Archim´edova statika v geometrii JAROMÍR ŠIMŠA Abstrakt. Článek je podrobným výkladem tématu, ve kterém se pojí základy dvou disciplin: eukleidovské geometrie a newtonovské mechaniky. Způsobem zpracovaní je příspěvek úplným podkladem pro demonstraci mezipředmětové kooperace při výuce matematiky a fyziky na čtyřletých gymnáziích. 1. Úvod Na příkladech z elementární geometrie ukážeme, že za každou mate matickou teorií se může skrývat (někdy zjevně, někdy utajeně) nějaká přírodní nebo sociální „zápletka . Tato myšlenka není ve sporu se sou časným pohledem na podstatu matematické teorie, jež spočívá ve for málně-logickém odvozování důsledků některé soustavy axiómů. Při tomto pojetí matematika není — na rozdíl od ostatních přírodních věd — bez prostřední výpovědí o světě kolem nás. Přestože výchozí postuláty každé matematické teorie mohou být vybrány libovolně a diskuse o jejich plat nosti samotné matematice nepřísluší, skutečně zajímavé a bohatě struk turované výsledky dostaneme obvykle jen tehdy, pokud výchozí definice a axiómy jsou odrazem našich zkušeností s objekty a procesy reálného světa. (I když se někteří matematikové holedbají, že jejich výsledky jsou krásné samy o sobě a nemají žádný přesah mimo matematiku, nelze taková vyhlášení brát zcela vážně.) V současnosti je to dobře vidět na intenzívním rozvoji geometrie topologických variet, který by byl nemys litelný, kdyby nebyl podněcován otázkami, jež kladou fyzika mikrosvěta elementárních částic a fyzika makrosvěta galaxií. Vraťme se však z výšin atraktivního světa moderního výzkumu na pevnou zem školské praxe. Dobře víte, že několik základních pouček z geometrie trojúhelníku je následujícího typu: Tři přímky, které jsou jistým popisem přiřazeny danému trojúhelníku, procházejí jedním bodem. Taková jsou např. tvrzení o průsečících těžnic, výšek, os stran či os vnitř ních úhlů. Budeme-li je posuzovat z hlediska metod, jimiž se dokazují, pak k nejsnadnějším patří poučka o osách stran. Leží-li totiž bod X na ose strany AB trojúhelníku ABC, pak |AX| = |BX| (obr. 1); leží-li navíc 1 A B C |AX| = |BX| |BX| = |CX| S Obr. 1 i na ose strany BC, pak |BX| = |CX|. Pro průsečík S os stran AB a BC tedy platí |AS| = |BS| = |CS|, rovnost |AS| = |CS| ale znamená, že bod S leží i na ose třetí strany trojúhelníku, strany AC. Jistě si uvědomíte, že podobně snadný je i důkaz tvrzení o průsečíku os vnitřních úhlů. Tyto osy jsou totiž množiny bodů, které můžeme snadno popsat pomocí vzdáleností od stran trojúhelníku (u os stran byly ve hře vzdálenosti od vrcholů trojúhelníku). Podobný množinový popis nám ale schází u dalších významných přímek nebo úseček, jakými jsou například spojnice vrcholů trojúhelníku se středy protějších stran, tedy těžnice.1 Tvrzení o těžnicích proto obvykle dokazujeme jinak, nejčastěji na zá kladě vlastností středních příček trojúhelníku a stejnolehlosti (viz [2], kde je uveden i jiný pěkný důkaz, který využívá pouze vlastnosti obsahů trojúhelníků). Vývoj školské matematiky zapříčinil, že historicky první důkaz věty o těžnicích trojúhelníku, který podal Archimédes2 , je součas nou matematickou veřejností téměř zapomenut. Připomíná se nám však v samotném názvu těžnice, odvozeném od slova tíha. Archimédes totiž dospěl ke geometrickým pojmům těžnice a těžiště cestou abstrakce od tíhy (či chcete-li, hmotnosti) konkrétních těles. Objevil přitom základní zákony statiky. Podívejme se proto spolu, jak se taková (ve své podstatě fyzikální) metoda může uplatnit v geometrii. Určitě přitom oceníme, jak některé intuitivně neprůhledné geometrické výsledky mají přirozenou fy zikální interpretaci. 1 V oddílu 3 tohoto článku ukážeme, že i pro těžnice takový popis existuje. 2 Archimédes ze Syrakus, asi 287–212 př.n.l., jeden z největších a nejslavnějších starořeckých matematiků, fyziků a astronomů. 2 2. Archimédovy axiomy Poznatky o těžištích konkrétních těles, tj. místech, kde působí jejich tíha, byly lidem známy od pradávna. Teprve Archimédes však tyto jednotlivé poznatky systematizoval a extrahoval jejich podstatu do jednoduchých statických zákonů. Tyto zákony považoval za neměnné a univerzální. Navíc požadoval, aby se veškeré výpočty a úvahy opíraly pouze o ně. Dnes bychom řekli, že Archimédes postupoval přísně vědecky: vybudoval statiku jako axiomatickou teorii. Dříve než si zmíněné axiomy o těžištích uvedeme, poznamenejme, že Archimédes ve svých úvahách důvtipně kombinoval prvky diskrétní a in finitezimální povahy. (Sami se o tom za chvíli přesvědčíme na příkladu těžiště „hmotného trojúhelníku.) Uvažoval například o hmotných úseč kách složených z hmotných bodů apod. Budeme proto raději mluvit o hmotných soustavách místo tělesech. Každou přímku, která prochází těžištěm hmotné soustavy, nazveme těžnicí dané soustavy. Axiom I. (Existence a jednoznačnost) Každá hmotná soustava má právě jedno těžiště. Axiom II. (Zákon páky) Těžiště dvojice hmotných bodů A, B o hmotnostech m1, m2 je ten bod T úsečky AB, pro který platí m1|AT| = m2|BT| (obr. 2). A BT m1 m2 Obr. 2 Axiom III. (Redukční princip) Těžiště hmotné soustavy se nezmění, zaměníme-li libovolnou její část (tzv. podsoustavu) jedním hmotným bodem splývajícím s těžištěm této podsoustavy a majícím celou její hmot- nost. Zkusme se nyní ve svých myšlenkách přenést do Archimédova starého Řecka, do dob, kdy se ještě tak striktně nerozlišovala matematika od fyziky, a podívejme se, jaké geometrické výsledky se dají z uvedených tří axiomů odvodit. Teprve na závěr v oddílu 12 si řekneme, jak se naše „hmotnostní úvahy dají formalizovat tak, aby se vyhovělo současným požadavkům na exaktnost matematických teorií. 3 3. Těžiště trojúhelníku Představme si, že z tenké homogenní destičky je vyroben model obecného trojúhelníku ABC. Abychom určili jeho těžiště, postupujme jako Archi médes a rozložme celý trojúhelník na velké množství tenkých „pásků rovnoběžných se stranou BC. V „limitním případě jsou tyto pásky hmotné úsečky UrVr (obr. 3). B C A A0 Vr Ur A0 A Tr Obr. 3 Protože každá úsečka UrVr je homogenní, je jejím těžištěm střed této úsečky,3 který označíme Tr. Podle Axiomu III můžeme každou úsečku UrVr zaměnit hmotným bodem Tr, jehož hmotnost je přímo úměrná délce úsečky UrVr. Proto těžiště T našeho modelu trojúhelníku ABC splývá s těžištěm soustavy hmotných bodů Tr, které vyplňují spojnici vrcholu A se středem A0 strany BC. To ale znamená, že bod T leží na těžnici AA0 (blíže konci A0, neboť u tohoto konce mají body Tr větší hmotnost). Zopakujeme-li naši úvahu pro rozklad trojúhelníku na úsečky rovnoběžné se stranou AB respektive AC, dojdeme k závěru: Bod T leží na všech třech těžnicích AA0, BB0, CC0 (obr. 4 vlevo). Jinými slovy, tyto tři úsečky procházejí jedním bodem. Zdůrazněme, že předchozím výkladem jsme ještě neodpověděli na otáz ku, v jakém poměru se těžnice trojúhelníku navzájem dělí. Vyložme, ja kým „trikem na ni našel odpověď Archimédes: místo destičky ve tvaru trojúhelníku ABC uvážil soustavu tří hmotných bodů A, B, C o téže hmotnosti (rovné určité jednotce). Takovou soustavu S budeme zapiso vat následujícím způsobem S = {1A, 1B, 1C}, 3 Je-li hmotná soustava středově souměrná podle bodu X, je bod X jejím těžištěm. Tato vlastnost plyne z Axiomu III, neboť každou dvojici souměrných bodů o téže hmotnosti m lze zaměnit těžištěm této dvojice (s hmotností 2m), kterým je však podle zákona páky právě bod X. Podobné tvrzení platí o soustavách, které mají osu (popř. rovinu) souměrnosti. 4 A B C C0 A0B0 T 1A 1B 1C 2A0 3T Obr. 4 kde kladné číslo před označením bodu značí jeho hmotnost. Zaměníme-li podle Axiomu III dvojici bodů 1B, 1C hmotným bodem 2A0, zjistí me, že těžiště T soustavy S leží na úsečce AA0 a přitom (podle zákona páky) |AT| : |A0T| = 2 : 1 (obr. 4 vpravo). Podobně redukcí na soustavy {1B, 2B0} respektive {1C, 2C0} dospějeme k závěru: Těžiště soustavy S leží na všech třech těžnicích AA0, BB0, CC0 a dělí každou z nich v poměru 2 : 1 (ve směru od vrcholu ke straně). Zdůrazněme, že toto tvr zení jsme po vzoru Archiméda odvodili jednoduchou, leč pozoruhodnou úvahou o vhodné tříbodové hmotné soustavě S, a to nezávisle na před chozím výkladu o modelu trojúhelníku, sestaveném z nekonečně mnoha hmotných úseček. Jazykem hmotných soustav lze také získat množinový popis těžnic, který jsme slíbili v úvodu článku v poznámce 1 pod čarou: Například těžnice AA0 je množina těžišť těch hmotných soustav trojic bodů S = {pA, qB, rC}, ve kterých jsou body B a C „naděleny stejnými hmotnostmi q = r. V dalších oddílech článku ukážeme, jaké další poznatky o obecném troj úhelníku lze získat jinými vhodnými výběry trojic hmotností (p, q, r). (Pro lepší přehlednost budeme hmotnost bodu X zpravidla značit mX .) Úkol 1. Úvahou o čtveřici hmotných bodů {1A, 1B, 1C, 1D} získejte základní poznatky o těžišti obecného čtyřstěnu ABCD. Nezapomeňte přitom na redukované soustavy typu {2E, 2F}, kde E a F jsou středy libovolné dvojice protilehlých hran čtyřstěnu ABCD. Úkol 2. Je těžiště modelu obecného čtyřúhelníku vyrobeného z homogen ního materiálu totožné s těžištěm čtveřice jeho vrcholů o téže hmotnosti? Pokud ne, charakterizujte ty čtyřúhelníky, pro které je odpověď na tuto otázku kladná. Návod: Dokažte nejprve, že polohy „plošného těžiště Tp a „vrcholo vého těžiště Tv libovolného konvexního čtyřúhelníku ABCD jsou určeny 5 vektory   ¡ p = 1 3  £¢ a   ¡ v = 1 2  £¤ , kde bod K je střed úhlopříčky AC, bod L střed úhlopříčky BD, bod E průsečík těchto úhlopříček; konečně E značí bod souměrně sdružený s bodem E podle středu L. (Stejná vyjádření platí i pro nekonvexní čtyřúhelníky ABCD obsahující úhlo příčku AC.) 4. Ortocentrum trojúhelníku Nechť CP je výška ostroúhlého trojúhelníku ABC s vnitřními úhly α, A B C P V α β Obr. 5 β, γ (obr. 5). Na rovnost |AP| · tg α = |BP| · tg β (= |CP|) můžeme pohlédnout jako na zákon páky pro dvojici hmotných bodů A, B o hmotnostech tg α resp. tg β. Zvolíme-li proto hmotnosti vrcholů A, B, C jako mA = tg α, mB = tg β, mC = tg γ, usoudíme, že těžiště této trojice hmotných bodů leží na každé ze tří výšek trojúhelníku ABC. Posuďte sami, jak efektně jsme právě doká zali netriviální tvrzení o tom, že výšky libovolného4 trojúhelníku pro cházejí jedním bodem, zvaným ortocentrem daného trojúhelníku.5 Na víc můžeme okamžitě doplnit, v jakém poměru se výšky navzájem dě lí. Protože ortocentrum V je podle předchozího těžištěm dvojice bodů {tg γ C, (tg α + tg β)P}, plyne ze zákona páky úměra |CV | : |PV | = (tg α + tg β) : tg γ. 4 V případě tupoúhlého trojúhelníku je jedna z hmotností vrcholů záporná, v případě pravoúhlého trojúhelníku „nekonečně veliká . 5 Pokuste se sami o jiný důkaz. Čtyři možné důkazy najdete v [2]. 6 5. Body dotyku vepsané kružnice Do libovolného trojúhelníku ABC vepišme kružnici a označme Da, Db, Dc její body dotyku se stranami trojúhelníku (obr. 6). Obvod trojúhel A B C Dc Da Db x y y z z x Obr. 6 níku ABC je těmito body rozdělen na tři dvojice shodných úseček, jejichž délky označíme takto: |ADb| = |ADc| = x, |BDc| = |BDa| = y, |CDa| = |CDb| = z. Jestliže tedy „nadělíme vrcholům trojúhelníku hmotnosti mA = 1 x , mB = 1 y , mC = 1 z , stane se bod Da těžištěm dvojice bodů B, C, bod Db těžištěm dvojice bodů A, C a konečně bod Dc těžištěm dvojice bodů A, B. Odtud plyne, že těžištěm celé trojice A, B, C bude společný bod úseček ADa, BDb a CDc. Dokázali jsme tak toto tvrzení: Spojíme-li každý vrchol daného trojúhelníku s bodem dotyku vepsané kružnice na protější straně, dostaneme tři úsečky, které procházejí jedním bodem. Tento průsečík se nazývá Gergonnův6 bod daného trojúhelníku. Úkol 3. Libovolnému trojúhelníku lze připsat tři kružnice tak, že každá z nich se dotýká jedné strany trojúhelníku a prodloužení dvou ostatních stran. Dokažte, že tři úsečky, z nichž každá spojuje vrchol daného trojúhelníku s bodem dotyku připsané kružnice na protější straně, procházejí jedním bodem. Tento průsečík se nazývá Nagelův7 bod daného trojúhelníku. Návod: Vyjádřete délky šesti úseček, na které je rozdělen obvod troj úhelníku vrcholy a body dotyku, pomocí délek stran trojúhelníku. Tak zjistíte, že jde (jako v úvaze z oddílu 5) o tři dvojice shodných úseček. 6 Joseph Diez Gergonne [žergon], 1771–1859, francouzský astronom a matematik. 7 Christian August Nagel [nagel], 1821–1903, německý geodet a matematik. 7 6. Střed vepsané kružnice Uvažujme opět obecný trojúhelník ABC a položme si otázku, kde leží těžiště O trojice jeho vrcholů o hmotnostech mA = |BC|, mB = |AC|, mC = |AB|. (Odpověď budeme potřebovat hned v následujícím oddílu 7.) Bod O je průsečík příček AA1, BB1 a CC1, kde A1, B1, C1 jsou ty body stran BC, AC resp. AB, pro které (podle zákona páky) platí úměra |BA1| |CA1| = |BA| |CA| , |CB1| |AB1| = |CB| |AB| , |AC1| |BC1| = |AC| |BC| . Vzhledem k tomu, že podíl |BA1| : |CA1| udává poměr obsahů trojúhel níků BA1A a CA1A (mají totiž společnou výšku z vrcholu A, viz obr. 7), plyne z první rovnosti, že tyto dva trojúhelníky mají shodné výšky na A B CA1 Obr. 7 strany AB a AC. Jinými slovy, bod A1 má od stran AB a AC stejnou vzdálenost, takže přímka AA1 je osa úhlu BAC. To znamená, že bod O je středem kružnice vepsané trojúhelníku ABC. 7. Těžiště obvodu trojúhelníku Na základě předchozího výsledku teď snadno odpovíme na otázku, kde leží těžiště tenkého homogenního drátu, který je vytvarován do ob vodu daného trojúhelníku ABC. Jde vlastně o soustavu tří homogenních hmotných úseček AB, AC a BC o hmotnostech, které jsou přímo úměrné jejich délkám. Těžiště každé této úsečky leží v jejím středu. Označme tyto středy A0, B0 a C0 (obr. 8). 8 A B CA0 B0C0 Obr. 8 Podle Axiomu III můžeme naši soustavu tří hmotných úseček zaměnit trojicí bodů A0, B0, C0 o hmotnostech mA0 = k · |BC|, mB0 = k · |AC|, mC0 = k · |AB|, kde k > 0 je libovolná konstanta. (Poznamenejme na tomto místě, že těžiště hmotné soustavy se nezmění, vynásobíme-li hmotnosti všech jejích prvků stejným kladným číslem. Vysvětlete sami, jak tato vlastnost plyne z Archimédových axiomů.) Zvolíme-li k = 1 2 , dostaneme trojici vrcholů trojúhelníku A0B0C0 o hmotnostech rovných délkám protějších stran. Podle předchozího příkladu je hledaným těžištěm střed kružnice vepsané trojúhelníku A0B0C0. 8. Barycentrické souřadnice Zkušenosti z předchozích příkladů napovídají, že vhodnou volbou hmot ností vrcholů daného trojúhelníku ABC můžeme získat soustavu tří hmotných bodů, jejímž těžištěm je předem zvolený bod X tohoto troj úhelníku. Důkaz je snadný: označíme-li Y průsečík přímky AX se stranou BC, je bod X těžištěm trojice hmotných bodů A, B a C, právě když pro jejich hmotnosti platí mB : mC = |CY | : |BY | a zároveň mA : (mB + mC) = |Y X| : |AX|. (Vysvětlete sami.) Je dobře vidět, že taková trojice (mA, mB, mC) vždy existuje a je pro daný bod X jediná, nerozlišujeme-li trojice (mA, mB, mC) a (kmA, kmB, kmC), kde k > 0 je libovolná konstanta. Doplníme-li „normalizační podmínku mA + mB + mC = 1, 9 stane se přiřazení X → (mA, mB, mC) jednoznačné. Čísla mA, mB, mC se pak nazývají barycentrické souřadnice bodu X.8 Zavedl je poprvé německý matematik August Ferdinand M¨obius (1790–1868), který s je jich pomocí podal výklad projektivní geometrie. Zdůrazněme, že bary centrická soustava souřadnic je závislá na volbě výchozího trojúhelníku ABC. Je nám rovněž jasné, že těmito souřadnicemi můžeme popisovat nejen vnitřní body trojúhelníku ABC, ale všechny body jeho roviny (na obvodu trojúhelníku ABC je aspoň jedna ze souřadnic mA, mB, mC nulová, vně trojúhelníku ABC aspoň jedna záporná). V našem století našly barycentrické souřadnice uplatnění v algebraické topologii. Úkol 4. Který významný bod trojúhelníku ABC je těžištěm trojice jeho vrcholů o hmotnostech mA = sin 2α, mB = sin 2β, mC = sin 2γ při obvyklém označení vnitřních úhlů? 9. Variace hmot Víme už, že každou trojici příček AA1, BB1, CC1, které procházejí jed ním bodem trojúhelníku ABC (obr. 9), můžeme interpretovat jako těž nice (tj. přímky procházející těžištěm) soustavy vrcholů A, B, C s vhod A B CA1 B1 C1 Obr. 9 nými hmotnostmi mA, mB, mC. Je jasné, že každá změna těchto hmot ností (přesněji řečeno, změna poměrů mA : mB : mC) obvykle vyvolá změnu směrů těchto těžnic. Pro nás je teď na tom zajímavé to, že ně kterým změnám (říkejme variacím) hmotností odpovídají změny těžnic s jasnou geometrickou interpretací. Jakmile takovou interpretaci obje víme, získáme okamžitě pěkný geometrický výsledek. Vysvětlíme to na následujícím příkladu. 8 Řecké slovo βα ισ [baris] značí tíha. 10 Ze zákona páky plyne toto pravidlo: je-li bod T těžiště soustavy dvou bodů {pA, qB} a bod T těžiště soustavy {qA, pB}, pak body T a T jsou souměrné podle středu úsečky AB. Dodejme, že těžiště druhé soustavy {qA, pB} je totožné s těžištěm soustavy { 1 p A, 1 q B} (srovnej poměr hmot ností), která vznikne z první soustavy {pA, qB} „převrácením (tj. zob razením x → 1/x) hmotností jejích prvků. Víme proto, jaká změna těžnic nastane při přechodu od trojice hmotností (mA, mB, mC) k nové trojici (mA, mB, mC) určené předpisem mA = 1 mA , mB = 1 mB , mC = 1 mC . Dostáváme tak následující výsledek. Věta. Nechť AA1, BB1, CC1 jsou tři příčky trojúhelníku ABC, které procházejí jedním bodem. Nechť bod A2 je souměrný s bodem A1 podle středu strany BC, bod B2 je souměrný s bodem B1 podle středu strany AC a bod C2 je souměrný s bodem C1 podle středu strany AB. Potom příčky AA2, BB2, CC2 rovněž procházejí jedním bodem. Úkol 5. Zjistěte, jaký geometrický význam má variace hmot mA = |BC|2 mA , mB = |AC|2 mB , mC = |AB|2 mC . 10. Štěpení a lepení Nechť bod X je těžištěm soustavy tří hmotných bodů S = {pA, qB, rC}. Dosud jsme zkoumali jen ty těžnice soustavy S, které procházejí jedním z vrcholů A, B nebo C. Chceme-li pracovat například s těžnicí, která protíná strany AB a AC ve vnitřních bodech K a L (obr. 10), je možné A B C L K X Obr. 10 11 „rozštěpit hmotný bod {pA} na dva body {p1A} a {p2A} tak, aby bod K byl těžištěm dvojice {p1A, qB}, aby bod L byl těžištěm dvojice {p2A, rC} a aby samozřejmě platilo p = p1 + p2. Někdy je výhodný i opačný postup: dva nebo více hmotných bodů, které „sídlí ve stejném místě, dohromady „slepit . Uveďme jednu ukázku. Příklad. Dokažte, že každá přímka, která dělí obsah i obvod daného troj úhelníku ve stejném poměru, prochází středem kružnice jemu vepsané. Řešení: Předpokládejme, že některá přímka má popsanou vlastnost a protíná strany AB a AC zadaného trojúhelníku ABC v bodech D a E (obr. 11). Označme strany trojúhelníku obvyklým způsobem a, b, c A BC D E y c − y x b − x a Obr. 11 a odvoďme, jaká je závislost mezi délkami x = |AE| a y = |AD|. Rovnost poměrů S(AED) S(ABC) = |AE| + |AD| |AC| + |AB| + |BC| (S značí obsah) můžeme přepsat ve tvaru 1 2 · xy · sin α 1 2 · bc · sin α = x + y a + b + c , což je ekvivalentní s rovností 1 x + 1 y = a + b + c bc . Zvolme hmotnosti bodů B a C takto: mB = b a mC = c. (Proč vo líme takové hmotnosti, pochopíte, podíváte-li se zpět na oddíl 6.) Podle zákona páky je bod D těžištěm dvojice {bB, a1A}, právě když číslo a1 splňuje podmínku a1y = b(c − y), neboli a1 = b(c − y) y . 12 Podobně bod E je těžištěm dvojice {cC, a2A}, právě když pro číslo a2 platí a2 = c(b − x) x . Vzhledem k odvozené závislosti mezi čísly x a y se lehce ověří, že čísla a1 a a2 definovaná předchozími rovnostmi splňují podmínku a1 + a2 = a. To jsme právě potřebovali, neboť naším úmyslem je hmotné body a1A a a2A slepit. Protože tedy platí {bB, a1A} ∪ {cC, a2A} = {aA, bB, cC} (jistě chápete, co znamená sjednocení „disjunktních hmotných soustav), můžeme na základě Axiomu III tvrdit, že těžiště soustavy {aA, bB, cC} (což je, jak víme podle oddílu 6, střed O kružnice vepsané) splývá s tě žištěm dvojice bodů E, D o hmotnostech mD = a1 + b, mE = a2 + c. Tak jsme dokázali, že střed O skutečně na přímce DE leží. Úkol 6. Metodou hmotných bodů dokažte, že v libovolném trojúhelníku ABC platí: Osa vnitřního úhlu při vrcholu A, střední příčka trojúhelníku rovnoběžná se stranou AC a spojnice dvou bodů, ve kterých se vepsaná kružnice dotýká stran AC a BC, procházejí jedním bodem. Návod: Vrcholům „nadělte hmotnosti mA = b − c, mB = b, mC = c (a, b, c jsou obvykle značené délky stran) a využijte postupně výsledek oddílu 6, pak „štěpení bodu B podle rovnosti mB = (b−c)+c a konečně „štěpení bodu C způsobem mC = b(a + c − b) a + b − c + (b − c)(b + c − a) a + b − c . 11. Shrnutí Předchozí příklady ukazují, že některé geometrické věty je možno zís kat úvahou o vhodných soustavách hmotných bodů. Zamyslíme-li se nad tím, co mají tyto příklady společné, zjistíme, že všechny jsou založeny na jednoduché (až geniální) myšlence: K těžišti celé soustavy se můžeme „dostat více způsoby, a to tak, že budeme opakovaně uplatňovat redukční princip z Axiomu III k různým podsoustavám výchozí soustavy. 13 Této myšlenky si byl Archimédes dobře vědom. V jednom dopise Era tosthenovi9 napsal (přeloženo podle [1]): Považoval jsem za nutné Ti napsat, abych vyložil zvláštní metodu, která umožňuje objevovat některé matematické věty. Jsem přesvědčen, že tato metoda nebude o nic méně užitečná ani při důkazu těchto vět. Archimédes tedy správně vytušil, že metoda hmotných bodů není pouhá pomůcka pro objevování vět, ale že v sobě skrývá i myšlenkový potenciál, který bude možné rozvinout do dokonalé matematické teorie. (Za dob Archiméda byla jedinou takovou dokonalou teorií ta, kterou svými Základy vytvořil Eukleides.) Tato Archimédova představa se na plnila až v novověku se vznikem vektorové algebry. Popišme nyní, jak taková teorie vypadá. 12. Formalizace Hmotný bod v n-rozměrném eukleidovském prostoru, který budeme zna čit En, je libovolná uspořádaná dvojice (m, A), kde m je reálné číslo a A je bod prostoru En. Není nutné předpokládat, že číslo m, které nazveme hmotností bodu A, je kladné. Připouštíme tedy body s nulovou i zápor nou hmotností.10 Je-li S = (m1, A1), (m2, A2), . . . , (mN , AN ) libovolná konečná soustava hmotných bodů v En, pak bod T ∈ En na zveme jejím těžištěm, pokud N k=1 mk · ¡¦¥ k = § . (∗) Vidíme, že taková definice nezávisí na pořadí jednotlivých prvků sou stavy S. Není rovněž nutné, aby body Ak byly různé, což umožňuje hmotné body „štěpit nebo naopak „slepovat . Z následující věty plyne, že každá soustava S sestavená jen z bodů kladných hmotností má právě jedno těžiště (Archimédův Axiom I). 9 Eratosthenes z Kyrény, asi 275–195 př.n.l., řecký astronom, matematik a geograf. Autor známé metody vyhledávání prvočísel (Eratosthenovo síto). 10 Význam mají i situace, kdy hmotnosti bodů jsou komplexní čísla, viz [1]. 14 Věta A. Těžiště T soustavy S existuje a je jediné, je-li součet hmotností všech jejích bodů různý od nuly. Poloha těžiště T je pak určena rovností N k=1 mk · ¨ ¡ = N k=1 mk · ¨ ¥ k, kde P je libovolně zvolený bod prostoru En. (Bod T pochopitelně na volbě bodu P nezávisí.) Důkaz je snadný: Protože ¡¦¥ k = ¨ ¥ k−¨ ¡ , je vidět, že definiční rovnost (∗) je ekvivalentní s rovností z formulace dokazované věty. Je-li součet všech hmotností různý od nuly, lze z této rovnosti vypočíst ¨ ¡ = N k=1 mk · ¨ ¥ k N k=1 mk , takže těžiště T existuje a je jediné. Tím je celý důkaz hotov. Je jasné, že definice (∗) pro dvojici hmotných bodů m1 · ¡¦¥ © + m2 · ¡¦¥  = § je vektorovým zápisem zákona páky, který jsme uvedli jako Axiom II. Zbývá ověřit redukční princip z Axiomu III. Zřejmě stačí ukázat, že tě žiště T libovolné soustavy S s výše uvedeným popisem je stejné jako těžiště redukované soustavy S = (m , T ), (mr+1, Ar+1), (mr+2, Ar+2), . . . , (mN , AN ) , kde T je těžiště soustavy prvních r bodů z S a m součet jejich hmot ností. To je ale snadné: pro tuto soustavu r bodů použijeme dokázanou Větu A, přitom za bod P zvolíme bod T. Dostaneme rovnost m · ¡¡ = r k=1 mk · ¡£¡ = r k=1 mk · ¡¦¥ k, podle které můžeme nahradit prvních r sčítanců na levé straně (∗), a do stat tak ekvivalentní rovnost m · ¡¡ + N k=r+1 mk · ¡¦¥ k = § , 15 která podle definice (∗) znamená právě to, že bod T je těžištěm sou stavy S . S pomocí aparátu vektorové algebry jsme tedy definovali pojem těžiště (konečných) soustav hmotných bodů a dokázali jsme platnost Archimé dových axiómů. Tím se stal jeho „hmotnostní přístup ke geometrickým situacím, který jsme ilustrovali předchozími příklady, z hlediska požadavků, kladených dnes na fundamenty matematických teorií, exaktní. 13. Dvě významné věty na závěr Při výběru příkladů jsme se většinou omezili na situace, ve kterých k uplatnění Archimédovy metody stačilo nalézt vhodnou trojici hmot ných bodů; vícebodové soustavy jsme uvedli jen v Úkolech 1 a 2. Tvrzení o těžišti trojice hmotných bodů je skryto v následující známé a užitečné poučce. Cévova11 věta. Příčky AA1, BB1, CC1 libovolného trojúhelníku ABC procházejí jedním bodem (obr. 12), právě když platí rovnost |AC1| |C1B| · |BA1| |A1C| · |CB1| |B1A| = 1. (C) A B CA1 B1 C1 ? Obr. 12 Důkaz Archimédovou metodou: Procházejí-li příčky AA1, BB1, CC1 bodem, který je těžištěm trojice vrcholů A, B, C o hmotnostech mA, mB, mC, pak podle zákonu páky platí |AC1| |C1B| = mB mA , |BA1| |A1C| = mC mB , |CB1| |B1A| = mA mC . 11 Giovanni Céva [čeva], 1648–1734, italský inženýr a matematik. 16 Odtud plyne rovnost (C). Obráceně, platí-li (C), je vhodné zvolit hmot nosti vrcholů například takto: mA = 1, mB = |AC1| |C1B| , mC = |AC1| |C1B| · |BA1| |A1C| . Díky (C) jsou pak rovnosti poměrů z první části důkazu opět splněny. To ale znamená, že příčky AA1, BB1 a CC1 procházejí jedním bodem, a to těžištěm trojice vrcholů A, B, C se zvolenými hmotnostmi. Celý důkaz je tak hotov. Dodejme, že Cévova věta se obvykle formuluje pro obecnější situaci, kdy body A1, B1, C1 jsou libovolné body přímek BC, CA resp. CB (různé od bodů A, B, C). Pak je třeba rovnost (C) zapsat v obecnějším tvaru ¥  © ©  · ¥ © ¥ © ·   ©  © ¥ = 1, (C ) přičemž „podílem dvou nenulových, lineárně závislých vektorů  ,  ro zumíme to číslo p = 0, pro které  = p . Stejným způsobem lze „adap tovat i předchozí důkaz. Možná víte, že činitelům na levé straně (C ) říkáme dělicí poměry trojic bodů (viz [4], kde je uveden i odlišný důkaz Cévovy věty, založený na skládání stejnolehlostí). Levá strana rovnosti (C ) má význam také při posuzování otázky, zda body A1, B1, C1 (zvolené jako dříve na přímkách BC, CA resp. CB) jsou kolineární, tj. zda leží na jedné přímce. Menelaova12 věta. Nechť A1, B1, C1 jsou libovolné body přímek BC, CA respektive CB (různé od vrcholů A, B, C daného trojúhelníku ABC, A B C A1 B1 C1 ? Obr. 13 12 Menelaos Alexandrijský, řecký matematik a astronom z 1. stol. n.l. V arabských překladech se nám zachovaly jeho práce ze sférické trigonometrie. 17 obr. 13). Tyto tři body leží na jedné přímce, právě když platí rovnost ¥ ©  ©  ·  ¥ © ¥ ©  ·   ©  © ¥ = −1. (M) Důkaz: I nyní (pro čtenáře možná překvapivě) uplatníme Archimédovu metodu, doplněnou o známé „štěpení a „lepení . Reálná čísla p, q, r z rovností ¥  © = p ·  ©  , ¥ © = q · ¥ ©  ,   © = r ·  © ¥ (žádné z nich není ani 0, ani −1) jsou činiteli na levé straně rovnosti (M). Protože součet q ¥ ©  + ¥ ©  je nulový vektor, je bod A1 těžištěm soustavy {1B, qC}, tedy i soustavy {pB, pqC}, tedy i soustavy S = {1A, pB, (−1)A, pqC}, ve které bod A „lepením anihiluje , tj. zmizí z rovnosti (∗), kterou je těžiště obecně definováno. Rozdělme soustavu S na dvě podsoustavy S1 = {1A, pB} a S2 = {(−1)A, pqC}. Protože bod C1 je zřejmě těžištěm podsoustavy S1 a bod A1 je těžiš těm celé soustavy S, je těžištěm podsoustavy S2 nutně ten bod přímky AC, který zároveň leží na přímce A1C1; označíme ho B1. (Upozor něme čtenáře, že těžiště S2 existuje, jen když (−1) + pq = 0, což je ovšem možné s ohledem na symetrii podmínky (M) předpokládat. Pří pad pq = pr = qr = 1, tedy p = q = r = 1, není totiž pro Menelaovu větu zajímavý.) Bod B1 je zřejmě těžištěm soustavy {rA, 1C}. Porovnáme-li ji se soustavou S2, zjistíme, že rovnost B1 = B1 nastane, právě když r : 1 = (−1) : pq, neboli pqr = −1. Tím je celý důkaz ukončen. (Osvo jíte-li si dobře Archimédovu metodu, pak možná seznáte, že vyložený důkaz není vůbec „trikový , nýbrž je naopak velmi přirozený.) Literatura: [1] Balk M. B. a Boltjanskij V. G.: !#"%$'& "'(0)21435& 68797 . Nauka, Moskva, 1987. [2] Kuřina F.: Umění vidět v matematice. SPN, Praha, 1990. [3] Prasolov V. V.: @A68B864C1 D $ D EF6 G 1%& "'(0)21H1PI díl I a II. Nauka, Moskva, 1986. [4] Švrček J. a Vanžura J.: Geometrie trojúhelníka. SNTL, Praha, 1988. 18