MA0001 Základy matematiky
Podklady k cvičení 4
Břetislav Fajmon, Lukáš Másilko a další
11. října 2023
Cvičení 4.1. Pomocí Vennových diagramů dokažte de Morganova pravidla
– věty 9 a 10.
(Věta 09) De Morganovo pravidlo (a): Pro každé dvě množiny A, B, které
jsou podmnožinou univerzální množiny U, platí: A ∩ B = A ∪ B.
(Věta 10) De Morganovo pravidlo (b): Pro každé dvě množiny A, B, které
jsou podmnožinou univerzální množiny U, platí: A ∪ B = A ∩ B.
Cvičení 4.2. Vidíte souvislost mezi větami 1 a 2 a větami 9 a 10? Z jakého
důvodu tato souvislost existuje?
(Věta 01) Formule ¬(A ∧ B) je ekvivalentní s formulí (¬A) ∨ (¬B).
(Věta 02) Formule ¬(A ∨ B) je ekvivalentní s formulí (¬A) ∧ (¬B).
Cvičení 4.3. Napište množinové výrazy, jejichž výsledkem je vyšrafovaná
plocha Vennova diagramu na obrázku 1:
Cvičení 4.4. Prozkoumejte1
operaci symetrického rozdílu a pomocí Vennových
diagramů dokažte, že platí
a) A ÷ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B),
b) A ÷ B = B ÷ A,
c) A ∪ B = A ÷ (B ÷ (A ∩ B)),
d) A \ B = A ÷ (A ∩ B),
e) A ∩ (B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C).
1
Viz [17], str.44, př 1.2.B6.
1
Obrázek 1: Vennovy diagramy k Cvičení 4.3
Cvičení 4.5. Vyjádřete matematickým zápisem bez jakékohokoli českého
slova deﬁnice všech operací, které jsme v této kapitole prošli:
a) A = . . .
b) A \ B = . . .
c) A × B = . . .
d) A ∪ B = . . .
e) A ∩ B = . . .
f) A ÷ B = . . .
Cvičení 4.6. Uveďte de Morganova pravidla (věty 9 a 10) pouze slovně, bez
jakéhokoli matematického symbolu.
2
Cvičení 4.7. Na univerzální množině U všech přirozených čísel jsou zadány
množiny A = {2, 3, 4, 5, 8, 10}, B = {3, 5, 10, 12, 15}, C = {3, 10, 17, 18, 19}.
Udejte výčtem prvků množinu (A ∪ B) ∩ C.
Cvičení 4.8.
a) Uveďte deﬁnici množiny: Množina je ...
b) Vyjádřete šrafovanou část S Vennova diagramu na obrázku 2 pomocí
množin na obrázku a známých množinových operací: S = . . .
Obrázek 2: Vennovy diagramy k Cvičení 4.8
Cvičení 4.9. Na konci jistého výrobního procesu prochází 500 součástek
třemi kontrolami K1, K2, K3. Zjistilo se, že 38 součástek neprošlo kontrolou
K1 (= bylo shledáno nevyhovující); 29 neprošlo K2; 30 neprošlo K3; 7 součástek
neprošlo K1 ani K2; 5 neprošlo K2 ani K3; 8 neprošlo K1 ani K3; 3
součástky neprošly žádnou z kontrol. Určete, kolik součástek
a) prošlo všemi kontrolami bez vady, tj. žádná z kontrol je neshledala
nevyhovujícími.
3
b) neprošlo právě jednou z kontrol K1, K2, K3 (některou z nich).
Cvičení 4.10. Pomocí Vennových diagramů vyřešte tuto úlohu2
: Ráno bylo
na letišti 17 letadel, z nichž během dne odletělo 15 letadel, ale tři z nich se
zase na letiště vrátila. Toho dne přiletělo celkem 32 letadel a odletělo jich
celkem 28. Každé letadlo bylo toho dne na dráze letiště nejvýš dvakrát. Kolik
letadel bylo na letišti večer? (Nápověda ... nakreslete si tři množiny v obecné
poloze: množinu letadel, které byly na letišti ze včerejška; množinu letadel,
které vzlétly dnes; množinu letadel, které se vrátily dnes – vyplňujte počty
prvků do jednotlivých oblastí roviny).
Cvičení 4.11. Pomocí Vennových diagramů vyřešte: 120 studentů skládalo
tři zkoušky. Přitom deset procent studentů nesložilo ani jednu z nich. Nebyl
nikdo, kdo by složil zkoušku jen z druhého předmětu. Devět studentů z něj
složilo úspěšně zkoušku, leč pro změnu neprospělo z prvního předmětu. 47
studentů složilo ze tří zkoušek dvě. 33 studentů nevyhovělo z třetího předmětu.
56 studentů složilo úspěšně zkoušku ze druhého i třetího předmětu,
zato však 20 studentů neobstálo ani u jednoho z nich. Kolik studentů složilo
pouze třetí zkoušku?
Cvičení 4.12. Cvičení k pojmu kartézský součin: Viz realisticky.cz (materiál
[18]), matematika pro SŠ, oddíl rovnice a funkce, pdf hodina 2101 pro
studenty – výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele.
2
Úlohy 4.10 a 4.11 byly převzaty z Hrůša (kniha [6]).
4