MA0005 Algebra 2, 2. seminář 12. 10. 2023 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 1/11 Náplň cvičení □ Determinant matice ■ Důležitá pravidla pro výpočet determinantu ■ Laplaceův rozvoj determinantu ■ Příklady na výpočet determinantu ■ Výpočet determinantu převodem na schodový tvar ■ Linearita při výpočtu determinantu Literatura ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4. Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 2/11 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Lukáš Másilko 2. cvičení 12.10.2023 3/11 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Dl M = MT , kde M1 je transponovaná matice M. D2 Jestliže matice /Vf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak T M M1 D3 Jestliže matice M' vznikne z matice M vynásobením některého řádku i k M1 nenulovým číslem k G ffi. — {0}, pak \M D4 Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c G IR — {0}). D6 Je-li některý řádek matice M lineární kombinací ostatních, pak M =0. 'Jedná se o důsledek vlastnosti D3. Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 3/11 Důležitá pravidla pro výpočet determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. Dl M = MT , kde M1 je transponovaná matice M. D2 Jestliže matice /Vf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak T M M1 D3 Jestliže matice M' vznikne z matice M vynásobením některého řádku i k M1 nenulovým číslem k G ffi. — {0}, pak \M D4 Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c G IR — {0}). D6 Je-li některý řádek matice M lineární kombinací ostatních, pak M =0. 'Jedná se o důsledek vlastnosti D3. Důležitý důsledek: Determinant matice M obsahující nulový řádek je roven 0. 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 3/11 D5 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N. < [S? ► < -ž ► 4 ^ k š ^)Q,0 Lukáš Másilko 2. cvičení 12.10.2023 4/11 D5 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n e N. Rozvoj podle /c-tého řádku: M = ÍT(-l)k+J ■ BkJ J'=l kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním • \Mkj , /c-tého řádku a j-tého sloupce. Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 4/11 D5 Laplaceův rozvoj determinantu Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Rozvoj podle /c-tého řádku: n M Y,(-l)k+J-akj-\Mkj j'=i kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním /c-tého řádku a 7-tého sloupce. Rozvoj podle /-tého sloupce: Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 4/11 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (Laplaceovým rozvojem dle vybraného řádku či sloupce) (a) 3-2 1-2 (b) -3 -5 2 -1 0 -3 -5 4 7 9 8 -5 -8 3 2 -3 -4 0 1 -2 -4 6 7 -2 -5 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 5/11 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (Laplaceovým rozvojem dle vybraného řádku či sloupce) (a) 3-2 1-2 -3-5 2 0 (b) Výsledky: (a) -195, 1 -2 -4 -1 0 -3 -5 4 7 9 8 -5 -8 3 2 -3 -4 6 7 -2 -5 □ S1 ~ = Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 5/11 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (Laplaceovým rozvojem dle vybraného řádku či sloupce) (a) 3-2 1-2 -3-5 2 0 (b) -3 -5 4 7 Výsledky: (a) -195, (b) 18 1 -2 -4 -1 0 9 8 -5 -8 3 2 -3 -4 6 7 -2 -5 □ S1 ~ = Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 5/11 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (s využitím pravidel D2, D3, D4) (c) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 (d) 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 6/11 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (s využitím pravidel D2, D3, D4) (c) (d) Výsledky: (c) -28, 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 6/11 Příklad 4.2.Bil Spočtěte determinant (s využitím pravidel D2, D3, D4) (c) 2 1 -4 3 3 5 2 2 -1 2 -1 2 -2 -1 3 (d) Výsledky: (c) -28, (d) 30. 2 -1 1 3 1 -1 1 -2 -1 3 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 6/11 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 7/11 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Výsledky: (a) -105, Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 7/11 Příklad 4.2.B12 Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a) (b) 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Výsledky: (a) -105, (b) -18 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 7/11 Hodnost matice a elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Otázka: Kdy jsou dva řádky matice lineárně závislé? Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 8/11 Hodnost matice a elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Otázka: Kdy jsou dva řádky matice lineárně závislé? Elementární řádkové úpravy Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, výměna pořadí dvou řádků (rovnic), přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici) Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 8/11 Hodnost matice a elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Otázka: Kdy jsou dva řádky matice lineárně závislé? Elementární řádkové úpravy Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, výměna pořadí dvou řádků (rovnic), přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici) Důležitá poznámka: Elementární řádkové úpravy nezmění hodnot matice, resp. nezpůsobí změnu řešení SLR. Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 8/11 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 9/11 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 9/11 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Příklad 1: rozhodněte, zda jsou následující matice ve schodovém tvaru. 12 3 9 0 0 5 3 0 13 6 0 0 0 9 0 0 5 3 0 13 6 12 3 9 0 7 5 3 0 0 3 6 Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 9/11 Příklad Vypočítejte determinanty matic A, B úpravou na schodový tvar, je-li A = B = í -1 2 0 3\ 3 -4 1 -2 2 -3 -5 0 0 1 2 3 / 2 0 4 -1 1 -3 0 0 -2 3 1 v 3 -1 5 "2 / □ rS1 ~ = Lukáš Másilko 2. cvičení 12.10.2023 10/11 Příklad Vypočítejte determinanty matic A, B úpravou na schodový tvar, je-li Výsledky: A = 2, A = B = í -1 2 0 3\ 3 -4 1 -2 2 -3 -5 0 0 1 2 3 / 2 0 4 -1 1 -3 0 0 -2 3 1 v 3 -1 5 "2 / Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 10/11 Příklad Vypočítejte determinanty matic A, B úpravou na schodový tvar, je-li A = B = Výsledky: A = 2, B = -4 -1 2 0 3\ 3 -4 1 -2 2 -3 -5 0 v 0 1 2 3 / 2 0 4 -1 1 -3 0 0 -2 3 1 v 3 -1 5 "2 / Lukáš Másilko 2. cvičení □ rS1 ~ = 12. 10. 2023 10/11 Determinant jako zobrazení lineární v každé složce Vlastnost D3 (linearita při výpočtu determinantu) Determinant det(ä{, 32,..., ä*n) je zobrazení E" x E" x • • • x M." —y Rn (ä) jsou řádky matice), které je lineární v každé své složce, tj. pokud pokud se na /c-tém řádku vyskytuje lineární kombinace dvou vektorů a ■ u + (3 ■ v, tak determinant lze upravit na lineární kombinaci dvou determinantů: det(ä[, Ú + /3 ■ v,..., aT,) = a ■ det(ä[,..., u,..., aT,) + + P • ořeř(ái,..., v,..., á*n). Příklad: Proveďte Laplaceův rozvoj matice M podle 5. sloupce a využijte linearity determinantu, abyste redukovali počet determinantů 4. řádu. M = /2 1 1 0 V 2 1 0 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 0^ Lukáš Másilko 2. cvičení 12. 10. 2023 11/11