MASARYKOVA UNIVERZITA ■ PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA CVIČENÍ Z ALGEBRY A TEORETICKÉ ARITMETIKY I. RNDr. Pavel Horák Vydala Masarykova univerzita v Brně roku 2002 První dotisk druhého vydání, 2002 Vysázeno systémem AMSTEX Tisk: Vydavatelství MU, Brno-Kraví Hora 221 stran 10,03 AA 10,24 VA Náklad 500 výtisků Pořadové číslo 3631-17/31 ISBN 80-210-1853-4 Doporučená cena: 70,- Kč Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou v redakci vydavatele. -4—> £ "C 03 já ft U o c 03 "č3 n >o !>» o n—i 03 0« Pavel Horák CVIČENÍ Z ALGEBRY A TEORETICKÉ ARITMETIKY I. MAT 176 10 2002 Dmi r' vv x-Lui A ... A x-Liifc. Strana 154, příklad [7.2.A3]: U.p. neidentické lineární transformace

0 je pevné celé číslo racionální čísla kladná racionální čísla reálná čísla kladná reálná čísla komplexní čísla množina všech zbytkových tříd podle modulu m uzavřený reálný interval, tzn. {x € R | a < x < 6} otevřený reálný interval, tzn. {x £ R | a < x < 6} nebo uspořádaná dvojice prvků nebo kladný největší společný dělitel dvou čísel systém všech podmnožin množiny A systém všech zobrazení A —> B neostrá množinová inkluze ostrá množinová inkluze Všechny ostatní použité symboly a označení jsou převzaty ze skript 17] (Algebra a teoretická aritmetika I.) nebo jsou přímo vysvětleny v textu. Tato část textu obsahuje celkem 36 vyřešených příkladů vztahujících se k probírané problematice. Příklady zachovávají pořadí v jakém jsou jednotlivé celky dále řazeny za sebou, avšak nejsou formálně rozděleny do kapitol a paragrafů. Každý čtenář jistě i bez nápovědy pozná, kam má který příklad zařadit. Příklady jsou vybírány s úmyslem ukázat základní obraty a početní postupy používané při řešení konkrétních úloh a cvičení vztahujících se k dané problematice. Vzhledem k omezenému rozsahu textu není samozřejmě možné zařadit všechny typy úloh, které jsou v dalších kapitolách procvičovány. Ze stejného důvodu nejsou též uvedeny ty příklady, které jsou jako ukázkové zařazeny a vyřešeny ve skriptech [7] (Algebra a teoretická aritmetika I.). U některých vyřešených příkladů je formou poznámky uvedeno shrnutí či zobecnění daného problému, resp. upozornění na důležité momenty, které by si při řešení daného typu problémů měl každý dobře uvědomit. PŘÍKLAD 1. Dokažte, že pro každé reálné číslo a > 0 a pro každé celé číslo n > 2 platí nerovnost: (l + a)n > 1 + na . Řešení: důkaz provedeme matematickou indukcí vzhledem k n. Nechť tedy je a£R A a > 0. Pak: a) pro n = 2 je: (1 + a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a, protože podle předpokladu je a2 > 0. Ukázali jsme tedy, že pro n = 2 dokazované tvrzení platí. /?) předpokládáme, že dokazované tvrzení platí pro 2 ,.... n — 1 (tzn. n > 3) a budeme dokazovat jeho platnost pro n. Podle právě vysloveného předpokladu platí: (1 + a)"-1 > 1 + (n — l)a. Dále je a > 0 a tedy 1 + a > 0 a po vynásobení obou stran poslední nerovnosti číslem 1 -fc a tak dostaneme: (1 + a)n > (1 + (n - 1) a) ■ (1 + a) = 1 + na + (n - 1) a2 . 6 I. Řešené příklady Ale (n - 1) - a2 > O (proč ?), a tedy: 1 + na + (n - 1) a2 > 1 + na , tzn. dohromady: (1 + a)" > 1 + n- a , což jsme měli dokázat. Poznámka: předchozí příklad je ukázkou důkazu matematickou indukcí. Uvědomte si, že aby použití matematické indukce při důkazu nějakého tvrzení vůbec přicházelo v úvahu, musí mít toto tvrzení určitý, specifický tvar (za jistých předpokladů platí výrok V(n), pro každé celé číslo n > n0 ). Na druhé straně však, má-li dokazované tvrzení uvedený tvar, neznamená to, že se při jeho důkazu matematická indukce použít musí. PŘÍKLAD 2 . Nechť I je neprázdná indexová množina, nechť A,-(pro i £ I) čl B jsou množiny. Dokažte, že platí: B-UAiZtftiB-At).- Řešení: jedná se o rovnost množin, kterou dokážeme tak, že postupně dokážeme dvě množinové inkluze, a to: a) "C" : nechť x £ B — (J Ai. Pak je z £ S a zároveň x ^ \J Ai. Tedy, x £ B a zároveň z ^ A,- pro každé i £ I, což však znamená, že x € B — Ai pro každé i £ I. Dostáváme tak, že a; € f](B — Ai). b) "D" : > x G B-Ai, pro každé i € 7 =>• x £ B Ax £ Ai, x£ O(B-Ai) iei pro každé i € / x £ 5 A x g [J Ai i6/ i € 5 - U Ai Poznámka: uvedené řešení ukazuje typický důkaz množinové rovnosti. Při jeho zápisu obvykle místo slovních komentářů (viz a)) používáme spíše stručnějšího vyjadřování pomocí implikací a dalších logických spojek (viz b)). Máme-li v dokazování množinových rovností dostatečnou praxi, můžeme často postupovat tak, že uvedenou rovnost dokazujeme "najednou", pomocí řetězce ekvivalentních výroků, jak je ukázáno v následujícím příkladu. Přitom je však třeba v každém kroku pečlivě "hlídat", že skutečně platí obě implikace, tj. jak tak i . I. Řešené příklady ' Poznamenejme ještě, že při různých množinových úvahách je často potřeba vyjádřit skutečnost, že daný prvek neleží v průniku, řep. sjednocení, resp. rozdílu dvou množin. Zřejmě platí: x <£_ AUB x <£ ADB x<£A-B x g A A x g B xgA V x £ B x£A V x G B Všimněte si, jak se tyto obraty použijí při řešení následujícího příkladu. PŘÍKLAD 3. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že platí: A (B C) = (A + B) -h C kde symbol -i- značí symetrickou diferenci množin, tj. X + Y = (X- Y) U (Y - X). Řešení: x€A~(B-~C), <=> x£[A- ((B-C)U(C-B))] U [({B-C) U (C-B)) - A) [x£A A {x £ B — C A x £ C — B)] V [(xEB-C V xEC-B) A x£ A] [x e A A ((x <£ B V x G C) A {x £ C V x G B))} V [((x EBAx [(x £ A-B V x £ B-A) A z <£ C) V [x G C A (x i A - B A x $ B - A)} x € [ ((A - B)\J{B — Ä)) - C] U [C - ((A-B) U {B-A))] x G (A -5) -f- C. 8 1. Řešené příklady Poznámka : pro základní množinové operace, tj. U, D, — , -ř-, X platí četná početní pravidla (výše uvedený příklad je ukázkou jednoho z nich). Známe-Ii tato pravidla, pak je můžeme mnohdy též použít k důkazu rovnosti dvou množin. Není tedy důkaz pomocí množinových inkluzí jedinou možnou metodou, jak dokázat rovnost dvou množin. Například, víme-li, že pro libovolné množiny A, B, C platí (rozmyslete si podrolim , ze tomu tak skutečně je) : A r 1 li - li n A , A U B = B U A An(nnc). (/in/í)nC , J4u(JBuC) = (J4uJ5)uC A n (B u C) = (A n B) u (A n C) , yiu(flnC) = (J4uií)n(J4uC) pak můžeme pomocí těchto "početních pravidel" lehce spočítat následující příklad. Poznamenejme ještě, že aktivní zvládnutí takových vzorců znamená, že je umíme používat nejenom "zleva doprava" (tzn. tak, jak jsme navyklí je číst), ale také podle potřeby i "zprava doleva" a dále, že v nich jeden symbol (písmeno) umíme kdykoliv nahradit libovolným jiným symbolem, resp. skupinou symbolů. PRÍKLAD 4. Nechť A, B, C jsou libovolné množiny; dokažte, že platí: (A U B) n (A U C) n (B U C) = (A n B) U (A D C) U (B n C). Řešení: užitím vztahů uvedených v předchozí poznámce dostávame: (A u B) n (Au C) n (b u C) = (A u (B n C)) n (B u C) = (A n (B u C)) u ((B n C) n (B u C)) = (/in.») u (yi n C) u (B n C) čímž je uvedený vztah dokázán (poznamenejme sn-'id ještě, že v posledním kroku jsme kromě již zmíněných vztahů též použili zřejmou rovnost: (BDC) n (B U C) = BnC ). PRÍKLAD 5 . Nechť p,- je relace mezi množinami A, B pro každé i G I (kde 1 ^ 0 je nějaká indexová množina) a nechť o je relace rnezi množinami B a. C. Dokažte, že platí: (podle definice složené relace) existuje i€l b £ B takové, že (x, b) G (J £«' A (b,y) G tr. Potom (podle definice • €/ množinového sjednocení) existuje index k G I tak, že (x, b) £ gt , tzn. (x, y) G aoQk , neboli (x,y) G U (tr°pi). »'€/ "D": (x,y) G U C*7 0 £»') =í' (podle definice množinového iei sjednocení) existuje index k G I tak, že (x, y) G • (x, 6) G U Bi A (6,y)G {x,y)Eco (Je,-. • 6/ «'€/ PRÍKLAD 6. Nechť na množině M je dána relace p, která je reflexivní a tranzitivní. Dokažte, že pak relace p D p-1 je ekvivalencí na množině M . Řešení: musíme dokázat, že relace p Pi p-1 je: a) reflexivní: nechť x G M je libovolný prvek. Ale relace p je podle předpokladu reflexivní, tzn. platí xpx, odkud dále podle definice inverzní relace dostáváme, že xp-1x. Dohromady je tak: x(pPlp-1)x a tedy relace P H p-1 je reflexivní. b) symetrická: nechť x(pfl p_1)y. Pak xgy A xp-1y, odkud podle definice inverzní relace dostáváme: yp_1x A ypx . Tedy: y(pnp-1)x a relace pnp^1 je symetrická. c) tranzitivní: nechť x (pn p-1) y A y(pnp_1)2. Pak x py A XQ~ly A ygz A yn~lz. Přepsáním a užitím definice inverzní relace dostáváme: rvy A ygz, resp. zgy A ypx , odkud podle předpokladu o tranzitivitě relace p je: xgz A zgx , neboli xgz A xg~1z. Dohromady pak : i((in»"'): a relace pflp-1 je tedy tranzitivní. 10 I. Řešené příklady PŘÍKLAD 7 . Dokažte, že předpis / tvaru: f{x) = 49* + 1 , pro každé x € (0,2) definuje zobrazení intervalu (0,2) do intervalu (1,100) a rozhodněte, zda toto zobrazení / je injektivní, resp. surjektivní. Řešení: a) abychom dokázali, že předpis / definuje zobrazení (0,2) — (1,100), musíme ukázat, že pro libovolné x G (0, 2) platí, že f(x) G (1,100). Nechť tedy x je reálné číslo: 0 < x < 2 . Pak po vynásobení číslem 49 a přičtení 1 dostáváme: 49 • 0+ 1 < 49 • x + 1 < 49 • 2 + 1 < 100, neboli: 1 < f(x) < 100. b) budeme dokazovat, že zobrazení / je injektivní. Nechť i, y £ (0,2) takové, že f(x) = f(y). Potom 49z + 1 = 49t/-f 1, odkud plyne, že x = y. Tím jsme dokázali, že zobrazení / je injektivní. c) z úvahy provedené v a) je vidět, že pro 0 < x < 2 dostáváme: 1 < f{x) < 99, a tedy např. reálné číslo 99 G (1,100), přičemž toto číslo 99 nemá při zobrazení / žádný vzor. Tedy vidíme, že dané zobrazení / není surjektivní. PŘÍKLAD 8. Zobrazení / : 2N -» N je definované takto: pro každé A G 2N je f(A) = 1 je-li množina A konečná ao + 1 kde ao je nejmenší číslo z A , je-li A nekonečná. Rozhodněte, zda zobrazení / je injektivní, resp. surjektivní. Řešení: a) zobrazení / není injektivní, neboť například pro A — {1,2}, B = {1,2,3} platí: A? B a f(A)=f(B). b) zobrazení / je surjektivní, neboť pro libovolné číslo u € N platí: - je-li u = 1, pak jeho vzorem při zobrazení / je např. množina {1,2} - je-li u ^ 1. pak jeho vzorem při zobrazení / je např. množina A tvaru A - {x € N | x > v -1} - {u-1, u , u+1, u -i- 2 , ...}. I. Řešené příklady 11 PŘÍKLAD 9 . Nalezněte nějaké bijektivní zobrazení / otevřeného intervalu (0,1) na uzavřený interval (0,1}. Řešení: Základní myšlenka konstrukce zobrazení / bude spočívat v tom, že část prvků intervalu (0,1) zobrazíme identicky a část prvků budeme "přesouvat od středu tohoto intervalu ke krajům", a to takto: a) vezmeme množinu čísel tvaru 2" — 1 1 3 7 15 1=+r ProrieN< 4' V 16' 32' první z nich "přesuneme" do bodu 0 a dále pak na uvolněné místo "přesuneme" vždy následující číslo z uvažované množiny. b) stejný trik provedeme v pravé polovině intervalu (0,1) s čísly tvaru 2" + 1 35917 —T- pron€N, tj. s čísly -, -, -, .... Zbývající čísla z intervalu (0,1) zobrazíme identicky na sebe. (Nakreslete schematický obrázek a uvědomte si, že popsaná konstrukce může být úspěšná jedině tehdy, když přesouvaných čísel bude nekonečně mnoho.) Přesně řečeno a zapsáno: nechť M = {^$f I n — 1,2,3,. - -}; pak zobrazení / : (0,1) —<• (0,1), definované pro x G (0,1) takto: 2*-i /(*) = je-li x e M x je-li x $l M je zřejmě injektivní, neboť pro x,y € (0,1) A x ^ y z popsané konstrukce plyne, že /(z) ^ f(y). Zobrazení / je rovněž surjektivní, neboť pro libovolné y G (0,1) platí: je-li y = |^$f pro n = 0,1,2,..., pak jeho vzorem při / je číslo 2*,t+t1. resp. není-li y tohoto tvaru, pak jeho vzorem při zobrazení / je opět číslo y. Dohromady dostáváme, že zobrazení / : (0,1) —► (0,1) je bijektivní. Poznámka: máme-li dvě konečné množiny A, B, pak mezi nimi někdy lze a někdy nelze sestrojit bijektivní zobrazení. Přesněji řečeno, bijektivní zobrazení A —* B existuje právě tehdy, když množiny .1, /' mají stejný počet prvků. Pro nekonečné množiny je situace v tomto směru <1" jisté míty podobná, i když je potřeba při úvahách o "stejném portu prvkii" (ve smyslu existence bijekce) být mnohem opatrnější. Vínu- n.ipr , /<■ mezi 12 I. Řešené příklady I. Řešené příklady 13 množinami N a Z, resp. N a Q, resp. Z a Q existují bijekce (zopakujte si, jak tyto bijekce vypadají!), avšak následující příklad ukáže, že nelze sestrojit bijektivní zobrazení např. mezi množinami N a R. Vidíme tedy, že i mezi nekonečnými množinami bijektivní zobrazení někdy lze a někdy nelze sestrojit. PŘÍKLAD 10. Nechť / : N —► R je libovolné, pevné zobrazení. Dokažte, že zobrazení / není surjektivní. Řešení: v důkazu použijeme některé vlastnosti reálných čísel, známé ze střední školy. Konkrétně, každé reálné číslo x lze zřejmě jednoznačně zapsat ve tvaru: x = z + d , kde z 6 Z A d £ (0,1). Přitom každé číslo d z intervalu {0,1) má v dekadickém tvaru jednoznačný zápis (vyloučíme-li zápisy, ve kterých se od jistého desetinného místa stále opakuje číslo 9 ), který označíme takto: d = Q , di d2dz ... dn ... kde di značí dekadické cifry, tzn. d,- jsou celá čísla A 0 < d,- < 9 . Máme-li tedy dané zobrazení / : N —► R, pak lze podle předchozí úvahy jednoznačně psát: /(l) = z\ + 0 , du <*2i d3i - - ■ dnl ... f (2) = z7 + 0 , dis d22 d32 ... dn2 ... f(n) — zn + 0 , din d2n d3n ... d„n ... Důkaz, že zobrazení / : N —► R není surjektivní provedeme nyní tak, že nalezneme konkrétní reálné číslo, které při zobrazení / nemá žádný vzor. Zvolme čísla a\, 02 ,03 , • ■ • , On > • • • z množiny {0,1} tak, že di ^ dn , a2 ý d2-> , 03 4- 1 ■ ■ ■ 1 fln 7^ dnn 1 (uvědomte si, že je to opravdu možné udělat). Potom např. číslo a = 0 , (X] íl-j íf;| . . - o„ ... (zapsáno dekadicky) je reálným číslem, přičemž zřejmě pro každé k £ N je f (k) a. Tedy číslo a 6 R nemá při zobrazení / žádný vzor, což znamená, že zobrazení / není surjektivní. PRÍKLAD 11. Na množině K všech komplexních čísel je definována relace g takto: pro a + 6í, c + di 6 K je (a + h) q(c + di) <ř=> (a < c) V (a = c A b < d). Dokážte, že g je relací lineárního uspořádání na K. Řešení: dokazujeme, že relace g je: a) reflexivní: nechť (a + 6i) 6 K libovolné. Pak podle definice relace g je zřejmě (a + 6t) g (a + bi) . b) antisymetrická: nechť (a + bi) g(c + di) A (c + di) g(a + bi). Pak podle definice relace g musí být a = cAb0 => a-c (ii)" : zřejmě platí, neboť za prvek e vezmeme jedničku grupy (G, •) a za prvek x vezmeme prvek a-1. "(ii) => (i)" : nechť a € G je libovolný prvek. Pak podle (ii) existuje prvek x e G a existuje prvek y G G tak, že platí: x • a = e a y • x = e. Nyní nejprve dokážeme, že prvek e je neutrálním prvkem pologrupy (G, •). Ale podle (ii) je : c ■ a = a a dále platí: a ■ e = e • (a • c) = (y • x) ■ (o • e) = y • (x • a) ■ c = y ■ (c • e) = y • c = = y - (x - a) = (y • x) ■ a = c • a = a . Nakonec dokážeme, že prvek x je inverzním prvkem k prvku a . Ale podle (ii) je : x • a = e a dále platí: a • x ~ e ■ (a ■ z) = (y • x)■■(a ■ x) = y • (x • a) • z = y ■ (c • i) = y ■ x = c. Dokázali jsme tak, že (G, •) je grupa, tzn. platí (i). Poznámka: předchozí příklad je velmi užitečný pro praktické výpočty, neboť nám ukazuje, že při zjišťování toho, zda je daná pologrupa grupou, stačí (bez ohledu na komutativnost či nekomutativnost operace) ověřovat pouze "polovinu" definice neutrálního prvku a odpovídající "polovinu" definice inverzního prvku. Jinak řečeno: k tomu, abychom dokázali, že daná pologrupa je grupou stač^ dokázat, že tato pologrupa má "levou jedničku" a každý její prvek má "levou inverzi" . Dá se očekávat, že k předchozímu tvrzení bude platit tvrzení analogické, v němž se použije "druhá polovina" definice neutrálního prvku a "druhá polovina" definice inverzního prvku. Skutečně je tomu tak (viz cvičení [2.1.B18]), tzn. platí, že daná pologrupa je grupou právě tehdy, když v ní existuje "pravá jednička" a ke každému jejímu prvku existuje "pravá inverze" . PŘÍKLAD 14. Na množině G = {a, b, c, d} je dána operace • tabulkou: a b c d a a c b d b c b c a c b c b a d a b b d Nalezněte všechny podgrupoidy, resp. podpologrupy, resp. podgrupy zadaného grupoidu (G, •). Řešení: nejprve uvažujeme postupně všechny neprázdné podmnožiny množiny G (kterých je celkem 15 ) a vyšetřujeme, zda jsou uzavřeny vzhledem k operaci •. Po jednoduchém výpočtu dostáváme celkem 6 podgrupoidů (//,-, •), 1 < i < 6, grupoidu (G, •), a to pro H1={a], H7 = {b}, H3={a,d}, H4 = {b,c], H5 = {a,b,c], H6 = G. Dále ověřujeme, zda v nalezených podgrupoidech platí asociativní zákon. Vyjde, že v (//&,-) a (H6,-) neplatí (neboť např . a ■ (a ■ b) = b ^ c — (o • a) • b), resp. v ostatních případech platí. Dostáváme tak celkem 4 podpologrupy grupoidu (G, •), a to: (//!,), (#2,.), (#3,0, (#4,-)- Nakonec vyšetřujeme, které z podpologrup jsou podgrupami. Zřejmě (#3, •) podgrupou není (neexistuje v ní neutrální prvek), kdežto ostatní jsou. Dostáváme tak celkem 3 podgrupy grupoidu (G, -), a to : (#!,.), (#2,.), (#4,-)- 16 I. Řešené příklady PŘÍKLAD 15 . Nechť A je libovolná neprázdná množina. Uvažme množinu 2A s operacemi symetrické diference -ř a množinového průniku n. Potom: a) dokažte, že (2A, (1) je komutativní okruh s jedničkou b) rozhodněte, pro jaké A je tento okruh oborem integrity . Řešení: a) pro množinu 2A s operacemi a D ověříme definici komutativního okruhu s jedničkou: 1. platí, že (2A, -í-) je komutativní grupa (viz Příklad 12); připomeňme, že roli nuly zde hraje prázdná množina 0 . 2. platí, že (2^,D) je komutativní pologrupa (plyne ihned ze známých vlastností množinového průniku): Dále je zřejmé, že jedničkou této pologrupy (tzn. neutrálním prvkem vzhledem k D ) je množina A. 3. dokážeme, že platí distributivní zákony (zřejmě vzhledem ke komuta-tivitě operace fl stačí ověřovat platnost pouze jednoho z nich). Při důkazu využijeme fakt (viz cvičení [1.2.B2]a), resp. [1.2.Bl]f)), že pro libovolné množiny K, L, M platí: K n (L U M) = (K f) L) U {K n M) K n (L - M) = (A' n L) - (K n M) Necht tedy A", Y, Z € 1A ; pak platí: in(ľŕZ) = in ((y -z)u(z- y)) = (x n (y - z)) u (x n (z- y)) = ((x n y) - (x n z)) u {(x n Z)- (x n y)) = ((x n y) -ť (x n z). Dohromady jsme tedy ukázali, že (2/l,4-,D) je komutativní okruh s jedničkou. b) vzhledem k předpokladu, že A ^ 0, je okruh (2A,-Ť-,n) vždy netriviální a z a) plyne, že je oborení integrity právě když neobsahuje dělitele nuly. Ale - je-li množina A jednoprvková, pak pro X, Y G 2A a X DY = 0 musí být X = 0 nebo y = 0 a tedy (2^,-5-,H) je obor integrity. - je-li množina A alespoň dvouprvková, pak v ní jistě existují dva různé prvky x,y, přičemž pak zřejmě € 2A jsou děliteli nuly v okruhu (2A,+,n) a tedy (2A,-r,C'\) není oborem integrity. Dohromady tak dostáváme, že okruh (2A,^-,!~\) je oborem integrity právě když množina A je jednoprvková. I, Řečené příklady 17 PŘÍKLAD 16 . Ve vektorovém prostoru R3 jsou dány vektory: Ul = (1,-2,3), u2= (2,-1,0), u3 = (1,1,-3), U4 = (1,0,-1). Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R3. Řešení: vektory u* , u2 , u3 , u4 generují vektorový prostor R3 právě když libovolný vektor x G R5 je jejich lineární kombinací. Nechť tedy x = (a, b,c) značí libovolný vektor z R3. Hledáme pak všechna reálná čísla íi, ť2 , *3, *4 splňující: ťl • Ui + t2 • U2 + Í3 • U3 + í4 • U4 = X . Po dosazení a úpravě dostáváme: h (1, -2,3) + ť2-(2, -1,0) + ť3-(l, 1, -3) + Ml, 0. "I) = b>c) (ťi + 2ť2 + ř.3 + t4, -2*1 -h +*3, 3ťi -3ť3 -í4) = (a,b,c) Ale dvě uspořádané trojice se rovnají právě když se rovnají jejich odpovídající si složky. Porovnáním těchto odpovídajících si složek tak dostáváme soustavu 3 rovnic o 4 neznámých tvaru: ťi +2ť2+ ť3 + ť4 = a —2ťi - ť2 + ť3 = b 3ťi. — 3ť3 — ť4 = c kterou řešíme užitím Gausssovy eliminační metody: 12 11 -2-1 1 0 3 0-3-1 12 11 0 3 3 2 0 0 0 0 12 11 0 3 3 2 0-6-6-4 a 6 +2a c + 26 + a a 6 +2a c — 3a Vidíme však, že poslední rovnice není splněna například pro hodnoty o xr b — c — 1, takže například vektor (1,1,1) není lineární kombinací zadaných vektorů Ui, u2 , u3 , u4 . Dostáváme tak, že vektory uj , u2 , u3 , u4 negenerují vektorový prostor R3 . STtolSKO VEDECKÝCH INFORMACÍ ekortomicJko-správrii fakulta MU 18 I. Řešené příklady PŘIKLAD 17. Ve vektorovém prostoru R2[x] jsou dány vektory (tj. polynomy): f=x2 + x + a, g = 4x2 + 5x + 4 , h = ax2 — 4x + 1 kde a G R. Určete, pro které hodnoty parametru a jsou vektory f, g , h lineárně závislé, resp. lineárně nezávislé. Řešení: hledáme všechna reálná čísla íi,Í2,t3 pro která platí: h f.+ írg + U-h = o (kde symbol o značí nulový vektor prostoru R^fx], tj. nulový polynom). Po dosazení a úpravě dostáváme: ti • (x2 + x + a) + h ■ (4x2 + 5x + 4) + ť3 • (ax2 - 4x + 1) = o (ťi+4í2+ať3)-x2 + (íi+5ť2-4ť3)-z +'(aťi+4ť2+*3) = 0-x2 + 0-x + 0. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme soustavu tří rovnic o 3 neznámých ii,Í2,Í3 (s parametrem a), kterou řešíme: tj + 4ť2 + at3 = 0 h + 5ť2 - 4t3 = 0 aíi+4ť2+ h = 0 odkud: 1 4 a 1 5 -4 a 4 1 "14 a 0" "1 4 a —► 0 1 -4-a 0 —► 0 1 -4-a 0 4-4a 1-a2 0 0 0 5a2+12a- 0 o o Ale v prvních dvou řádcích poslední matice jsou v hlavní diagonále nenulová čísla (nezávisle na parametru), a tedy počet řešení dané soustavy lineárních rovnic bude záviset na tom, zda číslo 5a2 + 12a — 17 je různé od nuly (pak bude mít soustava pouze jediné řešení, a to nulové) nebo zda je rovno nule (pak bude mít soustava nekonečně mnoho řešení, mezi nimi samozřejmě i nenulová). Rovnice 5a2 + 12a — 17 = 0 však má kořeny a\ — 1, 02 = — ■ Dostáváme tak, že: - pro c^l A a r ~ m^ daná soustava rovnic jediné řešení íj = to = t3 = 0, a tedy vektory f,g,h jsou lineárně nezávislé - pro a = l V c = — y má daná soustava rovnic zřejmě i nenulová řešení a tedy dané vektory f,g,h jsou lineárně závislé. I. Řešené příklady lít PŘÍKLAD 18. Nechť vektory a,b,c, d jsou bází vektorového prostoru V nad T. Rozhodněte, zda vektory ui = a + b -f c -f 2d , u2 = 3b + 5d u3 = a + b + 3c+2d , u4 = a + b + 5c tvoří též bázi tohoto vektorového prostoru V. Řešení: ze zadaní plyne, že dim V = 4. Víme (odkud ?), že v takovém případě jsou nějaké čtyři vektory bází prostoru V právě když jsou lineárně nezávislé (tzn. není již třeba ověřovat, zda generují prostor V). Budeme tedy vyšetřovat lineární závislost či nezávislost vektorů Ui, u2, u3, u4 . Nechť tedy : 11 ■ Mi + *2 ■ "2 .+ <3 • u3 + ť4 • U4 = o (1) a hledáme všechny hodnoty ťi,í2,í3,ť4, které splňují rovnici (1). Po dosazení a následné úpravě dostáváme: ť1-(a+b+c+2d) + iV(3b+5d) + ť3-(a+b+3c+2d) + U -(a+b+5c) = o (ťi+<3+t4)a+ (ťi+3ť2+Í3+í4)b + (íi+3ť3+5í4)c+(2í1+5ť2+2í3)d = o Ale podle zadání jsou vektory a, b,c,d lineárně nezávislé (neboť jsou bází) a tedy podle definice lineární nezávislosti musí platit: ii + í3+ U = 0 ii +3ť2+ t3+ U = 0 ťi + 3í3 + 5ť4 = 0 2ťi+5ť2 + 2í3 =0 Dostáváme tak soustavu 4 lineárních rovnic o 4 neznámých, kterou řešíme: 1 0 1 1 0" h-* 0 1 1 0- 1 3 1 1 0 0 3 0 0 0 1 0 2 5 0 t ... 0 0 2 4 0 to 5 2 0 0. .0 0 0 -2 0. Vidíme, že U = U' = h = h = 0 Je jediné řešení rovnice (1), což znamená, že vektory ui,U2,u3,u4 jsou lineárně nezávislé. Dohromady dostáváme, že vektory u1,u2,U3,u4 tvoří bázi vektorového prostoru V. 20 I. Řešené příklady I. Řešené příklady 21 Poznámka: při některých úlohách, zejména o vzájemné poloze pod-prostorů vektorového prostoru je možno s výhodou použít jednoduchých úvah o dimenzích (často v souvislosti s větou o dimenzi součtu a průniku podprostorů) a tím se vyhnout pracným množinovým výpočtům. Ukázkou je následující příklad. PŘIKLAD 19. Nechť W\,Wi jsou podprostory vektorového prostoru R^x] takové, že dimťťi = dimW^ = 3. Dokažte, že součet podprostorů W\ + W2 není přímým součtem. Řešení: uvedené tvrzení dokážeme sporem, tzn. předpokládáme, že dimVTi = dimVv^ = 3 a součet W\ + Wj je přímým součtem. Potom však Wi n W2 = {«} a užitím věty o dimenzi součtu a průniku podprostorů dostáváme: dim (Wi + W3) = dim W\ + dim W2 - dim(W^i D W2) = 3 + 3 - 0 = 6 což je spor, protože W\ + W2 je podprostor ve vektorovém prostoru R^fz], jehož dimenze je 5, a tedy dimenze podprostorů {W\ + W?) nemůže bvt větší než 5 . PŘIKLAD 20 . Určete paritu permutace P, je-li 2n+l 2n-r2 P = 12... n n+1 n+2 .. 14... 3n-2 2 5 .. . 2n . 3n-l .. 3n .. 3n Řešení: máme určit součet počtu inverzí v horním a dolním řádku tabulky permutace P. Ale v horním řádku není žádná inverze a počet inverzí v dolním řádku zjistíme tak, že bereme odleva jedno číslo po druhém, spočítáme kolik menších čísel stojí za ním a tyto hodnoty sečteme. Dostáváme tak: (0 + 2 + ■ ■ ■ + 2n-2) + (0 + 1 + • • • + n-1) + (0 + n ■ (n - 1) 0) = 3.(1 + 2 •+n-l) = 3 Vidíme, že toto číslo je sudé právě když buď n nebo ti—1 je dělitelné čtyřmi. Jinak řečeno to znamená, že zadaná permutace P je sudá pro n = 0,1 (mod 4), resp. je lichá pro n = 2, 3 (mod 4). Poznámka: při výpočtech determinantů je možno postupovat mnoha různými způsoby. V následujících dvou příkladech si ilustrujeme dvě nejjednodušší metody výpočtu determinantů matic n-tého řádu : a) metoda přímých úprav kdy pomocí úprav, které nemění hodnotu determinantu se snažíme danou matici převést na takový jednoduchý tvar, z něhož lze determinant okamžitě spočítat. Nejčastěji se snažíme buď pod diagonálou nebo nad diagonálou dostat samé nuly. b) rekurentní metoda kterou budeme v tomto textu používat v situaci, kdy máme dokazovat, že zadaný determinant matice rádu n (pro všechna n > uq) se rovná danému číslu. Budeme postupovat ve dvou krocích: 1: odvodíme rekurentní vztah, tzn. daný determinat vyjádříme pomocí stejného determinantu či determinantů, ale nižších řádů. Obvykle při tom používáme Laplaceovu větu. 2 : vztah, který je uveden v zadání příkladu dokážeme matematickou indukcí. Použijeme při tom rekurentní vztah, který jsme předtím odvodili v 1.kroku. Poznamenejme, že rekurentní metodu lze použít i v situaci, kdy předem neznáme výslednou hodnotu determinantu. V takovém případě se snažíme (většinou pomocí opakovaného užití Laplaceovy věty) tuto hodnotu "uhádnout" a potom postupovat tak, jak bylo popsáno v b). Dodejme ještě, že ne vždy je nutné počítat determinant pomocí některé z popsaných metod, ale je možno postupovat i jinak, což je např. ilustrováno v Příkladu 23. PŘÍKLAD 21. Spočtěte | An \, kde A„ je matice řádu n > 2. tvaru: An a x x x a x x x x x x a. Řešení: v matici A„ provedeme úpravy, které nemění hodnotu determinantu, a to: přičteme všechny sloupce k 1. sloupci a po vytknutí odečteme 1. řádek od všech ostatních řádků. Dostáváme: a + (n—l)x x x ... x x a + (n— l)x a x ... x x \An\ = a + (n—l)x x x 22 I. Řešené příklady I. Řešené příklady 23 = (o +(»-!)*)• = (o + (n-l)«)- O O = (a + (n-l)z) • (a - x)"-1, 1 X X ... X X 1 a x ... x x 1 x x ... x a 1 x x ... x x O a-x O ... O O O a — x PŘIKLAD 22. Nechť An značí matici řádu n, tvaru: A„ 5 3 0 O ... 0 O 2 5 3 O ... 0 O .0 O O O ... 2 5. Dokažte, že pro každé přirozené n platí: | An \ = 3"+1 - 2n+1 . Řešení: 1. užitím Laplaceovy věty (rozvojem nejprve podle l.sloupce a potom podle 1.řádku) dostáváme : \A„\ = 5Un.il- 2 3 0 0...0 0 2 5 3...0 0 0 0 0...2 5 = b\An. 6\A„, což je hledaný rekurentní vztah, platící pro každé n > 3. 2. matematickou indukcí dokážeme, že platí: | A„ |= 3n+I — 2"+1, pro každé n > 1. a) \Ai \ = 5, resp. 32 - 22 = 5 5 3 2 5 A2\ = = 19 , resp. 33 - 23 = 19 což znamená, že pro n = 1,2 dokazovaný vztah platí. /?) předpokládáme, že dokazovaný vztah platí pro 1,2, ...,n—1 (kde n > 3 ) . Užitím rekurentního vztahu a indukčního předpokladu dostáváme: \A„ | = 5| An-! I - 6| An.21 = 5-(3" - 2") - G-^"-1 - 2""1) = 5 • 3" - 5 • 2" - 2 • 3" + 3 • 2" = 3n+1 - 2n+1. Poznámka: v předchozím příkladu jsme v 1.kroku matematické indukce dokazovali zadaný vztah pro více než jednu hodnotu n (v našem případě pro n = 1 a pro n = 2 ). Je to způsobeno tím, že rekurentní vztah, který se v důkazu matematickou indukcí později používá, platí až od n > 3 . Je tedy nutné mít ve 2.kroku matematické indukce zajištěno, že je n > 3 (neboli n—1 > 2). Toho však v našem případě dosáhneme tím, že dokážeme platnost zadaného vztahu pro n = 1 a n — 2. PŘIKLAD 23 . Nechť n > 2; pak užitím Cauchyovy věty o součinu determinantů vypočtěte determinant | A„ \, je-li An - cos(x! - yi) cos(zi - y2) • • • cos(a:i - yn) cos(x2 - 2/1) cos(z2-2/2) •■• cos(x2-yn,\ cos(x„ - yi) cos(xn -y2) ... cos(xn - yn) Řešení: budeme se nejprve snažit (podle návodu uvedeného v zadání) danou matici An napsat jako součin dvou vhodných matic, například takto: cos x\ sin xi 0 ... 0 cos X2 sin X2 0 ... 0 cos 23 sin £3 0 ... 0 _cosx„ sinxn 0 ... 0 cos t/i cos t/2 sin 1/1 sin 2/2 0 0 0 0 cosyn smyn 0 0 Užitím Cauchyovy věty pak dostáváme, že determinant | An | je roven součinu determinantů obou uvedených matic. Ale z tohoto vyjádření již okamžitě plyne, že,: - pro n > 3 obsahuje poslední matice nulový řádek, tzn. je | An |= 0 - pro n = 2 výpočtem (s využitím součtových vzorců) obdržíme: \An cosxi sinii cosx2 sin £2 cos 3/1 cos t/2 sin 2/1 sin 2/2 sin(x2-xi)-sin(y2-yi)- 24 I. Řešené příklady Dohromady tak dostáváme, že: sin(z2-a;i)-sin(!/2-!/i) An 1 = o pro n — 2 pro n > 3 PŘIKLAD 24. Nalezněte všechny reálné matice A', které jsou zaměnitelné s danou reálnou maticí A (tj. platí: X ■ A = A ■ X), je-li: A- 1 2 3 4 Řešení: ze zadání p Označme tedy : X ~ yne, že A' musí být čtvercová matice řádu 2. *i X2 x3 x4 Pak dosazením a úpravou dostáváme: 'xi x2 1 2 1 2' X2 .Z3 3 4_ 3 4_ ,X3 X4 xi + 3x2 2zi + 4x2 x3 + 3x4 2x3 + 4x4 xj + 2x3 x2 + 2x4 3xj -f 4x3 3x2 + 4r4 odkud porovnáním odpovídajících si prvků a úpravou vychází: 3x2 - 2x3 =0 2x! + 3x2 -2z4 = Q 3xj +3x3 — 3x4 = 0 3x2 - 2x3 =0 Tuto homogenní soustavu lineárních rovnic řešíme obvyklým způsobem : 2 3 3 0 0 o- -1 0 1 -1 o- -2 0 0 3 -2 0 0 -3 0 0 3 -2 0 0 0 0. .0 3 -2 0 0. 10 1-1 0 3-20 Zvolíme např. x3 = 3r, x4 = s , odkud pak x2 = 2r , X\ — —3r + s , tzn. hledaných matic je nekonečně mnoho a jsou tvaru : X = -3r + í 2r 3r í pro každé r, s £ R. I. Řešené příklady PŘÍKLAD 25 . Je dána reálná matice A tvaru: 25 A = 1 2 3 4 Nechť W značí množinu všech reálných matic, které jsou zaměnitelné s maticí A, tzn. W = {X e Mat22(R) | X-A = AX) .. Potom.: a) dokažte, že W je podprostor vektorového prostoru Mat22(R) b) nalezněte bázi a dimenzi podprostoru W . Řešení: a) ověříme, že množina W splňuje definici podprostoru vektorového prostoru. Ale: o) zřejmě je W ^ 0 , neboť např. A 6 W 0) nechť Aľ, Y G W, tzn. platí A-X = X-A a ^4-7 = Y-A. Budeme dokazovat, že X + Y 6 W. Ale platí (proč ?): (X + YM = X-A + Y-A = yl-X + yl-y = A-(X+ Y) odkud plyne, že skutečně je X + Y € W j) nechť r € R, A' G W, tzn. platí a-j4 = A-X . Budeme dokazovat, že r ■ X G W. Ale platí (rozmyslete si podrobně proč!): (r ■ X) ■ A — r ■ (X ■ A) = r ■ (A ■ X) = A ■ (r ■ X) a tedy skutečně je r ■ X £W. Dohromady tak dostáváme, že W je podprostor vektorového prostoru Mat22(R). b) nejprve se budeme snažit podat množinový popis podprostoru w, tzn. popis všech matic a 6 W. To jsme však již provedli v předchozím Příkladu 24 , kde nám vyšlo, že : a g w X -3r + « 2r 3 r .<; pro každé r. s E R . 26 I. Řešené příklady Vidíme tedy, že za r,í lze provést maximálně dvě nezávislé volby, např. r = 1, s = 0, resp. r = 0 , s = 1, odkud ihned dostávame, ze dimW = 2 a bází W jsou např. matice: Xi = -3 2 3 0 X2 = 1 0 0 1 PŘÍKLAD 26. Určete hodnost matice A (nad R) v závislosti na parametrech r, s € R , je-li A = 1 0 s-3-11 1 1 5 s 1 s 3 4 9 8 1 1 s s r na Řešení- matici A převádíme elementárními řádkovými úpravami: schodovitý tvar a v závislosti na parametrech r, s provádíme diskuzi o její hodnosti. Tedy: ri 0 s -3-1 0 1 0 s+3 2 0 3 4-í2 9+3s 8+5 0 1 0 s+3 r+1 rl 0 s -3 -1 0 1 0 s+3 2 0 0 4-s2 0 2+s 0 0 0 0 r-1 Alp 4 _ s2 = (2 + s) • (2 - s), tzn. hodnoty parametru, které mohou ovlivnit hodnost matice A jsou r = 1,B = 2,-2. Jednoduchým rozborem těchto možností pak dostávame, ze : /i(A) = 2 pro r = 1, ä = -2 h(A) = 3 pro r = 1, s ŕ -2 nebo r # 1, * = 2, -2 ft(A)=4 prorvi, «#2,-2. PŘÍKLAD 27 . Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány podprostory Wi - [ui,u2], W2 = [vi,v2], kde: Ul = (1,1,1,0), u2 = (2,3,2,1), Vl = (2,3,2,3), v2 = (1,1,1,2). Nalezněte dimenzi a bázi podprostoru W, , resp. W, , resp. Wi + W7 , resp. W\ n Wi ■ I. Řešené příklady 27 Řešení: přímo ze zadání je vidět (proč ?) , že: dimWi — 2 a bází W± jsou např. vektory Ui,ii2; dim^ = 2 a bází 1^2 jsou např. vektory ~vi^2 ■ Dále budeme nejprve zjišťovat dimenzi a bázi W\ + W2 ■ K tomu stačí (proč ?) napsat všechny vektory ui, u2 , Vj , v2 do matice a tuto matici převést na schodovitý tvar. Tedy: ■1 1 1 0- ■1 1 1 0^ -1 1 1 0- 2 3 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 3 2 3 0 1 0 3 0 0 0 2 .1 1 1 2. ,0 0 0 2. .0 0 0 0. odkud plyne (proč ?), že dim(Wt + W2) = 3 a bází W\ + W2 jsou např. vektory (1,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,0,2). Nakonec nalezneme dimenzi a bázi průniku W\ íl W2 . Dimenzi zjistíme okamžitě, neboť z předchozího výpočtu a z věty o dimenzi součtu a průniku podprostoru plyne, že : dim{W1 n W2) = dim Wi + áxmW? -.dim(Wi + W2) = 2 + 2- 3=1. Hledáme tedy bázi Wi n W2 ■ Je-li x G Wi D W2 libovolný, potom je: X = íi-Ui + ť2-U2 = ť3Vi+ť4V2 odkud po úpravě a dosazení dostáváme: ťj (1,1,1,0) +12 (2,3,2,1) - í3 (2,3,2,3) - U (1,1,1,2) = (0,0,0,0). Porovnáním odpovídajících si složek vektorů na levé a pravé straně obdržíme soustavu 4 lineárních rovnic o 4 neznámých: U + 2*2 - 2í3 - U = 0 ti + 3<2 - 3í3 - U = 0 ii + 2i2 - 2ť3 - u = 0 í2 - 3/3 - 2 U = 0 Tuto soustavu řešíme obvyklým způsobem: •1 2-2-1 0- "I. 2-2-1 0- 1 3-3-1 0 0 1-1 0 0 1 2-2-1 0 0 0 0 0 0 .0 1 -3 -2 0. .0 1-3-2 0 1 1 - 2 -1 0' 0 1 -1 ,0 0 0 0 2 -2 0 28 I. Řešené příklady I. Řešené příklady 29 Zvolíme-li í4 = r, dostáváme t3 = — r, a tedy x = -r • V! + r ■ v2 = (—r, -2r, -r, -r) pro každé r € R (všimněte si, že k určení vektoru x nebylo nutné počítat neznámé ť1,ť2)- Volbou napr. r = -1 dostáváme hledanou bázi průniku Wi n W2 , kterou pak tvoří vektor (1,2,1,1). PŘÍKLAD 28 . Je dána soustava lineárních rovnic (nad R) tvaru: X\ + x2 + x3 = 3 ii + ai2+ x3 = 2 bx\ + 2x2 + 2:c3 = c Rozhodněte (v závislosti na parametrech a, b, c, € R) o počtu řešení této soustavy. Řešení: rozšířenou matici dané soustavy budeme elementárními řádkovými úpravami převádět na schodovitý tvar a přitom provádět diskuzi počtu řešení v závislosti na hodnosti matice soustavy, hodnosti rozšířené matice soustavy a počtu neznámých. Tedy: "1 1 1 3' 1 1 1 3 1 a 1 2 —► 0 a- 1 0 -1 6 2 2 c 0 2-6 2-6 c - 36 Vidíme, že je-li a = 1, pak daná soustava nemá řešení; předpokládejme tedy nadále, že a ^ 1. Potom: "1 1 1 3 '1 1 1 0 a- 1 0 -1 —> 0 1 0 0 2-6 2-6 c-36 0 0 2-6 3 i 1-0 c-36 -i J odkud plyne, že je-li 6^2, pak má daná soustava jediné řešení, resp. je-li 6 = 2, c ^ 6, pak soustava nemá řešení, resp. je-li 6 = 2, c = 6, pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Shrneme-li celou odpověď, dostáváme, že daná soustava lineárních rovnic - má jediné řešení pro a^l, 6^2, c € R libovolné - má nekonečně mnoho řešení pro a ^ 1 , 6 = 2, c = 6 - nemá řešení pro a = 1, 6 6 R libovolné , c € R libovolné nebo pro o# 1, 6 = 2,^6. PŘIKLAD 29. Určete (v závislosti na parametru p € R) dimenzi a bázi podprostoru řešení W zadané homogenní soustavy lineárních rovnic (nad R): pxj + (p+l)x2 + px3 + pz4=0 pxi + (P+I)x2 - 2x3+ px4=0 pxi + (p+l)x2 + px3 +(2p+2)x4 = O -2p*i + (p+l)x2 + px3 + í>x4 = 0 Řešení: nejprve budeme danou soustavu obvyklým.způsobem řešit: P P P P+l p p ■p+1 -2 p P+l p 2p+2 -2p p+l p O O O OJ p o o LO P+l O o 3(P+1) P P -2-p O O p+2 3p 3p Ol O O O p o o Lo p+i p+i o o p p p p P+2 0 0 p+2 Vidíme, že hodnoty parametru p, které mohou ovlivnit dimenzi, resp. bázi podprostoru řešení W jsou p = 0,-1,-2. Rozborem jednotlivých možností dostáváme: a) je-li p^O A p^ -1 A p^-2,pak zřejmě podprostor W je nulový, tzn. dim W = 0 a báze W neexistuje b) je-li p = 0, pak dostáváme: ro 1 0 0 0 10 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 o o OJ 0 1 o o o o o o 2 0 0 2 odkud ihned plyne, že dim W = 1 a bází W je např. vektor (1,0,0,0) c) je-li p = — 1, pak dostáváme: r-i o o o o o -1 -1 -1 -1 1 o 0 1 o o odkud ihned plyne, že dim w o-0 0 0. "1 0 1 1 0' —► 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 a bází W je např. vektor (0,1,0,0) 30 I. fteěené příklady d) je-li p = —2 , pak dostaneme: ■-2 -1 -2 -2 0" 0 -1 -2 -2 0 '2 0 0 0 0' 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 . 0 0 0 0 0. odkud plyne, Še W = {(O^r-f 2s, r, s) | r,s £ R} a tedy dim W = 2 a bází W jsou např. vektory: (0r2,1,0), (0r2,0,1). PŘÍKLAD 30. V euklidovském prostoru R5 (s obvyklým skalárním součinem) je zadán podprostor W jakožto množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: xi + 2x2 + x4 + x5 = 0 5xi+9x2- x3 + 2x4 + x5 = 0 2íl + 3X2 — X3 — x4 — 2a:5 = 0 Xi —2X3 — 5X4-7X5 = 0 Nalezněte homogenní soustavu lineárních rovnic, jejíž množinou řešení je ortogonální doplněk Wx podprostoru W . Řešení: víme (viz cvičení [6.2.B14]), že vektory sestavené z koeficientů jednotlivých rovnic dané soustavy, tj. vektory ui = (1,2,0,1,1), u2 = (5,9,-1,2,1), u3 = (2,3,-1,-1,-2), u4 = (1,0,-2,-5,-7) jsou generátory ortogonálního doplňku Wx . Stačí tedy, abychom podle známého algoritmu nalezli homogenní soustavu lineárních rovnic, jejíž množinou řešení je podprostor [ui, u2 , U3 , u4 ]. Stručně řečeno, danou soustavu vyřešíme, nalezneme bázi jejího podprostoru řešení a pak složky vektorů této báze budou tvořit koeficienty v hledané homogenní soustavě lineárních rovnic. Tedy : 12 0 11 5 9-1 2 1 2 3-1-1 -2 1 0-2-5 -7 12 0 11 0 113 4 Zvolíme: X3 = r, x4 = s, x5 = l, odkud x2 = — r — 3s — AI, xx = 2r + 5s + 7í. Bázi podprostoru řešení teď získáme tak, že za 3 volné neznámé provedeme postupně 3 nezávislé volby, např.: I. ftešené příklady 31 pro r = 1, s= 0, t = 0 dostáváme (2,-110 0) pro r = 0,s=l)ť = o dostáváme (5,-3,()Yo) pro r = 0,s = 0,ť = l dostáváme (7,-4,0,0,1) a tedy hledaná homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž množinou resem je podprostor W± je např. tvaru: množinou 2x! - x2 + x3 - Q 5xi-3x2 -fx4 = o 7*i - 4x2 + x5 = 0. PŘIKLAD 31. V euklidovském prostoru R4 (s obvyklým skalárním součinem) je dán podprostor W — [ui, U2, U3], kde : u1 = (1,0,-1,2), u* = {1,2,3,-2), u3 = (2,1,0,2). Nalezněte ortonormální bázi podprostoru Wx . Řešení: 1. nejprve budeme hledat bázi Wx . Využijeme přitom faktu, že x = (xi,x2,x3,x4) € WL <=> xlui,u2,u3 (viz cvičení [6.2.B13]). Rozepsáním odsud dostáváme: xi — «3+ 2x4 = 0 xi + 2x2 + 3x3-2x4 = 0 2xi + x2 + 2x4 = 0 a tuto soustavu lineárních rovnic obvyklým způsobem řešíme: [1 0-1 2 0' * [0 1 2-2 0 " Zvolíme: x3 = r , x4 = « odkud : x2 = —2r + 2s , xi = r — 2s . Potom (volbou např. r = 1, s = 0, resp. r = 0, s = 1) dostáváme bázi ortogonálního doplnku W1: "1 0 -1 2 0" "1 0 -1 2 0" 1 2 3 -2 0 —► 0 2 4-4 0 2 1 0 2 0 0 1 2-2 0 Vi = (1,-2,1,0), v2 = (-2,2,0,l). 32 I. Řešené příklady 2. pomocí Gram-Schmidtova ortognalizačního procesu najdeme ortogonální bázi ©i, e2 podprostoru W1 — [vj, v2]. Tedy: ei =vj = (1,-2,1,0) e2 = k ■ ei + v2 => k — —1> = — =1 = 1, odkud dostáváme : e2 = ei + v2 = (-l,0,l,l). 3. vektory ei, e2 normujeme. Ale | ei |= ^fš, | e2 |= -v/3, odkud plyne, že hledanou ortonormální bází podprostoru Wx jsou například vektory: f1 = ~-(1,-2,1,0), f2 =-^-(-1,0,1,1), PŘÍKLAD 32 . V euklidovském prostoru R5 (s obvyklým skalárním součinem) je dán podprostor W = L{eue2), kde ei = (-1,2,3,2,1), e2 = (2,3,2,4,1). Nalezněte ortogonální projekci x vektoru u = (6,-1,-7,3,4) do podprostoru W. Řešení: víme, že vektor u lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru: u = x + y , kde x G W, y G W1 . Poněvadž x G W , lze psát: x = ty ■ ei + t2 ■ e2 odkud po dosazení: u = ťi • ei -f- ť2 ' e2 + y Nyní, skalárním vynásobením vektorem ei , resp. vektorem e2 (uvedomte si, že přitom využíváme toho, že ei - y = 0, resp. e2 • y = 0) dostáváme soustavu 2 lineárních rovnic o 2 neznámých ti , i2 tvaru: tel-u = ti - (ei-ei) + t2 • (ere2) e2-u — ťi ■ (e2-ei) + ť2 • (e2-e2) -19 = 19ťi + 19 ť 2 11 = 19ťi + 34 i2 odkud bezprostředně vychází, že t\ = — 3 , ť2 = 2. Tedy : x = -3- ej + 2- e2 = (7,0,-5,2,-1) je hledaná ortogonální projekce vektoru u do podprostoru W . I. Řešené příklady 33 PŘÍKLAD 33. Je dáno lineární zobrazení ip : R4 —> R5 takto: pro libovolné x = (x\, x2, X3,2:4) G R4 je ip{x) ~ (x2 + x4 , x2 + x3 + x4 , 0 , x2 +14 , X3) . Nalezněte jádro Ker

((0,0,1,0)) =(0,1,0,0,1). Ale je vidět, že oba tyto vektory jsou zřejmě lineárně nezávislé, a tedy Im ip = [ (1,1,0,1,0), (0,1,0,0,1)], což jinak zapsáno znamená, že hledaný obraz je tvaru : Im ip - {(t, t + s, 0, t, s) [1,5 G R} . 3-1 I. Řešené příklady PŘÍKLAD 34. Lineární zobrazení

(uj) + 3-#(u2) +. (ui) -i- 4-^(u2) + i^(u3) = 2u2-r2u3 ^(v3) = ^("í) + 2-^(u2) +2-^(u3) =-3u1+2u2-f 6u3. 36 I. Řešené příklady Dále, podle definice matice X , dosazením z (1) po úpravě dostáváme: ip(vi) = «11 vx + x21 v2 + x3i v3 = = (2«li+3í21+*3l)-»l + (3xn+4x21 +2x31)-U2 + (xil+X21+2x3l)-U3 tp(v2) = X12 V! + X22 V2 + X32V3 = = (2xi2+3x22+x32)-ui + (3x12+4x22+2ar32)-u2 + (xi2+x22+2x32)-u3 A V -iB byly nepravdivé výroky. [1.1.A3j. U.p. výroků A, B tak, aby A => B byl pravdivý výrok a B => A byl nepravdivý výrok. [1.1.A4]. U.p. výroků A, B tak, aby A => B byl pravdivý výrok a -•£ => ->A byl nepravdivý výrok. [1.1.A5]. U.p. výroků A, B tak, aby obě implikace A s* B a B =ř> A byly pravdivými výroky. [1.1.A6J. U.p. výroků A, B tak, aby obě implikace A =ř- B a B => A byly nepravdivými výroky. [1.1.A7]. U.p. výrokové funkce, jejíž definiční obor je roven oboru pravdivosti. [1.1.A8]. U.p. výrokové funkce, jejímž oborem pravdivosti je prázdná množina. [1.1.A9]. U.p. matematické věty, kterou znáte ze střední školy, a která má tvar ekvivalence dvou výroků. [1.1.A10]. U.p. matematické věty, kterou jste na střední škole dokazovali matematickou indukcí. * * * 40 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky [1.1.B1]. Rozhodněte, která z uvedených sdělení jsou výroky. U výroku pak určete jeho pravdivostní hodnotu: a) "Kolik je hodin?" b) "Číslo 210 + 1 je prvočíslo." c) "Číslo x je sudé číslo." d) "Odbočení vpravo je zakázáno!" [1.1.B2]. Nechť symboly A, resp. B, resp. C značí tyto výroky: "Číslo 210+ 1 je dělitelné třemi", resp. "Číslo 210 -f 1 je dělitelné pěti" resp. "Číslo 210 + 1 je dělitelné sedmi". Potom zapište pomocí symbolu A, B, C a logických spojek následující výroky: a) "Je-li 210 + 1 dělitelné 3, pak není dělitelné 7." b) "Není-li 210 + 1 dělitelné 3 a je dělitelné 5, pak je dělitelné 7." c) "Není-li 210 + 1 dělitelné 5, pak není dělitelné 3 nebo 7." d) "210 + 1 je dělitelné 5 právě když není dělitelné 3 ani 7." [1.1.B3]. Rozhodněte o pravdivosti výroků A,B,C z předchozího příkladu a dále o pravdivosti složených výroků z a), b), c), d) předchozího příkladu. [1.1.B4]. Dokažte, že výroky ->(A => B) a (A A ->B) jsou ekvivalentní. [1.1.B5). Logická spojka |, definovaná tabulkou pravdivostních hodnot: P (A) P(B) P(A\B) 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 se nazývá Shefferův symbol. Dá se dokázat, že pomocí Sheňerova symbolu lze vyjádřit každou z logických spojek -i , A , V ,=>-,■<=> . Rozhodněte, která z uvedených logických spojek je vyjádřena vztahem: a) A | (A | B) b) {A | B) | (A | B). [1.1.B6]. Výrok, jehož pravdivostní hodnota je vždy 1, nezávisle na tom, jaké jsou pravdivostní hodnoty výroků, z nichž je utvořen, se nazývá tautologie. Dokažte, že následující výroky jsou tautologie : a) "*(AA i^A)) b) A => (B => (A A B)) c) --(A^ B)&(AA(^B)) d) A o (A A (A V B)). §1: Základní logické pojmy 41 [1.1.B7]. Určete obor pravdivosti následující výrokové formy, jejími definičním oborem je množina R všech reálných čísel: a) |2x-l|< |3-x| b) * - 6 >*•(*- 3) c) x2 - 5x + 6 > 3 - x d) (x + 2) • (x - 2) > 2x - 5 [1.1.B8J. Utvořte negaci (bez použití obratu "není pravda, že...") výroku: a) "Napsal to Petr nebo Pavel." b) "Dnes bude pršet a zítra nebude svítit slunce." c) "Jestliže se budu učit, pak zkoušku z algebry udělám." d) "Budu-li mít volno, pak půjdu do kina nebo do divadla." [1.1.B9]. Utvořte negaci (bez použití obratu "není pravda, že ...") výroku: a) "Žádná kulička ležící na tomto stole není modrá." b) "Alespoň jedno celé číslo je sudé a žádné celé číslo není liché." c) "Pro všechna kladná reálná čísla r, s platí, že r < r - s ." d) "Existují celá čísla ťi,.. .-,*„, Z nichž alespoň jedno je různé od nuly, tak, že íi +----M„ = 0." e) "Pro libovolná přirozená čísla oi,..., a„, kde n > 5 a alespoň jedno z těchto čísel je větší než 5 platí: a\ +----h án > 10 f) "Existují komplexní čísla z\, 22,23, která jsou všechna ryze imaginární tak, že jejich součin z\ ■ z2 • z3 je číslo reálné ." [1.1.B10]. Udejte podmínku, která a) je dostatečná, ale není nutná b) je nutná, ale není dostatečná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby přirozené číslo x bylo dělitelné 66. [1.1.B11]. Následující tvrzení dokažte jednak matematickou indukcí a jednak bez použití matematické indukce: n -(n+1) a) pro každé přirozené číslo n platí: 1 + 2 -i-----h tj =--- b) pro každé přirozené číslo n platí: 1 + 3 + 5 +----h (2n — 1) = n [1.1.B12]. Matematickou indukcí dokažte, že a) pro každé n G N platí : 6 • (l2 + 22 + ■ • • + rr) = n ■ (n + 1) • (2n + 1) b) pro každé n G N platí : 2"_1 < n! c) pro každé celé číslo n > 3 platí : 2" > 2n -f 1 d) pro každé celé číslo n > 4 platí : 3" > n3 e) pro každé celé číslo n > 5 platí : 2n > n2 42 II. Cvičení - Kap. 1: Opakováni' a doplnění středoškolské látky [1.1.B13]. Nechť n značí libovolné přirozené číslo. Uvažme tvrzení: " 2 + 4 + • • • + 2n = (n + 2)(n - 1) " . Pak ukažte, že a) uvedené tvrzení neplatí pro žádné přirozené n b) uvedené tvrzení lze "dokázat" matematickou indukcí, vynecháme-li v ní 1. krok (tzn. vidíme, že 1. krok nelze při důkazu matematickou indukcí vypustit). [1.1.B14]. Posloupnost celých čísel 01,02,03,... je definována rekurentně takto: oi = 3, o2 = 5 ; a„ = 3a„_i — 2a„_2 pro n>3. Matematickou indukcí dokažte, že pro V n £ N je : an = 2" + 1. [1.1.B15]. Posloupnost přirozených čísel 1(1,112,113,... je definována rekurentně takto: «1 = 1, «2=1; un+2 = ti„+i + u„ pro n > 1 (tato posloupnost se nazývá Fibonacciho posloupnost a její členy se nazývají Fibonacciho čísla). Dokažte, že platí: un+a = u„_i • u, + u„ • uí+i pro Vn > 2 celé, Vs£N. (Návod: důkaz §2: [1.2.A1]. U.p. množiny. [1.2.A2J. U.p. množiny. [1.2.A3]. U.p. [1.2.A4]. U.p. [1.2.A5]. U.p. A - B = 0. [1.2.A6J. U.p. [1.2.A7]. U.p. [1.2.A8]. U.p. podmnožin. veďte matematickou indukcí vzhledem ks.) ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ POJMY konečné množiny M, jejímiž prvky jsou nekonečné nekonečné množiny M, jejímiž prvky jsou konečné množin A, B tak, aby množina A x 2B měla 18 prvků, množin A, B, C takových, žeAnBCAHČľ a B £ C. nekonečné množiny A a konečné množiny B tak, že dvou různých množin A, B tak, že A — B C B — A . množiny A, která má právě 3 podmnožiny. množin A, B tak, aby množina A x B měla právě 32 •j2: Základní iiinic/inovr pojmy 43 [1.2.A9]. Nechť A = {0,1,2}. Přečtěte nahlas následující výroky a rozhodněte, které z nich jsou pravdivé a které nepravdivé: «•»)() C/ b){0}GA c)0CA d){0}CA e)0 € A f)0Ci4 g){0}€A h){0}CA i) {2} £{2, {2}} j){2}C{2,{2}} [1.2.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby množiny A, B byly různé. [1.2.B1]. Dokažte, že pro libovolné množiny A,B,C platí: a) A - B = (A U B) - B = A - (A n B) b) A n B = A - (A - B) c) A U B = (A - 5) U (B - A) U (A n 5) d) A - (5 n C) = (A - 5) U (A - C) e) A - (B - C) = (A -B) U (A n C) f) A n (B - C) = (A n B) - (A n C) = (A n B) - c [1.2.B2]. Nechť / je neprázdná indexová množina a nechť A, B, jsou množiny, pro každé i £ 7. Dokažte, že platí: a) A n (J Bi = [J (A n B,)' b) A U f] £, = n U *) c) A - f) Bi = (JO* - B,) d) A x U Bi = \J(A x B,) [1.2.B3]. Nechť A„,Bn (n £ N) jsou množiny, splňující podmínky: (*) A„ D A„+i , B„ D B„+i pro každé n £ N Potom: a) dokažte, že: f| (A„ UB„) = f) An U f| B„ n —1 n = l n = l b) ukažte, že předchozí rovnost neplatí, vynecháme-li předpoklad (*). [1.2.B4]. Nechť I značí množinu všech prvočísel. Pro každé prvočíslo p £ 7 označme: Ap = {x £ N | p dělí x} . Dokážte, že pak platí: a) (J Ap = N - {1} b) Q Ar = % c) je-li J ^ 0 libovolná konečná množina prvočísel, pak f] Ar ^ 0- 44 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky §3: Základni vlastnosti celých čísel ■ľ- [1.2.B5]. Dokažte, že pro intervaly na reálne ose platí: oo oo a) n(i-^2+i) = (i,2) b) n(i-^r,2+^r) = (i,§) c) U(l4'2+^) = (°>3) d) U(1--^T>2+^T) = (0,3) Definice. Nechť A, B jsou množiny. Pak množina (A — B) U (B — A) se nazývá symetrická diference množin A, B a. označuje se A -ŕ- B. Vidíme tedy, že A -ŕ- B je množina všech takových prvků, které patří právě do jedné z množin A, B (nakreslete si obrázek !). [1.2.B6]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že platí: a) A -ř B = (A U B) - (A D B) b)A + B = B + A c)AuB = A + (B±(AnB)) d) A-B = A + (Ar\B) e) A n (B h- C) = (A n B) -ť {A n C) [1.2.B7]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokážte, že platí: a.)A + B = Q<=*A = B b)A + C = B + C=>A = B [1.2.B8]. Nechť A je konečná, n-prvková množina (n > 0). Dokážte, že množina 2A má právě 2" prvků. [1.2.B9]. Nechť A = {a,b,c,d); nalezněte všechny prvky A' množiny 2A, pro které platí: a) Xn{a,b,d} = {a,d} b) A" U {a,6,d} = {a, d] [1.2.BIO]. Nechť A, B jsou množiny. Dokazte, že: a) 2A Cl 2B = 2AnB b) 2A U 2B C 2'4uB c) obecné neplatí rovnost 2A U 2B = 2xuB. [1.2.Bil]. Nechť .4 = {1,2,3}, 5 = {3,7}, C - K. Popište množiny: A x B, resp. B x A, resp. B x B, resp. B x C, resp. B x 2B. [1.2.B12]. Nechť A, B, C, Z) jsou množiny. Dokážte, že: a.) A C C, B C D => ^xBCCxP b) j4 C B => ixCCBxC c) obecně neplatí implikace: AC B => j4 x C C B x C [1.2.B13]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokážte, že platí: a) A x (B U C) - [A x B) U {A x C) b) (B U C) x A = (B x .4) U (C x A) c) j4 x (B D C) = (.4 x B) n (v4 x (ľ) d) (B D C) x A = (B x A) D (C x A) e) A x (B - C) = (A x B) - (A x C) f) (B - C) x A = (B x A) - (C x A) [1.2.B14]. Nechť A, B, C, D jsou množiny. Dokážte, že platí: a) (AU B) x (C U D) - {A x C) U (A x D) U (B x C) U (B x D) b) (A n B) x (C D D) = (A x C) n (B x D) = (A x D) n (B x C) c) (A x B) - (C x D) = ({A - C) x B) U (A x (B - D)) [1.2.B15]. Nechť A, B, C jsou množiny. Dokažte, že obecné neplatí: a)A-B = B-A b) A - (B - C) = (A - B) - C c) A U (/í x C) = (.4 U B) x (A U C) d) .4 n (/< x C) = {A n /í) x (.4 n C) §3: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI CELÝCH ČÍSEL [1.3.A1]. U.p. celých čísel a, b, c tak, že a | • c, ale a { 6 A a \ c. [1.3.A2]. U.p. celých čísel x, y tak, že 7 j (21i - 56j/). [1.3.A3]. U.p. dvou různých celých čísel a, b tak, že a | 6 A b \ a . [1.3.A4]. U.p. celého čísla a, které po dělení 8 dává zbytek -2. [1.3.A5]. U.p. celých čísel o,fc, k nimž neexistuje (a, b). [1.3.A6]. U.p. dvou různých celých čísel a, b tak, že (a, b) = -a. [1.3.A7]. U.p. celých čísel a, 6 tak, že a = b (mod 9) A b £ a (mod 9). [1.3.A8]. Uveďte, kolik existuje záporných čísel, která jsou kongruentní s číslem 6 podle modulu 7. [1.3.A9]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby celá čísla a, b byla kongruentní podlc modulu C. [1.3.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby celá čísla a, 6 nebyla nesoudělná. 46 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění středoškolské látky [1.3.B1]. Nalezněte podíl q a zbytek r po dělení čísla a číslem 6, je-li: a) a = 0, b = 7 b) a = -5, 6 = 7 c) a = 47, fe = —11 d) a = -47, 6=11 e) a = n2 + 1, 6 = n + 1, kde n > 2 je celé číslo f) a = n3 - 1, 6 = n+l, kde n je přirozené číslo. [1.3.B2]. Nechť a je libovolné celé číslo. Dokazte, že a) c2 dává po dělení 4 zbytek 0 nebo 1 b) a4 dává po dělení 8 zbytek 0 nebo 1. [1.3.B3]. Dokažte, že zbytek po dělení druhé mocniny libovolného celého čísla a číslem 12 může nabývat pouze čtyř hodnot a určete tyto hodnoty. (Návod: nejprve vyjádřete dělení čísla a číslem 6.) [1.3.B4]. Rozhodněte, zda a = b (mod 16), je-li: a) a = 75, 6 = 139 b) a = -75, 6 = 139 c) a = 0, b = 139 d) a = 0, 6 = 0 [1.3.B5J. Nechť m je přirozené číslo; a, i, c G Z. Dokažte, že platí: a) a = b (mod m) => 6 = a (mod m) b) a = 6 (mod m) A 6 = c (mod m) => a = c (mod m) [1.3.B6]. Nechť a = 6 (mod m), c = 2 platí: (p - 1)! = -1 (mod p). Dokážte, že potom p je prvočíslo. [1.3.B10]. Nechť m je přirozené číslo; a, 6. c € Z. Dokazte, že: a) obecně neplatí: a ■ c = b ■ c (mod m) ==> a = b (mod m) b) platí: a ■ c = b ■ c (mod m) A (c, m) = 1 => a = b (mod m) §4: Relace 47 [1.3.B11]. Nechť a, 6, c G Z. Rozhodněte, zda následující tvrzení platí, či neplatí a svoje rozhodnutí zdůvodněte: a)a|cA6|c=>a-6|c2 b)a|cV6|c=>a-6|c2 c)a-6|c2=>a|cA6|c d)a-6|c2=>a|cV6|c [1.3.B12]. Nechť a, 6 G Z. Rozhodněte, zda následující tvrzení platí, či neplatí a svoje rozhodnutí zdůvodněte: a) (a, 6) = 1 => (a + b , o - b) = 1 b) (o + 6, a - b) ss 1 =» (a, 6) = 1 [1.3.B13]. Dokažte, že pro každé n G N platí: a) číslo 10" — 1 je dělitelné 9 b) číslo n3-n je dělitelné 6. [1.3.B14]. Nalezněte všechna přirozená n, pro která platí: 72 | 10" +8 . (Návod: proveďte zvlášť pro n — 1,2 a zvlášť pro n > 3 .) [1.3.B15]. Dokažte matematickou indukcí, že pro každé n G N platí: a) 133 | lln+2 + 122n+1 b) 7j2" + l [1.3.B16]. Dokažte, že pro libovolné n G N existuje n po sobě jdoucích přirozených čísel, která jsou složenými čísly (tzn. v posloupnosti prvočísel jsou libovolně velké "mezery"). (Návod: začněte číslem (n + 1)! + 2 .) §4: RELACE [1.4.A1]. Nechť M = {x, y, z}. Uveďte, kolik lze definovat různých relací a) mezi množinami M a 1M b) mezi množinami M a 0 c) na množině M d) na množině M x M. [1.4.A2]. U.p. neprázdné relace g mezi množinami N a Z a neprázdné relace a mezi množinami Z a Q tak, že složená relace a o g je prázdnou relací. [1.4.A3]. U.p. relací £>, a na množině M = {a, b} tak, že g,a nejsou univerzálními relacemi, ale cr o g je univerzální relací na M. [1.4.A4]. U.p. množiny M a relace g na M, která je současně symetrická a antisymetrická. [1.4.A5]. U.p. množiny M a relace g na M, která není symetrická a není antisymetrická. 48 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky [1.4.A6]. U.p. relace g, různé od relace rovnosti, na množině Z tak, že g je reflexivní a není úplná; [1.4.A7]. U.p. relace g na množině N, která je úplná a není reflexivní. [1.4.A8J. U.p. množiny Ä tak, aby relace inkluze C na množině 2a byla úplnou relací. [1.4.A9]. Dokažte, že relace dělitelnosti na množině N je antisymet-rická, kdežto relace dělitelnosti na množině Z není antisymetrická. [1.4.A10]. Popište, jak se z tabulky relace (na konečné množině) pozná, že tato relace je, resp. není a) reflexivní b) symetrická c) antisymetrická d) úplná. * * 4 [1.4.B1]. Uveďte příklad dvou různých relací g a a mezi množinami a = {a,b,c} & B = {1,2,3,4}. Potom popište (množinově, graficky i tabulkou) relace: q'1, resp. e"1, resp. g n p, resp. g U v. [1.4.B2]. Proveďte množinový zápis relace g na množině N, která je slovně popsána takto: a) číslo 3 je v relaci g se všemi přirozenými čísly a dále všechna sudá přirozená čísla větší než 50 jsou v relaci g se všemi lichými přirozenými čísly b) číslo 3 je v relaci g s čísly 3 a 7 a dále, všechna čísla větší jak 7 jsou v relaci g se všemi přirozenými čísly, která jsou dělitelná 3 a 7 c) každé přirozené číslo je v relaci g se všemi přirozenými čísly kromě sebe sama d) v relaci g jsou navzájem všechna prvočísla a dále jsou v relaci g navzájem ta složená čísla, která jsou nesoudělná. [1.4.B3]. Nechť g je relace mezi množinami Z a N, definovaná: g= {(z,3*2+ 1) | proVx e Z} , resp. a je relace mezi množinami N a Z, definovaná: a = {(a, b) | b = -a V b = a2 - 3 , pro a, b £ N} . Pak popište relaci a o g a relaci g o a . [1.4.B4]. Nechť g je relace mezi množinami a a B\ nechť cr,- je relace mezi množinami B a c pro každé í £ i (kde I ^ 0 je nějaká indexová množina). Dokažte, že: a) ( U °i) ° Q = U (>i ° í>) b) ( f) d) o g C f) o P) c) ve vztahu b) obecně neplatí rovnost. §4: Relace 49 [1.4.B5]. Nechť e, (pro každé í € J) je relace mezi množinami a a. B. Dokážte, že pak platí: »)(Uft)-las Ucr1 b) (n e.)-1 = ru-1 [1.4.B6]. Nechť M = {a,b}. Vypište: a) všechny relace na množině M b) všechny tranzitivní relace na M c) všechny relace na M, které nejsou tranzitivní. d) všechny relace na M, které nejsou antisymetrická [1.4.B7]. Nechť M je n-prvková, neprázdná množina. Určete, kolik celkem existuje a) reflexivních relací na M b) symetrických relací na M c) antisymetrických relací na M d) úplných relací na M e) relací na M, které jsou současně reflexivní a symetrické f) relací na M, které jsou současně reflexivní a antisymetrické. [1.4.B8]. Na množině M = {a, b,c] udejte (tabulkou) příklad relací Qi, f?2, í>3, r4 ťak, aby každá z těchto relací měla vždy právě jenom jednu z vlastností: reflexivní, symetrická, antisymetrická, úplná. [1.4.B9]. Je dána relace g na množině N. Rozhodněte, zda g je reflexivní relace, resp. symetrická relace, resp. antisymetrická relace, resp. tranzitivní relace, resp. úplná relace, je-li pro x, y £ N: a) xgy <=> x ■ y je liché číslo b) xgy <=> x, y jsou nesoudělná čísla c) xgy <=> t/=x V y = 2x V t/ = 3x d) x£j/ <ř=> |x-y| =3 V x = y. [1.4.B10]. Je dána relace g na množině Z. Rozhodněte, zda g je reflexivní relace, resp. symetrická relace, resp. antisymetrická relace, resp. tranzitivní relace, resp. úplná relace, je-li pro x, y € Z: a) X£2/ <=> x2 = y b) xpy <=> 3 | (x.+ 2y) c) xgy <^=> \x\ < \y\ d) xgy <=* \x\ > |y| [1.4.B11]. Je dána relace q na množině 2M, kde a je neprázdná, konečná množina. Rozhodněte, zda g je reflexivní relace, resp. symetrická relace, resp. antisymetrická relace, resp. tranzitivní relace, resp. úplná relace, je-li pro A', Y € 2 '• a) XgY <=> X UY = a b) XqY <=> A flľ/í c) XgY <ř=> A = 0 nebo K = j4 d) A'g y <=> množiny X,Y mají stejný počet prvků. (Návod: uvědomte si, že v některých případech může vyšetřovaná vlastnost záviset na počtu prvků množiny a .) §5: Zobrazení 51 §5: ZOBRAZENÍ [1.5.AI]. U.p. zobrazení / : Z -* N, které a) je injektivní a není surjektivní b) je surjektivní a není injektivní. [1.5.A2]. TJ.p. injektivního zobrazení / : A x A — 2A , je-li: &)A={a,b} b)A-{a,b,c}. [1.5.A3]. U.p. injektivního zobrazení a)/:Z-*2N b)/:N-NN. [1.5.A4]. U.p. surjektivního zobrazení a) / : N x N —+ Z b) / : 2N - N. [1.5.A5]. Uveďte, co všechno lze říci o počtu prvků konečné fc-prvkové množiny A, víte-li, že a) existuje injektivní zobrazení 2A —+ A x A b) neexistuje žádné surjektivní zobrazení A x A —► AA . (Návod: při a) využijte výsledku cvičení [l.l.B12]e).) [1.5.A6]. U.p. množiny 5, její vlastní podmnožiny A (t.j. A C B) a bijektivního zobrazení / : A —> B. [1.5.A7]. U.p. zobrazení /:NxN—+NxN, S:NxN-^NxN takových, že f o g ^ g o f . [1.5. A8]. Nechť je A - {a,b} ; u.p. zobrazení j :2A —* AA tak, že k tomuto zobrazení neexistuje inverzní zobrazení. [1.5.A9]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby zobrazení / : A -* B nebylo surjektivní. [1.5.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby zobrazení / : A —> B bylo bijektivní. * * * [1.5.B1]. Rozhodněte, zda zadaný předpis / určuje zobrazení množiny A do množiny B, je-li: a) A = Z , B e N , /(x) = |x| pro Vx G Z °x2 - 3 b) A = Z , B = Q , /(x) = 3ť2_2 pro Vx G Z 50 II. Cvičení - Kap. 1: Opakování a doplnění středoškolské látky [1.4.B12]. Dokažte, že průnik libovolného počtu a) reflexivních relací na M je opět reflexivní relací na M b) symetrických relací na M je opět symetrickou relací na M c) relací na M, z nichž alespoň jednaje antisymetrická, je antisymet-rickou relací na M d) tranzitivních relací na M je opět tranzitivní relací na M e) úplných relací na M nemusí být úplnou relací na M. [1.4.B13]. Dokažte, že sjednocení libovolného počtu a) relací na M, z nichž alespoň jednaje reflexivní, je reflexivní relací na množině M b) symetrických relací na M je opět symetrickou relací na M c) antisymetrických relací na M nemusí být antisymetrickou relací na množině M d) tranzitivních relací na M nemusí být tranzitivní relací na M e) relací na M, z nichž alespoň jedna je úplná, je úplnou relací na M. [1.4.B14]. Nechť g, a jsou relace na M. Dokažte, že: a) jsou-li g, a reflexivní, pak relace a o g je reflexivní b) jsou-li g, a symetrické, pak relace (g o a) U ( cr o g — g o cr . Definice. Relace g, a na množině M se nazývají záměnné relace, jestliže platí: cr o g — g o a. [1.4.B17]. Udejte příklad dvou různých relací g,c na dané množině M — {a, b] tak, že relace g, a : a) jsou záměnné b) nejsou záměnné. [1.4.B18]. Dokažte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) na množině M jsou každé dvě relace záměnné (ii) množina AT je jednoprvková. [1.4.B19]. Nechť g, a jsou tranzitivní a záměnné relace na M. Dokažte, že pak a o g je tranzitivní relací na M. 52 II. Cvičeni - Kap. 1: Opakováni' a doplnění středoškolské látky 1 pro 2 | z c) J4 = Z,5 = Z, f(x)-\-l pro3|x 0 pro 2 | x A 3 j x f sin x pro x < 0 d) A = R , B = R , /(x) = \ t tg x pro x > 0 [1.5.B2]. Nakreslete všechna zobrazení A —+ B a uveďte, která z nich jsou injektivní, resp. surjektivní, resp. bijektivní. Přitom a) A = {a, i, c} ,B = {z, y} b) A={a,b} ,B = {x, y, z). [1.5.B3]. Zadejte (výčtem prvků) množinu AB a množinu B'4, je-li: a) A= {a}, B = {x,y,z) b) A = B = {*,y}. [1.5.B4]. Nechť >1 je n-prvková množina, B je s-prvková množina (n, s E N). Dokážte, že počet všech zobrazení A — B je roven s" . (Návod: důkaz veďte matematickou indukcí vzhledem k n.) [1.5.B5]. Rozhodněte, zda dané zobrazení / : N —♦ N je injektivní, resp. surjektivní, je-li pro každé x € N : a) /(x) = 5x - 3 b) /(x) = x2 + 1 6 pro x < 6 x — 6 pro x > 6 c) /(*) e) /(*) = x+1 d)/(x)=íX_1 P™ * sudé [x + 1 pro x liché f) /(x) = 3x+ 1 kde symbolem [t] se označuje tzv. celá část čísla i , což je největší celé číslo, které nepřevyšuje číslo t. [1.5.B6]. Rozhodněte, zda dané zobrazení / je injektivní, resp. surjektivní, je-li: a) / : R — {0} —» R+, /(x) = x2 b) / : R+ — R+, /(x) = x2 c) / : Q - {0} - Q+, /(x) = x2 d) / : R - R , /(*) = x2+7x+12 e) / : Z - Q f) / : N — Z pro z jí -3 1 pro x = -3 v f f Pro x sudé I -5- pro x liché ^j^' rSSp' Q+ Značí množinu všech kladných reálných čísel, resp kladných racionálních čísel. §5: Zobrazení 53 [1.5.B7J. Rozhodnete, zda dané zobrazení / je injektivní, resp. surjektivní, je-li: /((»,»))■-* + » a) / : N x N —► N , b) / : N —+ N x N c) / : N x N —*• 2N f (x) = (2x,2x+ 1) /((*, y)) = {*.»} ( I ,1 ) pro x = Q(mod3) d) / : Z —► Z x {1,2,3} , /(*)= g o / je injektivní h) /, 5 jsou surjektivní => g o / je surjektivní c) S 0 f Je injektivní => / je injektivní d) ýo/ je surjektivní => g je surjektivní. [1.5.B10]. Nechť / : A — B je zobrazení. Dokažte, že platí: a) / je injektivní <=> existuje zobrazení g : 5 —+ A tak, že g o f = id^ b) / je surjektivní <=> existuje zobrazení h : B —>■ A tak, že /0/1 = idg. (Návod: při důkazu " => " v a), resp. v b) hledané zobrazení g , resp. h přímo zkonstruujte.) [1.5.Bil]. Nechť / : A —* A je dané neidentické zobrazení. Dokážte, že pak existuje zobrazení g : A —► A takové, že / o g ^ g o f . (Návod: z předpokladu plyne, žt v množině A existují dva různé prvky a,b takové, že f (a) = 6. Této si utečnosti pak využijte při konstrukci zobrazení g .) 54 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky [1.5.B12]. Dokážte, že zobrazení / : A -* B je bijektivní. Při tom: a)A = NxN,B = N, /((x, y)) = 2'"1 • (2y - 1) d-c b) A = (a,6) ,B = (c,d) , = — -(x-a) a b-x c) A = {a,b) , B = R+ , /(x) d) A = (a, 6) , B = R ; resp. p je pevné reálné číslo takové, že a < p < b x — p /(*) = a P b — x pro a < x < p pro p x = 0. [1.5.B16]. Nechť A, B jsou konečné množiny přirozených čísel; nechť j : ^4 — B je injektivní zobrazení s vlastností: x < /(x) pro Vx G A, g . b — A je injektivní zobrazení s vlastností: y < p(y) pro Vy G B. Dokažte, že pak platí : A - B a / = id a — 9 ■ (Návod: označte h = g o /, ukažte, že h je bijekce splňující podmínku x < /t(x) pro každé x G A a dále (sporem) ukažte, že h = ťd^ .) §6: Uspořádané množiny 55 §6: USPOŘÁDANÉ MNOŽINY [1.6.AI]. Nakreslete hasseovský diagram čtyřprvkové uspořádané množiny, která má dva maximální prvky a nemá nejmenší prvek. [1.6.A2]. Nakreslete hasseovský diagram čtyřprvkové uspořádané množiny, v níž každý prvek je současně maximálním prvkem i minimálním prvkem. [1.6.A3]. Nakreslete hasseovský diagram konečné uspořádané množiny, která má tři minimální prvky a žádný maximální prvek. [1.6.A4). U.p. uspořádané množiny (M, g), která má jeden maximální prvek a nemá největší prvek. [1.6.A5]. U.p. uspořádané množiny (M,q), která má jeden nejmenší prvek a tři minimální prvky. [1.G.A6]. U.p. uspořádané množiny (m, q), která obsahuje právě dva nesrovnatelné prvky a nemá přitom žádný maximální prvek ani minimální prvek. [1.6A7]. U.p. nekonečné uspořádané množiny (M, g), která neobsahuje žádné různé srovnatelné prvky. [1.6.A8], U.p. lineárně uspořádané množiny (M, g), která má dva minimální prvky. [1.6.A9]. U.p. množiny A tak, aby uspořádaná množina (2A,C) byla lineárně uspořádaná. [1.6.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby v uspořádané množině (Mg) neexistoval maximální prvek. [l.C.Bl]. Na množině M = {a, b, c, d) je dána relace g. Dokažte, že g je relací uspořádání a nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M,g), je-li: a) e = {(a, a), (b, b), (c, c), (d,d), (6, a), (6, c), (i,d)} b) c={{a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,a),(b,c)}. 56 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky §6: Uspořádané množiny 57 [1.6.B2]. Uspořádaná množina (M,g), kde M = {a,b,c,d} je zadána hasseovským diagramem. Popište (výčtem prvků) relaci uspořádání g, je-li: P d a) b) o d o a o a c) o c d) d 6 i) d o a o c [1.6.B3]. Je dána množina M. Rozhodněte kolik relací uspořádání lze na množině M definovat a nakreslete odpovídající hasseovské diagramy takto vzniklých uspořádaných množin, je-li: a)M = {a,fc} b)M = {a,b,c). [1.6.B4]. Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (2A, C). je-li: a) ,4 = 0 b)A={a) c)A = {a,b} d) A = {a,b,c}. [1.6.B5]. Namnožině M = {1,2,3,4,5,6} je definována relace g takto: xgy 3přirozené číslo n tak, že x — n ■ y . Dokažte, že g je relací uspořádání a sestrojte hasseovský diagram uspořádané množiny (M, g). [1.6.B6]. Rozhodněte, zda (N, g) je uspořádaná množina, resp. lineárně uspořádaná množina a pokud tomu tak je, pak schematicky nakreslete její hasseovský diagram. Relace g je definována pro i,y6N takto: a) xgy <=> y = 4 V y = x b) xgy <=> x y (mod 5) c) xgy <=> počet cifer čísla x je menší nebo roven počtu cifer čísla y d) xgy -<==> (x = y) V(xje liché A j/je sudé ) V (x + y je sudé A x < y). [1.6.B7]. Rozhodněte, zda (Z, g) je uspořádaná množina, resp. lineárně uspořádaná množina a pokud tomu tak je, pak schematicky načrtněte její hasseovský diagram. Relace g je definována pro x,;/ { '/ taktu: a) xgy x y}, kde pro 1 < i < 9 je /i :R-»R zobrazení, definované pro V x G R takto: /*(*) = W-4, /a(*) = 1*1-3, /3(i) = |x|-2, /4(x) = -|*l + 4, /5(x) = -|x| + 3, /6(x) = -|a:| + 2 /7<*) = -|*|, /s(x) = |i + 2|, M*) = 2 . Na množině M je definována relace g takto : /,• pro každé x € (-2,2) platí: /,-(x) < /,(x). Dokažte, že g je relace uspořádání na M a nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M,g). [1.6.B9]. Na množině reálných čísel R je definována relace q takto: pro x, y € R je xQy 3c G R , c>l tak, že c-x — y. Dokažte, že g je relace uspořádání na R a načrtněte schematicky hasseovský diagram uspořádané množiny (R, g). [1.6.BIO]. Nechť g, cr jsou relace uspořádání na množině M. Dokažte, že potom: a) relace p-1 je uspořádání na M b) relace g fl cr je uspořádání na M c) relace g U cr obecně není uspořádání na M d) relace cr o g obecně není uspořádání na M. [1.G.B11]. Vypište všechny minimální prvky, resp. maximální prvky, resp. nejmenší prvky, resp. největší prvky všech uspořádaných množin ze cvičení a) [1.6.B2] b)[1.6.B6] c) [1.6.B7] d)[1.6.B8]. [1.6.B12]. Nechť g je relace uspořádání na konečné množině M. Dokažte, že pak v (M, g) existuje alespoň jeden minimální a alespoň jeden maximální prvek. [1.6.B13]. Nechť g je relace uspořádání na konečné množině M a nechť v uspořádané množině (M, g) existuje jediný minimální prvek u . Potom: a) dokažte, že u je nejmenším prvkem v (M. g). b) rozhodněte, zda stejné tvrzení platí i v případě, že množina M je nekonečná. 58 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky [1.6.B14]. Nechť A je konečná, neprázdná množina přirozených čísel. Na množině M = 2A — {0} definujeme relaci g takto: pro X,Y € M je XgY právě když 3 injektivní zobrazení / : X —+ Y takové, že x < f (x) pro V x £ A'. Potom: a) dokážte, že g je relace uspořádání na M b) nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M, g) pro případ, že A = {1,2,3} c) dokažte, že pro X,Y € M platí: A' C Y => XgY d) ukažte, že předchozí implikaci nelze obrátit. (Návod: při důkazu a) využijte cvičení [1.5.B16].) [1.6.B15]. Nechť (A, g), (B,cr) jsou uspořádané množiny, přičemž AHB = 0. Na množině AUB definujeme relaci r takto: piox,y£AuB je xry <==> (x,y£Á A xgy) V (x,y £ B A x p i c jsou lineární uspořádání c) nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (AU B, r ), je-li (A, g) uspořádaná množina ze cvičení [1.6.B4] c), resp. (B, a) je uspořádaná množina ze cvičení [1.6.B2]c) d) nakreslete schematicky hasseovský diagram uspořádané množiny (A U B, t), je-li A množina všech sudých přirozených čísel, B je množina všech lichých přirozených čísel a g i a jsou obvyklá uspořádání čísel podle velikosti. §7: EKVIVALENCE A ROZKLADY [1.7.A1]. U.p. relace g na množině Z, která je současně ekvivalencí i uspořádáním. Dále uveďte, kolik takových relací existuje. [1.7.A2]. U.p. relace g na množině N, která je reflexivní a tranzitivní, ale není ekvivalencí ani uspořádáním. [1.7.A3]. U.p. relace ekvivalence g na množině R tak, aby rozklad R/f> (tj. rozklad na R, příslušný ekvivalenci g) měl právě 3 třídy rozkladu. [1.7.A4]. U.p. rozkladu na R, který má konečně mnoho tříd, přičemž každá třída obsahuje konečně mnoho prvků. [1.7.A5]. U.p. rozkladu na N, který má nekonečně mnoho tříd, přičemž každá třída obsahuje nekonečně mnoho prvků. §7: Ekvivalence a rozklady 59 [1.7.A6]. U.p. zobrazení / : R —► Z tak, aby rozklad příslušný zobrazení / měl nekonečně mnoho tříd rozkladu. [1.7.A7]. U.p. zobrazení / : R —► Z3 tak, aby rozklad příslušný zobrazení / měl a) 2 třídy rozkladu b) 4 třídy rozkladu. [1.7.A8]. Uveďte všechny hodnoty modulu m pro které čísla —7 a 7 patří do stejné zbytkové třídy podle tohoto modulu m . [1.7.A9]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby relace g na množině M byla ekvivalencí. [1.7.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby systém množin M = {^4,B), kde C N, byl rozkladem na N. * * * [1.7.B1]. Na množině M = {a, b,c,d} je definována relace g. Rozhodněte, zda g je relací ekvivalence na množině M a pokud tomu tak je, pak sestrojte rozklad M/g (tj. rozklad na množině M příslušný ekvivalenci g). Přitom: a) g = {(a, a), (6, b), (c, c), (d, d), (a,c), (c, a), (d, c), (c,d)} b) e = {(a, a), (b,b), (c, c), (d,d), (a, b), (6, a), (a, d), (d, a), (b, d), (d,b)}. [1.7.B2]. Určete, kolik různých rozkladů lze utvořit na množině M a všechny tyto rozklady vypište. Přitom: a)Af = {a,6} b)M = {a,6,c} c) M = {a, 6, c, d). [1.7.B3]. Na množině M = {u, v, x, y, z} je dán rozklad 71. Sestrojte tabulku relace ~^ (tj. relace ekvivalence na množině M, příslušné rozkladu 7v). Přitom: a) n = {{«},{*},{*},{v,y}} , b) *={{«.*}.{»,*,*}}• [1.7.B4]. Na množině M — {1,2,3,..., 18,19,20} definujeme relaci q takto: xgy <=> čísla x, j/mají stejný součet cifer. Pak dokažte, že g je relací ekvivalence na M a sestrojte rozklad M/g (tj. rozklad na M , příslušný ekvivalenci g): 60 II. Cvičení - Kap. 1: Opakovaní a doplnění stredoškolské látky [1.7.B5]. Na množine M je definována relace g. Rozhodněte, zda g je relací ekvivalence na M, je-li a) M = Z ; g = {(x, y)GZxZ|y = x nebo y = x + 1} b) M = R ; e = {(*. y) GRxR|x-yGZ} c) M = 2N ; g = {(A, J3) € 2N x 2N | {A - B) je konečná množina} d) M = 2N ; e = {(A, B) G 2N x 2N | (A -i- B) je konečná množina} kde A-i- B je symetrická diference, tj. A -i- B = (A - B) U (B - A). [1.7.B6]. Na množině Z je definována relace g. Dokážte, že g je relací ekvivalence na Z a popište rozklad Z/p (tj. rozklad na Z, príslušný ekvivalenci g). Přitom pro x,y G Zje: a) xgy <£=> 3k£Z:y = x + 4k b) xgy x2 = y2 (mod 7) c)x£y x2 + 2x = y2 + 2y d) xgy <==> 2|(x2-y2). [1.7.B7J. Na množině R x R je definována relace p. Dokažte, že p je ekvivalencí na R x R a načrtněte, jak vypadá rozklad R x R/o (zde R x R chápeme jako množinu všech bodů v rovině). Přitom pro (x, y), (u, v) G R x R je: a) (x,y)g(u,v) x — u = 0 b) (x,y)g(u,v) <=> y - v = 2(x - u) c) (x, ý) g (u, v) <=> (x - u)(x + u) = (v - y)(v + y) d) (x, y) g (u, v) x2 + y2 + x + y = u2 + v2 + u + v. [1.7.B8]. Je zadán systém M jistých podmnožin množiny R. Rozhodněte, zda M je rozklad na R a pokud tomu tak je, pak definujte relaci ~x (tj- relaci ekvivalence na R, příslušnou rozkladu M). Přitom: a) M = {{a, a + 1) | a G Z} b) M = {(a,a + 2) | a G Z} c),W = {{0},(-oc,0),(0,co)} d)M = {R}. [1.7.B9]. Dokážte, že a) inverzní relace k ekvivalenci na M je opět ekvivalencí na M b) průnik libovolného počtu ekvivalencí na M je opět ekvivalencí na M c) sjednocení dvou ekvivalencí na M nemusí být ekvivalencí na M d) složení dvou ekvivalencí na M nemusí být ekvivalencí na M. [1.7.B10]. Nechť g, c jsou relace ekvivalence na množině M . Dokážte, že pak relace g U a je ekvivalencí na M právě když pro každé X G M/g a každé Y G M/a platí: A' C Y .nebo y C A nebo A n Y = 0. §7: Ekvivalence a rozklady 61 [1.7.B11]. Nechť g, a jsou ekvivalence na množině M. Dokážte, že pak relace g o a je ekvivalencí na M právě když g o a = a o g (tzn. relace £>, c jsou záměnné). [1.7.B12]. Nechť g, a jsou relace ekvivalence na M, resp. nechť TZ,S jsou rozklady na M. Dokažte, že platí: a) g ^ a =^ M/g ^ M jo bJTZ^S => ~7i ^ ~5. (Návod: důkazy veďte nepřímo.) [1.7.B13]. Je dáno zobrazení / : A -* B. Popište rozklad M na množině A, příslušný zobrazení /, je-li: a) A = {a,b,c,d,e}, B = {x,y,z] , f (a) = z, /(6)=y, f(c) = z, f(d) = z, f(c) = y b) A = R,B = Z, f(x) = [x] , proVxGR c) A = K,B = Z, f(x) = |[x]| , pro Vz G R —1 je-li A' konečná, neprázdná d) A = 2N, B = Z , /(A) = J 0 je-li A = 0 1 je-li A' nekonečná přitom symbol [x] v b), c) značí celou část čísla x, tj. největší celé číslo, které nepřevyšuje číslo x. [1.7.B14]. Nechť TZ je rozklad na množině M. Definujme zobrazení / : M —► 7£, tak, že každému prvku x G M přiřadíme tu třídu rozkladu 72., v níž prvek x leží, tj. f{x) = X , kde X G Ä A x G A . Pak: a) dokažte, že / je surjektivní zobrazení b) udejte nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby zobrazení / bylo injektivní c) sestrojte rozklad na M, příslušný zobrazení / . 62 KAPITOLA 2: ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ ŠTRUKTÚRY §1: STRUKTURY S JEDNOU OPERACÍ [2.1.A1]. Uveďte, kolika různými způsoby je možno definovat operaci na množině G — {x, y, z}. [2.1.A2]. U.p. grupoidu (G, ■) tak, že tento grupoid má jedničkou, ale není pologrupou. [2.1.A3]. U.p. grupoidu (G, ■) tak, že v tomto grupoidu neplatí zákony o dělení. [2.1.A4]. U.p. konečné pologrupy, která nemá neutrální prvek. [2.1.A5]. U.p. nekonečné pologrupy, ve které neplatí zákony zákony o krácení. [2.1.A6]. U.p. pologrupy s jedničkou, v níž k některému prvku existují dva prvky inverzní. [2.1.A7]. U.p. dvou různých grup tak, že každá z těchto grup má 10 prvků. [2.1.A8]. U.p. dvou nekomutativních grup tak, že jednaje konečná a druhá je nekonečná. [2.1.A9]. U.p. pologrupy, ve které platí zákony o dělení a neplatí zákony o krácení. [2.1.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby pologrupa (G, •) byla grupou. §1: Struktury s jednou operaci 63 [2.1.B1]. Je dána množina G a předpis o. Rozhodněte, zda tento předpis definuje operaci na G. Přitom: xoy = x-y x + y a) G= {-1,0,1}; xoy=x+y b) G =-{—1,0,1} ; c) G = R; '* o y = cotg(2x + 3y) d) G = Q ; x o y ■. e) G = S (množina všech sudých celých čísel) ; x oy -. í. {y je-li x = 3 x + 1 je-li y = 3 3 je-li x =é 3 A y # 3 [2.1.B2]. Na množině G = {a, b, c, d) je dána operace o tabulkou. Rozhodněte, zda grupoid (G, o) je komutativní, resp. asociativní, resp. zda má neutrální prvek. Přitom: o a b c d o a b c d a a b c d a b a b b b a b c d b) b a b c d c a b c d c b c b b d a b c d d b d b b a) [2.1.B3]. Je dán grupoid (G, o) . Rozhodněte zda tento grupoid je komutativní, resp. asociativní, resp. zda má neutrální prvek. Přitom: a) G=Z , xoy=\x\ G = R+ xoy = x-y *2 + J/2 e) G = {1,2,3,4,6,8,12,24} , f) G = 2N X o y l N b) G = R , xoyz=(x+ y)(l -f xy) d) G - N , x o y = (x, y) xoy-{x,y) je-li x H y .s (D je-li x n y # 0 kde R+ značí množinu všech kladných reálných čísel, resp. symbol (x, y) v d), e) značí kladný největší společný dělitel čísel x, y. [2.1.B4], Nechť (G, •) je grupoid; nechť a, t, c, a" € G. Potom: a) vypište všechny možné součiny prvků a, b, c, d v tomto pořadí (tj. při všech možných uzávorkováních) b) je-li (G, •) navíc pologrupa, pak pouze s využitím asociativního zákona dokažte, že všechny možné součiny prvků a, b, c, d (v tomto pořadí) se nazájem rovnají. 64 II. Cvičení - Kap.2: Základní algebraické struktury [2.1.B5]. Nechť G je libovolná množina, která má alespoň 2 prvky. Na G definujeme operaci o takto: 109 = 1, pro V x, y € G. Potom: a) dokažte, že (G, o) je nekomutativní pologrupa, která nemá neutrálni prvek b) uveďte, co se změní na předchozím tvrzení, je-li množina G jednoprvková. [2.1.B6]. Dokažte, že daný grupoid (G, o) má neutrální prvek. Dále pak nalezněte ke každému prvku z G všechny prvky inverzní (pokud existují). Přitom: a) G = Z ; xoy = x + y+x-y b) G = Q ; x o y= x - y (y je-li x = 3 x je-li y = 3 3 je-li x ž 3 A y#3 [2.1.B7]. Dokážte, že daná pologrupa (G, o) má neutrální prvek. Dále pak nalezněte každý prvek z G, k němuž existuje prvek inverzní a tento inverzní prvek určete. Přitom: a)G=Z; xoy=x + y-xy b)G=Q; xoy = x + y-xy c) G = Z6 ; o je násobení zbytkových tříd podle modulu 6 d) G = Z7 ; o je násobení zbytkových tříd podle modulu 7. [2.1.B8]. Je dán grupoid (NN,o) , tj. množina všech zobrazení N —» N s operací skládání zobrazení. Dokažte, že (NN, o) je pologrupa s jedničkou, ve které neplatí zákony o krácení. [2.1.B9]. Rozhodněte, zda v daném grupoidu: a)(Z2,+) b)(Z16)-) c)(N,+) d)(2N,n) platí zákony o dělení, resp. platí zákony o krácení. [2.1.B10]. Nechť (G, •) je konečný grupoid. Dokažte, že pak : v (G, •) platí zákony o dělení v (G, •) platí zákony o krácení. [2.1.Bil]. Nechť (G, •) je nekonečný grupoid. Ukažte, že pak v grupoidu (G, •) a) z platnosti zákonů o krácení obecně neplyne platnost zákonů o dělení b) z platnosti zákonů o dělení obecně neplyne platnost zákonů o krácení. [2.1.B12]. Nechť grupoid (G,o) , kde G je konečná množina, je zadán tabulkou. Popište, jak se z této tabulky pozná, že a) operace o je komutativní b) (G, o) má neutrální prvek c) v (G, o) platí zákony o dělení d) v (G, o) platí zákony o krácení. §1: Struktury s jednou operací 65 [2.1.B13]. Nechť G = {x,y,z}. Napište všechny možné tabulky operace o na G tak, aby (G, o) byl komutativní grupoid, v němž platí zákony o krácení. [2.1.B14]. Určete, kolika způsoby se dá doplnit tabulka operace o na množině G — {x, y, z] tvaru 0 x y z x z y x y ■ y z tak, aby (G, o) a) byl grupoid b) byl komutativní grupoid c) byl grupoid s jedničkou d) byla komutativní pologrupa e) byla pologrupa s jedničkou f) byla grupa. [2.1.B15]. Nechť (G, •) je grupoid s jedničkou e. Dokážte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) operace • je komutativní a asociativní (ii) pro každé x, y, u, f G G platí: (x ■ y) ■ (u ■ v) - (x ■ u) ■ (y ■ v) (iii) pro každé x,y,z e G platí: x ■ (y ■ z) = (x ■ z) ■ y [2.1.B16]. Na množině G = {e, a, b, c, d} je dána operace ■ tabulkou 1. Dokažte, že (G, •) je nekomutativní grupoid s jedničkou, v němž platí zákony o dělení, ale který není grupou. b c r s t v. v e a c d t e e r s u v e e a b c d r r s e u v t a a c e d b s s e r v i u b b d a e c t t u v s r e c c e d b a u u v i r e s d d b c a e v v t u e s r Tabulka 1 Tabulka 2 [2.1.B17]. Na množině G = {e , r , s . i, u , v] je dána operace • tabulkou 2. Dokažte, že (G, ■) je komutativní grupoid s jedničkou, v němž platí zákony o dělení a ke každému prvku existuje prvek inverzní, ale přitom (G, •) není grupou. 66 II. Cvičení - Kap. 2: Základní algebraické struktury . [2.1.B18]. Nechť (G, •) je pologrupa. Dokažte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) (G, •) je grupa (ii) existuje prvek j £ G tak, že a- j = a pro Va € G A ke každému prvku a G G existuje prvek y G G tak, že a y - j . [2.1.B19]. Je dán komutativní grupoid (G, o). Rozhodněte, zda (G, o) je komutativní grupou. Přitom: a) G = Q+ ; o je násobení čísel b) G = Q - {0} ; xoy=\x-y\ c) G = {x G R i z.# 0 A \x\ < 1} ; o je násobení čísel d) G =(0,1); xoy = x + y-[x+y] e) G = {a + b - i | a, b € 2} ; o je sčítání komplexních čísel f) G = {a + VŠ • b • i | a, b € Q A (a2 + 62) # 0} ; o je násobení komplexních čísel, kde Q+ značí množinu všech kladných racionálních čísel, resp. [x + y] značí celou část reálného čísla x + y, tj. nej větší celé číslo, které nepřevyšuje číslo x + y. [2.1.B20], Na množině Z2 x Z2 definujeme operaci + takto: (Ci , Cj) + [Cr , Cs) = (Ci + Cr , Cj + C,) kde symbol + na pravé straně značí sčítání zbytkových tříd podle modulu 2. Pak: a) napište tabulku výše definované operace b) dokažte, že (Z2 x Z2,+) je komutativní grupa (tato grupa se též nazývá Kleinova čtyřgrupa). [2.1.B21]. Definujeme zobrazení /;:R-{0, 1} — R-{0,1} pro i = 1,2,...,6 takto: X X - 1 I-1 /»(*) = /e(«) = 1-z 1 1 - z Dokažte, že pak množina. G = {fi,h,h,f*tf$,h) s operací skládání zobrazení je nekomutativní grupa. §1: Struktury s jednou operací 67 [2.1.B22]. Na množině G = Z2 x Z2 x Z2 definujeme operaci - takto: (Ci,Ci,Ct)o(Cm,C,,C,)=iCi+-Ct + Ct--C, , Cj + Cy , Ck+Cz) kde + , resp. ■ na pravé straně značí sčítání, resp. násobení zbytkových tříd podle modulu 2. Pak: a) sestrojte tabulku operace o (přitom pro jednoduchost místo G,- pište vždy stručně pouze i) b) dokažte, že (G, o) je nekomutativní grupa, která má 8 prvků c) zobecněním uvedeného příkladu nalezněte pro libovolné m > 2, s > 3 nekomutativní grupu, která má právě m* prvků. [2.1.B23]. Je dána pologrupa (G,o). Rozhodněte, zda (G,o) je grupa, resp. komutativní grupa, je-li: a) G = R'0'1) (tj. množina všech zobrazení (0,1) —> R); oje sčítání reálných funkcí, tj. pro/,srGGje: (/ o g)(x) = /(*) + g(x) ,proVxG{0,l) b) G = R'0,1* (tj. množina všech zobrazení (0,1) —>■ R); o je násobení reálných funkcí, tj. pro/, 5 G G je: (/ o g)(x) = f(x) ■ g(x) ,proVsG(0:l) c) G = RR(tj. množina všech zobrazení R —► R); o je skládání zobrazení d) G = {/ | / : R —+ R je bijektivní zobrazení}; oje skládání zobrazení. [2.1.B24]. Je dán grupoid (G, o). Dokažte, že (G, o) je nekomutativní grupa. Přitom: a) G = Z ; xoy=x + (-l)*-y b) G=(R-{0})xR; (x,y)o(u,v) = (xu, xv + y) c) G = R x R x R ; (x,y,z)o (a,6,c) = (x + a , y + b , z + c + xb). [2.1.B25]. Nechť (A, o), (B,*) jsou dané grupy. Na množině A x B definujeme operaci ^? takto: (ai,61)<7(a2,62) = (ai o a2 , 6i * 62) ,pro V(ai,6i),(a2)62) G A x B Dokažte, že: a) (A x B, C?) je grupa b) grupa (A x J3, ) je komutativní <=> obě grupy (A, o), (B, *) jsou komutativní. [2.1.B26]. Nechť (G, o) je grupa; nechť p G G jc pevný prvek. Na množině G definujeme operaci * takto: x * y ;= x o p-o y pro Va:, y G - Rozhodněte, zda (G, *) je grupa. 68 II. Cvičení - Kap. 2: Základní algebraické struktur}' [2.1.B27]. Nechť (G, •) je grupa; c je její neutrální prvek. Dokazte, že: a) jestliže x ■ X = e , pro Va: £ G, pak operace • je komutativní b) jestliže (x ■ y)2 = x7 ■ y2 , pro Vx, y £G, pak operace • je komutativní c) jestliže (x-y)2 = y-x2-y , pro Var, t/ £ G, pak operace - je komutativní d) jestliže 3 přirozené číslo k tak, že pro Vx,y £ G je: (x-y)k=xk-yk A (x-y)*+1 - xk+1 ■ yi+1 A (x ■ y)k+2 = xk+2 ■ yk+2 pak operace • je komutativní. (Návod: při důkazu d) využijte toho, že lze psát (*ry)'+1 -y , resp. (x ■ y)k+2 = x ■ (y ■ x)^ ■ y .) [2.1.B28]. Dokažte, že každá čtyřprvková grupa musí být komutativní. (Návod: vyšetřete zvlášť případ, když x2 = e pro Vx 6 G a zvlášť případ, když existuje x £ G tak, že x2 ^ e .) [2.1.B29]. Nechť (G, •) je konečná grupa, která má sudý počet prvků. Dokazte, že pak existuje prvek a £ G, různý od neutrálního prvku e, takový,že a2 = e. (Návod: využijte toho, že je-li o2 ^£ e, pak je a-1 ^ a .) §2: PODSTRUKTURY STRUKTUR S JEDNOU OPERACÍ [2.2.A1]. U.p. dvou disjunktních podgrupoidů v grupoidu: a) (N,-) b)(N,+). [2.2.A2]. U.p. nekomutativního podgrupoidů v grupoidu (Z12, •)• [2.2.A3]. U.p. grupoidu (G, •) s jedničkou e a jeho podgrupoidů (H, •), který a) nemá jedničku b) má jedničku, různou od e. [2.2.A4]. U.p. grupy (G,-) a jejích dvou různých podgrup (Hi, •), (H2, •) takových, že {Hx UH2, ■) a) není podgrupou v (G, -) b) je podgrupou v (G, •). [2.2.A5], U.p. 17-ti prvkové podgrupy v grupě (K — {0}, •) . [2.2.A6]. Určete všechny podgrupy grupy celých čísel (Z,+), které obsahují číslo 63. [2.2.A7J. Popište (výčtem prvků) všechny netriviální podgrupy: a) v grupě (Z12,+) b) v grupě (Z13,+). [2.2.A8]. U.p. netriviální podgrupy v grupě (Zic,+), která a) neobsahuje prvek Cs b) neobsahuje prvek C->. §2: Podstruktury struktur s jednou operací 69 [2.2.A9]. U.p. přirozeného čísla m tak, aby grupa (Zm,+) měla právě a) 4 podgrupy b) 5 poďgrup c) k podgrup, kde k je libovolné pevné přirozené číslo. [2.2.A10]. Nechť (G, ■) je grupa; nechť/Y C G. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby (H, ■) byla podgrupou grupy (G, •). * * * [2.2.B1]. Je dán grupoid (N, +) a podmnožina H C N. Rozhodněte, zda (H,+) je podgrupoidem grupoidu (N, +), je-li a) H = N- {1,2,4,5} b) H = N-{1,2,5,6} c) H je libovolná, neprázdná konečná podmnožina v N d) H = {x£N\ 3|xV7|x}. [2.2.B2]. Je dána grupa (K - {0},-) a dále neprázdná podmnožina H C K —{0}. Rozhodněte, zda (H, •) je podgrupoidem, resp. podgrupou grupy (K-{0},-),je-li: a) H = {z £ K [ |z| > 1} b) H = {a + b ■ i € K | 6 > 0} c) H = {a + b ■ i | a, b £ Z A (a2 -f b2) f 0} d) H = {z £ K - {0} | z je reálné číslo nebo z je ryze imaginární číslo}. [2.2.B3]. Na množině G = {a, b, c, d] je dána operace • tabulkou a b c d a a c c a b b b c a c b c b a d a b b a V grupoidu (G, •) pak nalezněte všechny podgrupoidy, resp. všechny podpologrupy, resp. všechny podgrupy. [2.2.B4J. Nechť (G,-) je grupoid. Dokážte, že průnik libovolného systému podgrupoidů grupoidu (G, •) je buď prázdná množina nebo podgrupoid v (G, •). [2.2.B5]. Dokažte, že a) v grupoidu (N,+) neexistují žádné dva disjunktní podgrupoidy b) v grupoidu (N, •) existuje nekonečně mnoho po dvou disjunktních podgrupoidů. 70 II. Cvičení - Kap.2: Základní algebraické struktury [2.2.B6]. Jedángrupoid(N,o),kde ioy = y+l, proVx.yGN. Pro každé přirozené číslo i označme : Hi = {i , i+1 , i + 2 , ..-} ■ jsou právě všechny podgrupoidy za- Dokažte, že pak: a) (Hi,o), (H2,o), (H3,o) daného grupoidu (N, o) b) n#.=0 1=1 c) průnik neprázdného systému podgrupoidů grupoidu (N, o) je pod-grupoidem v (N, o) právě když tento systém je konečný. [2.2.B7]. Nechť (G, •) je komutativní pologrupa s jedničkou e. Nechť dále je : H = {x G G | x - x = x} . Dokážte, že pak (H, •) je podpologrupou pologrupy (G, •). [2.2.B8]. Je dána grupa (Q,+) a neprázdná podmnožina H C Q. Rozhodněte, zda (H,+) je podgrupou grupy (Q,+), je-li: a) H = j^- | a G Z ; k > 0 celé číslo j b) H = ^ | a, b 6 Z jsou nesoudělná A a < b J> c) p je pevné prvočíslo ; H = |— | a, 6 G Z jsou nesoudělná A p \ b | d) H = {j-\(a,b)=l A 6 není dělitelné čtvercem žádného prvočísla| [2.2.B9]. Je dána nekomutativní grupa (G,o), kde G = R — {0} x R, resp. (x, j/) o (u, ť) = (xu , xv + y) , pro V (x, y), (u, v) G R - {0} x R (viz cvičení [2.1.B24] b)). Rozhodněte, zda (H, o) je podgrupa, resp. komutativní podgrupa grupy (G, o), je-li: a) H = {(1,0), (-1,0)} b) H = {(1,6) | 6 € R libovolné } c) H = Q - {0} x Q d) H - R - {0} x Q. [2.2.BIO]. Nechť (G, •) je grupa. Potom : a) dokažte, že průnik libovolného neprázdného systému podgrup grupy (G, •) je opět podgrupou grupy (G, •) b) ukažte, že sjednocení dvou podgrup grupy (G, •) obecně není podgrupou grupy (G, •)■ §2: Podstruktury struktur s jednou operací 71 [2.2.Bil]. Nechť (G, •) je grupa a nechť M je libovolná podmnožina množiny G. Označme: (M) = f)Hi (Hi je podgrupa v G A Ä,- D M} Dokažte, že ((A/),-) je nejmenší (vzhledem k inkluzi C ) podgrupa grupy (G, •) , obsahující množinu M . (Podgrupa ((M), •) se nazýva podgrupa generovaná množinou M .) [2.2.B12]. V grupě (Z,+) popište podgrupu ((M),+), je-li: a) M = 0 b) M = {4 , 5} c) M = { 12 , 21 } d) M = {a € Z | a > 10.000} . [2.2.B13]. Nechť (G, •) je grupa. Označme : i7 = {a€G|o'i = i-a proVxGG}. Dokažte, že pak : a) (H, •) je podgrupou grupy (G, •) b) íT = G grupa (G, •) je komutativní. (Podgrupa (B, •) se nazývá centrum grupy (G, •).) [2.2.B14]. Nechť (G, ■) je komutativní grupa. Označme : #={o€G|a-a = e} (tj. H je množina všech prvků z G, které jsou samy k sobě inverzní). Dokážte, že : a) (H, •) je podgrupou grupy (G, •) b) predpoklad komutativnosti grupy (G, •) nelze vypustit, tj. je-li (G, •) nekomutativní grupa, pak (H, •) nemusí být podgrupou v (G, •). (Návod: při b) uvažujte např. nekomutativní grupu všech bijektivních zobrazení N —+ N s operací skládání zobrazení.) [2.2.B15]. Nechť (G, •) je komutativní grupa. Označme : H — {a € G | existuje n G N tak, že a" = e } (tj. H je množina těch prvků z G, jejichž některá přirozená mocnina je rovna jedničce grupy (G, •)). Dokážte, že : a) (#i 0 Je podgrupou grupy (G, •) b) předpoklad komutativnosti grupy (G,-) nelze vypustit, tj. je-li (G,-) nekomutativní grupa, pak (H, ■) nemusí být podgrupou v (G, ■). (Návod: při b) uvažujte např. nekomutativní grupu všech bijektivních zobrazení N —► N s operací skládání zobrazení.) 72 II. Cvičení — Kap. 2: Základní algebraické struktury [2.2.BIG]. Nechť (G, •) je pevná grupa. Nechť B(G) označuje množinu všech bijektivních zobrazení G —» G, resp. o označuje skládání zobrazení. Dále, pro každé a £ G definujeme zobrazení fa:G—+G takto: fa{x) = a ■ x ■ a-1 . , pro V x G G Množinu těchto zobrazení označme 7Í(G) , tj. 7ť(G) = {/„ | a £ G}. Dokážte, že pak : a) (B(G),o) je grupa b) fa je bijektivní zobrazení (pro Va G G) c) (H(G), o) je podgrupou grupy (B(G), o) d) W(G) je jednoprvková množina <=> (G, •) je komutativní grupa. (Návod: při c) ověřujte m.j., že faofb = fa.b , resp. (/a)_1 = /<,-» -) [2.2.B17]. Nechť G — Z3 x Z3 x Z3 a nechť na množině G je definována operace o takto: (Ci,Cj,Ck)o(Gr,C„Ct) = (G,- + Gr , C,- + G3 , Ct + Gť) kde + na pravé straně značí sčítání zbytkových tříd podle modulu 3. Dále označme: e = (C0, Co, Co), * = (Co, Gi,C2), y = (G0,G2,Gi), r — (G2, G2, G2) resp. i/i = {e,x}, H2={e,x,y}, H3 = {e,x,y, z} . Potom: a) určete, kolik prvků má množina. G b) dokažte, že (G, o) je komutativní grupa c) rozhodněte, zda (Hi,o), resp. (/Y2,o), resp. (B3,o) jsou podgrupy v grupě (G, o) d) rozhodněte, zda v grupě (G, o) existuje dvouprvková podgrupa e) v (G,o) nalezněte nej menší (vzhledem k inkluzi C) podgrupu, která obsahuje prvek z — (C2, G2, G2). [2.2.B18]. V množině zbytkových tříd Zm uvažujme podmnožinu Hk = {Q.k\i = 0,1,..., f-1) pro každé přirozené £, které dělí modul m. Dokažte, že : (H, +) je podgrupou v (Zm,+) 3 G N tak, že k \ m A H = Bk. [2.2.B19]. V dané grupě zbytkových tříd (Zm,+) vypište všechny podgrupy a dále pak nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (?*\C), kde H značí množinu všech podgrup grupy (Zm,+). Přitom daná grupa je: a)(Z3,+) b)(Z8)+) c)(Z12,+) d)(Z21,+). §3: Struktury se dvěma operacemi a jejich podstruktury 73 [2.2.B20]. V grupě (Zi2,+) nalezněte podgrupu ((M),+) (tj. podgrupu generovanou množinou M C Zm), je-li: a) M - 0 b) M — {Co} c) M = {C9} d) M = {Co, C6, C9}. [2.2.B21]. Pro zadaný modul m dokažte, že (Zm - {Co},-) je grupa. Dále pak vypište všechny podgrupy této grupy a nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (V,C), kde V značí množinu všech podgrup dané grupy (Zm — {Co},-)- Přitom: a) m = 5 b) m — 7. (Návod: použijte tabulku operace násobení zbytkových tříd podle daného modulu.) §3: STRUKTURY SE DVĚMA OPERACEMI A JEJICH PODSTRUKTURY [2.3.A1]. U.p. okruhu, ve kterém neplatí omezené zákony o krácení. [2.3.A2]. U.p. okruhu, který nemá dělitele nuly a přitom není oborem integrity. [2.3.A3]. U.p. konečného oboru integrity, který není tělesem. [2.3.A4]. U.p. nenulového prvku v okruhu (Zi7,+, ■)> k němuž neexistuje prvek inverzní (vzhledem k operaci •). [2.3.A5]. U.p. okruhu, který nemá jedničku a jeho podokruhu, který jedničku má. [2.3.A6]. Udejte, kolik existuje podokruhu v okruhu (Z,+, •), které obsahují číslo a) 30 b) 45 c) 64. [2.3.A7]. U.p. podokruhu okruhu (Z,+,-) tak, že tento podokruh obsahuje čísla 76 a 77 a neobsahuje číslo 78. [2.3.A8J. Popište všechny podokruhv okruhu a)(Zs,+,-) b)(Z11)+,-). [2.3.A9]. U.p. přirozeného čísla m tak, aby okruh zbytkových tříd (Zm,+,-) měl právě 6 podokruhu. [2.3.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby okruh (R, +, •) byl oborem integrity. * * * 74 II. Cvičení - Kap. 2: Základní algebraické struktury §3: Struktury se dvěma operacemi a jejich podstruktury [2.3.B1]. Rozhodněte, zda množina M s operacemi obyčejného sčítání čísel a obyčejného násobení čísel je okruhem, je-li: a)M={é-|aGZ,ik> Ocele} b) M = {a + b^E | a,b£ Q} c) M = {a+b^ \a,b£Z} d) M = {a + | a,b € Z}. [2.3.B2]. Rozhodněte, zda (M, ffi, o) je okruh, resp. obor integrity, resp. těleso. Přitom množina M a operace ffi, o jsou zadány takto: a) M = Z zA By — x + y + 3 , X o y = -3 b) M = Z ; x( By = x+y-1, x o y = x-y-l c) M = Z ; xi By = x o t/ = x + y- x y i) M — Q , xi 9y = x + y , «5 = y e) M = Q x i 5y = x + y + 1, xot/ = X +Jŕ + X y f) M = Q xi 3y = x+y-1, xoj/ = x + t/+ x y [2.3.B3]. Uvažme podmnožinu G množiny všech komplexních čísel : G={a + bi\ a,b € Z} (množina G se nazývá množina Gaussových celých čísel), s operacemi obyčejného sčítání komplexních čísel a obyčejného násobení komplexních čísel. Dokažte, že a) (G,+, •) je obor integrity, který není tělesem b) v (G, +, •) existují inverzní prvky (vzhledem k operaci) právě jenom k číslům 1,-1, i, —i. (Návod: při důkazu b) přejděte k absolutním hodnotám z komplexních čísel a využijte pravidel pro počítání s nimi.) [2.3.B4]. Na množině Q x Q, resp. na množině R x R definujeme operace + a ■ takto : (x, y) + (u, t;) = (x + v , y + v) ; (x,y)- (u, v) = (xu + 2yv , xv + yu) Dokážte, že pak : a) (Q x Q,+, •) je těleso b) (R x R, +, •) je komutativní okruh s jedničkou, který má dělitele nuly (tzn. není tělesem). [2.3.B5]. Na množině Z2 x Z2 definujeme operace + a • takto: (Cii C j) + (Cr,Cs) = (G; + Cr , Cj + C.) (Ci,Cj) ■ (Cr, C,) = (C, • Cr + Cj - G, , Ci ■ C, + Cj ■ Cr + Cj ■ C,) kde -f, resp. • na pravých stranách značí sčítání, resp. násobení zbytkových tříd podle modulu 2. Potom: a) napište tabulky operací '+ a • na Z2 x Z2 b) dokažte, že (Z2 x Z2, +, •) je těleso. [2.3.BG]. Nechť (/£,+,-), (S,®,o) jsou okruhy. Na množině R x S definujeme operace Q? a * takto: (rj, 81) t? (r2, «2) = (n + r2 , si © s2) (n, si)*(r2,«2) = (ri -r2 , S1OS2) Dokážte, že platí: a.) (R x 5,9,*) je okruh b) (72 x S, 9, *) je komutativní okruh <=> (R, +, ■) a (5, ©, o) jsou komutativní okruhy c) {R x 5,9,*) je okruh s jedničkou (Ä,+,-) a (5,©,o) jsou okruhy s jedničkou d) (72x5,9,*) je okruh bez dělitelů nuly => (72, +, •) a (5,ffi, o) jsou okruhy bez dělitelů nuly e) jestliže (72, +, •) a (5, ffi, o) jsou okruhy bez dělitelů nuly, potom okruh (72 x 5,9, *) nemusí být okruhem bez dělitelů nuly. [2.3.B7]. Nechť R[x] značí množinu všech polynomů (tj. mnohočlenů) neurčité x, s reálnými koeficienty. Dokážte, že množina R[x] s operacemi obvyklého sčítaní polynomů a obvyklého násobení polynomů je oborem integrity, který není tělesem. [2.3.B8J. Nechť (T,+, •) je libovolné, pevné těleso. Nechť M — {/ : Z —<■ T I f (z) 4- úy pouze pro konečně mnoho z G Z}. Dále, pro V/,p G M definujeme f®g:Z-*T, resp. Jog : Z — T takto: pro Vz G Z je (/© R takto: (f+g)(x) = f(x)+g(x) , resp. (f-g){x) = f(x)-g(x) pro Vx G R. Pro každé i € N označme symbolem S; množinu všech zobrazení R —* R, která mimo interval (—i, i) nabývají pouze nulových hodnot, tj. Si = {/ : R - R | /(x) = 0 pro Vx € R - (-i, i)}. oo Dále označme S = [j Si. Potom dokažte, že: i'=i a) (RR, -f, •) je komutativní okruh s jedničkou, který má dělitele nuly b) pro každé i G N je (S,-,+,-) podokruhem v (RR,+,-) a tento podokruh má jedničku c) (S, + , •) je podokruhem v (RR, +, -) a tento podokruh jedničku nemá. [2.3.B14]. Na množině R x R x R x R definujeme operace + a ■ takto: (ai, a2, a3, a4) -f (&i, b2, b3, 64) = (oi + b} , a2 + b? , a3 -f b3 , a4 + 64) (ai,a2,o3,o4) • (&i,i2,i»3,M = = (ai&i + a2&3 , Oi62 -f a2fc4 , 0361 + 0463 , o362 + 0464) Potom: a) dokážte, že (R x R x R x R, +, •) je nekomutativní okruh s jedničkou, který má dělitele nuly b) označíme-li S = {(a, b, —6, a) | a, b G R}, pak dokážte, že (S, -f, -) je podtělesem okruhu (R x R x R x R, +, •). [2.3.B15]. Nechť M označuje množinu všech nekonečných posloupností reálných čísel. Na množině M definujeme operaci ® jako "sčítaní po složkách" a operaci o jako "násobení po složkách", tj.,: (oj, o2,... )©(&!, 62,... ) = (aj + fci , a2 + i>2 ,...) (ai,o2,...) o (b1,b2,...) = (a: ■ bi , a2 ■ b2 ,...) Potom: a) dokažte, že (Aí, ©, o) je komutativní okruh s jedničkou b) ukažte, že v (Aí, @, o) existují dělitelé nuly a popište je c) rozhodněte, zda (5,©,o) je podokruhem okruhu (A/,©, o), je-li S množina všech nekonečných posloupností reálnych čísel, majících q) konečně mnoho složek různých od nuly 0) konečně mnoho složek rovných nule 7) první dvě složky rovné nule 6) první dvě složky rovné jedné. >j3: Struktury se dvěma operacemi a jejich podstruktury 77 [2.3.B16]. V daném okruhu zbytkových tříd vypočtěte (pokud lze výpočet provést) výrazy x,y,z. Z důvodů stručnosti budeme psát místo d pouze i, resp. místo C,- ■ (Q)-1 pouze j . Přitom: a) v (Z10,+,-) 4 , .5 3, 8-6-7-9 -5-8-8 X=4 > y = 5(3 ~ 7} ; Z=-9---7~ b) v (Z13,+,-) * = I 3, platí: a) k prvku Cm_i existuje vždy prvek inverzní, a sice sám prvek Cm_i b) je-li m liché číslo, pak k prvku C2 existuje inverzní prvek, kterým je prostřední člen posloupnosti C\, C2,..., Cm-\, Co c) jestliže m je tvaru: m = Zk + 2, pak k prvku C3 existuje prvek inverzní, a sice prvek C.-n d) jestliže m je liché číslo tvaru m — Zk + 1, pak k prvku Cmj^ existuje prvek inverzní, a sice prvek . [2.3.B20]. Dokažte, že v okruhu zbytkových tříd (Zm,+, •) jsou následující výroky ekvivalentní: (i) k prvku d G Zm existuje prvek inverzní (ii) d ^ Co A Ci není dělitelem nuly v (Zm,+, •) (iii) (t, m) = 1. [2.3.B21]. Nechťm>2; dokažte, že pak v okruhu (Zm ,+,•) pro každé dŕCo platí: C? = C^_,. . [2.3.B22]. Nechťp > 2 je prvočíslo. Dokažte, že v tělese (Zp, +, ■) platí: a) 1 < i, j < ^ A i ŕ j => C? í C] b) pro pevné d £ Z, A C; ; Co má rovnice: Cl — d buď 2 řešení nebo nemá žádné řešení. 78 II. Cvičení - Kap. 2: Základní algebraické struktury [2.3.B23]. Nechť p je prvočíslo. Řekneme, že prvek C,- G Zp je čtvercem v tělese (Zp,+, ■), jestliže existuje Cx G Zp tak, že: C, = C~. Určete všechny prvky Q , které jsou čtvercem v tělese (Zp,+,-), je-li: a)p = 3 b) p = 5 c)p=7 d) p =11. [2.3.B24]. Nechť p > 2 je prvočíslo. Dokažte, že pak v tělese (Z„, +. •) p + 1 , . . p- 1 vzdy —^— prvku je čtvercem a —— prvků není čtvercem. (Návod: vyšetřujte zvlášť prvek Co a zvlášť všechny nenulové prvky z tělesa (Zp,+, •), u nichž využijte výsledek cvičení [2.3.B22]a) a výsledek cvičení [2.3.B21].) [2.3.B25]. Nechť T je konečné těleso takové, že char T £ 2 (tj. 1 £ -1). Dokažte, že potom množina T má lichý počet prvků. (Návod: nejprve sporem dokazujte, že pro prvek a G T , a 0,1,-1 musí být a~l ^ a .) [2.3.B26]. Určete charakteristiku následujících okruhů, resp. těles: a) okruhu Gaussových celých čísel (£?,+,-) ze cvičení [2.3.B3] b) tělesa (Q x Q,+, ■) ze cvičení [2.3.B4]a) c) tělesa (Z2 x Z2,+, •) ze cvičení [2.3.B5] d) okruhu (RR,+,-) ze cvičení [2.3.B13]. [2.3.B27]. Nechť (R, + , •) je netriviální okruh, v němž platí: x - x = x pro každé x G R . Dokažte, že pak okruh (R, +, •) má charakteristiku 2. [2.3.B28]. Nechť (Ä,+,•) je obor integrity, který má charakteristiku p £ 0 (tzn. p je prvočíslo). Nechť 0 jí a G R. resp. m, n £ N. Dokážte, že pak platí: m a — n ■ a <==> p | (m - n) . [2.3.B29]. Nechť (R,+,-) je obor integrity, který má charakteristiku p ŕ 0 (tzn. p je prvočíslo). Dokážte, že pak pro každé x, y, e R a každé přirozené číslo n platí: a) {x + yy =xP + yP b) (x - y)*" = a* - yP c) (i + y)p" = z?" + rfn d) (x - = x?" - f" . §4: Číselná tělesa 79 §4: ČÍSELNÁ TĚLESA [2.4.A1]. U.p. tělesa, které není číselným tělesem. [2.4.A2]. U.p. číselného tělesa, které není oborem integrity. [2.4.A3]. U.p. číselného tělesa, které neobsahuje číslo 13. [2.4.A4]. U.p. číselného tělesa, které neobsahuje číslo VT3. [2.4.A5]. U.p. číselného tělesa, různého od (K,+,-), které obsahuje číslo (1 + i). [2.4.A6]. Udejte, kolik existuje různých číselných těles. [2.4.A7]. U.p. číselného tělesa (7',-f, •) tak, že platí: Q C T C R. [2.4.A8]. U.p. konečného číselného tělesa. [2.4.A9]. U.p. číselného tělesa, které má charakteristiku rovnu 2. [2.4.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby (T, +, ■) bylo číselné těleso. a + * [2.4.BI]. Dokážte, že jedinými číselnými tělesy obsahujícími všechna reálná čísla jsou pouze tělesa (R, +, ■) a (K, +. •). [2.4.B2]. Dokažte, že pro a,b,c £ Q platí: a) a + by/2 = 0 <=> a = 0 A 6 = 0 b) a+ 6^=0 <^=> a = 0 A 6 = 0 0)0 + 6^+^=0 <=>a = 0A6 = 0Ac = 0 d) a + 6^2 + c^ = 0 <=> a = 0 A 6 = 0A c = 0. (Návod: využijte toho, že V2, y/Š, v^, \/Ä nejsou racionální čísla.) [2.4.B3]. Ukažte, že ani jedno tvrzení z předchozího cvičení neplatí, jestliže místo a, 6, c G Q předpokládáme, že a, 6, c G R. 80 II- Cvičeni' - Kap. 2: Základni algebraické struktury h i [2.4.B4]. Rozhodněte, zda (T, +, •) je číselné těleso, jestliže + , resp. značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel a je-li: a) T = {a + bs/1 | a, b £ Q} b) T = {a + by/f \ a,b € Z) c) T= |a G Z , Jfc > 0 celej d) T = {a + 6\/2 + cVŠ | a,fc, c G Q} e) T = {a -f | a, i € Q} f) T = {a + b^/2 | a, 6 e Q} g) T={a + by/2 + cVŠ+dV6\a,b,c,deQ} h) T = {a + bf/2 + c^4 | a, 6, c € Q}. [2.4.B5]. Rozhodněte, zda (T, -f, ■) je číselné těleso, jestliže + , resp. značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel a je-li: a) T = {a + 6i j a, 6 G Z} c)r={a + 6£jaGR,ÍGQ} e)T={z£K\ |*| = 1} *>)T={a + bi\a,b€Q] d) T = {b ■ i | b G Q} f) T = {a + b^/Ei \ a,b £ Q}. [2.4.B6]. Nechť (T, +, •) je číselné těleso; nechť z e K je libovolné pevné komplexní äslo. Symbolem T{z) označme množinu ap + aiz +----f- amzr { ■ | Vm, n G Nja,-,^ G T A 60 + ■ ■ - + bnz" ± 0 Co + oiíH-----Vb„zn Dokážte, že pak : • a) (T(z), +, •) je číselné těleso b) T C T(z) A z £ T(z) c) (T(z), +,•) je nejmenším číselným tělesem obsahujícím množinu T a dané číslo z (tzn. je-li (5,+,-) nějaké číselné těleso s vlastnostmi: T C S A z G S, pak je T(z) C S ). [2.4.B7]. Při použití označení z předchozího cvičení dokažte, že: a)R(V3) = R b) Q(v/3) = {a + 6V3ia,6GQ} c) Q(^2) = Q(^4) d) Q(^) = Q(1^2) = Q(-|) e) Q(^2) = {a + b^+cVÄ \ a,b,c£ Q} f) Q(tV5) = {a + bVEi \a,b£ Q}. KAPITOLA 3: VEKTOROVÉ PROSTORY §1: VEKTOROVÝ PROSTOR NAD ČÍSELNÝM TĚLESEM [3.1.A1]. U.p. vektorového prostoru nad číselným tělesem, který obsahuje konečně mnoho vektoru. [3.1.A2]. XJ.p. vektorového prostoru nad číselným tělesem, který obsahuje právě 8 vektorů. [3.1.A3]. Popište vektorový prostor Q(\/2)2. [3.1.A4]. Popište vektorový prostor Q(i)3. [3.1.A5]. Popište vektorový prostor Rjfz]. [3.1.A6]. Popište vektorový prostor K5. [3.1.A7]. Nechť (T, +, •) je libovolné číselné těleso. Popište, jak lze T chápat jako vektorový prostor nad T. [3.1.A8]. U.p. vektorového prostoru V nad T a dvou různých vektorů u,v£ľ takových, že 3 • u = 3 • v. [3.1.A9]. U.p. dostatečné, ale nikoliv nutné podmínky pro to, aby součin čísla i s vektorem u byl nulový vektor. [3.1.A10]. U.p. nutné a dostatečné podmínky pro to, aby součin čísla t s vektorem u byl nenulový vektor. * * * [3.1.B1]. Je dáno číselné těleso T a množina čísel V. Sčítání vektorů definujeme jako obyčejné sčítání čísel a násobení čísla s vektorem definujeme jako obyčejné násobení čísel. Rozhodněte, zda V je pak vektorový prostor nad T, je-li: a) T = K ; V = K b) T = R ; V = K c) T- R ; V = {„ i /V-' | «./' ■ Q) 82 II. Cvičení- Kíip.3: Vektorové prostory §1: Vektorový prostor nad číselným tělesem 83 [3.1.B2]. Uvažme množinu ,zn. množinu všech zobrazení (0,1) -+ R). Pro f,g £ RÍ0-1) a pro r € R definujeme f + g E R*0'1', resp. r • / £ R((U) takto: (/ + g)(x) = f(x) + 9(x) , resp. (r • f){x) = r ■ (f(x)) , pro Vx £ (0,1). Dokážte, že pak R'0,1' je vektorový prostor nad R. [3.1.B3]. Uvažme množinu RR (tj. množinu všech zobrazení R —+ R). Pro /, 9 € RR a pro r £ IL definujeme f + g £ RR, resp. r - f £ RR takto: (f + 9)(*) = f(x)+g(x) , resp. (r ■ /)(x) = r ■ (f(x)) , pro Vx £ R. Dokážte, že pak RR je vektorový prostor nad R. [3.1.B4]. Nechť S(R) značí množinu všech spojitých reálných funkcí (tj. spojitých zobrazení R —* R). Pro f, g £ "(0,1) značí množinu všech reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu (0,1) a majících na tomto intervalu spojité derivace až do řádu n včetně (kde n je pevné přirozené číslo). Pro f,g£ 2?"(0,1) a pro r € R definujeme f + g, resp. r • / takto: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,resp. (r •/)(*)= r •(/(*)) , pro Vx € (0,1). Potom: a) zdůvodněte, že / + g £ V" (0,1) , r • / £ V <0,1) b) dokážte, že 7>n(0,1) je vektorový prostor nad R. [3.1.B6]. Uvažme množinu TA (tj. množinu všech zobrazení A —> T), kde A je libovolná neprázdná množina a T je libovolné číselné těleso. Pro /, g £ TA a pro t £ T definujeme / + g £ TA, resp. t-f£TA takto: (f + g)(a) = f(a) + g(a) , resp. (r • /)(o) = r - (f (a)) , pro Va £ A . Dokažte, že pak TA je vektorový prostor nad T. [3.1.B7]. Nechť 'P(R) značí množinu všech posloupností reálných čísel. Pro (xi, x2,...), (t/i, j/2, • • •) £ "P(R) a pro r G R definujeme: (xi,x2,...)+ (y\,y2, ■■■) = (xi + yi , x2 -f t/2 ,...) r ■ (xi,x2, -..) = (r • Xi , r • x2 , .. .)• Dokážte, že pak ^(R) je vektorový prostor nad R. [3.1.B8]. Nechť Vi, V2 jsou vektorové prostory nad číselným tělesem T. Pro libovolné (ui,u2), (v1(v2) £ Vx x V2 a t £ T definujeme: (u1,u2) + (vi,v2) = (uí+vj , u2+v2) , resp. ť-(ui,u2) = (ť-ui, ť-u2). Dokážte, že pak V\ x V2 je vektorový prostor nad T. [3.1.B9]. Je dáno číselné těleso T a množina V s operací ©. Dále je dán součin o čísla z T s prvkem z V. Rozhodněte, zda V je vektorový prostor nad tělesem T, jestliže: a) T=Q, V = K prou.vGRje: u © v — u + v, pro t £ Q, u € R je: to u = u b) T = R, V = R+ (tj. množina všech kladných reálných čísel) pro u, v £ R+ je: = pro ť G R, « € R+ je: í o u = u' c) T = R, V — R+ (tj. množina všech kladných reálných čísel) pro u, v £ R+ je: u®v = u + v, pro ť € R, v £ R+ je: ť o u = u! d) T = R, V = Z pro w, ti G Z je: u®v = u + v pro'ť G R, u G Z je: í o u = [*•«] kde [1-tf] značí celou část z reálného čísla t-u, tj. největší celé číslo, nepřevyšující číslo t-u e) ľ = R,ľ = RxR pro (ai,*3t),(yi,Itt) € R x R je: (xi,x2) © (yi.jfc) = (*i+í/i > *2+J&) pro ť G R, (xi,x2) G R x R je: ť o (x^x;.) = (ť-xx, 0) f) T = R, U = R x R pro (xi,x2),(j/i,t/2) G R x R je: (xu x2) © (jft, t/2) = (xryi , x2-y2) pro t £ R, (xi,x2) G R x R je: t o (xi,x2) = (í-xi, ť-x2). [3.1.B10]. Nechť V je vektorový prostor nad T; nechť u, v G V, resp. r, s G T. Dokažte, že platí: a) (-l)-u= -u b) (-r) • (-u) = r • u c) r • u = s ■ u <=> r = s V u = o d) r ■ u = r - v r = 0 V u = v. [3.1.B11]. Nechť V je vektorový prostor nad T. Dokažte, že pro libovolný nenulový vektor u G V a pro libovolná dvě různá čísla i, s £T jsou vektory ť-u a s-u také různé. [3.1.B12]. Dokažte, že v definici vektorového prostoru lze axiom (iv) (tj. axiom : 1 • u = u pro V u G V) nahradit axiomem (*) t ■ u = o => ť = 0 V u = o . (Návod: při důkazu "(*) => (iv)" nejprve užitím axiomů (i),(ii),(iii) vektorového prostoru ukažte, že pro t ^ 0 je t ■ (1-u — u) = o .) 84 II. Cvičení - Kap. 3: Vektorové prostory §2: PODPROSTORY VEKTOROVÉHO PROSTORU [3.2.A1]. U.p. podmnožiny M vektorového prostom Q4, která a) je nekonečná a není podprostorem v Q4 b) je konečná a je podprostorem v Q4. [3.2.A2]. U.p. netriviálního podprostoru ve vektorovém prostom R[x]. [3.2.A3]. U.p. podprostoru W ve vektorovém prostoru Q3 tak, že a) (1,4,2) € W A (1,1,1) £ W b) W obsahuje právě 3 vektory. [3.2.A4]. U.p. dvou různých podprostoru Wi, W2 ve vektorovém prostoru R3 tak, že: a) Wi,W2 jsou disjunktní b) Wx n W2 C {(1,4,2)} c) W1 n W2 = {(1,4,2)} d) Wi n W2 D {(1,4,2)}. [3.2.A5]. U.p. podmnožiny M ve vektorovém prostoru R4 tak, aby platilo: a) M C [M] b) M = [M] c) M D [M] d) [M]= {(0,0,0,0),(1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1)}. [3.2.A6]. U.p. nekonečné množiny M C Q2 tak, že [M] = Q2. [3.2.A7]. U.p. dvou podmnožin M, L ve vektorovém prostoru R3 takových, že M # L i ale [M] = [L] . [3.2.A8]. U.p. dvou různých podprostoru Wi/Wa v R2 tak, že jejich součet W\ + W2 není přímým součtem. [3.2.A9]. U.p. dvou různých podprostoru W^i, w2 v R4 tak, že: a) W\ U W2 C W\ +W2 b) Wi U W2 D Wx + W2 c) Wi U W2 = W\ + W2 d) Wi U W2 = Wi+W2. [3.2.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby součet dvou podprostoru W\, W2 ve vektorovém prostoru V byl přímým součtem. * * * [3.2.B1]. Rozhodněte, zda podmnožina W C R3 je podprostorem vektorového prostoru R3, je-li: a) W ={{z,y.z)\x = y/2y + y/Šz} b) W = {(0, sin x, cos x) I z € R} c) W = {(x, y, z) I z = 0 V y = 0 V 2 = 0} d) W - {(r,-2r,v/2r) | r G R libovolné}. §2: Podprostory vektorového prostoru 85 [3.2.B2]. Rozhodněte, zda podmnožina W C K3 je podprostorem vektorového prostoru K3, je-li: a) W = {(0, (1 + i) ■ r, 0) | pro Vr € R} b) W = {(z, i • z, (2 - i) ■ z) | • pro V* € K} c) w = {(zi,z2,*s) l M = N = N) d) M/ = {(*!,•*»,jä) i (1 + «>i + (2 - i)z2 - 3*3 = 0}. [3.2.B3]. Rozhodněte, zda podmnožina W C Q4 je podprostorem vektorového prostoru Q4, je-li: a) W = {(0,0,0,0),(1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1)} b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0} c) W = {(xi,x2,x3,x4) | x2 = x3 = x4} d) W = {(2s + ť, s - z, t, s) 11, s e Q libovolné}. [3.2.B4]. Rozhodněte, zda podmnožina C R" je podprostorem vektorového prostoru R", je-li a) W = ■.,*») |«i + .--+i„ = 0} b) W/ = {(xi,...,x„)|xi + --- + xn = l} c) W = {(x1,...,xn)|x1,...,xneZ} d) rV = {(r , 2 • r , ... , n ■ r) | pro V r € R}. [3.2.B5]. Rozhodněte, zda podmnožina W C RÍ0'^ je podprostorem vektorového prostoru R'0,1' (viz cvičení [3.1.B2]), je-li: a) ^={/:{0,l)^R|/(l) = 0} b) .W = {/:(0,l)-.R|/(0)/(l) = 0} c) W = {f : (0,1) -+ R | /(x) > 1 pro konečně mnoho x € (0,1)} d) W = {/ : (0,1) - R | /(x) = /(l - x) pro Vx e (0,1)}. [3.2.B6]. Rozhodněte, zda podmnožina W C RR je podprostorem vektorového prostoru RR (viz cvičení [3.1.B3]), je-li: a) W — {f : R —► R | /(x) ^ 0 pouze pro konečně mnoho z E R} b) W = {/ : R —♦ R | f (x) = 0 pouze pro konečně mnoho x e R} c) W = {/ : R —♦ R | / je nespojitá funkce} d) W = {/ : R —♦ R | / je shora ohraničená funkce}. 86 II. Cvičení - Kap. 3: Vektorové prostory [3.2.B7J. Rozhodněte, zda podmnožina W C R[x] je podprostorem vektorového prostoru R[x], je-li: a) W = {ax2 + bx + c | a, b, c G R A a ^ 0} b) W = {ax5 + bx2 + cx | a, 6, c G R} c) W = {/€ R[x] | 3 [M]C[L] d)MCLC[M] => [M] = [L]. [3.2.B12]. Nechť W\, W2 jsou podprostory ve vektorovém prostoru V. Dokažte, že pak platí: a) Wi U W2 = Wi + W2 <ŕ=> W\ C W2 nebo W2 C Wi b) Wi U W2 = V <=> Wi — V nebo W2 = V. [3.2.B13]. Nechť Wy, W2, W3 jsou podprostory vektorového prostoru V. Dokažte, že pak platí: Wi n (w2 + (Wi n w3)) = (Wi n w2) + (Wi n iv3). [3.2.B14]. Nechť Wi,W2, w3 jsou podprostory vektorového prostoru V. Pak dokažte, že: a) Wi + (w2 n W3) C (W7! + w2) n (WTi + w3) b) v inkluzi a) obecně neplatí rovnost c) jsou-li W\, W2 v inkluzi, pak v a) platí rovnost d) jestliže v a) platí rovnost, pak W\, W2 nemusí být v inkluzi. §2: Podprostory vektorového prostoru 87 [3.2.B15]. Nechť Wi, W2, W3 jsou podprostory vektorového prostoru V. Pak dokažte, že a) Wi n (w2 + w3) 2 (Wi n w2) + (Wi n w3) b) v inkluzi a) obecně neplatí rovnost c) jsou-li W\, W2 v inkluzi, pak v a) platí rovnost d) jestliže v a) platí rovnost, pak W\, W2 nemusí být v inkluzi. [3.2.B16]. Ve vektorovém prostoru V jsou dány podprostory Wy,W2-Rozhodněte, zda součet W\ + W2 je přímým součtem, je-li: a) V = TL3 Wi = {(x, y,z)J x = 2y + 3;} , W2 = {(r, -2r, -3r) | pro Vr G R} b) V = R3 = {(x,y,z) |x-2y-32- = 0}, W2 = {(x,y,z) | x = z) c) V = R" (n > 2) Wi = {(«!,...,x„) |*i+ •■■ + *„ =0}, W2 = {(*!,...,■*„) j Xl = X2 = ••■ = Xn) d) V = R" (n > 2) Wi = {(xi,...,x„) I xi = 2x„}, W2 = {(«!,...,*„) |3xi + 6x2 = 0} e) V = R'0-1' (viz cvičení [3.1.B2]) Wi = {/:(0,1)-R|/(1) = 0}, W2 = {/ : (0,1) - R I f (x) = f(l - x) pro Vx G (0,1) } f) V = Rl0'1' (víz cvičení [3.1.B2]) Wi = {/ € R*0'1* i /(l) = 0} , w2 = {/ G R<0,1) j / je konstantní funkce} . [3.2.B17]. Ve vektorovém prostoru R[x] jsou dány podprostory: Wi = {(x - 1) • y(x) I pro V g(x) G R[x] } W2 = {(x - 2) • h(x) I pro V h(x) € R[x] } . Dokažte, že pak R[x] = l^'i + W2, přičemž součet není přímým součtem. (Návod: ukažte nejprve, že 1 G W\ +1^2, resp. xk G W\ + W2 pro každé přirozené číslo k.) [3.2.B18]. Ve vektorovém prostoru R[x] jsou dány podprostory: Wi = {/(x) G R[x] I f(x) = /(-*) pro Vx G R} W2 = {/(x) G R[x] I /(x) = -/(-x) pro Vx G R } . Dokážte, že prostor R[x] je přímým součtem podprostoru W\, W2. 88 II. Cvičení - Kap. 3: Vektorové prostory 1 [3.2.B19]. Nechť W, Wi, W2 jsou podprostory vektorového prostoru V a dále nechť V = Wi+W2. Potom: a) jestliže (W D Wi V WD W2), pak W = (W n WX)+(W n W2) b) ukažte na príkladu, že předpoklad (W D ^ V WD W2) nelze v a) vypustit. (Návod: příklad pro b) hledejte např. v prostoru V = R2 .) [3.2.B20]. Nechť Wi,...,W* (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Potom dokažte, že: a) součet Wi +----f- Wt je přímý ==> H7,- n W, = {o} pro V it ^ j b) je-li = 2, pak platí i opačná implikace c) je-li k > 3, pak opačná implikace někdy platí a někdy neplatí. (Návod: část c) ukažte na příkladech, např. v prostoru V = R3.) [3.2.B21]. Nechť W\, W2, W3 jsou podprostory nenulového vektorového prostoru V. Rozhodněte, zda následující výrok je či není nutnou podmínkou, resp. zda je či není dostatečnou podmínkou pro to, aby součet Wi + W2 + W2 byl přímým součtem: a) Wi + W2 + W3 = {0} b) Wi n w2 n W3 = {o}. c) Wi + W2 = Wi + W3 = W2 + W3 = v d) wx n (w2 + w3) = w2 n (wí + w3) = wr3 n (Wi + h^2) = {o} [3.2.B22J. Nechť Wx,...,Wk (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Dokažte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) součet podprostorů Wi +----h Wk je přímým součtem (ii) ui +----h u* = o , kde u,- G Wi => Uj = • • • = u* = o (iii) existuje vektor uCWH-----h Wt, který lze vyjádřit jediným způsobem ve tvaru u = Ui + - ■ ■ + ut, kde U{ G Wi. [3.2.B23]. Nechť ^,...,1^ (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Dokažte, že jestliže součet podprostorů W\ -i-----h Wt není přímým součtem, pak žádný vektor u G WH-----h W* nelze jednoznačně vyjádřit ve tvaru u = Uj +----h Ujt, kde u,- G W, . §3: LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST VEKTORŮ [3.3.A1]. U.p. tří různých vektorů u,v,w G R2, které a) generují prostor R2 b) negenerují prostor R2. [3.3.A2]. U.p. různých vektorů (tj. polynomů) fi,f2,f3,U € B2W, které a) generují prostor K2[x] b) negenerují prostor R2[zj. §3: Lineární závislost a nezávislost vektorů 89 [3.3.A3]. U.p. různých vektorů u, v,w G R4 tak, že vektor u generuje tentýž podprostor v R4, jako vektory v, w. [3.3.A4]. U.p. vektoru u G R3 tak, aby vektor u generoval jiný podprostor v R3, než vektor -*/2 -u. [3.3.A5]. U.p. nenulových vektorů u,v G Q3 tak, aby a) L(u, v) = L(u + v) b) L(u, v) ^ L(u + v, u - v). [3.3.A6]. U.p. vektorů Ui,u2,u3 G R4, které jsou lineárně závislé a přitom vektor uj nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u2, u.3. [3.3.A7]. U.p. tří vektorů u,v,w G Q4 takových, že a) u, v jsou lineárně závislé a u,v,w jsou lineárně nezávislé b) u, v jsou lineárně nezávislé a u,v,w jsou lineárně závislé. [3.3.A8]. U.p. nekonečně mnoha vektorů ui, u2,..., u„,... z vektorového prostoru R3 tak, aby každé dva z nich byly lineárně nezávislé. [3.3.A9]. U.p. vektorů z R3, které a) jsou lineárně nezávislé a negenerují prostor R3 b) jsou lineárně nezávislé a generují prostor R3 c) jsou lineárně závislé a negenerují prostor R3 d) jsou lineárně závislé a generují prostor R3. [3.3.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby dva vektory u,v z vektorového prostoru V byly lineárně nezávislé. [3.3.B1]. Rozhodněte, zda vektory ui,u2 a vektory Vi,V2 generují tentýž podprostor ve vektorovém prostoru R4, je-li: a) uj = (l,l,0,0),u2 = (1,0,1,1), V! = (2,-1,3,3), v2 = (0,1,-1,-1) b) U! = (1,-1,2,-3), u2 = (1,1,2,0), Vj = (1,0,1,0), v2 = (0,2,0,3). [3.3.B2]. Rozhodněte, zda dané vektory Uj,... ,Us generují vektorový prostor Q4 , je-li: a) Ul = (1,2,1,2) , u2 = (2,1,2,1) , u3 = (1,1,1,1) , u4 = (-2,0,-1,-3) ,u5 = (-1,1,0,-2) b) uj = (-1,1,0,-1) ,u2 = (2,0,1,3) ,113 = (1,2,3,4) , u4 = (2,3,4,6) ,u5 = (1,-3,5,-7). 90 II. Cvičení - Kap. 3: Vektorové prostory [3.3.B3]. Rozhodněte, zda dané vektory (polynomy) fi,Í2,f3 generují vektorový prostor R2[x] , je-li: a) fi = x + 1 , f2 = x2 + 2x + 3 , f3 = x2 - 2x - 3 b) fi = x2 + 2x + 3 , f2 = x2 - 2x - 3 , f3 = 2x + 3. [3.3.B4]. Nechť 111,112,113,114 jsou vektory z vektorového prostoru V (nad T) takové, že platí: 2uí + 3u2 + 4ii3 = 0 A 5u2 + 6u3 + 7ii4 = o Dokážte, že pak vektory Ui,U2 generují tentýž podprostor ve V, jako vektory 113,114. [3.3.B5]. Nalezněte všechna r 6 R, pro která vektor w = (r, 1,2) leží v podprostoru W = [ui,u2,u3j vektorového prostom R3, je-li: a) u, = (1,2,-1) , u2 = (1,1,0), u3 = (2,-1,3) b) U! = (1,2,-1) , u2 = (2,-1,1) , 113 = (-1,1,2) ' c) Ul = (1,2,-2) ,u2 = (1,1,-1) ,u3 = (-2,-1,1) d) Ul = (1,1, -4) , u2 = (0,1, r) , u3 = (-r, -4, r2). [3.3.B6]. Ve vektorovém prostoru RR (viz cvičení [3.1.B3]) jsou dány vektory (tj. zobrazení R-»R): /i(as)=l, /2(x) = cosx, pi(z) = sin2f, g2{x) = cos2 f . Potom: a) popište množinu [ /1, /2 ] b) dokážte, že [ /j, f2 ] = [ g 1, g2 ]. [3.3.B7]. Nechť V je vektorový prostor (nad T), nechť u, v,w € V. Dokážte, že platí : a) [u,u-v,w] = [u,v,w-u] b) [u,v,w] = [u + v,u-v,v-w]. [3.3.B8]. Nechť V je vektorový prostor (nad T); nechť Ui, u2, v, w 6 V jsou vektory splňující: w £ [ui,u2] A w € [ui,ii2,v]. Dokažte, že pak je v G [ui,ii2,w] . [3.3.B9]. Nechť V je vektorový prostor (nad T); nechť u, v, w € V jsou vektory splňující: íiu + Í2V + <3W = o , přičemž ťi • ť3 =í 0 . Potom: a) dokažte, že [u,v] = [v,w] b) ukažte, že bez předpokladu ťi • ť3 ^ 0 předchozí rovnost neplatí. [3.3.BIO]. Nechť Wi,W2 jsou podprostory vektorového prostoru V (nad T) takové, že W\ je generován vektory Ui,...,ur, resp. W2 je generován vektory Vi,...,v,. Dokažte, že pak součet podprostoru W\ + W2 je generován vektory Ui,..., ur, Vy,..., v,. §3: Lineární závislost a nezávislost vektoru 91 [3.3.Bil]. Rozhodněte, zda dané vektory z vektorového prostoru V jsou lineárne závislé, či lineárně nezávislé, je-li: a) V = Q3 ; aj = (1,2, -2) , u2 = (-2, -3,1) , u3 = (-1,2,2) b) V = Q3 ; Ul = (1,3,-2) , u2 = (1,1,2) , u3 = (-1,2,-8) c) V = R4 ; Ul = (0,-1,2,3) , u2 = (2,1,-1, -2) , u3 = (1,0,1,1) d) V = R4 ; Ul = (1,1, -1,2) , u2 = (-4,1,1, -3) , u3 = (2, -3,1, -1), 114 = (1,1,1,1) e) V = K3 ; ui =(10,8— 14i, 2 + 4í) , u2 = (2 -f i, 3 - 2i, i) f) V = K3 ;uj =(2,2 + 2i,2i) , u2 = (1 - i, 1 + 3i,-1 + i) , Us = (1 + 1,1-1,1 + ») g) V = R3[x] ; A = 2x2 + x - 4 , f2 = x2 - 3 , f3 = (x + l)2 h) V = R3[x] ; fj = x2 + x + 1 , f2 = x • (x2 + x + 1) , f3 = (x + l)2- [3.3.B12]. Uvažme množinu komplexních čísel K jako vektorový prostor nad tělesem R (viz cvičení [3.1.BI] b)). Dokážte, že v tomto vektorovém prostoru jsou každá tři komplexní čísla lineárně závislá. [3.3.B13]. Ve vektorovém prostoru R*0'1' (viz cvičení [3.1.B2]) uvažme dva různé vektory (tj. zobrazení (0,1) -» R) f ž 9 ■ Potom: a) dokažte, že když existuje xo € (0,1) tak, že _/(x0) = ff(x0) # 0 , potom jsou / , g lineárně nezávislé b) ukažte na příkladech, že když neexistuje žádné xo € (0,1) takové, že f(xo) = g(xo) ^ 0, pak /, g mohou být jak lineárně závislé, tak 1 lineárně nezávislé. [3.3.B14]. Ve vektorovém prostoru RR (viz cvičení [3.1.B3]) jsou dány vektory (tj. zobrazení R —► R) /, g, h . Dokažte, že /, g, h jsou lineárne závislé. Přitom: a) / = 1 , g = cos x , h — cos2 | b) / = y/2 , g — sin2 x , h = cos2 x c) / = sin x , g = cos x , ' h = cos(x + §) d) / = ex , g = sin x + cos x , h = cos(x — . (Návod: přímou úpravou, užitím známých vztahů pro goniometrické funkce, sestavujte rovnici t\-f + t2-g + <3-/i = 0 .) II. Cvičení - Kap. 3: Vektorové prostory [3.3.B15]. Dokažte, že dané vektory 111,112,113 G R3 jsou lineárne závislé a nalezněte mezi nimi všechny vektory, které nelze vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících. Přitom: a) m = (1, v/2, -v/2) , u2 = (1, y/2, -2) , u3 = (-V2, -2,2) b) uj = (1,1, -1) , u2 = (1,3,1) , u3 = (1,0, -2) c) Ul = (1,72, -V2) , u2 = (0,0,0) , u3 = (2, v/2,1). [3.3.B16]. Ve vektorovém prostoru R3 jsou dány vektory u,v,w. Určete všechny hodnoty parametru a G R, pro které jsou tyto vektory lineárně závislé, resp. lineárně nezávislé. Přitom: a) u=(l,l,l),v = (l,a,l),w = (2,2,a) b) u = (0,2, a) , v = (-1,3,2) , w = (2,-4, a) c) u = (a, 4,11), v = (1,2,3), w = (3,1,4). [3.3.B17]. Rozhodněte, pro které hodnoty parametrů jsou zadané vektory z Q4 lineárně závislé: a) uj =(l,2 + o,4,6) ,u2 = (1,2,3-6,3) , u3 = (2,4,6 - 6,7) , u4 = (1,2-0,2-6,1) b) ui = (a, 6, c, d) , u2 = (b, -a, d, -c) , u3 = (c, -d, -a, b) , u4 - (d, c, -6, -a) c) uj = (1,1, a, 1) , u2 = (1,6,1,1) , u3 = (c, 1,1,1) d) Ul =(l,l,a+l,a4+3a2) , u2 = (l,a + 1,1,a3 + 3a2) , u3 = (a + l,l,l,a2 + 3a). [3.3.B18]. Nechť u, v, w jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte, zda následující vektory z V jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé: a) (u + v) , (u + w) , (v + w) b) (2u + 3v + 3w) , (u + 4v - w) , (3u + 5v + 4w) c) (3u + 4v + 5w) , (4u + 3v + 5w) , (5u + 4v + 3w) d) (u - 2v + w) , (3u + v - 2w) , (7u + 14v - 13w). [3.3.B19]. Nechť ui, u2,..., u* jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte, zda vektory: uj , (ui + 2u2) , (uj + 2u2 + 3u3) , ■ • •, (ui + 2u2 + • • • + k ■ ut) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. [3.3.B20]. Nechť V je vektorový prostor (nad T) a nechť u G V. Dokažte, že platí : vektor uje lineárně závislý <=> u = o. §4: Báze a dimenze vektorového prostoru 93 [3.3.B21]. Nechť V je vektorový prostor (nad T); nechť a, b, c,d G V. Dokažte, že potom platí: a) vektory a,b,c jsou lineárně nezávislé A vektory a, b,c, d jsou lineárně závislé => d G [a,b,c]. b) vektory a, b, c jsou lineárně závislé A c ^ [a, b] => a = o nebo 3 ť G T : b = t a. [3.3.B22]. Nechť Ui, ... , Ut (k > 2) je konečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru V (nad T) taková, že Uj ^ o. Dokažte, že pak: vektory Ui,...,u* jsou lineárně závislé <=> existuje vektor u,-(2 < i < k), který je lineární kombinací předcházejících vektoru (tj. vektorů Ui,..., Ut_i). [3.3.B23]. Nechť m ,... , tu (i > 2) je konečná posloupnost vektoru z vektorového prostoru V (nad T) taková, že u* o. Dokážte, že pak: vektory Ui,...,ut jsou lineárně závislé <=> existuje vektor u,-(1 < i < Jb — 1), který je lineární kombinací následujících vektorů (tj. vektorů u,+i,... [3.3.B24]. Nechť ve vektorovém prostoru V (nad T) jsou dány lineárně nezávislé vektory Ui,...,U* a vektor w ^ o. Dokažte, že potom nejvýše jeden vektor z posloupnosti vektorů w, ui,..., u± je lineární kombinací předchozích vektorů. (Návod: důkaz veďte sporem .) [3.3.B25]. Nechť Wi,Wí jsou podprostory ve vektorovém prostoru V (nad T) takové, že jejich součet je přímým součtem. Nechť dále Ui,...,ur G W\ jsou lineárně nezávislé vektory avi,...,v, G W2 jsou lineárně nezávislé vektory. Dokažte, že pak vektory tii,..., ur, -v\,..., v, jsou lineárně nezávislé. §4: BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU [3.4.Al). U.p. vektorů z vektorového prostoru R2[x], které a) jsou generátory, ale nejsou bází vektorového prostoru R2[x] b) jsou lineárně nezávislé, ale nejsou bází vektorového prostoru R2[x]. [3.4.A2]. U.p. vektorů u,v,w G Q2, které a) jsou lineárně nezávislé b) negenerují vektorový prostor Q2. [3.4.A3]. Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory Ul,U2,U3,U4 a) generují vektorový prostor Q" b) jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru R„ [z]. 94 II. Cvičen,' - Kap. 3: Vektorové prostory [3.4.A4]. Uveďte, co všechno můžete říci o čísle s, víte-li, že vektory a) generují vektorový prostor Rs[x] b) jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru K5. [3.4.A5]. U.p. dvou různých podprostorů W\, W2 vektorového prostoru R3 takových, že průnik \\\ D W2 a) nemá bázi b) má bázi u = (1,1,1), v = (3,2,1). [3.4.A6]. U.p. jednodimenzionálního podprostorů W ve vektorovém prostoru Rj[x]. [3.4.A7]. U.p. dvoudimenzionálního podprostorů W ve vektorovém prostoru R4 tak, že: a) W obsahuje vektor (y/2,3, \/E, 7) b) W obsahuje vektory (1,1,1,1) , (0,1,0,0) , (0,0,1,0) . [3.4.A8]. U.p. podprostorů W\,W2 ve vektorovém prostoru Q3 takových, že a) dim Wi = dim W2 A Wi ^ W2 b) dim Wi = dim W2 A Wx C W2. [3.4.A9]. U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů WjjWj ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímým součtem. [3.4.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná i dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby dva vektory u, v byly bází vektorového prostoru R2. pros- [3.4.Bl]. Rozhodněte, zda zadané vektory tvoří bázi vektorového toru V, je-li a) V = R3, o* = (2*1,2), u2 = (-3,0,l) , u3=(5,4,3) b) V = R4 ; Ul = (1,5,5,-4) , u2 = (1,2,3,-1) , u3 = (1,-1,1,2) , u4 = (1,8,7,-7) c) V = R2[x] ; fi = 2x2 + 3x - 5 , f2 = x2 - x + 1 , f3 = 3x2 + 2x - 2 d) V = R3[x] ; fi = x2 + x , f2 = x3 + 2x2 , f3 = x3 + x2 - x - 1 , ' f4 = x3-l. §4: Báze a dimenze vektorového prostoru 95 [3.4.B2]. Nechť vektory u, v, w tvoří bázi vektorového prostoru V (nad T). Rozhodněte, zda následující vektory také tvoří bázi tohoto vektorového prostoru V: a) (u + v) , (v - w) , (u + w) b) (u + v) , (v + w) , (u + w) c) (2u + v + 3w) , (v + 2w) , (u - v + 7w) d) (u + v + 2w) , (3u + 2v + w) , (3u + v-4w). [3.4.B3]. Určete všechny hodnoty parametrů, pro něž zadané vektory tvoří bázi vektorového prostoru V, je-li: a) V = R3 ; ui = (2,3,a) , u2 = (3,4,2a) , u3 = (5,8,1 +2a) b) V = R3; Ul = (l,a,fc), u2=(0,l,c), u3 = (0,1,1) c) V = R2[x] ; fj = ax2 - 4x - 1 , f2 = 4x2 - 6x - 3 , f3 = x2 + x - a d) V - R3[x] ; fi = 3x3 - 2ax2 + 1 , f2 = x3 - 1 , f3 = x2 + x + 1. [3.4.B4]. Ve vektorovém prostoru R4 a) nalezněte bázi, která obsahuje vektor Uj = (1,2,3,4) b) nalezněte dvě báze, které mají společné právě vektory u1 = (1,1,0,0), u2 = (0,0,l,l). [3.4.B5]. Ve vektorovém prostoru R4 nechť je zadán podprostor W = L(ui,U2,u3) a vektor v G W. Nalezněte bázi podprostorů W, která obsahuje vektor v, je-li: a) ui = (1,0, -2, -1) , u2 = (1,2,1,1) , u3 = (2, -1, -2,0) ; v = (2,1,1,2) b) Ul = (1,1,4,3), u2 = (-1,4,6,5) , u3 = (-2,3,2,2); v = (3,-2,2,1). [3.4.B6]. Nalezněte bázi a dimenzi vektorového prostoru V, je-li a) V = K, nad tělesem K (viz cvičení [3.1.Bl]a) ) b) V = K, nad tělesem R (viz cvičení [3.1.Bl]b) ) c) V - {a + by/2 | a, b € Q} nad tělesem Q (viz cvičení [3.1.B1] d) ) d) V = KA, kde A = {au...,an} (viz cvičení [3.1.B6]) e) V = K x K, nad tělesem R, přičemž sčítání vektorů a násobení reálného čísla s vektorem je definováno "po složkách". [3.4.B7]. Dokažte, že vektorový prostor V nemá bázi. Přitom : a) V ~ R[x] b) V = R*0'1' (viz cvičení [3.1.B2]) c) V = 5(R) (viz cvičení [3.1.B4]) d) V - 7>(R) (viz cvičení [3.1.B7]). (Návod: ukažte, že pro každé přirozené n lze ve V vždy sestrojit n lineárně nezávislých vektorů.) 96 II. Cvičení — Kap. 3: Vektorové prostory [3.4.B8]. Nechť Ui,...,u„ (n > 2) je báze vektorového prostom V (nad T). Dokazte, že potom: a) vektory uj , ui-fu2 , ... , Ui + U2-f • + u„ jsou bází prostoru V b) vektory ua , u2 , ... , un_i , u„ + íxui-f----Mn-iU„_i jsou pro libovolná tx,.., , ťn_i G T také bází prostoru V. Definice. Řekneme, že konečná posloupnost vektoru m,..., un G V je minimálni systém generátorů prostom V, jestliže : (i) [ui,...,u„] = V (ii) [u1,...,uí_i,uí+i,...,u„] C V pro každé i— l,...,n tzn. jinými slovy řečeno: vektory Ui,...,u„ generují prostor V, ale vynecháme-li libovolný z nich, pak zbývající vektory již prostor V negenerují. [3.4.B9]. Dokažte, že konečná posloupnost vektorů Ui,.. .,u„ je bází vektorového prostoru V právě když je minimálním systémem generátorů prostoru V. [3.4.BIO]. Ve vektorovém prostoru V je dán podprostor W. Nalezněte bázi a dimenzi tohoto podprostoru W, je-li: a) V = R5 , W — {(xi, x2,x3,x4, x5) \ xi + x2 = 0 A x4 + x5 = 0} b) V = B" (n>2) ; W = {(xlt... ,xn) [ xx = xn} c) V = Rn (n>2) ; W = {(xlt...,x„) | Xl = x2 = • • - = x„) d) V = Kn (n>2) ; W = {(xy,... ,xn) | xt +12 + • • • + ** = 0} e) V = R" (n > 2) ; = {(*!,.;.,*») | = 0 pro sudé i} {) V = K5[x], W = {/(*) I /(x) = /(-x) pro Vz G R}. [3.4.Bil]. Ve vektorovém prostoru R4 je dán podprostor W = {(xi,a:2,2;3>X4) I xi + 2z2 = x3 + 2x4} . Pak: a) ukažte, že vektory ui = (1,0,1,0), u2 = (0,1,0,1) jsou lineárně nezávislé a leží ve W b) určete dimenzi podprostoru W c) doplňte vektory Ui,u2 na bázi podprostoru W. [3.4.B12]. Ve vektorovém prostoru Q4 nechť je zadán podprostor W = [111,112,113,114]. Z generátorů Ui,u2,u3,u4 podprostoru W vyberte všechny možné báze W. Přitom: a) u, =(1,2,0,0) ,u2 = (0,0,0,0) , u3 = (1,2,3,4) , U4 = (3,6,0,0) b) m = (1,2,3,4), u2 = (2,3,4,5), u3 = (3,4,5,6) , U4 = (4,5,6,7) c) ux = (2,1,-3,1),u2 = (4,2,-6,2),u3 = (6,3,-9,3),114 = (1,1,1,1) d) Ul = (1,1,1,1),u2 = (1,-1,1,1),u3 = (l, 1,-1,1),u4 = (1,1,1,-1) §4: Báze a dimenze vektorového prostoru 9" - [3.4.B13]. Ve vektorovém prostoru R4 nechť je zadán podprostor W — [ui,ii2,u3,114,115]. Z generátorů ui,U2,u3,u4,U5 podprostoru W vyberte nějakou bázi W a potom každý z vektorů ui,U2,u3,114,115 vyjádřete pomocí této báze. Přitom: a) uj = (2,-1,3,5) , u2 = (4,-3,1,3) , u3 = (3,-2,3,4) , 114 = (4,-1,15,17) , 115 = (7,-6,-7,0) b) m = (1,2,3,-4) , u2= (2,3,-4,1) , u3 = (2,-5,8,-3) , u4 = (5,26, -9, -12) , u5 = (3, -4,1,2). [3.4.B14]. V závislosti na parametrech určete dimenzi podprostoru W ve vektorovém prostoru V, je-li: a) V = R3 ; W = 1,(11!,u2,u3), kde ui = (1,1,1) , u2 = (l,a,l) , u3 = (2,2,a) b) V = R3 ; W = L(ua,u2), kde u: = (5,7,-1) , u2 = (2a, 1,-2) c) V = R4 ; W = /.(ul^.us), kde ua = (l,l,a,l) , u2 = (l,M,l) ■ u3 = (c, 1,1,1). [3.4.B15]. Nechť V je vektorový prostor nad T takový, že dim V = n. Dokažte, že pro každé k = 0,1,..., n existuje ve V podprostor, jehož dimenze je rovna k. [3.4.B16]. Nechť wi.w't jsou podprostory vektorového prostoru V (nad T). Dokažte, že platí: dim {Wi + W2) = dim {Wx n W2) + 1 => Wi C W2 nebo W2 C W\. (Návod: důkaz veďte sporem.) [3.4.B17]. Určete bázi a dimenzi průniku podprostoru W\ n W2 ve vektorovém prostoru V, je-li: a) V = R3 ; W1 = [u,,u2] , W2 = [vi,v2,v3] , kde Ul = (1,1,-3) , u2 = (1,2,2), vx = (1,1,-1), v2 = (1,2,1), v3= (1,3,3) b) V = R4 ; Wx = [Ux.uj.us] , W = [vi,v2,v3] , kde Ul =(1,2,0,2) , u2 = (1,2,1,2) , u3 = (3,1,3,1) , V! = (1,1,1,1) , v2 = (1,-1,1,-1) , v3 = (1,3,1,3) c) V = R4 ; Wx = [ui,u2] , W2 = [v:,v2] , kde ui =(1,1,1,1) , u2 = (1,0,1,0) , Vl = (1,1,1,0) , v2 = (1,2,0,1) d) V = R5 ; W7! = [ui,u2,u3] . W2 = [vi,v2,v3] , kde ui =(1,2,-1,3,1) ,' u2 = (1,0,2,-1,3) , u3 = (1,4,-4,7,-1) , vx = (0,2,-3,4,-2) , v2 = (2,2,1,2,4) , v3 = (2,6,-5,12,3). 98 II. Cvičení - Kap.3: Vektorové prostory - [3.4.B18]. Nechť Wi,W% jsou podprostory vektorového prostoru V, přičemž : dim V = 2 , dim W\ - dim W2 = 1. Dokážte, že pak je buď W\ — W2 nebo V = • [3.4.B19]. Nechť Wi,W2 jsou podprostory vektorového prostoru V takového, že dim V = 3 . Dokážte, že pak platí: a) dim Wi = dim W2 - 2 => =* l^j = W2 nebo (Wi + W2 = V a dim (Wi n W2) = 1 ) b) dim Wi = 1 , dim W'2 = 2 => Wi C W2 nebo V = W1+W2 c) dim H^i = dim W2 = 1 ==>■ => 1^! = Wr2 nebo (Wi n W2 - {0} a dim (Wi + W2) = 2). [3.4.B20]. Nechť Wi, W2 jsou podprostory ve vektorovém prostoru V takové, že prostor V je jejich přímým součtem (tj. V = Wi+W2). Nechť ui,..., ur je báze W\ , resp. ví ,..., v, je báze W2■ Dokážte, že pak uj,..., ur, Vj,,..., v, je báze prostoru V. [3.4.B21]. Nechť V je n-dimenzionální vektorový prostor (n > 1) a necht* W\ je libovolný podprostor ve V. Dokazte, že ve vektorovém prostoru V existuje podprostor W2 takový, že platí: V = Wx+W2 . [3.4.B22]. Nechť V je n-dimenzionální vektorový prostor (n > 1) a nechť u, W\, W2 jsou podprostory ve V takové, že platí: W\ c w2 a u n Wi = u n w2 a u + wí = u + w2. Dokážte, že potom je Wi — W2. (Návod: stačí dokázat (proč?), že dim W\ = dim W2 ■) [3.4.B23]. Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány lineárne nezávislé vektory u! = (1,1,1,1), u2 = (0,1,1,1), u3 = (0,0, 1,1), U4 = (0,0,0,1). Vyjádřete pak souřadnice vektoru w = (2,1,1,4) a) v bázi uj, u2, U3 , 114 b) v bázi U3, u2 , U4 , Ui. ■ §4: Báze a dimenze vektorového prostom 99 [3.4.B24]. Ve vektorovém prostoru R5[a;] nalezněte souřadnice vektoru (tj. polynomu) / = 2x5 - x3 - bx2 + 4 v bázi : a) x5+x4, x4+2z3, 2x3+3x2, 3x2+4x, 4x+5, x+1 b) x5+2x2, x4+4, x3+x, 3x5+x, x4+3x2, x2+l c) 1, (x - 1), (x - l)2, (x - l)3 , (x - l)4 , (x - \f . (Návod: při c) využijte Taylorovu větu, kterou znáte z analýzy.) [3.4.B25]. Nalezněte bázi ei,e2,e3 vektorového prostoru R3, v níž vektor u = (1,0,0) má souřadnice (1,1,1) a vektor v = (1,1,1) má souřadnice (1, 0,0). Uveďte, kolik takových bází existuje. 100 KAPITOLA 4: MATICE A DETERMINANTY §1: PORADÍ A PERMUTACE [4.1.B1]. Určete počet inverzí v daném pořadí z 9-ti prvků: a) (2,1,7,9,8,6,5,3,4) b) (9,8,7,6,5,4,3,2,1). [4.1.B2]. Určete počet inverzí v daném pořadí z 2n prvků: a) (1,3.....2rt~l,2,4,...,2n) b) (2,4,...,2n, 1,3,...,2n-l) c) (2n,2n-l,2n-2,...,2,l) d) (2n-l, 2n,.. .,3,4,1,2). [4.1.B3]. Určete počet inverzí v daném pořadí z 3n prvků: a) (3 , 6,..., 3n , 1, 4 ,..., 3n-2 ,2,5,..., 3n-l) b) (1,4,..., 3n-2,2,5,..., 3n-l, 3 , 6,..., 3n) c) (2,5,..., 3n-l, 3, 6,..., 3n, 1, 4,..3n-2). [4.1.B4]. Nechť v pořadí (ri , r2 ,____, rn) je celkem I inverzí. Určete počet inverzí v pořadí (r„ , rn-i, ... , r2, n) . [4.1.B5]. Prvky 1,2,..., n rozdělme na dvě časti takto: ri < •• • < ri , resp. S\ < • • • < s„_t , kde 1 < k < n — 1. Určete počet inverzí v pořadí (ri , «i, ... , sn-i) • [4.1.B6]. Nechť (ri, r2,..., r„) je pořadí z n prvků, v němž je / inverzí. Utvoříme-li z prvků rx, r2,..., rn pořadí (1, 2 , ... , n) , pak indexy těchto prvků utvoří jisté pořadí, v němž je rovněž / inverzí. Dokažte. [4.1.B7]. Určete x,y tak, aby pořadí a) (1,2,7,4,i,5,6,y,9) bylo sudé b) (5, l,y,8,9,4,x,6,3) bylo liché. [4.1.B8]. Rozhodněte, kdy daná dvě pořadí z n prvků (n > 3) : (rx , r2 , ... , r„_! , r„) a (r2 , rg , ... , r„ , rj) mají stejnou paritu, resp. různou paritu . §1: Pořadí a permutace 101 [4.1.B9]. Seřaďte všechna pořadí ze 4 prvků tak, že každé pořadí obdržíte z předcházejícího pořadí provedením jedné transpozice. Přitom: a) pořadí (4,2,1,3) bude napsáno jako první b) pořadí (1,3,4,2) bude napsáno jako poslední c) pořadí (4,2,1,3) bude napsáno jako první a pořadí (1,3,4,2) bude napsáno jako poslední. [4.1.BIO]. Vypište všechny formálně různé zápisy dané permutace: a) 1 2 3 3 1 2 b) 12 3 4 2 4 3 1 [4.1.B11]. Zjistěte paritu permutace P, je-li: 1 2 ... n-l n 2 1 a) P = b) P = c) P = •»'•=0 n n—1 12 3 4 2 14 3 .. 3 6 ... 3n 14 2n-l 2n In 2n-l 1 4 3n-2 2 5 3n-2 2 5 3n-l 3 6 3n-l 3n 2 ... n n+1 n+2 ... 2n 2n+l 2n+2 ... 3rt 3 6 ... 3n 2 5 ... 3n-l 1 4 ... 3n-2 [4.1.B12]. Nalezněte permutace RoP a Po R , je-li dáno a) P = b) P = 1 2 3 4 5 3 4 15 2 4 2 1 3 5 6 7 1 7 2 5 4 6 3 R = R = 1 2 3 4 5 1 5 3 2 4 7 5 3 1 2 4 6 1 5 6 2 4 7 3 P = R = 1 2 3 4 5 6 7 7 1 6 3 4 2 5 c) P-2 o R. [4.1.B13]. Nechť jsou dány permutace : 1 2 3 4 5 6 7 5 3 1 4 6 2 7 Pak nalezněte permutaci : a)PoR2 tyPoRoP-1 [4.1.B14]. Nechť jsou dány permutace : R=(l ??^V S=(] ríilY, T=( 5342iy* V41352/' V13254 Pak nalezněte všechny permutace X, splňující vztah: a) R°X oS = T b)SoXoR = T. 102 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.1.B15]. Pro zadanou permutaci P nalezněte všechny permutace X takové, že platí: P oX = X o P . Přitom: a) P 12 3 4 2 3 4 1 \ p fl 2 3 4 5\ c)p=u 4 5 1 2j b) p- d)P = 12 3 4 2 14 3 1 2 3 4 5 3 4 5 2 1 [4.1.B16]. Nechť S3 = {e,r,s,ť, xi,v] značí množinu všech permutací 3-prvkové množiny, přičemž e = t = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 ^2 i 3y ' t) = 1 2 3 3 2 1 ,2 3 i; ' V3 1 2 Potom: a) napište tabulku operace grupy (£3,0) b) nalezněte všechny podgrupy v grupě (53,o) c) značí-li V množinu všech podgrup grupy (53,o), pak nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (V, C). (Návod: při b) využijte faktu, že v (S3,°) neexistuje žádná 4-prvková, ani 5-prvková podgrupa.) [4.1.B17]. Nechť 5, resp. T značí množinu všech sudých, resp. všech lichých permutací 3-prvkové množiny; nechť o značí skládání permutací. Rozhodněte, zda (5, o), resp. (T, o) jsou grupy. [4.1.B18]. Nechť G je množina všech sudých permutací na 4-prvkové množině, přičemž prvky množiny G označíme takto: o = 12 3 4 12 3 4 12 3 4 2 14 3 12 3 4 3 12 4 12 3 4 4 13 2 s = 12 3 4 13 4 2 12 3 4 2 3 14 12 3 4 3 2 4 1 12 3 4 4 2 13 n = 9 = t = w = 12 3 4 14 2 3 12 3 4 2 4 3 1 12 3 4 3 4 12 12 3 4 4 3 2 1 N echť o značí skládání permutací. Potom: a) napište tabulku operare o a dokažte, že (G, o) je nekomutativní grapa §2: Determinanty 103 b) víte-li, že v (G, o) kromě triviálních podgrup existují ještě právě 3 dvouprvkové, 4 tříprvkové a jedna čtyřprvková podgrupa, pak nalezněte všechny tyto podgrupy c) nechť V značí množinu všech podgrup grupy (G,o). Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (V , C). S2: DETERMINANTY [4.2.AI]. U.p. čtvercové matice A (nad R) takové, že det A má právě 16 členů. [4.2.A2]. U.p. čtvercové matice A řádu 5 (nad Q), jejíž všechny prvky jsou nenulové, ale det A = 0 . [4.2.A3]. U.p. matice A řádu n (nad K ) tak, aby det A = c , kde c je libovolné, pevné komplexní číslo. [4.2.A4]. U.p. matice A řádu 3 (nad R) tak, aby | A' | = -| A |. [4.2.A5]. Nechť A je matice řádu 5 (nad R) taková, že |A| = \/2. Nechť matice B vznikne z matice A tak, že každý její prvek vynásobíme číslem —y/Z. Uveďte, čemu se rovná \B\. [4.2.A6]. Nechť A je matice řádu 6 (nad R) a nechť jsou pevně zvoleny 3 její sloupce. Uveďte, kolik submatic řádu 3 lze ze zvolených sloupců vybrat. [4.2.A7]. Nechť A je matice řádu n (nad T) a nechť 0 < k < n je celé číslo. Uveďte, kolik submatic řádu k lze v matici A sestrojit. [4.2.A8]. U.p. matice A řádu 3 (nad R) takové, že | A | jíOa všechny minory řádu 2 v matici A jsou nulové. [4.2.A9]. U.p. matice A řádu 3 (nad R) takové, že j ^4 | = 0 a všechny minory řádu 2 v matici A jsou nenulové. [4.2.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby determinant čtvercové matice A byl nenulový. * * * [4.2.Bl]. Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A — (a,j) rádu n , resp. s jakým znaménkem : a) n = 6 ; a3j • 043 • ai4 • 052 • i +ci = -2 • ai í»l C! a2 + fc2 a2 + c2 b2 + c2 a2 í>2 C2 [4.2.B7]. Spočtěte determinant : 3 -2 -4 -2 1 -3 a) 1 3 2 b) 3 2 -1 -2 -4 6 -4 3 -1 4: -3 5 3 -1 4 c) -3 2 -8 -1 3 -2 1 -7 -5 2 4 1 [4.2.B8]. Spočtěte (nad tělesem komplexních čísel) determinant: a) 1 —i ír-i 1+i 0 1 b) 2+i 1-i 2-3i 1+i 1+2Í 3-2« 1-i 1+i l+2i c) 1 1 z 1 1 -2 ^ z 1 kde z = cos ^ + i sin 2ir [4.2.B9]. Nechť je dána matice d) 1 1 1 1 Z' 1 Z2 z kde Z = cos - 1 -3 -2 7" 4 -1 5 0 -7 1 2 4 . 1 0 -8 2. .4 = Pak spočtěte minor | B \, resp. doplněk minoru \ B\, resp. algebraický doplněk minoru | B \, jestliže submatice B je vytvořena a) 1. a 3. řádkem a 2. a 3. sloupcem matice A b) 2., 3., 4. řádkem a 1., 2., 4. sloupcem matice A. [4.2.BIO]. Nechť je dána matice A = (ay) z předchozího cvičení. Spočtěte algebraický doplněk A23 , resp. j433 , resp. A41 . [4.2.Bil]. Spočtěte determinant a) 3 -2 1 -2 -3 9 3 6 -3 -5 2 0 -5 8 2 7 2 1 -2 -4 b) 4 -5 -3 -2 -1 0 3 1 7 -8 -4 -5 2 1 -1 2 -1 2 1 0 2 1 -4 3 2 -1 1 1 0 2 1 2 3 5 -2 1 -2 d) 1 2 1 0 2 2 2 -1 3 -1 0 2 2 1 1 -1 2 3 1 3 2 1 1 2 0 c) [4.2.B12]. Pouze užitím Laplaceovy věty a definice determinantu spočtěte: 5 6 a) 3 4 3 2 10 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 b) 1 0 2 0 3 10 7 0 0 3 0 9 0 3 7 6 4 3 8 9 0 106 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty §2: Determinanty 107 [4.2.B13]. Užitím Laplaceovy věty spočtěte determinant dl ao -1 x 0 0 o -1 o o o o o o O x o o (Návod: nejprve proveďte rozvoj podle 1. sloupce.) [4.2.B14]. Nechť A = (a,;) je matice řádu n > 3 (nad T) taková, že au ^ 0. Dokažte, že pak platí : A i = Ml au ai2 013 Oil Ol„ a2\ 022 0.21 023 021 02n an Ol2 au 013 Oil Oln o-zi 032 031 033 031 03n au a12 au 013 Oil «ln O-nl a„2 ani On3 Oni Onn (Návod: determinant \A\ upravujte tak, aby pod prvkem au vznikly samé nuly a potom použijte Laplaceovu větu .) [4.2.B15]. Opakovaným užitím výsledku předchozího cvičení a úpravou (vytknutím z jednoho řádku, resp. sloupce) vypočtěte determinanty ze cvičení [4.2.B11]. [4.2.B16]. Nechť A = (a,;-) je matice řádu n (nad T) a nechť p £ T je pevný prvek. Utvořme matici b tak, že ke každému prvku matice A přičteme číslo p , tzn. b = (a,j + p) . Dokažte, že pak : \b\ = \A\ + p-Í^JTAíj i = \ ; = 1 kde Aij značí algebraický doplněk prvku a,j v matici A. [4.2.B17]. Nechť n > 2; užitím Cauchyovy věty vypočtěte determinant: xi-yi xi-y2 ... xi-yn x2-yi x2-y2 ... x2-y„ a) V1 X„ — V2 xn - yn b) sin(xi + j/i) sin(x! + y2) ... sin(xi+i/„) sin(x2 + j/i) sin(x2 + y2) ... sin(x2 + y„) sin(x„ + t/i) sin(x„ + t/2) ••- sin(x„ + y„) (Návod: danou matici vyjádřete nejprve jako součin dvou vhodných matic.) [4.2.B18]. Užitím úprav, které nemění hodnotu determinantu, spočtěte determinant dané matice řádu n > 2: a) c) a) c) 0 1 1 . 1 1 1 2 3. .. n - 1 n a2 1 0 . 0 0 -1 0 3. .. n- 1 n 03 0 1 . 0 0 b) -1 -2 0. .. n - 1 n On 0 0 . 0 1 -1 -2 - 3. .. -n + 1 0 2 2 ... 2 2 3 1 - n 1 1 1 2 2 ... 2 3 2 1 1 - n :. 1 1 d) 2 3 ... 2 2 2 1 1 .. 1 - n 1 3 2 ... 2 2 2 1 1 1 1 - n 2.B19]. Spočtěte determinant dané matice rádu n > 2: «1 1 2 .n — 2 n - 1 O] Ol 0 ... 0 0 Oi a2 1 . n — n 0 n -2 0 -a2 a 2 ... 0 0 b) Ol a2 a3 ■ On- ■1 1 0 0 0 ...-a„_i a„ -1 Ol a2 03 • o„. •1 On 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 . 1 1 x Oi a-> •- a„_2 a„ -1 1 0 x . X Ol x a2 ■• an_2 a„ -1 1 x 0 . X X d) Ol o2 x a„_2 On -1 1 X X X 0 Ol a 2 03 •• On-l x x + Oi a2 Oi x + a2 O] a2 Ol 02 • on x + a„ f) 1 2 3 ... n - 1 n 2 3 4 ... n 1 n — 1 n 1 . n 12. .n-3 n-2 . n - 2 n - 1 108 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.2.B20]. Nechť A„ značí matici řádu n. Dokažte, že pro každé přirozené n platí: [4.2.B21]. Nechť At značí matici řádu k; dokažte, že a) pro každé n > 2 a z ^ y platí: \An \ = 0 x x ... x y 0 x ... x y y 0 ... x y y y ■■■ 0 r3 2 0 .. . 0 0" i 3 2 .. . 0 0 a) \A„ = 2"+1 - 1 , kde An = 0 1 3 .. . 0 0 ,0 0 0 .. . 1 3. "7 5 0 . . 0 0" 2 7 5 . . 0 0 b) M„ - 2"+1 ) , kde A„ = 0 2 7 .. . 0 0 .0 0 0 .. . 2 7. c) Mn| * í* pro i^y, kde z - T/ ~x + y x ■ y 0 0 o • 1 x + y x-y . 0 0 4» = 0 1 x + y . 0 0 . 0 0 0 1 x + y. = x" + xn ■ + x + 1 , kde x 0 0 0 - 1 x+l z 0 0 An = 0 1 x+l .. 0 0 . 0 0 0 1 x + l. x - y §2: Determinanty 109 b) pro každé n > 1 platí: \A 2n X 0 t • .0 y 0 x • y 0 0 y ■ x 0 y 0 . ■ 0 x = (x2 -y2)" c) pro každé n > 1 platí: 1 1 0 0 . . 0 0 1 1 1 0 . . 0 0 í 1 pro n \An] = 0 1 1 1 . . 0 0 pro n l-l' pro n 0 0 0 0 . . 1 1 [4.2.B22]. Dokažte, že pro každé přirozené n platí: an -1 0 0 ... 0 0 a„_i z -1 0 ... 0 0 O! 0 0 0 ... z -1 u0 0 0 0 ... 0 z = a„z +an_ix ~ +----\-aix + a0 tzn. každý polynom stupně n > 1 se uvedeným způsobem dá vyjádřit ve tvaru determinantu matice řádu n + 1. [4.2.B23]. Nechť An značí matici řádu n . Dokážte, že pro každé n € N platí: a) je-li x kz (k € Z), pak "2cosx 1 0 Mn| = SÍn(n + 1)*, kde A sin z 1 2 cos z 1 0 1 2 cos z 0 0 0 0 0 o 2 cos z b) \An\ = cosnz , kde yín = cos x 1 0 1 2 cos z 1 0 12 cos x . 0 0 0 1 2 cos z (Návod: při výpočtu b) rozvíjejte determinant podle posledního řádku .) 110 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.2.B24]. Dokažte, že pro kaž de přirozené n platí: | An \Bn\, kde "dl 6i 0 . .. o - ha 0 . .. o - Cl bi ■ .. 0 1 a2 Z*2C2 .. 0 0 C2 .. 0 0 1 03 .. 0 . 0 Ö 0 . • a„_ . 0 0* 0 . (Návod: stačí ukázat, že posloupnosti {|j4n|} a {|B„|} mají stejný rekurentní vzorec a stejné první dva členy .) [4.2.B25]. Nechť A je daná matice řádu n. Napíšeme-li řádky matice A v opačném pořadí, dostaneme matici B. Vyjádřete determinant | B \ pomocí determinantu | A |. [4.2.B26]. Nechť A = (a,j) je matice řádu n nad K a nechť B = (ôľľ), tj. prvky matice B jsou čísla komplexně sdružená k odpovídajícím prvkům matice A. Dokažte, že pak platí: | B | = \A \ , tj. determinant matice B je číslo komplexně sdružené k determinantu matice A . [4.2.B27]. Nechť A = ( 2 platí: Xn cr1 n-l „n-1 1 xn x„ .. = (*2 ~ xi)(x3 - x2)(x3 - xi) ■... ■ (x„ - r„_i) •... • {xn - Xi) . Uvedený determinant se nazývá Vandermondův determinant a označuje se V{xi,..., x„). Můžeme tedy dokazovanou rovnost stručně psát ve tvaru: V(xi,...,xn) = JI (xj-xí). l 2 je: Mni = 1 Xi x2 1 x2 x\ 1 x„ X2 *r2 *\ _n-2 r, = ••+!„)• JJ (Xj-X.) l 1. [4.3.B9]. K zadané matici A nalezněte inverzní matici A 1 (pomocí adjungované matice). Přitom : 12 3" i)A = c) A = 2V2 - 6\/2t 1 + i V2-y/2i 0 2 1 4 31 4 2 3 1 13 2 4 L3 4 1 2J b) A = d) A = 3 -1 1+a 1 1 1 + a 1 1 1 + aJ kde matice A v příkladu d) je řádu n > 2. [4.3.B10]. Dokažte, že a) pro A, B E Matmn (T) platí : (A + B)' = A' + B' b) pro A € Matm„(T), i € T platí : (t ■ A)' = t ■ {A') c) pro A £ Matm„(T), B £ Matnp(T), t € T platí : (t • A) ■ B = A ■ (t • B) = l • (A ■ B)' d) pro A G Mat„„(T) regulární a 0 jé ť € T platí: (ť ■ A)-1 = } • (A-1). [4.3.Bil). Dokažte, že pro čtvercové matice A, B řádu n platí: a) A ■ B = En <=> B ■ A = En b) yi • >ť = £„ A'-A = En . [4.3.B12]. Necht k > 2 je celé číslo a nechť Ai,A2, ■.., At jsou regulární matice řádu n . Dokažte, že pak platí : (A, ■A2-...-Ak)-1 = A-kl •...-.42-1 -A^1 . (Návod : důkaz veďte matematickou indukcí vzhledem ke k .) [4.3.B13]. Nechť A € Mat„„(T). Dokažte, že platí: A ■ X = X -A pro V X € Matnn(T*) <=> 3 t e T tak, že A = ť • E„ . (Návod: při důkctzu " => " zkoumejte rovnosti A ■ Urs — UT3 ■ A , kde Uri je matice mající na r, s-tém místě jedničku a jinde samé nuly.) [4.3.B14]. Součet prvků v hlavní diagonále čtvercové matice X se nazývá stopa matice X a označuje symbolem tr (A') (zkratka z anglického "trace" = stopa). Nechť A = (a,j) je matice typu m/n (nad T), resp. B = (bij) je matice typu n/m (nad T). Dokažte, že pak platí: tr {AB) = tr (B- A) = ,tr (A' ■ B') = tr (B' ■ A') . 116 II. Cvičení — Kap. 4: Matice a determinanty Definice. Čtvercová matice A = (oíj) se nazývá -symetrická, jestliže A' = A (tj.je-li a,;- = a/j pro V i, j) - kososymetrícká , jestliže A' — — A (tj. je-li a,j = —a/j pro V i, j ). [4.3.B15]. Nechť j4 je libovolná matice typu m/n (nad t). Dokažte, že pak matice A' ■ A je symetrická a matice ^4 • A' je také symetrická. [4.3.B16]. Nechť A , B jsou symetrické matice. Dokážte, že pak platí: a) A je regulárni matice => A-1 je symetrická matice b) A - B je symetrická matice <=> yl - B = B • j4 . [4.3.B17]. Nechť ^4, B jsou kososymetrické matice. Dokážte, že pak platí: a) A je regulárni matice j4_1 je kososymetrícká matice b) A - B je kososymetrícká matice <=> yl • B = —B • ^4 . [4.3.B18]. Nechť A G Matmn(R) (tzn. A je reálná matice). Pak: a) dokažte, že platí: A ■ A' = Omm A = Omn b) ukažte, že za předpokladu A € Matmn(K) (tzn. je-li A komplexní matice) předchozí tvrzení neplatí. [4.3.B19]. Nechť je dána množina matic M = x -y x,y € K libovolné j- (kde x, resp. y značí číslo komplexně sdružené k číslu x, resp. y) a nechť + , resp. • značí sčítání, resp. násobení matic. Dokažte, že pak : a) (M, +, •) je netriviálni okruh s jedničkou, který nemá dělitele nuly b) (M, +, •) není obor integrity. [4.3.B20]. Dokažte, že daná množina matic M, s operacemi sčítání matic a násobení matic, je tělesem. Přitom: a 2b a)M={ -b a la>6eC4 b)M={ [4.3.B21]. Nechť a, 6 jsou pevná reálná čísla. Nechť a, b £ Q x a(y-x) Ky~x) y x, y e a -f , resp. • značí sčítání matic, resp. násobení matic. Pak: a) dokažte, že (M, -f, •) je komutativní okruh s jedničkou b) ukažte, že existují a, 6 G R tak, že (M, +, ■) není obor integrity c) dokažte, že (M, +, •) je těleso <=> a ■ b < \ . §3: Algebra matic [4.3.B22]. Nechť a, b jsou pevná reálná čísla. Nechť l Lí M x y ay x+by a + , resp. • značí sčítání matic, resp. násobení matic. Pak: a) dokažte, že (M, +, •) je komutativní okruh s jedničkou b) ukažte, že existují a, b g R tak, že (M, +, •) není obor integrity c) dokažte, že (M, +, •) je těleso <=> 4a + b2 < 0 . [4.3.B23]. Na množině Mat„„(T) definujeme relaci q takto: AqB <í=> 3 regulární matice X g Matnn(T') tak, že B — X' ■ A ■ X . Dokažte, že p je relací ekvivalence na množině Mat„„(T). [4.3.B24]. Rozhodněte, zda dané matice A,B ,C,D tvoří bázi vektorového prostoru Mat22(R): a) A b)A = 1 0 1 1 1 8 7 -7 B = B = 0 1 2 3 1 -1 1 2 C = C - 1 2 3 0 1 5 5 -4 D = D = 1 1 0 2_ 2 -1 [4.3.B25]. Rozhodněte, zda W je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R) a pokud je, pak určete jeho dimenzi. Přitom: a) W - {A - (ať/) G Matnn(R) | a{j = 0 pro i £ j] b) W = {A = (aj/) G Matnn(R) | an = 0 pro Vi} c) W = {A = (afi) G Mat„„(R) | ah G Q} d) W = {A - (aŕ/) G Mat„„(R) | au + a22 + • • • + ann = 0} . [4.3.B26]. Nechť W(S), resp. W(K) značí množinu všech symetrických matic, resp. všech kososymetrických matic řádu n > 2 (nad J1). Pak: a) dokažte, že ^(5") a W(K) jsou podprostory vektorového prostom Matnn(T) b) určete dim W(S) a dim W(K) c) dokažte, že Mat„„(T) = W(S)+W(K) d) dokážte, že každou čtvercovou matici lze napsat jako součet symetrické matice a kososymetrické matice, přičemž toto vyjádření je jednoznačné. 118 II. Cvičení — Kap. 4: Matice a determinanty [4.3.B27]. Jsou dány tyto podmnožiny množiny Matnn(R) (tj. množiny všech regulárních matic řádu n nad R) : Ht = {A = (aij) | aij G Q} , H2 = {A = (a0) | ay G Q a \A\ = 1} tf3 = {A = (ay) I ay G Z} , ff4 = {A = (ay) | ay G Z a |A| = 1} HS = {A = (ay) | [A| = 1} , Hé = {A = (ay) | a,,- > 0 pro V i, j } . Potom: a) rozhodněte, zda TU i (pro i = 1,2,3,..., 6) je podgrupou grupy regulárních matic (Mat„„(R), ■) b) sestrojte hasseovský diagram uspořádané množiny ({H\,..., Hq], C) Definice. Reálná čtvercová matice A se nazývá ortogonální matice, jestliže je regulární a platí: A~1 = A'. [4.3.B28]. Nechť A G Matnn(R). Dokažte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) A je ortogonální matice (ii) A-A' = En (iii) A' ■ A = E„ . [4.3.B29]. Nechť A G Matnn(R). Potom: a) dokažte, že platí: A je ortogonální matice => \ A | = ±1 b) ukažte, že opačná implikace obecně neplatí. [4.3.B30]. Nechť H značí množinu všech ortogonálních matic řádu n > 2. Pak: a) dokažte, že (H, •) je grupa (přičemž • značí násobení matic) b) rozhodněte, zda grupa (H, •) je komutativní. §4: HODNOST MATICE A DALŠÍ VLASTNOSTI MATIC [4.4.AI]. U.p. matice A (nad R) takové, že řádky matice A jsou lineárně nezávislé a sloupce matice A jsou lineárně závislé. [4.4.A2]. Nechť v matici A G Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti matice A . [4.4.A3]. Nechť v matici A G Mat7s(R) jsou všechny minory řádu 4 nulové. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti matice A . [4.4.A4]. Nechť v matici A G MatssíQ) existuje nenulový minor řádu 3 a 5 a existuje nulový minor řádu 2,4 a 6. Uveďte, co všechno lze pak říci o hodnosti matice A . [4.4.A5]. U.p. matic A, B G Mat33(R) takových, že h(A-B) h(B-A). §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 119 [4.4.A6]. U.p. regulárních matic A, B e Mat33(R) tak, že h(A-B) = 2 . [4.4.A7]. U.p. nenulové matice A G Mat33(R), kterou nelze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici. [4.4.A8]. U.p. matice H tak, aby H -A byla matice, která vznikne ze zadané matice A G Mat33(R) přičtením dvojnásobku 3.řádku k 1.řádku. [4.4.A9]. U.p. bází (1) a (2) vektorového prostoru R2 tak, že maticí ľ 1 2 přechodu od báze (1) k bázi (2) je matice ^ 4 [4.4.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby h(A ■ B) # h(A) , kde A, B G Mat33(R) . 4, + + [4.4.Bl]. Určete hodnost matice A (nad R), je-li: a) A ■ 0 4 10 1 - ■ 2 -4 8 0 4" 4 8 18 7 b)A = 3 -6 1 4 -3 10 18 40 17 -4 2 5 -1 7 . 1 7 17 3 J . 5 -4 - 12 5 -14. " 3 -1 2" - 2 1 3 4 6" 4 1 1 3 -2 1 -3 -2 1 2 -1 d)A = 7 0 7 5 10 -2 3 -3 -4 5 1 10 10 5 3 0 5 -1 4 1 4 . 1 -5 4. . 8 -3 5 -2 2. c) A = [4.4.B2]. Určete hodnost matice A (nad K), je-li: b) A = a)A = c)A = 1+i 1+i l-i -1+i 1 i l-i 1+3* 1+i 1—i i 1 0 i 2-i -1 2i 1+i l+2i l-i 2+3i 2 3+i -2i 5+i 2-2i 5i 3-i l+8i 4+2i d) A 1+i l-5i l-i 2+4i 2-i l+2i — 7—4i 4—7i -1-2Í 2-i 7—i l+7i 120 II. Cvičení - Kap. 4: Matic a determinanty [4.4.B3]. Je dána matice A (nad R) tvaru : A- 13 1 2 3 1 2 2 0 2 2 5 4-17 Určete h(A), resp. h(B), resp. h(A ■ B), je-li : "-8 8 o- --1 -9 -1- 1 -3 -2 -1 0 1 a) B = 3 -2 1 b) B = 2 5 1 1 0 1 2 3 1 . 0 1 1. . 0 0 -1. - 7 1 3" - 1 1 1- -4 1 1 1 -1 2 c) B = 0 1 1 d) B = 1 1 3 2 -1 -3 1 1 -1 . 1 -1 -1. .-1 1 2. [4.4.B4]. Určete hodnost dané matice A (v závislosti na parametrech a, 6 G R), je-li: "2 -1 a b a) a = 1 a -1 1 1 10 -6 1 c) A = r3 1 1 4 a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 6 b) A = d) A = 1 a 2 26 17 -1 1 1 2a -2 b 2 36 3 0 la 1 2 3-6 3 1 2+a 4 6 2 4 6-6 7 1 2-a 2-6 1 [4.4.B5]. Určete hodnost dané matice A (v závislosti na parametrech u, v G K), je-li: a) A = i u 1 2i -i 2 4+2Í 1-i b) A = 1 2+:' í t! -i 1-2Í i 2-1 -1 l+2i 1 v [4.4.B6]. Nechť A G Matm„(T) . Dokažte, že platí: a) všechny minory řádu k (kde k < min (m, n) ) v matici A jsou nulové => každý minor řádu r > k x matici A je nulový b) v matici A existuje nenulový minor řádu k > 1 => pro každé přirozené s < k existuje v matici A nenulový minor řádu s. §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 121 [4.4.B7]. Nechť A G Matm„(T) je matice taková, že h(A) = r > 2. Dále, nechť M je čtvercová submatice v A, která je vybrána z r lineárně nezávislých řádků matice A . Pak: a) ukažte, že může být | m \ — 0 b) dokažte, že je-li navíc matice M vybrána z r lineárně nezávislých sloupců, pak musí být | M \ ^0. [4.4.B8]. Nechť A,B,X G Mat„„(T) jsou matice takové, že A, B jsou regulární. Dokažte, že potom: a) h (A ■ X ■ B) - h (X) b) h (A ■ X A'1) - h (X) . [4.4.B9]. Nechť A, B G Matmn(T). Dokážte, že platí : h (A + B) < h(A) + h(B) . [4.4.B10]. Nechť A G Matmn(T) je matice mající hodnost r a nechť M je její submatice typu s/n (tzn. A a M mají stejný počet sloupců). Pak: a) dokažte, že h (M) > r + s — m b) ukažte, že předchozí nerovnost neplatí v případě, když submatice M má méně než n sloupců. [4.4.Bil]. K dané matici A nalezněte inverzní matici A~l, a to jednak pomoci adjungované matice a jednak pomocí elementárních řádkových úprav: a) A = c) A = 1+t l+2i 1-2Í 1-i ■1 1 1 1- 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 .1 -1 -1 1. b) A = d) A -2 6 2 [4.4.B12]. K dané matici A nalezněte inverzní matici A-1, je-li: i) A r 1 -2 -1 -2 2 -3 0 -1 -3 5 2 4 21 -1 -4 -2 b) a = 2 1 4 L3 i 3 13 10 c) A = 1 1 -1 -2 -1 4 1 2 2 1 2 2 1 3 4 0 2 -1 -3 0 3 1 2 0 4 d) A 3 -2 0 0 0 - -4 5 -6 14. 1 -1 1 1 0-1-1 1-1-1 0 0 0 0 1 -2121 0 0 10 01 1 1 o -1 -1 1 122 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.4.B13]. Nalezněte inverzní matici k matici A, řádu n > 2, je-li: 3.) A = 1 1 1 O 1 1 OOO 0 0 0 1 1 1 1 1 1 O 1 b) A n a o2 0 1a. 0 0 0. 0 0 0. „n-2 „n-1 c) A — (aij), kde d) A = (aij), kde pro i = j pro ť ^ j °* = { 1 pro t jinak j A 2 < í < n [4.4.B14]. Nechť A e Mat„„(R) je regulární matice, jejíž prvky jsou celá čísla. Dokážte, že potom: inverzní matice A~l má pouze celočíselné prvky <=> \A \ = ±1. [4.4.B15]. Nalezněte ty hodnoty parametru a € R, pro které má podprostor W vektorového prostoru R4 nejmenší dimenzi a určete tuto dimenzi, je-li: a) W = [ui,u2,u3,u4] , kde U! = (0,4,10,1), u2 = (1,-1,-3,3) , u3 = (-1,5,13,2), U4 = (2,2,4,1) b) W = [ui,u2,u3] , kde U! =(2,7,0,2), u2 = (1,3,-4,1), u3 = (l,o,-14,l). [4.4.B16]. Zobrazení / : K —*■ Mat22(R) je definováno takto : a b —b a pro V a + b i £ K . f(a + bi) Potom rozhodněte: a) zda / je injektivní, resp. surjektivní zobrazení b) zda pro V u, v E K platí: f(u + v) = /(«) + f (v) , resp. f (u ■ v) = /(u) • f (v) [4.4.B17]. Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory W\, W?. Nalezněte dimenzi a bázi podprostorů W% , W? , Wi + W? , f) W2 , je-li: a) V = R3 ; Wx - [ui,u2,u3] , W2 = [v1,v2,v3] , kde m = (1,2,2) , u2 = (2,3,-1), u3= (1,1,-3) v! = (0,1,2) , v2 = (1,1,-1) , v3 = (1,3,3) §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 123 b) V = K3 ; W: = [u1)U2] , W2 = [vj.va] , kde Ul = (-2+i , -i , 1-2») , u2 = , i , -1) vi = (-1+; , 3+i , 2i) , v2 = (i , 2-j" , 1+0 c) V = R4 ; Wi =[ui,ú>lU3] , ^2 = [v1,v2] ,kde ui = (1,-1,2,1) , u2 = (2,2,3,3) , U3 = (0,4,-1,1) v: =(1,3,1,2) , v2 = (3,1,5,4) d) V = R4 ; W\= [ui,u2,u3,u4] , W2 - [vx,v2,v3] , kde u: =(1,1,0,2) , u2 = (1,2,1,-2) , u3= (1,2,2,-3) , u4 = (2,3,1,0) Vl = (1,3,0,-4) , v2 = (1,1,1,1) , v3 = (1,0,1,-1) e) V = R5 ; Wi = [u^ua.ua] , W2 - [vi,v2,v3] , kde ^ = (2,2,1,2,4), u2 = (2,4,-2,8,5) , u3 = (0,2,-3,4,-2) Ví = (1,0,2,-1,3) , v2 = (1,2,-1,3,1), v3 = (1,4,-4,7,-1) f) V = R5 ; W\ = [ui,u2,u3,U4] , W2 = [vXl v2, v3, v4] , kde uj =(1,-2,0,3,5) , u2 = (-1,3,2,-5,-9) , u3 = (2,-3,-2,0,3) , u4 = (-1,1,2,3,2) V! = (1,1,1,1,1) , v2 = (-2,2,0,2,1) , v3 = (0,4,2,4,3) , v4 = (-1,7,3,7,5) g) V = R6 ; Wi = [ui,u2,u3,u4lu5] , W2 = [vj,v2,v3,v4] , kde uj =(2,1,1,2,1,1) , u2 = (4,4,5,3,4,5) , u3 = (2,3,4,1,3,4) , u4 = (4,0,-1,5,0,-1) , u5 = (4,-2,-4,6,-2,-4) V! = (1,1,1,0,1,1), v2 = (-2,1,2,-3,1,2), v3 = (0,2,3,-1,2,3), v4 = (-1,2,3,-3,2,3) h) V = R6 ; Wi = [ui,u2,u3,U4] , W2 = [vi, v2, v3,v4] , kde m = (1,1,0,-1,0,-1) , u2 = (-1,1,-1,0,1,0) , u3 = (1,1,0,0,-1,0) , u4 = (1,-1,1,2,1,-2) V! = (1,0,1, -1,0,1) , v2 = (2,1,1, -2,0,0) v3 = (3,0,2, -1,0, -1) , v4 = (4,1,3, -4,0,2). [4.4.B18]. Nechť A = (a,j) je matice přechodu od báze Ui,...,u„ k bázi Vi,..., v„ vektorového prostoru V (nad T). Dokažte, že A je regulární matice. [4.4.B19]. Nechť (1), (2), (3) jsou tři báze vektorového prostoru V nad T. Nechť A je matice přechodu od báze (1) k bázi (2), resp. B je matice přechodu od báze (2) k bázi (3). Dokažte, že pak A - B je maticí přechodu od báze (1) k bázi (3). 12-1 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.4.B20]. Nalezněte matici přechodu od báze (1) k bázi (2) vektorového prostoru V, je-li: a) V = R2 , (1) : ux = (2,-3) , u2 = (-l,l) (2) ! V! = (1,0), v2 = (0,-2) b) V = R3, (1) : u, =(1,2,1) ,u2 = (2,-1,3) , u3 = (-2,3,2) (2) : V! = (-5,9,2) , v2 = (6,-10,5) , v3 = (-1,2,9) c) V = R4, (1) : Ul = (1,2,0,0), u2 = (0,1,1,0), u3 = (1,0,0,-1), u4 = (1,1,-1,1) (2) : vi = (2,2,0,0), v2 = (3,3,-1,0) , v3 = (2,4,0,1) , v4 = (2,3,1,-1). [4.4.B21]. Je dána báze (1) vektorového prostoru V a matice A. Nalezněte bázi (2) prostoru V takovou, aby A byla maticí přechodu od báze (1) k bázi (2). Přitom: a) V = K (nad R) (viz cvičení [3.1.Bl]b)) ; (1) : Ui = 1 + 2ť, u2 = 2 - 3i A- -1 3 1 2 b) V = K2[x] , (1) : ui = x2 + 3x +.2 , u2 = 2x2 + x + 1 , u3 = 2x + 3 A = -1 1 -2 0 1 1 1 -1 1 c) V= Mat22(R) (1) : Ui = A- 1 0 U2 = 0 1 1 I I 2 3 - 1 0 1 o- 0 2 -1 1 -1 0 1 - -1 . 1 0 0 1. , u3 1 2 3 0 1 1 0 2 §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 125 [4.4.B22]. Je dána báze (2) vektorového prostoru V a matice A, Nalezněte bázi (1) prostoru V takovou, aby A byla maticí přechodu od báze (1) k bázi (2). Přitom: a) V = K (nad R) (viz cvičení [3.1.Bl]b)) ; (2) : vi = 3 - 2i , v2 = 1 + i , resp. 1 1 3 5 b) V = KZ, (2) : V! = (1, 2-i, 0) , v2 = (1+i, 0, 1) , v3 = (0, 2i, 2+i) A = -1+i 4+3» -2+i l-2ť -8-3» 3-3i -2-i -3+9i -3-3i [4.4.B23]. Nalezněte rovnice pro transformaci souřadnic vektoru při přechodu od báze (1) k bázi (2) vektorového prostoru V (tzn. vyjádřete souřadnice vektoru v bázi (1) pomocí souřadnic téhož vektoru v bázi (2) ). Přitom: a) V = K2 (1) : uj = (1+i, 2-i) , u2 = (1-i, l+2i) (2) : V! = (7+i, -3+4i) , v2 = (2, -l+3i) b) V = R2[x], (1) : uj = x2 + 2x + 1 , u2 = 2x2 - x + 3 , u3 = -2x2 + 3x + 2 (2) : V! = -5x2 + 9x + 2 , v2 = 6x2 - lOx + 5 , v3 = -x2 + 2i + 9 c) V = K3 (1) : Ul = (l,l,l) , u2 = (0,l,l), ob = (0,0,1) (2) : vj = (1+i, 1+i, 1+i) , v2 = (2+i, 3+2i, 3+2i) , v3 = (3+i, 5+2i, 6+3i) d) V= Mat22(R) (1) : Ur = (2) : Vi = 1 2 0 0 1 -1 , u2 = , v2 = 0 1 1 o 0 -1 1 -1 ,u3 = v3 = 1 o 0 -1 0 2 2 1 u4 = 1 1 -1 -1 o o -2 0 126 §1: Gaussova metoda řešení soustav lineárních rovnic 127 KAPITOLA 5: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 51: GAUSSOVA METODA ŘEŠENI SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.1.B1], Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): [5.1.B2]. Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): a) 5a;! -9x2 + 5x3 = 1 2xi + 3x2 + 3x3 = 2 xi + 8x2 = 1 xi -2x2 + x3 = 0 c) 2xi + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3x4= 3 xi+4x2 + 5x3 + 2x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20 b) 3xi - 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2 5xi + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3 7xi - 4x2 + x3 + 3x4 = 5 d) 10xi + 23x2 + 17x3 + 44x4 = 25 ~ 15xj + 35x2 + 26x3 + 69x4 = 40 25xi + 57x2 + 42x3 + 108x4 = 65 30xi + 69x2 + 51x3 + 133x4 = 95 a) 3xi + 2x2 + x3 = 5 b) 36xi - 23x2 + 29x3 - 43x4 3 2xi + 3x2+ x3 = 1 45xi-28x2 + 34x3-52x4 9 2xi+ x2 + 3x3 = 11 35xi-21x2 + 28x3-45x4 • 16 5xi + 5x2 + 2x3 = 6 46xi - 32x2 + 36x3 - 48x4 = -18 c) 3xi — x2 - x3 — 2x4 = - -4 d) x3 + 2x4 + 3x5 — 2 2xi + 3x2 + 5x3 + 2x4 — _ -3 -X2 -2x3 -3x4 = 2 2xi+3x2- x3- X4 = - -6 X2+ X3+ X4+ x5 — 0 xi+ X2 + 2x3 + 3x4 = 1 Xl + x2 + x3 + x4 0 xi + 2x2 + 3x3— x4 = - ■4 xi+ 2x2 + 3x3 = 0 e) x2 + x3 = f) 2xi + x2 - 4x3 + 6x4 - 4x5 —■ -4 0 5xi + 5x2 +8x4- x5 -7 2xí+ x2-x3 = 1 2xi- x2 + 3x3 - 4x4 + 2x5 — 8 Xl+ x2 — x3 + x4 = 2 Xi +2X2 — 3x3 + 4X4— x5 = -1 xi+2x2 = -1 xi- x2- x3 + 2x4-3x5 = -3 3xi + x2 - x3 + 2x4- X5 = 3 e) x2 + 4x3 + 3x4 =0 x2 + 3x3 + 5x4 + 3x5 = 0 x2 + x3 + x4 =0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x2 + 2x3 + 3x4 = 1 f) 2xi + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2 2xi + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 xi + X2 + 3x3-2x4 + 3x5 = 1 3xi + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1 [5.1.B3]. Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): a) 2xi-3x2 + 2x3 = 1 b)6xi-9x2+ 7x3 + 10x4 = 3 xi-2x2+ x3 = 0 "2xi-3x2- 3x3- 4x4 = 1 5xi - 9x2 + 5x3 = 1 2xi - 3x2 + 13x3 + 18x4 = 1 c) X2 + X4 = 1 3xi-2x2-3x3 + 4x4 = -2 xi + X2 — X3+ X4 = 2 xi — x3 =1 d) 4xi + 5x2 - 5x3 - 5x4 + 7x5 = 3 3xi + 3x2 - 3x3 - 3x4 + 4x5 = 2 2xi+ x2— 13- x4+ X5 = 1 Xi - X2+ X3+ X4-2x5 = 0 e) 6xi + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5 f) 2x2 + 2x3 + 2x4-4x5 = 5 4xj + 2x2+ x3 + 2x4 + 3x5 = 4 Xj + x2+ x3+ x4-2x5 = 3 4xí+ 2x2 + 3x3 + 2x4+ x5 = 0 -xx - x2- x3+ X4+2x5 = 0 2xj+ x2+7x3+ 3x4+ 2x5 = 1 -2xi + 3x2 + 3x3 -6x5 = 2 [5.1.B4]. Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic, zadané rozšířenou maticí soustavy (nad R): 3 3 2 1 10 b) a) c) 4 2 3 1 3 5 11 L7 4 5 2 15 18 2 4 5 1 1 0 5 6 1 2 3 4J e) f) 0 3 0 0 0 2 1 0 0 0 1 7 0 0 0 4 .5 0 0 0 3 ro V2 y/ž VE 2 2 v"3 -2 —v/5 VI 2V3 -v/3 v/3 -3 0 v/3 —v/6 3 Vž -2 VŠ 0 -VŠ 2v/3 -3^2 1 -V2 Vš r3 o o o 1000 7 0 0 0 L5 0 0 0 01 9 3 6 1 1 1 U 0 L3 3 -2 0 3 2 0 v/2 0 3 v/3 0 v/31 Vž -Vš 1 128 II. Cvičen/ - Kap. 5: Soustavy lineárních rovnic [5.1.B5]. Gaussovou metodou řešte zadanou soustavu lineárních rovnic (nad K): a) (1 - 2i) xi + (2 + 3i) x2 = 8 + 5í (1 - 4t) zi + (1 + 2») x2 = 5 - 2t b) (3 - i) xi + (-5 + i) i2 = 1 + i (l-2i) Zl + (-2 + 3Í) *2 = 1 (5 - 5») xi + (-9 + 7») x2 = 3 + i c) 2 ii + (2 + 2») x2 + 2t x3 = 1 (1 - t) xi + (1 + 3i) x2 + (-1 + i) x3 = 0 (1 + i) x, + (1 - i) x2 + (1 + i) x3 - 1 d) (1 + i) řj + (1 - i) x2 + (1 + i) x3 = 1 Xi + (1 + i) x2 + i x3 = 1 (1 - i) xi + (1 + 3t) x2 + (-1 + i) x3 = 0 (2 + i) Xj + (-1 - i) x2 + x3 = 1 - i [5.1.B6]. Řešte soustavu lineárních rovnic (nad R), v závislosti na parametru a 0. [5.2.B3]. Určete všechny hodnoty parametru a £ R, pro které je daná soustava lineárních rovnic (nad R) řešitelná: a) Xi — X2 + 2x3— x4 = 1 b) X\ — X2 + 2x3— x4 = 1 —X] — 3x2 — 5x3 + 10x4 = a —xi — 3x2 — 5x3 + 10x4 = a 3xi-7x2 + 3x3+ 6x4 = 7 -2xi + 2x2-4x3+ 2x4 = 7 §2: Základní vlastnosti soustav lineárních rovnic 131 c) x3 - x2 + 2x3- x4 = 1 d) xi+ x2 + (l+a)x3 = a2 —xi -3x2 — 5x3+ 10x4 = a xi + (l+a)x2+ x3 = a -xi -7x2 + 3x3+ 6x4 = 7 (l+o)xi+ x2+ x3=l [5.2.B4]. Nechť o,6,c, d jsou reálná čísla, z nichž alespoň jedno je nenulové. Dokažte, že pak následující soustava lineárních rovnic (nad R) má jediné řešení: axi + 6x2 + cx3 + dx4 = 1 6x1 — 0x2 + dx3 — CX4 = 9 cxi — dx2 — ax3 + 6x4 = 8 dx\ + CX2 — 6x3 — 0x4 = 9 (Návod: počítejte determinant matice soustavy a užijte Cramerovo pravidlo.) [5.2.B5]. Nechť 0 t € T a nechť jsou dány soustavy lineárních rovnic : anxi + ... + ai„x„ = 61 anxi + ... + Qi„xn = i ■ bi (1) (2) ati^i + • • • + a*nX„ = 6i ajtiXi + ... + aknxn = ť • 6t Pak: a) dokažte, že soustava (1) je řešitelná soustava (2) je řešitelná b) ukažte, že předchozí tvrzení neplatí, vynecháme-li předpoklad t ^ 0. [5.2.B6]. Dokažte, že soustava lineárních rovnic (zapsaná maticově) A ■ X = B je řešitelná sloupcový vektor B je lineární kombinací sloupců matice A. [5.2.B7]. Nechť A je matice typu k/n nad T. Dokažte, že množina všech vektorů u£T', pro které je soustava lineárních rovnic A ■ X = u' řešitelná, tvoří podprostor v T*, jehož dimenze je rovna h(A). (Návod: při důkazu využijte předchozí cvičení.) [5.2.B8]. Je dána soustava lineárních rovnic A ■ X = B, kde A = 2 3 1 1 2 0 1 1 1 X = Xl X2 *3 B = Dokažte, že existuje nekonečně mnoho sloupcových vektorů B takových, ze a) soustava A ■ X = B je řešitelná b) soustava A ■ X — B není řešitelná 1 132 II. Cvičení - Kap. 5: Soustavy lineárních rovnic [5.2.B9]. Nechť Ui,...,u„ je báze vektorového prostoru V nad T. Uvažme vektory: OiU!+U2 , Ct2U2 + U3 , , an_xun_i + un , a„u„ kde a, G T. Nalezněte všechny hodnoty ai,...,an, pro které jsou uvedené vektory lineárně nezávislé. (Návod: použijte úvah o řešitelnosti a počtu řešení soustavy lineárních rovnic.) [5.2.BIO]. Danou soustavu lineárních rovnic řešte pomocí Cramerova pravidla (pokud je to možné): a) 3xi — x2 + x3 = 10 bxi +x2 + 2:c3 = 29 -4xi + x2 + 2x3 = 2 c) 13xi + 2x2 - 6x3 = 8 —5xi + X2 — 3x3 = 7 7xi — 6x2 + 18x3 = 5 b) xi-ix2 + (l+ť)x3 = 2+í" i xi — x2 =0 (l-£) xi + i x3 = l+3i d) 2xi-2x2+ x3+ x4 = 6 2xj + 3x2 + *3 + x4-O 5ii + 6x2 + 3x3 + 2x4 = 3 7xi + 9x2 + 4x3 + 2x4 = 3 e) xi - x2 + 2x3 - 6x4 =-8 f) 1xx + x2 + 4x3 + 8x4 = -1 X!-2x2-4x3 + 9x4 = 5 xi+3x2-6x3 + 2x4 = 3 4xi- x2-4x3 + 3x4 =-8 3xi-2x2 + 2x3-2x4 = 8 2xi - x2-6x3 + 3x4 = —1 2xi - x2 + 2x3 = 4 [5.2.B11]. Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu n lineárních rovnic o n neznámých (nad T): bxi + ax2 + ... + ax„_i + axn — 2 0x1 + 6x2 + ... + axn_i + ax„ = 2 . , kde 6^0 A 6 5É (1 — n) ■ a . axi + ax2 + ... + ax„_i + bxn = 2 [5.2.B12]. Je dána soustava lineárních rovnic o 3 neznámých (nad R): axi + 6x2 = c cxi + 6x3 = a cx2 + 0x3 = 6 přičemž platí, že tato soustava má jediné řešení. Potom : a) dokažte, že a ^ 0, b ^ 0, c ý- 0 b) pomocí Cramerova pravidla najděte toto řešení. §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic 133 [5.2.B13]. Je dána řešitelná soustava lineárních rovnic (nad R). Pomocí obecného Cramerova pravidla nalezněte všechna její řešení: b) xi+ x2+ x3+ x4+ x5= 7 3xi+2x2+ x3+ x4-3x5 = —2 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5= 23 5xi+4x2 + 3x3 +3x4 - x5— 12 a) xi-2x2 + x3+ x4 = 1 xi -2x2 + x3- x4 = -1 xi-2x2 + x3 + 5x4 = 5 §3:HOMOGENNÍ SOUSTAVY LDNEARNICH ROVNIC [5.3.AI]. U.p. homogenní soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých Zi,x2,X3,x4 (nad R) tak, že za volné neznámé je nutno volit právě neznámé x\, x3. [5.3.A2]. U.p. podprostoru W v R5, který není množinou řešení žádné homogenní soustavy lineárních rovnic o 5 neznámých nad R. [5.3.A3]. U.p. homogenní soustavy 3 lineárních rovnic o 5 neznámých (nad Q) tak, že její podprostor řešení má dimenzi 4. [5.3.A4]. U.p. homogenní soustavy 2 lineárních rovnic o 5 neznámých (nad Q) tak, že její podprostor řešení má dimenzi 2. [5.3.A5]. Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lineárních rovnic o 6 neznámých (nad R). Udejte, jakých všech hodnot může nabývat dim W. [5.3.A6]. U.p. homogenní soustavy lineárních rovnic nad R tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory (1,1,0,0,0) a (0,0,0,0,1). [5.3.A7]. U.p. homogenní soustavy lineárních rovnic nad R tak, aby bází jejího podprostoru řešení byl vektor (1,1,1,1). [5.3.A8]. U.p. homogenní soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých (nad Q) tak, aby její podprostor řešení neměl bázi. [5.3.A9]. U.p. homogenní soustavy 4 lineárních rovnic o 3 neznámých (nad Q) tak, aby její podprostor řešení neměl bázi. [5.3.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby homogenní soustava k lineárních rovnic o n neznámých (nad R) měla nekonečně mnoho řešení. 134 II. Cvičeni - Kap. 5: Soustavy lineárních rovnic §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic 135 [5.3.B1]. Řešte zadanou homogenní soustavu lineárních rovnic (nad R, resp. nad K) : a) 3xi + 2x2 + 5*3 = 0 2xx - x2 + 3x3 - 0 3xx — 5x2 + 4x3 = 0 3xj + 16x2 + 7x3 = 0 c) 2x!+3x2- x3 +5x4 = 0 3xi — x2 +2x3 —7*4 = 0 4xj+ x2-3x3 + 6x4 = 0 5xj — x2+ x3 — x4 = 0 6x!+ x2-2x3 + 3x4 = 0 b) 2xi + 5x2 - 4x3 - 4x4 + 4x5 = 0 2xi+ x2 - x3- Z4+ x5 = 0 3xi + 8x2 — 6x3 — 6x4 + 6x5 = 0 3xi - x2-2x3+ x4— x5 = 0 d) 3xí - x2 + x4 — 2x5 = 0 2xi+ x2- x3 + 2x4-3x5 = 0 3xi-2x2— x3+ x4-2x5 = 0 2x! - 4x2 + 2x3 - 2x4 + 2x5 = 0 2xi-5x2+ x3-2x4 + 2x5 = 0 e) (1 + i) xi + (3 - i) x2 + (1 + 2i) x3 = 0 (2 + 3ť) xj + (2 + i) x2 + (1 - i) x3 = 0 (1 + 2») Xi + (-1 + 2i) x2 + (1 - 3í) x3 = 0 f) (1 - i) xi + (1 + i) x2 + (1 + i) x3 = 0 (1 + 3i) xj + (1 - i) x2 + (-1 + i) x3 = 0 (1 + i) Xi + x2 + i x3 = 0 [5.3.B2]. V závislosti na parametrech řešte homogenní soustavu lineárních rovnic nad R: a) axi+4x2+ 2x3 = 0 2x,+3x2- x3 = 0 c) axi + 6x2+ cx3 + dx4 = 0 fcxi — a X2 + dx3 — CX4 = 0 c xi — dx2 — a x3 + 6 X4 = 0 d Xi + c X2 — 6 X3 — a X4 = 0 b) axi -2x2+ x3 = 0 3xi — 2x2— x3 = 0 a2xi + x2 +(a - l)x3 = 0 d) a xi — 4 x2 — x3 = 0 4x1 — 6x2 — 3x3 = 0 xi + x2 - ax3 = 0 (Návod: při řešení c) spočtěte nejprve determinant matice soustavy.) [5.3.B3]. Určete všechny hodnoty parametru a € R , pro které má daná homogenní soustava lineárních rovnic (nad R) nenulové řešení: a) xi + x2 — x3 + x4 = 0 2xi + x2 - x3 + 2x4 = 0 X2 + x3 + 4x4 = 0 xi + x4 = 0 xi - x2 — 3 x3 + a x4 = 0 b) axi — x2 + x4 = 0 xi+ x2 + 3x3 + 2x4 = 0 2xi+ x2 + 3x3 + 2x4 = 0 (a+l)xj +4x3+3x4 = 0 (a+2)x! +3x3+3x4 = 0 c) a xi + 3 x2 + a x3 = 0 (o - 1) *i + 3 x2 + 2a 13 = 0 (2a+ 1) X! + 6 x2 + a x3 = 0 - xi + x2 +(a + 2) x3 = 0 d) 3 xj + 5 *2 - (a + 2) x3 + (2a - 2) x4 = 0 2 xi + 3 x2 - (a + 1) x3 + (a - 1) x4 = 0 3 xj + 4 x2 - (2a + 1) x3 + (a - 1) x4 = 0 (a+l)xi + a x2 + 2 x3 + x4 = 0 (a + 1) xi + (a + 1) x2 + (a + 1) x3 + a x4 = 0 [5.3.B4]. Je dána homogenní soustava lineárních rovnic o n neznámých taková, že matice soustavy má hodnost (n — 1). Dokažte, že potom pro libovolná dvě nenulová řešení (ri,...,rn) , («1,..., sn) této soustavy existuje ť € T tak, že: r,- = t ■ sí , pro každé i = 1,..., n . [5.3.B5], Nechť AX = B a C ■ X = D jsou dvě ekvivalentní řešitelné soustavy lineárních rovnic o n neznámých (nad T). Pak: a) dokažte, že zhomogenizované soustavy k těmto soustavám jsou také ekvivalentní b) ukažte, že bez předpokladu řešitelnosti soustav A-X — Ba. CX = D předchozí tvrzení obecně neplatí. [5.3.B6]. Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W zadané homogenní soustavy lineárních rovnic (nad R) : a) 3xi+ x2+ x3 +4x4 = 0 2xi + 3x2 • I- 5x3 + 6x4 = 0 3x!+4x2 + 6x3 + 7x4 = 0 c) 2xi + 5x2 + 5x3 + x4 = 0 2xi + x2 + 5x3 + x4 = 0 3xi + 2x2 + x3 + x4 = 0 4xi + 3x2 + 2x3 + x4 = 0 e) 2x! + 3x2- x3 + 2x4 = 0 4xi + 7x2 + x3 =0 5xi + 7x2 — 4x3 + 7x4 = 0 3xi+ 4x2 —3x3 + 5x4 = 0 b) 3xi+ x2-2x3+ 6x4 = 0 5xi+ 6x2-3x3 + 9x4 = 0 3xi + 14x2- x3 + 3x4 = 0 d) 5xi + 3x2 + 9x3 + 5x4 + 2x5 = 0 4xi + 4x2 + 8x3 + 5x4 + 4x5 = 0 2xi + 7x2 + 4x3 + 5x4 + 8x5 = 0 3xi + 5x2 + 7x3 + 5x4 + 6x5 = 0 3xi-2x2+ x3 -6x5 = 0 f) 3xi + 3x2- x3 + 14x4 = 0 2xi + 3x2- x3+ 6x4+ 3x5 = 0 3xi + 6x2-2x3+ 4x4+ 9x5 = 0 5xi + 6x2-2x3 + 20x4+ 3x5 = 0 4xi + 9x2 - 3x3 + 2x4 + 15x5 = 0 136 II. Cvičeni — Kap. 5: Soustavy lineárních rovnic [5.3.B7]. Je dána homogenní soustava lineárních rovnic o 3 neznámých, nad K. Nalezněte bázi a dimenzi jejího podprostoru řešení W (ve vektorovém prostoru K3): a) (1 + i) xi + (1 - í) x2 + (2 - i) x3 = 0 (2 + i) Xi + (3 + 2i) x3 + (1 - i) 23 = 0 b) (2 + 3») »v + (1 + 2i) *2 + (1 - i) x3 = 0 (1 - 8») xi + 5i x2 + (3 - i)'-x3 = 0 c) (1 + 2i) xi + (-2 + 3 (2+ i) zi + (1 + (2 - 3í) xi + (1 + (3 + 3í) xi + (-1 + 4 (1 - «') «i + (-1+ i) xi + (2 + d) (1 - i) *i + (1 + 2i) x2 + (3 - i) x3 (-2 + 2i) xi + (3 + ) x2 + 3» x3 = 0 ) x2 + (1 + 2i) x3 = 0 ) x2 + (1 + 2») x3 = 0 x2 + (1 + 5i) *3 = 0 x2 + (1 - i) x3 = 0 ) x2 + (3 + ») x3 = 0 i) x2 + (4 + 2i) x3 = 0 [5.3.B8]. Nalezněte homogenní soustavu lineárních rovnic, jejíž množina řešení je rovna podprostoru W vektorového prostoru V, je-li: a) V = R3 ; W = [(1,2,-1), (2,1,1)] b) V = R4 ; ^ = [(1,-1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)] c) V = R5 ; W = [(l,'1,5,5,2), (2,2,0,0,-1), (1,1,-1,-1,-1), (1,1,1,1,0)] d) V = R5 ; W = [(3,2,5,2,7), (6,4,7,4,5), (3,2,-1,2,-11), (6,4,1,4,13)] e) V = R5 ; W = [(2,1,1,2,1), (3,1,2,3,1), (4, -1,5,7,3), (5,-2,5,6,0)] f) V = R4 ; W = {(2a-b-c, 3a-6+2c, a-26+3c, c) | a, b, c G R} g) V = R5 ; W = {(r,2ŕ,0,-í,4í)|ťeR} h) F = R5 ; W = {(5a-2fc+3c, 6a-46+4c, a+36-3c, 2a+6+2c, 3a+fe+c) | a,fc,c€R}. [5.3.B9]. Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž množinou řešení je zadaná množina vektorů z vektorového prostoru V, je-li: a) V = R3 , M = {(0,0,0), (1,1,1), (-1,-1,-1)} b) V = R3 , M = { (x, 0, x) I x € R} c) V = R4 , M = { (g + b + 1, a + 6, 0 , 0) | a, 6 G R} d) K = R4 , M = R4 -{(1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)} . §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic 137 [5.3.BIO]. Nalezněte homogenní soustavu 2 lineárně nezávislých lineárních rovnic (nad R) takovou, že jejími řešeními jsou (kromě jiných) vektory u, v, w G R4 , kde : a) u= (1,-2,-2,2), v = (2,-3,1,0), w = (3,-5,-1,1) b) u= (1,-2,-2,2), v = (2,-3,1,0), w = (3,-5,-1,2) c) u = (1, -2, -2,2), v = (-1,2,2, -2), w = (v^,-y/S, y/S) [5.3.Bil]. Rozhodněte, zda vektor u je řešením zadané soustavy lineárních rovnic a-pokud ano, pak pomocí vektoru u vyjádřete všechna řešení x této soustavy: a) u = (1,-1,1,1) ; 3xi + 2x2 + x3 — X4 = 1 2xi + 3X2+ X3 + X4 = 1 2xi + 2x2 + 2x3 — x4 = 1 3xi + 5x2 + 4x3 = 2 b) u = (-8,3,6,0) ; x\ — 2x2 + 3x3 + 4x4 = 4 x2 — x3 + x4 = -3 x\ + 3x2 — 3*4 — 1 — 7x2 + 3x3 + x4 = 3 c) u = (-16,23,0,0,0) ; «1+ *2+ «3+ *4+ ~5 = 7 3xi + 2x2 + x3+ x4 — 3x5 = —2 z2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 5xi +4x2 + 3x3 + 3x4— X5 = 12 d) u = (0,2,-2,0,3) ; x\— x2 — x3 — X4 — X5 = —3 2xi+ ar2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 10 2x!+2x2+ x3 + 2x4 + 3r5= H 2xi+2x2 + 2x3+ x4 + 2x5= 6 2x!+ 2x2 + 2x3 + 2x4+ x5 = 3 138 §1: Skalární součin, velikost a odchylka vektorů 139 KAPITOLA 6: EUKLIDOVSKÉ VEKTOROVÉ PROSTORY §1: SKALÁRNÍ SOUČIN, VELIKOST A ODCHYLKA VEKTORŮ Úmluva. Všude v této kapitole, ve všech příkladech o euklidovském prostoru R" se předpokládá (není-li výslovně řečeno jinak), že skalární součin je v prostoru R" definován "obvyklým způsobem", tzn. pro vektory u = (tíi,u2,...,«n), v = (vi,v2,...,vn) je U ■ V = Ui Vi + U2 v2 +----V un vn ■ [6.1.A1]. Ve vektorovém prostoru K nad R (viz cvičení [3.1.Bl]b)) definujte skalární součin. [6.1.A2]. Ve vektorovém prostoru Rs[x] definujte skalární součin dvěma různými způsoby. [6.1.A3]. U.p. reálného vektorového prostoru, ve kterém nelze definovat skalární součin. [6.1.A4]. U.p. nenulového vektoru u z euklidovského prostoru R4 tak, že uu = 0. [6.1.A5]. U.p. normovaných vektorů u,v z euklidovského prostoru R3 tak, že u ■ v = y/Ž. [6.1.A6]. U.p. normovaných, lineárně nezávislých vektorů u,v z euklidovského prostoru R3 tak, že u-v = 1. [6.1.A7]. Nechť skalární součin dvou normovaných vektorů v euklidovském prostoru R" je roven —1. Uveďte, co lze říci o lineární závislosti či nezávislosti těchto vektorů. [6.1. A8]. Nechť u, v jsou normované vektory z euklidovského prostoru R4. Uveďte, co všechno lze říci o velikosti vektoru u + v. [6.1.A9]. U.p. vektorů u,v z euklidovského prostoru R2 tak, že odchylka těchto vektorů je |x. [6.1.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby pro vektory u,v z euklidovského prostoru R3 platilo: u v > 0. [6.1.B1]. Ve vektorovém prostoru R2 je pro libovolné dva vektory u = (ui, tx2), v = (yi, v2) definováno reálné číslo u - v. Rozhodněte, zda je takto v R2 definován skalární součin. Přitom: a) u ■ v = 0 b) u • v = 4uivj — 2u1v2 — 2u2vi+bu2v2 c) U • V = U\V2 + U2Vi d) U V = WjDi + U\V2 + «2^1 + «2^2 [6.1.B2]. Ve vektorovém prostoru R3 je pro libovolné dva vektory u = (t*i,uj, 1/3), v = (vi,v2,V3) definováno reálné číslo u-v. Rozhodněte, zda je takto v R3 definován skalární součin. Přitom: a) u ■ v = 3uii>i — U}V2 — u2vi + 2u2v2 + uii>3 + u3i>i + V3V3 b) u • v = 2u\V\ — U\v2 — u2v\ + U3V3 c) u • v = t/it>i + 2uiv2 — u2vi + it2v2 + U3V1 + 2U3V3 d) U • V = UiV\ + 2u2V2 + 3U3V3 — «2^3 — «3^2- [6.1.B3]. Ve vektorovém prostoru R2[a;] je pro libovolné dva vektory (tj. polynomy) f = a2x2 + a\x + a0 , g = b2x2 + bix + 60 definováno reálné číslo f -g. Rozhodněte, zdaje takto v R2[z] definován skalární součin. Přitom: a) f-g=l b) f-g = a0b0 +a^bi + a2b2 c) f-g= f f(t).g(t)dt d) f.g=|a2-62|. [6.1.B4]. Ve vektorovém prostoru Mat22(R) je pro libovolné vektory (tj. matice) A al a1 b2 a3 a4 h 64 definováno reálné číslo A-B. Rozhodněte, zdaje takto v Mat22(R) definován skalární součin. Přitom: a) A ■ B = det (A ■ B) b) A ■ B = det (A + B) c) A ■ B = ajfc] + 0464. d) j4 ■ i? = aifci + a2fe2 + 0363 + 0464 [6.1.B5]. Nechť V je euklidovský vektorový prostor (se skalárním součinem • ) . Rozhodněte, zda * je též skalárním součinem ve V, jestliže pro Vu,v£ľ položíme: a) u*v = v-u b), u * v = (u + v) • (u — v) c) u * v = t ■ (u • v) , kde í je pevné reálné číslo . 140 II. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.1.B6]. Nechť v reálném vektorovém prostom V jsou definovány dva skalární součiny o a * . Dokažte, že jestliže pro každý vektor u £ V platí : u o u = u * u , pak jsou oba skalární součiny o a * shodné. (Návod: počítejte (u + v) o (u + v) a (u + v) * (u + v).) [6.1.B7]. V euklidovském prostoru V spočtěte velikost zadaného vektoru u, je-li: a) V = R5 , u= (y/2, x/2 + \/3, 7, V2-\/3, \/3) b) V — K7 , u = (-9 ,—4,0, VTŠ, 0,7,8) i c) V = R.2[x] , se skalárním součinem : f -g = f f (t) - g(t) dt , 0 u = 5z2 + 6x - 3 i d) V = R2[x] , se skalárním součinem : f g = / f (t) ■ g(t) dt , -i u = 5x2 + 6* - 3. [6.1.B8]. Určete všechny hodnoty parametru a € R, pro které je zadaný vektor u z euklidovského prostoru V normovaný. Pritom: a) V = R5;u=(o+l,0,a + 2,0,a+l) b) V = R7 ; u = (a+ l,l,0,a + 2, 1,0, 2a-3) 1 c) V — R2[x] , se skalárním součinem : f g = J f (t) -ff(0 dt , o u = 3x2 + a i d) V = R2[x] , se skalárním součinem : f • g = f f (i) ■ g(t) dt , -i u = 3x2 + o. [6.1.B9]. Nechť u, v jsou vektory z euklidovského prostoru V. Dokážte, že platí: a) ||u + v||2 + ||u-v||2 = 2-(||u||2 + ||v||2) b) ||u + v||2-||u-v||2 =4-(u-v) c) jsou-li u, v nenulové vektory a ip je jejich odchylka, pak: l|u-v||2 = ||u||2+||v||2-2-||u||.||v||.cos^ d) |||u||-||v||| < ||u-v||. (Návod: při d) počítejte ||u — v||2 a použijte Schwarzovu nerovnost.) [6.1.BIO]. Nechť V je euklidovský prostor a u,v jsou vektory z V takové, že u • v = ||u|| • ||v||. Bez užití Schwarzovy nerovnosti dokažte, že pak vektory u,v jsou lineárně závislé. §1: Skalární součin, velikost a odchylka vektorů 141 [6.1.BII]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť u,v £ V. Dokažte, že platí: ||u + v|| = ||u|| + ||v|| •<=> 3 r > 0 tak, že u = r-v nebo v = r ■ u . [6.1.B12]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť x,y,z € V jsou takové vektory, že x, z jsou lineárně závislé. Pak: a) dokažte, že platí: (x • y) ■ z = (y ■ z) • x b) ukažte, že předchozí rovnost obecně neplatí, nahradíme-li předpoklad, že vektory x, z jsou lineárně závislé předpokladem, že vektory x,y,z jsou lineárně závislé. [6.1.B13]. V euklidovském prostoru V jsou zadány dvě posloupnosti k vektorů : Ui,—, Uj. , resp. Vi,..., v* takové, že pro V i, j platí : u,- • Vj = 0 je-li i ^ j A u,- • v,0 . Dokažte, že potom vektory uj,... ,ut jsou lineárně nezávislé a vektory vi i • ■ •,yk jsou též lineárně nezávislé. [6.1.B14]. Nechť V je euklidovský prostor; nechť uj,,.. .,ut € V, resp. - • -,ik G R. Dokažte, že platí : ťiUi + ^2^2 H-----h tk^k — o •<=!> íi(urui) + t2 (uru2) + ... + íi (Ul-Uit) = 0 í1(U2-Ui) + ť2(U2-U2) + ...+ íjt (U2-Ut) = 0 tl (UfUl)+ť2 (UjfU2) + . . . + ťi (lljfc-Ujfc) = 0 (Návod: při důkazu nejprve pro každé i = l,...,k v i-té rovnici "vytkněte" vektor u,-, vynásobte číslem ti a nakonec všechny takto vzniklé rovnice sečtěte .) [6.1.B15]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť Ui,.. .,ujt je konečná posloupnost vektorů z V. Determinant Ul-Ui Ui-U2 ... Ux-Ui U2U! U2U2 ... U2"Ujfc UjfU! VLkU2 ... Ui-Ui se nazývá Gramův determinant vektorů ui,...,ujt a označuje se symbolem G(ui,..., m) . Dokažte, že platí : vektory Uj,.. .,Ujt jsou lineárně závislé •<=> G(ui,..., ut) = 0. (Návod: použijte definici lineární závislosti a výsledek cvičení [6.1.B14].) 142 ii. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.1.B16]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť m,. ..,u* je konečná posloupnost vektoru z V. Rozhodněte, jak se změní Gramův determinant G(ui,. ..,Ui), jestliže v posloupnosti Ui,___,Uj a) zaměníme vektory u,- a uy (i ^ j) b) vektor u,- vynásobíme číslem ť € R c) k vektoru u,- přičteme vektor u,- (i ^ j) d) k vektoru u,- přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů . (Návod: při c) počítejte G(uj,..., u,- + u;,..., ujt) tak, že nejprve rozepíšete i-tý řádek a po zjednodušení pak totéž provedete pro t-tý sloupec ; při d) postupujte obdobným způsobem .) [6.1.B17]. Nechť lij.....ur jsou lineárně nezávislé vektory a Vi.....v, jsou lineárně nezávislé vektory z euklidovského prostoru V takové, že: u,- ■ Vj =0 pro každé i = 1,..., r, j = 1,..., s. Dokažte, že potom vektory ui,... ,Ur, Vi,..., v, jsou lineárně nezávislé. (Návod: při důkazu využijte výsledek cvičení [6.1.B15] a Cramcrovo pravidlo.) [6.1.B18]. Nechť Uj,..., un je báze euklidovského prostoru V a nechť 6i,. - ■,6„ jsou pevně zvolená nenulová reálná čísla. Dokažte, že potom existuje právě jedna báze ei,..., e„ euklidovského prostoru V , splňující podmínky: pro j = í pro j ^ i u,- • e,- = < l 0 pro každé i, j — 1,..., n. (Návod: žádané vektory hledejte ve tvaru : e,- = Xji Uj +----(- Xjn un a požadujte splnění podmínek zadání. Použijte Cramerovo pravidlo a výsledek cvičení [6.1.B15].) §2: ORTOGONÁLNOST [6.2.A1]. U.p. báze euklidovského prostoru R4, která je ortogonální a není ortonormální. [C.2.A2]. U.p. dvou různých ortonormálních bází euklidovského prostoru R2. [6.2.A3]. U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3. [6.2.A4]. Nechť ui, 112, U3, u4 jsou nenulové ortogonální vektory z euklidovského prostoru R". Uveďte, co všechno lze pak říci o čísle n. §2: Ortogonálnost 143 [6.2.A5]. Nechť ei,...,et jsou vektory získané z vektorů ui,...,ujt Gram-Schmidtovým ortogonalizačním procesem. Uveďte, kolik z vektorů ei,..., et je nulových. [6.2.A6]. U.p. ortogonálních množin A, B v euklidovském prostoru R4 tak, že A je konečná množina a B je nekonečná množina. [6.2.A7]. U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W1- < dim W. [G.2.A8]. U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R5 tak, aby platilo, že dim W = dim Wx. [6.2.A9]. U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby ortogonální projekcí vektoru u = (1,2,3,4) do podprostoru W byl nulový vektor. (6.2.A10].yr podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby podmnožiny A, B euklidovského prostoru R3 byly ortogonální. [6.2.B1]. Rozhodněte, zda dané vektory euklidovského prostoru R4 jsou ortogonální, resp. ortonormální: a) (1,-2,2,1), (1,3,2,1), (-1,0,1,-1) M (1 1 I i-) c) (2,3,-3,-4), (-1,3,-3,4), (3,1,3,0) d) (1,3,1,2) , (0,0,0,0) , (1,-3,2,3). [6.2.B2]. Určete parametry a,b £ R tak, aby dané vektory euklidovského prostoru R5 byly ortogonální: a) (1,1,2,0,0) , (1,-1,0,1,0) , (1,6,2,3,-2) b) (2,-1,0,0,6) , (o,6,0,-2,l) , (o,2t,5,o,-o) c) (1,-2,0,3,0) , (-l,l,0,a,7) , (1,-2,6,3,0) , (0,6,-1,1,8) d) (1,2,0,2,1) , (0,0,0,0,0) , (-5,2,5,-2,5) , (0,6,0,6,0). [6.2.B3]. V euklidovském prostoru R4 nalezněte všechny normované vektory, které jsou ortogonální k vektorům u, v, w, je-li : u = (l, 1,1,1), v = (1,-1, -1,1), w = (2,1,1,3). 144 II. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.2.B4]. Ve vektorovém prostoru R2[x] je skalární součin definován: f-g= f f(t)-g(t)dt . -i Rozhodněte, zda pak zadané vektory (tj. polynomy) fi,f2,f3 tvoří bázi, resp. ortogonální bázi, resp. ortonormální bázi tohoto euklidovského prostoru, je-li: a) fx = 2x , f2 = 3x2 - 1 , f3 = 3 b) fj = x2 - 2x + 1 , f2 = 5x2 + 2x - 1 , f3 = 2x +1 c) fi = & , f2 = JI * . f3 = S;(3*2 ~ l) 2 ' -* ~ V 2 "" ' — 2v/2x d) fj = bx2 + 2x - 1 , f2 = x2 - 2x + 1 , f3 = x2 + 4.x - 2, [6.2.B5]. Nechť V je euklidovský prostor; nechť u,v £ V. Dokažte, že pak platí: a) u±v |ju + v|j2 = ||u||2-f ||v|[2 b) u±v ||u +v|| = ||u-v|| c) (u + v)JL(u-v) <=> ||u|| = ||v||. [6.2.B6]. Nechť ui,..., un je ortogonální báze euklidovského prostoru V a nechť ťj,,___,ín jsou libovolná nenulová reálná čísla. Dokažte, že pak ťj• Ui,..., tn■ u„ je také ortogonální báze prostoru V. [6.2.B7]. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi pod-prostoru W, je-li: a) V = R4 ; W= [ui.ua.us] , kde Ul = (1,2,2,-1), u2 = (1,1,-5,3), u3 = (3,2,8,-7) b) 7 = R4 ; W = [ui,u2,u3] ,kde Ul = (1,0,1,0), u2 = (0,1,0, -7) , u3 = (3, -2,3,14) c) V = R4 ; W = L(u1,u2,u3,u4) , kde ua = (1,1,1,1) ,u2 = (1,1,1,-1) ,u3 = (1,-1,-1,1) , 114 = (-1,1, 1,1) d) V - R5 ; W = [u1,u2,u3,u4] , kde Ul = (1,-2,-1,0,1) , u2 = (2,3,0,-2,3) , u3 = (1,1,-2,-1,-1) , u4 = (1,-6,-4,1,-2) e) V = R5 ; W = [Ul,u2.u3,ti4] , kde Ul = (1,2,0,1,2) , u2 = (1,1,3,0,1) , u3 = (1,3,-3,2,3) , u4 = (1,-1,9, -2,-1) f) V = R5 ; W = L(ui,u2,u3,u4) , kde Ul =(1,-1,0,1,1) ,u2 = (1,-1,1,0,-1) ,u3 = (l, +2,-2,0,0) , u4 = (1,-4,1,3,4) §2: Ortogonálnost 145 g) V = R4 ; W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: 2xi + 5x2 + x3 + 3x4 = 0 5xi + 6x2 — 2x3 + 9x4 = 0 3xi + x2 — 3x3 + 6x4 = 0 h) V = R5 ; W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: xi — x2+ x3 —2x5 = 0 2xi + 7x2 -i- 4x3 + 5x4 + 8x5 = 0 3xi + 5x2 + 7x3 + 5x4 + 6x5 = 0 4xi 4- 4x2 + 8x3 + 5x4 + 4x5 = 0 [6.2.B8]. V reálném vektorovém prostoru V je definován skalární součin. V takto získaném euklidovském prostoru nalezněte nějakou ortogonální bázi. Přitom: a) V = R2 ; pro V u = (uj, u2), v = (t)j, f2) definujeme U ' V = 2uilii + 2«if2 + 2tÍ2l>l + 3tl2t>2 b) V = R3 ; pro V u = (ui, «2,1*3) , v = (t>i, t>2, t>3) definujeme u • v = U!t;i + 2u2t>2 + 3u3i>3 — «2v3 - u3v2 1 c) V = R2[x] , pro V f ,g € R2[x] definujeme f • g = / f (t) ■ g(t) dt o d) V = Mat22(R) ; pro VA = 1 2 , B = * 2 definujeme / x ' [a3 a4J [b3 í>4 A ■ B = aifci -j- a262 + a3b3 + a4b4. [6.2.B9]. V euklidovském prostoru R4 jsou dány vektory ui, u2. Ukažte, že vektory ui,u2 jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru R4 . Přitom : a) ui = (1,-2,2,1) , u2 = (1,3,2,1) b) U! = (2,3, -3, -4) , u2 = (-1,3, -3,4) c) Ui = (1,7,7,1) , u2 = (-1,7,-7,1) d) ui = (1,-3,2,3) , u2 = (1,3,1,2) [6.2.B10]. Sestrojte ortonormální bázi euklidovského prostoru R4, jsou-li dány její vektory: a) ei = (§,-§,0,1) w p - íi 1 1 li *» — r1 1 1 — n\ ") *=\ — \2 ) 2 ' 2 ' 2) ' 2 — V6 ' 6 1 2 ' 6/ c) ei=(!,I,-f,l) , e2=(^,-^,0,0) , e3=(^,^,^,0) . 146 II. Cvičení — Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.2.Bil]. Ve vektorovém prostoru R3 je definován skalární součin takto : pro libovolné vektory u = (ui,u2, «3), v = (ví, v2, v3) € R3 je: U • V = 2uiVi — «ilř2 — U2Vi + «2t>2 + U3V3 , V tomto euklidovském prostoru pak nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = {(x1,x2,x3) I 2x1-2x2 + x3 = 0}, která a) obsahuje vektor (1,1,0) b) obsahuje nějaký vektor z podprostoru u, kde u je množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: 2xi -4x2 — x3 = 0 x2 + x3 = 0 [6.2.B12]. Nechť ui,...,un je báze euklidovského prostoru V; nechť x,y G V, přičemž: x = xiti! + —hx„u„ , y = yiu! +----hy„u„. Dokažte, že pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) x • y = xj t/i + x2 y2 +----hxnyn pro každé x, y G V (ii) báze ui,..., u„ je ortonormální. [6.2.B13]. Nechť W = [uj,... ,uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V. Dokažte, že pak platí: x£Wx <=i> x-Lui A ... A xJLttfc . (jinak řečeno: vektor leží v ortogonálním doplňku podprostoru W právě když je ortogonální k libovolným generátorům tohoto podprostoru W.) [6.2.B14]. V euklidovském prostoru Rn nechť je dán podprostor W jako množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: anzi + ai2x2 +... + ai„x„ =0 aiix1+ajt2X2 + ...+ ai„xn = 0 Dokažte, že potom Wx = [(an, a12,..., aln) , ... , (aku ak2,..., akn)]. §2: Ortogonálnost 147 [6.2.B15]. V euklidovském prostoru R4 je dán podprostor W. Nalezněte bázi ortogonálního doplňku Wx , je-li: a) W = {(2r + i, -3r + s - í, 4r + 3t, 8r + 5í) | r, s, i G R} b) W = [ui,u2,u3] , kde Ul =(3,-5,4,1) , u2 = (1,-2,2,-3), u3 = (1,-1,0,7) c) W = jL(ui,u2,U3,u4) , kde Ul = (3,2,1,0) , u2 = (1,1,-2,1) , u, = (1,1,0,1) , 04 = (2,3,-1,1) d) W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: 3xi +3x2 + 2x3 + 7x4 = 0 3xj -2x3-9x4 = 0 x3+ x4 = 0 [6.2.B16]. V euklidovském prostoru R5 je dán podprostor W. Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku Wx , je-li: a) W = {(r + s + t, -r +1, r + s , -t, s + t) | r, s t G R} b) W = [ui,u2,u3,u4] , kde Ul = (1,-1,2,1,-3) , u2 = (2,1,-1,-1,2) , "3 = (1, -7,12,7, -19) , u4 = (1,5, -8, -5,13) c) W = L(ui,u2,u3,u4), kde ui = (1,1,-1, - 1,0) , u2 — (1,-1,-1,0,-1), u3 = (1,1,0,1,1), u4 = (-1,0,-1,1,1) d) W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: xi + x2 + x3 + x4 + X5 = 0 xi +x3 +x5 = 0 x2 + x4 =0 [6.2.B17]. Ve vektorovém prostoru R3 je definován skalární součin takto: pro libovolné vektory u = (ui,«2, u3), v = (vi,v2,v3) je: u • v = 2uiU] + u2t>2 + 6ti3ti3 — «ití2 — tí2i>i + u\v3 + u3vx + u2v3 + v3v2. V tomto euklidovském prostoru pak nalezněte ortogonální bázi podprostoru WL , je-li: a) W={(t,2t,i) | u; ■ -vj = 0 pro V í, j. §2: Ortogonálnost 149 [G.2.B21]. Nechť V je euklidovský prostor; nechť m,... ,ur G V jsou lineárně nezávislé vektory, resp. vi,. ..,v, G V jsou lineárně nezávislé vektory takové, že platí: u,-J_Vj , pro V Dokažte, že pak: dim[ui,...,ur,vi,...,ví] = r + s. [6.2.B22]. Nechť ze zadaných vektorů Ui,...,Ui (k > 2) dostaneme pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu postupně vektory ei,... ,ek. Dokažte, že pak pro 2 < i < k platí: a) IM < ||u,|| b) ei-o <^=> u; G [ui,...,u,_i] c) ei=u,- <=> u,- G [ui,... ,u,-_i ]x d) e; je ortogonální projekcí vektoru u, na podprostor [m,..., u,_i ] -1 . [6.2.B23]. Nechť ze zadaných vektorů Ui,...,U/t (k > 2) dostaneme pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu postupně vektory ei,...,ei. Dokažte, že pak Gramový determinanty vektorů ui,...,Uí a vektorů ei,...,e* (viz cvičení [6.1.B15]) jsou si rovny, tj. G(ui,...,Uí) = G(ei,...,ei). (Návod: využijte toho, že pro i — 2,..., k lze psát (proč?) uť = e,- +ť,-i Ui +----h ť,-,,_i u,-_i . S využitím tohoto faktu počítejte G(ui,... ,Ui) tak, že postupně upravujete řádky (počínaje posledním) a potom analogicky upravujete sloupce.) [6.2.B24]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť Ui,...,Uí G V . Dokažte, že platí: G(ui,...,ut)>0 tzn. Gramův determinant libovolných vektorů je vždy nezáporné číslo. (Návod: využijte výsledku předchozího cvičení.) 150 KAPITOLA 7: LINEÁRNI ZOBRAZENÍ VEKTOROVÝCH PROSTORŮ §1: ZÁKLADNI VLASTNOSTI LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ [7.1.A1]. U.p. injektivního lineárního zobrazení tp, přičemž a) tp : R2 — R3 b) tp : R3 -» R2. [7.1.A2]. U.p. surjektivního lineárního zobrazení tp, přičemž a)^:R2^R3 b) tp : R3 - R2. [7.1.A3]. U.p. bijektivního zobrazení ip : R3 —* R3, které není lineárním zobrazením. [7.1.A4]. U.p. lineárního zobrazení tp : R3 —+ R2 takového, že platí : ^((1,0,0)) = (1,0) a ^((2,0,0)) = (0,2). [7.1.A5]. U.p. lineárního zobrazení

= [(1,2,3,4), (4,3,2,1)]. [7.1.A7]. Nechť tp : R* —+ R" je lineárni zobrazení, jehož defekt je 4 a hodnost je 5. Uveďte, co všechno lze pak říci o číslech k , n . [7.1.A8]. U.p. izomorfizmu tp : R3 -+ R3[x] . [7.1.A9]. U.p. tří různých vektorových prostorů, které jsou navzájem izomorfní. [7.1.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby lineární zobrazení tp : V —► V' bylo injektivní. §1: Základní vlastnosti lineárního zobrazení 151 [7.1.B1]. Nechť V, V jsou vektorové prostory nad T, nechť tp : V —* V je zobrazení. Dokažte, že tp je lineární zobrazení právě když platí : tp(t-M + s-v) = t-tp(u) + s-tp(v) pro V u,v £ V, V i,s € T. [7.1.B2]. Rozhodněte, zda tp je lineární zobrazení, resp. injektivní lineární zobrazení, resp. surjektivní lineární zobrazení, je-li: a) tp : R3 b) tp : R2 c) tp : R3 d) tp : K3 R2, R3, R, K3, e) tp : R2[x] - R3[x] , f) tp ■ Mat22(R) — R2 kde tp((xi,x2,x3)) = (2xi + 3x2 , 4x3 + 5) kde tp ((xi, x2)) = ( 2xí + x2 , x2 , x2 - x\) kde tp((xi,x2,x3)) = xi + 2x2 + 3x3 kde tp ((zi, 22, z3)) = (0, 2zi + iza , z7 + z3) kde tp (ax2 + 6x + c) = 3ax3 + 26x2 + cx kde R4 , kde y((xi,x2,x3)) = (xí+x2 , x2+x3, xz+x\ , xx) b) tp : R3 -+ R2 , kde tp ((xi, x2, x3)) = (xx -f x2 , x2 + x3) c) tp : R4 —»■ R , kde tp((xi,x2,x3,x4)) = xi + x2 + x3 + x4 d) tp : R4 — R3 , kde y((xi,x2,x3,x4)) = (3xi-x2+2x3-x4 , 5xi+2x2+3x3 , 2xi+3x2+x3+x4 ) e)

((1,0,-1)) = (0,1,1,2) f) tp : R5 —► R3 , kde tp je zadáno určením obrazů báze : tp((1,0,0,0,0)) =(1,2,1) , dim V — k. [7.1.Bil]. Nechť tp ; V —* V je lineárni zobrazení a nechť uj,... ,un je báze prostoru V. Dokážte, že platí: tp je injektivní zobrazení <=> tp (ui), ...,tp (u„) jsou lineárně nezávislé. [7.1.B12]. Nechť tp : V —* V je injektivní lineárni zobrazení. Dokážte, že platí: u1;...,uí G V jsou lineárně nezávislé •<==> y(ui), • • •, tp je injektivní zobrazení a Im tp n Ker ij> = {o} b) V1 ° V Je surjektivní zobrazení <ř=> rj> je surjektivní zobrazení a Im tp + Ker ý = V. [7.1.B15]. Nechť V, V jsou dva vektorové prostory nad T takové, že je dim V > dim V. Nechť dále p : V —» V, tp : V —+ V jsou lineární zobrazení. Dokážte, že pak zobrazení ip o tp není injektivní a není surjektivní. [7.1.BIG]. Nechť tp : V —* V je lineárni zobrazení a nechť W je pod-prostor ve V'. Označme : -f7={xGV|^(x)G W}. Dokážte, že H je podprostor vektorového prostoru V". 'j 154 II. Cvičení - Kap. 7: Lineárni zobrazení §2: LINEÁRNÍ TRANSFORMACE A JEJÍ MATICE [7.2.A1]. U.p. lineární transformace

(u3) = u2. Potom: a) nalezněte bázi

((0,1,2)) = (1,1,-1), tp ((1,0,0)) = (2,1,2); ux = (1,0,0) , u2 = (0,1,0) , 113 = (0,0,1) b) V = R3, ^((2,4,1)) = (0,5,1), y>((-l,3, -2)) = (-5,1,1), ^»((3,-1,4)) = (7,3,-1); ux =(1,2,1) , u2 = (2,l,l) , u3= (1,1,2) c) v = R2[x], vp(x2+x+1) = x2 + x, ^(x + l) = 4x2 + 3x + 6, (p(x2 + 1) = 2x2 + x + 3; Ul = 2x2 + 2x + 3 , u-, = 2x2 + 4x + 5 , u3 = x2 + 3x + 3 . 156 II. Cvičení - Kap. 7: Lineární zobrazení [7.2.B6]. Je dána pevná matice A G Mat22(R) tvaru: A 1 1 1 1 Definujeme dvě zobrazení tp, resp. rp : Mat22(R) —* Mat22(R) takto: (p(X)-A-X, resp. rp (X) = X ■ A , pro V X G Mat22(R) -Potom: a) dokažte, že 1 0 [7.2.B7]. Definujeme zobrazení

(/(*)) = /'(*) . resp. V(/(*)) = x-/'(x), pro V/(z) G R„[z] kde /'(z) značí derivaci polynomu /(z). Potom: a) dokažte, že ((2,-l,0)) = (1,-3,-1) , y>((1,2,3)) = (3,7,13) ; u = (1,3,5) b)

{(xi,x2)) = (xi, xi + 3x2) -Potom: a) definujte lineární transformaci tp + xp , resp.

p b) nalezněte matici lineární transformace tp , resp. xp , resp. tp + xp , resp. tpo x>>, resp. v'' ° 9, resP- 3 ■ v? v bázi ui = (1,2), u2 = (2,3). [7.2.B14]. Nechť tp, xp jsou lineární transformace vektorového prostoru R2 takové, že

2. Pak: a) dokážte, že je-li alespoň jedna z matic A, B regulární, pak matice A - B & matice B ■ A jsou podobné b) rozhodněte, zda předchozí tvrzení platí i v případě, že obě matice A, B jsou singulární. [7.2.B24]. Je dána matice A £ Mat„n(T). Určete charakteristický polynom matice A a nalezněte jeho kořeny (ležící v T), je-li: a) T = R , A = c) T = R , A - -5 4 2 1 3 b) T = K , A = d) T = R , ,4 = 2 -5 1 4 0 2 1 -2 0 3 -1 -3 0 [7.2.B25]. Nechť A — (oy) € Matnn(T) je horní trojúhelníková matice (tzn. platí a;j — 0 pro i > j ). Dokážte, že pak diagonální prvky matice A jsou kořeny jejího charakteristického polynomu. [7.2.B26]. Nechť je dána matice A £ Mat„n(T). Dokažte, že matice A a k ní transponovaná matice A' mají stejné charakteristické polynomy. §3: VLASTNÍ VEKTORY A VLASTNÍ HODNOTY LINEÁRNÍ TRANSFORMACE [7.3.AI]. U.p. podprostoru W ve vektorovém prostoru R4 tak, aby W byl invariantním podprostorem vzhledem ke každé lineární transformaci prostoru R4. [7.3.A2]. U.p. lineární transformace p vektorového prostoru Rjfx] tak, aby každý podprostor v R)[z] byl invariantní vzhledem k tp. [7.3.A3]. U.p. lineární transformace tp vektorového prostoru R 2 tak, aby jedinými invariantními podprostory vzhledem k ip byly triviální podprostory. [7.3.A4]. U.p. nenulové lineární transformace p vektorového prostoru R3 tak, aby podprostor W — [(1,2,3), (4,5,6)] by! invariantní vzhledem k (p. §3: Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace 161 [7.3.A5]. U.p. lineární transformace tp vektorového prostoru R3 a invariantních podprostoru W\, W2 tak, aby jejich součet W\ + W2 nebyl invariantním podprostorem vzhledem k tp. [7.3.A6]. U.p. vektorového prostoru V a jeho lineární transformace

3 ťn € T :

2. Nechť dále Aj je vlastní hodnota lineární transformace tp, resp. A2 je vlastní hodnota lineární transformace tp. Ukažte, že potom číslo (Ai + A2) nemusí být vlastní hodnotou lineární transformace tp + tp . 164 II. Cvičení - Kap. 7: Lineární zobrazení §4: ORTOGONÁLNÍ ZOBRAZENÍ, ORTOGONÁLNÍ MATICE Úmluva. Všude v této kapitole, ve všech příkladech o euklidovském prostoru R" se předpokládá (není-li výslovně řečeno jinak), že skalární součin je v prostoru R" definován "obvyklým způsobem", tzn. pro vektory u= (mi,m2,...,u„), v = (vi,v2,...,v„) je U • v = ui vi + u2 "2 h-----hunt)„ . [7.4.AI]. U.p ortogonálního zobrazení

R3, kde /((xi,x2)) = (0, xi, xi + x2). [7.4.B2]. Nechť V , V jsou euklidovské prostory, nechť ip : V —* V je zobrazení s vlastností: u • v = y>(u) • p(v) pro Vu,v€V. Dokažte, že potom f je lineární zobrazení. (Návod: dokazujte, že: (V?(u + v)-p(u)-y>(v))2 = 0 A (y>(i-u)-z-^(u))2=0 pro libovolné u ,v £ V a libovolné t £ R.) [7.4.B3]. Ukažte, že zobrazení f> : R" —► R" (kde n > 2) s vlastností: II u II = 11V (u) II proVu€R" nemusí obecně být lineárním zobrazením. [7.4.B4], Nechť V, V jsou euklidovské prostory, nechť tp : V —*■ V je zobrazení, splňující podmínky: (i) |Mu)-*p(v)|| = ||u-v|| pro Vu,v€ľ (ii) H y (o) || = 0 Dokažte, že potom tp je lineární zobrazení. (Návod: nejprve dokazujte, že ||^(u)|| = ||u|| , potom dokazujte, že ip (u) • tp (v) = u • v a využijte výsledku cvičení [7.4.B2].) 166 II. Cvičení - Kap. 7: Lineární zobrazení [7.4.B5]. Nechť Ui,...,u„ je báze euklidovského prostoru V a nechť tp je lineární transformace prostoru V taková, že pro vektory této dané báze platí u; uj = v2 — \ e ',6 ' 6/' v3 = (0,f,-f) b) u^d.i.-f), u2 = (I,|,^), U3 = (f,-f,0) vi =(72-72'°)' V2 = ("73' Ta' 7ä>' V3 = (7š' -7Š • Tá)- 168 III. Výsledky a návody k řešení 169 iii. výsledky a návody k reseni KAPITOLA 1: OPAKOVÁNÍ A DOPLNĚNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY §1: ZÁKLADNÍ LOGICKÉ POJMY [1.1.AI]. Neexistuje. [1.1.A2]. Neexistuje. [1.1.A4]. Neexistuje. [1.1.A6]. Neexistuje. * * * [1.1.Bl]. a) není výrok, b) je výrok, nepravdivý, c) není výrok, d) není výrok. [1.1.B2]. a) A => -.C, b) (-i A A B) ==> C, c) -iB => {->A V -.C), d) B <=> (-.A A ->C). [1.1.B3]. A nepravdivý výrok, B pravdivý výrok, C nepravdivý výrok; dále je: a) pravdivý výrok , b) nepravdivý výrok , c) pravdivý výrok , d) pravdivý výrok. [1.1.B4]. Návod: sestrojte tabulky pravdivostních hodnot pro oba výroky. [1.1.B5]. a) implikace, b) konjunkce. [1.1.B6]. Návod: důkazy veďte tak, že vždy sestrojíte tabulku pravdivostních hodnot. [1.1.B7]. Obor pravdivosti dané výrokové formy je: a) (-2,|), b)0, c) (-oo.l) U (3,oo), d) R. [1.1.B8]. a) "Nenapsal to ani Petr ani Pavel" , b) "Dnes nebude pršet nebo zítra bude svítit slunce" , c) "Budu se učit a zkoušku z algebry neudělám" , d) "Budu mít volno a nepůjdu ani do kina ani do divadla". [1.1.B9]. a) "Existuje kulička ležící na tomto stole, která je modrá" , b) "Žádné celé číslo není sudé nebo alespoň jedno celé číslo je liché" , c) "Existují kladná reálná čísla r,s tak, že r > r-s" , d) "Pro všechna celá čísla ti,... ,tn , z nichž alespoň jedno je různé od nuly, platí, že i\ + ■ —h tn ^ O " , e) "Existují přirozená čísla Oi,...,a„ , kde n > 5 a alespoň jedno z těchto čísel je větší než 5 , tak, že a\ + • —h on < 10 " , f) "Pro všechna ryze imaginární čísla z\, Zi, 23 platí, že součin Z\-Zi-z$ není číslo reálné". [1.1.Bil]. Návod: při přímém důkazu řešte a) i b) zvlášť pro n sudé a zvlášť pro n liché. Přitom u b) si uvědomte, že na levé straně je n sčítanců. [1.1.B14]. Návod: uvědomte si, že v 1.kroku matematické indukce je nutné dokázat daný vztah pro n = 1 a n — 2 (proč?). [1.1.B15]. Návod: použijte vztah, plynoucí z definice: "n+s = U„+(*-l) + «n+(»-2) (kde s > 3) ; v 1.kroku matematické indukce se pak ověřuje dokazovaná rovnost pro s = 1,2. §2: ZÁKLADNÍ MNOŽINOVÉ POJMY [1.2.A5]. Neexistuje. [1.2.A7]. Neexistuje. [1.2.A9]. a), d), f), i), j) jsou pravdivé, resp. b), c), e), g), h) jsou nepravdivé. [1.2.B3]. Návod: a) důkaz "C" veďte nepřímo, tzn. dokazujte implikaci 00 00 00 x i f! An U n 5" => x<£ C}(AnUBn) . n=l n=l n-1 [1.2.B4]. Návod: část b) dokazujte sporem, tzn. předpokládejte, že x E f] Ap . Uvědomte si přitom, že prvočísel je nekonečné mnoho. Při důkazu c) sestrojte číslo, které leží v f] Ap , kde J = {pi, ,.. , pjt} píJ je konečná množina prvočísel. [1.2.B8]. Návod: využijte toho, že pro 0 < t < n existuje v množině A právě (") !-prvkových podmnožin. Použijte binomickou větu. 170 III. Výsledky a návody k řešení III. Výsledky a návody k řešení 171 [1.2.B9]. a) X = {a, d} , X = {a, c, d) , b) neexistuje. [1.2.B11J. AxB = {(l)3))(l,7))(2,3))(2,7),(3J3)l(3J7)}, Bx2B = = {(3,0), (3, {3}), (3, {7}), (3, {3,7}), (7,0), (7, {3}), (7, {7}), (7, {3,7})} a podobně pro zbývající kartézské součiny. §3: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI CELÝCH ČÍSEL [1.3.A2]. Neexistuje. [1.3.A4]. Neexistuje. [1.3.A7]. Neexistuje. * * * [1.3.B1]. a) q = 0, r = 0, b)g=-l, r = 2, c)g=-4, r = 3, d)g=—5, r = 8, e) g = n—1, r = 2, f)g = n2-n, r = n—l. [1.3.B2]. Návod: a) vyšetřujte zvlášť pro a sudé a zvlášť pro a liché. Při důkazu b) použijte výsledku získaného v a). [1.3.B3]. Zbytek může nabývat pouze hodnot: 0,1,4,9. [1.3.B4]. a) ano, b)ne, c)ne, d) ano. [1.3.B6]. Návod: podle potřeby použijte Větu 3.3. kapitoly I. (zejména část (iii)), nebo Větu 3.1., kapitoly I. [1.3.B7]. 2 (neboť výpočtem dostaneme, že: 380 = 1 (mod 100), resp. 780 s 1 (mod 100)). [1.3.B9]. Návod: důkaz veďte sporem, tzn. předpokládejte , že: (p — 1)! = —1( modp) a p je složené číslo tj. p = a-b, kde 1 3 . Návod: pro n > 3 upravujte: 10" + 8 = 8 • (10"-3.-125 +. 1) = 8 • ((10n-3 - 1)-125 + 126) a využijte toho, že 91126, resp. že 9 | (10n~3 — 1) jak vyplývá z předchozího cvičení [1.3.B13]a). [1.3.B15]. Návod: a) v důkazu využijte toho, že lze psát: 122n+i _ i44-i22»-i _ (U + 133)-122"-1. b) v důkazu využijte toho, že pro n > 4 lze psát: 2"+ 1 = 2"+ 8- 7 = 8- (2n~3 + 1) - 7 . V 1.kroku matematické indukce potom ověřujeme zadaný vztah pro n = 1,2,3. §4: RELACE [1.4.A1]. a) 224 , b)l, c)29, d) 281. [1.4.A7]. Neexistuje. * * * [1.4.B2]. a) relaci g zapíšeme např. takto: g = {(x,y) I (x = 3 a y G N libovolné) V (x > 50, sudé a y liché)}. Při b), c), d) postupujeme podobně. [1.4.B3]. Relace a o g a g o u jsou tvaru : a o g = {(z, y) \ y = -3z2-l V y = 9z4+6x2-2 , pro Vz £ Z } , gocr= {(a, b) | b = 3a2+l V b = 3a4-18a2+28, pro V a G N } . [1.4.B4]. Návod: a)>^4 dokazujte jako množinovou rovnost. [1.4.B5]. Návod: a), b) dokazujte jako množinovou rovnost. [1.4.B6]. a) celkem 16 relací, b) celkem 13 relací, c) 3 relace: {(a, b), (b, a)} , {(a, b), (b, a), (a, a)} , {(a, b), (b, a), (b, b)} . d) všechny relace z c) a navíc relace {(a, b), (b, a), (a, a), (b, b)} . [1.4.B7]. Daných relací je celkem: n(n+l) n(n-l) a) 2"("-1) , b) 2 2 , c) 2"- 3"~~r , n(n-l) n(n-l) nfn-1) d) 3~2 , e) 2 2 , f) 3"^ . [1.4.B8]. Relace g4 neexistuje. [1.4.B9]. Relace í? je: a) symetrická, tranzitivní, b) symetrická, c) reflexivní, antisymetrická, d) reflexivní, symetrická. [1.4.B10]. Relace g je: a) antisymetrická, b) reflexivní, symetrická, tranzitivní, c) antisymetrická, tranzitivní, d) reflexivní, tranzitivní, úplná. 172 III. Výsledky a návody k řešení [1.4.B11]. Relace q je: a) symetrická, b) symetrická, resp. je-li A jednoprvková, pak je též antisymetrická a tranzitivní, c) antisymetrická, tranzitivní, resp. je-li A jednoprvková, pak je též reflexivní a úplná, d) reflexivní, symetrická, tranzitivní, resp. je-li A jednoprvková, pak je též antisymetrická. §5: ZOBRAZENÍ [1.5.A2J. b) neexistuje. [1.5.A5]. a) k = 2,3,4, b) k > 3. * + * [1.5.BI]. Zadaný předpis /: a) neurčuje zobrazení b) určuje zobrazení c) neurčuje zobrazení d) neurčuje zobrazení [1.5.B2]. Po nakreslení obrázku dostanete: a) celkem 8 zobrazení, z toho 6 surjektivní ch, žádné injektivní, žádné bijektivní, b) celkem 9 zobrazení, z toho 6 injektivních, žádné surjektivní, žádné bijektivní. [1.5.B3]. a) AB = {/} , přičemž zobrazení / je definováno: /(*) = «. /(y) = °, f(z) = a; BA = {f, g, h} , kde zobrazení / , resp. g ,resp. h jsou definována: f (a) = z , resp. g(a) = y, resp. h(a) = z b) AB = {/, g, h, k) , přičemž tato zobrazení jsou definována: i'(*) = x > f (y) = x g(x) = y, g(y) - y h(z) = x , h(y) = y k(z) = y, k(y) = z BA = AB . [1.5.B5]. Zadané zobrazení / : a) je injektivní, není surjektivní, b) je injektivní, není surjektivní, c) není injektivní, je surjektivní, d) je injektivní, je surjektivní, e) není injektivní, je surjektivní, f) je injektivní, není surjektivní. III. Výsledky a návody k řešení 173 [1.5.B6]. Zadané zobrazení /: a) není injektivní, je surjektivní, b) je injektivní, je surjektivní, c) není injektivní, není surjektivní, d) není injektivní, není surjektivní, e) je injektivní, není surjektivní, f) není injektivní, je surjektivní. [1.5.B7]. Zadané zobrazení /: a) není injektivní, není surjektivní, b) je injektivní, není surjektivní, c) není injektivní, není surjektivní, d) je injektivní, je surjektivní, e) je injektivní, je surjektivní, f) není injektivní, je surjektivní. [1.5.B8]. a) pro s ^ n žádné bijektivní zobrazení, resp. pro s — n celkem n! bijektivních zobrazení, s' b) pro s < n žádné injektivní zobrazení, resp. pro s > n celkem--— injektivních zobrazení. [1.5.B10], Návod: a) při důkazu " =3> " zkonstruujeme hledané zobrazení g : B -+ A např. takto: jestliže prvek b G B má pri zobrazení / vzor (uvědomte si, že musí být jediný), pak tento vzor označíme symbolem b*. Dále, nechť ao značí libovolný pevný prvek z A. Zobrazení g : B —* A pak definujeme: {b* má-li prvek 6 při zobrazení / vzor ao nemá-li prvek b při zobrazení / vzor Při důkazu " => " v b) postupujeme obdobně, tzn. pro každé b £ B označíme symbolem 6* jeden (pevný) vzor prvku b při zobrazení /. Pak zobrazení h : B —► A definujeme: ň(6) = b*, pro každé b E B . [1.5.B13]. (/ o g)(z) = 6z + 1 , (50 /)(z) = 6z - f , (/ o g)-i(z) = (g-> o /-i)(z) = I(x - 1) , f-\x) = I(* + 4) , (9 o f)'1 (x) = (Z"1 o ,-»)(«) = i(3z + 19) , = J(3* - 5) ■ [1.5.B15]. Návod: při b) ukažte, že z podmínky zadání plyne: /(/(/(-'))) = /(/("/(*))) a použijte dvakrát injektivnost zobrazení /. Při c) dokazujte nejprve "<=" (s využitím b)), a pak "=>" (s využitím již dokázaných vlastností, že: /(O) = 0 a / je injektivní). §6: USPOŘÁDANÉ MNOŽINY [1.6.A3]. Neexistuje. [1.6.A5]. Neexistuje. [1.6.A8]. Neexistuje. A * A 174 III. Výsledky a návody k řešení [1.6.B1]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (M,g) je tvaru: a c d b) a o d i> q c 6 b [1.6.152]. Relace g je zadána takto: a) g = {(a, a), (b, 6), (c, c), (d, d), (6, a), (b, d), (c, a), (c, d), (a, d)} , b) g={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, c) g = {(a, a), (6,6), (c, c), (d, d), (fc, d), (c, d)} , d) P = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, a), (c, d), (c, 6), (a, d), (a, í>), (d, 6)} [1.6.B3]. Na dané množině M lze definovat: a) 3 relace uspořádání, hasseovské diagramy jsou tvaru: 9 b a) o o a b o a 6 b b) 19 relací uspořádání, hasseovské diagramy jsou tvaru: b ) platí: a) je uspořádaná množina, ale není lineárně uspořádaná množina, b) není uspořádaná množina, c) není uspořádaná množina, d) je lineárně uspořádaná množina. Hasseovské diagramy u uspořádaných množin je možno schematicky znázornit takto: a) d) 6 4 2 176 III. Výsledky a návody k řešení [1.6.B7J. Pro množinu s relací (Z, o) platí: a) není uspořádaná množina, b) je lineárně uspořádaná množina, c) není uspořádaná množina, d) je uspořádaná množina, není lineárně uspořádaná množina. Hasseovské diagramy u uspořádaných množin je možno schematicky znázornit takto: b) -2 -1 0 1 2 4 2 0 -2 -4 • o -3 o o -1 1 [1.6.B8]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (M, g) je tvaru: [1.6.B9]. Hasseovský diagram uspořádané množiny (R, q) je možno schematicky načrtnout takto: -3 + -2 -1 3 -- 1 -- o 0 III. Výsledky a návody k řešení 177 [1.6.Bil], a) pro uspořádané množiny ze cvičení [1.6.B2] platí: [1.6.B2]a): nejmenší prvek nemá, minimálními prvky jsou fc,c, největším a zároveň jediným maximálním prvkem je d, [1.6.B2] b): nejmenší ani největší prvek nemá, minimálními a zároveň maximálními prvky jsou a,b,c,d, [1.6.B2]c): největší ani nejmenší prvek nemá, minimálními prvky jsou a,6,c, maximálními prvky jsou a,d, [ 1.6.B2] d): nejmenším a zároveň jediným minimálním prvkem je c , největším a zároveň jediným maximálním prvkem je b; b) pro uspořádané množiny ze cvičení [1.6.B6] platí: [ 1.6.B6] a): nemá nejmenší prvek, minimálními prvky jsou všechna přirozená čísla různá od 4, největším a jediným maximálním prvkem je číslo 4, [ 1.6.B6] d): nemá největší ani maximální prvek ; nejmenším a zároveň jediným minimálním prvkem je číslo 1; c) pro uspořádané množiny ze cvičení [1.6.B7] platí: [1.6.B7]b): nemá minimální, maximální, nejmenší ani největší prvek, [1.6.B7]d): nemá nejmenší ani největší prvek, minimálními prvky jsou všechna lichá celá čísla a maximálními prvky jsou rovněž všechna lichá celá čísla. d) uspořádaná množina ze cvičení [1.6.B8] nemá největší prvek, maximálními prvky jsou fa a /g , nejmenším a zároveň jediným minimálním prvkem je f\ . [1.6.B12]. Návod: důkazy veďte sporem . [1.6.B13]. b) neplatí. [1.6.B14]. b) hasseovský diagram uspořádané množiny (M, o) je tvaru : {1.2} 178 III. Výsledky a návody k řešení [1.6.B15]. Hasseovské diagramy uspořádaných množin z c) a d) jsou tvaru : (při c) si sami doplňte popis jednotlivých prvků) c) d) §7: EKVIVALENCE A ROZKLADY [1.7.A1]. Jediná relace, a to relace rovnosti. [1.7.A4]. Neexistuje. [1.7. A7j. b) neexistuje. [1.7.A8]. Pro m = 1,2,7,14. [1.7.B1]. Relace g na množině M: a) není ekvivalencí, b) je ekvivalencí, přičemž rozklad M/g = { {a, b, d], {c} } . [1.7.B2]. Na množině M lze utvořit celkem: a) 2.rozklady , b) 5 rozkladů , [1.7.B3]. Tabulka relace ~n je tvaru: c) 15 rozkladů. u v X y z u v X y z tí 1 0 0 0 0 u 1 0 0 i 0 0 1 0 i 0 v 0 1 1 0 1 x 0 0 1 0 0 b) X 0 1 1 0 1 y 0 1 0 i 0 y 1 0 0 1 0 z 0 0 0 0 1 z 0 1 1 0 1 [1.7.B4]. b) Rozklad M/g (tj. rozklad na množině M, příslušný ekvivalenci g) je tvaru: { {1,10}, {2,11,20}, {3,12}, {4,13}, {5,14},..., {8,17}, {9,18}, {19} }. III. Výsledky a návody k řešení 179 [1.7.B5]. Daná relace g: a) není ekvivalencí, b) je ekvivalencí c) není ekvivalencí, d) je ekvivalencí. [1.7.B6]. Rozklad Z/g (tj. rozklad na množině Z , příslušný ekvivalenci g) je tvaru : a) Z/g = Z4 , tj. množina zbytkových tříd podle modulu 4, b) Z/g = {C0, Ci U C6 , C2 U C5 , Cs U C4} , kde C,- G Z7 , c) Z/g = { {-l+k, -l-k} \ k>0 celé } , d) Z/g — {S,L} , kde S, resp. L značí množinu všech sudých, resp. všech lichých celých čísel. [1.7.B7]. Rozklad RxR/f> lze nakreslit takto: a) všechny přímky rovnoběžné s osou y, b) navzájem rovnoběžné přímky tvaru y — 2x + k , pro Vfc G R, c) počátek a všechny kružnice se středem v počátku, d) bod S[— 5, — |] a všechny kružnice se středem v bodě S. [1.7.B8]. Zadaný systém podmnožin M : a) je rozkladem na R, přičemž relace ~m je definována: x ~m V [x] = [y], kde [x], resp. [y] značí celou část čísla x , resp. y, b) není rozkladem na R, c) je rozkladem na R, přičemž relace ~» je definována: x~My (x = y = 0) V (x,y>0) V (a;,y<0), d) je rozkladem na R, přičemž platí: ~m = R x R. [1.7.B13]. Rozklad (na množině A) příslušný zobrazení / je tvaru: a) M - {{a,c,d},{b,e}}, b) M = {(k,k+1) |fcGZ}, c) M = { {-k+l, -k+2) U (k-l, k) I k G N } , d) M = { {0} , {X C N I X ž 0 konečná} , {X C N | X nekonečná} } . [1.7.B14]. b) např. 71= { {x} | x G M} , c) rozkladem príslušným zobrazení / je výchozí rozklad 71. 180 III. Výsledky a návody k řešení KAPITOLA 2: ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY §1: STRUKTURY S JEDNOU OPERACÍ [2.1.A1]. Celkem 39 = 19.683 různými způsoby. [2.1.A6]. Neexistuje. [2.1.A9]. Neexistuje. * * * [2.1.B1]. a) ne, b) ano, c)ne, d)ne, e)ne, f) ne. [2.1.B2]. a) není komutativní, je asociativní, nemá neutrální prvek, b) je komutativní, není asociativní, prvek b je neutrálním prvkem. [2.1.B3]. a) není komutativní, je asociativní, nemá neutrální prvek, b) je komutativní, není asociativní, neutrálním prvkem je 0, c) je komutativní, není asociativní, nemá neutrální prvek, d) je komutativní, je asociativní, nemá neutrální prvek, e) je komutativní, je asociativní, neutrálním prvkem je 24, f) je komutativní, není asociativní, nemá neutrální prvek. [2.1.B4]. a) celkem 5 součinů tvaru : a-(b-(c-d)), a.((b.c)-d), (a-b){cd), (a.(b-c))-d, ((a*)-c)-d , [2.1.B5]. b) je-li množina G jednoprvková, pak (G, o) je komutativní pologrupa, která má neutrální prvek. [2.1.B6]. a) neutrální prvek je 0; inverzním prvkem k 0 (resp. -2) je 0 (resp. -2), k ostatním prvkům inverzní prvky neexistují, b) neutrální prvek je 1; inverzní prvek k x ^ 0 je číslo resp. k 0 inverzní prvek neexistuje, c) neutrální prvek je 3; inverzním prvkem k 3 je 3, resp. k libovolnému číslu x ^ 3 jsou inverzními prvky všechna celá čísla s výjimkou 3. [2.1.B7]. a)e = 0; resp. O-1 = 0, 2"1 = 2, b) e = 0 ; resp. pro a ú 1 je a~l — —-— a — 1 c) e = Ci; resp. Cf1 = Ci, C^1 = C5 , d) e = Ci; resp. Cf1 = Ci, C^ = C4, Cšl = Cb, C4_1 = C2 , C5 1 = C3 , C6 1 = Ce ■ III. Výsledky a návody k řešení 181 [2.1.B9]. Zákony o dělení, resp. zákony o krácení: a) platí, resp. platí, b) neplatí, resp. neplatí, c) neplatí, resp. platí, d) neplatí, resp. neplatí. [2.1.BIO]. Návod: v důkazech využijte toho, že platnost zákonů o krácení je ekvivalentní podmínce: a 7^ 6 => x-a 7^ x-b A a-x^b-x. [2.1.Bil]. Návod: při b) je zřejmě nutno vymyslet příklad tak, aby (G, •) nebyla pologrupa (proč?). Uvažte např. (Z,*) , kde operace * je definována: f a + b-l je-li a > 0 A 6 > 0 \ a + b je-li a < 0 V 6 < 0 [2.1.B12]. a) tabulka operace je symetrická podle hlavní diagonály, b) v tabulce existuje řádek, v němž se opakuje vodorovné záhlaví a sloupec, v němž se opakuje svislé záhlaví, c) v každém řádku a sloupci tabulky se vystřídají všechny prvky, d) totéž jako v c). [2.1.B13]. Celkem 6 tabulek (nutno vypsat !). Návod : uvědomte si, že v tomto případě je zápisem 1.řádku tabulky již jednoznačně určen zbytek tabulky (proč?) . [2.1.B14]. a) 35 = 243 způsobů, b) 9 způsobů, c) 9 způsobů, d) 1 způsob (Návod : v tomto případě, po doplnění tabulky plynoucím z komutativity, vyšetřujte nejprve součiny z-(x-x) a (z ■ x) ■ x .) , e) 1 způsob, f) žádný způsob . [2.1.B15]. Návod: dokazujte implikace : " (i) (ii)" , " (ii) (iii)" a "(iii)=^(i)". [2.1.B18]. Návod: při důkazu postupujte analogickým způsobem jako v řešeném Příkladu 13 z kapitoly I. [2.1.B19]. a) ano, b)ne, c) ne, d)ano, e)ano, f) ano. [2.1.B20]. a) tabulka operace 4- má tvar: + (Co, Co) (C0l Ci) (Ci, Co) (Ci Ci) (Co, Co) (Co, Co) (Co, Ci) (Ci, Co) (Ci Ci) (G0,Gi) (Co, co (Co, Co) (Ci, Ci) (Ci Co) (GlCo) (Ci, Co) (Ci, Ci) (Co, Co) (Co Ci) '(C7i, Ci) (Cl Ci) (Cl Co) (Co, Ci) (Co Co) 182 III. Výsledky a návody k řešení [2.1.B21]. Návod : uvědomte si, že /,- (1 < i < 6) je bijekce a sestrojte tabulku operace. Z asociativity skládání zobrazení a z této tabulky pak plyne tvrzení. [2.1.B22]. a) tabulka operace o na množině Z2xZ2xZ2 má tvar: 0 (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) (0,0,1) (0,0,1) (0,0,0) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (1,0,0) (0,1,1) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,1) (0,0,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (0,1,1) (0,1,1) (0,1,0) (1,0,1) (1,0,0) (1,1,1) (1,1,0) (0,0,1) (0,0,0) (1,0,0) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,0) (0,1,1) (0,1,0) (0,0,1) (0,0,0) (1,1,1) (1,1,0) (1,1,0) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (0,0,0) (0,0,1) (1,1,1) (1,1,1) (1,1,0) (0,0,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,1,0) (1,0,1) (1,0,0) Návod: pri c) uvažte množinu G — Z^ = Zm x ... x Zm (s-krát) a definujte na ní operaci podobným způsobem jako v zadání. [2.1.B23]. Daná pologrupa (G, o) a) je komutativní grupou, b) není grupou, c) není grupou, d) je nekomutativní grupou. [2.1.B26]. (G,*) je grupa. [2.1.B27]. Návod: při a) vyjděte z toho, že pro libovolné x,y 6 G platí: (x-y) - (x-y) = e = e ■ e = (x-x) ■ (y-y). §2: PODSTRUKTURY STRUKTUR S JEDNOU OPERACI [2.2.AI], b) neexistuje. [2.2.A2]. Neexistuje. [2.2.A7]. b) neexistují. [2.2.A8]. a) neexistuje. [2.2.B1]. a) ano, b) ne , [2.2.B2]. Platí, že (H,-): a) je podgrupoid, c) je podgrupoid , & 4» c) ne , d) ne. b) není podgrupoid, d) je podgrupa. III. Výsledky a návody k řešení 183 [2.2.B3], V grupoidu (G, ■) existuje celkem: 6 podgrupoidů, a to : (G, •), ({a,6,c},-), ({a,d},.), ({i,c},.), ({a},-), ({*>},•), 4 podpologrupy, a to: ({a,d},), ({6,c},-), ({a},-), ({&},•)> 3 podgrupy, a to : ({6,c},-), ({a},-), ({&},•)> [2.2.B5]. Návod: při a) uvažte v grupoidu (N,+) dva libovolné pod-grupoidy (Bi,+) , (#2,+) a pevné prvky x G E\ , y € H2 ■ Vyšetřujte pak prvek z • y . Při b) např. pro libovolné prvočíslo p označte HP = {P° |o€N) a vyšetřujte pak podgrupoidy (Hp,-) pro všechna prvočísla p. [2.2.B6]. Návod: uvědomte si, že a) lze přeformulovat do tvaru : (H, o) je podgrupoid v (G, o) <*=> 3 i € N tak, že : H = H{. Dále, jestliže jsme již dokázali část a), pak c) lze zřejmě přeformulovat do tvaru: je-li í^iCN; pak p| H{ je podgrupoid v (G, o) <=í> I je konečná množina. [2.2.B8]. a) ano , b) ne , c) ano , d) ano. [2.2.B9]. Platí, že (Jí, o) a) je komutativní podgrupa, b) je komutativní podgrupa, c) je nekomutativní podgrupa, d) není podgrupa. [2.2.B12]. Propodgrupu ((M),+) platí: a)(M) = {0}, b)(M) = Z, c) (M) = 3-Z, d) (M) = Z. [2.2.B17]. a) množina G má 33 = 27 prvků, c) (#1,0), (#3, o) nejsou podgrupy ; (H2,o) je podgrupa, d) neexistuje. Návod : zkoumejte prvky tvaru g o g , pro každé g G G. e) (Jí, o), kde H = {e,z,(C1,C1,Cr)}. [2.2.B18]. Návod: při důkazu rozlište případy H - {C0} a H ý- {Co} . Ve druhém případě lze zřejmě množinu H zapsat ve tvaru: H = {Cil,Ci3,...,Ci.} , kde 0 = ii <í2 <••<»",. Pak položte: i2 = k a dokazujte, že: k \ m A H = Hk ■ Při důkazu postupujte běžným způsobem, tzn. využijte např. Větu 2.3.(ii), kapitoly II. 184 III. Výsledky a návody k řešení [2.2.B19]. a)2podgrupy: (Z3,+), ({0»},+), b) 4podgrupy: (Z8,+), ({C0, C2, C4, C6}, +), ({C0,C4},+), ({Co},+), c) 6podgrup: (Z12l+), ({C0, C2, C4, C6, C8, C10), +), ({Co,C3,C6,C9},+), ({C0,C4,C8},+), ({C0,C6},+), ({C0},+), d) 4podgrupy: (Z21,+), ({C0, C3, C6, C9, C12, C15, C18},+), ({G>,C7,C14},+), ({$>},+). Hasseovský diagram uspořádané množiny (?ť, C) je tvaru (doplňte si označení jednotlivých prvků !) : [2.2.B20]. a) (M) = {C0} , b) (M) = {C0}, c) (M) = {Co, C3, Cs, C9] , d) (M) = {Co, C3, C6, C9}. [2.2.B21]. a)3podgrupy: (Z5-{C0},-), ({Ci,C4},-), ({Ci},-), b)4podgrupy: (Z7-{C0},-), ({C1; C2, C4), •), ({C^Q},-), ({Cj},-)-Hasseovský diagram uspořádané množiny (V, C) je tvaru (doplňte si označení jednotlivých prvků !) : §3: STRUKTURY SE DVĚMA OPERACEMI A JEJICH PODSTRUKTURY [2.3.A3]. Neexistuje. [2.3.A4]. Neexistuje. [2.3.A7]. Neexistuje. * * * III. Výsledky a návody k řešení 185 [2.3.B1]. a) ano , b) ne , c) ano , d) ano. [2.3.B2]. Platí, že (Ař,0,o) a) je okruh , b) není okruh , c) je obor integrity, d) není okruh , e) je těleso , f) není okruh. [2.3.B4]. Návod: rozepsáním se ukáže, že v obou případech dostaneme komutativní okruh s jedničkou (1,0), přičemž nulou je (0, 0). Při hledání dělitelů nuly si uvědomte, že je-li (a,6) #(0,0) A (a,i).(x,t/) = (0,0), pak pro a, i € Q je vždy 2b2 — a2 # 0 (proč?), kdežto pro a, b £ R může být 2b2 — a2 — 0. Toho pak využijte při výpočtu (x, y). [2.3.B5]. a) tabulka zadané operace + na množině Z2 x Z2 je uvedena ve výsledku cvičení [2.1.B20] a), resp. tabulka operace • je tvaru : (Co, Co) (Co, Ci) (Ci, Co) (Ci, Ci) (Co, Co) (Co, Co) (Co, Co) (Co, Co) (Co, Co) (C0,d) (Co, Co) (Ci, Ci j (Co.d) (Ci, Co) (Cl5C0) (Co, Co) (Co, d) (d.Co) (Ci, Ci) (Ci,d) (Co, Co) (Ci, Co) (Ci, Ci) (C0,C,) [2.3.B15]. b) děliteli nuly v okruhu (AÍ,©,o) jsou všechny nenulové prvky tohoto okruhu, c) platí, že (5, ©, o) a) je podokruhem , J3) není podokruhem , 7) je podokruhem, 6) není podokruhem . [2.3.B16]. a) x neexistuje, y = 0, z = 5, b) x = 2, y = 5, z = 3. [2.3.B17]. Dostáváme: a) podokruhy: (Z9,+, •), resp. ({C0, C3, C6},+•■)> resP- ({C0},+, ■); žádné podtěleso; b) podokruhy: (Zi0,+, •). resp. ({C0},+, •) ; podtělesa: ({C0, C2, C4, C6, C8}, +, •), resp. ({C0, C5}, +, •); c) podokruh: ({Co},+,-); podtěleso: (Zn,+,-); d) podokruhy: (Zi2,+,-), resp. ({Cq, C^4, Cg, Cg, Cio}. •), resp. ({C0,C3,C6,C9},+,-), resp. ({C0.C6}, +, •), resp. ({C0},+,-); podtěleso: ({Co, C4, Cg}, +, •) . 186 III. Výsledky a návody k řešení III. Výsledky a návody k řešení 187 [2.3.B18]. Inverzní prvek existuje k těmto prvkům: a) Ci, C2, C4 , Cs , C7, Cg, b) Ci, C3, C7, Ca , c) ke všem nenulovým prvkům, d) Cx, C5 , C7 , Cn . [2.3.B20]. Návod : dokazujte nejprve implikaci " (i) ==> (ii)" , potom implikaci , " (ii) => (iii)" a nakonec implikaci " (iii) => (i)" . Přitom důkaz " (ii) => (iii)" veďte sporem, resp. při důkazu " (iii) => (i)" využijte toho, že pro (i, m) = 1 existují čísla u, v 6 Z tak, že i - u + m • v = 1. Je-li j = u( mod m) A 0 < j < m , dostanete pak, že: C j = C,-1. [2.3.B22]. Návod : při a) důkaz veďte nepřímo. Při b) v důkazu využijte jednak výsledek části a) a jednak výsledek předchozího cvičení [2.3.B21]. [2.3. B23J. Čtvercem jsou tyto prvky: a) Co , Ci, b) Co, Ci, C4, c) Co , Ci, C2 , CA , d) C0 , Ci, C3, C4 , C5 , Cs. [2.3.B26]. a) 0, b) 0, c) 2 , d) 0. [2.3.B27]. Návod: pro r 6 R libovolné počítejte x + x a uvědomte si, že podle předpokladu je: (x + x) = (x + x) • (x + x). [2.3.B28]. Návod: uvědomte si, že platí: m ■ o. = n ■ a (m - n) ■ a = 0 ■ a a dále použijte Větu 3.8.2, kapitoly II. §4: ČÍSELNÁ TĚLESA [2.4.A2]. Neexistuje. [2.4.A3]. Neexistuje. [2.4.A8]. Neexistuje. [2.4.A9]. Neexistuje. * * Ä [2.4.B1]. Návod: vyjděte z předpokladu, že (T, +',-) je číselné těleso takové, že R C T C K a dokazujte, že pak T = K. Přitom nejprve ukažte, že ŕ G T. [2.4.B4]. a) ano, b) ne , c) ne (uvědomte si, že zde je T C Q ), d) ne , e) ne , f) ne, g) ano, h) ano. [2.4.B5]. a) ne, b) ano, c) ne , d) ne, e) ne, f) ano. KAPITOLA 3: VEKTOROVÉ PROSTORY §1: VEKTOROVÝ PROSTOR NAD ČÍSELNÝM TĚLESEM [3.1.A2]. Neexistuje. [3.1.A8]. Neexistuje. 4 * * [3.1.B1]. a) ano, b) ano, c) ne, d) ano. [3.1.B9]. a) ne, b) ano, c) ne , d) ne , e) ne , f) ne. §2: PODPROSTORY VEKTOROVÉHO PROSTORU [3.2.A3]. b) neexistuje. [3.2.A4]. a) neexistuje, c) neexistuje. [3.2.A5]. c) neexistuje, d) neexistuje . [3.2.A9]. b) neexistuje . [3.2.B1]. a) ano, b) ne, c) ne, d) ano. [3.2.B2]. a) ne, b) ano, c) ne, d) ano. [3.2.B3]. a) ne, b) ne, c) ano, d) ano. [3.2.B4]. a) ano, b) ne, c) ne, d) ano. [3.2.B5]. a) ano, b) ne, c; ne, d) ano. [3.2.B6]. aí ano, b) ne, c) ne, d) ano. [3.2.B7]. a} ne, b) ano, c) ano, d) ano. [3.2.B8]. a^ ano, b) ne, c) ne, d) ne. [3.2.B12]. Návod: při a) dokazuje »=>" sporem, tzn. předpokládejte, že Wi U W2 = Wi + W2 a dále, že Wi % W2 A W2 <£ Wi tzn. existuje vektor u G Pv*i - W2 a existuje vektor v G W2 - Wi . Vyšetřujte pak vektor w = u + v . Při důkazu b) pak využijte platnosti a). [3.2.B14], Návod: při b) vymyslete protipříklad napr. v R2 . [3.2.B15]. Návod: při b) vymyslete protipříklad např. v R2 . 188 III. Výsledky a návody k řešení III. Výsledky a návody k řešení 189 [3.2.1310]. a) ano, b) ne , c) ano , d) pro n = 2 ano, resp, pro n > 3 ne, e) ne, f) ano. [3.2.B18]. Návod: uvědomte si, že Wi = {a0 + a2x2 + ■■■ + a2kx2k | k > 0 celé , a,- G R} W2 = {aix + a3x3 + ■■■ + a2t+ix2t+1 \ t > 0 celé , a,- G R} . [3.2.B21]. Daný výrok je podmínkou, která a) není nutná, je dostatečná, b) je nutná, není dostatečná, c) není nutná, není dostatečná, d) je nutná, je dostatečná. [3.2.B23]. Návod: důkaz veďte nepřímo. §3: LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST VEKTORŮ [3.3.A4]. Neexistuje. [3.3.A5]. b) neexistuje. [3.3.A7]. a) neexistuje. [3.3.B1]. a) ano, b) ne. [3.3.B2]. a) ne, b) ano. [3.3.B3]. a) ano, b) ne. [3.3.B4]. Návod: stačí dokázat (proč?), že Ui,U2 G L(u3, u4) a u3,u4 G I(ui,u2). [3.3.BS]. a) pro r = 3 , b) pro každé r G R, c) pro žádné r G R, d) pro r = —1, —2. [3.3.B6]. a) /j] = {r + s- cos x | r, s G R}. [3.3.B7]. Návod: při a) stačí dokazovat (proč?), že: u, u—v, w G L( u, v, w—u) , resp. u, v, w—u G L( u, u—v, w) Při b) stačí dokazovat (proč?), že: u,v,w G L(u+v,u-v,v-w) , resp. u+v,u-v,v-w £í(u,v,w) [3.3.B10]. Návod: uvědomte si, že dokazujete implikaci: J^l = £(Ui,...,UP) A ^2 = i(vi,...,v,) => => W1 + W2 = L(ui,...,ur,v1,...,vs). [3.3.Bil]. Dané vektory jsou lineárně a) nezávislé, b) závislé, c) nezávislé, d) závislé, e) závislé, f) závislé, g) závislé, h) nezávislé. [3.3.B12]. Návod: použijte dennici lineárni závislosti vektorů a proveďte diskuzi vzniklé soustavy 2 lineárních rovnic o 3 neznámých. [3.3.B13]. Návod: při a) si uvědomte, že je-li / £ g , pak 3 X\ G (0,1) tak, že f(xi) jí g(xi) . Dále použijte definici lineární závislosti vektorů, kterou aplikujete na body xo , xi. [3.3.B15]. a) u2 , b) žádný vektor , c) , resp. u3 . [3.3.B16]. a) lineárně závislé pro a = 1,2, jinak lineárně nezávislé, b) lineárně nezávislé pro každé a G R, c) lineárně závislé pro a = 7 , jinak lineárně nezávislé. [3.3.B17]. a) a = 0 nebo 6 = 6, b)a = 6 = c = g,= 0, c) (a = b = 1) V (a = c = 1) V (6 = c = 1), d) a = 0 nebo a = -3 . [3.3.B18]. Dané vektory jsou lineárně a) nezávislé, b) závislé, c) nezávislé, d) závislé. [3.3.B19]. Vektory jsou lineárně nezávislé. §4: BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU [3.4.A2]. a) neexistují. [3.4.A3]. a)n=l,2,3,4, b)n>3. [3.4.A4]. a) s > 6, b) s = 1,2,3,4,5. [3.4.A7]. b) neexistuje. [3.4.A8]. b) neexistuje. [3.4.A9]. Neexistuje. [3.4.B1]. a) ano, b) ne, c) ano, d) ano. [3.4.B2]. a) ne, b) ano, c) ano, d) ne. [3.4.B3]. a) každé a G R, b) a, 6 G R libovolná A c =t 1, c)a^2 A o/j, d) žádné a . [3.4.B5]. a) např. v,ui,u2, b) např. v,ui- [3.4.B6]. a) dimV = 1; báze např.: 1 , b) dimV = 2; báze např.: 1/i, c) dim V = 2; báze např.: 1 $.. >/2, d) dimV = n; báze např.: /i,...,/n, kde pro i = 1,n je zobrazení f i : A —* R definováno: J 1 je-li k = i /i(at)=Í0 je-liM. e) dim V = 4; báze např.: (í, 0), (0,1), (i, 0), (0, i). pro k = 1,...,n 190 III. Výsledky a návody k řešení [3.4.B8]. Návod: uvědomte si, že při a) i b) stačí dokázat pouze lineární nezávislost zadaných vektorů (proč?) . [3.4.B10]. a) dimW = 3 ; báze např.: (1,-1,0,0,0) , (0,0,1,0,0) , (0,0,0,1,-1), b) dimW = n—1; báze např.: (1,0,...,0,1) , (0,1,0,...,0,0) , ... , (0,0,...,0,1,0), c) dimW=l; báze např.: (1,1,..., 1), d) dimW7 = ti—1; báze např.: (1,-1,0,...,0) , (1,0,-1,0,....0) , ... , (1,0,...,0,-1), e) pro n sudé je dim W = ^ , resp. pro n liché je dim W = ; báze např.: (1,0,..., 0) , (0, 0,1,0,..., 0) , ... , atd., f) dimW = 3; báze např.: 1, x2 , x 4 . [3.4.B11]. b) dim W = 3, c) báze je např. m, u2 , (0,0,2, -1). [3.4.B12]. a) U!,u3, resp. u3,u4, b) libovolné dva různé vektory z vektorů u1;u2,u3,u4, c) ui,u4, resp. u2,U4, resp. u3,u4, d) ux, u2, u3, u4 . [3.4.B13]. a) bázi tvoří 3 vektory, např. Ui,u2,u3, b) bázi tvoří 3 vektory, např. ui,u2)us. [3.4.B14]. a) dimW = 2 pro a = 1,2, jinak dimW7 = 3 , b) dim W = 2 pro každé a 6 R, c) dim W = 1 pro a — b — c — 1, dimW = 2 pro a = b = 1, c sfc 1, resp. pro a — c = 1, b 1, resp. pro i = c=l, a^l, dim W7 = 3 v ostatních případech. [3.4.B17]. a)dimíyinW2 = l; báze např.: (3,5,1), b) dim Wi n W2 = 2 ; báze např.: u2,u3, c) dim Wi n W2 = 0 ; báze neexistuje , d) dim Wi D W2 — 2; báze např.: vx, v2. [3.4.B19]. Návod: při důkazech použijte větu o dimenzi součtu a průniku podprostorů. [3.4.B20J. Návod : stačí dokázat (proč?), že dim F = r + s a vektory Ui,..., ur, Vj,..., v, jsou lineárně nezávislé. Při tom využijte toho, že součet podprostorů je přímým součtem. [3.4.B21]. Návod: hledaný podprostor W2 přímo sestrojte. Využijte přitom skutečnost, že každou lineárně nezávislou posloupnost vektorů z V lze doplnit na bázi celého prostoru V. [3.4.B23]. a) (2,-1,0,3), b) (0, -1,3,2). III. Výsledky a návody k řešení 191 [3.4.B24]. Daný vektor / má v uvažované bázi souřadnice : a) (2,-2,1,-^,-1^), b) (-1,1.-1.1-1.0). c) (0,-3,12,19,10,2). [3.4.B25]. Nekonečně mnoho bází. Jednou z těchto bází je např. báze : ei = (1,1,1), e2 = (0,1,2), e3 = (0,-2,-3). KAPITOLA 4: MATICE A DETERMINANTY §1: POŘADÍ A PERMUTACE [4.1.B1]. a) 19, b)36. [4.1.B2]. a) \ n (n-1) , b) \ n (n+1), c) n (2n-l), d) 2n (n-1). [4.1.B3]. a) i n (3n+l), b) § n (n+1), c) \ n (3n+l) . [4.1.B4]. \ n{n-\) - I. k [4.1.B5]. (n - 1) + (ra - 2) + • • • + (r* - *) = £ r-ť - j * (* + 1) • [4.1.B6]. Návod: pro 1 < i < j < n vyšetřujte zvlášť případ r,- < r j a zvlášť případ r,- > r j . [4.1.B7]. a) x - 8, y = 3, b)x = 2,y=7. [4.1.B8]. Zadaná pořadí mají stejnou paritu <=> n je liché číslo, resp. mají různou paritu ■<=> n je sudé číslo. [4.1.B9]. c) nelze, neboť obě zadaná pořadí jsou sudá. [4.1.BIO], a) celkem 6 zápisů tvaru: b) celkem 24 zápisů, které je nutno podrobně rozepsat analogickým způsobem, jako při a) . 192 III. Výsledky a návody k řešení [4.1.Bil]. Pro danou permutaci P platí: a) P je sudá permutace pro n = 0,1 (mod 4), resp. P je lichá permutace pro n = 2,3 (mod 4), b) P je sudá permutace pro sudé n, resp. lichá permutace pro liché n . c) P je vždy sudá permutace, d) P je sudá permutace pro n = 0,3 (mod 4), resp. P je lichá permutace pro n = 1,2 (mod 4). [4.1.B12]. Výsledné permutace jsou tvaru : RoP = PoR - 1 2 3 4 5 3 2 14 5 b) RoP = PoR = 1 2 3 4 5 6 7 4 1 5 2 7 3 6 1 2 3 4 5 6 7 7 1 6 3 4 5 2 [4.1.B13]. Výsledná permutace je tvaru : PoR2 = a) b) c) PoRoP-1 1 2 3 4 5 6 7 6 7 3 2 1 5 4 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 1 7 4 6 1 2 3 4 5 6 7 7 2 1 6 4 5 3 P~7oR = [4.1.B14]. Hledaná permutace A' je jediná a je tvaru : a) X = Ä"1 oToS-1 = 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 b) A = S~l oToR-1 1 2 3 4 5 1 4 3 5 2 [4.1.B15], Hledaná permutace A' není určena jednoznačně, výpočtu dostaneme: a) 4 permutace tvaru : Po 12 3 4 12 3 4 12 3 4 2 3 4 1 12 3 4 3 4 12 12 3 4 4 12 3 III. Výsledky a návody k řešení 193 b) 8 permutací tvaru : 2 3 4 2 3 4 12 3 4 12 4 3 1 2 3 4\ (1 2 3 4 3 4 1 2 J ' \3 4 2 1 c) 5 permutací tvaru : 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 '1 2 3 4 5' U 1 2 3, d) 6 permutací tvaru 1 2 3 4 5\ 1 2 3 4 57' (12 3 4 5\ f \3 4 5 2 1) ' v. 12 3 4 2 13 4 12 3 4 4 3 12 12 3 4 2 14 3 12 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 '12 3 4 5 ^5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 4 3 2 5 1 2 3 4 5 5 2 14 3 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 3 2 5 4 1 1 2 3 4 5 5 4 12 3 o je tvaru: o e r s t u v e e r s t u v r r e u v s i s s t c r v u i t s v u e r u u v r e í s t; v ti i s r c b) celkem 6 podgrup (#,-, o), kde Hx - {e} , H2 - {e, r} , H3 = {e, s} , Ha = {e, v] , i/5 = {e, í, u} , H6 = 53 - c) hasseovský diagram uspořádané množiny (T, C) je tvaru (doplňte si označení jednotlivých prvků): 194 III. Výsledky a návody k řešení III. Výsledky a návody k řešení 195 [4.1.B17]. (S, o) je grupa, resp. (T, o) není grupa. [4.1.B18], a) tabulka operace o je tvaru : o e m n 0 P 1 r s t u v w e e m n o P r s i u v w m m n e r t s u w v 0 P q n n e m u v w 0 1 p r t s 0 0 ? P e n m v u w s r i P P 0 q s r i e m n v w u 1 5 P 0 v w u s t r e n m r r s í m e n P 0 q w ti v s s t r P 0 w v u m e n t í r s ID IX v m n e P 9 0 u u w v n m e ť r s 1 0 P v v u w 9 0 P n e m i s r w w v tt t s r 5 P 0 n m e b) celkem 10 podgrup (Hi,o), kde: Ih = {e}, H7 = {c, o], H3={e,t), H4={e,w], H5 = {e,m,n}, H6 = {e,p,r}, H7={e,q,u}, Hs={e,s,v], H3 = {e, o,ť, w} , ířio = G ■ c) hasseovský diagram uspořádané množiny (V, C) je tvaru (doplňte si označení jednotlivých prvků): §2: DETERMINANTY [4.2.A1]. Neexistuje. [4.2.A5]. -9-V6. [4.2.A6]. Celkem 20 sub-matic. [4.2.A7]. Celkem (£)•(£) submatic. [4.2.A8]. Neexistuje. * * * [4.2.BI], a) vyskytuje se; má znaménko — , b) nevyskytuje se , c) nevyskytuje se , d) vyskytuje se; má znaménko + . [4.2.B2]. a) + pro (i J) = (2,5), resp. - pro (i J) = (o, 2), b) vždy + , c) + pro (ij,k) = (1,6,4),(4,1,6),(6,4,1), resp. - pro (i, j,k) = (1,4,6), (4,6,1),(6,1,4), d) + pro (i, j, k) = (4,2,3), resp. - pro (i, j, k) = (4,3,2). [4.2.B3]. a) +012-034-021-043 , - Oi2-034-023-041 > b) — Oii-a23-a32-a44 , - ai2-023-a34-i4i, —014-023-031-042-[4.2.B4]. a) vždy + , b) + pro n = 0,1 (mod 4), resp. — pro n = 2,3 (mod 4). [4.2.B5]. a) -a12-a23-a34-a4i , b) 0 . [4.2.B6]. Návod: levou stranu rovnosti upravujte pomocí Věty 2.2., kapitoly IV. přeformulované pro sloupce dané matice a uvědomte si, že ty determinanty, které obsahují dva stejné sloupce, jsou rovny nule. [4.2.B7]. a) 90, b)-46, c)-100, d) -4. [4.2.B8]. a) -2+2i, b)-16+20»", c) -3 , d) 3V5-* - [4.2.B9]. a)-4, resp. 8, resp. -8, b)—10, resp.—2 , resp. —2. [4.2.B10]. A23 = 59, resp. ^33 = 29, resp. A41 = 117. [4.2.B11]. a) -195, b) 18, c)-28, d) 30. [4.2.B12]. a) -105, b) -18. [4.2.B13]. anxn + a^ii""1 + ■■■ + a1x + a0. Poznámka: srovnejte způsob výpočtu se způsobem použitým při výpočtu stejného determinantu ve cvičení [4.2.B22]. [4.2.B16]. Návod: užitím Věty 2.2., kapitoly IV. rozložte | B | postupne na součet celkem 2" determinantů a uvědomte si, že ty determinanty, které obsahují alespoň dva řádky, sestávající pouze z čísel p , jsou rovny nule. [4.2.B17]. Hodnota determinantu závisí na řádu n dané matice, a je rovna: a) (zi - x2) • (yi - y2) pro n = 2 , resp. 0 pro n> 3, b) sin(xi — Z2) • sin(y2 — yi) pro n = 2 , resp. 0 pro n > 3 . 196 III. Výsledky a návody k řešení [4.2.B18]. a) —(a2 +----h an). Návod: od 1. řádku odečíst ostatní řádky. b) n\. Návod: 1. řádek přičíst k ostatním řádkům. c) (2n + 1)(— 1) ' 2~ ' • Návod: poslední řádek odečíst od ostatních řádků a potom všechny sloupce přičíst k 1. sloupci. d) 0 . Návod: všechny řádky přičíst k 1. řádku. [4.2.B19]. a) ai-(a2 — 1)-... (an - 1). Návod: poslední řádek odečíst od ostatních řádků a rozvést podle 1. sloupce. b) (—l)n+1 -n-ai-... -a„_i. Návod : všechny sloupce přičíst k 1. sloupci a rozvést podle 1. sloupce . c) (—l)n+1-(u — l)-x"-2. Návod: poslední řádek odečíst od ostatních řádků kromě prvního, dále rozvést podle 1. sloupce, dále všechny sloupce přičíst k poslednímu sloupci a nakonec rozvést podle posledního sloupce. d) (x + a\ +----h a„_i) ■ (x — ai) ■,..■■(*— an_i). Návod: všechny sloupce přičíst k 1. sloupci, dále vytknout z 1. sloupce, dále 1. řádek odečíst od ostatních řádků a nakonec rozvést podle 1. sloupce. e) (x + ai 4-• • • + an)-x"~1. Návod: poslední řádek odečíst od ostatních řádků a pak všechny sloupce přičíst k poslednímu sloupci. f) (—1) ' 3~ 1 ■(!L2X)-nn~1. Návod: od každého řádku odečíst předchozí řádek, dále přičíst všechny sloupce k 1. sloupci a rozvést podle 1. sloupce. Dále postupovat jako ve 4.2.B18 c). [4.2.B20]. Návod: ve všech příkladech vždy nejprve odvoďte rekurentní vzorec pro | An | a potom matematickou indukcí dokazujte vztah uvedený v zadání. Přitom rekurentní vzorec je tvaru: a) \An\ = 3-\An-il-2-\An-2], pro n > 3, b) |An| = 7-M„-i|-10-|An_3|, pro n>3, c) I A„ | = (x +4ŕ) • I An-\ I - x ■ y ■ \ A„..21, pro n > 3 , d) |A„| = (x + l)-|An_1|-x-|J4n_2|, pro n>3. [4.2.B21]. Návod: ve všech příkladech vždy nejprve odvoďte rekurentní vzorec pro | An | a potom matematickou indukcí dokazujte vztah uvedený v zadání. Přitom rekurentní vzorec je tvaru: a) \An\ = (-l)n-1-x2, b) |A2„| = (x2-y2)-|A2(n_i)|, pro n>2, c) \An[= \A„-i\- \Aa-2l, pro n>3. III. Výsledky a návody k řešení 197 [4.2.B22]. Návod : nejprve odvoďte rekurentní vzorec pro | An | a potom matematickou indukcí dokazujte vztah uvedený v zadání. Přitom rekurentní vzorec je tvaru: I An+i | = a„x" 4-1 An |, pro n > 1. Poznámka: srovnejte způsob výpočtu se způsobem použitým při výpočtu stejného determinantu ve cvičení [4.2.B13]. [4.2.B23]. Návod: při a) i b) vždy nejprve odvoďte rekurentní vzorec pro | A„ | a potom matematickou indukcí dokazujte vztah uvedený v zadání. Přitom rekurentní vzorec je pro a) i pro b) stejný, a to: | An | = 2 • cos x • | An-i | - | An-2 I, pro n > 3 . [4.2.B25]. | B ! = | A \ pro n = 0,1 (mod 4), resp. |B | = - \A\ pro n = 2,3 (mod 4). [4.2.B26]. Návod: použijte definici determinantu a známá pravidla pro počítání s komplexně sdruženými čísly (tzn. u + v = u + v , resp. U • V = ti • v ) . [4.2.B27]. Návod: při a) využijte toho, že ze zadání a z předchozího cvičení [4.2.B26] plyne, že \A'\ = \ A~\. Při b) hledejte protipříklad např. pro n = 2 . [4.2.B28]. Návod: uvědomte si, že ze zadání plyne, že A' = —A . [4.2.B31]. a)—144. Návod: po vytknutí ze 2. řádku matice dostáváme determinant V(-l, 1,2, -2). b) 2880. Návod: po transponování matice dostáváme determinant V(2,1,-2,3,-1). c) Yl(x: ~ xí), kde 1 < i < j < n. Návod: matici transponujte a od každého sloupce, počínaje 2. sloupcem, postupně odečtěte vždy předchozí sloupec. d) YKxj - x,)2, kde 1 < i < j < n. §3: ALGEBRA MATIC [4.3.A5]. Neexistuje. [4.3.A6]. Neexistuje. [4.3.A8]. Neexistuje. [4.3.A9]. Neexistuje. * * * 198 [4.3.B1]. b) a) III. Výsledky a návody k řešení 0 81 39 5 5 42 3 -15 2 + 4i 6 +8i 3-í -l + 3i 2 + 2i 5 + 5i 6 - 2i 2 - i -2i c) -2 - i -2 + 2i -5 - i -1-i -1 -3-i -2 +i -1 + i -1 + i [4.3.B2] a) 78 22 16 2 b) I -2 1 II 14 -10 3 21 1 , c) [6+2i, 6-2»], d) 4—8i 0 4-8i [4.3.B3]. a) -40 40 -72 40 b) neexistuje, c) 0 33 [4.3.B4]. Návod: důkazy veďte matematickou indukcí s využitím toho, že pro každou čtvercovou matici a platí: an = a ■ an~l. [4.3.B5]. Pro libovolné r,s,t,u,v G T je matice X tvaru: a) r 3s —5s r+9s. r s 0 t u 0 -3r—í+3t; —3s—u+u ľ c) " r s i u" 0 r 5 ť 0 0 r s .0 0 0 r. [4.3.B6]. Pro r, s, ť, u, ť, u> € R libovolné je r r —r 2r 2s 2í" a) X - s s —s , Y = r s t t t -t —br —5s —5ť 2r r -5r 2r -2r r -5r — r 5r b) X = Y = Z =0; 33 r — s r s r s ť " r — s r s c) A' = t - u t u , Y = u v w , Z = t - u ť u v — w v w 0 0 0_ 0 0 0 [4.3.B7]. Při c) matice X neexistuje, resp. v ostatních případech je hledaná matice X tvaru : a) 18 5 -32 b) l-2ť t -4-2s s , kde t,s £T, d) 1 1 1 1 2 3 2 3 1 [4.3.B8]. a) 6 -2Í -3+2i 1+i. b) 033, c) r i o -i 2 1 -2 -4 1 0 -1 •13 6 1 -6 -10. III. Výsledky a návody k řešení 199 d) A* = (c,j), kde c,-,- = (n—l+a)-a"~2, resp. ctJ- = —a"-2, pro i ^ j. 0 \/2+\/2i [4.3.B9]. a) -| c) neexistuje, 2—2» -4+12Í b) h -1 -4 2 5 -1 -2 d) pro a = 0 nebo a = —n neexistuje, jinak je : *-t / \ i i a + n — 1 —1 ... a = (c,j), kde cu = ——■—r-, resp. c,j- = —p—■—r pro i ý j • a(a + n) o(a + n) [4.3.Bil]. Návod: uvědomte si, že ve všech případech musí být matice a regulární (proč?), a tedy existuje inverzní matice a~l . Tohoto faktu využijte při úpravách dané maticové rovnice. [4.3.B15]. Návod: dokazuj te, že platí: (a' -a)' = a' -a , resp., že platí: (a ■ a')' = a ■ a'. [4.3.B16]. Návod: při a) za předpokladu, že matice a je regulární a a' = a dokazujte, že (a-1)' — a~l . Při b) postupujte obdobným způsobem. [4.3.B17]. Návod: při a) za předpokladu, že matice a je regulární a a' = -a dokazujte, že (a~1)' = -(j4-1) . Při b) postupujte obdobným způsobem. [4.3.B18]. Návod: při a) označte a — (a,-,-) , resp. a -a' = (c,-j) a počítejte prvek c,j. Při b) hledejte protipříklad např. pro m = n = 2 . [4.3.B24]. a) ano, b) ne. [4.3.B25]. a) ano, dimPV = n, b) ano, dimW = n-(n — 1), c) ne, d) ano , dim W = n2 — 1. [4.3.B26]. b) dimW(S) = |»(n+l), dim W(K) = | n (n - 1). Návod: při c) stačí dokázat (proč?), že W.(S') fl W(K) = {0„„> (kde Onn je nulová matice řádu n ) a že dim( W(5) + ^(/í)) = n2. [4.3.B27]. a) Hi, H2 , H4, H5 jsou podgrupy, resp. H3 , HG nejsou podgruT>y. b) hasseovský diagram uspořádané množiny ({i/i,..., H6}, C) je: o Jí6 200 III. Výsledky a návody k řešení III. Výsledky a návody k řešení 201 [4.3.B29]. Návod: při a) využijte cvičení [4.3.B28] (část (li)), dále Cauchyovu větu a skutečnost, že j A | == | A' |. [4.3.B30]. b) není komutativní. §4: HODNOST MATICE A DALŠÍ VLASTNOSTI MATIC [4.4.A2]. Platí, že 4 < h{A) < 6 . [4.4.A3]. Platí, že 0 < h(A) < 3 . [4.4.A4]. 5 < h(A) < 8. [4.4.A6]. Neexistuje, [4.4.A9]. Neexistuje. [4.4.B1]. a) h(A) = 2, b)h(A) = Z, c)/i(A) = 2, d) h(A)'= 2 . [4.4.B2]. a) h(A) = 2, b) h(A) = 3 , c) h{A) = 1, d) h{A) = 1. [4.4.B3]. Platí, že h(A) = 3 a dále je: b) h(B) = 3 , h(A-B) = 1, d) h(B) = 3, h(A-B) = 3. ,6 = 2 nebo a =—5,6 = 2, nebo 6 # 2 , a) h(B) = 2 , h(A-B) - 0 , c) h{B) = 3 , h(A-B) = 2 , [4.4.B4]. a) h(A) = 2 pro a = 3 , resp. h(A) = 3 pro a # 3, —5 b) h(A) = 3 pro každé a, b £ R, c) /i(A) = 2 pro o = 0,6 = 3, resp. h(A) = 3 pro o = 0, 6 # 3 nebo a # 0 , 6 = 3 , resp. h(A) — 4 pro a # 0, 6 # 3 , d) h(v4.) = 3 pro a = 0 nebo 6 = 6, resp. h(A) — 4 pro a # 0 , 6 # 6 . [4.4.B5]. a) h(A) - 2 pro u - -2 nebo v = -1 - i, resp. /i(j4) = 3 pro u # —2 , w # —1 — i , b) h(A) = 1 pro u = -1 +2i, v = -1 - 2i, resp. h(A) = 2 pro (u = —1 + 2i, v#-l-2i) nebo (u#-l + 2i, W = rl-2i), resp. = 3 pro u / — 1 + 2i, u # -1 — 2i. [4.4.B7]. Návod: při a) hledejte protipříklad v Mat23(R) pro r = 2. Při b) lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že matice M je vytvořena prvními r řádky a prvními r sloupci matice A. Pak k-tý sloupec (1 < k < n) matice A napište jako lineární kombinaci prvních r sloupců matice A a dále postupujte sporem, tzn. předpokládejte, že | M \ = 0, neboli řádky matice M jsou lineárně závislé. Po výpočtu vyjde, že prvních r řádků matice A je lineárně závislých, což je spor. [4.4.B8]. Návod: použijte Větu 4.5.2., kapitoly IV. [4.4.B9]. Návod: jestliže Wi, resp. W?, resp. W3 značí podprostor v T" , generovaný řádky matice A , resp. B , resp. A + B, pak platí, že W3 CWi + W2 (proč ?). Pomocí tohoto faktu a věty o dimenzi součtu a průniku podprostorů vyjádřete h(A + B) = dim W3 . [4.4.BIO]. Návod: při a) označte h(M) = k a ukažte, že s — k < m—r . Při b) hledejte protipříklad např. v Mat33(R). [4.4.B11]. a) .4-1 = 1 + i l + 2z" c) A-* = 0 0 1 Ll 1 1 -1 -1 1 [4.4.B12]. Inverzní matice A 1 je tvaru: 2i - i 0 -1 0 1 -i b) A'1 = 18 -24 6 -10 15 -4 2 -3 2 d) inverzní matice neexistuje. a) -18 -16 -11 12" -6 -6 -4 5 -11 -10 -7 8 -1 -1 -1 1. 0 1 7 1 -5- 4 1 - 5 1 2 -1 0 2 0 -1 -2 -1 - 1 0 1 -2 -1 0 -1 1. 1 -1 0 1 b) d) b) - _ 484 -726 252 229' 148 222 -77 - -70 -25 -38 13 12 - -2 -3 1 1. -1 0 1 0 i o- 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 .0 1 1 0 1 0. "1 —a 0 ... 0 0" 0 1 —a 0 0 0 0 0 ... 1 —a .0 0 0 .. 0 1. c) 2-n 1 ...1 1 1 2-ri...l 1 1 1 ... 1 2-n d) 2-n 1 1 1 -1 0 1 0 0 1 1 0 o 0 -1 202 III. Výsledky a návody k řešení [4.4.B14]. Návod: při důkazu "=>" užijte vztahu: \A\- \A~l | = 1 a toho, že když A~l má celočíselné prvky, pak je | celé číslo. Při důkazu užijte Důsledek věty 3.8., kapitoly IV. a skutečnost, že ze zadání plyne, že adjungovaná matice A* má celočíselné prvky (proč ?). [4.4.B15]. a) pro a = O; dim W = 3, b) pro a = 2 nebo a = —7 ; dimW = 2. [4.4.B1C]. a) je injektivní zobrazení, není surjektivní zobrazení, b) oba vztahy platí. [4.4.B17]. Báze Wx, W2, Wx + W2, Wi n W2 (pokud existují) nejsou určeny jednoznačně, resp. pro dimenze platí: a) dim Wx = dimW2 = 2, dim(Wi + W2) = 3, dim^ n W2) - 1, b) dim Wi = 2, dim W2 = 1, dira^i + W2) = 3, dim(Wi n W2) = 0, c) Wi = W2 = Wi + W2 = Wí n W2 , dim Wx = 2, d) dim Wi = d\mW2 = 3, dim(Wi + W2) = 4, dim(Wi D W2) = 2, e) dimWi = 3, dimW2 = 2, dira^i + W2) = 3, dim(Wi n W2) = 2, tzn. platí: W2 C kv^, f) dim Wi = 3, dimiy2 = 2, dim(Wi + W2) = 4, dim(Wi n W2) = 1, g) dimVTi = 2, dimW2 = 3, dim(Wi + W2) = 3, dim^i n W2) = 2, tzn. platí: Wi CW2, h) dimWi =4, dim W2 = 3, dim(Wi + W2) = 5, dim^ n W2) = 2. [4.4.B18]. Návod: vyjděte z rovnosti ťi-Vj H-----Mn-vn = o , dosaďte za v; a použijte lineární nezávislost vektorů obou bází a Cramerovo pravidlo. [4.4.B20]. a) -1 2 -3 4 b) 1 -2 -1 3 2 -1 -1 2 2 "0 1 rH 1- . c) 1 0 1 1 1 1 0 1 .1 1 1 0. [4.4.B21]. Hledaná báze (2) je tvaru: a) Vi = 1 — 5», v2 = 5 , b) vj — —x2 — x + 1 , v2 = 3z2 + 2x c) V, = 1 -2 V2 = v3 = v3 = 2 -3z, 1 2 -2 V4 = 0 -1 III. Výsledky a návody k řešení [4.4.B22]. Hledaná báze (1) je tvaru: a) Ul =6 - f i, 203 U2 = -1 + |i , b) m = (-3-31,-7+1,5), U2 = (l+ť,2,2-2í), u3 = (l+4i, 5+2i, 3+3Í). [4.4.B23]. Transformační rovnice mají tvar: (*i,...,x„)' = A'(yi,...,yn)', kde (*!,...,«„), resp. (j/i,...,j/„) jsou souřadnice obecného vektoru x € V v bázi (1), resp. (2). Přitom: 1-í 0 " 2+3ť 1+i. a) A c) A 1+i 0 0 2+t 3+t 1+i 2+i 0 1+i b) A = d) A = 1 -2 -1 -1 3 .2 2 -1 2_ - 1 -1 1 o- 0 1 1 -1 -1 1 0 -1 . 1 0 -1 1. KAPITOLA 5: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC JI: GAUSSOVA METODA ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.1.B1]. Každá soustava má jediné řešení, a to : a) (2,-2,3), b) (1,2,-4,-3), c) (-1,-1,0,1), d) (1,-1,0,-1,1), e) (2,-|,§,3), f)(2,0,-2,-2,l). [5.1.B2]. Každá soustava je neřešitelná. [5.1.B3]. Každá soustava má nekonečně mnoho řešení, a to: a) {(2-í,l,í)|í6R}, b) {(I+fs-ií,*, -l£t,t)\s,tell}1 c) {(1+ť, §,ť,-!)|ť€R}, d) {(!+§*. i+r+»-lt,rtstt)\r,stteR)t e) {(*, -3-2s+3ť, -2+2í, 6-7t, 2ť) | s,t e R}, f) {(i, l-í+2ť,5, §,í)Js,ť€R}. 204 III. Výsledky a návody k řešení [5.1.B4]. Množina všech řešení dané soustavy je tvaru: a) {(3,0,-5, 11)}, b) {(3-2/, 0,0,0, i) | í G R} , c) 0 (tzn. řešení neexistuje), d) {(-1, r , s, t, 2) | r, s, i £ R} , e) {(í ■ (l+y/3), -y/3t, VŠ, í, VE) | ť £ R} , f) {(0 , r , l+V^s-v/Ší, s , í) | r, s, t £ R} . [5.1.B5]. Množina všech řešení dané soustavy je tvaru : a) {(2,3)}, b) {(2±2i+(8+i).ť, 50 1í £ K} , c) . W-(1+0-ť. (2-0-0 M € K} , d) 0 (řešení neexistuje). [5.1.B6]. a) pro a ^ 0 nemá soustava řešení, resp. pro a = 0 má nekonečne mnoho řešení tvaru: (-§-13í, -|-19í, 0, 2í), kde ť € R, b) pro a = 8 má zadaná soustava nekonečně mnoho řešení tvaru: (s , 4+2s—2í , 3—2ť , í), kde s, t G R, resp. pro a ^ 8 má nekonečně mnoho řešení tvaru: (0 , 4—2í, 3-2í, í), kde í £ R, c) pro a r= —2 nemá soustava řešení, resp. pro a = 1 má nekonečně mnoho řešení tvaru: (1—í—s, í, s) kde í, s 6 R, resp. pro a jŕ —2,1 má jediné řešení tvaru: , ^ , , d) pro a = —2 nemá soustava řešení, resp. pro a = 1 má nekonečně mnoho řešení tvaru: (1—í—s , í, s), kde í, s £ K, resp. pro a =é —2,1 má jediné řešení tvaru > S+2 > S+ä)' e) pro a = 0, — 3 nemá soustava řešení, resp. pro a ^ 0, —3 má jediné řešení tvanr ( 2°-l a3+2a3-a~l\ resem tvaru, f^^-qpäj ' ^+3) > 0(0+3) j > f) pro a = 0 má zadaná soustava nekonečně mnoho řešení tvaru: (—í—s, í , s) kde t,s £ R, resp. pro a = — 3 má nekonečně mnoho řešení tvaru: (í , í, í) kde í € R, resp. pro a 0, -3 má jediné řešení tvaru: (2-a2 , 2a-l, a3+2a2-a-l). §2: ZÁKLADNI VLASTNOSTI SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.2.A2]. Neexistuje. [5.2.A4]. Neexistuje. [5.2.A7]. Soustava buď nemá řešení nebo má nekonečně mnoho řešení. [5.2.A8]. Soustava je neřešitelná. [5.2.A9]. Neexistuje. III. Výsledky a návody k řešení 205 [5.2.BI]. Daná soustava lineárních rovnic je: a) neřešitelná, b) řešitelná, má 1 řešení, c) řešitelná, má nekonečně mnoho řešení, d) neřešitelná, e) řešitelná, má 1 řešení, f) řešitelná, má nekonečně mnoho řešení. [5.2.B2]. a) pro a = — 3 nemá řešení, resp. pro a = 1 má nekonečně mnoho řešení, resp. pro a ^ —3,1 má jediné řešení, b) pro a — 0 nemá řešení, resp. pro a^0 má nekonečně mnoho řešení, c) pro a+c = 6-fd má nekonečně mnoho řešení, resp. jinak nemá řešení, d) pro (d = —2 A a + 6-|-c = 0) nebo (d=lAa = 6 = c) má nekonečně mnoho řešení, resp. pro (d ^ -2,1 A a, 6, c € R libovolné) má jediné řešení, resp. v ostatních případech nemá řešerí, e) pro (a=l A b,c£ R libovolné) nebo (a^l A 6=1 A c^|) nemá řešení, resp. pro (a ^ 1 A 6 = 1 A e = |) má nekonečně mnoho řešení, resp. pro (a^l A 6^1 A c G R libovolné) má jediné řešení, f) pro (a = 6 A c G R libovolné) nebo (c = 0 A a, 6 G R libovolné) nebo (c = a + 6) nemá řešení, resp. pro a ^ 6 A c ^ 0 A c^a + 6 má jediné řešení. [5.2.B3]. a) a = 3, b) žádné a , c) a G R libovolné, d) a ^ 0, —3. [5.2.B8]. Návod: všimněte si toho, že v matici A je l.řádek součtem 2. a 3íádku. Pak h(A) = 2 a platí: h(Ä) = 2 <==> 6j = 62 + 63 (proč?). [5.2.B9]. a,- 0 pro každé i = 1,..., n. [5.2.B10]. a) (3,4,5), b) (-f+|i, -i-fi, 2-§i), c) nelze řešit Cramerovým pravidlem, d) (— |, — |, t? , 1), e) (-3, 0,-1,1), f) (2,-3,-§4). [5.2.B11]. (f, f.....f), kde c = (n-l)-a + 6. [5.2.B12]. b) e ' ■ ' c ■b* 2ac ^± c2-a2 a3+b2-c- \ 26c > 2ab j ' [5.2.B13]. a) {(2s-í , s, t, 1) | s, í G R}, b) {(-16+r+s-l-5í, 23-2r-2s-6í, r, s, í) | r, s, t G R}. §3:HOMOGENNl SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.3.A2]. Neexistuje. [5.3.A4]. Neexistuje. [5.3.A5]. 2 < dimW < 6. [5.3.A8]. Neexistuje. 206 III. Výsledky a návody k řešení [5.3.B1]. Množina všech řešení dané homogenní soustavy je tvaru: a) {(-llť,-í,7ť) l.ťeR}, b) {0,0,0,í,í)|í GR}, c) {(0,0,0,0)} , d) {(-5+7/, -s+bt", s~5t, 2s, 8ť) | i, s £ R}, e) {(0,0,0)} , f) {((-1+0-z , 2z , (-1+3*» | z £ K} . [5.3.B2]. Množina všech řešení dané homogenní soustavy je tvaru: a) {(-10í, (a + 4)í, (3a - 8)ť 11 € R}, b) pro a = f ==> {(7ť, 21í, 39í)'| í € R), resp. proa^ f => {(0,0,0)}, c) proa = 6 = c = d=0 ==> R4, resp. jinak {(0,0,0,0)}, d) pro a = 2 => {(3í, í, 2í) | í G R}, resp. pro a = \ ==> {(12í , -7í , 30í) | í G R}, resp. pro a ^ 2, | => {(0,0,0)}, [5.3.B3]. Daná homogenní soustava má nenulové řešení pro tyto hodnoty parametru a: a) a = —7 , .b) žádné a , c) a = 2 nebo a = — 3 , d) každé a G R - [5.3.B4]. Návod: nejprve určujte dimenzi podprostoru řešení dané soustavy lineárních rovnic. [5.3.B6]. Pro podprostor řešení W dané homogenní soustavy platí: a) dimW = 1, báze např. (6,-11,9,-4), b) dimW = 2, báze např. (0,0,3,1), (9,-1,13,0), c) dimW7 = 0, báze neexistuje, d) dimW = 2, báze např. (7,-6,-3,0,5), (1,2,1,-4,0), e) diml4" = 2, báze např. (5,-3,1,0), (-7,4,0,1), f) dimW = 3, báze např. (3,3,0,0,1),(-24,10,0,3,0),(0,1,3,0,0). [5.3.B7]. Pro podprostor řešení W dané homogenní soustavy platí: a) dim W = 1, báze např. (8+3?, -3 , 2—6í), b) dim W = 2, báze např. (0 , l+3i, 5), (5 , -8+í, 0), c) dimH7 = 0, báze neexistuje, d) dim W = 1, báze např. (-2 , -2, 1+í). [5.3.B8]. Hledaná homogenní soustava lineárních rovnic je např. tvaru : b) xi — x2 — 2x3 = 0 *i — x3 — xA = 0 a) xi - z2 - x3 = 0 III. Výsledky a návody k řešení 207 c) Xi — X2 =0 xi -x3 +2x5 — 0 x\ — 24 + 2xg = 0 d) 2xi - 3x4 =0 2xi-3x2 =0 e) 3xi - 2x2 + x? - 4x4 -4- 3x5 = 0 f) -5xi + 3x2 + x3 - 14x4 = 0 g) 2xi -x2 X3 Xi 4xi = 0 = 0 + x4 =0 -x5 = 0 h) 22xi - 13x2+ x3 -11x5 = 0 -13xi+ 8x2 +z4+ 5x5 = 0 c) ne, d) ne. c) například 2xi+x2 =0 2xi +X3 =0 [5.3.B9]. a) ne, b) ano, [5.3.BIO], a) neexistuje b) například 8x1 + 5x2 — X3 =0 6xi + 4x2 +£4 = 0 [5.3.B11]. a) ano, x = u + í-(5,-7,5,6), b) u není řešením dané soustavy , c) ano, x = u + r(5, -6,0,0,1) + s(l,-2,0,1,0) + í-(l, -2,1,0,0), d) ano, x = u . KAPITOLA 6: EUKLIDOVSKÉ VEKTOROVÉ PROSTORY §1: SKALÁRNÍ SOUČIN, VELIKOST A ODCHYLKA VEKTORŮ [6.1.A3]. Neexistuje. [6.1.A4]. Neexistuje. [6.1.A5]. Neexistují. [6.1.A6]. Neexistují. [6.1.A7], Vektory jsou lineárně závislé (zdůvodněte!). [6.1.A8]. 0 < ||u+v|| < 2 (zdůvodněte!). [G.1.B1]. a) ne, b) ano, [6.1.B2]. a) ano, b) ne, c) ne, c) ne, d) ne. d) ano. 208 III. Výsledky a návody k řešení [6.1.B3]. a) ne, b) ano, c) ano, d)ne. [6.1.B4]. a) ne, b)ne, c)ne, d) ano. [6.1.B5]. a) ano, b) ne , c) ano pro t > 0 , resp. ne pro t < 0 . [6.1.B7]. a) 8, b) 15, c) VÍŠ, d) iy/2. [6.1.B8]. a) a = -1 nebo a = -|, b) žádné a, c)a = -l + -^ nebo a = -1 - , d) žádné a . [6.1.BIO]. Návod: můžete postupovat několika způsoby, napr.: 1. použijete postupu uvedeného v důkazu Schwarzovy nerovnosti. 2. ukážete, že homogenní soustava lineárních rovnic (u-u)-ťi + (u-v)-<2 = 0 (u-v) • 0 . Při důkazu " -<= " z předpokladů dostanete, že u, v jsou lineárně závislé a u-v > 0. V obou případech pak již lehce dokážete požadované vztahy. [6.1.B12]. Návod: při a) vyjděte z definice lineární závislosti aplikované na vektory x, z. Při b) hledejte protipříklad např. v R2. [6.1.B16]. Gramův determinant G(ui, ..., u*) a) se nezmění, b) se vynásobí číslem i2 , c) se nezmění, d) se nezmění. §2: ORTOGONALNOST [6.2.A4]. n > 4. [6.2.A5]. k - dim L(ui,..., ut). [6.2.A8]. Neexistuje. III. Výsledky a návody k řešetu 209 [6.2.Bl]. Zadané vektory a) jsou ortogonální, b) jsou ortonormální, c) nejsou ortogonální, d) jsou ortogonální. [C.2.B2]. Zadané vektory jsou ortogonální pro hodnoty : b) a — b — 0 nebo a — b—1, d) a = -2b. a) a = |, b = — 5 c) žádné a, b , [6.2.B3]. (0,^,-^,0), (0,-^,^,0). [6.2.B4]. Zadané vektory f i, f2 , f3 a) tvoří ortogonální bázi, b) tvoří bázi, c) tvoří ortonormální bázi, d) netvoří bázi. [6.2.B7]. Hledaných bází je nekonečně mnoho. Jedna z nich je např.: a) (1,2,2,-1), (2,3,-3,2), (2,-1,-1,-2), b) (1,0,1,0), (0,1,0,-7), c) (1,1,1,1), (1.1,1,-3), (4,-2,-2,0), d) (1,-2,-1,0,1), (1,1,-2,-1,-1), (69,93,36,-63,153), e) (1,2,0,1,2), (1,0,6,-1,0), f) (1,-1,0,1,1), (3,-3,4,-1,-5), (27,18,-19,1,-10), g) (0,0,3,1), (90,-10,13,39), h) (1,2,1,-4,0), (81,-58,-29,-16,55). [6.2.B8]. Návod: hledaných ortogonálních bází je nekonečně mnoho. Lze např. vyjít od libovolné báze a použít Gram-Schmidtův ortogonali-zační proces. [6.2.B9]. Návod: Hledaných ortogonálních bází je nekonečně mnoho. Lze např. zadané vektory Ui,u2 libovolným způsobem doplnit na bázi prostoru R4 a pak použít Gram-Schmidtův ortogonalizační proces. Výsledná ortogonální báze je pak tvořena vektory ui,U2 a dále např. vektory: a) (1,0, -1,1), (-1,0,0,1) b) (24, -2,2,9), (0,1,1,0) c) (-7,0,1,0), (0,-1,0,7) d) (-53,21,262,-136),(-15,1,0,6). 210 III. Výsledky a návody k řešení [6.2.BIO]. Návod: hledaná ortonormální báze není určena jednoznačně. Lze napr. zadané vektory libovolným způsobem doplnit na bázi prostoru R4, použít Gram-Schmidtův ortogonalizační proces a získané vektory nakonec normovat. Hledaná ortonormální báze je pak např.: a) *,, (0,0,1,0), ^-(1,1,0,0), ^.(-1,1,0,4) b) ei. e2> ^ě-(0i 3,1), ^-(-13,5,6,2) c) ei , e2, e3, ^-(-1,-1,2,12). [6.2.Bil]. Hledaných bází je nekonečně mnoho. Jedna z nich je např.: a) (1,1,0), (0,1,2)', b) (3,2,-2), (5,8,6). [6.2.B14]. Návod: s využitím výsledku cvičení [6.2.B13] ukažte, že x G W <=> xG [(aii,a12,...,aln),...,(ai1,ai2,...,atn)]J-a přejděte k ortogonálním doplňkům. [C.2.B15]. Báze podprostoru Wx a) např. (2,0,1,-1), b) např. (2,2,1,0), (17,10,0,-1), c) neexistuje, d) např. (3,3,2,7), (3,0, -2, -9), (0,0,1,1). [6.2.B16]. Hledaných bází je nekonečně mnoho. Jedna z nich je např.: a) (1,0,-1,1,0), (1,3,2,1,-3), b) (2,1,-1,-1,2), (1,-7,12,7,-19), (1,5,-8,-5,13), c) (3,-7,1,-5,9), d) (1,0,1,0,1), (0,1,0,1,0). [6.2.B17]. Hledaných bází je nekonečně mnoho. Jedna z nich je např.: a) (0,1,0), (3,4,-1), b) (14,21,-6). [G.2.B18]. Ortogonální projekce je určena jednoznačně, a je rovna: a)(ft--f'W)' b) (-1,1,-2,3), c) (0,0,0,0), d) (0,3,0,3), e) (f.-I-l-f), f) (1,-1,-1,1,1), [6.2.B19]. Ortogonální projekce je určena jednoznačně, a je rovna: a) 5x2-10x + 2, b)2x2 + 5. [6.2.B21]. Návod: je možno postupoval několika způsoby, např.: 1. dokazovat, že vektory Uj,...,ur, ví,...,v, jsou lineárně nezávislé (úpravou a použitím výsledku cvičení [6.1.B15] ). 2. uvědomit si (viz cvičení [3.3.BIO] ), že [u1,...,Ur,V1,...,Y,] = [Ul,...,UrJ+[v1,...,Ví] a použít větu o dimenzi součtu a průniku podprostoru. III. Výsledky a návody k řešení 211 [6.2.B22]. Návod: z Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu plyne, že: e,=w + Ui , kde w = pi-eiH-----hPi-i-e.-i. Pak: w G [ei,..., e,-_i ] = [ui,... ,u,_i], resp. e,- G [e,,..., e,_i ]x = [ui,... ,u,_i ] -1. Užitím těchto faktů lze již lehce dokázat všechna uvedená tvrzení. KAPITOLA 7: LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ VEKTOROVÝCH PROSTORŮ §1: ZÁKLADNI VLASTNOSTI LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ [7.1.A1]. b) neexistuje. [7.1.A2]. a) neexistuje. [7.1.A4]. Neexistuje. [7.1.A7]. k = 9, n > 5. [7.1.A8]. Neexistuje. [7.1.B2]. a) není lineární zobrazení, b) injektivní lineární zobrazení, c) surjektivní lineární zobrazení, d) lineární zobrazení, e) injektivní lineární zobrazení, f) není lineární zobrazení. [7.1.B3]. a) ano, b) ne, c) ano, d) ne. [7.1.B4]. a)Kerv = {o}, Im if> = [(1,0,1,1), (1,1,0,0),(0,1,1,0)], b) Ker y> = [(1,-1,1)], Im^ = R2, c) Ker v = [(-1,1,0,0,),(-l,0,l,0),(-l,0,0,1)], Im

= [(0,3,4)], Im

p Qa bd\= (-a+6+fc+id, -2a+b+2c+d), b) Ker 3í+3s 3í-s |.I,í6R[, Imv? = R2, c) báze Ker tp např.: d) X = fl -3] 0 3' 1 3j ' -1 -1 "0 1" + r • 1 -3' 0 0 1 3 báze Im tp např. (1,0), (0,1), i ] , kde r, s £ R. [7.1.B8]. b) ano. [7.1.B9]. a) ano, b)ne, c)ne, d)ne, e) ano, f) ano. [7.1.BIO]. Návod: při a) doplňte vektory ui,...,Ufc na bázi celého prostoru V a použijte základní větu o lineárních zobrazeních. Při b) dokazujte implikaci "=>." nepřímo a zkonstruujte dvě různá lineární zobrazení s požadovanými vlastnostmi. [7.1.B15]. Návod: nejprve dokazujte, že zobrazení tp o tp není surjektivní (při tom si uvědomte, že áimtp(V') < dim V < dim F ). Dále dokazujte, že zobrazení tp o tp není injektivní (užitím Věty 1.7., kapitoly VII. a již dokázaného faktu, že rpotp není surjektivní, tzn., že dim Im (tp o tp) < dim V ). §2: LINEÁRNÍ TRANSFORMACE A JEJl MATICE [7.2.AI], b) neexistuje. [7.2.A4]. b) neexistuje. [7.2.A6]. a) neexistuje. [7.2.A8]. Neexistují. [7.2.B2]. Návod: je-li e pevnou bází prostoru V, pak existuje t0 £ T tak, že tp(e) = ťn-e. Ukažte, že ťo splňuje požadovanou vlastnost. [7.2.B3]. a) např. u2,U3 , b) např. Wi = I(u2lu3), W2 - L(ui,u3). III. Výsledky a návody k řešení 213 [7.2.B4]. '1 1 - -3" a) 1 0 1 1 2 0 [7.2.B5]. "2 -11 6 a) 1 -7 4 2 -1 0 [7.2.B6]. b) 2 0 0 2 b) b) Ol 1 2 2 1 -1 4 3 c) 16 -2 17 2 _3 2 _7 2 c) 4 7 0 3 -1 -5 0 0 0 0 0 0 0 0 c) "2 1 1 1- 0 2 0 0 0 -3 0 0 .0 1 0 0. [7.2.B7]. b) matice lineární transformace tp, resp. rj) je tvaru: 0 1 0 . . 0 o- "0 0 0 . . 0 o- 0 0 2 . . 0 0 0 1 0 . . 0 0 , resp. 0 0 2 . . 0 0 0 0 0 . . 0 n 0 0 0 . . 0 0. .0 0 0 . . 0 n. 4 5 3' "16 47 -88" '1 0 0" -6 -9 -5 b) 18 44 -92 c) 0 0 0 6 10 6 12 27 -59 0 0 -1 [7.2.B8]. a) [7.2.B9], a) x = (-1, 2,0) + t ■ (1, -1,1) pro t € R, b) žádné x, c) x = (3,4,4). [7.2.B10]. Jádro a obraz dané lineární transformace je: a) Ker tp= [(1,0,2), (0,1,3)], Im

)((xi, x2)) = (3x!4-x2 , 2xa+2x2), (V3oV>)((xi,x2)) = 3-(xi+x2 , -x2), (Tp°" vezměte bázi ui,...,un prostoru V a uvědomte si, že podle předpokladu platí: , jak plyne z tvaru matice A + B . §4: ORTOGONÁLNÍ ZOBRAZENÍ, ORTOGONÁLNÍ MATICE [7.4.A2]. Neexistuje. [7.4.A3]. Neexistuje. [7.4.A4]. dimV = 0, resp. dimV" > 0. [7.4.A6]. Neexistuje. [7.4.A7]. Celkem 8 matic. [7.4.B1]. a) ano, b)ne, c)ano, d)ne, e)ne, f) ano. [7.4.B6], Návod: uvědomte si, že jestliže u je bází prostoru V , pak tp(u) = r-u, přičemž však (podle Věty 4.4.3., kapitol)' Vil. ) musí být r = ±l. [7.4.B9]. Návod: při důkazu využijte výsledku cvičení [7.4.1)8]. [7.4.B13]. a) ne, b) ano, c)ne, d)ano. [7.4.B14]. a) buď r = s = t - 4- a dětA: = 1 nebo r~— s = — -^,t = — a det A = — 1, b) buď r = |, s = |, i = I a det A = 1 nebo r = —|, s = —|, ť = —| a óetA = — 1. [7.4.B15]. a) ano, b) ne. Matici A není nutné počítat, ale stačí pouze ověřit, zda jsou obě báze ortonormální. , <>**0' v 218 219 literatura [1] BEČVÁŘ, J.: Úvod do algebry, skriptum UK, fakulta matematicko-fyzikální, Praha 1984 [2] BIRKHOFF, G.-MAC LANE, S.: Prehľad modernej algebry, (slovenský překlad), Alfa, Bratislava 1979 [3] BUKOVSKÝ, L.: Množiny a všeličo okolo nich, Alfa, Bratislava 1985 [4] DURBIN, J.R.: Modern Algebra (anglicky), John Wiley k Sons, New York 1985 [5] FLAČHSMEYER, J.-PROHASKA, L.: Algebra (německy), Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1978 [6] GLEICHGEWICHT, B.: Algebra (polsky), Paristwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983 [7] HORÁK, P.: Algebra a teoretická aritmetika I., skriptum UJEP, fakulta přírodovědecká, Brno 1987 [8] KATRINAK, T.: Algebra a teoretická aritmetikaI., Alfa, Bratislava 1985 [9] LEGÉŇ, A.: Grupy, okruhy a zväzy, Alfa, Bratislava 1980 [10] NOVOTNÝ, M.: S algebrou od jazyku ke gramatice a zpět, Academia, Praha 1988 sbírky příkladů 11] BICAN, L.: Lineární algebra v úlohách, skriptum UK, fakulta matematicko-fyzikální, Praha 1979 12] BICAN, L.-NĚMEC, P.-TRCH, M.: Sbírka úloh z algebry pro učitelské studium, skriptum UK, fakulta matematicko-fyzikální, Praha 1984 13] FADDEJEV, D.K.-SOMINSKIJ, I.S.: Zbierka úloh z vyššej algebry (slovenský překlad), Alfa, Bratislava 1968 14] LOMNICKÍ, A.-MAGDOŇ, M.: Algebra liniowa z geometria analityczna w zadaniach (polsky), Wydawnictwo naukowe WSP, Kraków 1986 15] KAPRÁLIK, P.-TVAROŽEK, J.: Zbierka riešených príkladov a úloh z lineárnej algebry a analytickej geometrie, Alfa, Bratislava 1987 16] KOSTRIKIN, A.I.: Sborník zadač po algebře (rusky), Nauka, Moskva 1987 17] PROSKURJAKOV, I.V.: Sbornik zadač po linějnoj algebře (rusky), Nauka, Moskva 1984 18] PYTLÍČEK, J.: Cvičení z algebry a geometrie, skriptum ČVUT, fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, Praha 1985 19] SVÄTOKRÍŽNY, P.: Lineárna algebra v úlohách, Alfa, Bratislava 1985 20] SZYMICZEK, K.: Zbiór zadari z teorii grup (polsky), Paňstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1989 220 221 obsah Úvod..................................;...........................3 I. Řešené příklady..............................................5 II. Cvičení......................................................38 Kapitola 1: Opakování a doplnění středoškolské látky ...........39 §1: Základní logické pojmy.....................................39 §2: Základní množinové pojmy ..................................42 §3: Základní vlastnosti celých čísel..............................45 §4: Relace ......................................................47 §5: Zobrazení..........................................• • • -.....51 §6: Uspořádané množiny........................................55 §7: Ekvivalence a rozklady......................................58 Kapitola 2: Základní algebraické struktury......................62 §1: Struktury s jednou operací..............................----62 §2: Podstruktury struktur s jednou operací .....................68 §3: Struktury se dvěma operacemi a jejich podstruktury.........7'A §4: Číselná tělesa...............................................79 Kapitola 3: Vektorové prostory.................................81 §1: Vektorový prostor nad číselným tělesem.....................81 §2: Podprostory vektorového prostoru...........................84 §3: Lineární závislost a nezávislost vektorů ......................88 §4: Báze a dimenze vektorového prostoru.......................93 Kapitola 4: Matice a determinanty ............................100 §1: Pořadí a permutace........................................100 §2: Determinanty..............................................103 §3: Algebra matic ____.........................................111 §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic ....................118 Kapitola 5: Soustavy lineárních rovnic.........................126 §1: Gaussova metoda řešení soustav lineárních rovnic ..........126 §2: Základní vlastnosti soustav lineárních rovnic...............129 §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic......................133 Kapitola 6: Euklidovské vektorové prostory ....................138 §1: Skalární součin, velikost a odchylka vektorů ................138 §2: Ortogonálnost.............................................142 Kapitola 7: Lineární zobrazení vektorových prostorů ...........150 §1: Základní vlastnosti lineárního zobrazení ....................150 §2: Lineární transformace a její matice.........................154 §3: Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace .... 160 §4: Ortogonální zobrazení, ortogonální matice..................164 III. Výsledky a návody k řešení.............................168 Literatura..........,...........................................218 Sbírky příkladů................................................ .219