MA0005 Algebra 2, 12. seminář 1. 12. 2022 Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 1/13 Náplň cvičení Ortogonalita vektorů Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Ortogonální doplněk Ortogonální projekce vektoru Literatura a zdroje ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. □ iS1 - = Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 2 /13 Ortogonální a ortonormální vektory Ortogonální vektory Vektory J, v v Euklidovském prostoru jsou ortogonální, jestliže pro jejichž skalární součin platí: skal(Ú, v) — 0. Poznámka: Ortogonálnost vektorů narozdíl od kolmosti připouští, že jeden z nich, případně oba byly nulové. Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 3/13 Ortogonální a ortonormální vektory Ortogonální vektory Vektory J, v v Euklidovském prostoru jsou ortogonální, jestliže pro jejichž skalární součin platí: skal(Ú, v) — 0. Poznámka: Ortogonálnost vektorů narozdíl od kolmosti připouští, že jeden z nich, případně oba byly nulové. Ortogonální/ortonormální posloupnost vektorů Báze podprostoru, nebo libovolná posloupnost vektorů je ■ ortogonální, jestliže každé dva vektory z této báze (posloupnosti) jsou ortogonální. ■ ortonormální, jestliže je ortogonální a každý její vektor je normovaný (tj. jeho velikost je 1). Poznámka: Velikost vektoru Ú — (l/i, ..., un) je v Euklidovském prostoru definována takto: = ^/škäi{Ú\Ú) — \ u\ + • • • + u\. V Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 3/13 Ortogonální a ortonormální vektory - příklady Příklad 6.2.Bl: Rozhodněte, zda dané vektory euklidovského prostoru IR4 jsou ortogonální, resp. ortonormální. a) i7=(l;-2;2;l), i7 = (1; 3; 2; 1), w = (-1; 0; 1;-1) k) u ~ (2' 21 2' 2) c) u = (2; 3;-3;-4), v = (-1; 3; -3; 4), w = (3; 1; 3; 0) d) <7=(1;3;1;2), i7 = (0; 0; 0; 0), iv = (1;-3; 2; 3) Příklad 6.2.B2: Určete parametry a, 6 G K. tak, aby dané vektory euklidovského prostoru M5 byly ortogonální. a) u = (l;l;2;0;0),v = (1;-1; 0; 1; a), w = (1; f>; 2; 3;-2) b) u = (2;-l;0;a;Ď),v = (a; b; 0; -2; 1), ň/ = (a; 2b; 5; b;-a) c) u = (l;-2;a;3;0), v = (-1; 1; 0; a;7), w = (1; -2; b; 3; 0), z = (0;6;-l;l;8) d) u = (l;2;0;2;l),i7= (0; 0; 0; 0; 0), w = (-5; 2; 5; -2; 5), z = (a; £>;0; £>; a) Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 4/13 Ortogonální a ortonormální vektory - příklady Příklad 6.2.B3: V euklidovském prostoru IR4 nalezněte všechny normované vektory, které jsou ortogonální k vektorům i7, w, je-li u = (1; 1; 1; 1), v = (1; -1; -1; 1), w = (2; 1; 1; 3) Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 5/13 Ortogonální a ortonormální vektory - příklady Příklad 6.2.B3: V euklidovském prostoru R4 nalezněte všechny normované vektory, které jsou ortogonální k vektorům u, v, w, je-li: u = (1; 1; 1; 1), v = (1; -1; -1; 1), = (2; 1; 1; 3) Výsledky: Bl a) ortogonální, b) ortonormální, c) nejsou ortogonální, d) ortogonální B2 a) a = \, b = -5, b) (a = 6 = 0) V (a = b = 1), c) žádné neexistují, d) a = -2/? B3 zl = (0;^;-^,0); z"i = (0; ^; 0) Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 5/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Věta: Buď Jí, J2, ..., J/c vektory euklidovského prostoru. Pak existují ortogonální vektory éí, éá,..., é£ tak, že ((Jí,..., J^)} = ((éí,..., é£)). Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 6/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Věta: Buď Jí, J2, ..., J/c vektory euklidovského prostoru. Pak existují ortogonální vektory éí, éá,..., é£ tak, že ((Jí,..., J^)} = ((éí,..., é£)). Důkaz této věty je konstruktivní a je založen na těchto krocích: a) éí = Jí. Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 6/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Věta: Buď Jí, J2, ..., J/c vektory euklidovského prostoru. Pak existují ortogonální vektory éí, éá,..., é£ tak, že ((Jí,..., J^)} = ((éí,..., é£)). Důkaz této věty je konstruktivní a je založen na těchto krocích: a) éí = Jí. b) Hledáme vektor é£ tak, že vyjádření é£ = Pi • éí + J2 skalárně vynásobíme vektorem éí. Díky ortogonalitě vektorů éí,é2 dostaneme 0 = pi • s/ca/(éí, éí) + s/ca/(J2, éí) s/ca/(J2, éí) ^ s/ca/(éí,éí) Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 6/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Věta: Buď Jí, J2, ..., J/c vektory euklidovského prostoru. Pak existují ortogonální vektory éí, éá,..., é£ tak, že ((Jí,..., J^)} = ((éí,..., é£)). Důkaz této věty je konstruktivní a je založen na těchto krocích: a) éí = Jí. b) Hledáme vektor é£ tak, že vyjádření é£ = Pi • éí + J2 skalárně vynásobíme vektorem éí. Díky ortogonalitě vektorů éí,é2 dostaneme 0 = pi • s/ca/(éí, éí) + s/ca/(J2, éí) s/ca/(J2, éí) ^ s/ca/(éí,éí) c) Podobně vyjádření é3 = pi-éí+p2-é2 + J3 vynásobíme jednou vektorem éí, podruhé é^. Dostaneme dvě rovnice, z nichž opět získáme hodnoty pi,P2- Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 6/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces Věta: Buď Jí, J2,..., J/c vektory euklidovského prostoru. Pak existují ortogonální vektory éí, éá,..., é£ tak, že ((Jí,..., J^)} = ((éí,..., é£)). Důkaz této věty je konstruktivní a je založen na těchto krocích: a) éí = Jí. b) Hledáme vektor é£ tak, že vyjádření é£ = Pi • éí + J2 skalárně vynásobíme vektorem éí. Díky ortogonalitě vektorů éí,é2 dostaneme 0 = pi • s/ca/(éí, éí) + s/ca/(J2, éí) s/ca/(J2, éí) Pi = s/ca/(éí, éí) c) Podobně vyjádření é3 = pi-éí+p2-é2 + J3 vynásobíme jednou vektorem éí, podruhé é^. Dostaneme dvě rovnice, z nichž opět získáme hodnoty pi,P2- d) Takto podobně postupujeme dále. Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 6/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces - příklady Příklad 6.2.B7: V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru l/l/, je-li: a) V = M4: W = ((úi, Ů2, Ú3)}, kde Úl = (i; 2; 2; -1), u2 = (1; 1; -5; 3), u3 = (3; 2; 8; -7) b) V = RA, W = ((ú[, u2, Ú3)), kde úi = (i; 0; 1; 0), Ů2 = (0; 1; 0; -7), u3 = (3; -2; 3; 14) c) V = RA, W = ((úl, U2, U3, Ú4)), kde ú[ = (1; 1; 1; 1), Ú2 = (i; 1; 1; -1), Ů3 = (1; -1; -1; 1), uA = (-1; 1; 1; 1) d) V = R5, W = ((iľi, už, ol, 04)), kde ól = (1; -2; -1; 0; 1), Ú2 = (2; 3; 0; -2; 3), u3 = (1; 1; -2; -1; -1), 04 = (1; -6; -4; 1; e) V = R5, 14/ = ((01,02,03,04)), kde "i = (1;2;0;1;2), Ú2 = (i; 1; 3; 0; 1), ol = (1; 3; -3; 2; 3), uA = (1; -1; 9; -2; -1) Lukáš Másilko 12. cvičení □ fS - = 1. 12. 2022 7/13 Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces - výsledky Příklad 6.2.B7: hledaných bází je nekonečně mnoho. Jedna z nich je např.: a) ((1; 2; 2; -1), (2; 3; -3; 2), (2; -1; -1; -2)) b) ((l;0;l;0),(0;l;0;-7)) c) ((l;l;l;l),(l;l;l;-3),(4;-2;-2;0)) d) ((1; -2; -1; 0; 1), (1; 1; -2; -1; -1), (69; 93; 36; -63; 153)) e) ((1;2;0;1;2),(1;0;6;-1;0)) Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 8/13 Ortogonální doplněk Ortogonální množiny vektorů Množiny vektorů A, B jsou ortogonální, když pro každý libovolná dvojice vektorů a £ A, b £ B je ortogonální. Značíme A _L B. Poznámka: Je-li A _L B, pak jsou ortogonální i podprostory (A), (B generované vektory obou množin. Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 9/13 Ortogonální doplněk Ortogonální množiny vektorů Množiny vektorů A, B jsou ortogonální, když pro každý libovolná dvojice vektorů a £ A, b £ B je ortogonální. Značíme A _L B. Poznámka: Je-li A _L 6, pak jsou ortogonální i podprostory (/4), (6 generované vektory obou množin. Ortogonální doplněk podprostoru Buď U vektorový podprostor euklidovského prostoru V. Ortogonálním doplňkem podprostoru U v prostoru V rozumíme množinu všech vektorů ortogonálních k U, tj. U± = {xeV\ s/ca/(x, Ú) = 0, M Ú G U] Poznámka: Ortogonální doplněk je též vektorovým podprostorem a platí: V = U + U1- (tj. U n = o a dim(\/) = dim((7) + dim(L^)) r_L _L Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 9/13 Ortogonální doplněk - příklady Příklad 6.2.B15: V euklidovském prostoru IR4 je dán podprostor l/l/. Nalezněte bázi ortogonálního doplňku l/l/-1, je-li: a) 1/1/ = {(2r + t; -3r + s - t; 4r + 3t; 8r + 5t) | r,s,řGR} b) 1/1/= ((JÍ,u2,JÍ)}, kde ú[ = (3; -5; 4; 1), i£ = (1; -2; 2; -3), i£ = (1; -1; 0; 7) c) 1/1/ = ((Jí, fa Ú3, u4)), kde JÍ = (3; 2; 1; 0), u2 = (1; 1; -2; 1), fj£ = (1; 1; 0; 1), u4 = (2; 3; -1; 1) d) 1/1/ je podprostor řešení homogenního SLR: 3xi + 3x2 + 2x3 + 7x4 = 0 3xi — 2x3 9x4 = 0 x3 + x4 =0 Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 10/13 Ortogonální doplněk - příklady Příklad 6.2.B15: V euklidovském prostoru IR4 je dán podprostor l/l/. Nalezněte bázi ortogonálního doplňku l/l/-1, je-li: a) 1/1/ = {(2r + r; -3r + s - í; 4r + 3t; 8r + 5í) | r,s,řel} b) W = ((JÍ, u2, u3)), kde Úl = (3; -5; 4; 1), u2 = (1; -2; 2; -3), 03 = (1; -1; 0; 7) c) W = ((ui, U2, ui, ui)), kde úi = (3; 2; 1; 0), íT2 = (1; 1; -2; 1), iľ3 = (1; 1; 0; 1), u4 = (2; 3; d) W je podprostor řešení homogenního SLR: Výsledky: a) např. ((2; 0; 1; -1)), b) např. ((2; 2; 1; 0), (17; 10; 0; -1)) c) neexistuje, d) např. ((3; 3; 2; 7), (3; 0; -2; -9), (0; 0; 1; 1)) 3xi + 3x2 + 2x3 + 7x4 3xi — 2x3 — 9*4 X3 + x4 0 0 0 □ i5P - = Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 10/13 Ortogonální projekce vektoru Ortogonální projekce vektoru Ortogonální projekce nenulového vektoru v do podprostoru U je vektor x takový, že x + y = v, kde x G U, ý E U^. v / Á Poznámka: Ortogonální projekci, někdy též kolmý průmět, je možné provádět v euklidovském prostoru, v němž je díky skalárnímu součinu definován pojem kolmosti vektorů. Pomocí ortogonální projekce vektoru lze spočítat jeho odchylku od zadaného podprostoru (určíme ji jako úhel, který svírá vektor se svým kolmým průmětem do podprostoru). 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 11/13 Ortogonální projekce vektoru - príklady Příklad 6.2.B18: V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru 1/1/, je-li: a) V = M3; u = (3; -7; 8); W = {{w1} w2)), kde vizi = (1; 1;-2), = (3; 1;-1) b) \/ = M4;u = (-2;2;2;5);U/ = ((h7i,m72,h73)), kde vizi = (1; 1; -1; 2), w2 = (3; 1; 0; 1), w3 = (2; 0; 1; -1) c) \/ = M4;<7=(2;7;-3;-6); W = {(r + s; r + s; -r - 3s; 2r + 3s) | r, s G E} d) V = R4;u = (1;2;3;4); W = ((0; 1; 0; 1)) e) V = IR4; u = (2; 0; 1; —4); 1/1/ je podprostor řešení homogenního SLR: 2xi + 3x2 + 3x3 0 0 0 0 2xi + X2 + X3 + 4x4 Xl + X2 + X3 + *4 Xi + 2X2 + 2X3 - *4 □ gp - = Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 12/13 Ortogonální projekce vektoru - výsledky Příklad 6.2.B18 - výsledky: 10. 142 a b c d e f 34. _ jaj . i4z\ v 15» 3 ' 15 J (-1;1;-2; 3) (0;0;0;0) (0;3;0;3) ŕ5" 5 4 1 4 Z) Lukáš Másilko 12. cvičení 1. 12. 2022 13/13