MA0005 Algebra 2, 13. seminář
8. 12. 2022
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022
Náplň cvičení
H Vlastní čísla a vlastní vektory
Literatura a zdroje
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydaní. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ lsibalo.com: Matematika - Lineárni algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
■ Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z:
https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka.
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       2 /9
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastním vektorem lineárního zobrazení cp : V —> V s maticí A rozumíme takový nenulový vektor u e V, pro který platí
(f(u) — A - Ú — \ - Ú.
Reálné číslo A z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru Ú.
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       3 /9
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastním vektorem lineárního zobrazení cp : V —> V s maticí A rozumíme takový nenulový vektor u e V, pro který platí
(f(u) — A - Ú — \ - Ú.
Reálné číslo A z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru Ú.
Poznámka:
■ Vlastním vektorům se také říká "invariantní směry" či "invariantní vektory".
■ Je-li Ú vlastní vektor, pak i vektor a • Ú {a G IR) je vlastní.
■ Vlastní vektory odpovídající jedné vlastní hodnotě A tvoří vektorový pod prostor.
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       3 /9
Vlastní čísla a vlastní vektory - postup nalezení
Upravíme vztah z definice vlastního vektoru
A - u   —   X - Ú
A - Ú  —   X • E • u   (E: jednotková matice) (A - X • E) • u   = o
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022
Vlastní čísla a vlastní vektory - postup nalezení
Upravíme vztah z definice vlastního vektoru
A - u   —   X - Ú
A - Ú  —   X • E • u   (E: jednotková matice) (A - X • E) • u   = o
Postup nalezení vlastních čísel a vektorů
□ Najdeme determinant matice A — X • E, z něhož nám vyjde rovnice s neznámou A, kterou vyřešíme.
B Do systému (A — X • E) • Ú — o dosadíme vypočítané hodnoty A a nalezneme vlastní vektory jako množinu řešení systému.
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022
Vlastní čísla a vlastní vektory - příklady
Příklad 1
Lineární transformace <p vektorového prostoru M je dána maticí A ve standardní bázi. Nalezněte vlastní čísla a jim odpovídající vlastní vektory lineární transformace <p.
A =
A =
A =
A =
A =
2 6 6 -3
1 5
2 4
5 10 4 -1
2 1 0 2
0 -1 -1 0
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       5 /9
Výsledky príkladu 1
a) Pro Ai = 6 : ri! = (3, 2), pro A2 =
b) pro Ai = 6 : ň[ = (1,1), pro A2 =
c) pro Ai = 9 : aťi = (5, 2), pro A2 =
d) pro A = 2 : n = (1,0);
e) pro Ai = 1 : ň[ = (—1,1), pro A2
7: ň2 = (-2,3); 1: /Ť2 = (-5,2); 5: AŤ2 = (-1,1);
-1: n2 = (l,l).
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       6 /9
Vlastní čísla a vlastní vektory - příklady
Příklad 2
Lineární transformace <p vektorového prostoru M je dána maticí A ve standardní bázi. Nalezněte vlastní čísla a jim odpovídající vlastní vektory lineární transformace <p.
a) A =
b) A =
c) A =
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       7 /9
Vlastní čísla a vektory - pokračovaní príkladu 2
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       8 /9
Vlastní čísla a vektory - pokračovaní príkladu 2
Výsledky:					
a) Pro Ai =	: 1 :	nl =	(-1,0,1), pro A2	= 2 : 1T2	= (-1,-1,1)
pro A3	3 :	ň?, =	(0,-1,1);		
b) pro A = ■	-1 :	n =	(2,-1,1);		
c) pro A = ■	-1 :	n =	(-1,-1,1);		
d) pro Ai	2 :	ň{ =	(1,0,0), pro A2 =	— 1 : 1T2	= (0,-1,1),
pro A3 =	1 :		(1,0,1);		
e) pro Ai =	0 :	ň{ =	(4,4,1), pro A2 =	3 : 1T2 =	(1,-2,1).
□ [51
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       8 /9
Příklad 3
Viz video "Matice přechodu a zobrazení motivačně" na webové stránce www.isibalo.com/matematika/linearni-algebra/ mat i ce-pre chodu-a-zobrazeni-mot ivacne.
Zadání:
Určete matici As zobrazení cp (ve standardní bázi), které překlopí vektory prostoru IR2 podle přímky p : x — 2y = 0.
Nápověda: Zkuste najít jinou bázi a, vhodnější než standardní, pro níž bude snadné určit matici zobrazení Aa, které překlápí vektory podle zadané přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aa potom snadno dostaneme matici As-
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022 9/9
Příklad 3
Viz video "Matice přechodu a zobrazení motivačně" na webové stránce www.isibalo.com/matematika/linearni-algebra/ mat i ce-pre chodu-a-zobrazeni-mot ivacne.
Zadání:
Určete matici As zobrazení cp (ve standardní bázi), které překlopí vektory prostoru IR2 podle přímky p : x — 2y = 0.
Nápověda: Zkuste najít jinou bázi a, vhodnější než standardní, pro níž bude snadné určit matici zobrazení Aa, které překlápí vektory podle zadané přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aa potom snadno dostaneme matici As-
Řešení: při zvolené bázi a = ((2; 1), (—1; 2)) je matice
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       9 /9
Příklad 4
Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace cp prostoru IR2 zadané maticí
ve standardní bázi. Následně ověřte, že body [x,y] jednotkové kružnice (tj. vektory (x,y)) se pomocí zobrazení cp zobrazí na body elipsy, jejíž délky poloos budou rovny vlastním číslům.
Lukáš Másilko
13. cvičení
8. 12. 2022       10 /9