MA0001 Základy matematiky
Podklady k cvičení 3
Břetislav Fajmon, Lukáš Másilko a další
10. října 2023
Cvičení 3.1. Důkaz sporem následující tvrzení:
1a) Je-li p prvočíslo větší než 2, pak je p liché.
1b)
√
3 není racionální číslo.
Cvičení 3.2. Důkaz indukcí:
2a) Dokažte ([2], str.124, př.4), že všechny celočíselné peněžní obnosy, které
jsou větší nebo rovny 4 kč, je možné vyplatit na hromadu pouze z dvojkorun
a pětikorun.
2b) Dokažte ([17],str.42, př. B11a) pro ∀n ∈ N:
1 + 2 + 3 + · · · + n =
n · (n + 1)
2
.
2c) Dokažte ([17],str.42, př. B11b) pro ∀n ∈ N:
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
.
2d) Dokažte pro ∀n ∈ N platnost vztahu 3 | (n3
+ 2n).
Cvičení 3.3. Pomocí důkazu typu 7 (existence nebo protipříklad) vyřešte
následující úlohy:
3a) Dokažte nebo vyvraťte: Čtyři rovnostranné trojúhelníky nelze sestavit
pomocí 12 zápalek stejné délky.
3b) Dokažte nebo vyvraťte: Čtyři rovnostranné trojúhelníky nelze sestavit
pomocí 9 zápalek stejné délky.
1
3c) Dokažte nebo vyvraťte: Čtyři rovnostranné trojúhelníky nelze sestavit
pomocí 6 zápalek stejné délky.
Cvičení 3.4. Zapište následující výroky symbolickým matematickým zápisem,
ve kterém nepoužijete ani jedno slovo z běžné češtiny:
4a) Existuje přirozené číslo, které když zvětšíme o 5, výsledek bude větší
než 10.
4b) Přirozené číslo je dělitelné šesti právě tehdy, když je současně dělitelné
dvěma i třemi.
4c) Číslo p je prvočíslo.
Cvičení 3.5. Negujte výroky ze cvičení 3.4 (symbolicky zapsané) pouze pomocí
symbolického zápisu (bez českých slov).
Cvičení 3.6. Dokažte Thaletovu větu, která říká: Pokud strana AB trojůhelníka
je průměrem kružnice k (tj. prochází jejím středem) a vrchol C
trojůhelníka leží na kružnici k libovolně mimo body A a B, tak úhel v trojůhelníku
ABC ležící u vrcholu C je pravý.
2