Ekvivalence množin, konečné a nekonečné množiny


Definice 1: Říkáme, že dvě množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté
zobrazení množiny A na množinu B.  Zapisujeme A ~ B.


Příklad 1. Jsou dány množiny A = {a, b, c}, B = {x, y, z}, C = {x, y}. Rozhodněte, které dvojice
zadaných množin jsou ekvivalentní.


Poznámka. Relace  ~  dvou množin definovaná v libovolném systému množin M má vlastnosti:
reflexivní, symetrická, tranzitivní. Relace ~ je tedy relací ekvivalence. Relace ekvivalence dvou
množin v libovolném systému množin M vytváří rozklad systému M na třídy ekvivalentních množin.


Příklad 2. Je dán systém množin M  = {A, B, C, D, E, F, G, H}, kde A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C =
{x, y}, D = {○, ○, ○, ○}, E = {∆, ∆, ∆}, F = { [*],  [*]}, G = { □ }, H = {☺, ☺, ☺, ☺}. Rozhodněte,
které množiny ze systému M  jsou ekvivalentní.


Definice 2: Množina A je konečná právě tehdy, když žádná vlastní podmnožina množiny A není
ekvivalentní s množinou A.


Definice 3: Množina B je nekonečná právě tehdy, když existuje alespoň jedna vlastní podmnožina
množiny B, která je ekvivalentní s množinou B.


Poznámka. Množina M je vlastní podmnožinou množiny N právě tehdy, když

M  N  M ≠ N.



KARDINÁLNÍ   ČÍSLA

Definice 4: Třídu, do které patří množina A z neprázdného systému množin M  a všechny množiny
z tohoto systému, které jsou s množinou A ekvivalentní, nazveme kardinální číslo množiny A.
Kardinální číslo množiny A budeme značit:   |A|

Poznámka:Pro kardinální číslo množiny se užívá také pojmu mohutnost množiny.

Příklad 3. Je dán systém množin M  = {A, B, C, D, E, F, G, H} z Příkladu 2 výše. Určete kardinální
čísla množin ze systému M.

Řešení: V Příkladu 2 relace ekvivalence množin rozložila zadaný systém množin na následující třídy:

T[1] = {A, E},     T[2] = {B, C, F},      T[3] = {D, H},     T[4] = {G}.

Třída T[1] je kardinálním číslem každé z množin A, E.  Můžeme psát T[1] = |A| = |E|.

K označení třídy, tj. kardinálního čísla, si můžeme vybrat kteroukoli z množin patřících do této
třídy. Každá z těchto množin dané kardinální číslo (danou třídu rozkladu) reprezentuje.

Třída T[2] je kardinálním číslem množin B, C, F, tedy T[2] = |B| = |C| = |F|. Dále T[3] = |D| =
|H|,  T[4] = |G|.

Důležité: Pro každé dvě množiny X, Y platí:  Kardinální čísla množin X, Y  se rovnají, právě když
jsou množiny X, Y ekvivalentní.    |X| = |Y|   X ~ Y

Definice 4: Kardinální čísla konečných množin nazveme  přirozenými čísly.

Poznámka: Kardinální číslo množiny L tedy nazveme „pět“ a označíme  |L| = 5.

Z uvedených příkladů je zřejmé, že kardinální číslo konečné množiny vyjadřuje společnou vlastnost
této množiny a všech množin, které mají stejně prvků jako tato množina, tj. jsou stejně početné.

Porovnávání kardinálních čísel

Definice 5: Jestliže |A|  |B|  a množina A je ekvivalentní s vlastní podmnožinou množiny B, říkáme,
že kardinální číslo množiny A je menší než kardinální číslo množiny B, píšeme  |A|  |B|.

Poznámka: Z této definice vycházíme při porovnávání přirozených čísel.

Příklad 4: Uvažujme systém množin M  = {A, B, C, D, E, F, G, H} z minulého příkladu:

Platí např. |A|  |D|, protože |A|  |D|  a   A je ekvivalentní např. s množinou D^*[=] {○, ○, ○},
což je vlastní podmnožina množiny D.

|A|  |D|, protože |D|  |A|  a  A ~ D^*, D^*  D,  D^*≠ D, kde D^* = {○, ○, ○}.

Sčítání kardinálních čísel

V dalším textu budeme pracovat se systémem množin M, který obsahuje prázdnou množinu, jednoprvkovou
množinu, s každými dvěma množinami A, B i jejich sjednoceni A B a jejich kartézský součin A×B a
také s každými dvěma množinami A,B  i množinu B^*, která je s množinou B ekvivalentní (B ~ B^*) a
s množinou A disjunktní (A B =  Ø)

Definice 6: Jestliže pro množiny A, B ze systému množin M platí A  B = Ø, pak součtem kardinálních
čísel |A|, |B| rozumíme kardinální číslo sjednocení množin A, B, tj.   |A| + |B| = |A B|.

Příklad 5: Vypočtěte součet kardinálních čísel množin A, B, kde

a)       A = {a, b, c},   B = {1, 2},    b) množin A, B, kde  A = {a, b, c},   B = {a, x}.

Řešení:

a)       A  B =  Ø,  tedy  |A|  +  |B|  =  |A B|, tj.  |A|  +  |B|  =  |{a, b, c, 1, 2}|

 Srovnejte: |A| = 3,   |B| = 2,   3 + 2 = 5 = |A B|.

b)      A  B  Ø, množiny A, B mají společný prvek. K určení součtu kardinálních čísel si tedy
musíme zvolit jiného reprezentanta jednoho z kardinálních čísel, např. místo množiny B zvolíme
jinou množinu, která je s ní ekvivalentní (tedy také má stejné kardinální číslo s B) a která je
současně s tou druhou množinou (tedy s A) disjunktní (nemá s ní společné prvky):

Např. zvolíme  C =  .    Platí  C ~ B  a  A C =  Ø.

Pak |A| + |B|  =  |A| + |C|  =  |A C| , tj.

| |  +  | |  =  | |  +  | |  =  |   |  =  | | .

Srovnejte: |A| = 3,   |B| = |C| = 2,   3 + 2 = 5 = |A C|.

Násobení kardinálních čísel

Definice 7: Součinem kardinálních čísel  |A|, |B|  rozumíme kardinální číslo kartézského součinu
množin A, B,  tj.  |A| ∙ |B|  =  |A B| .

Příklad 6: Vypočtěte součet kardinálních čísel množin A, B,  kde  A = {a, b, c},   B = {a, x}.

Řešení:

|A| ∙ |B|  =  |A B|, tj.  |A| · |B|  =  |{[a,a], [a,x], [b,a], [b,x],[c,a], [c,x]}|

Srovnejte: |A| = 3,   |B| = 2,   3 · 2  =  6  =  |A B| .