MA0005 Algebra 2, 5. seminář
13. 10. 2022
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022
Náplň cvičení
□ Součet a průnik vektorových podprostorů
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydaní. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022       2 /5
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina q je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li:
(a) q\ 2x + y-3z + 6 = 0
(b) q\ 2x + y-z = 0
(c) £>:x-2y + 3z-6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022       3 /5
Pod prostor vektorového prostoru
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina g je vektorovým pod prostorem aritmetického vektorového prostoru IR3, je-li:
(a) g : 2x + y - 3z + 6 = 0
(b) g : 2x + y - z = 0
(c) g : x - 2y + 3z - 6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Příklad z písemky: (a) ne, (b) ano, (c) ne, (d) ano.
Vysvětlení: roviny jsou podprostorem IR3, právě když v nich leží počátek. Stejně tak to platí i pro přímky ve vektorovém prostoru IR3, případně IR2.
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022       3 /5
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součtem Wi + I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme lineární obal jejich sjednocení, tj.
w1 + w2 = L(w1uw2) = {oí'U + i3'v\a,i3e T,ue wuve 1/1/2}
Průnikem l/l/i n I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, l/l/? prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme množinu vektorů, které leží ve l/l/i i I/I/2 zároveň, tj.
Wi n W2 = {J G V I J G l/l/i A J G 1/1/2} Věta: Jsou-li l/l/i, I/I/2 podprostory s konečnou dimenzí, pak platí dim (l/l/i + I/I/2) = dim Wľ + dim l/l/2 - dim (Wľ n l/l/2).
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(a) V = IR3, W1 = /.(Ji, u2), W2 = L(vi, v2) vz), JÍ = (l;l;-3),u2 = (1;2;2),
vi = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), ^ = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, Wx = ({JÍ, ti*, JÍ}), W2 = ({ví, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), JÍ = (3; 1; 3; 1),
v! = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), v3 = (1; 3; 1; 3);
(c) V = IR4, Wx = /.(JÍ, 02), W2 = /.(ví, vl),
JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1).
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022       5 /5
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory Wi, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W1 + W2, Wi n W2, je-li:
(a) V = M3, h/i = L(íTi, tví), l/l/2 = Utí, v2, vl), ui = (l;l;-3),tv1 = (1;2;2),
ví = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), ví = (1; 3; 3);
(b) 1/ = R4, l/l/i = ({JI, tf2, tví}), W2 = ({vl, ví, ví}), lil = (1; 2; 0; 2), til = (1; 2; 1; 2), tT3 = (3; 1; 3; 1),
ví = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), ví = (1; 3; 1; 3);
(c) V = R4, Wi = L{ůi, tf2), W2 = /.(vl, ví),
til = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), vl = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a), dim (l/l/i + l/l/2) = 3, příklad báze: aWl+w2 = (uí, u2, ví), dim (l/l/i n W2) = 1- příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
Lukáš Másilko 5. cvičení 13. 10. 2022       5 /5
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W1 + W2, Wx n W2, je-li:
(a) V = R3, M/i = L(úi, u2), W2 = L(v[, v2, v3), iTi = (l;l;-3),tr2 = (1;2;2),
vl = (1; 1; -1), £ = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3);
(b) V = R4, Wi = ({Ji, tvs, J|}), W2 = ({v[, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), J| = (3; 1; 3; 1),
vi = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), £ = (1; 3; 1; 3);
(c) V = R4, M/i = /.(JÍ, Ji), W2 = L{vi, v2),
JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), vl = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a) , dim (Wi + I/I/2) = 3, příklad báze: aw1jrw2 = ("i? "2> dim (l/l/i fl I/I/2) = 1, příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
(b) . dim (1/1/l + W2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = (JL j2, ^). dim (1/Vi n l/l/2) = 2, příklad báze: aWlnw2 = ("2; "3);
Lukáš Másilko
5. cvičení
13. 10. 2022       5 /5
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(a) V = IR3, W1 = /.(Ji, u2), W2 = L(vi, v2) vz), JÍ = (l;l;-3),u2 = (1;2;2),
vi = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), ^ = (1; 3; 3);
(b) V = IR4, Wx = ({JÍ, ti*, JÍ}), W2 = ({ví, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), JÍ = (3; 1; 3; 1),
v! = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), v3 = (1; 3; 1; 3);
(c) V = IR4, Wx = /.(JÍ, 02), W2 = /.(ví, vl),
JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky:
(a) , dim (l/l/i + I/I/2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = ("1? "2, v{), dim (l/l/i n M/2) = 1. příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1));
(b) . dim (l/l/i + I/I/2) = 3, příklad báze: aw1+w2 = ("Í> "2? dim (l/l/i n M/2) = 2, příklad báze: aWinW2 = (u2; 1t3);
(c) . dim (U/i + W2) = 4, příklad báze: aWl+w2 = ("1, "2, v{, v2),
dim (l/l/i n 1/16) = 0. báze tedy neexistuje._□    g ► < 1 ► < 1 ►   1 -00,0
Lukáš Másilko 5. cvičení 13. 10. 2022       5 /5