MA0005 Algebra 2, 8. seminář
23. 11. 2023
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       1 / 12
Náplň cvičení
□ Matice přechodu
■ Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
■ Změna matice lineárního zobrazení při změně báze
■ Změna matice lineární transformace při změně báze
Literatura a zdroje
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
■ Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z:
https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka.
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       2 / 12
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
01 = (éí, 62, ... ě^),   P = (fi, h,... fn)
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       3 / 12
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
01 = (éí, 62, ... ě^),   P = (fi, h,... fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., £/n)T zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3,
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       3 / 12
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
01 = (éí, 62, ... ě^),   P = (fi, h,... fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., £/n)T zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3,   tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby
(tfl, ii2? - - - 5 ^n)T =     ' Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn,
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       3 / 12
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
01 = (éí, 62, ... ě^),   P = (fi, h,... fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., £/n)T zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3,   tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby
(tfl, ii2? - - - 5 ^n)T = /i • Xi + r2 • X2 H-----\-fn'Xn.
což vede na řešení systému Ú — /3 • x, tedy řešení soustavy
/ ^11 ^12 • • • fln
£l ^22 • • • hn
m m •      • • ■
\ ^?2 • • • fnn
Un J
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       3 / 12
Matice přechodu - motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze
01 = (éí, 62, ... ě^),   P = (fi, h,... fn)
Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., £/n)T zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3,   tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby
(tfl, ii2? - - - 5 ^n)T =     ' Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn,
což vede na řešení systému Ú — /3 • x, tedy řešení soustavy
l/ =
/ fll ^12 • • • ^ln
hl fž2 • • • £n
■ ■ •   •   • ■
\ fnl fn2 • • • fnn
Un J
Budeme takovou soustavu řešit pro každý vektor^vlášť? , t > 41 >
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       3 / 12
Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto:
n
ě/ = fl • Pl/ + £ • P2i H-----1" /Ä, • Pni = ^ f k '
k=l
kde (pi/, p2z,..., Pn/)T je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3,
Lukáš Másilko
8. cvičení
□ iS1
23. 11. 2023       4 / 12
Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto:
n
Gi = fľ Pli + h ' P2i H-----h ŕn " Pni = ^ f/c ' P/c/,
/c=l
kde (pi/, p2/,..., Pni)T je vektor e; vyjádřený v bázi /3,
Matice přechodu
Maticí přechodu Pa^/3 od báze o k bázi /3 rozumíme matici, pro níž platí
(1)
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       4 / 12
Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto:
n
ě/ = /*! ' Pl/ + £ " P2/H-----h     " Pni = ^ f/c ' P/cn
/c=l
kde (pi/, p2/,..., Pni)T je vektor e; vyjádřený v bázi /3,
Matice přechodu
Maticí přechodu Pq.-^ od báze o k bázi j3 rozumíme matici, pro níž platí
(3 = a- Pa^/3
(1)
Poznámka:
■ Vektory obou bází se ve vztahu (1) zapisují sloupcově.
■ Matice přechodu Pa^/3 je regulární.
■ Matice (Pa^)_1 = Pf3^a je maticí přechodu od báze (3 k bázi a a platí tento vztah:
a = (3 • P/^a
(2)
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       4 / 12
Matice přechodu - příklady
Převádění souřadnic vektorů při změně báze: Při vyjádření souřadnic vektoru v jiné bázi potřebujeme matici přechodu v opačném směru:
Příklad 1
Jsou dány dvě různé báze a,/3 vektorového prostoru IR3, přechodu Pa->p a určete souřadnice vektoru Úa —
(3 a souřadnice vektoru vp = (—1,0, 3) ^ v bázi a.
Najděte matice (1,2,1)T v bázi
□ a = 1	:(i>o>i)r	(2,1,1)T	(0,0, 2)T),
P = (	:(o,i,i)T	(1,0,2)T	(2,0,2)T).
	:(i>o>2)r	(2,1,1)T	(3,2,4)T),
P = (	:(i,2,o)r	(2,2,4)T	(0,1, -3)r).
	:(i>2,o)r	(2,1,1)T	(1,0, l)7"),
	:(2,2,i)r	(1,2,1)T	(0,0,2)r).
Výsledky: na dalším slajdu
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       5 / 12
Výsledky Příkladu 1
i. P
2. p
(1, 2,1)1 = (2, -2, |)J, (-1, O, 3)J = (8, -1, -1)
T
a
_ 1
2
-1
3 2
(1,2,1)^ = (-20,14,16)J,(-1,0,3)J
= (-4,3,-1)
T
a
3. P
(1, 2,1)1 = (4, -2,      , (-1, O, 3)^ = (5, -12,17)
1
4
l ^ T
T
T
'a
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       6 / 12
Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady
Příklad 2
Lineární zobrazení cp : U —> V je zadáno maticí As ve standardních bázích (7, V. Pro zadané báze a prostoru U a /3 prostoru V určete matice
1. ^ : R2     ir3, >4S =
2 1 0 1 -1 1
= ((1, 2)T; (-2,1)T), p = ((1,1,1)7"; (1,1, 0)T-(1, 2, 0)T)
/ 1   1   0 \
3^4 I   0    1 1
10 1
V i o o y
= ((l,0,l)T;(l,l,l)T;(l,2,0)r),
= ((1, 2, -1, 0)T; (0,1, -1, -2)T; (-1,0,0,-2)^; (2,_1, 0, -3)1)
2.     : k3 -)■ m4, /4S =
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       7 / 12
Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady
Lineární zobrazení (p : U -» V je zadáno maticí As ve standardních bázích U, V. Pro zadané báze a prostoru U a /3 prostoru V určete matice
As—»a? Ap^s, A/3-±a.
« = ((l,l,l)r;(l,0,4)r;(l,4,0)T), /3 = ((1,0)T;(4,1)T).
Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       8 / 12
Výsledky Příkladu 2
1- ^S—>>a —
2- ^S—>>a —
/i
1
2
Vi
A
30 7
19
7 5
7
3- ^S—>>a —
(3—ta
2 3\ 2 2 2 1
3 2\ -5 -3 3 1
1     1 /
A
3 1
	r 4	5	12 \
1	-ii	-5	-19
7 '	3	2	16
	l 3	2	2 /
□       S1 ► < -E ► < =
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       9 / 12
Změna matice lineární transformace při změně báze -příklady
Příklad 3
Lineární transformace cp : ir3 —>> ir3 je zadána maticí As ve standardní bázi prostoru ir3. Pro bázi
a = ((l,l,l)T;(l,l,0)l;(l,2,0)1)
T
T
prostoru ir3 určete matice As->aj A*->Sj A
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       10 / 12
Výsledky Příkladu 3
/ 4 2 3 \ /  4    i    4 \
1. As^a =3   1   O    , Aa^s =     -4     2   -2 ,
\ 9  5  6 / \   1   -2     O /
< □ ►  < ť3? ►  < -E ►  < -ž ►     -š     •O Q, O
Lukáš Másilko 8. cvičení 23. 11. 2023       11 / 12
Výsledky Příkladu 3
Lukáš Másilko
8. cvičení
23. 11. 2023       12 / 12