MA0005 Algebra 2, 8. seminář 3. 11. 2022 Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 1/14 Náplň cvičení O Další způsoby řešení SLR ■ Gauss-Jordanova metoda řešení SLR ■ Princip superpozice B Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory ■ Reprezentace lineárního zobrazení Literatura ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. ■ Kovář, M.: Maticový a tenzorový počet. Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Ustav matematiky. Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 2/14 Gauss-Jordanova metoda řešení SLR SLR A • x = b (matice A je čtvercová) lze zapsat takto: / 3ll 312 • • • 3in \ 321 322 • • • 32n *2 \ 3ni an2 ... 3nn J \ Xn J /m Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 3/14 Gauss-Jordanova metoda řešení SLR SLR A • x = b (matice A je čtvercová) lze zapsat takto: / 3ll 312 321 322 3ln \ 32 n *2 \ 3ni an2 ... 3nn ) \ Xn ) í ^ \ b2 Je-li matice A regulární, je možné systém A - x — b vyřešit tzv. Gauss-Jordanovou metodou založenou na aplikaci elementárních řádkových úprav a dosažení níže uvedeného tvaru: (A\b) r\j • • • r\j (E\y) přičemž E je jednotková matice a y je vektor s řešením systému A - x — b. Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 3/14 Gauss-Jordanova metoda řešení SLR Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic: (a) (b) (c) x + 2y + 3z = 9 2x — y + z = 8 3x — z = 3 X + 2y + z = 3 2x + y — z = 3 —x — 2z = 2 4x + y + 3z = 1 -3x — 6y — 6z = 0 -3x — 4y — 5z = -2 Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 4/14 Gauss-Jordanova metoda řešení SLR Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic: (a) (b) (c) x + 2y + 3z = 9 Výsledky: a) (x,y,z) = (2,- 2x — y + z = 8 3x — z = 3 X + 2y + z = 3 2x + y — z = 3 —x — 2z = 2 4x + y + 3z = 1 -3x — 6y — 6z = 0 -3x — 4y — 5z = -2 (2,- ■1,3) □ g - = Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 4/14 Gauss-Jordanova metoda řešení SLR Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic: (a) (b) (c) x + 2y + 3z = 9 2x — y + z = 8 3x — z = 3 X + 2y + z = 3 2x + y — z = 3 —x — 2z = 2 4x + y + 3z = 1 -3x — 6y — 6z = 0 -3x — 4y — 5z = -2 Výsledky: a) (x,y,z) = (2,-1,3), b) (x,y,z) = (0,2,-1), □ S1 ~ = Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 4/14 Gauss-Jordanova metoda řešení SLR Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic: (a) (b) (c) x + 2y + 3z = 9 2x — y + z = 8 3x — z = 3 X + 2y + z = 3 2x + y — z = 3 —x — 2z = 2 4x + y + 3z = 1 -3x — 6y — 6z = 0 -3x — 4y — 5z = -2 Výsledky: a) (x,y,z) = (2, c) (x,y,z) = (-2,-3,4). 1,3), b) (x,y,z) = (0,2,-1), □ iS1 - = Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 4/14 Homogenní vs. nehomogenní SLR Motivační příklad: Pomocí Gaussovy eliminační metody vyřešte oba systémy a porovnejte výsledky. 1. Nehomogenní systém: xi + x2 2xi - *2 Xl + x2 xi - 2x2 2. Homogenní systém: xi + x2 2xi - *2 xi + x2 Xl — 2X2 - 3x3 + *3 - *3 — 3X4 = — 3X4 = - 3x3 + *3 - *3 -1 5 3 2 — 3X4 = — 3X4 = 0 0 0 0 Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 5/14 Homogenní vs. nehomogenní SLR Motivační příklad: Pomocí Gaussovy eliminační metody vyřešte oba systémy a porovnejte výsledky. 1. Nehomogenní systém: xi + x2 2xi - *2 Xl + x2 xi - 2x2 2. Homogenní systém: xi + x2 2xi - *2 xi + x2 Xl — 2X2 - 3x3 + *3 - *3 — 3x4 = — 3x4 = - 3x3 + *3 - *3 -1 5 3 2 — 3x4 = — 3x4 = 0 0 0 0 1. K = {[|,-i,l,0] +t-(l,-l,0,l),t elR}, 2. K = { 0,0,0, 0] + t • (1, -1,0,1), t G R} □ - = Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 5/14 Princip superpozice Definice 18 Obecné řešení SLR = řešení, ve kterém se vyskytují parametry. Partikulární řešení SLR = řešení, které dostaneme konkrétní volbou parametrů. Fundamentální systém řešení homogenního SLR = taková množina řešení, která tvoří bázi vektorového podprostoru řešení SLR. Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 6/14 Princip superpozice Definice 18 ■ Obecné řešení SLR = řešení, ve kterém se vyskytují parametry. ■ Partikulární řešení SLR = řešení, které dostaneme konkrétní volbou parametrů. ■ Fundamentální systém řešení homogenního SLR = taková množina řešení, která tvoří bázi vektorového podprostoru řešení SLR. Z předchozího příkladu: K = {[|, -§, 1, 0] + t • (1, -1,0,1), £ £ IR} je obecné řešení nehomogenního SLR. Volbou t = 1 dostáváme partikulární řešení — |, 1,1]. Obecné řešení homogenního SLR (tj. t • (1, —1, 0,1), ř £ IR) je zároveň fundamentálním systémem řešení. Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 6/14 Princip superpozice Definice 18 ■ Obecné řešení SLR = řešení, ve kterém se vyskytují parametry. ■ Partikulární řešení SLR = řešení, které dostaneme konkrétní volbou parametrů. ■ Fundamentální systém řešení homogenního SLR = taková množina řešení, která tvoří bázi vektorového podprostoru řešení SLR. Z předchozího příkladu: K = {[|, -§, 1, 0] + t • (1, -1,0,1), £ £ IR} je obecné řešení nehomogenního SLR. Volbou t = 1 dostáváme partikulární řešení — |, 1,1]. Obecné řešení homogenního SLR (tj. t • (1, —1, 0,1), ř £ IR) je zároveň fundamentálním systémem řešení. Princip superpozice Obecné řešení nehomogenního SLR = obecné řešení homogenního SLR + partikulární řešení nehomogenního SLR. Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 6/14 Princip superpozice Poznámka ■ Partikulární řešení hledáme tak, že např. uhodneme neznámé, nebo některé neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopočítáme. ■ Princip superpozice je užitečnou metodou v případě, kdy má nehomogenní SLR nekonečně mnoho řešení. Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 7/14 Princip superpozice Poznámka ■ Partikulární řešení hledáme tak, že např. uhodneme neznámé, nebo některé neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopočítáme. ■ Princip superpozice je užitečnou metodou v případě, kdy má nehomogenní SLR nekonečně mnoho řešení. Příklad: Pomocí principu superpozice vyřešte zadaný systém lineárních rovnic. xi + x2 + 2x3 - 5x4 2xi + 5x2 — X3 — 9x4 2xi + X2 - X3 + 3x4 xi - 3x2 + 2x3 + 7x4 3 -3 11 -5 Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 7/14 Princip superpozice Poznámka ■ Partikulární řešení hledáme tak, že např. uhodneme neznámé, nebo některé neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopočítáme. ■ Princip superpozice je užitečnou metodou v případě, kdy má nehomogenní SLR nekonečně mnoho řešení. Příklad: Pomocí principu superpozice vyřešte zadaný systém lineárních rovnic. Výsledek: obecné řešení homogenního SLR (po volbě x4 = t) je t • (—2, 3, 2,1), t e M. Volbou x4 = 0 dostaneme toto obecné řešení zadaného systému: K = {[-5, 2, 3, 0] + t • (-2, 3, 2,1), t G R}. xi + x2 + 2x3 - 5x4 2xi + 5x2 — X3 — 9x4 2xi + X2 - X3 + 3x4 xi - 3x2 + 2x3 + 7x4 3 -3 11 -5 Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 7/14 Princip superpozice Příklad: Pomocí principu superpozice vyřešte zadaný systém lineárních rovnic. (a) xi + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 Xi + 3X2 + 5X3 + 7X4 = 11 xi - x3 - 2x4 = -7 (b) 3xi + 2x2 + 2X3 + 2x4 = 2 2xi + 3X2 + 2x3 + 5X4 = 3 9xi + + 4x3 — 5X4 = 1 2xi + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 7xi + X2 + 6x3 — x4 = 7 Lukáš Másilko 8. cvičeni 3. 11. 2022 8/14 Výsledky príkladu (a) obecné řešení homogenního SLR (po volbě X3 = ŕ,X4 = s) je {t • (0, -2,1, 0) + s • (3, -3,0,1), ŕ, s G R}. Volbou X3 = X4 = 0 dostaneme toto obecné řešení zadaného systému: K = {[-7,6,0,0] + t • (0, -2,1,0) + s • (3, -3,0,1), ŕ, s G R}. (b) obecné řešení homogenního SLR (po volbě X4 = ŕ) je {ŕ • (—20,1,6,7), t G R}. Volbou xi = 0 dostaneme toto obecné řešení zadaného systému: K = {[0, + í"20' 1» 6> 7)> ŕ e R}- Lukáš Másilko 8. cvičení 3. 11. 2022 9/14 Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Jsou dány dva vektorové prostory (\/, +, •) dimenze n 6 N a (V, +, •) dimenze m 6 N nad číselným tělesem (7",+,-). Lineárním zobrazením mezi prostory V, V7 rozumíme zobrazení cp : V —>> V splňující tyto dvě podmiň ky: □ (p(u + v) = (f(u) + (p(v), Q > V7 splňující tyto dvě podmiň ky: □ (p(u + v) = A • u, ■ pomocí obrazů V je zadáno předpisem pro vektor x e V. ■ Najděte matici A zobrazení cp a obrazy standardní báze prostoru V ■ Najděte Lp(Ú),Lp(v). Ú Ú R2 -+ M3, ]R4,v9(xi,x2,x3) = (xi +x2,x2 +x3,x3 +Xl,Xl), = (4,-1,0), i7= (-3,0,5). IR3 -> ]R2,v9(xi,x2,x3) = (xi +x2,x2 + x3), = (0,2, -3), v = (-1,1, 2). Lukáš Másilko 8. cvičení □ S 3. 11. 2022 11/14 Výsledky příkladu 1 l.A = 2 1 O 1 -1 1 ^(1,0) = (2,0,-1)^(0,1) = (1,1,1), (-2,l) = (-3,1,3) / 1 1 0 \ 0 11 10 1 2. A = \ 1 O O J ^(1,0,0) = (1,0,1,1), ifi(0,1,0) = (1,1,0,0), v?(0,0,1) = (0,1,1,0) ¥>(4, -1,0) = (3, -1,4,4), ^(-3,0,5) = (-3, 5, 2, -3). 3. A = 110 0 11 : V —> V je zadáno obrazy bázových vektorů V. ■ Najděte matici A zobrazení y>. m Najděte (p(u), (p(v).

• E2, ^(1,0, 2) = (1, 3), p(-3,4, -2) = (2, -1), (l, 2, -3) = (-2,1),