Ležíte na pláži u moře. Hladina je úplně klidná a vy pozorujete západ Slunce. Můžete ho dokonce pozorovat dvakrát: poprvé vleže a podruhé, když vstanete. Možná vás překvapí, že z doby, která uplyne mezi těmito dvěma západy, lze odhadnout poloměr Země. Opravdu je možné změřit Zemi tak prostým pozorováním? 2 KAPITOLA 1 MĚŘENÍ 1.1 MĚŘENÍ Základem fyziky je měření. Objevoval fyziku znamená také poznávat možnosti měření veličin, které jsou s ní spjaty. Nazýváme je fyzikálními veličinami. Patří k nim například délka, čas, hmotnost, teplota, tlak nebo elektrický odpor. Abychom mohli fyzikální veličinu popsat, zavedeme nejprve její jednotku, tj. takovou míru této veličiny, které přisoudíme číselnou hodnotu přesně 1,0. Poté vytvoříme standard, s nímž budeme všechny ostatní hodnoty dané fyzikální veličiny porovnávat. Tak například jednotkou délky je metr. Jeho standard je definován jako vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za přesně definovaný zlomek sekundy. (K definici metru se ještě vrátíme.) Jednotku fyzikální veličiny i její standard můžeme definovat naprosto libovolným způsobem. Důležité je jen to, aby naše definice byla natolik rozumná a praktická, aby mohla být v odborných kruzích všeobecně přijata. Jakmile jsme definovali standard, řekněme pro délku, musíme ještě vypracovat metody, jak jej používat pro určování různých délek, ať již jde o poloměr atomu vodíku, vzdálenost koleček skateboardu nebo mezihvězdnou vzdálenost. Můžeme například používat pravítka, která přibližně nahrazují standard délky. Často však nelze přímo porovnat měřenou veličinu se standardem. Pravítkem nezměříme ani poloměr atomu, ani mezihvězdnou vzdálenost. Fyzikálních veličin je takové množství, že není jednoduché je nějakým způsobem uspořádat. Naštěstí však nejsou všechny navzájem nezávislé. Příkladem může být rychlost, kterou lze vyjádřit jako podíl délky a času. Lze tedy vybrat, po mezinárodní dohodě, celkem malý počet fyzikálních veličin, pro něž definujeme jejich vlastní standardy. Délka i čas k nim patří. Všechny ostatní veličiny lze pak vyjádřit pomocí těchto základních veličin a jejich standardů. Tak například rychlost je definována pomocí dvou základních veličin — délky a času — a jim odpovídajících jednotek a standardů. Standardy základních veličin musí být dostupné a při opakovaném měření neproměnné. Kdybychom třeba definovali jako standard délky starý český sáh, tedy vzdálenost mezi prsty rozpažených rukou (cca 190 cm), získali bychom bezpochyby standard snadno dostupný, avšak pro každého člověka jiný. Věda a technika však vyžadují přesnost, a proto je neproměnnost standardu mnohem důležitější než jeho snadná dosažitelnost. Je tedy třeba mít k dispozici dostatečný počet jeho přesných kopií i za cenu náročnosti jejich zhotovení. V klasické fyzice (včetně teorie relativity) mlčky předpokládáme, že měření můžeme provádět tak, abychom při něm měřenou hodnotu neovlivnili. (Nebo — realističtěji — tak, že vliv měření je zanedbatelně malý.) Tak např. při měření průměru šroubu mikrometrem stiskneme šroub čelistmi měřidla přesně definovanou silou. Tím jej nepatrně stlačíme a naměříme údaj menší. Tento rozdíl je pro šroub jistě zanedbatelný. Kdybychom však měřili gumový špalík, už by byl vliv patrný. Lze však jistě najít jiný, vhodnější způsob měření, který průměr špalku znatelně neovlivní. V kvantové fyzice je problém měření mnohem složitější. 1.2 MEZINÁRODNÍ SOUSTAVA JEDNOTEK V roce 1971 bylo na 14. generální konferenci pro váhy a míry vybráno sedm základních veličin a odpovídajících základních jednotek, které se staly základem Mezinárodní soustavy jednotek označované zkratkou SI (z francouzského Systéme International des Unités), nazývané též metrická soustava. V tab. 1.1 jsou uvedeny jednotky tří základních veličin — délky, hmotnosti a času, které používáme už v úvodních kapitolách této knihy. Byly vybrány tak, aby byly blízké „lidským měřítkům". Tabulka 1.1 Některé základní jednotky SI Veličina NÁZEV jednotky Symbol délka metr m čas sekunda s hmotnost kilogram kg Všechny tzv. odvozené jednotky soustavy SI jsou definovány pomocí jednotek základních. Například jednotku výkonu watt (značka W) lze vyjádřit základními jednotkami hmotnosti, délky a času. V kap. 7 ukážeme, že 1 watt = 1 W = 1 kg-nr-s-3. (1.1) Abychom jednoduše a stručně zapsali velmi velké nebo velmi malé hodnoty veličin, používáme tzv. exponenciální tvar zápisu čísel pomocí mocnin čísla 10. Takto vyjádříme například: 3560000000m= 3,56-109m (1.2) nebo 0,000000492s = 4,92-10_7s. (1.3) S rozvojem počítačů se čísla v exponenciálním tvaru začala zapisovat ještě jednodušším způsobem, například 3,56E9 m nebo 4,92E—7 s. Písmeno E označuje, že následující číslo má význam mocnitele (exponentu) základu 10. Některé kalkulačky zápis ještě více zjednodušují a písmeno E nahrazují mezerou. 1.3 převody jednotek 3 Jinou možností vyjádření velmi velkých a velmi malých hodnot je použití vhodných předpon v názvech jednotek. Jejich seznam uvádí tab. 1.2. Každá předpona zastupuje příslušnou mocninu čísla 10. Předpona u kterékoli z jednotek SI signalizuje, že hodnotu veličiny je třeba vynásobit odpovídajícím koeficientem. Zadanou hodnotu elektrického výkonu nebo délku časového intervalu můžeme zapsat například takto: 1,27-109 wattů = 1,27 gigawattů = 1,27 GW, (1.4) 2,35-lCT9 s = 2,35 nanosekundy = 2,35 ns. (1.5) Některé jednotky s předponami (např. decilitr, centimetr, kilogram nebo megabajt) se používají zcela běžně. 1.3 PŘEVODY JEDNOTEK Při výpočtech číselných hodnot fyzikálních veličin často potřebujeme měnit jednotky, v nichž veličinu vyjadřujeme. Tento přepočet nazýváme převod jednotek. Převod můžeme snadno provést například tak, že vynásobíme původní zadanou či změřenou hodnotu převodním koeficientem. Tento koeficient je ve skutečnosti roven jedné, je však vyjádřen ve tvaru zlomku, jehož čitatel i jmenovatel udávají tutéž hodnotu v různých jednotkách. Uveďme příklad: Údaje 1 min a 60 s představují stejné časové intervaly. Můžeme proto psát 1 min 60 s -= 1 a -= 1. 60 s I min Tento zápis neznamená, že by snad platilo ^ = 1 nebo 60 = 1. Číselný údaj a odpovídající jednotka tvoří ve výrazu pro převodní koeficient neoddělitelnou dvojici. Vzhledem k tomu, že vynásobení libovolné veličiny jedničkou nezmění její hodnotu, můžeme takové převody provádět, kdykoli to považujeme za užitečné. Zbavíme se tak jednotek, které nechceme používat: jednoduše se vykrá-tí. Chceme-li například převést 2 min na sekundy, píšeme / 60s \ 2rmn = (2min)(l) = (2hhii) - = 120 s. (1.6) \ 1 min / Častou chybou při převodu jednotek je záměna čitatele a jmenovatele v převodním koeficientu. V tom případě se nežádoucí jednotky nevykrátí, a tak chybu snadno objevíme. Pro počítání s jednotkami platí stejná algebraická pravidla jako pro proměnné a čísla. V dod. D a na vnitřní straně zadní obálky této knihy jsou uvedeny koeficienty pro převody mezi soustavou SI a jinými soustavami jednotek. Jednou z mála zemí, které nestanovily zákonem povinnost používat Mezinárodní soustavu jednotek, jsou i Spojené státy americké. PŘIKLAD 1.1 Průzkumná ponorka ALVIN sc potápí rychlostí 36,5 sáhů za minutu. (a) Vyjádřete tuto rychlost v metrech za sekundu. Jeden sáh je roven přesně 6 stopám (ft). ŘEŠENI: Jednotky převádíme následujícím způsobem: sáhů / sáhů \ / 1 min 36,5^- = 36.5 — ' aatl / y 60 s 6 ft \ / 1 m sáh/ V.3,28ff = l.llm-s"1. (Odpověď) (b) Jaká je tato rychlost v mílích (mi) za hodinu? Tabulka 1.2 Předpony jednotek SI NÁSOBEK PŘEDPONA ZNAČKA NÁSOBEK PŘEDPONA ZnaČKA 1024 yotta- y 10-24 yokto- y 1021 zetta- z io-21 zepto- z 1018 exa- E itr18 atto- a 1015 peta- P írr15 femto- ľ 1012 lera- T 10 12 piko- P 109 giga- G 10 9 nano- n 106 mega- M 10 6 mikro- V- 10-1 kilo- k 10 3 mili- m 102 hekto- h 102 centi- c 10' deka- da io-] deci- d Nejužívanější předpony jsou vytištěny tučně. 4 KAPITOLA I MĚŘENÍ ŘEŠENÍ: Stejně jako v předchozím případě dostaneme sáhů / sáhů \/ 60 minx 36,5- = 36,5- min V min / 6ft ] sáli = 2,49 mi/h Ih mi 5 280ft )" (Odpověď) (c) Vyjádřete tuto rychlost ve světelných rocích za rok. ŘEŠENI: Jeden světelný rok (ly z angl. light year) je vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za jeden rok. Je roven 9.46-1012 km. Užitím výsledku (a) dostaneme l.llm-s lly 1 km 1 000 m 46-1012 km 3 U6-107*\ _ fy I ~ = 3,71-KP9 ly/y. (Odpověd) Žádný konečný výsledek by obecně neměl být zapsán číslem s větším počtem platných míst, než měly výchozí údaje. V průběhu výpočtu vedeného v několika postupných krocích pracujeme s větším počtem platných míst, než měly výchozí údaje. Jakmile však dospějeme ke konečnému výsledku, zaokrouhlíme jej podle výchozích údajů. (Ve výsledcích řešených příkladů v této knize používáme zpravidla rovnítko „=" i tehdy, byl-li mezivýsledek zaokrouhlen, a symbol „=" až u konečného zaokrouhlení.) Počet platných míst v údajích 3,15 nebo 3,15-10 je zřejmý. Jak je tomu však u čísla 3 000? Je zadáno pouze najedno nebo na čtyři platná místa (ledy jako 3-103 nebo3,000-103)? V této knize budeme považovat všechny nuly v číslech typu 3 000 za platná místa. Při studiu literatury je však třeba dát pozor, zda autoři neužívají jinou dohodu. Nezaměňujme platná místa s místy desetinnými. Uvažujme například údaje 35,6 mm, 3,56 m a 0,003 56 km. Všechny jsou zadány na tři platná místa, i když první z nich má jedno, druhý dvě a třetí dokonce pět desetinných míst. PŘIKLAD 1.2 Kolik čtverečných metrů má plocha o obsahu 6,0km2? ŘEŠENI: Obsahuje-li údaj mocninu některé jednotky, je vhodné ji nejprve rozepsat jako součin a pak převést každý činitel zvlášť: 6.0 km2 = 6.0 (km) (km) = = 6,0(km)(km) = 6,0-106nr. (Odpověd) RADY A NÁMĚTY Bod 1.1: Platná místa a desetinná místa Při řešení př. 1.1a na kalkulačce se na jejím displeji pravděpodobně zobrazilo číslo 1,112 804 878. Přesnost, se kterou je toto číslo vyjádřeno, však nemá rozumný význam. Proto jsme je rovnou zaokrouhlili na hodnotu 1,11, která odpovídá přesnosti výchozích údajů. Zadaná rychlost 36,5 sáhů za minutu je určena třemi číslicemi. Říkáme, že je dána na tři platná místa. Čtvrtou číslici řádu setin již neznáme, a proto při převodu jednotek nemá smysl uvádět více číslic než tři.* * Tento způsob počítání s čísly zadanými s omezenou přesností je jen velmi přibližný. Tak například každé z čísel 11 a 99 je zadáno na dvě platná místa. Nejistota obou údajů je řádu desetin. Jedna desetina (0,1) však představuje zhruba 1 % hodnoty i 1 a pouze 0,1 % hodnoty 99. Veličina s hodnotou 99 je zadána přesněji než veličina, jejíž hodnota je 11. V odborné a vědecké práci zásadně opatřujeme hodnotu každé naměřené nebo vypočtené veličiny její standardní odchylkou neboli chybou, která vyjadřuje kvantitativně přesnost této veličiny. 1.4 DÉLKA V roce 1792 byl v mladé Francouzské republice zaveden nový systém měr a vah. Jednotkou délky byl stanoven metr, definovaný jako jedna desetimiliontina vzdálenosti od severního pólu k rovníku. Z praktických důvodů se později od vazby na tento „zemský" standard upustilo a metr byl definován jako vzdálenost mezi dvěma tenkými vrypy na tyči vyrobené ze slitiny platiny a iridia, tzv. standardním metru. Tento standard je dodnes uložen v Mezinárodním úřadu pro váhy a míry v Sěvres u Paříže. Jeho přesné kopie, nazývané druhotnými standardy, byly rozeslány do metrologických laboratoří po celém světě a jsou používány při výrobě dalších, mnohem snadněji dostupných, standardů. Každé zařízení pro měření délky poskytuje údaje odvozené od standardního metru. V roce 1959 byl úředně definován yard jako 1 yard = 0.9144m (přesně). (1.7) Tato definice je ekvivalentní se vztahem pro palec (inch): 1 in = 2,54cm (přesně). (1.8) V tab. 1.3 jsou uvedeny zajímavé údaje o délkových rozměrech některých objektů, včetně velikosti viru, jehož mnohonásobně zvětšený obraz získaný v elektronovém mikroskopu vidíme na obr. 1.1. 1.5 ČAS 5 Tabulka 1.3 Řádové velikosti a rozměry DÉLKA V METRECH k nej vzdálenějšímu kvazara (1996) 2-1026 k mlhovině v Andromede 2-1022 k nejbližší hvězdě (Proxima Centauri) 4.1016 k nej vzdálenější planetě (Pluto) 6-1012 poloměr Země 6-106 výška Mount Everestu 9-103 výška člověka 2-10° tloušťka této stránky i-i 1 2 3 4 5 ( ) 7 8 9 i ji zpomalení 3 2 S 0 1-1 3 _i o " &-3 -4 (c) Obr.2.6 Příklad 2.4. (a) Časová závislost x(t) polohy kabiny výtahu pohybující se svisle vzhůru po ose x. (b) Časová závislost její rychlosti vx(t). Všimněte si, že vx(t) je derivací funkce x(f), tj. vx{t) — jf. (c) Časová závislost zrychlení kabiny ax (í) je derivací funkce vx(t), tj. ax(t) = Schematické nákresy postaviček v dolní části obrázku naznačují pocity pasažéra při urychlování kabiny. ŘEŠENI: Úseky grafu obsahující body A a D odpovídají situaci, kdy je kabina v klidu. Grafem funkce x(í) v těchto úsecích jsou přímky rovnoběžné s časovou osou. Směrnice tečen, a tedy i rychlost kabiny, je nulová. V úseku mezi body B a C se sklon křivky nemění a souřadnice kabiny stále roste. Kabina se pohybuje konstantní rychlostí. Směrnici tečny 18 kapitola 2 přímočarý pohyb (tedy rychlost) určíme jako podíl Ax At V.x (24m-4,0m) (8,0s-3,0s) -4,0m-s Kladné znaménko ukazuje, že se výtah pohybuje v kladném směru. Hodnoty rychlosti vx = 0 a vx = 4m-s_1 jsou pro příslušné časové intervaly vyznačeny v grafu na obr. 2.6b. Při rozjezdu a opětovném zastavení, tj. v časových intervalech od 1 s do 3 s a od 8 s do 9 s se rychlost kabiny mění, například podle obr. 2.6b. (K diskusi o obr. 2.6c přistoupíme až v čl. 2.5.) Můžeme řešit i „obrácenou úlohu", kdy potřebujeme ze znalosti funkce vx (t) (graf na obr. 2.6b) určit x(t) (obr. 2.6a). Její řešení však není jednoznačné. Graf funkce vx{t) dává totiž informaci pouze o změnách polohy, nikoli o poloze samotné. Abychom určili změnu polohy v libovolném časovém intervalu, vypočteme „obsah plochy pod křivkou" grafu vx (t) omezenou počátečním a koncovým bodem časového intervalu.* Mezi třetí a osmou sekundou se kabina pohybuje dejme tomu konstantní rychlostí 4 m-s 1. Změnu její polohy určíme jako „obsah plochy pod křivkou i>x(r)" odpovídající tomuto časovému intervalu: „Obsah plochy pod křivkou" = (4,0)(8,0 - 3,0) = +20. (Tato hodnota je kladná, protože příslušná část křivky vx(t) leží nad časovou osou.) Získaný číselný údaj opatříme správnou jednotkou**, v tomto případě (m-s_l) ■ s = m. Obr. 2.6a potvrzuje, že hodnota souřadnice určující polohu kabiny se v uvažovaném časovém intervalu skutečně zvětšila o 20 m. Z obr. 2.6b však nemůžeme poznat, jaká byla její poloha na začátku a konci tohoto intervalu. K tomu bychom potřebovali další údaj. PŘIKLAD 2,5 Hmotný bod se pohybuje po ose x ajeho poloha je v závislosti na čase určena vztahem 7,8 + 9,2? -2,Ir' (2.5) Jaká je jeho rychlost v okamžiku t = 3,5 s? Je jeho rychlost stálá, nebo se spojitě mění? ŘEŠENI: Zadání pro jednoduchost neobsahuje jednotky. Můžeme si je však k číselným koeficientům doplnit takto: 7,8 m, 9,2 m-s~\ —2,1 m-s~3. Rychlost určíme pomocí rovnice (2.4), kde za x na pravé straně dosadíme závislost (2.5): dx d , VX = —= -(7,8 + 9,2ř-2,lí3). dr dt Dostaneme tak 0 + 9,2 - (3)(2, l)f2 = 9,2 - 6,3í2 (2.6) * Tento postup zdůvodníme v článku 2.7. ** Její rozměr je určen součinem veličin na osách grafu. Pro t = 3,5 je 9,2 - (6,3)(3,5)2 = -68, -68m-s (Odpověď) V okamžiku t = 3,5 s se hmotný bod pohybuje v záporném směru osy .r a má tedy rychlost —68 m-s-1 (o směru pohybu vypovídá záporné znaménko). Na pravé straně vztahu (2.6) vystupuje čas a rychlost vx se tedy s časem mění. J^ONTROLA 3: Následující čtyři vztahy představují možné případy závislosti polohy částice na čase. V každém z nich je poloha x zadávána v metrech, čas t v sekundách a vždy platí f > 0. (1) x — 3t — 2, (2) x = -4t2 - 2, (3) x = 2/ř2, (4) x = -2. (a) Ve kterých z uvedených případů je rychlost vx částice konstantní? (b) Kdy je záporná? (c) Kdy se pohyb částice zpomaluje? RADY A NAMETY Bod 2.5: Derivace a sklon křivky Derivace funkce je určena sklonem křivky (grafu funkce) v daném bodě. Přesněji vyjádřeno je derivace rovna směrnici tečny ke křivce v tomto bodě. Ukázkou může být příklad 2.4: Okamžitá rychlost výtahu v libovolném okamžiku (vypočtená jako derivace funkce x(t) podle (2.4)) je rovna směrnici tečny ke křivce na obr. 2.6a sestrojené v odpovídajícím bodě. Ukážeme si, jak je možné určit derivaci funkce graficky. Na obr. 2.7 je graf funkce x(t) pro pohybující se hmotný bod. Při grafickém určení jeho rychlosti v okamžiku t = 1 s budeme postupovat takto: Nejprve na křivce označíme bod, který tomuto času odpovídá. V tomto bodě narýsujeme tečnu ke křivce grafu. Pracujeme co nejpečlivěji. Dále sestrojíme pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož odvěsny jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Jeho konkrétní volba je libovolná, neboť přepony všech takových trojúhelníků mají stejný sklon. Zvolíme tedy trojúhelník co největší, abychom směrnici změřili co nejpřesněji. Pomocí měřítek na souřadnicových osách určíme Ax a At. Směrnice tečny ke křivce je dána podílem Ax/At. Z obr. 2.7 dostaneme smernice teeny Ax Aí ~ 3,2m 1,5 s (5,5 m-2,3 m) (U 0,3 s) +2,1 m-s Podle rovnice (2.4) je tato směrnice rovna rychlosti částice v okamžiku t = 1 s. Kdybychom změnili měřítko na některé souřadnicové ose, změnil by se sice jak tvar křivky, tak velikost úhlu 6, ale rychlost určená popsaným způsobem 2.5 ZRYCHLENÍ 19 by byla stejná. Známc-li matematické vyjádření funkce x(t) (příklad 2.5), je vhodnější stanovit rychlost částice přímo, výpočtem její derivace. Grafická metoda je pouze přibližná. 0 1 2 čas (s) Obr.2.7 Derivace křivky v libovolném bodě je směrnicí tečny v tomto bodě. Směrnice tečny (a tedy i okamžitá rychlost dx/dr) v čase ř = l.Os je Ax/Al = +2.1 m/s. 2.5 ZRYCHLENI Jestliže se vektor rychlosti částice mění, říkáme, že se částice pohybuje se zrychlením. Průměrné zrychlení v časovém intervalu Ar je definováno podílem Al>.t Vlx — V\x Ar Í2 — ř] (2.7) Okamžité zrychlení (nebo prostě jen zrychlení) je určeno derivací rychlosti: vektorovou veličinou. Při pohybu podél osy x stačí k určení směru zrychlení zadat pouze příslušné znaménko, podobně jako u posunutí a rychlosti. Na obr. 2.6c je graf časové závislosti zrychlení výtahové kabiny z příkladu 2.4. Porovnejme grafy ax (ř) a vx (t): každý bod grafu ax (r) je určen derivací (tj. směrnicí tečny) grafu vx(t) v odpovídajícím bodě. Je-li rychlost vx konstantní (bud'0m-s~1 nebo4ms~1)> je její derivace nulová. Zrychlení kabiny je rovněž nulové. Při rozjezdu kabiny je derivace rychlosti kladná, kladné je tedy i zrychlení ax(t). Při zpomalování má rychlost zápornou derivaci a zrychlení je záporné. Porovnejme nyní sklon dvou přímých úseků grafu vx(t), které odpovídají rozjezdu a brzdění výtahu. Sklon křivky odpovídající brzdění je strmější než sklon při rozjezdu. Brzdění totiž trvalo jen polovinu doby potřebné k rozjezdu. Velikost zrychlení výtahu při brzdění byla větší než při rozjezdu, což jc zřejmé i z obr. 2.6c. Jízda výtahem je doprovázena nepříjemnými pocity, jak výmluvně napovídají schematické kresby postaviček v dolní části obr. 2.6. Při rozjezdu kabiny jsme jakoby tlačeni směrem dolů, při zastavování naopak nadlehčováni. V mezidobí nic zvláštního nepociťujeme. Svými smysly můžeme vnímat zrychlení, nikoli rychlost. Jedeme-li autem rychlostí 9()km/h nebo letíme letadlem rychlostí 9()0km/h, naše tělo si pohyb vůbec neuvědomuje. Pokud by však náhle auto či letadlo začalo měnit svou rychlost, pociťujeme tuto změnu velmi intenzivně až nepříjemně. Silné vzrušení, které zažíváme při jízdě na horské dráze v lunaparku, je částečně způsobeno právě prudkými změnami rychlosti pohybu našeho těla. Ukázka reakce lidského těla na velké zrychlení je na fotografiích obr. 2.8, které byly pořízeny při prudkém urychlení a následném brzdění raketových saní. Velká zrychlení někdy vyjadřujeme v tzv. jednotkách „g", kde ÚV* dr (2.8) Podle vztahu (2.8) jc zrychlení v daném okamžiku rovno směrnici tečny ke křivce vx(l) v bodě určeném tímto okamžikem. Spojením rovnic (2.8) a (2.4) dostaneme dt^ d / áx \ d2x ~ď7 ~~ ďt \ďl) ~ ďř2 ' (2.9) Zrychlení hmotného bodu je tedy v každém okamžiku dáno druhou derivací polohy x(t) podle času. Nejužívančjší jednotkou zrychlení je ms-2. V příkladech a cvičeních se můžeme setkat i s jinými jednotkami, všechny však budou mít tvardélka-čas-2. Zrychlení má velikost i směr, je tedy další \g = 9,80665 m-s"2 = = 9,8 m-s"2 (jednotka g). (2.10) Tato hodnota byla přijata jako normální tíhové zrychlení na 2. generální konferenci pro váhy a míry v r. 1901. Odpovídá severní zeměpisné šířce 45° na úrovni mořské hladiny. (V čl. 2.8 se dovíme, že g je velikost zrychlení tělesa volně padajícího v blízkosti zemského povrchu.) Při jízdě na horské dráze dosahuje velikost zrychlení krátkodobě hodnoty až 3g, tj. 3 • 9,8 m-s-2 = 30m-s"2. 20 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Obr. 2.8 Plukovník J. P. Stapp v raketových saních při urychlování na vysokou rychlost (zrychlení směřuje ke čtenáři) a při brzdění (zrychlení směřuje od čtenáře). PŘIKLAD 2.6 (a) Kitty 0'Neilová vytvořila rekord v závodech dragslerů, když dosáhla největší rychlosti 628,85 km/h v nejkratším čase 3,72 s. Jaké bylo průměrné zrychlení jejího automobilu? ŘEŠENI: Průměrné zrychlení je dáno vztahem (2.7): _ Ai\- a.r = —— (628.85 km/h - 0) (3,72 s -0) 174,68 m-s"1 = 47 m-s 3,72 s 4,8g. (Odpověď) (Předpokládali jsme, že zrychlení má směr kladné osy x.) (b) Jaké bylo průměrné zrychlení saní při jízdě Eliho Bee-dinga ml., který dosáhl rychlosti 116 km/h za 0,04 s? ŘEŠENÍ: Opět použijeme vztahu (2.7): Ar, M (116 km/h -0) (0,04 s 32,22 m-s"1 0,04 s 0) 806 m-s" 80;?. (Odpověď) Nyní se můžeme vrátit k otázce, kterou jsme si položili v úvodu kapitoly, kde jsme se o obou rekordních výkonech poprvé zmínili: .,.lak rozhodneme, která jízda mohla přinést jezdci větší vzrušení? Máme porovnávat výslednou rychlost, dobu jízdy nebo nějakou jinou veličinu?" Odpověď již známe: protože lidské tělo vnímá zrychlení a ne rychlost, měli bychom porovnávat právě zrychlení. V tomto srovnání „vítězí" sáňkař Bccding, i když jeho výsledná rychlost byla mnohem menší než rychlost automobilistky O'Neilové. Zrychlení, kterému byl Beeding vystaven, by bylo smrtelné, kdyby trvalo delší dobu. RADY A NAMETY Bod 2.6: Znaménko zrychlení Vraťme se k příkladu 2.6 a všimněme si znaménka vypočteného zrychlení. Ve většině běžných situací mívá znaménko zrychlení následující význam: těleso má kladné zrychlení, jestliže se jeho rychlost zvyšuje, záporné zrychlení odpovídá klesající rychlosti (těleso brzdí). Tento výklad však nemůžeme přijmout bezmyšlenkovitě v každé situaci. Má-li na- příklad automobil rychlost vx -27 m-s-1 (= -97 km/h) a zcela zastaví za 5 s, je jeho průměrné zrychlení při brzdění «7 = +5,4 m-s-2. Toto zrychlení je kladné, i když se pohyb vozu zpomaloval. Rozhodující je, že zrychlení má opačné znaménko než počáteční rychlost. Správná interpretace znaménka zrychlení je následující: Má-li zrychlení částice stejné znaménko jako okamžitá rychlost, roste velikost její rychlosti a její pohyb se zrychluje. Má-li zrychlení opačné znaménko než okamžitá rychlost, klesá velikost rychlosti částice a její pohyb se zpomaluje. Tato interpretace získá náležitý význam v kap. 4, kde se budeme podrobněji věnovat vektorové povaze rychlosti a zrychlení. J^ONTROLA 4: Pes běží podél osy x. Jaké znaménko má jeho zrychlení, pohybuje-li se pes (a) v kladném směru osy x a velikost jeho rychlosti roste, (b) v kladném směru osy x a velikost jeho rychlosti klesá, (c) v záporném směru osy x s rostoucí velikostí rychlosti a (d) v záporném směru osy x s klesající velikostí rychlosti? 2.6 ROVNOMERNE ZRYCHLENÝ POHYB: SPECIÁLNÍ PŘÍPAD 21 PŘIKLAD 2.7 Poloha částice pohybující se podél osy x (obr. 2.1) závisí na čase takto: x =4-27/ +ř3. Číselné koeficienty jsou vyjádřeny v metrech, metrech za sekundu a v metrech za sekundu na třetí. (a) Určete vx(t) a ax(l). ŘEŠENI: Rychlost vx(t) určíme jako derivaci polohy x(t) podle času: v, = -27+ 3/2. (Odpověď) Zrychlení ax(t) je časovou derivací rychlosti vx(t)' ax = 6/. (Odpověď) (b) Je v některém okamžiku rychlost částice nulová? ŘEŠENÍ: Položíme-li vx(ť) = 0, dostaneme rovnici 0 = -27 + 3/2, jejíž řešení je t = ±3 s. (Odpověď) (c) Popište pohyb částice pro / 2; 0. ŘEŠENI: Provedeme rozbor závislostí x {t), vx(t) aax(t). V čase r = 0 je částice v bodě o souřadnici x = +4 m a pohybuje se doleva rychlostí — 27m-s-1. Její zrychlení je nulové. V časovém intervalu Os < ; < 3 s se částice stále pohybuje doleva, její pohyb se však zpomaluje. Její zrychlení je totiž kladné a směřuje tedy doprava. Toto tvrzení ověříme tak, že do vztahů pro vx(t) a ax(t) zkusmo dosadíme některý okamžik ležící v uvedeném časovém intervalu (proveďte např. pro t = 2 s). Zrychlení částice s časem roste, její pohyb směrem vlevo je čím dál pomalejší. V okamžiku t = 3 s má částice nulovou rychlost (vx = = 0). Právě dosáhla nejvzdálenějšího bodu ležícího vlevo od počátku (x = —50 m). Zrychlení zůstává kladné a jeho velikost neustále roste. Pro / > 3 s narůstá kladné zrychlení. Rychlost, která nyní směřuje doprava, velmi prudce roste. (Všimněme si, že nyní má zrychlení stejné znaménkojako rychlost.) Částice neustále pokračuje v pohybu směrem doprava. 2.6 ROVNOMĚRNÉ ZRYCHLENY POHYB: SPECIÁLNÍ PŘÍPAD Velmi často se setkáváme s pohyby, jejichž rychlost se (alespoň přibližně) mění tak, že zrychlení je konstantní. Nazýváme je rovnoměrně zrychlené. Příkladem může být automobil, který se na křižovatce rozjíždí na zelenou. (Grafy časové závislosti polohy, rychlosti a zrychlení, odpovídající takové situaci, jsou schematicky zakresleny na obr. 2.9.) Stejně tak může být zrychlení automobilu konstantní i při brzdění. (a) Obr. 2.9 (a) Časová závislost polohy x(t) částice pohybující se rovnoměrně zrychleně, (b) Časová závislost její rychlosti vx(t) je v každém bodě určena směrnicí křivky x(t) na obrázku (a), (c) Zrychlení částice ax (r) je stálé a je dáno (konstantní) směrnicí grafu vx(t). směrnice = 0 (c) Podobné případy jsou tak časté, že je vhodné mít pro jejich popis zvláštní rovnice. Se dvěma možnými způsoby jejich odvození se postupně seznámíme v tomto a následujícím článku. 22 kapitola: přímočarý pohyb Při studiu obou článků i při řešení úloh a cvičení je třeba mít neustále na paměti, že tyto rovnice platí jen pro případ konstantního zrychlení (nebo zrychlení, které lze v dobrém přiblížení za konstantní považovat). Při rovnoměrně zrychleném pohybuje okamžité zrychlení shodné se zrychlením průměrným. S malou změnou označení tak můžeme rovnici (2.7) přepsat do tvaru Vx - VQX a f = -. t -0 Symbolem vqx je označena rychlost v okamžiku t — 0 (počáteční rychlost), a vx je rychlost v libovolném pozdějším čase t. Rovnici můžeme ještě upravit takto: Vx = vox+axt. (2.11) Všimněme si, že pro t = 0 vede tento vztah k očekávané rovnosti vx = VQx • Derivováním rovnice (2.11) podle času dostaneme dvy/dt = ax, v souhlasu s definičním vztahem pro zrychlení ax. Těmito jednoduchými kontrolními výpočty jsme ověřili správnost odvozené rovnice. Na obr. 2.9b je graf funkce vx (t) dané rovnicí (2.11). Obdobně lze přepsat rovnici (2.2): _ x - XQ Vx = -~ t - 0 a odtud x = xo + vft. (2.12) Xo je poloha částice v okamžiku t = 0 (počáteční poloha), T7 je průměrná rychlost v časovém intervalu od t = 0 až do obecného okamžiku t. Snadno zjistíme, že grafem funkce vx (t) dané vztahem (2.11) je přímka. Průměrná rychlost v libovolném časovém intervalu (a tedy i v intervalu od / = 0 po obecný okamžik t) je v tomto případě určena aritmetickým průměrem počáteční a koncové rychlosti (vox a vx). Můžeme ji tedy zapsat ve tvaru UT= j(vox +vx). (2.13) Dosadíme-li za vx pravou stranu rovnice (2.11), získáme po malých úpravách vztah Vx~=VQX + \axt. (2.14) Po dosazení z (2.14) do (2.12) nakonec dostaneme x xq — v0xt + \axt2. (2.15) Pro kontrolu můžeme dosadit t = 0 a dostáváme očekávaný výsledek x = xq. Derivací vztahu (2.15) podle času získáme, opět podle očekávání, vztah (2.11). Graf funkce x(t) dané vztahem (2.15) je na obr.2.9a. Uvědomme si, že funkční předpis (2.15) pro x{t) obsahuje veškeré dostupné informace o rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu. Je-li zadáno zrychlení ax (stálé v průběhu celého děje) a hodnoty xq a vqx, určující počáteční stav částice, je možné určit v libovolném okamžiku / (1) její polohu x z rovnice (2.15), (2) její rychlost vx z rovnice (2.11). Vztah (2.15) lze z (2.11) jednoduše získat integrací, a obráceně vztah (2.11) vznikne z (2.15) derivováním. Při řešení některých úloh sloužících k procvičení problematiky rovnoměrně zrychleného pohybu je však výhodnější jiný pohled na vztahy (2.11) a (2.15). Často se objevují zadání, která nesměřují k jejich využití jako předpisů pro funkce, ale týkají se jednotlivého okamžiku. V takových případech pak bývá vhodné hledět na tyto vztahy jako na soustavu dvou rovnic, obsahujících šest veličin t, x, xo, vx, vqx a ax. Čtyři z nich musí být zadány, abychom dvě zbývající mohli určit řešením soustavy. Tab. 2,1 shrnuje kromě rovnic (2.11) a (2.15) další tři rovnice, které lze získat jejich úpravou. Společným rysem všech pěti rovnic je nepřítomnost některé z veličin t, x — xq, vx, vqx a ax. Soupis může být snad užitečný těm, kteří neradi provádějí algebraické úpravy a dají přednost přímému dosazení zadaných číselných hodnot do rovnice, kterou vhodně vyberou podle typu zadání. Tabulka 2.1 Rovnice pro rovnoměrně zrychlený pohyb Číslo Chybějící rovnice rovnick veličina (2.11) Vx = vox +axt X - XQ (2.15) x - xo = voxt + \axt2 Vx (2.16) vl = v0x + 2a* (x ~ -c») t (2.17) X - XQ = j(l'0x + l'x)t ax (2.18) x - xo = vxt - \axt2 VQx Před použitím tabulky se ujistíme, že se úloha opravdu týká rovnoměrně zrychleného pohybu. Vzpomeňme si, že funkce (2.11) je derivací funkce (2.15). Zbývající tři rovnice vznikly algebraickou úpravou spočívající ve vyloučení některé z vyjmenovaných veličin z rovnic (2.11) a (2.15). J^ONTROLA 5: Následující čtyři funkce popisují časovou závislost polohy hmotného bodu x(t): (1) x = = 3/-4;(2).í = -5/3+4ř2+6;(3)x = 2/r2-4/f; (4) x — 5t2 — 3. Ve kterém z těchto případů můžeme použít rovnice z tab. 2.1 7 2.7 rovnoměrně zrychlený pohyb: jiný přístup 23 PŘÍKLAD 2.8 Řidič spatří policejní vůz a začne brzdil. Na dráze 88 m zpomalí z rychlosti 75 km/h na 45 km/h. (a) Určete zrychlení automobilu za předpokladu, že bylo během brzdění konstantní. ŘEŠENÍ: Veličiny vox, vx a x — xo jsou zadány, potřebujeme určit ax. Čas se v zadání úlohy neobjevuje. Z tab. 2.1 proto vybereme rovnici (2.16) a vypočteme z ní neznámé zrychlení ax. VJ ~ lo.v _ C45 km/h)2 - (75 km/h)2 _ Ux ~ 2(x - x{)) ~ 2(0,088 km) = - 2,05-104km/h2 = -1,6 m-s"2. (Odpověd) (V posledním kroku výpočtu je třeba věnoval pozornost převodu jednotky li-2 na s-2.) Všimněme si, že rychlosti jsou kladné a zrychlení záporné. Pohyb automobilu se opravdu zpomaluje. (b) Jak dlouho řidič v této fázi pohybu brzdil? ŘEŠENÍ: Nyní je neznámou veličinou čas a zrychlení se naopak v zadání nevyskytuje. Z tab. 2.1 volíme rovnici (2.17) a řešíme ji vzhledem k neznámé í: _ 2(x - xo) _ 2(0.088 km) ~~ vo* + vx ~ (75 + 45) km/h ~ = 1,510^3 h = 5,4s. (Odpověd) (c) Řidič dále brzdí se zrychlením určeným v části (a). Za jak dlouho od začátku brzdění se automobil zcela zastaví? ŘEŠENÍ: Při řešení této části úlohy nepotřebujeme uvažovat o posunutí x — x{). Použijeme tedy rovnici (2.11) a vyjádříme V. _ v.x ~ vox _ 0 - (75 km/h) ' ~ a~x ~ (-2,05-104 km/h2) ~ = 3,7-10-3 h = 13 s. (Odpověď) (d) Jakou dráhu urazí vůz od počátku brzdění do úplného zastavení? ŘEŠENÍ: Hledaná dráha je přímo rovna posunutí. Užijeme rovnici (2.15): x - xq = voxt + \axt2 = = (75km/h)(3,710~3h) + +\(-2,05-104 km-h-2)(3,7- Hr3 h)2 = = 0,137 km = 140 m. (Odpověď) (Je třeba dbát na to, abychom zrychlení ax dosazovali se správným znaménkem!) (e) Při další jízdě řidič opěl potřebuje zastavit. Zpomaluje se stejným zrychlením jako v části (a), počáteční rychlost je však nyní laková, že automobil zcela zastaví na dráze 200 m. Jak dlouho trvá brzdění? ŘEŠENÍ: V úloze nevystupuje počáteční rychlost. Použijeme proto rovnici (2.18). Dosadíme vx = 0 (v okamžiku t automobil zastavil) a rovnici řešíme vzhledem k neznámé f: t _ / 2(.v v.,r\12 _ / 2(200m) \l/2 = r~V *x ) ~\ -l.óm-s-2^ = 16 s. (Odpověd) RADY A NÁMĚTY Bod 2.7: Rozměrová zkouška Jednotkou rychlosti je m-s jednotkou zrychlení m-s-2 apod. Sčítat či odčítal můžeme jen ty členy, které mají stejnou jednotku (stejný fyzikální rozměr). Pokud se chceme ujistit, že jsme při odvozování rovnice neudělali chybu, provedeme tzv. rozměrovou zkoušku, tj. zkontrolujeme fyzikální rozměry všech členů v rovnici. Například na pravé straně rovnice (2.15) (x — xq = = voxt + laxt2) musí mít každý člen rozměr délky, ve shodě s rozměrem posunutí na levé straně. Clen voxt má jednotku (m-s -)(s) = m a člen ^axt2 jednotku (m-s-2) (s2) = m. Oba členy tedy mají správný rozměr a rovnice je podle rozměrové zkoušky v pořádku. Číselné konstanty, jako například i nebo -, jsou bezrozměrové (mají rozměr 1). 2.7 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB: JINÝ PŘÍSTUP Článek je určen čtenářům obeznámeným sc základy integrálního počtu. V předchozím článku jsme odvodili vztahy (2.11) a (2.15) na základě skutečnosti, že při rovnoměrně zrychleném pohybu splývá průměrné zrychlení částice v libovolném časovém intervalu s jejím okamžitým zrychlením v libovolném okamžiku. Přesvědčili jsme se, že vztah (2.15) obsahuje úplnou informaci o průběhu rovnoměrně zrychleného pohybu, jsou-li zadány hodnoty .vn, vqx a ax. Vztah (2.11) je jeho derivací. Závislosti (2.11) a (2.15) lze odvodit i jiným způsobem, jehož předností je možnost zobecnění i na případy pohybu s libovolným zrychlením, závislým na čase. Postup spočívá v integraci zrychlení ax, které je při rovnoměrně zrychleném pohybu konstantní. Podle definičního vztahu (2.8) platí dvx dí tj- ávx = axát. 24 kapitola 2 přímočarý pohyb Integrací obou stran rovnice dostáváme j ávx — j ax dt. Zrychlení je konstantní, takže je můžeme vytknout před integrál a píšeme fdvx=axf dl. tj. vx = axr + C. (2.19) Integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky pro rychlost částice: v okamžiku t = 0 je rychlost vx = vqx, Dosadíme tyto hodnoty do vztahu (2.19), který platí pro libovolný okamžik, a tedy i pro / = 0. Dostaneme vqx = ax• 0 + C = C. Zjištěnou hodnotu konstanty C dosadíme do (2.19) a získáváme časovou závislost rychlosti (2.11). Stejným postupem odvodíme závislost (2.15). Z definice rychlosti (2.4) přímo plyne dx = vx dt. Integrací levé i pravé strany dostaneme J dx = j vx dt. Z předchozích výsledků víme, že rychlost vx závisí na čase podle (2.1 I). Nemůžeme ji tedy vytknout před integrál a přesně zopakovat postup použitý při integraci zrychlení. Místo i>, však dosadíme do integrálu funkci (2.11): J dx = j(v0x +axt) dt. Počáteční rychlost vqx je konstantní, takže integrál na pravé straně můžeme rozepsat do tvaru j dx = vqx J dt + ax j t dt. Integrace obou stran rovnice vede k výsledku x — voxt + \axr + C', (2.20) kde C je další integrační konstanta. Určíme ji opět z počáteční podmínky, tentokrát pro polohu částice: v čase t = 0 je x = xq- Dosazením do (2.20) zjistíme, že hodnota konstanty C je C = x0. Vztah (2.20) tak přejde na tvar (2.15). 2.8 SVISLY VRH Představme si následující pokus: V blízkosti povrchu Země vrháme nějaké těleso svisle vzhůru nebo dolů (svislý směr udává např. volně visící olovnice) a nějak při tom zajistíme, aby se neuplatnil vliv odporu prostředí. Zjistíme, že se těleso s velkou přesností pohybuje se stálým zrychlením, směřujícím svisle dolů. Nazýváme je tíhové zrychlení a značíme písmenem g. Z experimentu víme, že tíhové zrychlení nezávisí na vlastnostech tělesa (hmotnosti, hustotě, tvaru, ...) a je pro všechna tělesa stejné. Zvláštním případem svislého vrhu je volný pád, při kterém těleso prostě upustíme. Vypouštíme ho tedy s nulovou počáteční rychlostí. Na obr. 2.10 vidíme fotografický záznam souběžného volného pádu dvou různých těles, pírka a jablka, ve vakuu. (Fotografie byly pořízeny v různých okamžicích s využitím stroboskopického efektu.) Při pádu obou těles se jejich rychlost zvyšuje se stejným zrychlením g. Obr. 2.10 Pírko a jablko se při volném pádu ve vakuu pohybují se stejným zrychlením g. Nasvědčuje tomu rostoucí vzdálenost po sobě následujících fotografických obrazů objektů, které byly zaznamenány v rovnoměrně rozložených okamžicích. Tíhové zrychlení se mírně mění se zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou. Při hladině moře ve středních zeměpisných šířkách má hodnotu zhruba 9,8ms~2, viz vztah (2.10) a text za ním. Budeme jej používat v příkladech a cvičeních. 2.8 svislý vrh 25 Rovnice popisující rovnoměrně zrychlený pohyb uvedené v tab.2.1 platí i pro svislý vrh v blízkosti* zemského povrchu. Můžeme je tedy při řešení úloh o svislém vrhu těles používat, pokud je odpor vzduchu zanedbatelný. Tab. 2.1 přizpůsobíme nové situaci provedením dvou drobných změn: (1) Se svislým směrem, v němž se nyní odehrává pohyb tělesa, spojíme souřadnicovou osu y tak, aby směřovala vzhůru. (Osa x bývá častěji vyhrazena pro popis pohybu vc vodorovném směru.) Pro rychlost budeme používat označení vy a pro zrychlení ay. Tato změna usnadní i pozdější popis složitějších pohybů v rovině nebo v prostoru. (2) Tíhové zrychlení je při zvolené orientaci osy y záporné, a tak můžeme ve všech rovnicích zaměnit ay za -g. Po provedení popsaných úprav získáme obměnu tabulky 2.1 pro svislý vrh. Mějme na paměti: Při zvolené orientaci osy y je tíhové zrychlení svislého vrhu a.y — — g = —9,8 m-s-2. Jeho velikost je však g = 9,8 m-s-2. Do rovnic (2.21) až (2.25) dosazujeme kladnou hodnotu g. Dejme tomu, že vyhodíme jablko svisle vzhůru počáteční rychlostí t,'ov a před dopadem je opět chytíme. Volný let jablka (od vyhození po zachycení) se řídí rovnicemi v tab. 2.2. Zrychlení je konstantní a směřuje dolů, tj. ay = —g = —9,8 m-s-2. Rychlost se během letu mění podle vztahů (2.21) a (2.23). Při stoupání jablka velikost (kladné) rychlosti klesá až k nule. V okamžiku zastavení je jablko ve své nejvyšší poloze. Při pádu velikost (záporné) rychlosti roste. Tabulka 2.2 Rovnice pro svislý vrh číslo Chybějící rovnice Rovnice veličina (2.21) Vy = VOy - gt y - yo (2.22) y - yo = VOyt - \gt2 Vy (2.23) v; = voy - 2s(.y - >'0) t (2.24) y - yo = 7(l% + Vy)t g (2.25) y- vo = Vyt + \gť~ PRÍKLAD 2.9 Opravář upustil klíč do výtahové šachty vysokého domu. (a) Jaká bude poloha klíče za 1,5 s? ŘEŠENÍ: Ze zadání je známa doba t, velikost zrychlení g a počáteční rychlost t;n,,, o které můžeme předpokládat, že byla nulová. Chceme určit posunutí, chybějící veličinou je tedy rychlost vy, která není zadána a její zjištění se v zadání nepožaduje. Této situaci odpovídá rovnice (2.22) z tab. 2.2. Počátek souřadnicové osy y zvolme v místě, kde opravář klíč upustil. Do rovnice (2.22) přímo dosadíme yo = 0, voy — 0 a t = 1,5 s. Dostaneme y =0(1,5 s) - i(9.8m-s-2)(l,5s)2 = = —11 m. (Odpověd) Záporné znaménko výsledku odpovídá očekávané skutečnosti, že se klíč po 1,5 s pádu nachází pod úrovní místa, kde opraváři vypadl. (b) Jaká je rychlost klíče v okamžiku 1,5 s? ŘEŠENÍ: Rychlost je dána rovnicí (2.21) vy = v0y -gt = Q- (9,8m-s-2)(l,5s) = = -15 m-s"1. (Odpověd) Záporné znaménko ukazuje, že rychlost klíče směřuje dolů. Tento výsledek opět není překvapivý. V obr. 2.11 jsou shrnuty základní údaje o letu klíče až do okamžiku t = 4 s. ay * Pro ty nejpečlivější čtenáře: do výšek h zanedbatelně malých proti zemskému poloměru, tedy h o = 0 a vyjádříme z ní v: (12ttHS-1)2 (0)2 2g 7,3 m. 2(9,8 m-s 2) (Odpověd) V této části úlohy jsme také mohli s výhodou použít výsledku (a) a maximální výšku určit z rovnice (2.25). Ověřte si to! (c) Za jak dlouho po vyhození dosáhne míč výšky 5m? ŘEŠENÍ: Použijeme rovnici (2.22), která obsahuje pouze zadané veličiny a neznámý čas. Dosazením yo = 0 dostaneme VQyt - jgt a tedy 5,0m = (12m-s-I)í - ±(9,8m-s"2)ř2 Rovnici přepíšeme do tvaru (pro jednoduchost již nebudeme vypisovat jednotky): 4,9ř2 - 12í + 5,0 = 0. 2.9 ČASTICOVÁ FYZIKA 27 Řešením kvadratické rovnice dostaneme* r =0,53 s a t = 1,9 s. (Odpovčd) Existují dvě možná řešení! To nás však nesmí překvapit: Míč skutečně prochází polohou v = 5,0 dvakrát. Jednou při výstupu a podruhé při pádu. Provedeme ještě jednoduchou kontrolu získaných výsledků. Okamžik, kdy míč dosáhl maximální výšky, by měl na časové ose ležet právě uprostřed mezi oběma okamžiky, v nichž byla poloha míče určena souřadnicí 5 m. Je tomu skutečně tak. Aritmetický průměr těchto časových údajů t = i (0,53 s + 1.9 s) = l,2s se shoduje s výsledkem příkladu (a). J^ONTROLA 6: Jaké je znaménko posunutí míče v příkladu 2.11 (a) při vzestupu míče a (b) při jeho pádu? (c) Jaké je zrychlení v nejvyšším bodě letu? nému směru osy y. Význam záporného znaménka zrychlení je v tomto případě následující: pohybuje-li se těleso vzhůru (jeho rychlost je kladná) je vlivem záporného zrychlení brzděno (velikost jeho rychlosti klesá). Naopak, těleso pohybující se dolů (rychlost je záporná) je vlivem záporného zrychlení urychlováno, velikost jeho rychlosti roste. Tato interpretace nezávisí na poloze a rychlosti tělesa. Řešení obecné kvadratické rovnice je uvedeno v dod. Ľ. Bod 2.9: Neočekávané výsledky Stává se, že při výpočtu dostaneme i výsledky, které sc na první pohled zdají nesmyslné, jako třeba v př. 2.11c. Zís-káme-1 i více výsledků, než jsme očekávali, nezavrhujme hned ty, které jsou zdánlivě nesprávné. Zvažujme je pečlivě a pokusme se nalézt jejich fyzikální význam. Často nějaký mají. I záporný časový údaj má svůj dobrý smysl. Odpovídá události, která nastala dříve než v okamžiku t = 0, kdy jsme se (zcela libovolnč) rozhodli spustit stopky. 2.9 ČASTICOVÁ FYZIKA Na různých místech v knize občas odbočíme od popisu velkých objektů našeho světa, se kterými máme každodenní a bezprostřední zkušenosti, a všimneme si objektů mnohem menších. Doposud jsme pracovali s objektem zvaným hmotný bod, který má i přes své zanedbatelné rozměry konečnou hmotnost. Nahrazovali jsme jím reálná tělesa jako například dítě, míč, automobil. Zůstává však otázka, jak malé ve skutečnosti mohou reálné objekty být. Jaké jsou „nejposlednější" částečky přírody? Tímto problémem se zabývá fyzika elementárních částic, moderní oblast fyziky, která poutá pozornost celé řady špičkových fyziků. Poznání, že hmota není spojitá, ale je tvořena velmi malými objekty — atomy, bylo klíčové pro pochopení mnoha zákonitostí nejen ve fyzice, ale i v chemii. Pomocí moderních mikroskopů je možné jednotlivé atomy dokonce i zobrazit. Jedna z ukázek takového zobrazení je na obr. 2.13. Hmota tedy není spojitá, ale „zrnitá". Také veličiny, které její chování popisují, nabývají diskrétních — kvantovaných hodnot (lat. quantus=]ak mnoho). Mění se jen po určitých dávkách, zvaných kvanta. Kvantování jc základní vlastností přírody. V dalším textu knihy poznáme mnohé fyzikální veličiny, které jsou kvantovány, pokud je zkoumáme v dostatečně jemném měřítku. Tato „všudypří-tomnost" kvantování dala jméno i fyzikální disciplíně zabývající se zákony mikrosveta, kvantové fyzice. Mezi světem velkých těles (makrosvětem) a světem kvantovým (mikrosvětem) není ostrá hranice. Zákony mikrosveta jsou platné všeobecně. Jakmile však přejdeme od atomu k míčům a automobilům, stává se kvantování méně nápadným a nakonec je zcela neměřitelné. Diskrétnost (v matematice a fyzice protiklad spojitosti, nespojitost) se ztrácí a obecné zákony kvantové fyziky směřují ke speciálním limitním tvarům, tzv. zákonům klasické fyziky, které dobře popisují pohyb velkých těles. RADY A NÁMĚTY Bod 2.8: Význam záporného znaménka Vzpomeňme si, že některé z hodnot polohy, rychlosti či zrychlení získané při řešení př. 2.9, 2.10 a 2.11 měly záporné znaménko. Jc důležité, abychom význam záporného znaménka u těchto veličin uměli správně interpretovat. Při řešení úloh o svislém vrhu jsme svislou souřadnicovou osu y volili vždy tak, aby její kladný směr byl orientován vzhůru. Volba opačné orientace osy by byla stejně dobře možná. Počátek osy y jsme vybírali tak, aby to bylo při řešení konkrétní úlohy výhodné: v př. 2.9 byl počátek umístěn v poloze ruky opraváře, v př. 2.10 v letadélku a v př. 2.11 v ruce nadhazovače. Záporná hodnota souřadnice určující polohu tělesa znamená, že sc těleso nachází pod úrovní počátku osy y. Záporná rychlost znamená, že se těleso pohybuje tak, že hodnota jeho y-ové souřadnice klesá, v našich příkladech tedy dolů. Tato interpretace záporného znaménka rychlosti je správná nezávisle na okamžité poloze tělesa. Ve všech řešených příkladech bylo zrychlení svislého vrhu záporné (= -9,8m-s~2), bylo tedy orientováno proti klad- 28 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Obr. 2.13 Šesterečné uspořádání alomů uranu je „zviditelněno" pomocí zobrazení v rastrovacím prozařovacím elektronovém mikroskopu. Barvy jsou jednotlivým částem objektu uměle přiřazeny počítačovým zpracováním obrazu (tzv. „nepravé barvy"). Stavba atomu Atom je složen z velmi malého, nepředstavitelně hutného jádra. V jádru, které je obklopeno jedním nebo více lehkými elektrony, je soustředěna prakticky celá hmota atomu. Obvykle předpokládáme, že jádro i celý atom mají kulový tvar. Poloměr atomu je řádově 10-10 m, jádro je asi lOOOOOkrát menší, přibližně 10_15m. Soudržnost atomu je zajištěna vzájemným elektrickým přitahováním záporných elektronů v atomovém obalu s jádrem, obsahujícím kladné protony. Zákony popisující tuto přitažlivou interakci budeme studovat později. V této chvíli si pouze uvědomme, že bez ní by nemohly existovat atomy, a tedy ani my sami. Stavba jádra Nejmenší jádro, jádro běžného atomu vodíku, je tvořeno jediným protonem. Existují i dvě složitější varianty, zvané izotopy neboli nuklidy vodíku, jejichž jádro navíc obsahuje jeden nebo dva elektricky neutrální neutrony. Tyto izotopy nazýváme deuterium a tritium. Vodík, ve všech variantách, je příkladem jednoho prvku. Různé prvky se navzájem liší počtem protonů v jádře. Atom s jedním protonem v jádře je vodík, atom sc šesti protony v jádře je uhlík. Různé izotopy téhož prvku se liší počtem neutronů v jádře. Protony a neutrony nazýváme společně nukleony. Roli neutronů v jádře lze velmi zhruba charakterizovat tak, že zabezpečují jeho „soudržnost". Protony totiž mají kladný náboj, a elektrickými silami se proto velmi silně odpuzují. Mezi nukleony však při velmi malých vzdálenostech působí i přitažlivá síla, zvaná silná interakce. Jediný atom, který nepotřebuje neutrony k zajištění stability svého jádra, je běžný atom vodíku. Jeho jádro je totiž tvořeno jediným protonem. Všechna ostatní jádra by se bez neutronů rozpadla. Mnoho izotopů běžných prvků je nestabilních. Naštěstí ty, na kterých bytostně závisí naše existence, mají též izotopy stabilní. Například 19/21 izotopů mědi je nestabilních, samovolně se rozpadají a mění v jiné prvky. Mě<í, kterou známe jako celkem běžný kov a používáme ji v elektronice i jiných technologiích, je složena ze zbývajících dvou stabilních izotopů. Struktura subatomárních částic Elektron si sice někdy počíná velmi neobvykle, ale přesto je to jednoduchá částice. Při detekci se chová tak, jako by neměl žádné rozměry ani vnitřní strukturu. Elektron (značka e, někdy pro upřesnění e~) patří do skupiny částic zvaných leptony. Jejich celkem šest. Vedle elektronu existují ještě dvěstěkrát těžší mion (značka fi, dříve nazývaný mezon /x) a více než třítisíckrál těžší tauon (značka r). Každý z nich má své neutrino ve, vM, vT s hmotností téměř nulovou (možná i přesně nulovou). Ke každému leptonu existuje antičástice. Antičástici k elektronu nazýváme pozitron (značka e~). f 4* ji (ty \d > í «fl| neutron jádro u -> ' II proton Obr. 2.14 Představa atomového jádra a protonů a neutronů, z nichž je složeno. Protony a neutrony jsou tvořeny kvarky „up" («) a „down" (d). Podle současných znalostí se protony a neutrony liší od elektronů a dalších leptonů tím, že se skládají ze tří jednodušších částic zvaných kvarky.* Proton se skládá ze dvou u-kvarků (angl. up = nahoru) a jednoho d-kvarku (angl. down = dolů). Neutron je tvořen jedním w-kvarkem * Slovo „kvark" pochází ze slovních hříček užitých v básni Finnegans Wake od Jamese Joycc. PŘEHLED & SHRNUTÍ 29 a dvěma d-k várky (obr. 2.14). I jiné částice, které jsme dříve považovali za elementární, se skládají z kvarků. Je podivuhodné, že kvarků je známo šest druhů*, tedy stejný počet jako leptonů. Fyziky zajímá, zda má tato shoda hlubší smysl, nebo zdaje zcela náhodná. Odpověďprozatím neznáme. PŘEHLED ^SHRNUTI Poloha Polohu hmotného bodu určujeme souřadnicí .v vzhledem k počátku souřadnicové osy. Souřadnice může být jak kladná, tak i záporná, podle toho, na které straně od počátku osy se bod nachází. Je-li hmotný bod přímo v počátku, je jeho souřadnice nulová. Kladným směrem osy rozumíme směr, ve kterém souřadnice roste, opačný smčr jc záporný. Posunutí Posunutí Ax hmotného bodu jc definováno jako změna jeho polohy: Ax = x2 — x\. (2.1) Posunutí je vektorová veličina. Při jednorozměrném pohybu je kladné, pokud se hmotný bod posunul v kladném směru osy x, v opačném případě jc záporné. Průměrná rychlost Při přesunutí hmotného bodu z polohy x\ do polohy jc: za dobu Ar = Í2 — t\ je jeho průměrná rychlost Ax x2 — x\ At t2 - t\ (2.2) Znaménko průměrné rychlosti určuje směr pohybu (F^~ je vektorová veličina). Průměrná rychlost nezávisí na trajektorii, kterou hmotný bod při svém pohybu skutečně prošel, ale pouze na výchozí a koncové poloze. V grafu závislosti polohy na čase x {1) je průměrná rychlost v časovém intervalu At rovna směrnici přímky spojující krajní body části křivky vymezené tímto časovým intervalem. Průměrná velikost rychlosti Průměrná velikost rychlosti hmotného bodu závisí na skutečně uražené dráze v daném časovém intervalu: skutečně uražená dráha celá doba pohybu (2.3) Průměrná velikost rychlosti není totéž jako velikost průměrné rychlosti. Okamžitá rychlost Budeme-li zmenšovat Ar v rovnici (2.2) bez omezení k nule, bude se průměrná rychlost T>7 limitně blížit k jisté hodnotě vx, * Další typy jsou c (angl. charm = půvabný), s (angl. strange = podivný), t (angl. top = vršek) a b (angl. bottom = spodek). kterou nazýváme okamžitá rychlost (zjednodušeně jen rychlost) hmotného bodu v daném okamžiku. Je tedy Ax dx Vx = lim — = —. Aí^o At dt (2.4) Okamžitá rychlost je rovna směrnici tečny vedené ke grafu funkce x(f) v bodč, který odpovídá danému okamžiku ř. Průměrné zrychlení Průměrné zrychlení jc definováno jako poměr změny rychlosti Aí.',- a délky časového intervalu Ar, během něhož k uvedené změně došlo: AVX V2x - uu a v = Ar ř2 - t\ Znaménko zrychlení á~K určuje jeho směr. (2.7) Okamžité zrychlení Okamžité zrychlení (zjednodušeně jen zrychlení) získáme ze zrychlení průměrného analogickým limitním přechodem, jako v případě definice okamžité rychlosti: di\ dt Zrychlení je také druhou derivací polohy x(t) podle času: dvx d i/dx\ d2x dt dt V dr dr2 (2.8) (2.9) V grafu závislosti vx (r) je zrychlení ax v okamžiku r dáno směrnicí tečny ke grafu sestrojené v bodě, který tomuto okamžiku odpovídá. Rovnoměrně zrychlený pohyb Na obr.2.9 jsou zakresleny závislosti x(t), i\(ř) a ax{i) pro velmi důležitý případ (přímočarého) pohybu, totiž pohybu s konstantním zrychlením ax. Tento pohyb nazýváme rovnoměrně zrychlený. Je popsán pěti rovnicemi shrnutými v tab. 2.1: Vy = VQx + axt. (2.11) xo = voxt + {aj2, (2.15) 2 Vx = Vqx +2aA(x - xo), (2.16) xo = {-(vo* + vx)t, (2.17) *0 = vxt - \axt2. (2.18) Není-li zrychlení konstantní, pak tyto rovnice neplatí. 30 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Tíhové zrychlení Důležitými a častými případy rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu jsou volný pád a svislý vrh tělesa v blízkosti zemského povrchu. Rovnice popisující obecný rovnoměrně zrychlený pohyb platí i pro tyto případy, je však výhodné je mírně upravit: (1) Polohu tělesa určujeme na svislé souřadnicové ose y orientované kladným směrem vzhůru. (2) Zrychlení ay nahradíme hodnotou —g, kde g je velikost tíhového zrychlení. V blízkosti povrchu Země je g = 9,8 m-s~2. Svislý vrh je popsán rovnicemi (2.21) až (2.25). Stavba atomů Všechny látícy se skládají z atomů, které jsou tvořeny velmi hutným jádrem obklopeným lehkými elektrony. Jádro je složeno z neutronů a protonů. Různé prvky se navzájem liší počtem protonů v jádře. Atomy se stejným počtem protonů, ale odlišným počtem neutronů, se nazývají izotopy daného prvku. Kvarky a leptony Elektrony se chovají jako částice bez vnitřní struktury. Protony a neutrony jsou složeny z ještě elementárnějších částic, které nazýváme kvarky. V současnosti je známo šest druhů kvarků a ke každému z nich existuje antičástice. Elektrony patří do skupiny leptonů, zahrnující rovněž šest druhů. Ke každému leptonu existuje antičástice. OTÁZKY 1. (a) Může mít těleso současně nulovou rychlost a nenulové zrychlení? (b) Může se těleso pohybovat proměnnou rychlostí, jejíž velikost je konstantní? (c) Je možné, aby se směr pohybu tělesa změnil v opačný, má-li těleso konstantní zrychlení? (d) Může se velikost rychlosti tělesa zvyšovat za současného poklesu velikosti jeho zrychlení? 2. Na obr. 2.15 je zakreslen graf časové závislosti polohy tělesa x(ť). (a) Jaké je znaménko x-ové souřadnice tělesa v okamžiku t = 0? Rozhodněte, zda je v okamžicích (b) t = 1 s, (c) t = 2 s a (d) t = 3 s rychlost tělesa kladná, záporná, nebo nulová, (e) Kolikrát (během zobrazeného časového intervalu) prošlo těleso počátkem soustavy souřadnic x = 0? x 0 f 1 \ 4 Obr. 2.15 Otázka 2 3. Hmotný bod se pohybuje podél osy x s konstantním zrychlením. V okamžiku íq = 0 je jeho poloha určena souřadnicí xq = —20 m. Sledujme znaménko jeho počáteční rychlosti un (v čase in) a znaménko jeho zrychlení. Mohou nastat čtyři případy: (1) +, +, (2) +, -, (3) -, +, (4) -, -. (a) Ve kterém z nich se rychlost hmotného bodu v jistém okamžiku t > 0 anuluje? (b) Ve kterém z případů bod s jistotou projde počátkem soustavy souřadnic? (c) Ve kterém z nich počátkem nikdy neprojde? Ve všech částech úlohy uvažujte pouze o kladných hodnotách časové proměnné t. 4. Na obr. 2.16 je zakreslena časová závislost rychlosti částice pohybující se podél osy x. (a) Jaký je počáteční směr jejího pohybu? (b) Kterým směrem se bude částice pohybovat po velmi dlouhé době? (c) Je v některém okamžiku její rychlost nulová? (d) Určete znaménko jejího zrychlení, (e) Je její zrychlení konstantní nebo proměnné? '•'.v Obr. 2.16 Otázka 4 5. V následujících čtyřech situacích je zadána počáteční a výsledná rychlost hmotného bodu: (a) 2 m-s~', 3 m-s~'; (b) —2 m-■s"',3ni+'; (c) -2m-s"', -3m-s_l; (d) 2m-s"1, -3m-s"'. Velikost zrychlení je ve všech případech stejná. Uspořádejte situace sestupně podle velikosti posunutí hmotného bodu, ke kterému došlo během sledované změny jeho rychlosti. 6. Následující vztahy popisují čtyři případy časové závislosti rychlosti tělesa: (a) t>, = 3;(b)t;x = 4f2+2ř-6; (c) vx = 3ř-4; (d) vx = 5ř_ — 3. Ve kterých z nich lze pro popis pohybu tělesa použít vztahů z tab. 2.1? 7. Z horkovzdušného balonu stoupajícího se zrychlením 4 m-s~2 vypadlo jablko, (a) Určete zrychlení jablka vůči Zemi. (b) Jakáje rychlost jablka (velikost a směr) bezprostředně po jeho upuštění, je-li v tom okamžiku rychlost balonu rovna 2m-s~' ? 8. (a) Nakreslete závislosti y(t), vy(t) a ay(t) popisující pohyb jablka, které vyhodíme svisle vzhůru z hrany útesu. Při pádu jablko útes tčsnč míjí a padá podél něj dolů. (b) Do grafů získaných v části (a) zakreslete tytéž veličiny, tj. y(ť), vy(ť) a ay(t), pro případ, že jsme jablko z hrany útesu pouze volně vypustili. 9. Míč, který jsme vyhodili z hrany skalního útesu svisle vzhůru rychlostí o velikosti i>n, dopadl na zem pod úrovní útesu. Rozhodněte, zda by rychlost pří dopadu míče byla větší, menší či CVIČENÍ & ÚLOHY 31 stejná jako v prvém případě, kdybychom jej hodili svisle dolů stejně velkou rychlostí vq1 (Tip: Použijte rovnici (2.23).) 10. Řidička jede v autě rychlostí 100km/h. Náhle si uvědomí, že už už dohání autobus, který jede stejným směrem rychlostí 60km/h. Musí začít brzdit. Jaká může být nejvyšší rychlost jejího auta v okamžiku, kdy autobus dostihne, nemá-li dojít ke srážce? (Příprava na úlohu 57.) 11. Motocyklista stojící v místě o souřadnici x = 0 se začne rozjíždět v okamžiku t = 0. Jeho zrychlení má konstantní velikost 2,0 m-s~2 a míří podél kladné osy .v. O dvě sekundy později projíždí bodem x = 0 automobil, který jede stejným směrem. Jeho rychlost má v tomto okamžiku velikost 8 m-s~1. Auto zvyšuje svou rychlost s konstantním zrychlením 3,0 m-s-". Zapište dvojici rovnic, jejichž řešením lze určit polohu místa, v němž řidič auta předjede motocyklistu. (Příprava na úlohu 56.) 12. Na obr. 2.17 je znázorněna časová závislost zrychlení částice ax(ť). Částice je postupně urychlována ve třech fázích svého pohybu. Seřaďte jednotlivé fáze sestupně podle přírůstku rychlosti. 13. Dítě upustilo z balkonu dva stejné míče v časovém odstupu 1 s. Rozhodněte, zda se během pádu míčů bude vzdálenost mezi nimi zvětšovat, zmenšovat, nebo zůstane stejná. (3) (1) \ \ (2) 1 i ............. 3 4 5 6 čas (s) Obr. 2.17 Otázka 1(1 CVIČENI 5TÚLOHY Úkolem, některých cvičení je nakreslit graf časové závislosti polohy, rychlosti nebo zrychlení. Postačí jen schematický náčrtek, vždy je však třeba pečlivě popsat osy a zřetelně odlišit přímé a zakřivené části grafu. Při kreslení grafu je možné použít počítač nebo programovatelnou kalkulačku. ODST. 2.3 Průměrná rychlost 1C. Carl Lcwis uběhne sprinterskou trať 100 m přibližně za 10 s. Bili Rodgers dokáže absolvovat maratón (42 km 194 m) asi za 2 h 10 min. (a) Jaké jsou průměrné velikosti rychlostí obou běžců? (b) Za jak dlouho by Lewis uběhl maratón, kdyby vydržel po celou dobu sprintovat? 2C. Při silném kýchnutí zavře člověk oči asi na 0,50 s. Jakou vzdálenost urazí za tuto dobu automobil, jede-li rychlostí 90km/h° 3C. Průměrné mrknutí trvá asi 100 ms. Jakou dráhu urazí stíhačka Mig 25 při mrknutí pilota, letí-li rychlostí 3 380km/h? 4C. Nadhazovač v baseballu dokáže vyhodit míček vodorovnou rychlostí 160km/h. Za jak dlouho míček doletí k pálkaři vzdálenému 18,4 m? 5C. Hornina uvolněná z oceánského hřbetu se pomalu vzdaluje od jeho paty přibližně konstantní rychlostí. Graf na obr. 2.18 znázorňuje tuto vzdálenost jako funkci času. Vypočtěte rychlost posuvu horniny v cm za rok. 6C. O kolik minut se zkrátila doba jízdy po dálnici z Prahy do Brna po zvýšení rychlostního limitu ze 110km/h na 130km/h? Předpokládejte, že řidič projede celou trasu nejvyšší povolenou rychlostí. vzdálenost od hřbetu (km) Obr. 2.18 Cvičení 5 7C. S použitím tabulek v dodatku D určete rychlost světla (3-108 m-s~') v mílích za hodinu, stopách za sekundu, světelných rocích za rok. 8C. Automobil jede po rovné silnici rychlostí 30km/h. Poté, co urazil dráhu 40 km. zvýší rychlost na 60km/h a pokračuje v jízdě dalších 40 km. (a) Jaká je průměrná rychlost automobilu na celé osmdesátikilometrové trati? (Zvolte soustavu souřadnic tak, aby osa x byla souhlasně rovnoběžná se směrem jízdy automobilu a určete průměrnou rychlost včetně znaménka.) (b) Jaká je průměrná velikost rychlosti automobilu? (c) Určete průměrnou rychlost graficky (pomocí grafu x(t)). 9Ú. Vypočtěte průměrnou rychlost pohybu člověka ve dvou případech: (a) Chůze 72 m rychlostí 1,2 m-s 1 a běh 72 m rychlostí 3 m-s-1. (b) Chůze 1 min rychlostí 1,2 m-s-1 a běh 1 min rychlostí 3 m-s- . (c) V obou případech určete průměrnou rychlost graficky (z grafu jc(í)). 10Ú. Automobil jede do kopce rychlostí 40km/h. Nahoře ne- 32 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB čeká a vrací se stejnou cestou zpět, tentokrát rychlostí 60 km/h. Určete průměrnou velikost rychlosti pro celou trasu. 11Ú. Nákladní automobil jede z Brna do Olomouce (77 km). V první polovině jízdní doby udržuje konstantní rychlost o velikosti 56 km/h, ve druhé polovině pak 89 km/h. Na zpáteční cestě projede první polovinu vzdálenosti rychlostí o velikosti 56 km/h a druhou rychlostí o velikosti 89 km/h. Jaká je průměrná velikost rychlosti jízdy (a) z Brna do Olomouce, (b) z Olomouce do Brna a (c) na celé cestě? (d) Jaká je průměrná rychlost (vektor) na celé cestě? Zvolte soustavu souřadnic tak, aby trasa z Brna do Olomouce vedla podél kladné osy x. Nakreslete graf x(t) pro tuto část cesty a určete z něj průměrnou rychlost. 12Ú. Poloha tělesa pohybujícího se po ose x je dána vztahem x = 3/ — 4r2 + ř3, kde x je v metrech a t v sekundách, (a) Jaká je poloha tělesa v okamžicích / = 1 s, 2 s, 3 s a 4 s? (b) Jaké je posunutí tělesa v časovém intervalu od / = 0 do t = 4 s? (c) Jaká je průměrná rychlost v časovém intervalu od t — 2 s do r = 4 s? (d) Nakreslete graf funkce x (t) pro 0 ^ t íí 4 s a použijte jej pro grafické řešení úkolu (c). 13Ú. Poloha hmotného bodu je dána vztahem x = 9,75 + + 1,50r3, kde x je v centimetrech a t v sekundách. Určete (a) průměrnou rychlost hmotného bodu v časovém intervalu od t = 2,00 s do t = 3,00 s, okamžitou rychlost v okamžicích (b) t = 2,00 s, (c) r = 3,00 s a (d) t = 2,50 s, (e) okamžitou rychlost v bodě ležícím uprostřed mezi polohami, v nichž se hmotný bod nachází v okamžicích t = 2,00s a / = 3,00s. (f) Předchozí úkoly vyřešte i graficky. Použijte grafu časové závislosti polohy hmotného bodu x(t). 14Ú. Při testování radarové navigace letí tryskové letadlo ve výšce 35 m nad zemí. Náhle dorazí k místu, kde se terén počíná zvedat s mírným, snadno přehlédnutelným, sklonem 4,3° (obr. 2.19). V jakém nejzazším okamžiku musí být dokončena korekce letu, aby letadlo nenarazilo na zem? Rychlost letounu je 1 300 km/h. Obr. 2.19 Úloha 14 15Ú. Dva vlaky jedou po přímé trati proti sobě, každý rychlostí 30 km/h. V okamžiku, kdy jsou od sebe vzdáleny 60 km, vyletí od jednoho z nich pták rychlostí 60 km/h a zamíří k druhému. Jakmile k němu doletí, obrátí se a vrací se zpět k prvnímu vlaku. Zde se opět obrátí a takto létá, dokud se vlaky nesetkají. Nezabývejte se pohnutkami, které vedou ptáka právě k tomuto pohybu a určete, (a) kolikrát pták přelétne vzdálenost mezi oběma vlaky a (b) jakou celkovou dráhu při tom urazí? ODST. 2.4 Okamžitá rychlost 16C. (a) Poloha částice je dána rovnicí x = 4 — Í2t + 3ř2 (kde f je v sekundách a x v metrech). Pro okamžik t — 1 s určete (a) rychlost částice, (b) směr jejího pohybu a (c) velikost její rychlosti, (d) Rozhodněte, zdaje velikost rychlosti částice pro / > 1 s větší či menší než pro t = 1 s. Následující dvě otázky se pokuste zodpovědět bez výpočtu, (e) Existuje okamžik, ve kterém má částice nulovou rychlost? (f) Nastane pro t > 3 s okamžik, kdy se směr pohybu částice obrátí? 17C. Obr. 2.20 popisuje pohyb pásovce, který běhá podél osy x střídavě doleva (záporný směr) a doprava, (a) Je pásovec v některém okamžiku (kterém) nalevo od počátku osy x? Je v některém okamžiku (kterém) jeho rychlost (b) záporná, (c) kladná, nebo (d) nulová? x / 0 2\ v 3 / / 4 : > 6 ř(s) Obr. 2.20 Cvič. 17 18C. Myš je uvězněna v úzkém průchodu (osa x) a hledá cestu ven. Při tom zmateně pobíhá sem a tam: (1) běží vlevo (v záporném směru osy) konstantní rychlostí o velikosti 1,2 m-s- , (2) postupně zpomaluje až na rychlost 0,6 m-s"1, (3) opět zrychluje na 2,0 m-s-1 a stále běží doleva. (4) Zpomaluje do zastavení, rozběhne se doprava a dosáhne rychlosti o velikosti 1,2 m-s-1. Nakreslete graf x(ť). Určete časové intervaly, v nichž je sklon křivky grafu největší a nejmenší. 19U. Jakou vzdálenost urazí za 16 s běžec, jehož rychlost vx (f) je v závislosti na čase popsána grafem na obr. 2.21? Vx(t) 1 ________\ i \..........,. """"" / i i £ i i i i i 0 4 8 12 16 čas (s) Obr. 2.21 Úloha 19 ODST. 2.5 Zrychlení 20C. Částice má počáteční rychlost 18 m-s-1. V průbčhu následujících 2,4 s se její rychlost změní tak, že dosáhne velikosti 30 m-s-1, míří však v opačném smčru. (a) Jaká je velikost průměrného zrychlení částice v tomto časovém intervalu? (b) Průměrné zrychlení určete také pomocí grafu vx(t). 21C. Těleso se pohybuje po přímce a jeho rychlost je popsána grafem na obr. 2.22. Načrtněte graf závislosti zrychlení tělesa na čase. CVIČENÍ & ÚI .OHY 33 «»(0 čas(s) Obr. 2.22 Cvičení 21 22C. Časová závislost polohy částice pohybující se podél osy x je zadána grafem na obr. 2.23a. (a) Ve kterém z úseků AB, BC, CI) a D E je rychlost vx kladná, záporná, nebo nulová? Ve kterém z nich je zrychlení«,,- kladné, záporné, nebo nulové? (Neuvažujte krajní body intervalů), (b) Je v některém ze zmíněných úseků zrychlení tělesa zjevně proměnné? (c) Zmční se nějak odpovědi na předchozí otázky, posunou-li se souřadnicové osy tak, žc osa t splyne s přerušovanou čarou? Obr. 2.23 O Cvičení 22 a 23 {b) 23C. Zodpovězte otázky ze cvičení 22 pro případ pohybu znázorněného na obr. 2.23b. 24C. Částice se pohybuje podél osy x. Časový průběh její polohy x(í) je zadán grafem na obr. 2.24. Nakreslete grafy vx (r) 25C. Nakreslete schematicky možný tvar grafu časové závislosti polohy hmotného bodu x(t), pohybujícího se podél osy x tak. že v okamžiku t = 1 s je (a) jeho rychlost nulová a zrychlení kladné, (b) rychlost nulová a zrychlení záporné, (c) rychlost záporná a zrychlení kladné, (d) rychlost záporná a zrychlení záporné, (e) Ve kterém z těchto případů velikost rychlosti v okamžiku t = 1 s roste? 26C. Uvažujme veličiny delinovanč výrazy (dx/dt)2 ad2x/d/2. (a) Představují tyto výrazy tutéž veličinu? (b) Jakč jsou jejich jednotky v soustavě SI? 27C. Částice se pohybuje podél osy x. Její poloha je popsána rovnicí x = 50? + 1 Oř2, kde .v je zadáno v metrech a f v sekundách. Vypočtěte (a) průměrnou rychlost částice během prvních tří sekund jejího pohybu, (b) rychlost částice v okamžiku / = 3 s, (c) zrychlení částice v okamžiku / = 3 s. (d) Zodpovězte otázku (a) pouze užitím grafu x(/). (e) Pomocí téhož grafu řešte i úkol (b). (f) Nakreslete graf vx(t) a použijte jej k řešení úkolu (c). 28C. Poloha hmotného bodu je dána rovnicí x = 20/ — 5/\ kde x je v metrech a / v sekundách, (a) Je v některém okamžiku rychlost hmotného bodu nulová? V kladném případě tento okamžik určete, (b) Kdy je zrychlení ax hmotného bodu nulové? (c) Kdy je ax záporné, kladné? (d) Nakreslete grafy x(t), vx(t) a a AD- 29U. Muž čeká na jednom místě od okamžiku / = 0 do / = 5.00 min a potom jde svižným krokem stále jedním směrem. Jeho rychlost je konstantní a má velikost 2,20 m-s-1. Chůze trvá 5 minut, tj. od okamžiku / = 5,00 min do / = 10,0 min. Určete průměrnou rychlost a průměrné zrychlení pohybu člověka v následujících časových intervalech: (a) od 2,0 min do 8.0 min, (b) od 3,0 min do 9,0min. (c) Nakreslete grafy x(t) a vx(t) a vyřešte úkoly (a) a (b) také graficky. 30Ú. Poloha tělesa závisí na čase vztahem x - 2.0ľ\ kde x je v metrech a t v sekundách. Určete (a) průměrnou rychlost a (b) průměrné zrychlení tělesa v časovém intervalu od / = = 1.0 s do ř = 2,0s. Vypočtěte jeho (c) okamžitou rychlost a (d) okamžité zrychlení v okamžicích r = 1.0 s a / = 2,0 s. (e) Porovnejte průmčmé a okamžité hodnoly odpovídajících si veličin a rozdíly vysvětlete, (f) Řešte úkoly (a) až (d) pomocí grafů x(/) a vx(t). 31U. Při jedné videohře se světelná stopa na monitoru pohybuje podle rovnice x = 9,00/ — 0.750/3, kde x je vzdálenost od levého okraje monitoru měřená v centimetrech a / je čas v sekundách. Jakmile stopa dorazí k levému (x = 0) nebo pravému (x = 15.0 cm) okraji obrazovky, čas t se vynuluje a pohyb stopy se opakuje v souhlasu se zadanou časovou závislostí x(t), (a) Určete, ve kterém okamžiku od počátku pohybu se rychlost stopy anuluje, (b) Ve kterém místě obrazovky k tomu dojde? (c) .lakéje v tom okamžiku zrychlení stopy? (d) Kterým směrem se stopa pohybovala bezprostředně před tím, než dosáhla nulové rychlosti? (e) Kterým směrem potom její pohyb pokračoval? (f) Za jakou dobu od počátku pohybu dorazila stopa poprvé k okraji obrazovky? 34 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB 32Ú. Poloha částice, pohybující se podél osy x, závisí na čase vztahem x = at2 — bt3, kde x je v metrech a f v sekundách, (a) Jaký je fyzikální rozměr konstant a a bl Předpokládejme, že tyto konstanty mají v jednotkách SI hodnoty a = 3,0 a b = 1,0. (b) Určete okamžik, v němž má souřadnice x částice největší hodnotu, (c) Jakou vzdálenost urazí částice během prvních 4,0 sekund pohybu? (d) Vypočtěte její posunutí v časovém intervalu od / = 0 do / = 4,0 s. (c) Určete její rychlost v okamžicích i = l,0s; 2,0s; 3,0s a 4,0s. (i) Jaké je v těchto okamžicích její zrychlení? ODST. 2.6 Rovnoměrně zrychlený pohyb: speciální případ 33C. Pohyb hlavy útočícího chřestýše je tak prudký, že její zrychlení může dosáhnout až hodnoty 50 m-s-2. Představme si, že by takového zrychlení mohl dosáhnout rozjíždějící se automobil. Za jakou dobu by dosáhl rychlosti 100 km/h, pokud by byl zpočátku v klidu? 34C. Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením +3,2 m-s-2. V jistém okamžiku má rychlost +9,6 m-s-1. Zjistěte jeho rychlost o (a) 2,5 s dříve, (b) 2,5 s později. 35C. Automobil plynule zvýší svou rychlost z 25 km/h na 55 km/h během 0,50 min. Cyklista se rovnoměrně rozjíždí z klidu a dosáhne rychlosti 30 km/h také za 0,50 min. V obou případech určete zrychlení. 36C. Kosmická loď se pohybuje s konstantním zrychlením 9.8 m-s-2, aby se podmínky pro pobyt posádky co nejvíce blížily pozemským, (a) Za jak dlouho dosáhne loď jedné desetiny rychlosti světla ve vakuu, startuje-li z klidu? Jakou dráhu přitom urazí? 37C. Startující tryskové letadlo musí mít před vzlétnutím rychlost nejméně 360 km/h. S jakým nejmenším konstantním zrychlením může startovat na rozjezdové dráze dlouhé 1,8 km? 38C. Elementární částice mion /x- vlétne do elektrického pole rychlostí 5,00-106 m-s-1. V něm se rovnoměrně zpomaluje se zrychlením o velikosti 1,24-1014 m-s"'. (a) Jakou dráhu urazí do okamžiku zastavení? (b) Nakreslete grafy x(t) a vx(t) charakterizující její pohyb. 39C. Elektron s počáteční rychlostí 1,50-105 m-s 1 je v úseku své trajektorie dlouhém 1,0 cm urychlován elektrickým polem (obr. 2.25). V okamžiku, kdy pole opouští, má rychlost 5,70-106 m-s-1. Určete jeho průměrné zrychlení v poli. (Zadání neurychlující oblast urychlující oblast |—1,0 cm —| Obr. 2.25 Cvičení 39 trajektorie elektronu zdroj vysokého napětí úlohy odpovídá reálné situaci v elektronových tryskách používaných v televizních obrazovkách a osciloskopech.) 40C. Automobil jedoucí rychlostí 100 km/h začne rovnoměrně brzdit a zastaví na dráze 43 m. (a) Určete velikost jeho zrychlení v jednotkách SI a jednotkách g. (b) Jak dlouho trvá brzdění? Kolikrát je doba brzdění delší než reakční doba řidiče, která činí 400 ms? 41C. 19. března 1954 dosáhl plukovník John P. Stapp pozemního rychlostního rekordu při jízdě na raketových saních. Rekordní rychlost měla velikost 1 020 km/h. Poté byly sáně zabrzděny za dobu 1,4 s (obr. 2.8). Jakému zrychlení byl jezdec vystaven? Výsledek vyjádřete v jednotkách g. 42C. Na kvalitní suché silnici může automobil s neopotřebe-nými pneumatikami brzdil se zrychlením o velikosti 4,92 m-s-2. (a) Za jak dlouho automobil zastaví, je-li jeho počáteční rychlost 24,6 m-s-1? (b) Jak dlouhá bude brzdná dráha? (c) Nakreslete grafy závislostí x(t) a vx(t) během brzdění. 43C. Při zkoumání fyziologických účinků velkého zrychlení na lidský organismus se používá raketových saní. Saně se pohybují přímočaře a při klidovém startu mohou dosáhnout rychlosti 1 600 km/h za pouhých 1,8 s. Za předpokladu, že se saně pohybují rovnoměrně zrychleně, určete (a) jejich zrychlení v jednotkách g a (b) dráhu potřebnou k dosažení maximální rychlosti. 44C. Automobil může brzdit se zrychlením 5,2 m-s-2. (a) Za jak dlouho lze vůz zabrzdit z rychlosti 130 km/h na předepsaný rychlostní limit 90 km/h poté, co řidič zahlédne dopravního policistu? (Výsledek ukáže, že je zcela beznadějné před policejním radarem brzdit.) (b) Nakreslete grafy x(t) a vx(l), charakterizující pohyb automobilu. 45C. Motocykl sepohybujc rychlostí 30ms-1 vokamžiku,kdy řidič začne rovnoměrně brzdit. Za 3,0 s se jeho rychlost sníží na 15 m-s"1. Jakou dráhu urazí molocykl od počátku brzdění až do úplného zastavení? 46U. Sportovní automobil typu „hot rod"* startující z klidu může dosáhnout rychlosti 60km/h za 5,4 s. (a) Určete odpovídající průměrné zrychlení v m-s-2. (b) Jakou dráhu automobil urazí za 5,4 s, je-li jeho zrychlení konstantní? (c) Za jak dlouho by urazil vzdálenost 0,25 km, kdyby jeho zrychlení bylo po celou dobu jízdy konstantní a mělo velikost vypočtenou v části (a)? 47Ú. Rychlík stojí ve stanici. V okamžiku t = 0 se začne rozjíždět s konstantním zrychlením a v okamžiku t\ má rychlost 30 m-s-1. Poté, co za dobu x urazí dalších 160 m, zvýší se jeho rychlost na 50 m-s"1. Vypočtěte (a) zrychlení vlaku, (b) dobu t, (c) dobu /], potřebnou k dosažení rychlosti 30 m-s-1, a (d) vzdálenost, kterou za tuto dobu urazí, (c) Nakreslete grafy závislostí x(t) a vx(t) od počátku pohybu vlaku. * Výkonný automobil většinou amatérské konstrukce za použití levných dílů z vrakovišť. Cílem konstruktéra je docílil vedle dobrého výkonu motoru i co nejneobvyklejšího vzhledu. Vozy jsou oblíbené téměř výhradně vc Spojených státech, kde se účastní závodů ve zrychlení s pevným startem na vzdálenosti 1/4 míle nebo I míle. cvičení & úlohy 35 48Ú. Automobil jede rychlostí 56,0km/h. Řidič zpozoruje na silnici překážku a ve vzdálenosti 24,0m před ní začne rovnoměrně brzdit. Auto narazí do překážky za 2,00 s od tohoto okamžiku, (a) Určete zrychlení automobilu, (b) Jakou rychlostí narazí automobil do překážky? 49U. Automobil se pohybuje s konstantním zrychlením a urazí vzdálenost 60.0 m za 6,00 s. Na konci tohoto úseku jede rychlostí 15 m-s_I. (a) Jakou rychlost měl na začátku šedesálimetrového úseku? (b) Jaké je jeho zrychlení? (c) V jaké vzdálenosti před měřeným úsekem se auto začalo rozjíždět? (d) Nakreslete grafy závislostí x(t) a vx(t) od počátku pohybu automobilu. 50U. Dvě zastávky metra jsou vzdálené 1 100 m. Souprava se první polovinu cesty rozjíždí s konstantním zrychlením + 1.2 m-s~2 a ve druhé polovině brzdí se zrychlením — 1,2 m-s~2. (a) Jaký je celkový čas jízdy mezi stanicemi a (b) největší rychlost soupravy? (c) Nakreslete grafy závislostí x(t) a vx{t) pro celou jízdu. 51Ú. Vyžaduje-li dopravní situace, aby řidič náhle zastavil, nezačne vůz brzdit hned. Od okamžiku, kdy si řidič uvědomí nutnost zabrzdit, uplyne nejprve jistá reakční doba řidiče a brzdového systému a teprve poté automobil rovnoměrně brzdí. Určete (a) celkovou reakční dobu a (b) velikost zrychlení automobilu při rovnoměrném brzdění z těchto údajů: Od okamžiku, kdy si řidič automobilu jedoucího rychlostí 80km/h uvědomil nutnost zastavit, urazil ještě dráhu 57 m. Při rychlosti 48 km/h mu stačila dráha 24 m. 52U. Vůz se blíží ke světelné křižovatce, když se náhle rozsvítí oranžové světlo. Vůz jede největší povolenou rychlostí 50 km/h a může brzdit se zpomalením 5,2m-s~2. Celková reakční doba řidiče a brzdového systému je T = 0,75 s. Řidič nechce vjet do křižovatky na červenou. Má začít brzdit nebo pokračovat v jízdě nezměněnou rychlostí? Vzdálenost vozu od křižovatky v okamžiku změny světelné signalizace je (a) 40 m, doba, po kterou svítí oranžové světlo, je 2,8 s, (b) 32 m a 1,8 s. 53Ú. Vzdálenost potřebná pro náhlé zastavení vozidla je dána součtem „reakční vzdálenosti" (součin počáteční rychlosti a reakční doby) a „brzdné vzdálenosti", kterou vozidlo urazí během brzdění. Typické hodnoty těchto veličin jsou uvedeny v následující tabulce: Počáteční Reakční Brzdná Celková rychlost vzdálenost vzdálenost vzdálenost (m-s-1) (m) (m) (m) 10 7,5 5,0 12,5 20 15 20 35 30 22,5 45 67,5 (a) Jaká reakční doba byla použita při výpočtu této tabulky? íb) Jakou celkovou vzdálenost automobil urazí, má-li náhle zastavit při počáteční rychlosti 25 m-s_l? 54Ú. Největší povolené zrychlení soupravy podzemní dráhy je 1,34 m-s . (a) Jaká je nejvyšší rychlost, které smí souprava dosáhnout při jízdě mezi stanicemi vzdálenými 806 m? (b) Jaká je odpovídající doba jízdy? (c) Předpokládejte, že souprava stojí ve stanici 20 s. Určete její maximální průměrnou rychlost v časovém intervalu mezi výjezdy ze dvou sousedních stanic, (d) Nakreslete grafy závislostí x(i) a vx(t). 55Ú. Délka dráhy kabiny výtahu v newyorském mrakodrapu Marquis Marriott je 190 m. Kabina se pohybuje nejvýše rychlostí 305 m-iriin . Její zrychlení při rozjezdu i brzdění má velikost 1,22 m-s-2. (a) Jakou vzdálenost urazí kabina od chvíle, kdy se začne rozjíždět, do okamžiku, kdy dosáhne nejvyšší rychlosti? (b) Za jak dlouho vyjede z dolního podlaží až nahoru, započ-teme-li rozjezd i brzdění? 56Ú. Osobní automobil se začne rozjíždět sc zrychlením a = = 2,2 m-s přesně v okamžiku, kdy se na semaforech rozsvítí zelená. Ve stejném okamžiku ho ve vedlejším pruhu předjíždí kamion jedoucí konstantní rychlostí 9,5 m-s-1. (a) Jak daleko za semafory automobil opět předjede kamion? (b) Jaké rychlosti v tomto okamžiku dosáhne'.' 57Ú. Rychlík vyjíždí ze zatáčky rychlostí 160 km/h. Strojvůdce náhle spatří ve vzdálenosti 0,67 km lokomotivu, která jede po téže koleji stejným směrem rychlostí 29 km/h (obr. 2.26). Strojvůdce rychlíku začne okamžitě brzdit, (a) Určete nejmenší možné zpomalení rychlíku, při němž ještě nedojde ke srážce, (b) Okamžiku, kdy strojvůdce rychlíku zahlédl lokomotivu, přisoudíme hodnotu / = 0 a počátek osy x (tj. x = 0) zvolíme v místě, ve kterém se rychlík v tomto okamžiku nacházel. Nakreslete grafy časových závislostí x(l) obou vlaků pro případ, že se tak tak podařilo srážku odvrátit. Obr. 2.26 Úloha 57 36 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB 58U. Dva vlaky jedou proli sobě po přímém úseku jednokolejné trati rychlostmi 72km/h a 144km/h. V okamžiku, kdy jsou od sebe vzdáleny 950 m, spatří oba strojvůdci protijedoucí vlak a začnou okamžitě brzdit se zrychlením o velikosti 1,0m-s. Dojde ke srážce'? 59Ú. Nakreslete graľ vx(t) odpovídající grafu ax(t) z obr. 2.27. O ax(t) Obr. 2.27 Úloha 59 ODST. 2.8 Svislý vrh 60C. Dělníkovi na stavbě spadl nešťastnou náhodou hasák a narazil na zem rychlostí 24 ms_1. (a) Z jaké výšky padal? (b) Jak dlouho trval jeho pád? (c) Nakreslete grafy závislostí y (ŕ), vy(t) aflvú). 61C. (a) Jakou rychlostí musíme svisle vyhodit míč, aby dosáhl výšky 50 m? (b) Za jak dlouho dopadne zpět na zem? (c) Nakreslete grafy závislostí y(t), vy(t) a ay(t) popisující let míče. V prvních dvou z nich vyznačte okamžik, kdy je míč právě ve výšce 50 m. 62C. Kapka deště dopadne na zem z mraku ve výšce 1 700 m. Jakou rychlostí by dopadla, kdyby její let nebyl brzděn odporem vzduchu? Bylo by v tomto případě bezpečné setrvávat během bouře venku? 63C. Nákladní stavební výtah je upevněn na jediném laně. Lano se náhle přetrhne, když výtah stojí v nejvyšším patře budovy, ve výšce 120 m. (a) .lakou rychlostí dopadne kabina na zem? (b) Jak dlouho poletí? (c) Jakou rychlost bude míl právě v polovině vzdálenosti měřené od výchozího bodu k zemi? (d) Za jak dlouho urazí první polovinu této vzdálenosti? 64C. Zlý výrostek Hugo hází kamením svisle dolů ze střechy budovy vysoké 30 tn. Počáteční rychlost kamene má velikost 12,0 m-s-1. (a) Za jak dlouho dopadne kámen na zem? (b) Jak velká bude jeho rychlost při dopadu? 65C. Ve výzkumném ústavu pro beztížný slav agentury NASA Lewis Research Center je i 145 m vysoká experimentální věž, z níž je vyčerpán vzduch. Jedním z experimentů, k nimž věž slouží, je volný pád koule o průměru 1 m, ve které jsou umístěny měřicí přístroje, (a) Jak dlouho trvá pád koule? (b) Jaká je její rychlost těsně před dopadem na záchytné zařízení ve spodní části věže? (c) Při záchytu je koule brzděna s průměrným zrychlením o velikosti 25g až. do úplného zastavení. Jaká dráha je potřebná k zastavení koule? 66C. Model rakety poháněný hořícím palivem startuje svisle vzhůru. Nakreslete schematické grafy časových závislostí její polohy y, rychlosti vy a zrychlení ay. V grafech vyznačte, ve kterém míslě došlo palivo, kdy model dosáhl největší výšky a kdy dopadl zpátky na zem. 67C. Kámen volně vypustíme z útesu vysokého 100 m. Za jakou dobu urazí (a) prvních 50 m dráhy, (b) druhých 50 m? 68Ú. Vyplašený pásovec vyskočí do výšky 0,544 m za 0,200 s (obr. 2.28). (a) Jaká je jeho počáteční rychlost? (b) Jaká je jeho rychlost v zadané výšce? (c) Jak vysoko ještě vyletí? Obr. 2.28 Úloha 68 69Ú. Těleso padá z mostu, který je ve výšce 45 m nad hladinou řeky. Spadne přímo do lodky, která pluje pod mostem konstantní rychlostí. V okamžiku uvolnění tělesa na mostě byla lodka vzdálena právě 12 m od místa dopadu. Jaká je její rychlost? 70Ú. Model rakety je odpálen svisle vzhůru a stoupá s konstantním zrychlením 4,00 m-s~2 po dobu 6,00 s. Pak dojde palivo a raketa letí bez pohonu, (a) Jaké maximální výšky dosáhne? (b) Jaká jc celková doba jejího letu od startu až po pád na zem? 71Ú. Basketbalista, který doskakuje pod košem, vyskočí svisle do výšky 76 cm. Jak dlouho setrvává (a) blíže než 15 cm od nejvyššího bodu své dráhy, (b) blíže než 15 cm od podlahy? Výsledek tohoto výpočtu nám pomůže pochopit, proč se zdá, že basketbalista při výskoku chvíli visí ve vzduchu. 72U. V Národní fyzikální laboratoři v Anglii měřili tíhové CVIČENÍ & ÚLOHY 37 zrychlení g pomocí svislého vrhu tělesa ve vyčerpané trubici. Při letu byly registrovány průchody tělesa dvěma body v různých výškách dráhy letu (obr. 2.29). Označme ATi dobu, která uplynula mezi dvěma průchody dolním bodem, ATri dobu mezi průchody horním bodem a H svislou vzdálenost těchto dvou bodů. Ukažte, že 8// 8~ ATl-ATf O čas Obr. 2.29 Úloha 72 73Ú. Koule z vlhké hlíny padá z výšky 15.0m. Po dopadu na zem se po dobu 20 ms plasticky deformuje, než se její pohyb zcela zastaví. Jaké je průměrné zrychlení koule při léto deformaci? (Při řešení nahraďte kouli hmotným bodem.) 74U. Z výšky /; hodíme svisle dolů míč s počáteční rychlostí t'o v (a) Jaká bude rychlost míče těsně před dopadem? (b) Za jak dlouho míč dopadne? (c) Jak se změní odpovědna otázky (a) a (b), vyhodíme-li míč svisle vzhůru z téže výšky stejnou rychlostí? Než začnete řešit příslušné rovnice, rozvažte předem, zda hodnoty získané v části úkolu (c) budou větší, menší či stejné jako výsledky úloh (a) a (b). reakční doba (ms) ♦ I I I Obr. 2.30 Úloha 75 75U. Na obr. 2.30 je jednoduché zařízení pro měření reakční doby člověka. Je vyrobeno z pásku lepenky s nakresleným měřítkem a dvěma velkými tečkami. Reakční dobu si můžeme sami změřit takto: Náš pomocník uchopí pásek mezi palec a ukazováček v místě tečky umístěné na obr. 2.30 vpravo a drží jej měřítkem svisle dolů. Přiblížíme ruku kpásku tak, aby procházel mezi palcem a ukazováčkem právč v místě druhé tečky. Je třeba, aby palec a ukazováček byly co nejblíže u sebe, nesmíme se však pásku dotýkat. Náhle náš přítel pásek pustí a my sc jej snažíme co nejrychleji chytit. Reakční dobu zjistíme podle značky v místě, kde se nám podaří pásek zachytit, (a) V jaké vzdálenosti od dolní tečky musí být nakreslena značka s údajem 50 ms? (b) V kolikrát větší vzdálenosti od dolní tečky musí být zakresleny značky s údaji 100 ms, 150 ms, 200 ms a 250 ms? (Myslíte, že například značka 100 ms je v dvojnásobné vzdálenosti od dolní tečky než značka 50 ms? Lze v odpovědích na otázku (b) najít nějakou zákonitost?) 76Ú. Žonglér vyhazuje míč do jisté výšky. Kolikrát výše musí míč vyhodit, aby jeho let trval dvojnásobnou dobu? 77U. Kámen je vržen svisle vzhůru. Při vzestupu míjí jistý bod A rychlostí v a další bod B rychlostí Iv. Bod R je o 3,00 m výše než bod A. Určete (a) rychlost v a (b) největší výšku, do které kámen vyletí nad úroveň bodu B. 78Ú. Kvalitu tenisového míčku můžeme ověřit například tak, že zjišťujeme, jak skáče. Volně jej upustíme z výšky 4,00 m. Míč se odrazí a vyskočí do výšky 3,00 m. Jaké bylo průměrné zrychlení při odrazu, trval-li 10 ms? Odpor prostředí zanedbejte. 79U. Voda kape na podlahu ze sprchové růžice upevněné ve výšce 200 cm. Kapky padají v pravidelných intervalech. Právě v okamžiku dopadu první kapky začíná pád čtvrté. Jaká je poloha dmhé a třetí kapky v tomto okamžiku? 80U. Olověná koule je vržena do jezera z plošiny umístěné 5,20 m nad hladinou. Koule dopadne na hladinu určitou rychlostí a začne se potápět. Klesá při tom kc dnu stejnou rychlostí, se kterou dopadla na hladinu. Na dno dosedne za 4.8 s od okamžiku, kdy byla z plošiny vypuštěna, (a) Jak je jezero hluboké? (b) Jaká je průměrná rychlost koule? Představme si, že vodu z jezera vypustili. Kouli vyhodíme ze stejné plošiny a požadujeme, aby na dno jezera dopadla opět za 4,8 s. Jaká musí být její počáteční rychlost? 81Ú. Těleso volně padá z výšky h. Za poslední sekundu pádu urazí dráhu 0,50/z. Určete (a) dobu pádu a (b) výšku /?. Objasněte fyzikální význam obou kořenů kvadratické rovnice, jejíž řešení je součástí výpočtu. 82U. Dívka spadla ze střechy budovy vysoké 44 m a dopadla na plechovou konstrukci vzduchotechniky. Stropní stěna konstrukce se při tom promáčkla o 46 cm. Dívka pád přežila bez vážnějšího poranění. Předpokládejte, že její zrychlení v průběhu brzdění pádu bylo konstantní a určete je. Výsledek vyjádřete v jednotkách SI i v násobcích g. 83U. Kámen byl volně upuštěn do vody z mostu vysokého 44 m. Za jednu sekundu poté byl svisle dolů hozen druhý kámen. Oba kameny dopadly do vody současně, (a) Jaká byla počáteční rychlost druhého kamene? (b) Nakreslete grafy časové závislosti rychlosti obou kamenů. (Počátek časové osy přisoudíme okamžiku, kdy začal padat první kámen.) 84Ú. Parašutistka padá po výskoku z letadla nejprve volným pádem a urazí 50 m. Poté otevře padák, který zpomaluje její pohyb se zrychlením o velikosti 2,0 m-s-2. Na zem dopadne rychlostí 3,0 m-s-1. (a) Jak dlouho trval její let? (b) V jaké výšce nad zemí vyskočila z letadla? 85U. Dvě tělesa jsou volně vypuštěna ze stejné výšky v časovém odstupu 1 s a letí volným pádem. Za jak dlouho od okamžiku, kdy začalo padat první z nich, je jejich vzdálenost 10 m? 86U. Klára a Jan seskočili těsně po sobě z mostu (obr. 2.31). Za jak dlouho po Kláře seskočil Jan? Předpokládejte, že Jan je 38 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB vysoký 170 cm a místo, odkud oba skočili, je právě na horním okraji obrázku. Číselné hodnoty nutné pro výpočet je třeba získat přímo měřením na fotografii. Obr. 2.31 Úloha 86 87Ú. Horkovzdušný balon stoupá rychlostí 12 m-s~1. Ve výšce 80 m vyhodí posádka balíček. Určete (a) dobu jeho pádu a (b) jeho rychlost při dopadu. 88Ú. Otevřená výtahová klec stoupá vzhůru konstantní rychlostí 10 m-s-1. Chlapec jedoucí ve výtahu si hraje s míčem a vyhazuje jej svisle vzhůru. Ve výšce 2 m nad podlahou výtahu má míč vzhledem k výtahu rychlost 20m-s~'. V tom okamžiku je podlaha výtahu právě 28 m nad zemí. (a) Do jaké největší výšky nad zemí míč vyletí? (b) Za jak dlouho dopadne zpět na podlahu výtahu? 89U. Koule z tvrzené gumy je volně puštěna ze střechy budovy. Při svém pádu míjí okno vysoké 1,20 m a její let podél okna trvá 0,125 s. Dopadne na chodník, kde se pružně odrazí, takže při výstupu prolétne kolem téhož okna opět za dobu 0,125 s. Doba mezi oběma průchody kolem dolního okraje okna je 2,00 s. Jak je budova vysoká? 90Ú. Podřimující kočka zahlédne otevřeným oknem letící květináč, který nejprve stoupá vzhůru a pak opět padá. Celková doba, po kterou je květináč vidět v okně, je 0,50 s. Okno je vysoké 2,00 m. Jak vysoko nad horní okraj okna květináč vyletěl? PRO POČÍTAČ Úlohy v této části řešíme pomocí počítače, 91Ú. Zkušební jezdec testuje brzdy automobilu vybaveného systémem ABS, který zajišťuje maximální brzdný účinek bez prokluzu pneumatik. Testovací jízdy probíhají na přímém a suchém úseku zkušební dráhy. Úkolem jezdce je zastavit vůz na nejkratší možné dráze od okamžiku, kdy zahlédne světelný signál. Dráha potřebná k zastavení je pro šest různých počátečních rychlostí uvedena v následující tabulce, (a) Najděte závislost brzdné dráhy d na velikosti počáteční rychlosti víix, reakční době řidiče Tr a velikosti ax konstantního zrychlení automobilu. Metodou nejmenších čtverců určete (b) ax a (c) 7r>. i'i,x (m-s ') 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 d (m) 4,6 12,1 22,3 35,2 51,0 69,5 92Ú. Motocyklista se rozjíždí (z klidu) po vodorovné přímé silnici, na které jsou v pravidelných desetimetrových rozestupech umístěny fotobuňky. První z nich je právě u startu. (Pomocí fotobuňky je možné měřit okamžik průjezdu motocyklu daným místem.) V následující tabulce jsou shrnuty výsledky měření, (a) Najděte závislost uražené dráhy d na zrychlení ax. Předpokládejte, že zrychlení je konstantní, (b) Hodnoty z tabulky zakreslete do grafu znázorňujícího závislost dráhy d na druhé mocnině času t2. (c) Metodou lineární regrese určete ze zadaných údajů zrychlení motocyklu ax. Pořadové číslo fotobuňkv 1 2 3 4 5 6 Vzdálenost (m) 0 10 20 30 40 50 Cas (s) 0 1,63 2,33 2,83 3,31 3,79 93Ú. Motocykl i sta z předchozí úlohy se opět rozj íždí s konstantním zrychlením na přímé testovací dráze, na které jsou umístěny měřicí body s rozestupy do = 10m, První bod je v neznámé vzdálenosti d od startu jezdce. V následující tabulce jsou výsledky měření rychlosti motocyklu v těchto bodech, (a) Najděte závislost čtverce rychlosti v1. x v y-tém bodě na rychlosti v\,x v prvním bodě, na vzdálenosti do, na konstantním zrychlení ax a na pořadovém čísle měřícího bodu j. (b) Nakreslete graf závislosti v j t na (/ — 1). Metodou lineární regrese určete (c) zrychlení ax a (d) vzdálenost d. Vztažný bod číslo 1 2 3 4 5 6 Rychlost (m-s ') 14,0 18,3 21,7 24,6 27,5 30,0 94Ú. Předpokládejme, že časová závislost polohy částice při jejím pohybu podél osy x je dána vztahem x(t) = -32.0 + 24.0íV0-0300', kde x je měřeno v metrech a r v sekundách, (a) Najděte vztahy pro rychlost vx a zrychlení ax částice jako funkce času. (b) Nakreslete grafy časových závislostí její polohy, rychlosti a zrychlení pro časový interval od 0 do 100 s. (c) Určete, ve kterém okamžiku je částice v počátku soustavy souřadnic (x = 0). Určete její rychlost a zrychlení v tomto okamžiku, (d) Určete, ve kterém okamžiku je její rychlost nulová, a vypočtěte odpovídající polohu a zrychlení. Po dvě desetiletí prozkoumávali speleologové 200 km dlouhý systém Mamutí jeskyně a jeskyně Flint Ridge. Věřili, ze jsou propojeny, a doufali, ze se jim podaří spojovací chodby odhalit. Na fotografii je zachycen jeden z členů úspěšného týmu Richard Zopf, jak spouští batoh průlezem Tight Tube, ležícím hluboko v nitru jeskynního labyrintu Flint Ridge. Po dvanácti hodinách postupu se Zopf a jeho šest druhů protáhli proudem ledové vody a octli se v Mamutí jeskyni. Komplex Mamutí-Flintovy jeskyně se tak stal nejdelší jeskyní na světě. Lze nějak jednoduše charakterizovat vzájemnou polohu východiska a cíle cesty průzkumného družstva, aniž bychom podrobně popisovali celou spletitou trasu ( 40 KAPITOLA 3 VEKTORY 3.1 VEKTORY A SKALÁRY Pohyb částice po přímce se může díl pouze ve dvou směrech. Jeden z nich můžeme označit za kladný, druhý bude záporný. V trojrozměrném prostoru však již pouhé dvě možnosti, odlišené znaménky plus a minus, pro určení směru pohybu nestačí. Je třeba použít vektorů. Vektor je zadán směrem a velikostí. S vektory lze počítat podle určitých pravidel, jimiž se za chvíli budeme podrobněji zabývat. Vektorová veličina má také směr a velikost. K fyzikálním veličinám, které mohou být popsány vektory (mají tzv. vektorový charakter), patří například posunutí, rychlost a zrychlení. Některým fyzikálním veličinám nelze přisoudit smčr. Například teplota, tlak, energie, hmotnost a čas žádný směr nemají. Takovým veličinám říkáme skaláry a při počítání s nimi používáme pravidla běžné algebry. Skalár je určen jediným číslem (například 12,3 kg, 25 J, apod.).* Nejjed-nodušší vektorovou veličinou je posunutí (změna polohy). Nazýváme ji vektor posunutí. (Podobně mluvíme i o vektoru rychlosti a vektoru zrychlení.) Přejde-li pohybující se částice z bodu A do bodu B (obr. 3.1a), lze její posunutí znázornit šipkou směřující z A do B. Šipka je grafickým vyjádřením vektoru. Abychomna dalších obrázcích odlišili vektory od šipek s jiným významem, budeme v koncovém bodě každého vektoru kreslit malý trojúhelník. Šipky z A do 5, z A' do B' a z A" do B" na obr. 3.1a představují stejnou změnu polohy hmotného bodu a nebudeme je rozlišovat. Všechny mají stejnou velikost a směr a určují tedy stejný vektor posunutí. Známc-li pouze vektor posunutí částice, nedokážeme určil její skutečnou trajektorii mezi počátečním a koncovým bodem tohoto posunutí. Na obr. 3.1 b jsou zakresleny tři různé trajektorie spojující body A a B. Odpovídá jim stejné výsledné posunutí jako na obr. 3.1a. Posunutí nepopisuje detaily pohybu, určuje pouze jeho celkový výsledek. * Nezaměňujme skaláry se souřadnicemi vektorů na přímce (v jednorozměrném prostoru). Vektor na orientované přímce je číselně reprezentován jedinou souřadnicí. Proto při pevné volbě souřadnicové osy často hovoříme o této souřadnici jako o samotném vektoru, jako tomu bylo v celé kap. 2. Kladné či záporné znaménko souřadnice vektoru rozhoduje o tom. zda je jeho směr souhlasný či nesouhlasný s kladným směrem orientované přímky. Zmčníme-li orientaci přímky, změní se znaménko souřadnice zadaného vektoru. V případě skaláru patří znaménko k hodnotě. Hodnoty skalárních veličin jsou zcela nezávislé na jakékoli volbč soustavy souřadnic. Při popisu volného pádu tělesa o hmotnosti //; v blízkosti povrchu Země máme dvojí možnost volby kladné orientace souřadnicové osy y: nahoru nebo dolů. V případě první volby budou rychlost i zrychlení tělesa (přesněji jejich y-ové souřadnice) v každém okamžiku záporné, v případě druhého způsobu volby budou kladné. Hmotnost tělesa však bude v obou případech stejná. *A *A (a) (b) Obr. 3.1 (a) Všechny vyznačené šipky představují stejné posunutí, (b) Všechny tři trajektorie spojující dva body odpovídají témuž posunutí. Místo grafického vyjádření lze vektor posunutí zadat velikostí a úhly, které tento vektor svírá se dvěma zvolenými vztažnými směry. Přesvědčíme se o tom při řešení příkladu 3.1. PŘIKLAD 3.1 Skupina speleologů, která v roce 1972 objevila spojení mezi Mamutí jeskyní a jeskynním systémem Flint Ridge, absolvovala cestu od Austinova vchodu k řece Echo v Mamutí jeskyni (obr. 3.2a). Ušla při tom 2,6km západním směrem, 3,9 km na jih a vystoupila o 25 m svisle vzhůru. Jaký vektor posunutí odpovídá této cestč? ŘEŠENI: Nejprve zjistíme velikost posunutí ve vodorovném směru, kterou označíme dh. Na obr. 3.2b je znázorněn průmět vektoru posunutí do vodorovné roviny (pohled shora). Pomocí Pythagorovy věty dostaneme dh = v'(2,6km)2 + (3,9km)2 = 4,69 km. Průmět vektoru posunuli do vodorovné roviny svírá se směrem východ-západ úhel 0, určený výrazem (3,9 km) lgfl= - - = 1.5, tj- (2,6 km) 9 - 56°. Celkové posunutí t/již snadno určíme z obr. 3.2c (boční pohled). Má velikost d = 7(4,69 km)2 + (0,025 km)2 = 4,69 km = 4.7 km a svírá s vodorovnou rovinou úhel unutí jediné: z bodu A do bodu C. Posunutí AC nazýváme \ ektorovým součtem posunutí A B a BC. H je dáno součtem vektorů. (a) (b) Obr. 3.3 (a) A C je vektorovým součtem vektorů A B a BC. b) Jiné označení vektorů z obrázku (a). Obr. 3.3b znázorňuje vektory překreslené z obr. 3.3a a označené tučnými písmeny a, fa a s. Tento způsob zna-I ení vektorů budeme používat v celém dalším textu. V zápisech psaných ručně značíme vektory šipkou nad příslušným symbolem, např. a. Pro označení velikosti vektoru používáme obyčejnou kurzívu, např. a, b a s. Tučný symbol zahrnuje tedy úplnou informaci o vektoru, tj. o jeho velikosti i směru. Pro zápis velikosti vektoru, zejména u složitějších výrazů, lze použít i následujícího značení: \a\, \a — b\. Vztah mezi vektory na obr. 3.3b můžeme zapsat jedinou vektorovou rovnicí s = a + fa (sčítání), (3.1) která vyjadřuje skutečnost, že vektor s je součtem vektorů a a b. Uvědomme si, že symbol + a slova „součet" a „sčítat" mají nyní jiný význam, než je běžné v algebře čísel. Obr. 3.3 je návodem, jak sečíst dva vektory a db graficky. (1) Nejprve narýsujeme vektor a ve vhodném měřítku a odpovídajícím směru. (2) Počáteční bod vektoru b umístíme do koncového bodu vektoru a. Dbáme na to, aby oba vektory byly zakresleny ve stejném měřítku a svíraly správný úhel. (3) Vektorový součet s získáme jako spojnici počátečního bodu vektoru a s koncovým bodem vektoru fa. Všimněte si, že popsaný postup pracuje jak s velikostí, tak se směrem obou vektorů. Jistě jej dokážete snadno zobecnit pro případ součtu většího počtu vektorů. Právě definovaný vektorový součet má dvě důležité vlastnosti. (1) Výsledek nezávisí na pořadí sčítanců, tj. a + b = b + a (komutativní zákon). (3.2) O platnosti komutativního zákona nás přesvědčí obr. 3.4. Z něj je také zřejmé, proč se někdy mluví o pravidlu rovnoběžníka: součet s tvoří úhlopříčku v rovnoběžníku určeném vektory o a fa. 42 KAPITOLA .3 VEKTORY začátek a + b b + a vektorový součet konec b N /" \. / Obr. 3.4 Dva vektory o a fa lze sčítat v libovolném pořadí (vztah (3.2)). (2) Sčítáme-li několik vektorů, jc lhostejné, jak je při tom seskupíme. Máme-li například určit součet vektorů a, fa a c. můžeme nejprve sečíst třeba vektory o a fa a k výsledku pak přičíst vektor c. Stejně dobře však můžeme sečíst napřed vektory fa a c a k jejich součtu nakonec přičíst vektor a. Výsledek bude v obou případech stejný. Matematický zápis tohoto pravidla je následující: (a + b) + c — a + (b + c) (asociativní zákon). (3.3) Platnost asociativního zákona ilustruje grafická konstrukce na obr. 3.5. Obr. 3.5 Vektory a. b a c lze při sčítání libovolně seskupit (viz vztah (3.3)). Vektor 0 nulové velikosti nazýváme nulový. Jeho směr není definován. Nulový vektor má mezi vektory stejné postavení jako nula mezi čísly: pro každý vektor fa platí fa + 0 — b. Symbolem —fa rozumíme vektor, který má stejnou velikost jako vektor fa, avšak opačný směr (obr. 3.6). Nazýváme jej vektorem opačným k fa. Vektor opačný k opačnému je opět původní vektor, tj. —(—fa) = fa. Snadno se přesvědčíme, že součtem navzájem opačných vektorů je nulový vektor: fa + (-fa) = 0 Této vlastnosti využijeme k definici rozdílu dvou vektorů. Rozdílem vektorů o a fa rozumíme vektor d = a + (—fa) (odčítání), (3.4) který označujeme d = a fa. Získáme jej tak, že k vektoru a přičteme vektor —fa. Příklad grafické konstrukce je na obr. 3.7. Obr. 3.6 Vektory b a -fa. fa d a b Konec a počátek sčítaných vektorů splývají. b (a) (fa) Obr. 3.7 (a) Vektory o, b a —fa. (b) Odečtení vektoru fa od vektoru oje ekvivalentní sečtení vektorů o a —fa. I když jsme pravidla pro sčítání a odečítání vektorů zaváděli pro vektory posunutí, je samozřejmě možné jich použít pro jakékoli vektory, bez ohledu na to, zda představují nějakou fyzikální veličinu (sílu, rychlost apod.), či nikoliv. Tak jako při počítání se skaláry má však smysl sčítat pouze vektory stejného druhu (ve fyzice vektory odpovídající téže fyzikální veličině). Můžeme sečíst například dvě posunutí nebo dvě rychlosti, nelze však sčítat posunutí a rychlost. Byl by to stejný nesmysl jako chtít sečíst 21 sekund a 12 metrů. J^ONTROLA 1: Dvě posunutí o a fa mají velikosti 3 m a 4 m. Označme c — a + b. Jak je třeba volit úhel obou posunutí, aby velikost vektoru c byla (a) co nej větší, (b) co nejmenší? V obou případech velikost vektoru c určete. PŘIKLAD 3.2 Při branném závodě je úkolem soutěžícího vzdálit se co možná nejvíce od startu třemi postupnými přímočarými přesuny: (a) a: 2,0 km na východ, (b) fa: 2,0 km severovýchodním směrem, svírajícím s místní rovnoběžkou úhel 30°, (c) c: 1.0 km na západ. Pořadí přesunů může závodník volit a kterýkoliv z vektorů fa a c může zamčnit vektorem opačným. Do jaké největší vzdálenosti od startu (měřeno vzdušnou čarou) se dokáže dostat? 3.3 SLOŽKY VEKTORŮ 43 ŘEŠENÍ: Ve vhodném měřítku zakreslíme vektory a, b. c, —b a —c (obr. 3.8a). Vybereme některou z povolených trojic posunutí a v souladu s pravidlem pro sčítání vektoru jc nakreslíme tak. aby počáteční bod každého následujícího vektoru splynul s koncovým bodem předcházejícího. (Volba pořadí vektorů při sčítání je samozřejmě libovolná, neboť neovlivní výsledek.) Počáteční bod prvního vektoru z vybrané trojice pak označuje místo startu, koncový bod třetího určuje cílovou polohu přesunu. Vektorový součet d, spojující tyto dva body, jc vektorem výsledného posunutí. Jeho velikost d představuje dosaženou vzdálenost závodníka od startu. Snadno zjistíme, že největší vzdálenosti lze docílit volbou trojice přesunů určených vektory a. b a —c (obr. 3.8b): d = b + a+ i-c) =bJra-c. Zmčříme-li velikost vektoru d přímo v obrázku a použi-jeme-li vyznačeného měřítka, dostaneme vzdálenost d v kilometrech: d = 4,8km. (Odpověď) -fa/ S\ 30° ■— d = b + a — c měřítko (km) 0 1 2 (a) (b) Obr.3.8 Příklad 3.2. (a) Soubor vektorů pro výběr povolené trojice posunutí, (b) Závodník dosáhne největší vzdálenosti od startu, zvolí-li pro přesun trojici vektorů o, fa a —c. Obrázek zachycuje jedno z možných pořadí přesunů. Výsledný vektor posunutí je d = b + a c. 3.3 SLOŽKY VEKTORU Grafické sčítání vektorů je zdlouhavé a málo přesné. Daleko elegantnější a snazší je metoda algebraická, při níž je však třeba vyjádřit vektory v souřadnicích. Pravoúhlou soustavu souřadnic volíme obvykle tak, že osy x a y umístíme do roviny nákresu (obr. 3.9a). Osu z, pak vedeme počátkem soustavy souřadnic kolmo k nákresně. Prozatím budeme pracovat pouze s vektory v rovině a osu z nebudeme potřebovat. Vektor a na obr.3.9 leží v rovině .vy. Vedeme-li jeho počátečním i koncovým bodem kolmice k souřadnicovým osám, vzniknou na osách úseky a, a ay. Nazýváme je složky vektoru o ve směrech x a y. Tento postup představuje rozklad vektoru do složek. Obecně pracujeme s vektory v trojrozměrném prostoru, kde mají tři složky. Vektor a na obr. 3.9a má v tomto obecném pojetí třetí složku nulovou. Posunemc-li vektor tak, aby jeho směr zůstal zachován, jeho složky se nezmění (obr. 3.9b). Pomocí pravoúhlého trojúhelníka na obr. 3.9a snadno najdeme výrazy pro složky vektoru o: = acos6> a = a sin 0, (3.5) kde 9 je úhel, který vektor o svírá s kladným směrem osy x a a je velikost vektoru. Z obr. 3.9c vidíme, že vektor a jeho x-ová a y-ová složka tvoří pravoúhlý trojúhelník. Je také zřejmé, jak sestrojíme vektor pomocí jeho složek: použijeme stejnou geometrickou konstrukci jako při sčítání vektorů. O (a) (h) (c) Obr. 3.9 (a) Složky vektoru o. (b) Při posunutí vektoru (při zachovám jeho velikosti i směru) se jeho složky nezmění, (c) Složky vektoru o tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, jehož přeponou je vektor a. V závislosti na hodnotě úhlu 0 mohou být složky vektorů kladné, záporné nebo nulové. Pro vyznačení znaménka složek používáme v obrázcích malých plných šipek. Podle běžné dohody je šipka orientována v kladném směru osy, je-li příslušná složka vektoru kladná a naopak. Vektor b na obr. 3.10 má složku bx kladnou a složku by zápornou. bv = —5 jednotek Obr. 3.10 Složka vektoru b ve směru osy x je kladná, složka ve smčru osy y je záporná. 44 KAPITOLA 3 VEKTORY Vektor je svými složkami jednoznačně zadán stejně dobře jako svou velikostí a směrem. Všimněme si znovu obr. 3.9a. Vektor o, ležící v rovině tvořené osami x a v, je v každém případě pinč určen dvojicí čísel: velikostí a a úhlem 6, nebo složkami ax au,. Každá z těchto dvojic obsahuje tutéž výslednou informaci. Podle potřeby můžeme přecházet od jednoho způsobu vyjádření vektoru k druhému. Známe-li např. složky ax a ay, vypočteme velikost a a úhel 9 takto (obr. 3.9c): a=yut-+az Cly (3.6) Při řešení úloh můžeme vektor vyjadřovat jak pomocí jeho složek ax a aY, tak i pomocí dvojice a a 6. J^ONTROLA 2: Který z následujících obrázků představuje správný rozklad vektoru o do složek? (a) (c) ay (/') PŘIKLAD 3.3 Malé letadlo odstartovalo za nevlídného počasí. Později bylo spatřeno ve vzdálenosti 215 km od výchozího letiště v severovýchodním směru, svírajícím s místním poledníkem úhel 22°. Jaká byla jeho vzdálenost od letiště v severním a východním směru? ŘEŠENI: Na obr. 3.11 je situace zakreslena v pravoúhlé soustavě souřadnic a v, jejíž počátek jsme pro jednoduchost umístili do polohy letiště. Osa x směřuje na východ, osa y na sever. Vektor d spojuje počátek soustavy souřadnic s místem, kde byl letoun opět spatřen. Na otázku položenou v zadání úlohy snadno odpovíme, určíme-li složky vektoru d. Použijeme rov. (3.5), kam dosadíme 0 = 68 (= 90° - 22°). Dostaneme dx = d cos 9 = (215 km) (cos 68") = = 81 km (Odpověd) dy =dún6 = (215km)(sin68 j = = 199 km. (Odpověď) Letadlo bylo spatřeno 199 km severně a 81 km východně od letiště. vzdálenost (km) Obr.3.11 Příklad 3.3. Letadlo odstartovalo z počátku soustavy souřadnic O a později bylo spatřeno v bodě P. RADY A NAMETY Bod 3.1: Uhly — stupně a radiány Měříme-li úhel od kladného směru osy x, považujeme jeho hodnotu měřenou proti směru otáčení hodinových ručiček za kladnou, hodnotu měřenou po směru hodinových ručiček za zápornou.* Tak například hodnoty 210° a —150° udávají stejný směr. Proto velmi často nerozlišujeme mezi úhly, které se liší o 360 tj. o plný úhel — např. právě úhel 210° a —150°. Většina kalkulaček připouští při výpočtu goniometrických funkcí úhlů obě možnosti. (Vyzkoušejte si tu svou.) Ncjběž-nějšími jednotkami pro měření úhlů jsou stupně (c) a radiány (rad). Jejich vzájemné přepočty jsou velmi snadné. Stačí si zapamatovat, že plný úhel je roven 360" a 2itrad. Polřebu-jeme-li například převést 40c na radiány, píšeme „ 2ti rad 40°- =0.70 rad. 360° Zkusme rychle ověřit, je-li získaný výsledek v pořádku. 40° jc jedna devítina plného úhlu 27crad (= 6,3rad). Výsledkem přepočtu by tedy měla být hodnota ^ • 6,3. Vidíme, že jsme přepočet provedli správně. Správnost převodu můžeme velmi snadno posoudit také tehdy, zapamatujeme-li si přibližný vztah 1 rad = 57°. Kalkulačky jsou po zapnutí většinou automaticky nastaveny tak, že počítají úhly ve stupních. Chceme-li zadávat úhly * Jen tak budou rov. (3.5) v souladu s přijatou konvencí pro znaménka složek vektorů. Viz také bod 3.4. 3.4 JEDNOTKOVÍ; VEKTORY 45 v radiánech, je třeba kalkulačku přepnout do příslušného pracovního režimu. Vyzkoušejte si to, než začnete řešit konkrétní úlohy. Bod 3.2: Goniometrické funkce Nejužívanější goniometrické funkce sinus, kosinus a tangens je nutno dobře ovládat. Vědecké a technické výpočty se bez nich totiž neobejdou. Definice těchto funkcí jsou shrnuty v obr. 3.12. Označení jednotlivých stran pravoúhlého trojúhelníka není rozhodující a hodnoty sin 6, cos 9 a tg8 nezávisí ani na jeho ,,velikosti". Pro všechny tzv. podobné trojúhelníky jsou stejné. sin0: cos 9 - protilehlá odvěsna přepona přilehlá odvěsna přepona protilehlá odvěsna přepona protilehlá odvěsna přilehlá odvěsna přilehlá odvěsna Obr. 3.12 Definice goniometrických funkcí. Viz. též dod. E. V případě potřeby bychom také měli umět hbitě si vybavit grafy goniometrických funkcí (obr. 3.13). Je výhodné si pamatovat, jaká jsou znaménka hodnot goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech. Bod 3.3: Cyklometrické funkce Cyklometrickými funkcemi rozumíme funkce inverzní ke goniometrickým. Nejdůležitější z nich jsou aresin, arccos a aretg. Používáme-li pro jejich výpočet opět kalkulačku, musíme vždy dobře uvážit, je-li získaný výsledek v pořádku. Kalkulačka totiž zobrazí pro zadanou hodnotu y vybrané goniometrické funkce f (x) (například sin ) jen jedno z možných řešení je rovnice y = /(x) (y = sin.í). Intervaly, v nichž leží řešení získaná na kalkulačce, jsou pro funkce sin .v, cos x a tg x vymezeny v obr. 3.13 zesílením odpovídající části grafu. Rovnici 0,5 = sin.r vyhovují hodnoty 30" a 150 a všechny další, které se od nich liší o celočíselný násobek plného úhlu. (O existenci různých řešení se můžeme snadno přesvědčit, najdemc-li průsečíky přímky y = 0.5 s grafem funkce sinus.) Při výpočtu na kalkulačce se však na displeji objeví právě výsledek 30°, který leží ve vyznačeném intervalu. Jak poznáme, které z možných řešení odpovídá zadané úloze? Vraťme se k příkladu 3.1. kde jsme mj. zjišťovali úhel 0 na základě znalosti jeho tangenty, tgO = 1,5. Na kalkulačce dostaneme hodnotu 9 = 56°. Snadno však zjistíme, že také tangenta úhlu 0 = 236; (= 180n + 56°) má požadovanou hodnotu 1,5. Který z obou úhlů je správný? z fyzikální úvahy je zřejmé, že zadání úlohy vyhovuje hodnota 56:' (obr. 3.2b). Bod 3.4: Měření úhlů mezi vektory Vztahy (3.5) a (3.6) platí v případě, že je symbolem 0 označen úhel, který svírá vektor a s kladným směrem osy x. Je-li v úloze zadán úhel vektoru s jiným vztažným směrem, nemůžeme jej do vztahů (3.5) a (3.6) bezmyšlenkovitě dosadit. Pokud by byl například písmenem 9 označen úhel vektoru a s kladným směrem osy y, museli bychom goniometrické funkce sin a cos ve vztazích (3.5) mezi sebou vyměnit a zlomek ve vztahu (3.6) převrátit. Možné chybě sc snadno vyhneme tím, že pomocí zadaného úhlu určujícího směr vektoru vypočteme úhel 9 sevřený vektorem a kladným směrem osy x. Přesně tak jsme to provedli při řešení příkladu 3.3. IV kvadranty I 11 III IV ..................1. ............ +1 _ 90c 180 270° .360° j í 1 (a) 1 1 1 -v. >^ cos -90 0 91 y is 0° 770° .W ._________„„, ~y . (b) +2 _______...........1 ...1 7 m T l / / -90° ................./ ....1 90 Iři / 0 270= 360= 1 g — 1 /........-2 (O Obr. 3.13 Grafy tří nejužívanějších goniometrických funkcí. Část křivky určující obor hodnot odpovídající cyklometrické funkce je v každém grafu zvýrazněna. Vyznačené obory splývají s rozmezím hodnot cyklometrických funkcí běžných kalkulaček. 3.4JEDNOTKOVÉ VEKTORY Jako jednotkový je definován každý vektor, který má přesně jednotkovou velikost, bez ohledu na směr. Nepřisuzujeme mu fyzikální rozměr, a tedy ani jednotku. (Říkáme 46 KAPITOLA 3 VEKTORY také, že jeho fyzikální rozměr je 1.) Má jediný význam: určuje směr. Jednotkové vektory určující kladné směry souřadnicových os x, y a z označujeme často i, jak (obr.3.14).* Orientace souřadnicových os na obr. 3.14 je volena tak, aby tvořily pravotočivou soustavu (odpovídá po řadě palci, ukazováku a prostředníku na pravé ruce, když prsteník a malík jsou v dlani). Při jejím libovolném otočení zůstane tato vlastnost zachována. Pravotočivou soustavu souřadnic určenou navzájem kolmými jednotkovými vektory nazýváme zkráceně kartézskou. V dalším textu budeme používat výhradně kartézských souřadnicových soustav. y X Obr.3.14 Jednotkové vektory i, j a k definují kartézskou soustavu souřadnic. Pomocí kolmých jednotkových vektorů i, j a k můžeme velmi snadno vyjádřit každý další vektor. Vektory o a fa z obr. 3.9 a 3.10 zapíšeme například takto: o = ax\ + ciyj, (3.7) b = bxi + byj. (3.8) Geometrický význam těchto rovnic ilustruje obr. 3.15. Vektory axi a ciyj jsou tzv. pravoúhlé průměty vektoru o do směru vektorů i a j. Rozlišujme mezi složkami (ax,ay) a průměty axi, ayj. v (a) (b) Obr. 3.15 (a), (b) Pravoúhlé průměty vektorů a, fa. * Dalšími užívanými symboly pro jednotkový vektor příslušný vektoru a jsou a, do- a° apod. Vraťme se ještě na chvíli k popisu cesty speleologické skupiny v příkladu 3.1. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, aby její počátek splýval s polohou Austinova vchodu, vektory i a / směřovaly východním a severním směrem a vektor k svisle vzhůru. Vyjádření vektoru posunutí d od Austinova vchodu k řece Echo je při této volbě soustavy souřadnic velmi přehledné: d = -(2,6km)i- (3,9km); + (0,025km)k. 3.5 SČÍTÁNÍ VEKTORŮ: ALGEBRAICKÁ METODA Při grafické konstrukci součtu vektorů jsme si mohli všimnout, že je poměrně pracná a nepříliš přesná. V trojrozměrném prostoru je navíc takřka neschůdná. Piímáalgebraická metoda sčítání vektorů, s níž se seznámíme v tomto článku, je při praktických výpočtech velmi účelná. Využívá vyjádření vektorů pomocí jejich složek ve vhodně zvolené soustavě souřadnic. Uvažujme o vektorovém součtu tvaru r = a + b. (3.9) Podle tohoto vztahuje vektor r shodný s vektorem (a + b). Jeho složky rx, ry a rz musí být tedy shodné s odpovídajícími složkami součtu (a + b): rx = ax +bx, (3.10) ry=ay+by, (3.11) rz=az + bv (3.12) Stručněji, dva vektory jsou si rovny právě tehdy, jsou-li jejich stejnojmenné složky shodné. Rov. (3.10) až (3.12) přímo obsahují návod pro výpočet složek součtu vektorů a a fa: (1) Vektory o a fa rozložíme do složek. (2) Sečtením stejnojmenných složek získáme odpovídající složky vektorového součtu r a (3) vektor r pomocí nich v případě potřeby zapíšeme. Můžeme zvolit dvojí způsob zápisu vektoru r: pomocí jednotkových vektorů nebo zadáním velikosti a směru. Směr vektoru v dvojrozměrném prostoru je určen jedním úhlem (například obr. 3.9), v trojrozměrném prostoru je třeba zadat dvojici úhlů.* Často se spokojíme jen se zápisem složek vektoru, nejlépe ve tvaru (ax, ay, a-). * NejčasLčji volíme zadání směru vektoru r pomocí úhlu 0, který vektor r svírá s kladným směrem osy z (tzv. sférický úhel) a úhlu (p mezi průmětem vektoru r do souřadnicové roviny (xy) a osou x (azimutální úhel). 3.5 SČÍTÁNÍ VEKTORŮ: ALGEBRAICKÁ METODA 47 KONTROLA 3: (a) Jaká znaménka majíx-ovéa(b) y-ové složky vektorů d\ a di v následujícím obrázku? (c) Jaká jsou znaménka .v-ové a y-ové složky vektoru (dl +d2)? PŘIKLAD 3.4 Trasa mototuristické soutěže je vymezena následujícími pokyny: Od místa startu jeďte po nejbližší silnici ke kontrolnímu stanovišti A. které je od startu vzdáleno 36km východním směrem. Další kontrola B leží 42 km severně od A. Cíl C je od stanoviště B vzdálen 25 km na severozápad. (Silnice s kontrolními stanovišti jsou zakresleny na obr. 3.16.) i 1 X B \ 20 A .40 vzdálenost (km) Obr. 3.16 Příklad 3.4. Plánek trasy mototuristické soutěže s vyznačením kontrolních stanovišť A, B a C a vhodnou volbou soustavy -ouřadnic. (a) Určete velikost a směr vektoru posunutí d od startu do cíle C. ŘEŠENI: Zvolme soustavu souřadnic v rovině trasy (souřadnicová rovina (xy)) co nejvhodnějším způsobem. Příklad •.hodné volby je zachycen na obr. 3.16. V obrázku jsou vyznačeny i vektory posunutí příslušné třem přesunům popsaným v pokynech soutěže. Vektor d má složky dx = ax + bx + cx = 36km + 0 + (25 km)(cos 135°) = = (36 + 0- 17,7) km = 18,3 km dy = ay + by +cy = 0 + 42km+ (25km)(sin 135°) = = (0 + 42 + 17.7) km = 59,7 km. Velikost a směr vektoru d určíme pomocí vztahu (3.6). d = Jdi + d2 = v (18.3 km)2 + (59,7km)2 = = 62 km, (Odpověď) dy (59.7 km) tgé» = — = —-- = 3.26. 6 dx (18,3 km) 9 = 73°. (Odpověď) Význam úhlu 9 je zřejmý z obr. 3.16. (b) Vyjádřete vektor d pomocí jednotkových vektorů i a j. ŘEŠENÍ: Vektor d zapíšeme jednoduše ve tvaru d = (.v-ová složka)/ + (y-ová složka)/ = = (18.3 km)i + (59.7 km)/ (Odpověď) PŘIKLAD 3.5 Vektory o, b a c ležící v souřadnicové rovině (.vy) jsou zadány takto: o = 4,2/- 1,6/, b = -1.6/+ 2,9/, c = -3.7y. Určete jejich vektorový součet r. Pro jednoduchost nepracujeme s jednotkami, pro pořádek je však možné si představit, že složky vektorů jsou zadány v metrech. ŘEŠENI: Uvědomme si nejprve, že z-ové složky vektorů ležících v souřadnicové rovině (xy) jsou nulové, proto vektor k v jejich zápisech chybí. Podle rov. (3.10) až (3.12) platí rx = ax + bx + cx = 4,2 - 1,6 + 0 = 2,6, r, = ay + by + cy = -1,6 + 2,9 - 3,7 = -2,4 a r, = a, + í>, + c- = 0 + 0 + 0 = 0, r = 2,6/-2,4/+ 0*: = 2,6/ - 2,4/. (Odpověd) Zadání příkladu i jeho výsledek vidíme na obr. 3.17a. Rozklad vektoru r do složek je na obr. 3.17b. 48 KAPITOLA 3 VEKTORY 3 \i 3 -2 - i —4 ...1 s, o 3 r 'C 3 2 I 4 12 3 4 ;2,6/ Obr. 3.17 Příklad 3.5. Vektor r je součtem tří vektorů 3.6 VEKTORY A FYZIKÁLNI ZÁKONY Ve všech obrázcích jsme doposud kreslili osy soustavy souřadnic rovnoběžně s okraj i stránky. S ložky ax a a v vektoru a byly tedy rovněž měřeny podél těchto okrajů (například obr. 3.18a). Tato volba však nemá žádné hlubší matematické či fyzikální opodstatnění, jedinou její předností je pěkný vzhled obrázků. Klidně bychom mohli soustavu souřadnic otočit o úhel cp podle obr. 3.18b (vektor o neotáčet!). V nové soustavě souřadnic budou mít složky vektoru pochopitelně jiné hodnoty. Označme je a'x a a'. Různých otočení soustavy souřadnic

Oje jeho směr souhlasný se směrem vektoru v, pro s < 0 je opačný. Vektor v dělíme skalárem s / 0, násobíme-li jej jeho převrácenou hodnotou l/s. Skalární součin Skalární součin dvou vektorů a a b (značíme a ■ b) je skalární veličina, definovaná vztahem o ■ b = abcoaqi, (3.15) kde cp je úhel sevřený vektory a a b. V závislosti na hodnotě

0, tj. derivací polohového vektoru r podle času dr dř' (4.6) Dosazením polohového vektoru r z rovnice (4.1) dostaneme d , . . , dx. dy. dz, v = —(„ti + yj + zk) — — i + —/ + — k dt dř dř dl v = vxi + Vyj - - vzk, (4.7) kde dx Vx = — Vy = dř dy dt dz a v- = — z dř (4.8) jsou složky rychlosti v. Na obr. 4.3 je zakreslena trajektorie částice P, jejíž pohyb je omezen na souřadnicovou rovinu xy. Při pohybu částice po křivce směrem vpravo se v tomtéž směru odklání i její polohový vektor. V okamžiku t\ je její poloha určena polohovým vektorem r\ a v okamžiku ř] + Ař polohovým vektorem r%. Vektor Ar představuje pomnutí částice v časovém intervalu Ar. Průměrná rychlost v v intervalu od t] do t\ + At je dána rovnicí (4.4) a má stejný směr jako posunutí Ar. tečna trajektorie bodu P Obr. 4.3 Trajektorie částice P s vyznačením její polohy v okamžicích t\ a ř| + Ar. Vektor Ar představuje posunutí částice v tomto časovém intervalu. Červeně je znázorněna tečna k trajektorii v okamžiku ři. Při poklesu délky časového intervalu Ař k nule si můžeme všimnout následujícího chování vektorů charakterizujících pohyb částice: (1) vektor r2 se přibližuje vektoru ľ] a Ar vektoru nulovému, (2) směr vektoru Ar a s ním i směr průměrné rychlosti v se sklánějí ke směru tečny k trajektorii v bodě r\ a konečně (3) průměrná rychlost v se blíží k okamžité rychlosti v. Pro Ar —► 0 je v —>■ v. Vektor okamžité rychlosti je tedy tečný k trajektorii v bodě r\. Okamžitá rychlost částice v má vždy směr tečny k trajektorii. V obr. 4.4 je zakreslen vektor okamžité rychlosti částice P a jeho rozklad do složek. Úvahy o rychlosti lze zobecnit i na případ pohybu částice v trojrozměrném prostoru, bez jakýchkoli omezení: Vektor okamžité rychlosti částice v je vždy tečný k její trajektorii. I^ONTROI „A 2: Částice se pohybuje po kružnici (viz obrázek) a v jistém okamžiku má rychlost v = = (2m-s~ )/ — (2m-s-1)y. Určete, ve kterém kvadrantu částici v tomto okamžiku najdeme, pohybuje-li 4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ 61 se (a) ve směru otáčení hodinových ručiček, (b) proti směru otáčení hodinových ručiček. trajektorie bodu P Obr. 4.4 Rychlost částice P a její rozklad do složek. Rychlost má směr tečny k trajektorii. 4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITE ZRYCHLENÍ Předpokládejme, že v průbčhu časového intervalu od ři do t] + At dojde ke změně rychlosti částice z v\ na vi. Podíl o v — v] At Av a7 (4.9) nazýváme průměrným zrychlením v tomto časovém intervalu. Při přechodu At —» 0 se průměrné zrychlení blíží svému limitnímu případu, takzvanému okamžitému zrychlení a (zkráceně zrychlení): a — áv dť (4.10) Nenulové zrychlení signalizuje, že se mění velikost nebo směr rychlosti částice. (Obě změny mohou samozřejmě probíhat současně.) Dosazením rychlosti v ze vztahu (4.7) do (4.10) dostaneme d , dvx dvy a = —(vxi + Vyj + vzk) = —i + —+/ - dt dt dl dvz —i dt axi + ayj ■ (4.11) kde ax = dvx a v d ť v "d7 a a? dvz ~d7 (4.12) jsou složky zrychlení a. Pohyb částice P na obr. 4.5 jc omezen na rovinu xy. V obrázku je zakreslen vektor zrychlení částice a jeho rozklad do složek. trajektorie bodu P -> Obr. 4.5 Rozklad zrychlení částice do složek přiklad 4.2 Králík vběhl na parkoviště, kde si předtím hrály děti a nakreslily tam křídou dvě kolmé přímky. Můžeme je považovat za osy x a y soustavy souřadnic. Okamžitá poloha králíka vzhledem k této soustavě je popsána funkcemi x = -0.31r +7.2/ +28, y = 0.22r -9,1/ + 30. Čas / je měřen v sekundách a souřadnice x a y v metrech. Polohový vektor r je tedy tvaru r(f) = x(t)i + y(ť)j. (a) Určete velikost a směr polohového vektoru v okamžiku r = 15 s. ŘEŠENÍ: V okamžiku / = 15 s má polohový vektor r složky x = (-0,31)(15)2 + (7,2)(15) +28 = 66 y = (0,22)(15)- - (9,1)(15) + 30 = -57. Polohový vektor r a jeho rozklad do složek znázorňuje obr. 4.6a. Vektor r má velikost v'(66m)2 + (-57m)- = = 87 m. (Odpověď) Pro úhel vektoru r s kladným směrem osy x platí ■57 m v ( — D / m \ 6 x V 66m / -0.864. = -4k (Odpověď) 62 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB (Stejnou hodnotu tangenty má i úhel 9 = 139c, který však neodpovídá znaménkům složek vektoru r.) (b) Určete polohu králíka v okamžicích t = 0 s, 5 s, 10 s, 20 s a 25 s a schematicky nakreslete jeho trajektorii. ŘEŠENÍ: Pro každý ze zadaných okamžiků zopakujeme výpočet podle (a) a získáme následující hodnoty x, y, r a 8: t j s x j m >'/ m r j m e 0 28 30 41 +47° 5 56 -10 57 -10° 10 69 -39 79 -29° 15 66 -57 87 -41° 20 48 -64 80 -53° 25 14 -60 62 -77° Trajektorie králíka je znázorněna na obr. 4.6b. PRÍKLAD 4,3 Určete velikost a směr rychlosti králíka z příkladu 4.2 v okamžiku ř = 15 s. ŘEŠENÍ: Podle vztahu (4.8) je x-ová složka vektoru rychlosti vx = — = -(-0.31r2 + 7,2? + 28) = -0,62r + 7,2. dí dt Pro t = 15 s dostaneme Vz = (-0,62)(15) +7,2 = -2,lm+'. Obdobně je vv = — = -(0.22;2 - 9,1/ + 30) = 0.44í - 9,1 dl dt a pro / = 15 s Vy = (0,44X15) -9,1 = -2,5 m-s-1. y (m) 40 20 60 80 x (m) 0 -20 -40 )s \ 11 40 60 80 s \ * 25 s Os x (m) Obr. 4.6 Příklady 4.2, 4.3 a 4.4. (a) Vektor r a jeho složky v okamžiku T = 15 s. Velikost vektoru r je 87 m. (b) Trajektorie pohybu králika po parkovišti s vyznačením poloh v okamžicích uvedených v zadání úlohy, (c) Rychlost v králíka v okamžiku í = 15 s má smčr tečny k trajektorii v bodě určujícím polohu králíka v okamžiku r = 15 s. (d) Zrychlení a v okamžiku t = 15 s. Zrychlení je konstantní, tj. stejné ve všech bodech trajektorie. (a) y (m) 40 i- --• 20 .........; \ (C) (b) y (rn) (cl) 4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ 63 Vektor rychlosti a jeho složky jsou zakresleny v obr. 4.6c. Pro velikost vektoru v a úhel 9 určující jeho směr platí ~~ V * 1 — 3,3 m-s V(- .1 m-s"1)2 + (-2,5 m-s-1)2 = (Odpověď) li- te e vy _ /-2,5m-s-vx \ —2,1 m-s" = 1,19, 9 = 130 . (Odpověd) J^ONTROLA 3: Následující vztahy popisuji ctyn možnosti pohybu hokejového kotouče po ledové ploše, ležící v souřadnicové rovině xy (poloha je zadána v metrech): (1) x = -3t2 + 4/ - 2 a y = 6ř2 - 4ř, (2) x = -3/3 - 4í a y = -5ř2 + 6, (3) r = 2ř2i- (4? + 3)y, (4) r = (4/3 - 2t)i + 3/ V jednotlivých případech rozhodněte, zda je některá ze složek vektoru zrychlení konstantní. Je v některém z nich konstantní vektor zrychlení o? (Stejná hodnota tangenty odpovídá i úhlu 50°. V souhlasu se znaménky složek rychlosti však správný úhel 6 leží ve třetím kvadrantu, tj. 0 — 50" - 180" = -130".) Rychlost je tečným vektorem k trajektorii a určuje směr, kterým králík běží v okamžiku r = 15 s (obr. 4.6c). PŘIKLAD 4.4 Určete velikost a směr zrychlení a králíka z příkladu 4.2 v okamžiku ř = 15 s. ŘEŠENÍ: Složky zrychlení jsou dány vztahem (4.12): ávx d ax = —- = -(-0,62/ + 7,2) = -0.62 dt dt dl — (0,44/+ 30) =0,44. dt Vidíme, že zrychlení nezávisí na čase, je konstantní. Dvojím derivováním časová promčnná zmizela. Zrychlení a jeho složky jsou vyznačeny v obr. 4.6d pro okamžik t = 15 s. Jeho velikost a směr jsou určeny vztahy a = y'a; + a; = 0.76 m-s"2 v/(-0,62m-s-2)2 +(0,44 m-s~2)2 = (Odpověď) Cly tg ŕ? = — 0.44 m-s" -0,62 m-s -2 = -0,710, 9 145° (Odpověd) Velikost ani směr vektoru zrychlení sc podél trajektorie králíka nemění. Těžko říci, co bylo příčinou toho, že králík neustále „urychloval" svůj běh severozápadním smčrcm. Můžeme si myslet, že třeba vál silný jihovýchodní vítr. PŘIKLAD 4.5 Částice se pohybuje v souřadnicové rovině xy s konstantním zrychlením a. Vektor zrychlení má velikost a ~ 3,0m-s a s kladným smčrcm osy x svírá úhel 9 = 130°. V okamžiku / = 0 se částice pohybuje rychlostí ľo = — 2,0/+4,0/ (v metrech za sekundu). Určete její rychlost v okamžiku / = 2 s a vyjádřete ji pomocí jednotkových vektorů / a j. Určete i její velikost a směr. ŘEŠENÍ: Při řešení této úlohy si připomeneme výsledky odvozené v kap. 2 pro přímočarý pohyb s konstantním zrychlením. Opravdu jich budeme moci využít? V našem případě je sice zrychlení stálé, pohyb částice však není přímočarý (počáteční rychlost má jiný směr než zrychlení). Díky pravidlům vektorové algebry můžeme úlohu řešit „po složkách" a vztah (2.11) (yx = vqjc + axt), platný pro rychlost přímočarého pohybu se stálým zrychlením, použít pro každou ze složek vx a vy vektoru rychlosti v. Lze tedy psát Vy — 1'O.v + (l.xt a Vy = VQy + Qyt. kde i,'oa (= —2,0m-s"') a i'ov(= 4.0m-s ') jsou složky počáteční rychlosti vq. Složky vektoru zrychlení o, ax a ay, určíme užitím vztahů (3.5): ax =acos<9 — (3,Om-s-2) cos 130° = —1,93 m-s"2, a, = a sin9 = (3.0m-s~2) sin 130 = +2,30m-s-2. Dosazením těchto hodnot do rovnic pro složky rychlosti vx a vy dostaneme vx - -2,0m-s-1 + (-1,93m-s 2)(2.0s) = -5.9m-s"', Vy=4,0m-fT] +(+2.30m-s 2)(2,0s) = 8,6m-s_l. Zapíšcme-li výsledky pomocí rozkladu (4.7), dostáváme rychlost částice v okamžiku / = 2 s ve tvaru v = (-5,9 m-s-1)/ +(8,6m-s (Odpověd) 64 kapitola 4 dvojrozměrný a trojrozměrný pohyb Pro velikost a směr rychlosti platí v = y/(-5.9m-s~])2 + (8,6m-s~')2 = lOm-s-1, / 8.6m-s-' \ t&0 = —-r = -1.458, V-5.9m.s-1 J tj- 9 = 1243 = 120°. (Odpověď) Poslední výsledek přepočtěte na kalkulačce. Co myslíte? Zobrazí se na displeji hodnota 124J nebo —55,5"? Nakreslete vektor v a jeho složky a rozhodněte, která z obou hodnot představuje správné řešení úlohy. Proč někdy získáme na kalkulačce matematicky správný, ale fyzikálně nepřijatelný výsledek? Vysvětlení viz bod 3.3. not úhlu 9. (Některé dokonalejší kalkulačky umožňují rovnou získat správný výsledek.) Nakonec je třeba zvolit pro zápis výsledku jednu ze dvou možností, 230° nebo —130°. Obě hodnoty představují týž směr (bod 3.1). Výběr zápisu záleží na tom, pracujeme-li raději s úhly v intervalu od 0° do 360° nebo v intervalu od -180° do +180°. V příkladu 4.3 jsme si vybrali druhou možnost, tj. S = —130°. Bod 4.2: Grafický záznam vektorů Při kreslení vektorů můžeme užít následujícího postupu (např. obr. 4.6): (1) Určíme počáteční bod vektoru. (2) Vedeme jím přímku souhlasně rovnoběžnou s osou x. (3) Od jejího kladného směru odměříme úhlomčrcm zadaný úhel 6. Je-li úhel 9 kladný, měříme jej proti směru otáčení hodinových ručiček a naopak. Vektor r v obr. 4.6a jc zakreslen přesně v měřítku použitém pro popis souřadnicových os. Délka šipky znázorňující tento vektor tak skutečně odpovídá jeho velikosti. Pro grafické znázornění rychlosti (obr. 4.6c) ani zrychlení (obr. 4.6d) jsme žádnou stupnici nezvolili, atak je můžeme kreslit libovolně dlouhé. Nemá smysl přemýšlet o tom, zda má být například vektor rychlosti delší či kratší než vektor posunutí. Jde o rúznč fyzikální veličiny s odlišnými jednotkami. Volba společného měřítka pro jejich grafický záznam by neměla žádné fyzikální opodstatnění. J^ONTROLA 4: Poloha kuličky je dána vektorem r = = (4ž3 — 2t)i + 3j (poloha je zadána v metrech a čas v sekundách). V jakých jednotkách jsou zadány koeficienty 4, —2 a 3? 4.5 ŠIKMÝ VRH V čl, 2.8 jsme se poměrně podrobně zabývali zvláštním případem pohybu částice s konstantním zrychlením, tzv. svis-lým vrhem. Pozornost věnovaná této speciální situaci nebyla přehnaná. Odpovídající experimenty totiž můžeme velmi pohodlně realizovat v „pozemských podmínkách" s minimálním přístrojovým vybavením. Připomeňme si jen stručně hlavní výsledky, k nimž jsme v článku 2.8 dospěli: těleso volně vypuštěné v blízkosti povrchu Země padá se stálým zrychlením, podaří-li sc v dostatečné míře omezit vliv odporu prostředí. Toto tíhové zrychlení g je pro všechna tělesa stejné. Trajektorií padajícího tělesa je přímka definující svislý směr. Udělíme-li tělesu na počátku experimentu nenulovou rychlost ve svislém směru (vzhůru či dolů), pohybuje se opět se zrychlením g a jeho pohyb je také opět přímočarý. Experimenty ukazují víc. Ať jc totiž při vrhu udělena tělesu počáteční rychlost v jakémkoliv směru — nejen svislém — letí těleso vždy se stejným zrychlením g. Jeho trajek- V Obr. 4.7 Stroboskopický záznam pohybu golfového míčku při odrazech na tvrdém podkladu. Mezi jednotlivými odrazy se pohyb blíží šikmému vrhu. Odchylky jsou způsobeny vlivem odporu prostředí, který v reálných situacích pochopitelně nelze odstranit. RADY A NÁMĚTY Bod 4.1: Goniometrické funkce a úhly V příkladu 4.3 bylo třeba určit úhel 9 z rovnice tg ŕ? = 1,19. Zopakujme si použitý postup: Při výpočtu pomocí kalkulačky se na jejím displeji téměř jistě zobrazí hodnota 9 = 50°. V grafu na obr. 3.13c si můžeme všimnout, že stejnou hodnotu tangenty má i úhel 9 = 230° (= 50: + 180°). Pomocí znamének složek vektoru rychlosti vx a vy (obr. 4.6c) dokážeme rozhodnout, že správným řešením úlohy je druhá z obou hod- 4.5 ŠIKMÝ VRH 65 torie nyní leží ve svislé rovině určené vektorem tíhového zrychlení a směrem počáteční rychlosti Ičlcsa. Tento pohyb nazýváme šikmý vrh. Jeho příkladem je let golfového míčku (obr. 4.7), tenisového či fotbalového míče, dělové střely apod. V dalších úvahách se budeme zabývat podrobným rozborem tohoto pohybu. Pro úplnost dodejme, že zanedbáváme odpor vzduchu, vlastní rotaci Země a předpokládáme, žc změny výšky tělesa nad povrchem Země jsou zanedbatelné vůči jejím rozměrům. Řekněme, že sledovaným tělesem je podle obr. 4.8 kulka vystřelená počáteční rychlostí "0 = Voj + VQyj. (4.13) Složky t'o, a vq}, této rychlosti lze zapsat pomocí její velikosti i'o a úhlu 9o (tzv. elevační úhel), který' svírá vektor vn s kladným směrem osy x: i'o,v - ťocosfy) a VQy = t>0sin00- (4.14) Polohový vektor r i rychlost střely v sc při jejím pohybu ve svislé rovině neustále mění. Její zrychlení a je však stálé a vždy míří svisle dolů. (Vodorovná složka zrychlení je nulová.) Na obr. 4.9 je vidět, jak se mění i úhel mezi zrychlením a rychlostí. y Obr. 4.8 Střela vyletí z počátku soustavy souřadnic v okamžiku " = 0 rychlostí vn. V jednotlivých bodech trajektorie jsou zakresleny vektory rychlosti a jejich rozklad do složek. Všimněte si, že vodorovná složka rychlosti se v průběhu pohybu nemění, na rozdíl od složky svislé. Doletem R rozumíme vodorovnou vzdálenost střely od místa výstřelu měřenou v okamžiku, kdy -:řela projde bodem ležícím v téže výšce nad povrchem Země jako ústí hlavně. I když pohyb těles na obr. 4.7 až 4.9 může někomupři-radat docela složitý, bude jeho matematický popis velmi prostý. Zjednodušení je dáno jednak vektorovým charakterem veličin popisujících pohyb (poloha, rychlost a zrychlení), s nimiž tak lze nakládat podle pravidel vektorové algebry, jednak neměnností zrychlení při pohybu těles. Obojí souhlasí s výsledky experimentů. 180 ■ v 90 ip = 90° 90° >

0C / mf TV a střela stoupá střela v nejvyšším bodě trajektorie střela klesá Obr. 4.9 Rychlost a zrychlení střely v různých fázích jejího pohybu. Úhel mezi rychlostí a zrychlením může být v daném okamžiku libovolný. Vodorovné a svislé složky veličin popisujících vrh jsou na sobě nezávislé. Neovlivňují se navzájem. Pohyb částice v rovině můžeme tedy získat složením dvou pohybů přímočarých, vodorovného a svislého. Nezávislost vodorovných a svislých složek veličin popisujících šikmý vrh nyní doložíme ukázkou dvou jednoduchých experimentů. Dva golfové míčky Sledujme stroboskopický záznam pohybu dvou golfových míčků na obr. 4.10. Jeden z nich vypustili experimentátoři volně, druhý vystřelili ve vodorovném směru pomocí pružiny. Všímáme-li si pohybu míčků pouze ve svislém směru, vidíme, že sc oba záznamy shodují. Ve stejných časových intervalech urazily míčky stejnou svislou vzdálenost. Skutečnost, že se jeden z míčků současně pohybuje i ve vodorovném směru, nijak neovlivňuje průmět jeho pohybu do svislého směru. Experiment můžeme domýšlet až k extrémním situacím: střela z pušky, vystřelená vodorovně vysokou rychlostí, dopadne (při zanedbatelném odporu vzduchu) na zem současně s kuličkou, kterou jsme ve stejném okamžiku volně vypustili z dlaně ve stejné výšce. Přesný zásah Pokus na obr. 4.11 už jistě napomohl oživit řadu fyzikálních přednášek. Vyzkoušejme si jej také. Potřebujeme fou-kačku G s malými kuličkami jako střelivem. Terčem může být plechovka zavěšená na magnetu M. Trubici foukačky 66 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB namíříme přesně na plechovku. Ještě je třeba zařídit, aby magnet uvolnil plechovku přesně v okamžiku, kdy střela vyletí z. trubičky a můžeme střílet. t Obr. 4.10 Jeden z míčků jc volně vypuštěn, druhý je vystřelen vodorovným směrem. Průměty jejich pohybu do svislého směru jsou totožné. Obr. 4.11 Kulička vždy zasáhne padající plechovku. V časovém intervalu mezi výstřelem a zásahem obě klesnou o stejnou svislou vzdálenost h měřenou od místa, vc kterém by došlo k jejich srážce v tzv. beztížném stavu (g = 0). Při nulovém tíhovém zrychlení (tzv. stav beztíže) by střela letěla po přímce (obr. 4.11). Plechovka by se vznášela stále na místě i po uvolnění od magnetu a kulička by ji zcela jistě neminula. Při skutečném experimentuje ovšem tíhové zrychlení nenulové. A přesto kulička cíl zasáhne! V obr. 4.11 je vyznačena svislá vzdálenost h, o kterou kulička i plechovka při pokusu poklesnou vzhledem k místu pomyslné srážky při g = 0. K zásahu dojde při libovolně silném fouknutí: při silnějším dostane kulička větší počáteční rychlost, zkrátí se doba letu a zmenší se vzdálenost h. 4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS Výsledky předchozích úvah nyní uplatníme při důsledném matematickém rozboru šikmého vrhu. Víme již, že při něm můžeme využít zjednodušení spočívající v možnosti rozkladu skutečného pohybu na dva nezávisle pohyby, ve vodorovném a svislém směru. Obr. 4.12 Svislý průmět rychlosti skatebordisty se mění. Její vodorovný průmět je však trvale shodný s vodorovnou rychlostí skateboardu. Při výskoku jc sportovec neustále nad skateboar-dem a bez problémů na něj opět doskočí. Pohyb ve vodorovném směru Vodorovná složka tíhového zrychlení je nulová. Vodorovná složka rychlosti šikmého vrhu se tedy s časem nemění. Neustále si udržuje svou počáteční hodnotu vqx (obr. 4.12). Posunutí částice ve vodorovném směru x — xq je dáno 4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS 67 vztahem (2.15) pro ax = 0: x - xo = VOxt. Po dosazení vqx = i>o cos 9q, dostaneme x -x0 = (D()cos0o)ŕ. (4.15) Pohyb ve svislém směru Průmětem pohybu částice do svislého směruje svislý vrh. Pro jeho popis použijeme rovnic (2.21) až (2.25), které jsme odvodili již v článku 2.8. Z rovnice (2.22) například rovnou dostaneme vztah pro svislou složku vektoru posunutí y - yo = voyt - \gr = = (vosmOo)t- \gt2. (4.16) Svislou složku počáteční rychlosti voy jsme nahradili ekvivalentním výrazem t>n sm %■ Využít můžeme i rovnic (2.21) a (2.23), když je nejprve vhodně upravíme: vy = i'o sin d0 - g t (4.17) a v] = (vo siného)2 - 2g(y - y0). (4.18) Z rovnice (4.17) je zřejmé (a obr.4.12 to intuitivně potvrzuje), že časová závislost svislé složky rychlosti je naprosto stejná jako závislost rychlosti míče vyhozeného svisle vzhůru. Na počátku letu je kladná a její velikost postupně klesá k nule. V okamžiku, kdy je i\ = 0, je těleso ve vrcholu své trajektorie. Znaménko svislé složky rychlosti se obrací a její velikost s časem opět roste. Rovnice trajektorie Vztahy (4.15) a (4.16) představují tzv. parametrické rovnice trajektorie částice při šikmém vrhu. (Parametrem je zde čas t.) Její kartézskou rovnici získáme tak, že z rovnic (4.15) a (4.16) tento parametr vyloučíme. Nejjednodušší je vyjádřit čas z rovnice (4.15) a dosadit jej do (4.16). Po malých úpravách dostaneme ex v = (tg&o)x - ——-——? (trajektorie). (4.19) 2(uocos0n) Získali jsme rovnici trajektorie znázorněné na obr. 4.8. Při výpočtu jsme ve vztazích (4.15) a (4.16) pro jednoduchost zvolili xo = 0 a yo = 0. Veličiny g. 0q a Drj jsou konstanty, a tak lze rovnici (4.19) zapsat ve tvaru y = ax + bx2, kde a a b jsou rovněž jisté konstanty. Poznáváme v něm rovnici paraboly s koeficienty a a b. Částice se tedy pohybuje po parabole, má parabolickou dráhu. Dolet Dolet R definujeme jako vodorovnou vzdálenost, kterou střela urazí od okamžiku výstřelu do okamžiku návratu do počáteční výšky nad povrchem Země. V tomto okamžiku je poloha střely dána souřadnicemi x — R a y = yo- Jejich dosazením do rovnic (4.15) a (4.16) můžeme dolet snadno určit: x - xo = (i,'ocos(9o)f = R a y - yo = (vo sin Go)t - \gt2 = 0. Vyloučíme čas a dostaneme 2t;o2 . R =-sin fln cos 9q. g (Totéž bychom získali dosazením x — R a y = Odo (4.19).) Užitím identity sin2#rj = - sin 9q cos 6o z dod. E nakonec upravíme výsledek do tvaru 2 R = — sin2r?n. (4.20) g Můžeme si všimnout, že při pevně zvolené velikosti počáteční rychlosti docílíme největšího doletu při elevačním úhlu 0, který splňuje podmínku sin 29q = 1, tj. 2#n = 90° ař^o = 45':'. Dolet R nabývá největší hodnoty, je-li clevační úhel roven 45c. Vliv odporu prostředí Do této chvíle jsme předpokládali, že vliv okolního vzduchu na pohyb tělesa je zanedbatelný. Tento předpoklad může být celkem dobře splněn při nízkých rychlostech. Ve skutečnosti však okolní prostředí klade pohybu tělesa jistý odpor, který může vést ke značným odchylkám idealizovaných výpočtů od skutečnosti, zejména při vyšších rychlostech. Jako příklad porovnání pohybu ve vakuu a skutečného letu tělesa vzduchem poslouží obr. 4.13. Jsou v něm schematicky znázorněny trajektorie dvou tenisových míčků odpálených úderem rakety. Velikost počáteční rychlosti je v obou případech 160km/h a elevační úhel 60°. Trajektorie I odpovídá skutečnému pohybu míčku, trajektorie lije vypočtena pro případ jeho pohybu ve vakuu. Číselné hodnoty uvedené v tah. 4.1 jsme převzali z článku „The Trajectory of a Fly Balí" publikovaného v časopisu The Physics Teacher v lednu 1985. Pohybu v odporujícím prostředí se budeme podrobněji věnovat v kap. 6. 68 kapitola 4 dvojrozměrný a trojrozměrný pohyb J^ONTROLÁ 5: Jak se mění (a) vodorovná a (b) svislá složka rychlosti šikmo vrženého míče? Určete (c) vodorovnou a (d) svislou složku jeho zrychlení ve vzestupné i sestupné části trajektorie i v jejím vrcholu. Odpor vzduchu zanedbejte. \ TI \ Obr. 4.13 (I) Dráha tenisového míčku vypočtená (na počítači) s uvážením odporu vzduchu. (II) Dráha míčku ve vakuu, vypočtená pro stejnou počáteční rychlost pomocí vztahů odvozených v této kapitole. Důležité číselné údaje o obou trajektoriích jsou shrnuty v tab. 4.1. Tabulka 4.1 Dva míčky v letu Dráha I (vzduch) Dráha II (vakuum) dolet největší výška doba letu 98,5 m 53,0m 6,6 s 177m 76,8 m 7,9 s Elevační úhel je 60° a počáteční rychlost má velikost 160km/h (obr. 4.13). PŘIKLAD 4.6 Záchranný letoun letí na pomoc tonoucímu. Pilot udržuje stálou výšku 1 200 m nad hladinou a směřuje přímo nad hlavu člověka (obr. 4.14). Rychlost letadla má velikost 430km/h. Při jakém zorném úhlu ip musí pilot uvolnit záchranný vak, aby dopadl co nejblíže k tonoucímu? ŘEŠENÍ: Počáteční rychlost vaku vq je shodná s rychlostí letadla. Má tedy velikost 430km/h a vodorovný směr. Poněvadž víme, v jak velké výšce je vak vypuštěn, můžeme snadno určit dobu jeho pádu na hladinu. Do rovnice (4.16), zapsané ve tvaru y - yo = 0-'o sin (90)r - \gt2, dosadíme y — yn = — 1 200 m (záporné znaménko je dáno orientací osy y) a 9o = 0: -1 200m = 0 - í(9,8m-rž)í2. Řešením této rovnice vzhledem k neznámé t dostaneme 2( I 200 m) t = ,/ —-f = 15.65 s. Y (9.8 m-s-2) Za tuto dobu urazí vak i letadlo ve vodorovném směru vzdálenost určenou vztahem (4.15): x - x0 = (vq cos(90)f = = (430km-h"')(cos0c)(15,65s) = 1,869 km = 1 869 m. 1 h 3 600 s Pro xq — 0 je tedy x = 1 869 m. Výpočet zorného úhlu ip je již zřejmý z obr. 4.14. 1 869 m\ = £ = ( 1200 mv 1,558,

> = 0. Jejím řešením vzhledem k neznámé y dostaneme (i)0sin(90)2 (26,5m-s "1)2(sin53°)ľ y = 2(9,8 m-s-2) 22,9 m. 2uosinŕ?o 2(26,5m-s 1) sin53° (9,8 m-s"2) = 4,3 S. (Odpověď) Výšková „rezerva" při průletu artisty nad prostředním kolem činí 7,9 m. (c) Určete dobu celého letu. řešení: Dobu letu můžeme určit několika způsoby. Jednu z možností nabízí rovnice (4.16) s uvážením skutečnosti, že při dopadu je y = 0. Dostáváme y = (vo sin6*o)/ - \gt2, (d) Jak daleko od děla je třeba umístit záchrannou síť? ŘEŠENÍ: Dolet R získáme například z rov. (4.15) pro xo = = 0. do níž dosadíme dobu letu. R = (i>o cosí9o)f = = (26.5m-s-|)(cos53°)(4.3s) = = 69m. (Odpověď) Nyní již umíme zodpovědět úvodní otázku celé kapitoly: Jak Zacchini zjistil, kam je třeba umístit záchrannou síť? Kde získal jistotu, že ruská kola skutečně přeletí? Ať již to byl on sám nebo kdokoli jiný, musel provést stejné výpočty jako my před chvílí. Složitými úvahami, které by umožnily respektovat vliv prostředí, se Zacchini pochopitelně nezabýval. Včdčl však, že odpor vzduchu jeho let zbrzdí a zmenší tak skutečný dolet ve srovnání s hodnotou vypočtenou z jednoduchých vztahů. Proto použil rozměrnou síť a posunul ji o něco blíže k dělu. Zabezpečil si tak poměrně dobrou bezpečnost letu v různých konkrétních situacích, lišících se především podmínkami určujícími vliv okolního prostředí. Tak jako tak musela být nepředvídatelnost vlivu prostředí zdrojem určitého pocitu nejistoty a napětí před každou reprízou tohoto odvážného kousku. Při podobných pokusech jsou artisté vystaveni ještě jinému nebezpečí. I při kratších letech je totiž zrychlení v hlavni děla lak velké, že způsobí krátkou ztrátu vědomí. Kdyby artista dopadl do sítě ještě v bezvědomí, mohl by si zlomit vaz. Artisté proto absolvují speciální trénink, aby se dokázali včas probrat. Lety předváděné v cirkusové manéži jsou podstatně kratší než let Emanuela Zacchiniho. Navíc jsou dnes daleko lépe technicky zabezpečeny. Problém bezvědomí tak prakticky představuje jejich jediné riziko. RADY A NAMETY Bod 4.3: Číselný a algebraický výpočet Zaokrouhlovacím chybám pří číselném výpočtu se můžeme vyhnout tak, že problém řešíme nejprve obecně (algebraicky) a číselné hodnoty dosadíme až do výsledného vztahu. Při řešení př. 4.6 až 4.9 by takový postup byl celkem snadný a zkušenější řešitelé úloh by jej jistě použili. V úvodních kapitolách však raději volíme postupné numerické řešení, abychom získali jasnější představu o hodnotách mezivýsledků. Později dáme přednost řešení algebraickému. 4.7 ROVNOMERNÝ POHYB PO KRUŽNICI Pohyb částice po kružnici nebo jejím oblouku nazýváme rovnoměrným pohybem po kružnici, je-li velikost rychlosti částice konstantní. Možná nás překvapí, že i když se velikost rychlosti nemění, je zrychlení částice nenulové. Zrychlení totiž často spojujeme se změnou velikosti rychlosti a zapomínáme, že rychlost v je vektorovou veličinou, a má tedy i směr. Při jakékoli změně rychlosti, i kdyby šlo pouze o změnu směru, je zrychlení částice nenulové. Právě takovým případem je rovnoměrný pohyb po kružnici. Velikost a směr jeho zrychlení určíme pomocí obr. 4.18. Částice na obrázku se pohybuje po kružnici o poloměru r a její rychlost má konstantní velikost v. Ve dvou bodech P 4.7 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI 71 a Q umístěných symetricky vzhledem k ose v jsou zakresleny vektory rychlostí vp a vq. Tyto vektory mají sice stejnou velikost, ale liší se směrem. Jsou proto různé. Jejich x-ové a v-ové složky jsou vpx = +vcos8, vpy = +vún6 vqx — +ucos#, VQy = — vúnO. Částice, jejíž rychlost má stálou velikost, přejde z bodu P do bodu Q za dobu Aí avc(PQ) r (26) (4.21) kde arc(PQ) označuje délku kruhového oblouku spojujícího body P a Q. Nyní již dokážeme určit složky průměrného zrychlení částice či v časovém intervalu Ar. Pro x-ovou složku dostáváme _ VQx — VPx vcos8 — v cos 0 ax = -■-- - -■- = 0. Ar Ar Tento výsledek není nikterak překvapivý a je zřejmý ze symetrie obr. 4.18. V bodě P je x-ová složka rychlosti stejná jako v bodě Q. Složku äy určíme z rovnice (4.21): vQy ~ l'Py At 2v ún6 2r0/v -v sin0 — v siní Ar v2 \ /ún9 r Záporné znaménko znamená, žc průmět zrychlení o do osy y v obr. 4.18 směřuje svisle dolů. Při limitním přechodu úhlu 6 v obr. 4.18 k nulové hodnotě se budou body P i Q blížit k bodu A ležícímu v nejvyšším bodě kružnice. Limitním případem průměrného zrychlení o, jehož složky jsme právě určili, bude okamžité zrychlení o v bodě A. Okamžité zrychlení v bodě A na obr 4.18 míří v obrázku svisle dolů, do středu kružnice. Při zmenšování úhlu 9 se totiž směr průměrného zrychlení nemění a zůstane tedy zachován i při limitním přechodu. Abychom určili velikost a vektoru okamžitého zrychlení, potřebujeme znát limitní hodnotu podílu sin 6/6 při velmi malých úhlech d. Z matematiky je známo, že tato hodnota je rovna jedné. Ze vztahu pro y-ovou složku průměrného zrychlení již snadno dostaneme velikost okamžitého zrychlení: (dostředivé zrychlení). (4.22) Při rovnoměrném pohybu částice rychlostí o velikosti v po kružnici o poloměru r (nebo jejím oblouku) směřuje zrychlení částice trvale do středu kružnice a má konstantní velikost v2/r. Obr. 4.18 Částice se pohybuje rovnoměrně po kružnici o poloměru r. Velikost její rychlosti je v, v p a vq jsou rychlosti částice v bodech P a Q, symetricky položených vzhledem k ose y. Rychlosti vp a vq jsou rozloženy do složek. Okamžité zrychlení částice v libovolném bodě trajektorie míří do středu kružnice a má velikost v2/r. Částice oběhne celý obvod kružnice (vzdálenost 2nr) za dobu T 2nr T = - (perioda), v (4.23) zvanou doba oběhu, neboli perioda. V obecnějším pojetí rozumíme periodou dobu, za kterou vykoná částice právě jeden oběh po uzavřené trajektorii. Na obr. 4.19 jsou zakresleny vektory okamžité rychlosti a okamžitého zrychlení v různých fázích rovnoměrného pohybu po kružnici. Oba mají stále stejnou velikost, jejich směr se však během pohybu spojitě mění. Rychlost je vždy tečnou ke kružnici, orientovanou ve směru pohybu. Zrychlení trvale směřuje do středu kružnice, a proto je nazýváme zrychlením dostředivým. Obr. 4.19 Rychlost a zrych- „3 lení částice píi rovnoměrném pohybu po kružnici. Vektory mají stálou velikost, ale proměnný směr. v2v 72 KAPITOLA4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB ŘEŠENI: Družice se pohybuje kolem Země rovnoměrně po kružnici. Dostředivým zrychlením je zrychlení gravitační. Oběžnou rychlost v určíme z rovnice (4.22). do které dosadíme a = gar = Rz + h. kde Rz je poloměr Země (viz vnitřní strana obálky nebo dod. C): S Rz + h' Odtud v = s/g(,Rz+h) = = v^-UOm-s^Kó^-lO6 m + 200-10',m) = = 7 770 m-s"1 = 7,77 km/s. (Odpověd) Snadno se přesvědčíme, že doba oběhu družice kolem Země, tedy perioda jejího pohybu, je rovna l,47h. Zrychlení určující změnu směru rychlosti je stejně skutečné jako zrychlení, které souvisí se změnou její velikosti. Fotografie na obr. 2.8 zachycují tvář plukovníka Johna P. Stappa při prudkém brzdění raketových saní. Je jasné, že zřetelné fyziologické obtíže jsou způsobeny prudkou změnou velikosti rychlosti, neboť směr pohybu saní byl při tomto experimentu stálý. Kosmonaut při tréninku na centrifuze je naopak vystaven výrazným změnám směru rychlosti, zatímco její velikost je stálá. Fyziologické pocity vznikající v důsledku zrychlení jsou v obou případech stejné. J^ONTROI .A 6: Těleso se pohybuje v souřadnicové rovině xy po kruhové dráze se středem v počátku soustavy souřadnic. Bodem o jt-ové souřadnici x = —2 m prochází rychlostí -(4m-r1)y. Určete (a) rychlost a (b) dostředivé zrychlení tělesa v bodě o y-ové souřadnici y = 2 m. PŘÍKLAD 4.11 Umělá družice Země je na oběžné dráze ve výšce h = 200 km nad zemským povrchem. V této výšce má gravitační zrychlení g (viz kap. 6) velikost 9,20 m-s-2. Jaká je oběžná rychlost v družice? 4.8 VZÁJEMNÝ POHYB PO PŘÍMCE Představme si, že pozorujeme kachnu, jak letí řekněme na sever rychlostí o velikosti 30km/h. Vzhledem k jiné kachně, která letí spolu s ní, se však naše kachna nepohybuje. Je zřejmé, že rychlost pohybu tělesa závisí na vztažné soustavě pozorovatele, který provádí měření. Obecně budeme vztažnou soustavou rozumět vhodně zvolený objekt, s nímž spojíme soustavu souřadnic. Nejpřirozenější vztažnou soustavou je pochopitelně ta, kterou neustále používáme, aniž si to snad uvědomujeme — zem pod našima nohama. Sdělí-li dopravní policista řidiči, že jel rychlostí I00km/h, má samozřejmě na mysli rychlost vzhledem k souřadnicové soustavě spojené s povrchem Země. A řidič tomu také tak rozumí. Pro pozorovatele v letadle nebo třeba v kosmické lodi nemusí být vztažná soustava spojená se Zemí právě nej-vhodnější (například pro popis pohybu okolních předmětů). Můžeme si ovšem vybrat kteroukoli jinou, neboť výběr vztažných soustav není nijak omezen. Když už se však pro některou z nich rozhodneme, je důležité se této volby držet a všechna měření vztahovat k vybrané vztažné soustavě. Problém popisu pohybu částice v různých vztažných soustavách vyložíme pomocí jednoduchého příkladu: Aleš (vztažná soustava A) sedí v autě zaparkovaném na dálnici v odstavném pruhu a sleduje rychlé auto P (částice), které právě projelo kolem v levém pruhu. Barbora (vztažná soustava B) jede v pravém pruhu stálou rychlostí. Také ona pozoruje automobil P. Dejme tornu, že oba pozorovatelé ve stejném okamžiku změří polohu sledovaného vozidla. Z obr. 4.20, který znázorňuje celou situaci, je zřejmé, že XPA = XPB +xSA- (4-24) PŘÍKLAD 4.10 Stíhací piloti se oprávněně obávají příliš prudkých zatáček. Je-li totiž tělo pilota vystaveno velkému dostředivému zrychlení v situaci, kdy hlava směřuje do středu křivosti zatáčky, dochází k odkrvení mozku a poruše mozkových funkcí. Úplné ztrátě vědomí předchází několik varovných příznaků: Je-li velikost dostředivého zrychlení mezi hodnotami 2g a 3g. cítí se pilot být jakoby „těžký". Při hodnotě 4g začíná vidět pouze černobíle a jeho zorný úhel se zmenšuje (tzv. tunelové vidění). Je-li takovému zrychlení vystaven delší dobu anebo se velikost zrychlení dokonce ještě zvětší, přestává pilot vidět úplně a vzápětí ztrácí vědomí. Tento stav se nazývá g-LOC z anglického „g-induced loss of consciousness". Jaké je dostředivé zrychlení pilota (v jednotkách g) stíhačky F-22 při průletu kruhové zatáčky o poloměru 5,80 km rychlostí o velikosti v = 2 580km/h (716 m-s-1)? ŘEŠENÍ: Dosazením číselných údajů do vztahu (4.22) dostaneme ir (716m-s-')2 ° ~ ~ ~ 5 800 m ~ = 88,39 m-s-2 = 9,0#. (Odpověd) Pilot, který by byl natolik neopatrný, že by skutečně navedl stroj do takové zatáčky, by téměř okamžitě upadl do bezvědomí bez jakýchkoliv varovných příznaků. 4.8 vzájemný pohyb po přímce 73 Všechny členy v této rovnici jsou složky vektorů a mohou být jak kladné, tak záporné. Slovy můžeme rovnici (4.24) vyjádřit takto: „Souřadnici částice P měřenou pozorovatelem ve vztažné soustavě A určíme tak, že k souřadnici částice P měřené pozorovatelem v soustavě B přičteme souřadnici pozorovatele B měřenou pozorovatelem A." Všimněte si významu veličin obsažených v rovnici (4.24) v souvislosti s jejich označením pomocí indexů. lem vztažná soustava a vztažná soustava B i. XBA XľA =XfB +XBA vba -O— Obr. 4.20 Aleš (vztažná soustava A) a Barbora (vztažná soustava B) pozorují vozidlo P. Všechna vozidla se pohybují podél společné osy x obou vztažných soustav. Vektor v b a představuje vzájemnou rychlost vztažných soustav (rychlost soustavy R vzhledem k soustavě A). Trojice měření vyznačených poloh je provedena v jediném okamžiku. Derivací rovnice (4.24) podle času dostaneme d d d — (Xpa) = —(xpb) + —(.XBA), dt dl dt tj. (vzhledem k tomu, že v = dx/dt) VpA = vpb + vba- (4.25) Tato rovnice vyjadřuje vztah mezi rychlostmi téhož objektu (automobil P), měřenými v různých vztažných soustavách. Tyto rychlosti jsou obecně různé. Vztah (4.25) lze velmi jednoduše vyjádřit slovy: „Rychlost částice P měřená vc vztažné soustavě A je součtem její rychlosti měřené v soustavě B a rychlosti soustavy B měřené v soustavě A." Symbolem vba značíme rychlost vztažné soustavy B vzhledem k soustavě A (obr. 4.20), neboli relativní rychlost B vůči A; rychlost vpa se též nazývá relativní rychlost (automobilu) vůči vztažné soustavě A. Zatím uvažujeme pouze o takových vztažných soustavách, které se navzájem pohybují konstantní rychlostí. Barbora (soustava B) tedy musí jet vzhledem k Alešovi (soustava A) stálou rychlostí. Pohyb automobilu P není omezen ničím, může být zrychlený či zpožděný, automobil může i zastavit nebo couvat. Derivací rovnice (4.25) dostaneme vztah pro zrych- ap.\ = apB- (4.26) (Uvědomte si, že rychlost vba je konstantní. Její časová derivace je tedy nulová.) Informace obsažená ve vztahu (4.26) je velmi důležitá: Částice má stejné zrychlení ve všech vztažných soustavách pohybujících se navzájem konstantními rychlostmi. Jinými slovy: Pozorovatelé v různých vztažných soustavách, pohybujících se navzájem konstantními rychlostmi, naměří u zkoumané částice totéž zrychlení. j^ONTROLA 7: V následující tabulce jsou uvedeny rychlosti (vkm/h) Barbořiny vztažné soustavy B a vozidla P pro tři různé situace. Doplňte chybějící údaje a určete, jak se mění vzdálenost vozidel P a B. Situace vba vpa vpb 1 +50 +50 2 +30 +40 3 +60 -20 PŘIKLAD 4.12 Aleš parkuje na okraji silnice, která vede od východu na západ. Sleduje automobil P jedoucí západním směrem. Barbora jede na východ rychlostí vba = 52km/h. a také pozoruje vůz P. Směr od západu k východu považujeme za kladný, (a) V určitém okamžiku Aleš zjistil, že se vozidlo P pohybuje rychlostí 78 km/h. Jakou rychlost vozidla P naměří v tomto okamžiku Barbora? ŘEŠENÍ: Ze vztahu (4.25) dostaneme VPB = V p A vba ■ Víme, že vpa = —78 km/h. Záporné znaménko vyjadřuje skutečnost, že se vůz P pohybuje západním (tedy záporným) směrem. Rychlost vztažné soustavy B vzhledem k A je rovněž zadána, Vba = 52 km/h. Je tedy vPB = (-78 km/h) = -130 km/h. (52 km/h) (Odpověd) Kdyby byl vůz P spojen s vozem Barbory lanem navinutým na cívce, odvíjelo by se lano z cívky právě touto rychlostí, (b) Aleš zpozoruje, že vůz P se po 10 s brzdění zastavil. Jaké zrychlení vozu P Aleš naměřil za předpokladu, že automobil brzdil rovnoměrně? 74 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB ŘEŠENÍ: Z rovnice (2.11) (vx = v0x + axt) dostaneme vx-v0x 0-(-78km-h-1) ax =-=-= t (lös) _ /^Skrn-h"1 \ / 1 m-s 1 \ _ ~ V. ÍOs ) V3,6km-h-' ) ~ = 2,2 m-s"1. (Odpověď) (c) Jaké zrychlení vozu P naměří Barbora? ŘEŠENÍ: V části (a) této úlohy jsme zjistili, že počáteční rychlost vozu P vzhledem k Barboře jc — 130km-h_1. Vůz P na dálnici zastavil, je tedy v klidu vzhledem k Alešově vztažné soustavě. V soustavě Barbořině se však pohybuje rychlostí o velikosti 52km-h 1 smčrcm na západ. Rychlost automobilu P vzhledem k Barboře je tedy — 52km-h . Užitím vztahu vx = vqx + axt dostaneme _ vx - v0x _ (-52km-h"') - (-130km-h">) _ a* ~ ř ~ (10 s) = 2,2 m-s"1. (Odpověď) Barbořin výsledek je, podle očekávání, stejný jako Alešův. Ve výpočtech jsme tedy neudělali žádnou chybu. 4.9 VZÁJEMNÝ POHYB V ROVINĚ Vzájemný pohyb těles v rovině (případně i v prostoru) lze nejlépe popsat pomocí vektorů. Na obr. 4.21 jsou znázorněny vztažné soustavy A a B našich dvou pozorovatelů, kteří opět sledují pohyb částice P, tentokrát v rovině. Soustavy se stejně jako v předchozím případě pohybují konstantní vzájemnou (neboli relativní) rychlostí vba- Pro zjednodušení výpočtů navíc předpokládejme, že odpovídající si osy obou soustav (x-ové a y-ové) jsou trvale rovnoběžné. Pozorovatelé v soustavách A a B v určitém okamžiku změří polohu částice P. Z vektorového trojúhelníka na obr. 4.21 je na první pohled zřejmý vztah mezi jejími polohovými vektory v obou soustavách: rpA = rpB +rsA- (4-27) Tato vektorová transformační rovnice odpovídá skalární rovnici (4.24), platné pro pohyb po přímce. Derivujcmc-li ji podle času, získáme vztah mezi rychlostmi částice naměřenými pozorovateli v soustavách A afí: vpa = vpb + vba- (4.28) Tento vztah je dvojrozměrným ekvivalentem skalární rovnice (4.25). Význam indexů je stejný jako v rovnici (4.25) a vba opět představuje (konstantní) rychlost soustavy B vzhledem k soustavě A. Dalším derivováním rovnice (4.28) dostaneme vztah pro zrychlení ar a = aPB- (4.29) Důležitý výsledek, který jsme získali pro případ pohybu po přímce, zůstává v platnosti i při pohybu v rovině či prostoru: při konstantních vzájemných rychlostech vztažných soustav naměří všichni pozorovatele stejné zrychlení pohybující se částice. y X vztažná soustava A Obr. 4.21 Vztažné soustavy v rovině. Vektory rpA a rpfí určují polohu částice v soustavách A a B, je polohový vektor počátku soustavy B v soustavě A. Vektor vBA představuje vzájemnou rychlost vztažných soustav (rychlost soustavy B vzhledem k A). Předpokládáme, že tato rychlost je konstantní. PŘÍKLAD 4.13 Netopýr letící rychlostí km/ zaregistruje mouchu, která se pohybuje rychlostí Vmz. Rychlosti jsou zadány na obr. 4.22a a jsou vztaženy k zemi. Určete rychlost vmn mouchy vzhledem k netopýrovi a vyjádřete ji pomocí jednotkových vektorů. ŘEŠENÍ: Podle obr. 4.22a jsou rychlosti mouchy a netopýra vzhledem k zemi dány vztahy vmz = (5,0m-s_1)(cos50o)i+(5,0m-s 1 )(sin50c); a vNZ = (4.0m-s ')(cos 150°)/+ (4,0m-s"')(sin i50c)j. Uhly odměřujeme od kladného směru osy x. Při výpočtu vyjdeme ze skutečnosti, že rychlost ľyiN mouchy vzhledem k netopýrovi je vektorovým součtem rychlosti v\\z mouchy 4.9 VZÁJEMNÝ POHYB V ROVINĚ 75 vzhledem k z.emi a rychlosti vzn země vzhledem k netopýrovi. Pak ľMN = "MZ + ^ZN (obr. 4.22b). (Všimněte si, že „vnitřní" indexy (bližší znaménku „plus") na pravé straně této rovnice jsou stejné. Vnější indexy pravé strany se shodují s indexy na levé straně a na obou stranách rovnice vystupují ve stejném pořadí.) Vektor vzy je ovšem definován jako opačný k vektoru vnz, tj- ^ZN = — ^z, dostáváme proto "mn = VMZ + ( Vy,/)- Dosazením rychlostí vuz a vnz (obr. 4.22) do předchozího vztahu dostaneme nm = (5,0m-s_l)(cos50°)i + (5,0m-s_1)(sin50c)y- - (4,0m-s_l)(cosl50o)i- - (4,0m-s_1)(sinl50o)y = = 3,21/ + 3,83; + 3,46/ - 2,0/ = (6,7m-s~')í + (l,8m-s"')y. (Odpověd) vUz =5,0 m/s \5G vkz = 4,0 m/s 3CT (a) -vNZ (b) Obr. 4.22 Příklad 4.13. (a) Netopýr zaregistroval mouchu, (b) Vektory rychlosti mouchy a netopýra. PRÍKLAD 4.14 Kompas na palubě letadla ukazuje, že letadlo směřuje k východu. Palubní rychloměr udává hodnotu 215km/h vzhledem k okolnímu vzduchu. Vane stálý jižní vítr rychlostí 65,0 km/h. (a) Jaká je rychlost letadla vzhledem k zemi? ŘEŠENÍ: Pohybujícím se tělesem je nyní letadlo (L). Letadlo (L) zde považujeme za hmotný bod. Jedna ze vztažných soustav jc spojena se zemí (Z) a druhá se vzduchem (V). Podle rovnice (4.28) platí v\y. = V\y + Vyz, (4.30) kde V]_z je rychlost letadla vzhledem k zemi, vLV rychlost letadla vzhledem k okolnímu vzduchu a vyz rychlost vzduchu vzhledem k zemi (rychlost větru). Vektory rychlosti vystupující v rovnici (4.30) lze zakreslit tak, aby tvořily strany trojúhelníka podle obr. 4.23a. V obrázku si všimněte, že letadlo je orientováno přídí k východu, přesně tak, jak ukazuje palubní kompas. To však ještě neznamená, že se tímto směrem také skutečně pohybuje. (a) (b) Obr.4.23 Příklad 4.14. (a) Letadlo, jehož pilot udržuje východní kurs, je unášeno severním směrem, (b) Má-li letadlo letět východně, musí mířit částečně proti větru. Velikost rychlosti letadla vzhledem k zemi určíme z vektorového trojúhelníka na obr. 4.23a: t'LZ (215 km/h)2 + (65,0km/h)2 = 225 km/h. (Odpověď) Úhel a na obr. 4.23a je dán vztahem Hvz (65,0 km/h) tg a !,'LV (215 km/h) = 0,302, a = 16,8°. (Odpověď) Letadlo letí vzhledem k zemi rychlostí 225 km/h ve směru, který je od východního kursu odkloněn o 16,8° na sever. Vzhledem k zemi se tedy letadlo pohybuje rychleji než vůči okolnímu vzduchu. (b) Jaký kurs musí pilot udržovat, chce-li skutečně letět na východ? (Kurs je určen údajem na palubním kompasu.) ŘEŠENÍ: Aby letadlo letělo vzhledem k zemi přesně východním směrem, musí směřovat částečně proti větru a kompenzovat tak jeho unášivý vliv. Rychlost větru je stejná jako 76 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB v časti (a). Diagram rychlostí odpovídající teto situaci je na obr. 4.23b. Vektory Vlv, v\z, vlz tvoří opčt pravoúhlý trojúhelník, podobně jako na obr. 4.23a a stále platí rovnice (4.30). Velikost rychlosti letadla vzhledem k zemi určíme podle obr. 4.23b: ,;L/ = V ĽV - co do rovnice (4.32), dostaneme její nerelativistický tvar (4.25). PŘÍKLAD 4,15 (Malé rychlosti) Pro vps = vba = 0,0001c určete vpa z rovnic (4.25) a (4.32). PŘEHLED & SHRNUTÍ 77 RESEN1: Z rovnice (4.25) dostaneme vpa = vpb + vba = 0,000 2c. 0,000 lc + 0,000 ic (Odpověď) Z rovnice (4.32) vpb + vb a 0,000 1c + 0,000 1 c 1 + VpbVba/C2 0.000 2c ,000 000 01 1 + (0.000 lc)2/c2 = 0,0002c. (Odpověď) RESENI: Z rovnice (4.25) dostaneme i;p,4 = vpb + vba — 0.65c- + 0.65c = = 1.30c. (Odpověď) Z rovnice (4.32) plyne vpb + vba vpa I + vpbvba/c2 1.30c ,423 0,91c. 0,65c + 0,65c +(0,65c)(0.65c)/c2 ~~ (Odpověď) Závěr: Pro rychlosti běžných hmotných těles vedou vztahy (4.25) a (4.32) ke stejným výsledkům. V takových případech můžeme celkem automaticky používat rovnici (4.25). PŘIKLAD 4.16 (Vysoké rychlosti) Určete Vpa ze vztahů (4.25) a (4.32), je-li vpb = vba — 0.65c. Závěr. Pro vysoké rychlosti jsou výsledky kinematiky pomalých těles a výsledky speciální teorie relativity velmi rozdílné. Klasická kinematika neklade na velikost rychlosti objektů žádná omezení. V jejím rámci jsou tedy přípustné i hodnoty větší než rychlost světla ve vakuu (jako v př. 4.16). Vc speciální teorii relativity naopak nikdy nemůže mít hmotný objekt vůči pozorovateli větší rychlost než světelnou, bez ohledu na to, jak vysoké rychlosti skládáme. Experiment závěry speciální teorie relativity plně potvrzuje. PŘEHLED & SHRNUTÍ kde Ar je posunutí částice v tomto intervalu. Polohový v-ektor Poloha částice vzhledem k počátku soustavy souřadnic je popsána polohovým vektorem r, zapsaným pomocí jednotkových \ ektorů kartézské soustavy souřadnic ve tvaru r = xi + yj + zk. (4.1) Rychlost Okamžitou rychlostí částice v rozumíme limitu její průměrné rychlosti, blíží-li se doba Ai k nule. Vektory xi, yj a zk jsou průměty polohového vektoru r do směrů souřadnicových os, x, y a z jsou odpovídající složky. Polohový vektor je určen buď velikostí a jedním či dvěma úhly, nebo svými složkami. Posunutí Přemístění částice z polohy určené polohovým vektorem r\ do polohy dané vektorem r2 je popsáno vektorem posunuli Ar: Ar = r2 - n • (4.2) Jiný zápis posunutí využívá opět jednotkových vektorů: Ar = (x2 - xi)i + (y2 - y\)j + (z2 - zj )k, (4.3) kde (x\, yi, z. \) jsou složky vektoru r\ a (x2, yi, zi) složky vektoru r2. Průměrná rychlost Průměrná rychlost částice v v časovém intervalu od / do / + Ar je definována jako podíl 11 ■ dr di ' vxi+ Vyj + v k, (4.6) (4.7) kde vx = áx/ůt, vy = áy/át a vz = dz/dt. Směr vektoru okamžité rychlosti v je v každém okamžiku tečný k trajektorii částice. Průměrné zrychlení Změní-li se rychlost hmotného bodu za časový interval Al z hodnoty v\ na hodnotu v2. je průměrné zrychlenía v tomto intervalu definováno jako podíl v2 — v\ At A v At ' (4.9) Zrychlení Při poklesu délky časového intervalu Ar k nulové hodnotě nabude průměrné zrychlení a limitní hodnoty o. kterou nazýváme (okamžitým) zrychlením. Ar Ä7' (4.4) d v d7' (4.10) 78 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB ti- er = axi + ciyj + azk, (4.11) kde ac = dvx/dt,ay = dvy/di aaz — dv,/dt. S jednotlivými složkami vektorů o, ľ a r můžeme pracovat odděleně a používat vztahů pro jednorozměrný pohyb, odvozených v kap. 2. Šikmý vrh Při šikmém vrhu se částice s počáteční rychlostí vq pohybuje ve svislé rovině s tíhovým zrychlením g. Je-li její počáteční rychlost ľo zadána velikostí vo a úhlem, který vektor yQ svírá s vodorovnou rovinou, má její trajektorie následující parametrické rovnice: x — xy) = (vq cos^o)ř, (4.15) y - yo = (vo sin6>o)r - ^gt2. (4.16) Pro složky rychlosti platí vx = vq cosř?0, cv = vq sin(90 - g'■. v; = (vq sin6»o)2 - 2g(y - y0). Trajektorií částice je parabola o rovnici -2 y = (tge0)x ■ gx- 2(vq cos 6q)- (4.17) (4.18) (4.19) při takové volbě počátku soustavy souřadnic, při níž jsou počáteční souřadnice xo a yo nulové. Doletem částice rozumíme její vodorovnou vzdálenost od místa výstřelu v okamžiku, kdy je její výška nad povrchem Země stejná jako v okamžiku výstřelu. Platí R = — ún290. S (4.20) Velikost zrychlení částice má hodnotu a = —. (4.22) r Zrychlení o trvale směřuje do středu kružnice nebo kruhového oblouku. Nazýváme je dostředivým zrychlením. Doba oběhu částice 2tít T = se též nazývá perioda pohybu. (4.23) Vzájemný pohyb Rychlosti částice měřené ve vztažných soustavách AaS jsou obecně různé. Je-li vzájemný (relativní) pohyb vztažných soustav pouze translační, jsou okamžité rychlosti částice měřené v těchto soustavách vázánv transformačním vztahem VPA = VpB + VB A, (4.28) kde vba je rychlost vztažné soustavy B vzhledem k A. Je-li rychlost vzájemného pohybu vztažných soustav Vba konstantní, naměří pozorovatelé v obou vztažných soustavách stejné zrychlení částice, tj. aP a =oPB. (4.29) Při rychlostech blízkých rychlosti světla je třeba použil místo vztahu (4.25) (vpa = vpb + vba) vztah vyplývající ze speciální teorie relativity. Pro přímočarý pohyb má tento vztah tvar vpa vpb + vba , , VpbVba (4.32) Rovnoměrný pohyb po kružnici Obíhá-li částice po kružnici o poloměru r rychlostí o stálé velikosti v, nazýváme její pohyb rovnoměrným pohybem po kružnici. a pro velmi malé rychlosti (zanedbatelné ve srovnání s rychlostí světla) přejde v rovnici (4.25). OTÁZKY 1. Rychlost hokejového kotouče pohybujícího se v rovině xy je dána následujícími výrazy (v metrech za sekundu) (1) Vx = 3i2 + At - 2 a vy = 6/ - 4, (2) vx = -3 a vy = -5i2 + 6, (3) v = 2t2i - (At + 3)y, (4) v = -2ti + 3j. Ve kterém z uvedených případů jc některá ze složek ax a ay vektoru zrychlení konstantní? Kdy je konstantní vektor zrychlení? Jaké musí být v případě (4) jednotky koeíicientů —2 a 3, je-li rychlost v zadána v metrech za sekundu a čas / v sekundách? 2. Náboje na obr. 4.24 jsou ve všech případech vystřeleny stejnou rychlostí pod stejným elevačním úhlem, dopadnou však do různých míst. Seřaďte uvedené situace sestupně podle velikosti rychlosti dopadu střel. (a) (b) (c) Obr. 4.24 Otázka 2 3. Ve kterém bodě trajektorie střely z otázky'2 je její rychlost (a) největší, (b) nejmenší? 4. V jistém okamžiku je rychlost letícího míče rovna v = 25/ — — 4,9/ (Osa x je vodorovná, osa v svislá a orientovaná směrem OTÁZKY 79 vzhůru, rychlost ľ je dána v metrech za sekundu). Prošel již míč nejvyšším bodem dráhy? 5. Raketa má být vystřelena z povrchu Země počáteční rychlostí vo, pro kterou připadají v úvahu následující možnosti: (1) »D = 20/+70/, (2) vo = -20/+ 70/, (3) v0 = 20/ - 70/, (4) v0 = -20/ - 70/. Osa x kartézské soustavy souřadnic je vodorovná, osa y je svislá a orientovaná vzhůru, (a) Uspořádejte vektory počáteční rychlosti sestupně podle velikosti, (b) Uspořádejte uvedené možnosti sestupně podle doby letu střely. 6. Chlapec stojící v jámě vyhodí sněhovou kouli z úrovně vodorovného chodníku počáteční rychlostí o velikosti vq pod elevač-ním úhlem 45 °. Koule dopadne znovu na chodník. Jak se změní (a) délka letu, (b) doba letu, zvolí-li chlapec při příštím hodu větší elevační úhel? 7. Ve výšce 2 m nad vodorovným povrchem vyhodíme hroudu hlíny počáteční rychlostí vo = (2/ + Aj) m-s-1. Jaká je rychlost hroudy při dopadu? 8. Letadlo letí rychlostí o velikosti 350 km/h ve stálé výšce nad povrchem Země. Pilot vypustí balík se zásobou potravin. Jaká je (a) vodorovná, (b) svislá složka počáteční rychlosti balíku? (c) Jaká je vodorovná složka jeho rychlosti těsně před dopadem na zem? (d) Jak by se změnila doba pádu balíku, kdyby letadlo letělo rychlostí 450 km/h? Vliv odporu prostředí neuvažujte. 9. Fotbalový míč letí po některé z trajektorií znázorněných na obr. 4.25. Seřaďte je podle (a) doby letu míče, (b) svislé složky jeho počáteční rychlosti, (c) vodorovné složky počáteční rychlosti, (d) velikosti počáteční rychlosti. Volte vždy sestupné řazení. Odpor prostředí zanedbejte. Obr. 4.25 Otázka 9 10. Obr. 4.26 znázorňuje tři možné okamžité situace při pohybu částice. Rozhodněte, ve které z nich (a) velikost rychlosti částice roste, (b) klesá, (c) nemění se. Ve kterém z případů je skalární součin (d) v ■ a kladný, (e) záporný, (f) nulový? 11. Osobní vůz jede stálou rychlostí těsně za nákladní dodávkou. Z dodávky vypadne přepravka, (a) Řidič osobního auta nebrzdí a nesnaží se přepravce vyhnout. Narazí auto do přepravky ještě před jejím dopadem na silnici? (b) Rozhodněte, zda je vodorovná složka rychlosti přepravky během jejího pádu větší, menší, nebo stejná jako rychlost dodávky. 12. (a) Jc možné, aby těleso mělo nenulové zrychlení a přitom se neměnila velikost jeho rychlosti? Jc možné projíždět zatáčkou (b) s nulovým zrychlením, (c) se zrychlením stálé velikosti? 13. Dítě si během jízdy v autě pohrává s míčkem a najednou jej vyhodí svisle vzhůru. V následujících případech rozhodněte, zda míček spadne před dítě nebo za ně, anebo se mu vrátí zpět přímo do ruky: (a) auto jede konstantní rychlostí, (b) zrychluje, (c) brzdí. 14. Člověku jedoucímu ve výtahu vypadne z ruky mince ve chvíli, kdy výtah klesá konstantní rychlostí. Rozhodněte, zda jc zrychlení mince větší, menší, nebo shodné s tíhovým zrychlením vzhledem k (a) člověku ve výtahu, (b) pozorovateli na schodišti. 15. Kapsářka stojí na otevřené zadní plošině tramvaje jedoucí konstantní rychlostí. Ve vhodném okamžiku se vykloní přes zábradlí plošiny a upustí ukradenou peněženku, na kterou již čeká její společnice. Popište trajektorii peněženky z hlediska (a) kapsářky, (b) její společnice a (c) policisty, který stojí v tramvaji jedoucí po vedlejší koleji opačným směrem, rovněž konstantní rychlostí. 16. Při ostřelování Paříže ze vzdálenosti 110 km používali Němci dělostřelecký kanón VWI přezdívaný „Tlustá Berta". Náboje byly vystřelovány pod úhlem větším než 45°. Němci totiž zjistili, že tak dosáhnou téměř dvojnásobného doletu ve srovnání s doletem při elevačním úhlu 45°. Lze z této informace usoudit, jak se mění hustota vzduchu s nadmořskou výškou? 17. Obr. 4.27 představuje jednu ze čtyř kosmických lodí při speciálním závodu. V okamžiku průletu startovní čarou vypustí každá z nich raketu, která směřuje k cílové čáře. Rychlosti kosmických lodí vzhledem kc startovní čáře v\ a rychlosti raket vzhledem k mateřským lodím vt jsou postupnč (1) v\ = 0,70c, Vt = 0,40c, (2) y, = 0,40c, vT = 0,70c, (3) v\ = 0,20c, ur = 0,90c a (4) v] — 0,50c, vr = 0,60c. Bez počítání rozhodněte, (a) kdo zvítězí a (b) kdo bude poslední. (1) (2) (3) Obr. 4.26 Otázka 10 i startovní cara i cílová čára Obr. 4.27 Otázka 17 80 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB CVIČENÍ & ÚLOHY ODST. 4.2 Poloha a posunutí 1C. Meloun leží v místě o souřadnicích x = —5,0 m, y = 8.0 m a z = 0 m. Vyjádřete jeho polohový vektor (a) pomoci jednotkových vektoru, (b) pomocí velikosti a směru, (c) Načrtněte polohový vektor v kartézské soustavě souřadnic. Meloun se posune do místa o souřadnicích (x,y,z) = (3.00m, Om, Om). Určete vektor posunutí a vyjádřete jej (d) pomocí jednotkových vektoru, (c) pomocí velikosti a směru. 2C. Poloha elektronu je zadána vektorem r = 5.0/ — 3,0/ + + 2,Qk (v metrech), (a) Určete jeho velikost a (b) zakreslete jej v kartézské soustavě souřadnic. 3C. Proton se přemístí z počáteční polohy r\ = 5.0/ — 6,0/ + + 2.0fc do polohy ri = —2.0/ + 6.0/ + 2,0/c (všechny složky v metrech), (a) Určete vektor posunutí, (b) S jakou souřadnicovou rovinou je tento vektor rovnoběžný? 4C. Vektor posunutí pozitronu v určitém časovém intervalu je Ar = 2,0/ — .3,0/ + 6,0íf a jeho výsledná poloha je určena polohovým vektorem r = 3.0/ — 4,0fc (v metrech). Jaký byl polohový vektor pozitronu na počátku časového intervalu? ODST. 4.3 Průměrná a okamžitá rychlost 5C. Letadlo letí z města A do C s mezipřistáním ve městě B. Město B leží východně od A ve vzdálenosti 300 km, město C je od B vzdáleno 600 km na jih. Prvá část letu trvá 45,0 min, druhá 1.50 h. (a) Určete vektor posunutí z A do C,(b) průměrnou rychlost a (c) průměrnou velikost rychlosti během celého letu. 6C. Vlak jede na východ stálou rychlostí o velikosti 60,0 km/h. Po 40,0 min jízdy odbočí k severovýchodu a směr jeho dalšího pohybu svírá s místním poledníkem úhel 50.0°. Vlak pokračuje v jízdč dalších 20,0 min. Posledních 50.0 min jízdy míří vlak na západ. Určete jeho průměrnou rychlost. 7C. Balon se během 3,50 h letu dostal do výšky 2,88 km nad povrch Země a posunul se o 21,5 km severně a 9,70 km východně od místa startu. Určete (a) velikost vektoru jeho průměrné rychlosti a (b) úhel, který tento vektor svírá s vodorovnou rovinou. 8C. Poloha iontu se během 10 s změní z hodnoty r\ = 5.0/ — -6,0/ + 2.0fcnar2 = -2,0/ + 8,0/-2,0* (všechny údaje jsou V metrech). Jaká je jeho průměrná rychlost v tomto časovém intervalu? 9C. Poloha elektronu je dána vztahem r = 3.Oř/—4.0r2/+2,0Jk. (Čas / je měřen v sekundách a složky vektoru r v metrech.) (a) Určete časovou závislost rychlostí elektronu v(t). (b) Jakou rychlost má elektron v okamžiku / — 2,0 s? Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů, (c) Určete velikost a směr rychlosti elektronu v lomlo okamžiku. ODST. 4.4 Průměrné a okamžité zrychlení 10C. Rychlost protonu se během 4,0 s změní z hodnoty vi = = 4.0/-2,q/+3.0*nav2 = -2,0/-2,0/+5,0fc(všechny údaje v metrech za sekundu), (a) Určete průměrné zrychlení protonu ô v tomto časovém intervalu. Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů, (b) Určete, jaká je velikost a směr vektoru 5. 11C. Polohový vektor částice závisí na čase vztahem r = / + + 4/2/ + tk. Všechny veličiny jsou vyjádřeny v jednotkách SI. Určete časovou závislost (a) rychlosti, (b) zrychlení částice. 12C. Částice se pohybuje v rovině xy. Její poloha se mění s časem podle vztahu r = (2.00/3 - 5.00?)/ + (6.00 - 7.00/4)/, kde r je v metrech a / v sekundách. Určete její (a) polohu r. (b) rychlost v a (c) zrychlení o v okamžiku / = 2,00 s. (d) Jaký je v tomto okamžiku směr tečny k trajektorii? 13C. Saně s plachtou jsou hnány větrem po zamrzlém jezeře. V jistém okamžiku / mají rychlost (6.30/ — 8,42/) m-s '. Během dalších tri sekund dojde k náhlé změně podmínek a saně se zastaví. Určete jejich průměrné zrychlení v časovém intervalu od t do / + 3 s. 14Ú. Částice se pohybuje v souřadnicové rovině xy s konstantním zrychlením (4,0/ + 2,0/) m-s . V okamžiku t — 0 prochází počátkem soustavy souřadnic rychlostí 8,0/m-s-1. (a) Určete její y-ovou souřadnici v okamžiku, kdy má její x-ová souřadnice hodnotu 29 m. (b) V tomtéž okamžiku určete velikost její rychlosti. 15Ú. Částice vyletí z počátku soustavy souřadnic s počáteční rychlostí 3,00/ms_la pohybuje se s konstantním zrychlením a — {— 1,00/ — 0,500/) m-s"2. (a) Jaká je její rychlost v okamžiku, kdy její .v-ová souřadnice nabývá největší hodnoty? (b) Jaká je v tomto okamžiku její poloha? 16Ú. Rychlost částice pohybující se v souřadnicové rovině xy je dána vztahem v = (6,0/ —4.0/2)/+8,0/. Složky rychlosti jsou měřeny v metrech za sekundu a čas (/ > 0) v sekundách, (a) Jaké je její zrychlení v okamžiku / = 3,0 s? (b) Ve kterém okamžiku je její zrychlení nulové? (c) Kdy je nulová její rychlost? (d) Ve kterém okamžiku má velikost její rychlosti hodnotu 10 m-s ' ? 17Ú. Částice A se pohybuje po přímce y = 30 m rovnoběžně s kladným směrem osy x. Její rychlost v je konstantní a má velikost v = 3,0 m-s . Částice B vyletí z počátku soustavy souřadnic s nulovou počáteční rychlostí právě v okamžiku, kdy částice A prochází osou y (obr. 4.28). Částice B se pohybuje y —3 Obr. 4.28 Úloha 17 CVIČENÍ & ÚLOHY 81 s konstantním zrychlením o o velikosti a = 0.40 m-s~". Jak je třeba volit úhel 0 mezi zrychlením o částice B a kladným směrem osy y, aby se částice srazily? (Jestliže při řešení úlohy dospějete k rovnici čtvrtého stupně pro neznámou t, převeďte ji substitucí u = t2 na kvadratickou rovnici s neznámou u.) ODST. 4.6 Šikmý vrh: matematický popis Při řešení následujících úloh zanedbáme odpor prostředí, i když to v některých případech nebude opodstatněné. Bez tohoto zjednodušení by totiž výpočty nebyly schůdné. 18C. Hráč hodil šipku vodorovnou rychlostí 10m-s . Mířil přitom přesně na střed terče P (obr. 4.29). Za 0,19 s zasáhla šipka bod Q na okraji terče, (a) Určete vzdálenost P Q a (b) vzdálenost hráče od terče. Obr. 4.29 Cvičení 18 19C. Střelec míří na terč umístěný ve vzdálenosti 30,5 m od ústí hlavně. V okamžiku vystřeluje hlaveň vodorovná a směřuje přímo do středu terče. Kulka zasáhne terč 1,9 cm pod jeho středem, (a) Určete dobu letu kulky a (b) její rychlost bezprostředně po výstřelu. 20C. Pohyb všech hmotných objektů v blízkosti povrchu Země je ovlivněn tíhovým zrychlením. Týká se to i protonů, elektronů a ostatních hmotných částic. Uvažujme elektron, který opustí elektronovou trysku s vodorovnou rychlostí o velikosti v = = 3,0 ■ 106 m-s~'. (a) Určete jeho pokles ve svislém směru po průletu vodorovnou evakuovanou trubicí délky 1,0 m. (b) Jak se změní tento výsledek při vyšší počáteční rychlosti elektronu? 21C. Elektronový svazek v katodové trubici opouští elektronovou trysku rychlostí o velikosti 1,0 ■ 109cm-s 1 a vstoupí do oblasti mezi dvěma vodorovnými vychylovacími deskami. Desky jsou čtvercové a jejich strany měří 2 cm. Elektrostatické pole mezi nimi uděluje elektronům zrychlení o velikosti 1,0 • 1017 cm-s"', které míří svisle dolů. Určete (a) dobu průletu elektronu vychylovací soustavou, (b) svislou složku jeho posunutí v tomto časovém intervalu (nenarazí elektron do některé z desek?) a (c) jeho rychlost v okamžiku, kdy opustí prostor mezi deskami (výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů). 22C. Míč se skutálel z vodorovné desky stolu vysokého 1,2 m a dopadl na podlahu ve vodorovné vzdálenosti 1,5 m od hrany stolu, (a) Jak dlouho míč letěl? (b) S jakou rychlostí opusti I desku stolu? 23C. Při zkušební střelbě z pistole stojí střelec na ocelové konstrukci ve výšce 45,0 m nad vodorovným povrchem Země. Střela opustí hlaveň vodorovnou rychlostí o velikosti 250 m-s~'. (a) Za jak dlouho a (b) v jaké vzdálenosti od paty konstrukce dopadne střela na zem? (c) Jaká je v tom okamžiku svislá složka její rychlosti? 24C. Nadhazovač vyhodí baseballový míč vodorovnou rychlostí o velikosti 160 km/h. Pálkař stojí ve vzdálenosti 20 m. (a) Za jak dlouho urazí míč (a) první, resp. druhou polovinu této (vodorovné) vzdálenosti? (b) Určete svislou složku posunutí míče po průletu prvním, resp. (c) druhým z obou úseků, (d) Jak to. že nejsou výsledky částí (b) a (c) shodné? (Vliv odporu prostředí zanedbejte.) 25C. Střela je vystřelena počáteční rychlostí 30m-s-' pod cle-vačním úhlem 60c. Určete velikost a směr její rychlosti po uplynulí doby (a) 2,0 s a (b) 5,0 s. 26C. Kámen je vržen počáteční rychlostí 20,0 m-s-1 pod ele-vačním úhlem 40,0=. Určete vodorovnou i svislou složku jeho posunutí po uplynutí doby (a) 1,10 s, (b) 1,80 s, (c) 5,00 s od počátku pohybu. 27C. Kdosi hodil míč ze skalního útesu počáteční rychlostí o velikosti 15,0m-s_I pod clevačním úhlem —20,0° (pozor na znaménko). Určete (a) vodorovnou i (b) svislou složku jeho posunutí po 2,30 sekundách letu. 28C. Chlapec chytá míč po odrazech od zdi vzdálené 22,0 m. Jeho spoluhráč vyhodí míč rychlostí 25,0m-s_1 pod clevačním úhlem 40,0° (obr. 4.30). (a) Za jak dlouho a (b) jak vysoko nad úrovní místa, z něhož byl vyhozen, narazí míč do zdi? (c) Určete vodorovnou a svislou složku rychlosti míče v okamžiku nárazu, (d) Zjistěte, zda míč projde ještě před nárazem vrcholem své trajektorie. Vo,o" % * ~ 22.0 m Obr. 4.30 Cvičení 28 29C. (a) Dokažte, že poměr maximální výšky a doletu R náboje vystřeleného pod elevačním úhlem 9q je dán vztahem H/R = | tg90 (obr. 4.31). (b) Lze zvolit úhel 0O tak, aby platilo H = R> H 1 y \ífi /Vo \ - -R- Obr. 4.31 Cvičení 29 a 30 82 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROIROZMĚRNÝ POHYB 30C. Střela vyletí z místa na zemském povrchu pod elevačním úhlem do. (a) Ukažte, že zorný úhel ale i na hodnotě tíhového zrychlení g. Ta jc ovšem na různých místech zemského povrchu různá. Na olympijských hrách v Berlíně (g = 9,812 8 m-s-2) v roce 1936 překonal Jesse Owens dosavadní světový rekord ve skoku do dálky výkonem 8,09 m. Jakého výkonu by dosáhl v Melbourne v roce 1956 (g = 9,799 9 m-s-2) při stejných hodnotách vo a Ob? CVIČENÍ & ÚLOHY 83 41Ú. Při baseballovém ulkání chce hráč z třetí mety dohodit míč na první metu vzdálenou 38,7 m. Největší rychlost, kterou dokáže míč vyhodit, má velikost I37km/h. (a) Jak daleko od první mety míč dopadne, vyhodí-li jej hráč vodorovným směrem ve výšce 0,9 m nad zemí? (b) Pod jakým elevačním úhlem musí hráč míč vyhodit, aby jej spoluhráč na první metě zachytil ve výšce 0,9 m nad zemí? (c) Jak dlouho v tomto případě míč poletí? 42Ú. Při sopečné erupci bývají z kráteru vymršťovány velké balvany. Na obr. 4.35 je znázorněn řez japonskou sopkou Fuji. (a) Jak velkou počáteční rychlost by musely balvany mít, aby při elevačním úhlu 35IJ dopadly do bodu B na úpatí sopky? (b) Jaká by byla doba jejich letu? V obou případech zanedbáváme vliv odporu prostředí, (c) Jak by se změnil výsledek části (a), kdybychom odpor prostředí vzali v úvahu? 3,30 kroj Obr. 4.35 Úloha 42 43Ú. Jak velkou počáteční rychlostí musí basketbalista na obr. 4.36 vyhodit míč pod elevačním úhlem 55°, aby dopadl přímo do koše? vyšší trajektorie nižší trajektorie \ Ú 1 — r0,3 m 2,1 m \~-4,2 m-►) Obr. 4.36 Úloha 43 44Ú. Po 4,5 sekundách letu dopadl fotbalový míč do vodorovné vzdálenosti 46 m od místa výkopu. Jaká byla jeho počáteční rychlost (velikost a směr), jestliže mu ji hráč udělil při výskoku, ve výšce 1,5 m nad zemí? 45U. Golfista odpálil míček počáteční rychlostí o velikosti 43 m-s-1 pod elevačním úhlem 30°. Míček doletěl do vzdálenosti 180 m. Předpokládejte, že golfové hřiště je v tomto místě vodorovné, (a) Jak vysoko míček vyletěl? (b) Jak velká byla jeho rychlost těsně před dopadem? 46U. Projektil byl vystřelen ze země počáteční rychlostí o velikosti vq = 30,0 m-s-1 a zasáhl cíl ležící na zemi ve vzdálenosti 20,0 m (obr. 4.37). Určete obč možné hodnoty elevačního úhlu. Obr. 4.37 Úloha 46 47U. Hráč baseballu dokáže dohodit míč do vzdálenosti 60 m. Určete největší možnou výšku takového hodu. 48Ú. Letadlo sestupuje pod úhlem 30° rychlostí o velikosti 290km/h. Pilot uvolní „radarovou návnadu" (obr. 4.38), která dopadne na zem ve vodorovné vzdálenosti 700 m od místa uvolnění, (a) V jaké výšce pilot návnadu uvolnil? (b) Jak dlouho trval její pád? Obr. 4.38 Úloha 48 49Ú. Hráč vykopne míč rychlostí 20m-s_l pod elevačním úhlem 45°. V tomtéž okamžiku vyběhne jeho spoluhráč, vzdálený o 55 m, míči naproti. Jakou průměrnou rychlostí musí běžel, aby zachytil míč těsně před jeho dopadem na zem? Odpor prostředí zanedbejte. 50U. Míč se kutálí po plošině nad schodištěm rychlostí 1,5 m/s a směřuje přímo ke schodišti. Šířka i výška každého schodu mají stejnou hodnotu 20 cm. Na který schod shora míč poprvé doskočí? 51Ú. Při sestupu svírá rychlost letadla se svislým směrem úhel 53". Ve výšce 730m uvolní pilot bombu, která dopadne na zem po 5,00 s letu. (a) Jaká je velikost rychlosti letadla? (b) Do jaké vodorovné vzdálenosti od místa uvolnění bomba dopadne? (c) Určete vodorovnou a svislou složku její rychlosti těsně před dopadem. 52U. Míč je vržen vodorovným směrem z místa ve výšce 20 m nad zemí. Na zem dopadne trojnásobnou rychlostí. Jaká byla jeho počáteční rychlost? 53Ú. (a) Při podání odpálil tenista míček vodorovně rychlostí o velikosti 23,6 m-s 1. K úderu došlo ve výšce 2,37 m nad povrchem kurtu. V jaké výšce přeletí míček nad horním okrajem sítě, je-li síť ve vzdálenosti 12 m a je vysoká 0,90 m? (b) Při dalším podání má míček stejně velkou rychlost, úder však směřuje 5.00° pod vodorovnou rovinu. Zdaří se podání? 84 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB 54Ú. V příkladu 4.8 jsme zjistili, že ncjvělší dolet střely vypálené z přístavní pevnosti je 690 m. O jakou vzdálenost by musela pirátská loď ještě ustoupit, kdyby bylo dělo umístěno ve výšce 30 m nad hladinou moře? 55U. Pálkař odehraje míček ve výšce 1,2 m nad zemí pod ele-vačním úhlem 45°. Dolet míčku je 107 m. Pravidla hry zaručují zisk bodu. přelctí-li míček plot vysoký 7,3 m a vzdálený 98 m. Zjistěte, zda hráč získal bod a v kladném případě určete, jak vysoko nad plotem míček přeletěl. 56U*. Fotbalista dokáže odehrát míč rychlostí 25 m-s-1. Určete interval, v němž musí ležet elevační úhel, aby hráč skóroval. Branka je ve vzdálenosti 50 m a její břevno jc 3,44 m nad zemí. (Využijte vztahu sin2 9 + cos2 (9=1, vyjádřete 1 / cos2 9 pomocí tg2 6 a řešte získanou kvadratickou rovnici pro tg9.) ODST. 4.7 Rovnoměrný pohyb po kružnici S7C. Jeden z modelů atomu vodíku je založen na představě elektronu obíhajícího kolem protonu po kruhové dráze o průměru 5,28- 10-11 m rychlostí o velikosti 2,18-106 m-s-1.Určete (a) zrychlení elektronu a (b) periodu jeho pohybu. 58C. Určete (a) velikost, (b) směr zrychlení sprintera při bčhu zatáčkou o poloměru 25 m. Velikost rychlosti běžce je 10 m-s-1. 59C. Nabitá částice se za určitých podmínek pohybuje v magnetickém poli po kruhové dráze. Předpokládejme, že elektron, pro který jsme takové podmínky zajistili, se pohybuje po kružnici o poloměru 15 cm s dostředivým zrychlením o velikosti o 3,0 • 10l4ms-2. (a) Určete jeho rychlost a (b) periodu jeho pohybu. 60C. Sprinter běží rychlostí 9,2 m-s-1 po kruhové dráze. Dostředivé zrychlení má velikost 3,8 m-s-'. (a) Jaký je poloměr dráhy? (b) Jaká je perioda pohybu? 61C. Umělá družice Země obíhá po kruhové dráze ve výšce 640 km nad zemským povrchem. Perioda jejího pohybu je 98,0 min. (a) Jaká je její rychlost? (b) Jaké je gravitační zrychlení v uvedené výšce? 62C. Kosmická sonda odolá mechanickým pnutím při zrychlení nejvýše 20g. (a) Jaký je nejmenší přípustný poloměr její trajektorie, je-li velikost její rychlosti rovna jedné desetině rychlosti světla? (b) Za jakou dobu opíše polohový vektor takové sondy oblouk příslušný úhlu 90°? 63C. Vrtule ventilátoru se otáčí 1 200krát za minutu. Sledujme bod na konci listu vrtule ve vzdálenosti 0.15 m od osy otáčení, (a) Jakou dráhu opíše tento bod při jedné otáčce vrtule? (b) Jaká je velikost jeho rychlosti? (c) S jakým zrychlením se pohybuje? (d) Jaká je perioda jeho pohybu? 64C. Francouzský expresní vlak TG V (Train ä Grande Vi-tesse, česky „rychlovlak") má stanovenou průměrnou rychlost 216 km/h. (a) Nejvyšší přípustná velikost zrychlení při průjezdu zatáčkou je pro pohodlí cestujících dána hodnotou 0,050g. Jaký je nejmenší možný poloměr zatáčky, kterou může vlak projíždčt uvedenou rychlostí? (b) Musí vlak v zatáčce o poloměru 1,00 km zpomalit? Na jakou rychlost? 65C. Po výbuchu supernovy se může její jádro smrštit tak, že se stane neutronovou hvězdou s poloměrem přibližně 20 km. Předpokládejme, že neutronová hvězda vykoná jednu otáčku za jednu sekundu, (a) Jakou rychlostí se pohybuje bod na jejím rovníku? (b) Vyjádřete dostředivé zrychlení tohoto bodu (vm-s~-a v násobcích g). (c) Jak se změní výsledky částí (a) a (b) při vyšší rychlosti rotace? 66C. Kosmonaut se otáčí na centrifuze s poloměrem 5,0 m ve vodorovné rovinč. (a) Jakou rychlostí se pohybuje, má-li dostředivé zrychlení velikost 7,0g? (b) Kolikrát za minutu se centrifuga otočí? (c) Jaká je perioda jejího pohybu? 67Ú. (a) Jaké jc dostředivé zrychlení na zemském rovníku způsobené rotací Země? (b) Jaká by musela být perioda rotace Země, aby jeho velikost měla hodnotu 9,8 m-s--? 68U. Ruské kolo má poloměr 15 m a otočí se pětkrát za minutu, (a) Jaká je perioda pohybu kola? (b) Určete dostředivé zrychlení v nejvyšším a (c) v nejnižším bodě trajektorie. 69Ú. Vypočtěte zrychlení člověka na 40° severní šířky způsobené rotací Země (obr. 4.39). severní pól 90° 40° severní šířky ~tt>vník Obr. 4.39 Úloha 69 70U. Částice se pohybuje konstantní rychlostí po kruhové dráze o poloměru r = 3,00 m (obr. 4.40) a vykoná jednu otáčku za y Obr. 4.40 Úloha 70 20,0 s. V čase / = 0 právě prochází počátkem O. Určete velikosti a směry následujících vektorů, (a) Polohové vektory částice vzhledem k počátku v okamžicích / = 5,00 s, / = 7,50 s a t = 10,00 s. (b) Vektor jejího posunutí v časovém intervalu od páté do desáté sekundy, (c) Vektor průměrné rychlosti v tomto CVIČENÍ & ÚLOHY 85 časovém intervalu, (d) Okamžitou rychlost a (e) zrychlení na počátku a konci tohoto intervalu. 71U. Chlapec točí kamenem uvázaným na provazu dlouhém 1,5 m. Kámen rovnoměrné obíhá ve vodorovné rovině, ve výšce 2,0 m nad zemí. Náhle se provaz přetrhne a kámen dopadne 10 m od chlapce. Jaké bylo dostředivé zrychlení kamene při rotaci? ODST. 4.8 Vzájemný pohyb po přímce 72C. Loď pluje proti proudu řeky rychlostí 14km/h vzhledem k vodnímu proudu. Voda v řece teče rychlostí 9 km/h. (a) Jakou rychlostí pluje loď vzhledem k břehům řeky? (b) Chlapec na lodi jde po palubč od přídč k zádi rychlostí 6 km/h. Jaká je jeho rychlost vzhledem k břehům? 73C. Muž vystoupí po nehybném eskalátoru dlouhém 15 m za čas 90 s. Jedoucí eskalátor překoná tutéž vzdálenost za 60 s. Za jakou dobu vystoupí člověk po pohybujícím se eskalátoru? Je výsledek závislý na délce eskalátoru? 74C. Trasa mezikontinentálního letu má délku 4 350 km a směřuje východozápadním směrem. Podle letového řádu trvá cesta z východu na západ o 50 minut déle než cesta zpáteční. Rychlost letadla je 960 km/h a vítr vane západním nebo východním směrem. S jakou rychlostí větru se počítalo při sestavování letového řádu? 75C. Kameraman stojí na otevřené plošině dodávky a filmuje běžícího geparda. Dodávka jede rychlostí 65 km/h západním směrem, gepard běží ve stejném směru a je o 48 km/h rychlejší. Náhle se gepard zastaví, otočí se a běží zpět na východ rychlostí 97 km/h vzhledem k zemi. Celý obrat trvá 2,0 s. Určete průměrné zrychlení zvířete vzhledem ke kameramanovi i vzhledem k zemi. 76C. Na letišti v Ženevě usnadňují pohyb cestujících dlouhými koridory „pojízdné chodníky". Petr chodník nepoužil a prošel koridorem za 150 s. Pavel, stojící v klidu na jedoucím chodníku, urazil tutéž vzdálenost za 70 s. Marie šla po chodníku stejnou rychlostí jako Petr. Za jak dlouho prošla Marie koridorem? že automobily pokračují v jízdě nezměněnou rychlostí. Mění se odpovědi částí (a) a (b), když se vozy přibližují ke křižovatce? Obr. 4.41 Cvičení 77 M 600 m 60 km/h 80 km/h 800 m Obr. 4.42 Cvičení 78 ODST. 4.9 Vzájemný pohyb v rovině 77C. Pravidla ragby (obr. 4.41) zakazují tzv. „dopředně" přihrávky. (Průmět rychlosti míče do podélného směru hřiště nesmí směřovat k brance soupeře.) Předpokládejme, že hráč běží k brance protihráčů rychlostí o velikosti 4,0 m-s-1, rovnoběžně s podélným okrajem hřiště. V běhu přihrává svému spoluhráči a odhazuje míč (vzhledem k sobě) rychlostí o velikosti 6,0 m-s-1. Pod jakým nejmenším úhlem vzhledem k podélnému rozměru hřiště může míč odhodit, aby neporušil pravidla? 78C. Obr. 4.42 zachycuje dopravní situaci na křižovatce dvou silnic. Policejní automobil P, vzdálený 800 m od křižovatky, jede rychlostí o velikosti 80 km/h. Vozidlo M je od křižovatky vzdáleno 600 m a na jeho tachometru je údaj 60 km/h. (a) Určete rychlost vozidla M vzhledem k policejnímu autu. Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů, (b) Jaký úhel svírá rychlost vypočtená v části (a) se spojnicí vozidel? (c) Předpokládejte, 79C. Sníh padá svisle rychlostí o velikosti 8,0 m-s-1. Pod jakým úhlem od svislého směru vidí padat sníh řidič automobilu, který jede po rovné silnici rychlostí o velikosti 50km/h? 80C. Lskalátory v obchodním domě jsou konstruovány tak, že svírají s vodorovnou rovinou úhel 40° a pohybují se rychlostí o velikosti 0,75 m-s-1. Muž stojící na stoupajícím eskalátoru uvidí svou dceru, která již nakoupila a jede směrem dolů (obr. 4.43). Určete rychlost otce vzhledem k dceři. Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů. 81Ú. Vrtulník letí ve výšce 9,5 m nad plochým terénem stálou rychlostí o velikosti 6,2 m-s-1. Pilot vyhodí balík ve vodorovném směru proti směru letu. Jeho rychlost vzhledem k vrtulníku má velikost 12 m-s-1. (a) Jaká je jeho počáteční rychlost vzhledem k zemi? (b) Určete vodorovnou vzdálenost balíku a letadla v okamžiku, kdy balík dopadne na zem. (c) Pod jakým úhlem dopadne balík na zem vzhledem k pozorovateli na zemi? 86 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB Obr. 4.43 Cvičení 80 82U. Vlak jede na jih rychlostí o velikosti 30ms_1 (vzhledem k zemi). Prší a vítr žene déšť jižním směrem. Trajektorie dešťových kapek vzhledem k zemi svírají se svislým směrem úhel 70°. Cestujícímu ve vlaku se však zdá, že kapky padají svisle. Určete velikost rychlosti kapek vzhledem k zemi. 83U. Malé letadlo může vzhledem k okolnímu vzduchu dosáhnout rychlosti o velikosti 500km/h. Pilot má dopravit pasažéry do místa vzdáleného 800 km přesně na sever. Zjistí však, že má-li letět přímo k severu, musí odklonit kurs o 20,0° na východ. Let trvá 2,00 h. Určete rychlost větru (směr i velikost). 84Ú. Dvě lodi A a B vyplouvají z přístavu ve stejném okamžiku. Loď A pluje přesně na severozápad rychlostí 24 uzlů a loď B míří jihozápadně, pod úhlem 40° vzhledem k místnímu poledníku, rychlostí 28 uzlů (1 uzel = 1 námořní míle za hodinu, viz dod. D). (a) Určete velikost a směr rychlosti lodi A vzhledem k lodi B. (b) Za jak dlouho bude mezi plavidly vzdálenost 160 námořních mil? (c) Určete směr pohybu lodi A vzhledem k lodi B v tomto okamžiku. 85Ú. Státní policie v New Hampshire provádí měření rychlosti vozidel z letadla. Dálnice vede ve sledované oblasti severojižním směrem. Letadlo se pohybuje vzhledem k okolnímu vzduchu rychlostí o velikosti 217 km/h a letí neustále podél dálnice, přímo na sever. Pozemní služba hlásí, že vítr vane rychlostí 113 km/h, zapomene však udat jeho směr. Pilot zjistí zvláštní věc: bez ohledu na vítr urazil podél dálnice za dobu 1,00 h vzdálenost 217 km. Rychlost letadla vzhledem k zemi je tedy stejná jako za bezvětří, (a) Kterým směrem vítr vane? (b) Kam míří příď letadla (jaký úhel svírá podélná osa letadla s dálnicí)? 86U. Nákladní vagon s dřevěnými stěnami jede po přímém úseku železniční trati rychlostí o velikosti v\. Ostřelovač pálí na vagon z velkorážné pušky. Střela, jejíž počáteční rychlost má velikost í,'2, prorazí obě boční stěny vagonu. Spojnice otvorů je kolmá ke směru jízdy. Pod jakým úhlem vzhledem ke kolejím ostřelovač mířil? Předpokládejte, že směr letu střely se při průchodu stěnou nezmění, velikost její rychlosti se však sníží o 20%. Pro číselný výpočet použijte hodnoty d] = 85 km/h, v2 = 650 m/s. (Jak to, že nepotřebujeme znát šířku vagonu?) 87U. Skifařka dokáže v klidné vodě pádlovat rychlostí 6,0 km/h. (a) Kterým směrem musí namířit příď lodi, aby přejela kolmo k jejím břehům, je-li rychlost vodního proudu 3,0 km/h? (b) Za jak dlouho přejede řeku širokou 6,0 km? (c) Při další jízdě vesluje nejprve 3,0 km po proudu řeky (vzdálenost měřena vzhledem ke břehům) a poté se vrátí do výchozího místa. Jak dlouho trvá tato jízda? (d) Jak se změní výsledek části (c), pojcdc-li skifařka nejprve 3,0 km proti proudu a zpět se vrací po proudu? (e) V jakém směru by musela veslovat (vzhledem ke břehům), kdyby chtěla přejet na protější břeh v nejkratším možném čase bez ohledu na místo přistání? Jak dlouho by to trvalo? ODST. 4.10 Vzájemný pohyb při vysokých rychlostech 88C. Kosmická loď A směřuje ke středu naší galaxie. Posádka zaregistruje záblesk světla, který se šíří rychlostí c ve směru pohybu lodi. Záblesk je zaznamenán i druhou kosmickou lodí B, která letí vzhledem k A rychlosti o velikosti 0,98c. Jakou rychlost světelného pulzu naměří pozorovatel na lodi B, letí-li jeho loď (a) ve stejném směru jako loď A, (b) v opačném směru než loď A? 89C. Elektron letí vzhledem k pozorovateli B rychlostí 0,42c. Pozorovatel B sc pohybuje rychlostí 0,63c vzhledem k pozorovateli A, stejným směrem jako elektron. Jakou rychlost elektronu naměří pozorovatel A? 90U. Posádka kosmické lodi A, která letí k hvězdě Betelgeuze, zaznamená svazek protonů, který míjí loď ve stejném směru a rovněž míří k této hvězdě. Rychlost protonů vzhledem k lodi je 0,9800c. Rychlost protonů ve svazku měří i posádka lodi B, cestující po téže přímce jako loď A, a získá výsledek —0,980 0c. Určete vzájemnou rychlost lodí. 91Ú. Galaxie Alfa se od Země vzdaluje rychlostí o velikosti 0,35c. Galaxie Beta, která je právě na opačné straně, sc vzdaluje rychlostí stejně velkou. Pozorovatel v galaxii Alfa měří rychlost, jíž se od něj vzdaluje (a) Země, (b) Galaxie Beta. Dokážete předpovědět výsledky jeho měření? PRO POČÍTAČ 92U. Jestliže při šikmém vrhu tělesa neleží místo dopadu na stejné vodorovné úrovni jako místo vrhu, není délka vrhu (vodorovná vzdálenost místa dopadu od místa vrhu) největší při ele-vačním úhlu 45°. Předpokládejme, že koulař hodil kouli z místa, které je ve výšce h nad úrovní hřiště. Velikost počáteční rychlosti koule je do, elevační úhel označme 0. Ukažte, že délka vrhu je dána vztahem ťo cos 6 í r--, ~ \ d = -I Do siné* + yj Vq sin' 0 + 2gh I . (b) Sestavte program pro výpočet vzdálenosti d v závislosti na úhlu 0 pro zadané hodnoty vq a h. (c) S přesností na půl stupně určete elevační úhel, při němž bude délka vrhu největší pro hodnoty do = 9,0m-r' a h — 2,1 m. Vypočtěte i tuto největší délku, (d) Závisí výsledky předchozí úlohy na velikosti počáteční CVIČENÍ & ÚLOHY 87 rychlosti? Proveďte výpočet ještě pro hodnoty i'o = 5,0 m-s-1 a vq — 15 m-s-1. (Větší z těchto hodnot vysoce přesahuje reálné možnosti i těch nejlepších sportovců.) 93Ú. V této úloze budeme uvažovat o tom, jak se s časem mění vzdálenost šikmo vrženého tělesa od místa vrhu. Nemáme nyní na mysli pouze vodorovnou složku polohového vektoru tělesa vzhledem k místu vrhu, jako tomu bylo v předchozích úlohách, nýbrž jeho velikost. Bezprostředně po vyhození tělesa lato veličina s časem vždy nejprve roste. V některých případech však může od jistého okamžiku začít klesat a teprve po uplynutí další doby se její průběh opět změní v rostoucí funkci času. Konkrétní situace je závislá na volbě elevačního úhlu. Sestavte program, který pro danou hodnotu velikosti počáteční rychlosti a různé clevační úhly provede opakovaný výpočet okamžité vzdálenosti tělesa od místa vrhu v časovém intervalu od t — 0 (okamžik vrhu) až do okamžiku několik sekund po průletu tělesa počáteční úrovní s časovým krokem At. Pro konkrétní výpočet zvolte «o = 100 m-s-1 a At = 0,5 s, elevační úhly měňte od 5° do 90° s krokem 5°. Pro každý elevační úhel odhadněte časové intervaly, ve kterých se těleso přibližuje a vzdaluje od místa vrhu. (Podrobněji viz James S. Walker: „Projectiles, Are They Comming or Going?", The Physics Teacher, May 1995.) 94U. Pálkař odehraje baseballový míč ve výšce 1,00 m nad zemí. Udělí mu při tom počáteční rychlost o velikosti vq, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 8. Ve vzdálenosti 110 m od postavení pálkaře je plot, vysoký 2,40 m. (a) Pro t>o = 35,0 m-s-1 určete interval, v němž musí ležet elevační úhel 8, má-li míč plot přeletět. Dolní a horní mez tohoto intervalu jsou určeny podmínkou těsného přeletu míče nad plotem. {Tip: Místo explicitního řešení parametrických rovnic trajektorie pro neznámou 8 je možné určit hledané úhly graíickou metodou. V úloze je totiž zadána poloha bodu, kterým musí trajektorie míče projít, aby byly podmínky zadání ještě splněny. Z parametrických rovnic trajektorie lze získat dvě různé závislosti úhlu 8 na okamžiku průletu míče tímto bodem. Zakreslete je do grafu a určete průsečík získaných křivek.) (b) Pro elevační úhel 9 = 40° určete nejmenší hodnotu vq, při níž míč ještě přeletí plot. (c) Aby míč přeletěl plot při pevně zvoleném elevačním úhlu, je třeba, aby velikost jeho počáteční rychlosti převyšovala určitou minimální hodnotu vo(8), závislou na tomto úhlu (viz část (b)). Určete nejmenší ze všech těchto mezních hodnot a najděte odpovídající úhel 8. (d) Řešte část (c) pro případ, že pálkař stojí ve vzdálenosti 96 m od zdi vysoké 12,2 m. 95Ú. Golíista vypálí míček směrem ke svislé zdi vzdálené 20,0 m. Snaží se při tom zasáhnout červený kruh o průměru 30,0 cm, namalovaný na zdi. Střed kruhu je 1,20 m nad zemí. Počáteční rychlost míčku má velikost 15,0 m-s , elevační úhel je 35,0°. (a) Za jak dlouho po úderu narazí míček na stěnu? (b) Zasáhne červený kruh? (c) Jak velkou rychlostí narazí? (d) Prošel míček před nárazem vrcholem své trajektorie? 96Ú. Cyklista je v jistém okamžiku 40,0 m východně od vlajkového stožáru umístěného v parku a jede na jih rychlostí 10,0 m-s-1. Po 30,0 s je vzdálen od stožáru 40,0 m na sever a jede východním směrem rychlostí o velikosti 10,0 m-s-1. Určete (a) posunutí, (b) průměrnou rychlost a (c) průměrné zrychlení za tento časový interval, (d) Vypočtěte rozdíl \(yt — v,), kde v; je rychlost cyklisty na počátku tohoto intervalu a v\ je rychlost na jeho konci. 97U. V jistém okamžiku je polohový vektor motýla vzhledem k rohu zahradního jezírka roven D, = (2,00 m)i + (3,00 m)j + + (1,00 m)*. Po 40.0s je Df = (3,00 m)i + (l,00m)y + + (2,00 m)k. Určete (a) vektor posunutí (pomocí jednotkových vektorů), (b) velikost posunutí, (c) průměrnou rychlost a (d) průměrnou velikost rychlosti motýla v uvedeném časovém intervalu. Všude na světě mají lidé v oblibě soutěže a rekordy. Snad proto, aby se přesvědčili, že hranice lidských možností lze neustále posouvat. A tak se tu a tam dovídáme o nejrůznějších neobvyklých výkonech, včetně neuvěřitelných siláckých kousků. Jeden z nich předvedl 4. dubna 1974 belgický silák John Massis, když se mu podařilo posunout dva osobní vagony newyorské železniční společnosti Long Island: zuby stiskl náústek připevněný k lanu, na němž byly vagony uvázány, zapřel se chodidly do pražců a zaklonil se. Vozy vážily kolem osmdesáti tun. Napadne nás, že Massis určitě musel vyvinout nadlidskou sílu, aby je uvedl do pohybu! Je tomu tak skutečně? 5.2 PRVNÍ NEWTONŮV ZÁKON 89 5.1 ČÍM JE ZPŮSOBENO ZRYCHLENÍ? Pozorujcme-li, že rychlost nějakého malého tělíska mění svou velikost nebo směr, můžeme si být jisti, že něco muselo tuto změnu (toto zrychlení) způsobil. Z běžné zkušenosti totiž víme, že změna rychlosti tělesa je způsobena jeho interakcí s okolními objekty. Pozorujeme-li například hokejový kotouč, který klouže po ledové ploše a náhle se zastaví či náhle změní směr, usuzujeme, že určitě narazil do nějakého hrbolku na ledovém povrchu. Zrychlení tělíska je způsobeno jeho interakcí (vzájemným působením) s okolními objekty. Kvantitativněji popisujeme fyzikální veličinou, kterou nazýváme síla. Snadno si dokážeme představit, že některý z okolních objektů působí na tělísko například silou tlakovou nebo tahovou.* Úder povrchové nerovnosti do hokejového kotouče lze například popsat jako tlakové působení, které je příčinou zrychlení kotouče. Tato kapitola je věnována diskusi o vztahu mezi zrychlením a silami, které je způsobují. Jako první jej pochopil Isaac Newton (1642-1727). Teorii založenou najeho způsobu prezentace tohoto vztahu nazýváme newtonovskou mechanikou. Newtonovská mechanika není použitelná v každé situaci. O jednom omezení její platnosti už víme: v kap. 4 jsme se zmínili o případech, kdy rychlosti interagujících těles nejsou zanedbatelné ve srovnání s rychlostí světla. Tehdy musíme nahradit newtonovskou mechaniku Einsteinovou speciální teorií relativity, platnou pro všechny rychlosti, včetně rychlostí blízkých rychlosti světla. Druhé omezení souvisí přímo s povahou samotné fyzikální soustavy. Náleží-li interagující objekty do oblasti mikrosveta (například elektrony v atomu), je třeba zaměnit newtonovskou mechaniku mechanikou kvantovou. Fyzikové dnes chápou newtonovskou mechaniku jako speciální případ těchto obecnějších teorií. Jedná se však o případ velmi významný, neboť je použitelný pro studium pohybu těles v obrovském rozsahu jejich velikostí, od objektů velmi malých, téměř na hranici atomové struktury, až k objektům astronomickým, jako jsou galaxie či jejich kupy. Zamyslíme se nyní nad prvním pohybovým zákonem newtonovské mechaniky. 5.2 PRVNÍ NEWTONŮV ZÁKON Před tím, než Newton formuloval svoji mechaniku, panoval názor, že jakési působení, tj. „síla", je nezbytné pro udržení * Síla vyjadřuje vzájemné působení objektů. Při přesném vyjadřování bychom tedy měli hovořit o silách, kterými na sledované tělísko T působí okolní objekty A, B atd. Někdy však budeme stručně říkat, že na tělísko působí síly, aniž se staráme o jejich původ. tělesa v pohybu se stálou rychlostí. Klid byl považován za „přirozený stav" těles. Aby se těleso pohybovalo stálou rychlostí, mělo by být nějak poháněno, třeba tlakem či tahem. Jinak by se „přirozeně" zastavilo. Takové úvahy se zdají být rozumné. Uvedeme-li například knihu do klouzavého pohybu po dřevěné podlaze, bude se skutečně zpomalovat a nakonec se zastaví. Hodláme-li docílit toho, aby po podlaze klouzala stálou rychlostí, měli bychom ji neustále tlačit či táhnout. Po ledové ploše by ovšem kniha dorazila o něco dále. Lze si představovat stále delší a kluzčí plochy, po nichž by kniha klouzala do větší a větší vzdálenosti, než by se zastavila. V limitě můžeme uvažovat o dlouhé, extrémně kluzké ploše, kterou budeme nazývat dokonale hladká podložka. Při pohybu po ní se kniha takřka nezpomaluje. (Takovou situaci lze připravit v laboratoři, máme-li k dispozici vodorovnou vzduchovou lavici, podél níž se kniha pohybuje na vzduchovém polštáři.) Dospěli jsme k závěru, že k udržení stále rychlosti pohybu tělesa nepotřebujeme sílu. Dokážeme si jistě uvědomit, že ani k udržení rotačního pohybu tělesa, které bylo jednou roztočeno kolem nějaké vhodně zvolené osy, nepotřebujeme v ideálním případě žádné silové působení. Stačí si představit setrvačník. Prozatím však nebudeme další výklad tímto způsobem komplikovat, i když tím původní Newtonovu formulaci jeho mechaniky poněkud ochudíme. Abychom automaticky vyloučili úvahy o otáčivém pohybu, budeme pracovat výhradně s modelem hmotného bodu neboli částice, který jsme zavedli již v kap. 2, i když někdy, zejména v úlohách, budeme hovořit o tělese nebo konkrétním objektu. Částici, na kterou její okolí nepůsobí, nazveme volnou. Volná částice je samozřejmě opět jedním z idealizovaných modelů, který však vystihuje celou řadu reálných situací ve velmi dobrém přiblížení. Jako volná se částice chová například tehdy, nelze-li vliv jednotlivých okolních objektů na její pohyb zjistit v rámci přesnosti prováděných měření, anebo se vlivy okolních objektů nějakým způsobem kompenzují. Dospíváme k formulaci prvního ze tří Newtonových pohybových zákonů. První Newtonův zákon: Je-li volná částice v klidu vzhledem ke vhodně zvolené vztažné soustavě, pak v něm setrvá. Pohybuje-li se stálou rychlostí, bude v tomto pohybu neustále pokračovat. Tento zákon dobře zapadá do úvah v £1.4.8 o vztažných soustavách, jejichž vzájemná rychlost je konstantní. Bude-li volná částice v jedné z nich v klidu, bude se vůči druhé pohybovat stálou rychlostí. Klid částic nebo vztaž- 90 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I ných soustav se tedy nijak neliší od rovnoměrného přímočarého pohybu. První Newtonův zákon lze interpretovat i tak, že zaručuje existenci preferovaných vztažných soustav, v nichž platí zákony newtonovské mechaniky. Tyto soustavy se vyznačují tím, že v nich jsou volné částice v klidu nebo se pohybují stálou rychlostí. Rychlost vzájemného pohybu takových soustav je tedy rovněž konstantní. Z uvedeného hlediska lze první Newtonův zákon vyjádřit takto: První Newtonův zákon: S každou volnou částicí lze spojit vztažnou soustavu, v níž jsou ostatní volné částice v klidu, nebo se vůči ní pohybují stálou rychlostí. Newton sám se k formulacím svého prvého zákona vracel řadu let. V jeho díle jich dokážeme vystopovat celkem devět, lišících sc zejména výstižností. Žádná z nich, stejně jako formulace dalších Newtonových zákonů, však neobsahuje výslovnou informaci o tom, k jaké vztažné soustavě se váže. Všechny totiž předpokládají absolutní prostor a absolutní čas, nezávislé na jakýchkoli objektech. Již z Galileiových pokusů však vyplynulo, že zákony mechaniky jsou stejné ve všech vztažných soustavách pohybujících se navzájem rovnoměrně přímočaře, a neumožňují tedy „absolutní prostor a čas" zjistit. V dnešním pojetí newtonovské mechaniky proto interpretujeme první Newtonův zákon jako axiom zaručující existenci preferovaných vztažných soustav, soustav inerciálních. Prvnímu Newtonovu zákonu se někdy říká zákon setrvačnosti. Vztažné soustavy, které definuje, se nazývají inerciální vztažné soustavy nebo jednoduše inerciální soustavy*. Obr. 5.1 ukazuje, jak lze zjistit, zda daná vztažná soustava je inerciální. V železničním vagonu, který je v klidu vůči nástupišti, nakreslíme na stůl značku pod rovnovážnou polohu kyvadla. Při pohybu vagonu zůstává tělísko kyva- dla neustále nad značkou jedině tehdy, je-li pohyb vagonu rovnoměrný přímočarý. Pak je vagon inerciální soustavou. * Inerciální vztažná soustava, stejně jako volná částice, jsou samozřejmě pouze idealizované modely. Vesmírná tělesa, například hvězdy, však lze za volné částice považovat s velmi dobrou přesností, neboť jejich vzájemné gravitační působení je zanedbatelné díky obrovským vzdálenostem mezi nimi. (Čtenář si může provést odhad velikosti gravitační síly, jíž na sebe působí například Slunce a nejbližší hvězda Proxima v souhvězdí Kentaura.) Vztažné soustavy spojené s takovými tělesy jsou pak v rámci léto přesnosti inerciální. Často používáme inerciální soustavu spojenou se Sluncem, zvanou Galileiova. V ní umísťujeme počátek soustavy souřadnic do těžiště sluneční soustavy, souřadnicové osy jsou namířeny k vybraným hvězdám. Při studiu pohybů v „pozemských podmínkách" je ovšem výhodné spojovat vztažnou soustavu přímo s „pozemskou laboratoří", tj. povrchem Zcmč v daném místě. Tato soustava však vlivem pohybu Země kolem Slunce a zejména vlivem její vlastní rotace není inerciální (odhadněte velikosti příslušných zrychlení). Pokud však neprovádíme velmi přesná měření, lze i s touto vztažnou soustavou, kterou nazýváme laboratorní, pracovat jako s inerciální. lezničním vagonem. Jestliže sc vagon urychluje, zpomaluje či zatáčí, uhýbá tělísko od značky. Vůz je v takovém případě neinerciální vztažnou soustavou. 5.3 SÍLA Síla způsobuje zrychlení tělesa. Jednotku síly nyní definujeme prostřednictvím zrychlení, které síla uděluje standardnímu referenčnímu tělesu. Jako referenční těleso použijeme (spíše v představě nežli ve skutečnosti) standardní kilogram z obr. 1.6. Toto těleso určuje defmitoricky přesně hmotnost jednoho kilogramu. Položíme standardní těleso na vodorovný, dokonale hladký stůl a táhneme je vpravo (obr. 5.2). Když dosáhneme měřeného zrychlení o velikosti 1 m-s~2, definujeme velikost síly, kterou na těleso působíme, jako 1 newton (zkráceně N). ! ......... Obr. 5.2 Síla F působí na standardní kilogram a udílí mu zrychlení a. Můžeme také na standardní těleso působit silou 2 N a měřené zrychlení bude mít velikost 2 m-s~" atd. Obecně, má-li naše standardní těleso o hmotnosti 1 kg zrychlení o velikosti a, víme, že na ně musí působit síla, jejíž velikost F (v newtonech) je číselně rovna velikosti zrychlení (v metrech za sekundu na druhou). Velikost síly lze tedy měřit prostřednictvím velikosti zrychlení, které síla způsobuje. Zrychlení je však vektorovou veličinou, charakterizovanou jak velikostí, tak směrem. Je síla rovněž vektorovou veličinou? Síle můžeme přisoudit 5.4 HMOTNOST 91 směr velmi snadno, totiž shodně se směrem zrychlení. To však nestačí. Vektorový charakter sil musíme ověřit experimentem. Výsledek splňuje očekávám: síly jsou skutečně vektorové veličiny. Mají směr i velikost a skládají se podle pravidel pro sčítání vektorů, uvedených v kap. 3. Pro označení sil budeme tedy používat tučných symbolů, nejčastěji F. Symbol J] F užijeme pro označení vektorového součtu několika sil, který nazveme výslednou silou neboli výslednicí. Jako každý vektor lze i jednotlivé síly či výslednici promítat do souřadnicových os a určovat jejich složky. Nakonec poznamenejme, že první Newtonův zákon platí nejen v případech, kdy na těleso nepůsobí žádné síly, ale i tehdy, když síly sice působí, ale jejich výslednice je nulová. J^ONTROLA 1: Dvě kolmé síly F\ a F2 na obrázku jsou kombinovány šesti různými způsoby. Které z nich správně určují výslednici F"? id) 5.4 HMOTNOST Každodenní zkušenost nám ukazuje, že jedna a táž síla udě-luje různým tělesům různá zrychlení. Představme si, že na podlahu položíme fotbalový míč a stejně velký medicinbal, vycpaný látkou, a do obou prudce kopneme. Aniž bychom museli takový pokus uskutečnit, víme, jak dopadne: lehký fotbalový míč získá výrazně větší zrychlení než těžký medicinbal. Zrychlení obou těles jsou různá proto, že se liší jejich hmotnosti. Avšak co je to přesně hmotnost? Měření hmotnosti vyložíme pomocí série myšlenkových experimentů. V prvním z nich budeme působit silou na standardní těleso, jehož hmotnost mn byla definována jako 1,0kg. Předpokládejme, že velikost zrychlení standardního tělesa je l,0m-s~2. Pak můžeme říci, že na těleso působí síla o velikosti 1,0 N. Nyní budeme působit toutéž silou na jiné těleso, řekněme těleso X, jehož hmotnost není známa. (Je třeba se při tom nějakým způsobem ujistit, i když to může být obtížné, že působící sílaje skutečně táž jako v prvním pokusu.) Předpokládejme, že jsme u tělesa X naměřili zrychlení 0,25 m-s , Víme, že méně hmotný fotbalový míč získá působením téže síly (při výkopu) větší zrychlení než hmotnější medicinbal. Můžeme tedy vyslovit následující hypotézu: hmotnosti dvou těles jsou v obráceném poměru velikostí jejich zrychlení, působí-li na obě tělesa stejná síla. Pro těleso X a standardní těleso to znamená, že platí Pak m\ = mQ- ao ) — (l,0rms-2) (l,0kg)-J—-= 4,0 kg. (0,25 m-s z) Naše hypotéza bude ovšem užitečná jedině tehdy, bude-li platit pro libovolnou velikost působící síly. Budeme-li například působit na standardní těleso silou o velikosti 8,0 N, naměříme zrychlení 8,0m-s-2. Bude-li tato síla působit na těleso X, udělí mu zrychlení o velikosti 2m-s~2. Naše hypotéza pak vede k výsledku mx = mo- i — (8,0m-s"2) (l,0kg))—-=4,0kg, (2,0 m-s z) který souhlasí s experimentem. Četné další experimenty potvrzují, že vyslovená hypotéza umožňuje jednoznačně a spolehlivě přisoudit každému tělesu jeho hmotnost. Experimenty také ukazují, že hmotnost je vlasmi charakteristikou tělesa, tj. takovou, která je automaticky dána samotnou existencí tělesa. Plyne z nich i to, že hmotnost je skalární veličina. Zůstává však stále neodbytná otázka: Co je to přesně hmotnost? Slova hmotnost, hmota se v běžné řeči hojně užívají. O hmotnosti má proto jistě každý intuitivní představu, snad představu něčeho, co lze přímo smyslově vnímat, „hmatat". Je to velikost tělesa, jeho váha, jeho hustota... ? Odpověď zní „ne", přestože jsou tyto charakteristiky někdy s hmotností směšovány. Můžeme pouze říci, že hmotnost tělesa je charakteristika, která určuje poměr mezi silou působící na těleso a udíleným zrychlením. Hmotnost již nelze definovat přesněji. K „fyzikálnímu vnímání" hmotnosti můžeme dospět jedině tak, že budeme zkoušet urychlovat různá tělesa, například kopat do fotbalového míče nebo medicinbalu. 92 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I 5.5 DRUHÝ NEWTONŮV ZÁKON Všechny dosavadní definice, pokusy a pozorování lze shrnout do jednoduché vektorové rovnice, zvané druhý Newtonův pohybový zákon: rao = y^F (druhý Newtonův zákon). (5.1) Při použití rov. (5.1) si musíme ujasnit, na jaké těleso ji aplikujeme. Pak J^F je vektorový součet (výslednice) všech sil, které působí na ono těleso. Do výslednice jsou zahrnuty pouze síly, které působí na vymezené těleso, na rozdíl od sil působících na jiná tělesa, která v zadané úloze mohou rovněž figurovat. Součet F zahrnuje pouze vnější síly, tj. ty, jimiž na těleso působí jiná tělesa. Neobsahuje síly vnitřní, jimiž působí jednotlivé části tělesa na sebe navzájem. Jako každá vektorová rovnice jc i rov. (5.1) ekvivalentní třem rovnicím skalárním: max = Fx, may = Fy, ma; = Fz. (5.2) Tyto rovnice představují vztahy mezi složkami zrychlení tělesa a odpovídajícími složkami výslednice sil, které na těleso působí. Můžeme si všimnout, že druhý Newtonův zákon není v rozporu s prvním: těleso, na něž nepůsobí žádné síly, se podle rov. (5.1) pohybuje bez zrychlení. V jednotkách SI podle rov. (5.2) platí 1 N = (1 kg)(l m-s"2) = 1 kg-m-s"2, (5.3) což souhlasí s úvahami v čl. 5.3. Přestože budeme téměř výhradně pracovat s jednotkami soustavy SI, poznamenejme, že se stále ještě používají i jiné jednotky, zejména jednotky Britské soustavy a soustavy CGS (centimetr-gram-sekunda). Tab. 5.1 obsahuje příslušné převody. (Viz rovněž dod. D.) Tabulka 5.1 Jednotky v druhém Newtonově zákoně (rov. (5.1) a (5.2)) SOUSTAVA SÍLA HMOTNOST ZRYCHLENÍ SI newton kilogram m/s2 CGS dyn gram cm/s2 britská* libra (lb) slug ft/s2 * 1 dyn = 1 g-cm/s2. lib = lslug ft/s2. Při řešení úloh pomocí druhého Newtonova zákona často používáme silový diagram, v němž je studované těleso vyznačeno bodem a všechny vnější síly, které na těleso působí, případně i jejich výslednice F> Jsou reprezentovány vektory umístěnými v tomto bodě. (Místo bodu můžeme schematicky kreslit studované těleso.) Diagram bude obsahovat soustavu souřadnicových os a někdy i vektor zrychlení tělesa. Při řešení úlohy vycházíme z vektorové rovnice (5.1). Postupně si všímáme skalárních rovnic (5.2) a pracujeme tak se složkami vektorů ve směrech jednotlivých souřadnicových os. První ze sady rovnic (5.2) znamená, že součet x-ových složek všech sil určuje x-ovou složku zrychlení tělesa, aniž ovlivňuje jeho y-ovou či z-ovou složku. Podobně je y-ová složka zrychlení určena výhradně součtem y-ových složek všech sil a z-ová složka zrychlení součtem z-ových složek všech sil. Obecně pak platí: Složka zrychlení ve směru dané souřadnicové osy je určena výhradně součtem složek všech sil měřených podél téže osy a nezávisí na složkách sil ve směrech os ostatních. V př. 5.1 půjde o sílu, která na těleso působí ve směru osy x. Pracujeme tedy jen s jedinou složkou síly (ostatní jsou nulové). V př. 5.2 působí na těleso tři síly, z nichž dvě svírají nenulový úhel s osami x a y. V této dvojrozměrné situaci musíme určit jak x-ové, tak y-ové složky sil a použít dvě z rovnic (5.2). Př. 5.2 poslouží současně jako modelový případ zvláštního typu úloh: Těleso se neurychluje (o = 0), přestože na ně působí síly. V takové situaci je podle rov. (5.1)^ F = 0. Výslednice sil je tedy nulová, síly působící na těleso jsou vyváženy. Říkáme, že těleso je v rovnováze, případně že síly jsou v rovnováze. Všimněme si ještě jedné vlastnosti rov. (5.2), užitečné pro řešení úloh. Z nulovosti zrychlení vyplývá, že ax = 0, a tedy i ]T Fx = 0. Jsou tedy v rovnováze x-ové složky všech sil. Dosadíme-li do Fx konkrétní hodnoty složek působících sil, dostaneme algebraický vztah, využitelný pro řešení úlohy.* Podobně při ay = 0 usoudíme, žc ]P Fy = 0. Po dosazení y-ových složek sil máme další algebraický vztah. Může se stát, že se složky jednotlivých sil podél některé z os navzájem kompenzují, zatímco u složek měřených ve směru druhé osy tomu tak není. Znamená to, že zrychlení směřuje podél této druhé osy. Abychom se naučili spolehlivě řešit konkrétní situace, potřebujeme získat určitou zkušenost. Proto zařazujeme do této kapitoly celou řadu příkladů. J^ONTROL.A 2: Na obrázku jsou zakresleny dvě vodorovné síly působící na kostku pohybující se po dokonale hladké podložce. Předpokládejme, že na kostku * Vztah umožňuje určit x-ovou složku některé ze sil, známe-li x-ové složky sil ostatních. 5.5 DRUHÝ NEWTONŮV ZÁKON 93 působí ještě třetí síla F3. Určete její velikost a směr, je-li kostka (a) v klidu, (b) pohybuje se doleva konstantní rychlostí o velikosti 5 m-s-1. 5 N —> isil'f'íir,...... 7;; príklad s.i Student experimentální fyziky zkouší testovat platnost pohybových zákonů. Obul si boty s neklouzající podrážkou a dači naložené sáně o hmotnosti 240 kg do vzdálenosti 2,3 m po dokonale hladké hladině zamrzlého jezera. Působí na ně při tom stálou vodorovnou silou F o velikosti F = 130 N (obr. 5.3a). (a) (b) (O Obr. 5.3 Příklad 5.1. (a) Student tlačí sáně po dokonale hladkém povrchu, (b) Silový diagram příkladu (a), znázorňující výslednou sílu působící na sáně a zrychlení, které tato síla saním udílí, (c) Silový diagram příkladu (b). Člověk nyní sáně táhne, takže jejich zrychlení má opačný směr. (a) Jaká je výsledná rychlost sání, rozjíždějí-li se z klidu? ŘEŠENI: Obr. 5.3b představuje silový diagram popsané situace. Zvolme osu x vodorovně a orientujme ji doprava. Uvažujme o saních jako o hmotném bodu. Předpokládáme, že síla F, kterou působí student, představuje jedinou sílu působící na sáně. Vzhledem k tomu, že Fx je její jediná nenulová složka, určíme velikost zrychlení sání ax z druhého Newtonova zákona takto: Fx ax = — m (130 N) (240 kg) = 0,542m-s~2. Poněvadž je zrychlení konstantní, můžeme pro zjištění výsledné rychlosti užít vztahu (2.16), u2. = t>gt + 2ax(x — xq). Položíme-li vqx = 0, x — xq — d a uvědomíme-li si, že v našem případě je v = vx, ax = a, dostaneme pro v: v = s/lad = V2(0,542m-s-2)(2,3m) = = l,6m-s . (Odpověd) Síla, zrychlení, posunutí i výsledná rychlost sání mají směr osy x a jejich .r-ové složky jsou kladné. Všechny tyto vektory tedy směřují v obr. 5.3b zleva doprava. (b) Student chce změnit směr rychlosti v opačný během 4,5 s. Jak velkou stálou silou musí sáně táhnout? ŘEŠENÍ: Užitím rov. (2.11), tj. vx = vgx + axt, nejprve určíme zrychlení potřebné ke změně směru rychlosti v opačný během 4,5 s. Dostáváme vqx (-l,6m-s l) - (l,6m-s 1) t (4,5 s) -0,711 m-s l. Velikost tohoto zrychlení je větší než v úloze (a), kde činilo 0,542 m-s~2, takže je zřejmé, že student musí nyní táhnout sáně větší silou. Tuto sílu určíme z prvé rovnice ze sady rov. (5.2), uvědomíme-li si, že ay = 0 a áz = 0. Fx = max = (240kg)(-0,711 m-s"2) = = -17 IN. (Odpověď) Znaménko minus ukazuje, že student musí táhnout sáně ve směru klesající souřadnice x, tj. zprava doleva v silovém diagramu na obr. 5.3c. PŘIKLAD 5.2 Ve dvojrozměrné přetahované se Aleš, Božena a Cyril přetahují o pneumatiku ve směrech znázorněných na obr. 5.4a (obrázek ukazuje pohled shora). Pneumatika je v klidu, přestože na ni působí tři tahové síly. Aleš táhne silou Fa o velikosti 220 N a Cyril silou Fq o velikosti 170 N. Směr síly Fc neznáme. Jak velká je síla Fb, jíž působí na pneumatiku Božena? ŘEŠENÍ: Na obr. 5.4b jc znázorněn silový diagram úlohy. Poněvadž je zrychlení pneumatiky nulové, je podle rov. (5.1) nulová i výslednice všech sil, které na ni působí: Fa + Fb + Fc = ma ■ Tato vektorová rovnost je ekvivalentní prvým dvěma skalárním rovnostem v sadě rov. (5.2). Pro složky ve směru osy x platí F* = F^ + F^ + pcx = 0, (5.4) ve směru osy y pak 1 = FAy + ''b- + Fcy = 0. (5.5) 94 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB 1 Pomocí zadaných velikostí sil a úhlů vyznačených v obr. 5.4b vyjádříme nyní složky sil a dosadíme do rov. (5.4) a (5.5). Znaménka vyznačují orientaci průmětů. Ze vztahu (5.4) dostáváme J2 F-i =~Fa cos 47.0° +0+Fc cos cp = 0. Dosazením známých hodnot pak získáme -(220 N) cos 47.0= + 0 + (170N) cos tp = 0 a odtud (220 N) cos 47,0° cosw = - = 0,883, (170N) cp = 28,0°. Obdobně plyne ze vztahu (5.5) Fy = FA sin 47,0" - FB + Fc sincp = 0, kde jsme položili Fb,. = — Fb, neboť Božena táhne pneumatiku přímo v záporném směru osy v. Dosazení známých hodnot vede k výsledku FB = (220 N) sin 47,0° + (170 N) sin 28,0° = = 241 N. (Odpověď) Nechrne si znovu projít hlavou postup, který jsme použili při řešení soustavy dvou rovnic (5.4) a (5.5) o dvou neznámých FB a J= yjf„, kde (M + m) je hmotnost tělesa. Zrychlení složeného tělesa podél osy u (a tedy i zrychlení každé z kostek spojených vláknem) má velikost a. Jediná síla udělující složenému tělesu zrychlení podél osy u má velikost mg. Dostáváme ledy (M + m)a = mg (5.22) M + m Tento výsledek se shoduje s rov. (5.19). Abychom určili velikost T, aplikujeme druhý Newtonův zákon na kteroukoli z obou kostek. Dostaneme tak rov. (5.16), nebo (5.18). Dosazením za a z rov. (5.22) a řešením vzhledem k neznámé T dostaneme rov. (5.20). PŘIKLAD 5.6 Kostka o hmotnosti M = 33 kg je tlačena po dokonale hladké podložce pomocí tyčky o hmolnosti m = 3,2 kg (obr. 5.20a). Kostka, která je zpočátku v klidu, se pohybuje s konstantním zrychlením a během 1,7 s se posune do vzdálenosti d = — 77 cm. M i— hladká / podložka (a) M Frt Ftk [Fkt první dvojice druhá dvojice (b) Obr. 5.20 Příklad 5.6. (a) Tyčka o hmotnosti m tlačí kosíku o hmotnosti M po dokonale hladké podložce, (b) Pohled na jednotlivé části soustavy ukazuje dvojice akce-reakce, tj. vzájemné působení ruky a tyčky (první dvojice) a tyčky a kostky (druhá dvojice). (a) Určete všechny dvojice akce - reakce působící ve vodorovném směru. ŘEŠENÍ: Jak jc zřejmé z obr. 5.20b, jsou zde dvě dvojice sil typu akce - reakce: první dvojice druhá dvojice Frt Ftk -Pre -Fkt (ruka a tyčka), (tyčka a kostka). Sílu FRT, jíž působí tyčka na ruku, bychom pocítili, kdybychom experiment prováděli ..vlastnoručně", (b) Jakou silou musí působit ruka na tyčku? 5.8 užití newtonových zákonu 103 ŘEŠENÍ: Hledaná síla udílí zrychlení tyčce i kostce. Abychom ji zjistili, musíme nejdříve určit užitím vztahu (2.15) velikost stálého zrychlení a: x - x0 = (.'o, / + hht2- Dosazením vqx = 0 a x — xq — d a řešením vzhledem k neznámé ax = a dostaneme Id 2(0.77 m) a = —r = -z- = 0,533 m-s . t2 (1,7 s)2 Pro zjištění síly, již vyvine ruka, použijeme druhý Newtonův zákon pro soustavu složenou z tyčky a kostky. Pak FTR = (M + m)a = (33 kg + 3,2 kg)(0,533 m-s-2) = = 19,3 N = 19 N. (Odpověď) (c) Jakou silou tlačí tyčka na kostku? ŘEŠENÍ: Aplikujeme druhý Newtonův zákon na samotnou kostku: FKT = Ma = (33kg)(0.533m-s^2) = = 17.6N=18N. (Odpověď) (d) Jaká je výsledná síla působící na tyčku? ŘEŠENÍ: Velikost této síly F můžeme najít dvěma způsoby. První z nich využívá výsledků (b) a (c): F = Ftr - FTK = 19,3 N — 17.6N = = 1,7 N. (Odpověd) Při výpočtu jsme využili skutečnosti, že podle třetího Newtonova zákona má síla Fík stejnou velikost (tj. 17,6 N) jako síla FKT. Druhý způsob spočívá přímo v použití druhého Newtonova zákona pro samotnou tyčku. Dostáváme F = ma = (3,2kg)(0.533 m-s"2) = = 1.7N, (Odpověď) což souhlasí s předchozím výsledkem. Musí tomu tak být, neboť oba postupy jsou ekvivalentní. Ověřte to obecným vyjádřením velikosti síly F pomocí zadaných veličin oběma způsoby. PŘIKLAD 5.7 Obr. 5.21 znázorňuje kostku o hmotnosti m = 15 kg zavěšenou na třech vláknech. Jakými silami jsou vlákna napínána? A "\. / B •árzel C (a) Tc kostka mg Tu/1 /:"\ 47 ^— uzel -Tc 1 (b) (c) Obr.5.21 Příklad 5.7. (a) Kostka o hmotnosti m je zavěšena na třech vláknech, (b) Silový diagram kostky, (c) Silový diagram uzlu, v němž jsou vlákna spojena. ŘEŠENÍ: V silovém diagramu kostky (obr. 5.21b) směřuje tahová síla 7c, jíž působí na kostku vlákno C, svisle vzhůru, zatímco tíhová síla mg míří dolů. Soustava je v klidu, takže podle druhého Newtonova zákona platí F = Tc + mg = 0. Poněvadž jsou síly 7Vj a mg svislé, dostáváme jedinou skalární rovnici Fy = Tc - mg = 0. Dosazením zadaných hodnot pak získáme Tc = mg = (15kg)(9,8m-s--) = 147 N = 150 N. (Odpověd) Další krok vychází ze skutečnosti, že všechny tři hledané tahové síly mají působiště v uzlu, v němž jsou vlákna spojena. Aplikujeme tedy druhý Newtonův zákon na uzel. Příslušný silový diagram je na obr. 5.21c. Protože se uzel neurychluje, musí být výsledná síla, která na něj působí, nulová. Pak ]TV = TA + TB + (-7b) = 0. Tato vektorová rovnice je ekvivalentní dvěma rovnicím skalárním YJ Fy = TA sin 28" + TB sin 47 - Tc = 0 (5.23) 104 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I Fx =-TA cos 28c + TB cos47° = 0. (5.24) Uvědomte si, že při zápisu x-ové složky síly 7"a musíme výraz Ta cos 28° opatřit znaménkem minus, abychom vyjádřili fakt, že průmět síly 7a do osy x je s touto osou nesouhlasně rovnoběžný. Dosazením číselných hodnot do rov. (5.23) a (5.24) dostaneme TA(0,469) + 7B (0,731) = 147 N (5.25) rB(0,682) = 7'a (0,883). (5.26) Z rov. (5.26) vyplývá 0,883 TB =-T\ = 1,297a . 0.682 Dosazením tohoto výsledku do rov. (5.25) a řešením vzhledem k neznámé T\ získáváme 147 N 0,469 + (1,29)(0,731) 104 N = 100 N. (Odpověď) Nakonec určíme TB: rB = 1,29 TA = (1,29)(104 N) = = 134 N = 130 N. (Odpovčd) PŘIKLAD 5.8 Na obr. 5.22a jc kostka o hmotnosti m = 15 kg upevněná na vlákně a spočívající na dokonale hladké nakloněné rovině. Jakou silou je napínáno vlákno, je-li 6* — 27"? Jakou silou působí nakloněná rovina na kostku? ŘEŠENI: Na obr. 5.22b je silový diagram pro případ kostky. Na kostku působí tyto síly: (1) normálová síla N, jíž na ni tlačí nakloněná rovina, (2) tahová síla vlákna T a (3) tíhová síla G = mg. Poněvadž je zrychlení kostky nulové, je podle druhého Newtonova zákona nulová i výslednice všech těchto sil: = T + N + mg = O. (5.27) Zvolíme soustavu souřadnic tak, aby osa x byla rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Při této volbě budou mít dokonce dvě ze sil (N a 7") směr souřadnicových os. To je výhoda. Všimněme si, že úhel mezi tíhovou silou a zápornou poloosou osy y je roven úhlu sklonu nakloněné roviny. Složky této síly určíme z trojúhelníka znázorněného na obr. 5.22c. («) (V) (c) Obr. 5.22 Příklady 5.8 a 5.9. (a) Kostka o hmotnosti m upevněná na vlákně spočívá v klidu na dokonale hladké nakloněné rovině. (b) Silový diagram kostky. Všimněme si volby souřadnicových os. (c) Určení x-ové a y-ovč složky tíhové síly mg. Rozepsáním vztahu (5.27) do složek dostaneme Fx — T — mg sin 9 =0 a Pak tedy T Fv = N — mg cos 9 = 0. mg sine = (15kg)(9,8m-s"-)sin27° = 67 N. (Odpověď) N = mg cos 9 = (15kg)(9,8m-s-2)cos27° = = 131N=130N. (Odpověd) Kontrola i-. Na obrázku působí na kostku vodorovná síla F. (a) Rozhodněte, zda průmět síly F do směru kolmého ke svahu má velikost F cos ŕ? nebo FsinS. (b) Dojde vlivem působení síly F ke zvýšení či ke snížení velikosti normálové tlakové síly, jíž působí svah na kostku? 5.8 UŽITÍ NEWTONOVÝCH ZÁKONŮ 105 PŘIKLAD 5.9 Představme si, že dojde k přetnutí vlákna udržujícího kostku na obr. 5.22 na nakloněné rovině v klidu. S jakým zrychlením se bude kostka pohybovat? ŘEŠENI: Přetnutím vlákna zmizí síla 7", vyznačená na obr. 5.22b. Zbývající síly působící na kostku se samozřejmě nemohou vyrušit, neboť nepůsobí v téže přímce. Použitím druhého Newtonova zákona pro jc-ové složky sil N a mg dostaneme / Fx — 0 — mg sin 6 = ma, takže a — —g sin ŕ (5.28) Uvědomme si, že normálová síla N nemá vliv na zrychlení podél nakloněné roviny, neboť její x-ová složka je nulová. Ze vztahu (5.28) vychází -(9,8m-s~2) sin27° -4,4m-r2. (Odpověd) Znaménko minus signalizuje, že zrychlení má směr klesající souřadnice x, tedy dolů podél nakloněné roviny. Z rov. (5.28) je vidět, že zrychlení kostky nezávisí na její hmotnosti, stejně jako je tomu v případě zrychlení volně padajícího tělesa. Rov. (5.28) představuje návod, jak lze užít nakloněné roviny ke „zmírnění gravitace", tj. ke „zpomalení" volného pádu. Pro 0 = 90" dostáváme a = — g, pro 0 = 0" je a = 0. Oba tyto výsledky jsme očekávali. PŘIKLAD 5.10 Na obr. 5.23a jsou dvě kostky spojené vláknem vedeným přes nehmotnou kladku, která se otáčí bez tření. (Takové uspořádání se nazývá Atwoodův padastroj.) Nechť m = 1,3 kg a M = 2,8 kg. Určíme velikost síly napínající vlákno a (společnou) velikost zrychlení kostek. ŘEŠENÍ: Obr. 5.23b, c představují silové diagramy pro každou z kostek. Zadali jsme M > m, takže očekáváme, že kosíka M bude klesat, zatímco m bude stoupat. Tato informace umožní přiřadit zrychlením kostek správná znaménka. Než začneme s výpočtem, uvědomme si, že síla napínající vlákno musí být menší než tíhová síla působící na kostku M (jinak by kostka nezačala klesat) a větší než tíhová síla působící na kostku m (jinak by tato kostka nezačala stoupat). Znázornění vektorů v silových diagramech na obr. 5.23 tuto skutečnost respektuje. (a) v m ~<7mg (b) y C T M l-a y Mg (c) Obr. 5.23 Príklad 5.10. (a) Kostka o hmotnosti M a kostka o menší hmotností m jsou spojeny vláknem vedeným přes kladku. Směry zrychlení kostek jsou vyznačeny šipkami. Silové diagramy pro kostku m (b) a kostku M (c). Užitím druhého Newtonova zákona pro kostku o hmotnosti m, jejíž zrychlení má velikost a a je souhlasně rovnoběžné s osou v, dostaneme ma = T — mí (5.29) Pro kostku o hmotnosti M, jejíž zrychlení má stejnou velikost, je však nesouhlasně rovnoběžné s osou y, máme -Ma = T - Mg, (5.30) nebo Ma = -T + Mg. (5.31) Sečtením rovnic (5.29) a (5.31) (nebo vyloučením T) získáme M - m M + m g- (5.32) Dosazením tohoto výsledku do rov. (5.29) nebo do (5.31) a řešením vzhledem k neznámé T dostaneme T = 2m M -g- M + m Dosazením zadaných údajů pak dostáváme (2,8kg - l,3kg) (5.33) M — m a = —-g M + m (2,8kg + L 3 kg) 3,6m-s~2 (Odpověd) 106 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB T 2Mm 2(2,8 kg) (1,3 kg) _2 7 = -e = -(9,8nvs ) M+m (2,8 kg + 1,3 kg) 17N. (Odpověď) Velikosti tíhových sil působících na jednotlivé kostky jsou 13 N (= mg) a 27 N (= Mg). Velikost síly napínající vlákno (17 N) skutečně leží v intervalu těchto dvou hodnot. PŘÍKLAD 5,10 —jiný způsob řešení Obdobně jako při alternativním* řešení př. 5.5 použijeme nekonvenční volbu osy u. M + m mgi -4f Mg mg Mg Mg (a) složené těleso o hmotnosti M + m (c) Obr. 5.24 (a) „Osa" u je vedena přes celou soustavu znázorněnou na obr. 5.23. (b) Kostky jsou uspořádány v „napřímené" ose u a považovány za jediné těleso o hmotnosti M + m. (c) Příslušný silový diagram, v němž jsou vyznačeny pouze síly působící podél osy u. Takové síly jsou dvě. ŘEŠENÍ: Vedeme osu u celou soustavou podle obr. 5.24a a napřímíme ji podle obr. 5.24b. Kostky budeme považovat za jediné těleso o hmotnosti M + m. Nakreslíme silový diagram podle obr. 5.24c. Uvědomme si, že podél osy u působí na * Způsob řešení úloh, použitý jako alternativa v př. 5.5 a 5.10 a založený na myšlence „napřímení nekonvenční osy u jdoucí celou soustavou", může mít svá úskalí, pokud jej důkladně nepromýšlíme a nepochopíme. Jeho použitelnost spočívá výhradně v tom, že každý vektor, a tedy i všechny vektorové veličiny vstupující do našich výpočtů, lze zapsat pomocí složek v libovolně zvolené soustavě souřadnic. „Napřímení nekonvenční osy u", o níž je řeč např. v př. 5.10, nepředstavuje nic jiného, než dvojí volbu soustavy souřadnic: s kostkou m je spojena soustava souřadnic, jejíž y-ová osa má směr zrychlení této kostky (směřuje tedy svisle vzhůru), y-ová osa soustavy souřadnic spojené s kostkou M směřuje naopak svisle dolů, tj. opět ve směru zrychlení příslušné kostky. Vazební podmínka úlohy o,„ = — aM požaduje, aby zrychlení kostek byly opačné vektory. Toto a požadavek zanedbatelné hmotnosti kladky pak zajistí, že druhý Newtonův zákon zapsaný ve složkách má stejný tvar jako v případě s „napřímenou" osou u. složené těleso dvě síly: mg ve směru nesouhlasném s osou u a Mg ve směru souhlasném. (Síly, jimiž působí na vlákno kladka, jsou kolmé k ose u a nevstupují do výpočtu.) Síly, které působí podél osy u, udělují složenému tělesu zrychlení o. Zápis druhého Newtonova zákona pro složku u má tvar Fu = Mg -mg = (M + m)a. (5.34) odkud M - m a = -g, M + m stejně jako při předchozím způsobu řešení. Pro získání T použijeme druhý Newtonův zákon pro kteroukoli z kostek a užijeme obvyklý způsob volby osy y. Pro kostku o hmotnosti m dostaneme rov. (5.29) a po dosazení za a získáme výsledek (5.33). PŘIKLAD 5.11 Pasažér o hmotnosti m = 72,2 kg stojí na našlápne váze v kabině výtahu (obr. 5.25). Jaký údaj ukazuje váha pro hodnoty zrychlení uvedené v obrázku? ŘEŠENÍ: Zabývejme se touto úlohou z hlediska pozorovatele v (inerciální) vztažné soustavě spojené se Zemí. Pozorovatel aplikuje druhý Newtonův zákon na urychlujícího sc pasažéra. Obr. 5.25a-c ukazují silové diagramy, v nichž jc pasažér považován za částici, pro různé hodnoty velikosti zrychlení kabiny. Bez ohledu na zrychlení kabiny působí Země na pasažéra tíhovou silou o velikosti mg, kde g = 9,8 m-s-2 je velikost tíhového zrychlení. Podlaha výtahu tlačí na váhu směrem vzhůru. Váha tlačí směrem vzhůru na pasažéra normálovou silou o velikosti N, která je shodná s údajem na stupnici váhy. Pasažér sc domnívá, že váží tolik, kolik ukazuje váha. Tato veličina se často nazývá zdánlivá váha, přičemž název tíhová síla nebo jen váha jc rezervován pro veličinu mg* ■" V originále je veličina mg nazývána vahou. V české fyzikální terminologii se tento výraz již téměř neužívá. Vektorové veličině mg, kde g — 9.8ms~2, představující sílu. jíž působí Země na těleso o hmotnosti m v těsné blízkosti jejího povrchu, se říká tíhová síla, mg jc velikost tíhové síly. Údaj čtený na stupnici našlápne váhy samozřejmě ukazuje velikost síly. jíž působí člověk na podložku váhy, resp. podložka váhy na člověka. Pro tuto veličinu se někdy užívá názvu tíha. Pro a = 0 je tíha rovna mg a odpovídá skutečné váze zmiňované v originále, pro a + 0 se od hodnoty mg liší a odpovídá zdánlivé váze. Pro a = g mluvíme o beztížném stavu. Bez pojmu tíha s přívlastky či bez nich sc ovšem snadno obejdeme a vyhneme se tak možným dezinterpretacím. Vzhledem k tomu, že stupnice osobních vah jsou cejchovány výhradně v kilogramech, může mít smysl mluvit o zdánlivé hmotnosti. Prakticky ve všech úlohách, s nimiž se setkáme, působí na studovaná tělesa tíhová síla. Pro stračnost a s přihlédnutím k původnímu textu užíváme někdy namísto obsáhlejší správné formulace „na těleso působí tíhová síla 100N" použít zkráceného, avšak nepřesného, vyjádření „těleso váží 100N". PŘEHLED & SHRNUJÍ 107 Druhý Newtonův zákon dává ma = N — mg, N = m (g + a). (5.35) (a) Jaký je údaj na stupnici váhy, je-li kabina v klidu, nebo pohybuje-li se stálou rychlostí? (Obr. 5.25a.) ŘEŠENI: Pro tento případ je a — 0, a tedy N =m(g +a) = 708 N. (72.2kg)(9,80m-s~ 0) = (Odpověď) Tento údaj považuje pasažér za svoji „váhu". (b) Jaký je údaj na stupnici, směřuje-li zrychlení kabiny vzhůru a jeho velikost je 3.20 m-s ? (Obr. 5.25b.) ŘEŠENÍ: Směřuje-li zrychlení kabiny vzhůru, znamená to, že kabina buď stoupá se vzrůstající rychlostí, nebo klesá s klesající rychlostí. V obou případech je vztažná soustava spojená s kabinou neinerciální. Z rov. (5.35) dostaneme N = mOj + a) = (72.2kg)(9,80ms-2 + 3,20m-s~2) = = 939 N. (Odpověď) Pasažér tlačí na váhu větší silou než za klidu. Při pohledu na stupnici se pasažér může domnívat, že „přibral" 23,6 kg (odpovídá 231 N)! (c) Jaký jc údaj na stupnici, směřuje-li zrychlení kabiny dolů a má-li velikost 3,2ms 2? (Obr. 5.25c.) ŘEŠENÍ: Směřuje-li zrychlení kabiny dolů, znamená to, že kabina buď stoupá s klesající rychlostí, nebo klesá se vzrůstající rychlostí. Vztažná soustava spojená s kabinou je opět neinerciální. Z rov. (5.35) dostaneme N = m(g + a) = 477N. (72,2kg)(9,80ms~ 3.20m-s~2) = (Odpověď) Pasažér tlačí na váhu menší silou než za klidu. Zdá se mu, že „zhubl" o 23,6 kg (odpovídá 231 N)! k N 4 N a = 0 'mg A N odečítání hmotnosti nebo zdánlivé hmotnosti (a) V mg (b) V m9 (c) Obr. 5.25 Příklad 5.11. Pasažér o hmotnosti m stojí ve výtahu na pružinové váze, která ukazuje jeho hmotnost nebo „zdánlivou" hmotnost. Silové diagramy pro případy, kdy (a) zrychlení kabiny vytahuje nulové, (b) a — +3,2m-s-2, (c) a = —3,2m-s 2. j^ONTROLA 8: Jaký by byl údaj na stupnici, kdyby sc lano kabiny přetrhlo a kabina by padala volným pádem? Jaká je tedy zdánlivá váha (či zdánlivá hmotnost) pasažéra při volném pádu? PŘEHLED 5č SHRNUTI Xewtonovská mechanika Rychlost částice nebo tělesa nahrazeného hmotným bodem se může měnit (částice se může urychlovat), jestliže na ni okolní objekty působí silami. Newtonovská mechanika uvádí do souvislosti celkové silové působení na zkoumané těleso s jeho zrychlením. Síla Pozorujeme-li, že těleso má vzhledem k inerciální soustavě nenulové zrychlení (jeho pohyb je nerovnoměrný nebo křivočarý), jsme si díky prvnímu Newtonovu zákonu jisti, že je ovlivněno interakcí s okolními objekty. Kvantitativně je tato interakce popsána fyzikální veličinou zvanou síla. Vztahy pro síly charakterizující konkrétní interakce jsou dány silovými zákony, které je třeba zjistit experimentálně. Silový zákon lze odhalit tak, že sledujeme testovací těleso o známé hmotnosti m, které interaguje s jediným okolním objektem. Síla, kterou tento objekt působí na těleso, bude v každém okamžiku dána součinem hmotnosti testovacího tělesa m a jeho zrychlení o. Experimentálně bylo zjištěno, že síly jsou vektorové veličiny a lze je skládat podle pravidel vektorové algebry. Výslednice sil působících na těleso je jejich vektorovým součtem. Velikost síly je číselně dána velikostí zrychlení, které tato síla udílí standardnímu kilogramu. Síla, která standardnímu kilogramovému tělesu udělí zrychlení o velikosti 1 m-s--, má podle definice velikost 1 N. Směr zrychlení a směr síly jsou shodné. Hmotnost Hmotnost tělesa je jeho charakteristika, která určuje vztah mezi jeho zrychlením a silou (nebo výslednicí sil), která mu toto zrychlení udílí. Hmotnost je skalární veličina. 108 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I První Newtonův zákon Volné částice se navzájem pohybují rovnoměrně přímočaře nebo jsou vůči sobě v klidu. S volnými částicemi lze spojit preferované vztažné soustavy, nazývané inerciální. Volná částice je vzhledem k inerciální vztažné soustavě v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu (tj. v pohybu s konstantní rychlostí). Druhý Newtonův zákon Síly působící na těleso o hmotnosti m mu udílejí zrychlení, které je dáno jejich výslednicí Yl F podle vztahu Tento vztah lze rozepsat do složek: max = Fx, may = Y^ Fy, maz = Fz. (5-2) Z druhého Newtonova zákona vyplývá, že v soustavě jednotek SI je jednotka síly IN = lkg-m-s-2. (5.3) Silový diagram je užitečný pro řešení úloh pomocí druhého Newtonova zákona: je to zjednodušený diagram, konstruovaný pro jediné těleso, reprezentované bodem. Vnější síly působící na toto těleso jsou znázorněny jako vektory. V diagramu je rovněž zakreslena soustava souřadnic zvolená tak, aby řešení úlohy bylo co nejjednodušší. Některé typy sil Tíhová síla G je síla, kterou působí na těleso Země (nebo jiný astronomický objekt, v jehož těsné blízkosti se těleso nachází): G = mg, (5.10) kde g je tíhové zrychlení (zrychlení volného pádu). Normálová síla N je tlaková síla, kterou působí na těleso podložka, na níž těleso spočívá. Je k podložce vždy kolmá. Třecí silou F působí na těleso podložka, pokud je podčl ní uváděno do skluzu, nebo již po ní klouže. Tato sílaje rovnoběžná s podložkou a směřuje proti směru skutečného či zamýšleného pohybu tělesa. Dokonale hladká podložka působí na těleso zanedbatelně malou třecí silou. Tahovou silou T působí na těleso připojené lano (vlákno). Její působiště je v místě spoje. Síla má směr vlákna a míří ven z tělesa. Pro nehmotné vlákno (tj. vlákno se zanedbatelnou hmotností) má tahová síla na obou jeho koncích stejnou velikost, i když je vedeno přes nehmotnou kladku, která se může otáčet bez tření (hmotnost kladky je zanedbatelná stejně jako třecí síla v ose kladky, která by bránila její rotaci). Třetí Newtonův zákon Působí-li těleso A silou Fba na těleso B, působí i těleso B na těleso A, a to silou stejně velkou, avšak opačně orientovanou: Fab = -Fba. (5.14) Tyto síly působí na různá tělesa. OTÁZKY 1. Na pohybující se těleso působí dvě síly. Je možné, aby se těleso pohybovalo (a) rovnoměrně, (b) stálou rychlostí? Mohla by být rychlost tělesa nulová (c) v některém okamžiku, (d) trvale? 2. Obr. 5.26 znázorňuje čtyři síly stejné velikosti. Je možné vybrat z nich tři tak, aby se při jejich (současném) působení na těleso jeho rychlost neměnila? V kladném případě tyto síly označte. Obr. 5.26 Otázka 2 3. Obr. 5.27 znázorňuje pohled shora na čtyři situace, v nichž síly působí na kostku spočívající na dokonale hladké podlaze. Vc kterých z nich lze vhodně zvolit velikost sil tak, aby kostka (a) byla v klidu, (b) pohybovala se konstantní rychlostí? 4. Svislá síla F působí na kostku o hmotnosti m ležící na podlaze. Co se děje s normálovou silou N, jíž působí na kostku podlaha, narůstá-li velikost F síly F z nulové hodnoty a síla F směřuje (a) dolů, (b) vzhůru? (3) (4) Obr. 5.27 Otázka 3 5. Na těleso na obr. 5.8 působí tíhová síla o velikosti 100N. Na jeho povrchu leží další těleso, na něž působí tíhová síla 50 N. Jaká je normálová síla, jíž působí (a) dolní těleso na horní, (b) stůl na dolní těleso? 6. (a) Přispívá svislá složka síly F na obr. 5.28 k nadzvednutí krabice, nebo ji přitlačuje k podlaze? (b) Předpokládejte, že OTÁZKY 109 hmotnost krabice je m. Je velikost normálové síly, jíž působí podlaha na krabici, stejná, větší či menší ve srovnání s mg'} (c) Je svislá složka síly F rovna F sin 6, nebo F cos 6? Obr. 5.28 Otázka 6 7. Zavěšené těleso na obr. 5.10c váží 75 N. Rozhodněte, zda jc hodnota 7', resp. 7" stejná, větší či menší než 75 N, pohybujc-li se těleso směrem dolů (a) se vzrůstající rychlostí, (b) s klesající rychlostí. 8. Kabina výtahu je zavěšena na jediném laně a nemá protizávaží. V přízemí do kabiny nastoupí pasažéři, kteří jedou do nejvyššího patra a tam vystoupí. Nahoře nastoupí noví pasažéři a jedou do přízemí. Rozhodněte, v kterých fázích této okružní jízdy jc velikost síly napínající závěsné lano (a) stejná jako velikost tíhové síly působící na pasažéry a kabinu, (b) větší, (c) menší. 9. Na obr. 5.29 jc nehmotné lano vedeno přes kladku, která se může otáčet bez tření. Na laně visí opice a dívá se do zrcadla, které má stejnou hmotnost jako ona a je zavěšeno na druhém konci lana. Může opice „uniknout" svému obrazu v zrcadle, jestliže (a) poleze po laně vzhůru, (b) poleze po laně dolů, (c) pustí lano? Zdůvodněte. Obr. 5.29 Otázka 9 10. Je 17. července 1981, Kansas City: nově otevřená hala Hyatt Regency je plná lidí, kteří poslouchají oblíbené skladby 40. let a tančí při nich. Mnoho lidí se tísní na ochozech, které visí jako mosty nad širokým atriem. Najednou se dva ochozy utrhnou a spadnou na ty, kteří se baví dole... Ochozy byly zavěšeny nad sebou na svislých tyčích a připevněny k nim pomocí šroubů s maticemi. V původním návrhu konstrukce měly být použity pouze dvě svislé tyče a ke každé z nich měly být připevněny tři ochozy (obr. 5.30a). Tíhová síla působící na každý z ochozů i s lidmi měla průměrnou velikost G. Jaká by byla celková zátěž závitů a dvou šroubů s maticemi držících (a) nejnižší, (b) nejvyšší ochoz? Předpokládejme, že šrouby nelze uchytit k tyčím jinak, než na jejich koncích. Je tedy třeba zvolit jiný typ konstrukce. Na rozdíl od původního provedení jc nyní použito šesti tyčí a každá je spojena se dvěma ochozy (obr. 5.30b). Jaká jc nyní celková zátěž závitů a dvou šroubů držících (c) nejnižší, (d) nejvyšší ochoz? Právě tato druhá konstrukce byla použita v popisovaném případě. tyče ——- ochozv (a) Obr. 5.30 Otázka 10 11. Kostka na obr. 5.31 je připevněna na provaze uchyceném ke sloupku, který je pevně spojen s nakloněnou rovinou. Rozhodněte, zda velikosti následujících sil rostou, klesají či zůstávají neměnné, narůstá-li úhel sklonu 9 od nulové hodnoty: (a) složka tíhové síly působící na kostku měřená podél nakloněné roviny, (b) síla napínající provaz, (c) složka tíhové síly působící na kostku měřená ve směru kolmém k nakloněné rovině, (d) normálová síla, jíž působí nakloněná rovina na kostku. Obr. 5.31 Otázka 11 12. Krabice s koblihami leží na dokonale hladké nakloněné rovině (obr. 5.32). Složka tíhové síly působící na krabici měřená podél nakloněné roviny má velikost 5 N. Tahová síla provazu je 73. Rozhodněte, je-li hodnota T stejná, větší či menší než 5 N, jestliže krabice (a) je v klidu, (b) stoupá po nakloněné rovině s konstantní rychlostí, (c) klesá s konstantní rychlostí, (d) stoupá s klesající rychlostí, (e) klesá s klesající rychlostí. Obr. 5.32 Otázka 12 13. Na obr. 5.33 jsou čtyři kostky tažené po dokonale hladké vodorovné podložce silou F. Jaká celková hmotnost jc urychlo- 110 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB 1 vána smčrcm vpravo (a) silou F, (b) vláknem 3, (c) vláknem 1? (d) Sestavte sestupné pořadí kostek podle velikosti jejich zrychlení, (e) Sestavte sestupné pořadí vláken podle velikosti tažné síly. (Přípravná otázka pro řešení úloh 48 a 49.) provaz 1 provaz provaz 3 10 kg 3 kg 5 kg Obr. 5.33 Otázka 13 2 kg 14. Na obr. 5.34 jsou tři kostky tlačené po dokonale hladké podložce vodorovnou silou F. Jaká celková hmotnost je urychlována lOkg 5 kg F > 2 kg 'j v -3:- směrem vpravo (a) silou F, (b) silou F2i, jíž působí kostka 1 na kostku 2, (c) silou F32- jíž působí kostka 2 na kostku 3? (d) Seřaďte kostky sestupně podle velikosti jejich zrychlení, (e) Seřaďte sestupně síly F, F2j, F32 podle jejich velikosti. (Přípravná otázka pro úlohu 40.) 15. Obr. 5.35 ukazuje čtyři možné směry působení síly o velikosti F na kostku umístěnou na nakloněné rovině. Směry jsou buď vodorovné, nebo svislé. (Předpokládáme, že velikost síly není dostatečná k lomu, aby se v případě a nebo b kostka odpoutala od podložky.) Uspořádejte jednotlivé možnosti sestupně podle velikosti odpovídající normálové síly, jíž tlačí podložka na kostku. Obr. 5.34 Otázka 14 Obr. 5.35 Otázka 15 CVIČENI STlJLOHY ODST. 5.3 Síla 1C. Standardní kilogramové těleso se pohybuje se zrychlením o velikosti 2,00m-s , které svírá s kladným směrem osy x úhel 20°. Určete (a) x-ovou a y-ovou složku výslednice sil působících na těleso, (b) Vyjádřete výslednici pomocí jednotkových vektorů kartézské soustavy souřadnic. 2C. Standardní kilogramové těleso jc urychlováno silami F\ = = (3.0N);+(4,0N)/aF2 = (-2,0N)/+(-6.QN)/. (a)Zapište výslednou sílu pomocí jednotkových vektorů. Určete velikost a směr (b) výsledné síly působící na těleso, (c) zrychlení tělesa. 3U. Standardní kilogramové těleso se pohybuje se zrychlením o velikosti 4,00 m-s"-, které svírá s kladným směrem osy x úhel 160°. Zrychlení udílejí tělesu dvě síly, z nichž jedna má tvar F\ — (2,5 N)/ + (4.6N)/. (a) Zapište druhou ze sil pomocí jednotkových vektorů, (b) Určete její velikost a směr. ODST. 5.5 Druhý Newtonův zákon 4C. Na kostku o hmotnosti 2,0 kg, která může klouzat po dokonale hladké kuchyňské lince v rovině xy, působí dvě vodorovné síly. Jedna z nich je F\ = (3,ON)/ + (4,ON)/. Zapište zrychlení kostky pomocí jednotkových vektorů, je-li druhá síla (a)F2 = (-3,0N)i + (-4,0N)7,(b)F2 = (-3,0N)/ + (4,0 N)/, (c) F2 = (3,0N)/ + (-4,0N)/. 5C. Částice, na niž působí dvě síly, se pohybuje rychlostí v = = (3 m-s"1)/-(4 m-s 'jy. Jedna ze sil je F, = (2N)/-b(-6N)/. Určete druhou sílu. 6C. Na částici pohybující se stálou rychlostí v = (2 m-s"1)/ — — (7 m-s"1)/ působí tři síly. Dvě z nich jsou dány takto: F\ = = (2N)/+(3N)/+(-2N)fraF2 = (-5 N)i+(8N)/+(-2N)íf. Určete třetí sílu. 7C. Na dvoukilogramovou bednu, znázorněnou na obr. 5.36 v pohledu shora, působí dvě síly, z nichž pouze jedna je v obrázku vyznačena. Bedna se pohybuje přesně podél osy x. Pro každou z následujících hodnot x-ové složky zrychlení ax bedny určete druhou sílu: (a) 10,0m-s"2, (b) 20,0m-s-2, (c) 0, "2, (e) -20,0m-s": F] = 20 N .....v Obr. 5.36 Cvičení 7 8C. Na dvoukilogramovou bednu, znázorněnou na obr. 5.37 v pohledu shora, působí dvě síly, z nichž pouze jedna je v obrázku vyznačena. Obrázek také ukazuje zrychlení bedny, (a) Vyjádřete druhou sílu pomocí jednotkových vektorů, (b) Určete její velikost a směr. F, =20,0 N a = 12 m/s Obr. 5.37 Cvičení 8 9C. Bedna na obr. 5.38 má hmotnost 4,0 kg. Působí na ni pět CVIČENÍ & ÚLOHY 111 sil. Vyjádřete zrychlení bedny (a) pomocí jednotkových vektorů a (b) určete jeho velikost a směr. 17N Obr. 5.38 Cvičení 9 10U. Tři astronauti pohánění tryskovými motorky na zádech tlačí asteroid o hmotnosti 120 kg k řídícímu stanovišti. Působí na něj při tom silami, vyznačenými v obr. 5.39. Jaké je zrychlení asteroidu vyjádřené (a) pomocí jednotkových vektorů, (b) pomocí velikosti a směru? Obr. 5.39 11Ú. Obr. 5.40 představuje pohled shora na pneumatiku o hmotnosti 12 kg, taženou třemi lany. Jedna ze sil (Fj, velikost 50 N) jc vyznačena. Stanovte orientaci dalších dvou sil F> a F3 tak, aby velikost výsledného zrychlení byla co nejmenší a určete tuto velikost pro (a) F2 = 30N. F3 = 20 N, (b) F2 = 30 N, F3 = 10N, (c) F2 = F3 = 30N. :50N Obr. 5.40 Úloha 11 ODST. 5.6 Některé typy sil 12C. Určete hmotnost a tíhovou sílu pro (a) 1 4001ibrový sněžný skútr a (b) 421 kilogramovou tepelnou pumpu. 13C. Jaká je tíhová síla v newtonech a hmotnost v kilogramech pro (a) 5,0librový balík cukru, (b) 2401ibrového zápasníka, (c) l,8tunový automobil? 14C. Vesmírný cestovatel, jehož hmotnost je 75 kg, opustil Zemi. Určete velikost tíhové sil)', která na nčj působí (a) na Zemi, (b) na Marsu, kde je g = 3,8 ms-2, (c) v meziplanetárním prostoru, kde je g = 0. (d) Jaká je jeho hmotnost ve všech těchto místech? 15C. Na částici působí tíhová síla 22 N v místě, kde je g = = 9,8 m-s~2. (a) Určete tíhovou sílu působící na částici v místě, kde je g = 4.9m-r2. Jaká je v tomto místě její hmotnost? (b) Jaká bude hmotnost a tíhová síla působící na tuto částici, přeni ístíme-li ji do prostoru, kde je g = 0? 16C. Tučňák o hmotnosti 15,0 kg stojí na osobní váze (obrázek 5.41). Určete (a) tíhovou sílu G působící na tučňáka a (b) normálovou sílu N. Jaký údaj ukazuje váha, je-li cejchována v newtonech? -^ft^Ci*22—— váha Obr. 5.41 Cvičení 16 17C. Na obr. 5.42a je znázorněna ozdoba se dvěma kovovými díly navléknutými na vlákně o zanedbatelné hmotnosti, zavěšená u stropu. Hmotnosti dílů jsou dány. Jaká síla napíná (a) dolní vlákno, (b) horní vlákno? Obr. 5.42b zachycuje podobnou ozdobu se třemi kovovými díly. Hmotnosti nejvyššího a nejnižšího dílu jsou dány. Síla napínající horní vlákno má velikost 199 N. Jak velká síla napíná (c) dolní a (d) prostřední vlákno? 3.5 kg 4.5 kg 4,8 ka 5.5 kg (a) (b) Obr. 5.42 Cvičení 17 18C. (a) Salám o hmotnosti 11,0 kg je zavěšen na pružině silo-měru, který je připevněn provazem ke stropu (obr. 5.43a). Jaký údaj je na stupnici siloměru? (b) Na obr. 5.43b je týž salám zavěšen na provaze vedeném přes kladku a upevněném k pružině siloměru. Siloměrje připevněn dalším provazem ke stěně. Jaký je nyní údaj na stupnici siloměru? (c) Na obr. 5.43c je stěna nahrazena jiným salámem o hmotnosti 11,0 kg a soustava je v rovnováze. Určete údaj na stupnici siloměru i v tomto případě. 112 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB 1 Obr. 5.43 Cvičení 18 ODST. 5.8 Užití Newtonových zákonů 19C. Tíhová síla působící na letící letadlo je kompenzována svislou vztlakovou silou, kterou na letadlo působí okolní vzduch. Jak velká je vztlaková síla, jc-li hmotnost letadla 1,20 ■ 103 kg? 20C. Jaká je velikost výslednice sil působících na automobil o hmotnosti 1 900 kg, který se rozjíždí se zrychlením o velikosti 3.1 m-s-2? 21C. Pokusné raketové sáně mohou být během 1,8 s rovnoměrně urychleny z klidu až na rychlost 1 600 km-h-1. Jaká je velikost potřebné průměrně síly. je-li hmotnost sání 500 kg? 22C. Automobil jedoucí rychlostí 53 kmh-1 narazil do mostního pilíře. Řidič se přitom pohnul o 65 cm dopředu (vzhledem k silnici), než byl jeho pohyb zastaven airbagem. Jak velká síla (předpokládáme stálou sílu) působila na řidičovu horní část těla, jejíž hmotnost je 41 kg? 23C. Při zachycení zbloudilého neutronu jádrem se neutron vlivem silné interakce musí zastavit na vzdálenosti rovné průměru jádra. Síla, která „drží" jádro pohromadě, je vně jádra prakticky nulová. Předpokládejme, že zbloudilý neutron s počáteční rychlostí o velikosti 1,4-10 m-s je právě tak tak zachycen jádrem o průměru d = l,0-10~14m. Jak velká je síla působící na neutron, považujeme-li ji za konstantní? Hmotnost neutronu je 1.67-10- 27kg. 24C. V modifikované přetahované se přetahují dva lidé nikoli na provaze, ale o sáně s hmotností 25 kg, které leží na (dokonale hladké) ledové ploše. Jaké bude zrychlení saní, vyvine-li jeden z hráčů sílu o velikosti 90 N a druhý 92N? 25C. Motocykl o hmotnosti 225 kg dosáhne z klidu rychlosti 90kmh_1 během 5,0 s. (a) Jak velké je zrychlení motocyklu, považujeme-li je za konstantní? (b) Jaká je velikost výsledné síly urychlující motocykl? 26C. Vraťme se k obr. 5.15a předpokládejme, že hmotnosti znázorněných těles jsou m = 2.0kg a M = 4,0kg. (a) Bez výpočtu rozhodněte, které z obou těles je nutno zavěsit na konec lana, abychom docílili co největšího zrychlení. Jaká je v tomto případě (b) velikost zrychlení a (c) velikost tahové síly lana? 27C. Vraťme se k obr. 5.22. Zvolme hmotnost kostky m = = 8,5 kg a úhel Q = 30". Určete (a) tahovou sílu provazu a (b) normálovou sílu působící na kostku, (c) Jaké bude zrychlení kostky, jestliže se provaz přetrhne? 28C. Tryskový letoun se rozjíždí po startovní dráze se zrychlením 2,3 m-s-2. Má dva tryskové motory, z nichž každý vyvine tažnou sílu o velikosti 1.4-10- N. Kolik váží letadlo? 29C. Sluneční plachtění. „Sluneční jachta" je kosmická loď s velkou „plachtou", poháněná světelnými paprsky ze Slunce. I když je světelný tlak v běžných podmínkách velice malý, může být dostatečný k tomu, aby dopravil kosmickou loď na bezplatný, i když. velmi pomalý výlet. Předpokládejme, žc hmotnost lodi je 900 kg a působí na ni tlaková síla o velikosti 20 N. (a) Jak velké je zrychlení lodi? (b) Startuje-li loď z klidu, jak daleko se dostane za 1 den a (c) jak velké rychlosti za tu dobu dosáhne? 30C. Tahová síla, při které praskne rybářský vlasec, se všeobecně nazývá „pevností" vlasce. Jakou nejmenší pevnost vlasce (v newtonech) musíme požadovat, aby se 191ibrový losos zastavil na vzdálenosti 4,4 palce, pohyboval-li se rychlostí o velikosti 9,2 stop na sekundu? Předpokládejte, že zrychlení lososa je konstantní. Převody zadaných údajů do soustavy SI vyhledejte v převodní tabulce. 31C. V laboratorním experimentu je původně klidový elektron (m = 9,11-10 kg) rovnoměrně urychlen na vzdálenosti 1,5 cm a dosáhne rychlosti 6.0-106 m-s-1. (a) Jaká je velikost urychlující síly? (b) Jak velká je tíhová síla působící na elektron? 32C. Elektron vstupuje do elektrického pole s vodorovnou rychlostí o velikosti 1,2-107 m-s-1. Pole na něj působí stálou svislou silou o velikosti 4,5-10_loN. Hmotnost elektronu je 9,11-10 31 kg. Zjistěte, jaká bude svislá složka posunutí elektronu poté. co ve vodorovném směru urazil 30 mm. 33C. Automobil vážící 1,30-104N začne brzdit při rychlosti 40km-h_l a zastaví se na dráze 15 m. Za předpokladu, že je brzdná síla konstantní, určete (a) její velikost a (b) dobu brzdění. Jaká bude (c) brzdná dráha a (d) doba brzdění automobilu při téže brzdné síle, byla-li velikost počáteční rychlosti dvojnásobná? (Tato úloha může posloužit k získání představy o nebezpečí rychlé jízdy.) 34C. Určete počáteční zrychlení rakety o hmotnosti 1,3 -104 kg, je-li počáteční tažná síla jejího motoru 2,6-105 N. Nezanedbávejte tíhovou sílu působící na raketu. 35C. Celková hmotnost rakety s nákladem je 5,0-104 kg. (a) Jak velká je tažná síla motoru, jestliže se raketa po zážehu „vznáší" nad startovací rampou, (b) raketa se urychluje se zrychlením o velikosti 20 m-s-2? 36Ú. Dívka o hmotnosti 40 kg si na hladině zamrzlého jezera hraje se sáněmi o hmotnosti 8,4 kg. Dívka a sáně jsou od sebe CVIČENÍ & ÚLOHY 113 vzdáleny o 15 m. Holčička táhne sáně na provaze směrem k sobě vodorovnou silou o velikosti 5.2 N. (a) S jakým zrychlením se pohybují sáně? (b) S jakým zrychlením se pohybuje dívka? (c) Jak daleko od původního stanoviště dívky se střetnou, ne-uvažujeme-li působení třecích sil? 37U. Požárník o hmotnosti 72 kg sjíždí dolů po svislé tyči se zrychlením o velikosti 3,0 m-s 2. Jaká je velikost a směr (a) svislé síly, jíž působí tyč na požárníka, (b) svislé síly, jíž působí požárník na tyč? 38Ú. Kulička o hmotnosti 3,0-10-4 kg je zavěšena na niti. Stálý vítr, který vane ve vodorovném směru, na ni působí tak, že kulička je v klidu a nit svírá se svislým směrem úhel 37c. Určete (a) velikost síly větru a (b) velikost tažné síly niti. 39U. Dělník vleče bednu po podlaze pomocí lana (obr. 5.44). Lano je od vodorovného směru odkloněno o úhel 38': a dělník je táhne silou o velikosti 450 N. Podlaha působí na bednu mj. vodorovnou silou o velikosti 125N, směřující proti jejímu pohybu. Vypočtěte zrychlení bedny, (a) jc-li její hmotnost 310 kg, (b) váží-li bedna 3ION. Obr. 5.44 Úloha 39 40Ú. Dvě kostky ležící na dokonale hladkém stole se dotýkají (obr. 5.45). (a) Určete síly, jimiž na sebe kostky navzájem působí, je-li m, = 2,3kg, m2 = 1.2kg a F = 3,2N. (b) Předpokládejme, že síla o stejné velikosti F bude působit na kostku mj v opačném směru. Ukažte, že velikost sil, jimiž na sebe nyní kostky působí, je 2,1 N, tj. je odlišná od výsledku úlohy (a). Zdůvodněte tento rozdíl. III, mi — .........-> F Obr. 5.45 Úloha 40 41Ú. Představme si, že tlačíme malou ledničku stálou silou F po naleštěné (dokonale hladké) podlaze tak, že síla F je buď vodorovná (případ 1), nebo je od vodorovného směru odkloněna o úhel 6 šikmo vzhůru (případ 2). (a) Jaký je poměr velikostí rychlostí, kterých dosáhne lednička v případech 2 a L tlačíme-li ji vždy po stejnou dobu f? (b) Jaký bude tento poměr, posune-li se lednička v obou případech do téže vzdálenosti dl 42U. Pro zábavu: Pásovec klouže po dokonale hladké zamrzlé hladině rybníka s počáteční rychlostí o velikosti 5,0 m-s-', která je souhlasně rovnoběžná se souřadnicovou osou x. Jeho počáteční polohu zvolíme za počátek soustavy souřadnic. Závan větru působí na pásovce silou o velikosti 17 N ve směru kladně orientované osy y. Pomocí jednotkových vektorů dané kartézské soustavy souřadnic zapište (a) jeho rychlost a (b) jeho polohu po uplynutí 3,0 s. 43Ú. Celková hmotnost výtahu i s nákladem je 1 600 kg. Určete tažnou sílu nosného lana. jestliže se výtah, který původně klesal rychlostí 12m-s-1, zastavil na dráze 42 m. 44Ú. Předmět je zavěšen na silomčru připevněném ke stropu kabiny výtahu. Výtah stojí a na stupnici siloměru je údaj 65 N. Jaký údaj bude ukazovat siloměr, bude-li výtah stoupat (a) konstantní rychlostí 7.6m-s-1, (b) rychlostí klesající z počáteční hodnoty 7.6 m-s-1. je-li velikost zrychlení 2,4m-s-_? 45U. Tryskový motor o hmotnosti 1 400 kg je připevněn k trupu dopravního letadla třemi šrouby (obvyklá praxe). Předpokládejme, že každý šroub nese jednu třetinu zátěže, (a) Vypočtěte sílu působící na každý šroub, jestliže letadlo čeká na startovací dráze na pokyn k odletu, (b) Během letu se letadlo dostane do turbulence, vlivem níž získá náhle zrychlení o velikosti 2.6 m-s 2 směřující svisle vzhůru. Vypočtěte sílu působící na každý šroub za této situace. 46U. Na obr. 5.46 je vrtulník o hmotnosti 15 000kg. který zvedá nákladní automobil o hmotnosti 4 500 kg se zrychlením 1.4 m-s-2. Vypočtěte (a) sílu. jíž působí vzduch na vrtuli, (b) tažnou sílu horního nosného lana. Obr. 5.46 Úloha 46 47Ú. Člověk o hmotnosti 80 kg skáče na betonový dvorek z okna umístěného ve výšce pouhých 0,5 m. Při dopadu zapomene pokrčit kolena, takže se jeho pohyb zastaví na vzdálenosti 2.0 cm. (a) Jaké je průměrné zrychlení člověka od okamžiku, kdy sc dotkl chodidly dvorku, do chvíle, kdy byl již zcela v klidu? (b) Jakou silou byly při tomto skoku namáhány jeho kosti? 48U. Tři kostky spojené podle obr. 5.47 jsou taženy po dokonale hladké vodorovné podložce směrem vpravo. Tahová síla má velikost T3 = 65 N. Hmotnosti kostek jsou »21 = 12,0 kg. m2 = 24.0 kg a m-$ = 31,0 kg. Vypočtěte (a) zrychlení soustavy, (b) velikosti tahových sil 7j a F vláken spojujících kostky. 114 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I T2 73 m i h m j m 3 Obr.S.47 Úloha 48 49Ú. Na obr. 5.48 jsou čtyři hraví tučňáci, které jejich ošetřovatel táhne na laně po velmi kluzkém (dokonale hladkém) ledu. Hmotnosti tří tučňáků a velikosti tažných sil jednotlivých částí, lana jsou dány. Určete hmotnost zbývajícího tučňáka. Obr. 5.48 Úloha 49 50Ú. Kabina výtahu vážící 62401b se rozjíždí směrem vzhůru se zrychlením o velikosti 4,00ft-s-2. (a) Vypočtěte tažnou sílu lana. (b) Jaká by byla tažná síla lana, kdyby stoupající výtah brzdil se zrychlením o stejné velikosti? Údaje převeďte do soustavy jednotek SI. 51U. Parašutista o hmotnosti 80 kg padá se zrychlením o velikosti 2.5 m-s-2. Hmotnost padáku je 5,0kg. (a) Jakou vztlakovou silou působí vzduch na otevřený padák? (b) Jakou tahovou silou působí na padák člověk? 52U. Člověk o hmotnosti 85 kg se spouští na zem z výšky 10,0 m lak, že se drží lana vedeného přes kladku, na jehož druhém konci je zavěšen pytel s pískem o hmotnosti 65 kg. Kladka se otáčí bez tření, (a) Jakou rychlostí dopadne člověk na zem, jestliže byl zpočátku v klidu? (b) Může člověk nějakým způsobem rychlost dopadu snížit? 53Ú. Letadlo o váze 5,2-104 lb (obr. 5.49) musí mít před vzlétnutím rychlost 280ft/s. Molor vyvine sílu o velikosti nejvýše 240001b, která však nepostačuje k tomu, aby leladlo dosáhlo požadované rychlosti na dráze 300 ft, odpovídající délce paluby. Jakou nejmenší silou (předpokládáme, že konstantní) musí na letadlo působit katapultovací zařízení, aby letadlo mohlo vzlétnout? Předpokládáme, že jak motor, tak katapultovací zařízení působí na letadlo při rozjezdu konstantní silou. 54U. Představme si kosmickou loďblížící se k povrchu Callista, jednoho z Jupiterových měsíců. Vyvine-li motor brzdnou sílu (směřující od povrchu svisle vzhůru) o velikosti 3 260N, bude loď klesat s konstantní rychlostí. Pokud by byla velikost brzdné síly pouze 2 200 N, klesala by loď se zrychlením o velikosti 0,39 m-s-2. (a) Jaká tíhová síla působí na loď v blízkosti povrchu Callista? (b) Jaká je hmotnost lodi? (c) Jaké je tíhové zrychlení v blízkosti povrchu Callista? 55U. Artista o hmotnosti 52 kg se spouští po laně, které může prasknout, překročí-li velikost tahové síly hodnotu 425 N. (a) Co sc stane, visí-li artista na laně v klidu? (b) S jak velkým zrychlením se musí artista spouštět, aby právě zabránil přetržení lana? Obr. 5.49 Úloha 53 56Ú. Řetěz tvořený pěti články, z nichž každý má hmotnost 0,100 kg, je zvedán svisle vzhůru se stálým zrychlením 2,50 m-s~2 (obr. 5.50). Určete (a) síly vzájemného působení mezi všemi dvojicemi sousedních článků, (b) sílu F, jíž působí na horní článek člověk zvedající řetěz, (c) výslednou sílu udělující zrychlení každému článku. Obr. 5.50 Úloha 56 57U. Těleso o hmotnosti 1,0 kg leží na nakloněné rovině s úhlem sklonu 37: a je spojeno s tělesem o hmotností 3,0 kg podle obr. 5.51. Styčné plochy jsou dokonale hladké a kladka se otáčí bez tření. Jaká je tažná síla spojovacího vlákna, je-li F = 12N? l.Okg/X^p7 3,0 kg \ Obr. 5.51 Úloha 57 58U. Kostka o hmotnosti m\ = 3,70 kg spočívá na dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu 30,0°. Vláknem vedeným přes nehmotnou kladku otáčející se bez tření je spojena CVIČENÍ & ÚLOHY 115 s další kostkou, jejíž hmotnost je mi = 2,30 kg (obr. 5.52). Určete (a) velikost zrychlení každé z kostek a (b) směr zrychlení kostky mj. (c) Jakou silou je napínáno vlákno? Obr.5.52 Úloha 58 59Ú. Balík opotřebeného pokrývačského materiálu o hmotnosti 50 kg je třeba spustit na zem na laně, jehož pevnost je 390 N (při vyšší zátěži se lano přetrhne), (a) Jak lze zabránit přetržení lana během spouštění materiálu? (b) Předpokládejme, že spouštíme balík z výšky 9 m způsobem, jímž právě tak tak zabráníme přetržení lana. Jakou rychlostí dopadne balík na zem? 60U. Kostka je vržena vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině počáteční rychlostí o velikosti vq. Uhel sklonu nakloněné roviny je 9. (a) Jakou vzdálenost urazí kostka podél nakloněné roviny, než se dostane do bodu obratu? (b) Jak dlouho to bude trvat? (c) S jakou rychlostí se kostka vrátí do místa, ze kterého byla vržena? Číselně spočtěte pro hodnoty 6 = 32,0° a i>o = = 3,5 m-s-1. 61U. Kosmická loď startuje svisle vzhůru z povrchu Měsíce, kde je tíhové zrychlení l,6m-s-2. Loď startuje se zrychlením o velikosti l,0m-s-2 vzhledem k povrchu Měsíce. Jakou silou působí sedadlo lodi na astronauta, na kterého působí na Zemi tíhová síla o velikosti 735 N? 62U. Lampa je zavěšena na svislém provaze v kabině klesajícího výtahu, který brzdí se zrychlením o velikosti 2,4 m-s-2. (a) Určete hmotnost lampy, víte-li, že tažná síla provazu má velikost 89 N. (b) Jak velká síla by napínala provaz, kdyby se výtah rozjížděl vzhůru sc zrychlením o velikosti 2,4 m-s-2? 63Ú. Přepravka o hmotnosti 100kg je tlačena stálou rychlostí vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu 30,0° (obr. 5.53). (a) Jak velká vodorovná síla F je k tomu potřebná? (b) Jakou silou tlačí nakloněná rovina na přepravku? Obr. 5.53 Úloha 63 64U. Desctikilogramová opice leze po nehmotném provaze přehozeném přes větev stromu. Provaz je na druhém konci zatížen patnáctikilogramovým závažím ležícím na zemi (obr. 5.54). Provaz může klouzat po větvi bez tření, (a) S jakým nejmenším zrychlením musí opice lézt, má-li se zátěž, odpoutat od zemč? Jakmi le se závaží odpoutá od povrchu Země, přestane opice lézt, ale drží se provazu, (b) Jaké je nyní zrychlení opice a (c) jakou silou jc napínán provaz? Obr. 5.54 Úloha 64 65Ú. Obr. 5.55 ukazuje část alpské kabinové lanovky. Nej vyšší povolená hmotnost každé kabiny je 2 800 kg. Kabiny jezdí po nosném laně a jsou taženy dalším lanem, které je připojeno k závěsu každé z nich. Jak se liší síly pnutí v sousedních úsecích tažného lana, mají-li kabiny maximální povolenou hmotnost a stoupají-li se zrychlením o velikosti 0,81 m-s-2? Sklon lana je 35°. nosné lano-^ tažné lano - Obr. 5.55 Úloha 65 66Ú. Kosmická loď má hmotnost l,20-106kg a je zpočátku v klidu vzhledem k systému stálic, (a) S jakým stálým zrychlením by se musela loď pohybovat, aby za 3,0 dny dosáhla vzhledem k systému stálic rychlosti o velikosti 0,10c (kde c je rychlost světla)? (Neberte v úvahu korekce vyplývající z Einsteinovy 116 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB 1 speciální teorie relativity.) (b) Vyjádřete velikost zrychlení v jednotkách g. (c) Jak velké síly je třeba k udělení tohoto zrychlení? (d) Předpokládejme, že motory se vypnou, jakmile loď dosáhne požadované rychlosti (v = 0,10c). Jak daleko dorazí loď od okamžiku startu za 5,0 světelných měsíců (vzdálenost, kterou světlo urazí za dobu 5.0 měsíců)? 67U. Výtah na obr. 5.56 je sestaven z kabiny (A) o hmotnosti 1 150kg, protizávaží (B) o hmotnosti 1 400kg. hnacího mechanismu (C), lana a dvou kladek. Hnací mechanismus lano buď urychluje, nebo zpomaluje. V důsledku toho se síla 7j napínající lano na jedné straně hnacího mechanismu liší od síly 'F. která lano napíná na druhé straně. Předpokládejme, že kabina (A) stoupá se zrychlením o velikosti a = 2,0m-s--. Se zrychlením o téže velikosti klesá protizávaží (B). Zanedbejte hmotnost kladek i lana. Určete (a) 7j, (b) Ti a (c) velikost síly. kterou působí na lano hnací mechanismus. 11 7 900 N A ■ lJ b Obr. 5.56 Úloha 67 68Ú. Kostka o hmotnosti 5,00 kg je tažena po vodorovné dokonale hladké podložce provazem, na který působí síla o velikosti F — 12,ON pod úhlem 25.0C vzhledem k vodorovné rovině (obr. 5.57). (a) Jaké jc zrychlení kostky? (b) Velikost síly F začne pomalu vzrůstat. Jaká je její velikost právě v okamžiku, kdy se kostka zcela zvedne nad podložku? (c) Jaké je v tomto okamžiku zrychlení kostky? Obr. 5.57 Úloha 68 69Ú. V minulosti se přepravovaly pramice vodními kanály pomocí koní způsobem znázorněným na obr. 5.58. Předpokládejme, že kůň táhne silou 7 900 N lano, které svírá se směrem pohybu pramice úhel ]&r. Pramice pluje přímo podél kanálu. Její hmotnost jc 9 500 kg a zrychlení má velikost 0,12 m-s--. Určete sílu, kterou působí na pramici voda. Obr. 5.58 Úloha 69 70Ú. Horkovzdušný balon o hmotnosti M svisle klesá se zrychlením o velikosti a směřujícím dolů (obr. 5.59). Určete hmotnost zátěže, kterou je třeba z balonu vyhodit, aby získal zrychlení o téže velikosti a. avšak směřující vzhůru? Předpokládáme, že vztlaková síla, jíž působí na balon okolní vzduch, se odstraněním zátěže nezmění. přebytečná zátěž Obr. 5.59 Úloha 70 71Ú. Síla udílí tělesu o hmotnosti m \ zrychlení o velikosti 12,0m-s-2. Tělesu o hmotnosti mi by táž síla udělila zrychlení o velikosti 3,30m-s-2. Jaké zrychlení udělí tato síla objektům o hmotnosti (a) m 2 — m i a (b) m2 + m \ ? 72U. Raketa o hmotnosti 3 000 kg startuje z povrchu Země pod elevačním úhlem 60°. Motor vyvine sílu o velikosti 6,0-104 N, která svírá s vodorovnou rovinou stálý úhel 60". Zážeh motoru trvá 50 s. V hrubém přiblížení můžeme zanedbat vliv ztráty hmotnosti rakety při hoření paliva i vliv působení okolního vzduchu. Určete, (a) jaké výšky nad povrchem Země dosáhne raketa do okamžiku vypnutí motoru a (b) jak daleko od místa startu dopadne opět na povrch Země. považujemc-li jej za rovinný." 73Ú. Kostka o hmotnosti M je tažena po dokonale hladké vodorovné podložce na laně o hmotnosti m (obr. 5.60). Na konci lana působí vodorovná síla F. (a) Ukažte, že lano musí být prohnuté, byť nepatrně. Předpokládejte, že průhyb je zanedbatelný, a určete (b) zrychlení lana a kostky, (c) sílu. kterou působí lano na kostku, a (d) sílu napínající lano uprostřed. m M ':..... Obr 5.60 Úloha 73 * Zjistěte, jak se liší hodnoty g v místě startu rakety a v nejvyš-ším bodě, kterého raketa dosáhne, a odhadněte, zda to může ovlivnit výsledky. CVIČENÍ & ÚLOHY 117 74Ú. Na obr. 5.61 je znázorněn člověk na sedačce zavěšené na nehmotném provaze. Provaz je veden přes nehmotnou kladku, která se může otáčet bez tření. Druhý konec provazu drží člověk v rukou. Celková hmotnost člověka a sedačky je 95,0 kg. (a) Jak velkou silou musí člověk táhnout provaz, aby sedačka stoupala s konstantní rychlostí? (b) Jaké tažné síly je třeba k dosažení zrychlení o velikosti l,30ms~2? (c) Předpokládejme nyní. že druhý konec lana drží osoba stojící na zemi. Odpovězte znovu na otázky (a) a (b), (d) V každém ze čtyř výše uvedených případů určete sílu, jíž působí závěs kladky na strop. Obr. 5.61 Úloha 74 PRO POČÍTAČ 75U. Na obr. 5.62 jsou znázorněny tři kostky spojené vlákny. Kostky o hmotnostech m\ a mi spočívají na dokonale hladké nakloněné rovině s úhlem sklonu 9, jejich spojovací vlákno je napínáno silou o velikosti 7j. Třetí kostka o hmotnosti m% je s kostkou iii2 spojena vláknem vedeným přes nehmotnou kladku otáčející se bez tření, velikost síly napínající vlákno je v tomto případě Ti. Pro hodnoty 9 = 20'', m\ = 2,00 kg. mj = 1.00kg a ř»3 = 3,00kg určete 7j, T% a zrychlení obou kostek. {Tip: Užijte druhého Newtonova zákona pro každou z kostek, zapište příslušné tři rovnice a řešte jc na počítači.) Obr. 5.62 Úloha 75 76Ú. Na dvoukilogramový předmět působí tři síly, které mu udílejí zrychlení a = — (8,00m-s~2)i + (6.00m-s~2)y. Dvě ze sil jsou známy: F, = (30,0N)i+(16.0N)yaF2 = -(12,0N)/+ + (8,0N);. Určete třetí sílu. 6 Kočky se rády vyhřívají na sluníčku. Když ale odpočívají na římse výškové budovy, riskují nebezpečný pád. Kupodivu se však zjistilo, že kočka může docela dobře přežít, je-li výška pádu dostatečné velká, alespoň sedm či osm poschodí. V takovém případě rozsah jejího poranění, např. počet zlomenin nebo smrtelných zranění, s výškou pádu dokonce klesal (Rekord drží kočka, která vypadla z dvaatřicátého patra a jen mírně si poranila hrudník a přišla o zub.) Je to vůbec možné { 6.1 TŘENÍ 1 19 N 6.1 TŘENI Třecím silám se v každodenním životě nevyhneme. Kdyby byly jedinými silami působícími na tělesa, zastavily by každý pohybující se předmět a každé otáčející se soukolí. Kolem dvaceti procent spotřeby benzinu v automobilu například připadá na kompenzaci vlivu tření v motoru a hnacím mechanismu. Na druhé straně, kdyby tření nebylo, nikam bychom se automobilem nedostali. Nemohli bychom chodit ani jezdit na kole. Nemohli bychom držet tužku a i kdyby přece, nepsala by. Hřebíky a šrouby by nebyly k ničemu, utkaná látka by se rozpadla a uzly by se rozvázaly. V tomto článku se budeme zabývat třecími silami působícími mezi suchými pevnými povrchy těles, která se po sobě pohybují malými vzájemnými rychlostmi. Uvažujme dva jednoduché pokusy: 1. První pokus. Postrčíme knihu, aby sklouzla po desce stolu. Třecí síla, kterou působí horní deska stolu na spodek klouzající knihy, knihu zpomaluje a případně ji i zastaví. Kdybychom chtěli, aby kniha klouzala po stole konstantní rychlostí, museli bychom ji táhnout nebo tlačit silou stejné velikosti a opačného směru, než má třecí síla, která jejímu pohybu brání. 2. Druhý pokus. Těžká přepravka leží ve skladu na podlaze. Tlačíme ji vodorovně stálou silou, ale ona se nepohne. Je to způsobeno tím, že síla, kterou na ni působíme, je kompenzována vodorovnou třecí silou, jíž podlaha působí opačným směrem na dno přepravky. Je pozoruhodné, že tato třecí síla si sama řídí svou velikost i směr právě tak, aby zrušila účinek jakékoli síly, kterou bychom na přepravku působili. Samozřejmě, kdybychom vyvinuli sílu dostatečně velkou, dokázali bychom přepravkou přece jen pohnout (viz první pokus). Na obr. 6.1 je rozebrána obdobná situace podrobněji. Na obr. 6.1a spočívá kostka na desce stolu. Tíhová síla G je vyrovnána opačně orientovanou normálovou silou N. Na obr. 6.1b působíme na kostku silou F a snažíme se ji odtlačit směrem doleva. Jako odezva vzniká třecí síla Fs, která směřuje vpravo a přesně vyrovná sílu F, kterou na kostku působíme. Sílu Fs nazýváme statickou třecí silou. Obrázky 6.1c a d ukazují, že se vzrůstající silou F roste i síla Fs a kostka zůstává v klidu. Jakmile velikost síly F dosáhne určité hodnoty, kostka se „utrhne", ztratí svůj těsný kontakt s deskou stolu a urychluje se směrem vlevo (obr. 6.1e). Třecí síla Fd, která pak kostku brzdí, se nazývá dynamická (též. kinetická) třecí síla. Obvykle má dynamická třecí síla, působící pouze při pohybu, menší velikost, než je nejvyšší přípustná hodnota velikosti statické třecí síly, která působí jen za klidu. ici) FF (ď) klid -OF N -OF. pohyb se zrvchlením pohyb s konstantní rychlostí (f) -nejvyšší hodnota Fs Fd je přibližně konstalní- odtržení Oj) cas Obr. 6.1 (a) Síly působící na kostku v klidu, (b-d) Vnější síla F působící na kostku je vyvážena stejně velkou, opačně orientovanou silou statického tření Fs. Při rostoucí velikosti síly F roste i velikost síly Fs, až. dosáhne jisté nejvyšší hodnoty, (e) Kostka se pak najednou „utrhne" a začne se urychlovat směrem vlevo. (1) Má-li se kostka dále pohybovat rovnoměrně, je třeba velikost síly F snížit z této největší hodnoty tak, aby síla F právě kompenzovala dynamickou třecí sílu. (g) Výsledek měření třecí síly při ději (a) až (f). 120 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB II Požadujeme-li, aby se kostka pohybovala po povrchu stolu rovnoměrně, musíme vystihnout okamžik, kdy se pohne, a velikost působící síly snížit (obr. 6.1f). Obr. 6.1 g ukazuje výsledek pokusu, při němž síla F pozvolna rostla až do okamžiku, kdy se kostka pohnula. Všimněte si poklesu velikosti této síly, nutného k dosažení rovnoměrného pohybu kostky. Podstatou vzniku třecích sil je vzájemné působení povrchových atomů obou dotýkajících se těles. Kdyby byla dvě tělesa s vyleštěnými a pečlivě očištěnými kovovými povrchy uvedena do styku ve velmi dobrém vakuu, nemohla by po sobě klouzat. Naopak, okamžitě by k sobě přilnula (byla by svařena za studena) tak těsně, že by vytvořila jediný kovový kus. Existují speciálně leštěné strojnické bloky, které k sobě i ve vzduchu mohou přilnout tak pevně, že je lze oddělit jen kroucením. Těsného kontaktu atom-atom obvykle nelze docílit tak snadno. I vysoce leštěný kovový povrch má daleko k tomu, aby byl rovinný v atomovém měřítku. Běžné povrchy jsou navíc znečištěny vrstvami oxidů a jiných nečistot, které možnost svaření za studena zhoršují. Dva povrchy, které jsou k sobě přiloženy, se stýkají pouze nejvyššími výběžky. (Jako kdybychom švýcarské Alpy otočili jejich vrcholky proti rakouským Alpám.) Skutečná mikroskopická dotyková plocha je mnohem menší než zdánlivá makroskopická styčná plocha, dokonce až 104krát. Přesto se povrchy mohou k sobě svařit v mnoha stykových bodech. Snažíme-li se potom vnější silou docílit vzájemného skluzu těles podél jejich povrchů, způsobují tyto svary vznik statického tření. Tlačíme-li těleso po nějaké podložce, dochází nejprve k narušení svarů (utržení) a poté k jejich opakovanému porušování a znovuobnovování při náhodném vzniku dalších a dalších stykových plošek (obr. 6.2). Dynamická třecí i. Obr. 6.2 Mechanismus smykového tření, (a) Horní těleso klouže směrem vpravo po povrchu dolního tělesa. Zvětšeno, (b) Detail, ukazující dvě styková místa, kde vznikl svar za studena. K udržení pohybu je třeba působit silou, která svary naruší. síla Fc\ je vektorovým součtem sil působících při tomto procesu. Často je pohyb tělesa „trhaný", neboť různé dvojice plošek k sobě vždy nakrátko přilnou a zase po sobě sklouznou. Nepřetržité opakování kontaktů a smyků může být provázeno různými zvuky, například při smyku kol na suché dlažbě, škrábání nehtem po tabuli, otevírání dveří s rezavými panty, tahání smyčce po houslové struně. 6.2 VLASTNOSTI SIL TŘENÍ Předpokládejme, že na těleso se suchým povrchem, které spočívá na podložce stejné kvality, případně je k ní tlačeno, působíme silou F ve snaze je po podložce posunout. Experiment ukazuje, že třecí síla, jíž působí podložka proti pohybu tělesa, má tři vlastnosti: 1. Je-li těleso v klidu, má statická třecí síla Fs stejnou velikost jako průmět síly F do podložky a je vůči němu opačně orientována. 2. Velikost síly Fs dosahuje maximální hodnoty Fs,mílK dané vztahem Fs.max =fsN, (6-1) kde fs je koeficient statického tření a N je velikost tlakové síly, jíž působí podložka na těleso. Převýší-li velikost průmětu síly F do podložky hodnotu FSimax, začne těleso po podložce klouzat. 3. V okamžiku, kdy se těleso dá do pohybu, klesne velikost třecí síly prakticky skokem na hodnotu Fa, určenou vztahem Fd = fáN, (6.2) kde fd je koeficient dynamického (též kinetického) tření. Tuto velikost má dynamická třecí síla Fci v průběhu celého pohybu. Vlastnosti 1 a 2, které jsme formulovali pro případ jedné síly F, zůstanou v nezměněné podobě i v případě, že F je výslednicí několika sil působících na těleso. Rovnice (6.1) a (6.2) nemají vektorový charakter. Síly Fd, resp. Fs jsou totiž vždy rovnoběžné s podložkou a směřují proti pohybu, resp. zamýšlenému pohybu tělesa, zatímco síla N je k podložce kolmá. Koeficienty /s a fy jsou bezrozměrové a zjišťují se experimentálně. Jejich hodnoty závisejí na vlastnostech tělesa i podložky, takže hovoříme o koeficientech tření mezi podložkou a tělesem či mezi dvěma materiály (např. řekneme, 6.2 VLASTNOSTI SIL TŘENÍ 121 že „hodnota statického koeficientu tření /s mezi sáněmi a asfaltem je 0,5"). Předpokládáme, že hodnota /. tj. /V = G cos 6». (6.5) V okamžiku, kdy mince začíná klouzat (a jedině v lomlo okamžiku), nabývá velikost statické třecí síly své maximální hodnoty fsN. Dosazením fsN za Fs do rovnice (6.4) a vydělením rovnicí (6.5) dostáváme /.. f,N G sin8 — = — = - = tgt9, N N G cos 8 tj- /s = tgO = tg 13u = 0.23. (Odpověď) (6.6) Získali jsme jednoduchý návod jak změřit /s. Uhlomer ani nepotřebujeme. Stačí změřit dvě délky h a d, vyznačené v obr. 6.2a, a určit jejich poměr h/d — tgO. Pro zjištění«,- použijeme v-ovou složku druhého Newtonova zákona. Při zanedbání vlivu odporu vzduchu na pohyb auta PŘÍKLAD 6.2 Při nouzovém brzdění se zablokují kola automobilu (nemohou se otáčet) a automobil klouže po silnici. Utržené kousky pneumatik a krátké úseky roztaveného asfaltu vytvářejí „brzdné stopy", svědčící o tom, že při skluzu automobilu po silnici dochází ke sváření za studena. Brzdné stopy „rekordní délky" byly zaznamenány v roce 1960 na silnici Ml v Anglii u vozu Jaguar a měřily 290 m! Předpokládejme, že /s = 0,60. Jak rychle jelo auto v okamžiku, kdy se kola zablokovala? ŘEŠENÍ: V obr. 6.4a je vyznačena brzdná dráha automobilu. V diagramu sil působících na automobil během brzdění je vyznačena tíhová síla G, normálová síla N a dynamická třecí sílaFd. Ve vztahu (2.16) ir = Vqx + 2ax(x - xq), položíme vx = 0 a .v — xq = d a vyjádříme velikost počáteční rychlosti t'n = Vox' vq =-- s/-2axd. (6.7) 122 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB II je jedinou silou s nenulovou x-ovou složkou třecí síla Fd. přičemž Fd ,. = — Fj. Dostáváme tak Fá = -fjN m m -Fi = max, tj. a. — (6.8) kde jsme dosadili Fj = f[\N ze vztahu (6.2) a m je hmotnost automobilu. Normálová síla N má velikost N = G = mg. Jejím dosazením do vztahu (6.8) dostáváme - f ding = - f Agni Nakonec dosadíme vztah (6.9) do (6.7): (6.9) d0 = y/2fägd = v'2(Ü,60)(9,8m-s-2)(290m) 58ms 210 km/h. (Odpověd) Při řešení jsme mlčky předpokládali, že konec brzdné stopy odpovídá hodnotě vx = 0. V popisovaném skutečném případě byla brzdná stopa přerušena proto, žc jaguár urazil se zablokovanými koly zmíněných 290 m a pak vyjel ze silnice. Získaný výsledek je proto třeba interpretovat tak, žc hodnota vq činila nejméně 210km/h, mohla však být i mnohem vyšší. <3 'm—-@t (a) C N automobil Ý G (b) Obr. 6.4 Příklad 6.2. (a) Automobil klouže směrem doprava a zastaví se poté, co urazil vzdálenost d. (b) Silový diagram brzdícího automobilu. Vektor zrychlení směřuje vlevo, souhlasně s třecí silou Ft\. PŘIKLAD 6.3 Zena táhne po zasněženém vodorovném chodníku naložené sáně o hmotnosti m = 75 kg. Rychlost sání je konstantní. Koeficient dynamického tření / Fa kočka je urychlována nenulovou výslednou silou, směřující svisle dolů. * W. 0. Whitney a C. J. Mehlhaff, High-rise syndrome in cats. J. Am. Veterinary Medical assoc. 191, 1399-1403 (1987). 6.3 ODPOROVÁ SÍLA A MEZNÍ RYCHLOST 125 S odkazem na kapitolu 2 si připomeňme, že naše smysly reagují na zrychlení, nikoli na rychlost. Také padající kočka pocítí zrychlení. Lekne sc, skrčí nohy pod tělo, zvedne hlavu a ohne páteř vzhůru. Tím se sníží její účinný průřez S a. zvýší velikost dosažitelné mezní rychlosti vm. Za této situace by ovšem při přistání muselo dojít k většímu poranění. V okamžiku, kdy kočka dosáhne mezní rychlosti, její zrychlení klesne na nulu a kočka se uklidní. Napne nohy a krk vodorovně a napřímí páteř (podobá se při tom letící veverce při skoku ze stromu na strom). Tím se zvýší průřez S a s ním i síla odporu F. Kočka se začne zpomalovat, neboť nyní je F > G a výsledná síla míří vzhůru, až do okamžiku, kdy dosáhne nové. nižší mezní rychlosti. Pokles vm snižuje nebezpečí vážného poranění při dopadu. Těsně před koncem pádu, když kočka spatří blížící se povrch země, stáhne nohy zpět pod tělo a připraví se na přistání. Tabulka 6.1 Některé mezní rychlosti vc vzduchu Mezní 95% rychlost vzdálenost" předmět (m-s ~l) (m) Osmikilogramový náboj 145 2 500 Vzdušný akrobat* (typický případ) 60 430 Baseballový míč 42 210 Tenisový míček 31 115 Basketbalový míč 20 47 Pingpongový míček 9 10 Dešťová kapka (poloměr 1,5 mm) 7 6 Výsadkář (typický případ) 5 3 " Vzdálenost, kterou musí těleso urazit, aby dosáhlo rychlosti o velikosti 95 % mezní hodnoty vm. " Parašutista předvádí akrobatické figury bez otevření padáku. ' Parašutista otevře padák bezprostředně po výskoku z letadla. Zdroj: Upraveno podle Petera J. Brancazia, Sport Science, Simon & Schuster, New York. 1984. PŘÍKLAD 6.5 Padající kočka dosáhla poprvé mezní rychlosti o velikosti 100km/h poté. co sc prohnula do svislé polohy. Pak se opět roztáhla a její účinný průřez se zvýšil na dvojnásobek. Jak rychle padala kočka v okamžiku, kdy dosáhla mezní rychlosti podruhé? ŘEŠENÍ: Označme vm\, resp. vmj velikost prvé, resp. druhé mezní rychlosti a S\ a odpovídající účinné průřezy. Užitím vzorce (6.18) vypočteme poměr mezních rychlostí: vm2 J2mg/CoS2 I Si / Ši r— -■ ■ ■ — —/.......—" — ' — — /- — y U, J — U. /, t'mi *J2mg/CQS] y 5i y 2Sl tj. Vm2 = 0,7iJm], což činí přibližně 70km/h. Následující událost se odehrála v dubnu 1987. Při skupinovém seskoku z letadla si parašutista Gregory Robert-son všiml, že jeho kolegyně Debbie Williamsová ztratila vědomí při srážce s dalším vzdušným akrobatem v okamžiku, kdy ještě neměla otevřený padák. Robertson byl v tu chvíli v dost velké výšce nad ní. Prozatím však také padák neotevřel, aby si vychutnal radost ze čtyřkilometrového pádu. Reagoval pohotově: otočil se hlavou dolů, aby tak minimalizoval svůj účinný průřez a zvýšil rychlost pádu. Dosáhl mezní rychlosti něco přes 12()km/h, dostihl Wil-liamsovou a zaujal vodorovnou polohu „rozepjatého orla" (obr. 6.9). Tím opět zvýšil velikost odporové síly natolik, že mohl dívku zachytit a otevřít její padák. Svůj vlastní pak otevřel pouhých 10 s před dopadem. Williamsová měla sice vlivem neřízeného přistání rozsáhlá vnitřní poranění, pád však naštěstí přežila. Obr. 6.9 Parašutistč vc vodorovné poloze „rozepjatého orla" dosahují maximálního odporu vzduchu. PŘÍKLAD 6.6 Dešťová kapka o poloměru R = 1.5 mm padá z mraku, který je vc výšce h = 1 200 m nad zemským povrchem. Odporový koeficient kapky je 0,60. Předpokládejme, že kapka má po celou dobu pádu kulový tvar. Hustota vody je qx = I 0Q0kg-m a hustota vzduchu qy/, = l,2kg-m-3. (a) Jaká je mezní rychlost kapky? ŘEŠENÍ: Objem koule je ^kR3, její efektivní průřez je roven obsahu kruhu o poloměru R. Je tedy m = t-R-'Q, a S = v.R'. Ze vztahu (6.18) pak dostáváme j~2m~g~ _ j 8nR3Qvg jSRQvg _ V"' ~ V Cqy/S ~ \' 3Cqy/kR2 ~ \j 3Ce>V2 ~ /8(1,5■ 10--1 m)(1 000 kg- m--1)(9,8 m-s-2) _ ~ V ~ 3(0,60)(l,2kg-m-3) = 7,4 m-s""1. (Odpověď) 126 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB II Uvědomte si, že ve výpočtu nevystupuje výška mraku nad povrchem Země. Kapka (viz tab. 6.1) dosáhne mezní rychlosti po několika metrech. (b) J aká by byla rychlost kapky těsně před dopadem na povrch Země, kdyby nepůsobila odporová síla? ŘEŠENÍ: Do vztahu (2.23) dosadíme (y - y0) = -k a v0 = = 0. Dostaneme v = s/lgh = v/2(9,8m-s-2)(1 200m) = = 150 m-s-1. (Odpověď) Za takových podmínek by asi Shakespeare sotva mohl napsat „...a laskavý déšť z nebes skrápěl zemi... " KONTROLA 3: Rozhodněte, zda rychlost velkých dešťových kapek je v blízkosti povrchu Země větší, menší, či stejná jako rychlost kapek malých. Předpokládejte, že velké i malé kapky mají kulový tvar. 6.4 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI Připomeňme si, že o rovnoměrném pohybu po kružnici hovoříme tehdy, pohybuje-li se částice po kružnici nebo jejím oblouku rychlostí o stálé velikosti v. Uvědomme si také, že částice se pohybuje s dostředivým zrychlením (směřujícím stále do středu kružnice), jehož velikost je stálá a je dána vztahem (4.22): o V a — — (dostředivé zrychlení), (6.19) r kde r je poloměr kružnice. Dostředivé zrychlení udílí částici dostředivá síla, která samozřejmě rovněž směřuje stále do středu kružnice. Její velikost je konstantní a pomocí druhého Newtonova zákona ji lze vyjádřit ve tvaru i sir F — ma = - (dostředivá síla). (6.20) r Jestliže má tedy výslednice sil působících na částici charakter dostředivé síly, pohybuje se částice rovnoměrně po kružnici. Naopak, vidíme-li částici pohybující se rovnoměrně po kružnici, můžeme si být jisti, že výslednice sil na ni působících je dostředivá síla. Bez dostředivé síly není rovnoměrný pohyb po kružnici možný. Dostředivé zrychlení i dostředivá síla jsou vektorovými veličinami, jejichž velikost je konstantní a směr se neustále mění tak, aby směřovaly do středu kružnice. Představme si, že tělesem obíhajícím rovnoměrně po kružnici je třeba hokejový kotouč uvázaný na šňůře a kroužící kolem jejího pevného konce podle obr. 6.10. Úlohu dostředivé síly hraje v tomto případě tahová síla šňůry. Při pohybu Měsíce kolem Země, který je rovnoměrnému pohybu po kružnici blízký, je dostředivou silou přitažlivá gravitační síla, jíž na Měsíc působí Země. Dostředivá síla tedy není novým druhem síly. Může to být síla pnutí, gravitační síla nebo síla jakékoliv jiné povahy. Srovnejme nyní dva obdobné případy rovnoměrného pohybu po kružnici: 1. Projíždění zatáčky v autě. Představme si dort v krabici uprostřed zadního sedadla automobilu, který jede velkou rychlostí po ploché silnici. Řidič náhle zatočí vlevo po kruhovém oblouku, krabice sklouzne po sedadle vpravo a je přitisknuta k vnitřní stěně vozu. Co se vlastně stalo? Pohyb automobilu po oblouku považujeme za rovnoměrný pohyb po knižnici. Dostředivou silou, která jej způsobuje, je třecí síla, jíž působí povrch silnice na pneumatiky vozu. Tato síla směřuje radiálně dovnitř kružnice a má velikost danou vztahem (6.20). Je přitom rozložena na všechna čtyři kola. Krabice s dortem by rovněž konala rovnoměrný pohyb po kružnici a setrvala při něm uprostřed sedadla, kdyby třecí síla, jíž na ni působí sedadlo, byla dostatečně velká. V popisovaném případě tomu tak zřejmě není, a proto krabice sklouzne po sedadle. vlákno P T Obr. 6.10 Hokejový kotouč o hmotnosti m se pohybuje po kružnici po vodorovné dokonale hladké podložce. Jeho rychlost má stálou velikost v. Dostředivou silou je tahová síla T. jíž na kotouč působí šňůra. Z hlediska vztažné soustavy spojené s povrchem Země krabice s dortem ve skutečnosti pokračuje v přímočarém pohybu, zatímco sedadlo pod ní klouže, dokud krabice nenarazí na stěnu vozu. Tlaková síla stěny na krabici pak 6.4 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI 127 pohyb". Výsledkem je pak pohyb po zakřivené trajektorii kolem Země. (b) Jak velkou gravitační (dostředivou) silou působí Země na kosmonauta? ŘEŠENÍ: Dostředivá síla má velikost F = ma = (79 kg)(8,38 m-s"2) = 660 N. (Odpověd) Kdyby se kosmonaut Igor postavil na váhu umístěnou na věži o výšce // = 520 km, ukazovala by váha údaj 660 N. V obíhající kosmické lodi by váha ukazovala nulu, pokud by na ní Igor vůbec mohl „stát". Váha totiž „padá" společně s kosmonautem a jeho nohy na ni ve skutečnosti netlačí. realizuje dostředivou sílu a krabice se začne pohybovat rovnoměrně po kružnici spolu s automobilem. 2. Obíhání kolem Země. Nyní jsme v roli cestujícího vesmírné lodi Atlantis, která je na oběžné dráze kolem Země a zabýváme se studiem „stavu beztíže". Co se děje v tomto případě? Dostředivou silou, která udržuje kosmickou loď i kosmonauta v rovnoměrném pohybu po kružnici, je přitažlivá gravitační síla, jíž Země působí jak na loď, tak na kosmonauta. Tato síla směřuje do středu kruhové trajektorie (střed Země) a její velikost vyhovuje vztahu (6.20). Jak v automobilu, tak v kosmické lodi se pozorovaný předmět pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici vlivem dostředivé síly. Obě situace jsou však velmi odlišné. V autě je dort vržen ke stěně, která pak na něj působí tlakovou silou. V obíhající kosmické lodi naopak pasažér volně pluje a žádnou působící sílu nepociťuje. Proč je rozdíl tak veliký? Je způsoben rozdílnou povahou dostředivé síly v jednotlivých případech. V autě je dostředivou silou tzv. plošná síla, zprostředkovaná přímým kontaktem stěny vozu s částí povrchu krabice. V kosmické lodi má dostředivá síla charakter síly objemové. Je to přitažlivá gravitační síla, složená z elementárních sil, jimiž působí Země na jednotlivé částice lodi a kosmonautova těla úměrně jejich hmotnostem. (Podrobněji o tom v 51.14.2.) Žádná část těla se tedy plošně nestlačuje, a kosmonaut proto silové působení nepociťuje. PŘÍKLAD 6.7 Igor je inženýr-kosmonaut v kosmické lodi Vostok II, která létá na oběžné dráze kolem Země ve výšce = 520 km. Její rychlost má velikost 7,6 km/s, Igor má hmotnost m = 79 kg. (a) S jakým zrychlením se Igor pohybuje? ŘEŠENÍ: Igor koná rovnoměrný pohyb po kružnici o poloměru Rz + h, kde Rz je poloměr Země. Jeho dostředivé zrychlení je dáno vztahem (6.19): _ v2 v2 _ (7,6-103m-S-1)2 a ~ ~ ~ Rz +~h ~ (6,37-106m) + (0,52- 106m) ~ = 8,38 m-s"2 = 8,4 m-s"2. (Odpověd) Tato hodnota představuje velikost tíhového zrychlení v nadmořské výšce, v níž se Igor nachází. Předmět, který by byl do této nadmořské výšky vynesen a pak jen volně puštěn, by padal k Zemi se zrychlením, jehož počáteční velikost by měla právě tu hodnotu, kterou jsme před chvílí vypočetli. Pohyby kosmické lodi a pohyb padajícího předmětu se liší tím, že kámen má počáteční rychlost nulovou, takže „jen padá", zatímco loď na oběžné dráze má počáteční rychlost kolmou na směr přitažlivé síly, takže koná kromě pádu ještě „boční RADY A NÁMĚTY Bod 6.1: Podívejme se na to V příkladu 6.7 jsme potřebovali znát poloměr Země, který nebyl v zadání uveden. Abychom si i v takové situaci věděli rady, měli bychom být obeznámeni se zdroji informací podobného druhu, počínaje touto knihou. Řada užitečných údajů je J^ONTROLA 4: Vezete se na ruském kole, které se rovnoměrně otáčí. Určete směr svého zrychlení a a směr tlakové síly, kterou na vás působí sedačka, při průchodu (a) nejvyšším, resp. (b) nejnižším bodem trajektorie. PŘÍKLAD 6.8 Během cirkusového představení v roce 1901 předvedl Allo „Dare Devil" Diavolo vrcholné číslo, jízdu na kole ve spirále smrti (obr. 6.1 la). Předpokládejme, že smyčka je kruhová a má poloměr R = 2,7 m. Jakou nejmenší rychlostí v mohl Diavolo projíždět nejvyšším bodem smyčky, aby s ní neztratil kontakt? ŘEŠENÍ: Obr. 6.11b znázorňuje silový diagram artisty na kole v nejvyšším bodě smyčky (spojená tělesa aproximujeme hmotným bodem). V diagramu je vyznačena tíhová síla G = mg a normálová síla N, jíž působí smyčka na kolo s akrobatem. Zrychlení a směřuje dolů ke středu smyčky uvedena na vnitřní obálce knihy, v dodatcích a tabulkách. Neocenitelným zdrojem jc každoročně aktualizovaná příručka Handbook of Chemistry andPhysics (vydavatel CRC Press). Z cvičných důvodů zkuste zjistit například hustotu železa, rozvoj funkce eŕ v mocninnou řadu, počet centimetrů v míli, střední vzdálenost Saturnu od Slunce, hmotnost protonu, rychlost světla, atomové čísla samaria. Vše je možné najít v citované příručce. (Český středoškolák najde všechny tyto údaje např. v běžných Matematických, fyzikálních a chemických tabulkách.) 128 KAPITOLA 6 SÍLA A POHY B II a podle vztahu (6.19) má velikost a = v2/R. Užitím druhého Newtonova zákona dostáváme Fy = —N — mg = mety -ma = —m- V okamžiku ztráty kontaktu kola se smyčkou je N = 0 a platí mg = m —, 6 R v = JgR = v'(9,8 m-s-2)(2,7 m) = = 5,1 m-s-1. (Odpověď) Aby Diavolo neztratil kontakt se smyčkou, musel projet jejím nejvyšším bodem rychleji než 5,1 m-s-1. Pak byla velikost tlakových sil mezi koly a smyčkou nenulová. FOREPAUGH &SELIS BROTHERS shows'* . ■ ■■ • ■■ :■ . ..... ...... ......... .... • \ . (a) Obr.6.11 Příklad 6.8. (a) Dobová reklama na Diavolovo vystoupení a (b) silový diagram v okamžiku průjezdu akrobata nejvyšším bodem smyčky. Diavolo a kolo .V (b) PŘIKLAD 6.9 Na obr. 6.12a je konické' kyvadlo, jehož kulička má hmotnost m = 1,5 kg a je zavěšena na vlákně délky L = 1,7 m. Kulička obíhá ve vodorovné rovině po kružnici a vlákno svírá se svislým směrem úhel 0 = 37°. Při tomto pohybu opisuje vlákno kuželovou plochu. Určete periodu pohybu r (dobu oběhu). ŘEŠENÍ: Silový diagram na obr. 6.12b znázorňuje síly působící na kuličku kyvadla: tahovou sílu vlákna T a tíhovou sílu G = mg. Podle obrázku umístíme počátek soustavy souřadnic do středu kuličky. Místo pevné osy x však použijeme „pohyblivou" radiální osu r, která neustále míří do středu trajektorie kuličky. /! ! tělísko, 7 L cos 0 (a) L K Y G —mg (b) (c) Obr. 6.12 Příklad 6.9. (a) Konické kyvadlo, jehož závesné vlákno svírá se svislým směrem úhel 0. (b) Silový diagram kuličky kyvadla. Souřadnicové osy y a r mají svislý a radiální směr. Výsledná síla, a tedy i zrychlení, směřují do středu kružnice, (c) Tři kyvadla různých délek jsou roztáčena na společné hřídeli. Jejich kuličky obíhají v téže vodorovné rovině, v souhlasu se vztahem (6.24). Složky síly T ve směrech y a r jsou T cos 9 a Tún9. Vzhledem k tomu, že ay = 0, dostáváme ze druhého Newtonova zákona T cos 9 — mg = may = 0, tj. TcasO = mg. (6.21) Výsledná síla ovšem musí míl charakter síly dostředivé, takže musí mít stálou velikost a radiální směr. Radiální složka výslednice sil je T sin 9. Podle (6.20) tedy platí T sin 9 = mar m v ..22) kde R je poloměr kruhové trajektorie kuličky. Vydělíme vztahy (6.22) a (6.21) a vyjádříme v: igRsm9 v cos 0 6.4 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI 129 Za velikost rychlosti v dosadíme lnR/r (obvod kružnice vydělený periodou). Pro periodu t pak dostaneme / R cos 8 sinö (6.23) Z obr. 6.12 vidíme, žc R = L siné*. Dosazením do vztahu (6.13) vychází r = 2ti. - / L cos 8 V í (6.24) / (1,7m) cos 37° = 2ti, 2---z— = 2,3 s. (Odpověď) V (9,8 m-s-2) Ze vztahu (6.24) je viděl, že perioda r nezávisí na hmotnosti kuličky, ale pouze na vzdálenosti roviny jejího pohybu od bodu závěsu L cos 8. Pohybuje-li se tedy několik konických kyvadel se společným bodem závěsu, ale s různými délkami se stejnou periodou, obíhají jejich kuličky v téže vodorovné rovině (obr. 6.12c). PŘIKLAD 6.10 Na obr. 6.13 je nakreslen automobil o hmotnosti m = — 1600 kg, který jede rychlostí o velikosti v — 20 m-s 1 po ploché kruhové silnici o poloměru R = 190 m. Jakou nejrnenší hodnotu může mít koeficient statického tření /s mezi pneumatikami a povrchem silnice, nemá-li dojít ke smyku? ŘEŠENÍ: Dostředivou silou, díky níž se automobil pohybuje rovnoměrně po kružnici, je radiální třecí síla Fs, jíž působí povrch silnice na pneumatiky automobilu. (I když se auto pohybuje, nepodkluzuje v radiálním směru. Uplatní se proto statická třecí síla Fs, nikoli dynamická Fd.) V silovém diagramu na obr. 6.13b jsou zakresleny síly působící na automobil: Fs, N a G = mg. Automobil není urychlován ve svislém směru, tj. ay = 0. Druhý Newtonův zákon pro tento směr dává známý výsledek N — G — mg. Výslednice sil musí mít nenulový průmět do radiálního směru Fr, který určuje dostředivé zrychlení a, automobilu. (V opačném případě by automobil vyjel ze silnice po přímce.) Podle vztahu (6.20) je V_] Fr = mir/R. Vzhledem k tomu, že jedinou silou s nenulovým radiálním průmětem je statická třecí síla Fs, platí mv" Fs = -. (6.25) R Připomeňme, žc automobil se dostane do smyku, dosáhne-li velikost statické třecí síly Fs nej větší možné hodnoty fsN. V naší úloze řešíme právě tuto kritickou situaci, a tak ve vztahu (6.25) položíme Fs = fsN. Dále dosadíme N = mg a dostáváme m v2 hmg = -, (20 m-s-1)2 g R (9,8m-s-2)(190m) = 0,21. (6.26) (Odpověď) Je-li /s ^ 0,21, udrží síla Fs automobil na kruhové dráze. Je-li však /s < 0,21, automobil bude klouzat a kruhovou dráhu opustí. Všimněme si dalších vlastností vztahu (6.26). Za prvé, hodnota fs závisí na kvadrátu rychlosti v . To znamená, že každé zvýšení rychlosti vyžaduje mnohem větší třecí sílu. Možná jste si tuto skutečnost již někdy uvědomili, když při projíždění prudké ploché zatáčky kola automobilu náhle pod-klouzla. Za druhé, ve vztahu (6.26) nevystupuje hmotnost. Tento vztah tedy platí pro vozidlo jakékoli hmotnosti, od dětského autíčka nebo bicyklu až po těžký tahač. automobil (a) (b) Obr. 6.13 Příklad 6.10. (a) Automobil se pohybuje rovnoměrně po ploché kruhové silnici. Třecí síla Fs realizuje potřebnou dostředivou sílu. (b) Sílový diagram (není v měřítku) ve svislé rovině. J^ONTROLA 5: Předpokládejme, že automobil na obrázku 6.13 se pohybuje po kružnici o poloměru R\ a je právě v kritické situaci před smykem, (a) Jaký je nejrnenší možný poloměr dráhy při dvojnásobně velké rychlosti, nemá-li dojít ke smyku? (b) Jak se změní nejrnenší možný poloměr zatáčky, zdvojnáso-bíme-li i hmotnost automobilu (například při přepravě nákladu)? PRÍK3 AD 6.L Při projíždění zatáčky nemůže řidič automobilu na tření vždy spoléhat, především je-li silnice zledovatělá nebo mokrá. Proto bývají zatáčky klopené. Podobně jako v př. 6.10 předpokládejme, žc automobil o hmotnosti m projíždí zatáčkou o poloměru R = 190 m, nyní však klopenou, rychlostí o stálé velikosti v = 20m-s-' (obr. 6.14a). Při jakém úhlu 8 klopení není třeba se třením počítat? 130 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB II ŘEŠENÍ: Dostředivé zrychlení a odpovídající dostředivá síla Y2 Fr jsou stejné jako v předchozím příkladu. Vlivem klopení zatáčky sc však směr tlakové síly N odkloní kc středu křivosti zatáčky. Síla N má nyní nenulový radiální průmět N,, který představuje potřebnou dostředivou sílu. Svislá složka zrychlení je nulová, takže platí Ny = NcosO = G — m$. (6.27) Ncspolčhámc-li na účinek třecí síly (počítáme tedy s mezní situací Fs = 0), představuje složka Nr jediný nenulový příspěvek k radiální složce výslednice. Podle vztahu (6.20) je pak mv2 Nr = N sin 6» = -. R Vydělením vztahů (6.28) a (6.27) dostáváme ..28) tg e = g R a nakonec tg e (6.29) (20m-s"1)2 tj- (9,8m-s-2)(190m) e = 12°. = 0,215, (Odpověd) Vztahy (6.26) a (6.29) ukazují, že kritická hodnota koeficientu tření pro neklopenou silnici je stejná jako tangenta úhlu ná-klonu klopené zatáčky. Silnice musí na automobil v každém případě působit silou, která hraje roli dostředivé síly, ať již má povahu síly třecí či tlakové. Obr. 6.14 Příklad 6.11. (a) Automobil rovnoměrně projíždí klopenou zatáčku. Pro přehlednost je úhel klopení v obrázku zakreslen větší, než vychází ve skutečnosti, (b) Diagram sil působících na automobil za předpokladu, že tření mezi silnicí a pneumatikami je nulové. Radiální průmět normálové síly vytváří potřebnou dostředivou sílu. Výsledné zrychlení směřuje do středu kruhové zatáčky. PŘÍKLAD 6.12 I někteří otrlí vyznavači jízdy na horské dráze blednou při myšlence na jízdu na Rotoru. Je to dutý válec, který se rychle otáčí kolem své osy (obr. 6.15). Člověk vstoupí před jízdou do válce bočními dvířky, postaví se na podlahu a opře se o stěnu pokrytou plachtou. Dvířka se zavřou a válec se začne otáčet. Jezdec, stěna i podlaha se pohybují společně. V okamžiku, kdy rychlost jezdce dosáhne určité předepsané velikosti, podlaha náhle odpadne. Člověk však nepadá spolu s podlahou. Naopak! Je tisknut ke stěně rotujícího válec kýmsi neviditelným a nepřátelským. Po chvíli sc podlaha vrací k jeho nohám, válec sc zpomalí, jezdec klesne o několik centimetrů a opět se dotkne nohama podlahy. (Někdo považuje takovou jízdu za docela zábavnou.) Obr. 6.15 Příklad 6.12. Rolor v zábavním parku a síly působící na jezdce. Dostředivou silou je normálová síla, jíž tlačí stěna tělo člověka dovnitř válce. 1 když tato síla směřuje neustále k ose rotace, má jezdec překvapivý pocit, že jej ke stěně tlačí radiální síla, směřující ven. Jeho pocity jsou způsobeny tím, žc jc v klidu vůči neinerciální vztažné soustavě, takže se spolu s ní pohybuje se zrychlením. Síly, které ho k tomu nutí (pevnost otáčející se stěny, strhávající jezdce s sebou), jsou zdrojem pocitů a vzrušení při jízdě na Rotoru. Předpokládejme, že koeficient statického tření /s mezi jezdcovým oblečením a plátnem jc 0,40 a žc poloměr válec je R = 2,1 m. (a) Jakou nejmenší obvodovou rychlost v musí mít válec i člověk, aby člověk při odpojení podlahy nespadl? ŘEŠENÍ: Člověk nespadne, je-li tíhová síla G v rovnováze se statickou třecí silou Fs, kterou na něj působí směrem vzhůru stěna válec. Při nejmenší přípustné rychlosti, při níž ještě nedochází kc skluzu člověka podél stěny, nabývá velikost síly Fs maximální možné hodnoty fsN. Kritická podmínka má tedy tvar fsN = mg, (6.30) kde m je hmotnost člověka. 6.5 přírodní síly 131 Tabulka 6.2 Hledání supersíly — dosažené výsledky Datum vedec Objev 1687 Newton Ukázal, že platí stejné zákony pro astronomická tělesa jako pro objekty na Zemi. Sjednotil nebeskou a pozemskou mechaniku. 1820 Oersted Brilantními experimenty ukázali, že elektřina a magnetismus, do té doby považované za dvě oddě- 1830 Faraday lené disciplíny, jsou těsně spjaty. 1873 Maxwell Sjednotil elektřinu, magnetismus a optiku v jedinou disciplínu, elektrodynamiku. 1979 Glashow Získali Nobelovu cenu za důkaz, že slabá a elektromagnetická interakce mohou být interpretovány Salam jako dva různé aspekty jediné elektroslabé interakce. Došlo tak k redukci počtu fundamentál- Weinberg ních interakcí na tři. 1984 Rubbia Získali Nobelovu cenu za experimentální ověření teorie elektroslabé interakce. van der Meer Současné teorie: Teorie velkého sjednocení(GUT): snaha o sjednocení elektroslabé a silné interakce. Teorie supersymetrie: snaha o sjednocení všech interakcí, včetně gravitační, do jediného rámce. Teorie superstrun: interpretace bodových částic, jako jsou např. elektrony, jako nepředstavitelně jemných uzavřených smyček. Překvapivě se ukázalo, že ke čtyřem dimenzím časoprostoru je třeba přidat dimenze další. Normálová síla N je jako obvykle kolmá k povrchu, k němuž je těleso (v tomto případě člověk) tlačeno. Všimněte si, že tato síla je nyní vodorovná a směřuje k ose rotace. Hraje tedy úlohu dostředivé síly, uděluje člověku dostředivé zrychlení a, a udržuje jej tak na kruhové dráze. Podle vztahu (6.20) je mii2 ;V - -. (6.31) R Dosadíme výraz pro N do rovnice (6.30) a vypočteme v: jgR _ V /» V 7,17m-s /(9,8m-s-2)(2,lm) (0,40) 7.2m-s-1. (Odpověd) Všimněte si, žc výsledek nezávisí na hmotnosti jezdce. Platí pro kohokoli, kdo sc veze na Rotoru, od dítěte až po zápasníka v sumo. (b) Jaká je velikost dostředivé síly působící na člověka o hmotnosti 49 kg? ŘEŠENÍ: Podle vztahu (6.31) je N m v 1200 N (49 kg)(7,17m-s-1)2 (2,1 m) (Odpověď) KONTOOLA 6: Rotor z příkladu 6.12 se zpočátku pohybuje nejmenší možnou rychlostí potřebnou k tomu, aby člověk nezačal padat. Poté začne velikost rychlosti postupně narůstat. Rozhodněte, zda následující veličiny rostou, klesají, či zůstávají neměnné: (a) velikost síly Fs, (b) velikost síly N, (c) hodnota FSjmax. 6.5 PRÍRODNÍ SILY V předchozím textu jsme užívali písmene F pro označení síly v obecném smyslu. Užívají se i další symboly: G, případně Fq pro tíhovou sílu, Fs, resp. Fa pro třecí sílu statickou, resp. dynamickou, N, případně Fn pro normálovou (tlakovou) sílu, příležitostně i T pro tahovou sílu. Na mikroskopické úrovni však lze všechny tyto síly zařadit do pouhých dvou kategorií: (1) gravitační síla,jejímž jediným příkladem, se kterým jsme se prozatím setkali, je síla tíhová, a (2) elektromagnetická síla, která bez výjimky zahrnuje všechny ostatní případy. Elektromagnetická síla je kombinací elektrických a magnetických sil. Síla, která způsobí, že elektricky nabitá bublina ulpí na stěně, a síla, díky níž magnet sebere ze země železnou jehlu, jsou jejími různými příklady. Ve skutečnosti, odhlédneme-li od sil gravitačních, mají všechny ostatní síly, které nějakým způsobem přímo vnímáme (například jako tahové nebo tlakové), elcktro- Klopení dráhy je nutné v zatáčkách, jimiž automobil projíždí tak rychle, že samotným třením nevznikne dostatečně velká dostředivá síla. 132 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB [I magnetickou povahu. Znamená to, že podstatou všech takových sil včetně třecích, odporových, tahových a tlakových je elektromagnetická interakce mezi atomy. Pnutí v provazu existuje jedině proto, že se jednotlivé atomy provazu navzájem přitahují. Kromě gravitačních a elektromagnetických sil známe ještě dvě další interakce. Mají krátký dosah a nemáme s nimi přímou smyslovou zkušenost. Jsou to slabá interakce, která se uplatňuje u některých druhů radioaktivního rozpadu, a silná interakce, která k sobě váže kvarky vytvářející protony a neutrony a „drží pohromadě" atomová jádra. Fyzikové již dlouho věří, že podstatou přírody je jednoduchost a žc počet fundamentálních interakcí je ve skutečnosti nižší. Einstein věnoval většinu svého životního pracovního úsilí snaze o interpretaci těchto interakcí jako různých aspektů jediné supersíly. Tehdy neuspěl. V šedesátých až sedmdesátých letech však prokázali jiní fyzikové, že slabá a elektromagnetická síla jsou různé projevy téže elektroslabé interakce. Snahy o další redukci pokračují dodneška a patří k nejpřednějším cílům fyziky. Tabulka 6.2 shrnuje kroky, které již byly směrem ke sjednocení (jak je cíl zkoumání nazýván) učiněny a naznačuje i leccos o jejich směřování v budoucnosti. PŘEHLED & SHRNUTÍ Tření Snažíme-li se silou F uvést těleso do skluzu po podložce, působí podložka na těleso třecí silou. Ta je s podložkou rovnoběžná a míří proti pohybu tělesa. Je způsobena vazebními silami mezi částicemi tělesa a podložky. Dokud nedojde kc skluzu, jedná se o statickou třecí sílu F . při skluzu se uplatní třecí síla dynamická (kinetická) Fa. Vlastnosti tření Vlastnost 1. Na těleso působíme silou F a snažíme seje uvést do pohybu. Dokud je těleso v klidu, má statická třecí síla Fs stejnou velikost jako průmět síly F do roviny podložky a má opačný směr. Při zvyšování velikosti tohoto průmětu roste i velikost síly F5. Vlastnost 2. Velikost síly Fs nabývá maximální hodnoty Fs.max dané vztahem /v,,,,. /.A. (6.1) kde fs je koeficient statického tření a N je velikost normálové síly (tlakové síly podložky). Převýší-li velikost průmětu síly F do roviny podložky hodnotu Fsmax, začne těleso po podložce klouzat. Vlastnost 3. Začne-li těleso klouzat po podložce, velikost třecí síly prudce klesne na konstantní hodnotu Fd určenou vztahem Fd = fdN. (6.2) kde /d je koeficient dynamického (kinetického) tření. Odporová síla Pohybuje-li se těleso relativní rychlostí v vůči prostředí, kterým je obklopeno (například vzduch), působí prostředí na těleso odporovou silou F. Tato síla brání pohybu tělesa a směřuje proti relativní rychlosti. Velikost síly F souvisí s relativní rychlostí vztahem F = \CqSv2, (6.17) kde q je hustota prostředí (hmotnost vztažená na jednotku objemu), 5 je účinný průřez tělesa (tj. obsah největšího řezu tělesa rovinou kolmou k relativní rychlosti) a C je experimentálně určený koeficient — součinitel odporu. Mezní rychlost Padá-li oblé těleso ve vzduchu po dostatečně dlouhé dráze, dojde ke kompenzaci odporové a tíhové síly. Těleso se přestane urychlovat a padá konstantní mezní rychlostí o velikosti vm dané vztahem (6.18) kde m je hmotnost tělesa. Rovnoměrný pohyb po kružnici Pohyb, při němž se částice o hmotnosti m pohybuje po kružnici rychlostí, jejíž velikost je stálá, nazýváme rovnoměrným pohybem po kružnici. Částice se pohybuje s dostředivým zrychlením o velikosti a = —, (6.19) r které jí udílí dostředivá síla o velikosti (6.20) Vektory o a F míří do středu křivosti trajektorie. Fundamentální síly Nepřeberné množství příkladů sil lze roztřídit do tří fundamentálních typů interakce: gravitační, elektroslabá (kombinace sil členěných z historických důvodů na elektrické a magnetické a sil slabých) a konečně silná. V našem běžném světě se setkáváme pouze s gravitačními, elektrickými a magnetickými silami. Fyzikové doufají, že se seznam tří interakcí podaří zredukovat v jedinou všezahrnující supersílu. otázky 133 OTÁZKY 1. Na obr. 6.16 jsou čtyři kostky uspořádané na desce. Pravý konec desky zvedáme (podobně jako u knihy na obr. 6.3a), dokud po ní kostky nezačnou sjíždět. Kostky jsou ze stejného materiálu a mají hmotnosti kostka 1 ... 5kg, kostka 2 ... 10kg, kostka 3... 10 kg, kostka 4... 5 kg. V jakém pořadí zleva doprava musí být kostky narovnány, aby začaly sjíždět při nejmenším možném úhlu sklonu desky vzhledem k vodorovné rovině? 2 Obr. 6.16 Otázka 1 2. Na obr. 6.17 je znázorněna kostka ležící na podlaze. Na kostku působí vodorovná síla F\ o velikosti ION. Kostka je však v klidu. Kostku začneme tlačit k podlaze silou F2, jejíž velikost postupně narůstá od nulové hodnoty. Rozhodněte, zda budou následující veličiny růst, klesat, či zůstanou zachovány: (a) velikost třecí síly Fs působící na kostku, (b) velikost normálové síly N, jíž působí podlaha na kostku, (c) maximální hodnota F8,míci velikosti statické třecí síly mezi kostkou a podlahou, (d) Může kostka začít klouzat? _F] u Obr. 6.17 Otázka 2 z počáteční nulové hodnoty. Jak se přitom mění velikost a směr třecí síly působící na kostku? Obr. 6.18 Otázka 5 6. Vraťte se k otázce 5 s tím, že síla F bude nyní mířit podél rampy dolů. Její velikost opět narůstá od nulové hodnoty. Co se nyní děje se směrem a velikostí třecí síly působící na kostku? 7. Uhel 8 mezi silou F působící na nepohyblivou kostku na obr. 6.19 a vodorovnou rovinou roste. Rozhodněte, zda následující veličiny rostou, klesají, či zůstávají konstantní: (a) Fx, (b) Fs, (c) N, (d) Fs,max. x Obr. 6.19 Otázka 7 8. Odpovězte na otázku 7, je-li síla F odkloněna vzhůru. 9. Jaká by byla perioda a rychlost kónického kyvadla z příkladu 6.9 pro úhel 9 = 90° ? 10. Částice se může pohybovat různými rychlostmi potřechrůz-ných kruhových obloucích. Možnosti jsou shrnuty v následující tabulce: Oblouk Velikost rychlosti Poloměr 1 2t>(, r0 2 3 Vij 3r0 3 2v0 4/-0 3. Přepravku na jablka tlačíme ke stěně tak silně, že neklouže dolů. Určete směr následujících sil, jimiž působí stěna na přepravku: (a) statická třecí síla Fs, (b) normálová síla N. Co se stane s hodnotami (c) Fs, (d) N a (e) Fs.max, zvýšímc-li tlak? 4. Krabice leží na rampě, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 8. Uhel 9 narůstá z počáteční nulové hodnoty až do okamžiku, kdy krabice začne klouzat. Rozhodněte, zda hodnoty následujících veličin rostou, klesají, či zůstávají neměnné: (a) složka tíhové síly působící na krabici, měřená podél rampy, (b) velikost statické třecí síly, jíž působí rampa na krabici, (c) složka tíhové síly ve směru kolmém k rampě, (d) normálová síla, jíž působí rampa na krabici, (e) maximální hodnota velikosti statické třecí síly Fs max. 5. Kostka na obr. 6.18 leží na rampě v klidu vlivem třecí síly, jíž na ni rampa působí. Na kostku začneme působit silou F. která míří podél rampy vzhůru a jejíž velikost postupně narůstá Uspořádejte oblouky podle velikosti dostředivé síly působící na částici (sestupně). 11. Na obr. 6.20 jc zakreslen půdorys dráhy v zábavním parku. Vozík projíždí rovnoměrně pěti kruhovými oblouky o poloměrech Äo, 2Rq a 3Rq. Uspořádejte oblouky podle velikosti dostředivé síly působící na projíždějící vozík (sestupně). Obr. 6.20 Otázka 11 12. Obr. 6.21 znázorňuje řez kruhovou vesmírnou stanicí, která rotuje kolem svého středu. V důsledku toho působí na posádku zdánlivá tíhová síla. Jeden z členů posádky je právě v blízkosti 134 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB II obvodové stěny, která má rychlost ys. (a) Astronaut sc přemístí (například výtahem) blíže ke středu stanice. Rozhodněte, zda při tom velikost zdánlivé tíhové síly působící na astronauta vzroste, klesne, nebo se nezmění, (b) V druhé části pokusu astronaut běží podél stěny lodi v opačném směru vůči v5 (rychlostí, jejíž velikost je menší než us). Opět rozhodněte, zda velikost zdánlivé tíhové síly vzroste, klesne, nebo zůstane nezměněna. 13. Na obr. 6.22 je pohled shora na dva kameny obíhající po dokonale hladké podložce po kruhových trajektoriích. Každý z nich je přivázán na provaze, jehož druhý konec je upevněn ve středu kružnice. Rozhodněte, zda tahová síla delšího provazu je větší, menší, či stejně velká jako tahová síla provazu kratšího, pohybují-li se kameny (a) stejně velkými rychlostmi, (b) se stejnými periodami oběhu. Obr. 6.21 Otázka 12 Obr. 6.22 Otázka 13 14. Mince leží na točně, jejíž rotace se postupně zrychluje. Co sc děje s velikostí třecí síly, jíž působí točna na minci, jestliže rychlost otáčení narůstá z počáteční nulové hodnoty? CVIČENI 5č ÚLOHY ODST. 6.2 Vlastnosti sil tření 1C. Plný prádelník o hmotnosti 45 kg stojí na podlaze, (a) Koeficient statického tření mezi ním a podlahou je 0,45. Jakou nejmenší vodorovnou silou musí člověk na prádelník působit, aby jím pohnul? (b) Zodpovězte předchozí otázku pro případ, že z prádelníku nejprve vyndáme prádlo a šatstvo o celkové hmotnosti 17 kg. 2C. Hráč baseballu o hmotnosti m = 79 kg klouže k druhé metě a je brzděn třecí silou o velikosti F = 470 N. Jaký je koeficient dynamického tření mezi hráčem a trávníkem? 3C. Koeficient statického tření mezi teflonem a míchanými vejci je asi 0,04. Při jakém nejmenším úhlu sklonu vzhledem k vodorovné rovině sklouznou vejce podél dna teflonové pánve? 4C. Síla F o velikosti 100 N, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 6 a míří vzhůru, působí na židli o hmotnosti 25,0 kg spočívající na podlaze, (a) Pro každou z hodnot úhlu 6=0°; 30°; 60° vypočtěte velikost tlakové síly podlahy na židli a vodorovnou složku síly F. (b) Pro každou z hodnot ŕ? rozhodněte, bude-li židle v klidu, nebo bude-li klouzat po podlaze. Koeficient statického tření mezi židlí a podlahou je 0,420. 5C. V Nevadě a jižní Kalifornii zanechávají kameny v tvrdé a vyprahlé pouštní půdě stopy, jako by se stěhovaly (obr. 6.2.3). Po celá léta si lidé lámali hlavu, odkud se bere neviditelný pohyb vedoucí kc vzniku těchto stop. Odpověď přišla v sedmdesátých letech tohoto století: Když poušť zasáhla náhlá bouře, vytvořila se na pevném podkladu tenká vrstva bláta, která značně snížila koeficient tření mezi kameny a podkladem. Bouři doprovázel silný vítr. opíral se do kamenů, posouval je a ony zanechaly v půdě stopy, které později slunečním žárem ztvrdly. Předpokládejme, že hmotnost kamene je 300 kg (zhruba největší hmotnost kamenů, které zanechávají stopy) a že koeficient statického tření je zmenšen na hodnotu 0,15. Jak velká vodorovná síla musí na kámen působil při prudkém poryvu větru, aby sc pohnul? Obr. 6.23 Cvičení 5 6C. Jakého největšího zrychlení může dosáhnout běžec, je-li koeficient statického tření mezi obuví a běžeckou dráhou 0,95? (Při běhu je v kontaktu s dráhou jen jedna noha bčžcc.) 7C. Dělník tlačí vodorovným směrem bednu o hmotnosti 35 kg. Působí na ni při tom silou HON. Koeficient statického tření mezi bednou a podlahou je 0,37. (a) Jakou třecí silou působí podlaha na bednu? (b) Jaká je za této situace maximální velikost statické třecí síly Fsmilx? (c) Pohne se bedna? (d) Druhý dělník přichází na pomoc a táhne bednu svisle vzhůru. Jakou nejmenší tahovou silou musí na bednu působit, aby se prvnímu dělníkovi podařilo uvést ji do pohybu? (První dčlník stále tlačí bednu silou HON.) (e) Jakou nejmenší silou by musel na bednu působit druhý dělník, kdyby ji namísto zvedání tahal vodorovným směrem, aby se oběma podařilo bednu posunout? 8C. Člověk tlačí po podlaze bednu o hmotnosti 55 kg vodo- CVIČENÍ & ÚLOHY 135 rovnou silou o velikosti 220 N. Koeficient dynamického tření je 0,35. (a) Jaká je velikost třecí síly? (b) Jaké je zrychlení bedny? 9C. Kufr vážící 220 N leží na vodorovné podlaze. Koeficient statického tření mezi kufrem a podlahou je 0,41, koeficient dynamického tření je 0,32. (a) Jakou nejmenší vodorovnou silou musí působit člověk na kufr, aby jím pohnul? (b) Jakou vodorovnou silou musí člověk působit na kufr, který se již dal do pohybu, aby udržel jeho rychlost stálou? (c) Jaké je zrychlení kufru, působí-li na něj člověk stále stejnou silou jako na začátku? 10C. Skříňka vážící 556 N stojí na podlaze. Koeficient statického tření mezi ní a podlahou je 0,68, koeficient dynamického tření je 0,56. Při čtyřech různých pokusech uvést skříňku do pohybu na ni působila pokaždé jinak velká vodorovná síla: (a) 222 N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Pro každý z uvedených případů zjistěte, zda se skříňka pohnula a vypočtěte velikost třecí síly, kterou na skříňku působí podlaha poté, co je uvedena do pohybu. Na počátku každého pokusuje skříňka v klidu. 11C. Kostku o váze 5,0 N tlačíme kc svislé stčnč vodorovnou silou F o velikosti 12N (obr.6.24). Koeficient statického tření mezi stěnou a kostkou je 0,60, koeficient dynamického tření mezi nimi je 0,40. Předpokládejme, že se kostka zpočátku nepohybuje, (a) Začne se kostka pohybovat? (b) Pomocí jednotkových vektorů k vyjádřete sílu, jíž. působí stěna na kostku. y F -t> tev půdy. Koeficient statického tření mezi svrchní a spodní vrstvou je 0,5. O jaký nejmenší úhel

Obr. 6.36 Úloha 30 31U. Kostka B na obr. 6.37 má hmotnost 72.5 kg. Koeficient statického tření mezi kostkou a vodorovnou rovinou je 0,25. Určete největší možnou hmotnost kostky A, při níž ještě bude soustava v rovnováze. Obr.6.37 Úloha 31 32Ú. Tělesa A a B na obr. 6.38 jsou spojena vláknem vedeným 138 KAPITOLA 6 SÍLA A POHYB U přes nehmolnou kladku otáčející se bez tření. Těleso A má hmotnost 10,4kg, těleso B 3,3 kg. Koeficienty tření mezi tělesem A a nakloněnou rovinou jsou /s = 0,56 a f\\ — 0,25. Uhel 9 je 40\ Určete zrychlení těles, jestliže (a) jsou zpočátku v klidu, (b) těleso A stoupá po nakloněné rovině, (c) těleso A klesá po nakloněné rovině. 33U. Uspořádání těles je stejné jako na obr. 6.38. Kostka A má hmotnost 10 kg, koeficient dynamického tření mezi ní a nakloněnou rovinou je 0,22. Uhel 9 je 30°. Kostka A klouže dolů po nakloněné rovině stálou rychlostí. Jakou hmotnost má kostka B? nehmotná kladka otáčející se bez tření — vodorovný dokonale hladký stůl (obr. 6.41). Určete (a) největší možnou velikost vodorovné síly F, kterou lze působit na dolní kostku tak, aby se obě kostky pohybovaly společně a (b) společné zrychlení kostek. Obr. 6.40 Úloha 36 4.0 kg 5,0 kg -O F Obr. 6.38 Úlohy 32 a 33 Obr. 6.41 Úloha 37 34Ú. Kostky na obr. 6.39 mají hmotnosti m i = 4,0 kg a n%2 = = 2,0 kg. Koeficient dynamického tření mezi mj a vodorovnou rovinou je 0,50. Nakloněná rovina je dokonale hladká. Určete (a) tahovou sílu vlákna a (b) zrychlení kostek, nehmotná kladka otáčející sc bez tření—. "': k =0,50 38Ú. Dvě kostky (m = 16 kg a M = 88 kg), znázorněné na obr. 6.42, nejsou spojeny. Koeficient statického tření mezi nimi je /s = 0,38, podložka pod kostkou M je však dokonale hladká. Jakou nejmenší vodorovnou silou F je nutno tlačit kostku m ke stěně kostky M, aby se pohybovaly společně? m F M bez tření —, Obr. 6.39 Úloha 34 Obr.6.42 Úloha 38 35Ú. Dvě kostky o hmotnostech 4,0 kg a 8,0 kg jsou spojeny vláknem zanedbatelné hmotnosti a kloužou dolů po nakloněné rovině o úhlu sklonu 30". Čtyřkilogramová kostka je vpředu. Koeficient dynamického tření mezi čtyřkilogramovou (osmi-kilogramovou) kostkou a nakloněnou rovinou je 0,10 (0,20). (a) Určete zrychlení kostek a (b) sílu napínající vlákno, (c) Popište pohyb soustavy po záměně pořadí kostek. 36U. Dvě tělesa o hmotnostech m\ — 1.65 kg a m2 = 3,30kg spojená nehmotnou tyčí kloužou po nakloněné rovině o úhlu sklonu 9 = 30° (obr. 6.40) tak, že těleso m\ je taženo tělesem m-2-Tyč je rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Koeficient dynamického tření mezi m j a nakloněnou rovinou je j] = 0,226, mezi mj a rovinou f2 = 0,113. Vypočtěte (a) sílu napínající tyč a (b) zrychlení těles, (c) Jak se změní odpovědi (a) a (b), zaměníme-li pořadí těles? 37Ú. Kostka o hmotnosti 4,0 kg leží na horní podstavě jiné kostky, jejíž hmotnost je 5,0 kg. Předpokládejme nejprve, že spodní kostka je pevně spojena s podložkou. K uvedení horní kostky do pohybuje v takovém případě třeba, aby na ni působila vodorovná síla o velikosti nejméně 12 N. Nyní položíme obě kostky na 39Ú. Deska o hmotnosti 40 kg leží na dokonale hladké podlaze. Na desce spočívá kostka o hmotnosti 10 kg (obr. 6.43). Koeficient statického tření /s mezi kostkou a deskou je 0,60, koeficient dynamického tření je fa = 0,40. Na kostku působí vodorovná síla o velikosti 100 N. Určete zrychlení (a) kostky i (b) desky. lOONr bez tření —v i_ lOkg 40 kg Obr. 6.43 Úloha 39 40Ú. Bedna klouže vc žlabu s pravoúhlým profilem (obr. 6.44). Koeficient dynamického tření mezi bednou a žlabem je /j. Vyjádřete zrychlení bedny pomocí /a, 6 a g. Obr. 6.44 Úloha 40 CVIČENÍ & ÚLOHY 139 41Ú. Lokomotiva s 25 vagony se rozjíždí po vodorovné trati. Každý vagon má hmotnost 5 000 kg a je brzděn třecí silou o velikosti F = 250i.1 (v newtonech), kde ľ je velikost jeho okamžité rychlosti (m-s 1). V okamžiku, kdy velikost rychlosti vlaku nabude hodnoty 30 km/h, má zrychlení velikost 0,20 m-s . (a) Tak velkou tažnou silou působí lokomotiva na první vagon? (b) Předpokládejme, že získaná hodnota představuje velikost největší síly, kterou je lokomotiva schopna vyvinout. Určete nejpříkřejší možné stoupání svahu, po němž může lokomotiva vytáhnout vlak stálou rychlostí 30km/h. 42U. Krabice s pískem, která je zpočátku v klidu, je upevněna na šňůře a tažena po podlaze. Velikost tahové síly šňůry nesmí převýšit 1 100 N. Koeficient statického tření mezi krabicí a podlahou jc 0,35. (a) Jaký úhel mezi šňůrou a podlahou musíme zvolit, abychom přepravili co největší množství písku? (b) Jaká bude v této situaci hmotnost krabice s pískem? 43Ú*. Člun o hmotnosti 1 000 kg se pohybuje rychlostí 90 km/h. Posádka vypne motor. Velikost třecí síly Fa mezi člunem a vodou je úměrná velikosti rychlosti člunu podle vztahu Fa = 70v, kde v je zadáno v metrech za sekundu a Fa v newtonech. Za jak dlouho klesne velikost rychlosti člunu na 45 km/h? ODST. 6.3 Odporová síla a mezní rychlost 44C. Určete odporovou sílu, která působí na raketu o poloměru 53cm při rychlosti 250m-s_1, letí-li v nízké nadmořské výšce, kde jc hustota vzduchu 1,2 kg-m . Předpokládejte, že C = = 0.75. 45C. Mezní rychlost vzdušného akrobata v poloze rozepjatého orla jc 160 km/h, při letu střemhlav pak 310km/h. Předpokládáme, že koeficient C má stejnou hodnotu při obou figurách. Vypočtěte poměr odpovídajících účinných průřezů. 46C. Určete poměr velikostí odporové síly, která působí na tryskové dopravní letadlo letící rychlostí o velikosti 1000 km/h v nadmořské výšce 10 km a odporové síly působící na vrtulové vojenské letadlo, které letí poloviční rychlostí v poloviční výšce. Hustota vzduchu ve výšce 10kmjc0,38 kg-m 3, ve výšce 5,0 km je 0,67 kg-m-3. Předpokládejte, že účinné průřezy obou letadel i odporové koeficienty jsou stejné. 47Ú. Z údajů v tab. 6.1 určete průměr osmikilogramovčho náboje. Předpokládejte, že C = 0.49 a hustota vzduchu má hodnotu 1,2 kg-m \ ODST. 6.4 Rovnoměrný pohyb po kružnici 48C. Koeficient statického tření mezi pneumatikami automobilu a silnicí je 0,25. Jakou největší rychlostí může automobil projet bez smyku vodorovnou zatáčkou o poloměru 47,5 m? 49C. Jaký je nejmenší poloměr neklopené zatáčky, kterou může bez nehody projet cyklista, jede-li rychlostí 30 km/h? Koeficient statického tření mezi pneumatikami a silnicí je 0,32. 50C. Při olympijské soutěži závodních sání byla nejlepšímu evropskému družstvu naměřena rychlost 60 mil v hodině při průjezdu zatáčkou o poloměru 25 stop. Jakému přetížení (v jed- notkách g) byli při tom jezdci vystaveni? (Zadané hodnoty prevedie do soustavy SI.) 51C. Automobil vážící 10,7 kN jede rychlostí 13,4 m/s. Řidič se chystá projet ncklopenou zatáčkou o polomem 61,Oni. (a) Jak velká třecí síla jc schopna udržet automobil na kruhové dráze? (b) Jak dopadne řidičův pokus, je-li koeficient statického tření mezi pneumatikami vozu a silnicí 0,35? 52C. V kruhové zatáčce je předepsána rychlost o velikosti 60km/h. (a) Jaký je správný úhel klopení zatáčky, je-li její poloměr 150 m? (b) Jaká by při uvedené rychlosti musela být minimální hodnota statického koeficientu tření mezi pneumatikami a silnicí, potřebná pro bezpečný průjezd vozidel (bez smyku), kdyby zatáčka nebyla klopená? S3C. V klopené zatáčce je předepsána rychlost 60 km/h. Poloměr zatáčky jc 200 m. Automobil jede v dešti rychlostí 40 km/h. Určete nejmenší přípustnou hodnotu koeficientu tření mezi pneumatikami a silnicí, při níž může automobil projet zatáčkou ještě bez smyku? 54C. Holčička postavila piknikový košík na vnější obvod kolotoče. Kolotoč má poloměr 4,6 m a otočí se jednou za 30 s. (a) Jaká je velikost rychlosti bodu na obvodu kolotoče? (b) Jaký musí být koeficient statického tření mezi košíkem a kolotočem, má-li být košík vzhledem ke kolotoči v klidu? 55C. Malá kulička (hmotný bod) o hmotnosti 50 g zavěšená na niti délky 1,2 m tvoří konické kyvadlo. Kulička obíhá po vodorovné kružnici o poloměru 25 cm. (a) Jak velká je rychlost kuličky? (b) Jaké jc její zrychlení? (c) Jak velká je tahová síla niti? 56C. Elektron v Bohrově modelu vodíkového atomu obíhá kolem jádra po kruhové dráze o poloměru 5.3-10"11 m. Elektron oběhne jádro 6,6-10L rotující tyč 11 Obr. 6.48 Úloha 70 71Ú. Předpokládejme, že na těleso o hmotnosti standardního kilogramu by na rovníku při hladině moře působila tíhová síla přesně 9,8 N, kdyby se Země neotáčela. Ve skutečnosti Země rotuje, takže těleso se pohybuje po kružnici o poloměru 6.40-106 m (zemský poloměr) rychlostí o stálé velikosti 465 m-s-1. (a) Určete dostředivou sílu udržující standardní kilogram na této kruhové dráze, (b) Určete sílu, jíž působí standardní kilogramové těleso na pružinu siloměru, na který jc zavěsíme (údaj na silo-měru udává „zdánlivou váhu" tělesa). 72U. Předpokládejme, že vesmírná stanice z otázky 12 má poloměr 500 m. (a) Jaká musí být velikost rychlosti vs obvodové stěny stanice, má-li být zdánlivá tíhová síla působící na kosmonauta u stěny 300 N, váží-li kosmonaut na Zemi 600 N? (b) Určete zdánlivou tíhovou sílu působící na kosmonauta běžícího podél stěny rychlostí o velikosti 10 m-s"' (vzhledem ke stěně) ve směru souhlasném s vs. 7 Práce a kinetická energie 1 JO m ôm Ser 205J370 1230 »02-1 162 165 285 185 48ft 325 375 ' 7 I i !S 7 i I 1: JHHrtUritl » *«•**!. |JH» i *» *>>• la ÉR 1454 1?5 148514?; 15M 12ttfl145Wf51 159.5180 ♦ 1333 175 ÍISO+StÚ 1304 152.1 " 1202 B 1401 * Š •* pí Při soutěži vzpěračů na olympijských hrách v roce 1976 byl celý sportovní svět doslova ohromen výkonem Vasilije Aleksejeva. Vzpěrač dokázal zvednout 562librovou činku (2500N) z podlahy nad hlavu do výšky asi 2 m. Téměř o dvacet let předtím mohli diváci žasnout nad výkonem Paula Andersona. Ten se sehnul pod nákladní plošinu vyrobenou ze dřeva vyztuženého ocelí, opřel si ruce o stoličku a zády nadzvedl asi o centimetr plošinu i s nákladem 6270 liber (27 900 N)! Zdá se, že tyto dva výkony snad ani nelze srovnávat. A přece: kdo vykonal při zvedání předmětů větší práci, Aleksejev nebo Anderson'? 142 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE 7.1 KINETICKÁ ENERGIE Pojem energie, jedné z klíčových veličin nejen mechaniky, ale celé fyziky, je velmi široký. Slovo energie užíváme v běžné řeči naprosto samozřejmě a do značné míry i volně. Definovat energii jako fyzikální veličinu však vůbec není snadné. Není prostě schůdné vyslovit nějakou jednoduchou definici, která by zahrnovala všechny aspekty tohoto pojmu. Je třeba jej postupně vybudovat, od jeho nejjednodušší podoby v mechanice až po úroveň zcela obecných úvah. Na samém začátku se spokojíme s velmi hrubou a neúplnou charakteristikou pojmu energie: Energie je skalární veličina, jejíž hodnota je určena stavem fyzikální soustavy (objektu). Pojemstav jsme v této formulaci použili v obvyklém významu: je to soubor podmínek, v nichž, se objekt nachází, tj. soubor hodnot veličin (parametrů), jimiž je charakterizován. V této kapitole se soustředíme najeden typ energie, kinetickou energii E\, která souvisí s pohybovým stavem částice či tělesa. Pohybuje-li se těleso rychleji, má kinetickou energii větší. Je-li v klidu, je jeho kinetická energie nulová. Kinetickou energii částice o hmotnosti m, která se pohybuje rychlostí v velmi malou ve srovnání s rychlostí světla, definujeme vztahem E k = l\mv2 (kinetická energie). (7.1) Kinetická energie nemůže byl nikdy záporná, neboť m ani v~ záporných hodnot nenabývají. Tutéž definici můžeme použít i pro těleso nezanedbatelných rozměrů, pokud se všechny jeho části pohybují stejnou rychlostí v, tj. konají posuvný neboli translační pohyb. (Těleso tedy nesmí rotovat, ani se deformovat.) Z hlediska definice kinetické energie se takové těleso chová jako částice. Někdy je nazýváme bodovým objektem a o jeho kinetické energii vypočtené podle vztahu (7.1) hovoříme jako o translační kinetické energii. Úvahy této kapitoly se týkají právě bodových objektů. Jednotkou kinetické energie (a každého jiného typu energie) v soustavě SI jc joule (.1), pojmenovaný podle anglického vědce 18. století Jamese Prescotta Joula. Je odvozen přímo z jednotek hmotnosti a rychlosti: 1 joule = 1 J = 1 kg-m2-s~2. (7.2) Vhodnou jednotkou energie v oblasti atomové fyziky a fyziky subatomových částic je elektronvolt (eV): 1 elektronvolt = 1 eV = 1,60-10"19 J. (7.3) Nečastěji užívanými násobky elektron voltu jsou kiloelek-tronvolt (1 keV = 103 eV), megaelektronvolt (1 MeV = = 106eV) a gigaelektronvolt (1 GeV = 109 eV). PŘÍKLAD 7.1 Psal se rok 1896 a ve městě Waco v Texasu se odehrával neobvyklý experiment. Před zraky třiceti tisíc diváků jej předvedl pracovník železniční společnosti „Katy" Wiliam Crush. Postavil dvě lokomotivy na opačných koncích trati dlouhé 6,4 km, roztopil jejich kotle a zablokoval záklopky strojů tak, aby zůstaly otevřené. Pak pustil lokomotivy plnou parou proti sobě (obr. 7.1). Čelný náraz měl nedozírné následky. Stovky lidí byly zraněny odletujícími úlomky, několik osob bylo dokonce usmrceno. Předpokládejme, že každá z lokomotiv vážila 1,2-106 N a jejich zrychlení při rozjezdu mělo konstantní velikost 0,26m-s-'. Jaká byla celková kinetická energie obou lokomotiv těsně před srážkou? Obr. 7.1 Příklad 7.1. Následky srážky lokomotiv v roce 1896 ŘEŠENÍ: Abychom určili kinetickou energii lokomotivy, potřebujeme znát její hmotnost a velikost rychlosti lesně před srážkou. Pro stanovení velikosti rychlosti v můžeme použít vztahu (2.16), v němž položíme vx = v, vqx = t'o a ax — a'- v2 = u2 + 2a(x - x0). Dosadíme vo = 0 a x — xq = 3.2-103 m (polovina počáteční vzdálenosti lokomotiv) a dostaneme i;2 = 0 + 2(0,26 m-s~2)(3,2-103m), tj- v - 40.8 m-s"1 = 147km/h. Hmotnost lokomotivy zjistíme vydělením její váhy (tj. tíhové síly, jíž na ni působí Země) tíhovým zrychlením: (1.2-10ňN) , m = —-4- = L22-105 kg. (9.8m-s"2) 7.3 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE 143 Pomocí vztahu (7.1) nyní vypočteme celkovou kinetickou energii obou lokomotiv bezprostředně před srážkou: Ek = 2(\mv2) = (l,22-105kg)(40ľ8m.S~1)2 = = 2,0-108 J. (Odpověď) Tato energie je ekvivalentní výbuchu asi 45 kg TNT. 7.2 PRACE I když jsme při budování pojmu energie učinili zatím pouze první krůček (definovali jsme kinetickou energii částice), zdá se nám být nepochybné, že energie objektu v obecném smyslu musí mít jednu zcela přirozenou vlastnost: bude se měnit při jeho interakci s okolím. Stejně samozřejmě lze očekávat, že se bude měnit i energie okolí. Hovoříme o výměně nebo přenosu energie mezi objektem a jeho okolím. Přenos energie mezi jakoukoli fyzikální soustavou a jejím okolím může být zprostředkován silovým působením nebo tepelnou výměnou při různých dějích, které mohou v soustavě probíhat. (Dějem neboli procesem jednoduše rozumíme posloupnost stavových změn soustavy.) Výměnou tepla se budeme zabývat až v kapitole 19, zde si všimneme pouze dějů souvisejících se silovým působením a nazývaných souhrnně konáním práce. Působíme-li na těleso určitou silou (silami) tak. že velikost jeho rychlosti přitom roste, roste i jeho kinetická energie (= \mv2). A naopak, jestliže sc těleso vlivem výsledné síly zpomaluje, klesá i jeho kinetická energie. V takových případech říkáme, že síla koná na částici (soustavě částic či tělese) práci W. Formálnějším způsobem můžeme definovat práci takto: Kinetická energie částice se vlivem silového působení jejího okolí obecně mění. Říkáme, že síly působící na částici konají práci. Jestliže síla F zmenšila (nezměnila, zvětšila) kinetickou energii částice, říkáme, že vykonala kladnou (nulovou, zápornou) práci, případně říkáme, že síla práci koná (nekoná, spotřebovává) a pak udáváme už jen velikost práce v joulech, bez znaménka. (Je-li například W = —6,0.1, můžeme říci, že síla spotřebovala práci 6,0 J.) V nejširším smyslu představuje „práce" tu část energie, kterou těleso získává prostřednictvím silového působení jeho okolí. Proces, při němž k takovému přenosu dochází, nazýváme obecně „konáním práce". Práce je skalární veličinou a měříme ji ve stejných jednotkách jako energii. Slovo „přenos" může být někdy matoucí, není-li správně pochopena jeho souvislost se změnami energie tělesa a jeho okolí. Zatím známe přenos hmoty - substance, která se zachovává, nevzniká ani nezaniká a může se jen přemísťovat v prostoru. Hovoříme-li však o přenosu energie, neznamená to, že se na těleso nebo z tělesa do okolí přenáší nějaký „materiál". Analogii bychom mohli hledat spíše v proceduře elektronického převodu peněz mezi dvěma bankovními účty: údaj na jednom bankovním účtu vzroste, zatímco na druhém poklesne, a přitom sc mezi účty nepře-misťuje nic „hmatatelného". Uvědomme si také, že slovo „práce" ve fyzice nemá svůj obvyklý význam, podle nějž je prací jakákoli tělesná či duševní činnost. Kdybychom například silně tlačili na stěnu, unaví nás udržovat svaly napjaté. V obvyklém smyslu tedy „pracujeme". Nedochází však ke zmčně energie stěny a to znamená, že síla našich svalů nekoná ve smyslu předchozí definice žádnou práci. (Ostatně stát delší dobu v pozoru je dost vyčerpávající, i když se člověk přitom navenek ani nepohne. Fyzikální práce je prostě něco jiného než fyziologická námaha.) 7.3 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE Pokusme se nyní formulovat vztah mezi prací, kterou síla F vykonala na studovaném objektu, a změnou jeho kinetické energie. Kinetickou energii částice či bodového objektu jsme již jednoduše a jasně definovali. Mění-li se velikost rychlosti částice, mění se podle této jednoduché definice i její kinetická energie. Ke změně rychlosti částice však nemůže dojít jinak než působením síly F. Je proto zcela přirozené prohlásit, že změna kinetické energie částice A E\ je rovna práci W vykonané silou F: AEk = £k,f - Ek,j = W (vztah mezi prací a kinetickou energií). (7.4) Symbolem E\\ jsme označili počáteční kinetickou energii částice {— hmvn) a £k.f představuje její výslednou kinetickou energii {\mv2). Později uvidíme, že vztah (7.4), který vlastně definuje práci síly F, lze přirozeně zobecnit i na případy, kdy na částici působí více sil. Znak F pak bude symbolizovat jejich výslednici. Rovnost (7.4) můžeme přepsat ve tvaru Ek,f = £k.i + W. (7.5) Vztahy (7.4) a (7.5) představují ekvivalentní formulace vztahu mezi prací a kinetickou energií. Při jejich používání je třeba mít neustále na paměti, že byly formulovány pro částici nebo tzv. bodový objekt a jejich platnost je také tímto předpokladem omezena. Zkusme posoudit, jakým způsobem může dojít k porušení jejich platnosti, budeme-li uvažovat o zcela libovolném tělese. U lakového obecného objektu musíme především respektovat, že se jeho různé části pohybují různými rychlostmi. Stačí si představit rotující nebo deformující se 144 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE těleso. Pro výpočet jeho kinetické energie samozřejmě nemůžeme použít vztahu (7.!), ale musíme kinetické energie jednotlivých částí nějak sečíst. Poté, co se nám podaří kinetickou energii obecného tělesa vyjádřit, přijdou na řadu úvahy o jejích změnách prostřednictvím silového působení, tj. při procesu „konání práce". Je zřejmé, že na tomto procesu se budou podílet nejen vnější síly, jimiž na těleso působí jeho okolí, ale i síly vzájemného působení jednotlivých částí tělesa, tzv. síly vnitřní. Později uvidíme, že práci vnitřních sil určitého typu (gravitačních, elektrostatických, sil pnutí apod.) je často možné a dokonce vhodné považovat za určitý typ energie tělesa. Vztahy (7.4) a (7.5) v takových případech platil nebudou, neboť práce W vykonaná vnější silou F přispěje nejen ke změně kinetické energie tělesa, ale i ke změně ostatních „druhů" energie. Uveďme příklad: uvažujme o bruslaři, který' se odstrčil od mantinelu, nebo o plavci, který se při obrátce odrazil od stěny bazénu. Brus-lařovy dlaně či plavcova chodidla, na něž bezprostředně působí tlaková síla stěny (vnější síla), jsou během odrazu v klidu. Můžeme tedy usuzovat, že tlaková síla stěny nekoná práci. A přesto se kinetická energie sportovce změní. K této změně přispívá práce (vnitřních) sil svalstva, kterou můžeme interpretovat jako jeden z druhů energie tělesa. Podobná situace vzniká třeba při odrazu míče od stěny či od podlahy. Můžeme tedy vyslovit předběžný závěr: Mění-li se vlivem působící síly i energie tělesa jiného typu než kinetická, pak vztahy (7.4) a (7.5) nemusejí platit. Samostatnou úvahu si zaslouží případy, kdy na pohybující se těleso působí síly tření. Právem si můžeme klást otázku, zda v takových případech zůstanou vztahy (7.4) a (7.5) v platnosti, či nikoliv. Z experimentu totiž víme, žc se těleso při působení třecích sil zahřívá. Se vzrůstem jeho teploty celkem přirozeně spojujeme další druh jeho energie, tzv. vnitřní energii. Tato veličina velmi úzce souvisí s mikrostrukturou tělesa, konkrétně s náhodným pohybem jeho atomů či molekul a jejich vzájemnými vazbami. O mechanismu třecích sil již leccos víme z kap. 6, a tak si umíme představit, že mikroskopické narušení materiálu troucích se ploch je doprovázeno změnami či uvolněním vazební energie mezi povrchovými atomy či molekulami a odpovídajícím zvýšením jejich kinetické energie. V makroskopickém měřítku se to projeví jako zvýšení teploty tělesa. Pro naše další úvahy zahrnující působení sil tření je však podstatné, že i přes zdánlivé komplikace s vnitřní energií můžeme vztahů (7.4) a (7.5) využívat. Mechanismus třecích sil sice souvisí výhradně s mikroskopickou strukturou objektů, avšak nakonec jc přece jen možné vyjád-' Pit třecí síly mezi nimi makroskopickým silovým zákonem Fů — fůN, obsahujícím empiricky definovaný koeficient tření. O dynamické třecí síle v souvislosti se změnami energie budeme podrobněji uvažovat v kap. 8 a o vnitřních přeměnách energie se zmíníme v kap. 9. Jr"ONTROLA 1: Částice se pohybuje po ose x. Rozhodněte, zda se její kinetické energie zvýší, sníží, nebo se zachová, změní-li se rychlost částice (a) z —3 m-s-1 na —2 m-s 1, (b) z —2 m-s-1 na 2 m-s-1. (c) Pro každou z uvedených situací rozhodněte, zdaje práce vykonaná silami působícími na částici kladná, záporná, nebo nulová. Práce síly Uvedeme nyní do souvislosti změnu kinetické energie objektu A£k se silou F, která tuto změnu způsobila. Všimneme si nejprve situace, kdy sledovaným objektem je částice. Jediným typem energie, který tomuto nejjednoduššímu objektu přísluší, je energie kinetická. Na obr. 7.2 se částice pohybuje podél osy .v po vodorovné dokonale hladké podlaze. Působí na ni stálá síla F, která svírá s její trajektorií úhel (p. Zrychlení částice podél osy x jc dáno vodorovnou složkou této síly F cos i = 10.1 a W = —6,0 J dostaneme Ek.í = Eu + W = 10 J + (-6,0 J) = 4,0 J. (Odpověd) 7.4 PRACE TIHOVE SILY Nyní se pokusíme zjistit, jakou práci koná síla zcela určitého typu. Konkrétně půjde o sílu tíhovou. Rajské jablíčko o hmotnosti m na obr. 7.6, které lze považovat za bodový objekt, vyhodíme svisle vzhůru počáteční rychlostí o velikosti vq vzhledem k Zemi. Má tedy počáteční kinetickou energii = jmv~. Během výstupu se jeho pohyb působením tíhové síly mg zpomaluje a kinetická energie klesá. Experiment potvrzuje, že je-li tíhová síla jedinou silou, která na jablíčko působí (odporová síla vzduchu je nějakým způsobem eliminována), pak jedině práce tíhové síly přispívá ke změně jeho kinetické energie. Abychom tuto práci Wg určili, dosadíme za F do vztahu (7.9) velikost tíhové síly mg. Pak Wg = mgd cos (p (práce tíhové síly). (7.16) Jestliže sledovaná částice stoupá, jako je tomu v našem případě, míří tíhová síla mg proti posunutí d (obr. 7.6). Pak je

resp. £k,i je kinetická energie tělesa na konci, resp. na počátku posunutí. Tento vztah platí i v případě, že těleso klesá. Působením tíhové síly se však nyní kinetická energie tělesa zvyšuje, zatímco působení síly F vede k jejímu poklesu (síla F směřuje stále vzhůru). Obvyklá situace nastává, je-li objekt v klidu na začátku i na konci posunutí (například zvedncme-li knihu z podlahy a položíme ji na polici). Pak jsou hodnoty Ek,i i Ek.f nulové a vztah (7.19) se zjednoduší do tvaru wa + W„ = 0, tj. Wa -wv (7.20) Stejný výsledek dostaneme i při nenulových, avšak shodných hodnotách E\\ a Ek.f. Má-li tedy těleso na počátku i na konci posunutí stejnou kinetickou energii, je práce vykonaná silou F při tomto posunutí rovna záporně vzaté práci vykonané tíhovou silou. Síla F vyvolá stejně velkou změnu kinetické energie tělesa jako síla tíhová, avšak opačného znaménka. Užitím (7.16) můžeme vztah (7.20) přepsat do tvaru W„ -mgd cos

i = \mv2 = i(500kg)(4,0m-s-')2 = 4000J. Kinetická energie Tľk.t na konci posunutí je dána vztahem (7.5): £k.f = £k,i + W = 4000J + 1.18-104 J = = 1.58-104J = 1,6-104 J. (Odpověd) (c) Jaká je velikost rychlosti Vf na konci posunutí? ŘEŠENÍ: Z (7.1) dostaneme £k,f = hmVf, odkud pro ty máme l2Ekí /2(1,58-104J) V (500 kg) 7,9m-s_1. (Odpověď) 7.5 PRACE PROMĚNNÉ SILY Jednorozměrný případ Vraťme se k situaci na obr. 7.2. Předpokládejme však nyní, že síla F, která působí na částici a koná při jejím pohybu jistou práci, směřuje podél osy x a její velikost se mění s polohou částice. Síla je tedy proměnná. V uvažovaném 7.5 PRÁCE PROMĚNNÉ SÍLY 151 F (x) F (x) F (x) F (x) AIV; F, (xi w 0 xi (a) (b) 0 *i A.v (f) Obr. 7.10 (a) Graf obecné závislosti síly působící na částici na její poloze. Částice se pohybuje po přímce (osa x), její poloha je popsána souřadnicí x v intervalu mezi počátečním a koncovým bodem x\, resp. Xf. Síla je rovnoběžná s osou x. (b) Obrázek (a) s vyznačením rozdělení plochy pod grafem funkce F(x) na úzké proužky, (c) Jemnější dělení než na obr. (b). (d) Limitní případ. Práce vykonaná působící silou je dána vztahem (7.27) a geometricky reprezentována vybarvenou plochou, omezenou osou x a grafem funkce F(x) mezi hodnotami xi a Xf. speciálním případě se však mění pouze její velikost, zatímco její směr je stálý. Velikost síly navíc závisí pouze na souřadnici x, určující polohu částice, a není explicitní funkcí času. Takový jednorozměrný příklad proměnné síly znázorňuje obr. 7.10. Jak určíme práci této síly při přesunutí částice z počáteční polohy o souřadnici x\ do polohy Xf ? Vztah (7.9) použít nemůžeme, neboť platí jen pro konstantní sílu F. Výpočet vyžaduje nový přístup: rozdělíme celkové posunutí částice na velký počet intervalů o šířce Ax. Zvolme tuto šířku natolik malou, abychom funkci F(x) mohli v každém z intervalů považovat za konstantní. Nechť F j (x) je střední hodnota veličiny F(x) v j-tém intervalu. Elementární práci AWj vykonanou silou F v j-tém intervalu již vztahem (7.9) můžeme vyjádřit: AWj »ä Fj(x)Ax. (7.24) V grafu na obr. 7.10b je Fj (x) výška j-tého proužku a Ax jeho šířka. Elementární práce A TV, je číselně rovna obsahu proužku. Celkovou práci W síly F působící na částici při jejím přemístění z polohy x\ do polohy Xf vyjádříme přibližně jako součet obsahů všech proužků ležících mezi x; a X{. Je tedy W = AWj ^ J2FJ^Ax' (7-25) Vztah (7.25) je přibližný, neboť přerušovaná modrá čára tvořená horními základnami pravoúhlých proužků v obrázku 7.10b pouze aproximuje skutečnou křivku F(x). Aproximaci můžeme zlepšit, zmenšíme-li šířku Ax a zvýšíme tak počet proužků, jako je tomu na obr. 7.10c. V limitě se šířka proužků blíží nulové hodnotě a počet proužků roste do nekonečna. Získáváme tak přesný výsledek W = lim JpFj(x)Ax. (7.26) Tato limita představuje integrál z funkce F(x) v mezích x\ a Xf. Vztah (7.26) má tedy tvar Známe-li funkci F(x), dosadíme ji do integrálu (7.27), opatříme jej mezemi a provedeme integraci. Získáme tak hledanou práci W. (V dod. E je uveden soupis nejznáměj-ších integrálů.) Geometricky je práce dána obsahem plochy omezené grafem funkce F(x) a osou x v intervalu s krajními body x; a xr (v obr. 7.10 vyznačeno barevně). Trojrozměrný případ Uvažujme nyní o částici, na niž působí obecně zadaná síla F = Fxi + Fyj + Fzk, (7.28) jejíž složky Fx, Fy,, Fz mohou být závislé na poloze částice (jsou funkcemi této polohy). Označme elementární posunutí částice jako dr = / dx + / dy + kdz. (7.29) Elementární práce dW, kterou síla F vykoná při posunutí částice o dr, je podle vztahu (7.11) rovna dW = F ■ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz. (7.30) Celková práce W, vykonaná silou F při přesunutí částice z počáteční polohy r\ o souřadnicích (x;, y\,z\) do koncové polohy ľf o souřadnicích (xf, >y, zr), je pak vyjádřena křivkovým integrálem 152 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE kde je křivka, po níž se částice pohybuje mezi body o polohových vektorech rj a rj,* Má-li síla F nenulovou pouze x-ovou složku,jsou výrazy obsahující Fy a F- nulové a vztah (7.31) přejde na tvar (7.27). Vztah mezi prací proměnné síly a změnou kinetické energie Vztahem (7.27) je dána práce proměnné síly působící na částici v jednorozměrném případě. Přesvědčíme se, že jedná-li se o výslednici sil, je tato práce podle očekávaní rovna změně kinetické energie částice. Uvažujme o částici s hmotností m, pohybující se po ose x. Na částici působí výsledná síla F(x) směřující podél osy x. Práce vykonaná touto silou při přesunu částice z počáteční polohy x\ do koncové Xf je podle vztahu (7.27) rovna W J F(x)dx = Jmaáx. (7.32) Použili jsme druhého Newtonova zákona a nahradili výslednou sílu F(x) součinem ma. Výraz ma úx za integrálem v (7.32) lze přepsat ve tvaru du J ma áx = m— dx. dt Podle pravidla o derivaci složené funkce platí di> du dx dv dt dx dt dx a v rov. (7.33) lze psát dv ma dx = m — v dx = mvdv. dx Dosazením z rov. (7.35) do (7.32) dostáváme (7.33) (7.34) (7.35) j m v dv = m j v dv = 12 12 (7.36) * Praktický výpočet integrálu (7.31), takzvaného křivkového integrálu druhého typu. lze snadno provést, známe-li závislost polohového vektoru částice na čase r(l). Pak lze psát dr = vdl a W= / (F-v)dl. -í kde t\ a /| představují okamžiky, v nichž sc částice nachází v počáteční a koncové poloze. Uvědomme si, že při záměně proměnné x novou proměnnou v musíme provést i odpovídající záměnu mezí integrálu. Hmotnost m jsme mohli vytknout před integrál proto, že ji považujeme za konstantní. Ve výsledku na pravé straně (7.36) poznáváme rozdíl kinetických energií částice v koncovém a počátečním pohybovém stavu. Můžeme proto opět psát známý vztah mezi prací a kinetickou energií W = Ekf-EKi = AEk. PRÍKLAD 7.7 Síla F = (3.Y N)i + (4N)/, kde x je dáno v metrech, působí na částici pohybující sc v rovině. Počáteční a koncová poloha částice jsou určeny souřadnicemi (2m. 3 m) a (3 m, Om). Jakou práci vykoná síla F? Rozhodněte, zda se velikost rychlosti částice zvětší, zmenší, či zůstane beze změny. ŘEŠENÍ: Užitím vztahu (7.31) dostáváme W (3jc<1jc + 4dy) '6 /3«dx + / 4 d v, kde jc křivka, po které se částice pohybuje. Vzhledem k tomu, že x-ová složka síly F nezávisí na souřadnici y a y-ová složka nezávisí na x, můžeme psát xf 3 3 j 3.v dx = j 3x dx = J 3x dx = 3 J x dx, %' Ai 2 2 vf 0 0 j 4dy = j 4dy = j 4dy =4 j dy. yi 3 3 Integrály můžeme vyhledat v dod. E. Dostaneme w = 3[{\x2Ý2 + 4[yt = f[32 = -4,5J = -5J. 2-]+4|0-3| = (Odpověď) Záporný výsledek ukazuje, že kinetická energie částice, atedy i velikost její rychlosti, klesne. 7.6 PRACE PRUŽNE SILY V tomto článku se budeme zabývat výpočtem práce, kterou koná proměnná síla speciálního typu. tzv. pružná síla. Jedná se o sílu, jíž na částici působí natažená nebo stlačená pružina. Řada silových zákonů v přírodě má stejný matematický zápis jako zákon pro pružnou sílu. Rozbor tohoto konkrétního případu nám tedy umožní učinit si představu o celé skupině dalších sil s analogickým vyjádřením. 7.6 PRACH PRUŽNÉ SÍLY 153 Pružná síla Pružina na obr. 7.1 la je v nenapjatém stavu, tj. není protažena ani stlačena. Jeden její konec je upevněn a s druhým, volným koncem je spojen bodový objekt, řekněme malá kostka. Na obr. 7.11b napínáme pružinu tak, že kostku táhneme směrem vpravo. Naopak, podle zákona akce a reakce táhne pružina kostku směrem vlevo „ve snaze" obnovit nenapjatý stav. (Sílu pružiny proto někdy nazýváme vratnou silou.) Na obr. 7.1 lc stlačujeme pružinu tak, že kostku posouváme vlevo. Pružina naopak tlačí kostku vpravo, aby došlo k obnovení nenapjatého stavu. že síla pružiny má vždy opačný směr než posunutí jejího volného konce. Konstanta k se nazývá tuhostí pružiny a je skutečně mírou toho, jak je pružina „tuhá". Větší hodnota/: znamená tužší pružinu, tj. větší pružnou sílu při daném prodloužení. Jednotkou tuhosti v soustavě SI je newton na metr (N-m-1). Osa x na obr. 7.11 je zvolena rovnoběžně s pružinou, její počátek (.v = 0) splývá s polohou volného konce pružiny v nenapjatém stavu. Pro toto běžné uspořádání má vztah (7.37) tvar ,i=0 F = 0 - kostka na pružině -kx (a) prodloužení x kladné složka F záporná 00 prodloužení x záporné složka F kladná (c) Obr. 7.11 (a) Pružina v nenapjatém stavu. Počátek osy x je zvolen v poloze volného konce nenapjaté pružiny. K volnému konci je připojena malá kostka, (b) Kostka se posune o vektor d a pružina se prodlouží o délku .v. Všimněte si vyznačeného směru vratné síly F. jíž působí pružina na kostku, (c) Pružinaje stlačena o délku x. Opět si všimněte vyznačené vratné síly. V celé řadě praktických případů je vratná síla pružiny F v dobrém přiblížení úměrná jejímu prodloužení, tj. posunutí d volného konce pružiny vůči jeho poloze v nenapjatém stavu. Síla pružiny jc tedy dána vztahem F = ~kd (Hookův zákon), (7.37) známým pod názvem Hookův zákon (anglický vědec Robert Hooke patří k nejznámějším fyzikům druhé poloviny 17. století). Znaménko minus ve vztahu (7.37) upozorňuje. (Hookův zákon). (7.38) Symbolem F je v předchozím vztahu označena .v-ová složka síly F, zbývající složky jsou trvale nulové. Všimněte si, že pružná síla je proměnná, závisí na poloze volného konce pružiny. Podobně jako v či. 7.5 lze psát F = F(x). Uvědomte si také, že Hookův zákon představuje lineární závislost veličiny F na proměnné x. Práce pružné síly V dalších úvahách zanedbáme tření mezi kostkou a podložkou a budeme předpokládat, že pružina má ve srovnání s kostkou zanedbatelnou hmotnost (nehmotnápružina) a řídí se přesně Hookovým zákonem (ideální pružina). Představme si, že jsme do kostky prudce udeřili směrem vpravo a udělili jí tak jistou kinetickou energii. Kostka se začne pohybovat směrem vpravo. Pružná síla F její pohyb zpomaluje a kinetická energie kostky klesá. Experimentálně lze ověřit, že při splnění předpokladů o vlastnostech pružiny a podložky jc změna kinetické energie kostky určena výhradně prací pružné síly F. K výpočtu této práce musíme ovšem použít vztahu (7.27), neboť pružná síla je proměnná a řídí se silovým zákonem (7.38). Přcsune-li se kostka z polohy x\ do polohy Xf, vykoná pružná síla práci J F dx = j (-kx) dx = -k j x dx = x, x; x\ (-\k)[x2}% = (-ijtKxf2-^2), (7.39) tj. Wv = \kx} * k x p (práce pružné síly). (7.40) Práce Wp pružné síly může být jak kladná, tak záporná a souvisí s celkovou změnou kinetické energie kostky při 154 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE jejím přemístění z polohy x\ do polohy Xf. Pro x\ = 0 obvykle značíme X[ = x. Ze vztahu (7.40) pak plyne Wp =—\kx2 (práce pružné síly). (7.41) V dalším myšleném experimentu si představme, že posouváme kostku podél osy x a přitom na ni stále působíme silou Fa. Síla Fa koná práci Wa a pružná síla práci Wp. Podle (7.15) je změna kinetické energie kostky dána prací obou těchto sil, tj. A£k = EK{ - £k,i = Wa + Wp, (7.42) kde £k,f a E\,\ značí kinetickou energii na konci a na počátku posunutí. Jc-li rychlost kostky na počátku i na konci posunutí nulová, jsou hodnoty E^.f i Ek.i nulové a vztah (7.42) se zjednoduší na tvar Wa + Wp = 0, ti- Wa=-W9. (7.43) Tento výsledek znamená, že práce vykonaná silou Fa je rovna záporně vzaté práci pružné síly. Všimněte si, že délka pružiny přímo nevystupuje ani ve vyjádření pružné síly ((7.37) a (7.38)), ani ve vztazích pro její práci ((7.40) a (7.41)). Je však jedním z faktorů, které určují tuhost pružiny tav uvedených vztazích je tedy obsažena „skrytě", implicitně. PŘÍKLAD 7.8 Abychom pružinu na obr. 7.11b udrželi protaženou o 12 mm, musíme na kostku, uchycenou na jejím volném konci, působit silou Fa o velikosti 4,9 N. (a) Jaká je tuhost pružiny? ŘEŠENÍ: Protažená pružina působí na kostku silou F = = —4,9 N. Pro hodnotu x = 12 mm dostaneme ze vztahu (7.38) F _ (-4,9 N) ~ ~~ ~ ~(12-10-3m) ~ = 408 N-m"1 = 410N-m"'. (Odpověď) Znovu si uvědomte, že k určení tuhosti k není třeba znát délku pružiny. Grafické znázornění závislosti (7.38) pro tuto pružinu je na obr. 7.12. Grafem je přímka se směrnicí -410 N-m l. (b) Jakou silou bude působit pružina na kostku, jestliže ji protáhneme o 17 mm? F (N) \ ŕ- sriiěrn ice = - -k 8 -4 -20 - 10 0 10 j 2 0 -4 % -8 x (mm) Obr. 7.12 Graf závislosti pružné síly na prodloužení pružiny v jednorozměrném případě (příklad 7.8). Pružina vyhovuje Hookovu zákonu (vztahy (7.37) a (7.38))..Její tuhost jer = 410N-m~1. Význam červeně vyznačeného bodu grafu a vybarvené plochy je objasněn v příkladu 7.8 (b, c). ŘEŠENÍ: Ze vztahu (7.38) plyne F — —kx — -(408N-m-')(17T0-3m) = = -6.9 N. (Odpověď) Bod vyznačený v grafu na obr. 7.12 odpovídá vypočtené síle a příslušnému posunutí x. Všimněte si, že posunutí x je kladné, zatímco hodnota F je záporná, právě tak, jak to vyžaduje vztah (7.38). (c) Jakou práci vykoná pružná síla při protažení pružiny z ne-napjatého stavu o 17 mm (úloha (b))? ŘEŠENÍ: Vzhledem k tomu, že pružina byla zpočátku v ne-napjatém stavu, použijeme vztahu (7.41): Wp = -\kx2 = -5(408N-m"l)(17-10"3m)2 = = -5,9-10~2 J = -59 mJ. (Odpovčd) Barevně vyznačená plocha v obr. 7.12 představuje velikost vypočtené práce. Tato práce je záporná, neboť pružná síla a posunutí kostky mají v dané úloze opačný směr. Kdybychom pružinu místo protažení o 17 mm o stejnou délku stlačili, byla by práce vykonaná pružnou silou stejná. (d) Pružinu stlačenou o 17 mm uvolňujeme, až se kostka vrátí do polohy x = 0 (obnoví se nenapjatý stav pružiny). Poté pružinu stlačíme o 12 mm. Jakou práci vykonala pružná síla při celkovém posunutí kostky? ŘEŠENÍ: V popsaném případě platí: x\ = +17 mm (v počátečním stavu je pružina napjatá) a.tf = —12 mm (v koncovém stavuje pružina stlačená). Ze vztahu (7.40) dostáváme W, = íkxf - \kxj = \k{x\ - xf) = = 5(408N-m"1)[(17-10-3m)2 - (-12-10-3 m)2] = = 0,030J = 30 mJ. (Odpověd) 7.6 PRÁCE PRUŽNÉ SÍLY 155 Celková práce vykonaná pružnou silou je kladná. Kladná práce při posunutí kostky z polohy x\ = +17 mm do polohy x = 0 byla větší než absolutní hodnota záporné práce vykonané při posunutí kostky z polohy x = 0 do polohy Xf -12 mm. J^ONTROLA 4: Pro soustavu pružina + kostka znázorněnou na obr. 7.11 uvažujte o třech situacích s různými počátečními a koncovými polohami kostky (x;, xt) a v každé z nich rozhodněte, zda je práce pružné síly kladná, záporná, nebo nulová: (a) (—3 cm, 2 cm), (b) (2 cm, 3 cm), (c) (—2 cm, 2 cm). PŘIKLAD 7.9 Kostka o hmotnosti 5,7 kg klouže po vodorovném dokonale hladkém stole konstantní rychlostí o velikosti 1,2 m-s"1. Narazí na volný konec pružiny (obr. 7.13) a stlačuje ji. V určitém okamžiku je rychlost kostky nulová. Vypočtěte délku d, o kterou je pružina v tomto okamžiku stlačena. Tuhost pružiny je k = 1 500 N-nr1. ŘEŠENI: Podle vztahu (7.41) je práce vykonaná silou, jíž působí pružina na kostku, při stlačení pružiny o d rovna \kdz Změna kinetické energie kostky od okamžiku jejího nárazu na pružinu do okamžiku, kdy jc její rychlost nulová, je A£k = £k,f - Ek,i = 0 - \rnv-. Podle vztahu (7.4) mezi prací a kinetickou energií jsou si tyto veličiny rovny. Jejich porovnáním a řešením získané rovnice vzhledem k neznámé d dostaneme: vj~ = (l,2m-s-') (5,7 kg) y k V (1500Nm"1) = 7,4-10~z m = 7,4cm. (Odpověd) v -bez tření Obr. 7.13 Příklad 7.9. Kostka se pohybuje směrem k pružině rychlostí v, narazí na ni a stlačuje ji. V okamžiku, kdy je rychlost kostky nulová, je pružina stlačena o délku d. RADY A NAMĽTY Bod 7.1: Derivace a integrál, směrnice a plochy Pro zadanou funkci y — F(x) umíme vypočítat hodnotu její derivace v libovolném bodě x i hodnotu jejího určitého integrálu v daných mezích proměnné x. Ncní-li funkce zadána analyticky (vzorcem), nýbrž grafem, lze zjišťovat hodnoty derivace i určitého integrálu graficky. Způsob grafického určení derivace byl vyložen v bodě 2.5. Proto si nyní všimneme jen grafické metody nalezení hodnoty určitého integrálu. Na obr. 7.14 je znázorněn graf jisté funkce F(x). Řekněme, že tato funkce představuje závislost x-ové složky síly, která působí na částici pohybující se po ose x, na l.v-ové) souřadnici částice. Zaměříme se na grafické určení práce, kterou síla vykoná při posunutí částice z počáteční polohy x\ — 2,0 cm do koncové polohy Xf = 5,0 cm. Podle vztahu (7.27) lze tuto práci vyjádřit integrálem W -1! / F(x) dx. jehož hodnota je rovna obsahu vybarvené plochy ležící pod křivkou grafu a mezi zadanými krajními polohami x; a Xf. 50 40 í 30 20 10 44 N 0 1 3 8 4 5 6 x (cm) Obr. 7.14 Graf síly F(x) v jednorozměrném případě. Vybarvená plocha pod křivkou (její obsah představuje práci síly F) je nahrazena obdélníkem vytvořeným vyjmutím plochy 2 a přidáním plochy 1, jejichž obsahy jsou přibližně shodné. Tuto plochu lze přibližně nahradit obdélníkem, který vznikne doplněním obrázku o vodorovnou přímku, vedenou v takové poloze, aby obsahy plošek označených „1" a „2" byly shodné. Vyslovenému požadavku celkem dobře vyhovuje hodnota F — 44 N. Odpovídající vodorovná přímka je v obr. 7.14 rovněž vyznačena. Obsah „náhradního" obdélníka (= IV) je W = výška ■ základna = (44 N) (5, Ocm - 2,0cm) = = I32N-cm= l,3N-m= 1,3 J. Obsah plochy představující práci W můžeme určit také tak, že spočítáme všechny čtverečky, které leží pod křivkou grafu 156 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE ve vybarvené části plochy. Je jich asi 260 a každý z nich představuje (2N)(0,25cm) = 0,5 N-cm. Práce W má tedy hodnotu 5N-cm W = (260 čtverečků) \ lč čtvereček = 130N-cm = 1,3 J, stejně jako při výpočtu obsahu obdélníka z délek jeho stran. Pamatujte.: V dvojrozměrném grafickém znázornění funkce jedné proměnné je derivace určena směrnicí grafu a integrál obsahem plochy pod křivkou grafu. 7.7 VÝKON Na stavbě je třeba zvedat balíky cihel z chodníku na střechu budovy. Na staveništi je k dispozici naviják. Není obtížné spočítat práci, kterou musí při každém vyzvednutí nákladu vykonat síla působící na naviják. Je zde však ještě jeden problém: majiteli stavební firmy jde také o to, jak rychle bude tato práce vykonána. Za přijatelnou považuje dobu nejvýše 5 minut. Stihne se to? Mírou toho, jak „rychle" koná určitá síla práci, je výkon. Vykoná-li síla F práci A W za dobu Aí, je její průměrný výkon v daném časovém intervalu definován poměrem P = aw ~aT (průměrný výkon). (7.44) Okamžitý výkon P odpovídá „okamžité rychlosti" konání práce a je tedy limitním případem průměrného výkonu pro Ar -» 0: P = dW ~d7 (okamžitý výkon). (7.45) Jednotka výkonu v soustavě SI jc joule za sekundu. Tato jednotka se užívá tak často, že dostala samostatný název. Nazývá se watt (W) podle Jamese Watta, jenž se v historii zasloužil o velmi výrazné zdokonalení činnosti parních strojů. V britském systému je jednotkou výkonu stopa-libra za sekundu. Někdy se užívá i jednotky zvané koňská síla. Některé vztahy mezi jednotkami výkonu: 1 watt = 1 W = 1 J-s-1 = 0,738 ft-lb-s" (7.46) koňská síla = 1 HP = 550fMb-s~J = 746 W. (7.47) Ze vztahu (7.44) vidíme, že práci lze vyjádřit jako součin výkonu a času a získat tak její běžně užívanou praktickou jednotku, kilowatthodinu. Platí 1 kilowatthodina = 1 kW-h = (10J W)(3 600 s) = = 3,6010ftJ = 3,6MJ. (7.48) Někdo si možná při vyslovení slov watt nebo kilowatthodina vybaví spíše elektrické jednotky. Jedná se však o jednotku výkonu a jednotku energie, používané naprosto obecně. Kdybychom třeba učebnici, kterou právě držíme v ruce, zvedli z podlahy a položili ji na stůl, mohli bychom vykonanou práci klidně zapsat údajem 4-10^6 kWh (nebo lépe 4mW-h). Výkon můžeme také vyjádřit pomocí síly, která působí na částici a koná tak práci, a rychlosti částice. Předpokládejme, žc se částice pohybuje po ose x a působí na ni síla F která s osou x svírá s úhel je v daném okamžiku t nulový. To znamená, že elementární práce dW vykonaná oběma silami společně v časovém intervalu dr od okamžiku r do okamžiku t+dt je nulová. Výslednice sil F\ a F2 nepřispívá v daném okamžiku ke změně kinetické energie krabice. Ze skutečnosti, že hodnota Pccit = P\ + P2 je v daném okamžiku nulová, nelze činit žádné další závěry. Soustřeďme se však na zadání úlohy pozorněji. Kromě zadaných sil Fi a F2 působí na krabici samozřejmě ještě tíhová síla G a tlaková síla podlahy Ar. Ty jsou trvale kolmé k posunutí krabice, a proto nekonají práci. Ke změně kinetické energie krabice tedy přispívá jen práce sil F] a Fj. Výsledná síla působící na krabici je YV = F, +F_+6 + N Zvolme soustavu souřadnic tak, že osa x je vodorovná a míří vpravo a osa y směřuje svisle vzhůru. Pro složky výsledné síly dostaneme Fv = F\ cos je tedy nulový trvale, nejen v jediném okamžiku zmiňovaném v zadání úlohy. (b) Řešte úlohu (a) znovu za předpokladu, že velikost síly Fi je 6.0 N. ŘEŠENÍ: Pro výkon síly Fn nyní dostáváme P2 = F2vcos2 = -6,0 W + 9,0 W = = 3,0W. (Odpověď) Kladná hodnota celkového výkonu znamená, že kinetická energie i velikost rychlostí krabice v daném okamžiku rostou. Ze vztahu (7.50) a ze skutečnosti, že síly F\ a F? jsou konstantní, plyne, že v daném okamžiku roste i jejich celkový okamžitý výkon Pceik- Ten nabývá vypočtené hodnoty 3,0 W právě jen v okamžiku, kdy je velikost rychlosti krabice rovna 3,0 rms . Obr. 7.16 Příklad 7.10. Síly f 1 a Fi působí na krabici, která klouže směrem vpravo po dokonale hladké podlaze. Rychlost krabice je v. J^ontrola 5: Kostka j e uvázána na provaze a pohybuje se rovnoměrně po kružnici, v jejímž středu jc druhý konec provazu upevněn. Rozhodněte, zdaje výkon tahové síly provazu kladný, záporný, nebo nulový. 158 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE |p? 7.8 KINETICKÁ ENERGIE PŘI ™ VYSOKÝCH RYCHLOSTECH V čl. 4.10 jsme se dověděli, že pro částice pohybující se rychlostmi blízkými rychlosti světla newtonovská mechanika selhává a musí být nahrazena Einsteinovou speciální teorií relativity. Jedním z důsledků této skutečnosti je, že již nemůžeme vyjadřovat kinetickou energii ve tvaru E\ = Itnv2. Musíme použít relativistického vztahu Ek=mc2\^Ĺ=-\ \, (7.51) V : / kde c je rychlost světla ve vakuu. 1,5 1,0 > OJ g 0,5 0 \ Ek = mcl ,-— 1 V v i -U'/c>- / i i 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 v/c Obr. 7.17 Graf relativistického a klasického vyjádření kinetické energie elektronu (viz (7.51), resp. (7.1)) v závislosti na podílu v je, kde v je velikost rychlosti elektronu a c je rychlost světla ve vakuu. Všimněte si, že tyto dvě křivky při nízkých rychlostech splývají. Při zvyšující se rychlosti v se však jejich odchylka výrazně zvětšuje. Experimentální body (označené křížkem x) dokumentují souhlas relativistické křivky s experimentem při vysokých rychlostech. Od nerelativistické křivky se experimentální hodnoty výrazně odchylují. Obr. 7.17 ukazuje, že tyto dvě formule, které jsou zcela odlišné již na první pohled, dávají skutečně při vysokých rychlostech výrazně různé výsledky. Experiment potvrzuje mimo veškerou pochybnost, že relativistický výraz (7.51) je správný na rozdíl od výrazu klasického (7.1). Při nízkých rychlostech však výsledky obou vzorců prakticky splývají. Speciálně pro v = 0 dávají oba vztahy nulovou hodnotu kinetické energie. Všechny relativistické formule musí při nízkých rychlostech přejít na odpovídající klasický tvar. Ukážeme si to na příkladu vztahu (7.51), který pro snazší porovnání se vztahem (7.1) ještě upravíme: Ek = mc2[(l - j32rl/2 ~ 1]. (7.52) Pro zjednodušení jsme místo podílu v/c použili bezrozmě-rového parametru řj. Při velmi malých rychlostech je v 0. 3. Rozhodněte, zda kinetická energie částice roste, klesá, či zůstává neměnná, platí-li pro polohu částice (a) x = 4t2 — 2, (b) x = -3t + 14, (c) r = 2i - 3tj, (d) r = (2/2 - 3)i + + (4r — 2)j. Ve všech případech jc t > 0. 4. Na částici působí síla F ve směru osy x. Částice se posune po ose x o 5 m. Můžeme pro výpočet práce, kterou síla vykonala, použít vztahů (7.9) a (7.11). je-li její velikost (v newtonech) (a) F = 3, (b) F = 2x. (c) F = 2ť~! 5. Rozhodněte, zda práce vykonaná silou F při posunutí částice o vektor d je v následujících případech kladná, či záporná: (a) úhel mezi vektory F a d je 30°, (b) úhel mezi vektory F a d je 100 . (c) F = 2i - 3y a d = -4i. 6. Částice o hmotnosti 5 kg sc pohybuje rovnoměrně po kružnici rychlostí o velikosti 4 m-s~'. Jakou práci vykoná dostředivá síla působící na částici (a) v libovolně zvoleném časovém intervalu, (b) během jednoho oběhu částice? 7. Na obr. 7.19 vidíme šest situací, v nichž na krabici pohybující se po vodorovné dokonale hladké podložce působí současně dvě síly. Jedna z nich směřuje vpravo, druhá vlevo. Síly mají velikosti 1 N, resp. 2 N, a v obrázku jsou znázorněny vektory 162 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE různých délek. V jednotlivých případech rozhodněte, zdaje práce výslednice obou sil při posunutí krabice o vyznačený vektor d kladná, záporná, či nulová. ™^t> (f) Obr. 7.19 Otázka 7 8. Na obr. 7.20 jsou v pohledu shora zobrazeny tři situace, kdy na krabici působí dvě síly (Fi a F2) stejných velikostí. Síly svírají s rychlostí krabice stálé úhly. Rozhodněte, zda celková práce, kterou síly konají při pohybu krabice, je kladná, záporná, či nulová. (b) Obr. 7.20 Otázka í 9. Vepřík na obr. 7.21 může sklouznout po jedné ze tří dokonale hladkých skluzavek. Uspořádejte skluzavky sestupně podle velikosti práce, kterou při takové jízdě vykoná tíhová síla působící na vepříka. Obr. 7.21 Otázka 9 10. Představme si poměrně absurdní situaci. Ulovili jsme pá-sovce a chceme jej zvednout na mořský útes. Rozhodněte, zda práce vykonaná silou, kterou při tom na pásovce působíme, závisí (a) na jeho hmotnosti, (b) na tíhové síle, kterou na něj působí Země, (c) na výšce útesu, (d) na době. během níž pásovce zvedneme, (e) na tom, zda pásovce vychylujeme do stran, nebo jej zvedáme přímo vzhůru. 11. Obr. 7.22 zachycuje balík časopisů, který je třeba zvednout do výšky d. Balík zvedáme tahem za provaz, jímž je ovázán. V tabulce je uvedeno šest dvojic hodnot udávajících velikost rychlosti balíku (v metrech za sekundu) uo, resp. v na počátku, resp. na konci jeho posunutí o svislou vzdálenost d. Uspořádejte tyto dvojice sestupně podle práce vykonané tahovou silou provazu při daném posunutí. «1= 0 2 0 1 2 2 Obr. 7.22 Otázka 11 12. Na obr. 7.23 jsou znázorněny čtyři grafy závislosti proměnné síly F, působící na částici pohybující se podél osy x, na poloze této částice. Poloha je určena souřadnicí x, síla F má směr osy x. Stupnice na odpovídajících si osách grafů jsou stejné. Seřadte grafy sestupně podle hodnoty práce, kterou síla F vykonala při posunutí částice z polohy x = 0 do polohy x\. (c) id) Obr. 7.23 Otázka 12 13. Síla F rovnoběžná s osou x působí na částici pohybující se ve směru osy x. Obr. 7.24 znázorňuje závislost této síly na i i 2 : \ 4 5 6/ ' í i i / - i i x (m) Obr. 7.24 Otázka 13 CVIČENÍ & ÚLOHY 163 poloze částice, zadané souřadnicí x. V počáteční poloze x = 0 byla částice v klidu. Jaká je její poloha v okamžiku, kdy má (a) největší kinetickou energii, (b) největší rychlost, (c) nulovou rychlost? (d) Jaký je směr pohybu částice při jejím průchodu bodem o souřadnici x = 6 m? 14. Kostka je upevněna k volnému konci nenapjaté pružiny podle obr. 7.25a. Tuhost pružiny k je taková, že při posunutí kostky o vektor d vpravo vykoná pružná síla práci W\. Velikost pružné síly na konci posunutí je F]. Kostku připojíme na opačné straně ještě k druhé, stejné pružině, podle obr. 7.25b. Vzdálenost uchycení pružin je zvolena tak, aby ve výchozím stavu byly obě nenapjaté. Kostku posuneme opět o vektor d. (a) Jaká je velikost výslednice sil, jimiž na kostku působí obě pružiny? (b) Jakou práci vykonaly pružné síly? MAMA/ LUAÄAAH čujeme působením vnější síly tak, že (a) docílíme jejich stejného stlačení, (b) obě pružiny stlačujeme stejně velkými vnějšími silami. V každém z případů (a) a (b) rozhodněte, která z pružných sil Fa, Fb vykonala větší práci. 16. Na obr. 7.26 jsou znázorněny tři situace. V každé z nich je kostka připojena ke stejným pružinám. V okamžiku, kdy je kostka uprostřed, jsou pružiny nenapjaté. Seřaďte situace se-stupnč podle velikosti výsledné síly, která bude působit na kostku posunutou o vzdálenost d (a) vpravo, (b) vlevo. Seřaďte situace sestupně podle celkové práce pružných sil působících na kostku posunutou o vzdálenost d (a) vpravo, (b) vlevo. (1) (2) Obr. 7.26 Otázka 16 (3) (a) (b) Obr. 7.25 Otázka 14 15. Pružina A je tužší než pružina B, tj. /ca > A-'b- Pružiny stla- 17. Jakým násobkem tuhosti pružiny je tuhost každé z pružin, které vzniknou rozpůlením pružiny původní? (Tip: Uvažte, jaké protažení každé z polovičních pružin způsobí vnější síla o dané velikosti.) CVIČENI S^ULOHY ODST. 7.1 Kinetická energie 1C. Jaká je kinetická energie rakety Saturn V, spojené s kosmickou stanicí Apollo, je-li jejich celková hmotnost 2,9-105 kg adosáhnou-li společné rychlosti ll,2km-s '? 2C. Volný elektron (hmotnost m = 9,11-10 kg) v mědi má při nejnižší dosažitelné teplotě kinetickou energii 6,7-10~'g J. Jak velká je jeho rychlost? 3C. Určete kinetickou energii následujících objektů, pohybujících se danou rychlostí: (a) fotbalový obránce o hmotnosti 110 kg, který běží rychlostí 8,1 m/s, (b) kulka o hmotnosti 4,2 g letící rychlostí 950 m/s, (c) letadlová loď Nimitz o výtlaku 91 400 tun při rychlosti 32 uzlů (1 uzel = 0,51 m-s-1). 4C. Dne 10. srpna 1972 proletěl atmosférou nad východním územím USA a Kanady velký meteorit. Odrážel se od horní vrstvy atmosféry, asi jako když se kamenem házejí žabičky po vodě. Ohnivá koule na obloze byla tak jasná, že byla vidět i ve dne (obr. 7.27). Hmotnost meteoritu byla asi 4-106kg, velikost jeho rychlosti zhruba 15 km-s~'. Kdyby meteorit vstoupil do atmosféry ve svislém směru, dosáhl by povrchu Země s přibližně nezměněnou rychlostí, (a) Vypočtěte ztrátu energie meteoritu (v joulech) při jeho zabrzdění po kolmém dopadu na povrch Země, (b) Vyjádřete tuto energii jako násobek energie uvolněné při výbuchu jedné megatuny TNT, která činí 4,2-1015 J. (c) Energie uvolněná při výbuchu atomové bomby svržené na Hirošimu byla ekvivalentní 13 kilotunám TNT. Kolika „hirošimským bombám" odpovídá srážka meteoritu se Zemí? Obr. 7.27 Cvičení 4. Velký meteorit prolétá atmosférou nad pohořím (vpravo nahoře). 5C. Výbuch na zemském povrchu zanechá kráter, jehož průměr je úměrný třetí odmocnině z energie, která se při tom uvolnila. Při výbuchu jedné megatuny TNT vznikne kráter o průměru 1 km. Pod Hurónským jezerem v Michiganu byl objeven starý kráter o průměru 50 km. Jaká byla kinetická energie tělesa, které kráter vytvořilo, vyjádřená (a) v megatunách TNT, (b) v jednotkách odpovídajících ekvivalentu hirošimskč bomby (cvič. 4)? (Takový dopad meteoritu nebo komety mohl významně ovlivnit pozemské podnebí či přispět k vyhynulí dinosaurů i jiných forem života.) 164 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE 6Ú. Prolon (hmotnost m — L,67-10 kg) prochází lineárním urychlovačem se zrychlením o velikosti 3,6-1015 m-s. Počáteční rychlost protonu byla 2,4-10 m-s". (a) Jaká je velikost jeho rychlosti poté, co prošel vzdálenost 3,5 cm? (b) Jaký jc přírůstek jeho kinetické energie v elektronvoltech? 7U. Otec běží o závod se svým synem. Kinetická energie otec jc ve srovnání se synem poloviční, hmotnost dvojnásobná. Jestliže otec zvýší svou rychlost o 1 m-s-1, bude mít stejnou kinetickou energii jako syn. Určete velikost počáteční rychlosti otce i syna. 8Ú. Jaká je kinetická energie Země při jejím oběhu kolem Slunce? (Potřebné číselné údaje vyhledejte v dodatku C.) ODST. 7.3 Práce a kinetická energie 9C. Objekt o hmotnosti 102 kg se pohybuje po vodorovné přímce a je brzděn se zpožděním 2.0m-s-2. Jeho počáteční rychlost má velikost 53 m-s-1. (a) Jaká je velikost brzdící síly? (b) Jakou vzdálenost těleso urazí, než se zastaví? (c) Jakou práci vykoná brzdná síla? (d) Zodpovězte otázky (a) až (c) pro případ, žc zpoždění je 4,0 m-s-2. 10C. Dělník vleče bednu o hmotnosti 50 kg po dokonale hladké vodorovné podlaze. Působí na ni při tom silou o velikosti 21 ON pod úhlem 20c vzhledem k podlaze. Zjistěte, jakou práci vykonaly při posunutí bedny o 3.0 m následující síly: (a) síla, kterou působí na bednu dělník, (b) tíhová síla, (c) tlaková síla, jíž působí na bednu podlaha, (d) Jaká je celková práce všech sil působících na bednu? 11C. Plovoucí ledová kraje hnána proudem vody podél pobřeží. Proud na ni působí silou F — (210N)i — (150 N)j. Jakou práci vykoná tato síla při posunutí kry o vektor d = (15 m)/— (12 m)y? 12C. Částice se posune po přímce o vektor d = (8 m)i + cj. Jedna ze sil, které na částici působí, je F = (2 N)i — (4 N)j. Pro jaké hodnoty c je práce této síly při posunutí d (a) nulová, (b) kladná, (c) záporná? 13C. Proton, který byl zpočátku v klidu, byl v cyklotronu urychlen na výslednou rychlost o velikosti 3,0-106 m-s-1. Jakou práci (v elektronvoltech) při tom vykonala elektrická síla, která proton urychlila? (I když velikost zadané rychlosti činí již 1 % rychlosti světla, nepočítejte s relativistickou opravou.) 14C. Na částici pohybující se po přímce působí jediná síla. Obr. 7.28 ukazuje časovou závislost rychlosti částice. Určele znaménko (plus, resp. minus) práce, kterou tato síla vykoná v každém z časových intervalů AB, BC. CD a DE. Obr. 7.28 Cvičení 14 15C. Dvanáctimetrovou požární hadici (obr. 7.29) rozvíjíme tak. že její konce s tryskou táhneme po dokonale hladké podlaze stálou rychlostí o velikosti 2,3 m-s-1. Hmotnost jednoho metni hadice je 0,25 kg (její délková hustota tedy je 0.25kg-m-i). Jakou práci vykoná síla působící na hadici při jejím rozvíjení do okamžiku, kdy je celá hadice v pohybu? Obr. 7.29 Cvičení 15 16Ú. Na obr. 7.30 jsou znázorněny tři síly působící na kufr. který se posune o 3.00 m vlevo po dokonale hladké podlaze. Velikosti sil jsou F, = 5.00N, F2 = 9.00N af, = 3.00N. (a) Jaká je celková práce těchto sil pň uvedeném posunutí kufru? (b) Rozhodněte, zda kinetická energie kufru vzroste, nebo poklesne. 1 r 1 . F j Obr. 7.30 Úloha 16 17Ú. Síla F působí na částici o hmotnosti 3,0 kg tak, že její poloha závisí na čase vztahem x = 3,0f — 4,Oř2 + 1,0/3. Souřadnice x je zadána v metrech a čas t v sekundách. Určele práci síly F v časovém intervalu od t = 0 do i = 4,0 s. (Tip: Určele rychlost částice v obou okamžicích.) 18Ú. Obr. 7.31 představuje pohled shora na nádobu pohybující se po dokonale hladké podlaze, na kterou působí tři síly. Nádoba byla zpočátku v klidu. Velikosti sil jsou F\ = 3.00 N. F2 = 4.00N a F3 = 10.00N. Jakou celkovou práci tyto síly vykonají při posunutí nádoby o 4,00 m od okamžiku, kdy sc dala do pohybu? Fi J3 F< \35° 1 F- r Obr. 7.31 Úloha 18 19Ú. Na částici o hmotnosti 2,0 kg působí stálá síla o velikosti 10N, která svírá se směrem kladné osy x úhel 150° C VIČEXÍ & ÚLOIIY 165 (měřeno v kladném smyslu, tj. proti směru otáčení hodinových ručiček). Jakou práci vykoná tato síla při posunutí částice z počátku soustavy souřadnic do bodu o polohovém vektoru (2,0m)í - (4,0m)/? ODST. 7.4 Práce tíhové síly 20C. (a) Při úpravách montrealského velodromu v roce 1975 bylo třeba vycentrovat jeho střechu vážící 41 000 tun. K tomu bylo nutněji nadzvednout asi o 10 cm. Jakou práci při tom vykonaly síly, které střechu zvedaly? (b) V roce 1960 prý paní Maxwell Rogersová z Tampy na Floridě dokázala nadzvednout jeden konec auta, které spadlo na jejího syna poté, co selhal zvedák. Připusťme, že v takovém šoku byla skutečně schopna nadzvednout automobil o váze 16 000 N silou o velikosti 4 000 N asi o 5 cm. Jakou práci tato síla vykonala? 21C. Dělník tlačí bednu o hmotnosti 25,0kg vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu 25,0". Působí na ni při tom silou o velikosti 209 N, která je rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Vypočtěte práci, kterou při posunutí bedny o 1,50 m vykonají síly působící na bednu: (a) síla, kterou působí dělník, (b) tíhová síla, (c) normálová (tlaková) síla nakloněné roviny, (d) Jaká je celková práce, kterou vykonaly síly působící na bednu? 22C. Kostka ledu o hmotnosti 45 kg klouže dolů po nakloněné rovině dlouhé 1,5 m a vysoké 0,91 m. Dělník tlačí kostku silou směřující vzhůru podél nakloněné roviny tak, aby klesala stálou rychlostí, (a) Jakou silou působí dělník na kostku? Určete práci, kterou vykonají síly působící na kostku: (b) síla. kterou působí dělník, (c) tíhová síla, (d) normálová síla, jíž působí na kostku povrch nakloněné roviny, (e) výsledná síla. 23C. Na obr. 7.32 je znázorněno zařízení s volnou kladkou: provaz je veden přes dvě nehmotné kladky, které se mohou otáčet bez tření. Na volné kladce visí nádoba o hmotnosti m — 20 kg, na volný konec provazu působíme silou F. (a) Jak velká musí Obr. 7.32 Cvičení 23 být síla F, máme-li nádobu zvedat stálou rychlostí? (b) O jakou vzdálenost musíme posunout volný konec provazu, chceme-li nádobu zvednout o 2,0 cm? Určete, jakou práci vykonají při tomto posunutí následující síly: (c) síla F. (d) tíhová síla působící na nádobu. {Tip: Provaz vedený přes kladku podle obrázku na ni působí celkovou silou, jejíž velikost je rovna dvojnásobku velikosti tahové síly provazu.) 24Ú. Helikoptéra zvedala 72 kg astronauta na laně z hladiny oceánu do výšky 15 m sc zrychlením g/10. Určete práci, kterou při tom vykonaly síly působící na astronauta: (a) síla, kterou působila helikoptéra, (b) tíhová síla. Jakou (c) kinetickou energii a (d) rychlost astronaut získal? 25U. Kostku o hmotnosti M, která byla zpočátku v klidu, spouštíme na laně svisle dolů se zrychlením g/4. Jakou práci vykonala (a) tahová síla lana, (b) tíhová síla, do okamžiku, kdy kostka poklesla o vzdálenost ďl (c) Jaká je v tomto okamžiku kinetická energie kostky a (d) její rychlost? 26Ú. Speleologická záchranná četa zvedá zraněného průzkumníka ze zborcené jeskyně přímo vzhůru na laně navíjeném pomocí motoru. Akce má tři fáze, z nichž každá vyžaduje zvednutí člověka o svislou vzdálenost 10,0 m: (1) Člověk, který byl zpočátku v klidu, je zvedán s jistým zrychlením, až dosáhne rychlosti o velikosti 5.00m-s_l. (2) Další zdvih se děje stálou rychlostí, jíž bylo dosaženo v předchozí fázi. (3) Následuje rovnoměrně zpožděný pohyb až do zastavení. Jakou práci vykoná v každé fázi pohybu síla, jíž. působí na speleologa tažné lano? ODST. 7.5 Práce proměnné síly 27C. Kostka o hmotnosti 5,0 kg se pohybuje přímočaře po dokonale hladké vodorovné rovině. Na kostku působí síla. jejíž závislost na poloze kostky je znázorněna na obr. 7.33. Jakou práci vykoná tato síla při přemístění kostky z počátku soustavy souřadnic do polohy o souřadnici x = 8,0 m? .................i.................. _ 1 poloha (m) Obr. 7.33 Cvičení 27 28C. Těleso o hmotnosti 10 kg se pohybuje po ose x. Závislost jeho zrychlení na poloze je znázorněna na obr. 7.34. Jaká je celková práce vykonaná silami, které udělují tělesu toto zrychlení, jestliže sc těleso přemístí z polohy x = 0 do polohy .v = 8,0m? li, i i .......J_|_ 0 12 3 4 5 6 7 8 x (m) Obr. 7.34 Cvičení 28 166 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE 29Ú. (a) Na částici pohybující se po ose x působí ve směru této osy síla, jejíž závislost na poloze částice je znázorněna v grafu 7.35. Odhadněte práci této síly při přemístění částice z polohy x = 1 m do polohy x = 3m. Zjemněte použitou metodu tak, abyste si udělali představu, jak blízko se vám podařilo přiblížit se přesné hodnotě 6J. (b) Rovnice znázorněné křivky má tvar F = ax~2, kde a = 9Nm2. Vypočtěte hledanou práci pomocí integrace. 12 10 8 Z 4 _• 0 .12 3 4 x (m) Obr. 7.35 Úloha 29 30Ú. Na částici působí síla F = Fq(j. — 1). Určete práci této síly při přemístění částice z polohy x = 0 do polohy x = 2xq (a) přibližně z grafu závislosti F(x), (b) integrací funkce F(x) v daných mezích proměnné x. 31U. Jakou práci vykoná síla F = (2x N)i + (3 Njy působící na částici při jejím posunutí z polohy t\ = (2 m)i + (3 m)/ do polohy rj = — (4 taji — (3 m)y? 32Ú. Síla F působí na částici pohybující se podél osy x. Síla má směr kladně orientované osy x a závislost její velikosti na poloze částice je popsána funkcí F(x) = 10exp (—x/2,0)N, kde proměnná x je zadávána v metrech. Určete práci síly F při posunutí částice z počátku osy x do polohy o souřadnici x = 2,0m (a) jako obsah plochy pod grafem funkce F(x), (b) výpočtem pomocí integrálu. 33Ú. Na těleso o hmotnosti 2,0 kg působí při jeho pohybu podél osy x jediná síla. Její závislost na poloze tělesa je znázorněna na obr. 7.36. Rychlost tělesa v bodě x = 0 je vx = 4,0 m-s-1, (a) Jaká je kinetická energie tělesa v bodě x = 3 m? (b) V jaké poloze x má těleso kinetickou energii 8J? (c) Jaká je největší kinetická energie, které těleso dosáhne během pohybu z. polohy x = 0 do polohy x = 5,0 m? Fx (N) \ 2 . ! <■ \ 5 V \ \ x (m) Obr. 7.36 Úloha 33 34Ú. Bedna o hmotnosti 230 ke visí na konci lana o dél- ce 12,0 m. Na bednu začneme působit ve vodorovném směru silou F o proměnné velikosti a posuneme ji o 4,00 m ve vodorovném směru, jak ukazuje obr. 7.37. (a) Jaká je velikost síly F v koncové poloze bedny? (b) Jakou celkovou práci vykonaly síly působící na bednu při jejím posunutí? (c) Jakou práci vykonala tíhová síla a (d) tahová síla lana? (e) Za předpokladu, že bedna byla zpočátku v klidu, určete pomocí výsledků (b), (c) a (d) práci síly F. (f) Vysvětlete, proč práce síly F není rovna součinu velikosti vodorovného posunutí bedny a velikosti síly F zjištěné v části (a) této úlohy? 12,0 m F -4,00 m H Obr. 7.37 Úloha 34 ODST. 7.6 Práce pružné sily 35C. Ke konci pružiny o tuhosti 15 N- cm-1 je připevněna klec (obr. 7.38). (a) Jakou práci vykoná síla, jíž působí pružina na klec, při stlačení o 7,6 mm z výchozího nenapjatého stavu? (b) Jakou práci vykoná při dalším stlačení o 7,6 mm? -7,6 mm - 7.6 mm Obr. 7.38 Cvičení 35 36C. Studenti MIT (Massachusetts Institute of Technology, jedna z renomovaných univerzit v USA) obývající dvě sousední budovy studentské koleje East Campus zorganizovali jednou v rámci obvyklých studentských recesí bitvu, při níž používali praků vyrobených z chirurgických hadic, uchycených v okenních rámech. Míč naplněný obarvenou vodou vložili do „kapsy" praku, připevněné k hadici. Hadici pak napjali přes celou šířku pokoje, uvolnili a míč tak vymrštili proti soupeřům bydlícím v protilehlé budově. Předpokládejme, že se napjatá hadice řídí Hookovým zákonem a žc její tuhost jc 100 N-ixT1. Jakou práci vykoná pružná síla, jíž působí hadice na kapsu s míčem, od okamžiku uvolnění hadice protažené o 5,00 m do okamžiku vymrštění míče, kdy je již hadice v nenapjatém stavu? 37Ú. Těleso o hmotnosti 2,0 kg se pohybuje po ose x. x-ová složka jediné síly, která na těleso působí, je tvaru Fx = —6x N. Souřadnice x je zadána v metrech. Rychlost tělesa v bodě o souřadnici x = 3,0m je vx = 8,0m-s_1. (a) Jaká je rychlost tělesa CVIČENÍ & ÚLOHY 167 v poloze x = 4.0 m? (b) V jaké poloze má teleso rychlost vx = 5,0 m-s"1? 381). Pružinový siloměr má stupnici cejchovanou v milimetrech. Na siloměr zavěšujeme postupně tři různá závaží (obr. 7.39). (a) Jakou hodnotu ukáže ukazatel siloměru na stupnici, jestliže závaží sejmeme? (b) Jaká je velikost tíhové síly G? 1 ION obratu, je stlačení pružiny d = 12 cm. Určete, jakou práci vykonaly do tohoto okamžiku následující síly působící na kostku: (a) tíhová síla, (b) pružná síla. (c) Jaká byla rychlost kostky bezprostředně před dopadem na pružinu? (Třecí a odporové síly považujeme za zanedbatelné.) (d) Jaké by bylo maximální stlačení pružiny při dvojnásobné rychlosti dopadu kostky? 240 N Obr. 7.39 Úloha 38 Obr. 7.41 Úloha 40 39Ú. Na obr. 7.40 jsou znázorněny dvě stejné pružiny spojené krátkým vláknem o délce 10 cm. Délka každé z pružin v nenapja-tém stavu je 50 cm a tuhost 500 N-nT 1. Horní pružina je připevněna ke stropu, na volném konci dolní pružiny visí krabice o váze 100 N. Další dvě ohebná vlákna, každé o délce 85 cm (v dobrém přiblížení neměnné) jsou k soustavě připojena podle obrázku. Krátké vlákno přepálíme, takže krabice zůstane zavěšena pouze na pružinách a dlouhých vláknech a začne se pohyboval. Vlivem odporové síly prostředí se krabice nakonec zastaví v nové rovnovážné poloze, (a) Rozhodněte, zda tato poloha bude ležel nad. či pod původní rovnovážnou polohou, kterou zaujímala krabice před přepálením krátkého vlákna a (b) určete, jak daleko bude od ní vzdálena, (c) Jakou celkovou práci vykonaly pružné síly obou pružin v časovém intervalu mezi přepálením vlákna a ustálením nové rovnovážné polohy? Obr. 7.40 Úloha 39 40Ú. Kostka o hmotnosti 250 g dopadne na svislou pružinu o tuhosti k = 2,5 N-cm-1 (obr. 7.41) a pevně se s ní spojí. Soustava začne kmitat. V okamžiku, kdy kostka poprvé dosáhne bodu ODST. 7.7 Výkon 41C. Plně zatížená kabina výtahu má hmotnost 3,0-103kg a stoupá stálou rychlostí. Za 23 s urazí 210 m. Jaký je průměrný výkon tahové síly lana kabiny? 42C. Lyžařský výtah vytáhne 100 lyžařů, z nichž každý má hmotnost průměrně 70 kg, do výšky 150 m za 60 s. Rychlost pohybuje konstantní. Jaký je průměrný výkon tažné síly výtahu? 43C. Kabina nákladní zdviže má hmotnost 4 500 kg, nej vyšší povolená hmotnost nákladu je 1 800 kg. Jaký musí být výkon tahové síly lana zdviže, zvedá-li se plně naložená kabina stálou rychlostí 3,80 m-s"1? 44C. (a) Určete okamžitý výkon síly F = (4,0N)i- (2,0N)y + + (9,0N)fe působící na částici, v okamžiku, kdy je její rychlost v = — (2,0 m-s~')i + (4,0m-s~')Ä. (b) Předpokládejme, že v jiném okamžiku má rychlost částice nenulový průmět pouze do směru vektoru j a že síla F zůstala nezměněna. Jaká je nyní rychlost částice, je-li okamžitý výkon síly —12 W? 45ÍJ. Kostka o hmotnosti 100 kg je tažena stálou rychlostí o velikosti 5,0 m-s~' po dokonale hladké podlaze silou F o velikosti 122 N. Síla svírá s podlahou úhel 37° a je orientován směrem vzhůru. Jaký je výkon síly F? 46U. Kůň táhne vozík silou o velikosti 180 N svírající s vodorovnou rovinou úhel +30°. Jedou stálou rychlostí o velikosti 10km-h '. (a) Jakou práci vykoná tažná síla během lOmin jízdy? (b) Jaký je průměrný výkon této síly (ve wattech a v jednotkách HP)? 47Ú. Těleso o hmotnosti 2,0 kg, které bylo zpočátku v klidu, se začne pohybovat rovnoměrně zrychleně a během 3,0 s dosáhne rychlosti o velikosti 10m-s~'. (a) Jakou práci vykoná výsledná urychlující síla během uvedených 3,0 s? Jaký je okamžitý výkon 168 KAPITOLA 7 PRÁCE A KINETICKÁ Ľ.NLRGIH této síly (b) na konci uvedeného časového intervalu a (c) na konci jeho první poloviny? 48Ú. Síla o velikosti 5,0N začne působit na těleso o hmotnosti 15 kg. které je zpočátku v klidu. Určete (a) práci, kterou tato síla vykoná během první, druhé a třetí sekundy od počátku pohybu, a (b) okamžitý výkon síly na konci třetí sekundy. 49Ú. Kabina plně naložené nákladní zdviže má hmotnost 1 200 kg. Kabinu je třeba zvednout do výšky 54 m za 3,0 min. Protizávaží má hmotnost pouze 950 kg. takže motor zdviže musí napomáhat k vyvažování kabiny. Jaký musí být průměrný výkon (v jednotkách HP) tažné síly motoru, který působí na kabinu prostřednictvím tažného lana? 50Ú. Síla. kterou jc třeba vléci lod", aby se pohybovala rovnoměrně, je úměrná okamžité rychlosti lodi. (Tato síla musí kompenzovat odporovou sílu vody.) Její výkon při rychlosti 4km/h je 7,5 kW. Jaký okamžitý výkon tažné síly odpovídá rychlosti 12km/h? 51U. Tělísko o hmotnosti 0,30 kg, které může klouzat po vodorovné dokonale hladké podložce, je připevněno k volnému konci pružiny o tuhosti k = 500N-m-1, jejíž druhý konec je pevný. V okamžiku průchodu rovnovážnou polohou (v tomto okamžiku je pružná síla působící na tělísko nulová) má tělísko kinetickou energii 10J. (a) Jaký je okamžitý výkon pružné síly při průchodu tělíska rovnovážnou polohou? (b) Jaký je okamžitý výkon pružné síly v okamžiku, kdy je pružina stlačena o 0,10 m a tělísko se vzdaluje od rovnovážné polohy? ODST. 7.8 Kinetická energie při vysokých rychlostech 52C. Elektron urazí dráhu 5,1 cm za 0,25 ns. (a) Vyjádřete jeho rychlost v jednotkách rychlosti světla a (b) jeho kinetickou energii v eleklronvoltech. (c) Jak velké chyby v procentech se dopustíme při výpočtu kinetické energie, použijeme-li klasickou formuli namísto relativistické? 53C. Vztah mezi prací a kinetickou energií lze použít pro částice s libovolnou rychlostí. Jakou práci (v clektronvoltech) je třeba vykonat při urychlení elektronu z klidu na rychlost o velikosti (a) 0.500c, (b) 0,990c, (c) 0.999c? 54Ú. Elektron má rychlost o velikosti 0,999c. (a) Jaká je jeho kinetická energie? (b) O kolik procent vzroste jeho kinetická energie, vzroste-li velikost rychlosti o 0,05 %? PRO POČÍTAČ 55Ú. Síla F = (3,00N)/ + (7,00N); + (7,00N)k působí na těleso o hmotnosti 2,00 kg, které se posune z počáteční polohv d\ = (3,00m)i - (2,00m)j + (5,00m)k do koncové polohy df = -(5,00m)ř + (4,00 m); + (7,00m)fr za dobu 4,00s. Určete (a) práci síly F v uvedeném časovém intervalu, (b) její průměrný výkon v tomto intervalu a (c) úhel mezi vektory d\ a df.