Vybrané typy úloh k písemné části zkoušky



 1. Jsou dány množiny M =  a  N = .

a)      Definujte výčtem prvků relaci R z množiny M do N, která není zobrazením.

b)      Definujte relaci Z, která je zobrazením z množiny N do M a určete přesně jeho typ.

c)      Zapište výčtem prvků relaci R•Z a rozhodněte, zda je tato relace zobrazením. Pokud ano,
určete, zda je prosté.

d)      Zapište dvě různé bijekce množiny N na množinu M.

e)      Na množině N definujte dvě různé permutace P[1], P[2] a určete permutace P[1]•P[2] a
P[2]•P[1].


 2. Je dána množina M = . V množině M jsou dány relace R, T, U, V takto:

R = ,  T = ,

U = ,    V = .

a)      Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou některé z relací R, T, U, V zobrazení v množině M. Pokud
ano, určete přesně jejich typ. Je některá z těchto relací permutací na množině M?

b)      Zapište relace R^-1,  V^-1,  V•V,  U•V,  R•U,  R•(V•U). Je některá z těchto relací
zobrazením v množině M?  Pokud ano, určete přesně typ.


 3. Rozhodněte a zdůvodněte, které z vlastností  ND, A, K, EN, EI, ZR má v množině    M =  operace
* :


*

 a

  b

   c



    *

     a

      b

       c



        *

         a

          b

           c



            *

             a

              b

               c



a


  a

   b



    a

     b

      a

       c



        a

         c

          a

           a



            a

             a

              b

               c



b

 a

  b

   c



    b

     c

      b

       a



        b


          c

           b



            b

             b

              a

               c



c

 b

  c

   b



    c

     a

      c

       b



        c

         a

          b

           c



            c

             c

              b

               a



 4. V množině M =  definujte tabulkou aspoň jednu binární operaci, která má vlastnosti:

a)  K  [DEL: EN :DEL]                 b)  ND  [DEL: K :DEL]  EN             c)  ND  EN [DEL: EI
:DEL]                          d) A  [DEL: ZR :DEL]      e)  [DEL: K :DEL]  EN  [DEL: EI :DEL]
           f)  EI  ZR                       g)  ND  [DEL: A :DEL]  EI  [DEL: ZR :DEL]

U všech nalezených operací určete i zbývající vlastnosti. Rozhodněte, zda v M existuje  agresivní
prvek vzhledem k jednotlivým operacím. Stanovte přesně typy algebraických struktur, které množina M
spolu s jednotlivými operacemi tvoří.


 5. Rozhodněte a zdůvodněte, které vlastnosti má operace  v množině N (C, Q, R) :

a)  x  y  = 2x + y                  b)  x  y  =  x + y + 1             c) x  y  = 2x + 2y

d)  x  y  = 2x – y                  e)  x  y  =  x + y – 2             f) x  y  = x – 2y

g)  x  y  =  xy + 1                 h)  x  y  =  x + y + xy           i) x  y  = ½(x + y)




 6. Rozhodněte, které vlastnosti mají (nemají) operace určující níže uvedené algebraické struktury
a přesně určete typ každé z nich (symboly  +, - , ∙, :  označují obvyklé číselné operace):

( N , + ) ,         ( N , - ),           ( N , ∙ ),           ( N , : ) ,           ( C , + ) ,
     (C, - ),             ( C , ∙ ),        ( C , : ) ,           ( Q , ∙ ) ,          ( N , + , ∙)
,      ( C , + , ∙),       ( Q , + , ∙)

( P(M), ) ,      ( P(M), ) ,      ( P(M), , ),    ( P(M), , ),  kde  P(M) je potenční systém
množiny  M =


 7. Množina  N =  je množina všech přirozených čísel. Určete 2 její podmnožiny,   které jsou
a)  konečné ,        b)  nekonečné .


 8. Zvolte si výčtem prvků  tři navzájem různé konečné množiny A, B, C tak, že množiny A, B mají
společné dva prvky.

a)      Rozhodněte a zapište, zda jsou některé dvě z těchto množin ekvivalentní.

b)      Porovnejte kardinální čísla množin A, B, C. Tvrzení zdůvodněte podle definice

nerovnosti mezi kardinálními čísly.

c)      Určete  êA ê + êB ê,    êA ê + êC ê,    êB ê + êC ê,    êA ê. êB ê,    êA ê. êC ê.



 9. Dokažte, že pro každá dvě celá čísla A, B platí:

a) -(A + B) = (-A) + (-B)       b)  (-A) . B = -(A . B)        c)  (-A) . (-B) = A . B

(v důkazu využijte této reprezentace: A = [ ],  B = [ ]).


10.  Pro celá čísla A, B, X   platí  A + X = B.    Určete celé číslo  X =  [ ],  jestliže

A = [ ],  B = [ ]  .


11. Dokažte, že sčítání a násobení celých čísel jsou komutativní a asociativní operace a že
násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. (Pomocí tříd uspořádaných dvojic přirozených čísel.)


12. Dokažte, že rovnice A . X = B nemá v množině všech celých čísel řešení pro

A = [ ],  B = [ ] .


13. Pomocí tříd uspořádaných dvojic přirozených čísel zapište dvě kladná celá čísla a

dvě záporná celá čísla.


14. Zapište tři uspořádané dvojice přirozených čísel, která reprezentují

a) celé číslo O (nula)           b) celé číslo J (jedna)


15. Jsou dána celá čísla  A = [ ],  B = [ ].

a) Vypočítejte A + B ,   A . B,    A – B.             b) Porovnejte čísla A, B.

Vyřešte úlohu pro několik dalších dvojic celých čísel.


16. Dokažte, že pro každá tři celá čísla A, B, C platí:  (A < B Ù C < 0) Þ A∙C > B∙C  .

Dokažte alespoň jednu další vlastnost relace „<“ v úloze 16 na s. 199 v učebnici.


17. Vypočtěte:     a +         pro  a = -6 ,  b = 3 .


18. Dokažte, že  pro každé celé číslo  a  platí .


19. Dokažte, že sčítání a násobení racionálních čísel jsou komutativní a asociativní operace a že
násobení je distributivní vzhledem ke sčítání.(Pomocí tříd zlomků.)


20. Zvolte si dvě záporná a jedno kladné celé číslo. Tato tři čísla dělte postupně číslem 7 a
číslem (-5). Ve všech šesti případech určete neúplný podíl a zbytek.


21. Zapište čtyři zlomky, které reprezentují totéž kladné racionální číslo. Dále zapište čtyři
zlomky, které reprezentují jedno záporné racionální číslo. U obou čísel určete jejich desetinný
rozvoj. Rozhodněte, zda jsou zvolená čísla čísly desetinnými.


22. Zapište zlomek, který reprezentuje racionální číslo

a)    3,56          b)  1,           c)   0,2          d)   0,1



Součástí písemné části zkoušky jsou definice pojmů studovaných v předmětech:   Základy algebry a
aritmetiky  a   Aritmetika 1