Objemy, determinanty apod.
• obsahy rovnoběžníků, objemy rovnovnoběžnostěnů
• vymezení elementárně, vektorově
• determinanty, vnější a vektorové součiny
• poznámky a souvislosti
Opakování
• Rovnoběžníky(-ostěny) se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah.
• Poměr obsahů(-jemů) rovnoběžníků(-ostěnů) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek(obsahů) jejich základen.
• Odtud poučka
„obsah(objem) = základna x výška".
Obecně pomocí vektorů
Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory , v2,... je nezáporné reálné číslo, ozn. V(v1, v2,...), takové, že
• V(V!) := HVill,
• V(Vi, v2) := V(Vi, w2) = ||V! || • ||w2||,
kde w2 = kolmý průmět vektoru v2 do vf,
• V(v1,v2,v3) := V(v1,v2,w3) = V(v1,v2)-||w3||,
kde w3 = kolmý průmět vektoru v3 do (v^, v2)±,
• atd...
Počítání
• Pro k = 2 např.:
V(vi,v2) = l|Vi||-||v2||- sin a, kde a = /(v1,v2),...... (umíme)
• Pro obecné/c např.: ^
- podle definice, tj. pomocí kolmého průmětu, (umíme)
- podle vlastností, tj. pomocí determinantu, vektorového součinu, apod.
(fučíme)
Úvod (naivně)
c? ?6
Obsah rovnoběžníku určeného vektory u = (1/1, u2) a v = (Ví, v2) ...
v*
1
T
...je roven absolutní hodnotě determinantu det(u, v) = ^v2-v^u2-
(     ^ \
Uvod (koncepčně)
Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu:
o-=>--»    - 0
V(v1,av1) = 0
V(v1,v2) = V(v1,v2 + avO
V(v1,bv2) = |b|. V(v1?v2)
Determinant
O Ji
Determinant chápeme
• buď jako Mat(n x n) -> R, ^/ p^.-6«^/u>
= součet součinů prvků typu „jeden z každého řádku/sloupce"...,
Qj» • nebo jako V x   ■ x V -> R, kde V = Rn, které je
n
a) anti-symetrické J.
det(v-|, v2,...) = - det(v2, v-|,...),
b) multľ-lineární
/ det(vi, t)V2, ...) = b - det(vi, v2,...),
f í o T.   U-ť*  c í~
det(vi, V2 + W2,...) = det(vi, V2,...) + det(vi, W2,...).
Důležité (odvozené) vlastnosti:
det(v1, v2 + av!,...) = det(v1, v2,...), det(v1?v2,...) = 0 <^^> v1?v2,... jsou lineárně závislé.
Vnější součin
Uvažme dim V = n a přiřazení V x • • • x V
9?
n
(yu...,yn) i—> souřadnice i—> determinant. Závisí na volbě báze...1
Vnější součin = předchozí přiřazení vzhledem k nějaké ortonormální bázi; ozn.
Vnější součin je anti-symetrické n-lineární zobrazení, které až na znaménko souhlasí objemem...
Mezishrnutí:
0 pro k > n
±^,...,vk]     pro k = n
V(v1,...,vk) = <
j) pro k < n
viz přechodové matice a Cauchyovu větu o součinu determinantů.
Kouzlo (k = 2)
too
Víme, že
pricemz
V(v1,v2) = l|Vi|H|v2||- sin a,
sin a
cos^ a,
cos a =
Ví ■ V2
Vil|-||v2||
Odtud
1
V(v1,v2) = ••• =
:l|v2||2-(vi .v2)2 =
Ví . Ví Ví . v2 V2 . Ví    v2. v2
zase jakýsi determinant,
Kouzlo (obecně)
7 o -7
tzv. Gramův determinant, ozn.
G{vu...,vk) : =
Ví - V-|
V/c - V!
ví . yk
v/c. yk
Věta
Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí
V(v1,...,vk) = ^G(v1,...,vk).
Důkaz.
Plyne z vlastností determinantu a skalárního součinu.
□
Detaily k důkazu
t)—
1) Pro navzájem kolmé vektory (kvádr):
G(v1,w2,w3) =
Vi . Vi 0 0 0 w2. w2 0 0 0      w3. w3
2-||w2||2-||w3||2 = V(v1,w2,w3)2. ^
Ho V
2) Pro lib. našikmené vektory v2   w2 + av!, v3  : w3 + ĎVi + cv2
G(v1,v2,v3) =
Vi . Vi Vi . V2 Vi . v3
v2. Vi v2. v2 y2 - v3
V3 .Vi v3. v2 v3. v3
. Vi Vi . V2 Vi . v3
W2 . Vi w2. v2 w2. v3
W3 . Vi w3. v2 w3. v3
Vi . Vi Vi . W2     Vi . w3
w2. v1 w2.       w2. w3
W3 . Vi w3. w2   w3. w3
= G(v1,w2,w3). □
Vektorový součin (n = 3)
Od maturity známe jako operaci V x V —> V s několika užitečnými vlastnostmi:
\s <. ( í l*s -6-
U maturity zpravidla nevíme proč, ale pro u = (ui, u2, u3) a v = , v2, v3) počítáme takto:
U X v =
u2 v2 u3 v3
U1
U3
v3
U1
u2
^1 v2
\
So <s\r
Vektorový součin (obecně)
Návod k předchozímu souř. vyjádření — Laplaceův rozvoj determinantu:
1 o V
L/1	Ví	
U2	v2	x2
U3		
		T
= +
u2 v2 u3 v3
1/1 v^
u3 v3
x2 +
1/1 Ví
u2 v2
*3
OJ" Důležitá (bezsouřadnicová) interpretace:      ^tfo/.v/f.
i
[u, v,x] = (u x v). x,
Obecná definice:
Vektorovým součinem (n - 1 )-tice vektorů (ví,..., vn_i) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je vektor w := Ví x • • • x vn_i splňující
[Vi,...,Vn_i,x] = w.x
pro všechna x e V.
Vektorový součin (vlastnosti)
Věta
C.)    K»V "
4)
f o f
<-) 5--||u*vl| v
Ozn. w := Vi x • • • x vn_i, n = dim V.
a) Toto je anti-symetrické multi-lineární zobrazení V x • • • x V —> V.
—vr—
n-1
b) w = o <^^> Ví,..., vn_i ysou lineárně závislé.
c) Ví,..., vn_i ysou lineárně nezávislé => ^,..., vn_i, w) je kladná báze.
d) w je kolmý ke všem vektorům m^,..., vn_i .
e) ||w|| = V{yu...,vn_A).
Důkaz.
r*) (s)
a) Viz def. rovnost a vlastnosti vnějšího a skalárního součinu.
b) [v-i,...,vn_i,x] = 0 Vx e V <^> v-i,...,vn_i lin. závislé; w . x = 0 Vx e V <^> w = o.
c) v-|,..., vn-i lin. nezávislé ==> w ^ o ==> [ví,..., vn-i, w] = w. w > 0.
d) w. v,- = [v!,..., vn_-|, v,] = 0.
e) ||W||2 = W.W = [Vl,---,Vn_i,w] = Vfa,...,Vn^,}N) = V(Vi, . . ., Vn_i ) • ||w||. □
Poznámky
K vektorovému součinu pro n = 3:
Binární operace V x V -> V, která není asociativní (přesto užitečná).
• Pro velikost platí
||u x v|| = ||u||-||v||- sin a,   kde a = /(u,v).
K aplikacím:
• Orientace a kolmosti vektorů. (\du,uc
Objemy rovnoběžnostěnů, simplexů atd., přičemž: ^ (* 'r
Objem fc-dim simplexu =     objemu opsaného rovnoběžnostěnu. Vzdálenosti podprostorů bez řešení soustav rovnic:
tví |
^c) = v(^U2'-'f),
V(ui,u2, ...) kde B e S, CeCa(iii,u2, ...)Je báze^ + C.