MA0005 Algebra 2, 6. seminář
9. 11. 2023
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023
Náplň cvičení
□ Další způsoby řešení SLR
■ Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
■ Princip superpozice
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ Kovář, M.: Maticový a tenzorový počet. Vysoké učení technické
v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Ustav matematiky.
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       2 /9
Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
SLR A • x = b (matice A je čtvercová) lze zapsat takto:
/ 3ll    312    • • •     3in \ 321    322    • • • 32n
*2
\ 3ni    an2    ...    3nn J     \ Xn J
/m
Lukáš Másilko
□        s ►  < .š ►
6. cvičení
9. 11. 2023 3/9
Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
SLR A • x = b (matice A je čtvercová) lze zapsat takto:
/ 3ll 312 321 322
3ln \
32 n
*2
\ 3ni    an2    ...     3nn )      \ Xn )
í ^ \
b2
Je-li matice A regulární, je možné systém A - x — b vyřešit tzv. Gauss-Jordanovou metodou založenou na aplikaci elementárních řádkových úprav a dosažení níže uvedeného tvaru:
(A\b)
r\j • • • r\j
(E\y)
přičemž E je jednotková matice a y je vektor s řešením systému A - x — b.
□      s1 ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023 3/9
Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
(b)
(c)
x   +   2y   +   3z   = 9
2x	—	y	+	z	= 8
3x			—	z	= 3
X	+	2y	+	z	= 3
2x	+	y	—	z	= 3
—x			—	2z	= 2
4x	+	y	+	3z	= 1
-3x	—	6y	—	6z	= 0
-3x	—	4y	—	5z	= -2
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023
Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
	X	+	2y	+	3z	= 9
	2x	—	y	+	z	= 8
	3x			—	z	= 3
(b)						
	X	+	2y	+	z	= 3
	2x	+	y	—	z	= 3
	—x			—	2z	= 2
(c)						
	4x	+	y	+	3z	= 1
	-3x	—	6y	—	6z	= 0
	-3x	—	4y	—	5z	= -2
Výsledky: a) (x,y,z)T	= (2,	-1,3)T,				
Lukáš Másilko	6. cvičení	9. 11. 2023 A	i/9
Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + 2y + 3z 2x   -   y   + z
9 8
	3x			— z	= 3
(b)					
	X	+	2y	+ z	= 3
	2x	+	y	— z	= 3
	—x			- 2z	= 2
(c)					
	4x	+	y	+ 3z	= 1
	-3x	—	6y	- 6z	= 0
	-3x	—	4y	- 5z	= -2
Výsledky: a) (x,y,z)T	= (2,	-1,3)T,		b) (x,	y,z)T = (0,2,-l)T
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023
Gauss-Jordanova metoda řešení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + 2y + 3z 2x   -   y   + z
9 8
	3x			— z	= 3
(b)					
	X	+	2y	+ z	= 3
	2x	+	y	— z	= 3
	—x			- 2z	= 2
(c)					
	4x	+	y	+ 3z	= 1
	-3x	—	6y	- 6z	= 0
	-3x	—	4y	- 5z	= -2
Výsledky: a) (x,y,z)T	= (2,	-1,3)T,		b) (x,	y,z)T = (0,2,-l)T
c) (x,y,z)T = (-2,-3,4)
T
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023
Homogenní vs. nehomogenní SLR
Motivační příklad: Pomocí Gaussovy eliminační metody vyřešte oba systémy a porovnejte výsledky.
1. Nehomogenní systém:
xi    + x2
2xi   - *2
Xl    + x2
xi    - 2x2
2. Homogenní systém:
xi    + x2
2xi   - *2
xi    + x2
Xl     — 2X2
- 3x3
+ *3
- *3
—    3X4 =
—    3X4 =
- 3x3
+ *3
- *3
-1
5 3 2
—    3X4 =
—    3X4 =
0 0 0 0
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023 5/9
Homogenní vs. nehomogenní SLR
Motivační příklad: Pomocí Gaussovy eliminační metody vyřešte oba systémy a porovnejte výsledky.
1. Nehomogenní systém:
xi    + x2
2xi   - *2
Xl    + x2
xi    - 2x2
2. Homogenní systém:
xi    + x2
2xi   - *2
xi    + x2
Xl     — 2X2
- 3x3
+ *3
- *3
—    3x4 =
—    3x4 =
- 3x3
+ *3
- *3
-1
5 3 2
—    3x4 =
—    3x4 =
0 0 0 0
1. K = {[|,-i,l,0]r + r.(l,-l,0,l)T,rGlR},
2. K = {[0,0,0,0]T + ŕ.(l,-l,0,l)T,ŕeIR} ,n,
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023 5/9
Princip superpozice
Definice 18
Obecné řešení SLR = řešení, ve kterém se vyskytují parametry.
Partikulární řešení SLR = řešení, které dostaneme konkrétní volbou parametrů.
Fundamentální systém řešení homogenního SLR = taková množina řešení, která tvoří bázi vektorového podprostoru řešení SLR.
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       6 /9
Princip superpozice
Definice 18
■ Obecné řešení SLR = řešení, ve kterém se vyskytují parametry.
■ Partikulární řešení SLR = řešení, které dostaneme konkrétní volbou parametrů.
■ Fundamentální systém řešení homogenního SLR = taková množina řešení, která tvoří bázi vektorového podprostoru řešení SLR.
Z předchozího příkladu: K = {[|, -§, 1, 0]T + t • (1, -1,0,1)T, t e K} je obecné řešení nehomogenního SLR. Volbou t = 1 dostáváme partikulární řešení      —|, 1,1]T. Obecné řešení homogenního SLR (tj. t • (1, —1, 0, l)7", t e IR) je zároveň fundamentálním systémem řešení.
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       6 /9
Princip superpozice
Definice 18
■ Obecné řešení SLR = řešení, ve kterém se vyskytují parametry.
■ Partikulární řešení SLR = řešení, které dostaneme konkrétní volbou parametrů.
■ Fundamentální systém řešení homogenního SLR = taková množina řešení, která tvoří bázi vektorového podprostoru řešení SLR.
Z předchozího příkladu: K = {[|, -§, 1, 0]T + t • (1, -1,0,1)T, t e K} je obecné řešení nehomogenního SLR. Volbou t = 1 dostáváme partikulární řešení      —|, 1,1]T. Obecné řešení homogenního SLR (tj. t • (1, —1, 0, l)7", t e IR) je zároveň fundamentálním systémem řešení.
Princip superpozice
Obecné řešení nehomogenního SLR = obecné řešení homogenního SLR + partikulární řešení nehomogenního SLR.
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       6 /9
Princip superpozice
Poznámka
■ Partikulární řešení hledáme tak, že např. uhodneme neznámé, nebo některé neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopočítáme.
■ Princip superpozice je užitečnou metodou v případě, kdy má nehomogenní SLR nekonečně mnoho řešení.
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       7 /9
Princip superpozice
Poznámka
■ Partikulární řešení hledáme tak, že např. uhodneme neznámé, nebo některé neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopočítáme.
■ Princip superpozice je užitečnou metodou v případě, kdy má nehomogenní SLR nekonečně mnoho řešení.
Příklad: Pomocí principu superpozice vyřešte zadaný systém lineárních rovnic.
xi + x2 + 2x3 - 5x4
2xi + 5x2 — X3 — 9x4
2xi + X2 - X3 + 3x4
xi - 3x2 + 2x3 + 7x4
3
-3 11
-5
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       7 /9
Princip superpozice
Poznámka
■ Partikulární řešení hledáme tak, že např. uhodneme neznámé, nebo některé neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopočítáme.
■ Princip superpozice je užitečnou metodou v případě, kdy má nehomogenní SLR nekonečně mnoho řešení.
Příklad: Pomocí principu superpozice vyřešte zadaný systém lineárních rovnic.
Výsledek: obecné řešení homogenního SLR (po volbě X4 = t) je
t • (-2,3,2,1)T, t G R. Volbou x4 = 0 dostaneme toto obecné řešení
zadaného systému: K = {[-5, 2, 3, 0]' + t • (-2, 3,2,1)',t G R}.
xi + X2 + 2x3 - 5x4
2xi + 5X2 — x3 — 9x4
2xi + X2 - x3 + 3x4
xi - 3x2 + 2x3 + 7x4
3
-3 11
-5
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       7 /9
Princip superpozice
Příklad: Pomocí principu superpozice vyřešte zadaný systém lineárních rovnic.
(a)
xi   +   2x2   +   3x3   +   4x4   = 5
Xi    +    3X2    +    5X3    +    7X4    = 11
xi -   x3    -   2x4   = -7
(b)
3xi	+	2x2	+	2X3	+	2x4	= 2
2xi	+	3X2	+	2x3	+	5X4	= 3
9xi	+		+	4x3	—	5X4	= 1
2xi	+	2x2	+	3x3	+	4x4	= 5
7xi	+	X2	+	6x3	—	x4	= 7
Lukáš Másilko 6. cvičeni 9. 11. 2023       8 /9
Výsledky príkladu
(a) obecné řešení homogenního SLR (po volbě X3 = ŕ,X4 = s) je
{t • (0, -2,1,0)T + s • (3, -3,0,1)', ŕ, s g R}.
t
Volbou X3 = X4 = 0 dostaneme toto obecné řešení zadaného systému
K = {[-7,6, 0, 0]T + t • (0, -2,1,0)1 + s • (3, -3, 0,1)',í,sgR}
T
T
(b) obecné řešení homogenního SLR (po volbě X4 = t) je
{ŕ-(-20,l,6,7)T,ŕeIR}.
Volbou xi = 0 dostaneme toto obecné řešení zadaného systému
K = {[0,-\\'\]T + ŕ • C"20' !> 6> 7)T> ŕ e Kl-
Lukáš Másilko
6. cvičení
9. 11. 2023       9 /9