Domácí úkol 1
Upozornění: příklady byly náhodně vygenerovány odpovědníkem „Domácí úkol 1". Nabízené řešení bylo zpracováno Lukášem Másilkem.
Příklad 1: Je dána matice
3   15  9  3 \ 3    5  2 1 3    2  4 5 1    3  4  2 /
a permutace p =      j2, J3, j4) = (4,2,3,1) konečné množiny {1,2,3,4}.
1. Určete počet inverzí v permutaci p.
2. Jakou hodnotu by měl při výpočtu determinantu matice A součin (—1)■ ai,jra2j2'a3,j3'a4,j4) P°kud byste použili vzorec z definice determinantu?
3. Vypočítejte determinant matice A.
Řešeni: Permutace p má celkem pět inverzí:
(4,2,3,1), (4,2,3,1), (4,2,3,1), (4,2,3,1), (4,2,3,1).
Dle této permutace vybíráme z matice A na 1. řádku 4. sloupec, na 2. řádku 2. sloupec, na 3. řádku 3. sloupec a na 4. řádku 1. sloupec:
15 9 3 \
5 2 1
2 4 5 '
3 4 2 /
Zadaný součin má tedy hodnotu:
(-1)^ • a1:jl ■ a2j2 ■ a3j3 ■ a4j4 = (-1)5 • 3 • 5 • 4 • 1 = -60
A
A
-3 -3 3 1
Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023
Financováno v/     Národní 'X/řf
Evropskou unií S^l™ plán
NextGenerationEU °bn°VV MISÄr''
Posledním úkolem je spočítat determinant matice A:
-3 -3 3 1
15 9 3
5 2 1
2 4 5
3 4 2
3
1
0
o o
5 -1 1
3 -1 -1
7
-15 3 1
0  7 6 6
3  2 4 5
13 4 2
3- (-1) • (-1)1+1
-3?~i -ri
-1 5
0 7
0 17
0 8
3 1
6 6 13 8
7 3
-r4 -2r4
= -3-{+[(-l) • (-1) • 3 + (-1) • 2 • 8 + 3 • 1 • 7]-[8 • (-1) • 3 + 7 • 2 • (-1) + 3 • 1 • (-1)]} = -3 • {+[3 - 16 + 21]-[-24 - 14 - 3]} = -3 • 49 = -147 Příklad 2: Je dán systém S : A ■ x = b lineárních rovnic
4:r3
—Xi
-3xi
x2 x2 x2
2xi
9,
0,
1,
kde A je matice systému S, x pravých stran rovnic systému.
je vektor neznámých a b vektor
1. Ověřte platnost \A\ ^ 0, čímž zjistíte, zda systém lze řešit Cramerovým pravidlem.
2. Následně vypočtěte determinanty matic Ai (i G {1,2,3}) vzniklých dosazením vektoru b místo i-tého sloupce matice Ai.
3. Na závěr stanovte řešení pomocí Cramerova pravidla. Řešeni: Determinant matice systému
A
spočítáme Sarusovým pravidlem, přičemž si pomůžeme tím, že první dva sloupce zopakujeme napravo:1
1	1	4
4	1	0
3	-1	2
	-1	1 4	-1	1
\A\ =	4	1 0	4	1
	-3	-1 2	-3	-1
= +[(	-1) • 1	■2 + 1 ■	0-(-	-3) H
= +[-	-2 + 0-	-16]-[	-12-	-04
-14
1S „kladným" znaménkem bude součin prvků na diagonálách, které mají příbuzný sklon s hlavní diagonálou (označeno červeně), se „záporným" znaménkem naopak součin prvků na diagonálách, které mají příbuzný sklon s vedlejší diagonálou (označeno modře)
2
Podobně můžeme spočítat i determinanty matic Ai, A2, A%, které získáme z matice A nahrazením příslušného sloupce vektorem b = (9; 0; 1)T pravých
stran systému S:
9 n
1 4 1 0 -1 2
9 n
= +[9- 1-2 +1-0-1+4-0- (-1)]-[1 • 1-4+(-1) - 0-9 + 2-0 - 1] = +[18 + 0 + 0]-[4 + 0 + 0] = 14
-19 4 4   0 0 -3 12
-1 9 4 0 -3 1
= +[(-1) • 0 • 2 + 9 • 0 • (-3) + 4 • 4 • l]-[(-3) • 0 • 4 + 1 • 0 • (-1) + 2 • 4 • 9] = +[0 + 0 + 16]-[0 + 0 + 72] = -56
\A3
-1 4 -3
1 9 1 0 -1
-1
4
-3
= +[(-1) • 1 • 1 + 1 • 0 • (-3) + 9 ■ 4 ■ (-l)]-[(-3) • 1 ■ 9 + (-1) • 0 • (-1) + 1-4-1]
= +[-1 + 0 - 36]-[-27 + 0 + 4] = -14
Cramerovo pravidlo nyní dokončíme a spočítáme řešení:
X2
£3 =
	14
\A\	-14
\M	-56
	-14
\M	-14
	-14
-1
Závěrem: K
-1 4 i
Příklad 3: Je dána matice
X
V
3 -2
4 1
2
5
4 2
5 11
-2 2
-2 \ -1 -2
1 )
Vypočítejte determinant matice X Laplaceovým rozvojem podle 4. řádku.
3
Řešeni: 1*1 -
(-1)
4+1
+ ("I)
4+3
2 4 5 2 5 11
3 2 -2 5
4 5
-2 -1 -2
-2 -1 -2
+ (-l)4+2-(-2)
+ (-1)
4+4
3 4 -2 2
4 11
3 2 4 -2  5 2
4 5 11
Spočítejme zvlášť determinanty 3. řádu:
2 4	-2				
5 2	-1	= +["8-	-20-	110] —[—20 - 22 - 40]	= -138 + 82 =
5 11	-2				
3 4	-2				
-2 2	-1	= +[-12	- 16-	f 44]-[-16 - 33 + 16]	= 16 + 33 = 49
4 11	-2				
3 2	-2				
-2 5	-1	= +[-30	-8 +	20]-[-40- 15 + 8] =	-18- (-47) =
4 5	-2				
3 2	4				
-2 5	2	=  + [165-	1-16-	-40]-[80 + 30 - 44] =	141 - 66 = 75
4 5	11				
-56
29
Dosadíme výsledky determinantů do předchozího rozvoje pro |X|:
)4+3-2-29 + (-l)4+4
\X\   =   (-l)4+1-l-(-56) +	(_l)4+2	•(-	-2)-	49 + (
=  -(-56)- 2-49 - 2-	29 + 75			
= -25				
Příklad 4: Je dána matice				
	(   3 "	-5	-2	-1 \
M =	-2	0	-1	0
	1	3	4	2
	l   4 -	-2	0	6/
Vypočítejte determinant matice M úpravou na schodový tvar. Řešení:
\M\
(-2)-
3	-5	-2 -	-1		+2
-2	0	-1	0		
1	3	4	2		Í2
4	-2	0	6		: 2
1	3	4	2		
0	6	7	4		+
0	-14	-14	-7		
0	-7	-8	-1		
(-l)-2
r4
("2)-7-
1	3	4	2	
2	0	-1	0	+2n
3	-5	-2	-1	—3ri
2	-1	0	3	-2ri
1	3	4	2	
0	-1	-1	3	
0	-2	-2	-1	-2r2
0	-7	-8	-1	-7r2
4
(-14)
1	3	4	2	
0	-1	-1	3	
0	0	0	-7	U
0	0	-1	-22	ti
-1)	•(-	!)•(-	-7)] =	: 14
(-14)-(-I)
1	3	4	2
0	-1	-1	3
0	0	-1	-22
0	0	0	-7
5