Tematické okruhy k magisterské státní závěrečné zkoušce z matematiky s didaktikou pro 2. stupen ZŠ
platné pro termíny SZZ k od termínu JARO 2021
Katedra matematiky PdF MU
Státní závěrečná magisterská zkouška v navazujícím magisterském studiu učitelství matematiky pro ZŠ je pouze ústní. Student si vylosuje z každého níže uvedeného oddílu jednu otázku (na přípravu každé otázky bude cca 15 minut):
- Matematika (matematická analýza, algebra, geometrie, teorie množin)
- Didaktika matematiky
Při zkoušce bude studentovi zadáno z oddílu Matematika jen hlavní téma (je zde tučným fontem). Uvedené detailní požadavky slouží jen jako vodítko při vašem studiu. Nelze je v žádném případě brát jako dogma. Očekává se vlastní přístup k tomu, co všechno a jakým způsobem lze v souvislosti s jednotlivými tématy zmínit.
Důraz se klade zejména na souvislosti mezi tématy, přičemž zde nemáme na mysli jen témata jednoho oboru. Je žádoucí ilustrovat teorii vhodnými příklady (a protipříklady). Velmi vítány jsou motivační úvahy pro diskutované pojmy. Můžete využít i své znalosti historických souvislostí vývoje matematiky a vyučování matematice.
Pokuste se i o intuitivní pohled na některá témata; dále o využití či interpretaci pojmu optikou žáka ZŠ či SŠ.
V rámci zkoušky z didaktiky matematiky si student k otázce vylosuje jednu úlohu, která se vztahuje k dané problematice.
Matematika
Ml. Reálné funkce jedné i více reálných proměnných
Definice funkce. Vlastnosti funkcí (monotonie, omezenost, konvexita, skládání, inverze atd., ale i např. spojitost a chování v ryzím okolí bodu). Grafy funkcí a jejich „transformace". Využití řezu rovinami u grafu funkce více proměnných. Vyšetřování vlastností (včetně vyšetřování průběhu funkce, hledání extrému, což zahrnuje i využití diferenciálního poctu). Elementární funkce. Alternativní možnosti definice některých elementárních funkcí (pomocí integrálu „jednodušších" funkcí, mocninných řad, diferenciálních rovnic — diskutujte takto např. logaritmus, sinus a exponenciálu) atd.
M2. Limita funkce jedné i více proměnných a limita posloupnosti
Definice limity. Pojem (ryzího) okolí. Intuitivní chápání limity a popis pomocí vhodného obrázku, výpočet, vlastnosti. Kde všude jsme limity potkali či využili (definice spojitosti, definice derivace, asymptoty, limitní přechod u integrálních součtů s nulovou posloupností dělení či zavedení Jordánovy míry, definice nevlastních integrálu, součty a konvergence/divergence nekonečných řad — definice i kritéria, poloměr konvergence, hromadný bod, limita superior, limita inferior) atd.
M 3. Derivace
Derivace funkce jedné proměnné. Parciální derivace. Geometrická a fyzikální motivace či interpretace. Vlastnosti, výpočet, vztahy s jinými pojmy (např. se spojitostí). Kde všude jsme derivaci potkali či využili (extrémy, průběh funkce, ĽHospitalovo pravidlo, tečna, tečná rovina, vety o střední hodnotě — lze je využít mj. při odhadech, diferenciál, Taylorův polynom, funkční rady, primitivní funkce, diferenciální rovnice) atd.
M 4. Neurčitý integrál
Definice. Geometrická interpretace. Vlastnosti. Metody výpočtu (vč. zmínky o použití různých triků využitelných nejen zde, jako např. přičtení nuly, vynásobení jedničkou, rozklad na parciální zlomky, goniometrické identity, doplnění na čtverec). Kde všude jsme neurčitý integrál potkali či využili (Reimannův integrál, diferenciální rovnice — předveďte metodu řešení na nějakém konkrétním typu diferenciální rovnice, funkční posloupnosti a řady). Zdůvodnění některých typických integračních postupů (např. linearita, per partes, substituce) atd.
M5. Reimannův integrál
Motivace, konstrukce, vlastnosti, výpočet. Souvislost s neurčitým integrálem, souvislosti s nekonečnými řadami, souvislost s Jordánovou mírou. Využití v geometrii a příp. ve fyzice (rozumět myšlence odvozování příslušných vzorců, např. jak dostaneme integrální součty při hledání objemu rotačního tělesa aj.). Přibližný výpočet integrálu (mocninné řady nebo s použitím myšlenek z konstrukce). Alternativní způsob zavedení některých funkcí (integrál jako funkce horní meze) atd. Nevlastní integrály.
M6. Posloupnosti a řady
Číselné i funkční posloupnosti. Číselné i funkční řady. Vlastnosti, limita, součet, speciální a významné typy posloupností či řad. Bodová vs. stejnoměrná konvergence (přenášení vlastností funkcí na limitní funkci či součet funkční řady). Souvislost řad s určitými integrály. Alternativní způsob zavedení některých funkcí (mocninné řady). Aplikace (aproximace funkcí, přibližný výpočet funkčních hodnot, přibližný výpočet integrálu) atd.
M7. Aplikace diferenciálního a integrálního počtu
Vyšetřování vlastností funkcí (monotonie, konvexita aj.). Extremální úlohy (vč. slovních úloh a jejich převedení do řeči matematiky). Geometrie (tečna, tečná rovina, obsah, objem, délka křivky, povrch, ale třeba i určování vzdáleností). Aproximace funkce, přibližný výpočet funkčních hodnot. Modelování pomocí diferenciálních rovnic (fyzika, biologie aj.) — rovnice lineární, separovatelné, 1. i 2. řádu atd.
M8. Binární relace a jejich vlastnosti
Kartézský součin, binární relace, vlastnosti relací, grafy binárních relací. Relace zobrazení, uspořádání, ekvivalence, příklady těchto relací.
M9. Algebraické struktury s jednou a dvěma operacemi
Pojem binární algebraické operace, vlastnosti, algebraické struktury s jednou operací (grupoid, pologrupa, grupa) a jejich homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma operacemi (polokruh, okruh, obor integrity, těleso) a jejich homomorfismy.
M10. Vektorové prostory, lineární zobrazení.
Podprostory vektorového prostoru. Lineární kombinace vektoru, lineární závislost a nezávislost vektoru. Báze a dimenze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru v dané bázi. Věta o dimenzi součtu a průniku podprostoru. Lineární zobrazení vektorových prostoru. Lineární transformace a její matice. Hodnost a defekt lineární transformace. Konjugované (podobné) matice. Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace.
Mil. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic
Typ matice, algebra matic, okruh matic nad tělesem reálných čísel, hodnost matice, inverzní matice. Determinanty, rozvoj determinantu podle řádku či sloupce (Laplaceova věta). Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic a jejich řešitelnost, Frobeniova veta. Metody řešení.
M12. Eukleidovský vektorový prostor
Definice skalárního součinu a jeho vlastnosti. Velikost vektoru, Cauchyova-Bunjakovského nerovnost. Odchylka vektoru, Grammúv-Schmidtúv ortogonalizační proces. Ortogonální zobrazení, ortogonální transformace.
M13. Polynomy, řešení algebraických rovnic
Definice polynomu, operace s polynomy. Kořeny polynomu, rozklad polynomu, největší společný dělitel a nejmenší společný násobek polynomu. Základní věta algebry. Algebraické rovnice a jejich řešení. Binomické a reciproké rovnice. Polynomy více proměnných, symetrické polynomy.
M14. Konstrukce číselných oboru
Peanova aritmetika přirozených čísel. Vnoření polokruhu přirozených čísel do okruhu celých čísel. Vnoření okruhu celých čísel do tělesa racionálních čísel. Pojem řezu v množině, druhy řezú. Řezy v množině racionálních čísel. Iracionální čísla, jejich sčítání a násobení. Vnoření tělesa racionálních čísel do tělesa reálných čísel. Rozšíření tělesa reálných čísel na těleso komplexních čísel. Operace s komplexními čísly. Uspořádání číselných oboru.
M15. Klasická konstrukční geometrie
Axiomy eukleidovské geometrie (axiomy a postuláty Eukleidovy a Hubertovy). Eukleidovské konstrukce a sestrojitelné veličiny (geometrická algebra, charakterizace sestrojitelných veličin). Klasické konstrukční úlohy a využití
geometrických zobrazení při jejich řešení (např. kvadratura obecného mnohoúhelníku, konstrukce pravidelných mnohoúhelníku, dotykové úlohy).
M16. Zobrazovací metody
Středová a rovnoběžná promítání, vlastnosti a přehled zobrazovacích metod (volná promítání, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva). Zobrazení základních těles (pravidelná tělesa, obecné hranoly, kužely apod.). Základní polohové a metrické úlohy (např. průniky přímky a roviny, vzdálenosti bodu, konstrukce řezu).
M17. Afinní a projektivní geometrie
Obecný afinní a projektivní prostor (motivace projektivního rozšíření, algebraické definice). Pojmy incidence, uspořádání a rovnobežnosti. Vzájemné polohy podprostoru (incidence, rúznoběžnost, resp. rovnoběžnost, mimoběžnost). Konstrukce a analytická vyjádření (např. průniky a součty podprostoru, příčky). Využití lineární algebry při řešení základních úloh (soustavy lineárních rovnic, determinanty).
M18. Eukleidovská geometrie
Obecný eukleidovský prostor (klasický vs. algebraický přístup). Pojem shodnosti. Kolmost, vzdálenost a odchylka podprostoru, objemy rovnoběžnostěnu (definice v rovině a v prostoru a jejich zobecnění). Konstrukce a analytická vyjádření (např. kolmé podprostory, osy). Využití lineární algebry při řešení základních úloh (determinanty, skalární, vnější a vektorový součin).
M19. Geometrická zobrazení
Shodná, podobná, afinní, projektivní a konformní zobrazení (definice, vlastnosti a analytická vyjádření). Základní zobrazení a jejich skládání, transformační grupy (zejména pro transformace v rovině). Užití při řešení geometrických úloh (např. u Apollóniových úloh nebo řezu těles).
M20. Množiny a kardinální čísla. Uspořádané množiny a ordinální čísla
Ekvivalentní množiny a jejich mohutnost. Definice kardinálního čísla, součet, součin a mocnina kardinálních čísel. Spočetné a nespočetné množiny, mohutnost kontinua. Uspořádání kardinálních čísel, Cantorova-Bernsteinova veta. Budování přirozených čísel jako čísel kardinálních. Uspořádané a dobré uspořádané množiny. Ordinální typy, ordinální čísla a jejich aritmetika. Uspořádání ordinálních čísel. Budování přirozených čísel jako čísel ordinálních.
Didaktika matematiky
DM 1. Individuální přístup k žákům, zájmová činnost v matematice
Vzdělávání žáku vzhledem k jejich specifickým vzdělávacím potřebám. Péče o žáky s problémy v matematice, vzdělávání žáku s poruchami učení, vzdělávání žáku nadaných. Matematické soutěže, zájmová činnost.
DM 2. Obsah kurzu školské aritmetiky. Posupné rozšiřování číselného oboru (čísla přirozená, celá, racionální)
Přirozená čísla, jejich zavedení na základní škole. Numerace, operace s přirozenými čísly, vlastnosti operací. Čísla celá, zlomky, čísla racionální, numerace, operace.
DM 3. Elementární teorie čísel, dělitelnost v oboru přirozených čísel. Využití induktivních a deduktivních metod na základní škole
Metody určování nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele daných přirozených čísel, kritéria dělitelnosti a jejich důkazy. Prvočísla, čísla složená. Řešení diofantických rovnic prvního stupně.
DM 4. Číselné obory. Intuitivní zavedení reálných čísel na základní škole. Mocniny a odmocniny
Možnosti zavedení reálných čísel na základní škole. Iracionální čísla vyskytující se na základní škole. Pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami. Geometrické konstrukce algebraických výrazů.
DM 5. Základní pojmy finanční matematiky
Procentový počet, jednoduché a složené úrokování. Možnosti využití skupinové a projektové výuky v tématu finanční gramotnost.
DM 6. Matematická úloha a její řešení
Metody řešení matematických úloh: experiment, aritmetické řešení, algebraické řešení. Význam grafického znázornění při rozboru úlohy.
DM 7. Vytváření představ a pojmů v matematice
Zavádění základních pojmů v matematice: Axiomy, definice, věty, důkazy matematických vět. Formulace matematických vět a jejich ověřování na základní škole. Příklady chybných definic.
DM 8. Rovnice a nerovnice ve školské matematice. Lineární rovnice a nerovnice, soustavy lineárních rovnic, neurčité rovnice
Způsoby řešení lineárních rovnic a nerovnic, soustav lineárních rovnic a neurčitých rovnic na základní škole. Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic.
DM 9. Rovnice. Kvadratická rovnice, rovnice s neznámou ve jmenovateli
Druhy kvadratických rovnic. Určení kořenu kvadratické rovnice. Vietovy vzorce. Ekvivalentní a důsledkové úpravy.
DM 10. Elementární funkce v učivu matematiky základní školy
Lineární funkce, funkce nepřímá úměrnost. Využití metod zobecňování a abstrakce při vyvozování pojmu lineární funkce. Způsoby zadání funkcí. Vlastnosti funkcí.
DM 11. Kvadratická funkce. Funkce racionální lomená
Metodika zavedení kvadratické funkce. Funkce racionální lomená. Zakreslení grafu. Vlastnosti funkcí. Mezipředmětové vztahy — využití v příkladech z fyziky.
DM 12. Goniometrické funkce
Využití podobnosti pro zavedení goniometrických funkcí v intervalu. Goniometrické funkce v intervalu. Jednotková kružnice. Vlastnosti goniometrických funkcí.
DM 13. Planimetrie v kurzu školské matematiky
Přístupy k zavádění planimetrických pojmů na základní škole. Úhel, trojúhelník, čtyrúhelník, kružnice, kruh. Vlastnosti těchto útvarů. Axiomatická výstavba geometrie.
DM 14. Konstrukční úlohy v kurzu školské matematiky
Základní geometrické konstrukce. Fáze řešení konstrukční úlohy. Řešení konstrukčních úloh s využitím základních vet o určenosti útvaru, množin bodů s danou vlastností, geometrických zobrazení. Konstrukce algebraických výrazů.
DM 15. Geometrická zobrazení v kurzu školské matematiky
Shodná zobrazení: osová souměrnost, středová souměrnost, rotace, translace. Podobná zobrazení: podobnost, stejnolehlost. Využití metod manipulativních činnosti k vyvození jednotlivých zobrazení.
DM 16. Stereometrie na základní škole
Postupné zavádění pojmů manipulativní činnosti. Rozvíjení prostorové představivosti. Mnohostěny, rotační tělesa. Pravidelná tělesa.
DM 17. Míry geometrických útvaru
Délka úsečky, obvod a obsah rovinného geometrického útvaru. Vytvoření představy o těchto pojmech na základní škole. Povrch a objem tělesa, odvození vztahu.
DM 18. Elementární kombinatorické úlohy a jejich využití v učivu matematiky 2. stupně ZŠ. Prvky teorie grafů a jejich využití
Úlohy k rozvoji kombinatorického myšlení na základní škole. Využívané kombinatorické pojmy. Hledání kostry grafu, jednotažky.
DM 19. Pravděpodobnost a statistika ve školské matematice
Základní pojmy matematické statistiky. Rozvoj pravděpodobnostního myšlení. Základní pojmy pravděpodobnosti využívané na základní škole. Možnosti využití projektové výuky a mezipředmětových vztahu.
DM 20. Kurikulární dokumenty pro výuku matematiky na ZŠ. Historie matematiky z hlediska didaktiky matematiky
Vývoj vyučování matematice v českých zemích. Osnovy matematiky, standardy, Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Porovnání osnov a RVP. Historická období ve vývoji matematiky, významné výsledky. Důležité analogie v historickém vývoji matematiky a vývoji představ žáků o matematických pojmech v průběhu školního vzdělávání.