MA0005 Algebra 2, 11. seminář 24. 11. 2022 Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 1 / 12 Náplň cvičení □ Matice přechodu ■ Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi ■ Změna matice lineárního zobrazení při změně báze ■ Změna matice lineární transformace při změně báze Literatura a zdroje ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. ■ lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra. ■ Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z: https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka. Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 2 / 12 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 3 / 12 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 3 / 12 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby ([71, [72, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn, Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 3 / 12 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby ([71, [72, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn, což vede na řešení systému Ú — /3 • x, tedy řešení soustavy [7 = / fll ^12 • • • ^ln £l ^22 • • • hn m m • • • ■ \ fnl fn2 • • • fnn Un J Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 3 / 12 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby ([71, [72, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn, což vede na řešení systému Ú — /3 • x, tedy řešení soustavy [7 = / fll ^12 • • • ^ln £l ^22 • • • hn m m • • • ■ \ fnl fn2 • • • fnn Un J Budeme takovou soustavu řešit pro každý vektor^vlášť? , t > 41 > Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 3 / 12 Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto: ě/ = ^ ' Pl/ + h ' P2/ H-----\~ fn ' Pni = ^fk ' k=l kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3, Lukáš Másilko 11. cvičení □ iS1 24. 11. 2022 4 / 12 Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto: n Š = fľ Pli + h • Pli H-----1- • Pni = ^2 fk ' Pkh k=l kde (pi/, p2/,..., Pn/) je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3, Matice přechodu Maticí přechodu Pa^/3 od báze o k bázi /3 rozumíme matici, pro níž platí (1) Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 4 / 12 Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto: n Č/ = fl • Pii + £ • P2/H-----1" • Pni = XI r/c ' P/c/' /c=l kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3, Matice přechodu Maticí přechodu Pa^/3 od báze o k bázi /3 rozumíme matici, pro níž platí (1) Poznámka: ■ Vektory obou bází se ve vztahu (1) zapisují sloupcově. ■ Matice přechodu Pa^/3 je regulární. ■ Matice (Pa_>y3)-1 = Pf3^a je maticí přechodu od báze (3 k bázi a a platí tento vztah: a = P- Pp^a (2) Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 4 / 12 Matice přechodu - příklady Převádění souřadnic vektorů při změně báze: Při vyjádření souřadnic vektoru v jiné bázi potřebujeme matici přechodu v opačném směru: Příklad 1 Jsou dány dvě různé báze a,/3 vektorového prostoru IR3, přechodu P/3_>a, Pa->p a určete souřadnice vektoru Úa — a souřadnice vektoru vp — (—1,0,3) v bázi a. Najděte matice (1,2,1) v bázi p □ a = 1 :(i,o,i) (2,1,1) (0,0,2)), P = ( :(o,i,i) (1,0,2) (2,0,2)). :(i>o>2) (2,1,1) (3,2,4)), P = ( :(i,2,o) (2,2,4) (0,1,-3)). :(i>2,o) (2 1 1) (1,0,1)), :(2,2,i) (1 2 1) (0,0,2)). Výsledky: na dalším slajdu Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 5 / 12 Výsledky Příkladu 1 /Ol O \ / -2 1 2 \ 1. Pp^a =0-2 2 , = 1 0 0, VI 2 -l) \ 1 \ Oj (1, 2, l)a = (2, -2,1)0, (-1,0,2)p = (8, -1, -l)a j -3 -6 -5\ /-2 -\ -2\ 2. P^a = 2 4 4 , Pa_>£ =0-11, V 2 5 4 / \ 1 I 0 / (1,2, l)a = (-20,14,16)^, (-1,0,3)p = (-4,3, -l)a / 0 6 4 \ / 1 2 2 \ 3. Pp^a = \ • 4 -4 4, Pa_+p =0 -2 -4 , \ -2 1 2 / \13 6 / (1, 2, l)a = (4, -2,1)^, (-1,0,3)p = (5, -12,17)a Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 6 / 12 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady Příklad 2 Lineární zobrazení y> : U —> V je zadáno maticí As ve standardních bázích U, V. Pro zadané báze a prostoru U a /3 prostoru V určete matice 1. • R4, /4S = /5 ,a = ((l,0,l);(l,l,l);(l,2,0)), 0 11 10 1 V i o o y = ((1,2,-1,0); (0,1,-1,-2); (-1,0,0,-2); (2,1,0,-3)). Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 7 / 12 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady Příklad 2 Lineární zobrazení cp : U —> V je zadáno maticí As ve standardních bázích (7, V. Pro zadané báze a prostoru U a /3 prostoru V určete matice 3. ^:R3^R2,/\S = í l \ \ Y« = ((l,l,l);(l,0,4);(l,4,0)), /3 = ((1,0); (4,1)). Výsledky: na dalším slajdu. Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 8 / 12 Výsledky Příkladu 2 1- ^S—>>a — 2- ^S—>>a — A 3- ^S—>>a — /i 1 2 Vi 1 k 7 19 v í 2 3\ 2 2 2 1 11/ 3 2 ^ -5 -3 3 1 1 1 / í v -3 1 A 4 5 12 \ -11 -5 -19 3 2 16 3 2 2 / □ S1 ► < -E ► < = Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 9 / 12 Změna matice lineární transformace při změně báze -příklady Příklad 3 Lineární transformace cp : ir3 —>> ir3 je zadána maticí As ve standardní bázi prostoru ir3. Pro bázi q = ((1,1,1);(1,1,0);(1,2,0)) prostoru ir3 určete matice As->aj A*->Sj A ex—y oĺ Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 10 / 12 Výsledky Příkladu 3 1- ^S—>>a — A 2- ^S—>>a — A a—^a. a—>S — 1 2 -2 -1 2 1 Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 11 / 12 Výsledky Příkladu 3 Lukáš Másilko 11. cvičení 24. 11. 2022 12 / 12