MA0005 Algebra 2, 9. seminář
10. 11. 2022
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022
Náplň cvičení
O Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
■ Lineární zobrazení přímky a roviny
■ Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ lsibalo.com: Matematika - Lineárni algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
■v
■ Čadek, M.: Sbírka úloh z lineárni algebry. 2002. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/sbirka.pdf.
■ Sobotíková, V. Rešené úlohy z Úvodu do algebry. Dostupné z: http://www.vrstevnice.com/akce/grandaction/vskola/ lsemestr/lingebra/resPriklady.pdf.
Lukáš Másilko 9. cvičení 10. 11. 2022       2 /9
Zobrazení přímky a roviny
Je dána přímka p a rovina g:
p = {[l + t,2-t,l-t]-,teR}
É>:2x-3y + z + l = 0
Zjistěte, na jakou množinu bodů se přímka p a rovina g zobrazí pomoci lineárního zobrazení:
■ cpi : M? —>> IR3, které je zadáno maticí
■ <^2 : K- —>• K , které je zadáno maticí
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022 3/9
Výsledky príkladu 3
!• Mp) = {[8,3-t,2 + 2t];teR} <Pi(q) :x-2y~z = 0
2. Mp) = {[4+t,3-2t,2 + t];tem <P2{q) ■8x~7y-10z + 3 = o
< □ ►  < ť3? ►  < -E ►  < -ž ►     -š     •O Q, O
Lukáš Másilko	9. cvičení	10. 11. 2022 A	i/9
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení cp : V —>> V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m).
□ Jádrem Kercp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj.
Kenp = {u e V \ (p(u) = o\//}.
B Oborem hodnot Imy? zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v G Vř, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im (p = {v G V | 3u e V : <p(i7) = \7|.
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022       5 /9
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení cp : V —> V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m).
□ Jádrem Ker p zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj. Kerp = {u e V \ p(Ú) = oy}.
B Oborem hodnot \mp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v £ Vř, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im p = {v G V | 3u e V : <p( J) = \7|.
Poznámka:
■ Ker p a lm<p jsou vektorové pod prostory.
■ dim(Ker^) — n — h(A) — dim V — h(Ä), kde A je matice lineárního zobrazení p.
■ dim(lm <p) = h(A).
■ dim V = dim(Ker p) + dim(lm p).
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022 5/9
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Příklad 4
Nalezněte jádro a obor hodnot lineárního zobrazení cp a určete jejich dimenze.
H cp : IR3 IR4, <p(xi,x2,x3) = (xi + x2,x2 + x3,x3 + xi,xi) B (f ■ K3     K2, ^(xi5x2,x3) = (xi + x2,x2 +x3)
B V?:IR3^IR4, (^(1,2,1) = (-1,1,1,1),
^(0,1,2) = (1,0,0,1),^(1,0,-1) = (0,1,1,2).
□ <£> : IR4 —>■ R3, 9? je dáno maticí
/  1     0    3   1 \ /As =      2    -14 1. V -3    5 12/
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022 6/9
Výsledky příkladu 4
H di	ml	[Ker (p)	= 0, Ker cp	= {(0,0,0)},
di	ml	Im (p) -	= 3, Im (p =	({(1,0,1,1), (1,1,0,0), (0,1,1,0)})
B di	ml	[Ker (p)	= 1, Ker p	= ({(1,-1,1)}).
di	ml	[Im (p) -	= 2, Im y? =	({(1,0), (0,1)}).
	ml	[Ker (p)	= 1, Ker (/?	= ({(0,3,4)}),
ď	ml	'Im p) -	= 2. Im =	({(-1,1,1,1), (1,0,0,1)}).
Q ď	mi	[Ker (p)	= 2, Ker v?	= ({(-3,-2,l,0),(-l,-l,0,l)}),
d	mi	[Im p) -	= 2, Im cp =	({(1,2,-3), (0,-1,5)}).
Lukáš Másilko 9. cvičení 10. 11. 2022       7 /9
Příklad 5
Lineární zobrazení ip je zadáno pomocí svého jádra a oboru hodnot. Sestrojte matici Aý zobrazení tp. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich.
(a) ip : E4 ->• IR4,
Ker^ = ((2;2;l;0)T,(-5;-3;0;l)T), Im tP = ((-1; -3; -1; -1)T, (1,4, 3, 2)T).
(b) ip : R3 ->• IR4,
Ker^ = ((2;2;1)T,(1;0;1)T), lm^ = ((l;0;l;l)T).
(c) ip : M4 M3,
Ker^ = ((2;0;2;l)r,(0;l;-1;1)T), lm^ = ((1;0;1)T,(1;1;0)T).
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022       8 /9
Výsledky príkladu 5
(a) A/, =
(b) A/, =
(c) A/, =
"5 "I/
_ 1 _4
i5 _I
3 3
O -2 -Í u       3 3
O -2\
-2 -3 -4 4
-2 i y -M
o
-1
Lukáš Másilko
9. cvičení
10. 11. 2022       9 /9