1
5.1.7 Vzájemná poloha přímky a roviny
Předpoklady: 5106
Pedagogická poznámka:Tato a následující hodina je obtížně řiditelná. Ani jedna z těchto
hodin neobsahuje nic zásadního, v případě časového skluzu je možné je nechat na
samostudium.
Př. 1: Zakresli do standardní krychle rovinu EFG. Jakým jiným způsobem můžeme tuto
rovinu označovat?
A B
CD
E F
GH
Rovinu můžeme označovat libovolnou kombinací tří ze čtyř vrcholů ležících v horní stěně:
AFG, FGH, GHE, HEF.
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad kontroluje, zda žáci odstranili problémy s
kreslením nejjednodušších rovin (hodina 050105).
Př. 2: Kolik společných bodů může mít přímka s rovinou? Jaká je v každém takovém
případě jejich vzájemná poloha? Demonstruj ve standardní krychli ABCDEFGH na
rovině ABC a přímkách určených jejími vrcholy.
Mohou nastat tři možnosti
Přímka nemá s rovinou žádný společný bod.
Přímka má s rovinou nekonečně mnoho
společných bodů.
2
A B
CD
E F
GH
A B
CD
E F
GH
Přímka je rovnoběžná s rovinou.
Přímka má s rovinou právě jeden společný bod.
A B
CD
E F
GH
Přímka je různoběžná s rovinou.
Pedagogická poznámka: Slabší žáci často vnímají rovinu ABC ohraničeně jako čtverec
ABCD, proto při společné kontrole předchozího příkladu modeluji tužkou i
přímky, které se rovinou ABCD protínají mimo podstavu.
Př. 3: Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Urči všechny přímky určené vrcholy
krychle a procházející bodem F, které jsou:
a) rovnoběžné s rovinou ADE, b) různoběžné s rovinou ADE.
přímky rovnoběžné s rovinou ADE přímky různoběžné s rovinou ADE
3
A B
CD
E F
GH
přímky FB, FC, FG
A B
CD
E F
GH
přímky FA, FD, FE, FH
Př. 4: Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Urči všechny roviny, které jsou určeny
vrcholy krychle, prochází bodem G a jsou:
a) rovnoběžné s přímkou AC, b) různoběžné s přímkou AC.
roviny rovnoběžné s přímkou AC
A B
CD
E F
GH
jediná rovina EFG (může být určena i jinak)
roviny různoběžné s přímkou AC
A B
CD
E F
GH
roviny bočních stěn FGC, HGC a roviny
HGB, GFD
Jak poznáme, že je přímka rovnoběžná s rovinou?
Máme přímku p rovnoběžnou s rovinou ρ . „Spojíme“ přímku s rovinou pomocí další roviny
1σ , která je s ρ různoběžná ⇒vznikne průsečnice 1p . Jaká je vzájemná poloha p a 1p ?
4
p
p’
1p musí být rovnoběžná s p. Proč?
Kdyby p a 1p nebyly rovnoběžné, existoval by jejich průsečík P (p i 1p leží v rovině 1σ a
nemohou tedy být mimoběžné) ⇒ Průsečík p a 1p by ležel v rovině 1σ i v rovině ρ ( 1p leží
v obou rovinách) ⇒ to nemůže nastat, protože průsečík P by ležel také na přímce p , která je
s ρ rovnoběžná a tedy s ní nemůže mít žádné společné body.
Pokud budeme měnit roviny iσ , vzniknou průsečnice ip . Všechny přímky ip jsou navzájem
rovnoběžné (tranzitivnost rovnoběžnosti).
⇒
Kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny: Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ , jestliže
v rovině ρ leží alespoň jedna přímka p′, která je s přímkou p rovnoběžná.
Př. 5: Doplň věty:
a) Je-li p q a q ρ , pak … b) Je-li p q a p ρ , pak …
c) Je-li p q a q není rovnoběžná s ρ , pak …
a) Je-li p q a q ρ , pak p ρ .
b) Je-li p q a p ρ , pak q ρ .
c) Je-li p q a q není rovnoběžná s ρ , pak p není rovnoběžná s ρ .
Př. 6: Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Urči vzájemnou polohu:
a) přímky EG BGS S a roviny ABC b) přímky AC BGS S a roviny CDG
c) přímky BG AHS S a roviny CDE d) přímky EG BGS S a roviny BCE
e) přímky EG BFS S a roviny ABG
a) přímka EG BGS S a rovina ABC b) přímky AC BGS S a roviny CDG
5
A B
CD
E F
GH
SBG
SEG
přímka EG BGS S je různoběžná s rovinou ABC
(rovina ABC je vodorovná, přímka EG BGS S
ne)
A B
CD
E F
GH
SAC
SBG
přímka AC BGS S je rovnoběžná s přímkou
CD CGS S , která leží v rovině CDG ⇒ přímka
AC BGS S je rovnoběžná s rovinou CDG
c) přímka BG AHS S a rovina CDE
A B
CD
E F
GH
SBG
SAH
přímka BG AHS S je rovnoběžná s rovinou CDE
(leží v ní)
d) přímka EG BGS S a rovina BCE
A B
CD
E F
GH
SBG
SEG
přímka EG BGS S je rovnoběžná s přímkou
EF BFS S , která je rovnoběžná s přímkou BE
ležící v rovině BCE ⇒ přímka EG BGS S je
rovnoběžná s rovinou BCE
e) přímka EG BFS S a rovina ABG
6
A B
CD
E F
GH
SEG
SBF
zdá se, že přímka EG BFS S je s rovinou ABG
různoběžná, ale ve skutečnosti směřuje také
„šikmo dolů“ ⇒ nakreslíme si situaci zleva
A
BC
D
E
F
G
H
SEG
SBF
přímka EG BFS S je rovnoběžná s přímkou
HG GBS S , která leží v rovině ABG ⇒ přímka
EG BFS S je rovnoběžná s rovinou ABG
Pedagogická poznámka: Z hlediska budoucnosti je na příkladu nejdůležitější způsob, jakým
žáci kreslí roviny v bodech c) a d). Jestliže i v tomto příkladu zůstávají u
trojúhelníků, signalizuje to zásadní problémy v budoucnu, je nanejvýš vhodné
situaci začít řešit.
Bod e) je pro studenty poměrně obtížný. Mohou si situaci namodelovat pomocí
krychličky. Pokud se jim ho nepodaří vyřešit, není na místě panikařit.
Jak najít přímku rovnoběžnou se dvěma různoběžnými rovinami?
Pokud je přímka rovnoběžná s rovinou, „rovina obsahuje její směr“ (nekonečně mnoho
přímek, které v rovině leží a jsou s ní rovnoběžné) ⇒ obě roviny musí obsahovat její směr
⇒ tento směr je oběma rovinám společný ⇒ je to směr jejich společné přímky (průsečnice).
Př. 7: Je dána standardní krychle. Veď bodem ABS přímku rovnoběžnou s rovinami BEG a
BDH.
Použijeme předchozí úvahu:
• najdeme průsečnici rovin BEG a BDH,
• v bodě ABS narýsujeme rovnoběžku s nalezenou přímkou.
7
SAB
A B
CD
E F
GH
Př. 8: Petáková:
strana 90/cvičení 2 a) b) c) d)
strana 90/cvičení 5 b)
Shrnutí: Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ , právě když v rovině leží přímka rovnoběžná
s přímkou p.