MA0005 Algebra 2, 3. seminář 29. 9. 2022 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 1/16 Náplň cvičení □ Determinant matice ■ Důležitá pravidla pro výpočet determinantu ■ Laplaceův rozvoj determinantu ■ Příklady na výpočet determinantu B Soustavy lineárních rovnic ■ Maticový zápis SLR ■ Hodnost matice, elementární řádkové úpravy ■ Schodový tvar matice ■ Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých ■ Vzájemná poloha tří rovin Literatura ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. Lukáš Másilko 3. cvičeni 29.9.2022 2/16 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Lukáš Másilko 3. cvičení 29.9.2022 3/16 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. M MT , kde M' je transponovaná matice M, T Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak M M1 Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku i k nenulovým číslem k £ K. — {0}, pak \M Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}). Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 3/16 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. M MT , kde M' je transponovaná matice M, T Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak M M1 Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku i k nenulovým číslem k G IR — {0}, pak \M □ Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}). Důležité důsledky: ■ Determinant matice M se dvěma stejnými řádky je roven 0. ■ Determinant matice M obsahující nulový řádek je roven 0. ■ Je-li některý řádek matice M lineární kombinací ostatních, pak M\ = 0. 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 3/16 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Lukáš Másilko 3. cvičení 29.9.2022 4/16 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n e N. Rozvoj podle /c-tého řádku: M = ÍT(-l)k+J ■ BkJ J'=l kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním • \Mkj , /c-tého řádku a j-tého sloupce. Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 4/16 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Rozvoj podle /c-tého řádku: M Y,(-l)k+J-akj-\Mkj j'=i kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním /c-tého řádku a 7-tého sloupce. Rozvoj podle /-tého sloupce: Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 4/16 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (a) (b) 3 -3 2 -1 -3 -5 4 7 -2 -5 1 0 9 8 -5 -8 1 2 -2 3 3 2 -3 -4 -2 0 -4 1 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 5/16 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (a) (b) Výsledky: (a) -195, 3 -3 2 -1 -3 -5 4 7 -2 -5 1 0 9 8 -5 -8 1 2 -2 3 3 2 -3 -4 -2 0 -4 1 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 5/16 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (a) (b) Výsledky: (a) -195, (b) 18 3 -3 2 -1 -3 -5 4 7 -2 -5 1 0 9 8 -5 -8 1 2 -2 3 3 2 -3 -4 -2 0 -4 1 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 5/16 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (c) (d) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 6/16 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (c) (d) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Výsledky: (a) -28, Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 6/16 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (c) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 (d) 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Výsledky: (a) -28, (b) 30 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 6/16 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 7/16 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Výsledky: (a) -105, Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 7/16 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Výsledky: (a) -105, (b) -18 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 7/16 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 kde m, r? G N. amixi + am2y H-----h amnxn = b m Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 8/16 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + 3i2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 3mlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. r Maticový zápis soustavy 1 Matici l au ai2 .. 321 a22 .. • a2n \ ami 3mn ) nazýváme maticí systému SLR. Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 8/16 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 ämlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. Rozšírená matice SLR Matici 4 b = / 3n 3i2 ... ain a2i a22 ... a2n \ a^i 3m2 ... a nazýváme rozšírenou maticí systému SLR. bm ) Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 9/16 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Otázka: Kdy jsou dva řádky matice lineárně závislé? Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 10/16 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Otázka: Kdy jsou dva řádky matice lineárně závislé? Elementární řádkové úpravy Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, výměna pořadí dvou řádků (rovnic), přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici) Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 10/16 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Otázka: Kdy jsou dva řádky matice lineárně závislé? Elementární řádkové úpravy Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, výměna pořadí dvou řádků (rovnic), přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici) Důležitá poznámka: Elementární řádkové úpravy nezmění hodnot matice, resp. nezpůsobí změnu řešení SLR. Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 10/16 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 11/16 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 11/16 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Příklad 1: rozhodněte, zda jsou následující matice ve schodovém tvaru. 12 3 9 0 0 5 3 0 13 6 0 0 0 9 0 0 5 3 0 13 6 12 3 9 0 7 5 3 0 0 3 6 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 11/16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 12/16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 12/16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, (b) /7(/\) = 3. Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 12/16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 / 6 \ -2 10 10 4 2 / Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 13/16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, I 6 \ -2 10 10 4 2 / 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 3. cvičení 29. 9. 2022 13/16 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad IR): (c) A = (d) A = \ \ 2 3 7 -4 5 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, (d) h(A) = 2 I 6 \ -2 10 10 4 2 /