalováno, zatímco nehybné těleso v pohybující se tekutině je tekutinou urychlováno. Při nízkých rychlostech je odporová síla relativně malá a je považována za přímo úměrnou rychlosti pohybu. Při vyšších rychlostech však odporová síla vzrůstá s druhou mocninou rychlosti. Velikost odporové síly vyjádřit tzv. Newtonovým zákonem odporu K zobecněnému popisu tvaru tělesa slouží tzv. součinitel odporu Cx, zohledňující tvar a kvalitu povrchu tělesa. kde S je velikost čelní plochy v průřezu, ρ je hustotě okolního prostředí, v je rychlost tělesa. Aerodynamika – autolexicon.net Součinitel odporu Cx se v zahraniční literatuře se také označuje jako drag coefficient Cd. Tento podtlak (přetlak okolí) ale působí i na kouli a nasává (tlačí) jí zpět do kapsy podtlaku za ní - dramaticky ji zpomaluje. Těleso kapkovitého tvaru však místo, kde by se vytvořil prostor s nižším tlakem, vyplní vlastním tvarem (tělem) a tím nedochází k jeho brždění - tahu zpět - (záleží také na dokonalosti tvaru a rychlosti pohybu tělesa plynem) Příklad Koule při pohybu rozráží okolní vzduch, ale za ní zůstává prostor z nižším tlakem, který se snaží kapalina (plyn) vyplnit ze všech směrů, kde se nachází vyšší tlak. Jaký poloměr má skleněná kulička (ρS = 2500 kg.m-3), pokud padá ve vodě (ρ = 1000 kg.m-3) konstantní rychlostí v = 2 m.s-1. C = 0,48 Příklad ρS = 2500 kg.m-3 ρ = 1000 kg.m-3 v = 2 m.s-1 C = 0,48 shark_06_1 Image result for Sharks Skin Cutting People Kůže žraloků není hladká, ale má rýhy ve směru proudění – to způsobuje zmenšení proudového odporu. Kavitace Kavitace je vznik dutin v kapalině při lokálním poklesu tlaku, následovaný jejich implozí. Pokles tlaku může být důsledkem lokálního zvýšení rychlosti (hydrodynamická kavitace), případně průchodu intenzivní akustické vlny v periodách zředění (akustická kavitace). Kavitace je zpočátku vyplněna vakuem, později se vyplní párou okolní kapaliny nebo do ní mohou difundovat plyny z okolní kapaliny. Při vymizení podtlaku, který kavitaci vytvořil, její bublina kolabuje za vzniku rázové vlny s destruktivním účinkem na okolní materiál. See the source image The Application of Laser Velocity Meter in Detecting ... Straškové jsou poměrně agresivní, dokážou usmrtit i podstatně větší živočichy a nebo rozbít stěnu akvária. Strašek paví (Odontodactylus scyllarus) je velký korýš obývající oblast Tichého a Indického oceánu od ostrova Guam až po východní pobřeží Afriky, kde vyhledává písčité či bahnité dno. Jde o denního i nočního dravce dorůstajícího 3 - 18 cm. Kladivovitý útvar v dolní části hlavy dokáže vyvinout velké zrychlení (cca 100 000 m.s-2) a dosáhnout rychlosti přes 31 m.s-2. V okamžiku provede až 100 úderů, kterými rozbije schránky měkkýšů. Návrat vzducholodí: létající koráby zpět na obloze | Ábíčko.cz Na tomto principu létají stroje lehčí než vzduch (tzv. aerostaty), např. balony či vzducholodě. Aerostatická vztlaková síla = obdoba hydrostatické vztlakové síly v plynech. Platí Archimedův zákon. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Návrh profilu křídla Aerodynamická síla Aerodynamická síla je výslednice aerodynamických sil vznikajících při obtékání tělesa vzduchem. Kromě vztlakové síly Fv, která působí proti tíhové síle G a udržuje letící těleso ve vzduchu. Celková reakční síla FR působící na křídlo je při rovnoměrném letu kompenzována výslednicí F tíhy letadla G a tažné síly T motoru přenesené na křídlo (proti ní působí odporová síla Fo prostředí). Vztlaková síla Fv závisí na tvaru křídla a též na úhlu náběhu α, který je znázorněn na předchozím obrázku. Vztlaková síla je kladná (míří vzhůru) od mírně záporných hodnot úhlu α a svého maxima dosahuje v okolí α = 15°. See the source image See the source image See the source image Termika Teplota Teplota je charakteristika tepelného stavu hmoty. V obecném významu je to vlastnost předmětů a okolí, kterou je člověk schopen vnímat a přiřadit jí pocity studeného, teplého či horkého. Postupně bylo pozorováno, že zvýšení teploty působí změnu rozměrů, tvaru nebo skupenství předmětů. V přírodních a technických vědách a jejich aplikacích je teplota skalární intenzivní stavová veličina, která je vzhledem ke svému pravděpodobnostnímu charakteru vhodná k popisu stavu ustálených makroskopických systémů. Teplota souvisí s vnitřní energií systému. Nejnižší možnou teplotou je teplota absolutní nuly (0 K; −273,15 °C), ke které se lze libovolně přiblížit, avšak nelze jí dosáhnout. Teplota je základní fyzikální veličinou soustavy SI s plným názvem termodynamická teplota, jednotkou kelvin (K) a vedlejší jednotkou stupeň Celsia (°C). K měření teploty se používají teploměry. Stupeň Celsia: teplotní rozdíl 1 °C = 1 K, avšak Celsiova stupnice je posunutá: 0 °C odpovídá přesně 273,15 K, což je přibližná teplota tání ledu, zatímco 100 °C (373,15 K) je přibližná teplota varu vody (při tlaku 101,325 kPa = 1 atm). Fyzikální jev spočívající ve změně rozměrů tělesa při změně jeho teploty nazýváme teplotní roztažnost. Pokud látce dodáváme teplo, tak na molekulární úrovni tuto energie částice využijí k tomu, že mohou překonat vlivy přitažlivých sil a vzdálí se od sebe. Výpočet změny délky Pokud se zvýší teplota tělesa délky L0 o teplotní rozdíl ΔT, tak délka L po změně teploty kde α je teplotní součinitel délkové roztažnosti, TK je teplota na konci a TS je teplota na začátku teplotní změny. Teplotní roztažnost Eiffelova ocelová věž v Paříži (dostavěna roku 1889) má výšku 300 m (včetně antény na vrcholu 324 m), která může vlivem teplot kolísat až o 18 centimetrů. Zdeformované kolejnice svědčí o extrémních teplotách okolního prostředí. Relativně běžné teplotní výkyvy kompenzuje dilatační spára. U železničních kolejnic se mezi každou 8 m kolejnicí nechává mezera 6 mm, zatímco např. mezi kolejnicemi tramvají nebývá (tramvajové kolejnice jsou pokládány do země, kde nejsou teplotní výkyvy tak značné). U telefonních nebo elektrických vedení se mezi jednotlivými sloupy používá drát daleko delší než je vzdálenost sloupů. Vodiče jsou zejména v parném létě v důsledku tepelné délkové roztažnosti viditelněji prověšeny než v období mrazů. Pro nadzemní i podzemní potrubí je ochrana proti nadměrné teplotní dilataci řešena pomocí U-kompenzátorů (dilatačních oblouků). Snýtováním pásků z různých kovů a s různou teplotní délkovou roztažností získáme dvojkov čili bimetal. Vrstva kovu z materiálu s větší tepelnou roztažností se označuje jako aktivní a vrstva s menší tepelnou roztažností jako pasivní. Setkáváme se s ním v regulátorech teploty, např. v žehličce. Zvýšením teploty se bimetal zkroutí a sepne, popř. rozepne kontakty. Bimetal Bimetalový teploměr Bimetal How to Calculate Thermal Stress: 13 Steps - wikiHow Coefficient of Thermal Expansion of Concrete - Structville Teplotní součinitele délkové roztažnosti Změna hustoty v závislosti na teplotě Vycházíme z toho, že při změně teploty se nemění hmotnost tělesa. Tím pádem součin objemu a hustoty musí zůstat zachován. Proto při kladném teplotním součiniteli objemové roztažnosti hustota látky klesá. Teplotní objemová roztažnost Pokud přejdeme do trojrozměrného prostoru, tak i zde látky reagují na změnu teploty změnou svého objemu. kdy V je objem po teplotní změně, V0 je počáteční objem tělesa a β je teplotní součinitel objemové roztažnosti. U pevného tělesa z izotropní látky platí: β ≈ 3α. Objemová roztažnost je problém u cejchovaného laboratorního nádobí. To je zakázáno sušit v sušárně za vyšší teploty. Příklad Potrubí teplovodu délky 200 m bylo svařované při teplotě 20 0C. O jakou délku se prodlouží, pokud v provozních podmínkách teplota naroste na 120 0C? Teplotní součinitel délkové roztažnosti pro daný materiál je 1,2 . 10-5 K-1. l0 = 200 m ΔT = 100 K α = 1,2 . 10-5 K-1 l = ? Dilatační teploměry Dilatační teploměry jsou založeny na tepelné roztažnosti jednotlivých látek, kdy je objem měrné látky (rtuť, ethanol) závislý na její teplotě (změna rozměru je závislá na dodaném teplu). Zásobník rtuti teploměru lze aproximovat válcem o výšce 1,5 cm a poloměru 0,3 cm, jaký musí být poloměr kapiláry teploměru, aby při změně o 10 °C odpovídala změna výšky rtuťového sloupce v kapiláře 2 cm? Pro rtuť je α = 1,8.10-4 K-1. V = V0.[1 + α.(t - t0)] (V – V0)/V0 = α.(t - t0) Δh.π.r2 / l. π.r02 = α. Δt 2.π.r2 / 1,5. π.r02 = 1,8.10-4. 10 r/r0 = 0,037 r = 0,11 mm l = 1,5 cm r0 = 0,3 cm Δt = 10 °C Δh = 2 cm r = ? l r0 Δh r Příklad Fyzikální vlastnosti vody https://forum.tzb-info.cz/docu/diskuze/1131/113183/0002001.png Přibližná hustota destilované vody se obvykle uvádí 1000 kg/m³ = 1 kg/dm³ = 1 g/cm³ (1 litr vody váží 1 kilogram). Anomálie vody Výsledek obrázku pro water anomaly Water Density Equation SouvisejÃcà obrázek Zahříváme-li vodu z 0°C na 4°C, zmenšuje se její objem a její hustota roste. Ve 4°C voda dosahuje max. hustoty 1000 kg na kubický metr. Teprve od teploty 4°C výše se objem vody zvětšuje a hustota se zmenšuje. Tato odlišná závislost teploty a hustoty vody v porovnání s ostatními kapalinami je anomálie vody. Teplotní závislost povrchového napětí s rostoucí teplotou povrchové napětí klesá, v důsledku snižování přitažlivých sil mezi molekulami. Teplotní závislost viskozity kapalin Viskozita kapalin s rostoucí teplotou klesá, v důsledku snižování přitažlivých sil mezi molekulami. See the source image See the source image Pro kinematickou viskozitu se používá vzorec (T je teplota vody ve °C): Teplota a kinetická teorie plynů U plynů viskozita s rostoucí teplotou roste. U plynů hustota s rostoucí teplotou klesá. See the source image Vakuová technika See the source image Zvýšením teploty dojde ke zvýšení rychlosti molekul a zvýšení frekvence srážek (zkracuje se střední volná dráha) a počtu nárazů na stěnu nádoby (zvětšuje se tlak, resp. objem). Sutherlandův vzorec Gay-Lussacův zákon Při izobarickém ději se zvyšující se termodynamickou teplotou lineárně roste objem ideálního plynu. See the source image Při velkém zvýšení teploty se zvětší tlak plynu natolik, že tlaková síla překoná elastickou mez (u pružných materiálů, např. pneumatik, …) resp. mez pevnosti (u pevných materiálů, např. tlakových lahví) nádoby a dojde k jejímu roztržení. Příklad Změna objemu PET láhve při různé teplotě se zhruba řídí Gay-Lussacovým zákonem. V případě skleněné láhve dojde jen ke změně tlaku, což odpovídá Charlesovu zákonu. Obsah obrázku fotka Popis byl vytvořen automaticky Charlesův zákon See the source image Autokláv je přístroj-reaktor konstruovaný pro reakce probíhající za vysokého tlaku a teploty. V laboratořích se autokláv typicky používá ke sterilizaci materiálů v laboratorním skle, zejména médií. Samotný proces sterilizace je prováděn vlhkým teplým vzduchem a zvýšením tlaku. Při izochorickém ději v ideálním plynu o stálé hmotnosti je termodynamická teplota tohoto plynu přímo úměrná jeho tlaku. Tlakový (Papinův) hrnec je silnostěnný hrnec sloužící k vaření za vyššího tlaku (280 - 300 kPa), jímž se dosáhne vyšší teploty vaření (120 °C - 130 °C), a tím i rychlejšího uvaření pokrmu. Poklice, jíž je hrnec neprodyšně uzavřen, je opatřena pojistným ventilem, který propouští přebytečnou páru, a tak zamezuje nebezpečnému zvýšení tlaku, které by mohlo vést k roztržení hrnce a výbuchu. Obrázek: Teplota, při které se vaří voda v různých nadmořských výškách. Vaření ve vysokých nadmořských výškách Atmosférický tlak a tím i teplota varu vody je závislý na nadmořské výšce. Např. voda na Mt. Everestu se vaří už při 70 °C. To znamená, že se jídlo vaří jen velmi pomalu a některé potraviny se „neuvaří“ vůbec. Plynový teploměr se skládá z nádoby naplněné plynem (např. vodíkem, heliem, dusíkem), která je spojena úzkou trubkou s otevřením kapalinovým manometrem. Manometr má jedno rameno pohyblivé ve svislém směru, aby se hladina plynu v pevném rameni mohla udržet stále na úrovni značky. Tím se zaručuje, že změny tlaku plynu změnou teploty probíhají za stálého objemu plynu. See the source image See the source image Plynový teploměr Extrapolací dat pro různé (ideální) plyny lze odhadnout počáteční bod Kelvinovy stupnice (absolutní nulu). T = t + 1/α0 = t + 273,15 Kovové uzávěry šroubovacích zavařovacích lahví lze snadněji odšroubovat pokud se zahřejí proudem teplé vody. Kov má větší teplotní součinitel roztažnosti než sklo. Po zahřátí se kov mírně roztáhne, což umožní snadnější otevření lahve. Při zahřátí lahve se uvnitř zvýší tlak a tím se sníží přítlačná síla na víčko. Příklad Obsah obrázku interiér, stůl, zeď Popis byl vytvořen automaticky Proč horkovzdušný balón létá? - Goethe-Institut Tschechien Horkovzdušný balón (montgolfiéra) Využívá vztlakové síly dané rozdílem hustot chladného a horkého vzduchu. Vztah mezi teplotou a hustotou plynu je dán stavovou rovnicí Balon o objemu 1000 m3 je naplněn heliem na tlak 62,4 kPa a váží i s košem 350 kg. Jakou zátěž unese, je-li ve výšce 3700 m při teplotě okolí -11 °C? Molární hmotnost vzduchu je 29 g.mol-1 a helia 4 g.mol-1, R = 8,314 J·K-1·mol-1. T = -11 °C = 262 K V = 1000 m3 mb = 350 kg p = 62,4 kPa = 62400 Pa Mv = 29 g.mol-1 = 0,029 kg.mol-1 MHe = 4 g.mol-1 = 0,004 kg.mol-1 Fv = mv.g Fg = (mHe + mb+ mz).g Fv = Fg p.V = n.R.T = (m/M) / R.T p.M = n.R.T = (m/V) / R.T = ρ / R.T ρv = p.Mv / R.T = 62400.0,029 / 8,314.262 = 0,83 kg.m-3 ρHe = p.MHe / R.T = 62400.0,004 / 8,314.262 = 0,115 kg.m-3 mz = mv - mHe - mb = V.(ρv - ρHe) - mb = 103.(0,83 - 0,115) - 350 = 365 kg See the source image Příklad Komínový efekt Komínový efekt je proudění (stoupání) teplého vzduchu svislou dutinou způsobený rozdílnou teplotou na obou koncích této dutiny. Vzduch opouštějící dutinu (komín) má nižší hustotu než chladnější vzduch okolního prostředí a stoupá proto vzhůru působením vztlaku. Teplý vzduch opouštějící dutinu v ní působí podtlak, který způsobuje nasávání teplého vzduchu dolním koncem dutiny. Čím vyšší je rozdíl teplot a výška konstrukce (např. komínu), tím vyšší je rozdíl hustoty vzduchu (vztlak) a výsledný komínový efekt. Díky komínovému efektu dochází během topné sezóny v budovách (které nejsou nikdy dokonale uzavřeny) k cirkulaci vzduchu, kdy teplejší vzduch stoupá nahoru a chladnější vzduch proniká okny, dveřmi nebo průduchy či netěsnostmi dovnitř. See the source image Teplotní inverze Za normálních okolností teplota vzduchu klesá se zvyšující se nadmořskou výškou (zemský povrch pohlcuje sluneční paprsky a atmosféru ohřívá). Lehčí teplý vzduch stoupá, zatímco studený proudí na jeho místo (konvekce). Porušení až otočení tohoto jevu (zpravidla v podzimních a zimních měsících) se říká inverze teploty vzduchu. K inverzi advekční dochází zejména v zimě - vzduch se od země ochladí, zatímco ve výšce zůstává teplý. V mírném pásmu se vytváří inverze subsidenční, kde studený vzduch klesá z vyšších vrstev do údolí, kde je uzavřen. Nad ním se mezitím tvoří oblačnost, v níž se pak často zachycují škodliviny a vzniká smog. Radiační inverze je způsobena nočním chladnutím zemského povrchu. Přilehlá atmosféra rychle ztrácí teplotu, což v zimě zapříčiňuje přízemní mrazíky a v létě rosu. Turbulentní inverze vzniká při nestandardním pohybu vzduchu, kdy dynamikou jeho proudění dochází k mísení jednotlivých vrstev. Často vznikají poblíž mořského pobřeží. Jedna látka se může vyskytovat jako plynná, kapalná nebo pevná. Tyto tři stavy téže látky nazýváme skupenství plynné, kapalné a pevné. Změnou skupenství rozumíme fyzikální děj, při němž se mění skupenství látky. See the source image See the source image Tenzi par kapaliny lze pro danou teplotu vypočítat z Antoineovy rovnice A, B, C jsou konstanty charakteristické pro danou kapalinu Změna skupenství Při jaké teplotě bude vřít voda ve Lhase, ležící v nadmořské výšce 3000 m. n. m.? Teplota vzduchu ve Lhase je 17 °C. Molární hmotnost vzduchu je 29 g.mol-1. Ph = P0 . e-M.g.h/(k.T) (barometrický vzorec) Ph = 101325.exp(29.10-3. 9,81 . 3000 / (8,314 . 290) = 71,12.10-3 Pa log(p) = A – B/(t + C) (Antoineova rovnice) log(71,12.10-3) = 4,14259 – 1716,96/(t + 234,268) t = 90,26 °C T = 17 °C = 290 K M = 29 g.mol-1 = 29.10-3 kg.mol-1 P0 = 101 325 Pa h = 3 000 m Konstanty Antoineovy rovnice pro vodu A = 4,14259 B = 1716,96 C = 234,268 Příklad 5.8 Magnitude Earthquake Rocks Shigatse City in Tibet - Tibetan Journal Vlhkost vzduchu Vlhkost je základní vlastnost vzduchu. Vlhkost vzduchu udává, jaké množství vody v plynném stavu (vodní páry) obsahuje dané množství vzduchu. Absolutní vlhkost vzduchu vyjadřuje hmotnost vodní páry obsažené v jednotce objemu vzduchu. Vyjadřuje se nejčastěji v gramech vodní páry na metr krychlový vzduchu. Relativní vlhkost vzduchu udává poměr mezi okamžitým množstvím vodních par ve vzduchu a množstvím par, které by měl vzduch o stejném tlaku a teplotě při plném nasycení. Udává se v procentech (%). Rosný bod je teplota, při které je vzduch maximálně nasycen vodními parami (relativní vlhkost vzduchu dosáhne 100 %). Tlak (tenze) vodní páry je parciální tlak vodní páry obsažené ve vzduchu [Pa] Tenze par nad povrchem vody Tenze par nad povrchem ledu Magnusův vzorec: Přehřátá pára má nižší tlak a hustotu než sytá pára téže teploty. Přehřátá pára se svými vlastnostmi blíží spíše vlastnostem plynů, a to tím více, čím více se její stav liší od stavu syté páry. Pro přehřáté páry, jejichž stav je daleko od stavu sytých par platí přibližně stavová rovnice ideálního plynu. Přehřátá pára vzniká •zahříváním syté páry bez přítomnosti kapaliny při konstantním tlaku (modrá šipka) •zvětšením objemu syté páry bez přítomnosti kapaliny při konstantní teplotě (červená šipka) bod K ... kritický bod bod A - trojný bod Sytá pára (nasycená pára) je pára, která je v termodynamické rovnováze s kapalinou o stejné teplotě a tlaku. Tlak nasycené páry je závislý pouze na teplotě, a nikoli na objemu, který nasycená pára zaujímá. Tlak nasycené páry stoupá s teplotou. Sytá pára není ideální plyn. Přenos (sdílení) tepla konvekcí (prouděním) kondukcí (vedením) radiací (zářením) See the source image Šíření tepla (sdílení tepla) je jedním ze způsobů přenosu energie. Spočívá v tepelné výměně, což je termodynamický děj, při kterém dochází k výměně tepla mezi dvěma tělesy s různou teplotou. Tepelná výměna vždy probíhá tak, že teplejší těleso předává část své vnitřní energie chladnějšímu tělesu. V tepelných vodičích se děje výměna rychleji, v tepelných izolantech – za stejných podmínek – pomaleji. Přenos tepla prouděním See the source image Např. Ústřední topení V okruhu ústředního topení dochází k proudění vody bez čerpadla, pokud je kotel umístěn dole a radiátory nahoře. Komínový efekt = přenos tepelné energie prouděním tekutiny (kapaliny, plynu) z teplejších míst do chladnějších. V gravitačním poli teplejší tekutina stoupá vzhůru protože má menší hustotu. See the source image Přenos tepla vedením Množství tepla Q, které za těchto podmínek projde libovolným kolmým průřezem S tyče za dobu τ, je roven teplotní spád (gradient) (K/m, °C/m) Konstanta úměrnosti λ je součinitel tepelné vodivosti (tepelná vodivost). Teplo procházející plochou určuje tzv. tepelný tok. Množství tepla Q, které projde plochou S za čas tau, se nazývá hustota tepelného toku (q) Fourierův zákon: průběh teploty v rovinné desce je při ustáleném proudění tepla lineární. Předchozí vztahy lze využít při řešení problému průchodu tepla rozhraním. Pokud se těleso (např. deska), kterým teplo prostupuje, skládá z n vrstev o různé tepelné vodivosti λi a tloušťce di pro i-tou vrstvu, i=1,2,...,n, pak za ustáleného stavu musí být hustota tepelného proudu ve všech vrstvách stejná = tepelný odpor vrstvy See the source image Snímek 1 Přenos tepla vyzařováním (sáláním) Tepelné záření je infračervené elektromagnetické záření. Na rozdíl od přenosu tepla vedením nebo prouděním se může prostřednictvím sálání teplo přenášet také ve vakuu (bez zprostředkování přenosu látkovým prostředím). teplota tělesa – množství vyzářené energie je popsáno Planckovým vyzařovacím zákonem. barva povrchu – nejmenší množství tepla je vyzařováno stříbřitě lesklými povrchy, největší černými. Toho se využívá například při konstrukci termosek, kde jsou povrchy stříbřitě lesklé pro minimalizaci předávání tepla sáláním. Naopak chladiče kosmických lodí, které jsou černé pro maximalizaci vyzářeného tepla. Při teplotách nad 1000 °C je ale pro většinu materiálů již rozdíl zanedbatelný a s malou chybou lze počítat s tím, že se prakticky všechna tělesa chovají jako absolutně černé těleso. obsah plochy – energie vyzařovaná sáláním je přímo úměrná obsahu povrchu vyzařujícího tělesa. Stefanův-Boltzmannův zákon: intenzita vyzařování roste se čtvrtou mocninou termodynamické teploty zářícího tělesa. I = konst.T4 Tepelné mosty See the source image Thermal Bridging: What It Is & Why You Should Avoid It | KORE Insulation Tepelný most (tepelná vazba) je místo v konstrukci, kde konstrukcí domu uniká více tepla než v ostatních místech tepelné obálky objektu. Dochází k větším tepelným tokům než v jeho okolí. Projevuje se chladnějším povrchem. Typická jsou například napojení dvou různých konstrukcí (otvorové výplně – okna, dveře) nebo také změny v geometrii konstrukce (např. rohy). Dále pak prvky, které procházejí vrstvou tepelné izolace (např. kotvení pergol). Jakýkoliv prostup vrstvou tepelné izolace totiž ve výsledku snižuje její efekt. Zvláště pokud se jedná o materiál velmi vodivý. Taková konstrukce může fungovat i jako chladič. Související obrázek Termoregulace u živočichů Image result for ears cooling physiology" Teplo vzniká v těle především jako vedlejší efekt metabolických procesů a důsledek svalové práce. Odvod tepla Odpařování vody Termodynamika Podle působící síly se rozlišuje Mechanická energie Kinetická (pohybová) energie Potenciální (polohová) energie Gravitační potenciální energie Potenciální energie pružnosti Tlaková potenciální energie Elektrická energie Magnetická energie Energie záření Energie vlnění Vnitřní energie Tepelná energie (teplo) Jaderná energie Chemická energie (energie chemické vazby, vazebná energie) Energie Energie může mít různé formy. Celková energie systému je dána součtem všech jednotlivých druhů energií. Teplo Dochází-li k výměně energie na základě teplotního rozdílu mezi systémem a okolím (např. předáváním kinetické energie neuspořádaného pohybu molekul), nazýváme tuto změnu energie vyměněným teplem. Teplo závisí v obecném případě nejen na počátečním a konečném stavu, ale též na cestě oba stavy spojující. Nemá tedy totální diferenciál. Teplo předávané systémem do okolí má zápornou hodnotu a teplo přijaté z okolí do systému je kladné. Tepelný ekvivalent mechanické práce: počet jednotek mechanické práce nebo energie energy odpovídající tepelné jednotce 4,1858 J (= 1 cal). Sdílení tepla konvekcí (prouděním) kondukcí (vedením) radiací (zářením) Přeměny ostatních forem energie na teplo Elektrická energie Odporový ohřev Vodič se průchodem proudu zahřívá a uvolňuje teplo (Joulovo teplo). E = U·I·t = R·I2·t E - Joulovo teplo, U – napětí, I – proud, R - odpor vodiče, t - čas. Příklady: žehlička, rychlovarná konvice, elektrický vařič, elektrická pec, žárovka, … Indukční ohřev zahřívání probíhá pomocí indukovaných vířivých proudů. Příklady: indukční elektrický vařič + hrnec, indukční elektrická pec, … Související obrázek Výsledek obrázku pro indukční hrnec princip Přeměna energie na teplo bývá nazývána disipace energie. This figure shows a molecular model of a probe that is dragged over the surface of a substrate. The substrate is represented by a rectangular grid of small spheres, each sphere representing an atom. The probe, made up of a different grid of small spheres, is in the form of an inverted pyramid with a flattened peak and horizontal layers of atoms. The pyramid is somewhat distorted because of friction. The atomic and molecular interactions occur at the interface between the probe and the substrate. The friction, f, is parallel to the surface and in the opposite direction of the motion of the probe. Mechanická energie k přeměně mechanické práce na teplo dochází prostřednictvím tření. Přeměny ostatních forem energie na teplo Výsledek obrázku pro mechanical energy heat Image result for rozdelani ohne trenim Image result for kresadlovy zamek Koncem zápalky, na kterém je hořlavá směs rychle třeme o škrtadlo a vzniká teplo. Když je teplo, které vzniká při tření dostatečně velké, hořlavá směs vzplane. Dnes je nejběžnější teplota pro vznícení směsi okolo 100°C. Energie záření Energie jaderná Energie chemická (exotermní reakce) Obsah obrázku kreslení, podepsat Popis byl vytvořen automaticky Příklad: Vlak o hmotnosti 500 t, jedoucí rychlostí 72 km.h−1, byl brzděním zastaven za dobu 20 s. Jaké teplo vzniklo při brzdění za předpokladu, že veškerá pohybová energie se změnila v teplo? Řešení: Q = ½.m.v2 = 1/2⋅5⋅105⋅202 J = 108 J = 0,1 GJ Vzniklé teplo nezávisí na čase, po který brzdění probíhalo. Tepelné kapacity Kalorimetrická rovnice Q = m. c . ∆ t Q = n . cm . ∆ t Tepelná kapacita je fyzikální veličina, která vyjadřuje množství tepla, kterým se těleso ohřeje o jednotkový teplotní rozdíl (v SI 1 kelvin). Protože teplo není stavová veličina, je nutné u tepelné kapacity specifikovat i tepelný děj, při kterém k přenosu tepla a ke změně teploty dochází, zpravidla pomocí veličin které se při daném tepelném ději zachovávají, ale předávané teplo na nich obecně závisí (např. tepelná kapacita při konstantním objemu, při konstantním tlaku, při konstantní magnetické indukci apod.). Měrná tepelná kapacita (měrné teplo) je tepelná kapacita jednotkové hmotnosti látky (v SI jednoho kilogramu). Tepelnou kapacitu tělesa o hmotnosti m lze tedy vyjádřit ve tvaru C = m.c, kde c je měrná tepelná kapacita. Molární tepelná kapacita je tepelná kapacita vztažená na jednotku látkového množství (v SI 1 mol). Tepelnou kapacitu tělesa o látkovém množství n lze tedy vyjádřit ve tvaru C = n cm, kde cm je molární tepelná kapacita. Příklad Měrná resp. molární tepelná kapacita jsou funkcemi teploty. Pro daný rozsah teplot se proto používají střední měrná tepelná kapacita, resp. střední molární tepelná kapacita. Smísíme-li látku o měrné tepelné kapacitě c1, hmotnosti m1 a teplotě t1 s jinou látkou o měrné tepelné kapacitě c2, hmotnosti m2 a teplotě t2 platí m1 . c1 . t1 + m2 . c2 . t2 = tS . (m1 . c1 + m2 . c2) Příklad: Do kalící olejové lázně o hmotnosti 35 kg, teplotě 25 °C a měrném teple oleje 1675 J.kg-1.deg-1 se vloží ohřátý výkovek o hmotnosti 5 kg a měrném teple 628 J.kg-1.deg-1. Po vyrovnání teplot stoupne teplota olejové lázně na 60 °C. Jaká byla původní teplota výkovku? tx = (60 . (35 . 1675 + 5 . 628) – 35 . 1675 . 25)/(5 . 628) = 713,7 °C Teplota výkovku před ponořením do lázně byla 713,7 °C. Formula Tepelná kapacita plynu při stálém objemu a stálém tlaku Pro ideální plyn platí Mayerův vzorec cmp – cmv = R Pro reálné plyny je rozdíl o něco větší Izobarická tepelná kapacita (tepelná kapacita při konstantním tlaku): parciální derivace tepla za konstantního tlaku je rovna parciální derivaci stavové veličiny – entalpie. ∆H = n . cm . ∆ t Izochorická tepelná kapacita (tepelná kapacita při konstantním objemu): parciální derivace tepla za konstantního objemu je rovna parciální derivaci stavové veličiny – vnitřní energie za konstantního objemu. ∆U = n . cm . ∆ t Výsledek obrázku pro rotation molecules equipartition Ekvipartiční teorém: Energie molekuly je rozdělena stejnoměrně mezi všechny platné stupně volnosti molekuly, přičemž na každý platný stupeň volnosti připadá energie u1 = ½ k T Počet platných stupňů volnosti se rovná počtu nezávislých parametrů , které určují energii soustavy. Související obrázek Tepelná kapacita plynů Z kinetické teorie plynů a podle ekvipartičního teorému platí pro 1 mol plynu Ideální plyn, monoatomární plyny a páry kovů – 3 stupně volnosti translačního pohybu Cmv = 3/2 R Cmp = 3/2R + R = 5/2 R κ = Cmp/Cmv = 5/3 Dvouatomové plyny - 3 stupně volnosti translačního pohybu + 2 stupně volnosti rotačního pohybu Cmv = 5/2 R Cmp = 5/2R + R = 7/2 R κ = Cmp/Cmv = 7/5 Víceatomové plyny - 3 stupně volnosti translačního pohybu + 3 stupně volnosti rotačního pohybu Cmv = 6/2 R = 3 R Cmp = 6/2R + R = 8/2 R = 4 R κ = Cmp/Cmv = 4/3 Image result for molar heat capacity gases" Image result for diatomic gases rotation Tepelná kapacita plynů Na každý stupeň volnosti pohybu molekul připadá na jeden mol energie ½ R . T. Každý stupeň volnosti přispívá k molární tepelné kapacitě Cmv hodnotou R/2. Odtud pro m stupňů volnosti Cmv = mR/2 Cmp = mR/2 + R = (m+2)R/2 κ = Cmp/Cmv = (m+2)/m Tepelná kapacita plynů – závislost na teplotě Pro ideální plyn jsou hodnoty Cmv a Cmp konstantní, obecně jsou závislé na teplotě. Tato závislost se vyjadřuje pomocí mnohočlenů s celistvými mocninami teploty: Cmp(T) = a + bT + cT2 + dT3 (J mol-1K-1) Cmp(T) = a + bT + cT-2 (J mol-1K-1) Cmp(T) = a + bT + cT2 + dT-1 + eT-2 (J mol-1K-1) konstanty a, b, c, … jsou tabelovány. Obsah obrázku zavřít, kov, bílá, vsedě Popis byl vytvořen automaticky Image result for capacity heat gases" Výpočet příslušného tepla se provádí integrací rovnic v mezích T1 – T2. Tepelná kapacita pevných látek Dulongovo – Petitovo pravidlo: molární tepelné kapacity pevných prvků jsou přibližně rovny hodnotě 26 J.K-1.mol-1 Pravidlo platí jen přibližně. Za laboratorní teploty se hodnota Cmp pevných prvků pohybuje v intervalu 25 - 29 J.K-1.mol-1 (zejm. těžké kovy). Výjimkou jsou prvky C, B a Si jejichž molární tepelné kapacity jsou nižší a hodnoty 26 J.K-1.mol-1 dosahují jen za vysokých teplot (nad 1000 °C). Neumannovo – Koppovo pravidlo: molární tepelné kapacity pevných sloučenin se rovnají stechiometrickému součtu molárních tepelných kapacit pevných prvků z nichž se skládají. Pokud se molekula skládá z n atomů její hodnota Cmp by se měla rovnat 26n J.K-1.mol-1. Pravidlo je spíše orientační, chyba může činit až 10 %. Při laboratorní teplotě nutno brát do sumace tyto hodnoty: prvek C H B N O F ostatní Pb I K Inkrement molární tepelné kapacity (J.K-1.mol-1 ) 1.8 2.3 2.7 4.0 4.0 5.0 6.3 6.4 6.6 7.31 U sloučenin obsahujících krystalovou vodu se za každou molekulu vody započítává 9.85 (odpovídá hodnotě Cmp ledu). Příklad: Výpočet molární tepelné kapacity (J.K-1.mol-1 ) pevných látek podle Neumann – Koppova pravidla: Sloučenina Cmp experiment Cmp vypočteno CaCO3 20.44 19.8 PbI2 19.6 19.6 KNO3 24.12 23.31 PbCO3 21.6 20.2 Tepelná kapacita krystalů V krystalické mřížce nemohou částice vykonávat rotační ani translační pohyb, zůstávají pouze 3 stupně volnosti kmitavého pohybu ve směru 3 souřadnicových os (= prostorový oscilátor). Podle ekvipartičního principu by se molární tepelná kapacita pevných látek měla rovnat Cmp = 3 R = 25 J.K-1.mol-1. Tato hodnota je obvykle dosažena až za vysokých teplot. Image result for dulong petit" Výsledek obrázku pro rotation molecules equipartition Tepelné kapacity krystalů – kvantová teorie Při dostatečně nízkých teplotách vykazují prakticky všechny pevné prvky odchylky od Dulong – Petotova pravidla. Pravidlo je tedy speciálním případem obecnějšího zákona (limitní zákon pro vysoké teploty). Einsteinova teorie: všechny prostorové oscilátory kmitají se stejnou frekvencí, charakteristickou pro daný prvek. Einsteinův model predikuje dobře tepelné kapacity spíše pro vyšší teploty, limitně se blíží Dulong–Petitově pravidlu. Debyeova teorie: prostorové oscilátory kmitají v oboru frekvencí od nuly do určité maximální hodnoty. ε = h . ν Obsah obrázku objekt, hodiny Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku hodiny Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku objekt Popis byl vytvořen automaticky TD je Debyeova teplota (tabelována) Pro úsek hodnot kolem absolutní nuly je podle Debyeovy teorie tepelná kapacita úměrná třetí mocnině teploty: Cmv = a . T3 To odpovídá experimentálně potvrzenému kubickému zákonu. Molární tepelné kapacity pevných sloučenin Pohyb n-atomové molekuly jako celku zahrnuje celkem 3n lineárních oscilátorů, z toho 3 zahrnují oscilace molekuly jako celku a 3(n-1) pohyb atomů v molekule. Oscilace molekuly jako celku lépe popisuje Debyeova funkce, kmity atomů v molekule lépe popisuje funkce Einsteinova. Pro výpočet teplotních závislostí tepelných kapacit prvků je nejvhodnější Debyeova funkce, Einsteinova funkce poskytuje nižší hodnoty, zejména v oblasti nízkých teplot. Nicméně Einsteinova teorie je vhodná pro výpočet vibračních příspevků tepelných kapacit plynů a také u pevných látek při popisu závislosti Cnv na T u sloučenin. Hodnoty Einsteinovy i Debyeovy funkce jsou tabelovány. Tepelná kapacita kapalin Tepelná kapacita kapalin se zpravidla s teplotou mění jen málo. Tato závislost se rovněž vyjadřuje pomocí mnohočlenů s celistvými mocninami teploty. prvek C H B N O F Ostatní těžké prvky Inkrement molární tepelné kapacity (J.K-1.mol-1 ) 3.0 5.0 4.8 4.5 6.0 7.0 8.0 Joule - Koppovo pravidlo platí i pro kapaliny, hodnoty atomových tepel jsou vyšší než pro pevné látky v důsledku vyššího počtu stupňů volnosti v kapalině: Voda má větší měrnou tepelnou kapacitu ve skupenství kapalném než ve skupenství pevném nebo plynném. Výhřevnost je vlastnost paliva, která udává, kolik energie se uvolní úplným spálením jedné jednotky (obvykle 1 kg). Proti spalnému teplu není v hodnotě zahrnuto měrné skupenské teplo páry, obsažené ve spalinách (předpokládá se, že její teplo je nevyužitelné a uniká v plynném stavu se spalinami). Obsah obrázku snímek obrazovky Popis byl vytvořen automaticky Spalné teplo je takové množství tepla, které se uvolní dokonalým spálením jednotkového množství paliva (J/kg, resp. J/mol nebo J/m³). Předpokládá se, že voda, uvolněná spalováním, zkondenzuje a energii chemické reakce není třeba redukovat o její skupenské teplo. Tím se spalné teplo liší od výhřevnosti, kde se předpokládá na konci reakce voda v plynném skupenství. Proto je hodnota spalného tepla vždy větší nebo rovna hodnotě výhřevnosti. Rovnost nastává, když spalováním nevzniká voda. Spalné teplo a výhřevnost v energetice Kondenzační kotel Obsah obrázku snímek obrazovky Popis byl vytvořen automaticky Princip kondenzačního kotle spočívá v tom, že zužitkuje také teplo, které u běžné topné techniky zůstává bez užitku. Kondenzační kotel odebírá téměř dokonale teplo obsažené ve spalinách a přeměňuje ho dodatečně na topné teplo. Příklad Určete hmotnost uhlí potřebného k zahřátí ocelového bloku o hmotnosti 10 000 kg z teploty 20 °C na kovací teplotu 1100 °C. Účinnost pece je 30%. Výhřevnost uhlí je 30 MJ/kg a měrná tepelná kapacita oceli 452 J/kg. Řešení: Q = m . c . Δt = 10000 . 452 . (1100 - 20) = 4 881,6 MJ E = Q / 0.3 = 16 272 MJ m = E / 30 = 542,4 kg Na zahřátí ocelového bloku se spotřebuje 542,4 kg uhlí. Práce Formy výměny energie, při nichž zpravidla dochází k silovému působení mezi systémem a okolím, nazýváme prací. V mechanice je definována jako energie potřebná na přemístění tělesa z jedné polohy do druhé po zvolené dráze. Práce je způsob výměny energie při němž se působením síly posouvá nebo otáčí nějaký soubor částic určitým směrem. Práce závisí v obecném případě nejen na počátečním a konečném stavu, ale též na cestě oba stavy spojující. Nemá tedy totální diferenciál, infinitezimální změna se značí symbolem đW (neúplný diferenciál). Práce předávaná systémem do okolí má zápornou hodnotu a práce přijatá z okolí do systému kladnou. Podle interakce mezi soustavou a okolím rozeznáváme různé druhy práce: Mechanickou Objemovou Povrchovou Elektrickou Magnetickou Vnitřní energie Mechanická (vnější energie) = zahrnuje kinetickou energii soustavy jako celku (např. se soustava pohybuje vůči okolí) a potenciální energii soustavy v různých vnějších polích (např. gravitačním). Do hodnoty vnitřní energie tedy není zahrnuta kinetická a potenciální energie systému jako celku, který se pohybuje v určitém prostoru. Vnitřní energie = extenzívní stavová veličina charakterizující celkový obsah energie soustavy za definovaných podmínek. Je sumou všech energií uvnitř soustavy: kinetické energie tepelného pohybu částic (atomů a molekul), potenciální energie jejich vzájemné polohy a energie excitace a záření uvnitř systému. dU = đQ + đW đQ a đW nejsou totální diferenciály, symbol đ pouze infinitezimální změnu (neúplný diferenciál). Po integraci U = Q + W Celkovou hodnotu vnitřní energie U nedokážeme určit, sledovat lze pouze její změny (přírůstek nebo úbytek) na základě I. věty termodynamiky. Změna vnitřní energie izolovaného systému je nulová. Vnitřní energie reálné látky závisí na teplotě, tlaku a velikosti soustavy (extenzívní veličina). Kočka lezoucí na strom zvyšuje díky práci svalů svoji potencální energii danou tíhovým polem Země, a při skoku na zem zvyšuje svoji energii kinetickou a její potenciální energie klesá. Oba tyto druhy energie tvoří mechnickou energii. Kočka ale také může být najezená či vyhladovělá, může jí být zima nebo teplo a tyto vlastnosti stejně jako přeměna energie ve svalovou práci souvisí s energií vnitřní. Příklad Obsah obrázku hodiny Popis byl vytvořen automaticky Při změně stavu soustavy se mění i její vnitřní energie, která se může zvětšit dodáním energie zvenčí (z okolí) nebo zmenšit předáním energie okolí (formou tepla nebo práce). Změna vnitřní energie pro danou změnu stavu je vždy stejná bez ohledu na cestu (způsob) tohoto přechodu (závisí jen na počátečním a konečném stavu, její diferenciál je totálním diferenciálem). Na rozdíl od vnitřní energie teplo ani práce nejsou stavové veličiny (nejsou funkcí stavu, jsou funkcí cesty termodynamického procesu, jejich diferenciál není totálním diferenciálem). Výsledek obrázku pro mechanical energy heat Práce a teplo jsou dvě různé formy přenosu energie mezi systémem a okolím. I. věta termodynamiky a zákon zachování energie Zákon zachování energie: Množství energie v izolované soustavě je konstantní. Celková energie izolované soustavy zůstává při všech dějích konstantní. První věta termodynamická je rozšířením zákona zachování energie na disipativní systémy, tj. systémy vyměňující s okolím teplo. Jestliže např. systém převzal z okolí teplo Q (Q > 0), pak dle povahy děje přeměnil tuto energii buď jen na vzrůst vnitřní energie systému, nebo jenom na práci (W < 0) nebo v určitém poměru na obě. Existuje stavová funkce zvaná vnitřní energie U, pro jejíž totální diferenciál dU platí dU = đQ + đW po integraci ∆U = Q + W Změna vnitřní energie soustavy se rovná součtu tepla a práce, které se vymění mezi soustavou a okolím. Izochorické ohřívání a ochlazování látky Izochorický děj probíhá za konstantního objemu soustavy. S okolím se tudíž nevyměňuje žádná energie ve formě objemová práce. ∆U = Q + W = Q – p . ∆V ∆V = 0 W = 0 ∆U = Q Teplo vyměněné mezi soustavou a okolím je rovno změně vnitřní energie soustavy. Veškeré teplo dodané soustavě za konstantního objemu je využito k jejímu ohřevu. Izobarické ohřívání a ochlazování látky Při izobarickém ději je konstantní tlak. Objemová práce ideálního plynu: ∆U = Q + W W = -p . ∆V ∆U = Q – p . ∆V odtud U2 – U1 = Q – p. (V2 – V1) (U2 + p.V2) – (U1 + p.V1) = Q ∆H = H2 – H1 = Q ∆H = ∆U + p . ∆V Teplo pohlcené při izobarickém ději se rovná zvýšení enthalpie. Enthalpie Enthalpie (izobarické teplo) je definováno H = U + P . V je extenzívní stavová veličina, jejíž absolutní hodnotu nelze určit (podobně jako u vnitřní energie), sledovat lze pouze její změny (přírůstek nebo úbytek). Protože při izobarickém ději jsou U i P stavové veličiny, je stavovou veličinou i H. Její změna nezávisí na cestě a její diferenciál je totálním diferenciálem. Diferenciální tvar rovnice pro změnu vnitřní energie při izobarickém ději je dU = dH – p . dV ∆U = ∆H – p . ∆V Obsah obrázku hodiny, přenosný počítač, doprava Popis byl vytvořen automaticky Izotermická komprese a expanze plynu Izotermický děj probíhá při konstantní teplotě. Pro ideální plyn je vnitřní energie soustavy určena jen pohybovou energií molekul (ekvipartiční teorém), která je dána výlučně teplotou, nikoliv tlakem. Proto je změna vnitřní energie při izotermickém ději s ideálním plynem nulová. ∆U = Q + W = 0 Q = -W Vykonaná práce se rovná teplu přijatému soustavou. Přijatá práce se rovná teplu odevzdanému soustavou. Adiabatická (isoentropická) expanze a komprese plynu Adiabatický děj probíhá v tepelně izolovaných soustavách. Energie se vyměňuje s okolím jen formou práce. Q = 0 ∆U = W Pro výpočet konečného stavu plynu, kterou zpravidla neznáme, je u vratného adiabatického děje Výsledek obrázku pro isotherma adiabata Výsledek obrázku pro isotherma adiabata p1V1κ = p2V2κ κ = cp/cv je poměr molárních tepelných kapacit pro daný plyn (Poissonova konstanta). U nevratného adiabatického děje neplatí Poissonovy rovnice. Výpočty vychází z kalorimetrické rovnice Při adiabatickém ději se nemění stavová veličina entropie = isoentropický děj. Výsledek obrázku pro isotherma adiabata polytropa Polytropická expanze a komprese plynu Výsledek obrázku pro isotherma adiabata polytropa Polytropický děj je termodynamický proces, který více odpovídá reálným dějům, než klasické jednoduché procesy jako např. děj izotermický nebo adiabatický. Lze jej definovat tak, že tepelná kapacita (uzavřené) soustavy je při něm konstantní. Při polytropickém ději se obecně mění všechny stavové veličiny (odtud název). n = konst Zobrazit zdrojový obrázek Termodynamika fázových přeměn – molární tepla Související obrázek Fázový přechod je fyzikální pojem, označující skokovou změnu makroskopických vlastností termodynamického systému (fáze) při změně nějaké termodynamické proměnné (např. teploty). 10.3 Phase Transitions – Chemistry Jakou rychlostí se musí pohybovat olověný projektil o hmotnosti 1 g vystřelený proti stěně, aby při nárazu na stěnu roztál? Teplota tání olova je 327 °C, enthalpie tání olova je 25 J.g-1, měrná tepelná kapacita za normálního tlaku je 0,12 J.K-1.g-1, teplota projektilu je 20 °C. Zahřátí stěny lze zanedbat. Kinetická energie projektilu Ek = ½.m.v2 Teplo nezbytné k zahřátí projektilu ΔH = m.cp.ΔT + ΔHt = 61,84 J Ek = ΔH ½.m.v2 = m.cp.ΔT + ΔHt v = 351,7 m.s-1 T1 = 20 °C T2 = 327 °C ΔHt = 25 J.g-1 cp = 0,12 J.K-1.g-1 v = ? Kulka by se musela pohybovat nadzvukovou rychlostí. Příklad Příklad: Hliníkový žebřík o hmotnosti 10 kg se vlivem vysoké teploty při požáru zahřeje z teploty 25 °C na 700 °C. Kolik tepla se spotřebuje na zahřátí? Teplota tání hliníku je 639 °C. Žebřík se roztaví (fázový přechod s -> l). ΔHtání = 10480 J/mol. Cp(s) = 20.68 + 12.39.10-3 T J/mol Cp(l) = 29.3 J/mol ArAl = 26.98 T1 = 25 + 273 = 298 K Ttání = 639 + 273 = 912 K T2 = 700 + 273 = 973 K ΔH = Cp(s).(Ttání – T1) + ΔHtání + Cp(l).(T2 - Ttání) ΔH = 20.68.(912 - 298) + 12.39.10-3 (912 - 298)2 + 10480 + 26.98.(973 – 912) = 34170 J/mol. Q = 10 . 34170 /26.98 = 12665 kJ Výpočet výparného tepla kapalin Troutonovo – Pictetovo pravidlo Hodnota entropie vypařování je pro většinu kapalin v rozmezí 85-88 J/mol.K. Tb = bod varu kapaliny Clausius – Clapeyronova rovnice Clausius – Clapeyronova rovnice v diferenciálním tvaru a rovnice pro tenzi par (Antoineova nebo Calingaertova - Davisova). ΔH výp = R. TV2 . ln(10) . B /(t + C)2 Příklad: Stabilita alotropických modifikací Stálé modifikaci je za standardních podmínek přiřazena nulová entalpie. C (diamant) à C (grafit) ΔH298 = - 1883 kJ/mol P (bílý) à P (červený) ΔH298 = - 17,57 kJ/mol Výsledek obrázku pro grafit diamant Výsledek obrázku pro red white phosphorus Přeměna diamantu na grafit může probíhat (termodynamická nestálost) , je však neměřitelně pomalá (kinetická stálost). Absolutní práce Technická práce Objemová práce = mechanická práce při níž se mění objem soustavy. Zmenšování objemu soustavy je komprese (práci koná okolí), zvětšování objemu soustavy je expanze (práci koná soustava). Objemová práce konaná soustavou při izobarickém ději je W = -F . ∆s = -P . S . ∆s = -p . ∆V (záporné znaménko definitoricky znamená, že práci koná soustava, nezávisle na tom zda jde o kompresi nebo expanzi) Výsledek obrázku pro objemova prace Objemová práce Tepelný stroj Účinnost tepelného stroje ve výkon stroje dělený jeho příkonem: Výsledek obrázku pro ucinnost tepelneho stroje Výsledek obrázku pro ucinnost tepelneho stroje Tepelný stroj je stroj, který pracuje na základě prvního termodynamického zákona, podle něhož je možné vzájemně přeměnit teplo na vnitřní energii anebo práci. Tepelný stroj musí zároveň respektovat druhý termodynamický zákon, podle kterého není možné vykonávat přeměnu energií úplně. tepelné motory: teplo dodávané ze zásobníku s vyšší teplotou se přeměňuje na práci při vzniku zůstatkového tepla, které je potřeba dovést do zásobníku s nižší teplotou. Pracovní cyklus takového stroje v p-V diagramu probíhá ve směru hodinových ručiček. chladicí stroje nebo tepelná čerpadla: přivedená mechanická práce se spotřebovává na přenos tepla ze zásobníku s nižší teplotou do zásobníku s vyšší teplotou. Pracovní cyklus takového stroje v p-V diagramu probíhá proti směru hodinových ručiček. Cyklus tepelného stroje: stroj odebere teplo teplejšímu zásobníku. Část tohoto tepla se přemění na práci, zbytek se předá chladnějšímu zásobníku. I. věta termodynamiky a kruhový děj Kruhovým (cyklickým) dějem nazýváme takový děj, při kterém je konečný stav systému totožný s výchozím. Změny stavových veličin jsou při kruhovém ději nulové. Teplo a práce nejsou stavovými veličinami a proto nejsou při kruhovém ději nulové. Formulace I. věty termodynamické: Nelze realizovat uzavřenou a izolovanou soustavu jejíž energie by vlivem nějakého děje probíhajícího uvnitř soustavy rostla, tj. nelze vyrobit perpetuum mobile prvního druhu. Z I. věty termodynamické plyne nemožnost konstrukce perpetua mobile prvního druhu, tj. cyklicky pracujícího stroje, kde by vykonaná práce byla větší než přijaté teplo. Pro cyklický děj platí U = 0 (počáteční a koncový stav je stejný), a tedy Q +W = 0 (cyklický děj) Příklad Nechť je naším systémem kostka ledu o hmotnosti 1 g a výchozím stavem teplota −10 °C a tlak 100 kPa. V systému proběhl sled dějů: kostka byla ohřáta na teplotu 0 °C, při které roztála. Kapalná voda byla při této teplotě elektrolyzována. Vzniklá směs vodíku a kyslíku byla expandována na tlak 200 Pa a zapálena. Vodní pára vzniklá reakcí měla po skončení reakce teplotu 500 °C. Byla ochlazena na teplotu −10 °C a stlačena na 100 kPa. V průběhu stlačování došlo k desublimaci (sněžení) a systém se vrátil do původního termodynamického stavu. Proběhl kruhový děj. Výsledek obrázku pro ice cube cooling Formulace I. věty termodynamiky předpokládá konstantní hmotnost systému – z tohoto důvodu do takto formulovaného principu nezapadají jaderné reakce. Carnotův cyklus Obsah obrázku text, mapa Popis byl vytvořen automaticky Související obrázek Carnotův stroj je hypotetické zařízení odebírající teplo z teplejšího zásobníku o teplotě Th, konající práci a odevzdávající teplo chladnějšímu zásobníku o teplotì Tc < Th. Předpokládá se, že zásobníky mají tak velkou kapacitu, že se jejich teploty při odebírání a dodávání tepla nemění. Náplní stroje je ideální plyn, jehož izochorická tepelná kapacita nezávisí na teplotě. V Carnotově stroji probíhá cyklický děj, jenž je tvořen čtyřmi dílčími vratnými ději: 1 - 2: izotermická vratná expanze, 2 - 3: adiabatická vratná expanze, 3 - 4: izotermická vratná komprese, 4 - 1: adiabatická vratná komprese. Velikost práce v Carnotově cyklu odpovídá velikosti uzavřené plochy v P-V diagramu. Související obrázek Obsah obrázku doprava, podepsat, hodiny, ulice Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text, mapa Popis byl vytvořen automaticky Carnotův teorém (věta): největší možná účinnost tepelného stroje nezávisí na jeho náplni ale jen na teplotách tepelných zásobníků. Účinnost tepelného stroje lze zvyšovat rozdílem teplot obou zásobníků. 100% účinnost lze dosáhnout pokud by chladnější lázeň měla teplotu absolutní nuly. Účinnost Carnotova stroje Jaká musí být teplota kotle, aby při teplotě okolí 293 K byla účinnost vratného tepelného stroje 0,5? Příklad η = 1 - T1/T2 0,5 = 1 – 293/T2 T2 = 568 K = 295 °C η = 0,5 T1 = 293 K T2 = ? II. věta termodynamiky Umožňuje určovat uskutečnitelnost a směr děje. Teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na těleso teplejší (Clausius 1850) Nelze sestrojit periodicky pracující stroj, který by pouze odebíral z tepelného zásobníku teplo a měnil ho na rovnocennou práci (nelze sestrojit perpetuum mobile druhého druhu) (Kelvin 1851 a Planck 1891) Perpetuum mobile I. druhu: vyrábí energii z ničeho. Perpetuum mobile II. druhu: odebírá energii z okolí. Výsledek obrázku pro ucinnost tepelneho stroje Entropie a nevratné děje Při vratných dějích se entropie soustavy a okolí navzájem kompenzují, jejich součet je nula. Při nevratných dějích se entropie soustavy a okolí navzájem nekompenzují, jejich součet je větší než nula. Při kruhovém ději (vratném i nevratném) je změna entropie soustavy nulová. Protože samovolně probíhají pouze nevratné děje, lze změnu entropie považovat za kritérium samovolnosti děje. Typické nevratné děje: Expanze plynu do vakua a škrcení plynu (viz Joule-Thomsonův jev) Mísení plynů volnou difuzí Předávání (sdílení) tepla Tření Pracovní cyklus tepelného stroje (tepelný oběh) je série postupných změn stavu pracovní látky, které začínají a končí ve stejném stavu. Existuje více modelových pracovních cyklů tepelného stroje, speciální postavení mezi nimi má Carnotův cyklus. Pro teoretické výpočty technických aplikací se používají i jiné modely tepelných cyklů. V oblasti pístových spalovacích motorů se pracuje s: Ottovým cyklem Dieselovým cyklem Seiligerovým cyklem V oblasti plynových turbín se pracuje s: Humpreyovým cyklem Erikson-Braytonovým cyklem Joule-Braytonovým cyklem Pracovní cykly tepelných strojů Tepelný stroj pracující v Carnotově cyklu je ideální stroj. Stirlingův motor Výsledek obrázku pro stirlinguv motor Obsah obrázku tmavé, černá, letící, počítač Popis byl vytvořen automaticky 1-2 Izotermická expanze. 2-3 Isochoricke chlazení 3-4 Izotermická komprese 4-1 Isochorické zahřáti Pracovní plyn je stlačován v chladnější části stroje a expanduje v teplejší části stroje za vzniku práce. Ottův cyklus (zážehový motor) Obsah obrázku text, mapa Popis byl vytvořen automaticky Ottův cyklus je ideální tepelný oběh sestávající z vratných změn. Ottův cyklus popisuje práci tepelného stroje, kde přívod a odvod tepla se uskutečňuje ve velmi krátkém čase - beze změny pohybu pístu. Takové přiblížení lze použít pouze pro zážehové motory, kde je rychlost spalování (přívod tepla) dostatečně vysoká. Odvod tepla je realizován výměnou náplně, což zhruba odpovídá předpokladům modelu. 1 až 2 - adiabatická komprese 2 až 3 - izochorický přívod tepla 3 až 4 - adiabatická expanze 4 až 1 - izochorický odvod tepla Účinnost Ottova cyklu závisí pouze na kompresním poměru ε tj. poměru objemu ve stavech 1 a 4 k objemu ve stavech 2 a 3 a na exponentu adiabaty (Poissonova konstanta) Dieselův cyklus (vznětový motor) Obsah obrázku text, mapa Popis byl vytvořen automaticky Dieselův cyklus je ideální tepelný oběh sestávající z vratných změn. Dieselův cyklus popisuje práci tepelného stroje, kde přívod tepla probíhá plynule během expanze a odvod tepla se uskuteční ve velmi krátkém čase – beze změny pohybu pístu. Takové přiblížení je možno použít pro vznětové motory při plném zatížení, kde se větší část spalování (přívod tepla) koná během expanze. Odvod tepla je realizován výměnou náplně. 1 až 2 – adiabatická komprese 2 až 3 – izobarický přívod tepla 3 až 4 – adiabatická expanze 4 až 1 – izochorický odvod tepla Účinnost Dieselova cyklu závisí na: kompresním poměru, tj. poměru objemu ve stavu 1-4 k objemu ve stavu 2-3 (ε) exponentu adiabaty – Poissonově konstantě (k) množství přivedeného tepla, tj. poměru objemu ve stavu 3 k objemu ve stavu 2 (ρ) Entropie a nevratné děje Při vratných dějích se entropie soustavy a okolí navzájem kompenzují, jejich součet je nula. Při nevratných dějích se entropie soustavy a okolí navzájem nekompenzují, jejich součet je větší než nula. Při kruhovém ději (vratném i nevratném) je změna entropie soustavy nulová. Protože samovolně probíhají pouze nevratné děje, lze změnu entropie považovat za kritérium samovolnosti děje. Typické nevratné děje: Expanze plynu do vakua a škrcení plynu (viz Joule-Thomsonův jev) Mísení plynů volnou difuzí Předávání (sdílení) tepla Tření Růst entropie = směr plynutí času Entropie a samovolné děje 2 Reversibilní děje: ΔS = 0, v systému probíhají pouze vratné děje a systém je v rovnováze. Ireversibilní děje: ΔS < 0 děj neprobíhá samovolně, ΔS > 0 děj probíhá samovolně. Z toho je patrné, že entropie je kritériem samovolnosti děje. Statistický výklad entropie k je Boltzmanova konstanta P je termodynamická pravděpodobnost děje (daného uspořádání). Samovolné děje lze charakterizovat nejen zvětšením entropie, ale též vzrůstem neuspořádanosti vznikajícího stavu soustavy, vzhledem ke stavu výchozímu. Proto se entropie také definuje jako míra neuspořádanosti systému. Čím je systém neuspořádanosti větší, tím má vyšší entropii. Entropie se udává v jednotkách J.mol-1.K-1. Výsledek obrázku pro entropy probability Související obrázek Příklad: Změna neuspořádanosti systému při přeměně: H2O (s) ---> H2O (l) Při tomto ději přechází systém do stavu s větší neuspořádaností, tedy entropie se zvětšuje: Mechanické kmitání Harmonický pohyb See the source image Harmonický pohyb je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně přechází z jedné krajní polohy přes rovnovážnou polohu do druhé krajní polohy, přičemž časový průběh výchylky y(t) z rovnovážné polohy je vyjádřen vztahem y(t) = A.sin(ω.t + φ0) kde A je amplituda výchylky, ω je úhlová frekvence φ(t) = ω.t + φ0 je fáze φ0 je počáteční fáze harmonicky proměnné veličiny. Při harmonickém pohybu je zrychlení úměrné výchylce z rovnovážné polohy (y = 0) a má směr proti směru výchylky. Největší výchylka je pro sinus rovno jedné, tj. y = A, a nazývá se amplituda (rozkmit). Převratná hodnota doby kmitu (T) se nazývá kmitočet. Příčinou kmitání mechanického oscilátoru je buď síla pružnosti, nebo tíhová síla. Ze znalosti zrychlení harmonického kmitavého pohybu (a = -ω2.y) a 2. Newtonova zákona (F = m.a ) můžeme obecně vyjádřit velikost síly, která způsobuje harmonické kmitání: Oscilátor je systém nebo zařízení, schopné kmitavého pohybu, při němž se hodnoty určitých parametrů (poloha, rychlost, napětí atd.) periodicky opakují. Oscilátory mohou být mechanické, elektrické aj. a dělí se na harmonické (kyvadlo, závaží na pružině), kde je průběh kmitu charakterizován sinusoidou, resp. relaxační s nesouměrným tvarem kmitů a další. Kmitání (oscilace) je změna (zpravidla v čase) nějaké veličiny, vykazující opakování nebo tendenci k němu. Kmitání (oscilace) a oscilátor 1 MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU T f 1 = Hz s s f = == 1 Pružina umožňuje v jednom nebo i více směrech elastickou deformaci (působením síly se deformuje, ale když síla přestane působit, vrací se do původního tvaru). Využívá se k pružnému spojení jiných součástí tak, aby se rázy a kmitání neodpružené součásti (například nápravy) nepřenášely na část odpruženou (například podvozek). Pružina obvykle působí silou závislou na velikosti její výchylky z klidové polohy a ve směru proti této výchylce. Podle Hookova zákona Pružina k je tuhost pružiny Pro potenciální energii stlačené nebo natažené hookovské pružiny platí kde k je tuhost pružiny a y je výchylka z rovnovážné polohy pružiny. Frekvence a doba kmitu pružiny Energie mechanického oscilátoru Ep = ½.k.y2 = ½.k.A2.sin2(ω.t + ϕ) V rovnovážné poloze je y = 0 a tudíž Ep = 0 V maximální výchylce |y| = A Ep = ½.k.A2 V libovolném okamžiku je Ep Kinetická energie See the source image Ek = ½.m.v2 = ½.(k/ω2).v2 = ½.k.y2 = ½.k.A2.cos2(ω.t + ϕ) V rovnovážné poloze je y = 0 a tudíž Ek = ½.k.A2 V maximální výchylce |y| = A Ek = 0 Celková energie E = Ep + Ek = ½.k.A2.(sin2(ω.t + ϕ) + cos2(ω.t + ϕ)) E = Ep + Ek = ½.k.A2 V libovolném okamžiku je E V libovolném okamžiku je Ek Kinetic Energy Jak se změní perioda harmonického kmitavého pohybu, jestliže ke pružině namísto měděného válečku (ρ1 = 8930 kg.m-3) ​​připevníme hliníkový váleček (ρ2 = 2700 kg. m-3) ​​se stejným objemem? Příklad Příklad Jakou práci vykonáme, stlačíme-li pružinu o 20 cm, je-li její tuhost 30 N.cm-1? k = 30 N.cm-1 y = 20 cm = 0,2 m W = ½.k.y2 = 0,5.30.20.0,2 = 60 J Kyvadlo = každé zařízení v tíhovém poli Země, které vykonává kývavý pohyb (opakované pohyby sem a tam). Kyvadlo Matematické kyvadlo. Kývající těleso těleso se nahrazuje hmotným bodem o hmotnosti m, který se kýve na nehmotném závěsu o konstantní délce l, úhel vychýlení α<5°. Zanedbává se tření v místě závěsu a odpor vzduchu. Fyzikální kyvadlo. Kývající se těleso se nepovažuje za hmotný bod, nezanedbává se hmotnost závěsu (tyče). Pohybová energie se skládá z kinetické energie posuvného a rotačního pohybu: těleso se v tíhovém poli otáčí se kolem pevné vodorovné osy neprocházející jeho hmotným středem, uplatňuje se moment setrvačnosti kývajícího se tělesa. Potenciální energie kyvadla se mění v kinetickou energii rotačního pohybu. See the source image Jak se změní doba kmitu matematického kyvadla, když jeho délku zkrátíme o 20 % a hmotnost snížíme na polovinu? Příklad Doba kmitu matematického kyvadla na jeho hmotnosti nezávisí See the source image See the source image See the source image Kyvadlové hodiny Metronomy Kónické kyvadlo = kyvadlo, kterému je udělena taková rychlost, aby závěs opisoval plášť rotačního kužele (kónusu). Hmotný bod se pohybuje po kružnici, takže na něj působí dostředivá síla, kterou lze rozložit na sílu tíhovou a tahovou sílu závěsu. See the source image Ruské kuželky Tetherball See the source image výsledné složené kmitání není harmonické Skládání rovnoběžných (stejnosměrných) harmonických kmitů Pro lineární kmitání platí, že probíhá-li současně několik kmitavých dějů (např. pokud hmotný bod koná několik kmitavých pohybů současně), je výsledný kmitavý pohyb určen součtem (obecně vektorovým) jednotlivých kmitavých dějů. Tato skutečnost je v souladu s principem superpozice. Pro nelineární kmitání nemusí být výsledné kmitání součtem jednotlivých kmitání, z nichž je složeno. Rovnoběžné harmonické kmity se stejnou úhlovou frekvencí Složením dvou harmonických kmitů se stejnou úhlovou frekvencí ω, tzv. izochronních kmitů Výsledná amplituda A: Fázový posun ϕ: Fázový posun představuje vzájemné posunutí fází dvou kmitajících složek jediného kmitavého pohybu. Při skládání kmitů s opačnými fázemi lze počáteční fáze zapsat jako ϕ1 = ϕ, ϕ2 = ϕ + π. Amplituda kmitu je rovna A = A2 - A1. Při vektorovém znázornění leží vektory A1 a A2 na stejné přímce, ale mají opačný směr. Je-li A1=A2, je výsledná amplituda nulová (A = 0), tzn. oba kmity se navzájem vyruší. Je-li rozdíl počátečních fází dvou kmitů ϕ2 - ϕ1 = 2.k.π, kde k je celé číslo, mají oba skládané kmity stejnou fázi. V takovém případě lze položit ϕ = ϕ1= ϕ2 a amplituda je dána jako A = A1 + A2. Při vektorovém znázornění leží oba kmity na stejné přímce a mají stejný směr. Rovnoběžné harmonické kmity s blízkými úhlovými frekvencemi Skládání dvou rovnoběžných harmonických kmitů, které mají různé, ale blízké frekvence, amplitudy obou kmitů jsou stejné (A0 = A1 = A2), a fázový posun je nulový (ϕ = ϕ1 = ϕ2). Výsledný kmitavý pohyb, který sestává z kmitů Pokud se úhlové kmitočty ω1 a ω2 příliš neliší, pak platí ω2 - ω1 << ω1 + ω2. To znamená, že kosinus, v němž vystupuje ω2 - ω1, se mění mnohem pomaleji než sinus, v němž vystupuje výraz ω1 + ω2. To umožňuje považovat předchozí vztah za kmitání s úhlovou frekvencí ω = (ω1 + ω2)/2 ≈ ω1 ≈ ω2 s pomalu se měnící amplitudou Periodické kolísání amplitudy se projevuje tzv. rázy (záznějemi). O ... oscilátor (zdroj nuceného kmitání) R ... rezonátor (působením zdroje se nucené rozkmitá) Z ... závaží + vlákno = VAZBA (zprostředkovává přenos energie mezi oscilátorem a rezonátorem) Spřažená kyvadla (vázané oscilátory) dvě stejná kyvadla spojená pružinou nebo vláknem se závažím Vazba může být volná: pomalé přenášení energie z oscilátoru na rezonátor, amplituda nucených kmitů je malá. těsná: rychlé přenášení energie z oscilátoru na rezonátor, amplituda nucených kmitů je velká. Skládání kolmých harmonických kmitů Vzájemně kolmé harmonické kmity nelze skládat algebraickým součtem výchylek, ale je nutné je skládat vektorově. Tyto kmity leží v rovině dané osami x a y, výsledné kmity budou také ležet v této rovině. Obecně je výsledkem skládání dvou harmonických kmitů o stejné frekvenci pohyb po elipse, která ve zvláštních případech přechází v kružnici nebo úsečku. Výsledný pohyb při skládání dvou kolmých harmonických kmitů různých frekvencí, amplitud a počátečních fází probíhá jako periodický pohyb po křivkách nazývaných Lissajousovy obrazce (křivky). http://gerdbreitenbach.de/lissajous/lissajous.html Animace: Blackburnovo (pískové) kyvadlo slouží ke skládání dvou navzájem kolmých kmitavých pohybů. Jedná se vlastně o dvě matematická kyvadla s délkami závěsů l1 a l2. Kyvadlo (nádobka s pískem) bude opisovat Lissajousovy obrazce, pokud bude následující rovnice vyjádřena podílem dvou celých čísel. Lissajousovy obrazce 1.7.2. Tlumené kmity Tlumené kmity Dochází k němu přeměnou části energie kmitavého pohybu na jiné formy energie (vnitřní energie okolí i oscilátoru, vynaložení práce na překonání třecích sil, …). Tlumení kmitání harmonického oscilátoru je závislé na hustotě prostředí, ve kterém kmitá. Tlumení je větší ve vodě než na vzduchu. Dále je závislé na rychlosti, kterou oscilátor kmitá. kde b je koeficient útlumu. Body, které mají maximální výchylku téhož znaménka, leží na grafu exponenciální funkce. Vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené. Tlumení má vliv také na periodu: tlumený oscilátor kmitá volně s větší periodou, než jakou by měl netlumený oscilátor se stejnými parametry. Graf silného tlumení (modře) a kritického tlumení (zeleně) V závislosti na velikosti tlumení harmonického oscilátoru může dojít k následujícím dvěma situacím: 1. tlumení je kritické - pohyb oscilátoru je takový, že oscilátor se za nejkratší možnou dobu ustálí v rovnovážné poloze. 2. tlumení je nadkritické - jedná se o neperiodický (aperiodický) pohyb, kdy se oscilátor bude pomalu vracet do své rovnovážné polohy. Nucené kmitání, rezonance Nucené kmitání vzniká působením periodické síly na oscilátory i na objekty, které vlastnosti oscilátoru nemají. Frekvence nuceného kmitání závisí na frekvenci působící síly a nezávisí na vlastnostech kmitajícího objektu. Nucené kmitání je netlumené. Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení. Netlumené harmonické kmitání nastane, pokud je energie dodávána v celém průběhu periody. Pokud se frekvence zdroje energie výrazně liší od frekvence oscilátoru, je účinek jen velmi malý. Pokud se frekvence zdroje energie liší jen málo od frekvence oscilátoru, amplituda se postupně zvětšuje. Největší je při stejných frekvencích. Dochází k jevu, který se nazývá rezonance. Tacoma Narrows Bridge je visutý most přes Tacomskou úžinu v americkém státě Washington. Původní most byl na místě postaven v červenci 1940. Most byl postaven tak, že byl překážkou větru, stavitelé jej pokřtili Cválající Gertie kvůli vertikálním pohybům mostovky za větrného počasí. Dne 7. listopadu za větrného dopoledne, kdy vítr dosahoval rychlosti až 68 km/h, vítr most vlastní silou rozhoupal, což nakonec způsobilo pád mostu. Při kolapsu mostu nedošlo k žádným lidským obětem, o život však přišel jeden malý pes, kterého v jednom z aut nechal jeho vlastník. Zřícení Tacoma Narrows Bridge A Tacoma Narrows 'Galloping Gertie' bridge-collapse surprise, 75 years later Výskyt rezonance: zesílení zvuku hudebních nástrojů (struna, těleso kytary) vznik nežádoucího rezonančního kmitání u strojních zařízení, která konají otáčivý pohyb pérování sedadel automobilu na hrbolaté silnici (prevence: tlumiče, změna vlastní frekvence, zvýšení tření) Perioda vlastního kmitání železničního vagónu je 1,25 s. Nárazy na spoje kolejnic dostává vagón silové impulsy, které ho rozkmitají. Při jaké rychlosti vlaku se vagón nejvíce rozkmitá, pokud délka kolejnic je 25 m? Příklad