Fyzika (z řeckého φυσικός (physikos): přírodní, ze základu φύσις (physis): příroda, archaicky též
silozpyt) je vědní obor, který zkoumá zákonitosti přírodních jevů.
Fyzikální zákon vyjadřuje objektivní souvislost mezi fyzikálními jevy nebo veličinami.
Kvalitativní (mají charakter tvrzení)
„Vodičem, na jehož koncích se udržuje rozdíl potenciálů prochází elektrický proud.“
Kvantitativní (zapisují se formou matematických vztahů – rovnic a vzorců)
Např. Ohmův zákon U = R . I
Fyzikální vlastnosti, stavy a změny v přírodě, které je možno změřit a zapsat číselnou hodnotou,
vyjadřujeme fyzikálními veličinami (např. objem, hmotnost, teplota, elektrické napětí, …). Pro
jednotlivé fyzikální veličiny používáme smluvené značky: objem V, hmotnost m, teplota T, rychlost
v, elektrický náboj Q, síla F, …
Měřit fyzikální veličinu znamená určit její hodnotu porovnáním s určitou, předem smluvenou,
hodnotou veličiny téhož druhu zvolenou za měřící jednotku (= jednotku fyzikální veličiny).
Výsledkem porovnání měřené fyzikální veličiny se zvolenou měřící jednotkou je číselná hodnota.
Číselná hodnota fyzikální veličiny udává, kolikrát je hodnota měřené veličiny větší než zvolená
měřící jednotka.
Hodnota fyzikální veličiny je tedy určena číselnou hodnotou a příslušnou měřící jednotkou.
Hodnota fyzikální veličiny = číselná hodnota . jednotka.
Je-li X obecně symbol fyzikální veličiny, {X} její číselná hodnota a [X] měřící jednotka, platí:
X = {X} .[X]
Číselná hodnota {X} označuje kvantitu (množství), měřící jednotka [X] kvalitu fyzikální veličiny.
Platí-li např. pro velikost rychlosti 15 m.s-1, pak {v} = 15 a [v] = 1 m.s -1.
Číselná hodnota fyzikální veličiny nemá sama o sobě žádný smysl, neboť hodnotu fyzikální veličiny
můžeme vyjádřit v různých jednotkách. Proto je nutné uvádět číselnou hodnotu fyzikální veličiny
vždy s její jednotkou!
Zápis l = 25 nemá smysl (předpokládáme, že l značí délku). Není uvedena jednotka - může tedy být l
= 25 mm nebo l = 25 cm nebo l = 25 m. Zápis bez jednotek není přípustný, neboť vede k
nejednoznačnosti.
Fyzikální veličiny
Skalární: jsou určeny pouze velikostí (hodnotou) a jednotkou (čas, hmotnost, energie, délka,
teplota, frekvence, práce, náboj, odpor, kapacita, …)
Vektorové: jsou určeny pouze velikostí (hodnotou), orientovaným směrem a jednotkou (rychlost, síla,
…). Znázorňují se orientovanou úsečkou.
Pin by kerry miller on EMOJIS | Emoticon, Emoji symbols, Funny emoticons
Mezinárodní soustava jednotek
Mezinárodní soustavu jednotek tvoří tyto skupiny jednotek:
Základní jednotky (a veličiny)
Definují se přírodním dějem.
Jde o 7 jednotek a veličin.
Odvozené jednotky
Odvozují se ze základních jednotek pomocí definičních vztahů odpovídajících fyzikálních veličin:
m.s-1, kg.m-3 , …
Některé z nich mají své názvy podle význačných fyziků:
např. N = kg.m.s-2 (newton), J = kg.m2.s-2 (joule), …
•
See the source image
Násobné a dílčí jednotky tvoří se ze základních a odvozených jednotek pomocí mocnin o základu 10:
Pozor! Je zde jedna výjimka: kilogram je jednotka základní, nikoli násobná !!!
V některých případech je možné též použít předpon centi- (se značkou c), deci- (d) a hekto- (h) -
např. 1 cm = 0,01 m, 1 dm = 0,1 m, 1 hl = 100 l, …
Násobky jednotek
https://www.jednotky.cz/
See the source image
Vedlejší jednotky
jejich používání je příslušnou normou dovoleno, i když do jednotek soustavy SI nepatří. Povolení
bylo uděleno na základě praktických důvodů. Jedná se např. o tyto jednotky:
minuta (min), hodina (h), litr (l), tuna (t), …
Při výpočtech je ale převádíme na jednotky soustavy SI.
Mechanika
•
•1. kinematika – zajímá se o popis pohybu (trajektorie, dráha, rychlost, …). Kinematika tedy zkoumá
JAK se příslušné těleso či hmotný bod pohybuje.
•
•2. dynamika – zajímá se o příčiny pohybu (tj. o síly působící na daný hmotný bod či těleso).
Zkoumá, PROČ se těleso či hmotný bod pohybuje.
Kinematika
= fyzika pohybu x neřešíme příčiny pohybu
•Mechanickým pohybem se ve fyzice označuje takový pohyb, při kterém dochází ke změně polohy tělesa
vzhledem ke vztažné soustavě, opakem klid.
•Klid a pohyb a klid těles jsou relativní. Proto se určuje vztažná soustava
•Fyzikální těleso je každá ohraničená část látky bez ohledu na skupenství.
•Hmotný bod je každé těleso, jehož rozměry lze vzhledem k uvažovaným vzdálenostem zanedbat.
Při mechanickém pohybu mění těleso svou polohu vzhledem k jiným tělesům ve svém okolí. Pokud těleso
nebo jeho části tuto polohu vzhledem k okolním tělesům nemění, říkáme, že je v klidu.
Soustava těles, ke kterým vztahujeme pohyb nebo klid sledovaného tělesa, se nazývá vztažná
soustava. Vztažnou soustavu se snažíme volit tak, aby popis pohybu tělesa byl co nejjednodušší.
Vztažná (nebo také referenční) soustava je tedy zvolená skupina těles (příp. i jediné vztažné
těleso), které jsou vzájemně v klidu, anebo zadaném či známém vzájemném pohybu (referenční tělesa).
Vztažné soustavy dělíme na inerciální a neinerciální.
Za vztažnou soustavu nejčastěji volíme povrch Země, nebo tělesa pevně spojená s povrchem Země,
např. silnice, budovy, … K nim vztahujeme pohyb nebo klid např. dopravních prostředků a jiných
pohyblivých těles.
Za vztažnou soustavu někdy volíme také tělesa, která se sama vzhledem k povrchu Země pohybují.
Vztažná soustava
Příklad
Předmět, ležící na sedadle jedoucího auta je vzhledem k tomuto vozidlu v klidu, ale pohybuje se
vzhledem k povrchu Země. Tentýž předmět na sedadle stojícího automobilu je v klidu vzhledem k
vozidlu i k povrchu Země, ale koná otáčivý pohyb kole zemské osy a spolu se Zemí obíhá kolem
Slunce.
See the source image
Sledujeme-li určitý pohyblivý předmět ve vagonu jedoucího vlaku , vztahujeme jeho pohyb nebo klid
ke stěnám vagonu a neuvažujeme jeho pohyb vzhledem k okolní krajině
See the source image
Poloha hmotného bodu
Chceme-li popsat mechanický pohyb hmotného bodu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě, musíme znát
jeho polohu v libovolném okamžiku jeho pohybu. Tu určujeme pomocí vhodné pravoúhlé soustavy
souřadnic, kterou spojujeme se zvolenou vztažnou soustavou.
Soustava souřadnic
Volbou vztažné soustavy neříkáme nic o zvolené souřadnicové soustavě. Zatímco pojem vztažné
soustavy má fyzikální obsah, je pojem souřadnicové soustavy matematického rázu a závisí na libovůli
subjektu bez fyzikálního obsahu. V dané vztažné soustavě lze použít libovolný souřadnicový systém.
Obvykle se volí takový systém souřadnic, který popis daného pohybu co nejvíce zjednodušuje.
See the source image
Mezi jednotlivými systémy souřadnic lze přecházet určitou matematickou transformací souřadnic,
která opět nemění podkladovou fyziku, ale jen vlastnosti jejího popisu.
Kartézská soustava souřadnic
See the source image See the source image
Polární soustava souřadnic
Soustavy souřadnic v rovině
Latin quotes: Cogito ergo sum
Kartézská a polární soustava souřadnic - transformace
Kartézské souřadnice
Soustavy souřadnic v prostoru
Příklad
See the source image See the source image
Medvěd šel ze svého obydlí 1 km na jih. Poté změnil směr a kráčel 1 km na východ. Pak se otočil a
kráčel 1 km k severu a ocitl se přesně v místě odkud vyšel (t.j. u svého obydlí). Jakou barvu má
medvěd?
Odpověď: Bílý lední medvěd, bydlí na severním pólu.
Vektor je orientovaná úsečka. Má svůj směr a má svoji velikost.
v rovině od A[a1,a2] k B[b1,b2]
v prostoru od A[a1,a2,a3] k B[b1,b2,b3]
Vektory
Hodnoty a1, a2, a3 a b1, b2, b3 jsou souřadnice volného vektoru který nevychází z bodu [0, 0] .
Hodnoty u1 a u2 jsou souřadnice vázaného vektoru který vychází z bodu [0, 0] .
See the source image
Vektory vázané na určitý bod v prostoru (např. síla působící v bodě zvaném působiště síly,
okamžitá rychlost hmotného bodu v daném místě trajektorie, …).
Vektory vázané na přímku, na níž leží vektor (např. síla působící na tuhé těleso).
Vektory volné nejsou vázány na určité umístění (např. moment dvojice sil).
Vektory
Pythagorova věta, úhly v pravoúhlém trojúhelníku
Dvojice úhlů - souhlasné a střídavé
Souhlasné úhly jsou shodné
Souhlasné úhly jsou úhly, jejichž první ramena jsou rovnoběžná a druhá leží na jedné přímce. Musí
také platit, že úhly mají stejnou orientaci. Souhlasné úhly jsou shodné.
Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou
rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné.
Střídavé úhly
Podobnost trojúhelníků
Lze využít k lineární interpolaci hodnot v tabulkách.
Lze využít při geodetických měřeních.
Thales Theorem for similar triangles (positive impact ...
Lineární interpolace tabelovaných dat na základě podobnosti trojúhelníků
D50 = 1,067 + (50-40).(1,127-1,067)/(60-40)
D50 = 1,067 + (1,127-1,067)/2
D50 = 1,067 + 0,030 = 1,097 kg/m3
Excel Interpolation Formulas - Peltier Tech Blog
Směrové kosiny
γ
Směrové kosiny se ve statice (mechanice těles) označují kosiny úhlů, které vektor a svírá
s kladnými směry os souřadnicového systému.
v rovině
v prostoru
Rovnoběžnost vektorů
podíl x-ových, y-ových a z-ových souřadnic se musí rovnat jednomu číslu (násobku).
v rovině
v prostoru
Úhel 2 vektorů
úhel svíraný dvěma vektory se pohybuje v rozmezí 0°- 180°. Pokud by při výpočtu vyšlo θ = 250°,
bude mít úhel svíraný dvěma vektory velikost 360°- 250° = 110°.
k = konst.
v rovině
v prostoru
Kolmost vektorů - pravý úhel
Podmínka pro kolmost vektorů plyne z výše uvedeného vztahu pro výpočet úhlu vektory svíraného. Pro
úhel 90° má cosinus hodnotu 0, tím pádem je podmínka kolmosti vektorů následující:
v rovině
v prostoru
Velikost vektoru
(= skalární součin vektorů)
Operace se skaláry a vektory
Např.
skalární součin 2 vektorů je komutativní
vektorový součin 2 vektorů není komutativní
v rovině
v prostoru
v rovině
v prostoru
Operace s vektory — Matematika.cz
Opačný vektor -u k vektoru u
Násobením vektoru reálným číslem k dojde jen k vynásobení obou jeho souřadnic číslem k. V
geometrické interpretaci se to projeví „natažením“ nebo „zmenšením“ vektoru, případně jeho
převrácením, pokud je k záporné.
Bakalářská fyzika pro HGF VŠB-TUO
Součin vektoru a skaláru (reálného čísla) k
k = -1
Speciálním případem je např. násobení jednotkového vektoru jeho velikostí
v rovině
v prostoru
Součet vektorů
Operace s vektory — Matematika.cz
1) Konstrukci výsledného součtového vektoru dvou vektorů lze provést pomocí rovnoběžek -
takzvaným doplněním na rovnoběžník.
Každá úhlopříčka dělí rovnoběžník na 2 stejné
trojúhelníky.
Pokud známe velikosti F1 a F2 dvou vektorů a úhel a,
Který svírají, můžeme určit velikost výsledného
vektoru F pomocí kosinové věty:
MATEMATIKA Čtyřúhelníky pod mikroskopem
Pokud potřebujeme sečíst více vektorů, sečteme jednoduše libovolné dva, k jejich výsledku přičteme
další vektor, a tak dále, až vyčerpáme všechny vektory.
2. Sčítání vektorů lze provádět technicky ještě jiným způsobem - přesouváním konce jednoho vektoru
k začátku druhého.
Nikdy nepůsobí jen jediná síla | Eduportál Techmania
Pokud potřebujeme sečíst více vektorů, sečteme jednoduše libovolné dva, k jejich výsledku přičteme
další vektor, a tak dále, až vyčerpáme všechny vektory.
umdberg / Average velocity (2013)
Speciální případy
Sčítáme-li dva vektory mířící stejným směrem, dosadíme do vztahu úhel, který svírají a = 0°.
Protože cos 0° = 1 dostaneme velikost výsledné síly:
To odpovídá známé skutečnosti, že výsledné působení dvou sil stejného směru je rovno jejich
prostému součtu. Podobně pro síly mířící opačným směrem, kdy a = 180° (cos 180° =
-1) dostáváme výslednou sílu rovnu rozdílu působících sil:
Pokud přitom vyjde velikost výsledné síly F záporná, znamená to pouze, že výslednice míří opačným
směrem než F1 (tedy směrem F2).
Pokud budeme sčítat dva kolmé vektory dosadíme do vztahu pro součet dvou vektorů a = 90°
(cos 90° = 0) a získáme tak známou Pythagorovu větu, která zde vyjadřuje délku úhlopříčky
obdélníku:
Chceme-li od vektoru F1 odečíst vektor F2, viz obrázek vpravo, uděláme z vektoru F2 vektor opačný
a přičteme ho k F1.
Odčítání vektorů
Jsou-li dány vektory u, v, potom vektor w = v + (-u) nazýváme rozdíl vektorů v a u.
Zapisujeme w = v - u.
Rozklad vektoru do dvou daných směrů
- operace, která se ve fyzice používá velice často. V tomto případě hledáme dva takové vektory,
které leží v daných směrech a jejichž vektorovým součtem dostaneme zadaný vektor.
MECHANIKA I Nakloněná rovina | Eduportál Techmania Operace s vektory :: MEF
Příklady
Pohyb na nakloněné rovině
See the source image
Křivočarý pohyb, šikmý vrh
Pohyb po kružnici
1.3: Dot Product - Mathematics LibreTexts
Skalární součin
v rovině
v prostoru
See the source image
Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je skalár, tedy číslo. Skalární součin dvou
vektorů a, b zapisujeme tečkou mezi vektory a jeho hodnotu určujeme ze vztahu
kde a, b jsou velikosti skalárně násobených vektorů, a je úhel, který násobené vektory svírají.
Skalární součin je komutativní.
|b|
Velikost skalárního součinu
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
dotProof
2. Jeden z vektorů se zorientuje rovnoběžně s osou x.
3. Druhý z vektorů se rozloží na složky rovnoběžné s osami x a y.
1. Násobené 2 vektory
Typickým uplatněním skalárního součinu ve fyzice je výpočet toků různých vektorů plochami. Každá
(rovinná) plocha S je charakterizována stejnojmenným normálovým vektorem, určujícím její velikost i
prostorovou orientaci. Jestliže pak takovou plochu umístíme do nějakého vektorového pole (pro
začátek homogenního), definujeme tok vektoru uvažovaného pole danou plochou jako jejich skalární
součin. Některé příklady:
V proudící kapalině (nebo plynu) definujeme objemový tok (tok vektoru rychlosti):
V magnetickém poli definujeme magnetický indukční tok:
Podobně v elektrickém poli zavádíme tok elektrické intenzity:
Elektrický proud lze chápat jako tok vektoru proudové hustoty plochou průřezu vodiče:
V teorii elektromagnetického vlnění je zářivý tok vlastně tokem
tzv. Poyntingova vektoru.
Typickou ukázkou skalárního součinu je také například definiční vztah pro práci W vykonanou
silou F při posunutí daném vektorem s:
Uvedený skalární součin můžeme vyjádřit jako
,
kde F je velikost působící síly, s je vzdálenost o kterou se předmět posunul, a je úhel, který
svírala síla se směrem pohybu.
Příklad
Skalární součin násobí vzdálenost uraženou předmětem se složkou síly ve směru pohybu: F.cosα. Právě
tato složka koná skutečně práci. Pokud bude vektor síly F kolmý na směr pohybu, je tato složka
nulová a síla v daném směru nekoná žádnou práci.
Vektorový součin
Vektorový součin — Matematika.cz
Vektorový součin značíme křížkem, výsledkem vektorového součinu je opět vektor.
Výsledný vektor w je kolmý na rovinu, ve které leží původní vektory u a v.
Vektorový součin počítáme pouze v prostoru (nikoli v rovině).
Výsledný vektor je vždy kolmý na dva násobené vektory. Jeho směr lze určit pravidlem pravé ruky:
Přiložíme-li pravou ruku kolmo k vektorům tak, že prsty směřují od špičky prvního násobeného
vektoru ke špičce druhého, pak vztyčený palec ukazuje směr výsledného vektoru = první násobený,
druhý násobený a výsledný vektor (v tomto pořadí) tvoří takzvaný pravotočivý systém.
See the source image
Směr vektorového součinu závisí na pořadí násobení vektorů (vektorový součin tedy není
komutativní!)
Velikost vektorového součinu
Velikost vektoru w (vektorového součinu) lze vypočítat pomocí vzorce pro výpočet velikosti vektoru,
musíme ovšem znát vektor w.
Velikost výsledného vektoru vektorového součinu odpovídá číselně ploše rovnoběžníku určeného
násobenými vektory. Pro plochu S zobrazeného rovnoběžníku můžeme psát:
Vyjádříme-li si dále vektory na obrázku ve složkách
můžeme spočítat z definice vektorového součinu složky výsledného vektoru c:
Výsledný vektor má nenulovou pouze složku ve směru osy z, to znamená, že je skutečně kolmý na
rovinu xy, ve které leží vektory a a b.
See the source image
|b|
Moment síly M je vektor (kromě jeho velikosti tedy záleží i na jeho směru) a lze jej vyjádřit
pomocí vektorového součinu:
kde r je polohový vektor působiště síly F vzhledem k ose otáčení jako počátku.
Vektorový součin ve fyzice používá pro vyjádření veličin, jako je například moment hybnosti,
obvodovou rychlost, moment síly nebo magnetická síla působící na pohybující se nabitou částici.
Příklad
Pokud bude pohyb konce montážního klíče ve směru hodinových ručiček, moment síly směřuje podle
pravidla pravé ruky za nákresnu, tj. ve směru utahování šroubu.
Obsah obrázku exteriér, kolo, motocykl, černá Popis byl vytvořen automaticky
Určete velikost a směr vektoru momentu M vodorovné síly F, kterou klaun na okno působí vzhledem k
ose závěsů.
Podle pravidla pravé ruky je vektor momentu síly M je rovnoběžný se závěsy okna a míří nahoru
(vychází přímo vzhůru z roviny obrázku, tj. před nákresnu). Jeho velikost je r . F . sin φ,
kde φ je úhel sevřený vektory.
Pokud vektory r a F svírají obecný úhel φ, je velikost momentu síly rovna:
M = r . F . sin φ
V případě, že jsou vektory r a F kolmé, je sin φ = 1,
a pro velikost momentu síly platí:
M = r . F
Příklad
Right Hand Rule for Vector Product | Electrical engineering, Math, Education
See the source image See the source image
Polohový vektor
Polohu hmotného bodu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě také určujeme pomocí polohového vektoru
r. Polohový vektor znázorňujeme jako orientovanou úsečku, jejíž počáteční bod leží v počátku
souřadnicové soustavy a koncový bod v uvažovaném hmotném bodu.
Souřadnice polohového vektoru jsou totožné se souřadnicemi hmotného bodu.
Velikost polohového vektoru r se rovná vzdálenosti hmotného bodu od počátku soustavy souřadnic.
Směr polohového vektoru určují úhly, které polohový vektor svírá s osami souřadného systému.
Polohový vektor
(= rozklad polohového vektoru do směrů os kartézské soustavy souřadnic)
Polohový vektor lze popsat i cylindrickými a sférickými souřadnicemi.
Trajektorie hmotného bodu
Trajektorii lze definovat jako spojnici všech poloh, kterými prochází koncový bod polohového
vektoru r:
r = r(t)
Je to souvislá geometrická čára v prostoru (resp. v rovině nebo v přímce), kterou opisuje hmotný
bod při svém pohybu v daném časovém intervalu. Trajektorií může být přímka, anebo křivka
(kružnice, elipsa, spirála apod.).
Trajektorie není fyzikální veličina (nemá jednotku).
X04 Trajektorie pohybu - směr nahoru
Posunutí Δr je vektor, který vyjadřuje změnu polohového vektoru za určitý čas pohybu hmotného bodu.
Posunutí je dáno pouze počátečním a koncovým bodem pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) jakožto
spojnice bodů „start-cíl“ pohybu, a to bez ohledu na absolvovanou dráhu a trajektorii daného pohybu
za čas pohybu.
Dráha hmotného bodu s je délka trajektorie, tj. skalární fyzikální veličina, jejíž velikost se při
pohybu v čase mění, tj. s = s(t).
Jde tedy pouze o vzdálenost, kterou hmotný bod (resp. těžiště tělesa) opíše za určitou dobu, značí
se obvykle s, případně dráha jako vzdálenost d nebo délka l. Dráha se měří se v soustavě SI
v metrech, případně v dekadických násobcích nebo dílech metru.
V některých, zejm. starších učebnicích může výraz „dráha“ označovat trajektorii a výraz „délka
dráhy“ dráhu. Např. „Planeta se pohybuje po eliptické dráze o délce ... “
Rovnoměrný pohyb po kružnici - rovnoměrný pohyb po kružnici
Specifický tvar trajektorie nám pak umožňuje pohyby kvalitativně klasifikovat:
Tvar trajektorie je závislý na volbě vztažné soustavy. Tentýž pohyb může být vzhledem k jedné
vztažné soustavě přímočarý, vzhledem k jiné vztažné soustavě křivočarý.
Volně padající míček ve vagonu jedoucím po přímé trati stálou rychlostí se ve vztažné soustavě
pevně spojené s vagonem pohybuje po přímce (volný pád), zatímco ve vztažné soustavě spojené se Zemí
opisuje parabolu (složený pohyb vodorovný vrh).
Příklad
MATHEMATICA TUTORIAL, Part 1.1: Cycloids Uhlová rýchlosť - Wikiwand
cykloida
kružnice
Cyklista je vůči bicyklu v klidu a vůči chodci v pohybu. Z pohledu cyklisty bod na obvodu kola
bicyklu opisuje kružnici.
Cyklista i bicykl jsou vůči chodci v pohybu. Z pohledu chodce bod na obvodu kola bicyklu opisuje
cykloidu.
Příklad
rotační + translační pohyb
rotační pohyb
Derivace
Diferenciál
Diferenciál je přírůstek bodu tečny ke grafu funkce f v bodě [x0,y0]
dy = f(x0+h) - f(x0) = A.h
kde A = f’(x0) = a h = dx
Pokud derivace funkce y=f(x) v bodě x0 existuje, říkáme, že funkce f je v bodě x0 diferencovatelná.
Derivace je směrnice tečny ke grafu dané funkce v daném bodě.
Definice derivace - velký obrázek Definice derivace - velký obrázek
Derivace
Tečna a normála křivky
Tečnu můžeme definovat jako přímku, která má s křivkou jeden společný bod dotyku. Na rozdíl od
průsečíku, leží všechny okolní body křivky v polorovině, která je určena přímkou. Pokud je křivka
grafem nějaké funkce, pak první derivace funkce je směrnice tečny.
Tečný vektor, je vektor tečny křivky, jejíž body jsou určeny polohovým vektorem r = r(t), která
prochází bodem r0= [x0, y0, z0] dané křivky, tedy bodem, v němž má t = t0 směr určený vektorem
obrázek tečny
tečný vektor
Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky r = r(s),kde s je oblouk křivky, a jsou kolmé na
tečný vektor t v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.
Jednotkový vektor n, který má stejný směr jako vektor dt / ds, se nazývá jednotkový vektor hlavní
normály.
obrázek normály
Oskulační kružnice rovinné křivky v určitém bodě je kružnice, která tímto bodem prochází, má zde s
danou rovinnou křivkou společnou první derivaci a rovněž i druhou derivaci. Poloměr oskulační
kružnice rovinné křivky v určitém bodě se nazývá poloměr křivosti.
Oskulační kružnice
Křivost křivky k je funkcí jejího parametru t. V daném bodu určuje míru vychýlení křivky od tečny.
Je-li křivka parametrizována obloukem, pak je křivost přímo rovna velikosti vektoru druhé derivace.
Převrácená hodnota křivosti 1/k určuje poloměr křivosti křivky v daném bodě, tj. poloměr oskulační
kružnice sestrojené ke křivce v daném bodě.
Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně
malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa
spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z
papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.
Diferencovatelná funkce je funkce, jejíž derivace existuje v každém bodě její domény: pokud x0 je
vnitřní bod v doméně funkce f(x), pak se říká, že f(x) je diferencovatelné na x0, pokud existuje
derivace f′(x0). V důsledku toho graf diferencovatelné funkce musí mít tečny (ne vertikální !) v
každém bodu ve svém oboru, průběh funkce je poměrně hladký a nemůže obsahovat žádné přerušení, úhel
nebo hrot.
Křivka je hladká tehdy a jen tehdy, má-li spojitou derivaci.
Pokud je derivace spojitá, původní (nederivovaná) funkce byla hladká.
Kochova křivka
See the source image
Weierstrassova funkce
See the source image See the source image
Peanova křivka
Spojité křivky nemající v žádném svém bodě derivaci.
Vektorová funkce skalárního argumentu
Když každému číslu z daného intervalu I přiřadíme vektor v, říkáme, že na intervalu je definována
vektorová funkce skalárního argumentu, kterou zapisujeme jako v(t).
V(t)
Vektory můžeme při znázornění vynést z jednoho bodu, jak je to znázorněno na obrázku.
Souřadnice takového vektoru jsou obyčejnými reálnými funkcemi téže proměnné. Pojem limity a
spojitosti tak můžeme snadno přenést na vektorové funkce. Vektorová funkce v(t) má v bodě
t0 limitu b , když mají limitu souřadnice a platí:
Podobně definujeme spojitost vektorové funkce.
Derivace vektoru podle skalárního argumentu
a(t)
a(t+Δt)
Δa
Vlastnosti derivace:
Rovnice tečny k prostorové křivce
Na křivce zvolíme pevný bod A, tečnu sestrojíme v bodě P. polohu libovolného bodu křivky můžeme
určit jeho radiusvektorem nebo jeho vzdáleností s od bodu A, měřenou na křivce. Radiusvektor je
potom funkcí s. Tento parametr se nazývá přirozeným parametrem křivky r = r(s) .
P
rP
t0
r
t0 je jednotkový vektor ve směru tečny.
Rovnice tečny bude:
s
rP
P
A
r
A
Integrál
Proces integrování funkce je opačný k procesu derivování funkce. Pojem integrálu je zobecněním
pojmů jako plocha, objem, součet či suma.
Neurčitý integrál
Primitivní funkce k funkci f(x) na intervalu (a, b) je taková funkce F(x), že pro každé x ∈ (a,
b) je F‘(x) = f(x). Procesu hledání primitivní funkce se často říká integrování (integrace),
jelikož primitivní funkce se používá při určování obsahu plochy pod křivkou (integrálu) podle
základní věty integrálního počtu.
Ke každé funkci f(x) spojité na (a, b) existuje v (a, b) primitivní funkce. Je jich dokonce
nekonečně mnoho. Je-li F(x) jedna z nich, pak všechny ostatní mají tvar F(x) + C, kde C je
integrační konstanta, která je libovolná.
Používáme formální zápis
ʃ f(x).dx = F(x) + C,
ʃ f(x) dx znamená množinu všech primitivních funkcí k funkce f(x) a nazývá se neurčitý integrál
funkce f(x).
\hspace{11mm} \displaystyle\int\limits_a^b k\cdot f(x)\,\mathrm{d}x
See the source image
Integrační vzorce
See the source image See the source image
Určitý integrál
Určitý integrál nezáporné funkce f(x) mezi dvěma body a, b je roven ploše obrazce omezeného
přímkami x = a, x = b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f(x). Určitý integrál není
funkce, ale číslo.
Určitý integrál z funkce je roven obsahu plochy ohraničené touto funkcí nebo dráze uražené tělesem,
jehož rychlost je popsána touto funkcí.
(Určitý) integrál funkce f(x) od a do b.
a je DOLNÍ MEZ,
b je HORNÍ MEZ integrálu.
•Určitý integrál budeme počítat podle vzorce:
Funkce F(x) je integrál (primitivní funkce) k f(x).
Při výpočtu integrujeme funkci f(x) a odečteme od sebe funkční hodnoty v horní (b) a dolní (a)
mezi.
Určitý integrál
Při záměně mezí se mění znaménko určitého integrálu.
Pokud je číslo c z intervalu (a,b), platí:
c
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky dané funkcí f(x) je možné určit využitím
určitého integrálu:
Určitý integrál
Obsah plochy U mezi dvěma křivkami danými grafy funkcí f(x) a g(x) při využití určitého integrálu
řešíme podle vztahu:
Pokud se grafy obou křivek protínají, nejsou většinou zadány meze, ty dopočítáme jako průsečíky
grafů funkcí.
Určitý integrál
The Pythagorean Theorem is the key to the arc length formula. See the source image
Délka rovinné křivky
arc length between points
Nechť je funkce f(x) definovaná na intervalu a má zde spojitou derivaci. Pak je délka této
křivky
Křivka nemusí být vždy zadána explicitní funkcí y = f(x) , může být dána rovněž parametrickými
rovnicemi x = x(t), y =y(t), t ∈< a, b > .
See the source image
Střední hodnota funkce na intervalu
See the source image Visual of the average value theorem
f(c) =
Např. pokud je f(x) funkce charakterizující rychlost, odpovídá f(c) střední hodnotě rychlosti.
f(c) je střední hodnota funkce f na intervalu [a, b]
c je hodnota x, odpovídající střední hodnotě f(c)
Nechť je funkce f(x) spojitá na intervalu . Pak existuje číslo c ∈ < a b, > takové, že platí
Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t1 do t2.
Pokud polohu v závislosti na čase označíme x(t), platí tedy
Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí
Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou
rychlostí.
Neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce
představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina primitivních funkcí, které
představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou
počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat
polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t0 odpovídající integrační
konstantě).
Určitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic – například určitý integrál síly podle polohy
je vykonaná práce, určitý integrál ze zrychlení je změna rychlosti, objemový integrál z hustoty je
hmotnost tělesa apod.
Příklad
Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je
kde g je tíhové zrychlení a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí:
Číslo c se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné
závislosti polohy na čase. Například funkce
popisuje volný pád z výšky 50 metrů.
Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy
uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí
(zde je nejpřirozenější volit a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:
x(t) =
Rychlost hmotného bodu
Rychlost je charakteristika pohybu, která nám sděluje, jakým způsobem se mění poloha hmotného bodu
v čase.
See the source image
v (skalár)
v (vektor)
Velikost rychlosti
Rychlost
Okamžitá rychlost hmotného bodu
Okamžitá rychlost (v) je vektor charakterizující změnu polohového vektoru r za velmi krátký časový
interval.
Složky okamžité
rychlosti
Velikost okamžité rychlosti: |v| = v = √vx2 + vy2 + vz2
Směrové kosiny
cos(α) = vx/v
cos(β) = vy/v
cos(γ) = vz/v
Velikost okamžité rychlosti hmotného bodu
Velikost okamžité rychlosti (v) je dána podílem velikosti změny polohového vektoru a časového
intervalu, který změna polohy trvala.
Je to vlastně průměrná rychlost na velmi krátkém úseku trajektorie a ve velmi malém časovém
intervalu.
Poznámky k pojmu rychlost ve středoškolské fyzice
Průměrná rychlost hmotného bodu
Průměrná rychlost (vp) podíl celkové dráhy s a doby t, za kterou hmotný bod tuto dráhu urazí.
Průměrná rychlost je skalár, hlavní jednotkou je m.s-1. U dopravních prostředků se používá jednotka
km.h-1.
Pro jednoznačný popis pohybu hmotného bodu není průměrná rychlost dostačující. Během pohybu po dané
dráze s se velikost rychlosti může měnit. Průměrná rychlost tedy závisí na dráze s, na níž byla
změřena.
Kinematika hmotného bodu
Pozor!!! Průměrnou rychlost nelze počítat jako aritmetický průměr rychlostí!
Průměrná rychlost cyklisty jedoucího v hornatém terénu bude jiná po ujetí prvních 5 kilometrů do
kopce a jiná po ujetí dalších 10 kilometrů z kopce.
Příklad
cochranmath / Displacement, velocity, and acceleration for linear motion
Pokud lze rychlost na intervalu t ∈ popsat spojitou funkcí v(t), je průměrná rychlost rovna
Průměrná rychlost hmotného bodu
Zrychlení hmotného bodu
Zrychlení (akcelerace) je charakteristika pohybu, která popisuje, jakým způsobem se mění rychlost
tělesa (hmotného bodu) v čase.
Zrychlení
•Změny rychlosti charakterizuje vektorová veličina zrychlení a. Jednotkou je m.s-2
•Okamžité zrychlení je dáno změnou vektoru rychlosti za jednotku času
•
•
•
•
2. Kinematika pohybu hmotného bodu
U křivočarého pohybu bývá zvykem rozložení vektoru zrychlení a do dvou navzájem kolmých složek –
tečné a normálové.
rovnice (1,18) Dynamics and Vibrations: Notes: Equations of Motion for Particles
Tečné (tangenciální) zrychlení (at) charakterizuje změnu velikosti rychlosti (v) s časem. Tečné
zrychlení je rovno časové derivaci velikosti rychlosti.
Tečné zrychlení at a normálové zrychlení an představují rozklad vektoru zrychlení a. Platí tedy
vztah
Pro velikost zrychlení pak platí
Velikost normálového zrychlení (an) souvisí se zakřivením dráhy pohybu. Směřuje do středu křivosti
oskulační kružnice.
rovnice (1,19)
R je poloměr oskulační kružnice dráhy bodu a v je velikost rychlosti bodu v místě, pro které je
určena hodnota an .
Roste-li velikost rychlosti, je tečné zrychlení orientováno souhlasně se směrem rychlosti, klesá-li
velikost rychlosti, jsou orientace tečného zrychlení a rychlosti opačné.
V reálném světě se obvykle vyskytují pohyby zahrnující různé základní druhy pohybů. Např. pohyb
automobilu se skládá z pohybu rovnoměrně zrychleného (rozjíždění), pohybu rovnoměrného (jízda
konstantní rychlostí) a pohybu rovnoměrně zpomaleného (brzdění).
Příklad
See the source image Velocity-Time Graphs - 1.4 Graphing Motion: Distance, Velocity, and
AccelerationBy Jessica Wilslev
Rozdělení pohybů podle rychlosti
•Přímočarý pohyb: směr rychlosti je po celou dobu pohybu stálý (konstantní).
•Křivočarý pohyb: směr rychlosti se během pohybu mění.
•
•Rovnoměrný pohyb: velikost rychlosti je po celou dobu pohybu stálá (konstantní).
•Nerovnoměrný pohyb: velikost rychlosti se během pohybu mění.
Přímočarý pohyb (rovnoměrný + nerovnoměrný)
Při přímočarém pohybu se nemění směr vektoru rychlosti, ale může se měnit velikost rychlosti. To
znamená, že se nemění směr vektoru zrychlení, který musí být souhlasný se směrem vstupní rychlost,
je-li nenulová, avšak velikost vektoru zrychlení se měnit může. Pro přímočarý pohyb platí, že
normálové zrychlení je nulové.
Pro přímočarý pohyb hmotného bodu platí definice velikosti průměrné rychlosti na určitém časovém
úseku:
kde Δs je změna dráhy a Δt změna času.
Čím menší bude tento časový úsek, tím více se bude hodnota průměrné rychlosti blížit hodnotě
okamžité rychlosti, matematicky to lze vyjádřit limitou (resp. derivací):
Stejné pravidlo můžeme zavést z definice zrychlení:
kde Δv je změna rychlosti.
Opačné vztahy lze získat integrací:
Rychlost
Dráha pohybu tělesa
Motion graphs and derivatives - Wikipedia
Rovnoměrný přímočarý pohyb
•Hmotný bod urazí ve stejných a libovolně malých časových intervalech stejné dráhy. Rychlost se
během pohybu nemění, je konstantní.
•
•
v…směrnice
přímky
Rovnoměrný přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálou rychlostí. Pro rovnoměrný přímočarý pohyb
platí následující rovnost:
Rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu je z definice konstantní, tedy rovna počáteční rychlosti
tělesa:
Dráha rovnoměrného přímočarého pohybu:
Při honu uvidí honící pes ve křoví 20 metrů před sebou zajíce. Zajíc začne utíkat a pes ho ve
stejnou chvíli začne pronásledovat. Zajíc běží rychlostí 39 km.h-1 a pes 45 km.h-1. Za jak dlouho
dohoní pes zajíce?
s0 = 20 m
vz = 39 km.h-1 = 10,83 m.s-1
vp = 45 km.h-1 = 12,5 m.s-1
t = ?
sz = s0 + vz.t
sp = vp.t
sz = sp
s0 = vp.t - vz.t = (vp- vz) .t
t = s0/(vp- vz) = 20/1,67 = 12 s
See the source image
Příklad
Příklady přímočarého rovnoměrného pohybu
Přímočarý rovnoměrný pohyb se uplatňuje např. při jízdě vozidel konstantní rychlostí na rovné
cestě.
Konstantní hodnotu rychlosti mají světlo a zvuk.
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálým zrychlením. Rovnoměrně zrychlený
přímočarý pohyb je zvláštním případem nerovnoměrného přímočarého pohybu, kdy zrychlení je
konstantní ve velikosti i směru. Trajektorií je přímka nebo část přímky. Velikost rychlosti se mění
přímo úměrně s časem. Směr rychlosti se nemění.
Má-li zrychlení stejnou orientaci (hodnotu znaménka) jako směr pohybu tělesa, pak se rychlost
tělesa zvyšuje a jedná se o zrychlený pohyb. Má-li zrychlení opačnou orientaci (hodnotu znaménka)
než směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa snižuje a jedná se o pohyb zpomalený.
Rychlost rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu:
http://www.sweb.cz/radek.jandora/j11.bmp
a…směrnice
přímky
Dráha rovnoměrného přímočarého pohybu:
Příklady přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu
Přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb se uplatňuje např. při rozjíždění, zastavování, zrychlování a
brzdění vozidel na rovné cestě.
Pohyb po nakloněné rovině (jízda do kopce a z kopce) je rovnoměrně zrychlený s konstantním
zrychlením, které závisí pouze na úhlu sklonu nakloněné roviny (svahu).
Zvláštním druhem přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu je volný pád.
Příklad
Vlak se rozjíždí z klidu se zrychlením 0,3 m.s-2 po dobu 30 s. Po určitou dobu se pohyboval
konstantní rychlostí a poté se brzděním jeho rychlost zmenšovala se stálým zpožděním 0,4 m.s-2. až
do zastavení. Určete dobu po kterou se vlak pohyboval rovnoměrně a trvání celé cesty, urazil-li
vlak celkovou vzdálenost 4 km.
t1 = 30 s
a1 = 0,3 m.s-2
a3 = 0,4 m.s-2
s = 4 km = 4000 m
t2 = ?
t = ?
v1 = a1.t1 = 0,3 . 30 = 9 m.s-1
s1 = ½.a1.t12 = ½ . 0,3 . 302 = 135 m
t3 = v1/a3 = 9/0.4 = 22,5 s
s3 = ½.a3.t32 = ½ . 0,4 . 22,52 = 101 m
s2 = s - s2 - s3 = 4000 – 135 – 101 = 3764 m
t2 = s2/v1 = 3764/9 = 418 s
t = t1 + t2 + t3 = 30 + 418 + 22,5 = 470,5 s = 7,85 min
s0 = 180 m
v1 = 108 km.h-1 = 30 m.s-1
v2 = 32,4 km.h-1 = 9 m.s-1
a = 1,2 m.s-1
Strojvedoucí rychlíku, který se pohyboval rychlostí 108 km.h-1 spatřil ve vzdálenosti 180 m před
sebou nákladní vlak pohybující se stejným směrem rychlostí 32,4 km.h-1. Strojvedoucí začal brzdit a
vlak zpomalil se zpomalením 1,2 ms-2. Zjistěte, zda se vlaky srazí.
fyzika-kinematika-11
Vlaky se srazí v čase 15 s od zahájení brzdění ve vzdálenosti 315 m.
Příklad
Equations of motion - Wikipedia
Nerovnoměrný přímočarý pohyb je pohyb, u kterého směr rychlosti zůstává stejný
(trajektorií je přímka nebo část přímky), ale velikost rychlosti se mění. Jestliže se velikost
rychlosti mění s časem přímo úměrně, pak se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený, jestliže závislost
rychlosti na čase je jiná než lineární, pak se jedná o „čistý“ nerovnoměrný
pohyb. Zrychlení takového pohybu se mění.
Dráha nerovnoměrného přímočarého pohybu:
s = f (t)
(dráha s je funkcí času t jinou než lineární nebo kvadratickou)
Rychlost nerovnoměrného přímočarého pohybu:
v = ds/dt
(rychlost v je první derivací dráhy s podle času t)
Zrychlení nerovnoměrného přímočarého pohybu:
a = d2s / dt2
(zrychlení a je druhou derivací dráhy s podle času t)
Nerovnoměrný přímočarý pohyb
Pohyb po kružnici
Konstantní r představuje poloměr trajektorie, ω je úhlová rychlost. Při pohybu se s časem mění
pouze úhel φ, poloměr dráhy je konstantní.
Dráha pohybu po kružnici
Rozlišuje se obvodová dráha a úhlová dráha.
Obvodová dráha s je vzdálenost, kterou urazí hmotný bod během pohybu po obvodu kružnice.
Úhlová dráha φ je úhel, který za čas t spojnice středu dráhy a pohybujícího se hmotného bodu
(průvodič) během pohybu.
Pohyb po kružnici je pohyb (hmotného bodu), jehož trajektorií je kružnice. Je nejjednodušším
příkladem křivočarého pohybu.
image130
Mezi úhlovou dráhou a obvodovou dráhou je vztah (r je poloměr kružnice):
Rychlost pohybu po kružnici
Podobně jako u dráhy se rozlišuje obvodová rychlost a úhlová rychlost. Kromě toho lze počítat
okamžitou nebo průměrnou rychlost. Vektor obvodové rychlosti má směr tečny ke kružnici.
Okamžitá úhlová rychlost se rovná první derivaci úhlové dráhy φ podle času t.
Průměrná úhlová rychlost se rovná podílu celkové úhlové
dráhy
φ a celkového času t.
Okamžitá obvodová rychlost se rovná první derivaci dráhy
s podle času t.
V nerotující souřadné soustavě klidové vůči středu dané kružnice, je spojena s úhlovou rychlostí
vektorovým vztahem
r je poloměr zatáčky, resp. poloměr oskulační kružnice trajektorie v daném bodě.
Průměrná obvodová rychlost se rovná podílu celkové dráhy s a celkového času t.
Vztah mezi úhlovou rychlostí a obvodovou rychlostí
http://fyzika.jreichl.com/data/M_kinematika_soubory/image127.png
nebo
vektor úhlové rychlosti vektory okamžité obvodové rychlosti rovnoměrného pohybu bodu po kružnici
Zrychlení pohybu po kružnici
Při pohybu po kružnici se neustále mění směr vektoru rychlosti a může se měnit i velikost
rychlosti. Změnu směru vyjadřuje dostředivé zrychlení, jehož směr je do středu kružnice. Protože
směr dostředivého zrychlení je neustále kolmý na směr rychlosti, označuje se také jako normálové
zrychlení (normálová složka zrychlení). Změnu velikosti rychlosti popisuje tečné zrychlení (tečná
složka zrychlení).
Změnu úhlové rychlosti vyjadřuje veličina úhlové zrychlení.
Dostředivé zrychlení
kde ω je úhlová rychlost a r je poloměr kružnice, nebo
kde v je obvodová rychlost.
Tečné zrychlení at se rovná první derivaci obvodové rychlosti v podle času t nebo druhé derivaci
obvodové dráhy s podle času t.
nebo
Celkové zrychlení a se rovná vektorovému součtu dostředivého
(normálového) a tečného zrychlení, velikost se vypočte podle
vzorce
Úhlové zrychlení ε se rovná první derivaci úhlové rychlosti t nebo druhé derivaci úhlové dráhy φ
podle času t:
nebo
Perioda a frekvence
Perioda vyjadřuje dobu, za kterou hmotný bod opíše kružnici právě jednou.
nebo
Frekvence určuje počet kružnic, které hmotný bod urazí za jednotku času.
nebo
[f] = s-1 nebo Hz
at = r . ε
ε = at / r
obvodová rychlost a otáčky kotouče Řezání diamantovým kotoučem - rychlost a otáčky
Hmotný bod koná rovnoměrný pohyb po kružnici, jestliže ve stejných a libovolně malých časových
intervalech opíše jeho průvodič stejné úhlové dráhy.
Rovnoměrný pohyb po kružnici
Rovnoměrný pohyb po kružnici
Rovnoměrný pohyb po kružnici je pohyb, při kterém je trajektorie kružnice a velikost rychlosti
konstantní, ale neustále se mění směr vektoru rychlosti. Jedná se o speciální případ obecného
pohybu po kružnici
Dráha při rovnoměrném pohybu po kružnici
Obvodová dráha s je vzdálenost (délka oblouku kružnice),
kterou urazí hmotný bod během pohybu po obvodu kružnice.
s = v . t
kde v je obvodová rychlost, t je čas.
Úhlová dráha φ je úhel, který urazí průvodič tělesa
během pohybu.
φ = ω . t
kde ω je úhlová rychlost, t je čas, φ0 je počáteční
úhlová dráha.
Mezi úhlovou dráhou a obvodovou dráhou je vztah
φ = s / r
kde r je poloměr kružnice.
image130 Rovnoměrný pohyb po kružnici - úhlová a obvodová rychlost
Rychlost při rovnoměrném pohybu po kružnici
Obvodová rychlost v je rychlost pohybu po obvodu kružnice
v = konst.
v = s/t
kde s je obvodová dráha, t je čas
Úhlová rychlost ω je rychlost průvodiče tělesa
ω = konst.
ω = φ/t
kde φ je úhlová dráha, t je čas
Vztah mezi úhlovou rychlostí a obvodovou rychlostí: ω = v/r, kde r je poloměr kružnice.
http://fyzika.jreichl.com/data/M_kinematika_soubory/image148.png
Zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici
Při rovnoměrném pohybu po kružnici se nemění velikost rychlosti, ale neustále se mění směr
rychlosti. Tuto změnu v čase vyjadřuje dostředivé zrychlení ad, jehož směr je do středu kružnice.
Jiné zrychlení u rovnoměrného pohybu po kružnici není (tečné zrychlení je nulové).
ad = v2 / r nebo ad = ω2 . R
kde v je obvodová rychlost, ω je úhlová rychlost, r je poloměr kružnice
Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici
φ0 je úhlová dráha rychlost v počátečním čase t0 , ω0 je počáteční úhlová rychlost v čase t a α je
úhlové zrychlení.
Úhlová dráha φ
Okamžitá úhlová rychlost ω
Úhlové zrychlení α je konstantní.
Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici je pohyb, při kterém je trajektorie kružnice, velikost
rychlosti se mění s konstantním tečným zrychlením (at), ale neustále se mění směr vektoru rychlosti
s normálovým zrychlením (an).
α = konst. = at / r
at = r . α
Příklad
Kolo na hřídeli se začíná roztáčet z klidu a dosáhne za dobu 20 s 200 otáček za minutu. Jaké je
jeho úhlové zrychlení za předpokladu, že je během roztáčení stálé? Kolikrát se kolo za tuto dobu
otočí?
t = 20 s
n = 200 min-1= 3,33 s-1 = f (frekvence)
ω = 2.π.f = 21 rad.s-1
ε = ω/t = 2.π.f/t = 2.π. 3,33 /20 = 1,05 rad.s-2
ϕ = ½. ε.t2 = ½. 1,05.202 = 201 rad
Příklad
Kolo auta má poloměr 37,5 cm. Kolik otáček vykoná za sekundu, jede-li auto rychlostí 54 km.h-1?
r = 37,5 cm = 0,375 m
v = 54 km.h-1 = 15 m.s-1
t = 1 s
n = ?
1) n = ω/2.π = v /2.π.r = 15/2.π.0,375 = 6,4 s-1
2) n = v.t / 2.π.r = 15.1/2.π.0,375 = 6,4 s-1
Relativní pohyb
Pro složené pohyby platí princip superpozice (princip nezávislosti pohybů):
Koná-li hmotný bod současně dva nebo víc pohybů, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal
tyto pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí.
Složený rovinný pohyb bodu je pohyb bodu v rovině složený ze dvou nebo více současných rovinných
pohybů. Rovinný pohyb je zpravidla složen z unášivého pohybu a relativního pohybu. Složením těchto
dvou pohybů dostaneme výsledný pohyb tělesa s rychlostí vt, která je vektorovým součtem unášivé a
relativní rychlosti.
V přírodě i v technické praxi dochází ke skládání pohybů těles mnohem častěji než k pohybům
jednoduchým. Např.
Součásti různých strojů se pohybují dílčími pohyby a stroj jako celek vykonává pohyb složený
(kola automobilu rotují a současně se pohybují translačně).
Zeměkoule rotuje kolem své vlastní osy a současně obíhá kolem Slunce.
4. skládání dvou rychlostí působících v obecném směru
3. skládání dvou rychlostí působících kolmo na sebe
2. skládání dvou rychlostí působících v opačném směru
v = v1 + v2
1. skládání dvou rychlostí působících ve stejném směru
Vagonem rychle jedoucího rychlíku (vr) pomalu prochází průvodčí rychlostí vp ve směru jízdy vlaku.
Vzhledem k vagonu se průvodčí pohybuje pomalu rychlostí vp. Vzhledem k Zemi se průvodčí pohybuje
rychle rychlostí vr + vp. Pokud by šel průvodčí proti směru jízdy vlaku, pohyboval by se vůči Zemi
rychlostí vr – vp.
Příklad
Při skládání pohybů je třeba zohlednit zvolenou vztažnou soustavu
Příklad
Parník A vyplul z přístavu na sever rychlostí 30 km.h-1 a zároveň vyplul parník B na východ
rychlostí 40 km.h-1. Jak rychle roste vzájemná vzdálenost obou parníků?
vA = 30 km.h-1
vB = 40 km.h-1
ds/dt = ?
s2 = sA2 + sB2 = vA2.t2 + vB2.t2 = (vA2 + vB2) .t2
s = √ (vA2 + vB2) . t
ds/dt = √ (vA2 + vB2) = √ (402 + 302) = 50 km.h-1
A
B
P
Příklad
z
z = √ x2 + y2 = √ 4,22 + 6,52 = 7,7 m
tg(α) = y/x = 1,55
α = arctg(1,55) = 57°
Jeřáb zvedá břemeno rovnoměrným přímočarým pohybem do výšky 6,5 m a současně popojede vodorovným
směrem do vzdálenosti 4,2 m. Určete dráhu břemene a úhel, který svírá jeho trajektorie s vodorovným
směrem.
y = 6,5 m
x = 4,2 m
z = ?
α = ?
y
x
α
Plavec, jehož rychlost vzhledem na vodu je 0,85 ms-1 plave v řece, v níž voda teče rychlostí 0,40
ms-1. Určete čas, za který dopluje z místa A do B, vzdáleného 90 m, pokud plave:
a) po proudu
b) proti proudu
c) tak, že výsledná rychlost je kolmá na rychlost
proudu.
fyzika-kinematika-5
Příklad
Harmonický pohyb
See the source image
Harmonický pohyb je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně přechází z jedné krajní polohy
přes rovnovážnou polohu do druhé krajní polohy, přičemž časový průběh výchylky y(t) z rovnovážné
polohy je vyjádřen vztahem
y(t) = A.sin(ω.t + φ0)
kde A je amplituda výchylky,
ω je úhlová frekvence
φ(t) = ω.t + φ0 je fáze
φ0 je počáteční fáze harmonicky
proměnné veličiny.
Při harmonickém pohybu je zrychlení úměrné výchylce z rovnovážné polohy (y = 0) a má směr proti
směru výchylky. Největší výchylka je pro sinus rovno jedné, tj. y = A, a nazývá se amplituda
(rozkmit). Převratná hodnota doby kmitu (T) se nazývá kmitočet.
Šroubovice odpovídá pohybu bodu, který se zároveň pohybuje rovnoměrně podél oné osy a zároveň ji
rovnoměrně obíhá po kružnici. Úsek odpovídající jednomu oběhu kolem kružnice se přitom nazývá závit
a vzdálenost jeho koncových bodů se nazývá výška závitu. Šroubovici lze popsat třemi parametry:
poloměrem zmíněné kružnice, výškou závitu a tím, zda se jedná o šroubovici pravotočivou, nebo
levotočivou. Zmíněný poloměr je zároveň poloměrem rotační válcové plochy, v které celá šroubovice
leží.
Pohyb po šroubovici
See the source image
r = poloměr
P = výška závitu
Šroubovice poloměru a a sklon b/a (nebo výška závitu 2.π.b):
Znaménko konstanty b ovlivňuje pravotočivost (+) nebo levotočivost (-) šroubovice.
2.π.√a2 + b2
Délka závitu:
66-SolidWorks-vyvrtka-sroubovice-postup-navod-tutorial-corkscrew
Šroubový pohyb je složen z rotačního a translačního pohybu, a to jak např. u točitého schodiště,
šroubu nebo vrtáku, apod. Trajektorií hmotného bodu je šroubovice (helix).
Příklad
Image result for sveraky See the source image
Спиральная трава - Moraea Tortilis
Moraea tortilis
Spiral Grass Albuca Spiralis Plant Fresh Seeds Rare African | Etsy
Albuca Spiralis
fibonacci numbers in nature
Principle of a two-speed screw conveyor, also called Archimedean spiral
Zařízení založené na Archimedově spirále lze využít i k transportu práškovitých a zrnitých
materiálů.
Transport vody s využitím šroubovitého pohybu byl využíván už ve starověku.
Obrábění soustruhem
řezné rychlosti
Hlavním řezným pohybem při soustružení je rotace obrobku kolem své osy s obvodovou (tak zvanou
řeznou) rychlostí v. Vedlejšími pohyby jsou posuvy, které vykonává nástroj. Podélný posuv posouvá
nástroj ve směru osy otáčení obrobku. Výsledná trajektorie břitu vůči obrobku je šroubovice. Příčný
posuv se děje kolmo k ose otáčení obrobku.
See the source image Machine tools producing an Archimedean spiral and helix on a rotating cylinder
Pohyb jedoucího kola se vzhledem k zemi je
složen z rotačního a translačního pohybu.
Bod ležící na obvodu kružnice opisuje při jejím valení (kutálení) po přímce prostou (obecnou,
obyčejnou) cykloidu. Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.
Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky:
kde a je poloměr kružnice a parametr t je úhel
otočení kutálející se kružnice. Perioda cykloidy
je 2.π.a, délka oblouku je 8a.
Pohyb po cykloidě
Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho
vzdálenost od středu kružnice o poloměru a je d, pak pro d < a získáme cykloidu zkrácenou a pro d >
a cykloidu prodlouženou.
See the source image
Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru
d
zkrácená cykloida
prodloužená cykloida
Pohyby v tíhovém poli Země
Tíhové zrychlení (g) je vektor směřující vždy svisle dolů. Jeho velikost je g = 9,80665 m.s-2 (v
praxi se používá hodnota 10 m.s-2 )
Pohyby v tíhovém poli (vrhy) uvažujeme pouze za předpokladu:
•že jejich trajektorie jsou vzhledem k rozměrům Země velmi malé
•
•tíhové pole můžeme považovat za homogenní
•
•na pohybující se tělesa působí jen tíhová síla FG
•
•zanedbáme odporové síly
Volný pád (pohyb rovnoměrně zrychlený svisle dolů)
Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g a s nulovou počáteční rychlostí, přičemž
vektor rychlosti v směřuje svisle dolů.
See the source image See the source image
g - tíhové zrychlení
t - čas
d - posunutí
Vrh svislý dolů
Pokud je v0 = 0, jedná se o volný pád.
Vrh svislý vzhůru je pohyb složený z pohybu rovnoměrného přímočarého směrem dolů a z volného pádu.
Jde o pohyb rovnoměrně zrychlený s nenulovou počáteční rychlostí v0.
čas dopadu
v
velikost rychlosti dopadu
Vrh svislý vzhůru
Vrh svislý vzhůru je pohyb složený z pohybu rovnoměrného přímočarého směrem vzhůru a z volného
pádu. Vrh svislý je v první fázi (pohyb nahoru) rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se záporným
zrychlením, jehož velikost se rovná gravitačnímu zrychlení. Rychlost tělesa se v první fázi
zmenšuje, až dosáhne nuly, těleso se na okamžik zastaví v největší výšce (největší vzdálenosti) a
začne druhá fáze - volný pád.
Okamžitá výška svislého vrhu:
kde h0 je počáteční výška, v0 je počáteční rychlost, g je tíhové zrychlení, t je čas od počátku
vrhu.
Největší výška a čas dosažení největší výšky svislého vrhu:
kde v0 je počáteční rychlost, g je tíhové zrychlení.
Rychlost dopadu tělesa do původního místa je stejná jako počáteční rychlost.
Příklad
Jak hluboká je propast do které padá kámen 5 s? Jak velkou rychlostí dopadne na dno? Odpor vzduchu
zanedbejte.
t = 5 s
g = 9,81 m.s-2
s = ?
v = ?
s = ½.g.t2 = ½.9,81.52 = 123 m
v = g.t = 9,81.5 = 49 m.s-1
Příklad
Za jakou dobu se rychlost volně padajícího tělesa zvětší z 10 m.s-1 na 30 m.s-1? Jakou dráhu těleso
za tuto dobu urazí? Odpor vzduchu zanedbejte.
v0 = 10 m.s-1
v = 30 m.s-1
g = 9,81 m.s-2
s = ?
t = ?
v = v0 + g.t
t = (v - v0)/g = (30 - 10)/9,81 = 2 s
s = v0.t + ½.g.t2 = 2.10 + ½.9,81.22 = 40 m
Vrh vodorovný
Vrh vodorovný je pohyb hmotného bodu v tíhovém poli Země, jemuž byla udělena počáteční rychlost
tělesa ve vodorovném směru (směr vektoru v0 je tedy kolmý ke směru tíhového zrychlení g). Hmotný
bod koná současně dva pohyby: rovnoměrný přímočarý pohyb počáteční rychlostí v0 ve vodorovném směru
a volný pád z výšky h ve svislém směru (vodorovný vrh je složený pohyb).
Pokud vrh probíhá ve vakuu a uvažujeme-li pouze homogenní tíhové pole (např. reálný případ vrhů
relativně malou rychlostí v malých výškách nad povrchem astronomických těles bez atmosféry), je
trajektorií část paraboly s vrcholem v místě hodu.
výška vrhu
délka vrhu
rychlost v okamžiku dopadu
čas letu
Letadlo shazuje bombu na loď. Letadlo letí ve výšce 320m nad mořem rychlostí 180 km.h-1. Loď se
pohybuje rychlostí 36 km.h-1. V jaké vzdálenosti od lodi musí posádka letadla bombu uvolnit, aby
tato trefila loď, pokud se letadlo pohybuje
a) stejným směrem jako loď
b) opačným směrem než loď
v1 = 180 km.h-1= 50 m.s-1
v2 = 36 km.h-1= 10 m.s-1
h = 320 m
a)Letadlo letí stejným směrem jako loď
x = d - s = 400 m – 80 m = 320 m před lodí
b) Letadlo letí opačným směrem než loď
x = d + s = 400 m + 80 m = 480 m před lodí
Příklad
Vrh šikmý
Vrh šikmý je pohyb tělesa v tíhovém poli, při kterém počáteční rychlost svírá s horizontem nenulový
elevační úhel. Pohyb se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu touto rychlostí v původním směru
(osa x) a z volného pádu (tj. rovnoměrně zrychleného pohybu) ve směru tíhového zrychlení g, (osa
y.) Trajektorií je rovinná křivka, ve směru osy z pohyb neprobíhá). Při kladném elevačním úhlu (0°
< α < 90°) se jedná o vrh šikmý vzhůru, při záporném (−90° < α < 0°) o vrh šikmý dolů (při nulovém
elevačním úhlu se jedná o vrh vodorovný).
Z rovnic vyplývá, že maximální výšky vrhu lze dosáhnout pod úhlem 90° a největšího dostřelu pod
úhlem 45°.
See the source image
délka vrhu
max. výška vrhu
čas letu
Všechny trajektorie šikmých vrhů stejnou rychlostí v0 pod různými elevačními úhly α vytváří
množinu trajektorií, jejichž obálkou je křivka zvaná ochranná parabola. Body za ochrannou parabolou
nemohou být při rychlosti vrhu v0 zasaženy.
Pokud bychom měli protiletadlové dělo v bodě 0 a letadlo by bylo mimo ochrannou parabolu,
znamená to, že letadlo je v bezpečí, protože ho tímto dělem již není možné zasáhnout.
Ochranná parabola
Tryska vodní fontány se nachází ve výšce 1,5 m nad středem kruhové nádržky a vůči vodorovné rovině
je nakloněna o úhel 45°. Voda stříká z trysky rychlostí 3 m.s-1. Jaký poloměr musí mít nádržka, aby
zachycovala vodu dopadající z trysky?
h = 1,5 m
v0 = 3 m.s-1
α = 45°
r = ?
g = 9,81 m.s-2
r = x = v0. cos(α).t
h = y = y0 + v0.sin(α).t + ½.g.t2
V době dopadu do nádržky:
y = y0 + v0.sin(α).t + ½.g.t2 = 0
t = (v0.sin(α) + √2.g.h + v0.sin(α)2)/g = 0,81 s
(= kladný kořen kvadratické rovnice)
r = v0. cos(α).t = 3. cos(45°).0,81 = 1,72 m
Příklad
Even For Smart Sprinklers, Security Matters | PYMNTS.com Selecting the Right Sprinkler Head
Kombinace šikmého vrhu a kruhového pohybu
S kombinací šikmého vrhu a kruhového pohybu se lze setkat např. u rotačních zavlažovačů.
Image result for Rychlost Fyzika Vzorce