Seminář k didaktice matematiky IMAp07 podzimní semestr 2022 1. setkání Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Doporučená literatura 1.BLAŽKOVÁ, Růžena, Květoslava MATOUŠKOVÁ a Milena VAŇUROVÁ. Kapitoly z didaktiky matematiky (slovní úlohy, projekty). Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2002. 84 s. ISBN 80-210-3022-4. 2.BLAŽKOVÁ, Růžena, Květoslava MATOUŠKOVÁ a Milena VAŇUROVÁ. Slovní úlohy na 1. stupni ZŠ. první. Brno: PdF MU, 1998. 43 s. 3.BLAŽKOVÁ, Růžena, Květoslava MATOUŠKOVÁ a Milena VAŇUROVÁ. Texty k didaktice matematiky pro studium učitelství 1. stupně základní školy. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1992. 78 s. ISBN 8021004681. 4.BLAŽKOVÁ, Růžena. Didaktika matematiky se zaměřením na specifické poruchy učení. Brno. MU 2017. 5.KUŘINA, František. Umění vidět v matematice. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1990. 247 s. ISBN 8004237533. 6.Predškolská a elementárna pedagogika. Edited by Zuzana Kolláriková - Branislav Pupala. Vyd. 1. Praha: Portál, 2001. 455 s. ISBN 80 7.VAŇUROVÁ, Milena a Růžena BLAŽKOVÁ. Didaktika matematiky 1 [online e-learningový kurz]. 2005. 8.HEJNÝ, Milan a František KUŘINA. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Vyd. 1. Praha: Portál, 2001. 187 s. ISBN 80-7178-581-4. 9.BLAŽKOVÁ, Růžena, Květoslava MATOUŠKOVÁ, Milena VAŇUROVÁ a Miloslav BLAŽEK. Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy. 2000. 93 s. ISBN 80-85931-89-3. 10.DIVÍŠEK, J a kol. Didaktika matematiky pro studium učitelství 1. stupně ZŠ. Praha: SPN, 1989. Doporučená literatura Ø Učebnice matematiky pro 1. stupeň ZŠ včetně jejich metodických příruček nakladatelství • Ø Alter Ø Studio 1 + 1 Ø Didaktis Ø Nová škola Ø a další • Učebnice matematiky pro 1. ročník nakladatelství Alter Učebnice matematiky pro 1. ročník nakladatelství Studio 1 + 1 Obsah obrázku podepsat, text, fotka, box Popis byl vytvořen automaticky Učebnice matematiky pro 1. ročník nakladatelství Didaktis Učebnice matematiky pro 1. ročník H-mat Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Hledejte odpovědi na otázky: • • •Co je to číslo? •Co je to číslice? •Co je to číslovka? • • Význam čísla • •Množství •Pořadí •Adresa •Kód •Veličina •Operátor • • Číslo – čísla přirozená • •V matematice – přirozená čísla se budují pomocí čísel kardinálních, ordinálních, prvků Peanovy množiny •Jak se vytváří pojem čísla u dětí? •Kdy dochází k potřebné abstrakci? • • Zápis čísla – číslice, cifra • •Číslice je znak k zápisu čísla. Používáme 10 znaků (nula, jednička, dvojka, … devítka). •Desítka není číslice, k zápisu čísla 10 (a větších) používáme dvě (několik) číslic. •Na prvním stupni je třeba rozlišovat pojmy číslo, číslice, tj. kdy hovoříme o „čárách na papíru“ nebo kdy hovoříme o počtu prvků. • • Čtení čísel - číslovky • •Číslovka je slovní druh, řídí se pravidly českého pravopisu •Je třeba věnovat pozornost správnému vyjadřování (nikdy dvěmi nebo dvoumi, ale dvěma, nikdy třema, ale třemi) •Správné skloňování číslovek • • Otázky: • • • Co je to číslo 4 ? • Otázky: • • • Proč je přirozené číslo 3 menší • než číslo 5? • Otázky: • • •Jak vysvětlíme, že 3 . 4 = 12 ? • Otázky: • • • Co je „úsečka KL“? • Shrnutí otázek • •Jaký je rozdíl mezi číslem, číslicí a číslovkou? •Co je to číslo 4? •Proč je přirozené číslo 3 menší než přirozené číslo 5? •Jak vysvětlíme, že 3 . 4 = 12 ? •Co je „úsečka KL“? • • • • Učivo na 1. stupni - matematika •Aritmetika •Geometrie • • Matematika na 1. stupni – oblast ARITMETIKA •Přirozená čísla – seznámení se s přirozenými čísly, jejich zápisem v desítkové soustavě, porovnávání přirozených čísel, operace s přirozenými čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení) - polookruh přirozených čísel (ℕ, + , · ּּ) •Zlomky •Desetinná čísla • • Předčíselné představy dětí před příchodem na ZŠ •RVP MŠ očekávané výstupy: •Dítě by mělo •„chápat základní číselné a matematické pojmy, elementární matematické souvislosti a podle potřeby je prakticky využívat (porovnávat, uspořádávat a třídit soubory předmětů podle určitého pravidla, orientovat se v elementárním počtu cca do šesti, chápat číselnou řadu v rozsahu první desítky, poznat více, stejně, méně, první, poslední apod.)“ • • • Předčíselné představy dětí před příchodem na ZŠ •Výroková logika •Děti uvažují o pravdivosti pronesených výroků a seznamují se s vlastnostmi předmětů - barva, tvar, velikost,.. Vytváření smyslu pro pravdivé poznání a přispívá k rozumové (i mravní) výchově. • •Třídění (relace ekvivalence) •Děti řeší úkoly typu: •„polož modré kostky vpravo a červené vlevo“ •„polož modré kostky vpravo a kostky, které nejsou modré, polož vlevo“ •„roztřiď plody na ovoce a zeleninu“ •„roztřiď hračky na ty, co jsou Aničky a na ty, co jsou Pepíčka“ •„polož na stůl všechny červené kostky a všechny ostatní dej do košíku“ • • • • Předčíselné představy dětí před příchodem na ZŠ •Uspořádání (relace uspořádání) •Děti se seznamují se vztahy: větší, menší, vyšší, nižší, mladší, starší, dříve, později, před, za,… Konkrétní situace ve třídě – uspořádané množiny, poznávají první a poslední prvek uspořádané množiny. • •Vztahy stejně/ne stejně, více/méně (porovnávání) •Tvoření dvojic pro zjištění vztahu více/méně/stejně – modeluje se na početnějších skupinách a ukazuje se i „nesprávné“ přiřazování • • • Vytváření pojmu přirozeného čísla • • • •Proces vytváření pojmu přirozeného čísla ve školské matematice je zahrnut do oblasti „numerace“. •Numerace v oboru přirozených čísel – vybudování pojmu přirozeného čísla a zvládnutí dalších vlastností, aby žák uměl: •Počítat předměty v dané skupině •Vytvořit skupinu o daném počtu prvků •Psát číslice, zapisovat čísla •Orientovat se v číselných řadách •Znázornit čísla na číselné ose •Porovnávat čísla •Zaokrouhlovat čísla • Vytváření pojmu přirozeného čísla •Z historického hlediska prošel pojem čísla složitým vývojem – člověk při jeho vybudování musel abstrahovat od viditelných vlastností předmětů a chápat vlastnosti vyžadující vyšší stupeň abstrakce •Proces, který se odehrál v historii probíhá analogicky při budování pojmu čísla u dětí a souvisí s vysokým stupněm abstrakce, neboť dítě musí přestat vnímat viditelné vlastnosti předmětů (tvar, velikost, barva atd.) a musí začít chápat, že mezi skupinami objektů existuje něco společného, což nesouvisí s viditelnými vlastnostmi objektů. • • • • Vytváření pojmu přirozeného čísla •K tomu, aby dítě pochopilo pojem čísla, musí mít hodně zkušeností, které mu dovolí pochopit, co je to „2“ nebo „3“ bez konkrétních předmětů. •V době, kdy dítě neumí ještě počítat předměty, umí přiřazovat předměty předmětům (např. na stole přiřadí při prostírání každému talířku lžičku, vidličku, nůž apod.). Při kreslení umí znázornit situaci, kdy přiřadí například každému dítěti balonek apod. Dítě tak poznává vlastnost charakteristickou pro skupiny objektů: Každému prvku (objektu) dané skupiny je přiřazen právě jeden prvek (objekt) druhé skupiny. Prvky obou skupin umí dítě jednoznačně přiřadit. U dítěte tak vzniká předpoklad pro chápání pojmu „stejně“. • • • • 1. Zavedení čísel 1 - 5 • • Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Vytváření pojmu přirozeného čísla • • • • •Dítě si postupně uvědomuje, že skupiny, jejichž předměty lze jednoznačně přiřadit, mají stejný počet prvků a vůbec nezáleží na jejich vlastnostech •Zpočátku: přiřazování konkrétních objektů •Později: přiřazování zástupců těchto objektů •Při tomto přiřazování se snažíme, aby děti abstrahovaly od specifických vlastností daných objektů ve skupině a soustředily se pouze na podstatnou vlastnost těchto skupin, tj. všechny sledované skupiny mají stejně prvků a určují přirozené číslo. •Jestliže chceme vytvořit například pojem čísla pět, vytváříme různé skupiny prvků tak, že každá skupina má stejný počet prvků jako zvolená. Vytváření pojmu přirozeného čísla • • • • •Postupně by se měl u dítěte vytvořit takový stupeň abstrakce, že při vyslovení pojmu „pět“ nebo při přečtení zápisu „5“ nemusí vidět žádné konkrétní objekty a chápe je jako celou třídu skupin o daném počtu prvků. •„Předčíselné představy“ – podněty a situace od nejranějšího věku – hry, třídění, obrázky, kreslení, přiřazování Vytváření pojmu přirozeného čísla • • • • Přirozené číslo je abstraktní pojem a abychom s ním mohli pracovat, musíme ho označit a pojmenovat. Čísla zapisujeme pomocí znaků – číslic (například „5“) a čteme jej slovy (například „pět“). 1. Zavedení čísel 1 - 5 •Teoretický základ pro zavedení přirozených čísel: • •Přirozená čísla zavádíme na ZŠ jako 1.kardinální čísla konečných množin 2.ordinální čísla konečných dobře uspořádaných množin 3.prvky Peanovy množiny • • 1. Zavedení čísel 1 - 5 1.Přirozené číslo jako kardinální číslo konečných množin •Kardinální číslo |A| množiny A je třída, do které patří množina A z neprázdného systému množin M a všechny množiny, které jsou s množinou A ekvivalentní. •Množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté zobrazení množiny A na množinu B, značíme A ∼ B (tj. |A| = |B|). •Kardinální číslo množiny A (značíme |A| = a) je tedy třída, která obsahuje množinu A ze systému konečných množin M a všechny množiny, které mají stejný počet prvků jako množina A. • • • 1. Zavedení čísel 1 - 5 1.Přirozené číslo jako kardinální číslo konečných množin • •Chceme vytvořit například pojem čísla čtyři (tj. |A| = 4), pak se žáky tuto situaci modelujeme. •Tento způsob uplatňujeme, pokud množiny mají „malý počet prvků“ •Počet prvků dané množiny určíme pouhým pohledem • 1. Zavedení čísel 1 - 5 • • Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky 1. Zavedení čísel 1 - 5 1.Přirozené číslo jako kardinální číslo konečných množin • • 1. Zavedení čísel 1 - 5 •2. Přirozené číslo jako ordinální číslo konečných dobře uspořádaných množin • Ordinální číslo ordA dobře uspořádané množiny A je třída, do které patří množina A z neprázdného systému M dobře uspořádaných množin a všechny množiny, které jsou s množinou A podobné. • Tento způsob zavádíme, když • není snadné určit počet prvků • pouhým pohledem, ale • počítáním po jedné • 1. Zavedení čísel 1 - 5 •2. Přirozené číslo jako ordinální číslo konečných dobře uspořádaných množin • • •Prakticky určíme počet prvků dané množiny tak, že množinu dobře uspořádáme a zobrazíme ji do dobře uspořádané množiny číslovek (jedna, dvě, tři, čtyři, pět,…) – každý prvek označíme číslovkou. Poslední použitá číslovka určuje přirozené číslo udávající počet prvků dané množiny. 1. Zavedení čísel 1 - 5 •3. Přirozené číslo jako prvek Peanovy množiny • • •Množina P se nazývá Peanova množina, jestliže má tyto vlastnosti: 1.Ke každému prvku x ∈ P existuje právě jeden prvek x´ ∈ P; prvek x´ se nazývá následovník prvku x. 2.Množina P obsahuje prvek e, který není následovníkem žádného prvku množiny P. 3.Každé dva různé prvky množiny P mají různé následovníky. 4.Axiom indukce: Jestliže pro nějakou množinu M platí: a)Obsahuje prvek e, b)Obsahuje-li prvek x ∈ P, obsahuje i jeho následovníka x´ ∈ P, Pak platí M = P. a) •Ke skupině prvků o počtu, který byl naposled probrán a procvičen, přidáme jeden prvek 1. Zavedení čísel 1 - 5 •3. Přirozené číslo jako prvek Peanovy množiny • • •Ke skupině prvků o počtu, který byl naposled probrán a procvičen, přidáme jeden prvek • • 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 … … 2. Porovnávání přirozených čísel • •Učitel si jasně zformuluje cíl: Děti porozumí principu porovnávání přirozených čísel •Téma: Porovnávání přirozených čísel •Uvědomím si, jaké znalosti by děti měly mít, aby nové téma pochopily: číselná řada do 10, znázornění množiny o daném počtu prvků, určení počtu prvků dané množiny •Připravím si motivační úlohu 2. Porovnávání přirozených čísel • •Motivační úloha •Pepíček dostal modré kostky a •Anička dostala červené kostky. •Kdo dostal více kostek? 2. Porovnávání přirozených čísel • •Přirozená čísla porovnáváme stejně jako kardinální čísla konečných množin. •Je-li |A| ≠ |B| a množina A je ekvivalentní s vlastní podmnožinou B´ množiny B, pak říkáme, že |A| je menší než |B| a zapisujeme |A| < |B|. Také lze říci, že |B| je větší než |A|. •Označíme-li |A| = a, |B| = b, pak a < b. A B 2. Porovnávání přirozených čísel • •Obrázek: |A|= 4, |B|= 6, B´ je vlastní podmnožinou množiny B, přičemž A ∼ B´. |A| < |B|, tedy 4 < 6 •K porovnávání kardinálních čísel využíváme prostého zobrazení množiny A do množiny B. A B B´ A ∼ B´ 2. Porovnávání přirozených čísel • •Motivační úloha •Pepíček dostal modré kostky a •Anička dostala červené kostky. •Kdo dostal více kostek? Obsah obrázku čtverec Popis byl vytvořen automaticky 2. Porovnávání přirozených čísel •Metodický postup při porovnávání přirozených čísel: • • zobrazení z množiny A do množiny B • • porovnávání množin • • porovnávání přirozených čísel •Relaci R z množiny A do množiny B nazveme zobrazení z množiny A do množiny B právě tehdy, když ke každému a ∈ A existuje nejvýše jeden prvek b ∈B takový, že [a,b] ∈ R. 2. Porovnávání přirozených čísel 2. Porovnávání přirozených čísel 1.Zobrazení z množiny A na množinu B • •Říkáme, že množina A má více prvků •než množina B. • 2. Porovnávání přirozených čísel •2. Zobrazení množiny A do množiny B • •Říkáme, že množina A má méně prvků •než množina B. • Obsah obrázku čtverec Popis byl vytvořen automaticky 2. Porovnávání přirozených čísel •3. Zobrazení množiny A na množinu B • •Říkáme, že množina A má stejně prvků •jako množina B. • 2. Porovnávání přirozených čísel • •A - množina všech modrých kostek •B – množina všech červených kostek • • Zobrazení množiny A do množiny B • • |A| < |B| |A| = 4 |B|= 5 • 4 < 5 •Množina A má méně prvků než množina B, tj. •Pepíček má měně kostek než Anička. • Obsah obrázku čtverec Popis byl vytvořen automaticky 2. Porovnávání přirozených čísel Toto není příklad prostého zobrazení Toto není zobrazení Chyby žáků při porovnávání: 2. Porovnávání přirozených čísel – vybrané úlohy z učebnic matematiky pro 1. ročník 2. Porovnávání přirozených čísel •K porovnávání přirozených čísel využíváme znázornění na číselné ose. Přirozená čísla znázorňujeme pomocí bodů na polopřímce (vodorovné). •Porovnávání násobků čísla 10 – využívá se grafického znázornění ve čtvercové síti •Porovnávání přirozených čísel pomocí vztahů „n krát více“, „n krát méně“ •Porovnávání přirozených čísel pomocí zápisu v desítkové soustavě • • 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel •Sčítání přirozených čísel vyvozujeme ze sčítání kardinálních čísel •|A| + |B| = |A ⋃ B|, kde A ꓵ B = ø. • • • • • • • 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel do 10 •Učitel si jasně zformuluje cíl: Děti porozumí principu sčítání do 10 •Téma: Sčítání přirozených čísel do 10 •Jaké znalosti mají mít děti, aby novou látku pochopily: číselná řada do 10, určení počtu prvků dané množiny, znázornění množiny o daném počtu prvků •Připravím si motivační úlohu • • • • • 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel do 10 •Úloha: •Pepíček má 3 jablíčka a Anička má 2 jablíčka. Kolik jablíček mají dohromady? • •Potřeba modelovat situaci s reálnými předměty (každé dítě samo za sebe). Tři jablíčka a dvě jablíčka. Po jedné spočítáme, že děti mají celkem 5 jablíček. • • • • •Úlohu si znázorníme univerzálním modelem – počitadlo. • • • • • Tuto situaci mají děti na lavici 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel do 10 • •Jablíčka •na lavici • • •Znázorníme si danou situaci na tabuli: • •Zástupné •symboly na •tabuli • • Tuto situaci mají děti na lavici Tento zápis je na tabuli 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel do 10 •Znázorníme si danou situaci na tabuli: • • • • • • 3 2 Pepíček má 3 jablíčka, zapíši 3 Anička má 2 jablíčka, zapíši 2 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel do 10 •Zjišťujeme, kolik jablíček mají děti dohromady, matematicky to zapíšeme pomocí znaménka + a čteme: „Tři plus dva se rovná pět.“ • • • • • • 3 + 2 = 5 3. Vyvození operace sčítání přirozených čísel do 10 •Celou situaci si odkrokujeme •Vymyslíme podobné úlohy •Necháme děti vymyslet podobné úlohy • • • • • • •https://web.microsoftstream.com/video/f10f384c-b9c2-4de0-8ad8-97b4dcd1db52 •