1
5.1.8 Vzájemná poloha rovin
Předpoklady: 5107
Př. 1: Kolik společných bodů mohou mít dvě roviny? Každou možnost dokumentuj pomocí
dvou rovin určených vrcholy krychle a urči vzájemnou polohu rovin.
Mohou nastat tři možnosti.
Roviny nemají žádný společný bod
( např. roviny ABC a EFG).
A B
CD
E F
GH
Roviny mají všechny body společné
(např. roviny ABC a BCD).
A B
CD
E F
GH
Roviny jsou totožné (splývají).
Roviny jsou rovnoběžné.
Roviny mají společných nekonečně mnoho bodů ležících v přímce
(např. roviny ABC a BCE se společnou přímkou BC).
A B
CD
E F
GH
Roviny jsou různoběžné.
⇒ Pokud mají dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou celou přímku, která tímto
bodem prochází.
Pedagogická poznámka: Následující obrázky si prohlédneme, ale žáci je neopisují do sešitů
(ztráta času).
2
Terminologie:
Dvě různoběžné roviny ρ a σ , dva body
A ρ∈ , B σ∈ :
• průnik poloprostorů Bρ a Aσ se
nazývá klín,
• průsečnice h hraničních rovin se
nazývá hrana klínu,
• poloroviny hB a hA se nazývají stěny
klínu.
B
A
h
Dvě rovnoběžné roviny ρ a σ , dva body
A ρ∈ , B σ∈ :
• průnik poloprostorů Bρ a Aσ se
nazývá vrstva,
• vzdálenost hraničních rovin se nazývá
tloušťka (šířky) vrstvy.
B
A
d
Př. 2: Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Urči vzájemnou polohu rovin:
a) ABE, CDF, b) ABE, DCG, c) ABG, DCE, d) ABC, AES GH .
Pokud jsou roviny různoběžné, urči jejich průsečnici.
a) ABE, CDF
A B
CD
E F
GH
Roviny jsou různoběžné, průsečnicí je přímka
EF.
b) ABE, DCG
A B
CD
E F
GH
Roviny jsou rovnoběžné.
c) ABG, DCE d) ABC, AES GH
3
A B
CD
E F
GH
Roviny jsou různoběžné, průsečnicí je přímka
BG AHS S .
A B
CD
E F
GH
Roviny jsou různoběžné, průsečnicí je přímka
rovnoběžná s přímkou AB ležící mimo
krychli.
Dodatek: Průsečnici rovin ABC, AES GH z bodu d) předchozího příkladu snadno najdeme,
když si nakreslíme ještě jednu krychli před krychli ABCDEFGH:
A B
CD
E F
GH
Podobně jako pro přímky i pro roviny platí:
Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.
Př. 3: Doplň větu: „Je-li ρ σ a σ τ , pak ….“
Je-li ρ σ a σ τ , pak ρ τ . ⇒ i rovnoběžnost rovin je tranzitivní.
Př. 4: Je dána rovina ρ a bod A, který v ní neleží. Kolik přímek rovnoběžných s rovinou
ρ prochází bodem A? Jaký útvar vznikne sjednocením všech takových přímek?
Bodem A prochází nekonečně mnoho přímek rovnoběžných s rovinou ρ , které dohromady
tvoří rovinu rovnoběžnou s rovinou ρ .
4
A
Př. 5: Najdi postup, jak pomocí vodováhy ověřit vodorovnou polohu desky.
Vodováha – zařízení, které určí zda je nějaký směr vodorovný (bublinka kapaliny je přesně
uprostřed okénka).
Přiložíme vodováhu k desce ve dvou různých směrech a ověříme, zda jsou oba směry
vodorovné (každý další směr už bude také vodorovný).
Př. 6: Na základě předchozích příkladů vyslov kritérium pro rovnoběžnost dvou rovin.
Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou
rovnoběžné s druhou rovinou.
Například pro roviny ρ a σ to znamená, že rovina σ obsahuje přímky p, q, které jsou
rovnoběžné s rovinou ρ .
Př. 7: Je dán čtyřstěn ABCD. Dokaž, že rovina AD BD CDS S S je rovnoběžná s rovinou ABC.
Budeme postupovat podle předchozího kritéria: najdeme v rovině AD BD CDS S S dvě různoběžné
přímky, které jsou rovnoběžné s rovinou ABC.
• Přímka AD BDS S je střední příčkou v trojúhelníku ABD ⇒ je rovnoběžná s přímkou AB
⇒ je rovnoběžná s rovinou ABC.
• Přímka BD CDS S je střední příčkou v trojúhelníku BCD ⇒ je rovnoběžná s přímkou
BC ⇒ je rovnoběžná s rovinou ABC.
Našli jsme v rovině AD BD CDS S S dvě různoběžné přímky rovnoběžné s rovinou ABC ⇒ rovina
AD BD CDS S S je rovnoběžná s rovinou ABC.
A C
B
D
SCD
SBD
SAD
Jak najdeme rovinu rovnoběžnou s rovinou ρ procházející bodem A?
5
Můžeme použít kritérium rovnoběžnosti: zvolíme v rovině ρ přímky p, q. Jejich rovnoběžky
p′ a q′ procházející bodem A určují rovnoběžnou rovinu ρ′.
Př. 8: Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Bodem B veď rovinu rovnoběžnou
s rovinou ACH.
A B
CD
E F
GH
Přímka BG je rovnoběžná s přímkou AH.
Přímka BE je rovnoběžná s přímkou CH.
Hledanou rovinou je rovina BEG.
A B
CD
E F
GH
Př. 9: Existuje celkem pět možností pro vzájemnou polohu tří rovin , ,α β γ . Najdi všechny
tyto možnosti, modeluj je v dvojici pomocí sešitů a demonstruj je pomocí tří rovin
určených vrcholy nebo středy hran standardní krychle ABCDEFGH.
tři navzájem rovnoběžné roviny
A B
CD
E F
GH
dvě rovnoběžné roviny, třetí je protíná v rovnoběžných přímkách
6
A B
CD
E F
GH
tři navzájem různoběžné roviny se společnou průsečnicí
A B
CD
E F
GH
tři navzájem různoběžné roviny se třemi rovnoběžnými průsečnicemi
A B
CD
E F
GH
tři navzájem různoběžné roviny se třemi průsečnicemi, které procházejí jedním bodem
7
A B
CD
E F
GH
Př. 10: Petáková:
strana 90/cvičení 3
strana 90/cvičení 4
strana 90/cvičení 5 c) d)
Shrnutí: