MA0005 Algebra 2, 7. seminář
16. 11. 2023
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       1 / 14
Náplň cvičení
O Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
■ Reprezentace lineárního zobrazení
■ Lineární zobrazení přímky a roviny
■ Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ lsibalo.com: Matematika - Lineárni algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
■v
■ Čadek, M.: Sbírka úloh z lineárni algebry. 2002. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/sbirka.pdf.
■ Sobotíková, V. Rešené úlohy z Úvodu do algebry. Dostupné z: http://www.vrstevnice.com/akce/grandaction/vskola/ lsemestr/lingebra/resPriklady.pdf.
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       2 / 14
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Jsou dány dva vektorové prostory (\/, +, •) dimenze n 6 N a (V, +, •) dimenze m 6 N nad číselným tělesem (7",+,-). Lineárním zobrazením mezi prostory V, V7 rozumíme zobrazení cp : V —>> V splňující tyto dvě podmiň ky:
□ (p(u + v) = (f(u) + (p(v),
Q <p(a • J) = a • cp(u)
pro u,v E 7".
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       3 / 14
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Jsou dány dva vektorové prostory (\/, +, •) dimenze n £ N a (V, +, •) dimenze m e N nad číselným tělesem (7",+,-). Lineárním zobrazením mezi prostory VV7 rozumíme zobrazení cp : V —>> V7 splňující tyto dvě podmiň ky:
□ (p(u + v) = <p( J) + v?(\7),
B cp(a • u) — a • (p(u)
pro u,v E V,a <E T.
Poznámka: Lineární zobrazení lze zadat třemi způsoby:
■ pomocí předpisu mezi souřadnicemi vektoru u e V a <p(u) G V,
■ pomocí matice A typu m x n, tj. <p(i7) = >A • u,
■ pomocí obrazů <p(éí), ^(^2)5 • • • 5 ^(^n) bázových vektorů prostoru V.
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       3 / 14
Reprezentace lineárního zobrazení
Příklad 1
Lineární zobrazení cp : V —>> V je zadáno předpisem pro vektor x E V.
■ Najděte matici A zobrazení cp a obrazy standardní báze prostoru V.
■ Najděte p{u), p(v).
H (f : K2     M3,^(xi,x2) = (2xi + x2,x2,x2 -xi), u = (2,3)T, \7 = HU)7
B P ■ K3     M4,^(xi,x2,x3) = (xi +x2,x2 +x3,x3 +xi,xi), ff=(4,-l,0)V=(-3,0,5)T.
B p :M? ^ ]R2,^(xi,x2,x3) = (xi +x2,x2 +x3), =(0,2,-3)V=(-M,2)T.
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       4 / 14
Výsledky príkladu 1
i.
^(l,0) = (2,0,-l)',^(0,l) = (l,l,l)', <p{2,3) = (7,3,1)T, <p{-2,1) = (-3,1,3)T
/ 1   1   O \
2. /\ —     .   _   . , 10 1
V i o o /
<p{l,0,0) = (1,0,1,1)T, <p{0,1,0) = (1,1,0,0)T, <p{0,0,1) = (0,1,1,0)T, <p{4, -1,0) = (3, -1,4,4)T, <p(-3,0,5) = (-3, 5, 2, -3)T.
3' A= ( O   1   1 )'
<p{l, 0,0) = (1,0)T, <p{0,1,0) = (1,1)T, <p{0,0,1) = (0,1)T,
<g(0,2,-3) = (2,-l)r,(g(-l,l,2) = (0,3)7'.   <unS><žnš>   i ^
Lukáš Másilko 7. cvičení 16. 11. 2023       5 / 14
Reprezentace lineárního zobrazení
Příklad 2
Lineární zobrazení y> : V —> V je zadáno obrazy bázových vektorů V. ■ Najděte matici A zobrazení y>. m Najděte (p(u), (p(v).
H <p : R3 -)■ M2,
y>(l,0, 2) = (1, 3)T, ifii-3, 4, -2) = (2, -1)T, ^(0, 2,1) = (-3, 5)T, ty = (l,4,2)7",i7=(-l,0,4)7".
<p{l, 2, -3) = (-2,1)T, <p(2,1, -2) = (1,1)T, ^(1, -4, 5) = (8, -1)T, t/ = (3,6,-l)T,v = (0,3,2)T.
<p{l, 0,1) = (1,0,1,0)T, ^(1,1,0) = (0,0,0,0)T, ^(0,1,1) = (0,1,0,1)T, t/ = (2,4,6)T,v = (-4,0,2)T.
□       rS1 ► <     ► < =
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       6 / 14
Výsledky príkladu 2
l.A =
-10 -f
17 11
3 -1
¥>(1,4,2) = (-16,15)T,^(-1,0,4) = (32,-9)T 2. zadané vektory netvoří bázi prostoru V = IR3.
/ i -i i\ -íii i-ii V -i i i /
y>(2,4, 6) = (2,4, 2,4)T, y>(-4,0, 2) = (-1, 3, -1,3)
3. A — 2
T
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       7 / 14
Zobrazení přímky a roviny
Je dána přímka p a rovina g:
p = {[l + t,2-t,l-t]-,teR}
É>:2x-3y + z + l = 0
Zjistěte, na jakou množinu bodů se přímka p a rovina g zobrazí pomoci lineárního zobrazení:
■ cpi : M? —>> IR3, které je zadáno maticí
■ <^2 : K- —>• K , které je zadáno maticí
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       8 / 14
Výsledky príkladu 3
1- Vl(p) = {[8,3-t,2 + 2t]T;t€R} <Pi(q) :x~2y~z = 0
2. <p2{p) = {[4 + ŕ> 3 _ 2ŕj 2 + t]T;te M} <P2{g) : 8x - 7y - 10z + 3 = O
Lukáš Másilko
7. cvičení
□        S1 ►  < -š ►  < =
16. 11. 2023       9 / 14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení cp : V —>> V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m).
□ Jádrem Kercp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj.
Kenp = {u e V \ (p(u) = o\//}.
B Oborem hodnot Imy? zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v £ V7, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im (p = {\7 G V | 3u e V : <p( J) = \7|.
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       10 / 14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení cp : V —> V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m).
□ Jádrem Ker p zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj. Kerp = {u e V \ p(Ú) = oy}.
B Oborem hodnot \mp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v £ Vř, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im p = {v G Vf | 3u e V : <p( J) = \7|.
Poznámka:
■ Ker p a lm<p jsou vektorové pod prostory.
■ dim(Ker^) — n — h(A) — dim V — h(Ä), kde A je matice lineárního zobrazení p.
■ dim(lm <p) = h(A).
■ dim V = dim(Ker p) + dim(lm p).
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       10 / 14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Příklad 4
Nalezněte jádro a obor hodnot lineárního zobrazení p a určete jejich
dimenze.
H p : IR3     IR4, <p(xi,x2,x3) = (xi + x2,x2 + x3,x3 +xi,xi)
B P ■ K3     K2, V?(xi>x2,x3) = (xi +x2,x2 +x3)
B ^ : IR3 -> IR4, y>(l, 2,1) = (-1,1,1,1)T,
y>(0,l,2) = (1,0,0,1)T^(1,0,-1) = (0,1,1,2)T.
□ (p : IR4 —>■ R , 9? je dáno maticí
/  1     0    3   1 \ /As =      2    -14 1. \ -3    5 12/
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       11 / 14
Výsledky příkladu 4
H di	ml	[Ker cp)	— 0, Ker (p	= {(0,0,0)r},
di	ml	[Im cp) -	= 3, Im (p =	({(l,0,l,l)r,(l,l,0,0)r,(0,l,l,0)r})
B di	ml	[Ker p>)	= 1, Ker (p	= <{(!,-U)T}>.
di	ml	Im (p) -	- 2, Im tp =	({(1,0)T,(0,1)T».
B di	ml	[Ker cp)	— 1, Ker (p	= ({(0,3,4)T}),
di	ml	[Im (p) -	- 2, Im tp =	<{(-l, 1,1,1)T, (1,0,0, l)r}>.
Q ď	ml	[Ker p))	= 2, Ker p)	= ({(-3,-2,l,0)T,(-l,-l,0,l)T}),
d	mi	[Im p>) -	- 2, Im (p =	<{(1,2,-3)T,(0,-1,5)T}).
Lukáš Másilko
7. cvičení
□ S
16. 11. 2023       12 / 14
Příklad 5
Lineární zobrazení ip je zadáno pomocí svého jádra a oboru hodnot. Sestrojte matici Aý zobrazení tp. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich.
(a) ip : E4 ->• IR4,
Ker^ = ((2;2;l;0)T,(-5;-3;0;l)T), Im tP = ((-1; -3; -1; -1)T, (1,4, 3, 2)T).
(b) ip : R3 ->• IR4,
Ker^ = ((2;2;1)T,(1;0;1)T), lm^ = ((l;0;l;l)T).
(c) ip : M4 M3,
Ker^ = ((2;0;2;l)r,(0;l;-1;1)T), lm^ = ((1;0;1)T,(1;1;0)T).
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       13 / 14
Výsledky príkladu 5
(a) A/, =
(b) A/, =
(c) A/, =
"5 "I/
_ 1 _4
i5 _I
3 3
O -2 -Í u       3 3
O -2\
-2 -3 -4 4
-2 i y -M
o
-1
Lukáš Másilko
7. cvičení
16. 11. 2023       14 / 14