Výroková logika
Pro připomenutí…
̶ ℕ - množina všech přirozených čísel,
̶ ℕ0 - množina všech přirozených čísel (včetně nuly),
̶ ℤ - množina všech celých čísel,
̶ ℚ - množina všech racionálních čísel,
̶ ℝ - množina všech reálných čísel.
Výrok
každé sdělení, o kterém můžeme rozhodnout, zda je pravdivé či
nepravdivé
výrok pravdivý vs. výrok nepravdivý
výrok pravdivý výrok platí pravdivostní hodnota 1
výrok nepravdivý výrok neplatí pravdivostní hodnota 0
Výroky
̶ Brno je hlavní město České
republiky.
̶ Bratislava je hlavní město
Slovenska.
̶ 5 > 3
̶ 8 + 5 = 11
̶ Král Karel IV. dostal v říjnu
1347 rýmu.
̶ Zákaz vstupu!
̶ 3 + 5 − 1
̶ Přijdeš zítra?
̶ 𝑥 > 3
Hypotézy (domněnky)
̶ výrok, u kterého nejsme v daném okamžiku schopni rozhodnout,
zda je pravdivý či nepravdivý
̶ vědecké bádání – ověření zkoumáním či experimentem
Negace výroku
„Připojíme-li před určitý výrok slova „není pravda, že“, popř.
provedeme stylistické úpravy, které mají týž význam jako uvedená
slova, dostaneme negaci výroku.“
Negace výroku - příklad
2 ∙ 5 = 10
2 ∙ 5 ≠ 10
Není pravda, že 2 ∙ 5 = 10.
Negace výroku
Negace výroku A zapisujeme jako ¬A
Je-li výrok A pravdivý, je jeho negace ¬A nepravdivá (a obráceně).
A ¬A
1 0
0 1
Složené výroky
vznikají spojením dvou nebo více výroků
tvoříme je pomocí výrokotvorných spojek
tyto spojky zapisujeme zvláštními symboly - funktory
Konjunkce výroků
spojení dvou výroků spojkou „a“ („a současně“, „a zároveň“)
označujeme 𝑨 ∧ 𝑩
pravdivá, jsou-li oba výroky A, B pravdivé
A B 𝐴 ∧ 𝐵
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjunkce výroků
spojení výroků spojkou „nebo“
značíme 𝑨 ∨ 𝑩
pravdivá, je-li pravdivý aspoň jeden z výroků A, B
A B 𝐴 ∨ 𝐵
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Ostrá disjunkce výroků
spojení výroků spojkou „buď … nebo“
značíme 𝑨 ∨ 𝑩
pravdivá, je-li pravdivý právě jeden z výroků A, B
A B 𝑨 ∨ 𝑩
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Implikace výroků
Implikace výroků A, B je nepravdivá, jestliže první výrok je pravdivý
a současně druhý nepravdivý. V ostatních případech je implikace
pravdivá.
𝑨 ⇒ 𝑩
A B 𝑨 ⇒ 𝑩
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Ekvivalence výroků
výroky spojené pomocí „tehdy a jen tehdy, když“ nebo „právě tehdy,
když“
𝑨 ⇔ 𝑩
A B 𝑨 ⇔ 𝑩
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Složené výroky a jejich využití
abeceda výrokové logiky
výroková formule
matematizace reálné situace
tautologie, kontradikce, splnitelná formule
abeceda výrokové logiky
znaky pro výrokové proměnné A, B
znaky pro konstanty 1, 0 (pravdivý, nepravdivý)
znaky pro funktory
závorky
Výroková formule / složený výrok
Každá výroková proměnná A, B, C, … je výrokovou formulí.
Konstanty 1, 0 jsou výrokové formule.
Jestliže některé výrazy X, Y jsou výrokovými formulemi, potom i ¬X,
¬Y, X ∧ Y, X ∨ Y, X ∨ Y, X ⇒ Y, X⇔ Y jsou výrokové formule.
Žádné jiné výrazy nejsou výrokové formule.
Tabulka pravdivostních hodnot
dva výroky (A, B) – 4 řádky
tři výroky (A, B, C) – 8 řádků
obecně: Jestliže výroků je n, pak tabulka pravdivostních hodnot
obsahuje 2n řádků.
Tautologie
Výroková formule, která je vždy pravdivá pro jakékoliv pravdivostní
hodnoty výrokových proměnných, se nazývá tautologie.
Kontradikce
Výroková formule, která je vždy nepravdivá pro všechny
pravdivostní hodnoty výrokových proměnných, se nazývá
kontradikce.
Splnitelná formule
Výroková formule, která je pro některé pravdivostní hodnoty
výrokových proměnných pravdivá a pro jiné pravdivostní hodnoty
výrokových proměnných nepravdivá, se nazývá splnitelná formule.
Logicky ekvivalentní výroky
Jestliže dva složené výroky mají stejné sloupce pravdivostních
hodnot, říkáme, že jsou logicky ekvivalentní (rovnocenné).
Výroková formule X je logicky ekvivalentní s výrokovou formulí Y
právě tehdy, když 𝑋 ⇔ 𝑌 je tautologií. Logicky ekvivalentní formule
X, Y budeme zapisovat 𝑋~𝑌.
Příklad
V dílně pracují tři stroje, dle následujících podmínek :
a) Pracuje-li první stroj, pracuje i druhý stroj.
b) Pracuje druhý nebo třetí stroj.
c) Jestliže nepracuje první stroj, pak nepracuje ani třetí stroj.
Jak pracují jednotlivé stroje ?
A B C ¬A ¬C A B B C ¬A ¬C K
1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0 1 0
Příklad
(3  7)  (7 11)  (111 111)
Příklad
(3  7)  (7 11)  (111 111)
1 0 1
Příklad
(3  7)  (7 11)  (111 111)
1 0 1
0
Příklad
(3  7)  (7 11)  (111 111)
1 0 1
0
0
Příklad
¬(7 91)  (13 není sudé)  (1 je prvočíslo)
Příklad
 ¬(7 91)  (13 není sudé)  (1 je prvočíslo)
0 1 0
Příklad
 ¬(7 91)  (13 není sudé)  (1 je prvočíslo)
0 1 0
1
Příklad
 ¬(7 91)  (13 není sudé)  (1 je prvočíslo)
0 1 0
1
0
Příklad
Určete tabulkovou metodou, jak závisí pravdivost či nepravdivost
následujících výrokových formulí na pravdivosti či nepravdivosti
výroků A, B:
a) A  (B  A) b) ¬(A  B) (¬A B) c) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
Příklad
a) A  (B  A)
A B B  A A  (B  A)
1 1
1 0
0 1
0 0
Příklad
a) A  (B  A)
A B B  A A  (B  A)
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
Příklad
a) A  (B  A)
A B B  A A  (B  A)
1 1 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
Příklad
b) ¬(A  B) (¬A B)
A B ¬A (A  B) ¬(A  B) (¬A B) ¬(A  B) (¬A B)
1 1
1 0
0 1
0 0
Příklad
b) ¬(A  B) (¬A B)
A B ¬A (A  B) ¬(A  B) (¬A B) ¬(A  B) (¬A B)
1 1 0
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Příklad
b) ¬(A  B) (¬A B)
A B ¬A (A  B) ¬(A  B) (¬A B) ¬(A  B) (¬A B)
1 1 0 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 0
Příklad
b) ¬(A  B) (¬A B)
A B ¬A (A  B) ¬(A  B) (¬A B) ¬(A  B) (¬A B)
1 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 1 1 0
0 0 1 0 1
Příklad
b) ¬(A  B) (¬A B)
A B ¬A (A  B) ¬(A  B) (¬A B) ¬(A  B) (¬A B)
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 1
0 0 1 0 1 0
Příklad
b) ¬(A  B) (¬A B)
A B ¬A (A  B) ¬(A  B) (¬A B) ¬(A  B) (¬A B)
1 1 0 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0
Příklad
c) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
A B ¬A ¬B (¬A  ¬B) (A  B) ¬(A  B) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
1 1
1 0
0 1
0 0
Příklad
c) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
A B ¬A ¬B (¬A  ¬B) (A  B) ¬(A  B) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
1 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
Příklad
c) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
A B ¬A ¬B (¬A  ¬B) (A  B) ¬(A  B) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
1 1 0 0 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
Příklad
c) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
A B ¬A ¬B (¬A  ¬B) (A  B) ¬(A  B) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 0 1
Příklad
c) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
A B ¬A ¬B (¬A  ¬B) (A  B) ¬(A  B) (¬A  ¬B)  ¬(A  B)
1 1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1
Příklad
Nacházíte se na ostrově padouchů a poctivců. Padouši vždy lžou,
poctivci vždy mluví pravdu. Dva domorodci pronesou následující
výroky:
A: „Oba jsme poctivci.“
B: „A je padouch.“
Jakou povahu mají domorodci A a B?
Příklad
Nacházíte se na ostrově padouchů a poctivců. Padouši vždy lžou, poctivci vždy mluví pravdu.
Dva domorodci pronesou následující výroky:
A: „Oba jsme poctivci.“
B: „A je padouch.“
Jakou povahu mají domorodci A a B?
Příklad
Některý z žáků A, B, C rozbil okno. Je zjištěno, že v té době nebyl u
okna žák A nebo u něho nebyl žák B. Když B nebyl u okna, nebyl
tam ani A. Žák C byl u okna právě tehdy, když u něho nebyl žák A.
Lze určit pachatele jednoznačně v případě, že byl právě jeden?
Příklad
Některý z žáků A, B, C rozbil okno. Je zjištěno, že v té době nebyl u
okna žák A nebo u něho nebyl žák B. Když B nebyl u okna, nebyl
tam ani A. Žák C byl u okna právě tehdy, když u něho nebyl žák A.
Lze určit pachatele jednoznačně v případě, že byl právě jeden?
Příklad
Některý z žáků A, B, C rozbil okno. Je zjištěno, že v té době nebyl u
okna žák A nebo u něho nebyl žák B. Když B nebyl u okna, nebyl
tam ani A. Žák C byl u okna právě tehdy, když u něho nebyl žák A.
Lze určit pachatele jednoznačně v případě, že byl právě jeden?
Příklad
Jan, Karel a Petr se dohodli, že půjdou na brigádu za těchto
podmínek:
a) Půjde-li na brigádu Karel, půjde i Petr
b) Nepůjde-li na brigádu Jan, nepůjde ani Petr
c) Na brigádu půjde Jan nebo Karel
Jaké jsou možnosti účasti těchto tří na brigádě?
Příklad
Jan, Karel a Petr se dohodli, že půjdou na brigádu za těchto podmínek:
a) Půjde-li na brigádu Karel, půjde i Petr
b) Nepůjde-li na brigádu Jan, nepůjde ani Petr
c) Na brigádu půjde Jan nebo Karel
Jaké jsou možnosti účasti těchto tří na brigádě?
K J P ¬J ¬P KP ¬J¬P JK (KP)(¬J¬P)(JK)
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Příklad
Jan, Karel a Petr se dohodli, že půjdou na brigádu za těchto podmínek:
a) Půjde-li na brigádu Karel, půjde i Petr
b) Nepůjde-li na brigádu Jan, nepůjde ani Petr
c) Na brigádu půjde Jan nebo Karel
Jaké jsou možnosti účasti těchto tří na brigádě?
K J P ¬J ¬P KP ¬J¬P JK (KP)(¬J¬P)(JK)
1 1 1 0 0
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
Příklad
Jan, Karel a Petr se dohodli, že půjdou na brigádu za těchto podmínek:
a) Půjde-li na brigádu Karel, půjde i Petr
b) Nepůjde-li na brigádu Jan, nepůjde ani Petr
c) Na brigádu půjde Jan nebo Karel
Jaké jsou možnosti účasti těchto tří na brigádě?
K J P ¬J ¬P KP ¬J¬P JK (KP)(¬J¬P)(JK)
1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0
Příklad
Jan, Karel a Petr se dohodli, že půjdou na brigádu za těchto podmínek:
a) Půjde-li na brigádu Karel, půjde i Petr
b) Nepůjde-li na brigádu Jan, nepůjde ani Petr
c) Na brigádu půjde Jan nebo Karel
Jaké jsou možnosti účasti těchto tří na brigádě?
K J P ¬J ¬P KP ¬J¬P JK (KP)(¬J¬P)(JK)
1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0
1 0 1 1 0 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0
Příklad
Určete pravdivostní hodnoty složených výroků
¬(A  B) a ¬A¬B a porovnejte je.
Oba složené výroky mají stejné sloupce pravdivostních hodnot říkáme,
že jsou logicky ekvivalentní (rovnocenné).
A B ¬A ¬B A B ¬(A B ) ¬A  ¬B
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1
Tautologie
Tautologie výrokové logiky jsou v podstatě „větami“ výrokové logiky. Ve výrokové logice máme
celou řadu takových vět:
(𝐴  𝐵) ~ (𝐵  𝐴) komutativnost konjunkce
(𝐴  𝐵) ~ (𝐵  𝐴) komutativnost disjunkce
𝐴  𝐵  𝐶 ~ 𝐴  (𝐵  𝐶) asociativnost konjunkce
(𝐴 𝐵)  𝐶 ~ 𝐴  (𝐵  𝐶) asociativnost disjunkce
(𝐴  𝐵)  𝐶 ~ (𝐴 𝐶)  (𝐵  𝐶) distributivnost disjunkce vzhledem ke konjunkci
(𝐴  𝐵)  𝐶 ~ (𝐴  𝐶)  (𝐵  𝐶) distributivnost konjunkce vzhledem k disjunkci
Tautologie
¬(¬𝐴) ~ 𝐴 zákon dvojité negace
𝐴  ¬𝐴 ~ 1 zákon vyloučení třetí možnosti
𝐴  ¬𝐴 ~ 0 zákon sporu
(𝐴  𝐵) ~ (¬𝐴  𝐵) nahrazení implikace pomocí negace a disjunkce
(𝐴 ⇔ 𝐵) ~ (𝐴  𝐵)  (𝐵  𝐴) nahrazení ekvivalence pomocí implikace a konjunkce
¬(𝐴  𝐵) ~ (¬𝐴  ¬𝐵) de Morganův zákon
¬(𝐴  𝐵) ~ (¬𝐴  ¬𝐵) de Morganův zákon
(𝐴  𝐵) ~ (¬𝐵  ¬𝐴) nahrazení implikace implikací obměněnou
Predikátová logika
Výroková forma (predikáty)
vyjádření, které obsahují jeden nebo i více blíže neurčených údajů
proměnné
např. student X, 𝑥 < 3
výrokové formy značíme 𝐴(𝑥), 𝐵 (𝑥, 𝑦), atd.
𝐴(𝑥) … výroková forma o jedné proměnné x
𝐵(𝑥, 𝑦) … výroková forma o dvou proměnných x, y
např.
𝐴(𝑥): 𝑥 < 5
𝐵(𝑥, 𝑦): 𝑥 > 𝑦
Př.
Je dána výroková forma 𝐴(𝑥): 𝑥 < 5.
Jestliže za x dosadíme číslo 4, dostaneme výrok 4 < 5, který je
pravdivý.
Dosadíme-li za x číslo 7, dostaneme nepravdivý výrok 7 < 5.
Jestliže za x dosadíme slovo lavice, dostaneme sdělení, které nemá
smysl.
Definiční obor, obor pravdivosti
Definičním oborem D výrokové formy A(x) o jedné proměnné x rozumíme
množinu D, pro jejíž libovolný prvek d platí, že A(d) je výrok.
Po dosazení prvku z D za proměnnou dostáváme výrok, který nazýváme
individuální. Ten může být pravdivý nebo nepravdivý.
Oborem pravdivosti A výrokové formy A(x) jedné proměnné x je podmnožina
definičního oboru D, pro jejíž libovolný prvek a platí, že A(a) je pravdivý výrok.
Př.
Na definičním oboru 𝐷 = {1, 2, 3, … , 15} jsou definovány výrokové
formy 𝐴(𝑥): 5𝑥 a 𝐵(𝑥): 3𝑥. Nalezněte obory pravdivosti
složených výrokových forem:
a) ¬𝐴(𝑥) b) 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) c) 𝐴(𝑥)  𝐵(𝑥)
Př.
Řešení:
Oborem pravdivosti výrokové formy A(x) je množina 𝐴 = {5, 10, 15 }.
Oborem pravdivosti výrokové formy B(x) je množina 𝐵 = {3, 6, 9, 12, 15 }.
Př.
Řešení:
a) Oborem pravdivosti výrokové formy ¬𝐴(𝑥) je množina
{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14 }.
b) Oborem pravdivosti složené výrokové formy 𝐴(𝑥)  𝐵(𝑥) je
množina {15}.
c) Oborem pravdivosti 𝐴(𝑥)  𝐵(𝑥) je množina {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 }.
Složené výrokové formy (predikátové
formule)
konjunkce
disjunkce
implikace
ekvivalence
Konjunkce výrokových forem
Konjunkcí výrokových forem A(x), B(x) o jedné proměnné x s týmž
definičním oborem rozumíme výrokovou formu téže proměnné x s
týmž definičním oborem, kterou zapisujeme 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥) a z níž
vznikne pravdivý výrok právě tehdy, když za proměnnou x
dosadíme kterýkoliv prvek z definičního oboru, který dává pravdivé
výroky po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x).
Disjunkce výrokových forem
Disjunkcí výrokových forem A(x), B(x) o jedné proměnné x s týmž
definičním oborem rozumíme výrokovou formu téže proměnné x
nad týmž definičním oborem, kterou zapisujeme 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥) a u níž
vznikne pravdivý výrok právě tehdy, když za proměnnou x
dosadíme kterýkoli prvek z definičního oboru, který dává pravdivý
výrok po dosazení aspoň do jedné z výrokových forem A(x), B(x).
Implikace výrokových forem
Implikací výrokových forem A(x), B(x) o jedné proměnné x s týmž
definičním oborem rozumíme výrokovou formu téže proměnné x
nad týmž definičním oborem, kterou zapisujeme 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥) a u níž
vznikne pravdivý výrok právě tehdy, když za proměnnou x
dosadíme kterýkoli prvek z definičního oboru, který dává nepravdivý
výrok po dosazení do výrokové formy A(x) (na pravdivosti výroku
po dosazení do výrokové formy B(x) nezáleží) a jestliže po
dosazení do výrokové formy A(x) i B(x) dává výrok pravdivý.
Ekvivalence výrokových forem
Ekvivalencí výrokových forem A(x), B(x) o jedné proměnné x s týmž
definičním oborem rozumíme výrokovou formu téže proměnné x
nad týmž definičním oborem, kterou zapisujeme 𝐴(𝑥)  𝐵(𝑥) a z
níž vznikne pravdivý výrok právě tehdy, když za proměnnou x
dosadíme kterýkoli prvek z definičního oboru, který dává výroky ze
stejnou pravdivostní hodnotou po dosazení do obou výrokových
forem A(x), B(x).
Kvantifikovaný výrok
Př.
Uvažujte výrokovou formu s jednou proměnnou 𝐴(𝑥): 𝑥 < 5, kde 𝑥  𝑁,
připojte k ní po řadě sousloví "pro každé", "existuje aspoň jedno".
Řešení:
Dostaneme kvantifikované výroky:
a) Pro každé 𝑥  𝑁 platí 𝑥 < 5.
Tento výrok je nepravdivý, neboť např. pro 𝑥 = 10, není pravda, že 𝑥 < 5.
b) Existuje aspoň jedno 𝑥  𝑁 takové, že platí 𝑥 < 5.
Tento výrok je pravdivý, neboť např. číslo 3 je menší než číslo 5.
Kvantifikovaný výrok
Sousloví „pro každé“ budeme nazývat obecný kvantifikátor a značit symbolem
, sousloví „existuje aspoň jedno“ budeme nazývat existenční kvantifikátor a
značit .
Máme-li výrokovou formu A(x) s proměnnou x a definičním oborem D, potom
kvantifikací výrokové formy A(x) rozumíme připojení jednoho z kvantifikátorů
před výrokovou formu A(x).
a) 𝑥  𝐷 𝐴(𝑥) - čteme: Pro každé (pro libovolné, pro všechna) x z množiny D
platí A(x). Uvedený výrok se nazývá výrok obecný.
b) 𝑥  𝐷 𝐴(𝑥) - čteme: Existuje aspoň jedno x z množiny D tak, že platí A(x).
Uvedený výrok se nazývá výrok existenční.
Př.
Na definičním oboru 𝐷 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} je dána výroková forma 𝐴(𝑥): 5𝑥. Určete
pravdivostní hodnotu kvantifikovaného výroku.
a) 𝑥  𝐷 𝐴(𝑥)
b)  𝑥  𝐷 𝐴(𝑥)
Řešení:
a) Pravdivost obecného výroku 𝑥  𝐷 5𝑥 lze chápat jako zkratku pravdivostí výroku
[(51)  (52)  (53)  (54)  (55)  (56)  (57)  (58)  (59)  (510)].
Konjunkce je nepravdivá, tedy x  D 5x je nepravdivý výrok.
b) Pravdivost existenčního výroku  𝑥  𝐷 5𝑥 lze chápat jako zkratku pravdivosti výroku
[(51)  (52)  (53)  (54)  (55)  (56)  (57)  (58)  (59)  (510)].
Disjunkce je pravdivá, tedy  𝑥  𝐷  5𝑥 je pravdivý výrok.
Z výrokové formy můžete tvořit výroky:
dosazením za proměnnou z definičního oboru → vytvořený výrok
se nazývá
individuální výrok
kvantifikací → vytvořený výrok se nazývá kvantifikovaný výrok
Negace kvantifikovaného výroku
Všechna okna v této místnosti jsou zavřena. Negujte tento obecný
kvantifikovaný výrok.
Řešení:
Není pravda, že všechna okna v této místnosti jsou zavřena.
Znamená to, že existuje aspoň jedno okno v této místnosti, které
není zavřeno.
Negace kvantifikovaného výroku
Negujte kvantifikované výroky a) x  N; x < 5, b)  x  N; x < 5.
Určete pravdivostní hodnoty výroků i jejich negací.
Řešení:
a) ¬[ 𝑥  𝑁; 𝑥 < 5 ]   𝑥  𝑁; 𝑥  5
Výrok 𝑥  𝑁; 𝑥 < 5 je nepravdivý, jeho negace  𝑥  𝑁; 𝑥  5 je
pravdivá.
b) ¬[ 𝑥  𝑁; 𝑥 < 5 ]  𝑥  𝑁; 𝑥  5
Výrok  𝑥  𝑁; 𝑥 < 5 je pravdivý, jeho negace  𝑥  𝑁; 𝑥  5 je
nepravdivá.
Negace kvantifikovaného výroku
Kvantifikovaný výrok negujeme tak, že zaměníme kvantifikátor a
negujeme výrokovou formu.
¬[ 𝑥  𝑀 𝐴(𝑥)]   𝑥  𝑀; ¬𝐴(𝑥)
¬[ 𝑥  𝑀 𝐴(𝑥)]  𝑥  𝑀; ¬𝐴(𝑥)