Geometrie 2
Obsah
Úvodní přehled 1
Afinní geometrie 9
Afinní struktura .............................. 10
Typické příklady.............................. 16
Afinní souřadnice.............................. 25
Afinní zobrazení .............................. 31
Vyjádření podprostorů........................... 40
Vzájemné polohy.............................. 45
Příčky.................................... 56
Uspořádání apod............................... 59
Těžiště apod................................. 64
Shrnutí kapitoly .............................. 76
Eukleidovská geometrie 77
Eukleidovská struktura........................... 78
Vzdálenosti................................. 86
Kolmé rozklady apod............................ 91
Objemy, determinanty apod........................ 97
Odchylky.................................. 112
Shodná, podobná a ekviafinní zobrazení................. 117
Shrnutí kapitoly .............................. 123
Poslední aktualizace 3. listopadu 2022
https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2022/MA0009/index.qwarp
C i'l b     ( s Ta'lz  s t e j a/ & )
A/ e c o       L/ O & L rf- T
p o rtVO A/ č
/
h -a  c -o      A/ O 1/ S   H O
proces  ŕ / r/i'ie f t e j as r )
4^   ^       "6 t/<řt r ^ £ ľ y -two. y- <C~iz
y o -z. l Ľ To t_/í<_ -t '—' ^ s i/ ^ hlo U>£^ -6 10 ya £ *6    ^    j> & ist \ i
K (s ť L S Ý     ( C S on B T ft. ľ e   ... )
ř ö 2 6 o l ř // /
• to   í, roi l je 14 (     í (     t £ J (
i/r
• ^/"^.c^i-e-L-i^v-^ ř ........................... ^ ^ frvi e*_
• L/ 2,   /   t  i ......................................................... C      1 C £ t-u
x     o// c"e a//"^
shody k	P- o ^ o ( 'l y minuly    íf/?f S^/t	1 r e " To    sf ^7fs r/^
řr«"D n er	-e o             r c ^,	
	D P> OL l<- O C/ ({   ^1   ^    Col í 1	
A/a's* t n. o j E	f ^ O	/ / 'tí e      (r k /        f e£e b
P it r b p ° ~		t o t c ' -z.
		
TY A /'c (<- t <J C- o y	S t s tirg j í <--   r -e. t-  l^r». t<r~/7 r « 2.   "e  5      -č   c (a e, "V i/ e. í'' fc ŕ> > "é (	s p o c  (   ~í c J "í -c X
s Ho or      fco z o i'uy
		
t*'*. LAD A/ i' f o j sn y		
1        LA D f \' V l T /\ H Ý	/ n c ť M e. h í h o $ -i j Sfbj'i'-frostj	l ľ <n t cirri                    u    ŕo $-£ j ( m n / ŕ f )  li'frear-nas'i         p o ^ ■
1        LA S> z* ť (J L o it Y	S t *» -trvj ť £-t ( b ť   \s *( ť c" f	S o Oi * -t a. is(j     (H. ■   ť o    un t c
	1/ x. cl Ol ( 4.     o s -f- f'       y o A Z,	
	O k f> &-  Ľ <p   }           á. Á <T« é Ol. frp	
	(K. ^> o (L '	a. f> o cl .
Dokaž, že přímky p = AB a q = <-> CD, kde A[\ 2,0], B[4,3, -2], C[2,0,1], D[5,3, -2], jsou mimoběžné, a urči jejich odchylku <p.
-«(3,1,-2); ČĎ(3,3,-3)|ífl,1,-1)
?*±=,/«3fCO=>ptfq.
Jf=1 +3ř p: y = 2 + t , íeR q:
z = -2/ pnq: 1 + 3f = 2 + r 2+ ř= r -2ř=1-r
x = 2 + r
y = r,reR
z=1-r 3(-r=1 f-r=-2 2ř-r =-1
|(-1)
- ©
(=2 ř-r =-2=» r =4
(3): 2 2-4 * -1; pnq =0 a p|q => přímky p a o; jsou mimoběžné ~r- l*H -      |3H-1U(-2).(-1)| 6
= 22°12'
Určíme smérové vektory přímek p. q a ověříme, že pjfq. (Vektory ÄB a CD n stejnou první souřadnici; kdyby platilo ^61| ČD, muselo by být ÄB =ČD.)
Napíšeme parametrické rovnice přímek p a <
Připustíme, že přímky p, q mají společný t
Sečtením rovnic © a (D vychází ŕ = 2 z rovnice® pak r =4.
Hodnoty f = 2 a /■ = 4 nevyhovují rovnici 3t
Odchylku přímek p, q určíme pomocí jejich směrových vektorů AB a v.
Př. 16
Napiš obecnou rovnici roviny a, v niž leží body 5[3,1,1], F[\ 2, -1) a která je rovnoběžná s přímkou QR. kde 0[-1,4, -2] a R[2, -2,3],
<->Qfl|a<=>v=Cfl|a ú =ĚF=F-E =(-21,-2) v=CW = fl-Q=(3, -6,5
f (-H)
ri(a, b,c)
n 0=0 = ri • v - 0 =
, normálový vektora; ri_Lu; riJ.v
-2a + b-2e=0 |-3 3a-6b + 5c = 0 |-2
-9b + 4c=0, b=4=»c=9
2a = b-2c =4-18 = -14 => a=-7 a:   -7x+4y + 9z + d=0; d = ? £ea:   -7-3+4-1 + 9-1 + d = 0=>-8 + d=0=»d=8 a:   -7x + 4y + 9z + 8 = 0     | (-1)
«:     7x-4y-9z-8 = 0
r c
Pí. 19
)
Vypočítej obsah trojúhelníku ABC, kde A[-3, -4, 1], 8(3, -1, -2), C[2, -2,1j\
S=lzv; 2
kdez=|ÄB|, v=|C,<^AB| ďě=B-/U(6, 3,-3)
| AB|=V6í+3T+Htf j = VŠ4 j = 3 V6 j | C, •*-»AB | =| CC, |, kde C0 je pravoúhlý průmět bodu C na <-» AB ň\,|*B =>/)„£ 1,-1)
a:   2x + y-z + d = 0; d = ? Cea:   2 2 + (-2)-1 + d=0=>d = -1 a:   2x + y-z-1 = 0 x = -3 + 2ř <->AB:    y = -4 + f , íeR z = 1-ř
C„ear,<->/u3: 2 (-3 + 2f) +(-4 + ř)-(1 -f)-1 = 0
6f-12=0 => ř =2 C0 [-3 + 2- 2 -4 + 2 1 -2]=> C„ [1, -2 -1]
|CCt|=V(2-V + (-2 + 2)' + (1 + ť j=Vlř + 02 + 22 j=V5j
| S=-Zľ=--3V6V5jJ=?V3Ôj2 2        2 2
Rovin
bod EavektoryJ=EFav=Qfl.
Určíme vektory u a v a přesvědčíme se, že u|V.
Najdeme normálový vektor n roviny a, který je kot-mýkvetoúmuav.tzn.ň Ď=0aňv=0.
Dostaneme soustavu 2 rovnic
o 3 neznámých. Najdeme její libovolné
nenulové řešení. Zvolíme např. b =4.
Souřadnice normálového vektoru ň jsou koeficienty a, b, c v obecné rovnici ax + by + cz + d = 0 roviny «. Koeficient d určíme z podmínky E e a
Rovnici roviny zapisujeme zpravidla tak, že koeficient a není záporný
Obsah AABC určíme např. pomocí délky strany AB a výšky v z vrcholu C
Vypočítáme délku strany >1S.
Bod C0 určíme jako průsečík roviny a, kolmé k přímce AB jdoucí bodem C, a přímky AB.
Na|deme obecnou rovnici roviny a. Napíšeme parametrické rovnice přímky AB. Určíme průsečík roviny a a přímky AB.
Určíme vzdálenost bodů C a C..
fRoSTopy
J-   ' , s
p o c / r "i x/,
pro j'< k i I
cT l H »n /
5 V) o cl ^ CL
\
<4>
"td
.o
o.
"V
(f = (As  (y {oo}
>0o
y
bo d. ty
\j t [c + o r
o ct r
•=   r o í s t r -e. *> c.
1/ 4 (t. -ťrou-
y- rvi Ä.   /ít. í
rt€ ť o é~as ť
b o M
jO i-" ť" Z    (c y
po  Ti g~ ts y
is a
'^y    po  v-ei e~ \s <j
1_______________________________________________j
P
A o b ^1 o s ~í
U k A'-i |c A
• Graficky náhled 3D                                                                                                                      [x] i	w Algebraické okno				
1 J— II   «   1 * Ie-I5>l»-I»llcj-I					
Dr = (-8.95, -1.46, 9.52)
Br = (-3.91, -4.03, 4.87)
Ar = (-6.38, -6.5, 2.47)
• kD=0
Mnohoúhelník
• podstava = 21.04
• rez = 34.25 ......
rez' = 34.25
Polopnmka r
AB2: -2.47x + 2.54y = 22.03 .« ABr: X = (-8.92, -9.05, 0) + A (2.54, 2.54, 2.47) AD0: X = (-5.48, -8.27, 0) + X (-0.9, 1.77, 2.47) AD1: X = (-5.48, -8.27, 0) + X (-0.9, 1.77, 0) AD2: -2.47x - 0.9y = 13.53
ADr: X = (-5.48, -8.27, 0) + X (-0.9, 1.77, 2.47) BD„: X = (1.37, -6.72, 0) + A (-5.28, 2.69, 4.87) BD1: X = (1.37, -6.72, 0) + X (-5.28, 2.69, 0) BD2: X = (1.37, 0) + X (-5.28, 4.87) BDr: X = (1.37, -6.72, 0) + X (-5.28, 2.69, 4.87) Pětiúhelník
• nadstava1 = 21.04
• podstava' = 21.04 Přímka
.« stopax: X = (1.51, -6.69, 0) + X (23.58, 5.33, 0) stopa-,: X = (2.31, 0, 8.16) + X (18.81, 0, -5.33) stpa2: -2.78x - 9.82y - -86.56 Rovina
■ 0 nn: z = o ............. v~ o
p 0 77 .j
■r
V
KA: 23.58x + 5.33y = -185.1 KB: 23.58x + 5.33y = -113.61 KD: 23.58X + 5.33y = -218.82
• • p: -5.33X + 23.58y - 18.81z = -165.87 ■ p': -5.33X + 23.58y - 18.81Z = -165.87 Trojúhelník
mnohoúhelnikl = 11.79 trojúhelník - 15.32 trojúhelník' - 15.32 trojuhelnikj^ = 9.41
Úhel
alef = 127.89° • bet = 0°
max = 127.89" Úsečka
A S P
O Uc • a
= 9.52 .„ = 12.06
3.5
= 7.32
T V p i" c (c g     s\ F .    p o j s-? y
•      l<; po ľ <i ^ a h i —■*-*—^       c/ 5 < t  /c ^      (-/     ^       ton i/ť-Jí ři i      hs\ vi o "Z, / 1
5 T-o
•      4 t < c n O. -f •    i. o Q ir«. i     u\ ('j   a. -( ~  s v f <r<K d H t c 4. j    f> r <- c k o cAjj
ô P A |Co 1//* V \   /    M O   T ť  isst    C t
//A  <£=:>   ^ - A
v b k T o r
■t- •'  V * 1/ -> (/
er ■* aa,
O
ô
■ f o A.
L i'A/ ■   ZaViHo? T
•  i t
•   t y f ľ c U       f> ŕ ťL(** :
5 ľ f y    (   ť'ť f> L <y )
?0 1
"     d ° «       í t r,'{.
Po "í C ^ | -Č
J
sroj/'ro^T/
3
fS o. -lov n -e
(lot  ,6 o ó( )
1/ ô
4-o
( k 0 J    ✓ -e L £ o r J í—>   ^ 0 c/
ř> o c t -t h g
t t
ŕt -
& - r3. z 1
SV =   f 7.  ,   1 )
—1-1-1-..
-   ß - A
ď - Ar -f- at
A 4= I\ tJ A/ i    J TRuKT^I^A       f> t> r     d lo ^ n
—       ľln  Vo o -C~ i K. (yU ^      W h I1"!      j?   °   S o   ( i
ô
a • • ■ ť* 4    » *.    ^g--^ p|ro    I    É, .   A €       ,  /ire V
50^^ľS6"Ji'c<'    P O J n Y
O t ^
V
■2 ^
"f * hu/
s t or E
z'
-6
J ■
x. c   i í. w i
f <■' IS) \rs i ,
iy e i/
(a
0
1
cK
V\ck e{ -   r o is i *\ OL.
T
7 f /' c t t    j* r ť L (+. djp :
_    v -e.
o v S 4 c. ^     f l^/5ff(9/10 G- )    6 ŕ'a/.    r o u hi'c
•    obecne.    a  h(A//v//    ( p ~ a - ) FP-oi-ToRY'
t r p i c k £~     /> l /i p r
ŕ -« S*«. ^ i '       I í ^ d ^ ^ "4 i ^ k       £\ / q-   *     ť~ o u n / 'c
o
MsNt k/     i í i í <^ ^''i/ck     Alf-     \r o u n / 'c
• P>      c£ •
Iq o íA  Lp čXs
í
{ « t/ ^ i^l e. S « <:      ^ j
o n ť k
c i t a. K
Ý- e 5 p .    s [c L      <K (k'vx \ ' h. (k    f r i^m c -2-
zu. =■ <r -* aa,
AT
... /uu -ŕ *VT
-    h ix.-í-a.tto l/Ä. h t
5- ((i í ŕĽV\ i''  /a A.    f5 r \'vr\ c -2-
k  c [/X
OL
a -f-AT
P * "l >^
,j    I, U, S
ľ
lo 0 ^
- é ľ c £ re
uVi' ^   •  •   •     ^©   x /pi /^^ c C
-5  u'td Kl
« ^ U c e    (/  x ^--> ^
P í 1 ^
l<#/v/o/v/ic(oY   ^ F •  Ppo í roll ifinf u-^/^
T. o
L [A/ f A 'R As \'    A L G *    P* o \J AS ť C E
7>
Iq o <A  ip ČÄs
^   IrčseUit   5 Okí í'o t/n
/ c
y o t/ n / c
5 =
<1 r
c' /'ta. k. i       t>v_     h (^■l-a.l/Lo I/ä. ^ i   -   '   • j>
1 3
t /J?
Píl
^    CZ   I ký,-*        3| j   c   í |3 - j I ~\
2- *,-ŕ 3
II
I I
Xq  r "t * 3 - - V + -t
t e /J?
(5^ 1 ľV\ 1
3-2-í
t, r e|)ií C
x -J - IT
L i a/ E A'fr. as i'  Ol'F-    P»oVA/{'CE T-
\      i'™ i -£ ■ «/n / / n t, /<: c e.   k   funkci    —   ~\ -
/'c -e.
1 -
V t \c     0 Vy 1/
^   r" c <f    it <    (A \ -f •  r o is \^ i c -4L
2'=0 1 -
= f * - c \ C c }
J- C/l h íd C (
* c i t a. k
P 0 1 kv
-ŕ o~
poc/ípr0s>40w- PHOS rO   ß  U f la c l
L (a/ E A'fr Ay i'  OÍF-    P*o \j a/ ť C E    JL •
Iq 0 (a (y	fa   - •				- 7 2 I
		—   ^ ^   -   2. -f- C1		+         -e.     Avia, x	
			<1 ij t + 5~y -	■- 0
		-   ľ, -e^K       x +		
~      6  o'éúL  M                      h (X.     C3L (/t o		-    ,    .       j- IA. I0 (č. C f		
•  <\ L c          t/   x  ^         > ^			c (	
Pí a - ft *.cť   \sl***'th.os*t~(     -i- 1/
<4  ('"K 7__
uži f Č ľk C A i>
^-e (c £ . f0r
s h k a/ u r r
f^/A, -•••7
r   , ^, • ■ • J
be U ď (t   A & \ cl \ Jr^'cl^.    P ŕ t K L A O u
r
/~ o ť /i / 'c
^     s- -é «i o ^
■   -   ■   ((ojnô    i/o f Uw^     sour'  <> o * t Ls<y
C____^-.__-
/C   -   'KV - /t.
/\ P r fl/A/ {    SOU pL*r D A/ f C G
2?
0 í -e. c h.
• r
t
1 ;	h -í		
---r -' Q -1 -		-+A	
N A ? R .
		
		C,
C2 <? /R )
Ml
Ml
i - r i        (       u f/
i (i d ho e n,^      ř?|jfk.T|*i/A/f     jp^iV^t-CHf      2. /i- c Wo       c/ fir j i c (    s i: ir    L t ru^.
J
ota K*      V Q l $ 0 U       >t a."
•v e.
r -« s j> '    ^ ^-  z> e.    °>-     ^ p o c~ [,
'T
f    * A ■   r -C s £ h. (' h
o e c c /u e
/ l'n t nV ui       í* oiM t (Vici c ^ /V -  c n JL^ -t   c ^ 4, ^ ■+
( «, , *i , • - • )   j <-   S /te       V <£==>
r
pac"*1-   "6 « (c
ío^^^^VAi'c-e.   u 4r o ^ o_     f Á      ^ ^ ^ ( >€ o(. -e tv\    (o    k e*. ^ L i    (    i ;    i ;   '   " " )
v o <- s a
v.
í o l/r
61/ (= J /R
1 :í
		
		
		
	\	
		
ö ^ j 6 a] ;
!7
PpLFcHo DV
/V a. f> V .
o -	
St. n -	
	
	/ • 1 \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \
	"~ ~- ^
0 fc-^-^
■ - • C't.-'J
vc-....._v,
a -
\ /
\
\
V
-ei 0
/
•  o   e c aj e
•        |>r i  k( i-     o4 ir i is eT j 's l<- 0^
^ s
•     1 q  l^L A D /v/ i     t/ t 7" r
öuO,-->
i i
PRi'klADY   Z   Loa? stA
v 10 R
í 8 M^-
A
''icc'-és^nť" "i'nae^ír'* "h«.lcl°h**i
' 7
V o 1/ o
11
•      p o in* c ^    -htroj't'c    U 0 (('d • b * ^ ^
)
rRi'KcADY   2   LETOS K/\
I
ö
a -
f o        r C -Q-
Ml
Č U, , C,] I C.C, e/R} =
—    s t ^ ^ ö( < s
j°r os fo r /j?
y o t- B A so
1:1
37
é y    5 4 k ^ t -£ u h ^      1/ F    T ,    F ß. o $ TO R u
)
4c f-     L i a, e A''p. As i      jco^gi'/l/^cr    i/ E l^t o PL u
i/
i/'  -é «. i
^1 I I
•       f    jc    L lV e aV a/ i' Ít-C    vy j\rd r",'í    ^>t>\™oCi'   Al A- T ('c     t a. (<■ 4 t
X
l'o b v a. i, e. uv i
trn r < n ('   -i- a. c í\ c   Ľ d. j'/"^ (        ň f=~ /Sis/is f      -T 7" A (s K T LS R U  j (l/
r
k d i   j- '■   V -V '    j<~   h <z"jV (c e'   (l ť" t a'h as i')   i, o 6 e-a. x -ť. t-u ( ".
0 i/n
4
p o c" fl'rku/
™ «. "t ( C       L i a/ ■
1/ 1- 1*1 l  < (á b. W\      lc      1t> ÍH. Icl^u^.      OL f >    y-.e. |o t ^ £ lo^
CA)   d í T -e. b r*- í c. L j
-9  \/ Lí'^e^Vl
t r l*C U-
2
			{<■ o 11 Ui £. e*,  h K Os"Č"
			^ O ťV7  t.             ■& (T Oj' /' C     U ž> (ť h. ■      o ^ 'o
			
J-
t-a'\ílaDa// vie t a  a f is/A//G6 01 er
is t Q      h e T,     5 •€      2- cl ^ ,
i O U      S <^*jr -i.ct.in.
1
-L A ICL A O AS I       «/€ TA
?y o    Q í j B k-r il/asi'  J ■ 0\_ —> CL   rnt-bi' ck /• firoi ~torj    D      \ l_   p («. í ť: j"    j e_       p (Va/i Cr—O     2íl ctiö i/Ji/^,     j< o C ia/ 6' s\ fi. a/O s T .
i i   '  I ii        ^    ii . v- ,
s
h *j f~ I € ^ [c y    cÄ.      k. u. 1 U.     I'm p I /' /^ä t ^      ' c— " J
h e x,    f> r i lc*
S   V 6-t.
S
• 1'
J f»0 f-    S •€.
S- po ir s
\ I i . r
s.
6 tl'l
<»      *    fc t.
fo^íU // /ie p~ -c ä. [ i i, o *-
■ff«
V E T A    O    KJ R c £ A/O 57 I
P A o j r ŕ	f lr* $ f> ■ ha		's" cÁo. d^e i*	
A F f M/ts i	2. o £ rez. i-e tn.	s-f ~t-	p r 0 S. -é	0 ^ LA.       (T- 1 ^                  J -C        l/ Ý~ C, Q. l/i o
			i/     o (p -e.	C   H í        ^   O  ( O   "L .
0oíc*T.e»i/*>.||"   j s ku e. o    £ "í r cWe- -f ('t/ti °v-
- -7
A F í M /is i     i_ o & rez. ?.-e t-x (
p CO S, { O ^U.     ^ ' 1^% y -t-      (/ľ~ & e. ^ £?
—J
•     /I        o.    h je  U © ( (  lc      t (c \y i" \y A. ( 4L (si t ^ l'c 4~     ^ ^ ioo <? T. -e       '   /4 F /V/V^ c" A/    t o C y .
P /'S Kli'     o        "*o él^* i 4. ľ\        b      \o     A 4 ^ L       T-J 4L ton        ť A. ť   / h 0 i- f~ľť O^Cl t
o 4 ( <.       V 1. o lr i—
f R.OJ fieri1""!
r
a- ?=" i a/ a/ f/
/ \ \ /
s h o b a/ a
• 2- *. (c (<\ ^ n <    t/ e* -f-cv.    /4 F / a/ As i    cg * o•    $ <    b    d -e.     ^ ^ v^v e ľ *, { S e.    x«/Mft<ín,i' u«N-©fci     r R. O J F ICT ft/AS/       ^«oi^vAtri'-t ,
• ŕ • i,     ľ    á Čt s l c A \<-        Lca^-£ n <x m « ^ j i
r O   V (r\ i c o \s
• J
1c      (   ■  •  • )
fro   n <-LK<\y^ e' .Xi,Vi,*3,€//^j
y o (/ v\ I c    2. A.„ - 5~
7)
5-
y o u v\ i c
e Uo ť is cx. [4 w fun/
-í = í
^ 3/1 -
* 1 - 1(1'^'
p a a a   f ľ R ú a c E"
z	l/'lsx.- f Č ~L *'ís ( S L s	
3		
c	--^-	
		1
o e f c /v/ ŕ
/ l «L      sour. <ou.5t
= /K
pro í. f" o v
LA.
/ft
p
I .'t *   ^ f-   f> o Ä P r o *> ir « r -   Oy ~ /K
•      0^    rai/i^ i co i/e lio ^ j) J *" ^ ""^ ^ '    ^   ^> <*. ý c< *y\ -e, ~k \r ť c ^c * ^ <^
— ^rc? ^  L. -O     ľouí^/C       Uírn C ''«To £       2      ^  ( y j
— ^ I   ' -t r '
— ô ß ť C As E rys     im -€. ' I "v» / 'í*i Ö / lq •ŕi H«; m ^      ■ •
p
«. (r a.
S -f a. c ,      r\ a. jť-é
'j j
Stu 5      1.  1/ M
•t- 0^ t*
«. ^( r •€ Isi )
—     0 ß & c, as E c^^f^ioo-e.
■J
K. S ^ Km
•    V s u A<j f> S' i { o rvi in z    ľ 0 o T y
o o ô
c---v--
ň C \ e s e Ho t> \ t
X     (ß X ~ P + f, +
C—)     X - P ^ -ŕ, ^ + ^
/vj""0 *
*1
<1 2. 0
» í •
2.X, - X-,. -+  X,   -  7    - q
C=> "k - í i - *i -u-
C-==> "x -     p -t It a
if
J
f *
• . ce/v/Tři i c ic e    s*^     ^ « ť c e.
e_   u i i i/a.
r -e k. ŕ
í*
7
!7 y   f-"''* l<-J J
P j U c(c<r« i/^ ÍO(/h*.í((Vl|,f,ť.j
•     post \r*~       j   A o d öl i. V- ^
č A/ líc   A   S o v c FT
^3
<ß} t * CL
o * f A- ^ As ,
h -e (, o
^ .    p e e( f ir c s ^ <o(s-
--■>
—í —5
í J f ĎA/O C f A/|        ß "K Jí
a. <.      tV       h -€. t/vi £A.
.v- u
—9 —>
c___
^ y,
f* k
-4 —1
'f 1 í 1
0 0 Z 2
/
1
2-
3 2.
P O l (s/ /y /U| £ A
£-1
1-1
^—^    °*[ ^\   i o u c y ^     8 ■+ c * D -t
J
/I       X .      i-v-v  o -7, n
a0fte"ct     6+Ct-P     -     (gf AßC  -r/3  6P    / t , 4 6   /£ j
V
=   I " é     S + t t C -ŕ ť í. i) '" /
Ô ,   <~ ,   p      u    08 É CVf   fí lot fe      C-O      J> * \r * ^ e (: ť <j     v r c -e. h ^     JF b ^ bi. /WA c^f
<P>} t s. au
í ■  f o-ípros to/^     ; <P j  t   ž. CU
/
ä   C e *e
D £ I
k t 1
		D '				
-=>				—•> — CK  ďc í >e		•
		8c	= - Fl	+ pc «=	—>	->
	—■> e 03	■+ Z				
-)	ft	-=.	c - e -			
—)
—}
C - at   -=.   (2 -f
tf3
P O C F r A/ \     SOľVi'íCO f T
(ß> -s   ^ 6 -f i,       -ŕ  ^ ■ .   ^    ,       t.   -    f  C r A, ^ -ŕ . . . ^
D e (Bo t    C=P     D  -  6 -f ^ aai 4
tí
Hl
—» —)
-  Ii'ai i//f
v. ^
l> o ku, d     Q C\       — <ý
—j
<£ S £
7
■—j / —^ \
•     P o l K a It í\.
-    (ft c.        <5=)     Mt   -   (/b   -  *t * /
P O C F r A/ \     SOi^v c" ÍCO STÍ
D  -  6 + t,      4 .
1
/
—•> —J
AaJ"  -      -é    /u. -ŕ 1 1
1 1
^•7 ^7 -
\
v/
X'
V-
—5
•    p r i c « vn \
/m. —
T FDT
•    Pří ř(ck on''   ô 8 GTC /u B     ei t f ť ri f'c c     i * k r n oi j'i ' j ťs i-1.'    T I* ť wi '4 'c-sťt ' p r /'p «. d^
<R> -  í o (k j   *~c   -   <ľ° U* [ \ '
d í */c i'p gas t f
o P.ouA/£) 5 t   2 /l/f
A"? -e T_ t i/s-^^ni
i__ i—
Al / A? O   Str  ^A^-DS   "T     ^ o i <r"*. {, c, f <_      '<   y\ e  ju ('c      to f 'S -f
J
J
P o  \c t* (k       j <.       ryi tr5 Cv.
'ŕ
-> —>
í" -í cc -t   j   -z e-        (ß (\ a? a -f r ř'
PR I    ^ Aß
To
A/
föf> r A (*)					p 0 c
	--><L_ - öl • 1 •    ' "		i-	<h z>	A/ i 3
	^ V[l ■ • •	•			
	p o  o o!^	O			
	•  • • o  »\ •   • • 0   o   ojj_L	•	1 OO ^                 k"* )		A/ "i V
	*   *   *   "   * i °l-V   ' .1 o   o   0   0 1		1		
	• •   • \				
-					
		l-	0		
	•  © o\_l_—^-	l ■			
		1			
\    ^ o íí     C *>~t ö				3   - <?t<rtr*> C	
O 6 B c AJ e
Aw- -  ľn a. x
ET    -   <X,'a~^ f ft-tK )   -    01 <'~- C Č*-* 6cľ)
A7   - c*.1^ (X
—>
•    f r~-e 4 p -    (S ,V ^ —)			
	^ ^  N - Z •		
2        i-p g n,              /V/ /4 d		^ ' *é     s    n (' c" t ^     >-vw Vn ö b ; t,	s'
■    J> r < 4 f> -     <fl   öl *e		R /v/ í	
			
—>			
			
5 h r A/UTi
t/ X A J E^l A/f
G • I 0
-    ^  o (AC
■ / o
po t o h y ^ e ^
•      ľ) í" U { í. ľ       j> o l o Ia
<j     l/y i, *. Aľij i     f ťc e,    ŕl I 5 T A    n -e i~   j' i h -t
u * c
p r i c k y
S3
12
u /" u
r/ C
c í. lc
í k
d r) y 6 ĎOt Aj
T«7 p ("cy p I ^ t V) -c^ / ;
|>ro i^i e h o t» ■« t U. j j c c   j» o ť* w\ i «o fc-<\_
a^v)    f\š\~\\toV£   PLO eft Y
o ✓ o
p R I c k y
J   Spíjať c -e.    H-OA/coc/^čf-/   ô O D
-t
•      P O CO ^> ir-o S Í: o t^y      <s\_    y -ty'/ c A_   y°r 4    /'/c^
US PO Čfiíb^ASi'
n : 1
—
H->-
y.  "     r f
o ± i
/í ^ £ '
6 <^ ^
H—t-h
h e. C o
A/C 2-</ty<'s ŕ e h.
,    f> o U c*. Á     " /4 s Ô £ 0 «. 4
H—ŕ-ŕ-
/í  ž. Ď *  S ''
v r
pri n-i c e
4
ir *- j \ , "c A.
po LO pfco S TO fe.y
•     V> v~ öl v\ <" C~ in i'   A/ A 0 Vo "'k^     p^^r/^    ^ >»     0 ^ôk      P O   o f* ^ d S £
0 01/ O Z-SA/f i/řcf
v H E L ,     T R. o j if H £ L asi t. J
k 0a/[/ e x a// m as o x, f Ay y
O ß í I v t :
t3 R. \J AJ [ \C       les n i/t X ii
*      S J & b VOCEa/i      k©<a v JL.XL (o ť~ cU,    wo (n oxT í'<-^      cjn 5 £ «_    a.    (o ť Hi k S / ^   í h'{:    íc o tt i/ -e_X k\ /
•     /<: o a/i/t)f a//    o e 4 ü     *m n o -i"»" m t-      A7   <c £0
ry
W<L-K-«-     po ÍOLÍ.
£ r T c íc
A  A6C  *=-   I A -ŕ t AB -ŕ/Ď Ac
o <=■      ^- 1
O  ž      i-     £ 1
Ä.
/''lír'        »vi G       í». c e
r°i/hí' c <> u & .............................. A 4 g* C ~
*i - K x.  - "i
P o i. /v      ^7 |<_ y
7 E z i s T B A  Po p
*    J 1 * L]   f> o k (< Á •  Ic o iAn 6 / n "t c -e bod
o
«"1
s e c, r «. c/ h / c e.
*   t J f i'c (c e    ľ -t ťt tr p o i,n <*."t^ k ty
7 K c
X -
^ A
6    -  A        . /4ô
i i.
X
)x
0
-    ^ A ■ £
75"
-
A 1-1)
P* EH L EDA/B
A F> A/AS i     /C o /t-j Q f AS A- C ČT     § 0 b V
-1-1—i-1-1-1-f—f—
	A & =	í ^ + ^	B 1			
P o (o i> r (""uvi \c<\_	A& --		8 1	t.		o
ř o lo p r (""uvi (c^	SA		8 1	t.	+      *1j ****	o
0 S e. c  U «_	A f? ■=		8 1	t.		o
				<		
						
				í		
On . -4			g) /			
r - ŕ		^ o (c ^ A.	"N	TA	—•-- -+         Tß   — O	
> o
}
\Z\'C   Q O t) ô - PfteHLFbA/S
Roubil A8C   - $ 1 AA-t i sto-* ±cC
Polorovťw<K A 8 + C
CS
& o do v b  ^/] 0T^e í^sr^ľr -
t
A f-
/4 +
■f-
C -
e + -
c
tj'-      4 UA •+ t & U b - O
CC
tk ■=- 1
i
f ""7 ,   - - - / ^ -     l*>^2si\*     <<M r/     Cľ     //?  ,        a>7^ -ŕ   . . . + ^   9^   O •
>      T"    —    T£ ^1 5 T't    io»<fl(//   ^oť^^' rourfíí. txjp      £ ^ í        t ) j    - '    I    & Jl_ ^ SL ) J J ^> 0 /c- H. A.
u (r .  y 1 j C L
In/ D y K c £"
oß e c as e
kd<- [Aol
• ř ĺ- at r
h- O í
(fc    ^     *f.     o  Icl   I      fA0l    .   .   .  ,    ^   ^    - f
/V
I *lc
2. o b \ra.1 •	« h.	J1 : (K,    ^ (X^   j e_ /^F(,/v/a/|/		
	-)			s
ci-	-)		r ,	
ci^				
H-*-•-f-
X   - - ^ 0 -f- Z. /4„ -
(9
s 1 t
A k.  ^ fb     AS E J s 0 U    u v c jl "i ^ j^A^o^^^cn^.
' s-tcĽU    Poř/ey UflA/aa
Q  lo      c ^ ^       V Č P i AT\ / C   í^a'lt     r LA T f
(Co n ^exi^;' O tet / r^öy
a
c - o
H  -t C - 1 j   ± C 2- O j
t = O
A/Č* J J      r C
6 = O
(c
í   "t c
fE i U t£    tortové. tiA<    í o     í t
i
1/
s t n ŕ ĺ e- y Y
"     * £" tu- i 'c (c £"     <^ e c
C" "6 j/-í. (t ^ o
r
—-   f ft. o 8 c 6 /*7     S T4- ß I C l / Y
H Wi o £ y\ <k    í o u ř tr
S ľ~ A 8 ÍL A/ (
(čl. ol Ä.       f= r w ry> fc"-(r fiO
o f> e. <s- lA
PR i CLAD —-
ô ô 6
r*     3 L
•   ch c e si £ ;
b r e ( e v/
f> r ■* j h <■
• p o $ t ti. e~ h •'
' /
5" o ^ c" í. "t    i/oč^j?     t/   n e>C A. 0 6 a c U   y c    p t> lr^    ft ir"J M Y
•   ň o 1 as &    ft- E~<s g v i
(3 ,r,oj
"7 /) a/T / A/f Lf
í" S ,0,0)
(C, 2-,oj   Z_\ (0,0,1.)
r 3 ,r,oJ
í 1 / r, i.)
( 3, 1, 3j
S tjfl Ay t/T/
*1
h o el ť  c*    ľ *n n t '  k-o Al Q { As A C &    bo oí J
ti   A  A C
ř OM. i/í í /
j r/
<?i-«.cti^ £T /V f     £- o £■ « ^ Co
■t-ČÚťs*Íc     J < J ľ C U.        kOSľlseXA/l'hfO    O e ALU
j> r 4. A c U. o ~lk    i/c"C("   s <.   i.** 0^. o i/o. "^-j/     f ŕ" 1'   A F i'm y l 'c ŕ-/ T-otírÄi^t^/'c^u
t
a Fi*/»/a// g eo h fTr-i'e piŕeHLeDMe'
• Vs^ctiKio    í/I -z(<*í*n 4_      "a I r* ť c k. <j   " ■ • •
t *" (4 S  O      f/3. l/dUor-ö(/^|DrO£   -/or"     1/ *L f. V? <n / *" jO r 0 J -{ ô (T
L/ I/O í( rl I      ✓x.  c c
fro. ( S~i' v C c-i
• j<c4.-či^   po^ pr............................... i. f> č\ s o b <j    \s y j síb \i£ tu i
• ľäv.    p o cÁ p v~...................................... 1/ I.»Cj*, ts^ \* t.     ŕ o u o f-( y
• i/ť"c^ p o cÁ p r . .................................. p ^r^c~^ y
• Orníi^i' pUpr............................ ^ *-C'L<) !   I*- ° *J V EX.*; I   o <o «. (ý
• pods TT        c^. -c    I AJ í//) (2. i' /\ as T ^   <K £ ■        ° & (/~ . "Z-/t^C^Ô^(    <^ e" r-<H_
t r/> ť c (c e   řofcL . /*oj/*7 y
•2. <J-     (-d.    o s "6-
• o
(o 5 1 h* f o G j' -e. í^i^
t t p /'c /c e   p/2- o tv íT Z) ř /i//^
o C -    pod pros b Vtr S
o í e. c t>i «-    t-i^. lc ( '   f> r o S ~6 -o r y  j    5 fa o <d h. 6.    1. o G r ~2-\/ ť d. uf ( č ťl os "é:
d [^Uä í'c U     Icon í ^^-^./cc-e    <\. sOLsists/vs-é
O f Ar K O V+'A/f
S HO P A/ o s T    ŕ o y^i o c c
A X i' O ^ t_/
ti
/w d7       G7 A/ l
/•i f P- f/^l      ŕ e y^f o c c
-9        Co6 oC
•     S k^c/ř/i        o    $ O U C* f'AS LA"
í K A L 4'r AJ\ŕ S o u Čí aJ     ko h i*h e*
• SKALA    P.  ^ , '    $   O (7   C   ť AJ ^  íl    lí-   {; 9  (r ^
•    M o & ŕl a (  ^ ^ i f ^ o s -6 J
1 - /
l<o(,At os r
0 />£ H y k A
/t<// ^J" j -   aire c o S
H«> í-9*-íl
<—-^   [t. t> $ (' Ui ?> o a.    ^ e. tr-í
k A L       tJ\' Soľ tí aJ   f o ŕoScK * e"
O ^6
V
5 ^ £"TP- ľ c (c e
6 /*- LľA'GA'e-*'/
O $ Ö U    s í o z /c*t '"c ^
1° o 7~ ť T f  <s a/ (=    p & f* tAS f T as
r
J? y
-é /'•      £.-<• G. .
-f1
L o
t-VX - A/"   =   >M-1 /vT,    [ £1 . JÍ1 )   -t   A*. <, ( "€-7 • ^T.^ 4   '   ' '
' I      1 /
L A fr A' f' A/erß-Oi/ASOST/'
Z3
(-   / c & 1
1° r OL
Z3
f-  /' c & i
1° r íl
/f ^ *-/\r// 1 \\ \\*r II
I___
/ Z5
jHob a/ o s t [yseďet
Aß—   C J)
r
y i  c -e. ?_
čl x £C —3   v -> /£
—)
^ t 0    1-J    'U. - A B   l-9    |4 ô| -  lK| —
-  •  >    ( eUck   J   s^i 5~ T~ p. t (c a- -
c)     [Ae/-/0*[ *U    f AC l <=l  \AB j -t l & C j
Lr'L/lcL&'f'frDU'Slc^'^    [co uisi jo*. 4 {'(, (' f ut ť  S    A F l flS AJ \     $ { ^ c< L "é H. r Ott.
e.)    A <S   -   c J>    -=0     I 4 s í - l c Ď l
B
8    m e i i*   A- ^   C      <r=>    [ 4c l = |/\B[ -f I íc[
h / <nn  C -e^
A-1"
S H O O a/ o S T  c HL č
/v~ C
^3
—3
(3   ,   /4 ,   C    1--^   /Wr /(g ^   /j- — A C
OLircc os
r o -(r
pi- ( r    "L -e- c-v t    j \e_     w s lc u^. -h L        b O B (l £    t* -e ;
/
-     b C    —   Z  o C    c o s oC
"TZľ-   0. ý-I1! h (' f> r o s £■ o v   š £    S lc«. ( ä V *7/'»-ľ-L     s o u C^/'h ■€ »n 2-*.     -e" ŕ- €.    (       V ~
e i* k 11 (' ^ o ^ S l<- ý' /=> o ej j* r ° S ~é o lr     <ft   — £
=-    i^c^no/i oi"/'nív. ^ ř-«_ ' y'<. [c (<-('<*(o ľ s lety 'm    j°^o i *éo r"*€ • • '
'—J
-e_ / .e. is*. t* < * /    "L o 6       2. -e *t ŕ /   £ —> C      i/    i^*      c c'    A F r ^^ t C f-f
f   j <    ľ3 ° D O 6 M e     (==)     J--/ŕ   —      « Z~ /U A S o e t (C
A. e, -fc-ít ( í
(y    j> o-L U. 4"j (
S H R m v T íl P <~ Ar' aJ
S1
n a n F
cJL     ( -ť? n ° S "ŕ £
o
C k ^1   I lc ^        l/e L -fceíru,
|/l^«i'í<  «OS  "í ^
o
^ c h \s) I /c ^     (/-cíc- -6°^^
1/
TO í' 1
r °
po ivz'r'je^ f
[<- o L- ľl &
p ^- n ho & trj^
v x d a'l b AS o s t f
•e o
c    c\_ [— «v- Ic i: -e r (' ~l<*. C
J" o
v 1 d a'lb aso s t /
23
\s x. ß a ĺ .    I i* (o ■     ř o o n    o -L r sú     o-    }/ * C, •   1 £~ t rz- ť c lc e s^n.   p> y «=> s 4
'   • ■    1 ^ f  ~   ^ '" K-    •  • •
■z, a e j s-> e -
p y- ts Un /
C ET O s~l
W <l í-     í 4: -e. Ír ť "L. e*.   C €_
l? - ß t> Ď
c £ e
o) r^r
o e b c */a' c ha p-a k t e i*, ť za c £"
•        , p * *( prostory    .      8 es dl j   C e <e. :
	*r (a, ť) - \ 8 C í ,	1 Bc /  - no ,			
		C—J	5c   1 ß		eci t -
(r.)			N. i/ r- c 4. i*,		< ^ ^ <9 "Z. Vt. <t -d
			—i —)		
D ST A ÍL y  K ODKAZU
d)
I ec í
fiel  ß   ^ ÉřcX^
ßcl   ß    ^     fřC -í- ^
—i
— )    PS' - cc   €   <E> r) ^.
SOUVl'SLoST   if   i/T-A j. poLoH*1t
O i. k. ••
V   -     1/ z        Y <. n o i -i     fr, e.
S 7 '—) —í
pí    -    o{ , 'ut^   ^ ^-t o «( p •   $ e> n $        ť j;   /     = ^    <B   O *C
/Vi n     (on i ^
P<^        icy l< £" i. fcoLfcc/4 0ČA7 /I  Po t \ Ta ff
(c o {ism y   tri o p> i h -e (<. jo<De{pr-os-éoir<
( o S -£ ('
/cola? y' do p l kí e^/c
o n
-e t -é
U    —    |c o í uvi j_   d o f> I h     (t    U    i/ 1/
pir<?   //'t-   U^i í     ( ^1 j  • ■    j        )    f> <*> cA ^> r-- ty
AJ-   ^   V J
—     /V     « /tyl—
Z- h"*, j' UTO A    p /
- "1
bC>s l & ď
8?
k o       ý   f> (r m tr%-c Ír   *J~   <^ » {j
•Ĺ
Toť a fn i    \c o ( istn o S "h
m     p o (A p r ■    (ß j (c.    J '< o        € * t e*.' f in -c   /c o (m e.   }     jo o /c h cK. —
•     To -ícť Ih -L     h o ŕ      (t,     p o ef y=> r ■    s «l     P (2. o T I *f 4-J f     ^    (? t> /> L; /
p o t (t a'v\  kol i e h o ŕ fič si eV"^
89,S
•    *r e- v   I ť L
i- C/
		—   /U^  ]   • -' -ť/			p V 0     /C —	7, -.. , /c ,
v-	"S í"	<s • ^ J t- ■ ■ 1			/ /Ixt, .    •   >M. J 1      U        1 J t t	
		'S' ^jj +" "	• -f			
II
S o u s "é"
•     $ P    c ■>     <A.t~^   U   -   1 -
		V
	í	
í		
/í II
?OČ[TA^\    ľl t>/ÚF A/o ST I
et i
(£> -     ^  Ö   -f     ; /U1   4    t • .
..: ^ * &
7 i
1/ "1/
7)
1 /v-
- =• O
fC]   y/ýfkA.   K O c/ A/0 té'^A/ o S TSa/U
i* o h
)
h £ 7, «. p .   |< 1/ 4 b |i • poí^^o
O (oj e. i/v>.		• t         t ' •	■ ,xy)
O loj e_ v^->.	( ""i I ■		■ )
11 " ■
Obí.fU«S t      S H «. d. K €.      i -tj ^ í Kíl        f- o     dt ^ [ (ß + ^ )     ~ í
■o
I Be. í
•       J>4 / 3s,'    " ft. o íl SC Ic Ý   "      f> o c* l £ C C J
OBSAHY   <\.    0 B j E i y     r\. e ^a^ť.
Objemy, determinanty apod.
• obsahy rovnoběžníků, objemy rovnovnoběžnostěnů
• vymezení elementárně, vektorově
• determinanty, vnější a vektorové součiny
• poznámky a souvislosti
Opakování
• Rovnoběžníky(-ostěny) se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah.
• Poměr obsahů(-jemů) rovnoběžníků(-ostěnů) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek(obsahů) jejich základen.
• Odtud poučka
„obsah(objem) = základna x výška".
Obecně pomocí vektorů
Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory , v2,... je nezáporné reálné číslo, ozn.      , v2,...), takové, že
• V(V!) := HVill,
• V(v1,v2) := V(v1,w2) = HVilHlv^H,
kde w2 = kolmý průmět vektoru v2 do v^,
• V(Vi, v2, v3) := V(Vi, v2, w3) = V(Vi, v2) • ||w3||,
kde w3 = kolmý průmět vektoru v3 do <v1? v2)±,
• atd...
Počítání __.
y\ /
__Q.-5'
• Pro k — 2 např.:
V(vi,v2) = l|Vi||-||v2||- sin a, kde a — z(vl5 v2),...... (umíme)
• Pro obecné k např.: ^
- podle definice, tj. pomocí kolmého průmětu, (umíme)
- podle vlastností, tj. pomocí determinantu, vektorového součinu, apod.
(fučíme)
Úvod (naivně)
9í
Obsah rovnoběžníku určeného vektory u = (ui, u2) a v = (ví, v2)...
... je roven absolutní hodnotě determinantu det(u, v) = Ui v2 - Ví u2.
'V
Uvod (koncepčně)
Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu:
*->-*    - 0
Vív^avO = 0
4
V(v1,v2) = V(v1,v2 + av1)
V(v1,ďv2) = |ď|-VÍVlVz)
Determinant
O   7 8
Determinant chápeme
• buď jako Mat(n x n)-> R, /    p^.u" u/u>
= součet součinů prvků typu „jeden z každého řádku/sloupce"...,
Qj» • nebo jako V x   ■ x V -> R, kde V = Rn, které je
n
a) anti-symetrické J.
det(v-|, v2,...) = - det(v2, v-i,...),
b) multľ-lineární
/ det(v-|, ibv2, ...) = b - det(v-|, v2,...),
*J' ^ToVul^ det(v1,v2 + w2,...) = det(v1,v2,...) + det(v1,w2,... )•
Důležité (odvozené) vlastnosti:
det^, v2 + av!,...) = det(v1, v2,...), det(v1? v2,...) = 0 <^^> v1?v2,... jsou lineárně závislé.
Vnější součin
Uvažme dim V = n a přiřazení V x • • • x V
n
(vu---,vn) i—> souřadnice i—> determinant. Závisí na volbě báze...1
Vnější součin = předchozí přiřazení vzhledem k nějaké ortonormální bázi; ozn.
Vnější součin je anti-symetrické n-lineární zobrazení, které až na znaménko souhlasí objemem...
Mezishrnutí:
0 pro k > n
±^,...,vk]     pro k = n
V(v1,...,vk) = <
^F) pro k < n
v\' v    (ke! I t t ■
viz přechodové matice a Cauchyovu větu o součinu determinantů.
Kouzlo (k = 2)
i 00
Víme, že
pncemz
V(v1,v2) = l|Vi||-||v2||- sin a,
sin a
cos^ a,
cos a =
Ví ■ V2
vil|-||v2||\
Odtud
V(v1,v2) = ••• =
1
:l|v2||2-(vi -v2)2 =
Ví . Ví Ví . v2 v2. Ví   v2. v2
zase jakýsi determinant,
Kouzlo (obecně)
7o1
tzv. Gramův determinant, ozn.
Gfa,...,vk) : =
Ví - V-|
V/c - V!
ví . yk
v/c. yk
Věta
Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí
V{yu...,yk) = ^G{yu...,yk).
Důkaz.
Plyne z vlastností determinantu a skalárního součinu,
□
Detaily k důkazu
v—
1) Pro navzájem kolmé vektory (kvádr)
G(v1,w2,w3) =
Vi . v1
0 0
2
0 o
w2. w2 0 0      w3. w3
l|w2||2-||w3||2 = V(v1,w2,w3)2. ^
/ v A <p
2) Pro lib. našikmené vektory
G(v1,v2,v3) =
, v3  : w3 + bv1 + cv2:
Vi . Vi Vi . V2 Vi . v3
v2. Vi v2. v2 y2 - v3
V3 . Vi v3. v2 v3. v3
. Vi Vi . V2 Vi . v3 ■ V-|        . v2        . v3
. Vi w3. v2   w3. v3
Vi - V-| Vi . W2 . Vi     W2 .
w3. v1   W3 .
Vi . w3 w2. w3 w3. w3
= G(v1,w2,w3). □
Vektorový součin (n = 3)
Od maturity známe jako operaci V x V —> V s několika užitečnými vlastnostmi:
s -'II w* vil
0 fr l' ■«. "i 4-<\. c -e.
U maturity zpravidla nevíme proč, ale pro u = (ui, u2, u3) a v = , v2, v3) počítáme takto:
U X v =
u2 v2 u3 v3
U3
^3
U2
^1 V2
Vektorový součin (obecně)
Návod k předchozímu souř. vyjádření — Laplaceův rozvoj determinantu:
	*1	
u2		= +
U3		
	T	
u2 v2 u3 v3
L/1 Ví
U3 V3
X2
L/1 Ví
U2 V2
*3-
Důležitá (bezsouřadnicová) interpretace:
l/tlc tórou* s
[u, ,x] = (u x v) .X,
Obecná definice:
Vektorovým součinem (n - 1 )-tice vektorů (ví,..., vn_i) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je vektor w := Ví x • • • x vn_i splňující
[Ví.....Vn_i, X] = W.X
pro všechna x e V.
Vektorový součin (vlastnosti)
Věta
i o r
«0
«.)  S r || U x Vil V
Ozn. w := Vi x • • • x vn_i, n = dim V.
a) Toŕo ye anti-symetrické multi-lineární zobrazení V x • • • x V —> V.
—vr—
n-1
b) w = o <^^> Ví,..., vn_i ysou lineárně závislé.
c) Ví,..., vn_i ysou lineárně nezávislé => ^,..., vn_i, w) je kladná báze.
d) w je kolmý ke všem vektorům m^,..., vn_i .
e) ||w|| = V{yu...,vn_A).
Důkaz.
a) Viz def. rovnost a vlastnosti vnějšího a skalárního součinu.
b) [v-|,...,vn_i,x] = 0 Vx e V <^> v1?...,vn-i lin. závislé; w. x = 0 Vx e V <^> w = o.
(t) c*j <s)
c) v-|,..., vn-i lin. nezávislé ==> w ^ o ==> [ví,..., vn-i, w] = w. w > 0.
d) w. v,- = [v!,..., vn_-|, v,] = 0.
e) ||W||2 = W.W = [Vi^.^Vn-^w] =Vfa,...,Vn^,}N)=Vfa,...,Vn^)-\\}N\\. □
Poznámky
K vektorovému součinu pro n = 3:
• Binární operace V x V -> V, která není asociativní (přesto užitečná).
• Pro velikost platí
u x v|| = ||u|| • ||v|| • sin a,   kde a = i(u, v).
K aplikacím
• Orientace a kolmosti vektorů.
• Objemy rovnoběžnostěnů, simplexů atd., přičemž:
1
■
t *t <^ uí U c e.
Objem fc-dim simplexu = — objemu opsaného rovnoběžnostěnu. Vzdálenosti podprostorů bez řešení soustav rovnic:
v{b,c) =
V(iii,u2, ... , BC) V(ui,u2, ...)
kóeBe®, CeCa(iii,u2, ...)je báze s + C
o OCŕi r Líc y
1 o^-
O L e. c Wl A * -f- f tsj (' c £_
o OC+i r Lk Y
1 08
f5" ^*"*v» t ŕo
/N/ŕ-//W/
0 4 e.c n t.
—í —>
—) —")
í3 i^e ?
*—* f —í —* z —»
í*.   <e  c<e.   ^   t 1 (A /) J
T
P P\z/si' c H A P- A tiT F K (' 2- A c E
4: ŕ t, ty			
[c ck. <	-5		
CK-			ei. 0
c°5 ^ "   ifZJMk//   ~   (KiMkíí    =^   'Klílkíí 'Klí
■irj -        - Ax,    ^ . AT =- o
Oe£CA/A'  C H A P-A tiT&P* ('2-A C E
110
_j —)
ti o
M.
—    K <(   5 e í ■€ (c A^^
et   S <°   í -t   4. A^,
(Ti
o     vo 4 r ,     ^     03 ^  ^ Ss
Pi
			^  ^ AA^  A^£ ) -	"   ' J		
			—     C h q.V ■    \s 4. <t, íl o ir-			
				-		
T-Kp-AT^Y   A pOT-A/AI^y
111
• o
« c
v_
ís« t H C        f> t 0L £ (
t
—9
led. e~ e- £
6= l f' L
S , . —ä X —* —J   / —i
p/ä-to ^ ^ 0 k u *t
^  í  t        k- SIS l'(<z O i, (' f
■ťr-
c (x
0 í) «CH Ä
772,
^15"    ^ ^ ^ č 7-     ^ l J c? O <^  -     ť J J *   c* ^ In
*
( f> 80)
0 o p / m (ry^ e,
is-     ronton č. i'   A T= ť/^/^ l'c f-f ( S ■ 11 T - 1 1 (, )
•     oi    lc ((\ U v\ e. J š t       o i 4 © i^-
/\A/4C  VYJ a'D {IE as i'
•    CL j OL
i
<\ -f t H tn t     j=> ť- o s i: o r <j     —h     *\ -f ť to in /     r o u r~ •   ?oci j ŕ"
<
j1 : CK,—=*  OJ   j<_ AT=lfi/fi/'
£=)      j^A-f at) -   f (a) -i £[at)  )    Wd<l.   s-\Z—*V' J*- Li'a/Sa'h
A/
+
5 ot/r «. e( n    c í (j^íi t vv\ a. -t (" c JL   c i'/v/-        J 8 i-t r ä. á ia ť c e
o t tra. t- p <? c" /«v^TNciy      2^0 b      t, &     / j*
v "t, o y ca.
7-  \c \r- o,   Z € i\
X
I I
x
y- t c <. n-* z
/\A/4c V Y J a'D {IE as i'
11 y
c,z'
ŕ
/ ' '      s  , ' ' •
Z. ei. c       s u'ä S K- A C 1   R- AS (       S O LS C. f
s^s
ľ    L o
4T. '-
4.
O /KS     b ctf T- <-
v- M
r"
1 o
0 -I
fl- f ť n h ť f -   £ -^ Z'   j'-e-      f> O D O Q A/ £     s    to.f/chU^ /<
o ks    b«^ <-
s
v-
0
7
t r.
-   ° k'
A f A C- VYJ A'D íl F as\'
•   a / (' n h , ' f i
\/ ' lei. pi^íl O   G  J    F/1 y
: e.
«--
ľ í'
11 €
-f1
-   G P- A A? o isA   mr, a é/'c-e. ,
Co (/ů.
• s h o b aj a t   P ° o o 6 aj y\        f h ľ i a f (' *s/v /      x ^ č r- .   js o ^     f* k. o S T A
• OUc 14 iť'   A ^ C a/ a/ (       i 0  G r- ■ j
X
p
-h
Ď
x
X
Ď
P
o      1 J
X
1 /
				
				
				
			I	
C d        n a 5
— U o y\ -f r o tsi ~é c*, c e_ -e o c^. -    *v- * f .      l/J? y í  o/ ^-e. ^ f
— £ íč- l      d ď h. (     öl rtf"!^/*^*/^.*'^--
(T
e o (/-vi í
E^fctG-fD- c b on b r&ťe P fi^S H L & b as &
7 7 S
tif^so   (R ^e.^t o fro u yr ^>r oí 4 o ŕ \s «. f('n m i ^ proí-{or (Aj
.    .    ,       &4 O y© / ^ Ui j ^    fy,  £ g? S     A L A  P- AS ('   * O is C~ I AS
s ««•
• h O V- iaa. (k.    , (c g ( (sví o S ■£ f    O d c (n <y I /c <K      \A £ (c {; o (r
• J" /i o í( n c s ■£ ^ s e. c <_ L   ,    u ín ((X
ba. i S~i' v C
• \s    d «'/ č <n. o s ~6 ;    o cA c U ý { (c.^    o C -   p o d f r .
• O b j' e. t,* y irovHob-e-ťh.osb & ia h /    S /' tsy\ f> l -e-K ^   (    *   • •
Sot^xsi'sioS-k: t
• O L> j -e. ls* ij ík.     d •€. ~t <- Ý~ r\s\ / V) ^ í-^