MA0005 Algebra 2, 6. seminář
20. 10. 2022
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       1 / 18
Náplň cvičení
□ Maticové operace
■ Sčítaní matic
■ Násobení matic
B Gauss-Jordanova metoda
■ SLR pomoci inverzní matice
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ Kovár, M.: Maticový a tenzorový počet. Vysoké učení technické
v Brne, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Ustav matematiky.
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       2 / 18
Motivace
Mějme následující soustavu lineárních rovnic:
3n*i + 3i2x2 H-----h 3lnXn   = bl
a2lX2 + 322*2 H-----h 32nXn    = £>2
anixi + an2x2 H-----h annxn   = bn
kde r? G N.
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       3 / 18
Motivace
Mějme následující soustavu lineárních rovnic:
3n*i + 3i2x2 H-----h ainX"   = bl
a2lX2 + 322*2 H-----h 32nXn    = £>2
anixi + an2x2 H-----h annxn   = bn
kde r? G N.
Soustavu lze zapsat maticově:
/ 3n   ai2   ..
^21    322    • •
ain \
32 n
*2
\ 3ni    a„2    • • •     3nn )      \ xn /
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       3 / 18
Motivace
Systém
/ 3n ai2
V 3nl    3n2    • • •
ain \
32 n
*2
}nn
*2
lze zapsat symbolicky takto: /4 • x — b, kde /4 je čtvercová matice řádu n.
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       4 / 18
Motivace
Systém
/ 3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
*2
\ 3ni    an2    ...     3nn )      \ Xn )
í bi \
b2
lze zapsat symbolicky takto: A ■ x = b, kde A je čtvercová matice řádu n.
Existence inverzní matice A    vzhledem k násobení by zajistila přímý výpočet řešení systému:
A ■ x   = b A'1-A-x  = A^-b x  =  A'1 -b
Lukáš Másilko
6. cvičení
<□►  < rS ►  <     ►  < -ž ►     -š     •O Q, O
20. 10. 2022       4 / 18
Sčítaní matic
Sčítaní matic
Pro matice A, B stejného typu m x n (m, r? G N) definujeme jejich součet A + B jako matici, která vznikne sčítaním po složkách:
A + B =
/  3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
+
( bn ...    bin \
£>2l     i>22     ... b2n
\ 3mi    3m2    • • •     3mn J        y bmi    bm2    • • •     bmn J
( 3n + bn    ai2 + b12
321 + b21      322 + b22
3ln + bln \ 32n + b2n
\ 3 ml + b mi    3m2 + bm2    . . .     3mn + bmn J
□       S1 ► ^ -E ► < =
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       5 / 18
Sčítaní matic
Sčítaní matic
Pro matice A, B stejného typu m x n (m, r? G N) definujeme jejich součet A + B jako matici, která vznikne sčítaním po složkách:
A + B =
/  3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
+
( bn ...    bin \
£>2l     i>22     ... b2n
\ 3mi    3m2    • • •     3mn J        y bmi    bm2    • • •     bmn J
( 3n + bn    ai2 + b12
321 + b21      322 + b22
3ln + bln \ 32n + b2n
\ 3 ml + b mi    3m2 + bm2    . . .     3mn + bmn J
Poznámka: (MmXA?, +) je komutativní grupa
□      S1 ► ^ -E ► < =
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       5 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3
-4
1
V 2
2\ 1
0
3/
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       6 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3
-4
1
V 2
2\ 1
0
3/
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       6 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       7 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0-3 + 1-(-4)+ (-!)• 1 + 7-2
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       8 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2 + 1-1 + (-1) -0 + 7-3
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       9 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2 + 1-1 + (-1) -0 + 7-3 -8-3 + 0-(-4)+ 0-1+ 5-2
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       10 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0 3/
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2+1-1 + (-1) -0 + 7-3 -8 • 3 + 0 • (-4) + 0-1 + 5- 2 -8-2 + 0-1 + 0- 0 + 5- 3
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       11 / 18
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součine
/  1 -2-1 A ■ B = I   0     1 -1 \ -8    0 0
l-3 + (-2)-(-4) + (-l)-l + 0-0-3 + l-(-4) + (-l)-l + 7-2 -8-3 + 0-(-4) + 0- 1 + 5-2
je matice
°\ ( \ 2A
7  | ■     "4   1 =
5 / 10
7    \  2    3 /
1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 \ 0-2 + l-l + (-l)-0 + 7-3 -8-2 + 0-1 + 0- 0 + 5- 3 /
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       11 / 18
Násobení matic - pracovní list
Jsou dány matice A, 6, C:
1. Pro každou dvojici výše uvedených matic proveďte součin v obou směrech. Diskutujte situace, kdy to nelze.
2. Za jakých podmínek je možné součin dvou matic provést? Kdy to lze provést oběma směry?
3. Je-li možné provést součin matic C = X • Y, stanovte výraz, kterému se obecně rovná prvek c,y výsledné matice C. Jaký je typ výsledné matice Cl
4. Je násobení matic asociativní? Je komutativní? Zdůvodněte svou odpověď vlastními slovy či protipříkladem.
<□► •<[51^ 1 ^)Q,0
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       12 / 18
Násobení matic
- definice
Násobení matic
Jsou dány matice A typu m x k a matice B typu k x n. Součin matic C — A - B definujeme jako matici typu m x n, jehož prvky získáme dle vzorce
k
Qj = a/i • by + a/2 • b2j H-----h 3ik • bkJ = ^ a/V • b#
1=1
Poznámka: Násobení matic je asociativní, nicméně není komutativní.
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       13 / 18
Čtvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Čtvercovou matici A řádu n x n (kde n 6 N) nazveme
■ regulární, právě když h(A) = r?;
■ singulární, právě když h(A) < n.
Lukáš Másilko 6. cvičeni 20. 10. 2022       14 / 18
Čtvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Čtvercovou matici A řádu n x n (kde r? G N) nazveme
■ regulární, právě když h(A) = n; m singulární, právě když h(A) < n.
Poznámka: Množina čtvercových matic (Mn^ni +, •) je nekomutativní okruh obsahující netriviální dělitele nuly.
■ Vynásobením čtvercových matic dostaneme opět čtvercovou matici.
■ Násobení matic je asociativní, ne však komutativní.
■ Neutrálním prvkem je jednotková matice E.
■ Pouze k regulární matici A existuje inverzní matice A~ľ tak, že A-A'1 = E = A~ľ • A.
■ Dokážeme najít dvě netriviální čtvercové matice, jejichž vynásobením vznikne nulová matice.
<□► •<[51^ 1 ^)Q,0
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       14 / 18
Výpočet inverzní matice Gauss-Jordanovou metodou
Gauss-Jordanova metoda pro výpočet inverzní matice
Mějme regulární čtvercovou matici A.
□ Zapišme si matice (A\E), kde E je jednotková matice.
Q Elementárními řádkovými úpravami se snažíme z matice A nalevo "vyrobit" jednotkovou matici.
■ Nejprve matici nalevo převádíme na schodový tvar.
■ Následně nulujeme prvky nad hlavní diagonálou.
■ Na závěr případně násobíme jednotlivé řádky tak, aby se nalevo objevila jednotková matice.
Matice napravo je po všech výše uvedených úpravách matici inverzní k původní matici A.
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       15 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice,
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Lukáš Másilko
□        rS1 ►  < -E ►  < =
6. cvičení
20. 10. 2022       16 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
A-ľ =
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       16 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       16 / 18
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
A'1 =1-4-2
0
C 1 neexistuje.
8"' = Í
18    -10 2 -24    15 -3 6-4 2
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       16 / 18
Pracovní list - Gauss-Jordanova metoda
Gauss-Jordanovou metodou jste našli matici A 1 k matici A
111
13 10 8 6    5 4
1 0 0 0 1 0 0  0 1
r^j • • • r^j
1	0	0	0	1	-2
0	1	0	-4	-2	5
0	0	1	5	1	-3
1. Najděte matice U;, kterými reprezentujete každou Vámi provedenou úpravu u±,..., un (ne N). Například úprava u±: ľ2 := r2 — 13 • r\\
111
0-3-5  1 -)• 6     5 4
111
13 10 8 6    5 4
1 0 0 -13 1 0 0    0 1
111
13 10 8 6    5 4
2. Nechť symbol U-, odpovídá Vámi nalezené matici k úpravě u\. Pak Un ■... ■ Ui ■ A = E. Proč funguje Gauss-Jordanova metoda? ^
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       17 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních
(a)
x + y + z =1 x — y — 2z = 3 2x   +  y   +   z =2
(b)
(c)
X	+	y	+	2z	= -1
X	—	2y	+	z	= -5
3x	+	y	+	z	= 3
X	+	y	+	z	= 0
X	—	y			= 3
		y	+	z	= 1
Lukáš Másilko
6. cvičení
□ S1
20. 10. 2022       18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x   +  y +   z =1
x   —   y —   2z   = 3
2x   +   y +   z =2
(b)
x   +   y +   2z   = -1
x   —   2y +   z   =   —5
3x   +   y +   z   = 3
(c)
x + y + z = 0 x   -   y =3
y +  z  = 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (!,§,-§),
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic
(a)
x   +  y + z   = 1
x   -  y - 2z  = 3
2x   +   y + z =2
(b)
x   +   y + 2z  = -1
x   -   2y + z   = -5
3x  +   y + z   = 3
(c)
x + y + z = 0 x  -  y =3
y + z = 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (!,§,-§), b) (x,y,z) = (1,2,-2),
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       18 / 18
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x   +  y + z =1
x   —   y — 2z   = 3
2x   +  y + z =2
(b)
x   +   y + 2z   = -1
x    —   2y + z   =   —5
3x   +   y + z   = 3
(c)
x + y + z = 0 x   -   y =3
y + z  = 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (1, §,-§), b) (x,y,z) = (1,2,-2), c) (x,y,z) = (-1,4,-3).
Lukáš Másilko
6. cvičení
20. 10. 2022       18 / 18