Mechanika tuhého tělesa Ramena AB a AC mohou být zatížena maximálními silami 2100 N a 1700 N. Jak velký úhel konzoly je třeba zvolit a jakou největší zátěž může konzola unést? F1 = 2100 N F2 = 1700 N α = ? Gmax = ? Lampa visí na dvou drátech, které svírají s vodorovným směrem úhly o velikostech α = 55° a β = 33°. Jak velkou silou jsou dráty napínány, má-li tíha lampy velikost 12 N. [10,07 N a 6,9 N] Dělník táhne naložený dvoukolový dopravní vozík silou F = 196,2 N. Určete složku síly ve směru pohybu F1 a složku F2, která zvedá náklad. Výslednice F svírá se složkou F1 úhel 30°. F1 = F . cosα = 196,2 . cos30° = 170 N F2 = F . sinα = 196,2 . sin30° = 98,1 N Na těleso působí ve dvou bodech A a B rovnoběžné síly o velikosti 90 N a 50 N. Vzdálenost bodů A, B je 28 cm. Určete velikost, směr, orientaci a polohu působiště výsledné síly, jsou-li síly orientovány a) souhlasně, b) nesouhlasně. souhlasná orientace : F = 140 N, x = 10 cm, d - x = 18 cm nesouhlasná orientace : F = 40 N, x = 35 cm, d + x = 63 cm Dva myslivci nesou zastřeleného srnce s hmotností 90 kg zavěšeného na vodorovné tyči. Vzdálenosti bodů, ve kterých je tyč podepřena rameny nosičů od působiště tíhové síly srnce jsou 0,8 m a 1 m. Vypočtěte velikost sil, které působí na ramena obou nosičů. Navrhněte změnu situace tak, aby se oba nosiči podíleli na nesení srnce stejně. m = 90 kg Fg = 900 N r1 = 0,8 m r2 = 1 m F1 = ? F2 = ? Druhá situace nastane, bude-li platit r1 = r2 = 0,9 m. Pak na ramena obou nosičů bude působit stejná síla F1 = F2 = 450 N. Děti Marcela a Martin se šly houpat na houpačce. Marcela váží 58 kg a Martin 32 kg. Martin si sednul na konec houpačky, který je od její osy otáčení vzdálený 2 m. Do jaké vzdálenosti od osy otáčení by si měla sednout Marcela, aby houpačka byla vyrovnaná? Příklad g = 9,81 m.s-2 m1 = 32 kg r1 = 2 m m2 = 58 kg r2 = ? M1= M2 m1.g.r1 = m2.g.r2 r2= m1.r1/m2 = 32.2/58 = 1,1 m Na rukojeť šroubováku působí ruka momentem dvojice sil 3 N.m. Jak veliké síly by musely působit na obvodu hlavice šroubu o průměru 5 mm, aby byl moment jejich dvojice stejně veliký ? [600 N] Určete polohu těžiště hřídele složeného ze dvou stejnorodých válců spojených navzájem tak, že mají společnou osu. První má výšku 20 cm a průřez 9 cm2, druhý má výšku 12 cm a průřez 5 cm2. V1 = 20 cm S1 = 9 cm2 V2 = 12 cm S2 = 5 cm2 G1 = v1.S1.ρ.g G2 = v2.S2.ρ.g T1.T2 = d = 16 cm T1.T = x T2.T = d-x G2/G1 = x/(d-x) x = G2.d / (G1 + G2) x = v2.S2.d / (v1.S1 + v2.S2) x = 60.16 / (180 + 60) = 4 cm G1/G2 = 180/60 = 3/1 = 12/4 Na konci tyče o délce 30 cm je připojena koule o poloměru 6 cm, její střed leží na prodloužené ose tyče. Obě tělesa jsou ze stejnorodého materiálu a jsou stejně těžká. Určete polohu těžiště soustavy těles. [25,5 cm od volného konce] Hmotnost traktoru je 2 t, jeho těžiště je ve vodorovné vzdálenosti 60 cm od osy zadních kol, vzdálenost os předních a zadních kol je 240 cm. Jak velkými tlakovými silami působí přední a zadní kola na zem? Nákladní automobil s nákladem má hmotnost 5340 kg. Vzdálenost os předních a zadních kol je 330 cm. Jak velké tlakové síly působí na osy, jestliže svislá přímka procházející těžištěm dělí vzdálenost os v poměru 1:3 (těžiště je blíže zadní osy). Válcová tyč o délce 30 cm má polovinu objemu z oceli a druhou z olova. Určete polohu těžiště. [8,8 cm od středu ocelové části] [5000 N, 1500 N] [ 13350 N, 40050 N ] Ocelovou trubku o hmotnosti 20 kg a délce 5 m, která leží na vodorovné rovině postavíme do svislé polohy. O kolik se zvýší její potenciální energie? [500 J] Plné kolo (kruhový kotouč) o hmotnosti 20 kg a poloměru 50 cm se kutálí (valí) rychlostí 10 ms-1. Jakou má kinetickou energii? Rotor elektromotoru o hmotnosti 110 kg má moment setrvačnosti 2 kg.m2 a koná 1050 otáček za minutu. Jak velkou má kinetickou energii? Brusný kotouč, mající hmotnost 8,621 kg a průměr 280 mm, vykoná 280 otáček za minutu. Určete jeho moment setrvačnosti za předpokladu, že jeho tloušťka je velmi malá vzhledem k poloměru. Určete jeho kinetickou energii. [12100 J] [0,086 kg.m2, 36,8 J] Páka o hmotnosti 2 kg s těžištěm uprostřed je podepřena v 1/3 své délky. Na konci kratšího ramene je zavěšeno těleso hmotnosti 9 kg. Jakou silou působící na konci delšího ramene udržíme rovnováhu? M1 = M2 + Mg F1.d1 = F2.d2 + Fp.dp F2 = (m1.d1 - mp.dp).g/d2 F2 = (9.0,333.d - 2.0,167.d).9,81/(0,667.d) = (9.0,333 - 2.0,167).9,81/0,667 = 39,2 N mp = 2 kg m1 = 9 kg d1 = 0.333.d d2 = 0,667.d dp = 0,50.d – 0,333.d = 0,167.d F2 = ? mp F1 Fp F2 d1 dp d2 Do výpočtu je nutno zahrnout i tíhovou sílu působící na páku o hmotnosti 2 kg. Působiště této síly je v těžišti, tedy v polovině délky páky. Na 15 cm dlouhé rameno louskáčku tlačíme silou 29,4 N. jak velká tlaková síla působí na ořech, který je 4 cm od osy? F1 = 29,4 N F2 = ? d1 = 15 cm = 0,15 m d2 = 4 cm = 0,04 m F1.d1 = F2.d2 F2 = F1.d1/d2 = 29,4.0,15/0,04 = 0,204 m = 110.3 N F1 F2 d2 d1 Jak dlouhé držadlo musí mít kleště, jestliže k přeštípnutí ocelového drátu je třeba tlakové síly 834 N. Čelisti jsou 6 cm dlouhé a na držadlo a na držadlo můžeme působit silou 245 N. F1 F2 d1 d2 F1 = 834 N F2 = 245 N d1 = 6 cm = 0,06 m d2 = ? F1.d1 = F2.d2 d2 = F1.d1/F2 = 834.0,06/245 = 0,204 m = 20,4 cm Těleso o hmotnosti 30 kg bylo vytaženo kladkou volnou o hmotnosti 2 kg do výšky 4 m. Jak velikou silou a po jaké dráze jsme působili? mt = 30 kg mk = 2 kg h = 4 m F = ? s = ? m = mt + mk Fg = m.g = (30 + 2).9,81 = 313,92 N F1 = ½.Fg = 313,92/2 = 157 N W = m.g.h = F1.s s = m.g.h /F1 = m.g.h /(0,5.m.g) = 2.h = 2.4 = 8 m Fg F1 Jakou tlakovou sílu vyvoláme šroubem (závit 2 mm), působíme-li silou 10 N na klíči délky 20 cm? W = 2.π.r.F1 = F2.h F2 = 2.π.r.F1/h = 2.π.0,2.10/0,002 = 6280 N h = 2 mm = 0,002 m F1 = 10 N r = 20 cm = 0,2 m F2 = ? h r F2 F1 F1 míří před nákresnu Auto o hmotnosti 1200 kg má motor o výkonu 33 kW. V jakém největším stoupání je schopno udržet rychlost 72 km·h−1? Postup 2 ΔEp = m.g.h = m.g.v.t.sinα W=P.t sinα = P.m.g.v sinα = P / m.g.v = 33000 / 1200.9,81.20 = 0,140 ⇒ α= 8°3′ Síly působící na auto Rozklad tíhové síly Fn − R = 0 F0 − Fm = 0 P = 33 kW = 33000 W m = 1200 kg g = 9,81 m⋅s−2 v =72 km⋅h−1 = 20 m⋅s−1 α = ? Postup 1 F0 = Fg.sinα F0 = m.g.sinα Fm = P.v F0 − Fm = 0 sinα = P.m.g.v sinα = P / m.g.v = 33000 / 1200.9,81.20 = 0,140 ⇒ α= 8°3′ Těleso jsme zvedli po délce 9 m nakloněné roviny s elevačním úhlem 30°. Součinitel smykového tření je 0,2. S jak velkou účinností jsme pracovali? α W = m.g.h = m.g.s.sinα (bez tření, 100% účinnost) Wt = Ft.s = s.σ.Fg.cosα = s.σ.m.g.cosα η = W/(W + Wt) = s.sin α/(s.sinα + s.σ. cosα) = sinα /(sinα + σ.cosα) η = sin30°/(sin30° + 0,2. cos30°) = 0,5/(0,5 + 0,174) = 0,742 = 74,2 % Fn Fg F Ft h s Fp s = 9 m α = 30° σ = 0,2 η = ? Jakou tahovou sílu musí vyvinout elektromotor nákladního výtahu, jestliže zdvihá dva pytle cementu přes kladku pevnou, každý po 50 kg a hmotnost samotné plošiny výtahu je 30 kg? mc = 50 kg mp = 30 kg F2 = ? F1 = F2 = m.g F2 = (2.mc + mp).g = (2.50 + 30).10 = 1300 N F1 F2 Mramorový blok o objemu 3,5 m3 váží 10 t. Jaká bude hmotnost mramorového náhrobního kamene tvaru pravoúhlého rovnoběžnostěnu o délce 2,5 m, šířce 0,9 m a výšce 35 cm? [2250 kg] Kapka oleje o objemu 0,050 mm3 se roztekla po povrchu vody a vytvořila skvrnu přibližně tvaru kruhu o obsahu 600 cm2. Za předpokladu, že skvrnu tvoří 2 vrstvy molekul vypočtěte průměr molekuly oleje. [0,4 nm] Železná deska 2 m dlouhá a 40 cm široká má mít tíhu 1850 N. Jaká bude tloušťka desky? Hustota železa je 7873 kg/m3. [3 cm] Víko s průměrem 32 cm třeba připevnit k otvoru tlakové nádoby 24 šrouby. Tlak plynu v nádobě je 6 MPa. Jaký plošný obsah průřezu šroubů třeba zvolit? Na ocelovém laně příčného průřezu 2 cm2 je zavěšeno břemeno o hmotnosti 4000 kg. Jaké je relativní prodloužení lana? Zjistěte, zda se přetrhne železný drát o průměru 2 mm, pokud je napínán silou 1 kN. (σE = 314 MPa) Protože σn > σE, železný drát se přetrhne. Mosazný drát délky 1,1 m a průřezu o obsahu 4 mm2 byl deformován v tahu silou 80 N, čímž se prodloužil o 0,2 mm. Vypočítejte modul pružnosti v tahu mosazi. Při výrobě dílců z předpjatého železobetonu byly ocelové pruty o délce 6 m napínány silou 6.104 N. Vypočítejte prodloužení ocelových tyčí, je-li jejich průměr 10 mm. Modul pružnosti použité oceli je 220 GPa. [110 GPa] [21 mm] Osobní výtah o hmotnosti 500 kg drží 3 ocelová lana, každé o průměru 1 cm. Vypočítejte napětí v každém ocelovém laně. (Vlastní tíhu lana zanedbejte). Na konec ocelové tyče (E = 220 GPa) s délkou 1,5 m umístěné ve vertikální poloze má být zavěšeny závaží o hmotnosti 500 kg. Jaký průměr tyče zvolíme, pokud chceme, aby se tyč po zavěšení závaží neprodloužila o více než 0,3 mm. (Vlastní tíhu tyče neuvažovat) Zjistěte, zda se přetrhne železný drát o průměru 2 mm, pokud je napínán silou 1 kN. (σE = 314 MPa) Určete práci, kterou je potřeba vykonat, aby se ocelová tyč o délce 1 m a o obsahu průřezu 1 cm2 prodloužila při pružné deformaci v tahu o 1 mm. Modul pružnosti v tahu použité oceli je 220 GPa. [20,83 MPa] [12 mm] [318,5 MPa] [11 J]