Domácí úkol 3
Upozornění: příklady byly náhodně vygenerovány odpovědníkem „Domácí úkol 3". Nabízené řešení bylo zpracováno Petrou Buškovou a Lukášem Másilkem.
Příklad 1: Je dán sloupcový vektor b = (3, 2,1)T a matice
A
1. Nalezněte inverzní matici A 1 k matici A.
2. S pomocí inverzní matice A~ľ vyřešte systém A • x = b, je-li
X = (Xi, X2, X%)T.
Řešeni: Gauss-Jordánovou metodou určíme inverzní matici:
2	1	1	1	0		4-2 /	ŕ 1	1	0	0	0	M	
2	1	2	0	1	0		2	1	2	0	1	0	-2n ~
1	1	0	0	0		'    Í2 1	V 2	1	1	1	0		-2ri
V poslední rozšířené matici napravo už je inverzní matice A~ľ, kterou nyní použijeme k řešení systému A ■ x = b. Vynásobíme obě strany této rovnice zleva inverzní maticí A~ľ a upravíme na tvar x = A~ľ ■ b:
íX1 }	| /
X2	=
\x3 J	\
ŕ Xl \	| /
X2	=
\x3 J	\
Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023
Financováno v/     Národní 'X/řf
Evropskou unií S^l™ plán
NextGenerationEU °bn°VV MISÄr''
Příklad 2: Lineární zobrazení p> : ke standardní bázi:
A,
je zadáno maticí A$ vzhledem
1. Nalezněte jádro lineárního zobrazení p>. Určete jeho dimenzi a bázi.
2. Nalezněte obor hodnot lineárního zobrazení p>. Určete jeho dimenzi a bázi.
Řešení:
1. hledáme vektory x = (xi, X2)T tak, že • x = (0; 0)T, což vede k převodu matice A$ na schodový tvar:
+2
Í2
-2ri -2ri
-3ro
Odstraníme nulový řádek a zpětným chodem zjistíme, že X2 = x\ tedy: dim Ker 9? = 0 a jádro Ker tp = < í ^  | \ nemá bázi.
0. Platí
2. Dosazením do vzorce dim V = dim Ker 99+dim Im 99, kde V = IR2 je vstupní prostor, dostáváme:
2 2
0 + dim Im p> dim Im p>
Zobrazíme-li vektory standardní báze vektorového prostoru tice As, dostáváme:
pomoci ma-
Oba sloupce matice As tedy tvoří bázi oboru hodnot p>:
Im p> =
Příklad 3: Lineární zobrazení p> : IR3 —^ IR4 je zadáno svým jádrem a oborem hodnot.
Ker p>
-1 1 0
-2
0
1
Im p>
í	í	4\	\
		-1	
		2	
\		1 J	/
2
Nalezněte matici      zobrazení ip částečně zadané níže.
(     4 «1 Ví \
-1 «2 v2
2 «3 «3
V    1 u4 «4 )
Řešení: Použijeme oba vektory jádra, které by se měly zobrazit na nulový vektor:
	4		Vl \
	-1	u2	v2
	2	u3	v3
v	1	«4	V A )
	4	Ul	Vl \
	-1	u2	v2
	2	u3	v3
v	1	«4	V A )
Ze systému (1) dostáváme rovnice:
-4 +wi = 0 =>
1 + u2 = 0 => -2 + «3 = 0 => -1 + M4 = 0 =>
Ze systému (2) dostáváme rovnice:
S + vi = 0 =>
2 + «2 = 0 => -4 + «3 = 0 => -2 + w4 = 0 =>
Výsledná matice lineárního zobrazení ip:
ui = 4
1t2 = -1 M3 = 2 «4=1
«1 = 8 w2 = -2
«3 = 4 «4 = 2
(   4 4
-1 -1
2 2
\    1 1
8\
-2 4
2/
/0\
0 0
V o /
/o\
o o
(1)
(2)
Příklad 4: Jsou dány báze a, (3 vektorového prostoru
1. Nalezněte matici přechodu Pa^p od báze a k bázi (3.
3
2. S pomocí matice přechodu Pa^p vyjádřete vektor up = I   — 1
0
báze a.
v souřadnicích
Řešeni: Z vektorů obou bází vytvoříme rozšířenou matici (a\(3) a matici vlevo převedeme na jednotkovou:
1		1	0	2	1	0 N
0		-1	1	0	1	-3
1		0	-1	0	-2	-i y
1		0	1	2	2	-3
0		1	1	0	1	-3
0		0	-2	-2	-4 2	
1	0	0	1	0 -		
0	1	0	1	1	2	
0	0	1	1	2 -		
-n
l l
-l
2 0 -2
•(-1) :(-2)
Pr
1
1
-3
2 -1
2
-?"2
-r3 -r3
S pomocí spočítané matice přechodu převedeme vektor up do souřadnic báze a:
'10-2
Un = Pa^{3 ■ Up = j    1    1 2
1  2 -1
\	í		í "M
•	-1	=	
/	l   o i		-4 /
4