MA0005 Algebra 2, 1. seminář 15. 9. 2022 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 1/17 Podmínky pro udělení zápočtu Lukáš Másilko 1. cvičeni 15.9.2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast Lukáš Másilko 1. cvičeni 15.9.2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka na analytickou geometrii: 2. cvičení ■ 2. zápočtová písemka na probranou látku: poslední cvičení Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka na analytickou geometrii: 2. cvičení ■ 2. zápočtová písemka na probranou látku: poslední cvičení ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka na analytickou geometrii: 2. cvičení ■ 2. zápočtová písemka na probranou látku: poslední cvičení ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka na analytickou geometrii: 2. cvičení ■ 2. zápočtová písemka na probranou látku: poslední cvičení ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy ■ tři domácí úkoly a jejich vzájemné hodnocení Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka na analytickou geometrii: 2. cvičení ■ 2. zápočtová písemka na probranou látku: poslední cvičení ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy ■ tři domácí úkoly a jejich vzájemné hodnocení ■ jeden týden na řešení, jeden týden na hodnocení ■ povinnost odevzdat a hodnotit všechny tři úkoly Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše dvě absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka na analytickou geometrii: 2. cvičení ■ 2. zápočtová písemka na probranou látku: poslední cvičení ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy ■ tři domácí úkoly a jejich vzájemné hodnocení ■ jeden týden na řešení, jeden týden na hodnocení ■ povinnost odevzdat a hodnotit všechny tři úkoly Pro úspěšné zvládnutí předmětu je domácí propočítávání příkladů nezbytné. K tomu pomohou dobrovolné procvičovací odpovědníky nabízené v ISu. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 2/17 Náplň cvičení □ Determinant matice ■ Inverze v permutaci ■ Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 ■ Příklady na výpočet determinantu B Cramerovo pravidlo Literatura ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4. ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. ■ Danešová, A.: Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení na různých stupních škol. Brno, 2022. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/10113/. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 3/17 Determinant Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 4/17 Determinant Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml Determinant Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem £ (_1)A/(y1,y2,..j„).aiji.a2 Ol J2,---Jn) J2 kde (J1J2, • • • ,7n) Je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,... je počet inverzí v dané permutaci. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 4/17 Determinant Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml Determinant Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem £ (_1)A/(y1,y2,..j„).aiji.a2 Ol J2,---Jn) J2 kde (J1J2, • • • ,7n) Je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,... je počet inverzí v dané permutaci. Důležité otázky: Co je to permutace konečné množiny {1, 2,..., n}l Co je to inverze v dané permutaci? Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 4/17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = ( au 321 331 V 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 / Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 5/17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = / 311 321 331 V 341 312 322 332 3$2 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 J Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,332,34i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). < □ ► Lukáš Másilko 15. 9. 2022 5/17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = / au 321 331 V a41 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 / Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,332,34i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). nverze permutace Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b). Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 5/17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = í 311 312 313 314 \ 321 322 323 324 331 332 333 334 a4i 342 343 344 ) Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3, 324, 332, Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). nverze permutace Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b)._ Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)? Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 5/17 Inverze v permutaci Příklad: Mějme matici M = / 3n 321 331 V 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 ) Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1). nverze permutace Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b)._ Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)? Celkem 5, např. p(l) = 3 > 2 = p(3). 0 „ , „ , , Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 5/17 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici M = ( au 321 331 \ 341 312 322 332 342 313 323 333 343 314 \ 324 334 344 / Lukáš Másilko S1 = 1 O Q, O 15. 9. 2022 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici M = í au ai2 3i3 \ 321 322 323 324 331 332 333 334 \ 341 342 343 344 / Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu? Lukáš Másilko 1. cvičení □ S1 15. 9. 2022 6/17 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici / au ai2 ai3 ai4 \ ^ _ a2i a22 a23 a24 331 332 333 a34 \ 341 a42 a43 a44 / Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu? Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. ai3, a24, a32, a^i- Propojte tyto prvky čarou, každý s každým. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 6/17 Geometrický význam inverze Příklad: Mějme matici / au ai2 ai3 ai4 \ ^ _ a2i a22 a23 a24 331 332 333 a34 \ 3^1 3^2 343 a44 / Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu? Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. ai3, a24, a32, a^i- Propojte tyto prvky čarou, každý s každým. Otázka: Kolik hran má sklon "příbuzný" s vedlejší diagonálou? Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 6/17 Příklad 4.2.B5 Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a) 311 312 313 314 0 0 323 0 331 0 333 334 341 0 343 0 (b) 311 312 313 314 315 321 322 323 324 325 331 332 0 0 0 341 342 0 0 0 351 352 0 0 0 Lukáš Másilko 1. cvičeni 15.9.2022 7/17 Příklad 4.2.B5 Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a) 311 312 313 314 0 0 323 0 331 0 333 334 341 0 343 0 (b) 311 312 313 314 315 321 322 323 324 325 331 332 0 0 0 341 342 0 0 0 351 352 0 0 0 Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i, Lukáš Másilko 1. cvičeni 15.9.2022 7/17 Příklad 4.2.B5 Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a) 311 312 313 314 0 0 323 0 331 0 333 334 341 0 343 0 (b) 311 312 313 314 315 321 322 323 324 325 331 332 0 0 0 341 342 0 0 0 351 352 0 0 0 Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i, (b) 0. Lukáš Másilko 1. cvičeni 15.9.2022 7/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 — ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 321 322 je roven číslu au • 322 — 3i2 • 321 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 — ai2 • a2i (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 a21 a22 ^23 ^31 ^32 ^33 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 — ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31 a32 333 = ana22^33 + Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 321 322 je roven číslu au • 322 — £12 ■ a2i (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3ii322333 + 3^21^2 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 321 ^22 je roven číslu au • 322 — £12 ' a2i (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3ii322333 + 3i332l332 + 312323331 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 — ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31 a32 333 = ana22^33 + ^13^21^32 + ^12^23^31 ~ ^13^22^31 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 a2l ^22 je roven číslu au • a22 — ^12 • ^21 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31 a32 333 = ana22333 + ai3a2ia32 + 312323331 — ^13^22^31 — ^11^23^32 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3 Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2) A = 3ll 3i2 ^21 ^22 je roven číslu au • a22 — ai2 • 321 (tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3. 3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3na22333 + 3i3a2l332 + ^Yl^^Zl ~ 313322331 — 3^23332 — ^Y1^21^Z Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 8/17 Příklad 4.2.B7 Spočtěte determinant (a) 3-2 4 13 2 -2 -4 6 (b) -2 1 -3 3 2-1 -4 3 -1 (c) 4-3 5 -3 2 -8 1 -7 -5 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 9/17 Příklad 4.2.B7 Spočtěte determinant (a) 3-2 4 13 2 -2 -4 6 (b) -2 1 -3 3 2-1 -4 3 -1 (c) 4-3 5 -3 2 -8 1 -7 -5 Výsledky: (a) 106, (b) -46, (c) -100 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 9/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých anXi + 3i2X2 = bi a2lXi + 322*2 = b2 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých ■v Řešení této soustavy lze vypočítat takto: xi = A A x2 = Ä2 A kde následující determinanty spočítáme křížovým pravidlem A 3ll 3i2 321 322 A bl 312 b2 322 A2 = 311 fcl 321 b2 Poznámka: Matici A koeficientů proměnných nazýváme maticí systému Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 10/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých 3n*i + 312x2 + ai3x3 = bi a2\xi + a22*2 + 323x3 = b2 331x1 + 332x2 + 333x3 = b3 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých ■v Řešení této soustavy lze vypočítat takto: xi = A A x2 = \Ä2 \A\ X3 = A^ \A\ kde následující determinanty spočítáme Sarusovým pravidlem bi 312 313 311 bi 313 3U 312 bi Ai — b2 322 323 321 b2 323 , \A3\ = 321 322 b2 b3 332 333 331 b3 333 331 332 b3 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 11/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]: (a) 7x - 3y = 15 5x + 6y = 27 (b) 3x + 2y = 20 2x + 3y = 20 (c) 3(x-2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 12/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]: (a) 7x - 3y = 15 5x + 6y = 27 (b) 3x + 2y = 20 2x + 3y = 20 (c) 3(x-2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6 Výsledky: (a) [3; 2], (b) [4; 4], (c) [9;-12], Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 12/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (a) x + y+ 2z = -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2 (b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9 x + 2y + z = 9 (c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 13/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (a) x + y + 2z= -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2 (b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9 x + 2y + z = 9 (c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0 Výsledky: (a) [l;2;-2], (b) [2;4;-l], (c) [0;0;0]. Lukáš Másilko 1. cvičení < rS1 ► < -ž ► < > š ^)Q,0 15. 9. 2022 13/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití Poznámka: Cramerovo pravidlo lze použít i v případě, že H je determinant matice systému roven 0 a zároveň B má systém nekonečně mnoho řešení. □ iS1 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 14/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití Poznámka: Cramerovo pravidlo lze použít i v případě, že H je determinant matice systému roven 0 a zároveň B má systém nekonečně mnoho řešení. Příklad 6.3 (Danešová, str. 64-65): Determinant matice systému x - 2y + z = 4 2x + 3y — z = 3 Ax-y + z = 11 je roven 0. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 14/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití Poznámka: Cramerovo pravidlo lze použít i v případě, že H je determinant matice systému roven 0 a zároveň B má systém nekonečně mnoho řešení. Příklad 6.3 (Danešová, str. 64-65): Determinant matice systému x - 2y + z = 4 2x + 3y — z = 3 Ax-y + z = 11 je roven 0. Zároveň platí, že 2 • r± + r2 = r$ (ri, r2, r$ označují řádky systému), což znamená závislost 3. řádku na prvních dvou a nekonečný počet řešení systému. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 14/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití (2) Ze systému x - 2y + z = 4 2x + 3y — z = 3 Ax-y + z = 11 vybereme libovolnou submatici řádu 2, jejíž determinant není roven 0, např. submatici A33 k prvku a33: ^33 = 1 -2 Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 15/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití (2) Ze systému x - 2y + z = 4 2x + 3y — z = 3 Ax-y + z = 11 vybereme libovolnou submatici řádu 2, jejíž determinant není roven 0, např. submatici A33 k prvku a33: ^33 = 1 -2 Oba řádky rovnic příslušných submatici A33 upravíme tak, že na pravou stranu přesuneme členy s 3. proměnnou: x - 2y = 4 - z 2x + 3y = 3 + z Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 15/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití (3) Na vzniklý systém x - 2y = 4 - z 2x + 3y = 3 + z použijeme Cramerovo pravidlo, přičemž 3. proměnná je parametr, na němž nekonečně mnoho řešení závisí. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 16/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití (3) Na vzniklý systém x - 2y = 4 - z 2x + 3y = 3 + z použijeme Cramerovo pravidlo, přičemž 3. proměnná je parametr, na němž nekonečně mnoho řešení závisí. 1^331 = 1 -2 2 3 = 3 - (-4) = 7, A X A y A-z -2 3 + z 3 1 A-z 2 3 + z = 3-(4-z)-(-2)-(3+z) = 18+5z x = ^ + fz = 3 + z - 2 • (4 - z) = -5 + 3z y = —f + | Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 16/17 Cramerovo pravidlo a jeho další použití (3) Na vzniklý systém x - 2y = 4 - z 2x + 3y = 3 + z použijeme Cramerovo pravidlo, přičemž 3. proměnná je parametr, na němž nekonečně mnoho řešení závisí. 1^331 = 1 -2 2 3 = 3 - (-4) = 7, A X A y 4-z -2 3 + z 3 1 4-z 2 3 + z = 3-(4-z)-(-2)-(3+z) = 18+5z x = ^ + fz = 3 + z - 2 • (4 - z) = -5 + 3z y = -f + f k = {[t + iz>-i + ?z,z],zeR} Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 16/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (d) 2x-y = 6 y + 4z = 8 x-z = 1 (e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5 (f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5 Lukáš Másilko 1. cvičení < rS1 ► < -ž ► < > -E ^)Q,0 15. 9. 2022 17/17 Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]: (d) 2x - y = 6 y + 4z = 8 x-z = 1 (e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5 (f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5 Výsledky: (d) [3;0;2], (e) nekonečně mnoho řešení, např. {[—1 + z,3 — 2z,z],z G R}, (f) nemá řešení. Lukáš Másilko 1. cvičení 15. 9. 2022 17/17