MA0005 Algebra 2, 4. seminář
6. 10. 2022
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       1 / 18
Náplň cvičení
Linearita při výpočtu determinantu B Vzájemná poloha tří rovin
B Vektorový prostor a jeho pod prostory
■ Pod prostor vektorového prostoru
■ Lineární obal množiny vektorů
■ Dimenze a báze vektorového prostoru
■ Vyjádření vektoru v jiné bázi
□ Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       2 / 18
Determinant jako zobrazení lineární v každé složce
Vlastnost D3 (linearita při výpočtu determinantu)
Determinant det(ä{, 32,..., ä*n) je zobrazení E" x E" x • • • x M." —y Rn (ä) jsou řádky matice), které je lineární v každé své složce, tj. pokud pokud se na /c-tém řádku vyskytuje lineární kombinace dvou vektorů a ■ u + (3 ■ v, tak determinant lze upravit na lineární kombinaci dvou determinantů:
det(ä[, Ú + /3 ■ v,..., ä*n)   =  a ■ det(ä[,..., u,..., aT,) +
+  P • ořeř(ái,..., v,..., á*n).
Příklad: Proveďte Laplaceův rozvoj matice M podle 5. sloupce a využijte linearity determinantu, abyste redukovali počet determinantů 4. řádu.
M =
/2 1
1
0 V 2
1
0
2 2
1
0 2
1
2 1
2 1
0
1
2
2 2 1
4 □
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       3 / 18
Vzájemná poloha tri rovin
Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin.
a) qi : 2x — y + z — 5 = 0,   o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0
b) £2 : x + y + z — 3 = 0,   02 '■ 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0
c) q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0,   0-3 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0
d) £4:x + y — z — 1 = 0,   0-4 : x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0
Lukáš Másilko
4. cvičení
□ iS1
6. 10. 2022       4 / 18
Vzájemná poloha tri rovin
Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin.
a) qi : 2x — y + z — 5 = 0,   o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0
b) £2 : x + y + z — 3 = 0,   02 '■ 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0
c) q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0,   0-3 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0
d) £4:x + y — z — 1 = 0,   a4:x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0
Výsledky:
a) tři různoběžné roviny, společný bod P[l; —1;2],
b) tři různoběžné roviny, žádný společný bod,
c) tři různoběžné roviny, společná přímka p = {[ŕ; —1 — ŕ; —t], t G M},
d) dvě rovnoběžné roviny, třetí je s nimi různoběžná.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       4 / 18
Vektorový prostor
Axiomy pro vektorový prostor
V nazveme vektorovým (lineárním) prostorem nad tělesem T s operacemi +, jestliže
□ Ví, vEV: Ú+vEV (uzavřenost na operaci +)
Ví, \7, w E V : (í + v) + w = Ú + (v + w) (asociativita operace +) 3o. V\7 G \/:í+o = í= o + í (neutrální prvek pro operaci +) MÚ G V. 3(—J) G V : u + (—u) = o (inverze vzhledem k operaci +) Ví, \7g\/:Í+\7=\7+Í (komutativita operace +) "1" VJE V,Vt E T \ t - u E V (uzavřenost na součin skaláru a vektoru) "2" VlT g \/, Vs, t G T \ s - (t - u) = (s - t) - u (asociativita operace •) "3" 31 G T. MÚ E V: l'Ú—Ú—Ú'l (neutrální prvek pro operaci •) "6a" \/Ú E V, Vs, t E T \ (s + t) - u = s - u+ t - u (distributivita operací) "6b" Ví, v E \/,VsG T : s • (Ú + v) = s • Ú + s • \7 (distributivita operací)
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       5 / 18
Vektorový prostor
Definice vektorového pod prostoru
Vektorový podprostor prostoru (\/, +, •) nad tělesem (7~, +, •) je taková podmnožina 1/1/ prostoru V, která je uzavřená vzhledem k operaci + (sčítání vektorů) a • (násobení vektoru skalárem):
H VJ, ve W : u + ve W
"1" Vue 1/IAVt eT :t-ueW
Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavřený na lineární kombinaci svých vektorů.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       6 / 18
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s g q libovolné}
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       7 / 18
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ c q4 je podprostorem vektorového prostoru q4, je-li:
(a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)}
(b) 1/1/ = {(xi,x2, x3, x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0}
(c) 1/1/ = {(xi,x2,x3,X4) I x2 = x3 = x4}
(d) W = {(2s + t,s-t,t,s)\t,seQ libovolné}
Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       7 / 18
Lineární obal množiny vektorů
Lineární obal množiny vektorů
Lineárním obalem množiny (ne nutně nezávislých) vektorů {\/í, v^,..., v^} z vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •) rozumíme množinu {ai • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k | <^i> <^25... a/f e 7"} vzniklou jakoukoli lineární kombinací vektorů {\/í, v^,..., vj<}.
Značíme jej L(v[, v^,..., v£) nebo ({ví, v£,..., v^}}.
Alternativně říkáme, že L(v[, v£,..., v£) je podprostor generovaný vektory
vi,       . . . , Vk.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       8 / 18
Báze a dimenze vektorového prostoru
Báze a dimenze vektorového prostoru
Posloupnost vektorů (\/í, v^,..., v^) nazveme bází (množinou generátorů) vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •), jestliže
□ je lineárně nezávislá,
každý vektor Ú £ V lze vyjádřit lineární kombinací
J = cti • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k Pro nějaké cti, ct2,..., ck/c E T (tj vektory i/J, v£,..., v£ generují celý prostor V).
Dimenzí vektorového prostoru V rozumíme počet vektorů nějaké jeho báze. Značíme dim V.
Čísla       qí2j • • • 5 <^/c) z vyjádření vektoru J nazýváme souřadnicemi vektoru Ú v bázi (\/í, v^,..., vj<).
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       9 / 18
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru IR3 jsou dány vektory:
iJÍ = (l;-2;3), i£ = (2;-l;0),     = (1; 1; -3), u4 = (l;0;-l)
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       10 / 18
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru M jsou dány vektory:
ul = (l;-2;3), u2 = (2;-1; 0), u3 = (1; 1; -3), uA = (1; 0; -1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R .
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,..., J5 generují vektorový prostor Q4, je-li:
(a) ul = (1;2;1;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), iM = (-2; 0; -1; -3), 05 = (-1; 1; 0; -2)
(b) ul = (-1; 1;0;-1), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), iM = (2; 3; 4; 6), íT5 = (1; -3; 5; -7)
Lukáš Másilko
4. cvičení
^[S1^ -š     •O Q, O
6. 10. 2022       10 / 18
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru M. jsou dány vektory:
í/1 = (1;-2;3), U2 = (2;-1;0), uÍ = (1; 1; -3), ti* = (1;0;-1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R .
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,... ,0$ generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) JÍ = (1;2; 1; 2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1),
= (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) £ = (-l;l;0;-l), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), tŤ4 = (2; 3; 4; 6), iľ5 = (1; -3; 5; -7)
Výsledky: 16. ne,
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       10 / 18
Vektory generující vektorový prostor
Příklad 16: Ve vektorovém prostoru IRJ jsou dány vektory:
ni = (1;-2; 3), u2 = (2;-1; 0), u3 = (l;l;-3), i* = (1; 0;-1).
Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor IR3.
Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory Jí,..., J5 generují vektorový prostor q4, je-li:
(a) iii = (l;2;l;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), ú* = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2)
(b) Jí = (-l;l;0;-l), u2 = (2; 0; 1; 3), £ = (1; 2; 3; 4), 04 = (2; 3; 4; 6), u5 = (1; -3; 5; -7)
Výsledky: 16. ne,
3.3.B2.(a) ne, (b) ano.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       10 / 18
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       11 / 18
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru IR3 jsou dány vektory Ú = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru W generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (1; -1; 3),y = (-2; 4; -1), z = (-1; 3; 2);
(b) x = (2; -3;0),y = (-1;5; -2),z = (0;-4; 1);
(c) x= (3;5;-2),y = (2;3;-3).
Výsledky:
(a), u G 1/1/, v^W;
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       11 / 18
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Výsledky:
(a) . ueW, v(£W;
(b) u e W, ve W;
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       11 / 18
Vektor příslušející vektorovému pod prostoru
Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů.
(a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2);
(b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1);
(c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3).
Výsledky:
(a) . ueW, v(£W;
(b) u e W, ve W;
(c) u ^ W, veW.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       11 / 18
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), iT4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iM = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), uA = (3; -4; 1; -2), íT5 = (2; 1; 0; -3);
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       12 / 18
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), iT4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iM = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), uA = (3; -4; 1; -2), íT5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a), dim 1/1/ = 3, např. aw = (JÍ, J2, J3);
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       12 / 18
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru 1/1/.
(a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), u4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ú[ = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iŤ4 = (-4; -5; -6; -7), lT5 = (5; 6; 7; 8);
(c) £ = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), 774 = (3; -4; 1; -2), ď5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a) , dim W = 3, např.
(b) dim W = 2, např. 014/
(ul, 7Ť2, tí|);
("1, ui);
Lukáš Másilko
4. cvičení
^[S1^ ^-ž^     -š     •O Q, O
6. 10. 2022       12 / 18
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi      podprostoru W.
(a) £ = (1; -1; 0; 2), J*2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), J*4 = (3; 2; 0; 5);
(b) ul = (1; 2; 3; 4), £ = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), u4 = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8);
(c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), J4 = (3; -4; 1; -2), u5 = (2; 1; 0; -3);
Výsledky:
(a) , dim 1/1/ = 3, např. «1/1/
(b) dim 1/1/ = 2, např. ckw
(c) dim W = 4, např.
(JÍ, J2, J3);
(JÍ, J2);
(JÍ, ů2, ů3, u5).
Vyjadrení vektoru v jiné bázi
Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru IR3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a.
a) q = ((1;2;-1),(1;1;0),(2;-1;3))
b) q = ((1;2;-1),(2;-1;1),(-1;1;2))
c) a = ((1; 2; -2), (1; 1; -1), (-2; -1; 2))
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       13 / 18
Vyjadrení vektoru v jiné bázi
Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru M3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a.
a) a = ((1;2
b) a = ((1;2
c) a = ((1;2
-1),(1;1;0),(2;-1;3))
-1),(2;-1;1),(-1;1;2))
-2),(l;l;-l),(-2;-l;2))
Příklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru IR4 jsou dány lineárně nezávislé vektory
ú{ = (1; 1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1; 1), u3 = (0; 0; 1; 1), u4 = (0; 0; 0; 1). Vyjádřete souřadnice vektoru w = (2; 1; 1; 4)
a) v bázi a = (JÍ, J2, J3, J4);
b) v bází p = (J3, l/25 iŽ4, ú{).
Výsledky: 3.3.B5.a) vektory netvoří bázi, b) (^; ^; yf)a, c) (—2; 8; 3)
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       13 / 18
Vyjadrení vektoru v jiné bázi
Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru M3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a.
a) a = ((1;2
b) a = ((1;2
c) a = ((1;2
-1),(1;1;0),(2;-1;3))
-1),(2;-1;1),(-1;1;2))
-2),(l;l;-l),(-2;-l;2))
Příklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru IR4 jsou dány lineárně nezávislé vektory
ú{ = (1; 1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1; 1), u3 = (0; 0; 1; 1), u4 = (0; 0; 0; 1). Vyjádřete souřadnice vektoru w = (2; 1; 1; 4)
a) v bázi a = (JÍ, J2, J3, J4);
b) v bází p = (1Ť3, l/25 iŽ4, ú[).
Výsledky: 3.3.B5.a) vektory netvoří bázi, b) (^; ^; y|)a, c) (—2;8;3)a. 3.4.B23.a) (2;-l;0;3)ai b) (0;-1; 3; 2)^.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       13 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G n) neznámých postupujeme takto:
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, n 6 n) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G n) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A b na schodový tvar.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G n) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G n) neznámých postupujeme takto:
□ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar.
Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení.
□ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b).
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G n) neznámých postupujeme takto:
□ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar.
Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení.
□ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b).
■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? g n) neznámých postupujeme takto:
□ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar.
Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení.
□ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b).
■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení.
■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" přiřadíme parametr, ostatní neznámé vyjádříme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Gaussova eliminační metoda
Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení       h(A) = h(A\b).
Gaussova eliminační metoda
Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? g n) neznámých postupujeme takto:
□ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar.
Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení.
□ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b).
■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení.
■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" přiřadíme parametr, ostatní neznámé vyjádříme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic.
■ V obou případech postupujeme tzv. zpětným chodem, tj. bereme rovnice zdola a volíme za parametry počet neznámých v dané rovnici MINUS jedna, abychom poslední neznámou v každé rovnici mohli dopočítat pomocí ostatních neznámých - parametrů.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       14 / 18
Příklad 5.1.BI
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
(c)
	3xi	+	2x2	+	X3	-	5	
	2xi	+	3X2	+	x3	-	1	
	2xi	+	X2	+	3x3	-	11	
3xi	—	X2	-	X3	-	2X4	=	-4
2xi	+	3X2	+	X3	+	2X4	-	-3
2xi	+	3X2	-	X3	—	x4	-	-6
Xl	+		+	2x3	+	3X4	-	1
Xl	+	2x2	+	3x3	—	x4	-	-4
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       15 / 18
Příklad 5.1.BI
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR) (a)
3xi + 2x2 + x3 = 5 2xi + 3x2 + x3 = 1 2xi   +   x2    +   3x3   = 11
(c)
3xi - x2 - x3 -
2xi + 3x2 + x3 +
2xi + 3x2 - x3 -
xi + x2 + 2x3 +
xi + 2x2 + 3x3 -
2X4 2X4
x4
3X4
x4
-4 -3 -6 1
-4
Výsledky: (a) (2,-2,3),
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       15 / 18
Příklad 5.1.BI
Gaussovou metodou řešte šoustí (a)
3xi +
2xi +
2xi +
(c)
3xi    — X2
2xi + 3x2
2xi + 3x2
xi + x2
xi + 2x2
Výsledky: (a) (2,-2,3),   (c) (
lineárních rovnic (nad IR):
2x2	+	*3	-	5	
3X2	+	x3	-	1	
	+	3x3	-	11	
—	x3	-	2X4	=	-4
+	x3	+	2X4	-	-3
—	x3	—	x4	-	-6
+	2x3	+	3X4	-	1
+	3x3	—	x4	-	-4
i,-	■1,0,1).				
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       15 / 18
Příklad 5.1.B2
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
(c)
	5xi	—	9x2	+	5x3	—	1	
	2xi	+	3X2	+	3x3	—	2	
	Xl	+	8x2	+		—	1	
	Xl	—	2x2	+	*3	—	0	
2xi	+	9x2	+	8x3	+	3X4	-	7
2xi	+	6x2	+	8x3	+	3X4	-	3
XI	+	4x2	+	5x3	+	2X4	-	2
3xi	+	7x2	+	7x3	+	2X4	-	12
5xi	+	7x2	+	9x3	+	2X4	-	20
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       16 / 18
Příklad 5.1.B2
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
(c)
	5xi	—	9x2	+	5x3	—	1	
	2xi	+	3X2	+	3x3	—	2	
	Xl	+	8x2	+		—	1	
	Xl	—	2x2	+	*3	—	0	
2xi	+	9x2	+	8x3	+	3X4	-	7
2xi	+	6x2	+	8x3	+	3X4	-	3
XI	+	4x2	+	5x3	+	2X4	-	2
3xi	+	7x2	+	7x3	+	2X4	-	12
5xi	+	7x2	+	9x3	+	2X4	-	20
Výsledky: (a) SLR nemá řešení,
Lukáš Másilko 4. cvičeni 6. 10. 2022       16 / 18
Příklad 5.1.B2
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
(c)
	5xi	—	9x2	+	5x3	—	1	
	2xi	+	3X2	+	3x3	—	2	
	Xl	+	8x2	+		—	1	
	Xl	—	2x2	+	x3	—	0	
2xi	+	9x2	+	8x3	+	3X4	-	7
2xi	+	6x2	+	8x3	+	3X4	-	3
XI	+	4x2	+	5x3	+	2X4	-	2
3xi	+	7x2	+	7x3	+	2X4	-	12
5xi	+	7x2	+	9x3	+	2X4	-	20
Výsledky: (a) SLR nemá řešení,   (c) SLR nemá řešení.
Lukáš Másilko 4. cvičeni 6. 10. 2022       16 / 18
Příklad 5.1.B3
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
2xi	— 3X2	+	2X3	= 1
Xl	- 2x2	+	X3	= 0
5xi	- 9x2	+	5x3	= 1
(c)
	x2		+	x4 =	1
3xi	- 2x2	- 3x3	+	4x4 =	-2
xi	+ x2	- *3	+	x4 =	2
		- *3			1
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       17 / 18
Příklad 5.1.B3
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
	2xi	—	3X2	+	2X3	-	1	
		—	2x2	+	x3	-	0	
	5xi	—	9x2	+	5x3	-	1	
					+	x4	_	1
3xi	—	2x2	—	3x3	+	4x4	-	-2
	+		—		+	x4	-	2
*1			—	*3			-	1
Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£k},
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       17 / 18
Příklad 5.1.B3
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR): (a)
	2xi	—	3X2	+	2x3	-	1	
		—	2x2	+	x3	-	0	
	5xi	—	9x2	+	5x3	-	1	
					+	x4	_	1
3xi	—	2x2	—	3x3	+	4x4	-	-2
	+		—		+	x4	-	2
*1			—	*3			-	1
Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, (c) {(l + t,§,t,-|), tGR}.
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       17 / 18
Dodatečný příklad
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR):
		X2		+	x4 =	1
3xi	—	2x2	- 3x3	+	4x4 =	-2
	+		- x3	+	x4 =	2
3xi	+	7x2	+ 7x3	+	2x4 =	12
*1			- x3			1
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       18 / 18
Dodatečný příklad
Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad IR):
		X2		+	x4 =	1
3xi	—	2x2	- 3x3	+	4x4 =	-2
xi	+	x2	- x3	+	x4 =	2
3xi	+	7x2	+ 7x3	+	2x4 =	12
			- x3			1
Výsledek: (§; §; -§)
Lukáš Másilko
4. cvičení
6. 10. 2022       18 / 18