MA0005 Algebra 2, 4. seminář
26. 10. 2023
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       1 / 10
Náplň cvičení
H Pod prostor vektorového prostoru
■ Overení podmínek vektorového pod prostoru
■ Součet a průnik vektorových pod prostorů
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydaní. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       2 / 10
Vektorový prostor
Definice vektorového pod prostoru
Vektorový podprostor prostoru (\/, +, •) nad tělesem (7~, +, •) je taková podmnožina 1/1/ prostoru V, která je uzavřená vzhledem k operaci + (sčítání vektorů) a • (násobení vektoru skalárem):
H \/u, veW\u+veW
"1" VJe 1/1/,Vt E T \ t - u E W
Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavřený na lineární kombinaci svých vektorů, platí však pro něj všechny podmínky jako pro vektorový prostor!
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       3 / 10
Ověření podmínek vektorového pod prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C vektorového prostoru Q4, je-li:
í/°\ /M /-Ml
0 1
0    ' 1
L V o / V 1 )
(a) W={
-1 -1
V-i/J
>
(b) 1/1/ = <^
a x4 y
*1 + x2 + *3 + M > 0 >
(c) W = {
A X4 y
*2 = *3 = *4
>
je pod prostorem
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       4 / 10
Ověření podmínek vektorového pod prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C vektorového prostoru Q4, je-
( f2s + t\
s - t
je pod prostorem
(d) W=l
v
t
ŕ, s G
libovolné
>
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       5 / 10
Ověření podmínek vektorového pod prostoru
Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C vektorového prostoru Q4, je-
( f2s + t\
s - t
je pod prostorem
(d) W=l
t
ŕ, s G O libovolné
>
Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       5 / 10
Ověření podmínek vektorového pod prostoru
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina q je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li:
(a) q\ 2x + y-3z + 6 = 0
(b) q\ 2x + y-z = 0
(c) £>:x-2y + 3z-6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       6 / 10
Ověření podmínek vektorového pod prostoru
Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina g je vektorovým pod prostorem aritmetického vektorového prostoru IR3, je-li:
(a) g : 2x + y - 3z + 6 = 0
(b) g : 2x + y - z = 0
(c) g : x - 2y + 3z - 6 = 0
(d) g : x + 4y - 2z = 0
Příklad z písemky: (a) ne, (b) ano, (c) ne, (d) ano.
Vysvětlení: roviny jsou podprostorem IR3, právě když v nich leží počátek (tedy obsahují nulový vektor o). Stejně tak to platí i pro přímky ve vektorovém prostoru IR3, případně IR2.
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       6 / 10
Lineární obal množiny vektorů
Lineární obal množiny vektorů
Lineárním obalem množiny (ne nutně nezávislých) vektorů {\/í, v^,..., v^} z vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •) rozumíme množinu {ai • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k | <^i> <^25... a/f e 7"} vzniklou jakoukoli lineární kombinací vektorů {\/í, v^,..., vj<}.
Značíme jej L(v[, v^,..., v£) nebo ({ví, v£,..., v^}}.
Alternativně říkáme, že L(v[, v£,..., v£) je podprostor generovaný vektory
vi,       . . . , Vk.
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       7 / 10
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součet a průnik vektorových podprostorů
Součtem Wi + I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme lineární obal jejich sjednocení, tj.
w1 + w2 = L(w1uw2) = {oí'U + i3'v\a,i3e T,ue wuve 1/1/2}
Průnikem l/l/i n I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, l/l/? prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme množinu vektorů, které leží ve l/l/i i I/I/2 zároveň, tj.
Wi n W2 = {J G V I J G l/l/i A J G 1/1/2} Věta: Jsou-li l/l/i, I/I/2 podprostory s konečnou dimenzí, pak platí dim (l/l/i + I/I/2) = dim Wľ + dim l/l/2 - dim (Wľ n l/l/2).
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       8 / 10
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory 1/14, W2- Určete dimenzi a bázi podprostorů Wi + W2, Wi n M/2, je-li:
(a) V = M3, M/i = L(uÍ, ifc), M/2 = L(ví, v|).
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       9 / 10
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory 1/14, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W1 + l/l/2, Wi n W2l je-li:
(a) V = R3, M/i = Z.(i/Í, tT2), vV2 = /-(ví, 3, ví),
i/i =
, "2 =
, V2 =
V3 =
= 3, příklad báze: aw1+w2 = ("i, "2, VÍ),
dim (Wi D I/I/2) = 1. příklad báze: cti/Vinw2 =
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       9 / 10
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/i, l/l/2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + W2l l/l/i n l/l/2, je-li:
(b) V = IR4, M/i = ({Ji, Ú2, Ú3}), W2 = ({vu v2, v3}),
Ui =
Vl =
2
0
V 2 y
1 1
Výsledek:
^2 =
v2 =
2 1
V 2 y
-1 1
v -1 y
"3 =
/3\ 1
3
=
3 1
V 3 y
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       10 / 10
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(b) V = R\ Wx = ({Ji, Ů2, u3}), W2 = ({ví, v2, v3}),
ui =
2 0
V 2 y
^2 =
2 1
V 2 y
"3 =
/3\ 1
3
v 1 y
^1 =
1 1
v 1 y
v2 =
1/3 =
/ 1\
-1 1
v -1 y
Výsledek:
dim (l/l/i + l/l/2) = 3, příklad báze: aw1+w2 =
dim (l/l/i n I/I/2) = 2, příklad báze: a^in^2 = (u2\ Ú3).
/M
3
1
V 3 y
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       10 / 10
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(c) V = R\ Wx = /.(Ji, u2), W2 = L(v[, v2),
ui =
1 1
u2 =
0
1
\0J
Vi =
/M 1
1
V o y
\/2 =
/M
2
0
V 1 /
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       11 / 10
Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů
Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů l/l/i + l/l/2, l/l/i n I/I/2, je-li:
(c) V = r\ Wx = /.(Ji, u2), W2 = L(v[, v2),
ui =
/M 1
1
, U2 =
0
1
\0J
Vi =
/ 1 \ 1
1
V o y
v2 =
/1 \
2
o
v 1 /
Výsledek:
dim (l/l/i + I/I/2) = 4, příklad báze: ai/i/1+i/i/2 = (ú[, u2, v[, v^), dim (l/l/i n I/I/2) = 0, báze tedy neexistuje.
Lukáš Másilko
4. cvičení
26. 10. 2023       11 / 10