Domácí úkol 2 Upozornění: příklady byly náhodně vygenerovány odpovědníkem „Domácí úkol 2". Nabízené řešení bylo zpracováno Lukášem Másilkem. Příklad 1: Ve vektorovém prostoru IR4 je podprostor W zadán následující množinou generátorů. 2\ ( 1 ^ í -1 \ í 1 \ 2 2 1 , d = -1 -3 , b - 4 , c = -1 2 v 1 ) 1 I "2/ 1. Určete dimenzi podprostoru W. 2. Vaším dalším úkolem je nalézt bázi «jy podprostoru W. Předpokládejme, že a £ ciM- Vyberte další vektory, které patří do báze a) b b) c c) d d) Žádný další vektor do báze ayy nepřidáme. Řešení: Vložíme všechny čtyři vektory do matice, například do řádků, a spočítáme hodnost matice: \ / 1 0 -0 \o - / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 -3 4 -1 2 4 ■11 3 -2 1 \ 2 1 "2/ 2\ -3 3 "4/ ti \ 1 2 -1 1 "^3 -n ( 1 2 0 1 0 3 \ 0 0 4 -8 27 1 2\ 0 3 -i y ti / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 4 27 3 1 2\ 0 -1 3/ 2\ 1 1 "2/ 2 \ 0 3 -i y -2ri -ri -ri -3r9 -27r, / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 1 0 2\ 0 -1 30 ) Matice je ve schodovém tvaru a žádný ze čtyř řádků není nulový. Její hodnost je tedy 4, stejně tak dim W = 4. Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023 Financováno v/ Národní 'X/řf Evropskou unií S^l™ plán NextGenerationEU °bn°VV MISÄr'' Báze ctw podprostoru W tedy bude kromě vektoru a obsahovat i vektory b, c, d. ctw = (^j b, c, d) Množina čtyř zadaných generátorů je lineárně nezávislá, jak jsme ověřili výpočtem hodnosti matice z nich složených. Příklad 2: Je dán následující systém lineárních rovnic: — X\ 2x1 —3xi 4ei 3x2 3x2 Ax2 10x2 x3 2x3 3x3 X4 2x4 x4 2x4 -4 7 Úkoly: 1. Kolik řešení má výše zadaný systém? 2. Má-li systém řešení, zapište jej. Řešeni: Koeficienty a pravou stranu rovnic vložíme do rozšířené matice, kterou upravíme na schodový tvar: 3r _|_ 2rq -1 3 0 1 — 4\ / ' -1 3 0 1 — 4\ 2 3 1 2 7 + 2r\ 0 9 1 4 — 1 -3 -4 -2 1 — 3 — 3ri 0 -13 2 2 9 v 4 10 3 2 + 4ri \ v 0 22 3 6 -15 / -1 3 0 1 í -1 3 0 1 0 1 -1 < 15 0 1 -1 3 0 -13 -2 -2 9 + 13r2 0 0 -15 102 v 0 22 3 6 -15 J -22r2 \ 0 0 25 -170 -1 3 0 1 -4\ í- 1 3 0 1 4\ 0 1 - -1 8 15 0 1 -1 8 15 0 0 5 34 68 0 0 -5 34 68 v 0 0 5 - -34 -69 ) +^3 \ D 0 0 0 1 ) -4\ 15 204 : 3 -345 / : 5 Z poslední matice, která již je ve schodovém tvaru, je patrné, že hodnost matice systému je 3, zatímco hodnost rozšířené matice systému 4. Platí tedy h(A) = 3 < 4 = h(A\b), což znamená, že systém nemá řešení. Příklad 3: Ve vektorovém prostoru IR3 jsou zadány dva podprostory W\ = L(uu u2,u3), W2 = L(v[, v2, v3), přičemž: Vl 1 ^ f M 1 / 1 , u2 = f -2 1 0 J l 1) ' \ í M 1 3 ' 4 l,v3=( 1 j l -1 ) ' \ 1. Určete dimenzi součtu podprostoru W±, W2: 2 2. Vaším dalším úkolem je nalézt bázi as podprostoru Wi+W2. Předpokládejme, že ú[, v{ G ols. Vyberte další vektor či vektory, které patří do báze as. a) u2 b) u3 c) v2 d) v3 e) Žádný další vektor do báze as nepřidáme. f) dim(Wi + W2) = 1? takže do báze as vybereme pouze jeden z vektorů ú[,v[. 3. Určete dimenzi průniku podprostoru Wi,W2. 4. Najděte vektory báze ap podprostoru W\ D W2. Řešení: Nejprve si spočítáme dimenzi jednotlivých podprostoru (určíme hodnosti matic složených z vektorů obou podprostoru): dim W\ dim W2 3 4 0 -3 0 0 1 3 -2 0 3 3 1 5 5 +r2 ' 1 1 0 0 -5 1 v 0 0 0 4 -1 \ -3 1 -3 1 / dim Wi = dim W2 = 2 Pro spočítání dim (Wi + W2) použijeme pouze první dva vektory z obou podprostoru, které vložíme do matice a spočítáme její hodnost: dim (Wi + W2 / 1 0 0 1 1 -3 -5 0\ -1 1 1 / 1 o\ ŕ 1 1 o\ 3 - -2 1 —3?~i 0 -5 1 0 - -3 1 0 -3 1 V 3 4 "I / —3ri ^0 i -1 / Í2 ( 1 1 o\ / 1 1 o\ 0 1 -1 0 1 -1 +3r2 0 0 -2 0 0 -2 +5r2 ^0 0 -4j 2r3 V 0 0 0/ Součet W\ + W2 má dimenzi 3. Do jeho báze «5 můžeme kromě vektorů Ui,v{ vybrat kterýkoliv jiný vektor nabízený ve variantách a)-d), tedy např. u2. "5 = {U1,V1,U2) Dle vzorce pro součet a průnik podprostoru dim(Wi + W2) = dim Wx + dim W2 - dim(Wi n W2) -r-2 3 je dim (Wi H W2) = 1, průnikem W±,W2 je přímka procházející počátkem. Hledáme tedy její směrový vektor x, který lze vyjádřit lineární kombinací vektorů generujících W\ i W2. To lze symbolicky zapsat takto: x = ai ■ ú[ + a2 ■ u2 = ai • 1 + "2 • -1 (1) 1 \ ' 3\ 1 + a2 ■ \ "I oy \ v 1/ 0 N \ -3 4 1 > 1 V -1 / f =/3i-íTi + /32-^ = /3i- ^ -3 j ^ 4 j (2) Z obou pravých stran předchozích rovnic můžeme vytvořit novou rovnici, v níž všechny výrazy převedeme na levou stranu: cti • 1 + a2 ■ Získáváme homogenní systém. Znaménko — u koeficientů /31; /32 roznásobíme do vektorů a sestavíme matici (bez nul napravo), kterou převedeme na schodový tvar: 13 0 -3 \ / 1 3 0 1-1 3 -4 -n ~ 0 -4 3 0 1-11/ \ 0 1—1 1 3 0 -3 \ / 1 3 0 0 1-1 1 ~ 0 1 -1 0-4 3 -1 / +4r2 V 0 0 -1 Zpětným chodem zjišťujeme: • Poslední řádek matice je rovnice —/3i + 3(32 = 0. Zvolíme (32 = t, ŕ G IR. Následně —/3i + 3í = 0, z čehož fli = 3t. • Prostřední řádek znamená rovnici a± — + (32 = 0. Dosadíme vyjádření fti,(32 z předchozího řádku a máme a2 = 2t. • Z prvního řádku a±+3a2—3(32 = 0 díky již dříve vypočteným hodnotám a2,/32 získáváme «1 = —3t. Vypočtené koeficienty dosadíme do rovnic (1, 2) a měli bychom dostat stejný výsledek: x = -3t- \ 1 +2t x 4 Bází průniku W± H W2 je tedy Příklad 4: Jsou dány matice 1. Pro které dvojice vybírané z matic A, B, C je možné provést násobení? Najděte všechny možnosti. 2. Je dána matice 1 0 X • 2 -2 Nalezněte matici F = A • X a zapište počet všech jejích prvků, jejichž hodnota je větší nebo rovna nule. Řešeni: Aby bylo možné uskutečnit součin matic K-L, musí být počet sloupců matice K stejný jako počet řádků matice L. Dle tohoto kritéria je možné provést součiny A ■ B, C ■ A. Ověřme, zda lze provést součin matic A-X. Matice A je typu 3x2, matice X je typu 2x2. Součin tedy je možné uskutečnit: -2 -1 \ . . / -2-1-1-2 -2-0-l-(-2) 2 0 " ( 2 -2 ) = 2-1 + 0- 2 2-0 + 0- (-2) 0 1 / ^ ' \ 0-1 + 1-2 0-0 + 1-(-2) -4 : 2 ( 2 -í Kolik prvků matice Y má hodnotu větší nebo rovnu nule? Celkem 4. 5