MA0001 Základy matematiky
Podklady k cvičení 2
Břetislav Fajmon, Lukáš Másilko a další
10. října 2023
Cvičení 2.1. Pomocí pravdivostní tabulky dokažte platnost tvrzení: Výrokové
formy A ⇒ B a ¬A ∨ B jsou ekvivalentní.
Cvičení 2.2. Zjednodušte symbolický zápis, aby ve výsledku nebyl symbol
negace před žádnou závorkou, pouze u dílčích výrokových proměnných:
a) ¬((A ⇒ B) ∧ C)
b) ¬(A ⇒ (B ∨ C))
c) ¬((A ∨ B) ∧ C)
Cvičení 2.3. Proveďte přímý důkaz následujích tvrzení:
a) (viz příklad 2.11
) Pro všechna kladná reálná čísla a, b platí:
1
a
+
1
b
≥
4
a + b
.
b) ∀s ∈ N : (s je součet tří po sobě jdoucích mocnin čísla 2) ⇒ (7 | s).
c) ∀n ∈ N : (n je sudé) ⇒ (číslo 3n
+ 63 je násobkem čísla 72).
Cvičení 2.4. Napište obměnu výroku: Pokud n je sudé číslo, pak jeho druhá
mocnina n2
je sudé číslo.
Cvičení 2.5. Proveďte nepřímý důkaz následujících tvrzení
a) (viz Příklad 4.142
): Pro každé n ∈ N platí: když n není druhá mocnina
přirozeného čísla, tak
√
n není racionální číslo.
1
Rediger, Thiele. Matematické důkazy. SNTL Praha, 1985. Str. 92.
2
Rediger, Thiele. Matematické důkazy. SNTL Praha, 1985. Str. 103.
1
b) ∀n ∈ N : (n2
+ 2 je dělitelné 3) ⇒ (n není dělitelné 3).
c) ∀n ∈ Z : (5n − 7 je sudé) ⇒ (n je liché).
d) ∀x ∈ Z : (7x − 8 je sudé) ⇒ (x je sudé).
e) ∀z ∈ Z : (5 nedělí z2
+ 4) ⇒ (5 nedělí ani z − 1, ani z + 1).
Cvičení 2.6. Dokažte řetězcem ekvivalencí tvrzení:
∀x ∈ R : x4
+ 1 ≥ 2x2
.
Cvičení 2.7. Dokažte pomocí obousměrných implikací tvrzení:
a) ∀n ∈ N : 3 | n2
⇔ 3 | n.
b) ∀n ∈ N : 4 | n2
⇔ 4 | n.
Poznámka: Pozor, tvrzení 2.7.b) neplatí z obou stran!
2