Geometrie 2
Obsah
Úvodní přehled 1
Afinní geometrie 9
Afinní struktura .............................. 10
Typické příklady.............................. 16
Afinní souřadnice.............................. 25
Afinní zobrazení .............................. 31
Vyjádření podprostorů........................... 40
Vzájemné polohy.............................. 45
Příčky.................................... 56
Uspořádání apod............................... 59
Těžiště apod................................. 64
Shrnutí kapitoly .............................. 76
Eukleidovská geometrie 77
Eukleidovská struktura........................... 78
Vzdálenosti................................. 86
Kolmé rozklady apod............................ 91
Objemy, determinanty apod........................ 97
Odchylky.................................. 112
Shodná, podobná a ekviafinní zobrazení................. 117
Shrnutí kapitoly .............................. 123
Poslední aktualizace 3. listopadu 2022.
Obsah a organizace materiálu jsou založeny na souboru osnova.pdf. Další informace a odkazy jsou v interaktivní osnově.
C i'i B      ( s r a'ĺ e   f r e j */ & )
A/ -e c o      Ly O č L rf- T
*l é-
P o & ' AO A/ <=
/
h ■& c «=>
a/ o u e HO
i-j' ■     S P-'O 7*W^\ / tř^ ^ t
p/^ocfS   ( s r a'L e   f r e j a/ r )
Z. «- p Cc cut. *x ~Ŕ- o "■— Ä. £ T,oj*a.lc-oís*-'£z'
KtsťLSÝ    ( c s on b r/2- i'e  ... )
(LOILoIGa/i
• to  (, r«. i £ n ,     l i ť' {, e. J ('
vr u t A
• pŕ-cc4^s-e.~u<s*-<*- ry> -&     f ........................... d <o n^.
• \/y j a. s n e m i ^ r -c * i*.«
• U ť   i  t: i ..................................................... C \s í C e. fc-u
• /   2- Uou ................ " * *    l/^/*sr/^,'/7,' isft^or^
s Ho or £ č-o z o (rcY
	Minutý   S£/l£ s r	
Tŕ^Dl er	_e o      -e. ~(r r	ŕ o •£ -e. t.
c i' L E"	0 f> (K [c o (/C{  j^i  f   <r o i S> [ (re.is\,	-í o t z
/V/q V T ftOJČ	fo	
P ft e ď p ° _	ť i' d	tot«.' -i" -/-/ť* e.              <<. /£« ť><^«- /
		
TY i* i c fc-Č <J C o y	- r -e. t-   (ir«. ^" 'u t<T~>7 - r« í.  "e s (í-u -é c c  e-      Vtr/ "\	s p o c  ( " -i C J "í -c -.. X
S Ho OY		L
		T E */ T Q S&S7e~ST/Z.
1 li'* LA Ď * i' PO J /*7 f		
L A b f l' V l T X\ H Ý	/'h c ť M e. h { h 0 5 -i j    S pt -{r os i; j t 0 <s ľj 0 £-e -U n e> S"t j   \s% p 0 <r~cĽo{ oSto f *    0 d Ut 0 6 t	
l        LA £> f ť (J L 0 -H Y	s c s -í rt> j '£ -t t h t \/*li'c^ii>ij	K s 0 oi í -t a. (s<j    (ť     ■   r 0 ľ tsi 1 c
	1/ r. d- Ct! ( <Z \AO S t ('       \> 0 Á ts.	!/£.((" (ca $ -C t      \s <. [c ť" 0 V
	0 y s> &. Ľ y   j   U v a. d <r*. "ir <-v_ r (p	
	a. |° 0 d. •	a. f 0 ci .
n. u
f r ĺ/
Př. 19
)
Dokaž, že přímky p = <-> 48 a g = «-> CD, kde A[1,2,0], B[4,3, -2], C[2,0,1], D[5,3, -2], jsou mimoběžné, a urči jejich odchylku »>.
AB(3,1,-2); CD(3,3,-3)|ř(U-1)
x=1 +3f p: y = 2 + f ,feR g:
z = -2/ prxj: 1 + 3/ = 2 + r 2+ (= r -2f=1-r
x = 2 + r
y=    r, reR
z=1-r
3ř-r=1 f-r=-2
2f-r = -1
!(-D
©
<3)
1 = 2 ř-r =-2 =
r =4
<S: 2-2-4 * - t p nq =0 a p|q => přímky p a q jsou mimoběžné
cosp =
MM
Wl
,p = 22012
[3-1 + M + (-2)(-1)|
V42
V3! + 12 + (-2ř      +   +      ~VÍ4-V3 7
Určíme směrové vektory přímek p. q a ověříme, že pjfg. (Vektory ÁBaČĎn stejnou první souřadnici; kdyby platilo ÄB\\ČD, muselo by být ÁB=ČD.)
Napíšeme parametrické rovnice přímek p a <
Připustíme, že přímky p, q mají společný t
Sečtením rovnic © a 3> vychází ř = Z z rovnice ® pak r =4.
Hodnoty ř = 2 a r = 4 nevyhovují rovnici C
Odchylku přímek p, q určíme pomocí jejich směrových vektorů AB a v.
Př. 16
Napiš obecnou rovnici roviny a, v níž leží body £(3,1,1], F{\ 2, -1] a která je rovnoběžná s přímkou Qfl, kde 0[-1,4, -2] a fl[2, -2,3].
<->Qfl|a»r = dflfa ú=ĚF=F-£=(-2t-2) v=Ôfi=ff-Q=(3,-6,5)
* (-h)
a
ň (a, b,c)
ri-ú=0 = ri v = 0 =
. nomiálový vektora; ň_Lií; ňlv -2a + b-2c = 0 |-3 3a-6b + 5c = 0 |-2 -9b + 4c = 0, o=4=»c=9
2a = Ď-2c=4-18=-14=»a=-7 a:  -7x+4y + 9z + d=0; d = ? Eea:   -7 3+ 4 ■ 1+ 9-1 + d = 0=>-8 + d = 0=> d =8
a:   -7x + 4y + 9z + 8=0
nr:     7x-4y-9z-8 =0
Vypočítej obsah trojúhelníku ABC, kde A[-3, -4,1], B[3, -1, -2), C[2, -2,11
2 _ kdez=|AB|, v=|C,<->AB|
AB=B-A=(6, 3,-3)
|/W|=^T317(^37j = V54j=3 V6j | C, <-» AB | = | CC01, kde C„ je pravoúhlý průmět bodu C na <-> AB ň0|Afl=>n0 (21,-1)
a:  2x + y-z + d = 0; d = ? Cea:   2 2 + (-2)-1+ d =0=>d =-1 a:  2x + y-z-1 = 0 x=-3 + 2t «-»AB:    y=-4 + ( , teR z = 1-(
C0ea n<->AB: 2(-3 + 2f) + (-4 +1)-(1 -f)-1 = 0
6(-12 = 0=>(=2 C„[-3 + 2-2 -4 + 2 1 -2]=> C0[1,-2-1]
ICC^^-'O' + M + ^ + O + ť j=>/lí + 0J + 22 j=V5j
S=-z-y=--3 VěVŠj' =? VŠČj! 2        2 2
Rovin '
bod £ a vektory ú=EFav=OR.
Určíme vektory ii a v a přesvědčíme se, že ujv.
Najdeme normálový vektor n roviny a, který je kol-rnýkvektorúmúaŕ.tzn.ňu =0aň- i =0.
Dostaneme soustavu 2 rovnic o 3 neznámých. Najdeme její libovolné nenulové řešení. Zvolíme např. b =4.
■V
Souřadnice normálového vektoru ň jsou koeficienty a, b, c v obecné rovnici ax + by + cz + d = 0 roviny a. Koeficient d určíme z podmínky £ e a.
Rovnici roviny zapisujeme zpravidla tak, že koeficient a neni záporný.
Obsah AABC určíme např. pomocí délky strany AB a výšky v z vrcholu C
Vypočítáme délku strany AB.
Bod C0 určíme jako průsečík roviny a, kolmé k přímce AB jdoucí bodem C, a přímky AB.
Najdeme obecnou rovnici roviny a. Napíšeme parametrické rovnice přímky AB Určíme průsečík roviny a a přímky AB.
Určíme vzdálenost bodů Ca C„.
j-  '       r s
p o c / r t a/ f
fro^lci íl/ ^
fo     0 b M C<
5 Vi o cl ^ a.
\
-s:
-S"
v
o.
'Oo
i/ £ [í. + o r
eg e 1 it. t *
o et r
£.1
4 o ^ c ť u.
j* 4 r t c 2% L-i.   ío(,(- .
k.
«.'Ii* í'
Ľ J p O r-
<i ^ a i i      -' '
Pli o j e l*. r~\ v a/\ G Id o Á
ŕ
<C7
yO t-*" |" C fcjp
i_______________________________________________J
4 ä i. i/v. o /y
A o 6 «t o s ~é
(-1 y I Lc^ ><C
U k A' i |c A
Grafický náhled 3D
lo-
Dr = (-8.95, -1.46, 9.52)
Br = (-3.91, -4.03, 4.87)
Ar = (-6.38, -6.5, 2.47)
w Algebraické okno
Mnohoúhelník • rez = 34.25
• podstava = 21.04
• rez-: rez' = 34.25
Polopŕímka
.« ABj: X = (-8.92, -9.05, 0) + X (5.02, 5.02, 0)
AB2: -2.47X + 2.54y = 22.03 .« ABr: X = (-8.92, -9.05, 0) + A (2.54, 2.54, 2.47)
AD.: X - (-5.48, -8.27, 0) + A (-0.9, 1.77, 2.47)
AD
m2
AD,: BD„ BD,
r
K = (-5.48, -8.27, 0) + A (-0.9, 1.77, 0) -2.47x-0.9y = 13.53
X = (-5.48, -8.27, 0) + A (-0.9, 1.77, 2.47) X = (1.37, -6.72, 0) + A (-5.28, 2.69, 4.87) X - (1.37, -6.72, 0) + A (-5.28, 2.69, 0)
B D r: X = (1.37, -6.72, 0) + A (-5.28, 2.69, 4.87) Pětiúhelník
• nadstava' = 21.04
• podstava' = 21.04
Přímka 7-7 .0  stopa^ X = (1.51, -6.69, 0) + A (23.58, 5.33, 0)í°    ' I    '  ' -J
stopa2: X = (2.31, O, 8.16) + A (18.81, O, -5.33)
stpa2: -2.78x - 9.82y = -86.56 Rovina
1/ 1 m. í\,    f3 O
J á  é «- f j?
KA: 23.58X + 5.33y = -185.1 KB: 23.58X + 5.33y = -113.61 K„: 23.58X + 5.33y = -218.82
• p: -5.33X + 23.58y - 18.81Z = -165.87 ■ p': -5.33X + 23.58y - 18.81Z = -165.87
Trojúhelník
mnohoúhelníkl = 11.79 trojúhelník = 15.32 trojúhelník = 15.32 trojuhelnik1 = 9.41
Úhel
alef = 127.89°
• bet = 0°
max = 127.89° Úsečka
A 3 P
-- 9.52 : 9.52 = 12.06
1 3.5 = 7.32
t o ^
k~ o   \y   n   o    4   «   T-    t^- O
ZI7
-P
ľ I ' C   /í- o   v Ä
i. ; p o r
A d  h. i '       -II I-
s
«<6<C
* <•  «- '  5 TV
T T P ľ c U G     P    « (/ e D e
s t •< c n        o.    ■    ~l o (o r «> i -t n /    a    - sofťa.oLintc-t-j    f r e. c k o Ujj
ô P a |C0 V/a V \   / O   T f'  *>sf    C t
p. o i/A/* e>£ "L^OSX poA7£?Ct
/ /v c v p e a/ c r
S H o D /v/ o s T" /
"Z a.' ľ i á
1/ x. v -» v
M. - (r ■* A-«.
■ ■ /t-v. f /vT"  = -V -/ /íl
ä p. eC
O
6
Ar K
a. f O A. .
B A' I € ,   D i'     t a/ 7 f , ...
•   T y r    c U ^   p r / L (*l oi ^ l
J ľ l (y     (   rY p jLl-p )
-   r\r«*i/ íí "5^1/    Ho no G-   L (   <    r o u h /'c
01
c^o    ijjjí • ky* 4 t r,'L       jo o -í r -c k H j' ^ loa -e_     //^.      L k, Z I t SPojŕT~0*Tf
3
(hot .bot)
ŕ o c t -(r h t
& - r *. 2 ]
—í-1-1-1-v .
rjr ~ B> — A
Ď   -   /V H- at
« r o- ^ n ^
7o
6 r-e tvv.
1/
fit-
(i' (, -   -a e
r o    í/t .   ^ f  íl     «.     t* ,       <£ ^
JLJe.
'    * «. t
B ~ A + at Z5
Hn h o -u  i kc^     (^U     s      ^> r [  r o. 1 c ^ t lAo,       Č/L-   X    6^        ^     V ;
6
1)
_7 _-> —'
A B,      6C - A-c
fr» l,'(p. A i ť», c e CL
l   É, .   A e O- ,      e \/
77
v/ -c
ľ
(7^
o z
—>
V = CL
-6
j
0
1
(7  £ 1/
h.* M. -   r o is i *\ OL
• t y f ľ c L     p ŕ ť L(+. d ty :
-e.U."t,   f>/ffj4Ď i-    r e,     Z A Po A? ^/\/ U T Y O    h < o č ^ * Yn^rí'^ ^ í5 "5^v    ( ts £ ti o        G- )   L i ^ •    r ou n/c
— v
M F "t i" «S H K Ay u TI
— /
•      /a-©i//v/oe£"Z/Ve>57'        3   wr*     j ' h. c(, (c
•    t y P ľ c U e'    ^ ^ i' U ( <^ ^ ^     ■  • ■
ty pic ř r pp.1* T/c l * p y
h ck vo r ľv ^        ( »vi t<^<' c^^    )     ^\ o <A <. I
lc «. H  o ŕ\ |' c ((
•      ^ -e S~H i '      / ŕ "i č     r H. i c ť\_       ^ ( <T
i í i e ^ ^ k /c k.     ^ i j~
ir o (/ n i c
r
fit a\ o fi* */y'   Af .   PRo s Tb £
k o <A [p £/Ľ
[c     $ t 'c (c •y' £ öl ic í e (' oi o ty s ic iy^) f3 y o s -f D
1/ e \c \ O Vy    V  ■   •   • f
v.     '   / -
on ť nfo^^Ht    c^s«c /c:
5 1
m. - <r ■*
at
\f e. s p .    5- (t í ^^ŕ>(- a. Vi i' h a.    i3 r i ''ioo c
Lee (/      x     ^ -> C{y
A -f" AT
0 "l kv
-é-
c í: í
A Je f o
,K
r
/ s is-
VL - t ťc Z     r č a.       (ý c ^-     c f s e. i
Vt\c{0Yy    V  ■   '   ■      IR"~ ^
L c e      (/    x   ^ -> ^
P 0 t KV
•    la o <A lp     {Xs "    ■ 1/
t- o
L [As G A'fr. a/ i'   A L G <   P-oUA/ťce p
7>
í
- 4
n -
-     ^     ^-   3 -2-í
x 0 -
+ H" 3		
Ml	r ^ i	
2. y	xL - 0	
• \	y3	1 3 ;
5 =
-11 11//? í
3 ' J
r
i/
P o t KV
2. ^ -ŕ x L = 3
3 X.
2- "n -f H' 3
ii
u
í
^-  3- z-í     I t e /jž
It e /f> j  C  {  <U 3-2-í |t,r e /f> j   C   {  *U  » \t,r,* * $ j   ^ /Ŕ
í< (   "-v^v X.
lo o <A Lp
~    ^    r" t- <Ť~•«- <t <    o\ { -f •   *~ o ís<si i'C 4L
1 "V =
1 -
= f y - S ieÁy - ju. k -h   j c
ý    r" t-       lt (    (A \ -f •   r o ts t>i r' C 4L
V l \c ■{ OV y    ]/  '   • ■
L c e     1/   x d -> Oy
* c
'     pli.  ^ ^ (/ 1 )  -   3 )
P o t KV
L í A/ G        as ť  OÍF-    P*oVA/i'CE    JL •
Iq o <a	ÚO    ■ ■			y		- 10
			—  2. -ŕ-      -s"1"* o»o x		+      -e.   y^-^ x	■" t
v t \c{	0 Y y     ]/   • ■					• 0
:2 m
-2.x:
S C  i   to. K l
j- m. to k. c f
• ^ Ui    (/  x ^ -> ^
P • "t kv      - ? -t    C ť   \/li*.9'th.os'fr(     -h    ~- v ÍJR^
uži ŕt/ f (C ľk <- A s>
2-
C*- )        2   Ľ   l <. h. (        S  ~(r CK h. d. •        f ^ 1 "2- d
•   '   -   A/E"/ľ t pros 10 r ("ä."-        k  <-l,T.> /l/fr/l^/
/h-j      I- o T- <L( (     Kö.     f V v h. f    5  / o 7   C e.
'   "   '   A/FASi     <\ f ■   pros -tt> Ír { " OU " ~=-   < - 2 (1. > A/f^/^^^té-^k-oS-forJ
s h k a/ u r r
^ -e. j t m i
-    -    -     fl£ «J" H. O      I/O  f UbU        SOUT'    $ O í t"1- UJ^
c___-.__
/\ F ľ a/a/ i'   Sou p^A- Da/| C 6
2z
0 b -e. c h.
r
^    c 1*^. o cL tp
*1
t	í. ._         v«_4_:_..i —_	
—t---^ 0 -i -	< ........	
N A ? R
r t, í *■
	- <ŕ	>1 + ^ "	
-2.x; -e           x +	c.	•Z.X -e. x	c,
C2 e /R T|
Ml
í ŕ Ct, O I C, C, e /K T, =
	y"			- 10	) -
		c.	4_     y^y^ x-		
Ml
C, C2 e /R =
o t c u.     pri  p í*. <A    c_ Uv, tn_
l tvd 1^1 £ n-<\,      ť? I J e k. T I (/ A/ f      p r"i" r A i. -e n ť       2. A c Wo 1/4 c/' /ť- J i c e     s £ r <». L t ^ r<^
J
ft  k«      \/ 0 L § (P ty        4 «\ e
r ■* s
r
e- z- e. 11 po ^'ŕ/, "
p o c a.   f [c
-r
a      ä ^£ ion i     r« i/m /'t 2
o e e c we
•	f y c [c y o		H      h o      [/ cic L  ■ j>/V<>4-OVCs^	1/	
	. . .	/ ("k t	6. r ^ ('       o ha t ( ^.4 c                 'v7" -		
•	p ľ" </ [c <p 0				
		Vi  -t C		^"    A - f	
•		.  . .	)  /c   e 4 t e v, c v' c	)	
	6—;>		£ ŕ'e -e     ci'se.1      (    i ,   ci. ,   ■ ■	/     J        c/  r"- c" -C U.	4    J E D A/ ôl A/A c"/V /
•	A F 1 V A/ i	( i 0	ľ~ «- per		
r
po c *-   ~t <■ (c.
~^=-  y <mIiai"c <.   ^ -e_ to -Ir o v- ca_     f/\      i/ z. ^ ( -e o(. -e        L    k <*- ' 2-1
l a V e y
V   0   c   6 A
v.
T
1:1
% E" J Al f A/ A
i^s^cUiaíj   *.J^ ■ prosto fy    ř rpJ^f   0 i      .   Jf z <~. l l.o     o p F A/
/ /
o i/ J £" r\ :
!7
o -	
JL , -	-H'
	
	í ■ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ —
	
	
JL.
o k—
	í
	*-»         -e n
Nř......
vy
V
2    — ./
• - • Ca, '-ž 3
ŕ"
e,1
PpL echo d y
si. - ~ — e.
-d  ' + - .e '
Jt.
f ílu1 c(.  A  v v ti ' -t d i h^. L
o -a.
—   I N
\ %......^
1ŕ
_l      „I, 41 .i
\ /
4i 1
\
\
■ - • C1, '-i 3
•  o a e c a; e
\	
\	
n	
\ i	
1 V	
f0	
-1 i	
	3 '
/1\
	\
ti	
í -£	y
ío ti r a du i' c t   O 'o    v i- k (e. cl & <*^~
é	
	f / *o ej
ril    iofck-«ix<ult'-í.»ic^.«  L^rt Vet ň F"/'/is sis t     S TP-is & r u R is
""y' In l-zet y
í*í   n-1 n'
•Y
řRtKcAD Y   2   Lom stA
v 10 R. JO
O -fc- o c •€ u\ í
A
3?
''z^írS^í'" "iíHíictDnŕí'' "*«.£ŕ**7**f
•      ^6 1^1 fc -ér v- oj'/' c    b e ((h. ' b o d ti
8'
*1(
I \
( \ *......^
			i 7ö
-   2. -f- <    -e'2'* o«x +			
Ml
—   s't^'^-et'   ^-j"1    pros -f-or /ft
v. ,
/    0    o    ß   A SOl/(T.       í O   la.   S   t U
T
-í ."7
■Ír y 1/ f     T ,     P 8- o S T 0 R. u
)
■fry      L \ As e A''p. As  '     jco 1 8 l~ 4/ 4 C &     ^ E       T o   R. u
r
i,™ ö 6 (     M. A T i
v* ft i: ( č vg.
j t i* r «. í (a i t e. iy i, o v ca.
5 ot»r «. íť n i"c
"š
10 trn i < n T- <k c l\ o   L^A. '(sol j ' i \- (        IF" / ass*/ I      s T A l/ k r Ľ R- U
ty.   f ■■ ^
t ä. (ŕO l/ť,    ^   "l -e_
—í
—>   ]/ '     j-e.    h aj a. [c e,'   (l ť a/ t a 'p. a/ \')   z. o G irc^. 1 -e, (
-f
s tut
p O c" ^T^o»
j a u. r «. á (a í C &
«. "t ( C       L j A/ ■
5 "t/K" a. e( n i" c ■£
/
41= I A/A/I   7.06 I\/^16"^/ f :     - oJ
CA)   öl / er -e. b r*- c c
-i
^ t IT f C. U*
				
		ŕ*;	p 0 m	c r^    ir r oj'/' c    lc 0 1(W ■     e d- ^
		^3J	V 0 Ľ	
J-
2./4'k t* Oa/|' VŠ T 4    A F I/vás l' GS 0*7 er IL (E
r i q    hew    5 ť     z. a. ^ ,
"L A lč.L A 0 AS I       «/€ T*
*     ft J s" l *     [oj    tA 3i leu. 1 u.     ľ fin f? I ť \uol c 4     '' (r= " j' s o i*.
• «-
3' •V
j f» o f~   s -e.
f o u n o b •« t- K 09 ^
C)     1,0.   C k o ^ a.  i/ <Lj / v.
5 «-
r<«. Ii'to "f" <t
v ET A   o   u      B A/o sT i
Pík* ST E    f r* s f>	h «	f>r, h		
A F f M /is 1      í o írd			p v 0 % -é	o ^ m_                          j -t,     U ^ c e. i/i o
« i> ŕ*-ĺy			w     o é? -e.	c n í    j=> o ( o ~l -e .
- "1
fi. e
Z_  /   Iq   o   <^o   l  in -e. A f2 I M /is I     l_ o (, r c*, i-e t^. (
prO%éoľic*.     tA i v^. j i/ Y~~ c o. i/i o
D ô [<. a. t
A r ľ/i/// |/   J-   ■'  <£L -í j't í t r« 1 í <^v- b e d (a. L ( as £ A & n/ (V7 j:
sHkfuTÍ/ v v Hie d V
• t -t -c. r -e-    v/(«-5"í^°S^i"   p/^^^iA    z,   j / ^       6u ^    «í «- ( 5*"/'   (? t-i írf -e m \ d cJísa^ ,
• P /'6 /í ti 1 i"     o      "i o é i^* 7     H i ^ A-     K       i^í.      í.jtin m% ^ *. ť   / h0l. <~i fr P U ä ŕ
•4     i /i//t^ j
•     f " i.    "    tk t> s \ c eÁ {t-1^.    t iA    ■?      í-Híi wřiaiií j   a -e-
cc
3?
T  O   y lr\ k t, o \s ť
(  ('       P llC í'{n
•       J t  f\.     (c       ^   1   1   ' )
ľ R /'k L <\ D
í
y O (/ v\ \ c
2. y. -f X. =3
e. kí/ i't/fc- (-ť ^ f hi
H.e|/Wl'C
Y G t/ Y\ \  C       3 ^ _ ^ =^
■i "2>
5 =
= í = í
_ 4
*-j - -v +1
^ 3/1
* Ír
e ÍR
z		
		
3	n ei,i™ e.	
		7
?
v. O
^   /K í- ^ t.     Ab   =" ŕ>Ol>w*.
/ft
I ,' (, •   <\ p .   ^í^f>r0 i {-or
OJ
tfi c ^ ^ /R
— j> ľ- c?       A? /C\  U O     \r o  (✓      I  C       Ľ *-vn C 'í-V. <       7      k  ( ^ ^ y J
— ^ • / r s
— ô g tr C As čŕ       c- ow ' kto -e.      •€. 11 "Vi /'^ ö/»lt      ľl     T. <>T- « -"ľi .£
0 cK    p <*. v <k m -e. t \r t c (c « U o
z'
P-
(A f t
r<3i/H i c o i/ e (nuv
—      ö ß 5 C As (f      o e>\ f'kto -e.
e "f Cr
ŕ''frvi -c    ^    h ( <\. "y j •e I ľ**\ ,'tx o \s p Q. r<k vy\ e i r
■y
o
o    ô 1
c:___
v---
X £   (ß    fe^     X -   P + ■
•J-
o
i -
f=0 <<e* Č=0
- 0
C~)    X = p + t ( q,- p) -f éu f<^- P)
11
o
4F/>V|        o At 8 I A/fit c t    8 o ô is
) ^j^i
V
r -e k. c
^  htj>r .    i/seUoo-e.,    rc i/m ľc e j
•     j> r y* n [ [cp j   í o (✓ c it,    c*. .   o (tp
FflČ/v/ {it  A SovcfJ
^3
(ß j  t   <L CC    ■■■ -  fo^ro^ to/^ j
o j 4.
r A. v< A/ i j6
h -e t, o
* -e.
G* j  í   S. OL
j? o t( f ir c s     -o (^
—í —3
Co i, -e.     <x.      h -C n-T. ťi í /
	/	X _________	
	'í		-
	7		1
	1	z	2-
—í —j	1	2	1
y
/
o
3 L
pol t* *n te A
6 o of. j     B t c t p I . ..     Jí°K.      ľ       0 * f t/t/f   Potei í"
—>     —)
(j=0)      e/ í o L/ C T Ľ        ß f C + H
J
X .      *v-i  o -j,   n. *L
I
C=3
—5 —5
—■>
fro 6 <ß
*   c & ^
	
	
	Sc
	--•> —í & + Z
	n -
	
	
c - e
C    - AT
As<   ■+ j       lc a. 4,
~   (2 -f-
—> —j
Í3
P O C Č T h \     SOu'Vi'íLO íľ
v x A J S AiAX e PoLoHV
-   i*a/ c / o e ^ T /«/ /      tí? & "C
-   p ^ v a s e      e      (B X C
j> o lc ^ d    K> C\ ^ — <ý
■—J -3
«23 E "£
—1 / \
—-> —■> —■> —^ —)
•   /V* M-e *U e
ft 1 ^\		— N.
hem' ^	C	■-- 1 X 1
ľ" '	//	\ x 1
ľ O C F r A/ \ SO\S\siSLO£Tľ
<E> -   í B -f t, 41, -f
■v
Ť
-   C - ß
7
—•5 ft
•       •        • •
i t
\
-r
*7  ~, ■*
- /i, ^ -
— loa a x ÍT    -   C*i'o~x (f (b-f "i ) ~
•  T (T DY
pot /v/ a!a^ |c Y
•    řr<í(cli oai'   0 8 GTC /vr     o< « f mí'c e     z fr. (a r to (sj j'i ' j' i's f ■ť'    T/^/V/^6-/ť/    p r i p a* M
<ß> -  \> O (k  j   ^   -   c     o í
|i e é «
I 4/ C t p g as T a* i
r
-> —>
03 ^ "e a) ä "ŕ r f V
To
^i. *> J € f"! ^ a      f o c O A/ 4
o & B c M 6
• Ol*»'''
dr   - otrn— ( fb-t -t ) ~   * <'-~- (<&■+£-> 6c.)
/vy - «A.-^ a
—>
/v
•    Pf«, «fr/
			
—i)			
-=>	fln   -é          ~~ 2.		
/ Z -c. j ^ g k- ^       /v /4 0	R- o t/ ť aj A     \n <.      £ e.		s" ei t c /           t> /       tf b £ 7, ^ ^ ►
—^ —5>	ľLF^f A/f/!		
	✓H,   —     0"   — <*-	-?	= f o]
—>	(ß n        -   B o p .		
			
5 H R N U T i
ft e ^
o é £ c "o £
<7J> i) -t t
G 4- t
f o c e, -é h .e     i/ T ^ 1 im í     v <$ z.     M A P- A 1,
íl Tk{ tľt    j) o I o U ^     {S L v «. Á u, \ i '   is ťc e.    ŕl t 5 T A    n ~e 1
1 "J
•j
u * u
R i c jt y
J"3
r i c /c ^
r ,  C (c ^ s
Pod i^>n r n. (c
o /* u
kí c icy
/í   S    ŕ3 ,   -£ ^ /c. s
c c I lí -í
a. r~ a_        e. t K ti
ail'l.
Ty f ť cl<*.     V p I <L t Vj «" ✓v < ;
pro /yi e h 1^     p Ti ■« 7. t* J j c i    ^ o *< Vn i <o (c- c\_
-v—;   f ŕ i% ^ o ^ e' plo cti y ■
c y c
p R i c k y
I ■      • / ^ °
B 6 L
A 6 a.
hŕ\ *ť Al í
l/5PÔM/M/A///   A POD.
•     1° t i, i*, ť m (c <p     lc        y j a.  d       t^L e
US PômWa//'
•    { oželej   h. ^    A-fťthť fŕi'm c e j[ >   f       «.'/ h. i' o t"s (*t j
—
-____/ i ■,
A D
v. "     r f
o  s i
^ ^ Z)
/ —i—'-'—     , /
-(-f-J—
>>-d 2. 6"
Z"7 £ "2. r"   ^   S }
PO Lo pfco S TO ft. V
•    f R L» A/í jb y    P Ho |>cöj foe.
v H E L }     V R. O J (S H BL/Vi fc. ^
K-0a/[/Bx- a// m as ox, ť Ay y
A/e   : A. ^( ■   ' '
p it o     f ľ (, ■     A-(geK *- leť'   <= c- ( o.'    O 5 fc'k A     ^ $       ( e -t- ( ' i/
5-j
Pft.UA/llC      (co      l/t X H fľC -A.     I* h U I y -C     ^ ^        f   j     r\<.L~      Ic & ťi v/ -e. x M. t ■
*      S JE 5a/Oce^|      lepu ví_)c n tcía,    wnh ov '"'v      On 5 £ €-    <*_    (o -t H-i ť< 5 /'   é «7 Ic© tt (/ <-X it (
"    h e.j'     e. n S~ /'   röa^i/^xa/i^ ^vj^oit/^l«^     obs^k^j/Cf      /? '
si^ířLB-yy a vr j a'o Re""'
" VJ A   b (1-ťr A/l'
p et r
■Ír í- r c íc
r ° i/ h ( C-01/-&
p o 7, /v/ ^  /uj |<. y ;
h osí/
p O C^L o   C C Yl C V O iS
A A 6 C  -   ľ A + tAB -ŕôAc
O <í  A    's- "j
'ISC  -    {     o A-i-     ] Q i
C
+ 17 + t
}
A A S C   - {
* i ■+ Z- * -u ^- 1
4^
*    J í ^PLfX   ~    p r £ n / (c     Polo f^oj ^o^n     ^ '^n c i'    ^ "f 1    o 4 <t ŕ H.    í o <4 £
*       * *
^ \, .  U Ks
ó 7
-t « tu" i V 6
í, í>v.
a í f t
•   t ý f i' <■ (c e    e z~ ť t      «.    f> o -i, n & ťi^x /c
-1/t h
A F / v/// \<- on Ô {asA c g   j í Vi/A k.
7 h
X -
/U
—t-
X =     • 4 - 9
l [ p + PB )
1
/
R o is    o c/a A. ^
X -
■f
(~     t) X 1
^4 • £
<r-   t t l I J   t *
'   a f= .'A/A/ i    /c o      q f Ay A- C £~    8 0 b V '
	o5	[		A		
		£4   ... 2. ...		-\--- ■7     r/z. o *     Vi- f	i       r í ■Vz.   z- Vz.	
P r {			b	!		
?o (op ř(r<rt \c<\_	A & -		b	! +*.	"1, t. -	o
? o lo p r (rw (c^	&/4 =	{ -IaA + í	b			o
0 $ e. c La.	a % -		b			o
7 Me  5 q ^     avY :			u			
						
						
		f,   0    It- ^ Á.		—> 1 t/1 ^	Tô   - O	J
}
Ro^'kio Af3C   — % -b* A-* t g      hc C
■   $ A* igb+ tcC
- $ -tA A-* tB6+ C
Po / o r o is<'i\c\. A 8 + C
"fr o j i? h <e. (/ (c   A 8 C
1,     ^ Oj     5ío; t^-o^j
oô E c as e
CC
(fo       <Kft'** S o £*l I    fA0l . . , / A k ^
\c<a <l   A/ u tas e
p / ff~-€. *V\ JL-        X ~
o o
/
^        ^   . . . t mu I -    inn m t z" {//\ f-f    <Z    /R j       nm + + t^jt  4-   O •
j) o U- n. A.
inn, T&1 +   mn^ Tß^    ~ Q
P LA T i
-+   ív f
/    "= -L -e"zľ i'f"t
Oß E C AS £
-i-
4
^    í    :fl   ÍL O }
-+   \ v o v k- c E
Zo tKi<Ki'   ^- : (K, C/L    j <_    ^ p ( N a/ I
z <*.ct\o (?/4(l^ CE^TI^rc jour.
(^r—r)     i Ott      (/(ft/'i/ ^     rfí-l ne    UUoi/ t^'c í^.    bmu-rd^t^   sou f -f <so i/
ľ i i K n CS •  Ii-Ii . Lfi! 6 &
H-1-
*2 -f-
X  - - A 0 + 7. A.
Pofc^cl o / ' ' - / ^ k ^    A/ 6" J 5" © C/    v/ oUcu
/V/
0    Ic C   *   * v 6 piat]
c = o
t = o
•  o s b c A/e j i /c
	(6 -	ei. j- t n n i    q (s> <*- (    ŕ^J j	k - Mi's^ (ß	-
kon v 2. x un / ^	0 í> /	Ĺ - o		í' = O
•    T ^ ^ \ s t e    tonové    h^vi» ti^ť   f o ^. í h <^ ^ ^    s -t_   S       jA/y-A; /    v A H * /^l i
A/í A/ I     o b * c- n c    -k o -k -C x,   c -o
tri (*J r E      |ío n KX     ,'^1 o     o 6 a. / i^.     b o vi
í/ / i,    h «. p> r
fc> -e c i* ^   o ^ y r' ľ h -í I
f O^H I       K en.  f* r .       f  K- 0
3 /"Al p c e- y
r
PR t k L A D  ~ ľ £
G3
*   H ku o {; n i'' í o u í f a y'c      $ T fir S t L A/ (
v. ✓
FR t kí AD ~
f Ao S l é'^n    T íl i' D -l 6 ň 's" č
t-o
Ô ö ö
tJL S'Á       3 L
c h c e /*? b :
b r e ( e v/ c\.
f> r ■* -f h
¥1 .
•    P O S T ti. f H   '•      S o      c jl.
/
ŕ S,<>i o)
x r /
C S ,0, o)
( 6, 2-, oj  Z-A ^,0,0
(T 3 ,rj0J
r "5 i o
f i, r, x J
/i o £ a' (r   p!" IřS e a/ C
S ti f*. AS L/T/'
11
ŕ' /
%        «k f- I H M /        toiVí  tťh * c <      b o (Á   *       c 0 £< u/ ŕ " 5" / '     -í        7~ C 2 I č~T /
öt-cci!^    A' č" /L/ ŕ     fote -z^   c o
t-íriVťc"   í< i'ľcU.     le oycex a/i'H o   o e alu
•   -   •    1 .e" k. t-e. r--e.     Chov. V en. k «f -€ r <     ^ > •   t. o b «~ •     U P L AS Q
t
AFC/vAsŕ G So ň FT fi-ť £   P Pi£H i£D AJď
• Vs^-ecí/i/Lo     cA -t (eSm -6.       " a/<%*.b Ira. ick-<-}   "  ■ - ■
íť/^jo   {fl i-t o i^o u      ^> r oí 4 o ^ \y <^ f('ťi n i ^ próz-{otr Oj
•-•    v    s o n. I d d "v.     s      -e. ŕ < frvn . -e o ow-i .     f h <■ d- í       K/^.      í /
1/ w o ei h t    ✓x. c. c
• o š € c a/e ■   ( p od- J pros, i o ry }    t<y jo ľc Icjľ p ß~,'ic la t>Y
• j <. ei-t i*-.    |»0<><pr............................... "z-^Pufob^ )-v /I Ď R /
• «K i/6v_    f> o cA f>r~...................................... v i.oCj -t     ^ -t-'  P o l. o f-{ y
• i/Tc ^  p 0 cÁ p r . .................................. f /^(V~£- Y
• onoei^^i' p*^pr. ........................... </$ -e-cTícj t   l<- o tJ U p* a/ í   o t t
• p> o U S Xro^iri^-e-    I AJ 1/A |2. i 4      T )"   <k £ ■        ° 6> (/~ .     ^      'z- a     c/t ö /l^ (    ^ e"" t-<k_
E Vlc L F t'ö O ^       ' 66* 0^7 STr. t'G"
• o (o <> *.     I o C j'-e. /^ľľ^\
• o b e. c in *-    €~ct_ (c f •   f3 ť o £ "c -o r-     y    $ l\ o cŕ h. A.    1, o b t~ <k. 1.-e.
• o d c C\ y ( je
O P Ar K o v*'aj f
S HO P as o s T rokoce
' o
ME  P~ G~ AS l
M E P- G7 A/ i      p o -"h o c (
( * e 1 e (K
•      S \č A L a' P-As ( 'h O     f G V č" (AS LS
ÍIC AL A (i        S O ty Č/'aJ k
o-c)
•     5/^/\l^p^^,    5 oty c / a;       e. k- t ° y
y 0 (K Al A    (    ^ «- / ŕ* ^ o  5   "6 J
|< O O AI os T
a--\___
0 t>C H ^ L k A
f k AL $ q u tí aJ    f o roSck y, <y
•      S ^ E^Tf2- l c fc e é
1° O      t   TI   * AS G     P e F ť A/ f TAS t <rj\ ^ O
• Pr-cdc^o-vi      S o kJ p. .   <sj y^ d ir~e* t>i ( ^ (f—■)     £    2- -e.     CJ/í-ľe "A/ú        4LSS{ f
• 5 o *s t* •   isy j ^ d ir e-     (       OôtC/Ut /       -c^       L  O • • ■ t ^ ý
-U^ • a/"   =   /l/u., /uT,   ( £1 . Jŕí ")  "ŕ (       . ^t. j +   i  ' ■
2 LAÍ)A/(' A/G?(LO\SASOSTl'
ř ° L -   D & "F ť as f T As o $ f~
Z3
f-   /' C & 1
V/
I t II <~/I ■ 1/*W[
^   /  C « 1
p
/'  C &  e-v-i 1
j Hob a/ o s t [/secret.
? 8
A 6 = C J) p * U- ^ *C j A š ) — I C Z> I j j> ft*. ™.-t ■ -  •    c^L x cO. -3    V     ■-> /£
—5
^ ( 0 f"—J    /u- - ^ 8   l-í    |A6|-  IK|  — \/ /m-
To í o    j>ŕi>\iAhi^  — F   k. ce I 0 o VS (<■ *   1 e 7" A- í ^     ,   yoi>ts
*)   M e / ^ O í)   I a b I - o  (=3   4 = 0
c)     Me/-/B/4[ |4C/é   |/46| + |6C/
e-)    /Ts   -   ČÍ    — ) I 4 ß [ •= /CD/
r s        '        f <o
B    r* e i i"   A- «_   c      £=>    [ 4c 1 = \ab[ -f / p c I
A
C
-ŕ-
S H 00a/o ST  c/HL č
IT" c
^3
Ĺ-1 , 1 J
S ,  A ,  c   <"->  ^ ~ A B j «r - Ac
ll^ll-llrrlf
l-;>
ii^n-n-o-ii
- \~¥ bac l
—3
r o -(r
■e_     ty s
lc t-i f" /c ^     b O B (l B    * -e J
I
Q
M.'slT--   \[<^\\ . /f zw»-// • COS *C
S H R m u T í I P L* /j
E is    i E \ t> o v s ic y frz-osro/?.
—i
■—    y3 o U. im *n
i	j*	í h o & a/ e	C—3 cF	T-o^cC^oĽei.is'*.        $ k. A C s4   P- (	
ŕ	/<-	ľ3 ° D o 8 M č	c—J		e e7 ic
ŕ			H "7 f	-■•     n e. j c\ (c           D f? f & ľ*- <	as st m t y-    ■ ■ ■
n a n F	z h c e n r	f>0 VIL ,' J e n e
ts i. cA~     ( -e Moc -f ^o^u		
0--		jO Ir"" l " C* ÍC ^
° d c h. y j tc <^     Ks e L £ »ŕr iľ		l< 0 l ŕi b"
<		p ŕ- n <n a tr <j
u"t_<><-«Ľ/-e mos •£ £
o b j-c s^     o k ■     rh h 0 h O 4 k& *
D t t e7 p-n ( k/a as t y
1/2 D A'LB As O S T f
0  i £.   C        *.       *4 -€   -f- i tsi ( ' C €-
VI OA LG Ay OS T f
\S X. ft A  L .     I (' (o .      p o b n "S ° -L l' y\y      u>      ) ľ L ■    I E~ T fí ť c lc e'sn    f* *- c S 4
t. a e j i e
( n t <€. J - o    6=J    ß o ^ -=fr č
y
f -    ^ p -
—)
(b)  p.ríAp-   tscy^^t.   ©v.   y & ^ j s y j.
	*r {(ß, O  - í 8 C í   , -fc/'-	/ Sč /   - /			
			S 1 <ß	«_	
			C/ r* c"     *v. ív.		<     tt ťP 1 K ä c"^
			—> —i o o "e =		
D F TA IL Y  l< b č K A i. u
d)
I e c I
ßcl   ß    ^    (re X ^
8* J
—j
y
Y
(Z)
ô a'
SOUI/i'SLoST   Xf J. poLoHA^li'
z' 7 '—) —-}
d     -     <S>f , ^ ^-t Hi     O e( p ■    $ O i-t í -ČTI. U j7   /       =      e\ i i-v-v      <G   O t
/>vu n    l-n / k.
• po
ľ
1. v\ 6i lŕ^\ Ic
n/
o n
1
U' ~    k o l i** <j    ií o f> \ k     [c    U [/
fi/S-Ccki>xO      iS [/        Uo f IAn C        /c IS Uin. K- 1/
^ <?"     l/       j       AS"    J_     S^        p ^ O Y"" <~    U ^
?\-o   \(\o.   (dc^-ll     ( ^1)  • ■    j        )    f> * d p r-• C/
aj-   ^   V j
tc
J
f a cs s -fr   u t*.    L ( as ■ Jn
h a c-" n / C-
ľ^DV      (V   ^  1/      j * 0 ^    ^ 5    k -f fc. fc^    \^ o s^ p LG n & aS T A &. aS {
L/
1/-
1/
t
Ico (mn Y  J* r £ irt -e" ť   aj~   eV a (y
T«t a (n i ft^7 o s ■f
—i
•    T o ^ a.  I h -t     k o í <ti e.     p D <f f* r >    s -e.     P fe. o T I      * J r     1/    I? 0 /) £ /
7
ii
Íq   o d
ř - 3e ^ ^ ,
po tÍTAfi/\   k*l m e h o Ptzčí ŕrt^
s?
<J- «£-   V     I f'lo
■f   CC , /M.
U- u
(ro    /í.   -   1 f ■ ■ ■ I  fc j
OV^   ( /U
■7 -7
J f- • ■ ■ +      /^ • ^ J - ^ •
r ^ i^i « é r e'c k-<\.
S O C/ S   "é" «H. £>v_
cti
U = 1
( -u
1'
/IT .
SLA-
		
	f	
i		1
I /O"" • A>-i I
/í ^ M
PO C[TAA/\    VX\)Al€ A/ b ST l
-) —i
X € (Ji ; Ye t -—j - &c + ^1at+--. - t1^e[ - - - ■
• )
^    XV J- t
0 (=> J e. w-\	(         f "	• / ^1 / • •	■, Ty)
O (oj e. i^n		■ 1 ^ 1 • ■	■ )
foz/v/nty A z K p. a t ley
V y ^       c z. (a. e    yocAS       vy   v/   (A) ( B )     j 5 o ia.    $ i L J v b ■
_j _^ —> _5
•     A/ * p h .      L?  -   L *      j      XL   ~   n a- U
C e t ,   ^ ^  "C.       //'t .
Objemy, determinanty apod.
• obsahy rovnoběžníků, objemy rovnovnoběžnostěnů
• vymezení elementárně, vektorově
• determinanty, vnější a vektorové součiny
• poznámky a souvislosti
Opakování
• Rovnoběžníky(-ostěny) se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah.
A
• Poměr obsahů(-jemů) rovnoběžníků(-ostěnů) se stejnou výškou je stejný jako poměr délek(obsahů) jejich základen.
• Odtud poučka
„obsah(objem) = základna x výška".
Obecně pomocí vektorů
Q^ÍPP).r.PyPP.^P.^.PP^ŘPP určeného vektory v1? v2,... je nezáporné reálné číslo, ozn. V(v1? v2,...), takové, že
• V(vO := HVill,
• V(v1,v2) := V(v1,w2) = l|Vi||-||w2||,
kde w2 = kolmý průmět vektoru v2 do v|,
• V(v1,v2,v3) := V(v1,v2,w3) = V(v1,v2)-||w3||,
kde w3 = kolmý průmět vektoru v3 do (v1? v2)^
• atd...
Počítání
^1
Pro k = 2 např.:
V(v1,v2) = l|Vi|H|v2||- sin a, kde a = z(v1,v2),...... (umíme)
Pro obecné /c např.:
- podle definice, tj. pomocí kolmého průmětu, (umíme)
- podle vlastností, tj. pomocí determinantu, vektorového součinu, apod.
(fučíme)
Úvod (naivně)
Obsah rovnoběžníku určeného vektory u = (ui, u2) a v = (ví, v2) .. -
je roven absolutní hodnotě determinantu det(u, v) = Ui v2 - vA u2
cAc-fe
Uvod (koncepčně)
Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu:
o-—*-^    = 0
Vív^avO = 0
,» . *
V(v1,v2) = V(v1,v2 + av1)
V(v1,ďv2) = |ď|- V(Vl,v2)
Determinant
o y s
Determinant chápeme
• buď jako Mat(nxn)-»R, / p.r«u"u/u>
= součet součinů prvků typu „jeden z každého řádku/sloupce"...,
• nebo Jako y x • • • x V -» R, kde \/ = Rn, které je
n
a) anti-symetrické j,
det(vi, V2,...) = - det(v2, Vi,...),
b) multľ-lineární
/ det(vi, ibV2,...) = ib • det(vi, V2,...),
^íVAl'cfc. det(v1,v2 +w2,...) = det(v1,v2,...) + det(v1,w2,.. .)•
Důležité (odvozené) vlastnosti:
det^, v2 + aVi,...) = det^, v2,...), det(v1? v2,...) = 0 <^=> v1?v2,... jsou lineárně závislé.
Vnejsi součin
Uvažme dim V = n a přiřazení V x • • • x V —> R:
n
(v1?...,vn) i—> souřadnice i—> determinant. Závisí na volbě báze...1
Vnější součin = předchozí přiřazení vzhledem k nějaké ortonormální bázi: ozn.
[Vi,...,Vn] := det(vi,...,vn).
Vnější součin je anti-symetrické n-lineární zobrazení, které až na znaménko souhlasí objemem...
Mezishrnutí:
0 pro k > n
V(vi,...,vk) = <±[yu...,yk] pro k = n
? pro k < n
viz přechodové matice a Cauchyovu větu o součinu determinantů.
Kouzlo (k = 2)
too
Víme, že
přičemž
V(v1,v2) = l|Vi|H|v2||- sin a,
sina= Ví - cos2 a,      cos a
Vili • l|v2|
Odtud
V(v1,v2) = ••• = ^HVill2!^!!2 - fa ■ v2)2
Ví . Ví Ví . v2 V2 . Ví    v2. v2
zase jakýsi determinant,
Kouzlo (obecně)
•7 o -í
tzv. Gramův determinant, ozn.
G(vi,...,vk) :=
Ví .v^
y k ■ Ví
ví . yk
y k ■ y k
Věta
Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí
V{yu...,vk) = ^G(v1,...,vk).
Důkaz.
Plyne z vlastností determinantu a skalárního součinu.
□
Detaily k důkazu
a,-----
1) Pro navzájem kolmé vektory (kvádr):
G(v1,w2,w3) =
Vi . Vi 0 0 0 w2. w2 0 0 0      w3. w3
= l|vi||2-||w2||2-||w3||2 = V(v1,w2,w3)2. ^
"O.
2) Pro lib. našikmené vektory
G(v1,v2,v3) =
, v3 : : w3 + bVi + cv2:
Vi .Vi Vi . v2 Vi . v3
v2 .Vi v2.v2 v2.v3
V3 .Vi v3. v2 v3. v3
Vi .Vi Vi . V2 Vi . v3
-Vi        . v2 . v3
W3 .Vi w3. v2 w3. v3
Vi - Vi Vi . W2 .Vi w2. W3 .Vi    w3.
Vi . w3 w2. w3 w3. w3
G(v1,w2,w3). □
Vektorový součin (n = 3)
O 7°3
Od maturity známe jako operaci V x V —» V s několika užitečnými vlastnostmi:
[/<.{{ Ic-at -6
U maturity zpravidla nevíme proč, ale pro u = (1/1, i/2, i/3) a v = , v2, v3) počítáme takto:
U X v =
I	u2	v2		L/1	^1		L/1		)
\	u3	V3	1	U3	^3	1	l/2	V2	
\ I
Vektorový součin (obecně)
Návod k předchozímu souř. vyjádření— Laplaceův rozvoj determinantu:
1 o 1/
1/1 Ví	*1									
		= +	l/2	V2		L/1	v^	x2 +		
l/2	*2									
			U3	v3		U3	^3		l/2	
^3	*3									
*3-
Důležitá (bezsouřadnicová) interpretace: wl^»«//í
[u,v,x] = (u x v) .x,
Obecná definice:
Vektorovým součinem (n - 1 )-tice vektorů (ví,..., vn_i) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je vektor w := Ví x • • • x vn_i splňující
[Vi,...,Vn_i,x] = w.x
pro všechna xe V.
Vektorový součin (vlastnosti)
Věta
c) u
«0
f O f
t.) í--||WxV|| v
Ozn. w := Vi x • • • x vn-i, n = dim V.
a) Toto je anti-symetrické multi-lineární zobrazení V x • • • x V —> V.
n-1
b) w = o <^=> Ví ,..., vn_i /sou lineárně závislé.
c) Ví ,..., vn_-i jsou lineárně nezávislé => (Ví ,..., vn_i, w) je kladná báze.
d) w je kolmý ke všem vektorům v^,..., vn_i.
e) ||w|| = V(vu...,vn-i).
Důkaz.
(*) [v) (S)
a) Viz def. rovnost a vlastnosti vnějšího a skalárního součinu.
b) [v-i,..., vn-i, x] = 0 Vx e V <=$ vn_i li ri. závislé; w . x = 0 Vx <E V         w = o.
c) ,..., vn_-| lin. nezávislé => w + o => [v-i,..., vn_i, w] = w. w > 0.
d) w. v/ = [ví ,..., vn_i, v/] =;0.
e) ||w|r = w.w = [v^^^Vn-^w] = V(yi,...,vn-i,yN) = V(v1?. ..,vn_i) • ||w||. □
Poznámky
K vektorovému součinu pro n = 3:
• Binární operace V x V -> V, která není asociativní (přesto užitečná).
• Pro velikost platí
u x v|| = ||u|| • ||v|| • sin a,   kde a = z(u, v).
K aplikacím:
i
f <\ d    (c c
Orientace a kolmosti vektorů. Objemy rovnoběžnostěnů, simplexů atd., přičemž:
Objem íc-dim simplexu =     objemu opsaného rovnoběžnostěnu. Vzdálenosti podprostorů bez řešení soustav rovnic:
v(8,C)
V(ui,u2, ••• , BC) V(ui,u2, ...)
kde B g    C g C a (ui, u2, ...) je báze B + C.
o OCii r L/c Y
O  i £-   C H.  *v       *4. 4   -f- i Ul (' C £-
o DCi-iY Lie Y
108
cog  oC -
íf^H-fl^-ll
O 4 e.c n c
ß 0 ^ - [o 1 •
kv}
H ř r      e     fi. o Z L t  S O u AT •'
0C e
Co«   5o-]
1
<rb n    4 í°\
T
•    lo  -   f r C<™ U CK, -   o G .   k e. ir r i'is.   /> o c(
	
	Gr   b      ( ( é '
	
-ťrj1-    cos /i Irl    ros <5<S
A>l • O" -Wj. . aT H^vJt I) f/l H
C o 5   A   3 -—     =-- ť=------— -—
'K|í- l/or//    ^     'K|í-l/or// I/Hi" Ikí/ 'Klí
/vi.-/»A^  _|_ C «. u. c l\ j - Sek v^tr z. í
OQGCA/a'  C ha /*. a (c Tf    t'Z-A C E
110
_j -—^
(3 .    r> Z ir lr <'ty .    f o c{  p r . )      ß ^ ^ - { © }
■"C «2.
<A o <ß
				• ■ J		
		aa^   -   c h q. r •	-t ^ -t 0 (-		AS 6" J iy E~T Š~ 1^7  i;     c l^e^lr ■    ^~ ŕ   *~ ^ (■—      t ^ «• K S f •	f* 0 T5 e.
			-) ,   ■ -	-		
o t« t n í,     f> C öl rf (
/s.
ŕ
AA^
J j
t.
AJ
<s l ľ L
s í V ot    -   cos ( 9 °°- °t ) -=■
/ /W_ - Aj* j
JĹ
J ^
n «\_    c (e.o (iq f 'Vv,      ros -ŕo £ľ y
4
772.
•
•     v y' h I Jt        L    ^ v o j e. L € e V h t rt
1
[y inn l'*r\ €_
• v /\> c^no o A T= ( 'as as ťC (-f I { s - t>i - * rt 0 o p / m e,
poe4.obnijcL\,     °i-    «- {c \* ť    -f- t ' v\ in i C ty*
s
oi * (c (<\ d n e J s t    r ° i 4 o k-
( á e o u>o e č t~ i <    3 )
flTO\j<.Li i'l/to |'
5 V) o (X K A-
VYJA'DfLE'fi'i'
o  11 ¥
•    CK j OL
-f- l t/l In i      J* Ír O S  tT o r^       -f-      <\ -j- ť Ul In I      f O a  t-~.    S" O d  S "Č"
<
f -CK—cX'   je.    Z* p (Va/i'
—> _^
j^A* at) -   f (A) 4   -f f^r;   ; jľ ;  U —í  V' j*- LÍMSAHASi
4
5 °</r *.    n ,'c ■£
y f it r * iní
1/ VOľlA.
"2.  íc \r c\   C € K
x
-f
D
x
J ř
y t c <. n-i ?.
/\ř/4L.  V Y J A O (IE M I'
1 1 s~
C £
"J7
C"-_)       j"~    '   ^/--^    1/ '        i«. c 4 e i^íl Vei        $ k. A C s4 ' fi- A*s (      S O ls CZ~ t
V- v
L o
v ^)
o iks    fc «<' t- <-
o ss   L *. 2.e.
C=-s
J)   • D — E
t,
?      I 0
1 ... <J = ý
1 o
0 1
frfi'nhť f '■   £ -=> £'   y"-e,      P O 0 O Q AJ £     s    /o o ^ /    c <'«. ^ £ *
f r , s ^   . v_
o ls tu.   ^ «. $ k. S\ C *   R- AS (       S O LS C    t A^     a. Z      >i «_      M ŕ\   Jog  f ^
9-    L o
o /ks bd'^
t r.
=   /  o k1
11 G
Ä / »" o h / ' f '-
	
	—■í
	
	
o i^n. f «.       O (3 J  £" s^l Y
if- *.;•«.
■-•t1
L o
<-1
•       ľ-     p      (  p «_ ^ «,
pri  J5 «. «í 6   ^   l, e_ <
C o Co
• S H O b AS /\       P o O O 6 AJ A   /    F fc<s ť A F= l' ftSAS /       ^ o 6     •    jí o f* li. o S T A
• OUc ^ oj   A        (" A/ AS (       ~l o   (o r ■ j
X
X
U -L
r
ľ
O Inn.
X
X
TI
c d fč. ä-   n 4 5
— U O ^ -f r o Ui ~Ĺ      C e_ íoim . ol n.      / . j äi   A lr~-& H (
— S~ Ič. I a- el cľit, f     a.    r- o t k. («.''ei a.' i*, t '   • ■ ■
(C
E ľk L €" cd - CEonertLi'e PP^6HL6I>^6
1 1 s
.   .    .      e>4 o p / lo" 0\ j ^   tin £_
• hflhí/iaa.   / o ž fj ;    O d c b <y / /c t\     \S £ (c- é o (r £
• X/ioXíií j í ^ S e. c <. (c    !     <s fa (£
• KA'i-da.le.í^.ss'éj    o cA c U ^ ( (c^    o C -   p o d f t *
• 0 6 Je. ťv, y      r o U d o ()-£~ L ťi o S £ z IA íf f      $ /' tsn p f -z-X C    f     *    • • Soi^.ys/síoS'k l
• l/'z-^ct/čí'ios'é,    o M C U ý ( [cc^ is i- c*, j'-e ton h -e.' f> o í o k (y    p o U p
• o (o j -e, tfa iy    °v ^"é'ŕ-í.í^í^i/Vi^-Aié-^7