IMAk13   Matematika 3
3. konzultace


Celá čísla
u
u
u
u
u
u
u
u
uCelá čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních dvojic přirozených čísel.
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Konstrukce (C, +, . )

Na kart
é
zs
k
ém součinu

NxN definujeme binární relaci
~

(tzv.„ekvivalenci uspořádaných
dvojic přirozených čísel“):

[a,b] ~ [c,d]
Û

a + d  =  b + c


Tato relace je
reflexivní, symetrická a
tranzitivní na množině NxN

(dokažte)
.

Je tedy
relací ekvivalence na NxN a vytváří rozklad množiny NxN na třídy navzájem
ekvivalentních dvojic přirozených čísel.

Rozklad množiny NxN vytvořený relací
~

nazýváme
množinou všech celých čísel
, ozn.
C
.

Třídy rozk
ladu nazýváme
celá čísla
.

uN x N  = {[0,0], [0,1], [0,2], [0,3], ………, [0,25], ……………. ,
u       [1,0], [1,1], [1,2], [1,3], ………,
u [2,0], [2,1], [2,2], …………..  ,
u          [3,0], [3,1], [3,2], …………… ,
u           …….                                        }
u[a,b] ~ [c,d] Û    a + d  =  b + c
u[2,0] ~ [3,1] ~ [19,17] ~
uA = {[2,0] , [3,1], [4,2], [5,3], … [19,17] …….. } = [2,0] = [3,1]
uB = {[0,4] , [1,5], [2,6], …,  [101,105] …….. } = [0,4] = [3,7]
u
u

A = {[2,0] , [3,1], [4,2], [5,3], … [19,17] …….. } = [2,0] = [3,1]
B = {[0,4] , [1,5], [2,6], …,  [101,105] …….. } = [0,4] = [5,9]
A + B = [3,1] + [5,9] = [3+5,1+9] = [8,10]              = [2,4] = [0,2]             [8,10] ~ [2,4]
~ [0,2]
A . B = [3,1] . [5,9] = [3.5+1.9 , 3.9+1.5] = [24,32]
         =  [2,0] . [0,4] = [2.0+0.4 , 2.4+0.0] = [0,8]                    [24,32] ~ [0,8]


.


Vlastnosti (C, + , . )
:

+  :  ND, A, K, ZR, EN, EI

.   :  ND, A, K, EN


. D +

neexistují vlastní dělitelé nulového prvku


N
ulový prvek:

O =
[
]
·
x
x
,

=
[
]
·
0
,
0

= {[0,0], [1,1], [2,2
], ....   }

Jednotkový prvek:

J  =
[
]
·
+
x
x
,
1

=
[
]
·
0
,
1

= {[1,0], [2,1], [3,2],  ..... }


Opačné číslo  k celému číslu
A =
[
]
·
b
a
,
:
-
A  =
[
]
·
a
b
,


Roz
díl A
–

B dvou celých čísel  A, B je celé číslo  X, pro které platí  A = B + X.

Je
-
li
A =
[
]
·
b
a
,
,  B =
[
]
·
d
c
,
,


je  X
=
[
]
·
+
+
c
b
d
a
,
.

Př.  Vypočítejte X = [x,y] z rovnice A = B . X, je-li A = [9,1],  B = [5,7]
______________________________________________________________________
uA     =    B   .   X
u[9,1] = [5,7] . [x,y]
u[9,1] = [5.x + 7.y, 5.y + 7.x]   na L a P straně je totéž celé číslo, tzn. příslušné dvojice jsou
ekvivalentní
u[9,1] ~ [5.x + 7.y, 5.y + 7.x]
u9 + 5.y + 7.x  =  1 + 5.x + 7.y
u        8 + 2.x  =  2.y
u      4 + x = y   X je reprezentováno usp. dvojicemi, kde druhá složka je o 4 větší než první
složka
u     X = [0,4]        = [1,5] = [x,x+4]
uZk.:  L = [9,1]
u         P = [5,7] . [0,4] = [5.0 + 7.4, 5.4 + 7.0] = [28, 20]
u         L = P    protože [9,1] ~ [28,20]              9 + 20 = 1 + 28
u
u
u

Př.  Vypočítejte X = [x,y] z rovnice A = B . X, je-li A = [9,0],  B = [5,7]
______________________________________________________________________
uA     =    B   .   X
u[9,0] = [5,7] . [x,y]
u[9,0] = [5.x + 7.y, 5.y + 7.x]   na L a P straně je totéž celé číslo, tzn. příslušné dvojice jsou
ekvivalentní
u[9,0] ~ [5.x + 7.y, 5.y + 7.x]
u9 + 5.y + 7.x  =  0 + 5.x + 7.y
u        9 + 2.x  =  2.y     taková přirozená čísla x, y nenajdeme
u liché    ≠    sudé         X neexistuje
u
u

u  Def.   Celé číslo A = [a,b]   je
u                              -   kladné, právě když  a > b                   A je z C+
u       -   záporné, právě když a < b                  A je z C –
u       -   nulové, právě když  a = b         A = 0
u
u
u Na základě izomorfismu algebraických struktur  (C 0 + , +, .) a  (N0, +, . )  -  viz konzultace
AR1
ubudeme dále celá čísla zapisovat takto:         [x + n, x]  =  n         např. [5, 1] = 4
u [x, x + n]  = -n [1, 5] = - 4
u           [x , x]  =  0                    [5, 5] = 0
u
u
u  Def.    Celé číslo A je větší než celé číslo B, právě když   A – B  je kladné.
u                     A > B   Û  A – B Î C+

Absolutní hodnota celého čísla
uAbsolutní hodnota celého čísla a je celé číslo |a|, pro které platí:
u je-li  a > 0,  je |a| = a ,
u       je-li  a = 0,  je |a| = 0
u je-li   a < 0, je |a| = - a  (číslo opačné k a)
u

Dělení se zbytkem v C
uDělení se zbytkem  množině celých čísel je zobrazení, které každé dvojici celých čísel a, b, b ≠ 0
přiřazuje celá čísla q a r tak, že
u       a = b.q + r     ,      kde   0 ≤ r < |b|