13 Horolezectví může být vaší— doslova — poslední praktickou zkouškou z fyziky. Pád může znamenat smrt a i mírné zaváhání může způsobit vážné zranění. Např. lezete-li dlouhým „komínem", máte ramena zapřena o jednu stěnu široké svislé pukliny a chodidla o její druhou stěnu. Občas však musíte odpočívat, jinak spadnete vyčerpáním. Otázka zní: Jak se můžete uvolnit, abyste si odpočinuli? Budete-li odpočívat bez uvážení fyzikálních zákonů, stěny vás neudrží. Tedy — jaká je odpověď na tuto otázku života a smrti ( 330 kapitola 13 rovnováha a pružnost 13.1 ROVNOVÁHA Uvažujme několik těles: (1) kniha ležící na stole, (2) hokejový puk klouzající se zanedbatelným třením po ledě stálou rychlostí, (3) lopatky stropního větráku otáčející se stálou rychlostí a (4) kolo automobilu, jedoucího po rovné cestě stálou rychlostí. Pro každý z těchto případů platí (pozorováno zc Země, kterou v celé kapitole bereme za inerciální systém): 1. Celková hybnost P tělesa jc konstantní. 2. Celkový moment hybnosti L tělesa je konstantní. Říkáme, že taková tělesa jsou v rovnováze. Podmínky rovnováhy tedy jsou P = konst. a L = konst. (13.1) V této kapitole se zaměříme na případy, kdy v naší inerciální soustavě jsou konstanty v rov. (13.1) nulové. To znamená, že sledovaná tělesa se vůči Zemi žádným způsobem nepohybují — neposouvají ani neotáčejí. Jsou tedy v klidu vůči zvolené inerciální soustavě, ve které je popisujeme; rovnoměrný posuv lze vždy vhodnou volbou inerciální soustavy odstranit, otáčení nikoliv. Taková tělesa jsou ve statické rovnováze. Ze čtyř těles uvedených na začátku tohoto odstavce je ve statické rovnováze pouze jedno — kniha ležící na stole. Nebezpečně vyhlížející kámen — viklan — z obr. 13.1 je též příkladem tělesa, které je ve statické rovnováze — Obr. 13.1 Viklan u národního parku Zkamenělý les v Arizoně. I když jeho podložka vypadá podezřele, je kámen ve statické rovnováze. alespoň prozatím. Sdílí tuto vlastnost s nesčetnými dalšími objekty, jakými jsou katedrály, domy, čerpací stanice nebo budky v poli, které zůstávají na místě v průběhu času. Jestliže se těleso vrátí do své rovnovážné polohy poté, co z ní bylo vychýleno, říkáme (viz čl. 8.5), že je ve stálé neboli stabilní rovnováze. Příkladem jc kulička na dně důlku. Naopak, jestliže malá síla nevratně vychýlí těleso ze statické rovnovážné polohy, označujeme rovnováhu za vratkou neboli labilní. Mírou stability polohy je práce, kterou je nutno vynaložit, aby těleso nevratně změnilo svou polohu za jinou, zpravidla stabilnější. (A pro úplnost připomeňme z čl. 8.5 i rovnováhu volnou neboli indiferentní.) Předpokládejme např., že vychýlíme dominovou kostku tak, jak je naznačeno v obr. 13.2a. Těžiště kostky leží přímo nad hranou, kolem které se kostka může otáčet a o kterou se opírá. Moment M její tíhové síly G vůči této hraně je zřejmě nulový, protože přímka, podél které síla G působí, prochází podpůrnou hranou. Nenutí tedy dominovou kostku konat rotační pohyb a kostka je ve statické rovnováze. Ovšem sebemenší náhodná síla rovnováhu poruší, protože posune těžnici (přímku, podél které síla G působí) mimo podpůrnou hranu (obr. 13.2b) a její moment pak bude otáčet dominovou kostku víc a víc. Statická rovnováha kostky znázorněná na obr. 13.2a je labilní (vratká). Dominová kostka na obr. 13.2c již není tak nestabilní. Aby se kostka převrátila, musí na ni zapůsobit síla, která ji převalí přes rovnovážnou polohu znázorněnou na obr. 13.2a, kdy těžiště kostky leží přesně nad hranou otáčení. Slabá síla kostku nepřevrátí, ale silnější cvrnknutí prstem již ano. (Sestavíme-li z takto postavených dominových kostek řetězec, cvrnknutí na první kostku může způsobit postupný pád celého řetězce — „dominový efekt".) hrana otáčení (a) (b) (c) (ď) Obr. 13.2 (a) Dominová kostka vyvážená na hraně, těžiště leží přesně nad hranou. Těžnice (přímka, ve které tíhová síla G na kostku působí) prochází hranou otáčení, (b) Když je dominová kostka vychýlena i nepatrně za rovnovážnou polohu, vytvoří síla G moment, který zrychleně otáčí kostku dál. (c) Dominová kostka stojící na úzké stěně je o něco stabilnější než kostka v poloze (a), (d) Krychlová kostka je ještě stabilnější. 13.2 podmínky rovnováhy 331 rov. (9.28) platí Obr. 13.3 Dělník balancující nad New Yorkem je ve statické rovnováze, jeho rovnováha ve směru nosníku je však stabilnější než ve směru kolmém na nosník. Dětská kostka z obr. 13.2d je ještě stabilnější, protože její těžiště je nutno ještě více zdvihnout, aby přešlo přes hranu otáčení. Cvrnknutí prstem kostku nepřevrátí. Dělník z obr. 13.3 má vlastnosti jak dominové kostky, tak kostky čtvercového průřezu: podél nosníku je široce rozkročen a jeho postavení je stabilní, příčně na nosníku spočívá úzkou částí chodidel, takže jeho postavení je v tomto směru podstatně ménč stabilní (je vydán na milost náhodnému závanu větru). Analýza statické rovnováhy je velmi důležitá v inženýrské praxi. Konstruktér musí nalézt a určit všechny vnější síly a momenty sil, které mohou působit na navrhované dílo a zaručit vhodným konstrukčním návrhem a volbou materiálů, že jim vytvořené dílo odolá. Taková analýza je nezbytná, aby se např. zajistilo, žc se most nezřítí vlivem dopravního ruchu či poryvem včtru nebo že podvozek letadla vydrží prudké nárazy při tvrdých přistáních. 13.2 PODMÍNKY ROVNOVÁHY Posuvný (translační) pohyb tělesa se řídí větou o hybnosti neboli první impulzovou větou, která vyjadřuje pro těleso totéž, co druhý Newtonův zákon pro hmotný bod. Podle (13.2) Když je těleso v rovnováze pro posuvný pohyb, tj. když je P konstantní, pak je dP/dř = 0 a platí Fext = 0 (rovnováha sil). (13.3) Otáčivý (rotační) pohyb tělesa se řídí větou o momentu hybnosti neboli druhou impulzovou větou, která vyjadřuje pro otáčení to, co předchozí rovnice pro posuvný pohyb. Podle rov. (12.37) platí dl dí' (13.4) Když je těleso v rovnováze pro otáčivý pohyb, tj. když je L konstantní, pak di/dí = 0 a platí Mex( = 0 (rovnováha momentů sil). (13.5) Z uvedeného plynou dvě podmínky rovnováhy tělesa, kladené na vnější síly: V rovnováze musí být roven nule 1. vektorový součet všech vnějších sil působících na těleso, 2. vektorový součet všech momentů vnějších sil působících na těleso. Tyto podmínky platí jak pro statickou rovnováhu, tak i pro obecnější případ rovnováhy, kdy P a Z. jsou konstantní, ale ne nulové. (Je dobré připomenout, že každý moment M; každé síly F, obecně závisí na poloze bodu B, vůči němuž moment počítáme. Je-li však F, = 0, pak £ M, na volbě B nezávisí.) Rov. (13.3) a (13.5) jakožto vektorové rovnice odpovídají každá třem nezávislým rovnicím pro jednotlivé souřadnice: Rovnováha sil E^ = ° Rovnováha momentů sil J2 M* -0 £>,=(> (13.6) Pro jednoduchost jsme v posledních rovnicích vypustili index ext, který v předcházejících rovnicích zdůrazňoval, 332 kapitola 13 rovnováha a pružnost že se jedná o vnější (externí) síly a vnější momenty sil působící na těleso. Problém si zjednodušíme tím, že budeme uvažovat pouze případy, kdy síly působící na těleso leží v rovině xy. To znamená, že momenty sil mohou vyvolávat pouze otáčení kolem osy rovnoběžné s osou z. Tímto předpokladem vyloučíme jednu rovnici pro složky sil a dvě rovnice pro složky momentů sil ze soustavy rovnic (13.6). Zbývají rovnice ]T Fx - 0 (rovnováha sil), (13.7) ^Fv=() (rovnováha sil), (13.8) Mz = 0 (rovnováha momentů sil). (13.9) Zde Fx a Fy jsou x-ové, resp. y-ové složky vnějších sil působících na těleso a M- je moment vnějších sil způsobující otáčení tělesa kolem osy z nebo kolem libovolné osy s ní rovnoběžné. Hokejový puk klouzající stálou rychlostí po ledě splňuje rov. (13.7) až (13.9), a je tedy v rovnováze (dokonce i když rotuje), ale nikoli ve statické. Pro dosažení podmínek statické rovnováhy musí být hybnost puku P dokonce nulová; puk musí na ledě klidně ležet. Tak můžeme vyjádřit další podmínky statické rovnováhy kladené na okamžitý stav tělesa: Ve statické rovnováze musí být také rovny nule 3. úhrnná hybnost P tělesa, 4. úhrnný moment hybnosti L tělesa. J^ONTROLA 1: Na obrázku je pohled shora na šest homogenních tyčí, na které kolmo působí různé soustavy dvou a více sil. V kterých případech lze při správně volených nenulových velikostech sil dosáhnout statické rovnováhy? t i i (7» (c) í—r t U.'i (e) (f) 13.3 TEZISTE; STRED HMOTNOSTI Nyní rozebereme dva velmi blízké pojmy — stred hmotnosti a těžiště. Ukážeme si, v čem se liší i proč v praxi obvykle splývají. (Termín „těžiště" je běžný i v ho\ oiv\ e češtině, zatímco „střed hmotnosti" je výhradně odborný termín. V angličtině je však „center of mass" obvyklý i v hovorovém stylu.) Střed hmotnosti Střed hmotnosti (SH) soustavy neboli hmotný střed je jednoznačně určen rozložením hmotnosti v soustavě a fakticky jsme ho již studovali v čl. 9.2. SH jediné částice splývá s její polohou: rgjj = **i • SH soustavy dvou stejných částic leží uprostřed mezi nimi: rsn = \(r\ + rí)- Analogicky je tomu u soustavy N stejných částic: tsh = Ei ri/N, což můžeme zapsat i jako tsh = Ei ri/Ei !• Jedničky, které sčítáme ve jmenovateli, nám ukazují, že všechny částice bereme se stejnou vahou. K odvození středu hmotnosti A co když mají částice různé hmotnosti? Představme si nejprve soustavu dvou částic, kde druhá je dvakrát těžší než první: mi — 2m \. S takovou soustavou je zřejmě ekvivalentní soustava tří stejných částic, kde m\ = m'2 = m'^ — = m\ a r'i = r\, r'i — r'3 = n podle obrázku. Snadno tedy najdeme její střed hmotnosti: fSH El 1 1 + 1 + 1 ' To můžeme zapsat sugeslivněji: m\ r[ + 2r'~, nx\r\ + 2m\r'2 m\r\ + nijTi m\ 1 + 2 m 1 + »22 Tento vzorec lze snadno zobecnit na N různých částic: Ei miri _ J_ Ei m< m Effl" (13.10) kde m = Ei m> značí celkovou hmotnost soustavy. Dostali jsme týž vzorec, který jsme používali v rov. (9.8) pro těžiště. Nepoužili jsme přitom žádné jiné veličiny než \ nitřní parametry N, m,, m, r, soustavy. 13.3 těžiště; strľd hmotnosti 333 ;in,g, xT (a) (b) Obr. 13.4 (a) Na element tělesa o hmotnosti m, působí tíhová síla nijg, a vytváří vůči počátku O soustavy souřadnic moment s ramenem rovným souřadnici (b) Výsledná tíhová síla G působí v těžišti T tělesa. Její rameno vzhledem k počátku O je rovno xj■ Těžiště Uvažujme nyní tuhé těleso (tj. soustavu částic, které mají navzájem neproměnné vzdálenosti) nacházející se ve vnějším silovém poli F(r). Na jeho /'-tou částici působí tedy síla F(ľj) = Fj. Příkladem může být nepravidelný kámen v tíhovém poli Země. Chceme nyní nahradit silové působení na jednotlivé částice tělesa jedinou silou G působící v jistém bodě — těžišti T. Nahrazení znamená, že kdybychom mohli vypnout působení tíhového pole na jednotlivé částice tělesa a místo něj zapnuli tíhovou sílu v těžišti, celkové silové a momentové působení na těleso by se nezměnilo. Doposud jsme tvrdili, že tíhová síla G působí ve středu hmotnosti (SH) tělesa, že tedy těžiště splývá se středem hmotnosti tělesa. Ukážeme nyní, že toto tvrzení je správné, když. tíhové zrychlení g je v celém tělese konstantní. Obr. 13.4a ukazuje tčlcso hmotnosti m s vyznačenou ŕ-tou částicí hmotnosti w,-. Na každou takovou částici působí tíhová síla m/gi, kde g, je tíhové zrychlení v místě, kde se částice nachází. Každá tíhová síla m,-g,- vytváří vůči ose, která prochází počátkem O soustavy souřadnic kolmo k obrázku, moment síly Mj, který dle rov. (11.32) má velikost Mi = Xiinigi, kde Xj je rameno r±_ síly m,g;. Velikost výsledného momentu Mv od všech částic je pak £M<- = E*< m,gi (13.11) Obr. 13.4b ukazuje tíhovou sílu G působící v těžišti T tělesa. Dle rov. (11.32) velikost momentu síly vyvolaného silou G vůči ose procházející počátkem je M =xTG, (13.12) i S #5 T T ns (a) (b) (c) Obr. 13.5 Těleso volně otočné kolem podpěrného bodu S se bude otáčet tak dlouho, dokud těžiště nezaujme polohu svisle pod bodem S, jako je tomu v případech (a) a (b). Výjimkou jc jenom případ (c), kdy bod S leží právě v těžišti. kde Xt je rameno síly G. Síla G je rovna součtu tíhových sil w,g, působících na jeho elementy. Když nyní do rov. (13.12) dosadíme ^ m/g,- za G, můžeme psát M (13.13) Těžiště jsme zavedli jako bod, vůči němuž je moment M výsledné tíhové síly G stejný jako součet Mv všech momentů Mi sil G; působících na částice tělesa. Je tedy M z rov. (13.13) stejné jako Mv z rov. (13.11) a můžeme psát (13.14) Je-li tedy g konstantní, jsou všechna stejná, můžeme je ze součtů na obou stranách rov. (13.14) vytknout a pak zkrátit. Dosadíme-li ještě na levé straně rov. (13.14) za Ylmi úhrnnou hmotnost tělesa m a touto hmotností vydělíme pravou stranu rovnice, dostaneme XT ni ' J (13.15) Porovnáním s rov. (13.10) vidíme, že pravá strana (13.15) dává souřadnici xsh středu hmotnosti. Můžeme tedy napsat xsh = xT. (13.16) Střed hmotnosti tělesa a jeho těžiště mají stejnou souřadnici x. Tento výsledek můžeme rozšířit na všechny tři souřadnice použitím vektorového vyjádření momentů sil. Výsledek zní: Těžiště splývá se středem hmotnosti tělesa, jestliže tíhové zrychlení je stejné ve všech bodech tělesa. Jednoslovné a stručné označení „těžiště", umožňující pohodlné odvozeniny typu „těžišťový vztažný systém", se 334 kapitola 13 rovnováha a pružnost proto běžně používá též jako synonymum pro delší a dvoj-slovný termín „střed hmotnosti". (V této knize tak činíme všude.) Z rov. (13.12) plyne, že moment síly vyvolaný tíhovou silou tělesa je nulový pouze tehdy, když rameno síly xj je nulové. Je-li těleso podepřeno v nějakém bodu S, kolem kterého sc může otáčet, otáčí se (vlivem momentu síly M — xjG vzhledem k S) tak dlouho, dokud rameno síly xj není nulové. Těžiště tělesa pak leží svisle pod bodem podepření, jak je naznačeno na obr. 13.5a, b, a těleso je ve stálé rovnováze. Když je těleso podepřeno v těžišti jako na obr. 13.5c, potom pro jakékoliv natočení tčlesajexr nulové a těleso je v rovnováze volné. „Těžiště" v nehomogenním poli Co se změní, když silové pole F(r) není homogenní? I v takovém případě bychom mohli — při každé konkrétní poloze tělesa v poli — zavést „tíhovou sílu" a „těžiště" tak, aby tato tíhová síla byla součtem dílčích sil a celkový moment dílčích sil by byl roven nule. Přesněji řečeno, našli bychom takto těžnici, tj. přímku (se směrem daným výslednou silou), na níž by leželo těžiště. Problém je v tom, že pro různé polohy tělesa se těžnice v nehomogenním poli nemusejí protínat, a v tělese tedy neexistuje těžiště jakožto univerzální bod, do něhož bychom mohli pro zjednodušení „stáhnout" veškerou hmotu tělesa. Pro každou konkrétní polohu tělesa je vždy nutno určit znovu jak výslednou tíhovou sílu, tak i její působiště („těžiště"). Není pravděpodobné, že bychom kdy vyšetřovali v tíhovém poli zemském těleso tak rozlehlé, abychom museli započíst nehomogenitu tíhového pole. Nebudeme také asi nikdy měřit natolik přesně, abychom museli zahrnout ne-homogennost tíhového pole v rámci běžných předmětů. Je třeba si uvědomit, že např. odstředivá síla, kterou uplatníme při zkoumám v otáčejícím se systému, roste se vzdáleností od osy otáčení: F — ma>2r, a pole odstředivé síly je tedy výrazně nehomogenní. V nehomogenním poli, a tedy i při studiu kývání či otáčení nemůžeme tuhé těleso nahradit hmotným bodem v jeho středu hmotnosti. 13.4 PRÍKLADY STATICKÉ ROVNOVÁHY V tomto odstavci budeme řešit šest příkladů na statickou rovnováhu. V každém vybereme systém o jednom či více objektech, na které aplikujeme rovnice rovnováhy Michel Menin kráčí po laně napjatém ve výši 3 150 m nad francouzskou zemědělskou krajinou. Svou polohu stabilizuje těžkou ohnutou tyčí, která sníží těžiště systému Menin+tyč do blízkosti lana, a umožní mu tak čelit závanům větru. (rov. (13.7) až (13.9)). Ve všech příkladech budeme uvažovat jen síly působící v rovině xy, které vůči počátku soustavy souřadnic vytvářejí moment síly mířící ve směru osy z. Ve smyslu rov. (13.9) vyjadřující rovnováhu momentů vybereme osu rovnoběžnou s osou z, vůči které budeme počítat momenty sil. I když je rov. (13.9) splněna pro jakoukoliv volbu takové osy, ukážeme si, že vhodnou volbou osy můžeme vyloučit jednu či více neznámých sil, čímž se použití rov. (13.9) zjednoduší. PRÍKLAD 13.1 Homogenní nosník délky d a hmotnosti m, = 1,8 kg spočívá svými konci na dvou digitálních siloměrech, jak je naznačeno v obr. 13.6a. Homogenní kvádr hmotnosti = 2,1 kg leží na nosníku, přičemž jeho střed leží ve vzdálenosti \d od levého konce nosníku. Jaké síly ukáží siloměry? Náš systém bude tvořit nosník a kvádr. Obr. 13.6b je diagram systému, který uvažujeme jako volný, s vyznačením všech sil na něj působících. Siloměry podpírají levý a pravý konec nosníku silami F\ a Fp. Velikosti těchto sil odečteme na siloměrech. Na nosník působí tíhová síla mag svisle dolů v jeho středu. Podobně na kvádrpůsobí tíhová síla m^g svisle dolů v jeho středu. V diagramu na obr. 13.6b je kvádr reprezentován pouze tečkou uvnitř schématu nosníku a vektor m^g je znázorněn jako vycházející z této tečky. (Při překreslování obr. 13.6a do obr. 13.6b je vektor m^g posunut podél přímky, ve které působí. Takové posunutí nezmění ani velikost síly m\g, ani velikost momentu sil, který tato síla vytváří vůči kterékoliv ose.) Náš systém je ve statické rovnováze, takže musí být splněny jak rovnice rovnováhy sil rov. (13.7) a (13.8), tak i rov- 13.4 příklady statické rovnováhy 335 nice rovnováhy momentů sil (13.9). Zadaný příklad budeme řešit dvojím způsobem. PRVNÍ ŘEŠENÍ: Síly nemají žádné x-ové složky, takže rov. (13.7) JI ľx = 0 jc splněna automaticky, aniž poskytne nějaké informace. Rov. (13.8) dá pro velikosti y-ových složek sil podmínku mng - myg 0. (13.17) V rovnici vystupují dvě neznámé síly (F\ a Fp), ale nemůžeme je obě urěit z této jediné rovnice. Máme však po ruce ještě jednu rovnici, totiž rov. (13.9), která vyjadřuje rovnováhu momentů sil. Momenty sil v rov. (13.9) můžeme vyjádřit vůči libovolné ose kolmé krovině obr. 13.6. Zvolíme osu procházející levým koncem nosníku. Za kladné budeme pokládat ty momenty sil, které — působí-li samostatně — vyvolají kolem zvolené osy otáčení proti směru hodinových ručiček. Z rov. (13.9) potom plyne odkud (Fi)(0) - (mígK\d) -- (mng)(id) + (Fp)(á) = 0, FP = (|g)(2mn + mk) = = i(9,8m-S-2)(2- 1,8 kg+ 2,7 kg) = = 15N. (Odpověď) (13.18) Všimněte si: tím, že jsme zvolili osu procházející působištěm jedné z neznámých sil (F|), jsme tuto sílu vyloučili z rov. (13.9), a tím umožnili přímo z ní vypočítat druhou z neznámých sil. Vhodná volba osy zjednoduší řešení problému. Neznámou sílu F\ pak určíme z rov. (13.17), když do ní dosadíme již známé hodnoty: F\ = (mk + m„)g - Fp = = (2,7kg+ l,8kg)(9,8m-s^2) - (15 N) = = 29N. (Odpověd) DRUHÉ ŘEŠENÍ: Pro kontrolu vyřešíme příklad ještě pro jinou volbu osy. Když jsme zvolili osu procházející levým koncem nosníku, dostali jsme rov. (13.18) a velikost síly Fp = = 15 N. Pro osu procházející pravým koncem nosníku rov. (13.9) dává yJMz = -{Fl){d) + {míg){\d) + + (mng)(}d) + (Fp)(Q)=0. Když tuto rovnici řešíme pro F\, dostaneme F, = (±g)(2mn + 3mk) = = i(9:8m-s-2)(2- 1,8 kg+ 3-2,7 kg) = = 29 N, (Odpověď) což je ve shodě s naším předcházejícím výsledkem. Všimněte si ještě, že délka nosníku nevystupuje v poslední rovnici přímo, ale jen prostřednictvím toho, jak ovlivňuje hmotnost nosníku. Všimněte si také, že podmínku rovnováhy sil nepotřebujeme, když podmínku rovnováhy momentů sil užijeme pro dvě různé osy. hranice systému -v. u—.—.---d------ I kvádr nosník I ir- siloměr 4 F\ siloměr (a) kvádr mí9 nosník >nng (/') Obr. 13.6 Příklad 13.1. (a) Nosník hmotnosti m„ nese kvádr o hmotnosti m^. Hranice systému je vyznačena, (b) Diagram systému, který uvažujeme jako volný, ukazuje síly působící na systém nosník + kvádr. ]£ONTROLA 2: Na obrázku je pohled shora na homogenní tyč, která je ve statické rovnováze, (a) Můžete najít velikosti neznámých sil F\ a Fi pouze z podmínky rovnováhy sil? (b) Chcete-li určit velikost síly Fi použitím jediné rovnice, kam musíte umístit osu otáčení? (c) Ukáže se, že velikost síly F2 je 65 N. Jaká je pak velikost síly F\ ? 20N 4d- 30 N 336 kapitola 13 rovnováha a pružnost PŘIKLAD 13.2 Kuželkář drží v ruce kouli o hmotnosti m% = 7,2 kg. Jak ukazuje obr. 13.7a, vrchní část jeho ruky (paže) je ve svislé, spodní část (předloktí) ve vodorovné poloze. Jakou silou v tomto případě musí působit biceps a jeho úpony na předloktí? Předloktí má hmotnost m = 1,8 kg; předpokládané rozměry jsou vyznačeny na obr. 13.7a. ŘEŠENI: Naším systémem je předloktí spolu s koulí. Na obr. 13.7b je znázorněn silový diagram systému. (Koule je znázorněna tečkou uvnitř hranic sehémalu předloktí; tíhová síla m^g má své působiště umístěno do této tečky. Při překreslování obr. 13.7a do diagramu na obr. 13.7b byl vektor m\g posunut podél přímky, ve které působí. Takové posunutí nezmění ani velikost síly m.\g, ani velikost momentu sil, který' tato síla vytváří vůči kterékoliv ose.) Neznámé síly jsou síla 7", kterou působí biceps, a síla F, kterou působí kost paže v loketním kloubu na kost předloktí. Všechny síly působí svisle. Z rov. (13.8), která říká Fy — 0, dostáváme j^Fy = T - F-mg-mtg = 0. (13.19) Užijeme momentovou rovnici (13.9). Proložíme osu otáčení loketním kloubem (bod O) kolmo k rovině obrázku, momenty sil vyvolávající rotaci proti směru otáčení hodinových ručiček budeme pokládat za kladné a dostaneme Y^Mz = (F)(0) + (T)(d)- -ímg)(D) - (mkg)(fl) =0. (13.20) Volbou osy procházející bodem O jsme vyloučili neznámou F z rov. (13.20). Z rovnice vypočítáme T: m D + m\a d (9,8m-s_i) (l,8kg)(15cm) + (7,2 kg) (33 cm) (4.0 cm) 648 N = 650 N. (Odpověd) Biceps musí držet předloktí silou, která je přibližně devětkrát větší než tíha koule; držet těžkou kouli způsobem znázorněným na obr. 13.7a je obtížné. Z rov. (13.19) po dosazení již známých hodnot dostaneme pro F vyjádření F = T - g(mk + m) — = (648N) - (9,8m.s~2)(7:2kg+ l,8kg) = = 560 N. (Odpověď) Síla F je přibližně osmkrát větší než tíha koule. hranice systému —i biceps — -" loketní kloub — 4,0cm 15 cm -33cm - teziste -— předloktí (a) d-zí AT předloktí koule ,---D---» (b) Obr. 13.7 Příklad 13.2 (a) Ruka drží kuželkovou kouli. Hranice systému je vyznačena, (b) Diagram systému předloktí+koule ukazuje působící síly, když pokládáme systém za volný. Vektory nejsou znázorněny ve stejném měřítku; síla T přenášená bicepsem a síla F působící na loketní kloub jsou mnohonásobně větší než ostatní síly. PŘIKLAD 13.3 Žebřík o délce d = 12 m a hmotnosti m = 45 kg je opřen o stěnu ve výšce h = 9,3 m, jak je naznačeno na obr. 13.8a. Těžiště žebříku je v jedné třetině jeho výšky. Hasič o hmotnosti rah = 72 kg vyšplhá po žebříku tak vysoko, že jeho těžiště leží v polovině výšky žebříku. Předpokládejte, že tření mezi žebříkem a stěnou je zanedbatelné a opření žebříku o podlahu je pevné. Jaké síly působí na žebřík od stěny a od podlahy? ŘEŠENI: Na obr. 13.8b je znázorněn diagram systému hasič-{-žebřík, když jej pokládáme za volný. (Hasič je znázorněn tečkou uvnitř hranic schématu žebříku; vektor tíhové síly m^g má počátek v místě tečky. Při překreslování obr. 13.8a do obr. 13.8b byl vektor m\xg posunut podél přímky, ve které působí. Posunutí nezmění ani velikost síly m^g, ani velikost momentu sil, který tato síla vytváří vůči kterékoliv ose.) Stěna působí na žebřík vodorovnou silou Fs. Síla nemůže mít žádnou svislou složku, protože předpokládáme, že mezi stěnou a žebříkem nevzniká tření. Podlaha působí na žeb- 13.4 příklady statické rovnováhy 337 bez tření Obr. 13.8 Příklady 13.3 a 13.4. (a) Hasič vyšplhá do poloviny výšky žebříku, který je opřen o hladkou stěnu (mezi žebříkem a stěnou nepůsobí tření). Tření mezi podlahou a žebříkem zabrání podklouznutí žebříku, (b) Silový diagram systému, který pokládáme za volný, ukazuje síly působící na systém hasič + žebřík. Počátek O soustavy souřadnic je volen v místě, kde působí neznámá síla Fg (její složky Fgx a Fgí jsou v diagramu vyznačeny). Taková volba usnadní nalezení další neznámé síly Fs. řík silou Fg, která má vodorovnou složku Fgx (vzhledem k pevnému opření — dostatečně velké tření mezi podlahou a žebříkem nebo zapíchnutí žebříku do země) a svislou složku Fgy (obvyklá normálová síla). Jak je ukázáno v diagramu, zvolíme soustavu souřadnic s počátkem O v místě, kde je žebřík opřen o podlahu. Vzdálenost a od stěny k patě žebříku vypočteme jako odvěsnu v pravoúhlém trojúhelníku: a = s/d2 - h1 = 7(12 m)2 - (9,3 m)2 = 7,58 m. Z rovnic rovnováhy složek sil (13.7) a (13.8) dostaneme pro náš systém rovnice = Fs-/yv=0 (13.21) a Fy = F„ - mhg - mg = 0. (13.22) Rov. (13.22) dává Fgy = 8(mb+m) = (9,8m-s~2)(72kg + 45kg) = = 1 146.6 N = 1 100 N. (Odpověď) Pro výpočet rovnováhy momentů sil zvolíme osu procházející počátkem O kolmo na rovinu obrázku. Ramena sil Fs, m^g, mg, FgX a Fgy vůči zvolené ose jsou postupně h, \a, ^a, 0 a 0. Nulová ramena sil Fgx a Fgv způsobí, že tyto síly mají nulový moment vůči zvolené ose. Z rovnice rovnováhy momentů sil (13.9) potom plyne ]T Mz = -(Fúh + (mhg)(ia) + (mg)(ja) = 0. (13.23) Řešením rov. (13.23) dostaneme pro Fs vyjádření _ gfl(gwh + |w) _ _ (9.8m-s-2)(7,58m)(36kg+15kg) _ (9.3 m) ~ = 407 N = 410 N. (Odpověď) Zrov. (13.21) potom ještě dostaneme Fgx = Fs = 410N. (Odpověď) PŘÍKLAD 13.4 Nechť v př. 13.3 má statický činitel tření /s mezi žebříkem a podlahou hodnotu 0,53. Na jakou část 0 5; q 5 1 žebříku může hasič vylézt, než žebřík začne podklouzávat? ŘEŠENI: Síly mají stejná označení jako na obr. 13.8. Nechť qd je délka, kam může po žebříku hasič vylézt, než žebřík začne podklouzávat (jeho vodorovná vzdálenost od počátku O je pak qa). V okamžiku podklouznutí je splněna rovnice Fgx = fsFgy, (13.24) ve které je Fgx statická síla tření (obvykle značená Fs) a Fgy je normálová síla (obvykle značená N). Použijeme-li rov. (13.9) vyjadřující rovnováhu momentů a volíme-li osu procházející počátkem O, dostaneme v okamžiku podklouznutí rovnici YsM; = -(Fs)(h) + (mhg)(qa) + {mg)(\á) = 0, odkud Fs = Y^m+m^l'>- (13-25) Rovnice ukazuje toto: jak hasič stoupá po žebříku, tj. jak roste q, tak musí vzrůstat i síla Fs, kterou působí stěna na žebřík, aby byla dosažena rovnováha. Abychom našli hledanou hodnotu q v okamžiku podklouznutí, musíme nejprve nalézt, jaká bude v tomto okamžiku síla Fs. Rov. (13.7) pro rovnováhu .v-ových složek sil dává J2FX = FS-Fgx=0. Porovnáme-li tuto rovnici s rov. (13.24), dostaneme, že v okamžiku podklouznutí /. = Fgt = /:/',.- (13.26) 338 kapitola 13 rovnováha a pružnost Z rov. (13.8) pro rovnováhu y-ových složek sil dostáváme Yl Fy ~ Fsy ~ mhg ~ mg = °- odkud Fgy = (mh + m)g. (13.27) Porovnáme-li rovnice (13.26) a (13.27), dostaneme = fsg(mh+m), (13.28) Jestliže nakonec porovnáme rov. (13.25) a (13.28) a řešíme je pro q, dostaneme a m h im h _ (0,53)(9,3m) (72kg+ 45kg) _ (45kg) _ (7.6 m) (72 kg) 3(72 kg) ~ = 0,85. (Odpověd) Hasič může vylézt do 85 % délky žebříku, než začne žebřík podklouzávat. Z rov. (13.29) můžete dále vyčíst, že hasič může vylézt až na konec žebříku (tomu odpovídá q = 1), aniž žebřík podklouzne, pokud činitel tření /s > 0,61. Na druhé straně žebřík podklouzne už vlastní vahou (q = 0), když činitel tření /s < 0,11. Příklad lze vyřešil jednodušeji, zvolíme-li za počátek souřadnic místo dotyku žebříku o stěnu. J^ONTROLA 3: Tyč ACo hmotnosti 5 kg, znázorněná na připojeném obrázku, je držena v klidu jednak silou T přenášenou přes provaz ad, jednak silou tření mezi stěnou a tyčí. Homogenní tyč je dlouhá 1 m a úhel, který svírá provaz s tyčí, činí 6 = 30°. (a) Do kterého z označených bodů musíte umístit osu, vůči níž budete počítat momenty sil, máte-li jedinou rovnicí najít sílu 7", kterou na tyč působí provaz? S takto zvolenou osou určete, jaká znaménka budou mít (b) moment síly Mt, způsobený tíhou tyče, a (c) moment síly mp, kterým na tyč působí provaz, když budete pokládat momenty sil působící proti směru otáčení hodinových ručiček za kladné, (d) Je Mp větší, menší, nebo stejně velké jako I_I3E A B PŘÍKLAD 13.5 Obr. 13.9a zobrazuje trezor o hmotnosti mt = 430 kg, který je provazem přivázán k nosníku s rozměry a = 1.9 m a b — = 2,5 m. Homogenní trámek nosníku má hmotnost m = = 85 kg, hmotnost vodorovného lana je zanedbatelná. (a) Jak velkou silou T je napínáno lano? Obr. 13.9 Příklad 13.5. (a) Trezor je zavěšen na nosníku, který' sestává z homogenního šikmého trámku a vodorovného ocelového lana. (b) Silový diagram trámku uvažovaného jako volné těleso. Všimněte si, že výslednice sil Fv a Fh nemíří přesně vc směru osy trámku. ŘEŠENÍ: Naobr. 13.9b je silový diagram trámku, který pokládáme za náš systém. Na trámek působí v jeho těžišti tíhová síla mg, v bodě A síla T od lana a síla mtg od provazu (líha trezoru), a konečně v kloubovém závěsu O síla F od slěny s horizontální složkou Fh a vertikální Fn. Použijme rov. (13.9) vyjadřující rovnováhu momentů sil, přičemž osu otáčení necháme procházet kloubovým závěsem (bod O) kolmo k rovině obrázku. Když pokládáme za kladné ty momenty sil, kleré vyvolávají rotaci působící proti směru otáčení hodinových ručiček, dostáváme ^Tmz = (t)(a) - (/»,£)(/)> - (mg)(i/>) = 0. 13.4 příklady statické rovnováhy 339 Chytrou volbou osy jsme z rovnice vyloučili neznámé síly Fh a Fy (nevytváří totiž žádný moment síly vůči zvolené ose) a zbyla nám jen jediná neznámá síla T. Tu z rovnice vypočteme: _ gb(mt + \m) _ a (9.8 m-s-2)(2,5 m)(430kg + 42.5 kg) (l,9m) = 6090N = 6100N. (Odpověd) (b) Najděte složky Fj, a Fv síly, která na trámek působí přes kloubový závěs. ŘEŠENI: Použijeme rovnice rovnováhy sil. Z rov. (13.7) dostaneme Fx = Fh - T = 0, a tedy Fh = T = 6 090 N = 6 100 N. (Odpověď) Z rov. (13.8) dostaneme Fy = Fv - mg - mtg = 0, a tedy Fv = g(m+mt) = (9.8m-s~2)(85kg + 430kg) = = 5 047 N = 5 000 N. (Odpověď) (c) Jakou silou působí kloubový závěs na trámek? ŘEŠENI: Z obrázku vidíme, že = v/(6 090 N)2 + (5 047 N)2 = 7 900 N. (Odpověď) Všimněte si, že síla F je podstatně větší než společná tíha trezoru a trámku (5 000 N) i než napětí ve vodorovném lanu (6100N). (d) Jaký je úhel a mezi osou trámku a směrem působení výsledné síly F, která působí od kloubového závěsu na trámek? ŘEŠENÍ: Z obrázku vidíme, že a (1,9 m) tg6 = - = = 0,760, tedy 0 = 31,2° tg

m91 Obr. Í3.10 Příklad 13.6. Na obrázku jsou znázorněny síly, kleré působí na horolezkyni odpočívající při lezení skalním komínem. Síla, kterou horolezkyně působí na stěny komínu, vede ke zvýšení normálových sil N\, Ni (obě jsou stejně velké), a tím i třecích sil F] aF:. (a) Jakou minimální silou musí horolczkyně působit na stěny, aby nespadla? ŘEŠENÍ: Horizontální síly působící na ramena (Nz) i boty (N[) mají stejnou velikost N, ale opačnou orientaci. Proto je výsledná horizontální síla nulová a rov. (13.7), tj. Fx = 0, je splněna. Tíhová síla působí na horolezkyni svisle dolů. Proli ní působí třecí síly F\ na chodidla a Fi na ramena. Dokud je síla působící na stěny dostatečně velká, ustaví se automaticky rovnováha a je splněna rov. (13.8) (J2 Fy = 0), která dává F\ + F2 — mg. (13.30) a = (p 39,6° - 37,2° = 2,4C. (Odpověd) Předpokládejme, že zpočátku horolezkyně tlačí na stěny velmi silně a potom tlak uvolňuje. Jak uvolňuje tlak, klesá velikost normálové síly N, a spolu s ní klesají i hodnoty součinů f\N a fzN, které limitují velikosti automatického nastavení rovnováhy třecích sil působících na ramena a chodidla horolezkyně a její tíhy (viz rov. (6.1)). Když velikost síly N klesne na hodnotu, kdy součin f\ N je právě roven třecí síle F\ působící na chodidla horolezkyně 340 kapttot.a i 3 rovnováha a pružnost a součin fjN třecí síle F2 působící na její ramena, je horolez-kyně na pokraji podklouznutí na obou místech. Kdyby ještě dále snížila tlak na stěn)', bude součet zmíněných součinů menší než její tíha mg a horolezkyně spadne. Ncjmcnší hodnotu velikosti síly /V, při které ještě nedojde k podklouznuií, tak dostaneme z rovnice fiN + f2N = mg, (13.31) která plyne z rov. (13.30). Jejím řešením dostaneme hledanou hodnotu N mg (55kg)(9.8m-s"2) /i + /2 (1.1+0.70) 299N = 300N. (Odpověď) Minimální síla, kterou horolezkyně musí tlačit na stěny, aby nespadla, je přibližně 300 N. (b) Jaká musí být při této síle vertikální vzdálenost h mezi horolezčinými rameny a chodidly, aby byla ve stabilní rovnováze? ŘEŠENI: Aby byla splněna momentová rov. (13.9), tj. ^2 M r =0, musí mít síly působící na horolezkyni nulový výsledný moment vůči libovolné ose otáčení kolmé k rovině obrázku. Zvolímc-li takovou osu v místě, kde působí síla mezi rameny a stěnou, dostaneme rovnici -Fiw + Nh+mgd = 0. (13.32) Vyřcšíme-li tuto rovnici pro h, dosadíme za F\ hodnotu f\ N, položíme N = 299 N a užijeme ostatní známé hodnoty, dostaneme postupně ^ F\w — mgd f\Nw — mgd , mgd = (l,l)(l,0m) - (55kg)(9,8m-s-2)(0,20m) (299 N) = 0,739m = 0,74m. (Odpověd) Stejný výsledek dostaneme, když zvolíme jakoukoliv jinou osu kolmou k rovině obrázku, např. osu procházející místem působení chodidel na stěnu. (c) Jaké jsou hodnoty třecích sil držících horolezkyni? ŘEŠENÍ: Ze známé hodnoty síly N = 299 N dostaneme F[ = fiN = (1,1)(299N) = = 328.9 N = 330 N (Odpověd) a z rov. (13.30) dále plyne F2 = mg - Fi = (55kg)(9,8m-s~2) - (328.9N) = = 210,1 N = 210N. (Odpověď) (d) Je horolezkyně ve stabilní rovnováze, když působí na stěny stejnou silou (299 N), ale její chodidla jsou výše? Uvažujte případ, kdy h = 0,37 m. ŘEŠENÍ: Z rov. (13.32) pro stejnou volbu osy, stejnou hodnotu síly (299 N) a novou hodnotu výšky h dostáváme pro velikost síly F\ vyjádření N h + mgd (299N)(0,37m) + (55 kg)(9,8m-s-2)(0,20m) (1,0 m) 218N. To je méně než mezní hodnota f\N = 329 N, a sílu tedy lze vyvinout. Dále užijeme rov. (13.30), abychom nalezli hodnotu F2, která vyhoví rovnici rovnováhy sil Fy — 0: F2 = mg - F, = (55 kg)(9,8m-s-2) - (218 N) = 321 N. Tato hodnota přesahuje mezní hodnotu foN = 209 N, a je tedy nemožné ji realizovat tlakem 299 N. Jediný způsob, jak zabránit pádu při hodnotě h = 0,37 m (a též každé jiné hodnotě menší než 0,74 m), jc tlačit na stěnu větší silou než 299 N, a tak zvýšit mezní hodnotu fiN. Podobně je nutno vyvozovat dak na stěny větší než 299 N i v případě, kdy h > 0,74 m. Zde je právě výhoda těch, kteří se seznámí s fyzikou, než začnou lézt komínem. Když potřebujete odpočívat, vyhněte se chybě horolezeckých nováčků, kteří zapřou chodidla buď příliš vysoko nebo příliš nízko. Budete vědět, že existuje optimální svislá vzdálenost mezi rameny a chodidly, která vám dovoluje bezpečně odpočíval s nejmenší silou, kterou se musíte opírat o stěny. Tak můžete odpočívat nejpohodlněji. RADY A NAMETY Bod 13.1: Úlohy na statickou rovnováhu Takové úlohy řešte podle následujících kroků: 1. Nakreslete si náčrtek problému. 2. Zvolte systém, na který budete aplikovat rovnice rovnováhy. Hranice systému vyznačte na náčrtku uzavřenou křivkou, abyste si je dobře zapamatovali. Někdy zvolíte za systém pouze jeden objekt, který chcete mít v rovnováze (jako v př. 13.6 horolezkyni). Jindy je výhodnější zahrnout do systému více objektů. Zjednoduší se tím výpočet. Kdybyste např. v př. 13.3 a 134 zvolili za systém pouze žebřík, museli byste v silovém diagramu (obr. 13.8b) uvažovat i síly, kterými na žebřík působí ruce a nohy hasiče. Tyto další neznáme síly by vám zkomplikovaly výpočet. Systém byl na obr. 13.8 zvolen tak. aby zahrnoval i hasiče, a tím se zmíněné neznámé síly stah vnitřními silami soustavy, které není nutné pro vyřešení př. 13.3 a 13.4 znát. 3. Namalujte diagram, kde považujete systém za volné těleso, tj. nepodrobené vazbám. V diagramu vyznačte všechny 13.5 neúplně určené soustavy 341 síly působící na těleso (nezapomeňte na síly nahrazující vazby, např. na reakci podložky), zřetelně je označte a ujistěte se, že jejich působiště a směry působení jsou správně vyznačeny. Vyznačte v diagramu osy x a y souřadnicového systému. Volte je tak. aby nejméně jedna osa byla rovnoběžná s jednou či více neznámými silami. Síly, které neleží ve směru jedné z os rozložte na složky. Ve všech našich řešených příkladech bylo rozumné volit osu x vodorovně a osu y svisle. 5. Napište pro složky sil ve směru obou os rovnice rovnováhy sil se správným vyznačením symbolů. 6. Vyberte jednu nebo více os otáčení kolmých k rovině obrázku a napište pro ně rovnici rovnováhy momentů, sil. Vyberete-li osu, která prochází působištěm některé z neznámých sil. rovnice se zjednoduší, protože zmíněná neznámá funkce v ní nebude vystupovat. 7. Řešte rovnice algebraicky pro příslušné neznámé. Někteří studenti raději již v léto fázi dosazují hodnoty veličin včetně jejich jednotek. Zkušení řešitelé však dávají přednost algebraickému řešení, protože v něm lépe vynikne závislost řešení na jednotlivých proměnných. - Nakonec do algebraického řešení dosaďte číselné hodnoty s příslušnými jednotkami, abyste dostali číselné hodnoty neznámých veličin. Zamyslete se nad výsledkem — má vůbec smysl? Není výsledek na první pohled příliš velký nebo příliš malý? Má správné znaménko? Odpovídají jednotky veličině, kterou určujeme? 13.5 NEÚPLNĚ URČENÉ SOUSTAVY Pro řešení úloh této kapitoly máme k dispozici pouze tři nezávislé rovnice. Zpravidla lo jsou dvě rovnice rovnováhy pro složky sil ve směru souřadnicových os a jedna rovnice rovnováhy momentů sil kolem osy kolmé k rovině dané souřadnicovými osami užitými v rovnicích rovnováhy sil. Když má úloha více než tři neznámé, nestačí soustava tří rovnic na její řešení. Takové úlohy nemůžeme jednoznačně řešit. Je jednoduché najít takové problémy. Např. v př. 13.3 a 13.4 stačí předpokládat, že tření působí také mezi žebříkem a svislou stěnou. Musíme pak uvažovat také svislou třecí sílu mezi vrchním koncem žebříku a stěnou, čímž počet neznámých stoupne na čtyři. Tyto čtyři neznámé nemůžeme ze tří rovnic jednoznačně určit a úlohu nelze dořešit. Dále můžeme uvažovat nesymetricky zatížené auto. Jaké síly — obecně všechny různé — působí na čtyři pneumatiky? Znovu nemůžeme tyto síly najít, protože máme k dispozici pouze tři nezávislé rovnice. Podobně můžeme řešil problém statické rovnováhy stolu o třech nohách, ale už nc stolu o čtyřech nohách. Takové úlohy, kde je více neznámých než rovnic, označujeme jako neúplně určené. V reálném světě však existují řešení i pro tyto neúplně určené úlohy. Postavíme-li kola aut na čtyři siloměry, každý ukáže nějakou hodnotu síly, přičemž součet těchto hodnot dá tíhu auta. Co nám brání v řešení problému nalézt hodnoty údajů na jednotlivých siloměrech početně? Každý takový rozpor naznačuje, že původně zvolený model není dosl dobrý pro úlohu, kterou právě řešíme. Zde jsme např. předpokládali — aniž jsme to zvláště zdůraznili — že tělesa, na která jsme aplikovali rovnice statické rovnováhy, jsou dokonale tuhá. To znamená, že se vůbec nedeformují, když na ně působí síly. Skutečná tělesa však tuhá nejsou. Např. pneumatiky vozu se po jeho zatížení snadno deformují, dokud nenastane statická rovnováha. Všichni máme zkušenosti s viklajícím se restauračním stolem, jehož jednu nohu podložíme několikrát přeloženým kouskem papíru, abychom viklání odstranili. Můžeme si představit, že kdyby si dostatečně těžké slůně sedlo na takový stůl a on se pod ním nerozpadl, zdeformuje se stůl (i podlaha) tak, že se nakonec všechny čtyři nohy dotknou podlahy. Síly podpírající nohy dosáhnou zcela určitých hodnot (obecně pro každou nohu jinou hodnotu) a stůl se přestane viklat (obr. 13.11). Jak ale najdeme jejich velikosti? Abychom vyřešili luto zatím neúplně určenou úlohu, musíme doplnit rovnice rovnováhy jistými poznatky z teo- »J 4> i Obr. 13.11 Stůl je neúplně určená soustava. Čtyři síly působící na jeho nohy jsou různě velké a nemohou být určeny pouze z rovnic statické rovnováhy. 342 kapitola 13 rovnováha a pružnost rie pružnosti (elasticity), části fyziky a technických věd, která popisuje, jak se reálná tělesa deformují, když na ně působí síly. J^ONTROLA 4: Homogenní vodorovná tyč vážící ION je zavěšena na strop dvěma dráty, které ji drží dvěma silami F\ &Fi. Obrázek ukazuje čtyři uspořádání drátů. Jsou mezi nimi uspořádání, která vedou na neúplně určenou soustavu (tj. takovou soustavu, že nemůžeme určit číselné hodnoty sil F\ a Ft)? (c) (d) 13.6 PRUŽNOST Když se spojí velké množství atomů, aby vytvořilo kus kovu (např. hřebík), uspořádají se zpravidla tak, že jejich rovnovážné polohy vytvoří trojrozměrnou mřížku, tedy pravidelné prostorové uspořádání, ve kterém každý atom má jisté vzdálenosti od svých nejbližších sousedů*. Atomy jsou drženy pohromade meziatomovými silami, které jsou na obr. 13.12 reprezentovány pružinkami. Mřížka je neobyčejně pevná, což jinak řečeno znamená, že mezialomové pružinky jsou velmi tuhé. Z toho důvodu pokládáme mnohé běžné předměty, jako např. kovový žebřík, stůl nebo lžíci, za dokonale tuhé. Ovšem jiné běžné předměty, např. zahradní hadice nebo gumové rukavice, se vůbec jako tuhé nejeví. Molekuly těchto předmětů netvoří pevné mřížky znázorněné na obr. 13.12, ale jsou uspořádány do dlouhých molekulárních řetězců, které jsou vzájemně vázány velmi volně. * Běžné kovové předměty, např. hřebík, jsou tvořeny kovovými zrny, jejichž vnitřní struktura má podobu více méně pravidelné mřížky, jaká je znázorněna na obr. 13.12. Síly působící mezi zrny jsou však podstatně slabší než síly držící pohromadě mřížku. Proto deformace nastává přeuspořádáním zrn a lom probíhá po hranicích zrn, a to výrazně snadněji než „drcení zrn''. Obr. 13.12 Atomy pevných kovových materiálů jsou rozmístěny v trojrozměrné mřížce, kde motiv mřížky se opakuje až k hranicím krystalových zrn. Pružinky představují meziatomové síly. Všechny reálné „pevné" předměty jsou do určité míry pružné. To znamená, že můžeme do určité míry měnit jejich rozměry tahem, jednosměrným tlakem, kroucením či všestranným tlakem. Abychom odhadli řádovou velikost těchto změn, představme si ocelovou tyč délky 1 m a průměru 1 cm, na kterou zavěsíme malé osobní auto. Tyč se protáhne, ale pouze o 0,5 mm neboli o 0,05 %. Po odlehčení se opět zkrátí na svou původní délku. Když zavěsíme na tyč dvě auta, tyč se trvale deformuje, po odlehčení se nevrátí přesně do své původní délky. Když na tyč zavěsíme tři auta, tyč se přetrhne. Těsně před přetržením bude deformace menší než 0,2 %. I když uvedené deformace vypadají jako malé, hrají důležitou roli v inženýrské praxi. (Je zřejmě důležité, zda křídlo letadla přečká náhodně zvýšené zatížení bez pohromy a neodtrhne se od letadla.) Na obr. 13.13 jsou znázorněny tři způsoby změny rozměrů tělesa pod vlivem vnějších sil. Na obr. 13.13a je válec natahován. Na obr. 13.13b je válec namáhán silou, která působí kolmo k jeho ose. Je to podobný způsob namáhání, jakým můžeme měnit tvar balíčku karet nebo knihy. Na obr. 13.13c je znázorněno pevné těleso umístěné v kapalině, které je rovnoměrně stlačováno všestranným vysokým tlakem přenášeným kapalinou. Co mají společného uvedené tři typy namáhání těles? Napětí, tj. síla přepočtená na jednotkovou plochu, v nich vyvolává deformaci, kterou v nauce o pružnosti chápeme jako relativní změnu tvaru. Napětí zobrazené na obr. 13.13a označujeme jako tah, na obr. 13.13b jako smyk a napětí z obr. 13.13c označujeme jako všestranný tlak (nebo jen tlak, když nemůže dojít k záměně s případem probíraným v následujícím odstavci „Tah a tlak"). Napětí i deformace jsou v případech znázorněných v obr. 13.13 různé, ale je jim společné, že v prvním při- 13.6 pružnost 343 f F A.x d + Ad \ A V (a) (í.) (c) Obr. 13.13 (a) Válec podrobený tahu se protáhne o Ad. (b) Válce podrobený smyku sc deformuje o Ax podobným způsobem, jako když se sesune balíček hracích karet, (c) Pevná koule podrobená všestrannému tlaku, který vytvoří hydrostatický tlak kapaliny, se smrští o objem A V. Velikost deformací je v obrázku značně zvětšena. blížení, které většinou stačí k řešení praktických úloh, jsou vzájemně úměrné. Konstanta úměrnosti se nazývá modul pružnosti, takže můžeme psát napětí = modul pružnosti • deformace (13.33) Na obr. 13.14 je graf závislosti napětí na deformaci pro ocelový zkušební válcový vzorek, jehož tvar je znázorněn na obr. 13.15. Při standardní zkoušce se tahové napětí působící na vzorek pomalu zvyšuje z nuly až na hodnotu, při které se zkušební vzorek přetrhne. V celém průběhu děje pečlivě měříme a zaznamenáváme deformaci a k ní příslušné napětí. Pro podstatný rozsah použitých napětí je mezi napětím a deformací přímá úměrnost. Zrušíme-li napětí, vrátí se vzorek do svých původních rozměrů; v tomto oboru platí rov. (13.33). Jestliže napětí zvýšíme nad mez kluzu c% materiálu, zůstane vzorek trvale deformován. Jestliže napětí dále zvyšujeme, vzorek se nakonec přetrhne při napětí , je tedy F = opS = (170-106 Pa)(6-10_4m2) = 1,0-10-'N. (Odpověď) To je přibližně 10 tun. I když je to velká síla, může být dosažena např. při nešikovném přistání parašutisty. Vhodným rozložením nárazu do delšího časového intervalu je však možno sílu zmenšit hluboko pod nebezpečnou hodnotu. PŘIKLAD 13.9 Stůlmátřinohy.kteréjsouí/ = 1,00 m dlouhé,a čtvrtou,která je delší o Ad = 0,50 mm, takže se stůl mírně viklá. Těžký ocelový válec o hmotnosti m = 290 kg j e vzpřímeně postaven na stůl (hmotnost stolu, která je podstatně menší než hmotnost válce, při výpočtu zanedbáme), takže všechny čtyři nohy se zkrátí a stůl se přestane viklat. Nohy jsou umělohmotné válce s plochou průřezu S = 1,0cm a mají Youngův modul E = = l,3T010Pa. Předpokládejte, že na dokonale tuhé vrchní desce stolu je válec umístěn tak, že deska zůstane vodorovná, žc nohy stolu se neohnou a že podlaha je dokonale tuhá. Jakou silou nesc podlaha každou ze čtyř noh? ŘEŠENÍ: Za systém zvolíme stůl a ocelový válec. Situace je podobná jako na obr. 13.11, pouze slona zastupuje ocelový válec. Aby zůstala deska stolu vodorovná, musí být všechny tři stejně dlouhé nohy stlačeny o stejný úsek, který označíme Aí/3. Síly, které způsobí tato stlačení také musí být stejné, jejich velikost označíme F3. Delší noha musí být stlačena o delší úsek Aí/4 větší silou F4. Musí platit rovnice Ad4 = Adi + Ad. (13.37) Rovnici (13.34) můžeme přepsat na tvar Ad = Fd/(ES). Tuto rovnici užijeme, abychom dosadili za AJ3 a Aí/4 do rov. (13.37). Přitom za d budeme pokládat původní délku všech noh, tj. 1 m. Nepatrný rozdíl jejich délek zde můžeme zanedbat. Z rov. (13.37) tak dostaneme F4d = F}d + SE Ad. (13.38) Z rov. (13.8). která udává rovnováhu y-ových složek sil, pro náš systém plyne y^Fy = 3F3 + F4 -mg =0. (13.39.) Ze soustavy rov. (13.38) a rov. (13.39) vypočteme neznámou sílu F3 mg S E Ad (290 kg)(9,8m-s~2) (M0-4m2)(l,3-10l0Pa)(5.0-10-4m) _ 4(1,00 m) ~ = 711N - 163 N = 548 N = 550 N. (Odpověď) Z rov. (13.39) potom získáme F4 = mg - 3F3 = (290kg)(9,8m-s-2)- -3(548 N) = 1 200 N. (Odpověd) Dále lze ukázat, že každá ze tří kratších noh byla stlačena o 0,42mm a delší noha o 0,92 mm, tedy že rozdíl délek noh 0,50 mm byl vyrovnán. J^ONTROLA 5: Obrázek ukazuje vodorovný homogenní blok zavěšený na dvou drátech A a B, které byly ustřiženy z téže cívky. Těžiště bloku je blíže k drátu B než 346 kapitola 13 rovnováha a pružnost k drátu A. (a.) Uvažujete-li momenty vzhledem k těžišti, udejte, zda moment vytvářený silou přenášenou drátem A je větší, menší, nebo stejně velký jako moment síly vytvářený drátem B. (b) Kterým drátem je přenášena větší síla? (c) Jestliže délky drátů jsou nyní stejné, který z drátů byl původně delší? PŘEHLED & SHRNUTÍ Statická rovnováha Říkáme, že tuhé těleso, které je a zůstává v klidu, je ve statické rovnováze. Vektorový součet všech vnějších sil působících na takové těleso musí být nulový: F.ext — O (rovnováha sil). (13.3) Když všechny síly leží v rovině xy, je právě uvedená vektorová rovnice ekvivalentní dvěma skalárním rovnicím pro složky sil: / Fx — 0 (rovnováha x-ových složek sil) (13.7) a Fy = 0 (rovnováha y-ových složek sil). (13.8) Je-li těleso ve statické rovnováze, musí být také součet všech vnějších momentů sil na něj působících nulový, a to nezávidě na tom, vůči kterému bodu moment počítáme; — 0 (rovnováhamomentů sil). (13.5) Když všechny síly leží v rovině xy, jsou všechny vektory momentů sil rovnoběžné s osou z. Rov. (13.5) je potom ekvivalentní jedné skalární rovnici pro z-ovč složky momentů sil, Mz = 0 (rovnováha i-ových složek momentů sil). (13.9) Těžiště Tíhová síla působí na jednotlivé částice tělesa. Výsledek takového působení jc stejný, jako když umístíme výslednici těchto individuálních sil — tíhovou sílu mg — do význačného bodu tělesa, který nazveme těžiště. Těžiště splývá se středem hmotnosti, když jc tíhové zrychlení g konstantní v celém objemu tělesa, tedy stejné pro všechny jeho částice. Termíny „těžiště" a „střed hmotnosti" ve zbytku knihy nerozlišujeme. Moduly pružnosti Uvedli jsme tři moduly pružnosti, které se užívají k popisu pruž-nostního (elastického) chování těles, na která působí síly. Deformace (relativní změna tvaru tělesa) je přímo úměrná napětí (síle na jednotku plochy); jejich podíl je příslušným modulem. Obecná rovnice vztahu napětí a deformace je napětí ■ modul pružnosti ■ deformace. (13.33) Tah a tlak Pro těleso, které je namáháno tahem nebo tlakem (obr. 13.13a), dostane obecná rov. (13.33) tvar F Ad - = E—, (13.34) S a kde Ad/d je relativní prodloužení (deformace) vzorku (namáhaného tělesa), F je velikost síly F působící na vzorek, S je plocha průřezu vzorku kolmého ke směru působící síly F a E je Youngův modul látky, ze které je vzorek zhotoven. Napětí jc F/S. Smyk Pro objekt, který je namáhán smykovým napětím (obr. 13.13b), přejde rov. (13.33) na konkrétní tvar F Ax -=G—, (13.35) S d kde Ax/d je smyková deformace vzorku, Ax je posunutí vrchního konce vzorku ve směru síly F působící na vrchní konec vzorku a G jc modul pružnosti ve smyku látky, z níž je vzorek zhotoven. Napětí je F/S. Všestranný tlak (hydrostatický) Když je vzorek vystaven všestrannému ilaku — nejsnadněji jej lze realizovat hydrostatickým tlakem kapaliny obklopující vzorek (obr. 13.13c) — přejde rov. (13.33) na tvar A V P = K —, (13.36) kde p je hydrostatický tlak kapaliny obklopující vzorek. Deformace AV/V je absolutní hodnota relativní změny objemu vzorku vyvolané působícím tlakem a A" je modul objemové pružnosti látky, z které je zhotoven vzorek. otázky 347 OTÁZKY 1. Na obr. 13.17 je pohled shora na tyč namáhanou čtyřmi silami. Předpokládejme, že jsme zvolili osu otáčení bodem O kolmo k rovině obrázku a zjistili, že momenty sil vůči této ose jsou v rovnováze (jejich součet je nulový). Bude rovnováha momentů sil zachována, zvolíme-li místo osy procházející bodem O osu s ní rovnoběžnou, procházející body (a) A, (b) B, (c) Cl (d) Předpokládejme, že oproti předcházejícímu případu nyní zjistíme, žc momenty sil vůči ose O nejsou v rovnováze. Existuje v tomto případě takový bod, aby — když jím povedeme rovnoběžnou osu — byly momenty sil vůči této ose v rovnováze'.' • c O A I B T Obr. 13.17 Otázka I 2. Obr. 13.18 ukazuje pohled shora na čtyři disky (puky), které bez tření kloužou po podložce. Tři síly o velikostech F, 2 ľ nebo 3 ľ působí na každý z disků, přičemž působiště sil je buď ve středu disku, na jeho okraji, nebo na půl cesty mezi okrajem a středem. Vektory sil se otáčejí spolu s diskem a v momentec znázorněné na obr. 13.18 míří přesně doprava nebo doleva. Které disky jsou v rovnováze? F F F F "Sliň 1F (n) 3F 2F 2ľ% ľ F (b) (c) Obr. 13.18 Otázka 2 2F (d) 3. Na obr. 13.19 jc pohled shora na dva pevné útvary, na kleré působí Iři síly. Směry sil jsou na obrázku vyznačen}'. Které útvary mohou být uvedeny do stavu statické rovnováhy vhodným nastavením velikostí působících sil (uvažujme pouze nenulové síly)? 1 Obr. 13.19 Otázka 3 1 (><) (b) 4. Na obr. 13.20 je zobrazena hračka s visícími tučňáky. Každá vodorovná tyčka (hmotnost tyček budeme v dalších úvahách zanedbávat) je zavěšena tak, že její část vpravo od závěsu je třikrát delší, než část vlevo od závěsu. Tučňák 1 má hmotnost m\ = 48 kg. Jaké jsou hmotnosti ostatních tučňáků, aby mohli viset tak, jak je znázorněno na obrázku? Obr. 13.20 Otázka 4 5. Na obr. 13.21 jc pohled shora na kovový čtvereček ležící na dokonale hladké podložce (mezi čtverečkem a podložkou nepředpokládáme žádné tření). Tři síly, jejichž velikosti i směry jsou na obrázku přesně vyznačeny, působí na rohy čtverečku, (a) Je splněna první podmínka rovnováhy z rov. (13.1)? (b) Je splněna také druhá podmínka rovnováhy z této rovnice? (c) Jestliže některá z odpovědí na otázku (a) nebo (b) je záporná, můžeme přidáním vhodně volené čtvrté síly dosáhnout splnění obou podmínek rovnováhy? ■ Obr. 13.21 Otázka 5 6. (a) Kolik různých věží, které budou bez další podpory stát, můžete vytvořit ze tří malých kostek stavebnice Lego? Kostky se čtyřmi výčnělky lze postavit přímo nad sebe nebo je možné je spojit tak, že vrchní kostka jc posunuta o půl své délky vpravo nebo vlevo. (Uspořádání a jeho zrcadlový obraz pokládejte zajedno uspořádání.) Kolik takových věží jc (b) v stabilní rovnováze a kolik (c) v labilní rovnováze (těžiště nad hranou kostky)? (d) Které uspořádání je nejstabilnější (nejhůře se převrátí) a proč? 7. Na obr. 13.22 jsou znázorněny čtyři způsoby zavěšení obrazu na stěnu dvěma stejně dlouhými vlákny. Vlákna na obr. 13.22b, c svírají stejné úhly s vodorovnou přímkou. Seřaďte všechna čtyři uspořádání podle velikosti sil přenášených vlákny. Uspořádání, kde jsou síly nejvčtší, zařaďte jako první. (a) (b) (r) Obr. 13.22 Otázka 7 (d) 348 kapitola 13 rovnováha a pružnost 8. Žebřík je opřen o stěnu, přičemž tření mezi stěnou a žebříkem zanedbáme. Proti spadnutí je žebřík zabezpečen třením mezi ním a podlahou. Spodní konec žebříku přisuneme směrem ke stěně. Uveďte, které z následujících veličin se zvětší, zmenší, nebo zůstanou stejné: (a) síla, kterou působí podlaha na žebřík, (b) síla, kterou působí stěna na žebřík, (c) síla statického tření působící od podlahy na žebřík a (d) maximální hodnota Fsrrmx statické třecí síly. 9. Jeden učitel fyziky, když se dostal do ráže, zkonstruoval statický systém kladek a lan, znázorněný na obr. 13.23. Jedno dlouhé lano vychází od stropu, obtáčí všechny kladky a končí opět na stropě. Na kratších lanech jsou od stropu zavěšeny některé kladky a také všechna závaží upevněná v ose kladek. Tíhy závaží jsou až na jednu výjimku na obrázku vyznačeny (čísla udávají tíhu v newtonech). (a) Jaká je velikost zbývající tíhy? (Tip: Obtáčí-li lano kladku z poloviny, jak je tomu na obrázku, je výsledná síla působící od lana na kladku dvojnásobkem síly přenášené lanem — neboli, jak se běžně ne zcela přesně říká, dvojnásobkem napětí lana.) (b) Jakou sílu T přenáší krátké lano? Při výpočtech pokládejte kladky a lana za nehmotné. 15 Obr. 13.23 Otázka 9 10. Tři figurky visí na statickém systému kladek a lan zobrazeném na obr. 13.24. Jedno dlouhé lano jde z místa upevnění vpravo na stropě přes všechny kladky až do osy kladky vlevo dole. Několik kratších lan slouží k zavěšení kladek na strop nebo figurek na kladky. Tíha dvou figurek (v newtonech) je vyznačena na obrázku, (a) Jaká je tíha třetí figurky? (Tip: Podobně jako v předcházející otázce využijte skutečnosti, že síla přenášená dlouhým lanem je poloviční než síla, kterou lano působí na kladku.) (b) Jaká je síla přenášená v krátkém laně označeném TI Obr. 13.24 Otázka 10 11. (a) Použijete v úloze uvedené v kontrole 3 při výpočtu velikosti momentu síly Mp, který na tyč působí od síly T, funkci sin 6 nebo cos#? (b) Jestliže zmenšíme úhel 6 tak, že zkrátíme provaz a tyč ponecháme vodorovnou, bude nutno moment Mp síly pro zachování rovnováhy zvětšit, zmenšit, nebo ponechat stejný? (c) Sílu T vytvářející moment musíme v tom případě zvětšit, zmenšit, nebo ponechat stejnou? 12. Tabulka udává velikosti ploch tří povrchů a velikosti výsledných sil, které na tyto plochy působí. Síly působí kolmo k povrchům a jsou podél nich rovnoměrně rozloženy. Seřaďte povrchy podle velikostí napětí, která na ně působí. Vllikost plochy síla Povrch A 0,550 2F0 Povrch B 2s0 4F0 Povrch C 3 So 6FQ 13. Dlouhá tyč byla rozřezána na tyče A, B, C. Tyče se přiloženými silami prodloužily. Seřaďte je sestupně podle velikosti napětí v nich. původní délka Změna délky Tyč a 2d0 Ad0 Tyč B 4í/(, 2Ad0 Tyč C 104 4Ad0 CVIČENÍ & ÚLOHY ODST. 13.4 Příklady statické rovnováhy 1 2 3 4 5 6 7 8 1C. Osmičlenná americká rodinka, jejíž váhy v librách jsou É Wk uvedeny na obr. 13.25, se houpe na prkně. Kteří z členů rodiny (udejte čísla) vytvářejí největší momenty síly vůči ose houpačky ■ (a) mířící před rovinu stránky, (b) mířící za rovinu stránky? ff m 50 75 100 125 125 100 75 50 libry _i_i_i_i_i_i_i_i_i_ Obr. 13.25 Cvičení 1 12 9 6 3 0 3 6 9 12 stopy cvičení & úlohy 349 2C. Na obr. 13.26 je znázorněn ořech, který chceme rozlousk-nout louskáčkem. Předpokládejme, že k rozlousknutí ořechu je třeba na něj působit z obou stran silou o velikosti 40 N. Jaké velikosti F x musí mít síly, kterými působíme kolmo na rukojeti louskáčku, abychom ořech rozlouskli? Důležité rozměry jsou udány na obrázku. střed se vysune ve smčru síly o 30 cm, když se vůz nepatrně pohne. Jaká síla působí na vůz v tomto okamžiku? T-l i. „i Obr. 13.26 Cvičení 2 3C. Šikmá věž v Pise (obr. 13.27) je 55 m vysoká a její průměr je 7 m. Vršek věže je odchýlen 4.5 m od svislice. Pokládejte věž iKiíl Obr. 13.27 Cvičení 3. Šikmá věž v Pise (fotografie není pootočena). za homogenní kruhový válec, (a) Jak velká další odchylka vršku věže by vedla k jejímu pádu převrácením? (b) Jaký by přitom byl úhel mezi svislicí a osou věže? 4C. Na částici působí síly F\ = 10/ - 4/ a F2 = 17/ + 2j. (a) Jaká síla F3 vyrovná tyto síly? (Tip: Vektorový součet všech tří sil musí být nulový.) (b) Jaký úhel svírá síla F3 s osou .r? Pro číselný výpočet předpokládejte, že čísla udávají velikosti sil v newtonech. 5C. Lukostrelec napíná luk. Jaký úhel svírají dvě části tětivy, známe-li sílu, jakou ji lukostrelec natahuje? 6C. Na obr. 13.28 je znázorněno, jak řidič znalý fyziky vyprošťuje svůj vůz z hlubokého bláta na krajnici silnice. Jeden konec lana uvázal pevně kolem předního nárazníku a druhý kolem patníku vzdáleného 20 m. Potom zatáhne za střed lana kolmo k jeho délce silou 600 N. Lano se protáhne, takže jeho Obr. 13.28 Cvičení 6 7C. Provaz, jehož hmotnost budeme zanedbávat, je natažen mezi dvčma úchyty vzdálenými 3,44 m. Provaz se prohne o 35 cm. když se na něj uprostřed zavěsí předmět o tíze 3 160 N. Jaká je potom síla napínající provaz? 8C. Na obr. 13.29 je znázorněn systém, který je v rovnováze, ale jehož blok spočívající na vodorovné podložce začne klouzat, když k předmětu o hmotnosti 5 kg je přidáno jakékoliv další závaží. Jaký je statický činitel tření mezi desetikilogramovým blokem a jeho podložkou? 10ka /30< 5,Okt Obr. 13.29 Cvičení 8 9C. Lešení o hmotností 60kg a délce 5 m je drženo ve vodorovné poloze závěsnými lany na obou jeho koncích. Čistič oken o hmotnosti 80 kg stojí v místě, které je vzdáleno 1,5 m od jednoho konce. Jaká síla napínající lano je přenášena (a) lanem, které je blíže k čističi, (b) vzdálenějším lanem? 10C. Tři muži nesou trám. Jeden muž je na konci trámu a druzí dva nesou trámek mezi sebou na příčném trámku. Kde musí být umístěn příčný trámek, aby všichni muži nesli stejně? (Zanedbejte hmotnost příčného trámku.) 11C. Rovnoměrně naložená přepravka tvaru krychle o hraně 0,750m a tíze 500N spočívá na podlaze a je zapřena o velmi nízkou pevnou překážku. V jaké výšce nad podlahou musí působit sila 350 N, aby přepravku právě nadzvedla? 12C. Homogenní koule tíhy G a poloměru r visí na vlákně připevněném k dokonale hladké stěně ve výši d nad středem koule (obr. 13.30). Najděte (a) napěťovou sílu přenášenou vláknem, (b) sílu, kterou stěna působí na kouli. 13C. Auto hmotnosti 1 360 kg má rozvor (vzdálenost mezi přední a zadní nápravou) 3,05 m. Těžiště auta je 1,78 m za přední nápravou. Určete zatížení (a) kol přední nápravy, (b) kol zadní nápravy, za předpokladu, že auto stojí na rovině a obě kola téže nápravy jsou zatížena stejně. 350 kapitola 13 rovnováha a pružnost Obr. 13.30 Cvičení 12 lýtkový sval kosti dolní části nohy 14C. Muž o hmotnosti 75 kg se na vodorovné lávce zastaví, když urazil čtvrtinu vzdálenosti od jednoho jejího konce. Lávka je homogenní a její hmotnost je 300 kg. Jakou svislou silou působí lávka a muž (a) na vzdálenější pilíř, (b) na bližší pilíř? Pilíře jsou umístěny na koncích lávky. 15C. Skokan vážící 580 N stojí na konci 4,5 m dlouhého skákacího prkna. Prkno je připevněno k dvěma podpěrám vzdáleným 1,5 m, jak je ukázáno na obr. 13.31. Jaká je velikost a orientace síly působící na prkno od (a) levé podpěry, (b) pravé podpěry? (c) Která podpěra je natahována a která stlačována? «A 4,5 m ,,r- -l,5m-H Obr. 13.31 Cvičení 15 16C. Metrové pravítko je vyváženo na břitu podloženém v místě se značkou 50,0 cm. Na značku 12,0 cm položíme na sebe dvě mince a pravítko se nám pak povede vyrovnat, když břit podložíme pod značku 45,5 cm. Jedna mince má hmotnost 5,0 g. Jaká je hmotnost pravítka? 17C. Čistič oken hmotnosti 75 kg užívá žebřík, který má hmotnost 10 kg a je dlouhý 5,0 m. Spodní konec žebříku postaví na podlahu ve vzdálenosti 2,5 m od stěny a vrchní konec opře o na-prasklé okno v této stěně. Když vyšplhá po žebříku 3,0 m, okno se rozbije. Vypočtěte (a) sílu, jakou žebřík působil na okno bezprostředně před jeho rozbitím, (b) velikost a směr síly, kterou podlaha působila na žebřík v tomto okamžiku. Zanedbejte tření mezi žebříkem a oknem a předpokládejte, že žebřík po podlaze neklouže. 18C. Obr. 13.32 ukazuje anatomickou stavbu spodní části nohy, která umožňuje stání na špičkách. Při něm je pata vysoko zvednutá nad podlahu a chodidlo se dotýká podlahy jen v malém okolí bodu P, které jsme na obrázku označili jako působiště síly podpírající nohu osoby slojící na špičkách. Vypočtěte síly, kterými působí na chodidlo (a) lýtkový sval v bodě A, (b) holenní a lýtková kost v bodě B, když osoba stojí na špičkách. Položte a = 5,0cm a b = 15,0cm a hledané síly vyjádřete v násobcích tíhy G osoby. Obr. 13.32 Cvičení 18 19Ú. Stahovákem G zkrátíme tyč A B čtvercového rámu A B CD znázorněného na obr. 13.33. Tím se tyč napne a na body A a 5 působí síly T mířící ven z rámu. Určete síly působící na ostatní tyče rámu. Najděte, které tyče j sou podrobeny tahu a které tlaku. Úhlopříčné tyče A C a B D se nedotýkají v místě E. Uvážení symetrie rámu zjednoduší řešení této a podobných úloh. A G B Obr. 13.33 Úloha 19 20Ú. Dvě stejné, homogenní koule jsou umístěny v pravoúhlé pevné nádobě (obr. 13.34). Najděte síly, které působí na koule (a) od stěn nádoby, (b) síly vzájemného působení koulí, jestliže spojnice těžišť koulí svírá úhel 45° s vodorovnou rovinou. Výsledky vyjádřete v násobcích tíhy jedné koule. Neuvažujte tření. Obr. 13.34 Úloha 20 21Ú. Okov o hmotnosti 900 kg je zavěšen na svislém laně A, které je v místě O spojeno se dvěma dalšími lany B a C, která svírají s vodorovnou rovinou úhly 51° a 66° (obr. 13.35). Najděte napěťovou sílu přenášenou (a) lanem A, (b) lanem B, (c) lanem C. (Tip: Abyste nemuseli řešit systém dvou rovnic o dvou cvičení & úlohy 351 neznámých, zvolte soustavu souřadnic tak, jak je naznačeno na obrázku.) _ levé misce a závaží hmotnosti rti\ na pravé misce vah. Když umístíme závaží hmotnosti m na pravou misku, musíme dát k vyrovnání vah na levou misku závaží hmotnosti mi- Ukažte, že platí m = ^Jmitnj. 25Ú. Závaží o hmotnosti 15 kg je přes dvě kladky taženo rukou, jak je ukázáno na obr. 13.38. Paže je svislá, zatímco předloktí svírá úhel 30° s vodorovnou rovinou. Jakou silou působí na předloktí (a) triceps, (b) pažní kost? Předloktí a ruka mají dohromady hmotnost 2,0 kg. Těžiště systému je 15 cm od loketního kloubu směrem k ruce, místo upnutí tricepsu 2,5 cm na druhou stranu (srovnej s obrázkem). Obr. 13.35 Úloha 21 22U. Síla F udržuje v systému znázorněném na obr. 13.36 rovnováhu. Hmotnost bloku je 7 kg. Vypočtěte sílu T přenášenou lanem, na kterém visí systém. Hmotnost kladek a tření v systému zanedbejte. Obr. 13.36 Úloha 22 23Ú. Systém z obr. 13.37 je v rovnováze, když prostřední vlákno je přesně vodorovné. Najděte (a) sílu T\, (b) sílu To, (c) sílu T3 a úhel 9. Obr. 13.37 Úloha 23 24U. Nerovnoramenné váhy jsou tvořeny pevnou tyčí podepřenou břitem mimo střed tyče a miskami zavěšenými na koncích tyče. Hmotnost tyče a misek budeme v dalších úvahách zanedbávat. Váhy jsou vyrovnány, když závaží hmotnosti m je na triceps • T kost t._ í pažní mk^ 2,5cm- 35 cm 15 kg Obr. 13.38 Úloha 25 26Ú. Čtvercový vývěsní štít (hmotnost 50,0 kg, délka strany čtverce 2,0m) je vysunut do ulice na tyči zanedbatelné hmotnosti a délky 3,00 m. Lano napnuté mezi vzdálenějším koncem tyče a místem upevnění na stěně, které je 4,00 m nad kloubovým závěsem nesoucím tyč, udržuje tyč ve vodorovné poloze (obr. 13.39). (a) Jaká je napěťová síla přenášená lanem? Jaká je (b) vodorovná a (c) svislá složka síly, kterou působí stěna přes kloubový závěs na tyč? 4,00 m Obr. 13.39 Úloha 26 . lano kloubový \ 2,00 m H-2,00rn 3,00m — 352 kapitola 13 rovnováha a pružnost 27Ú. Na obr. 13.40 jc schematicky znázorněn horolezec, který leze „na sokolíka" podél štěrbiny, přičemž rukama táhne za jednu stranu štěrbiny a chodidly tlačí na její druhou stranu. Štěrbina má šířku w = 0,20 m. Těžiště horolezce je ve vodorovné vzdálenosti d = 0,40 m od bližší slěny štěrbiny. Statický činitel tření mezi rukama horolezce a skálou je ý) = 0,40 a mezi botami horolezce a skálou f'2 — 1,2. (a) Jaký nejmenší tah rukama a tlak nohama ve vodorovném směru udrží horolezce na skále? (b) Jaká musí být při tomto tahu svislá vzdálenost h mezi rukama a nohama, aby horolezec byl v rovnováze? (c) Když se horolezec setká s mokrou skálou, takže hodnoty f\ a fi se zmenší, jak se změní odpovědi na otázky (a) a (b)? M \ ř \ ' 'Í Obr. 13.42 Úloha 29 h _i_ 31Ú. Čtyři stejné cihly délky d jsou naskládány na sebe tak, že každá vyšší o něco přesahuje tu nižší (obr. 13.43). Nalezněte a vyjádřete v násobcích délky d maximální délky přesahů (a) a\, (b) a%, (c) «3, (d) 04 a (e) h, při kterých ještě stavba zůstane v rovnováze, tedy nespadne. Obr. 13.40 Úloha 27 28U. Síly F\, F2 a F3 působí na systém znázorněný na obr. 13.41 při pohledu shora. Chceme dostat systém do rovnováhy tím, že do bodu P s vhodně zvolenou vzdáleností d umístíme sílu s vektorovými složkami F^ a Fv. Zadané j sou hodnoty a = 2,0 m, b = 3,0m, c = 1,0m, Fx = 20N, F2 = 10N a F} = 5,ON. Najděte hodnoty: (a) Fh, (b) Fv a (c) d. -J:-—« F Obr. 13.41 Úloha 28 29Ú. Jak velká musí být síla F působící vodorovně na osu kola, aby kolo překonalo schod výšky h (obr. 13.42)? Kolo má poloměr r a váži G. 30U. Ve stropě je čtvercový poklop o straně 0,91 m a hmotnosti 11 kg. Na jedné straně jsou panty, na druhé držadlo. Těžiště poklopu je posunuto o 10 cm směrem k pantům od jeho geometrického středu. Jak velkou sílu musí být schopno přenést (a) držadlo, (b) panty? Obr. 13.43 Úloha 31 32Ú. Jeden konec tyče hmotnosti 20 kg a délky 1 m je připevněn ke stěně kloubovým závěsem. Druhý konec je zavěšen na vlákně způsobem vyznačeným na obr. 13.44. (a) Najděte napěťovou sílu přenášenou vláknem. Jaká je (b) vodorovná a (c) svislá složka síly, kterou kloubový závěs působí na tyč? kloubový - závěs Obr. 13.44 Úloha 32 33U. Systém na obr. 13.45 je v rovnováze. Závaží o hmotnosti 225 kg je zavěšeno na konci homogenní vzpěry, jejíž hmotnost je 45 kg. Stanovte: (a) sílu přenášenou vláknem T, (b) vodorovnou a (c) svislou složku síly, kterou vzpěra působí na kloubový závěs. 34U. Dveře vysoké 2,1 m a široké 0,91 m mají hmotnost 27 kg. Jeden pant je umístěn 0,30 m od vršku dveří, druhý ve stejné vzdálenosti od spodku dveří. Každý z pantů nese polovinu tíhy dveří. Předpokládejte, že těžiště dveří leží v jejich geometrickém c vičení & úi ,ohy 353 vzpera Obr. 13.45 Úloha 33 "—kloubový závěs středu. Stanovte: (a) svislé a (b) vodorovné složky sil, kterými panty působí na dveře. 35Ú. Nehomogenní tyč tíhy G je zavčšcna na dvou lanech tak, že je v rovnováze vodorovná (obr. 13.46). Jedno lano svírá se svislicí úhel 9 = 36,9°, druhé úhel

^V — L,8m — — 4,2m -► Obr. 13.52 Úloha 45 ODST. 13.6 Pružnost 46C. Na obr. 13.53 je graf závislosti napětí na deformaci (křivka napětí - deformace) pro křemen. Jaký je (a) jeho Youngův modul a jaká je (b) hodnota meze kluzu? 300 f 250 2 200 C ř 150 'H i 100 50 0.001 Obr. 13.53 Cvičení 46 0,002 0.003 0.004 deformace 47C. Po pádu zjistil horolezec hmotnosti 95 kg, že visí na konci lana. Lano délky 15 m a průměru 9,6 mm se vratně prodloužilo o 2,8cm. Vypočtěte: (a) relativní prodloužení (deformaci) lana, (b) napětí lana a jeho (c) Youngův modul. 48C. Důlní výtah visí na jediném ocelovém laně o průměru 2,5 cm. Celková hmotnost kabiny výtahu a přepravovaných osob je 670 kg. Jaké bude prodloužení lana, (a) když je výtah na povrchu 12 m pod těžním strojem (motorem výtahu) a (b) když je CVIČENÍ & ÚLOHY 355 na dně šachty hluboké 350 m? (Při výpočtu zanedbejte hmotnost lana.) 49C. Předpokládejte, že trám na obr. 13.9a je z jedle douglasky a má čtvercový průřez. Jak musí být trám tlustý, aby tlak v něm nepřesáhl 1 /6 jeho meze pevnosti v tlaku? (K řešení použijte výsledku př. 13.5.) 50C. Vodorovná hliníková tyč průměru 4,8 cm vyčnívá 5,3 cm ze zdi. Závaží hmotnosti 1 200 kg je zavěšeno na samý konec tyče. Modul pružnosti ve smyku hliníku jc 3,0-1010 Pa. Vypočtěte (a) smykové napětí v tyči a (b) svislou odchylku konce tyče, když zanedbáte tíhu tyče. 51C. Jak velký všestranný tlak musí působit na měděnou krychli o hraně 85,5 cm. aby se její hrany zkrátily na 85,0 cm? Objemový modul pružnosti mědi je L4-1011 Pa. 52Ú. Navrhujeme tunel s rovnou střechou dlouhý 150 m, vysoký 7,2 m, široký 5,8 m, který povede 60 m pod zemí (obr. 13.54). Strecha bude držena výlučně ocelovými sloupy, jejichž čtvercový průřez má plochu 960 cm2. Zemina v nadloží (nad tunelem) má hustotu 2,8g-cm-3. (a) Jaká je celková síla, kterou sloupy musí unést? (b) Kolik musí být v tunelu sloupů, aby tlak ve sloupech nepřesáhl hodnotu rovnou polovině meze pevnosti v tlaku? [■- -150m-J 7.2m 60 m Obr. 13.54 Úloha 52 53U. Pravoúhlá břidlicová deska spočívá na nakloněné skalní podložce se sklonem 26; (obr. 13.55). Deska je 43 m dlouhá, 2.5 m tlustá a 12 m široká. Hustota desky je 3,2 g-cm-3. Činitel statického tření mezi deskou a podložní skálou je 0,39. (a) Vypočítejte složku tíhy desky působící podél nakloněné podložky, (b) Vypočtěte celkovou sílu statického tření působící na desku. Porovnáním výsledků (a) a (b) zjistíte, že desce hrozí sklouznutí z podložky a brání jí v tom pouze náhodné výčnělky vytvářející slabé přechodné záchyty, (c) Aby sc deska upevnila, je kolmo provrtána i s podložní skálou a do otvorů jsou zasazeny svorníky. Jestliže plocha průřezu každého svorníku jc 6,4 cm2 a mez pevnosti ve smyku materiálu, z kterého je svorník vyroben, je 3.6-108 Pa, kolik svorníků musíme užít k upevnční desky? Předpokládejte, že svorníky jsou přitaženy tak mírně, že neovlivní velikost normálové síly (tlak desky na podložku). 54U. Olověná deska spočívá vodorovně na válcích A a B, jak ,*3 Obr. 13.55 Úloha 53 >y \26- je ukázáno na obr. 13.56. Válec A má dvakrát větší Youngúv modul a dvakrát větší průřez než válec B. Než byly válce deformovány cihlou, měly stejnou délku. Jaká část tíhy cihly je podepřena (a) válcem A a (b) válcem B? Vodorovné vzdálenosti mezi těžištěm cihly a osami válců jsou í/a pro válec Aai/u pro válec B. (c) Jaký jc poměr d\fd^l 1 dA j dti Obr. 13.56 Úloha 54 55Ú. Homogenní kláda hmotnosti 103 kg visí na dvou ocelových drátech A a B, které mají poloměr 1,2 mm. Původně byl drát A 2,50 m dlouhý a byl o 2 mm kratší než drát B. Po zavěšení znázorněném na obr. 13.57 je kláda vodorovně. Jakou silou ji drží (a) drát A, (b) drát B? Jaký je poměr délek č/a/^r? drát A -—d a—ds — drát B těžiště •.......... Obr. 13.57 Úloha 55 56Ú. Na obr. 13.58 je pohled shora na pevnou tyč, která se může otáčet kolem svislé osy, dokud ji nezastaví dvě stejné gumové zarážky A a B umístěné na tyči ve vzdálenosti i\\ a rB od osy. Nejprve zarážky po zastavení tyče zůstanou ve stavu, kdy nejsou stlačeny. Potom začne na tyč působit síla F ve vzdálenosti R od osy otáčení. Najděte síly, které stlačují (a) zarážku A, (b) zarážku B. --R- zarážka A -rA- .............i__i. liš zarážka B Obr. 13.58 Úloha 56 14 Naše Galaxie, kterou vidíme na obloze jako Mléčnou dráhu, má tvar disku. Je složena z miliard hvězd, jejich planet a z prachu. Síla, která váže dohromady všechny složky naší Galaxie nebo kterékoliv jiné galaxie, je tatáž jako síla, která drží Měsíc na jeho oběžné dráze a vás na Zemi — gravitace. Ta je také odpovědná za jeden z nej zvláštnějších objektů ve vesmíru, černou díru — hvězdu, která se úplně zhroutila (zkolabovala) dovnitř sebe samé. Gravitační síla poblíž černé díry je tak silná, že ji nepřekoná ani světlo. Ale je-li tomu tak, jak můžeme černou díru zjistit? 14.2 newtonův gravitační zákon 357 14.1 SVET A GRAVITAČNÍ SILA 14.2 NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Úvodní obrázek ukazuje, jak vidíme Mléčnou dráhu; my se nacházíme poblíž okraje galaktického disku, asi 26 000 svetelných let (2,5-H)20 m) od jejího středu, který na obrázku leží v souhvězdí Střelce. Naše Galaxie je členem skupiny galaxií, která zahrnuje galaxii v souhvězdí Andromedy (obr. 14.1)vevzdálcnosti2,3106 světelných let a jiné trpasličí galaxie, jako Velké Magcllanovo mračno na úvodním obrázku. Obr.14.1 Galaxie v Andromede. Je od nás vzdálena 2,3106 světelných let, je slabě viditelná i prostým okem a je velmi podobná naši rodné Galaxii — Mléčné dráze. Místní skupina galaxií je částí místní kupy galaxií. Měření provedená v osmdesátých létech ukazují, že místní kupa galaxií a kupy galaxií v souhvězdích Hydry a Kentaura se všechny řítí na výjimečně hmotný objekt zvaný Velký atraktor nebo též Velký poutač. Ten je vzdálen od nás přibližně 150 milionů světelných let, na opačnou stranu, než kde vidíme Mléčnou dráhu, mezi souhvězdími Hydry a Kentaura. Síla, která váže dohromady tyto tak dalece rozsáhlé objekty, od hvězd přes galaxie ke skupinám, kupám a nadku-pám galaxií, a která je patrně všechny přitahuje k Velkému poutači, je gravitační síla. Nejenom že vás přidržuje na Zemi, ale vládne i hlubinám mezigalaktického prostoru. Fyziky vždycky zajímá, zda by se při podrobnějším zkoumání nenašel mezi zdánlivě nesouvisejícími jevy nějaký vzájemný vztah. Tato snaha po sjednocování fyzikálních teorií panuje již po staletí. V roce 1665 učinil mladý, třiadvacetiletý Isaac Newton základní přínos pro fyziku, když ukázal, že síla držící Měsíc na jeho oběžné dráze je táž jako síla, která nutí padat jablko na Zem. My to nyní pokládáme za takovou samozřejmost, že si těžko představujeme starověké pojetí, podle kterého byly pohyby pozemských a nebeských těles zcela různých druhů a řídily se různými zákony. Newton dospěl k názoru, že nejenom Země přitahuje jablko i Měsíc, ale že každé těleso ve vesmíru přitahuje každé jiné těleso; tuto tendenci všech těles přitahovat se navzájem nazýváme gravitace. Na tento závěr nejsme příliš zvyklí, protože na povrchu zemském je ona důvěrně známá přitažlivost zemská tak veliká, že zdaleka překrývá vzájemnou přitažlivou sílu ostatních těles mezi sebou. Tak například Země přitahuje jablko jistou silou (totiž jeho váhou). Také vy přitahujete jablko (a ono přitahuje vás), ale tato přitažlivá sílaje menší než váha nejjemnějšího prášku. Zákon o síle, který nyní nazýváme Newtonův gravitační zákon, formuloval Newton kvantitativně: každá částice přitahuje každou jinou částici gravitační silou, jejíž velikost je F tľl i fľt-2 G—-z— (Newtonův gravitační zákon). (14.1) Zde m i, »12 značí hmotnosti obou částic, r vzdálenost mezi nimi a G je* gravitační konstanta, jejíž hodnota činí G = 6,67-10 = 6,67-10" N-m2-kg- m3-kg~ '■s"2. (14.2) Obr. 14.2 ilustruje ověřenou skutečnost, že se částice vždy přitahují „k sobě" a nikdy se neodpuzují „od sebe"; částice /wt přitahuje částici m\ gravitační silou F, která směřuje k částici »12. Obr. 14.2 Dvě částice o hmotnostech rn \ a m2 ve vzdálenosti r se navzájem přitahují podle Newtonova gravitačního zákona, rov. (14.1). Přitažlivé síly F a —F jsou stejné co do velikosti a mají opačné směry. Q""' * Symbol G je předepsán normou a užívá se v celém světě. U nás se někdy užívá symbol x. 358 kapitola 14 gravitace Podobně částice m\ přitahuje částici m% gravitační silou, která je orientována k částici m\. Síly F a —F jsou ve vztahu akce a reakce; mají stejné velikosti a opačné směry. Závisejí na vzdálenosti obou částic, ale nikoli na jejich umístění; částice by stejně dobře mohly být v nějaké dutině nebo přemístěny do hlubin vesmíru. Síly F a —F nejsou ovlivněny přítomností jiných těles, dokonce ani kdyby tato tělesa ležela mezi uvažovanými přitahujícími se částicemi. Velikost gravitační síly, tj. to, jak silně se dvě částice daných hmotností na danou vzdálenost přitahují, závisí na velikosti gravitační konstanty G. Kdyby nějakým kouzlem vzrostlo G desetkrát, leželi bychom na podlaze rozdrceni zemskou přitažlivostí. A kdyby se naopak G desetkrát zmenšilo, zeslábla by zemská přitažlivost natolik, že bychom mohli skákat přes domy. (Ale spíš bychom zahynuli, protože by si Země neudržela svou atmosféru.) Ačkoliv Newtonův zákon platí přesně jen pro částice (tedy hmotné body), můžeme ho použít i na reálné předměty, pokud jsou jejich vlastní rozměry zanedbatelné vůči jejich vzdálenosti. Měsíc a Země jsou od sebe dostatečně daleko na to, abychom je mohli v dobrém přiblížení považovat za hmotné body. Ale co jablko na Zemi? Z hlediska jablka se veliká a široká Země, rozprostírající se od obzoru k obzoru, jistě nejeví jako hmotný bod. Newton vyřešil problém jablko + Země tím, že formuloval tzv. „slupkový teorém": Homogenní hmotná kulová slupka přitahuje vně ležící částici stejně, jako kdyby veškerá hmota slupky byla soustředěna v jejím středu. Zemi můžeme považovat za složenou z takových kulových slupek asi jako cibuli — jedna slupka uvnitř druhé. (Říkáme, že Země je po vrstvách homogenní neboli má hmotu rozloženu sféricky symetricky.) Každá z těchto slupek přitahuje vně ležící předmět tak, jako by její hmota byla soustředěna do jejího středu — tedy do středu Země. Z hlediska jablka se tedy (překvapivě) Země chová jako hmotný bod —jako částice umístěná ve středu Země, v níž je soustředěna veškerá hmota Země. Předpokládejme tak jako na obr. 14.3, že Země při- ¥ 1 F Obr. 14.3 Jablko přitahuje nahoru Zemi stejně silně jako Země dolů jablko. tahuje dolů jablko silou 0,8 N. Potom jablko musí přitahovat Zemi nahoru silou 0,8 N; tuto sílu si umístíme do středu Země. Ačkoliv obě síly mají stejnou velikost, udělí při uvolnění jablka různá zrychlení jablku a Zemi. Jablko získá zrychlení kolem 9,8 m-s "2, dobře známé zrychlení těles padajících nedaleko zemského povrchu. Země by však (v těžišťovém systému soustavy jablko + Země) získala zrychlení pouze asi 1 • 10—25 m-s . J^ONTROLA 1: Částici postupně umístíme vně čtyř objektů, z nichž každý má hmotnost m; jsou to (1) velká homogenní plná koule; (2) velká homogenní kulová slupka; (3) malá homogenní plná koule; (4) malá homogenní kulová slupka. Ve všech případech má částice stejnou vzdálenost d od středu objektu. Uspořádejte objekty podle velikosti gravitační síly, jakou působí na částici, od největší síly k nej menší. 14.3 GRAVITACE A PRINCIP SUPERPOZICE Pro skupinu částic nalezneme výslednou gravitační sílu (výslednici sil) působící na kteroukoliv z nich pomocí principu superpozice, což je obecný princip, předpokládající, že výsledný jev je součtem všech dílčích jevů. V tomto případě princip říká, že pro výpočet gravitační síly působící na konkrétní částici můžeme nejprve postupně vypočítat dílčí síly od každé z ostatních částic. Poté vypočteme výslednou sílu jako vektorový součet všech těchto sil —jako obvykle. Pro n interagujících částic můžeme zapsat princip superpozice takto: Fi =F|2 + Fi3 + F14 + F15 + ...+Fl,I. (14.3) Zde je F] výsledná síla působící na částici 1 a např. F13 je síla, kterou působí částice 3 na částici 1. Tento vektorový součet můžeme zapsat kompaktněji: n F]=j2Fu- (14.4) i =2 Jak je tomu se silou, kterou na částici působí reálné těleso, zaujímající jistý prostor? Najdeme ji tak, že těleso rozložíme na kousíčky tak malé, abychom je mohli pokládat za hmotné body, a potom použijeme rov. (14.4) k nalezení vektorového součtu všech sil působících na částici ode všech kousíčků tělesa. V limitním případě můžeme těleso rozdělit na infinitezimální kousíčky o hmotnostech dm, z nichž 14.3 gravitace a princip superpozice 359 každý působí na uvažovanou částici jen infinitezimální silou dF. V limitě přejde suma z rov. (14.4) na integrál: / dF, (14.5) kde integrujeme přes celý objem zaujímaný tělesem. Jde-li však o homogenní kouli nebo kulovou slupku, můžeme namísto integrace v rov. (14.5) postupovat, tak jako by celá hmota tělesa byla soustředěna v jeho středu, a použít rov. (14.1). velikost je dvojnásobkem velikosti y-ové složky F13: G m i m% F\ = 2Fl3 cos 9 = 2-~ cos 8 = 1 (6.67-10-" m3-kg-l-s-2)(8,0kg)(2.0kg) " (0,020 m)2 cos 30° = :4,6-10'°N. (Odpověď) Všimněme si, že přítomnost částice m.5 mezi částicemi m\ a ni4 neměla vliv na jejich gravitační působení: síla mezi m\ a 1114 zůstává táž. PŘIKLAD 14.1 Na obr. 14.4a je uspořádáno pět částic s hmotnostmi m\ = = 8,0kg,m2 - »13 = 1114 = rrii = 2,0kg,délkac( = 2,0cm, úhel 9 = 30°. Jaká je výsledná gravitační síla F, působící na částici m i od ostatních čtyř částic? ;;?4 ř \ J '»2 (a) (/?) Obr. 14.4 Příklad 14.1. Uspořádán! pěti částic. Síly. kterými působí ostatní čtyři částice na částici m 1. ŘEŠENÍ: Z rov. (14.4) víme, že výslednice F\ je vektorovým součtem sil F12, F3, F14, Fis, což jsou gravitační síly působící na částici m \ od ostatních částic. Protože hmotnosti 1112 a r«4 jsou si rovny a protože obě částice jsou ve stejných vzdálenostech r = 2a od první, plyne z rov. (14.1) F\ 2 Fu = Gm\tn (2aÝ (14.6) Podobně hmotnosti a »15 jsou si rovny a obě částice jsou ve stejných vzdálenostech r = a od mu takže platí h 15 = G m i m (14.7) Xa obr. 14.4b je silový diagram pro m 1. Odtud a z rov. (14.6) je zřejmé, že F2 a F\4 mají stejné velikosti, ale opačné směry; tyto síly se proto vyruší. Z obr. 14.4b a rov. (14.7) vidíme, že A-ové složky sil F13 a F15 se také zruší, zatímco jejich y-ové složky mají stejnou velikost, ale směr tentokrát stejný — ve směru osy y. Výsledná síla F\ tedy směřuje podél osy y a její J^ONTROLA 2: Obrázek ukazuje čtyři konfi gurace tri částic se stejnými hmotnostmi, (a) Uspořádejte konfigurace sestupně podle velikostí výsledné gravitační síly působící na částici m. (b) Je v konfiguraci (2) směr výsledné síly blíže k úsečce délky d, nebo k úsečce délky Dl -D- (i) (3) (4) PŘIKLAD 14.2 Na obr. 14.5 je částice o hmotnosti m\ = 0.67 kg vzdálena d = 23 cm od konce homogenní tyče délky a = 3 m a hmotnosti M = 5 kg. Jak velkou gravitační silou F\ přitahuje tyč částici? 3/ /dm M H — dr HH-- a-H Obr. 14.5 Příklad 14.2. Částice o hmotnosti m\ leží na ose tyčky délky a ve vzdálenosti d od jejího konce. Infinitezimální kousek tyčky dm leží ve vzdálenosti r od nt\. ŘEŠENÍ: Uvažujme infinitezimálně malý kousek tyče o hmotnosti dm a délce dr, vzdálený r od m 1. Z rov. (14.1) vyjádříme velikost gravitační síly dF], kterou dm působí na m 1: Gm\ dm. (14.8) Na obr. 14.5 směřuje talo síla doprava. Protože m \ leží na ose tyče, směřuje doprava také každá z částečných sil dF, kterými působí kousek dm tyče na nt \. Velikost úhrnné síly Fj působící na m\ můžeme tedy najít prostým sečtením velikostí dílčích sil. Provedeme to integrací rov. (14.8) podél tyče. 360 kapitola 14 gravitace (Kdyby bod m\ neležel na ose tyče, směřovaly by dílčí síly do různých směrů a bylo by nutno získat výslednou sílu jako vektorový součet dílčích sil.) Pravá strana rov. (14.8) obsahuje dvě proměnné, r a m, resp. dm. Před integrací musíme z integrálu odstranit výraz dm. Protože je tyčka homogenní (má konstantní hustotu), můžeme psát ^-^ (14.9) dr a To nám umožňuje nahradit dm = (M/a)dr v rov. (14.8). Potom integrujeme rov. (14.5) a dostaneme ľ fa+a Gm a+d Gm\ M Gm \ M dr = - a+d d a a Gm\M ( 1 /"'+<' dr i, * ii a+d d Gm i M a G m i M d(a + d) ~ (6,67-10 11 m3-kg-|-s-2)(0,67kg)(5,0kg) (0,23 m)(3,0m + 0,23 m) = 3.0-10~'°N. (Odpověď) RADY A NAMETY Bod 14.1: Znázornění vektorů gravitační síly Máme dáno rozložení částic (např. na obr. 14.4a) a chceme najít celkovou gravitační sílu působící na jednu z nich. Pak doporučujeme nakreslit silový diagram, který obsahuje jen zkoumanou částici (nikoli ostatní) a jen ty síly, které na ni působí, jako je to v obr. 14.4b. Pokud byste se rozhodli skládat vektory sil v původním diagramu, umísťujte je vždy do té částice, na kterou příslušná síla působí (a to raději „patičkou" vektoru než jeho „šipkou"). Pokud nakreslíte vektory sil jinak, vnesete si do diagramu zmatek. A ten bude zaručený, pokud budete umísťovat vektory sil do těch částic, které na zkoumanou částici působí. Bod 14.2: Zjednodušení součtu sil využitím symetrie V př. 14.1 jsme použili symetrii systému k úspoře času a zjednodušení výpočtů vedoucích k řešení. Uvědomíme-li si, že mi a m4 jsou umístěny symetricky vzhledem k mi, a tedy F\2 a Fin se vyruší, nemusíme tyto síly počítat. A pokud si uvědomíme, že .v-ové složky sil F13 a F15 se vzájemně vyruší a jejich y-ové složky jsou shodné a sečtou se, ušetříme si další námahu. J^ONTROLA 3: Určete, jaký směr má výslednice gravitační síly působící na částici o hmotnosti m\ od jiných částic o hmotnostech m, které jsou umístěny na ose x symetricky vůči ose y podle obrázku. m 1 14.4 GRAVITACE V BLÍZKOSTI POVRCHU ZEMĚ Zanedbejme prozatím rotaci Země a předpokládejme, že Země je stojící homogenní koule o hmotnosti M a poloměru R = 6 371 km, odpovídajícímu objemu skutečné Země. Velikost gravitační síly působící na částici o hmotnosti rn stojící ve vzdálenosti r > R od středu Země je podle rov. (14.1) Min F — G——. (14.10) Pokud na částici nepůsobí jiné síly, bude působením gravitační síly F padat ke středu Země. Síle F odpovídá zrychlení, které nazýváme gravitační zrychlení as. Newtonův druhý pohybový zákon nám říká, že pro F a ag platí F (14.11) Dosadíme-li nyní F zrov.(14.10) do rov.(14.11) a vyjád-říme-li o,,, dostaneme GM f 14.12) Tab. 14.1 ukazuje hodnoty a„ vypočítané pro různé výšky nad zemským povrchem. Tabulka 14.1 Změna gravitačního zrychlení a„ s výškou h příklad výšky h km m-s~2 mořská hladina 0 9,83 Mount Everest 8,8 9,80 nejvyšší výška dosažená 36,6 9,71 balonem s lidskou posádkou oběžná dráha raketoplánu 400 8,70 komunikační satelit 35 700 0,225 Gravitační zrychlení as vyjádřené z rov. (14.12) není úplně stejné jako tíhové zrychlení g, které opravdu naměříme na volně padajících tělesech (a které je přibližně 9,81 m-s~2 u povrchu Země). Tato dvě zrychlení se liší ze tří důvodů. Země totiž (1) není homogenní, (2) není dokonalá 14.4 gravitace v blízkosti povrchu země 361 koule, (3) rotuje, tj. otáčí se kolem vlastní osy. Protože je g různé od as, je také tíhová síla mg různá od gravitační síly podle rov. (14.10), a to ze stejných důvodů. Rozeberme si nyní tyto důvody. 1. Země není homogenní. Hustota Země se mění radiálně dosti výrazně, jak ukazuje obr. 14.6. To by podle slupkového teorému gravitační sílu vně Země neovlivnilo. Jenomže hustota zemské kůry (či vnější části) se mění v jednotlivých oblastech pod povrchem Země. Proto se také g mění od oblasti k oblasti. 2 3 4 5 6 7 vzdálenost od středu (106m) Obr. 14.6 Hustota Země jako funkce vzdálenosti od středu. Hranice pevného vnitřního jádra, převážně tekutého vnějšího jádra a pevného pláště jsou v grafu vyneseny, ale zemská kůra je příliš lenká, než aby mohla být v tomto grafu zachycena v odpovídajícím měřítku. Obr. 14.7b je silový diagram pro bednu. Dostředivé zrychlení o bedny míří do středu kružnice, po níž se bedna pohybuje, a tento střed je totožný se středem Země (předpo-kládáme-li kouli). Země působí na bednu gravitační silou o velikosti mcig podle rov. (14.11). Číslicová váha působí na bednu normálovou silou F\. Užijeme druhý Newtonův zákon na bednu, kladný směr osy orientujeme ke středu Země a dostáváme E ľ = ma* — F\ — ma. (14.13) Velikost Fn síly čteme na stupnici váhy; bedna váží mg. Dosadíme-li mg za Fn do rov. (14.13), dostaneme in a u mg (14.14) což. ukazuje, že velikost tíhové síly bedny (její váha) mg se liší od velikosti gravitační síly mag působící na bednu. Vydělíme-li rov. (14.14) m, vidíme, že také g se liší od ag, a to o dostředivé zrychlení a. F. bedna "váha s severní pól m a., (b) 2. Země není koule. Země je přibližně elipsoid, zploštělý na pólech a vypuklý na rovníku. Jeho rovníkový poloměr je 6 378 km, polární 6 357 km. Proto jsou body na pólech blíž hustému jádru Země než body na rovníku. To je jeden z důvodů, proč tíhové zrychlení g roste na úrovni mořské hladiny ve směru od rovníku k pólům. 3. Země rotuje kolem své osy. Osa rotace prochází severním a jižním pólem Země. Každý předmět umístěný na povrchu Země kdekoli kromě těchto pólů obíhá po kružnici kolem osy rotace, a proto musí mít dostředivé zrychlení, které míří do středu této kružnice. Toto dostředivé zrychlení lze popsat dostředivou silou, která také míří do středu této kružnice. Ukážeme si, jak rotace Země způsobuje rozdíl mezi tíhovým zrychlením g a gravitačním zrychlením a2, a tím i mezi tíhovou a gravitační silou podle rov. (14.10). Rozebereme za tím účelem jednoduchou situaci, v níž bedna hmotnosti in leží na číslicové váze na rovníku. Obr. 14.7a názorně ukazuje tuto situaci z pohledu shora nad severním pólem. (a) Obr. 14.7 (a) Bedna ležící na váze na zemském rovníku. Pohled je podél osy zemské rotace, shora od severního pólu. (b) Silový diagram pro bednu. Bedna koná rovnoměrný kruhový pohyb, a má proto zrychlení orientované do středu Země. Gravitační síla na ni působící má velikost mas. Normálová síla Fk působící na váhu má velikost mg, kde g je tíhové zrychlení. Dostředivé zrychlení a má velikost orR, kde oj je úhlová rychlost rotující Země a R je poloměr kruhové dráhy, kterou opisuje bedna. (R je přibližně poloměr Země.) Za co můžeme dosadit 2ti/ T, kde T = 24 h je přibližně doba jednoho oběhu Země. Po dosazení do rov. (14.14) a vydělení m dostaneme í7a — g = co R = 2k\2 R = = 0,034 m-s" (14.15) 362 kapitola 14 gravitace Odtud plyne, že tíhové zrychlení g = 9,8 m-s~2 měřené na rovníku skutečné, rotující planety je o něco menší než gravitační zrychlení ag způsobené pouze gravitační silou. Umístíme-li bednu kamkoli mezi rovník a pól, budou mít o. ag různé směry, neboť dostředivá síla na rozdíl od síly gravitační nemíří do středu Země, nýbrž kolmo k ose otáčení. Rov. (14.15) by proto bylo nutno upravit. Přesto ale můžeme odhadnout, že se rozdíl mezi ag a g směrem k pólům zmenšuje, protože bedna opisuje menší a menší kružnice při stejné úhlové rychlosti co. Na pólu je pak tíha bedny rovna gravitační síle, neboť se bedna pouze otáčí, ale nepohybuje se po kružnici. Rozdíl tíhových zrychlení na rovníku a na pólu není velký (na rovníku je g = 9.78 m-s-2, na pólu g = = 9.83 m-s-2), a proto ho obvykle zanedbáváme. Také tíhovou sílu mg můžeme aproximovat gravitační silou podle rov. (14.10). PŘÍKLAD 14.3 Uvažujme pulzar, extrémně hustou zkolabovanou hvězdu, s hmotností Slunce M = 1,98-1030 kg, ale s poloměrem pouze R = 12 km a s rotační periodou '/' = 0,041 s. Jak se procentuálně liší na jeho rovníku tíhové zrychlení g od gravitačního a^? ŘEŠENÍ: Hodnotu ag na povrchu pulzaru najdeme podle rov. (14.12), kde R nahradí r a M bude hmotnost pulzaru. Dosazením daných hodnot dostaneme _ CM _ (6,67-10-11 m3-kg-1-s-2)(l,98-103Okg) _ "u ~ ~W ~ (12 000 m)2 = 9.2-1011 m-s-2. Dosazením daných hodnot do rov. (14.15) a vydělením ag dostaneme a, g {2kY R _ / 2- \2 (12 000m) a„ ~\y) ~ä% ~ V0.041 s) (9.2-1011 m-s-2) " = 3,1-10~4 = 0,031 %. (Odpověď) Přestože pulzar rotuje velmi rychle, ovlivní jeho rotace tíhové zrychlení jen málo, protože poloměr pulzaru jc velmi malý. PŘÍKLAD 14.4 (a) Astronaut vysoký h — 1,70 m se vznáší nohama dolů v raketoplánu na oběžné dráze ve vzdálenosti = 6,77-106 m od středu Země. Jaký je rozdíl v gravitačním zrychlení jeho chodidel a hlavy? ŘEŠENÍ: Rov. (14.12) nám říká, že gravitační zrychlení ve vzdálenosti r od středu Země je gmz ag = —_A (14.16) kde Mz jc hmotnost Země. Nemůžeme dost dobře použít dvakrát rov. (14.16), jednou s r = 6.77-106 m pro chodidla a potom sr = 6,77-106m + l,70m pro hlavu. Pokud bychom to udělali, kalkulačka by nám dala stejný výsledek pro obě hodnoty a rozdíl by byl nulový; h je totiž příliš malé v porovnání s r. Místo toho zderivujeme rov. (14.16) podle r a získáme GMZ dag =-2—f^ dr, (14.17) kde dag je infinitezimální změna gravitačního zrychlení způsobená infinitezimální změnou dr. Pro astronauta je dr = h a r — 6,77-10hm. Nahradíme-li veličiny v rov. (14.17), dostaneme (6.67-10-'1 m3-kg-1-s-2)(5,98-1024kg) dcia = —2-;-=-— ■ (6,77- 106 m)3 • (l,70m) = -4,37-10~6 m-s"2. (Odpověďj Tento výsledek znamená, že gravitační zrychlení, a Lím i síla působící směrem k Zemi na astronautova chodidla, jc větší než na jeho hlavu. Tento rozdíl mezi silami, kterými působí nehomogenní pole na různé části téhož (dostatečně rozlehlého) tělesa, sc nazývá slapová síla; způsobuje, že se astronautovo tělo protahuje. V tomto případě je ovšem tak malá, že je prakticky neměřitelná. (b) Pokud by astronaut ve stejné poloze obíhal na stejné dráze o poloměru r = 6.77-10fi m. ale tentokrát kolem černé díry o hmotnosti Aře = 1,99• 1031 kg (což je desetinásobek hmotnosti Slunce), jaký by byl rozdíl gravitačního zrychlení jeho chodidel a hlavy? Černá díra má povrch (zvaný horizont černé díry) o poloměru = 2,95-104 m. Nic, ani svědo, neunikne z této hranice, natož z vnitřního prostoru černé díry. Povšimněme si, žc astronaut je (moudře) dost daleko od této hranice (r = 229flř)- ŘEŠENÍ: Opět použijeme rov. (14.17), kde dosadíme Mj = = 1,99-1031 kg za Mz- Dostaneme (6.67-10-" m-kg-'-s^Hl^J-lO31 kg) da„ = —2-----• (6,77-106m)3 • (l,70m) = -14,5m-s~2. (Odpověd) Tentokrát jc gravitační zrychlení astronautových chodidel směrem k černé díře značně větší než to, které působí na jeho hlavu. Slapová síla. natahující jeho tělo, by byla sice snesitelná, ale dosti bolestivá. Pokud by se přiblížil k černé díře ještě více. natahování by drasticky stouplo. 14.5 GRAVITAČNÍ POLE UVNITŘ ZEMĚ Newtonův slupkový teorém můžeme použít také na situaci, v níž je částice umístěna uvnitř homogenní kulové slupky, a to v tomto tvaru: 14.6 gravitační potenciální energie 363 Síla působící na částici je po užití rov. (14.1) a (14.18) určena vzorcem ^ GmM' GingAnr- (4nmGg r2 3r2 V 3 = -Kr, (Odpověď) (14.19) kde K je konstanta rovná 4kiiiGq/3. Znaménko minus jsme ponechali proto, abychom zdůraznili, že síla F a polohový veklor r mají opačný směr. Síla směřuje do středu Země, zatímco polohový vektor směřuje od středu Země ven. Rov. (14.19) nám tedy říká, že síla působící na částici je přímo úměrná výchylce částice od středu Země, ale má opačný směr. Chová se tedy podobně jako síla pružnosti v Hookově zákonu. Homogenní kulová hmotná slupka nepůsobí žádnou výslednou gravitační silou na částici umístěnou uvnitř této slupky. Kdyby byla hustota Zcmč konstantní (tj. kdyby byla Země homogenní), pak by gravitační síla působící na částici byla maximální na povrchu Země. S klesající vzdáleností od středu Země by lineárně klesala k nule; hmotná slupka ležící nad částicí totiž nepřispívá k celkové síle působící na částici. Hustota Země však konstantní není a její jádro je podstatně hustší než její plášť. Začne-li tedy částice klesat pod povrch, převažuje nejprve vliv hustšího jádra a celková gravitační síla působící na částici roste. V určité hloubce dosáhne maxima a teprve při dalším pohybu směrem ke středu Země se opět začne zmenšovat, prakticky až k nule. 14.6 GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE V čl. 8.3 jsme probírali gravitační potenciální energii Ep soustavy částice + Země. Zabývali jsme se případem, kdy částice byla poměrně blízko zemského povrchu a gravitační sílu jsme mohli pokládat za konstantní. Zvolili jsme vhodnou referenční konfiguraci pro nulovou potenciální energii čili konfiguraci, k níž budeme potenciální energii vztahovat. Často bývá takovou konfigurací částice ležící na povrchu Země. Neleží-li částice na povrchu Země, pak Ep klesá, když se zmenšuje vzdálenost mezi částicí a Zemí. V této kapitole rozšíříme dosavadní pojetí a budeme uvažovat gravitační potenciální energii Ep soustavy dvou částic o hmotnostech m a M, které jsou od sebe vzdáleny r. Znovu si zvolíme konfiguraci, při níž bude Ep = 0. Abychom si však zjednodušili rovnice, bude to tentokrát ve vzdálenosti r natolik velké, abychom ji mohli nahradit nekonečnou vzdáleností. Stejně jako předtím se potenciální energie zmenšuje, když se zmenšuje vzdálenost částic. Za-vedcme-li tedy Ep = 0 pro r -*■ oo, bude potenciální energie pro každou konečnou vzdálenost záporná a bude mít tím větší absolutní hodnotu |Ep|, čím blíže budou částice u sebe. Jak dále dokážeme, bude gravitační potenciální energie systému dvou částic rovna G Mm. Ep =--(gravitační potenciální energie). (14.20) r Všimněme si, že se Ep(r) skutečně blíží k nule, když se r blíží k nekonečnu, a že pro každou konečnou hodnotu r je £p(r) záporné. Energie daná rov. (14.20) je vlastností soustavy dvou částic, nikoli jedné osamocené částice. Tuto energii nelze :•'>•; KLAD 14.5 Představme si tunel procházející skrz Zemi od pólu k pólu (obr. 14.8). Předpokládejme, že Země je nerotující homogenní koule. Najděte gravitační sílu působící na částici o hmotnosti m, která je puštěna do tunelu, když dosáhne vzdálenosti r od středu Země. / v ^^^^B WĚĚĚĚ^^Ě . M' \ t: M r I Obr. 14.8 Příklad 14.5. Částice je puštěna do tunelu vyvrtaného skrz zeměkouli. ŘEŠENÍ: Síla působící na částici je vyvolána jen tou hmotou Země, která leží uvnitř koule o poloměru r. Část Země, která leží vně léto koule, nepůsobí na částici žádnou výslednou silou. Hmotnost M' vnitřní části je dána vztahem 4w3 M' = qV = q——, (14.18) kde v' je objem (který je ohraničen přerušovanou čarou v obr. 14.8), M' je hmotnost části Země uvnitř tohoto objemu a q je předpokládaná hustota homogenní Země. 364 kapitola 14 gravitace rozdělit a říci, že tolik a tolik přísluší jedné částici a zbytek té druhé. Je-li však M ^> m, jako třeba pro Zemi a míč, hovoříme často o „potenciální energii míče". Můžeme to tak říci proto, že když se míč pohybuje v blízkosti zemského povrchu, projevují se změny v potenciální energii soustavy míč+Země jen jako změny kinetické energie míče, zatímco změny kinetické energie Země jsou příliš malé na to, aby byly měřitelné. (Naproti tomu změna hybnosti je stejně velká pro Zemi i pro malý míček; proč?) Podobně budeme v čl. 14.8 mluvit o „potenciální energii umělé družice", která obíhá kolem Země, protože hmotnost družice je také mnohem menší než hmotnost Země. Budeme-li však mluvit o potenciální energii těles se srovnatelnými hmotnostmi, musíme s nimi zacházet zase jako s celkem — se soustavou. Pokud náš systém obsahuje více než dvě částice, uvažujeme postupně každou dvojici částic a počítáme energii každé dvojice podle rov. (14.20), jako by tam ostatní částice nebyly. Nakonec všechny tyto příspěvky algebraicky sečteme. Použijeme-li rov. (14.20) na každou ze tří dvojic z obr. 14.9, dostaneme potenciální energii tohoto systému jako Gm\mi Gm\m-i Gmim^ r\2 ř"i3 í"23 Obr. 14.10 Kulová hvězdokupa, jako např. tato v souhvězdí Střelce, obsahuje desítky tisíc hvězd uspořádaných ve výsledném kulovitém útvaru. V naší Galaxii, kterou vidíme jako Mléčnou dráhu, je mnoho takových hvězdokup a některé z nich jsou viditelné již malým dalekohledem. dr (14.21) M -R- Obr. 14.9 Tři částice působící na sebe vzájemnými gravitačními silami. Gravitační potenciální energie tohoto systému je součtem dílčích energií každé ze tří možných dvojic. Kulová hvězdokupa (obr. 14.10) v souhvězdí Střelce je dobrým příkladem systému částic, který se vyskytuje v přírodě. Obsahuje kolem 70000 hvězd, které lze spárovat 2,5-109 různými způsoby. Zamyslíme-li se nad touto strukturou, uvědomíme si, jak obrovské množství gravitační potenciální energie je ve vesmíru nahromaděno. Odvození rov. (14.20) Nechť míček, pohybující se z klidu ve velké (nekonečné) vzdálenosti od Země, padá do bodu P, jak je znázorněno na obr. 14.11. Potenciální energie soustavy míček + Země je na počátku nulová. Když míček dosáhne bodu P, bude potenciální energie rovna záporně vzaté práci w vykonané Obr. 14.11 Míček o hmotnosti rn padá k Zemi z nekonečna podél radiální přímky a prochází bodem P, který je ve vzdálenosti R od středu Země. gravitační silou působící na míček, která ho přesunula do bodu P z jeho vzdálené polohy. Z rov. (8.5) plyne £p = -w ľ F(r) ■ dr. (14.22) Meze integrálu jsou dány počáteční vzdáleností míčku, kterou bereme jako nekonečnou, a jeho koncovou vzdáleností R. Vektor F(r) v rov. (14.22) směřuje radiálně do středu Země v obr. 14.11 a vektor dr míří radiálně od něj, takže úhel (p mezi těmito vektory je 180°. Je tedy F(r) ■ dr = F(r)(cos 180°)(dr) = = -F(r)ár. (14.23) Za F(r) v rov. (14.23) nyní dosadíme z Newtonova gravitačního zákona (rov. (14.1)) a dostáváme F{r) ■ dr G Mm dr. 14.6 gravitační potenciálni energie 365 Dosadímc-li ještě tento výraz do rov. (14.22), získáme výsledek fR i G Mm , což odpovídá přímo rov. (14.20). G Mm -i R G M m Obr. 14.12 Práce vykonaná gravitační silou při přesunu míčku z A do E jc nezávislá na cestě, po níž se míček pohybuje. V rov. (14.22) nezáleží na trajektorii, po které se míček k Zemi pohybuje. Uvažujme cestu vytvořenou z malých kroků, jako na obr. 14.12. Podél kroků, jako je A B nebo CD, kdy se nemění vzdálenost od Země, se nekoná žádná práce, protože gravitační síla jc při nich kolmá na posunutí. Celková práce vykonaná při radiálních krocích, jako třeba BC. je tedy stejná jako práce vykonaná při pohybu podél jedné radiální přímky, což je vidět na obr. 14.12. Výsledná práce vykonaná gravitační silou působící na částici při jejím pohybu mezi libovolnými dvěma body je tedy nezávislá na cestě, po které se částice pohybuje, ale závisí pouze na počáteční a koncové poloze dané částice. Tuto práci můžeme jednoduše spočítal jako záporně vzatý rozdíl potenciální energie v těchto dvou bodech w = -A£n (14.24) kde Ep,f jc potenciální energie v koncovém a Ep,j v počátečním bodě. A právě to jsme chtěli říci v kap. 8 slovy, že gravitační síla je konzervativní. A jak jsme už výše rozebrali, pokud by práce na cestě závisela (jako např. u třecí síly), pak taková síla není potenciálová a potenciální energii nelze zavést. Potenciální energie a síla V důkazu rov. (14.20) jsme odvodili potenciální energii Ep ze síly F. Měli bychom být také schopni postupovat obráceně, tedy začít od potenciální energie a dojít k síle. Se znalostí rov. (8.19) můžeme zapsat její radiální složku E, d£p _ " dr G Mm d (14.25) To je právě Newtonův gravitační zákon (rov. (14.1)). Znaménko minus udává, že síla působící na hmotu m směřuje radiálně dovnitř, směrem k hmotě M. Úniková rychlost Když vypálíme střelu svisle vzhůru, začne se zpomalovat, až se obvykle v jisté výšce na okamžik zastaví a pak se zase vrací k Zemi. Existuje však jistá počáteční rychlost, při které se částice bude pohybovat vzhůru navždy a zastaví se teoreticky až v nekonečnu. Tato počáteční rychlost se nazývá úniková rychlost. Uvažujme střelu o hmotnosti m, která opouští povrch planety (nebo nějakého astronomického tělesa či systému) s únikovou rychlostí v. Její kinetická energie je rovna Im v2 a potenciální energie Ep je dána podle rov. (14.20): G Mm R kde M je hmotnost planety a R její poloměr. Když střela dosáhne nekonečna, zastaví se a nemá tedy žádnou kinetickou energii. Nemá ani žádnou potenciální energii, protože polohu v nekonečnu jsme zvolili za konfiguraci s nulovou potenciální energií. Celková energie střely v nekonečnu je proto nulová. Ze zákona zachování energie plyne, že její celková energie na povrchu planety musela být také nulová, takže platí Z toho plyne \mv2 G Mm R 0. IG M L V R (14.26) Úniková rychlost nezávisí na směru, kterým jc střela vypuštěna. Uvážíme-li však rotaci Země kolem vlastní osy, je získání této rychlosti snadnější, pokud je střela vypuštěna ve směru pohybu Země. Například rakety startující na východ od mysu Canaveral mají navíc rychlost 1 500 km/h, kterou se mys pohybuje na východ díky rotaci Země. Tabulka 14.2 Příklady únikových rychlostí TĚLESO M R v - — kg m km-s-1 Ceres" 1.17-1021 3,8 -ÍO5 0,64 Měsíc 7,36-10" 1,74-106 2,38 Země 5.98-1024 6.37-106 11,2 Jupiter 1.90-1027 7.15-107 59,5 Slunce 1.99-1030 6.96-10s 618 Sirius B'' 2-1030 MO7 5 200 neutronová hvězda r 2-1030 MO4 2-103 " nejhmotnější asteroid (planetka) * bílý trpaslík (hvězda v koncovém stádiu vývoje), který je souputníkem jasné hvězdy Siria ' zhroucené jádro hvězdy, kleré zbylo po jejím výbuchu v supernovu. 366 kapitola 14 gravitace například průměr pouhých 5 m, uvolnil by jeho dopad tolik energie jako výbuch jaderné bomby v Hirošimě. Varovné je, že v blízkosti oběžné dráhy Země se nachází 500 milionů podobných asteroidů. V roce 1944 jeden z nich zřejmě pronikl zemskou atmosférou a explodoval ve výšce 20 km nedaleko osamělého ostrova v jižním Pacifiku. Tím způsobil, že se na šesti válečných satelitech spustil varovný signál před jadernou explozí. Asteroid o průměru 500 m (a takových může být poblíž zemské oběžné dráhy milion) by mohl zničit celou moderní civilizaci a téměř vyhladit celé lidstvo. Víme-li však o něm včas, umíme ho už (výbuchem) vhodně vychýlit z dráh)'. (Jak je vidět, fyzika, astronomie i technika mohou lidstvu opravdu prospět.) Rov. (14.26) můžeme použít k určení únikové rychlosti střely z jakéhokoli astronomického objektu, dosa-díme-li za M hmotnost tohoto objektu a za R jeho poloměr. Tab. 14.2 udává únikové rychlosti z vybraných astronomických těles. J^ONTROLA 4: Míč o hmotnosti m vzdalujeme z povrchu koule o hmotnosti M. (a) Roste, nebo klesá gravitační potenciální energie soustavy míč+koule? (b) Je práce konaná gravitační silou mezi míčem a koulí kladná, nebo záporná? PŘÍKLAD 14.6 Asteroid letící přímo na Zem má ve vzdálenosti deseti poloměrů Země od jejího středu rychlost 12km/s vůči Zemi. Pokud pomineme vliv zemské atmosféry na jeho pohyb, určete, jakou rychlostí na Zemi dopadne. ŘEŠENÍ: Jelikož je hmotnost asteroidu mnohem menší než hmotnost Země, můžeme gravitační potenciální energii systému Země + asteroid připsat jen samotnému asteroidu. Můžeme také zanedbat změnu relativní rychlosti Země vzhledem k asteroidu během jeho letu. Protože zanedbáváme vliv atmosféry na asteroid, zachovává se mechanická energie asteroidu během letu, tedy £k.f + £p.f = £k,i + £p.i^ kde £k a Ep jsou kinetická a potenciální energie asteroidu a indexy f a i označují stav koncový (ve vzdálenosti 1 poloměru Země) a počáteční (ve vzdálenosti 10 poloměrů Země). Označme m hmotnost asteroidu, M = 5,98-1024 kg hmotnost Země a R = 6 378 km poloměr Země. Použijeme-li rov. (14.20) pro potenciální energii a jmv2 pro kinetickou energii, dostaneme 1 , GMm 1 , GMm —mvi--— —mv;--. 2 f R 2 1 10Ä Úpravou rovnice a dosazením známých hodnot získáme , , 2GM f 1 \ vf = v- +- 1--= f R \ 10/ = (^TO-^m-s"1)2 + 2(6,671Q-um3-kg-1-s-2)(5,98-1024kg) _ (S,37-106m) ' _ = 2,567-108 nr-s"2 a odtud plyne v{ = 1,60-10* m-s-1 = 16 km/s. (Odpověď) Při této rychlosti by asteroid nemusel být nijak zvlášť veliký k tomu, aby způsobil na Zemi vážné škody. I kdyby měl 14.7 PLANETY A DRUŽICE: KEPLEROVY ZÁKONY Pohyby planet, které po obloze putují na pozadí hvězd, byly hádankou již od dávných časů. Smyčkovitý pohyb Marsu, znázorněný na obr. 14.13, byl obzvláště matoucí. Johannes Kepler (1571-1630) formuloval po celoživotním studiu empirické zákony, kterými se tyto pohyby řídí. Tycho Brahe (1546-1601), který jako poslední z velkých astronomů prováděl pozorování bez pomoci dalekohledu, nashromáždil rozsáhlé množství poznatků a údajů, které umožnily Keplerovi odvodit tři zákony o pohybech planet, nesoucí dnes Keplerovo jméno. Později ukázal Newton (1642-1727), že z jeho gravitačního zákona lze Keplerovy empirické zákony odvodit i teoreticky. Obr. 14.13 Dráha planety Mars, po níž se pohybovala na pozadí souhvězdí Kozoroha během roku 1971. Na obrázku j c znázorněna jeho poloha ve čtyřech různých dnech. Planety Mars i Země se obě pohybují po oběžných drahách kolem Slunce; zde vidíme polohu Marsu vzhledem k Zemi. Díky tomu pozorujeme na dráze Marsu zdánlivé smyčky. Probereme si postupně každý z Keplerových zákonů. Nejprve formulace pro skutečné planety naší sluneční soustavy: 14.7 planety a družice: kľplerovy zákony 367 1. Keplerův zákon (zákon oběžných drah): Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách (jen málo odlišných od kružnic), v jejichž společném ohnisku je Slunce. Ačkoli jsou zde zákony formulovány pro planety, které se pohybují kolem Slunce, platí stejně dobře pro družice (satelity), ať už přírodní nebo umělé, které obíhají kolem Země nebo jakéhokoli jiného objektu, v tomto trochu obecnějším znění: Obecná formulace 1. Keplerova zákona: Částice se pod vlivem centrální síly pohybuje po kuželosečce (kružnici, elipse, parabole nebo hyperbole), která má ohnisko v centru síly. Obr. 14.14 představuje planetu o hmotnosti m obíhající po jedné z oběžných drah kolem Slunce, jehož hmotnost je M. Předpokládáme, že M > m, a proto těžiště soustavy planeta + Slunce leží téměř ve středu Slunce (úloha 88). Obr. 14.14 Planeta o hmotnosti m pohybující se po eliptické oběžné dráze kolem Slunce. Slunce o hmotnosti M se nachází v jednom ohnisku F dané elipsy; druhé, „prázdné" ohnisko, je označeno F'. Každé z ohnisek je vzdáleno o / = \SF\ — ea od středu elipsy, kde e je excentricita elipsy a a je její hlavní poloosa. Perihelium (ncjbližší místo ke Slunci) je ve vzdálenosti Rp a afelium (nejvzdálenější místo od Slunce) je ve vzdálenosti Ra. Oběžná dráha na obr. 14.14 je popsána vyznačenou hlavní poloosou a a excentrickou e neboli výstředností, definovanou tak, že / = ea je vzdálenost středu elipsy S od ohniska F nebo F'. Nulová excentricita odpovídá kružnici, v níž obě ohniska splynou do jednoho bodu — do středu kružnice. Excentricity oběžných drah planet jsou poměrně malé, takže tyto dráhy — načrtnuty na papíru — vypadají skoro jako kružnice. Excentricita elipsy na obr. 14.14, která je pro větší názornost přehnaně velká, činí 0,74. Skutečná excentricita oběžné dráhy Země je pouze 0,016 7. Jiné objekty než planety (např. komety) mohou mít excentricitu podstatně větší. 2. Keplerův zákon (zákon ploch): Plochy opsané prů-vodičem planety za jednotku času jsou stejně velké. Z tohoto zákona plyne, že se planeta bude pohybovat nejpomaleji, když bude od Slunci nejdále, a nejrychleji, když bude k Slunci nejblíže. Druhý Keplerův zákon je ekvivalentní zákonu zachování momentu hybnosti. Dokažme to: Obsah vystihovaného klínu na obr. 14.15a je přibližně roven obsahu plochy opsané průvodičem planety o délce r za čas Ař. Obsah tohoto klínu AS je přibližně roven obsahu trojúhelníka o základně r Ad a výšce r, tedy AS = ±r2A6. Toto vyjádření pro AS bude tím přesnější, čím více se bude Ař (a také A9) blížit nule. Okamžitá rychlost, s jakou přibývá plocha, je tedy dS r2 áO r2co ~ďí ~ TďT ' ~2~' kde (ú je úhlová rychlost průvodiče. Obr. 14.15b znázorňuje hybnost planety a její jednotlivé průměty. Z rov. (12.27) je velikost momentu hybnosti L planety obíhající kolem Slunce dána ramenem r a složkou pj_ hybnosti p kolmou k r: (14.27) L = rp± = (r)(mv±) = (r)(múůr) ■ (14.28) (a) (b) Obr. 14.15 (a) Za čas Ar opíše průvodič r úhel A9 a plochu o obsahu AS. (b) Hybnost p dané planety a její složky. 368 kapitola 14 gravitace kde jsme za v± dosadili eur z rov. (11.16). Vyloučíme-li společný výraz r2o> z rov. (14.27) a (14.28), dostáváme dS L 2m í 14.29) Pokud bude áS/át konstanta, a to tvrdí 2. Keplerův zákon, pak podle rov. (14.29) musí být L také konstanta, což znamená, že se moment hybnosti L bude zachovávat. Druhý Keplerův zákon je tedy skutečně ekvivalentní zákonu zachování momentu hybnosti. 3. Keplerův zákon (zákon oběžných dob): Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich drah. Pro ilustraci, uvažujme kruhovou oběžnou dráhu o poloměru r (poloměr u kružnice je ekvivalentem hlavní poloosy u elipsy). Užitím druhého Newtonova zákona F = ma pro obíhající planetu na obr. 14.16 dostáváme G Mm = (m)(ců r). (14.30) Za sílu F jsme dosadili z rov. (14.1) a dále jsme použili rov. (11.21), odkud jsme za velikost dostředivého zrychlení dosadili výraz arr. Když podle rov. (11.18) dosadíme co = = 2k/ 7, kde T je oběžná doba, získáme třetí Keplerův zákon: 47ť* GM (zákon oběžných dob). (14.31) Výraz v závorkách je konstanta, jejíž hodnota závisí pouze na hmotnosti centrálního tělesa. r/ Obr. 14.16 Planeta o hmot- M nosti m pohybující se kolem / Slunce po kruhové oběžné dráze o poloměru r. - — - " ' Rov. (14.31) platí také pro eliptické dráhy, zaměníme-li v ní r za a, čili hlavní poloosu elipsy. Tento zákon předpovídá, že poměr T2/a3 bude stejný pro oběžné dráhy všech planet obíhajících kolem daného hmotného tělesa. Tab. 14.3 ukazuje, jak dalece zákon platí pro oběžné dráhy planet naší Sluneční soustavy. Dne 7. února 1984, ve výšce 102 km nad Havajskými ostrovy v rychlosti 29000km/'h, vystoupil Bruče McCandless z raketoplánu (s nímž nebyl pevně spojen) do vesmíru. Tím se stal prvním lidským satelitem. Tabulka 14.3 Třetí Keplerův zákon pro Sluneční soustavu Planeta a T 1010m y 10-My2/m3 Merkur 5,79 0,241 2,99 Venuše 10,8 0,615 3,00 Země 15,0 1,00 2,96 Mars 22,8 1,88 2,98 Jupiter 77,8 11,9 3,01 Saturn 143 29,5 2,98 Uran 287 84,0 2,98 Neptun 450 165 2,99 Pluto 590 248 2.99 J^ONTROLA 5: Družice 1 obíhá planetu pojistě kruhové dráze, družice 2 ji obíhá po větší kruhové dráze. Která z družic má (a) delší dobu oběhu a (b) větší rychlost? PŘIKLAD 14.7 Družice, obíhající po kruhové dráze ve výšce /; = 230 km nad Zemí, má dobu oběhu T = 89 min. Jakou hmotnost by podle těchto údajů měla mít Země? ŘEŠENÍ: K výpočtu použijeme 3. Keplerův zákon pro soustavu družice + Země. Vyjádříme-li z rov. (14.31) hmot- 14.7 planety a družice: keplerovy zákony 369 nosí m, získáme vztah m = 4it2/ gt (14.32) Poloměr r dráhy družice je ,• = /? + /, = (6,37-10" m + 230- 103 m) = = 6.6(M06m. kde R je poloměr Země. Dosazením této hodnoty poloměru a doby oběhu do rov. (14.32) dostaneme M 4Ti2(6,60-106m)^ (6,67-ÍO"11 nv'-kg-1-= 6,0-1024 kg. :)(89 -60s)J (Odpověď) Stejným způsobem můžeme také určit hmotnost Slunce zc známých hodnot doby oběhu Země a poloměru její oběžné dráhy kolem Slunce (předpokládámc-li. že je kruhová) nebo třeba hmotnost Jupitera pomocí doby oběhu a poloměru oběžné dráhy některého z jeho měsíců (jehož hmotnost znát nemusíme). PŘIKLAD 14.8 Halleyova kometa obíhá kolem Slunce s periodou 76 let. V roce 1986 měla nejbližší vzdálenost od Slunce, tj. vzdálenost v periheliu, rovnu Rp = 8.9-1010 m. Tab. 14.3 ukazuje, že sc nacházela mezi oběžnými drahami Merkura a Venuše, (a) Jaká je nej větší vzdálenost této komety od Slunce, čili její vzdálenost v aféliu* Rd'l ŘEŠENÍ: Z rov. (14.31) můžeme určit velikost hlavní poloosy oběžné dráhy Halleovy komety. Nahradíme-li r za a a vyjádříme-li a z této rovnice, dostaneme GMT (14.33) Nyní stačí dosadit za hmotnost Slunce M = 1,99-1030kg a dobu oběhu komety 7' ~ 76 let = 2,4-109s: vypočteme. že a = 2,7-1012 neboli m. Z obr. 14.14 vidíme, žc Äa + R„ 2a Ra = 2a - Rp = = 2(2,7-10l2m) - (8.9-10lom) = 5,3-10l2m. (Odpověď) Z tab. 14.3 je vidět, že tato vzdálenost je jen o něco málo menší než hlavní poloosa oběžné dráhy planety Pluto. (b) Jakou excentricitu má oběžná dráha Halleovy komety? * Při oběhu kolem Slunce se užívají tvary perihelium i perihel. a afélium (stažené z apo-helium). Při oběhu kolem Země jde o perigeum a apogeum. RESENI: Na obr. 14.14 vidíme, že ea = a - Rp neboli a-Rp _ j _ Rp _ a a (8.9-10l0m) = 1 ---pr—- = 0.97. (Odpověď) (2,7-10l2m) 1 Z toho vyplývá, že oběžná dráha Halleovy komety, jejíž excentricita je blízká jedné, má tvar velmi protáhlé úzké elipsy. PŘIKLAD 14.9 Pozorování světla z jisté hvězdy nám naznačuje, že tato hvězda je součástí dvojhvězdy. Viditelná hvězda má oběžnou rychlost v = 270 km/s (což zjistíme z Dopplerova posuvu v jejím spektru, viz čl. 18.9), dobu oběhu T = = 1.70dní a hmotnost přibližně rovnu m\ = 6M%, kde Ms = 1,994 030 kg je hmotnost Slunce. Předpokládejme, že sc hvězda a její společník, který je temný, a proto neviditelný, pohybují po kruhových oběžných drahách (obr. 14.17). Určete přibližnou hmotnost mi jejího temného společníka. «i9- O : ' l / / Obr. 14.17 Příklad 14.9. Viditelná hvězda o hmotnosti m i a tmavý, neviditelný objekt o hmotnosti mi obíhají kolem hmotného středu dvojhvězdy v bodě O. ŘEŠENÍ: Stejně jako u soustavy dvou částic v čl. 9.2 leží těžiště této dvojhvězdy na spojnici středů obou hvězd. A stejně jako volně rotující tělesa a systémy v kap. 12 rotuje tato dvojhvězda kolem společného těžiště. Na obr. 14.17 je těžiště vyznačeno bodem O. Viditelná hvězda a temná hvězda obí-hajíkolembodu O po oběžných drahách o poloměrech r\ ari. čili mají navzájem stálou vzdálenost r = r\ +r2.Zrov. (14.1) můžeme určit velikost gravitační síly. jakou působí temný objekt na viditelnou hvězdu, F = Gm i mi Použitím Newtonova zákona síly. F = ma, pro viditelnou hvězdu platí Gin itm f -L-± = mxa = (m.XorVi), (14.34) kde co je úhlová rychlost viditelné hvězdy a a>2n velikost jejího dostředivého zrychlení mířícího do bodu O. 370 KAPITOLA 14 GRAVITACE Pro tytéž veličiny však můžeme získat ještě další vztah, totiž vzorec pro polohu těžiště O Z toho plyne n - (14.35) Když teď dosadíme r z rov. (14.35) do rov. (14.34) a nahradíme en výrazem 2tc/ T, pak po jednoduché úpravě dostaneme 4ic2 (/7i i + mi)2 G7"2 1 (14.36.) Stále zůstávají dvě neznámé, mi a r\. Hodnotu r\ však můžeme určit z kruhového pohybu viditelné hvězdy: doba oběhu T je rovna podílu obvodu oběžné dráhy (2w\ ) a rychlosti v hvězdy. Tedy neboli v v í 2rc ' (14.37) Dosadíme-li m\ = 6Ms a r\ z rov. (14.37), pak rov. (14.36) nabude tvaru v3 T _ 2kG ~ (2,7-105m-s-')3(1.70d)(86 400 s/d) (6MS + m2)2 271(6,67-10- uN-m2-kg"2) neboli = 6,90-1030 kg (6Ms + mi)2 3,47 Ms. (14.38) Mohli bychom řešit tuto kubickou rovnici pro 1112-Pokud nám však stačí jen odhad (stejně počítáme jen s přibližnými hodnotami hmotností), stačí zkoušet postupně dosazovat za m2 celočíselné násobky Ms. Hodnota, která nejlépe vyhovuje dané rovnici, je m-2 = 9Ms- (Odpověď) Tyto hodnoty přibližně odpovídají systému LMC X-3 ve Velkém Magellanově mračnu (viz obrázek na začátku této kapitoly). Z dalších údajů zjistíme, že temný objekt je obzvláště hustý: mohla by to být vlastní gravitací zhroucená hvězda, ze které se stala buď neutronová hvězda, nebo černá díra. Vzhledem k tomu, že neutronová hvězda nemůže mít hmotnost větší než 2M$, utvrzuje nás výsledek mi = 9/V/s v přesvědčení, že se jedná o černou díru. O přítomnosti černé díry se tedy můžeme přesvědčil např. tehdy, pokud je součástí binárního systému s viditelnou hvězdou, jejíž hmotnost, oběžnou rychlost a oběžnou dobu můžeme měřit. 14.8 DRUŽICE: OBEZNE DRAHY A ENERGIE S pohybem družice kolem Země se mění jak její rychlost, která určuje její kinetickou energii, tak vzdálenost od středu Země, která určuje její gravitační potenciální energii, a to ve stejných časových intervalech. Přesto však její celková mechanická energie E zůstává stejná. Vzhledem k tomu, že hmotnost družice je mnohem menší než hmotnost Země, připisujeme tyto energie Ep a E soustavy družice + Země jen samotné družici. Potenciální energie je dána rov. (14.20) a je rovna G Mm kde £p = 0 pro r 00. Zde je r poloměr oběžné dráhy: předpokládejme zatím, že je kruhová. Abychom určili kinetickou energii družice na kruhové oběžné dráze, použijeme druhý Newtonův zákon F = ma a napíšeme ho ve tvaru G Mm v —2— = m — (14.39) kde v2/r je velikost dostředivého zrychlení družice. Polom z rovnice (14.39) plyne vztah pro kinetickou energii 1 n G Mm Ek = -mV = -. 2 2r (14.40) který' nám ukazuje, že pro družici obíhající po kruhové dráze platí Ek = -y- (14.41) Celková mechanická energie pohybující sc družice je GMm GMm E = Ek + Ev neboli GMm 2r (14.42) To nám říká, že celková energie E družice je záporně vzatá kinetická energie £\: -Tik (pro kruhovou dráhu). (14.43) 14.8 družice: oběžné dráhy a energie 371 Pro družici pohybující se po eliptické oběžné dráze s hlavní poloosou a můžeme dosadit r = a v rov. (14.42) a určit celkovou mechanickou energii vztahem GMm E =--(pro eliptickou dráhu). (14.44) 2a Rov. (14.44) ukazuje, že celková mechanická energie obíhající družice závisí pouze na velikosti hlavní poloosy její oběžné dráhy a nezávisí na její excentricite e. Např. na obr. 14.18 jsou nakresleny čtyři oběžné dráhy o stejně dlouhé poloose a. Družice pohybující se po těchto čtyřech odlišných drahách by však měly stejné celkové mechanické energie E. Obr. 14.19 ukazuje závislosti veličin E^, Ep a E na poloměru r u družice, která se pohybuje po kruhové dráze kolem těžkého centrálního tělesa. Obr. 14.18 Čtyři oběžné dráhy kolem centrálního tělesa o hmotnosti M. Všechny tyto dráhy mají stejně velkou hlavní poloosu «, a proto jim odpovídá stejná celková energie E. Excentricity e jednotlivých drah jsou na obrázku vyznačeny. energie Obr. 14.19 Kinetická energie £j(, potenciální energie Ep a celková mechanická energie E v závislosti na poloměru r kruhové oběžné dráhy družice. Hodnoty Ep a £ jsou záporné pro každé r, hodnoty Ek jsou naopak pouze kladné a platí E = —Ek. Blíží-li se /' nekonečnu, klesají hodnoty všech tří energií k nule. J^ONTROLA 6: Uvažujme situaci na obrázku. Raketoplán se na počátku pohybuje po kruhové dráze o polo- měru r kolem Země. V bodě P vystřelil pilot dopředu pomocnou raketu, a tím zmenšil kinetickou energii Ek raketoplánu i jeho celkovou mechanickou energii E. (a) Po které z eliptických drah, vyznačených na obrázku přerušovanou čarou, se bude poté raketoplán pohybovat? (b) Bude nová oběžná doba T raketoplánu (tj. čas, za který se vrátí zpět do bodu P) větší, menší, nebo stejná jako při pohybu po kruhové oběžné dráze? PŘÍKLAD 14.10 Rozverný astronaut vypustil ve výšce h = 350 km nad Zemí velký medicinbal o hmotnosti m = 7,20 kg na kruhovou oběžnou dráhu kolem Země. (a) Jaká je mechanická energie E míče na této dráze? ŘEŠENÍ: Poloměr její oběžné dráhy r je roven r = R + h = (6 378 km) + (350 km) = 6.73-106m. kde R je poloměr Země. Z rov. (14.42) pak snadno určíme mechanickou energii koule GMm E =--= 2r (6,67-10-" N-m2-kg-2)(5,98-1024kg)(7,20kg) _ 2(6,73-106m) _ = -2J34-108 J = -213MJ. (Odpověď) (b) Jaká byla mechanická energie Eq medicinbalu na startovací rampě v Mysu Canaveral? Spočítejte přírůstek AE energie při přemístění z odpalovací rampy na oběžnou dráhu kolem Země. ŘEŠENI: Na startovací rampě měl míč, díky rotaci Země, také jistou kinetickou energii, ale její hodnota jc oproti výsledné energii natolik malá, že ji můžeme zanedbat. Celková energie Eq je tedy rovna potenciální energii £p,o, která je dána vztahem (14.20) GMm E0 = £p,0---— = (6,67-IQ"" N-m2-kg 2)(5.98-1024 kg)(7.20kg) _ (6,38-106m) = -4,501 -108 J = -450 MJ. (Odpověď) 372 kapitola 14 gravitace Mohli byste namítnout, že potenciální energie koule na povrchu Země je nulová. Připomeňme si však. že hladinu nulové potenciální energie jsme zvolili v nekonečnu. Také byste možná chtěli k výpočtu Eq použít rov. (14.42), ale pozor — tato rovnice platí jen pro družici obíhající kolem Země. Přírůstek mechanické energie koule od startu až na oběžnou dráhu je roven AE = E - E0 = (-213 MJ) - (-450MJ) = = 237 MJ. (Odpověd) Toto množství energie ve formě elektřiny by vás (bez započtení pravidelných měsíčních poplatků) při domácí sazbě N. tj. 0,91 Kč/(kW-h), stálo ani ne 60 Kč. 14.9 EINSTEIN A GRAVITACE Princip ekvivalence Albert Einstein jednou vyprávěl: „Byl jsem... na patentovém úřadě v Bernu a najednou mě napadla myšlenka: »Bude-li osoba padat volným pádem, nebude pociťovat vlastní váhu.« Bylo to překvapení. Tato jednoduchá myšlenka na mě hluboce zapůsobila. A to mě dovedlo až k teorii gravitace." Einstein nám zde popsal, jak vlastně začala vznikat jeho známá obecná teorie relativity. Základní postulát této teorie, zabývající se gravitací (vzájemným gravitačním působením předmětů), se nazývá princip ekvivalence a říká, že gravitace a zrychlení si jsou navzájem ekvivalentní. Bude-li fyzik uzavřen v nějaké skříni jako na obr. 14.20a, nebude schopen určit, je-li skříň v klidu na Zemi (a je vystavena působení gravitační síly Země), nebo se pohybuje v mezihvězdném prostoru se zrychlením 9,8 m-s-2 (a je tedy vystavena působení síly, která toto zrychlení vyvolala) jako na obr. 14.20b. V obou případech se fyzik bude cítit úplně stejně a na váze si bude moci přečíst stejný údaj. Navíc, bude-li vedle něj volně padat nějaký předmět, bude mít vůči němu v obou případech stejné zrychlení. Zakřivení prostoru Doposud jsme vysvětlovali gravitaci jako působení vzájemných přitažlivých sil mezi hmotnými tělesy. Einstein však ukázal, že gravitaci lze také popsat zakřivením prostoru, které je vyvoláno přítomností hmoty. (Jak bude v této knize zmíněno později, prostor a čas jsou spolu provázány, takže zakřivení, o kterém Einstein mluvil, je ve skutečnosti zakřivení prostoročasu, čtyřrozměrného útvaru složeného z trojrozměrného prostoru a jednorozměrného času, v němž popisujeme náš vesmír.) (a) (b) Obr. 14.20 (a) Fyzik zavřený ve skříni, která stojí v klidu na Zemi. vidí padat meloun se zrychlením « = 9,8 m-s . (b) Pokud bude skříň i s ním urychlována v hlubinách vesmíru se zrychlením 9,8 m-s-2, bude mít meloun vzhledem k němu stejné zrychlení jako v případě (a). Není tedy možné, aby jen na základě takovýchto experimentů prováděných uvnitř skříně mohl fyzik říci, v jaké situaci se nachází. Například váha, na které stojí, ukazuje v obou případech stejný údaj. Znázornění toho. jak může být prostor (stejně jako vakuum) zakřivený, je složité. Analogie nám však může pomoci: Představme si, že se díváme z oběžné dráhy na závod dvou lodí, které startují na rovníku ve vzdálenosti 20 km a míří na jih (obr. 14.21a). Námořníkům na těchto lodích sc jejich cesty zdají být přímé* a rovnoběžné. Přesto však se po čase začnou lodě k sobě přibližovat a těsně u jižního pólu se spolu setkají. Námořníci si to mohou vysvětlit tak, že na lodě působila nějaká síla. My však vidíme, že se lodě spolu setkaly díky zakřivení zemského povrchu. Máme možnost to vidět proto, že jsme závod pozorovali zvenčí, mimo tento povrch. Obr. 14.21b ukazuje podobné závody: dvě jablka v jisté horizontální vzdálenosti jsou puštěna ze stejné výšky nad Zemí. Ačkoli se může zdát, že se jablka pohybují po rovnoběžných drahách, vc skutečnosti se k sobě přibližují, protože obě padají do středu Země. Jejich pohyb můžeme vysvětlit tak, že na jablka působí Země svou gravitační silou. Také to však můžeme vysvětlit tím, že v blízkosti Země je prostor zakřiven (díky přítomnosti zemské hmoty). Tentokrát nemůžeme toto zakřivení vidět, protože nemáme možnost dostat se „vně" zakřiveného prostoru jako v předešlém příkladu s loděmi. Můžeme ho však popsat třeba pomocí obr. 14.21c. Tady by se jablka pohybovala po po- * „Přímkou" je na kouli s poloměrem R každá hlavní kružnice, tj. kružnice s poloměrem také rovným R. 14.9 einstein a gravitace 373 Země (c) Obr. 14.21 (a) Dva předměty pohybující se podél poledníku směrem k jižnímu pólu se přibližují, protože zemský povrch jc zakřiven, (b) Dva předměty padající volným pádem v blízkosti Země se pohybují po přímých čarách, které se sbíhají ke středu Země, a to díky zakřivení prostoru v okolí Země. (c) Daleko od Země (a jiných hmotných objektů) je prostor plochý a rovnoběžné dráhy zůstávají rovnoběžné a stejně vzdálené od sebe. V blízkosti Země se však rovnoběžné dráhy začínají sbíhal, protože prostor je zde zakřiven hmotou Země. vrchu, který se směrem k Zemi stále více zakřivuje právě vlivem hmoty Země. Když kolem nějakého hmotného předmětu prochází světlo, je i dráha světla lehce ohnuta díky zakřivení prostoru v okolí tohoto předmětu. Tento jev se nazývá gravitační čočka. Bude-li světlo míjet nějaký hodně hmotný objekt, třeba galaxii nebo černou díru o velké hmotnosti, bude dráha paprsku ohnuta víc. Pokud se tento hmotný objekt nachází mezi námi a kvazarem (kvazar je extrémně jasný a extrémně vzdálený zdroj světla), bude paprsek přicházející z kvazaru ohnut kolem této struktury k nám na Zemi (obr. 14.22a). Jelikož se díky tomuto ohybu zdá, že světlo přichází z trochu jiného směru, vidíme v těchto různých směrech na obloze naprosto stejné kvazary. V některých případech jsou kvazary, které vidíme, ohnuty k sobě a vytvářejí obrovský světelný oblouk, který nazýváme Einsteinův prstenec (obr. 14.22b). Je lepší přisuzovat gravitaci síle působící mezi hmotnými objekty, anebo zakřivení prostoročasu, způsobenému přítomností hmoty? A bylo by ji možno popsat jistým druhem elementárních částic zvaných gravitony, jak se uvažuje v některých moderních fyzikálních teoriích? To zatím nevíme. (h) Obr. 14.22 (a) Světlo ze vzdáleného kvazaru se kolem galaxie nebo velké černé díry pohybuje po zakřivené dráze, protože hmota léto galaxie nebo černé díry zakřivuje okolní prostor. Když světlo dopadá na Zemi, zdá se nám, že se jeho zdroj nachází v prodloužení koncové dráhy světelného paprsku (přerušovaná čára), (b) Einsteinův prstenec, známý jako MG 1 131+0456, na počítačovém snímku z dalekohledu. Zdroj světla (vlastně rádiových vln. které jsou druhem neviditelného světla) je daleko za velkou, nespatřitelnou galaxií, která vytváří tento prstence. Část tohoto zdroje vystupuje jako dvě jasné skvrny, které vidíme podél prstence. 374 kapitola 14 gravitace PŘEHLED SHRNUTI Gravitační zákon Libovolné dvě částice ve vesmíru se navzájem přitahují gravitační silou o velikosti F — G m i m 2 (14.1) kde m \ a »12 jsou hmotnosti částic a r jc vzdálenost mezi nimi. Gravitační konstanta G je univerzální konstantou a jej í hodnota je 6,67-10-" N-m2-kg"2. Gravitační chovaní homogenní kulové slupky Rov. (14.1) platí pouze pro částice. Gravitační síla mezi rozměrnými tělesy se musí obecně určit ze součtu (integrací) jednotlivých sil působících na všechny částice uvnitř těchto těles. Pokud však každé toto těleso je kulově symetrické (neboli po vrstvách homogenní), lze výslednou gravitační sílu, která působí na vnější předměty, spočítat tak, jako by veškerá hmota každého tělesa byla soustředěna v jeho středu. Skládání sil Gravitační síly se řídí principem superpozice, který říká, že výsledná síla F\ působící na částici označenou číslem 1 je dána součtem sil, kterými na ni působí ostatní částice: (14.4) Jedná se o vektorový součet sil Fu, kterými na zvolenou částici 1 působí částice 2, 3, ..., n. Gravitační síla F\, kterou působí na částici nějaký větší hmotný předmět, se určí tak, že tento předmět rozdělíme na infinitezimální dílky o hmotnosti dm. Každý z nich působí infinitezimální silou dF a po integraci těchto příspěvků dostaneme (14.5) Připomeňme, že příspěvky uvažujeme v tomtéž okamžiku, tedy jako by se gravitace šířila nekonečně rychle. To je v souladu s klasickou fyzikou, nikoli ovšem s teorií relativity. Relativistickou teorii gravitace rozvíjí až obecná teorie relativity. Gravitační zrychlení Gravitační zrychlení as částice (o hmotnosti m) je způsobeno výhradně gravitační silou, která na částici působí. Je-li částice ve vzdálenosti r od středu homogenního kulového tělesa o hmotnosti M, pak velikost gravitační síly na ni působící je dána rov. (14.1). Navíc, podle druhého Newtonova zákona platí a odtud pro ag plyne vztah G M (14.11) (14.12) Tíhové zrychlení a tíhová síla Tíhové zrychlení g částice v blízkosti Země se trochu (méně než o i %) liší od gravitačního zrychlení og. Proto i tíhová síla mg se liší od gravitační síly (rov. (14.1)) působící na částici. Zcmč totiž není ani homogenní, ani dokonale kulová a navíc rotuje. Gravitace uvnitř kulové slupky Homogenní kulová hmotná slupka nepůsobí žádnou výslednou gravitační silou na částice, které se nacházejí uvnitř. To znamená, že pokud je částice umístěna uvnitř homogenní pevné koule ve vzdálenosti r od jejího středu, bude výsledná gravitační síla působící na částici vyvolána pouze tou hmotou, která se nachází uvnitř koule o poloměru r. Její hmotnost je dána vztahem M kde q je hustota dané koule. 4nrJ (14.18) Gravitační potenciální energie Gravitační potenciální energie Ep(r) soustavy dvou částic o hmotnostech Mam vzájemně vzdálených r je rovna záporně vzaté práci, kterou by vykonala gravitační síla jedné z částic působící na druhou částici při jejím přesunu z nekonečna (z velké vzdálenosti) na vzdálenost r. Tato energie je rovna G Mm (14.20) Potenciální energie systému Pokud systém obsahuje více než dvě částice, je výsledná gravitační potenciální energie součtem příspěvků od všech dvojic částic. V textu jsme uvažovali systém tří částic o hmotnostech m 1, mi a m.3; v tom případě je Gm\mn Gmim-í Gmjm- -1-i + -i-i + -l— ''12 n 3 ''23 (14.21) Úniková rychlost Předmět může uniknout z gravitačního vlivu vesmírného tělesa o hmotnosti M a poloměru R, pokud z povrchu tělesa odlétá alespoň únikovou rychlostí o velikosti 2GM (14.26) Keplerovy zákony Gravitační přitažlivost drží pohromadě sluneční soustavu. Díky ní např. také obíhají družice (přírodní i umělé) kolem Země. Jejich pohyby se řídí třemi Kcplcrovými zákony, které jsou přímým OTÁZKY 375 důsledkem Newtonových pohybových zákonů a Newtonova gravitačního zákona. 1. Zákon oběžných drah: Planety se pohybují po elipsách jen málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Obecně: Částice se v centrálním gravitačním poli pohybuje po kuželosečce, mající ohnisko v centru pole. 2. Zákon ploch: Plochy opsané průvodičern planety za jednotku času jsou stejně velké. (Toto tvrzení je ekvivalentní zákonu zachování momentu hybnosti.) 3. Zákon oběžných dob: Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich drah. Pro kruhovou oběžnou dráhu o poloměru r dostává tento zákon tvar 4tt_ G M 3 r . (14.31) kde M je hmotnost centrálního tělesa — ve sluneční soustavě tedy hmotnost Slunce. Tento závěr je platný i pro eliptické oběžné dráhy planet, pokud v tomto vztahu nahradíme poloměr r hlavní poloosou a. Energie pohybu planet Pohybuje-li se planeta nebo družice o hmotnosti m po kruhové oběžné dráze o poloměru r, pak její energie potenciální Ep a kinetická £k jsou En GMm a Ek GMm r 2r Mechanická energie E = Ek + Ev se rovná GMm (14.20, 14.40) (14.42) Pro eliptickou dráhu s hlavní poloosou a platí GMm 2a (14.44) Einsteinův pohled na gravitaci Einstein ukázal, že gravitace a zrychlení jsou ekvivalentní. Tento princip ekvivalence je] dovedl k teorii gravitace (k obecné teorii relativity), která vysvětluje gravitační jevy pomocí zakřivení prostoru. OTÁZKY 1. Mějme dvě částice o hmotnostech m a 2m připevněny k ose (obr. 14.23). (a) Kde můžeme na ose umístil třetí částici s hmotností 3m (jinde než v nekonečnu), aby celková gravitační síla, která by na ni od prvních dvou částic působila, byla nulová?. Je to vlevo od obou částic, vpravo, anebo mezi nimi — blíže k hmotnější, nebo k lehčí? (b) Změní se odpověď, pokud by třetí částice měla hmotnost 16/n? (c) Existuje pro třetí částici bod mimo osu, ve kterém by celková na ni působící síla byla nulová? m 2m Obr. 14.23 Otázka 1 2. Na obr. 14.24 jc centrální částice obklopena dvěma kruhovými prstýnky částic s poloměry r a R, R > r. Všechny částice mají hmotnost m. Jaká je velikost a směr výsledné gravitační síly, kterou působí částice v prstýncích na centrální částici? —•- i 3. Na obr. 14.25 je centrální částice s hmotností M obklopena čtvercovým uspořádáním jiných částic. Vzdálenosti mezi těmito částicemi jsou buď d, nebo \d podél obvodu čtverce. Jaká je velikost a směr výsledné gravitační síly působící díky těmto částicím na centrální částici? Obr. 14.25 Otázka 3 4. Obr. 14.26 ukazuje částici s hmotnoslí m, která se pohybuje z nekonečna do středu kroužku s hmotností M podél jeho osy. Jak se během tohoto přenosu mění velikost gravitační síly působící na částici? ----- Obr. 14.24 Otázka 2 Obr. 14.26 Otázka 4 376 kapitola 14 gravitace 5. Na obr. 14.27 jsou zobrazeny čtyři uspořádání částice s hmotností m a jedné nebo více homogenních lýčí, každé s hmotností M, délkou L a vždy umístčnč ve vzdálenosti cl od částice. Seřaďte sestupně uspořádání podle velikosti celkové gravitační sílv, kterou působí tyče na částici. i. (c) (ď) Obr. 14.27 Otázka 5 6. Seřaďte sestupně čtyři systémy stejně hmotných částic z kontroly 2 podle absolutní hodnoty gravitační potenciální energie. 7. Na obr. 14.28 má být částice s hmotností m (nezakreslena) přenesena z nekonečna na jedno ze tří míst a, b, nebo c. Dvě další částice, s hmotnostmi m a 2m, jsou pevně umístěny. Seřaďte sestupně možnosti a, b, c podle celkové práce vykonané gravitačními silami pevných částic. --d-—-d-4— d--d-- a 2m b tri c Obr. 14.28 Otázka 7 8. Na obr. 14.29 je částice s hmotností m nejprve v místě A ve vzdálenosti d od středu jedné homogenní koule a ve vzdálenosti Ad od slředu druhé homogenní koule. Obč koule mají hmotnost M S> m. Pokud byste částici přenesli do bodu D, řekněte, zda následující veličiny by byly kladné, záporné, nebo nulové: (a) změna gravitační potenciální energie částice, (b) práce vykonaná celkovou gravitační silou na částici, (c) práce vykonaná vámi. (d) Jaké by byly odpovědi, kdybychom přemístili částici z bodu B do C? -— d —■+■— d —-H— d —>+•— d H-— d —H — ^- . ----.- ::;-.- 4 B C D M M Obr. 14.29 Otázka 8 9. Vyjděme ze situace v otázce 8. Byla by práce vámi vykonaná kladná, záporná, nebo nulová, kdybyste přemístili částici (a) z A do B, (b) z A do C, (c) z B do D'! Seřaďte sestupně tyto přesuny podle absolutní hodnoty vámi vykonané práce. 10. Mčjmc tři planety o následujících hmotnostech a poloměrech: planeta A: 2M a R; planeta B: 3M a IR; planeta C: AM a 2R. Seřaďte sestupně tyto planety podle velikosti únikové rychlosti z jejich povrchů. 11. Obr. 14.30 nabízí šest drah, po kterých se raketa oblétající Měsíc může pohybovat z bodu A do bodu B. Seřaďte sestupně dráhy podle (a) příslušné zmčny gravitační potenciální energie systému raketa + Měsíc a (b) celkové práce vykonané na raketě gravitační silou Měsíce. Obr. 14.30 Otázka 11 12. Které z oběžných drah (řekněme pro špionážní družici) na obr. 14.31 nevyžadují stálé opravy korekčními motorky? Dráha 1 je na 60° s.š.; dráha 2 leží v rovníkové rovině; dráha 3 je kolem středu Země, mezi 60r s.š a 60° j.š. IC" ' ' 2 | , Obr. 14.31 Otázka 12 13. Družice s rychlostí v\ a hmotností m je na kruhové oběžné dráze kolem planety s hmotností M\. Jiná družice, s rychlostí ih a hmotností 2m, obíhá po kruhové dráze o stejném poloměru kolem planety s hmotností M2. Je M2 větší, menší, nebo rovné M\, (a) pokud družice mají stejnou oběžnou dobu, (b) pokud i>2 > i'i ? cvičení & úlohy 377 CVIČENÍ & ÚLOHY ODST. 14.2 Newtonův gravitační zákon 1C. Jaká musí být vzdálenost mezi částicemi o hmotnostech 5,2 kg a 2,4 kg, aby se gravitačně přitahovaly silou 2,3 -10~12 N? 2C. Někteří lidé věří, že pozice planet v okamžiku narození ovlivňuje narozeného. Jiní tento názor nesdílejí a tvrdí, že gravitační síla, kterou na dítě působí porodník, je větší než od planet. Abychom posoudili toto tvrzení, spočtěte a porovnejte gravitační sílu působící na 3 kg dítě (a) od 70 kg lékaře, který je 1 m daleko a zhruba aproximovaný hmotným bodem, (b) od Jupiteru = 2 1027 kg) v okamžiku, kdy je nejblíže Zemi (= 6-10'1 m) a (c) když je od Země nejdále (= 9-10" m). (d) Je tvrzení skeptiků správné? 3C. Slunce i Země gravitačně působí na Měsíc. Jaký je poměr Fs/Fz velikostí těchto sil? (Průměrná vzdálenost Slunce - Měsíc je rovna vzdálenosti Slunce - Země). 4C. Jeden ze satelitů Echo tvořil nafouknutý kulový hliníkový balon s průměrem 30 m a hmotností 20 kg. Předpokládejme, že by ve vzdálenosti 3 m od povrchu satelitu prolétl meteoroid s hmotností 7 kg. Jaká by byla největší gravitační síla, která by působila díky satelitu na meteoroid? l . Objekt s hmotností M byl rozdělen na dvě části, m a M — m, které byly od sebe poté oddáleny na jistou vzdálenost. Jaký by ::iěl být poměr m/M, aby byla gravitační síla mezi částmi co nej větší? ODST. 14.3 Gravitace a princip superpozice 6C. .lak daleko od Země ve směru ke Slunci musíme umístit sondu, aby se právě vyrovnala přitažlivá síla Slunce a Země? 7C. Kosmická loď je na přímé dráze mezi Zemí a Měsícem. V jaké vzdálenosti od Země je celková gravitační síla na loď ijIoná? 8Ú. Jaká je procentuální změna zrychlení Země směrem ke Slunci, když se postavení Země, Slunce a Měsíce změní ze zatmění Slunce (Měsíc je mezi Zemí a Sluncem) na zatmění Měsíce (Země je mezi Měsícem a Sluncem)? 9U. Čtyři koule s hmotnostmi m\ = 400kg, mj = 350 kg, ma = 2000kg a ř«4 = 500kg mají souřadnice (je, y) po řadě (0:50). (0;0), (-80; 0), (40; 0), vše v centimetrech. Jaká je celková gravitační síla Fj působící na mi? 10Ú. Na obr. 14.32a leží čtyři koule ve vrcholech čtverce se stranou 2.0cm. Jaká je velikost a směr celkové gravitační síly, kterou působí na centrální kouli s hmotností m5 = 250 kg? 11U. Na obr. 14.32b tvoří dvě koule s hmotnostmi m a třetí s hmotností M rovnostranný trojúhelník. Čtvrtá koule s hmotností «4 je v jeho těžišti. Celková gravitační síla působící na ni4 od ostatních koulí je nulová; čemu je rovno M vyjádřeno v ml 12Ú. Dvě koule s hmotnostmi m\ = 800 kg a mi — 600 kg jsou od sebe vzdáleny 0,25 m. Jaká je celková gravitační síla Obr. 14.32 Úlohy 10 a 11 (velikost i směr) působící díky nim na kouli s hmotností 2.0 kg, vzdálenou 0,20 m od m \ a 0,15 m od m?? 13U. Tři koule mají tyto hmotnosti a souřadnice: 20kg, x = = 0,50m, y = 1,0m; 40kg, x = -1,0m, y = -1,0m; 60kg. x = 0, y = —0,5 m. Jaká gravitační sila vyvolaná těmito koulemi působí na kouli s hmotností 20 kg umístěnou v počátku? 141). Obr. 14.33 zobrazuje dvě homogenní tyče délky a a hmotnosti M, ležící na přímce ve vzdálenosti d od sebe. S použitím výsledku př. 14.2 napište určitý integrál určující gravitační přitažlivou sílu mezi nimi. \*-a--~-d-»-«— —a - —»-| Obr. 14.33 Úloha 14 15Ú. Na obr. 14.34 jc kulová dutina uvnitř olověné koule s poloměrem R; povrch dutiny prochází středem koule a dotýká se pravé strany koule. Hmotnost koule před vytvořením dutiny byla M. S jakou gravitační silou přitahuje olověná koule s dutinou malou kouli s hmotností m, která je umístěna ve vzdálenosti d od středu olověné koule na přímce spojující středy koulí a střed otvoru? H- — d-- R/*~ ; / m Obr. 14.34 Úloha 15 ODST. 14.4 Gravitace v blízkosti povrchu Země 16C. Vypočítejte gravitační zrychlení na povrchu Měsíce, zná- te-li jeho hmotnost a poloměr (dodatek C). 17C. V jaké výšce nad zemským povrchem má gravitační zrychlení velikost 4.6 m-s 2? 18C. Vážíte 1201b a stojíte na chodníku vedle Světového obchodního centra v New Yorku. Předpokládejte, že se odtud přemístíte na vrchol jedné z jeho budov vysoké 1 350 ft. O kolik 378 kapitola 14 gravttacf byste tam byli lehčí (díky tomu, že se nacházíte o trochu dále od středu Země)? Rotaci Země zanedbejte. 19C. Typická hmotnost neutronové hvězdy je srovnatelná s hmotností Slunce, její poloměr je však pouze lOkm. (a) Jaké gravitační zrychlení je na povrchu takové hvězdy? (b) Jak rychle dopadne předmět, který spadne z výšky 1 m nad povrchem (zanedbejte rotaci hvězdy)? 20C. Předmět ležící na rovníku je urychlován (a) do středu Země kvůli její rotaci, (b) směrem ke Slunci, protože Země kolem něho obíhá téměřpokruhové dráze, a (c) směrem ke středu naší Galaxie, protože Slunce obíhá kolem galaktického středu. Perioda oběhu Slunce je 2,5-108 y a jeho poloměr 2.2-102" m. Vypočítejte tato tři zrychlení a vyjádřete je v násobcích g = = 9.8 m-s"2. 21C. (a) Jaká bude tíha předmětu na povrchu Měsíce, je-li na zemském povrchu rovna 100 N? (b) V jaké vzdálenosti od Země se musí předmět nacházet, aby měl stejnou tíhu jako na Měsíci? Vzdálenost vyjádřete v násobcích poloměru Země. 22Ú. Určujete g tak. že pustíte předmět z výšky přesně 10 m. Jaká relativní chyba v měření doby pádu by způsobila výslednou chybu 0,1 % pro g? 23U. Nej větší možná rychlost rotace planety je ta, pro kterou je gravitační síla na rovníku právě rovna dostředivé síle potřebné k této rotaci. (Proč?) (a) Ukažte, že příslušná nejkratší perioda rotace je kde q hustota homogenní sférické planety, (b) Vypočítejte periodu T pro hustotu 3,0g-cm , která odpovídá mnoha planetám, satelitům a asteroidům. U žádného astronomického objektu nebyla zaznamenána kratší perioda rotace, než jsme určili na základě této analýzy. 24U. Předměty stejné hmotnosti m jsou zavěšeny na závěsech nad zemským povrchem a jsou v rovnováze (obr. 14.35). Závěsy mají zanedbatelnou hmotnost a rozdíl jejich délek je h. Předpokládejte, že je Země kulatá a má hustotu q = 5,5g'Cm-3. (a) Ukažte, že rozdíl jejich tíh m Ag, způsobený odlišnou vzdáleností od Země, je roven ir^Gginh/3. (b) Rozhodněte, jaký musí být rozdíl délek závěsů, aby byl poměr Ag/g = 1-10-6. m i_ m Obr. 14.35 Úloha 24 25Ú. Těleso je zavěšeno na pružinové váze v lodi jedoucí podél rovníku rychlostí v. (a) Ukažte, že hodnota odečítaná na stupnici bude blízká hodnotě Gn(l ± 2v/g), kde ca je úhlová rychlost Země a Go je údaj váhy, jc-li rychlost lodi nulová, (b) Zdůvodněte znaménko ±. 26U. Velice hmotné neutronové hvězdy rotují rychlostí cca 1 ot. za sekundu. Jaká by musela být minimální hmotnost takové hvězdy s poloměrem 20 km. aby se povrchová vrstva hmoty od hvězdy neodtrhla? 27U. Poloměr černé díry Rq a její hmotnost Mf jsou spojeny vztahem = 2GMg/c2, kde c je rychlost světla. Označme ago gravitační zrychlení ve vzdálenosti ro = 1.001 Rč od středu černé díry a předpokládejme, že ho lze určit z rov. (14.12) (platné pro velké černé díry), (a) Vyjádřete ago ve vzdálenosti rojen pomocí A/j (a univerzálních konstant), (b) Je ago rostoucí, nebo klesající funkcí proměnné A/j? (c) Čemu se rovná ago pro velmi velkou černou díru, jejíž hmotnost je 1,5510 hmotností Slunce? (d) Jaký by byl rozdíl gravitačního zrychlení mezi hlavou a nohama astronauta z př. 14.4, kdyby se nacházel v místě ro, nohama směrem k černé díře? (e) Byly by slapové síly natahující astronauta výrazné? ODST. 14.5 Gravitační pole uvnitř Země 28C. Dvě soustředné slupky s konstantní hustotou mají hmotnosti Mi a Mt (obr. 14.36). Jaká síla působí na bod o hmotnosti m, lcží-li ve vzdálenosti (a) r = a, (b) r = (c) r = c? Vzdálenost r měříme od středu slupek. Obr. 14.36 Cvičení 28 29C. S jakou rychlostí by proletěl předmět středem Země, kdyby byl upuštěn u ústí tunelu z př. 14.5? 30C. Uvažujte Zemi jako homogenní kouli o poloměru R. Ukažte, že na dně svislé šachty o hloubce D bude naměřena hodnota ag kde rtgo je hodnota zrychlení na povrchu. 31Ú. Pevná homogenní koule má hustotu 1,0-104 kg a poloměr 1,0 m. Jaká gravitační síla působí na bod o hmotnosti m ve vzdálenosti (a) 1,5 m, (b) 0,5 m od středu koule? (c) Napište obecný vztah pro gravitační sílu působící na bod ve vzdálenosti r 1,0m od středu koule. 32U. Homogenní koule s poloměrem R má na povrchu gravitační zrychlení a„. Pro jaké dvě vzdálenosti od středu koule cvičení & úlohy 379 bude gravitační zrychlení rovno ag/3? {Tip: Vezměte v úvahu vzdálenosti vně i uvnitř koule.) 33Ú. Rez Zemí. Zcmč není homogenní a lze ji zhruba rozdělit na tři slupky: kůru, plášť a jádro. Rozměry slupek a jejich hmotnosti jsou uvedeny na obr. 14.37. Celková hmotnost Země je 5.98-1024 kg a její poloměr bereme 6 371 km. Zanedbejte rotaci a předpokládejte, žc Zcmč je kulová. (a) Určete ag na povrchu, (b) Jakč a„ bude v hloubce 25 km na dně vrtu, který má být v rámci projektu Moholc proveden k rozhraní kůry a pláště? (Moho vrstva, kterou předpověděl geolog Mohorovičič, leží v hloubce 5 km až 70 km.) (c) Předpokládejte, že Země má známou hmotnost i rozměr, ale je to ideální koule s konstantní hustotou. Jaké bude ag v hloubce 25 km? (Viz cvič. 30.) (Přesná měření as jsou citlivým indikátorem vnitřního uspořádání Země. mohou být ovšem ovlivněna i místními odchylkami hustoty.) 6 346 km 25 km -jádro, 1,93-1024 kg ■ — plášť, 4.0M 024kg — kůra, 3,94-1022kg —j 3 490 km Obr. 14.37 Úloha 33. Měřítko není zachováno ODST. 14.6 Gravitační potenciální energie 34C. (a) Jaká je energie systému v cvič. 1, složeného ze dvou hmotných bodů? (b) Jakou práci vykonají gravitační síly, ztroj-násobítc-li vzdálenost mezi hmotnými body? (c) Jakou práci \ \ konáte vy? 35C. (a) Vyjměte m\ v úloze 9 a vypočítejte pro zbývající tři hmotné body gravitační potenciální energii, (b) Nyní vraťte m \ na původní místo. Bude potenciální energie celého systému vyšší, nebo nižší? (c) Konáte kladnou, nebo zápornou práci při vyjmutí ni\ ze systému čtyř hmotných bodů? (d) Jaká práce je nutná pro navrácení m \ ? 36C. Udává poměr m j M z úlohy 5 nejmenší možnou gravitační potenciální energii systému? 37C. Střední průměry Země a Marsu jsou 6.9-103km a 1.3-104km. Hmotnost Marsu je 0,11 násobek hmotnosti Země. (a) Stanovte poměr průměrné hustoty Marsu a Země. (b) Jaká je hodnota g na Marsu? (c) Jaká je úniková rychlost pro Mars? 38C. Vesmírná loď se nachází na okraji naší Galaxie ve vzdálenosti 80 000 světelných let od jejího středu. Stanovte únikovou rychlost z naší Galaxie. Hmotnost Galaxie je 1.4-10" Sluncí, pro jednoduchost předpokládejte, že je v ní hmota rozprostřena rovnoměrně. 39C. Vypočítejte energii potřebnou k úniku od (a) Měsíce a (b) Jupiteru a vyjádřete ji v násobcích únikové energie ze Země. 40C. Ukažte, že úniková rychlost t>íinjk od Slunce v místě Země je VŽnásobkem posuvné oběžné rychlosti i'0b Zcmč; předpokládejte, že její dráha kolem Slunce je kružnice. (Jde o speciální případ obecně platného vztahu: v^mk = V2u0b-) 41C. Částice prachu komety o hmotnosti m se nachází ve vzdálenosti R od středu Země a ve vzdálenosti r od středu Měsíce. Jaká je potenciální energie systému částice + Země a jaká systému částice + Měsíc, je-li hmotnost Země Mz a Měsíce /V/M? 42C. Velké hvězdy mohou po spálení svého paliva zkolabovat v černou díru působením vlastních gravitačních sil. Jejich poloměr Rs je pak takový, že k přenesení tělesa o hmotnosti m z povrchu do nekonečna je třeba veškerá energie tělesa mc. Je-li hmotnost hvězdy M%, ukažte pomocí Newtonova gravitačního zákona, že její poloměr je R — CMs/r. (Správná hodnota R$ je ve skutečnosti dvojnásobná. K získání správného výsledku je totiž nutno využít Einsteinovy gravitační teorie namísto Newtonovy.) 43U. Středy tří koulí o hmotnostech m\ = 800 g, mi = 100 g a m-? = 200 g leží na jedné přímce ve vzdálenostech a = 12 cm ad = 4 cm (obr. 14.38). Nyní přemístíte střední koulisměrem k »23 tak, že vzdálenost jejich středů bude d — 4 cm. Jakou práci na mi (a) jste vykonali vy a (b) jakou gravitační síly vyvolané m\ a m?? Obr. 14.38 Úloha 43 44LI. Raketa je urychlena při povrchu Zcmč na rychlost v = — 2%/gRy (kde R7 je poloměr Země) a pak vzlétne směrem vzhůru, (a) Ukažte, že unikne ze Země. (b) Ukažte, žc ve velké vzdálenosti od Země bude mít rychlost v = -JgRx-45U. (a) Jaká je úniková rychlost z kulového asteroidu, jehož poloměr je 500 km a jehož gravitační zrychlení na povrchu je 3.0 m-s~2? (b) Jak daleko od povrchu se dostane částice, jestliže opustí povrch asteroidu s radiální rychlostí 1 OOOm-s-1 ? (c) Jakou rychlostí dopadne předmět na asteroid, jestliže byl puštěn z výšky 1 000 km nad povrchem? 46U. Hypotetická planeta Deli podobná Marsu má hmotnost 5,0-102,kg, polomčr 3,0-106m a nemá žádnou atmosféru. Vesmírná sonda o hmotnosti 10 kg je vystřelena vertikálně z jejího povrchu, (a) Jaká bude kinetická energie sondy ve vzdálenosti 4,0-106 m od středu Deli, jestliže sonda byla vystřelena s počáteční energií 5,0-107J? (b) S jakou počáteční kinetickou energií musí být sonda vystřelena z povrchu Deli, jestliže má dosáhnout maximální vzdálenost 8,0-106 m od středu Deli? Předpokládejte, že Deli nerotuje. 380 kapitola 14 gravitace 47Ú. Dvojhvězdu tvoří dvě hvězdy o hmotnosti 3,0-103()kg obíhající okolo společného těžiště ve vzdálenosti 1,0-10 m. (a) Jakou úhlovou rychlostí obíhají? (b) Jestliže meteor prolétne těžištěm dvojhvězdy kolmo k rovině oběhu hvězd, jakou rychlost musí v tomto těžišti mít, aby unikl z dvojhvězdy „do nekonečna"? 48U. Dvě neutronové hvězdy jsou od sebe vzdáleny 11010m. Obě dvě mají hmotnost 1-103 kg a poloměr l-105m. Na začátku jsou obě hvězdy navzájem v klidu, (a) Jak rychle se budou hvězdy pohybovat, až se jejich vzdálenost zmenší na polovinu původní hodnoty? (b) S jakou rychlostí se srazí? 49Ú. Náboj je vystřelen svisle z povrchu Země s počáteční rychlostí 10 km/s. Jak vysoko nad povrch Země dolétne, jestliže zanedbáme odpor vzduchu? 50U. Koule o hmotnosti M a poloměru a má soustřednou duůnu o poloměru b (obr. 14.39). (a) Vyneste do grálů velikost F gravitační síly, kterou působí koule na částici o hmotnosti m ve vzdálenosti r od středu koule, jako funkci r v intervalu Oír á oo. Uvažujte zejména hodnoty r rovné 0, a, b a oo. (b) Nakreslete odpovídající křivku pro potenciální energii Ev(r) systému. M - m Obr. 14.39 Úloha 50 51Ú. Těleso o hmotnosti 20 kg udržujeme v počátku vztažné soustavy. Druhé těleso o hmotnosti 10 kg držíme na začátku pokusu na ose x ve vzdálenosti x = 0,80 m; poté ho pustíme. (a) Jaká je potenciální energie tohoto systému těsně po uvolnění? (b) Jaká je kinetická energie desetikilogramové hmoty poté, co se posunula o 0,20 m? 52U*. Některé planety (Jupiter, Saturn, Uran) jsou obklopeny skoro kruhovými prstenci; ty jsou pravděpodobně tvořeny materiálem, který se nedokázal zformovat do obíhajících měsíců. Dokonce i některé galaxie obsahují takovéto prstencové útvary. Uvažujme homogenní prstenec o hmotnosti M a poloměru R. (a) Jakou gravitační silou působí tento prstenec na částici o hmotnosti m, která leží na ose prstence ve vzdálenosti x od jeho středu (obr. 14.40)? (b) Předpokládejme, že se čáslice vlivem přitažlivosti prstence začne pohybovat. Najděte výraz pro rychlost, s jakou částice prolétne středem prstence. 53Ú*. Gravitační síla přitahuje k sobě dvě částice o hmotnostech Mam, které se zpočátku nalézaly v klidu ve velké vzdálenosti. Ukažte, že v každém okamžiku je rychlost jedné částice vůči druhé rovna *J2G(M + m)/d, kde d je jejich okamžitá vzdálenost. (Tip: Použijte zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti.) Obr. 14.40 Úloha 52 ODST. 14.7 Planety a družice: Kcplcrovy zákony 54C. Průměrná vzdálenost Marsu od Slunce je l,52krát větší než vzdálenost Země od Slunce. Z Kcplerova zákona o dobách oběhu planet spočítejte, kolik roků potřebuje Mars k jednomu oběhu kolem Slunce. Porovnejte váš výsledek s hodnotou uvedenou v dodatku C. 55C. Planeta Mars má měsíc Phobos, který obíhá po oběžné dráze o poloměru 9,4-106 m s periodou 7 h 39 min. Z těchto informací vypočítejte hmotnost Marsu. 56C. Vypočítejte hmotnost Země z periody T a poloměru r oběžné dráhy Měsíce kolem Země: T = 27,3 dní a r = = 3,82-105km. Předpokládejte zjednodušeně, že Měsíc obíhá okolo středu Země (a nikoli okolo společného těžiště). 57C. Naše Slunce o hmotnosti 2,0-1030kg obíhá okolo středu naší Galaxie, který je vzdálen 2,2-1020 m, jeden oběh za 2,5-10s roků. Předpokládejme, že každá hvězda naší Galaxie má stejnou hmotnost jako naše Slunce, že všechny hvězdy jsou stejnoměrně rozloženy v kouli okolo středu Galaxie a že naše Slunce se nachází na okraji této koule. Odhadněte počet hvčzd v naší Galaxii. 58C. Satelit byl umístěn na kruhovou oběžnou dráhu v poloviční vzdálenosti k Mčsíci. Jakou má periodu oběhu v lunárních mčsících? (Lunární měsíc je perioda otáčení Měsíce.) 59C. (a) Jakou posuvnou rychlost musí mít satelit na kruhové oběžné dráze ve výšce 160 km nad Zemí? (b) Jakou má periodu oběhu? 60C. Většina asteroidů obíhá okolo Slunce mezi Marsem a Jupiterem. Přesto některé asteroidy typu Apollo, s poloměrem okolo 30 km, obíhají po drahách, které kříží dráhu Země. Oběžná dráha jednoho takového asteroidu je znázorněna v obr. 14.41. Odečtěte hodnoty přímo z obrázku a vypočítejte v rocích dobu oběhu, s jakou asteroid obíhá. Obr. 14.41 Cvičení 60 cvičení & úlohy 381 61C. Satelit, který se pohybuje po eliptické oběžné dráze, je v nej vyšším bodě 360 km nad povrchem Země a 180 km v nej-nižším bodě. Vypočítejte (a) hlavní poloosu a (b) excentricitu trajektorie. {Tip: Viz př. 14.8.) 62C. Slunce leží zhruba v jednom z ohnisek oběžné dráhy Země. Jak daleko od něj leží druhé ohnisko? Vyjádřete svůj výsledek v násobcích slunečního poloměru 6,96-108 m. Excentricita oběžné dráhy Země je 0,0167 a hlavní poloosu lze vzít rovnu l,50-10um. Viz obr. 14.14. 63C. (a) Použijte třetí Keplerův zákon (rov. (14.31)) k vyjádření gravitační konstanty G v těchto jednotkách: astronomická jednotka pro délku (AU), hmotnost Slunce (M$) pro hmotnost a rok (y) pro jednotku času. (b) Jaký tvar má třetí Keplerův zákon v těchto jednotkách? 64C. Satelit visí nehybně nad jedním místem zemského rovníku. Jaká je výška jeho oběžné dráhy? (Jde o tzv. geocentrickou oběžnou dráhu.) 65C. Kometa zpozorovaná v dubnu roku 547 čínskými astronomy v den, který nazývali Woo Woo, byla opět spatřena v květnu roku 1994. Předpokládejte, že doba mezi oběma pozorováními je perioda oběhu komety, a předpokládejte její výstřednost rovnu 0,11. Jaká je (a) velikost hlavní poloosy oběžné dráhy komety a (b) její největší vzdálenost od Slunce v násobcích průměrného poloměru Rp oběžné dráhy Pluta? 66C. Vrocc 1993 nám vesmírná sonda Galileo poslalafotografii (obr. 14.42) asteroidu 243 Ida spolu s jeho malým měsícem. Jedná se o první potvrzený případ systému asteroid+jeho měsíc. Měsíc na fotograíii má šířku 1.5 km a je vzdálen 100 km od středu 55 km dlouhého asteroidu. Tvar oběžné dráhy měsíce není přesně znám; předpokládáme, že jc kruhová s periodou 27 hodin, (a) Jaká je hmotnost asteroidu? (b) Objem asteroidu, měřený z fotografií Galilea, je 14 100 km3. Jaká je hustota asteroidu? šířka jc 49,2°) a chcete zachytit signál ze satelitního vysílání. Jakým směrem musíte natočit anténu? 68Ú. V roce 1610 objevil Galileo Galilci pomocí svého teleskopu čtyři největší měsíce Jupiteru. Průměrné poloměry a jejich oběžné dráhy a periody T oběhu ve dnech jsou uvedeny v tabulce. Jméno a 108m T I lo 4,22 1.77 Europa 6,71 3,55 Ganymedes 10,7 7,16 Callisto 18,8 16,7 (a) Vyneste do grafu závislost loga (osa y) na log 7' (osa x) a ukažte, žc jc lineární, (b) Změřte sklon přímky a výsledek porovnejte s hodnotou, kterou lze předpovědět z Keplerova třetího zákona, (c) Z průsečíku přímky s osou y zjistěte hmotnost Jupiteru. 69Ú. Ukažte s pomocí Keplerova třetího zákona (rov. (14.31)). jak mohl Newton odvodit, že síla udržující Měsíc na jeho oběžné dráze (uvažujme kruhovou), je nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti od středu Země. 70Ú. Jistá dvojhvězda je tvořena hvězdami se stejnými hmotnostmi jako naše Slunce. Hvězdy obíhají okolo společného těžiště. Vzdálenost mezi nimi je stejná, jako je vzdálenost mezi Sluncem a Zemí. Jaká je perioda jejich oběhu? 71U. Speciální trojhvězda se skládá ze dvou hvězd o hmotnostech m, které obíhají po stejné kruhové oběžné dráze o poloměru r okolo centrální hvězdy o hmotnosti M (obr. 14.43). Obě menší hvězdy jsou vždy na protilehlé straně oběžné dráhy. Odvoďte vztah pro periodu oběhu těchto hvězd. 72Ú. (a) Jaká jc úniková rychlost ze Sluneční soustavy pro těleso, které je na oběžné dráze Země (dráha s poloměrem R), aleje daleko od Země? (b) Jestliže těleso již má rychlost stejně velkou, jako je rychlost oběhu Země, jakou rychlost je mu ještě třeba dodat, aby mohlo uniknout jako v (a)? (c) Předpokládejme, že těleso je vystřeleno ze Země ve směru oběhu Země okolo Slunce. Jakou počáteční rychlost musí mít, aby poté, co se vzdálí od Země, ale má stále zhruba stejnou vzdálenost od Slunce, se vzdálilo ze sluneční soustavy? (Je to rychlost potřebná pro jakoukoliv pozemskou raketu, aby mohla opustit sluneční soustavu.) \ M ] I / Obr. 14.42 Cvičení 66. Na fotografii 7 družice Galileo je asteroid 243 Ida se svým maličkým měsícem. Obr. 14.43 Úloha 71 67Ú. Uvažujme, že satelit z cvič. 64 je na oběžné dráze na brněnském poledníku. Vy jste v budově VUT v Brně (zeměpisná 73Ú*. Tři identické hvězdy o hmotnostech M jsou umístěny na vrcholech rovnostranného trojúhelníku se stranou délky a. 382 kapitola 14 gravitace Jakou rychlostí se musejí pohybovat, jestliže všechny obíhají pod vlivem gravitačních sil ostatních hvězd po opsané kružnici a zároveň zachovávají svou vzájemnou polohu? 74U*. Družice na kruhové oběžné dráze byla navržena tak, aby se vznášela nad určitým místem zemského povrchu. Omylem se stalo, že poloměr obíhání družice byl o l,Okm větší, než měl být. Jak rychle a v jakém směru se bude pohybovat bod přímo pod satelitem po zemském povrchu? ODST. 14.8 Družice: Oběžné dráhy a energie 75C. Asteroid,jehož hmolnost je 2,0- 10_4násobkem hmotnosti Země, obíhá po kruhové dráze okolo Slunce ve vzdálenosti rovné dvojnásobku vzdálenosti Země-Slunce. (a) Spočtěte periodu obíhání asteroidu v rocích, (b) Jaký je poměr kinetické energie asteroidu a Země? 76C. Uvažujte dvě stejné družice A a B o stejných hmotnostech m pohybující se po stejné kruhové dráze o poloměru r kolem Země (hmotnost Mz). ale v opačných směrech, tzn. na kolizní dráze (obr. 14.44). (a) Pomocí G, Mz. m a r vyjádřete celkovou mechanickou energii E.\ + soustavy obou družic +Země před srážkou, (b) Jestliže je srážka dokonale nepružná, tzn. vznikne-li jediná troska o hmotnosti 2m, určete celkovou mechanickou energii bezprostředně po kolizi, (c) Popište další pohyb trosky. Země Obr. 14.44 Cvičení 76 77Ú. Dvě družice (A a B). každá o hmotnosti m, jsou vypuštěny na oběžné kruhové dráhy kolem Země. Údaje jsme si přečetli v mílích: družice A obíhá ve výšce 4 000 mi, družice B ve výšce 12 000 mi. Poloměr Země Rz je 4 000 mi. (a) Jaký je poměr potenciálních energií družic B a A? (b) Jaký je poměr kinetických energií družic B a A? (c) Která družice má větší celkovou energii, jestliže hmotnost každé z nich je 14,6 kg? O kolik? 78U. Použitím zákona zachování mechanické energie a rovnice (14.44) ukažte, že pokud těleso obíhá planetu po eliptické dráze, pak je vzdálenost r od planety a rychlost tělesa v svázána vztahem 79Ú. Využijte výsledku úlohy 78 a dat v př. 14.8 k výpočtu (a) rychlosti vv Halleyovy komety v perihéliu a (b) její rychlosti v& v aféliu. (c) Použitím zákona zachování momentu hybnosti vzhledem ke Slunci najděte poměr vzdáleností komety v perihéliu Rp a v aféliu Ra, vyjádřený pomocí up a v-d. 80Ú. Z kvizu v americkém časopise (údaje v mílích): (a) Je potřeba více energie k vynesení družice do výšky 1 000 mi nad Zemí nebo k urychlení na kruhovou oběžnou dráhu, jakmile se družice v této výšce nachází? (Uvažujte poloměr Země 4000mi.) (b) Jaký výsledek dostaneme pro 2000mi a (c) pro 3 000 mi? 81U. Jednou z možností, jak zaútočit na družici obíhající Zemi, je vypustit roj kuliček na stejné dráze jako družice, ale v opačném směru. Uvažujte družici obíhající 500 km nad povrchem Země, která se srazí s kuličkou o hmotnosti 4,0 g. (a) Jaká je kinetická energie kuličky ve vztažné soustavě spojené s družicí? (b) Jaký je poměr této kinetické energie ke kinetické energii čtyřgramového náboje vystřeleného z moderní pušky počáteční rychlostí 950 m-s_l ? 82Ú. Uvažujte družici obíhající Zemi po kruhové dráze. Určete, jak závisejí následující veličiny na poloměru r dráhy družice: (a) perioda, (b) kinetická energie, (c) moment hybnosti a (d) rychlost družice. 83Ú. Jaká je (a) rychlost a (b) perioda 220 kg družice na téměř kruhové dráze 640 km nad povrchem Země? Předpokládejte dále, že družice ztrácí svoji mechanickou energii s průměrnou rychlostí 1.4-10"' J najeden oběh. Přijmeme-li jako dobrou aproximaci, že výslednou trajektorií je „knižnice s pomalu se zmenšujícím poloměrem", určete na konci 1 500. oběhu (c) výšku dráhy družice, (d) její rychlost a (c) periodu, (f) Jaká je velikost průměrné brzdné síly? (g) Zachovává se moment hybnosti okolo zemského středu pro družici nebo pro soustavu družice + Země? 84Ú. Oběžná dráha Země kolem Slunce je téměř kruhová: nejmenší vzdálenost je l,47-108km, největší l,52-108km. Určete odpovídající změny (a) celkové energie, (b) potenciální energie, (c) kinetické energie a (d) oběžnou rychlost. (Tip: Využijte zákonů zachování energie a momentu hybnosti.) 85U. V raketoplánu o hmotnosti m = 2 000 kg obíhá kapitán Janeway planetu o hmotnosti M = 5,98-1024 kg na dráze o poloměru r = 6,80-106 m. Jaká je (a) perioda obíhání a (b) rychlost raketoplánu? Janeway odpálí dopředu mířící pomocnou raketu, takže se rychlost raketoplánu zmenší o 1,00 %. Jaká je bezprostředně poté (c) rychlost, (d) kinetická energie, (e) gravitační potenciální energie a (f) mechanická energie raketoplánu? (g) Jaká je nyní hlavní poloosa oběžné dráhy raketoplánu? (h) Jaký je rozdíl mezi periodou původní a nové, eliptické oběžně dráhy a která z nich je menší? ODST. 14.9 Einstein a gravitace 86C. Na obr. 14.20b ukazuje váha, na které stojí šedesátikilový student, hodnotu 220 N. Jak dlouho bude trvat melounu, než dopadne na zem, jestliže mu vyklouzne z výšky 2,1 m nad zemí? 87U. Na obr. 14.45 jsou znázorněny stěny trubice v kosmické lodi v kosmickém prostoru; loď má zrychlení a = (2,5 m-s-2)/. Elektron je vyslán ze znázorněného počátku přes šířku trubice 3,0cm s počáteční rychlostí vo = (0,40m-s~')/. Popište pomocí jednotkových vektorů vzhledem k lodi, jaké je (a) posunutí elektronu na konci jeho letu a (b) jeho rychlost tčsnč před dopadem na protější zeď. cvičení & úlohy 383 v Obr. 14.45 Úloha 87 88Ú. Spočtěte s užitím dodatku C pro každou planetu vzdálenost těžiště soustavy Slunce + planeta od středu Slunce. Srovnejte ji s rozmčry Slunce. Již samotný Jupiter způsobuje, že těžiště sluneční soustavy leží poblíž slunečního okraje; společné působení Jupiteru, Saturnu, Neptunu a Pluta „v zákrytu" by vzdálilo těžiště sluneční soustavy až na 2,17násobek slunečního poloměru od středu Slunce. Kvůli různě dlouhým oběžným dobám těchto planet koná SI unce kolem těžiště sluneční soustavy „lístkový" pohyb s periodou cca 178,7 let, sestávající z cca padesátileté části pravidelné (trojlístkovč) a z části chaotické. To se projevuje i v našem životě, viz např. I. Charvátová: Solar-Terestrial andCli-malic Phenomcna..., Surveys in Geophysics, 1997, 18, pp. 131-146. PRO POČÍTAČ 89U. Sonda o hmotnosti 6 000 kg obíhá Slunce na kruhové dráze o poloměru 108-106km (poloměr oběžné dráhy Venuše). Kosmická agentura chce dostat sondu na dráhu o stejném poloměru jako Země, tzn. na kružnici o poloměru 1504 O6 km. Prvním krokem je zvýšení rychlosti sondy tak, aby vzniklá eliptická trajektorie měla vzdálenost v perihčliu rovnou poloměru požadované kruhové dráhy, (a) Spočítejte požadovaný přírůstek rychlosti a energie. Nakreslete eliptickou dráhu (rovnice elipsy v polárních souřadnicích se středem v počátku souřadnic je 2 _ _rvr-á(rv + ra)2_ (rp + i~-d)2 sin2 6 + 4rpra cos2 9 kde ř'p je vzdálenost perihélia a ra vzdálenost afélia). (b) Když je dosaženo afélia, je rychlost sondy opět změněna tak, aby se dostala na výslednou kruhovou dráhu. Jaké změny rychlosti a energie jsou k lomu nutné? 90Ú. Sestavte v počítači seznam period T a hlavních poloos a pro planety uvedené v tab. 14.3. Vynásobte všechna T takovým faktorem, aby T bylo v sekundách, (a) Uložte hodnoty T1 a a3 do nových seznamů. Nechte počítač provést lineární regresi T2 vůči a3. Z parametrů regrese a s použitím známé hodnoty G určete hmotnost Slunce, (b) Vypočtěte hodnoty log T a loga. Nechte počítač nakreslit závislost log T na log a a proveďte lineární regresi. Z jejích parametrů a ze známé hodnoty G určete opět hmotnost Slunce. 15 Tekutiny Síla, kterou voda -působí na tělo potápěče, dosáhne značné hodnoty již při potopení do poměrně malé hloubky na dno bazénu. Presto William Rhodes po opuštění ponorky, která byla v Mexickém zálivu spuštěna do hloubky 1 000 stop (305 m), doplaval v roce 1975 do rekordní hloubky 1148 stop (350 m), když užil vybavení sportovního potápěče a speciální směs plynů pro dýchání. Nováček sportovního potápění, který trénuje v bazénu, může však paradoxně být ve větším nebezpečí než Rhodes. Pří potápění občas přijdou lidé i o život. Jaké nebezpečí jim vlastně hrozíc 15.1 TEKUTINY A SVĚT KOLEM NÁS 15.3 hustota a tlak 385 15.3 HUSTOTA A TLAK Tekutiny — pod tento společný název zahrnujeme kapaliny a plyny, případně i plazma (žhavý ionizovaný plyn) — mají základní význam pro náš život. Dýcháme je a pijeme, základní životní tekutina — krev — obíhá v našich tepnách a žilách. Moře i ovzduší je tekuté. V autě se tekutiny vyskytují v pneumatikách, v palivové nádrži, v chladiči, ve válcích motoru, ve výfukovém potrubí, v elektrické baterii, v topném a případně chladicím systému, v nádržce ostřikovače, v mazacích systémech, v hydraulickém rozvodu (hydraulický znamená pracující prostřednictvím kapaliny). Až tedy uvidíte obrovské zemní stroje, vzpomeňte si, kolik je v nich hydraulických válců, které umožňují jejich činnost. Velmi mnoho hydraulických zařízení je ve velkých tryskových letadlech. Energii proudící tekutiny využíváme ve větrných mlýnech a potenciální energii jiné tekutiny ve vodních elektrárnách. V průběhu věků tekutiny vytvarovaly krajinu. Často podnikáme daleké cesty, jen abychom viděli pohybující se tekutiny. Myslím, že nastal čas, abychom si řekli, co o tekutinách vypovídá fyzika. 15.2 CO JE TEKUTINA? Jak již název napovídá, tekutina — na rozdíl od pevných těles — může téci. Přizpůsobí se tvaru nádob, do kterých ji umístíme. Je to proto, že tekutiny neudrží dlouhodobě síly rovnoběžné se svým povrchem. (V přesnějším vyjádření čl. 13.6 je ideální tekutina látka, která teče, protože není schopna přenášet smyková napětí. Působí jen silou kolmou ke svému povrchu.) Některým látkám, např. asfaltu, trvá dlouhou dobu, než se jejich tvar přizpůsobí rozměrům nádoby. Nakonec však k přizpůsobení dojde, a proto i takové látky se chovají (z dlouhodobého pohledu) jako tekutiny*. Možná se divíte, proč dáváme dohromady kapaliny a plyny a společně je nazýváme tekutinami. Konec konců můžete říci, že voda a pára se liší stejně jako voda a led. Je tu ale principiální rozdíl. Molekuly ledu (stejně jako ostatních krystalických látek) jsou uspořádány do pevných .rojrozměrných útvarů — krystalových mřížek — a v nich je ..pořádek" i na vzdálenosti dosti dlouhé oproti vzdálenos-:em mezimolekulárním. Ve vodě ani v páře žádné takové pravidelné uspořádání na dlouhou vzdálenost neexistuje. Chování takové tekutiny je však velmi vzdálené od chování ideální tekutiny, viskózni síly jsou velké. Podrobněji se takovými tekutinami, které jsou na pomezí tekutin a pevných látek, zabývá obecná nauka o deformačním chování látek zvaná reologie. Když popisujeme chování tuhých těles, zabýváme se různými předměty, jakými jsou např. dřevěné kvádry, míče nebo kovové tyče. Fyzikální veličiny vhodné pro popis takových útvarů jsou především hmotnost a síla, které se vyskytují v Newtonových zákonech. Můžeme např. mluvit o dřevěném kvádru, který má hmotnost 3 kg a působí na něj síla 25 N. Na tekutinách nás více zajímají ty vlastnosti, které se mohou měnit bod od bodu, než vlastnosti nějakých v ní pevně vymezených kousků. Je užitečnější hovořit o hustotě a tlaku (rozumí se všestranném tlaku — srovnej s čl. 13.6) než o hmotnosti a síle. Hustota Abychom určili hustotu q tekutiny v daném místě, vymezíme kolem tohoto místa malý objem A V7, ve kterém se nachází hmotnost tekutiny Am. Hustota elementu je pak Hustota v libovolném bodě tekutiny se zavádí jako limita tohoto poměru, když objem elementu obklopujícího zvolený bod se stále zmenšuje. V mechanice tekutin (a i obecněji při popisu spojitých neboli kontinuálních prostředí) ovšem předpokládáme, že zmenšování zastavíme, když se objem elementu přiblíží molekulovým rozměrům. Hustota se tak mezi jednotlivými body tekutiny mění pozvolna a prostředí se popisuje jako spojité a nejako „rozkou skované" na molekuly. Máme-li vzorek větších rozměrů, zavádíme jeho průměrnou hustotu jako o = m/V, kde m je celková hmotnost vzorku a V jeho objem. Hustota je skalární veličina. Její jednotkou v SI je kilogram na metr krychlový. V tab. 15.1 jsou uvedeny hustoty některých látek a průměrné hodnoty hustot některých objektů. Všimněte si, že hustoty plynů (v tabulce je uveden vzduch) se výrazně mění s tlakem, ale hustoty kapalin (v tabulce je údaj pro vodu) nikoliv. Plyny jsou snadno stlačitelné, kapaliny ne. Tlak V nádobě naplněné tekutinou je umístěn malý přístroj měřící tlak, jak je naznačeno na obr. 15.1a. Přístroj (obr. 15.1b) se skládá z pístu plochy AS, který je najedná straně vystaven působení tekutiny a na druhé, kde je vakuum, je opřen o pružinu. Odcčteme-li stlačení okalibrované pružiny, zjistíme, jakou silou AF působí okolní tekutina na píst. Tlak, jakým tekutina působí na píst, vypočteme jako poměr AF 386 kapitola 15 tekutiny Tabulka 15.1 Hustoty q některých látek a objektů látka nebo obiekt -j _kg-m~J mezihvězdný prostor 10~20 nejlepší vakuum dosažené v laboratoři 10~1'' vzduch: 20 C. 1 atm" 1,21 20 °C, 50 atm" 60.5 pěněný polystyren 1 ■ 102 voda: 20 C. 1 atm" 0,998-103 20°C,50atm« 1.000-103 mořská voda 20 °C, 1 atm" 1,024-103 krev 1.060-103 led 0.917-103 železo 7,9-103 nuť 13.6-103 Země: průměrná hodnota 5.5-103 jádro 9.5-103 kůra 2.8-103 Slunce: průměr 1,4-10J jádro 1,6-105 bílý trpaslík — hvězda (jádro) 1010 jádro uranu 3,0-1017 neutronová hvězda (jádro) 10ls černá díra (s hmotností našeho Slunce) 10ly " atm je fyzikální atmosféra (normální atmosféra), dříve často užívaná jednotka tlaku 1 atm = 101 325 Pa je rovna normálnímu atmosférickému tlaku. (a) (b) Obr. 15.1 (a) Nádoba s tekutinou, ve které se nachází malý měřič tlaku — tlakové čidlo, podrobněji ukázané v části (b) obrázku. Čidlo mčří tlak podle zasunutí dobře utěsněného pístu opřeného ve vzduchoprázdnem prostoru o pružinu. Tlak v bodě tekutiny zavádíme jako limitu tohoto poměru, když plochu AS (o obsahu AS) kolem bodu zmenšujeme způsobem stejným, jaký byl popsán v minulém odstavci pro hustotu. Když je tlak ve všech bodech určité oblasti stejný, říkáme, že je v této oblasti homogenní, a zjistíme jej dělením síly F obsahem 5 rovinné plošky, na kterou tato síla působí. Rov. (15.2) tak přejde na často užívaný jednoduchý tvar p = F/S. Pokusy zjistíme, že v daném bodě tekutiny, která je v klidu, má tlak p definovaný rov. (15.2) stejnou hodnotu pro všechny orientace měřiče tlaku. Tlak je skalár, jeho hodnota nezávisí na směru. Síla působící na naše měřicí zařízení je sice vektor, ale v rov. (15.2) se uvažuje pouze její velikost, která je skalární veličinou. V SI je jednotkou tlaku newton na čtverečný metr, N-m-2, jednotka se nazývá pascal (Pa). U nás i v jiných zemích důsledně užívajících metrickou soustavu jsou i měřiče tlaku v pneumatikách kalibrovaný v kilopascalech. (Jedině krevní tlak se tradičně uvádí v milimetrech rtuťového sloupce neboli v torrech.) Vztah mezi pascalem a jinými dříve běžně užívanými jednotkami nepatřícími do SI je dán vztahy: latm= 1,013 25-105Pa = 760 torr = 14,71b-in-2, 1 at = 1 kp-cm"2 = 9,806 65-104 Pa. Atmosféra, jak jméno naznačuje, byla jednotka tlaku přibližně rovná atmosférickému (barometrickému) tlaku. Jednotka značená atm a nazývaná fyzikální nebo též normální atmosféra je rovna normálnímu atmosférickému tlaku, který odpovídá průměrnému atmosférickému tlaku při hladině moře při teplotě 0 °C. Je mu definitoricky přisouzena hodnota 101 325 Pa. Jednotka značená at a nazývaná technická atmosféra je rovna tlaku, kterým působí síla jednoho kilopondu (kp) na čtverečný centimetr. (Kilopond je starší jednotka síly nespadající do soustavy SI; je roven velikosti tíhové síly působící na těleso hmotnosti 1 kg (resp. váze tohoto tělesa) při standardním tíhovém zrychlení g). Fyzikální atmosféra je tedy přibližně o tři procenta větší než technická atmosféra. Jednotka torr (pojmenovaná po Evangelistovi Torricelliovi, který v roce 1674 objevil rtuťový barometr) odpovídá tlaku, kterým na podložku působí milimetr rtuťového sloupce. Proto bývá torr označován též jako mm Hg. Typicky britská jednotka tlaku, libra na čtverečný palec (lb-in-2), bývá zkráceně označována jako psi (pound per square inch). Hodnoty některých typických tlaků jsou uvedeny v tab. 15.2. PŘÍKLAD 15.1 Pokoj má plochu podlahy 3,5 m x 4,2 m a výšku 2,4 m. (a) Kolik váží vzduch v místnosti — jakou tíhou působí na podlahu? ŘEŠENÍ: Je-li v je objem místnosti a q je hustota vzduchu při tlaku 1 atm (tab. 15.1), potom hmotnost m vzduchu je m — q V — = (1,21 kg-nT3)(3,5m-4,2m- 2,4m) = = 42,7 kg = 43 kg. (Odpověd) 15.4 tekutiny v klidu — statika 387 Tabulka 15.2 Tlaky ve vybraných systémech Systém P Pa střed Slunce 21016 střed Země 4-1011 nejvyšší tlak dosažený v laboratoři 1.5-1010 tlak v největší hloubce oceánu 1,1108 tlak jehlového podpatku na taneční parket 1-106 tlak v pneumatice" 2-105 atmosférický tlak u hladiny moře 1,0-105 normální krevní tlak"'' 1.6.104 nejvyšší vakuum dosažené v laboratoři io-12 ' Jedná se o přetlak, tj. zvýšení tlaku proti tlaku atmosférickému. '' Systolický tlak 120 torr, tj. 120 mm rtuťového sloupce, změřený na lékařském manometru. Jeho tíha G je G = mg = (42.7kg)(9,81 m-s 2) = = 419N = 420N. (Odpověď) (b) Jakou silou působí atmosféra na podlahu místnosti? ŘEŠENÍ: Sílaje rovna F = PS = (1,0 atm) = 1,5-106N. 1.01-105 N-nT 1 atm (3,5m)(4,2m) = (Odpověď) Tato síla, která je přibližně rovna síle, kterou je k Zemi přitahováno 150 tun, je tíhou sloupce vzduchu o základně rovné ploše podlahy a výšce rovné výšce atmosféry. Je rovna síle, kterou by na podlahu působila rtuť nalitá do místnosti do výšky přibližně | m. Proč tato obrovská síla nerozboří podlahu? vzduch y = 0 voda | v, y2 |------< hladina 1, vzorek i Pí hladina 2, P2 vzorek m t G—mg v F, (a) (b) Obr. 15.2 (a) Nádoba s vodou, ve které si představíme vzorek vody ve válci (na obrázku vyčárkován) se základnou o obsahu S. (b) Silový diagram pro vzorek vody. Vzorek je ve statické rovnováze, tíhová sílaje vyvážena vztlakovou. Nejprve probereme vzrůst tlaku s hloubkou v kapalině. Zvolíme svislou osu y s počátkem na hladině kapaliny a s kladnou orientací mířící vzhůru. Uvažujme vzorek vody, který vyplňuje myšlený válec s vodorovnou základnou o obsahu S, ležící v hloubce yi, a vrchní plochou v hloubce y\. Vzhledem k naší volbě osy y jsou obě souřadnice yi i >'2 záporné. Na obr. 15.2b je znázorněn silový diagram pro zvolený válcový vzorek vody. Vzorek je v rovnováze, protože tíhová síla G na něj působící je přesně vyvážena rozdílem síly mířící vzhůru o velikosti Fi = p%$ působící na základnu a síly o velikosti F\ = p\S mířící dolů, která působí na vrchní plochu válce. Tedy ľi = F] + G. (15.3) Objem V válce je S(y\ — y?). Hmotnost vody m v něm obsažené je tedy gS(y\ — y£), kde q je stálá hustota vody. Tíha G vzorku vody je potom mg = QgS(y\ - >'2). Po dosazení za G, Fj a F2 dostane rov. (15.3) tvar p2S = p\S+ QSgiyi - y2) 15.4 TEKUTINY V KLIDU — STATIKA Na obr. 15.2 je otevřená nádoba s vodou (nebo jinou kapalinou). Jak ví každý, kdo se někdy potápěl pod vodu, tlak stoupá, když se potápíme hlouběji pod hladinu, tj. pod rozhraní vzduch - voda. Potápěčův měřič hloubky je tlakoměr podobný tomu, který je znázorněn na obr. 15.1b. Obdobně každý horolezec ví, že tlak klesá, když stoupáme do výšin. Tlak, se kterým sc setkává potápěč i horolezec, se nazývá hydrostatický tlak, protože je to tlak, kterým působí tekutiny, jsou-li v klidu, tj. při statických podmínkách. Tlak plynu někdy nazýváme acrostatický tlak. (Řec. hydór = voda; řec. i lat. aér = vzduch.) neboli P2 — P\ + Qg(y] - yz)- (15.4) Tuto rovnici můžeme použít k určení tlaku jak v kapalině, tak i v atmosféře, pokud můžeme mezi výškami y\ až \'2 předpokládat neproměnnou hustotu q vzduchu. V kapalině obvykle vyjadřujeme tlak v závislosti na hloubce h (obr. 15.3). Rov. (15.4) pro toto vyjádření upravíme tak, že hladinu 1 položíme do povrchu kapaliny a tlak v ní označíme po- Potom bude yi = 0, p\ = po a y2 = -h. 388 kapitola 15 tekutiny Označíme-li ještě p2 jako p, můžeme přepsat rov. (15.4) na tvar, který se pro kapaliny běžně užívá: p = pq + ggh (tlak v hloubce h). (15.5) Všimněte si, že tlak v dané hloubce závisí pouze na této hloubce a nezávisí na libovolném vodorovném posunutí. Rov. (15.5) platí v nádobě libovolného tvaru. Když dno nádoby je v hloubce h, pak rov. (15.5) pro něj udá tlak p. Tlak p v rov. (15.5) se označuje jako absolutní tlak v hladině 2. Abychom pochopili proč, všimněme si na obr. 15.3, že tlak p se skládá ze dvou příspěvků: (1) z atmosférického tlaku po, který působí již na vrchní hladinu 1, a (2) z tlaku Qgh, který vzniká působením kapaliny mezi hladinami 1 a 2. Obecně se rozdíl mezi absolutním a atmosférickým tlakem označuje jako přetlak. V našem případě, znázorněném na obr. 15.3, je tedy přetlakem výraz Qgh. Rov. (15.4) lze užít též pro vyjádření tlaku v plynu nad hladinou kapaliny pro vzdálenosti, ve kterých můžeme předpokládat, že se hustota plynu podstatně nezmění. Např. pro vyjádření tlaku plynu ve vzdálenosti d nad vrchní hladinou 1 (obr. 15.3) můžeme po dosazení Ví = 0, p\ Po y2 = d, p2 psát P = PO- Qvzá gd, když hustotu vzduchu označíme £VZd. vzduch po voda | h hladina 1 >' = 0 T hladina 2 Obr. 15.3 Tlak /; roste s hloubkou h, jak odpovídá rov. (15.5). I^ONTROLA 1: Na obrázku jsou čtyři nádoby s olivovým olejem. Seřaďte je podle velikosti tlaku v hloubce h. (a) ib) PŘIKLAD 15.2 (a) Podnikavý potápěč-kutil předpokládá, že když sací trubice dlouhá 20 cm dobře funguje, bude dobře fungovat i trubice dlouhá 6m. Jaký jc rozdíl Ap mezi tlakem, kterým na něj působí okolní voda (obr. 15.4), a tlakem v jeho plících, když trubici nerozvážně užije pro potápění do hloubky h = 6 m? Co mu hrozí? Po y = 0 Obr. 15.4 Příklad 15.2. TOTO NEZKOUSEJTE s delší trubicí, než jc standardní krátká sací trubice užívaná při sportovním potápění. Takový pokus by vás mohl stát život. Ve větší hloubce může být tlak vody působící na hrudník tak velký, že jej nedokážete rozevřít, abyste skrz sací trubici nadýchli vzduch, jehož tlak je podstatně menší. ŘEŠENÍ: Nejprve si představte potápěče v hloubce h = 6 m bez sací trubice. Tlak vody, který na něj působí, je podle rov. (15.5) roven p = Po + Qgh. Tělo potápěče se pod působením tohoto vnějšího tlaku mírně smrští tak, aby vnitřní tlaky v těle vyrovnávaly vnější tlak. Jmenovitě jeho krevní tlak a průměrný tlak v plicích se zvýší tak, aby vyrovnaly zvýšený vnější tlak Jestliže však potápěč nerozvážně použije sací trubici k dýchání v hloubce 6m, stlačený vzduch bude z jeho plic vytlačen a tlak v nich rychle klesne na hodnotu atmosférického tlaku pq. Předpokládáme-li, že se potápí ve sladké vodě hustoty 1 000kg-nr3, rozdíl tlaku Ap mezi vyšším tlakem působícím na jeho hrudník a nižším tlakem v jeho plicích bude Ap = p - po = Qgh - = (1000kg-m-3)(9.8m-s-= 5.9104 Pa. )(6,0m) = (Odpověď) Tento tlakový rozdíl, přibližně 0,6 atm, stačí vyvolat selhání plic způsobené tím, že do nich vnikne krev, jejíž tlak má stále ještě hodnotu okolního vyššího tlaku. Jev se nazývá stlačení plic (lung squeeze). (b) Nováček ve sportovním potápění se plně nadýchl ze svého zásobníku, než zásobník odpojil v hloubce h a plaval k povrchu. Nedbal pokynů, že při výslupu z hloubky se má vydechovat. Při vynoření na povrchu rozdíl tlaku mezi tlakem 15.5 měření tlaku 389 v jeho plicích a okolím činil 70 torru. V jaké hloubce h začal výstup? Jakému smrtelnému nebezpečí sc vystavoval? ŘEŠENI: Když plnil plíce v hloubce li, působil na něj dle rov. (15.5) opět vnější tlak P = PO +Qgl'. který se ustavil i v jeho plících. Jak stoupal, vnější tlak na něj slábl, až na povrchu dosáhl hodnoty atmosférického tlaku po-Jeho krevní tlak také poklesl až na normální hodnotu. Ale protože nevydechoval, tlak v jeho plících zůstal na hodnotě, kterou měl v hloubce h. Rozdíl flaků mezi vyšší hodnotou v jeho plících a nižší hodnotou působící na jeho hrudník dosáhl po jeho vynoření hodnoty Ap = p - po = Qgh, odkud dostaneme (70 torr) (1 000kg-m-3)(9,8m-s-2) 0,95 m. l,01-105Pa 760 torr (Odpověd) Tlakový rozdíl 70 torr (přibližně 9% atmosférického tlaku) může stačit k poškození potápěčových plic. Těmi se vzduch dostane do krve, a krví do srdce, kde může způsobit smrt potápěče. Když potápěč poslechne pokyn, že má při výstupu z hloubky postupně vydechovat, umožní flaku v plicích vyrovnávat se s okolním tlakem a zdravotní nebezpečí pomine. PŘIKLAD 15.3 V U-trubici znázorněné na obr. 15.5 se nacházejí dvě kapaliny ve statické rovnováze: voda s hustotou qv se nachází v pravém rameni, olej s neznámou hustotou q% v levém rameni. Měřením zjistíme, že / = 135 mm a d = 12,3 mm. Jaká je hustota oleje? Obr. 15.5 Příklad 15.3. Olej v levém rameni U-trubice slojí výše než voda v pravém rameni, protože olej má menší hustotu než voda. Obě kapaliny vytváří stejný tlak pT na svém rozhraní. ŘEŠENÍ: Jestliže v levé trubici je na rozhraní olej - voda tlak pr. pak tlak v pravé trubici ve stejné výšce musí být laké pr, protože obě místa jsou spojena pouze vodou. Uvažované rozhraní v pravém rameni leží ve vzdálenosti Z pod povrchem (volnou hladinou) vody a dle rov. (15.5) máme Pí = Po + Qygl (pravé rameno). V levém rameni je rozhraní v hloubce / + d pod volnou hladinou oleje a dle rov. (15.5) máme nyní Pr — Po + QxgO + d) (levé rameno). Porovnáním těchto dvou rovnic a řešením pro neznámou gx dostaneme / l + d = (lOOOkg-nT3) (135 mm) (135 mm) + (12,3mm) = 916kg-nr3. (Odpověd) Všimněte si, že výsledek nezávisí ani na atmosférickém tlaku po, ani na tíhovém zrychlení g. 15.5 MERENI TLAKU Rtuťový barometr Na obr. 15.6a je obyčejný rtuťový barometr, přístroj k měření atmosférického (barometrického) tlaku. Je to dlouhá skleněná z jedné strany uzavřená trubice, kterou po naplnění rtutí obrátíme otevřeným koncem do nádobky s rtutí. Tím se mezi hladinou rtuti a zavřeným koncem trubice vytvoří vakuovaný prostor, ve kterém se nacházejí pouze páry rtuti. Jejich tlak je při běžných teplotách tak malý. že jej můžeme zanedbat. (a) (b) Obr. 15.6 (a) Rtuťový barometr, (b) Rtuťový barometr v jiném provedení. Vzdálenost h je pro oba barometry stejná. 390 kapitola 15 tekutiny Podle rov. (15.4) nalezneme atmosférický tlak po ze změřené výšky h rtuťového sloupce. Za hladinu 1 z obr. 15.2 zvolíme rozhraní vzduch-rtuť, tj. volnou hladinu rtuti v nádobce, a za hladinu 2 vršek rtuťového sloupce, jak je naznačeno v obr. 15.6a. Dosadíme tedy do rov. (15.4) vi = 0, p\ — po a yt = h. p2 = 0 a pro hledaný atmosférický tlak dostaneme vyjádření po = Qgh, (15.6) kde q je hustota rtuti. Pro daný tlak nezávisí výška /; na průřezu trubice se rtutí. Bizarní rtuťový barometr z obr. 15.6b měří stejně jako jednoduchý barometr z obr. 15.6a; záleží pouze na svislé vzdálenosti h mezi hladinami rtuti. Dle rov. (15.6) závisí pro daný tlak výška sloupce rtuti na hodnotě tíhového zrychlení g v místě, kde se nachází barometr, a na hustotě q rtuti, která závisí na teplotě. Výška sloupce v milimetrech je číselně rovna tlaku v torrech pouze tehdy, když je barometr v místě, kde má tíhové zrychlení g svou standardní hodnotu 9,806 65 m-s~2a teplota rtuti je 0 °C. Jestliže tyto podmínky nejsou splněny (což je téměř vždy), musíme provést malé korekce, kterými převedeme výšku rtuťového sloupec na údaj o místním tlaku. , Po do rov. (15.4) a dostaneme Obr. 15.7 Otevřený manometr, jehož levé rameno je připojeno k nádobě s plynem, jehož přetlak p — pn má být měřen. Pravé rameno U-trubice je otevřeno do atmosféry. nádoba hladina 1 -hladina 2 manometr Otevřený kapalinový manometr Otevřený kapalinový manometr (tlakoměr) znázorněný na obr. 15.7 měří přetlak plynu v nádobě. Je to trubice tvaru písmene U (U-trubice) naplněná kapalinou, jejíž jeden otevřený konec je spojen s nádobou, v níž chceme změřit přetlak (rozdíl tlaku oproti tlaku v okolní atmosféře), a druhý otevřený konec je spojen s okolní atmosférou. Z rov. (15.4) vyjádříme přetlak dle změřené výšky h znázorněné na obr. 15.7. Zvolíme hladiny 1 a 2 tak, jak je naznačeno na obr. 15.7. Potom dosadíme PP = P ~ Po = Qgh. (15.7) Přetlak pp je přímo úměrný výšce h. Přetlak může být kladný, resp. záporný dle toho, zda p > po, resp. p < po. V nahuštěných pneumatikách nebo v lidském krevním oběhu je celkový tlak vyšší než atmosférický tlak, proto má přetlak kladnou hodnotu. Sajete-li šťávu stéblem, mále celkový tlak ve svých plicích nižší než atmosférický; přetlak ve vašich plicích je záporný. V češtině užíváme pro záporný přetlak lépe znějící termín podtlak. PŘIKLAD 15.4 V barometru jsme naměřili výšku /; = 740,35 mm sloupce rtuti. Teplota byla — 5'C; hustota rtuti při této teplotě je l.360 8-104kg-m~3. Tíhové zrychlení v místě měření je 9,783 5 m-s~2. Jaký byl v místě měření atmosférický tlak? Vyjádřete jej v pascalech i torrech. ŘEŠENÍ: Z rov. (15.6) plyne Po = Qgh = = (l,360 8-104kg-m = 9.8566-104Pa. ~)(9.783 5m-s" ')(0,740 35 m) = (Odpověď) Údaje na barometru se někdy uvádějí v jednotkách torr. Tlak 1 torr je tlak, kterým působí 1 mm rtuťového sloupce v místě, kde tíhové zrychlení g má svou mezinárodně přijatou standardní hodnotu 9,806 65 ms-2 a kde teplota je 0C. Při této teplotě má rtuť hustotu 1,359 55-104kg-m 3. Z rov. (15.6) tak projeden torr dostáváme vyjádření 1 torr = (l,35955 104kg-m":,)(9,80665m-s-2) ■ • (l-10""3m) = 133.326 Pa. Použijeme-li tento přepočtový faktor pro vyjádření hodnoty tlaku přečtené na barometru, dostaneme po = 9.85 6 6-104 Pa = 739,29 torr. (Odpověď) Všimněte si, že tlak vyjádřený v torrech (739,29 torr) je číše lnč blízký, ale není totožný se změřenou výškou /; rtuťového sloupce barometru udanou v milimetrech (740,35 mm). Ví = 0, p\ PO y2 — — h- pi = p 15.6 PASCALŮV ZÁKON Když stlačíte jeden konec tuby s pastou na zuby, abyste na druhém konci vytlačili pastu na kartáček, používáte Pascalův zákon v praxi. Podobně je na něm založena dobrá rada, jak se zbavit kousku jídla, který vám zaskočil v krku: dát herdu do zad. Tím se prudce zvýší tlak v plicích, který vyhodí zaskočený kousek. Zákon poprvé vyslovil v roce 1652 Blaise Pascal (je po něm nazvána jednotka tlaku) ve tvaru: 15.6 pascalův zákon 391 Zmčníme-li tlak v jednom místě tekutiny, objeví se táž změna prakticky ihned v každé části této tekutiny i na stěnách nádoby, ve které je tekutina uzavřena. Demonstrace Pascalova zákona Představme si, že tekutinou je nestlačitelná kapalina ve velkém válci, jak je nakresleno v obr. 15.8. Válec je uzavřen pístem, na kterém spočívá nádoba se zátěží tvořenou olověnými broky. Atmosféra, nádoba a zátěž (spolu s hmotností pístu) vytvářejí na píst a tím i na kapalinu tlak pĚXV Tlak p v libovolném bodě P kapaliny je potom P = Pcn + Qgh. (15.8) Přidáme nyní trochu broků do nádoby, čímž zvýšíme p„t o hodnotu Apext. Hodnoty q, g a h v rov. (15.8) zůstanou nezměněny, takže přidáním zátěže se v každém bodě kapaliny P tlak zvýší o Ap = Ape (15.9) Tato změna tlaku nezávisí na hloubce h. Je tedy stejná v každém bodě kapaliny, jak odpovídá Pascalovu zákonu. ^olověná zátěž Obr. 15.8 Závaží položená na píst vytvoří tlak pen na vrchní hladině uzavřené kapaliny. Když tlak ptxl zvýšíme přidáním dalších závaží, zvýší se tlak ve všech bodech kapaliny o stejnou hodnotu pext. 1 -Po kapalina P h i Pext Pascalův zákon a hydraulický převod sil Na obr. 15.9 je znázorněno, jak se Pascalův zákon používá k násobení silového účinku, neboli jak na jeho principu může být zkonstruována jakási hydraulická páka — převodník sil. Nechť na levý (vstupní) píst o obsahu Sj působí síla velikosti F\ směrem dolů. Nestlačitelná kapalina potom v zobrazeném převodním zařízení působí na pravý (výstupní) píst o obsahu S0 silou o velikosti F0 směrem vzhůru. Aby systém byl v rovnováze, musí na pravý píst působit odshora síla stejné velikosti Fu (ta není na obrázku znázorněna). Síla F\ působící na levý píst a síla velikosti F0 působící odshora na pravý píst zvýší v kapalině tlak o hodnotu Fi odkud pro převod velikosti sil dostáváme rovnici S0 ■Ji (15.10) Rov. (15.10) ukazuje, že výstupní síla F0 je větší než vstupní síla Fj. když SQ > ij, jak odpovídá případu znázorněnému na obr. 15.9. vystup vstup rSi J d, olej Obr. 15.9 Hydraulické zařízení, které se užívá k převodu síly F\ na vyšší hodnotu F0. Vykonaná práce se však zvětšit nedá a je stejná pro obě síly, vstupní i výstupní. Jestliže posuneme vstupní píst o vzdálenost d\, posune se výstupní píst o vzdálenost d0. Přitom se musí v okolí obou pístů přesunout stejný objem V nestlačitelné kapaliny. Platí tedy rovnice V = S\d\ = SQd0. odkud dále plyne d„ d\ S ' (15.11) Poslední rovnice ukazuje, že když S0 > S\, jako je tomu na obr. 15.9, je posunutí výstupního pístu menší než posunutí pístu vstupního. Užitím rov. (15.10) a (15.11) můžeme pro výstupní práci psát W = F0d0 = I Fi^- 'So Firfi, (15.12) So odkud plyne, že práce vykonaná vstupním pístem je stejně velká jako práce vykonaná výstupním pístem. Z toho vidíme, že hydraulickým převodem můžeme převést menší sílu pracující na delší dráze na větší sílu pracující na kratší dráze. Přitom součiny síly a uražené dráhy, a tedy i vykonané práce, jsou v obou případech stejné. Možnost znásobit sílu bývá často velmi výhodná. Např. většina z nás není schopna zvednout automobil, a proto uvítá službu hydraulického zvedáku. Při pumpování koncem ramena zvedáku ovšem urazí podstatně větší vzdálenost, než je ta, o kterou se zvedne podložená část auta. Zvedák pracuje na 392 kapitola 15 tekutiny právě popsaném principu hydraulického převodu. Celková uražená vzdálenost d\ pístu v užším válci je však pumpováním rozdělena na sérii kratších posuvů. (Při pumpování je při každém dalším posuvu do zařízení přičerpávána ze zásobníku další kapalina — zde olej — a stav dosažený při předcházejícím posuvu je zabezpečen ventilem.) 15.7 ARCHIMEDŮV ZÁKON Na obr. 15.10 je v bazénu zobrazena studentka, která hýbe velmi tenkým pytlíkem z plastické hmoty plným vody. Zjišťuje, že pytlík je ve stavu statické rovnováhy: ani nestoupá, ani neklesá. Ovšem voda v pytlíku má jistou váhu, a proto by měla klesat. Zřejmě tedy na pytlík musí působit směrem vzhůru síla, která váhu pytlíku vody vyváží. I ,___________________________ Obr. 15.10 Tenkostěnný pytlík z plastické hmoty plný vody, který se vznáší v bazénu, je ve statické rovnováze. Váha pytlíku je vyvážena výslednicí sil, kterými na pytlík působí okolní voda. Tuto vzhůru působící sílu nazýváme vztlaková síla, stručně vztlak, a označíme ji FT. Vztlakovou silou působí na pytlík okolní voda. Vztlaková síla vzniká jako důsledek toho. že tlak v kapalině roste s hloubkou, jakjsme si již ukázali. Tlak na spodní části pytlíkuje větší než na jeho vrchní části a výsledkem je vzhůru působící vztlaková síla. Představme si, že nyní odstraníme pytlík s vodou. Na obr. 15.11a jsou znázorněny síly, které působí na dutinu, která vznikla odstraněním pytlíku. Vzhůru působící vztlaková síla je vektorovým součtem všech na dutinu působících sil. Vyplňme nyní dutinu kamenem, který bude mít přesně stejné rozměry jako dutina (obr. 15.1 lb). Stejný vztlak, který působil na pytlík s vodou, bude nyní působit na kámen. Je však příliš malý na to, aby vyvážil váhu kamene, takže kámen klesne ke dnu. Přestože kámen klesá, vztlak vody jej nadlehčuje a usnadní manipulaci s kamenem. -n • i.......n • dřevo i \mg ' mg I (a) (b) (c) Obr. 15.11 (a) Voda obklopující dutinu v kapalině na ni působí vztlakovou silou, jejíž velikost ani směr nezávisí na tom, čím je dutina vyplněna, (b) Je-li v dutině kámen, je velikost tíhové síly větší, než je velikost vztlakové síly. (c) Je-li v dutině dřevo, je velikost tíhové síly menší, než je velikost vztlakové síly. Pozdě večer 21. srpna 1986 byla (pravděpodobně vulkanickým působením) narušena rozpouštěcí rovnováha oxidu uhličitého, kterého kamerunské horské jezero Nyos obsahuje velké množství. Oxid vytvořil bubliny, které byly vytlačeny nad hladinu, protože byly lehčí než obklopující tekutina — v tomto případě voda. Tam vytvořily oblak oxidu uhličitého. Tento oblak, který byl tentokrát těžší než obklopující tekutina — vzduch, začal téci po svazích hor jako řeka, přičemž zadusil 1 700 lidí a velké množství zvířat, z nichž některá vidíme na pravém obrázku. 15.8 TEKUTINY V POHYBU —DYNAMIKA 393 Když vyplníme dutinu z obr. 15.11a kusem dřeva stejných rozměrů, jak je naznačeno v obr. 15.1 lc, bude nyní působit na dřevo stejná vztlaková síla jako dříve na kámen. Teď však bude vztlak větší, než je tíha dřeva, takže dřevo vypluje na volnou hladinu. Shrneme naše pozorování a vyslovíme Archimedův zákon: Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která je stejně velká jako váha tekutiny tělesem vytlačené. Právě tento zákon vysvětluje plování těles. Jestliže např. kus dřeva z obr. 15.11c vypluje byť jen částečně nad hladinu, vytlačí méně vody, než když je plně ponořen. Podle Archimedova zákona se úměrně zmenší vztlak, který na něj působí. Dřevo se vynoří z kapaliny právě tolik, aby vztlak, který na něj působí, přesně vyrovnal jeho tíhu. Dřevo je pak ve statické rovnováze, plove. Připomeňme si, že tíhovou sílu tělesa umísťujeme do těžiště. Podobně výslednou vztlakovou sílu umístíme do jejího působiště, které nazveme vztlakový střed. Vztlakový střed se nachází v místě, kde bylo těžiště tekutiny, než byla vytlačena. Jestliže homogenní těleso je plně ponořeno, splývá jeho těžiště se vztlakovým středem. Je-li však těleso ponořeno jen částečně (když plove) anebo není-li homogenní, budou oba body různé; vztlak ve vztlakovém středu a tíhová síla v těžišti pak mohou vytvořit nenulový moment silové dvojice. Ten pak rozhoduje o tom. zda je plavba lodi stabilní (moment při náhodném pootočení navrací loď zpátky) nebo ne (v opačném případě). J^ONTROLA 2: Tučňák plave nejprve v kapalině hustoty qo, potom v kapalině hustoty 0,95fo a nakonec v kapalině hustoty l.lgn- (a) Scřadťe hustoty kapalin podle velikosti vztlaku, jakým působí na tučňáka, (b) Seřaďte je podle množství kapaliny vytlačené tučňákem. PŘÍKLAD 15.5 Výraz „špička ledovce" se v hovorové řeči užívá k označení jevu, jehož malá část je zjevná a zbytek je skryt. Jaká je vynořená část skutečného ledovce? ŘEŠENÍ: Tíhová síla ledovce o celkovém objemu V\ je G| = Q]V\g, kde Q\ = 917kg-m je hustota ledovce. Tíhová síla vytlačené vody, která je rovna velikosti vztlakové síly řV, je Gy = FŤ = QyVyg, kde qv = 1 024kg-m_-1 jc hustota mořské vody a Vy je objem vody vytlačené ledovcem, tedy i objem ponořené části ledovce. Pro plovoucí ledovec jsou obě tíhové síly stejné: QlVlg = QyVyg. 7. poslední rovnice pro podíl d, který hledáme, plyne d = - ~ - = 1 - — = 1 - íí- = Vj v\ Qy (917kg-m-3) ~ (1 024kg-mr3) ~~ = 0,1 neboli 10%. (Odpověď) 15.8 TEKUTINY V POHYBU — DYNAMIKA Pohyb reálných tekutin je velmi komplikovaný, řada problémů je jen obtížně numericky řešitelných a některé problémy dosud vyřešeny nejsou. Problém si podstatně zjednodušíme. Zavedeme pojem ideální kapalina pro modelovou tekutinu, o které předpokládáme, že je dokonale nestlačitelná a neviskózní. Při popisu jejího proudění se omezíme na případy, kdy proudění je laminární, ustálené (stacionární) PŘÍKLAD 15.6 Kulový balon plněný heliem má poloměr R — 12 m. Balon nese lana a koš o hmotnosti m = 196 kg. Jakou nej-větší hmotnost M užitečného zatížení je balon schopný nést? Hustota helia je gHe = 0,160kgm 3 a hustota vzduchu £)vzd = 1.25 kg-m~3: objem vzduchu vytlačený zátěží balonu zanedbejte. ŘEŠENÍ: Tíhová síla vzduchu vytlačeného balonem, která udává velikost vztlaku, a tíhová síla helia obsaženého v balonu jsou Gvzd = QvzáVg a GHe = QHeVg, kde V (= ^r.R3) je objem balonu. Při rovnováze z Archimedova zákona plyne Gvzd = GHe + mg + Mg neboli M = |nÄ3(evzd - QHe) - m = - fTt(12,0m)3(l,25kg-nT3 - 0,l60kg-nr3) -- (196 kg) = 7 690 kg. (Odpověď) Tíhová síla objektu s touto hmotností je asi 75 400 N. 394 kapitola 15 tekutiny a nevírové. Tak se nám podaří jednoduchými matematickými prostředky získat velmi užitečné výsledky, které nám umožní pochopit základní rysy chování proudící tekutiny. Objasníme si blíže předpoklady, které jsme učinili: Ideální kapalina je 1. nestlačitelná: Předpoklad je stejný, jaký jsme již učinili pro tekutinu v klidu. Ideální tekutina má konstantní, všude stejnou hustotu. 2. neviskózní: Viskozita (vazkost) tekutiny je míra toho, jak se tekutina brání tečení. Např. tlustá vrstva medu se podstatně více brání roztěkání než stejně tlustá vrstva vody. Proto říkáme, že med je viskóznější než voda. Asfalt, který jsme zmínili na začátku kapitoly, má velmi vysokou viskozitu. Viskozita tekutin je analogická smykovému tření mezi pevnými tělesy; při viskózním proudění se kinetická energie přeměňuje na teplo podobně jako při vzájemném pohybu těles za působení tření. Vymizí-li tření, kvádr může po vodorovné rovině klouzat stálou rychlostí. Podobně na těleso, které se pohybuje neviskózní tekutinou, nepůsobí žádná smyková viskózni síla, tj. brzdicí síla viskózního charakteru. Britský vědec lord Rayleigh poznamenal, že v ideální tekutině lodní šroub nebude pracovat, na druhé straně však loď jednou uvedená do pohybu nebude šroub potřebovat. Omezujeme se na proudění 3. laminární: Při laminárním proudění je rozumně definována rychlost proudění v každém bodě tekutiny; může se od místa k místu měnit, ale ne příliš prudce. Pomalé proudění vody ve středu klidného toku je blízké laminár-nímu, v peřejích je laminárnímu rozhodně vzdálené. Na obr. 15.12 je ukázán přechod z laminárního na turbulentní proudění pro stoupající cigaretový kouř. Rychlost částeček kouře roste, jak stoupají, a při jisté kritické rychlosti přejde laminární proudění v turbulentní. 4. ustálené (stacionární): Při ustáleném proudění se rychlost proudící tekutiny v kterémkoliv místě nemění s časem ani co do velikosti, ani co do směru. Laminární proudění může, ale nemusí být ustálené. Turbulentní proudění ustálené být nemůže, je vždy nestacionární. 5. nevírové: Tuto vlastnost proudění si objasníme na chování malého zrnka prachu unášeného tekutinou. Zrnko se může při nevírovém proudění pohybovat i po kruhové dráze, ale nikdy nesmí rotovat okolo osy jím procházející. Příklad: ruské kolo na pouti koná jako celek rotační pohyb, ale jeho pasažéři v zavěšených kabinkách konají pouze translační pohyb, okolo vodorovné osy se neotáčejí. I když sc problematikou nebudeme dále podrobněji zabývat, vymezíme si, že námi sledované proudění bude nevírové. Dále Obr. 15.12 V určitém bodě změní stoupající proud kouře a ohřátého vzduchu charakter proudění z laminárního na turbulentní. budeme ve výkladové části vždy předpokládat, že ve všech bodech daného průřezu trubice je stejná rychlost. Takové proudění je nevírové. V příkladech se však setkáme i s případy, kdy proudění v sousedních vrstvách kapaliny se děje s různou rychlostí. Takové proudění je vírové. I ve vírovém proudění však lze odvozené rovnice (rovnici kontinuity a Bernoulliovu rovnici) vhodným způsobem aplikovat. 15.9 PROUDNICE A ROVNICE KONTINUITY Na obr. 15.13 jsou zobrazeny proudnice vzniklé tím, že na řadě nesousedících míst je do proudící tekutiny vpraveno Obr. 15.13 Laminární obtékání válce. Proudnice jsou zviditelněny barevnými částicemi, které zanechávají stopu. 15.9 proudnice a rovnice kontinuity 395 barvivo. Na obr. 15.14 jsou zachyceny proudnice podobně vytvořené kouřem. Proudnice je trajektorie, po níž se pohybuje drobný kousek tekutiny, který můžeme nazvat „částicí tekutiny". Když se částice tekutiny pohybuje, může se měnit směr i velikost její rychlosti. Vektor rychlosti částice je vždy tečný k proudnici (obr. 15.15). Proudnice se nikdy nekříží, protože jinak by částice, která dospěla do bodu křížení, měla současně dvě různé rychlosti, a to je nemožné.* Obr. 15.14 Kouřem zviditelněné proudnice, které obtékají au-tomobil umístěný v aerodynamickém tunelu. nachází v trubici, ji nemůže opustit skrz její stěny. Kdyby částice unikla, měli bychom případ křížení proudnic, který jsme již vyloučili. Na obr. 15.16 jsou znázorněny dva příčné průřezy tenké proudové trubice o obsazích S\ a 52- Budeme sledovat tekutinu procházející průřezem u bodu B. Tekutina jím prochází rychlostí ui, za krátký časový interval Ař urazí vzdálenost v\ Ař a průřezem S\ projde objem tekutiny A V = SmAt. Předpokládáme, že tekutina je nestlačitelná a že nemůže být ani vytvořena ani zničena. Proto za stejný časový interval musí projít stejný objem tekutiny i průřezem S2 v okolí bodu C dále po proudu. Jestliže rychlost zde má velikost U2, musí platit A y = SmAt= S2i.'2Ař neboli S\ v] = S2V2. Podél proudové trubice tedy platí rovnice R = Sv = konst., (15.13) kde veličina R, jejíž jednotka v SI je m3-s-1, sc nazývá objemový tok. Rov. (15.13) vyjadřující stálost objemového toku tekutiny proudovou trubicí se nazývá rovnice kontinuity proudění. Z rovnice plyne, že tečení je rychlejší v užších částech trubice, kde proudnice jsou blíže u sebe, než v jejích širších částech (obr. 15.17). proudnice Obr. 15.15 Stopa pohybu částice tekutiny P vytváří proudnici. Veklor rychlosti v částice má v každém bodě směr tečny k proudnici. Obr. 15.16 Proudová trubice jc vytvořena proudnicemi, které tvoří její hranici. Stejný objemový tok musí procházet všemi průřezy proudové trubice. Při tečeních, jaká jsou znázorněna na obr. 15.13 a 15.14, můžeme vymezit proudové trubice, jejichž stěny jsou tvořeny proudnicemi. Proudová trubice se chová jako reálná trubice v tom smyslu, že žádná částice tekutiny, která se : s výjimkou míst, kde kapalina stojí. Tam je v = 0 a směr rychlosti :ení určen. Obr. 15.17 V místě zúžení trubice se proudnice dostanou blíže k sobě a proud se zrychlí. Šipka nad obrázkem ukazuje směr proudění. Rov. (15.13) vyjadřuje zachování hmotnosti ve tvaru vhodném pro mechaniku tekutin. Násobíme-li R hustotou tekutiny, o které předpokládáme, že je konstantní, dostaneme výraz Svq. Ten se nazývá hmotnostní tok a jeho jednotkou v SI je kg-s-1. Vyjádříme-li rovnici kontinuity v hmotnostním a nikoliv v objemovém toku, říká nám např. pro případ znázorněný na obr. 15.16, že hmotnost, která proteče každou sekundu průřezem trubice v okolí bodu B, musí být stejná jako hmotnost, která proteče každou sekundu průřezem trubice v okolí bodu C. 396 KAPITOLA 15 TEKUTINY J^ONTROLA 3: Na připojeném obrázku je znázorněno rozvětvené potrubí. Šipkami je označen směr toku v jednotlivých větvích a čísla udávají velikost objemového toku (vcm3-s_1) těmito větvemi. U jedné větve údaje chybí. Jaký je směr a velikost toku touto větví? i'íi i K L U) í 5." Obsah Sq průřezu aorty (hlavní cévy vycházející ze srdce) normálního odpočívajícího člověka je 3 cm a rychlost, jakou jí prochází krev, je 30cm-s_1. Typická vlásečnice (nejtenčí céva na periferii krevního oběhu) má průměr přibližně 6^tm a obsah průřezu jc tedy asi 5 = 3T0-7 cm2; rychlost proudění krve v ní je v = 0,05 cm-s-1. Kolik přibližně má člověk vlásečnic? ŘEŠENÍ: Veškerá krev, která za určitou dobu proteče vlá-sečnicemi, musí za stejnou dobu protéci aortou. Tuto skutečnost vystihuje rov. (15.13), takže Sovo = nSv. kde n značí hledaný počet vlásečnic. Vypočteme jej z poslední rovnice: S v 6-109; (3cm2)(30cm-s-') (3-10-7cm2)(0,05cm-s-1) ~ tedy 6 miliard. (Odpověd) Můžete lehce ukázat, že úhrnný průřez všech vlásečnic je asi 600krát větší než průřez, aorty. Na obr. 15.18 je zobrazeno, jak se zužuje proud vody vytékající laminárnč z vodovodního kohoutku. Obsah průřezu So = 1.2cm2 a S = 0,35 cm2. Průřezy jsou vodorovně vzdáleny o /; =45 mm. Jaký je objemový tok R proudu vytékajícího z kohoutku? ŘEŠENÍ: Z rovnice kontinuity (15.13) plyne Sofo = Sv, (15.14) kde vq a v. jsou rychlosti v odpovídajících průřezech. Protože voda mezi oběma průřezy sc pohybuje volným pádem se zrychlením g. můžeme dle rov. (2.23) psát V = Vq + 2gh. (15.15) Řešením soustavy posledních dvou rovnic dostaneme pro vq vyjádření / 2ghS2 /2(9.8m-s-2)(0,045m)(0.35cm2)2 V (1,2 cm2)2 - (0.35 cm2)2 0.286m-s_1 = 28,6cnvs_1. Hledaný objemový tok R je ledy R = S0v0 = (l,2cm2)(28,6cm-s~ = 34cm3-s_1. (Odpověd) ;50 L Obr. 15.18 Příklad 15.8. Když proud vody opustí kohoutek, roste jeho rychlost. Protože množství vody proteklé každým průřezem musí být stejné, bude se proud po výtoku z kohoutku zužovat, „zaškrcuje se". 15.10 BERNOULLIOVA ROVNICE Na obr. 15.19 je znázorněna proudová trubice (může to však být i reálná trubice), kterou stacionárně proudí tekutina. Za časový interval Af vstoupí do trubice na levé (vstupní) straně objem tekutiny A V, který'je na obr. 15.19 vybarven purpurově, a stejný objem, vybarvený zeleně na obr. 15.19, na pravé (výstupní) straně trubici opustí. Výstupní objem musí být stejný jako vstupní, protože předpokládáme, že tekutina je nestlačitelná, že tedy má konstantní hustotu q. Nechť yi, v\ a p\ jsou výška v tíhovém poli, rychlost a tlak tekutiny v místě, kde vstupuje do trubice a yi, vi a pi tytéž veličiny v místě, kde tekutina trubici opustí. Tyto hodnoty jsou vázány vztahem Qgyi = P2 1 2 íqv2 ■Qgyi, (15.16) jak dále dokážeme na základě energetických úvah. Rovnici (15.16) můžeme též zapsat jako ggy — konst, (15.17) 15.10 BERNOULLIOVA ROVNICE 397 (b) Obr. 15.19 Tekutina teče stacionárně trubicí mezi vstupním průřezem na levé straně a výstupním průřezem na pravé straně. Průřezy jsou horizontálně vzdáleny o délku a. V době mezi okamžikem r (stav znázorněn v části (a) obrázku) a okamžikem r + Ar i stav znázorněn v části (b) obrázku) množství tekutiny vybarvené purpurově projde vstupním průřezem do trubice a stejné množství vybarvené zeleně projde výstupním průřezem. čímž rozumíme, že výraz má stejnou hodnotu pro libovolný průřez trubice. Rov. (15.16) a (15.17) jsou ekvivalentní formy Bcr-noulliovy rovnice nazvané po Danielu Bernoulliovi, který studoval proudění tekutin v 18. století.* Podobně jako rovnice kontinuity (rov. (15.13)), ani Bernoulliova rovnice není úplně novým principem, ale je pouze přeformulováním známých rovnic do tvaru vhodného pro mechaniku tekutin. Abychom si rovnici ověřili, aplikujeme ji na tekutinu '." klidu. Položíme tedy v rov. (15.16) v\ = vi = 0 a dostaté me P2 = p\ + Qgiy\ - yi), což je ze statiky tekutin známá rov. (15.4). * V nevírovém (potenciálovém) proudění má konstanta v rov. (15.17) •tejnou hodnotu ve všech bodech uvažovaného proudícího systému; body I a 2 srovnávané při formulaci Bemoulliovy rovnice dané rov. (15.16) mohou být kdekoliv v proudícím systému. Předpoklad, že proudění je nevírové, jc však velmi silný a často (např. v řadě dále řešených příkladů) nebývá splněn. I ve vírovém proudění však Bernoulliova rovnice platí, ale pouze podél proudnice. Základní tvrzení Bemoulliovy rovnice se ukáže, když položíme y rovno konstantě (např. y = 0), tedy když předpokládáme, žc tekutina teče vodorovně. Rov. (15.16) pak přejde na tvar , 1 2 .12 P\ + 2~QV] = P2 + ôQVZ (15.1S který říká: Když při proudění po vodorovné proudnici vzrůstá rychlost částic tekutiny, pak klesá tlak tekutiny, a obráceně. Jinými slovy, když se při proudění dostanou proudnice blízko k sobě (známka toho, že rychlost proudění vzrostla), tlak poklesne, a naopak. Vztah mezi změnou rychlosti a změnou tlaku se objasní, sledujeme-li chování částice tekutiny. Když se částice přiblíží úzkému místu trubice, zrychlí ji větší tlak za ní, takže má v úžině větší rychlost. Když se přiblíží širšímu místu trubice, zbrzdí ji vyšší tlak před ní a širším místem pak prochází menší rychlostí. Zatím jsme sc zabývali jen ideální tekutinou. Je-li tekutina viskózni, zahřívá se. S touto energetickou ztrátou při následujícím odvození rovnice nepočítáme. Odvození Bemoulliovy rovnice Za systém zvolíme celý objem (ideální) tekutiny barevně vyznačený na obr. 15.19. Aplikujeme energetické úvahy na přechod tohoto systému z výchozí polohy (obr. 15.19a) do polohy koncové (obr. 15.19b). Stav tekutiny mezi dvěma svislými rovinami vzdálenými o a, znázorněnými na obr. 15.19, se v průběhu děje nemění. Proto se soustředíme pouze na průběh vstupu tekutiny do trubice a výstupu z ní. Vlastní důkaz provedeme tak, že na systém aplikujeme obecnou větu W = AEk. (15.19) která říká, že práce W vykonaná na systém se rovná přírůstku kinetické energie systému AEk. Přírůstek kinetické energie našeho systému mezi dvěma stavy znázorněnými na obr. 15.19 je dán rozdílem rychlosti tekutiny mezi oběma konci uvažované trubice: aek 1 2 1 ' ť Am — jAm v\* \qav(v22-vr). (15.20) V poslední rovnici Ani (= q A v) je hmotnost stejných objemů A V tekutiny, které za krátký časový interval Ai vstoupí do trubice u jejího levého konce a vystoupí z ní u pravého konce. 398 kapitola 15 tekutiny Práce vykonaná na systému je dvojího druhu. Jednak je to práce Wg tíhové síly Am g, která se musí vynaložit na přemístění hmotnosti Am ze vstupní hladiny na výstupní hladinu, tedy práce Wg = -Amg(y2 - >'i) -= -QgAV(y2-y\). (15.21) Záporné znaménko před pravou stranou rovnice plyne ze skutečnosti, že tíhové zrychlení míří na opačnou stranu než kladná orientace osy y. Vedle práce Wg se však koná i práce Wp na to, aby sc tekutina u levého konce zatlačila do trubice a u pravého konce vystoupila z trubice. Obecně je práce vykonaná silou o velikosti F, která posune tekutinu v trubici o Ax ve směru svého působení, dána výrazem FAx = (pS)(Ax) = p(SAx) = pAV. U vstupu do trubice směřuje síla ve směru pohybu a příspěvek p] A V k práci Wp je kladný. U výstupu z trubice je posunutí Ax orientováno proti směru působící síly, a proto příspěvek k práci Wp vykonané na systém je záporný: — piAV. Sečtením obou příspěvků dostaneme pro práci, vykonanou na našem systému okolním tlakem, vyjádření Wp = -p2AV + piAV = ~(P2 ~ Pl)AV. (15.22) Větu o rovnosti práce vykonané na systém a přírůstku kinetické energie systému (rov. (15.19)) nyní zapíšeme již s naším vyjádřením této práce W = Wg + Wp = AEk. Když nyní do této rovnice dosadíme z rov. (15.20), (15.21) a (15.22), dostaneme -QgAV(y2 - v,) - AV(p2 - Pi) = 2Í?AV(u22 - u,2). Tato rovnice po vykráčení výrazem A V a jednoduchém přeskupení členů dá již rov. (15.16). PŘIKLAD 15.9 Líh hustoty q = 791 kg-m-3 teče laminárně vodorovnou trubicí, která se zužuje (podobně jako na obr. 15.17) z průřezu obsahu Sj = 1,20-10 3 m2 na průřez o obsahu 52 = S\/2. Rozdíl Ap tlaku lihu mezi širokou a úzkou částí trubice je 4 120Pa. Jaký je objemový tok lihu trubicí? ŘEŠENI: Když přeskupíme Bernoulliovu rovnici pro tok vodorovnou trubicí (rov. (15.18)), dostaneme P\ - Pi = \qv2 i0(v2--vr). (15.23) Index 1 se vztahuje k široké a index 2 k úzké části trubice. Podle rovn ice kontinuity (rov. (15.13)) tok v úzké části trubice je rychlejší, tedy v2 > v\.Z rov. (15.23) potom plyne, že P\ > Pl- Z rov. (15.13) také plyne, že objemový tok R trubicí je stejný v široké i úzké části; R = v\ S\ = v2S2. Tyto rovnice spolu s rovnicí S2 = S\/2 dávají R R _2R Když tyto poslední výrazy dosadíme do rov. (15.23) a položíme p i — p2 = Ap, dostaneme po drobných algebraických úpravách R1 1 (AR2 Ap=2-H^-š Z poslední rovnice pak vypočteme R, 3qR2 2Sí2 ' 2Ap y 3ě> = (1.20-10"3 m2) 2(4120 Pa) 3(791 kg-m"3) 2,24-10-3m3-s"'. (Odpověd) PŘIKLAD 15.10 Desperát z Divokého západu vpálil kulku do otevřené nádrže s vodou a provrtal v ní otvor v hloubce h pod volnou hladinou vody (obr. 15.20). Jakou rychlostí v začne voda vytékat z prostřelené nádrže? ŘEŠENI: Případ je v podstatě stejný, jako když voda nejprve teče (dolů) rychlostí V širokou trubicí (celou nádrží) o obsahu průřezu S a potom teče (vodorovně) rychlostí v úzkou trubicí (vystřeleným otvorem) o obsahu průřezu s. Z rovnice kontinuity (15.13) víme, že a tedy R = sv = SV, s V = -v. S Protože i- S, vidíme, že V <§; v. Vztah mezi v a V (a tedy i h) můžeme nalézt i použitím Bernoulliovy rovnice (15.16). Za nulovou hladinu pro počítání výšky (a tím i potenciálni energie v tíhovém poli) zvolíme hladinu procházející prostřeleným otvorem. Když uvážíme, přehled & shrnutí 399 y = 0 Obr. 15.20 Příklad 15.10. Voda vytéká dírou v nádrži, která je v hloubce h pod povrchem (volnou hladinou) vody. Tlak vody na povrchu a v díře je roven atmosférickému tlaku po- že jak tlak na volné hladině nádrže, tak i tlak v místě prostřeleného otvoru jsou rovny atmosférickému tlaku po (obě místa jsou tomuto tlaku volně vystavena), dostaneme z rov. (15.16) Po + k>V2 + Qgh = p0+ \qv2 + Qg-0. (15.24) (Podmínkám na volné hladině nádrže je věnována levá strana rovnice, podmínkám v otvoru pravá strana. Nula na konci pravé strany odpovídá tomu, že otvor leží na námi zvolené nulové hladině.) Než budeme řešit rov. (15.24) pro neznámou v, použijeme pro její zjednodušení skutečnost, že V 4£ v. Budeme předpokládat, že V2 a tedy i člen \q V2 z rov. (15.24) je zanedbatelný proti ostatním členům rovnice a vypustíme jej. Řešením zbývající části rovnice pak pro hledanou rychlost dostaneme výraz v = \Jtgh. (Odpovčd) Je to stejná rychlost, jakou by získalo těleso padající z výšky h, kdyby bylo vypuštěno nulovou počáteční rychlostí. J^jONTROLA 4: Voda teče laminárně trubicí znázorněnou na připojeném obrázku. V průběhu tečení klesá. Seřaďte sestupně čtyři očíslované úseky trubice: (a) podle objemového toku R, který jimi prochází, (b) podle rychlosti v, jakou jimi voda teče, (c) podle tlaku p, jaký v nich je. l 2 lok li 3 i/l i i PŘEHLED 5^ SHRNUTI Hustota Hustota q látky je definována jako její hmotnost v jednotce objemu: Am (15.1) Am AV' Je-li těleso tvořeno látkou homogenní, můžeme rov. (15.1) přepsat na tvar q = m/V, kde m je hmotnost tělesa a V jeho objem. Tlak tekutiny Tekutina je látka, která může téci: kapalina, plyn, event. i plazma. Její tvar je dán tvarem nádoby, ve které se nachází, protože nepřenáší smykové napětí (přesně to platí jen pro ideální tekutinu). Napětí tedy může působit jen silou kolmou k povrchu kapaliny. flak p v tekutině zavádíme takto: AF AŠ' (15.2) kde A ľ je element síly, který působí na element plochy o obsahu AS. Když velikost síly působící na rovinnou plochu roste úměrně s velikostí plochy, můžeme rov. (15.2) upravit na tvar p = F j S, kde F je síla působící na celou plochu, jejíž obsah je S. Tlak tekutiny v daném bodě vytváří stejné silové působení na všechny roviny procházející tímto bodem bez ohledu na jejich orientaci. Přetlak (resp. podtlak) je rozdíl skutečného tlaku (absolutního tlaku) v daném bodě a tlaku v okolí, nejčastěji atmosférického tlaku. Změny tlaku s výškou a hloubkou Tlak tekutiny, která je v klidu, se mění podél svislé souřadnice y. Když je souřadnice orientována směrem vzhůru, platí pro nestlačitelné tekutiny (q = konst.) Pi = P\ +Qg(y\ -y2). (15.4) Tlak je stejný pro všechny body ve stejné hloubce. Rov. (15.4) přejde na tvar P = Po + Qgh, (15.5) když h označíme hloubku v tekutině měřenou od jisté referenční hladiny, v níž má tlak hodnotu po. Pascalův zákon Pascalův zákon stanoví, že změna tlaku působící v jedné části tekutiny se přenese do všech míst vyplněných touto tekutinou a to i na stěny nádoby, která tekutinu vymezuje. 400 KAPITOLA 15 TEKUTINY Archimedov zákon Na těleso ponořené do tekutiny působí síly vyvolané tlakem tekutiny. Vektorový součet těchto sil — říká se mu vztlaková síla nebo stručně vzdak — působí svisle vzhůru. Působištěm vztlakové síly je těžiště vytlačené tekutiny, které se nazývá vztlakový střed. Archimedův zákon stanoví, že vztlaková síla působící na těleso je stejně velká jako tíhová síla tekutiny tělesem vytlačené. Když těleso plove na volné hladině, je jeho tíhová síla co do velikosti rovna vztlakové síle, která na něj působí. Proudění ideální tekutiny Ideálníkapalina je nestlačitelná a není viskózni. Předpokládáme navíc, že její proudění je stacionární a nevírové. Proudnice je dráha částice tekutiny. Proudová trubice obaluje svazek proud-nic. Z principu zachování hmotnosti plyne, že pro proudění v proudové trubici je hmotnostní tok Svq konstantní. Je-li na- víc kapalina nestlačitelná, tedy je-li hustota q konstantní, platí rovnice kontinuity: R = Sv = konst., (15.13) kde R jc objemový tok, S obsah příčného průřezu trubice v libovolném bodě a v rychlost tekutiny v tomto bodě. Předpokládáme, že tato rychlost má stejnou hodnotu v každém bodě plochy S. Bernoulliova rovnice Použijeme-li zákon zachování mechanické energie na proudění ideální kapaliny, získáme Bernoulliovu rovnici: p + \qv2 + ggy - konst., (15.17) která platí podél každé proudnice. OTÁZKY 1. Na obr. 15.21 je zobrazena nádrž zvláštního tvaru zcela zapl- 3. Nádoby z obr. 15.23 mají stejný obsah základny, jsou vy- něná vodou. Jc označeno pět vodorovných spodních nebo vrchních ploch. Obsah všech je stejný ajsou umístěny v hloubkách h, 2h a 3/; pod hladinou. Seřaďte plochy podle velikosti síly. která na ně působí. robeny ze stejného materiálu a výška vody v nich je stejná, (a) Seřaďte nádoby s vodou podle jejich váh, nádobu s nejvčtší váhou zařaďte jako první, (b) Seřaďte nádoby podle tlaku, jakým voda působí na jejich dna. (c) Plyne z rov. (15.2), že odpovědi na otázky (a) a (b) jsou v rozporu? Tento zdánlivý rozpor se často nazývá hydrostatický paradox. \ / A I I i»iscft."................... tr^m^^!&M (1) (2) (3) Obr. 15.23 Otázka 3 Obr. 15.21 Otázka 1 2. Na obr. 15.22 jsou znázorněny čtyři případy, jak červená a šedivá kapalina vyplňují U-lrubici. V jednom případě nemůže jít o staticky rovnovážný stav. (a) Který to je? (b) O třech ostatních I I I I (1) (2) (3) (4) Obr. 15.22 Otázka 2 případech předpokládejte, že kapaliny jsou ve statické rovnováze. Jc v nich vždy hustota některé z kapalin větší než té druhé? 4. Kus materiálu o hmotnosti 3 kg zcela ponoříme do kapaliny. Kapalina stejného objemu, jako má vnořený kus, má hmotnost 2 kg. (a) Co udělá uvažovaný kus materiálu, když ho v kapalině volně vypustíme: bude klesat, stoupat, nebo zůstane v klidu? (b) Co udělá stejný kus materiálu, když jej ponoříme do kapaliny o menší hustotě? 5. Obr. 15.24 zobrazuje čtyři pevné bloky plovoucí na melase. Seřaďte bloky podle velikosti jejich hustoty. ... . ............ (1) (2) (3) (4) Obr. 15.24 Otázka 5 6. Na obr. 15.25 jsou znázorněny tři stejné otevřené nádoby po CVIČENÍ & ÚLOHY 401 okraj naplněné vodou. Ve dvou z nich plovou kačenky. Nádoby i s kačenkami zvážíme. Seřaďte je podle váhy. (a) (b) (c) Obr. 15.25 Otázka 6 7. Člun s kotvou na palubě pluje v bazénu, který je jen trochu širší než člun. Zvedne se hladina vody v bazénu, když je kotva (a) vhozena do vody, (b) hozena ven z bazénu? (c) Hladina vody v bazénu se zvedne, klesne, nebo zůstane stejná, když místo kotvy vhodíme do vody kus korku, který jsme měli ve člunu? 8. Tři balónky stejné velikosti jsou zcela ponořeny do vody. Balónek 1 je naplněn vodíkem, balónek 2 heliem a balónek 3 oxidem uhličitým. Seřaďte balónky podle velikosti vztlaku, který na ně působí. 9. Kus dřeva pluje ve vědru vody umístěném ve výtahu. Bude plout více, méně, nebo stejně ponořen, když se výtah pohy- buje (a) rovnoměrně vzhůru, (b) rovnoměrně dolů; (c) zrychleně vzhůru, (d) zrychleně dolů, se zrychlením menším, než je tíhové zrychlení 9,8 m-s . 10. Nádoba s vodou je umístěna na pérových vahách. Bude údaj vah větší, menší, nebo stejný, když do vody (a) ponoříme zavěšený kovový předmět, (b) vložíme korkový předmět, který na ní bude plovat? (Z nádoby nepřeteče žádná voda ven.) 11. Na obr. 15.26 jsou dva pravoúhlé bloky, které jsme rukou vychýlili z rovnovážné polohy a potom pustili. Pro každý blok stanovte, zda (a) vztlaková síla vyvolá jeho otáčení z naznačené polohy ve směru, či proti směru hodinových ručiček, (b) blok se působením této síly ještě více vychýlí, nebo se narovná. 2 Obr. 15.26 Otázka 11 CVIČENÍ & ÚLOHY ODST. 15.3 Hustota a tlak 1C. Kolik činí hustota lg-cm-3, vyjádříme-li ji v jednotkách kg-m-3? 2C. Tři kapaliny, které se nemísí. byly nality do válcové nádoby. Objemy a hustoty těchto kapalin jsou: 0,501. 2,6 s-cm"3; 0.251, 1.0g-cm 3 a0,401,0,80 g-cm-3. Jakou silou kapaliny působí na dno nádoby? (Jeden litr =11 = 1 000cm3.) 3C. Určete tlak v injekční stříkačce, když sestra zatlačí na kruhový píst o poloměru 1,1 cm silou 42 N. 4C. Angličan řekne, že nafoukl přední pneumatiky svého auta na tlak 28 psi. Lékař řekne, že váš krevní tlak je 120/80 milimetrů rtuťového sloupce. Udejte v kilopascalech (kPa): (a) tlak, na který byly nafouknuty pneumatiky, (b) svůj systolický a diastolický tlak. 5C. Okno má rozměry 3,4 m na 2,1 m. Při závanu větru poklesl vnější tlak na 0,96 atm, zatímco tlak uvnitř místnosti zůstal na hodnotě 1 atm. Jaká byla síla, která způsobila, že okno se rozletělo směrem ven? 6C. Ryba reguluje hloubku plavání nastavením své průměrné hustoty na hodnotu stejnou, jakou má voda. Provádí to změnou objemu vzduchu v porézních kostech nebo ve vzduchovém měchýři. Předpokládejte, že s vyfouknutým měchýřem má ryba hustotu 1 gem-3. O jakou část svého koncového (nafouknutého) objemu musí ryba zvětšit objem vzduchového měchýřc, aby vyrovnala svou hustotu na hustotu vody? 7Ú. Vzduchotěsná nádoba má uzávěr o obsahu 100cm2. Nádoba jc částečně vyčerpána. Jaký je v ní tlak, je-li na její otevření potřeba síla nejméně 500 N? Okolní atmosféra má tlak 1- HP Pa. 8U. Magdeburské polokoule. Vynálezce vývěvy Otto von Guericke provedl v roce 1654 před císařem pokus, při kterém se dvě koňská osmispřeží marně snažila od sebe oddělit dvě mosazné polokoule, z jejichž vnitřního prostoru byl vyčerpán vzduch, (a) Ukažte, že síla F potřebná k odtržení polokoulí je rovna F = r.R2Ap, kde Ap je rozdíl mezi vnějším tlakem a tlakem uvnitř polokoulí. Předpokládejte, že tloušťka mosazi je tak malá, že za poloměr R můžeme pokládat poloměr vyznačený na obr. 15.27. (bj Vypočtěte sílu, jakou by koně museli táhnout, aby polokoule odtrhli,*kdyby R bylo 30 cm a vnitřní tlak by byl 0,1 atm. (c) Proč byly užity dvě skupiny koní? Stačilo by použít jen jednu skupinu a druhou polokouli přivázat k pevné stěně? ' V:; : \tf Obr. 15.27 Úloha 8 * To se také stalo, ale až tehdy, když zapřáhli dvě koňská dvanácti-spřeží. 402 kapitola 15 tekutiny ODST. 15.4 Tekutiny v klidu — statika 9C. Vypočlěle rozdíl hydrostatického tlaku mezi mozkem a chodidlem osoby vysoké 1,83 m. Hustota krve je 1,06-103 kg-m-3. 10C. Najděte absolutní tlak v pascalech v hloubce 150 m pod mořskou hladinou. Hustota mořské vody je 1,03 g-cm 3 a atmosférický tlak na hladině 1,01 TO5 Pa. 11C. Výpusť splašků domu stojícího na svahu je 8,2 m pod úrovní ulice. Stoka je 2,1 m pod úrovní ulice. Vypočtěte minimální tlakový rozdíl, který musí vyvinout kalové čerpadlo, aby odpad o průměrné hustotě 900 kg-m-3 přečerpalo do stoky. 12C. Obr. 15.28 představuje část fázového diagramu uhlíku s křivkou fázové rovnováhy mezi diamantem a grafitem. V jaké minimální hloubce pod povrchem Země se mohou tvořit diamanty, je-li teplota v této hloubce 1 000'C a hustota skalního nadloží je 3,1 g-cm"3? Předpokládejte, že i v tomto případě je tlak dán tíhou hornin, které leží nad daným místem, podobně jako v tekutině. 1000 2000 3000 teplota (7/°C) Obr. 15.28 Cvičení 12 13C. Lidské plíce vyvinou přetlak nanejvýš dvacetinu atmosféry. Když potápěč užívá sací trubky, jak nejhlouběji pod hladinou může plavat? 14C. Bazén má rozměry 40 m x 15 m x 4 m. (a) Jakou silou působí voda vyplňující bazén najeho dno, na kratší boční stěny a na delší boční stěny? (b) Musí se uvažovat také atmosférický tlak působící na hladinu, když posuzujeme vliv tlaku na soudržnost betonu tvořícího dno a stěny bazénu? Proč? 15C. (a) Najděte celkovou sílu, kterou voda působí na vrchní část atomové ponorky v hloubce 200 m, když předpokládáme, že celková plocha vrchní části trupu ponorky jc 3 000 m2. (b) Jaký tlak vody by působil na potápěče v této hloubce? Výsledek vyjádřete v atmosférách. Myslíte si, že posádka havarované ponorky z ní může v této hloubce uniknout bez speciálního vybavení? Hustotu mořské vody pokládejte za rovnu 1,03 g-cm-3. 16C. Členové posádky ponorky, která havarovala 100 m pod vodní hladinou, sc z ní pokoušejí uniknout. Jakou silou musí tlačit na výstupní poklop, aby ho otevřeli, když jeho rozměry jsou 1.2 m x 0.60 m? Hustolu mořské vody pokládejte nyní za rovnu 1 025 kg-m-3. 17C. V otevřeném kapalinovém manometru (v U-trubici) je rtuť. Jak vysoko vystoupí rtuť v levé trubici, když do pravé trubice je nalito 11,2 cm vody? 18C. Válcový kovový sud zobrazený na obr. 15.29 má ke své vrchní základně přitavenu tenkou trubku. Rozměry sudu a trubky jsou uvedeny na obrázku. Vzniklá nádoba je až po vršek trubky naplněna vodou. Vypočtěte poměr síly, kterou voda působí na dno sudu, k tíze vody obsažené v sudu. Proč vypočtený poměr není roven jedné? 4,6cm2—j*| " I .Sni VODA P '-8m ^Vilv. •„,,.-..-Saj*** --L2m-►! Obr. 15.29 Cvičení 18 19Ú. Dvě stejné válcové nádoby jsou vedle sebe postaveny tak, že jejich dna jsou ve stejné výši. Obě obsahují stejnou kapalinu, jejíž hustota je q. Obě dna mají obsah S, výšky kapalin jsou však různé: v jedné nádobě h\, v druhé hi. Jakou práci vykoná tíhová síla, když po propojení obou nádob se v nich výšky kapalin vyrovnají? 20U. (a) Kapalina v nádobě se pohybuje se zrychlením a mířícím svisle vzhůru. Ukažte, že v tomto případě tlak s hloubkou h v nádobč stoupá dle zákona P = Qh(g + a), kde q je hustota kapaliny, (b) Ukažte též, žc když se nádoba pohybuje se zrychlením a mířícím svisle dolů,\e, závislost tlaku na hloubce dána výrazem P = Qh(g - a). (c) Jaký je tlak, když voda s nádobou padají volným pádem? 21Ú. Při geologickém rozboru Země jc často účelné předpokládat, že tlak v určité vodorovné hladině kompenzace, která se nachází hluboko pod zemským povrchem, jc ve velké oblasti stálý a rovná se tlaku vyvolanému tíhou nadložních vrstev. To znamená, že tlak v této hladině se vypočítá podle hydrostatické rovnice platné pro tekutiny. Pro splnění takového modelu musíme např. předpokládat, žc hory mají své kořeny (obr. 15.30). Uvažujme horu vysokou 6km. Kontinentální horniny mají hustotu 2,9 g-cm-3 a pod nimi je zemský plášť s hustotou 3,3 g-cm~'. cvičení & úlohy 403 Vypočtěte hloubku h kořene hory. {Tip: Požadujte, aby tlak v bodech A a B vyznačených na obrázku byl stejný; neznámá hloubka y hladiny kompenzace vám vypadne.) a hora 6,0km -■X ■' o. ..kontinent ^ 2,9g-cm-J 32 km :c.::'. ■ - - \ plášť 3.3gcm~3 kořen I ^ /i 1 5 ^4 hladina kompenzace Obr. 15.30 Úloha 21 22Ú. Naobr. 15.31 je naznačeno, jak se oceán nasouvá na kontinent. Užijte metodu hladiny kompenzace vysvětlenou v úloze 21 k výpočtu hloubky /; oceánu. moře kontinent t voda i l,0g-cffT3J í ' kůra 12km 2.s. nn ' 20 km plášť 1 í 2J 3í/ A í/ B 2í/ Obr. 15.33 Úloha 24 3j2g'cm a má rozmery ukázané na obrázku, (a) Síla, kterou voda tlačí na přehradní hráz, se snaží hráz posunout vodorovným směrem. Proti posunutí působí síla statického smykového tření mezi hrází a podložím. Statický činitel tření je 0,47. Vypočtěte bezpečnostní činitel, jaký má přehrada proti posunutí. Bezpečnostní činitel je poměr uvažovaného havarijního zatížení k nejvyššímu reálně odhadnutému zatížení; v našem případě je to poměr maximální statické třecí síly (tíhy hráze x statický činitel tření) k velikosti síly, kterou na hráz působí voda. (b) Voda se též snaží otočit přehradní hráz okolo osy, která prochází bodem A a postupuje podél základny hráze (srovnej s úlohou 23). Proti tomu působí moment tíhy přehrady okolo uvažované osy. Vypočtěte bezpečnostní činitel proti otočení přehrady, tedy poměr velikosti momentu tíhy přehrady k velikosti momentu síly. kterým vůči uvažované ose působí celková síla na přehradní hráz vyvolaná vodou, umístěná ve svém působišti. Obr. 15.31 Úloha 22 23Ú. Přehradou je zadržena masa vody, která v místě přehradní hráze má hloubku h a šířku d, jak je znázorněno na obr. 15.32. (a) Vypočtěte výslednou sílu, kterou voda působí na hráz přehrady, (b) Vypočtěte výsledný moment sil vůči ose proložené rovnoběžně se šířkou d bodem O, který leží v patě přehrady, (c) Najděte působiště výsledné síly působící na přehradní hráz, a tím i rameno této síly vůči ose procházející bodem O. ■'- X I80m t t 71m 48 m 24 m - \ A \ Obr. 15.34 Úloha 25 Obr. 15.32 Úloha 23 24U. Nahoře otevřená nádrž tvaru písmene L je naplněna vodou (obr. 15.33). Jaká je (a) síla na stěnu A a (b) síla na stěnu B, když d = 5 m? 25U. Na obr. 15.34 je znázorněna přehradní hráz a část zachycené vody, která na ni tlačí. Přehradní hráz je z betonu hustoty ODST. 15.5 Měření tlaku 26C. Vypočtěte výšku sloupce vody, na jehož základně bude tlak 1 atm. Tíhové zrychlení g = 9.80m-s-2. 27C. Jaký minimální podtlak musíte vytvořit v plicích, abyste brčkem nasáli limonádu o hustotě 1 000 kg-m-3 do výšky 4 cm? 2811. Jaká by byla výška atmosféry, kdybychom předpokládali: (a) že hustota atmosféry se s výškou nemění, (b) že hustota klesá s výškou lineárně, dokud nedosáhne nulové hodnoty. Hustota atmosféry u hladiny moře q = l,3kg-m-3. ODST. 15.6 Pascalův zákon 29C. V hydraulickém lisu (obr. 15.35) se pístem o malé ploše s obsahem S\ působí na kapalinu silou F\. Spojovací trubka 404 kapitola 15 tekutiny vede kapalinu k pístu o podstatně větším obsahu S2. (a) Jak velká síla F2 působí na větší píst? (b) Jak velká síla F\ působící na malý píst vyváží na velkém pístu tíhu předmětu o hmotnosti 2 tuny, když malý píst má průměr 4 cm a velký 56 cm? Obr. T 5.35 Cvičení 29 a 30 30C. Jak velkou dráhu musí urazit velký píst hydraulického lisu ze cvič. 29, aby se jeho malý píst posunul o 1 m? ODST. 15.7 Archimedův zákon 31C. Plechovka má celkový objem 1 200 cm3 a hmotnost 130 g. Kolik gramů olověných broků může plechovka nést, aniž se ve vodě potopí? Hustota olova je 11,4 g-cm-3. 32C. Člun plující ve sladké vodě vytlačí 4 000 kg vody. (a) Jaká bude hmotnost vytlačené vody, když člun popluje ve slané vodě hustoty 1,03 g-cm-3? (b) Změní se objem vytlačené vody? Jestliže ano, tak o kolik? 33C. Přibližně jedna třetina těla fyzika, který plave v Mrtvém moři, je nad hladinou. Fyzik z tohoto údaje vypočte hustotu vody v Mrtvém moři, když předpokládá, že průměrná hustota lidského těla je 0,98 g-cm 3. Kjakému výsledku došel? (Proč je hustota o tolik větší než 1,0g-cm ?) 34C. Železná kotva se jeví ve vodě lehčí o 200 N než ve vzduchu, (a) Jaký je její objem? (b) Kolik kotva váží na vzduchu? Hustota železa je 7,870g-cm-3. 35C. Předmět visí na pérových vahách. Na vzduchu ukazují váhy 30 N. Když předmět plně ponoříme do vody, údaj klesne na 20 N. Když jej plně ponoříme do kapaliny neznámé hustoty, váhy ukazují 24 N. Jaká je hustota této kapaliny? 36C. Předmět tvaru krychle o hraně 60 cm působí ve vakuu na závěs silou G = 5 000 N (tíha tělesa). Předmět zavěsíme do otevřené nádrže s kapalinou hustoty 0.8 g-cm 3 způsobem naznačeným na obr. 15.36. (a) Vypočtěte celkovou sílu, kterou kapalina a atmosféra působí na vrchní stěnu krychle, (b) Najděte celkovou sílu působící směrem vzhůru na spodní stěnu krychle, (c) Najděte sílu přenášenou závěsem, (d) Vypočtěte z Archimedova zákona vztlakovou sílu působící na předmět. Jaké vztahy platí mezi vypočtenými hodnotami? ä/2 í h Obr. 15.36 Cvičení 36 37C. Dřevěný předmět plove na vodě, přičemž dvě třetiny jeho objemu jsou ponořeny. V oleji plove předmět tak, že 90 % jeho objemu je ponořeno. Stanovte: (a) hustotu dřeva, (b) hustotu oleje. 38C. Bylo navrženo, aby byl zemní plyn ze Severního moře přepravován ve velkých vzducholodích, přičemž plyn sám by sloužil jako nosné medium. Vypočtěte sílu nutnou na stažení takové vzducholodi k zemi, aby ji bylo možno vyložit — získat převážený zemní plyn. Plně naložená vzducholoď obsahuje 1,0-106 m3 zemního plynu hustoty 0,80kg-m-3. Váhu konslrukčních částí vzducholodi lze zanedbat. 39C. Heliem naplněný balon pluje pomalu v nízké výšce. Jeho maximální užitečné zatížení, tj. zatížení posádkou a nákladem, je 1 280 kg. O kolik by se mohlo zvýšit toto užitečné zatížení, kdyby se místo helia pro plnění balonu užil vodík? Objem helia v balonu je 5 000m3. Hustota helia je 0,16kg-rrr3, hustota vodíku 0,081 kg-m-3. (Proč se přesto užívá mnohem dražší helium?) 40C. Heliový balon se užívá k vyzdvižení užitečného zatížení 0 hmotnosti 40 kg do výšky 27 km, kde hustota vzduchu je 0.035 kg-m-3. Konstrukce balonu má hmotnost 15 kg a helium v něm hustotu 0,005 1 kg-m-3. Jaký je objem balonu? Objem nákladu zanedbejte. 41Ľ. Dutá koule o vnitřním poloměru 8,0 cm a vnějším poloměru 9,0 cm plove napůl ponořena v kapalině hustoty 800 kg-m-3. (a) Jaká je hmotnost koule? (b) Vypočtěte hustotu materiálu, z kterého je koule zhotovena. 42Ú. Dutá kulová železná skořepina plove téměř úplně ponořena ve vodě. Vnější průměr koule je 60,0 cm a hustota železa je 7,87 g-cm . Jaký je vnitřní průměr koule? 43U. Železný odlitek, který obsahuje mnoho dutinek, váží 6 000 N na vzduchu a 4 000 N vc vodě. Jaký je celkový objem dutinek v odlitku? Hustota homogenního železa je 7.87 g-cm-3. 44Ú. (a) Jaká je nejmenší plocha ledové desky tlusté 30 cm plující na sladké vodě, která na sobě udrží automobil hmotnosti 1 100 kg? (b) Záleží na tom, kde na desce automobil stojí? 45U. Tři děti — každé o hmotnosti 40 kg — si udělaly vor svázaný z klád. Každá kláda měla průměr 30 cm a délku 6m. Kolik klád musely děti použít, aby se s nimi vor nepotopil? Hustotu dřeva pokládejte za rovnu 940kg-m-3. 46U. Předpokládejte, že hustota mosazných závaží je 8.0 g/cm3 a hustota vzduchu 0,001 2 g/cm3. Jaké se dopustíme chyby zanedbáním vztlaku vzduchu, když na rovnoramenných vahách vážíme předmět, který má hmotnost m a hustotu g>? Chybu vyjádřete v procentech. 47U. Automobil má celkovou hmotnost 1 800 kg. Objem vzduchu v prostoru pro cestující je 5,00 m . Objem motoru a předních kol je 0,750 m3 a objem zadních kol, palivové nádrže a kufru je 0,800 m : předpokládejme, že do těchto prostorů voda nepronikne. Automobil parkoval na svahu, lanko ruční brzdy se přetrhlo a vůz. sjel ze svahu do rybníka (obr. 15.37). (a) Nejprve žádná voda nevnikla do prostoru pro cestující. Jaký je objem potopené části vozu v této fázi děje, která je zachycena na obrázku? (b) Jak cvičení & úlohy 405 se voda postupně dostává do prostoru pro cestující, automobil klesá. Kolik do něho vnikne vody do okamžiku, kdy automobil zmizí pod hladinou? (Automobil plove vodorovně, protože v kufru má těžký náklad.) 5.00m3 I 0,750m3 Cd 0,800m3 52Ú*. Napětí ve vlákně, které drží pevný předmět pod povrchem kapaliny (kapalina má větší hustotu než předmět) je 7b, když je nádoba s kapalinou v klidu (obr. 15.40). Ukažte, že když se nádoba zaěne pohybovat se zrychlením o velikosti a mířícím svisle vzhůru, napětí T ve vlákně stoupne na hodnotu 7b(l + + a/8). Obr. 15.37 Úloha 47 Obr. 15.40 Úloha 52 48Ú. Kus dřeva má hmotnost 3.67kg a hustotu 600kg-m~3. Přidáme k němu tolik olova, aby 90 % objemu dřeva bylo potopeno. Jaké množství olova je zapotřebí: (a) když olovo je přidáno na vrchní část dřeva (není potopeno), (b) když olovo je přidáno na spodní část dřeva (je potopeno)? Hustota olova je l,13-104kg-m 3. 49Ú. Kádinku částečně naplněnou vodou postavíme na dno dřezu (obr. 15.38). Vlastní hmotnost kádinky je 390 g a její vnitřní objem 500cm3. Když plníme dřez vodou a kádinka je naplněna méně než z poloviny, začne plovat. Když je kádinka naplněna více, zůstane stát na dně dřezu, a když připouštěná voda dosáhne jejího okraje, nateče do ní. Jaká je hustota materiálu, z kterého je kádinka vyrobena? Obr. 15.38 LJIoha49 ODST. 15.9 Proudnice a rovnice kontinuity 53C. Na obr. 15.41 je znázorněn soutok dvou potoků, které vytvoří řeku. Jeden potok má šířku 8,2 m, hloubku 3,4 m a rychlost jeho proudu je 2,3 m-s-1. Druhý potokje 6,8 m široký, 3,2 m hluboký a rychlost jeho proudu je 2,6 m-s-1. Šířka řeky jc 10,5 m, rychlost jejího proudu je 2,9 m-s-1. Jaká je hloubka řeky? 50Ú. Jaké je zrychlení stoupajícího balonu na horký vzduch, když poměr hustoty vzduchu vně balonu k hustotě vzduchu uvnitř balonu je 1,39? Hmotnosti konstrukce balonu a obsazeného koše zanedbejte. 51Ú. Válcová kovová tyč délky 80 cm a hmotnosti 1,6 kg má průřez o obsahu 6,0 cm2. Těžiště tyče leží 20 cm od jednoho jejího konce, protože hustota tyče není konstantní. Tyč jc zavěšena vodorovně na dvou vláknech a ponořena do vody, jak jc ukázáno na obr. 15.39. (a) Jaká napěťová sílaje přenášena vláknem, které je blíže k těžišti? (b) Jaká napěťová sílaje přenášena vzdálenějším vláknem? Obr. 15.39 Úloha 51 Obr. 15.41 Cvičení 53 54C. Voda přitéká trubkou, jejíž vnitřní průměr je 2,1 cm, a dále teče třemi trubkami o průměru 1,4 cm. (a) Jaký jc objemový tok širší trubkou, když objemové loky užšími trubkami jsou postupně 0,035 m3-s_1, 0,025 m3-s"' a 0,015 m3^1? (b) Jaký je poměr rychlosti proudění v širší trubici k rychlosti proudění v trubici s objemovým tokem 0,035 m3-s_1? 55C. Zahradní hadice třiětvrtěcoulka (tj. hadice s vnitřním průměrem 0,75 palce) je připojena k postřikovači trávníku, který se skládá z 24 děr o průměru 0.05 palce. Jakou rychlostí je voda vystřikována z otvorů postřikovače, jestliže v přívodní hadici je její rychlost 1 m-s-1 ? 56U. Ze zatopeného sklepa je vyčerpávána voda rychlostí 5 m/s hadicí o vnitřním poloměru 1 cm. Hadice je vyvedena okénkem, které se nachází 3 m nad hladinou čerpané vody. Jaký je výkon čerpadla? 406 kapitola 15 tekutiny 57Ú. Řeka široká 20 m a hluboká 4 m odvodňuje území o rozloze 3000km2. Průměrné roční srážky na tomto území činí 505 mm/m2. Čtvrtina srážek se vypaří a zbytek je odvodněn řekou. Jaká je průměrná rychlost proudu vody? ODST. 15.10 Bernoulliova rovnice 58C. Voda teče rychlostí 5 m-s~' trubicí, která má příčný průřez, o obsahu 4 cm2. Voda postupně klesne o 10 m a obsah průřezu trubice se rozšíří na 8 cm2, (a) Jaká je rychlost vody po poklesu? (b) Jaký je tlak po poklesu, když předtím byl 1,5105 Pa? 59C. Modely torpéd bývají zkoušeny ve vodorovné trubici s proudící vodou, podobně jako modely letadel v aerodynamickém tunelu. Uvažujme, že do takové trubice o vnitřním průměru 25 cm umístíme souose model torpéda, který má průměr 5 cm. Při zkoušce proudí voda kolem torpéda rychlostí 2,5 m-s-1. (a) Jakou rychlostí musí voda proudit v místech, kde její proud není zúžen modelem? (b) Jaký je rozdíl tlaku vody v trubici mezi místem, kde se nachází model, a ostatními částmi trubice? 60C. Vstup do potrubí spojujícího nádrž přečerpávací elektrárny s elektrárnou (obr. 15.42) má obsah 0,75 m2. Voda do něj vstupuje rychlostí 0,4 m-s-'. V budově elektrárny, která je o 200 m níže. je výstup z trubice užší a voda z něj vytéká rychlostí 9,5 m-s . Jaký je rozdíl tlaku mezi vstupem a výstupem? nádrž výtok Obr. 15.42 Cvičení 60 61C. Potrubí o vnitřním průměru 2,5 cm čerpá vodu do přízemí domu rychlostí 1 m-s~' pod tlakem 1,7-105 Pa. Má-li potrubí ve druhém podlaží ve výšce 8 m průměr 1,25 cm, jaká je v něm (a) rychlost proudu a (b) jaký tlak vody? 62C. Jakou práci vykoná okolní tlak na protlačení 1,4 m1 vody trubicí o vnitřním průměru 13 mm, když mezi konci trubice je tlakový rozdíl 1 atm? 63C. Vodorovnou trubkou konstantního průřezu leče olej. Pokles tlaku mezi dvěma místy vzdálenými 300 m je 35-103 Pa. Jakou energii ztratí 1 cm3 oleje, když proteče vzdálenost 1 m? 64C. Nádrž s velkou plochou hladiny je naplněna vodou do výše 0,3 m. Otvor o obsahu 6 cm2 ve dnu nádrže způsobí únik vody. (a) Jaký jc objemový tok vytékající kapaliny? (b) V jaké hloubce pod dnem nádrže se plocha vytékajícího paprsku zúží na polovinu plochy otvoru'? 65C. Máme dvě nádrže (1 a 2) s velkou plochou vrchní hladiny, ve kterých jsou dvě různé kapaliny. Vc stejné hloubce h pod vrchní hladinou jsou v obou nádržích udělány otvory, přičemž otvor v nádrži 1 má poloviční plochu ve srovnání s otvorem v nádrži 2. (a) Jaký je poměr hustot kapalin o\/qi, když hmotnostní toky oběma otvory jsou stejné? (b) Jaký je poměr objemových toků z obou nádrží? (c) Jak se musí změnit výška kapaliny nad otvorem v nádrži 2, aby se vyrovnaly objemové loky z obou nádrží? 66C. Vzduch obtéká vršek křídla letadla rychlostí v\ a jeho spodek rychlostí V2- Plocha křídla je S. Ukažte, že v tomto zjednodušeném modelu Bernoulliova rovnice předpovídá pro velikost f'Vz síly, která nadnáší křídlo (říkáme jí též vztlaková síla), hodnotu Fvz = k£>S(v]2 - i>22), kde q je hustota vzduchu. 67C. Je-li rychlost obtékání spodní sírany křídla 110 m-s_1Jaká rychlost obtékání vrchní strany křídla povede k tlakovému rozdílu 900 Pa mezi občma stranami? Hustotu vzduchu pokládejte za rovnu 1,3-10 g-cm"3 a použijte výsledek cvič. 66. 68C. Letadlo má plochu každého křídla rovnu 10,0m2. Při jisté rychlosti letadla vzduch obtéká vrchní plochu křídla rychlostí 48,0m-s~' a spodní plochu rychlostí 40,0 m-s 1. Jaká je hmotnost letadla? Předpokládejte, že letadlo letí stálou rychlostí, hustota vzduchu je l,20kg-m-3 a vliv obtékání trupu a ocasních ploch na vztlak je zanedbatelný. Diskutujte velikost vztlaku, když letadlo při stejné rychlosti (a) letí vodorovně, (b) stoupá pod úhlem 15°, (c) klesá pod úhlem 15°. (Vyjděte z výsledku cvič. 66.) 69Ú. Voda teče vodorovnou trubicí a do okolního prostoru (do atmosféry) vytéká rychlostí 15 m-s-1, jak je naznačeno na obr. 15.43. Průměr levé části trubice je 5,0 cm a pravé části 3,0 cm. (a) Kolik vody vyteče do okolního prostoru za 10 min? (b) Jaká je rychlost proudění v levé části trubice? (c) Jaký jc přetlak nebo podtlak (rozdíl tlaku proti tlaku v okolním prostoru) v levč části trubice? -—íh di I-L m________ľ—±--^ Obr. 15.43 Úloha 69 70U. V uzavřeném soudku jc 50 cm pod povrchem nápoje pípa, ze které, když jc otevřena, vytéká nápoj průřezem o obsahu 0,25 cm2. Hustota nápoje je 1 g-crrU3. Jakou rychlostí bude nápoj vylekat otevřenou pípou, když přetlak v soudku v prostoru nad nápojem je (a) nulový, (b) 0,4 atm? 71U. Vítr při vichřici obtéká střechu domu rychlostí 110 km/h. Hustota vzduchu je l,2kg-m . (a) Jaký je rozdíl tlaků v prostoru nad střechou a pod střechou, který se snaží střechu nadzvednout a odnést? (b) Jaká bude síla nadnášející střechu o obsahu 90 m2? 72U. Okna budovy úřadu mají rozměry 4 m x 5 m. Ve větrném dnu se prohnal okolo oken v nej vyšším patře budovy závan větru rychlostí 30,0 m-s-1. Vypočtěte celkovou sílu, která při závanu větru působila na okno. Hustota vzduchu byla 1,23 kg-m~3. 73U. Ostřelovač prostřelil kulkou z pušky vzduchotěsně uzavřenou benzinovou nádrž 50 m pod povrchem benzinu. Nad benzinem jc absolutní tlak 3 atm, jak je naznačeno na obr. 15.44. CVIČENÍ & ÚLOHY 407 Skladovaný benzin má hustotu 660kg-m 3. Jakou rychlostí v začal benzin stříkat prostřeleným místem? Obr. 15.44 Úloha 73 74Ú. Nádrž na pitnou vodu je za přehradní hrází 15 m hluboká. Vodorovná trubka o průměru 4,0 cm prochází hrází v hloubce 6,0 m pod vodní hladinou, jak je ukázáno na obr. 15.45. Trubka je uzavřena zátkou, (a) Najděte nejmenší nutnou velikost síly tření mezi trubkou a zátkou, (b) Zátku odstraníme. Jaký objem vody vyteče trubkou za tři hodiny? 6.0m 15 m Obr. 15.45 Úloha 74 75Ú. Nádrž je naplněna vodou do výšky H. V nádrži byl provrtán otvor v hloubce h pod vodní hladinou (obr. 15.46). (a) Ukažte, že vzdálenost x od stěny nádrže do místa, kde vodní proud vytékající z nádoby dopadne na zem, je dána výrazem x = 2^Jh(H — h). (b) Je možné navrtat nádrž v jiné hloubce, ze které by vytékající proud dopadl na zem ve stejné vzdálenosti xl Pokud ano, v jaké? (c) V jaké hloubce musí být otvor umístěn, aby vzdálenost x byla maximální? n ♦ h -x----\ Obr. 15.46 Úloha 75 76U. Násoska je zařízení, které může sloužit k vyčerpání kapaliny z nádrže. Jak pracuje, je znázorněno na obr. 15.47. Trubka ABC musí nejprve být naplněna kapalinou. Jakmile je naplněna, odčerpává kapalinu z nádrže tak dlouho, dokud hladina nádrže neklesne k ústí trubky A. Kapalina má hustotu q a zanedbatelnou viskozitu, (a) Jakou rychlostí vytéká kapalina z trubky v místě C? (b) Jaký tlak je v kapalině v nejvyšším bodě trubky B'! (c) Jaká je nej větší teoretická výška h\, přes kterou sifon může čerpat vodu? b í T c Obr. 15.47 Úloha 76 77Ú. Venturiův průtokoměr (obr. 15.48) je přístroj, který slouží k měření rychlosti proudění trubicí, a tím i množství kapaliny, které trubicí protéká. Údaje se vypočtou ze změřeného rozdílu tlaků mezi místem, kde trubice má svůj běžný průměr (průměr před vstupem a po výstupu z přístroje), a mezi zúženým místem, tzv. krčkem. V místech, kde trubice má svůj běžný průměr (obsah průřezu S), tedy i v místě 1, kde je připojen jeden konec manometrické trubice, má kapalina rychlost v. V krčku, kde obsah průřezu je s, je v místě na obrázku označeném 2 vstup odtok kapaliny Venturiův průtokoměr kapaliny Obr. 15.48 Úlohy 77 a 78 připojen druhý konec manometrické trubice. Kapalina zde má vyšší rychlost V. Z rozdílu rychlostí plyne rozdíl tlaku Ap, který se v U-manometru projeví rozdílem výšek /; kapaliny v jeho ramenech, (a) Užitím Bernoulliovy rovnice a rovnice kontinuity pro srovnání průtokových poměrů v místech 1 a 2 (obr. 15.48) ukažte, že pro stanovení hledané rychlosti i; platí rovnice / 2s2Ap V e(S2 - s2)' 408 kapitola 15 tekutiny kde q je hustota kapaliny, (b) Předpokládejte, že trubicí teče voda. žc plochy příčných průřezů mají hodnoty S = 60cm-, s = 30cm2, tlak v širší části trubice je 8-104Pa a v krčku 6-104 Pa. Jaký je objemový tok vody ttubicí? 78Ú. Uvažujte Venturiův průtokomčr z předcházející úlohy na obr. 15.48 bez připojeného manometru. Nechť S = 5s a tlak v místě 1, kde se nachází průřez S, jc 2 atm. (a) Vypočtěte rychlosti v v místě průřezu S (místo 1) a V v místě průřezu .v (místo 2), které způsobí, že tlak pí v místě 2 vymizí, (b) Vypočtěte, jaký v tom případě bude objemový tok trubicí, když průřez S má průměr 5,0 cm. Jev, který nastane v místě 2, kde tlak klesne na nulovou hodnotu, se nazývá kavitace; voda ztratí kontinuitu, vytvoří se v ní drobné bublinky. 79Ĺ. Pitotova trubice znázorněná na obr. 15.49 se užívá ke stanovení rychlosii letadla. Sestává z vnější trubice, na jejímž boku je větší počet malých otvorů B (na obrázku jsou vidět čtyři), která je spojena s jedním koncem manometru (na obrázku je manometrem U-trubice). Druhý konec manometru je spojen s vnitřní trubicí přístroje, do které vzduch vstupuje jejím čelním otvorem A. Přístroj se umísťuje na přední část letadla tak, aby vzduch vsLu-poval kolmo do vnitřní trubice, lakže se v ní zastaví. Rychlost u a je rovna nule. Otvory B jsou obtékány rychlostí v velmi blízkou rychlosti letadla, (a) Užitím Bernoulliovy rovnice ukažte, že kde q je hustota kapaliny užité v U-trubici. /; výšková odlchlost hladin v ramenech U-trubice a gvzl\ hustota vzduchu, kterým letadlo letí. (b) V U-trubici je líh a ukazuje rozdíl výšek /; = 26 cm. Jaká je rychlost letadla vůči okolnímu vzduchu? Hustota vzduchu v dané výšce je 1,03 kg-m 3 a hustota lihu 810 kg-m~~. /(]---- Otvor A ■ •___...." _ _ B C 1 « h i .1 i Obr. 15.49 Úlohy 79 a 80 80Ú. Pitotova trubice (viz úlohu 79) umístěná na letadle letícím ve velké výšce ukazuje tlakový rozdíl 180Pa. Jaká je rychlost letadla, jestliže hustota vzduchu v této výšce je 0,031 kg-m-3? \2Q_gh zd 16 Kmity \ -r::» Sřfl/o se to v roce 1989, v době, kdy se v okolí San Františka připravovalo zahájení třetí části Světových her. Oblast byla zasažena seizmickými vlnami ze 100 km vzdáleného ohniska zemětřesení poblíž Loma Prieta. Zemětřesení o síle 7,1 stupňů způsobilo rozsáhlé škody a zabilo 67 lidí. Na fotografii vidíme část 1,4 km dlouhého úseku Nimitzovy dálnice, kde došlo k desítkám smrtelných zranění, když se horní betonová deska zřítila na spodní a zasáhla motoristy. Příčinou zřícení byly nepochybně prudké otřesy, vyvolané seizmickými vlnami. Avšak proč byl právě tento úsek tak vážně poškozen, jestliže ostatní úseky dálnice s téměř totožnou konstrukcí zřícení unikly'? 410 kapitola 16 kmity 16.1 KMITANÍ Příklady kmitání, opakujícího se pohybu, nás obklopují ze všech stran. Pozorujeme kývání lustrů, houpání zakotvených člunů, pulzující písty automobilových motorů. Známe chvění kytarových strun, bubnů, zvonů, membrán v telefonních sluchátkách a v reproduktorech, křemenných krystalů v náramkových hodinkách. Méně evidentní je kmitání molekul vzduchu, které přenáší zvukové rozruchy, kmitání atomů v pevné látce, zodpovědné za vjem teploty, a kmitání elektronů v rádiových anténách a televizních vysílačích. Kmitání není omezeno na hmotné objekty, jako jsou houslové struny a elektrony. Periodický pohyb pozorujeme také u jevů spojených s šířením světla, rádiových vln, rentgenového záření a y-záření. Tento druh oscilací budeme studovat v následujících kapitolách. Budou nám tam velmi užitečné analogie s kmitáním mechanických systémů, na které se zaměříme v této kapitole. V reálném světě je kmitání obvykle tlumené: třecí síly postupně přeměňují mechanickou energii na teplo a pohyb ustává. Takové ztráty mechanické energie nemůžeme nikdy zcela vyloučit, energii však můžeme doplňovat z vhodného zdroje. Například děti na obr. 16.1 dovedou při houpání „pumpovat", tj. švihnout nohama nebo se skrčit podle okamžitého pohybu houpačky, a tím kmitání udržují nebo i zvětšují. Přeměňují tak vlastně biochemickou energii na mechanickou energii kmitajícího systému. Obr. 16.1 Dítě se brzy naučí dodávat houpačce energii a udržovat tím její pohyb. 16.2 HARMONICKY POHYB Obr. 16.2 předvádí sérii „snímků" kmitajícího systému: částice se opakovaně pohybuje tam a zpět kolem počátku osy x. v ... _ I v - v -O- t = -T/4 t = Q t = T/4 t = 772 f = 3774 t = T ■o- Obr. 16.2 Série „snímků" (vytvořených po uplynutí stejných časových intervalů) ukazuje polohu částice, která se pohybuje tam a zpět kolem počátku osy x. Krajními polohami jsou body —xm a +xm. Délky šipek na obrázku jsou jednotně škálovány a ukazují rychlost částice v daných bodech. V počátku má částice nej větší rychlost. V polohách ±.vm je její rychlost nulová. Jestliže zvolíme počátek odečítání času v poloze +xm, částice se do tlí vrátí poprvé v čase t = T, kde T jc perioda pohybu. Pohyb, ke kterému došlo v průběhu právě uplynulé periody, se pak opakuje. V tomto odstavci pohyb částice pouze popíšeme. Později budeme studovat, jak lze dané kmitání vyvolat. Začneme zavedením důležitého parametru kmitání, jeho frekvence neboli kmitočtu. Frekvence udává počet kmitů, které jsou dokončeny v průběhu každé sekundy. Frekvenci označujeme symbolem /', její jednotkou v soustavě SI je hertz (zkratka Hz). Platí tedy 1 hertz = 1 Hz = ls_1 kmit za sekundu (16.1) S frekvencí souvisí perioda pohybu T. Ta udává dobu, za kterou sc uskuteční jeden úplný kmit (jeden cyklus). To znamená T = (16.2) 1 7 Jakýkoliv pohyb, který se v pravidelných intervalech opakuje, nazýváme pohyb periodický. My zde budeme studovat zvláštní případ periodického pohybu: opakující se úsek 16.2 HARMONICKÝ POHYB 411 bude vždy odpovídat situaci na obr. 16.2. Pro tento případ je časová závislost výchylky částice určena funkcí jc(/) = xm cos(&>r + t + (t + T) a odtud ojT = 2ti. Uvážímc-li ještě rov. (16.2), máme celkově «=y=2Tt/. (16.4) Veličina co se nazývá úhlová frekvence (také kruhová frekvence či úhlový kmitočet) pohybu; její jednotka v soustavě SI je radián za sekundu. (Máme-li být tedy důslední, musíme vyjadřoval fázi co v radiánech.) Na obr. 16.3 jsou porovnány dva harmonické pohyby, které se liší buď jen svou amplitudou, nebo jen svou periodou (a tedy frekvencí a úhlovou frekvencí), anebo jen fázovou konstantou. x (c) Obr. 16.3 Modrá křivka je ve všech třech případech zakreslena podle rov. (16.3) s cp = 0. (a) Červená křivka se liší od modré pouze tím, žc pro ni je amplituda x'm větší, (b) Červená křivka se liší od modré pouze tím, že pro ni je perioda T' — T/2. (c) Červená křivka se liší od modré pouze, tím, že pro ni je

t +l + . Sestavíme podíl rov. (16.15) a (16.13). Ze vzniklého výrazu vypočteme / fl(0) _ / (47,0m-s-2) m ~ yxXG) ~ Y ~ (-0,085 0m) ~~ = 23,5 rad-s"1. (Odpověd) Frekvence / jc určena vztahem (16.4). V našem případě co (23,5rad-s-') / = — =--- =3,74 Hz. (Odpověď) 2n 2tz (b) Určete fázovou konstantu xm sirup - = - = — (otgtp. x (0) xm cos ip Z tohoto vztahu nyní vypočteme tg cos 155° = 0,094 m = 9,4 cm. (Odpověď) Podobně hodnota ip = —25" by vedia k xm = —9,4cm. Avšak ampl ituda výchylky musí být vždy kladná konstanta — úhel

t + í + (p) + sin2 (cot + (f)). Pro libovolný úhel a však platí cos2 a + sin2 a = 1. Výraz ve velkých závorkách v rovnici pro energii E je tedy roven jedné a výsledek zní E = Ep+Ek = {kx2m. (16.23) Mechanická energie harmonického oscilátoru je tedy skutečně na čase nezávislá, je konstantní. Potenciální energie a kinetická energie lineárního oscilátoru jako funkce času jsou znázorněny na obr. 16.7a a jako funkce výchylky na obr. 16.7b. a x (b) Obr. 16.7 (a) Potenciální energie £"p(ř), kinetická energie Ek(t) a celková mechanická energie E harmonického oscilátoru jako funkce času. Všimněte si, že všechny energie jsou nezáporné a že během jedné periody dojde dvakrát k dosažení maxima jak u kinetické, tak u potenciální energie, (b) Potenciální energie £p(f), kinetická energie Ek(ť) a celková mechanická energie E harmonického oscilátoru s amplitudou výchylky xm jako funkce výchylky x. Pro x = 0 je veškerá mechanická energie tvořena energií kinetickou, pro x = ±xm naopak energií potenciální. Nyní je již patrně pochopitelné, proč obvykle zahrnuje kmitající systém jednak jistý element spojený s tendencí návratu do rovnovážné polohy, jednak jistý element setrvačnosti: první z nich na sebe váže potenciální energii a druhý energii kinetickou. srovnat s rov. (16.9), tj. kladnou konstantu můžeme identifikovat jako k. Jestliže navíc známe hmotnost kmitajícího tělesa, uplatníme postupně rov. (16.11), (16.12) a (16.4) k určení úhlové frekvence a>, periody 7' a frekvence /. Podobně postupujeme pro torzní harmonický pohyb. V tomto případě je vratný moment síly M vázán s úhlovou výchylkou 0 vztahem typu M = —(kladná konstanta) • 9, který říká: moment síly je úměrný úhlové výchylce z rovnovážné polohy, má však opačný směr. 16.5 TORZNÍ kmity 417 J^ONTROLA 3: Těleso na obr. 16.5 má v jistém okamžiku výchylku x = +2,0 cm. V tomto okamžiku je jeho kinetická energie 3 J a pružina má potenciální energii pružnosti o velikosti 2J. (a) Jak je velká kinetická energie tělesa při x = 0? Jaké jsou hodnoty potenciální energie pružnosti při (b) x = —2,0 cm, a při (c) x = —xm? PŘÍKLAD 16.4 (a) Jaká je mechanická energie oscilátoru z příkladu 16.1 ? ŘEŠENÍ: Dosadíme údaje z př. 16.1 do rov. (16.23): E - ^kxi = |(65N-m_1)(0,ll m)2 = = 0,393 J = 0,39 J. (Odpověd) Tato hodnota zůstává během pohybu konstantní. (b) Jaká je potenciální energie tohoto oscilátoru v okamžiku, kdy sc těleso nachází na polovině cesty k bodu obratu, tj. jestliže x = ±xrn/2? ŘEŠENÍ: Pro libovolnou výchylku je potenciální energie určena vztahem £p = l\kx2. V našem případě £p = 2~kx = jk (j-^m) = J i\^xm) ~ = \ E = i (0,393 J) = 0,098 J. (Odpověd) (c) Jaká je kinetická energie oscilátoru při x = xm/21 ŘEŠENÍ: Kinetickou energii nalezneme prostým odčítáním: Ek = E - Ep = = 0,393J-0,098J = 0,30J. (Odpověd) Jestliže se tedy kdykoliv během kmitání těleso nachází v bodě x = xm/2, má 25 % jeho mechanické energie formu energie potenciální a 75 % formu kinetické energie. i_ 16.5 TORZNÍ KMITY Na obr. 16.8 vidíme jinou variantu harmonického oscilátoru. Na rozdíl od předchozích příkladů, kde hybnou silou bylo protažení či stlačení pružiny, zde působí kroucení závěsného vlákna. Uvedené zařízení se nazývá torzní kyvadlo, slovo torze znamená kroucení. Jestliže pootočíme disk na obr. 16.8 vzhledem k jeho rovnovážné poloze (v ní ukazuje ryska na značku 0) a pak uvolníme, začne ryska kmitat kolem rovnovážné polohy; závěsné vlákno r referenční ryska 'fl 0 —"m Obr. 16.8 Torzní kyvadlo jc otáčivá varianta lineárního harmonického oscilátoru z obr. 16.5. Disk kmitá ve vodorovné rovině; referenční ryska se vychyluje s úhlovou amplitudou 6m. V průběhu kroucení na sebe závěsné vlákno váže potenciální energii, podobně jako ji dříve vázala pružina. Kroucením se současně vytváří vratný točivý moment. dojde k torzním kmitům. Při úhlové výchylce rysky 9 v libovolném z obou směrů vzniká vratný silový moment, určený vztahem M = -x0. (16.24) Konstanta x (řecké písmeno kappa) se jmenuje torzní tuhost neboli tuhost ve zkrutu. Její velikost závisí na délce závěsného vlákna, na jeho průměru a na materiálu, z něhož je vlákno vyrobeno. Při srovnání rov. (16.24) a (16.9) začínáte tušit, že rov. (16.24) jc vlastně torzní varianta Hookova zákona. Pokusíme se tedy transformovat rov. (16.12), udávající periodu lineárního oscilátoru, na rovnici pro periodu torzního oscilátoru. V rov. (16.12) předně nahradíme tuhost pružiny k veličinou, která nyní měří velikost vratné tendence; tou je podle rov. (16.24) torzní tuhost x. Dále nahradíme v rov. (16.12) hmotnost m veličinou, která jí nyní odpovídá, tj. která nyní vyjadřuje setrvačnou tendenci při otáčení disku; tou je moment setrvačnosti / kmitajícího disku. Tyto dvě substituce nás již přivádějí ke vztahu (torzní kyvadlo) (16.25) pro periodu torzního oscilátoru neboli torzního kyvadla. PŘÍKLAD 16.5 Na obr. 16.9a vidíme tenkou tyč délky L = 12,4 cm o hmotnosti m = 135 g, zavěšenou uprostřed na dlouhém vlákně. Pro tento torzní oscilátor jsme změřili periodu Ta = 2,53 s. Na obr. 16.9b je znázorněno nepravidelné těleso X, zavěšené 418 KAPITOLA 16 KMITY na stejném vlákně. Pro tento torzní oscilátor jsme naměřili periodu 7b = 4.76 s. zavesnc vlákno C13 tyč těleso X (a) (b) (c) Obr. 16.9 Příklad 16.5. Tři zobrazená torzní kyvadla jsou tvořena závěsným vláknem a (a) tyčí, (b) nepravidelným tělesem a (c) tyčí pevně spojenou s nepravidelným tělesem. (a) Jaký je moment setrvačnosti tělesa X vzhledem k ose, určené závěsným vláknem? ŘEŠENÍ: Podle tab. 11.2e je moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k ose, procházející středem tyče kolmo na její osu. roven j^mL2. Máme tedy /a = —mL2 = ^(0,135 kg)(0,124 m)2 = = 1.7310~4kg-m2. Napišme nyní dvakrát rov. (16.25); jednou pro tyč a podruhé pro těleso X: íh íh 7*a = 2r../— a Tb=2nJ —. v x V x Spodní indexy zde odpovídají po řadě obr. 16.9a a 16.9b. Torzní konstanta x vyjadřuje vlastnosti vlákna a to je na obou obrázcích stejné. Liší se pouze momenty setrvačnosti a periody. Nyní obě uvedené rovnice umocníme a druhou z nich vydělíme rovnicí první. Výsledný vztah představuje rovnici pro 7b- Jejím řešením dostaneme 7h2 4 ? (4.76 s)2 Ih = I * = (1.73T0'4kg-m2) ^— , = T2 b (2.53 s)2 = 6.12-10"4kg-nr. (Odpověď) (b) Jaká by byla perioda kmitů torzního oscilátoru na obr. 16.9c, vzniklého spojením obou uvažovaných těles a jejich zavěšením na uvažovaně vlákno? ŘEŠENI: Opět napíšeme dvakrát rov. (16.25), avšak tentokrát jako lh I h Ta = 2nJ — a Tc = 2tí J — V x V x Sestavíme opět podíl druhého a prvního výrazu a dosadíme /c = 4 + 4- Dostaneme tak / h / h + h / h _ V h V /a V /a (2,53 s) J1 + (6,1210-4 kg-m2) 'V ' ' (l,73-10-4kg-m2) = 5,39s. (Odpověď) 16.6 KYVADLA Nyní se zaměříme na jistou třídu harmonických oscilátorů, u nichž je vratný element spojen s gravitační silou, a nikoliv s elastickými vlastnostmi vlákna při jeho kroucení, popřípadě se stlačením a protažením pružiny. Matematické kyvadlo Upevněme dlouhé vlákno na nosník a zavěsme na jeho spodní konec jablko. Když jablko slabě vychýlíme a pak uvolníme, bude jeho další pohyb periodický. Avšak je toto kývání harmonický pohyb? V idealizované situaci budeme uvažovat matematické kyvadlo, abstraktní objekt, tvořený bodovou částicí o hmotnosti m (závaží kyvadla) a nehmotným pevným vláknem délky L. Vše je znázorněno na obr. 16.10a: závaží se volně houpe lam a zpět v rovině stránky, tj. doleva a doprava od svislé přímky vedené bodem závěsu. mg cos 8 / uffiřsiní? (a) Obr. 16.10 (a) Matematické kyvadlo, (b) Na závaží působí dvě síly: tíhová síla mg a síla vlákna F„. Tečná složka tíhové síly mg sin 6 představuje vratnou sílu: snaží se vrátit závaží do rovnovážné polohy. Setrvačný element tohoto kyvadla je spojen s částicí hmotnosti m. Vratný element spočívá v přitažlivém působení mezi částicí a Zemí. Změna potenciální energie je 16.6 kyvadla 419 určena /měnou výšky částice nad povrchem Země; na vertikální pohyb závaží můžeme pohlížet jako na změnu délky „gravitační pružiny". Na závaží působí dvě síly, obě jsou zobrazeny na obr. 16.10b: tíhová síla mg a síla vlákna Fn. Tíhovou sílu rozložíme na radiální složku mg cos 9 a na složku mg sin 9 tečnou k dráze částice, a ta právě představuje vratnou sílu. Působí totiž vždy proti výchylce částice a snaží seji vrátit do rovnovážné polohy (9 = 0), kde by byla, kdyby nekmitala. Napišme tedy vratnou sílu ve tvaru F — —mg únO, (16.26) ve kterém záporné znamení upozorňuje, že síla působí proti výchylce. Předpokládejme nyní, že úhel 9 na obr. 16.10 je malý. Výraz siní? je tedy přibližně roven úhlu 9, vyjádřenému v radiánoch. (Například pro 0 — 5,00°, tj. pro 9 = 0,087 3 rad, dostaneme sin0 = 0.087 2 — odchylka činí pouze něco kolem 0,1 %.) Dále, výchylku částice s budeme měřit podél její obloukové trajektorie; je tedy rovna L9. Celkově nabývá rov. (16.26) pro malá 9 tvar F -mg9. (16.27) Letmý pohled zpátky na rov. (16.9) nám ukazuje, že zde máme opět tvar podobný Hookovu zákonu. Roli výchylky x hraje nyní úhlová výchylka 8. Jestliže je tedy úhlová výchylka matematického kyvadla malá, můžeme jej pokládat za harmonický oscilátor, podobný soustavě pružina + těleso na obr. 16.5. Jinými slovy, kývání závaží je harmonický pohyb. Amplitudou úhlové výchylky 9 je nyní úhlová amplituda 9m, tj. největší úhel při kývání. Roli tuhosti pružiny k hraje veličina mg/L, tuhost „efektivní gravitační pružiny" kyvadla. Periodu kmitů matematického kyvadla získáme z rovnice (16.12), jestliže v ní za k dosadíme mg/L: m In J V mg/L (16.28) tedv celkově Rov. (16.29) platí pouze v případě, že úhlová amplituda kmitání 9m je malá (pokud nebude řečeno jinak, považujeme tuto podmínku v úkolech této kapitoly za splněnou). Může se zdát, že v rov. (16.29) chybí element setrvačnosti, protože perioda nám vyšla nezávislá na hmotnosti částice. Příčina je však patrná z rov. (16.28): vratná tendence, měřená tuhostí „efektivní gravitační pružiny" mg/L. je sama o sobě úměrná hmotnosti částice. Obě hmotnosti se tedy v rov. (16.28) nakonec zkrátí. I zde se během každého cyklu mění kinetická energie kyvadla v potenciální a naopak (obr. 8.7). Fyzické kyvadlo Skutečná kyvadla se většinou výrazně odlišují od kyvadla matematického. Na obr. 16.11 vidíme obecné fyzické kyvadlo; tak budeme nazýval skutečná kyvadla, kde hmota není soustředěna do jediného bodu. Tíhová síla mg působí v těžišti T. mg cos 9 mg únO Obr. 16.11 Fyzické kyvadlo. Vratný silový moment jc (mgsin6)(h). Při 6 — 0 se těžiště T nachází přímo pod bodem závěsu O. Když vychýlíme kyvadlo na obr. 16.11 z rovnovážné polohy v libovolném směru o úhel 9, vznikne vratný silový moment M. Tento moment působí vzhledem k ose procházející bodem závěsu O a platí: M = -(mg sinQ)(h). (16.30) Zde mg siné* je tečná složka tíhové síly mg a h (délka úsečky OT) je rameno síly pro tuto tečnou složku. Znaménko minus vyznačuje, že daný silový moment působí proti výchylce. Jinými slovy, silový moment se vždy snaží zmenšit úhel 9 na nulu. Nyní opět omezíme naše úvahy na případ malých výchylek, vezmeme tedy ún9 % 9. Rov. (16.30) tak nabývá tvar M^-(mgh)9. (16.31) Srovnání s rov. (16.24) ukazuje, že jde o analogický případ. V případě malé úhlové amplitudy 9m vykonává fyzické kyvadlo harmonický pohyb. Výraz mgh v rov. (16.31) hraje nyní roli torzní konstanty x z rov. (16.24). Jestliže tedy provedeme tuto substituci v rov. (16.25), dostaneme pro 420 kapitola 16 kmity periodu fyzického kyvadla vztah (stále za podmínky malé úhlové amplitudy 9m) I — (fyzické kyvadlo). (16.32) mgh Zde / je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose, která prochází bodem závěsu kolmo k rovině kývání, a h je vzdálenost bodu závěsu od těžiště. Intuitivně je jasné, že se fyzické kyvadlo nebude kývat, jestliže jej zavěsíme v těžišti; bude se ovšem otáčet. Náš vzorec pro dobu kmitu totiž platí jen pro malou výchylku, tj. malý úhel 6. V případě h -*■ 0 však i sebemenší podnět způsobí, že tato podmínka nebude splněna a že místo (malých) kyvů dojde prostě k otáčení kolem osy — podobně jako kdybychom do kyvadla s větším h velmi prudce vrazili. 1 frekvenci těchto otáček lze ovšem spočítat, ale nikoli podle vzorce (16.32) platného pro malé úhlové amplitu-dy. Každému fyzickému kyvadlu, které kmitá kolem bodu závěsu O s periodou T, odpovídá matematické kyvadlo jisté délky Lq kmitající se stejnou periodou T. Tuto tzv. redukovanou délku Lri lze zjistit z rov. (16.29). Pro daný bod závěsu O fyzického kyvadla můžeme tak vždy určit tzv. střed kyvu — bod O', ležící na spojnici bodu závěsu O a těžiště ve vzdálenosti Lq od bodu závěsu ve směru k těžišti. Necháme-li poté toto kyvadlo kývat kolem středu kyvu O' (jako tzv. reverzní kyvadlo), zjistíme, že se kývá se stejnou periodou 7", jako když bylo zavěšeno v bodč O. Naopak, experimentálním nalezením bodů O, O' s touto vlastností lze určit Ly a z něj a z periody T vypočítat velmi přesně hodnotu tíhového zrychlení g. Poznamenejme ještě, že matematické kyvadlo lze pokládat za speciální případ fyzického kyvadla na obr. 16.11. Skutečně, v případě matematického kyvadla je vzdálenost h na obr. 16.11 jednoduše jeho délka L a moment setrvačnosti / je mL2. Když tyto dvě veličiny dosadíme do rov. (16.32), vyjde nám T = 2-k mgh ImL2 mgL což je přesně rov. (16.29), tj. vztah pro periodu matematického kyvadla. Měření tíhového zrychlení Fyzickým kyvadlem lze měřit tíhové zrychlení g — tisíce takových měření bylo provedeno během geologických průzkumů. Uvažme pro jednoduchost kyvadlo tvořené homogenní tyčí délky L, zavěšenou na jednom konci. Pro takové kyvadlo je veličina h v rov. (16.32), tj. vzdálenost mezi bodem závěsu a těžištěm, rovna i L. Dále potřebujeme znát moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení. Taje kolmá k ose tyče a prochází jejím koncem; z tab. 11.2f zjistíme / = \mh?. Nakonec dosadíme h = a / = ^mL2 do rov. (16.32) a řešíme tuto rovnici vzhledem ke g. Výsledek * = |£. (16-33) Jestliže tedy změříme délku tyče L a periodu kmitů T, můžeme vypočítat hodnotu g. (Pro zvýšení přesnosti měření se provádí celá řada vylepšení, například kyvadlo se pohybuje ve vakuové komoře). Jt^ONTROLA 4: Tři fyzická kyvadla hmotností m0, 2m0, a 3mn (z různých materiálů), mají stejný tvar, velikost a bod závěsu. Seřaďte je sestupně podle jejich period kmitů. PŘIKLAD 16.6 Metrová tyč na obr. 16.12a, zavěšená na jednom konci, tvoří fyzické kyvadlo, (a) Jaká je jeho perioda kmitání? ŘEŠENÍ: Z tab. 11.2f zjistíme moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení, která je kolmá k ose tyče a prochází jejím koncem: / = |mL2. Vzdálenost h bodu závěsu od těžiště, které je v bodě T na obr. 16.12a, je \L. Po dosazení těchto dvou veličin do rov. (16.32) dostaneme T = 2k mgh y m8ÍL/2) 2L 2(1,00m) V 3g V 3(9,8m-s~2) 1.64 s. (Odpověď) (16.34) (b) Uvažme opět metrovou tyč na obr. 16.12a. Jaká je redukovaná délka Lo mezi bodem závěsu O a středem kyvu? ŘEŠENÍ: K určení středu kyvu tyče potřebujeme znát délku Lo matematického kyvadla (obr. 16.12b), jehož perioda se shoduje s periodou kmitů tyče. Musí se tedy shodovat pravé strany rov. (16.29) a (16.34): Tato podmínka již dává požadovanou délku Lo= -L í(100cm) = 66,7cm. (Odpověd) 16.6 kyvadla 421 Vypočtená délka je rovna vzdálenosti bodu P na obr. 16.12a od bodu závěsu O. Bod P je tedy středem kyvu daného fyzického kyvadla vzhledem k danému bodu závěsu. ! \ ;L0 -----ék-í- Obr. 16.12 Příklad 16.6. (a) Metrová tyč, zavěšená na jednom konci, tvoří fyzické kyvadlo, (b) Matematické kyvadlo, jehož délka Lq je zvolena z podmínky rovnosti period obou kyvadel. Vzdálenost bodu P původního kyvadla (a) a bodu závěsu je Lq. Bod P je tedy střed kyvu původního kyvadla vzhledem k danému bodu závěsu. PŘIKLAD 16.7 Kotouč o poloměru R = 12,5 cm se otáčí kolem bodu O, umístěného ve vzdálenosti h od jeho středu T (obr. 16.13). Při h = R/2 má vzniklé fyzické kyvadlo periodu T — 0,871 s. Jaké gravitační zrychlení g je v místě, ve kterém se kyvadlo nachází? Obr. 16.13 Příklad 16.7. Fyzické kyvadlo je tvořeno homogenním diskem, volně pohyblivým kolem bodu závěsu O. Vzdálenost bodu závěsu O od těžiště T je rovna polovině poloměru disku. ŘEŠENI: Moment setrvačnosti kotouče vzhledem k ose, procházející jeho těžištěm ve směru kolmém k rovině disku, má hodnotu Ij = \mR2. Podle Steinerovy věty je moment setrvačnosti vůči ose, procházející bodem O a rovnoběžné s popsanou těžišťovou osou / = IT+mh2 = {mR2 +m(ÍR)2 = \mR2. V rov. (16.32) tedy uplatníme / = \mR2 ah = ±R: I I 13mR2/4 Í3R T = 2n- = 27t,/-— = 2nJ—. V mgh V mí (Jř/2) V 2S Nakonec tuto rovnici vyřešíme vzhledem ke g: 6k2R 6r:2(0,125m) 8 = T2 (0,871 s)2 9,76m-s~2. (Odpověď) PŘIKLAD 16.8 Tučňák na obr. 16.14 se určitě vyzná ve vodních sportech. Právě se chystá ke skoku z homogenního skokanského prkna, které se vlevo volně otáčí kolem čepu a vpravo je pevně spojeno s pružinou. Délka prkna je L = 2,0 m, jeho hmotnost m — 12 kg, tuhost pružiny k činí 1 300Nm_1 a její hmotnost je zanedbatelná. Skok tučňáka vyvolá kmitání prkna a pružiny s malou amplitudou. Předpokládejme, že prkno je dostatečnč pevné, takže se při kmitání neprohýbá. Nalezněte periodu kmitání T. ŘEŠENÍ: Pružina působí na prkno proměnným momentem síly M (vzhledem k ose otáčení prkna). Prkno se proto v čepu otáčí s proměnným úhlovým zrychlením e. Součástí úlohy je pružina a napadne nás, že vzniklé kmitání by mohl byl harmonický pohyb. Ponechme však prozatím tuto otázku otevřenou. Místo toho použijeme nejprve rov. (11.30) spolu s rov. (11.35): M = Z, F sin 90° = le. (16.35) Zde / je moment setrvačnosti skokanského prkna při jeho otáčeni kolem čepu, F je síla, kterou působí pružina na pravý konec prkna, a 90c je úhel, který svírá podélná osa prkna se směrem síly F. Prkno představuje v podstatě tenkou tyč upevněnou na jednom konci, takže podle tab. 11.2f máme / = mL2/3. Pružina vytváří sílu F = — kx, kde x je svislá lineární výchylka pravého konce prkna. Tyto výrazy pro Fa/ dosadíme do druhého a třetího členu v rov. (16.35). Máme tedy -Lkx mLre 3 ' (16.36) Poslední rovnice představuje kombinaci lineární svislé výchylky x a úhlového zrychlení e při rotaci prkna kolem čepu. Můžeme ji však přepsal do tvaru, který obsahuje pouze úhlové veličiny. Podle rov. (11.15) totiž platí ■ Br. 422 kapitola 16 kmity Zde 9 je úhlová výchylka prkna při jeho rotaci kolem čepu, r — L je poloměr této rotace a s značí délku oblouku, po kterém se pohybuje pravý konec prkna. Pro malé úhlové výchylky 9 můžeme délku oblouku í aproximovat svislou výchylkou .v. Napíšeme tedy x = 6L a dosadíme do rov. (16.36): -LkOL = Po jednoduché úpravě nakonec máme 3k s=--9. (16.37) 111 Tato rovnice je úhlová varianta základní rov. (16.7). Říká nám, že prkno skutečně vykonává harmonické kmity s úhlovým zrychlením e a s úhlovou výchylkou 0. Srovnání rov. (16.37) a (16.7) navíc poskytuje úhlovou frekvenci pro tento oscilátor: , 3k oj' = —, 111 to znamená oj = s/3k/m. Nakonec uplatníme rov. (16.4), podle které co = 2ti/ T, a tedy [m j (12 ks) T = 2ti / — = 2n---—-= V 3k y 3(1 300N-m ') = 0,35 s. (Odpověď) S překvapením zjišťujeme, že výsledná perioda nezávisí na délce prkna L. Kdybychom uvažovali působení tíhové síly prkna, dostali bychom stejný výsledek, avšak rovnovážná poloha by byla níž (viz příklad 16.3). Obr. 16.14 Příklad 16.8. Skok tučňáka vyvolá kmitání pružiny a skokanského prkna. Na levém konci se prkno otáčí kolem čepu. 16.7 KMITÁNÍ A ROVNOMĚRNÝ KRUHOVÝ POHYB V roce 1610 objevil Galileo s použitím svého nově sestrojeného dalekohledu čtyři hlavní měsíce planety Jupiter. Při pozorování, prováděném v průběhu několika týdnů, se každý z měsíců pohyboval tam a zpět v okolí planety. Dnes bychom asi řekli, že pohyb každého měsíce se jevil jako harmonický pohyb kolem disku Jupitera coby rovnovážné polohy. Záznamy těchto pozorování, psané Galileovou vlastní rukou, jsou dodnes poučné. A.P. French, pracovník MÍT, sestrojil na základě Galileových záznamů časovou závislost zdánlivé polohy měsíce Callislo vzhledem k Jupiteru. Výslednou křivku vidíme na obr. 16.15: malé kroužky znázorňují přímo Galileovy hodnoty a samotná křivka předsta- -15 15.1. 20 25 30 5.11. 10 15 20 25 l.m. Obr. 16.15 Úhel mezi Jupiterem a jeho měsícem Callisto, měřený při pozorování ze Země. Malé kroužky odpovídají Galile-ově pozorování z roku 1610. Proložená křivka silně připomíná časovou závislost výchylky pro harmonický pohyb. Zc známé střední vzdálenosti Jupitera od Země spočteme, žc 10 úhlových minul odpovídá oblouku délky zhruba 2- 10ft km. (Převzato z knihy A.P. French, Newtonům Mechanici, W.W. Norton & Comp.. New York, 1971. p. 288.) vuje nejlepší aproximaci těchto hodnot, získanou vhodnými numerickými metodami. Křivka silně připomíná výchylku pro harmonický pohyb, určenou rov. (16.3). Perioda pohybu, odečtená přímo z grafu, činí přibližně 16,8 dnů. Ve .skutečnosti však krouží Callisto kolem Jupitera s prakticky konstantní rychlostí po prakticky kruhové dráze. Jeho skutečný pohyb tedy není ani zdaleka harmonický; je to rovnoměrný kruhový pohyb. A to, co Galileo viděl, byla projekce rovnoměrného kruhového pohybu na přímku, ležící v rovině pohybu. Pozoruhodná Galileova měření nás tak přivádějí k závěru, žc rovnoměrný kruhový pohyb, pozorovaný ze strany, dává harmonický pohyb. Řečeno formálněji: Projekcí rovnoměrného kruhového pohybu na průměr kružnice, po níž kruhový pohyb probíhá, vzniká harmonický pohyb. Na obr. 16.16a vidíme příklad takové projekce. Referenční částice P' vykonává rovnoměrný kruhový pohyb; pohybuje se (konstantní) úhlovou rychlostí oj po referenční 16.8 tlumený oscilátor 423 kružnici. Poloměr kružnice xm udává současně velikost polohového vektoru částice. Uhel, který svírá průvodič částice s osou x v čase t, jc roven cot + ip, kde

harmonického pohybu. Ukazuje nám, odkud se vzalo adjektivum „úhlová". Veličina co je jednoduše konstantní úhlová rychlost pohybu referenční částice P' po referenční kružnici; fázová konstanta

n ">o Uspořádejte oscilátory sestupně podle doby, za kterou klesne jejich mechanická energie na jednu čtvrtinu své počáteční hodnoty. 16.9 NUCENÉ KMITY A REZONANCE 425 16.9 NUCENÉ KMITY A REZONANCE Když sc někdo pasivně houpá na houpačce, je to příklad volného kmitání. Jestliže nějaká další osoba houpačku navíc periodicky tahá nebo tlačí, jako na obr. 16.19, probíhá nucené kmitání. V tomto případě se musíme zabýval dvěma úhlovými frekvencemi. (1) Vlastní úhlová frekvence co je úhlová frekvence systému náhle vyvedeného z, rovnováhy a pak ponechaného volně kmital. (2) Úhlová frekvence a>b vnější budicí síly. Obr. 16.19 Z fyzikálního hlediska jsou na obraze Nikolase Lan-creta naznačeny dvě frekvence: (1) vlastní frekvence, tj. frekvence, s jakou by se slečna houpala, kdyby byla ponechána sama o sobě, a (2) frekvence, s jakou tahá její přítel za provaz. Rezonance nastane, jsou-li tyto frekvence shodné. K představě nuceného kmitání harmonického oscilátoru použijeme opět obr. 16.17. Musíme ovšem předpokládat, že se „pevný nosník" nyní pohybuje harmonicky nahoru a dolů s námi určenou úhlovou frekvencí w\,. U takového oscilátoru sc nakonec ustaví nucené kmity s úhlovou frekvencí co\, budicí síly a s výchylkou x(t) — *mcos( (rezonance). (16.44) Tato podmínka rezonance je současně přibližnou podmínkou pro největší amplitudu nucených kmitů xm. Jestliže strkáme houpačku s frekvencí rovnou její vlastní frekvenci, dosáhneme velké amplitudy výchylky i amplitudy rychlosti. Děti k tomu dospějí velmi rychle metodou zkoušek 426 kapitola 16 kmity a omylů. Jestliže strkáme s jinou frekvencí, buď vyšší, nebo nižší, amplitudy výchylky a rychlosti nucených kmitů budou malé. Na obr. 16.20 je zobrazena závislost amplitudy výchylky nucených kmitů na úhlové frekvenci budicí síly pro tři hodnoty konstanty útlumu b. Všimněte si, že ve všech třech případech je amplituda nucených kmitů největší přibližně pro cob/ců = 1, to znamená přibližně při splnění rezonanční podmínky rov. (16.44). Z křivek na obr. 16.20 je patrna i následující závislost: čím je tlumení slabší, tím je rezonanční vrchol vyšší a užší. 0.6 0,81,0 1.2 1.4 (Db/(O Obr. 16.20 Amplituda výchylky nucených kmitů xm se mění v závislosti na úhlové frekvenci ojf, budicí síly. Amplituda je největší přibližně při o>^/oj = I. tj. přibližně při splnění rezonanční podmínky. Křivky na obrázku odpovídají třem různým hodnotám konstanty útlumu b. Všechny mechanické soustavy vykazují jednu nebo více vlastních frekvencí. Když na ně působí velká vnější budicí síla s frekvencí, která jc v blízkosti jedné z vlastních frekvencí soustavy, mohou vznikající nucené kmity způsobit mechanické porušení. Například letečtí konstruktéři musí zajistit, aby se vlastní frekvence křídel lišila od frekvence pístů při letových otáčkách motoru. Bylo by pochopitelně nebezpečné, kdyby se při určitých otáčkách motoru začalo křídlo divoce třepat. Příkladem destruktivního působení rezonance je i zřícení 1,4 km dlouhého úseku Nimitzovy dálnice, které jsme viděli na úvodní fotografii léto kapitoly. Při průchodu seizmických vln danou oblastí došlo ke kmitání podloží s největší amplitudou rychlosti na úhlové frekvenci okolo 9rad-s~~'. Tato frekvence odpovídá téměř přesně vlastní úhlové frekvenci horizontálních konstrukčních dílů dálnice. Příčina toho, že ke zřícení došlo právě jen v uvedeném úseku, je patrna na obr. 16.21: dálnice zde byla postavena na volně členěném jílovitém podloží, které během otřesů vykazovalo přinejmenším pětkrát větší amplitudu rychlosti, než tomu bylo u skalnatého podloží v ostatních úsecích dálnice. Obr. 16.21 Geologická struktura části Oaklandu v okolí zálivu San Francisco s vyznačením zříceného úseku Nimitzovy dálnice. (Převzato z článku „Sediment-Induced Amplification and the Collapse of the Nimitz Freeway" aulorů S. E. Hougha a ostatních, uveřejněného v časopise Nature 26. dubna 1990). Parametrická rezonance Slečnazobr. 16.19, ale houpající se sama bez pomoci přítele, stejně jako samostatně se houpající děti na obr. 16.1 jsou příkladem nového jevu — není to výše popsaná rezonance při působení vnější budící síly, ale tzv. parametrická rezonance. Při ní se soustava udržuje v kmitání tím, že se pravidelně mění její vhodný vnitřní parametr. V tomto případě se kýváním nohama vsedě anebo pokrčováním nohou vestoje mění moment setrvačnosti houpačky s pasažérem vůči ose rotace. Oproti obyčejné rezonanci jsou zde některé pozoruhodné rozdíly. Jeden úplný kmit houpačky je, řekněme, od levé krajní polohy přes nejnižší polohu, pravou krajní polohu, opět nejnižší polohu a zpět do výchozí levé krajní polohy. Během něj se ale dítě skrčí dvakrát — jde do kolen vždy, když jde houpačka dolů do nejnižší polohy! Rezonanční frekvence a>p tohoto mechanismu houpání jc tedy zřejmě dvojnásobná oproti vlastní frekvenci oj houpačky; platí ojp - 2oj. Další zvláštní odchylkou od nucených kmitů je to, že parametrickou rezonancí lze sice zesílit už existující kmity, ale nelze se s ní rozhoupat z naprostého klidu. Matematické vyšetřování lakových kmitů je však i v nejjednodušším případě mnohem náročnější. přehled & shrnutí 427 PŘEHLED SčSHRNUTI Frekvence Libovolný periodický pohyb (libovolné kmitání) má svou frekvenci f, určující počet kmitů za jednu sekundu. V systému SI jc jednotkou frekvence hertz: 1 hertz = 1 Hz = 1 kmit za sekundu = 1 s (16.1) Energie Částice, která vykonává harmonický pohyb, má v libovolném čase kinetickou energii £k = ]^mv2 a polohovou energii Ep = \kx2. Jestliže neuvažujeme tření, zůstává celková mechanická energie E — Ek + Ep během pohybu konstantní, zatímco Ek a Ep se mění. Perioda Perioda T je čas potřebný k provedení jednoho úplného kmitu (jednoho úplného cyklu pohybu). Perioda souvisí s frekvencí vztahem (16.2) Harmonický pohyb V případě harmonického pohybu je výchylka částice z rovnovážné polohy popsána vztahem x(t) = xm cos(&>r + (p) (výchylka). (16.3) ve kterém xm je amplituda výchylky, veličina (ml + (p) je fáze pohybu a ip je fázová konstanta. Uhlová frekvence oj souvisí s periodou a s frekvencí pohybu vztahy 2tt Y 231/ (úhlová frekvence). (16.4) První a druhá derivace rov. (16.3) určují časovou závislost rychlosti a zrychlení částice během harmonického pohybu: v(t) = — coxm sin(o;/ + tp) (rychlost), (16.5) a(t) = — oj2xm cos(wř + xm v rov. (16.5) se nazývá amplituda rychlosti pohybu ťm. Kladná veličina w2xm v rov. (16.6) sc nazývá amplituda zrychlení pohybu am. Harmonický oscilátor Jestliže částici o hmotnosti m vrací do rovnovážné polohy síla úměrná výchylce, tj. F = — kx, dojde k harmonickému kmitání s parametry oj a '/', kde v m 2rc, (úhlová frekvence) (perioda). (16.11) (16.12) Takový systém se nazývá harmonický oscilátor. Kyvadla Harmonický pohyb vykazují například torzní kyvadlo na obrázku 16.8, matematické kyvadlo na obr. 16.10a fyzické kyvadlo na obr. 16.11. V případě malých výchylek je pro tyto systémy perioda určena po řadě vztahy T = lJL v x (torzní kyvadlo). (16.25) T = 2n L Í! y mg n (matematické kyvadlo) (16.29) (fyzické kyvadlo). (16.32) Ve všech případech se ve výrazu pro periodu objevuje podíl „setrvačného" členu a „vratného" členu. Vratný člen vyjadřuje velikost tendence k návratu do rovnovážné polohy. Kmitání a rovnoměrný kruhový pohyb Harmonický pohyb vzniká také projekcí rovnoměrného kruhového pohybu na průměr kružnice, po níž kruhový pohyb probíhá. Obr. 16.16 ukazuje, jak všechny parametry rovnoměrného kruhového pohybu (poloha, rychlost a zrychlení) přecházejí uvedenou projekcí na odpovídající hodnoty pro harmonický pohyb. Tlumený oscilátor U reálných kmitajících systémů se mechanická energie E během pohybu postupně zmenšuje, protože působí brzdné třecí síly, které převádějí mechanickou energii na teplo. Říkáme, že pohyb reálného oscilátoru je tlumený. V případě, kdy je brzdná síla určena vztahem F^ = —bv, kde v je rychlost oscilátoru a b je konstanta útlumu, má časová závislost vvchylky oscilátoru tvar x(t) cos(b, systém se rozkmitá s úhlovou frekvencí tub- Amplituda rychlosti nucených kmitů je přitom nej větší při splnění podmínky rezonance o>b = co. (16.44) Při malém tlumení je za téže podmínky největší amplituda výchylky xm. OTÁZKY 1. Který z následujících vztahů mezi zrychlením a a polohou částice x implikuje harmonický pohyb: (a) a = 0,5x, (b) a = = 400.r2, (c) a = -20* a (d) a = -3x2? 2. Na obr. 16.22 je vynesena časová závislost zrychlení a(ť) pro částici, která vykonává harmonický pohyb, (a) Kterému z číslovaných bodů odpovídá poloha — xml (b) Je rychlost částice v bodě 4 kladná, záporná, nebo nulová? (c) Odpovídá bodu 5 poloha částice — xm, +xm, 0, mezi — xm a 0, nebo mezi 0 a +*m? •3 •7 (a) bodu A na grafu a (b) bodu R na grafu je v klidu, pohybuje se směrem k bodu — xm, nebo se pohybuje směrem k bodu xm. Dále určete, zda se částice s rychlostí odpovídající (c) bodu A na grafu a (d) bodu B na grafu nachází v bodě — xm, v bodě xm, v bodě 0, mezi — xm a 0, nebo mezi 0aim. Nakonec rozhodněte, zda se rychlost odpovídající (e) bodu A na grafu a (f) bodu B zvětšuje, nebo zmenšuje. 6. Na obr. 16.24 vidíme čtyři oscilátory s vesměs stejně tuhými pružinami a stejně hmotnými tělesy. Jaký je fázový rozdíl dvou oscilátorů (a) na obr. 16.24a a (b) na obr. 16.24b? (c) Jaký je fázový rozdíl červeného oscilátoru na obr. 16.24a a zeleného oscilátoru na obr. 16.24b? Obr. 16.22 Otázka 2 3. Výchylka kmitající částice je popsána vztahem x = xm cos(&)í + tp). Určete, zda se částice v čase r = 0 nachází v — xm, v +xm, v počátku, mezi — xm aO, nebo mezi 0 a +.vm, jestliže je

mi > »13. V klidovém stavu jsou protažení pružin vesměs stejná. U každé soustavy vyvoláme harmonický pohyb ve svislém směru. Uspořádejte soustavy v sestupném smyslu podle periody kmitů. 9. Naobr. 16.25 vidíme tři zařízení složená z tělesa a identických pružin. Centrální poloha tělesa odpovídá nezatížené délce pružin. Seřaďte zařízení sestupně podle frekvence kmitů. 10. Těleso hmotnosti m je zavěšeno na pružině tuhosti k. U soustavy vyvoláme harmonický pohyb ve svislém směru. Poté pružinu rozpůlíme a na jednu její polovinu zavěsíme totéž těleso. CVIČENÍ & ÚLOHY 429 'vMMM (1) (2) Obr. 16.25 Otázka 9 (3) Opět vyvoláme kmitání. Vykazuje vyšší frekvenci oscilátor s původní, nebo se zkrácenou pružinou? 11. Jestliže zatížíme svisle visící pružinu A tělesem hmotnosti mi a svisle visící pružinu B tělesem menší hmotnosti ni2, bude protažení obou pružin stejné. Nyní vyvoláme u obou soustav (pružina + těleso) harmonický pohyb se stejnou amplitudou výchylky. Který z obou oscilátorů má větší mechanickou energii? 12. Amplituda výchylky jistého harmonického oscilátoru byla zdvojnásobena. Určele, zda se následující veličiny zvětší, zmenší, nebo zůstanou stejné: (a) perioda, (b) tuhost pružiny, (c) celková mechanická energie, (d) maximální rychlost a (e) maximální zrychlení. 13. Na obr. 16.26 vidíme tři fyzická kyvadla tvořená identickými homogenními koulemi vesměs téže hmotnosti, pevně spojenými stejně dlouhými tyčemi zanedbatelné hmotnosti. Každé kyvadlo se otáčí kolem vyznačeného bodu závěsu O. Seřaďte kyvadla v sestupném smyslu podle period jejich kmitů. . 0 • o 0 0 Q q (a) (b) (c) Obr. 16.26 Otázka 13 14. Na stropě kabiny stojícího výtahu je zavěšeno kyvadlo. Perioda jeho kmitů je T. Určete, zda se perioda zvětší, zmenší, nebo zůstane stejná, jestliže se kabina výtahu pohybuje (a) konstantní rychlostí směrem nahoru, (b) konstantní rychlostí směrem dolů, (c) dolů s konstantním zrychlením ve směru nahoru, (d) nahoru s konstantním zrychlením ve směru nahoru, (e) nahoru se zrychlením a = g ve směru dolů a (f) dolů se zrychlením a = g ve směru dolů. 15. Ve vozíku, stojícím na vodorovné ploše, je upevněno kyvadlo. Perioda jeho kmitů je T. Určete, zda se perioda zvětší, zmenší, nebo zůslanc stejná, jestliže vozík umístíme na nakloněné rovině, skloněné o úhel 0 vzhledem k rovině vodorovné (obr. 16.27) a jestliže se vozík (a) nepohybuje, (b) pohybuje s konstantní rychlostí po nakloněné rovině směrem dolů, (c) pohybuje s konstantní rychlostí po nakloněné rovině směrem nahoru, (d) pohybuje po nakloněné rovině směrem nahoru s konstantním zrychlením, orientovaným podél nakloněné roviny směrem nahoru, (e) pohybuje po nakloněné rovině směrem dolů s konstantním zrychlením, orientovaným podél nakloněné roviny směrem nahoru, (f) pohybuje po nakloněné rovině směrem dolů s konstantním zrychlením a = g sin 6, orientovaným poděl nakloněné roviny směrem dolů. a (g) pohybuje po nakloněné rovině směrem nahoru s konstantním zrychlením a = gúnO, orientovaným podél nakloněné roviny směrem dolů. Obr. 16.27 Otázka 15 16. Máme sestrojit přístroj pro přenos kmitání na obr. 16.28. Přístroj je složen ze dvou soustav pružina + těleso. Obě pružiny jsou upevněny na pružné tyči. Jestliže protáhneme pružinu první soustavy a pak ji uvolníme, vznikne harmonický pohyb s frekvencí f\. Kmitání se přenáší na tyč a ta působí budicí silou na druhou soustavu. Vynucující síla tedy osciluje s frekvencí /]. Při konstrukci přístroje si máme vybrat ze čtyř pružin a čtyř hmotných tčles: tuhosti pružin k jsou 1 600 N-m-1, 1500N-m ', l400N-nT1 a 1 200N-m"1, hmotnosti těles m jsou 800 kg, 500 kg, 400 kg a 200 kg. Naším cílem je dosáhnout maximální amplitudy kmitů u druhé soustavy. Kterou pružinu a které těleso vyberete pro jednotlivé soustavy? Řešte bez provádění detailního výpočtu. /—pružná tyč soustava 1 soustava 2 Obr. 16.28 Otázka 16 CVIČENI S^ULOHY ODST. 16.3 Pohybová rovnice pro harmonický pohyb 1C. Uvažujme harmonicky kmitající těleso. Doba mezi dvěma po sobě následujícími okamžiky, ve kterých je rychlost tělesa nulová, činí 0,25 s. Prostorová vzdálenost poloh tělesa v těchto dvou okamžicích je 36 cm. Vypočtěte (a) periodu, (b) frekvenci, a (c) amplitudu pohybu. 2C. Pohyb závaží kmitajícího na pružině se od jistého časového okamžiku začíná po 0,75 s opakovat. Nalezněte (a) periodu po- 430 kapitola 16 kmity hybu. (b) frekvenci v hertzích a (c) úhlovou frekvenci v radiánech za sekundu. 3C. Závaží o hmotnosti 4,00 kg je zavěšeno na pružinu. Pružina se tím prodlouží o 16.0 cm vzhledem ke své nezatížené délce, (a) Jaká je tuhost pružiny? (b) Dané závaží odstraníme a na tutéž pružinu zavěsíme závaží o hmotnosti 0,500 kg. Poté pružinu ještě poněkud protáhneme a uvolníme. Jaká bude perioda vzniklých kmitů? 4C. Oscilátor je tvořen závažím o hmotnosti 0,500 kg zavěšeným na pružině. Jestliže ho rozkmitáme s amplitudou 35,0cm, pohyb se po každých 0,500 s opakuje. Nalezněte (a) periodu kmitání, (b) jeho frekvenci, (c) úhlovou frekvenci, (d) tuhost pružiny, (e) největší rychlost závaží a (f) největší sílu působící na závaží. 5C. Atomy v pevných látkách kmitají za pokojové teploty s frekvencemi řádu 1013 Hz. Vyjděme z představy atomů propojených pružinami. Předpokládejme, že v tělese ze stříbra kmitá jeden atom stříbra s uvedenou frekvencí a ostatní atomy se nepohybují. Vypočtěte efektivní tuhost pružiny. Jeden mol stříbra (6.02-1023 atomů) má hmotnost 108 g. 6C. Jaké je největší zrychlení plošiny, která kirátá s amplitudou 2.20cm a s frekvencí 6,60 Hz? 7C. V reproduktoru se vytváří zvuk pomocí kmitající membrány. Předpokládejme, že u daného reproduktoru činí maximální možná amplituda kmitů l,010~3mm. Určete obor frekvencí, při kterých převyšuje zrychlení membrány hodnotu g (tíhové zrychlení). 8C. Pružinová váhaje na měřítku délky 4,00 in cejchována od 0 do 32.01b. Balík, který je zavěšen na váze, kmitá ve svislém směru s frekvencí 2.00 Hz. (a) Určete tuhost pružiny, (b) Jaká je \ áha balíku? 9C. Závaží 20 N zavěsíme na konec svislé pružiny; pružina se tím prodlouží o 20 cm. (a) Jaká je tuhost pružiny? (b) Pružinu nyní umístíme vodorovně na hladkou podložku. Jeden její konec upevníme ke stěně, druhý konec spojíme se závažím 5,0 N. Poté závaží poněkud posuneme (pružina se natáhne) a uvolníme s nulovou počáteční rychlostí. Jaká je perioda vzniklých kmitů? 10C. Závaží o hmotnosti 50.0 g zavěsíme na konec svislé pružiny a rozkmitáme. Největší rychlost závaží činí 15,0cm-s~', perioda kmitání je 0,500 s. Určete (a) tuhost pružiny, (b) amplitudu kmitání a (c) frekvenci kmitů. 11C. Částice hmotnosti 1,00-10~20 kg harmonicky kmitá s periodou 1,00-10~3 s a s maximální rychlostí 1,00-103 m-s-1. Vypočtěte (a) úhlovou frekvenci kmitání a (b) největší výchylku částice. 12C. Malé těleso o hmotnosti 0,12 kg harmonicky kmitá s amplitudou 8,5 cm a s periodou 0,20 s. (a) Jaká největší síla působí na částici? (bj Předpokládejme, že kmitání je vyvoláno pružinou. Jaká je tuhost pružiny? 13C. Břit elektrického holícího strojku se přesouvá sem a tam na vzdálenosti 2.00 mm. Jeho pohyb lze považovat za harmo- nické kmitání s frekvencí 120 Hz. Určete (a) amplitudu kmitů, (b) největší rychlost břitu a (c) největší zrychlení břitu. 14C. Membrána reproduktoru harmonicky kmitá s frekvencí 440 Hz a amplitudou 0,75 mm. Určete (a) úhlovou frekvenci kmitů, (b) největší rychlost membrány a (c) největší zrychlení membrány. 15C. Uvažme kmitání automobilu ve svislém směru. Lze uvažovat, jako by vozidlo bylo umístěno na čtyřech stejných pružinách. U jistého vozidla nastavíme tuhost těchto pružin tak, aby frekvence kmitám činila 3.00 Hz. (a) Jaká je tuhost pružin, před-pokládáme-li hmotnost vozidla 1 450 kg a rovnoměrné rozložení váhy? (b) Ve vozidle jede pět osob. Jejich průměrná hmotnost je 73 kg a váhaje opět rozložena rovnoměrně. Jaká je frekvence kmitání každé pružiny? 16C. Poloha harmonicky kmitajícího tělesa je popsána vztahem x = (6,0m) cos [(3rcrad-s~')f + ixrad] . V čase t = 2,0 s stanovte (a) výchylku tělesa, (b) rychlost tčlcsa, (c) zrychlení tělesa a (d) fázi pohybu. Dále určete (e) frekvenci a (f) periodu kmitů. 17C. Daná částice harmonicky kmitá s frekvencí 0,25 Hz kolem rovnovážné polohy x = 0. V čase / = 0 měla výchylku x = 0,37 cm a nulovou rychlost. Určete pro její kmitání (a) periodu, (b) úhlovou frekvenci, (c) amplitudu, (d) výchylku jako funkci času, (e) rychlost jako funkci času, (f) maximální rychlost, (g) maximální zrychlení, (h) výchylku v čase / = .3,0 s, a (i) rychlost v čase t = 3,0 s. 18C. Píst ve válcové hlavě parní lokomotivy má záběr (dvojnásobek amplitudy) 0.76 m. Pohyb pístu lze pokládal za harmonické kmitání s úhlovou frekvencí 180ol-min~'. Jaká je maximální rychlost pístu? 19U. Obr. 16.29 ukazuje astronauta sedícího na přístroji k měření tělesné hmotnosti v beztížném stavu. Přístroj byl vyvinut pro použití na vesmírných stanicích, udržovaných na oběžné dráze kolem Země. Je tvořen pohyblivou sedačkou spojenou pružinami s rámem: astronaut se usadí na sedačku a měří periodu vyvolaných kmitů. Jeho hmotnost se poté určuje ze vztahu pro periodu kmitající soustavy pružina + hmotný blok. (a) Předpokládejme, že hmotnost astronauta je M a efektivní hmotnost kmitající sedačky činí m. Ukažte, že platí k , M = —-T — m, 4k2 kde T je perioda kmitů a k tuhost pružiny, (b) Přístroj, který byl umístěn na vesmírné stanici SKYLAB TWO, měl tuhost pružiny k = 605,6N-m-' a perioda kmitů prázdné sedačky byla 0,901 49 s. Vypočtěte efektivní hmotnost sedačky, (c) Perioda kmitů sedačky s astronautem činila 2,088 32 s. Vypočtěte hmotnost astronauta. cvičení & úlohy 431 '"'f. Obr. 16.29 Úloha 19 20Ú. Na pružine visí závaží o hmotnosti 2,0 kg. Přívažek hmotnosti 300 g způsobí dodatečné protažení pružiny o 2,00 cm. (a) Jak velká je tuhost pružiny? (b) Rychlé uvolnění přívažku vyvolá harmonické kmity závaží. Určete periodu pohybu. 21Ú. Na pružině harmonicky kmitá závaží o hmotnosti m. Perioda pohybu činí 2,0 s. Jestliže zvýšíme hmotnost závaží o 2,0 kg. perioda se zvýší na 3.0 s. Určete hmotnost m. 22U. Koncový bod jednoho ze dvou ramen ladičky harmonicky kmitá s frekvencí 1 000 Hz a amplitudou 0,40 mm. Určete pro tento bod (a) maximální zrychlení a (b) maximální rychlost. Dále nalezněte (c) zrychlení a (d) rychlost uvažovaného bodu v okamžiku, kdy jeho výchylka činí 0,20 mm. 23U. Těleso o hmotnosti 0,10 kg osciluje tam a zpět v přímém směru. Jeho výchylka, měřená od počátku souřadnic, je popsána vztahem x = (10cm)cos[(10rad-s"')í + ^tirad]. (a) Jaká je frekvence kmitů? (b) Jakou maximální rychlostí se těleso pohybuje? Při jaké hodnotě výchylky má těleso tuto maximální rychlost? (c) Jaké je největší zrychlení tělesa? Při jaké hodnotě výchylky je zrychlení největší? (d) Určete časovou závislost síly, která působí na těleso a vyvolává uvedené kmitání. 24U. Příliv a odliv vyvolává v přístavu změny výšky hladiny moře. Maximální rozdíl výšek hladiny je d. Pohyb hladiny je přitom možno považovat za harmonický s periodou 12,5 h. Za jak dlouho dojde k poklesu hladiny o vzdálenost d/4 od její nejvyšší úrovně? 25Ú. Dvě tělesa s hmotnostmi m = 1,0 kg, M = 10 kg a pružina jsou uspořádány podle obr. 16.30 na vodorovné hladké podložce. Statický činitel smykového tření mezi oběma tělesy činí 0,40. Jaká může být největší amplituda harmonických kmitů soustavy, má-li se zabránit smýkání mezi oběma tělesy? 26U. Hmotný blok je umístěn na vodorovný povrch (povrch vibračního stolu). Povrch harmonicky kmitá ve vodorovném směru s frekvencí 2,0 Hz. Statický činitel smykového tření mezi hladká podložka Obr. 16.30 Úloha 25 blokem a povrchem stolu má velikost 0.50. Jak velká může ještě být amplituda kmitů, má-li se vyloučit možnost klouzání bloku? 27U. Na píst, který harmonicky kmitá ve svislém směru, položíme závaží, (a) Je-li perioda kmitů pístu 1,0 s, při jaké amplitudě se závaží oddělí od pístu? (b) Je-li amplituda kmitů pístu 5.0 cm, jaká může být největší frekvence, pro kterou zůstává závaží nepřetržitě v kontaktu s pístem? 28U. Oscilátor je tvořen hmotným blokem, spojeným s pružinou (k = 400N-m~'). V jistém čase t byly zaznamenány následující hodnoty polohy (měřené od rovnovážné polohy soustavy), rychlosti a zrychlení hmotného bloku: x = 0,100 m. v = — 13,6ms~' a a = —123m-s-2. Vypočtěte (a) frekvenci kmitů, (b) hmotnost bloku a (c) amplitudu pohybu. 29U. Harmonický oscilátor je tvořen kvádrem o hmotnosti 2,00kg spojeným s pružinou tuhosti lOON-m'"1. V čase i = — 1.00 s se kvádr nachází v poloze x = 0.129 m a jeho rychlost činí v = 3,415 m-s . (a) Jaká je amplituda oscilací? Jaká byla (b) poloha kvádru a (c) rychlost kvádru v čase r = 0? 30U. Nehmotná pružina je zavěšena na stropě místnosti a na její spodní konec připevníme malé závaží. Závaží nejprve udržujeme v klidu v poloze o souřadnici yp; v této poloze má pružina svoji nezatíženou délku. Poté závaží uvolníme s nulovou počáteční rychlostí. V průběhu vzniklého kmitání klesá závaží nejníže 10 cm pod souřadnici vp. (a) Jaká je frekvence kmitů? (b) Jaká je rychlost závaží v okamžiku, kdy se právě nachází 8 cm pod počáteční polohou >'p? (c) K závaží připevníme přívažek hmotnosti 300 g. Frekvence takto upraveného oscilátoru je rovna polovině původní frekvence. Jaká je hmotnost prvního závaží? (d) Určete rovnovážnou polohu nového oscilátoru vzhledem k výchozí souřadnici yp. 31U. Dvě částice harmonicky kmitají podél přímého segmentu délky a (pohybují se na opačných stranách přímé a tenké lišty a jejich dráha pokrývá na liště úsečku délky a). Oba harmonické pohyby mají tutéž periodou 1.5 s, avšak jsou navzájem fázově posunuty o n/6rad. (a) Jaká je vzdálenost obou částic v okamžiku, kdy se opožděná částice právě nachází v bodě obratu? Výsledek vyjádřete pomocí délky a. (b) Uvažme malý časový interval bezprostředně následující po okamžiku, popsaném v části (a). Pohybují se obě částice během tohoto intervalu ve stejném směru, v opačném směru od sebe, nebo v opačném směru k sobě? 32U. Dvě částice harmonicky kmitají kolem stejné rovnovážné polohy se stejnou amplitudou a stejnou frekvencí. Oba pohyby probíhají podél téhož směru. Částice se míjejí vždy tehdy, když se výchylka každé z nich rovná polovině amplitudy. Jaký je fázový rozdíl mezi oběma harmonickými pohyby? 432 kapitola 16 kmity 33Ú. Dvě stejné pružiny jsou jedněmi konci připevněny ke dvěma protilehlým stěnám kvádru hmotnosti m a druhými konci velknuty do protilehlých stěn. Kvádr je umístěn na hladké podložce. Soustava je znázorněna na obr. 16.31. Ukažte, že kvádr harmonicky kmitá s frekvencí i' 1 [2k I 2tí V m k Obr. 16.31 Úlohy 33 a 34 34Ú. Vyjdeme ze znění úlohy 33, avšak nyní předpokládejme, že dvě pružiny na obr. 16.31 mají obecně různé tuhosti k\ a ki. Ukažte, že frekvence kmitající soustavy je nyní určena vztahem / = yff? + 7l kde fi, popř. /V jsou frekvence oscilátorů, tvořených kvádrem a pouze pružinou 1, popř. kvádrem a pouze pružinou 2. 35U. Soustava dvou stejných, sériově propojených pružin tuhosti ŕ je jedním svým koncem spojena s kvádrem hmotnosti m a druhým koncem připevněna ke stěně. Kvádr sc pohybuje na hladké podložce. Soustava je znázorněna na obr. 16.32. Ukažte, že soustava harmonicky kmitá s frekvencí f ~ — f^-2nV 2m Obr. 16.32 Úloha 35 36Ú. Kvádr o váze 14,0 N klouže bez tření po nakloněné rovině se sklonem 40,0°. Kc kvádru je připojena nehmotná pružina nezatížené délky 0,450m a tuhosti 120N-m_1. Druhý konec pružiny je upevněn na vrcholu klínu; celá soustava je znázorněna na obr. 16.33. (a) Určete vzdálenost rovnovážné polohy kvádru od vrcholu klínu, (b) Kvádr poněkud vysuneme z rovnovážné polohy podél nakloněné roviny směrem dolů a poté jej uvolníme. Jaká je perioda vzniklého harmonického pohybu? bez tření / \40,0° Obr. 16.33 Úloha 36 37U. Homogenní pružina má délku L a tuhost k. Pružinu řezem rozdělíme na dvě části délek L\ a Li a označíme n — L\/Li-(a) Vyjádřete tuhosti k\ a ki obou nových pružin pomocí k a n. (b) Pokud byl určitý kvádr spojen s původní pružinou, jako na obr. 16.5, kmital vzniklý harmonický oscilátor s frekvencí /. Jestliže nyní připevníme ke kvádru pružinu délky L\, popř. pružinu délky Lj- bude mít nový oscilátor frekvenci J\, popř. frekvenci j\. Vyjádřete frekvence f\ a fi pomocí původní frekvence /. 38Ú. Tři navzájem propojené důlní vagony, každý o hmotnosti 10 000 kg, jsou umístěny na nakloněné dráze důlní železnice. Dráha má sklon 30°. Vagony jsou udržovány v klidu závěsným lanem, vedeným rovnoběžně s nakloněným směrem důlní dráhy (obr. 16.34). Váhou vagónuje závěsné lano prodlouženo o 15 cm vzhledem ke své nezatížené délce. V jistém okamžiku se uvolnil spodní vagon; poté zbylé dva vagony harmonicky kmitají. Předpokládejte, že závěsné lano splňuje Hookův zákon a určete (a) frekvenci, (b) amplitudu harmonického pohybu. uvolněný vozík w i* Obr. 16.34 Úloha 38 39Ú. Ke zmírnění dopravních problémů při cestování mezi dvěma velkými městy (například mezi Bostonem a Washingtonem) navrhují dopravní konstruktéři následující řešení. Obě města budou propojena podél tětivy Země přímým vlakovým tunelem (obr. 16.35). Vlaková souprava, uvolněná ve výchozí stanici, bude samovolně klesat první polovinou tunelu a stoupat druhou polovinou až ke stanici cílové. Předpokládejme, že Země je homogenní koule. Odpor vzduchu a tření zanedbáme, (a) Ukažte, že cesta mezi městy představuje polovinu úplného harmonického kmitu, (b) Vypočtěte dobu jízdy mezi městy. vlaková x souprava \ Obr. 16.35 Úloha 39 ODST. 16.4 Energie harmonického pohybu 40C. Určete mechanickou energii soustavy pružina + těleso, cvičení & úlohy 433 jestliže pružina má tuhost l,3N-cm a amplituda kmitů činí 2,4cm. 41C. Kmitající soustava pružina+těleso má mechanickou energii J,00J. Kmitaní probíhá s amplitudou 10.0cm a maximálni rychlost tělesa je 1,20 m-s 1. TJ rčete (a) tuhost pruži ny, (b) hmotnost tělesa a (c) frekvenci kmitaní. 42C. Blok o hmotnosti 5,00 kg je umístěn na hladké vodorovné podložce a je spojen s pružinou tuhosti 1 000 N-m . Blok vychýlime vodorovně z rovnovážné polohy o 50.0cm a udělíme mu počáteční rychlost o velikosti 10.0ms-' vc směru zpět k rovnovážné poloze, (a) Jaká je frekvence vzniklých kmitů? (b) Jaká je počáteční hodnota potenciální energie pružnosti pro soustavu pružina + hmotný blok? (c) Jaká je počáteční hodnota kinetické energie? (d) Jaká je amplituda kmitů? 43C. Jestliže zavěsíme na danou svislou pružinu závaží o hmotnosti 1,3 kg, pružina se protáhne o 9.6cm. (a) Vypočtěte tuhost pružiny. Závaží přesuneme tahem o dalších 5,0 cm směrem dolů a uvolníme s nulovou počáteční rychlostí. Určete (b) periodu, (c) frekvenci a (d) amplitudu vzniklého kmitání, (e) Jaká je při kmitání maximální rychlost závaží? 44C. Gigantický (a hypotetický) prak má vystřelit kámen o hmotnosti 130 g tak, aby unikl ze sféry přitažlivosti Země (kámen musí být tedy vystřelen druhou kosmickou rychlostí ll,2km-s 1). Pružný mechanismus praku splňuje Hookův zákon. Je natažen o 1,5 m a uvolněn. Veškerá potenciální energie pružnosti se poté transformuje na energii kinetickou, (a) Určete tuhost odpalovacího přístroje, (b) Řekněme, že průměrný muž vyvine sílu 220 N. Kolik mužů musí spojit své síly k natažení praku? 45C. Výchylka harmonicky kmitající částice je v jistém okamžiku rovna jedné polovině amplitudy. Jaká část celkové mechanické energie má v tomto okamžiku formu energie (a) kinetické a (b) potenciální? (c) Při jaké výchylce má jedna polovina celkové mechanické energie formu energie kinetické? Vyjádřete hledanou výchylku pomocí amplitudy. 46C. Těleso o hmotnosti M je umístěno na vodorovné hladké podložce a spojeno s pružinou, která je na druhém konci upevněna ke stěně. Soustava je v rovnováze. V určitém okamžiku vnikne do tělesa rychlostí v projektil o hmotnosti m. Projektil zůstane zachycen v tělese. Situace je znázorněna na obr. 16.36. (a) Určete rychlost tělesa bezprostředně po zásahu, (b) Vypočtěte amplitudu vzniklého harmonického pohybu. m M Obr. 16.36 Cvičení 46 47Ú. Těleso hmotnosti 3,0 kg harmonicky kmitá. Jeho výchylka z rovnovážné polohy je popsána vztahem x(i) = (5.0m)cos [(f nrad-s-1)/ - fnrad]. (a) Při jaké výchylce je potenciální energie částice rovna polovině celkové mechanické energie? (b) Jak dlouho trvá pohyb částice z rovnovážné polohy do polohy, kterou jste určili v části (a)? 48Ú. Částice o hmotnosti 10 g harmonicky kmitá s amplitudou 2,OTO-' m. Maximální zrychlení částice činí 8,0-10^ m-s-', fázová konstantaje — k/3 rad. (a) Popište sílu. která na částici působí. Napište vztah, určující časovou závislost této síly. (b) Určete periodu pohybu, (c) Stanovte největší rychlost částice, (d) Vypočtěte celkovou mechanickou energie kmitající částice. 49U. Nehmotná pružina tuhosti 19 N-m ' je jedním koncem zavěšena na nosník. Na její volný konec umístíme těleso o hmotnosti 0.20kg. Těleso uvolníme v okamžiku, kdy pružina ještě nebyla protažena, (a) O jakou největší vzdálenost vzhledem ke své počáteční poloze těleso klesne? Určete (b) frekvenci a (c) amplitudu výsledného harmonického pohybu. 50Ú. Na pružině tuhosti 500N-m-1 visí těleso o hmotnosti 4.0 kg. Přímo zespodu je do tělesa vstřelena kulka hmotnosti 50g. Kulka vnikne do tělesa rychlostí 150 m-s-' a uvízne v něm. (a) Určete amplitudu takto vyvolaného harmonického pohybu, (b) Jakou část mechanické energie kmitajícího systému představuje původní kinetická energie kulky? 51Ú*. Pevný válec, otáčivý kolem vodorovné osy. je umístěn na vodorovné ploše. K ose válce je připevněna pružina tuhosti k = 3.0N-m-'. Válec uvolníme s nulovou počáteční rychlostí v poloze, ve které je pružina protažena o 0,25 m vzhledem k její rovnovážné délce. Poté se válec valí po ploše bez prokluzování (obr. 16.37). Určete kinetickou energii (a) translačního a (b) ro-M Obr. 16.37 Úloha 51 tačního pohybu válce v okamžiku, kdy válec právě prochází rovnovážnou polohou, (c) Ukažte, že při splnění uvedených předpokladů uskutečňuje těžiště válce harmonický pohyb s periodou 2- Í3M V 2JF' kde M je hmotnost válce. (Tip: Vypočtěte časovou derivaci celkové mechanické energie.) ODST. 16.5 Torzní kmity 52C. Plochý homogenní kruhový disk má hmotnost 3,00 kg a poloměr 70.0 cm. Disk je vc svém středu zavěšen na svislý drát, takže spočívá ve vodorovné rovině. Chceme-li disk vytočit o 2,50 rad vzhledem k jeho rovnovážné poloze a poté jej v této nové poloze udržet, musíme na něj působit silovým momentem 0,060 ON-m. (a) Vypočtěte moment setrvačnosti disku při jeho otáčení kolem osy určené drátem, (b) Určete torzní konstantu, (c) Jaká je úhlová frekvence popsaného torzního oscilátoru? 434 kapitola 16 kmity 53Ú. Homogenní masivní koule hmotnosti 95 kg má poloměr 15 cm. Koule visí na drátě, který je připevněn ke stropu místnosti. Silový moment velikosti 0,20 N-m uděluje kouli úhlovou výchylku 0,85 rad. Po uvolnění z uvedené polohy pozorujeme torzní kmity. Jaká je jejich perioda? 54U. Technik zkoumá nepravidelné těleso hmotnosti 10 kg. Má za úkol zjistit moment setrvačnosti tělesa vzhledem k jisté ose procházející těžištěm. Technik zavěsí těleso na drát takovým způsobem, aby byla předepsaná osa totožná se směrem drátu. Vzniklé torzní kyvadlo vykoná 20 úplných kmitů za dobu 50 s. Navíc je známo, že použitý drát má torzní konstantu h — 0,50N-m. Jaký je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k předepsané ose? 55U. Nepokoj hodinek torzně kmitá s úhlovou amplitudou rc rad a s periodou 0.500 s. Určete (a) maximální úhlovou rychlost nepokoje, (b)jeho úhlovou rychlost při úhlové výchylce ^rerad a (c) úhlové zrychlení nepokoje při úhlové výchylce ^rerad. ODST. 16.6 Kyvadla 56C. Matematické kyvadlo se nachází v místě, kde tíhové zrychlení g činí 32,2ft-s-2. Perioda jeho kmitů je l,00s. Jaká je jeho délka? 57C. Demoliční koule o hmotnosti 2 500 kg kývá na závěsném laně vedeném přes rameno jeřábu (obr. 16.38). Délka lana od vrcholu ramena ke kouli je 17m. (a) Určete periodu pohybu za předpokladu, že soustavu lze pokládat za matematické kyvadlo, (b) Závisí perioda na hmotnosti koule? Obr. 16.38 Cvičení 57 58C. Matematické kyvadlo odpočítává sekundy: uskuteční každé dvě sekundy úplný kmit z jedné krajní polohy do druhé a zpět. Jaká je jeho délka? 59C. Matematické kyvadlo délky l,50m uskutečnilo 72,0 úplných kmitů za dobu 180 s. Jak velké je tíhové zrychlení v místě, kde byly uvedené hodnoty naměřeny? 60C. V této kapitole jsme studovali dvě kmitající soustavy: závaží zavěšené na pružině a matematické kyvadlo. Mezi nimi existuje zajímavý vztah. Předpokládejme, že na konec pružiny zavěsíme závaží a pokud je závaží v klidu, jako na obr. 16.39. pružina se prodlouží o délku h vzhledem ke své nezatížené délce. Na druhé straně uvažme matematické kyvadlo délky /;. Dokažte, že obě soustavy kmitají se stejnou frekvencí. Obr. 16.39 Cvičení 60 61C. Artista sedí na visuté hrazdě a houpá se tam a zpět s periodou 8,85 s. Pokud je hrazda v rovnovážné poloze a artista se na ní postaví, zvýší se těžiště soustavy o 35,0 cm. Považujte soustavu artista + visutá hrazda za matematické kyvadlo. Vypočtěte jeho periodu, jestliže artista při houpání na hrazdě stojí. 62C. Matematické kyvadlo délky L volně kmitá s malou úhlovou amplitudou. V okamžiku, kdy právě prochází rovnovážnou polohou, znehybníme vlákno kyvadla v polovině délky. Vyjádřete periodu kratšího kyvadla pomocí původní periody T. 63C. Fyzické kyvadlo je tvořeno tyčovým metrem. Ve vzdálenosti x od rysky, která označuje 50 cm, je vyvrtán malý otvor. Tímto otvorem prochází osa rotace. Kyvadlo má periodu 2.5 s. Určete vzdálenost x. 64C. Tenká tyč délky L má hmotnost m. Tyč je zavěšena nad středem tyče: vzdálenost bodu závěsu od středu tyče je d. (a) U tohoto fyzického kyvadla vyvoláme kmitání s malou úhlovou amplitudou. Vyjádřete periodu pohybu pomocí veličin d, L, m a g (tíhové zrychlení). Jak se změní perioda, jestliže (b) zmenšíme vzdálenost d, (c) zvětšíme délku tyče L a (d) zvětšíme hmotnost tyče? 65C. Fyzické kyvadlo je tvořeno pevným homogenním diskem (poloměru R a hmotnosti M), otáčivým ve svislé rovině kolem bodu závěsu, který je umístěn ve vzdálenosti d od středu disku (obr. 16.40). Disk vychýlíme o malý úhel z rovnovážné polohy a uvolníme. Určete periodu výsledného harmonického pohybu. hod závěsu •---- , - Obr. 16.40 Cvičení 65 66C. Homogenní kruhový disk poloměru R = 12,5 cm je zavěšen v bodě, který se nachází na okraji disku, (a) Určete periodu tohoto fyzického kyvadla, (b) Disk nyní zavěsíme v jiném bodě. cvičľní & úlohy 435 jehož vzdálenost od středu disku činí r < Ä. Vzniká opět fyzické kyvadlo. Jaká musí být vzdálenost r, má-li se perioda nového kyvadla rovnat periodě v části (a)? 67C. Kyvadlo jc tvořeno homogenním diskem o poloměru 10,0cm a hmotnosti 500 g, spojeným s homogenní tyčí délky 500mm a hmotnosti 270g (obr. 16.41). (a) Vypočtěte moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k vodorovné ose procházející bodem závěsu, (b) Jaká je vzdálenost mezi bodem závěsu a těžištěm kyvadla? (c) Vypočtěte periodu kmitů. Obr. 16.41 Cvičení 67 68C. (a) Fyzické kyvadlo v př. 16.6 obrátíme a zavěsíme v bodě P. Jaká bude nyní perioda pohybu? (b) Je tato nová perioda v porovnání s periodou původního kyvadla v př. 16.6 větší, menší, nebo stejná? 69C. V př. 16.6 jsme ukázali, že fyzické kyvadlo má střed kyvu P ve vzdálenosti 2L/3 od bodu závěsu O. Dokažte tvrzení: Pro jakékoliv fyzické kyvadlo je vzdálenost středu kyvu od bodu závěsu rovna //(mh), kde veličiny / a h mají stejný význam jako v rov. (16.32) a m je hmotnost kyvadla. 70C. Tyčový metr se otáčí kolem osy umístěné na jeho jednom konci. Jak se změní frekvence tohoto fyzického kyvadla, jestliže tyčový metr zkrátíme na polovinu? Vyjádřete novou frekvenci pomocí původní frekvence /o. 71U. Fyzické kyvadlo na obr. 16.42 je tvořeno tyčí délky L, zavěšenou v bodě O. (a) Vyjádřete periodu kyvadla pomocí délky tyče L a vzdálenosti x těžiště od bodu závěsu, (b) Pro kterou hodnotu podílu x/L je perioda pohybu nejkratší? (c) Ukažte, že pro L = 1.00m a g = 9,80m-s-2 je nejkratší perioda v části (b) rovna 1,53 s. 72Ú. Střed kyvu fyzického kyvadla má následující zajímavou vlastnost. Uvažme fyzické kyvadlo, které kývá v jisté svislé rovině kolem určitého bodu závěsu O. Předpokládejme, že právě v okamžiku průchodu kyvadla rovnovážnou polohou na něj zapůsobí krátký impulz síly. Vektorová přímka síly je vodorovná a leží v rovině kyvů. Jestliže síla navíc působí v úrovni středu kyvu P, nevyvolá její impulz v bodě závěsu O žádnou reakci. O této vlastnosti dobře vědí hráči baseballu (a rovněž hráči mnoha jiných sportů). Skutečně, když pálkař navede pálku tak, že kc styku s míčkem dojde mimo střed kyvu P, ucítí v důsledku Obr. 16.42 Úloha 7 nárazu bolestivé ..škubnutí" v rukou. Proto také nazývají sportovci střed kyvu „jemný bod" pálky. Při studiu popsané situace budeme předpokládat, že tyč na obr. 16.12a představuje baseballovou pálku. Nechť na tyč působí v bodě P vodorovně zprava síla F, představující úder míčku. Pálkař drží pálku v bodě, který odpovídá bodu závěsu O na obr. 16.12a. (a) Jak velké zrychlení uděluje bodu O síla F? (b) Jak velké úhlové zrychlení vytváří síla F, jestliže uvažujeme rotaci kolem osy, procházející těžištěm tyče? (c) Jak velké lineární zrychlení získá bod O v důsledku úhlového zrychlení, uvažovaného v části (b)? (d) Na základě vyhodnocení velikostí a směrů zrychlení, uvažovaných v částech (a) a (c), se přesvědčte, že slřed kyvu P je skutečně „jemný bod". 73U. Přesně vzato, na různých místech povrchu Země má tíhové zrychlení g poněkud odlišnou hodnotu. Tato skutečnost byla objevena Jeanem Richerem, který v roce 1672 na svých cestách převezl kyvadlové hodiny z Paříže do města Cayenne ve francouzské Guyaně a zjistil, že hodiny se za den zpožďují o 2,5 minuty. Jestliže tíhové zrychlení v Paříži činí g = 9.81 m-s-2, jaká je jeho velikost v Cayenne? 74Ú. Vědci prováděli přesná měření tíhového zrychlení v určitém místě v Indickém oceánu. Místo bylo zvoleno na rovníku. Při měření se zjišťovala perioda kmitů precizně konstruovaného fyzického kyvadla. K zajištění přesně definovaných podmínek se měření uskutečnilo na palubč ponořené ponorky. Označme gp přesnou hodnotu tíhového zrychlení v daném místě. Po vyhodnocení výsledků bylo zjištěno, že změřená hodnota gm závisí na tom, zda se ponorka v průběhu měření pohybovala východním, nebo západním směrem. Velikost její rychlosti přitom v obou případech činila 16km-h~'. Objasněte pozorovanou diferenci a vypočtěte relativní chybu (gm — gp)/gp pro oba směry plavby ponorky. 75U. Dlouhá homogenní tyč délky L a hmotnosti m se otáčí ve vodorovné rovině kolem svislé osy vedené geometrickým středem tyče. Na jednom konci tyče je k ní upevněna vodorovná pružina, druhý konec pružiny je připevněn k pevné stěně. Celá soustava jc znázorněna na obr. 16.43 z nadhledu. V rovnovážné poloze jc tyč rovnoběžná se stěnou. Po malém vychýlení z rovnovážné polohy tyč uvolníme. Jaká jc perioda vzniklého harmonického pohybu? 436 kapitola 16 kmity stena Obr. 16.43 Úloha 75 76Ú. Určete frekvenci matematického kyvadla délky 2,0 m (a) zavěšeného na stropě místnosti, (b) zavěšeného na stropě výtahu, který se pohybuje vzhůru sc zrychlením 2,0 m-s~2, a (c) zavěšeného na stropě výtahu, který padá volným pádem. 77Ú. Matematické kyvadlo délky L a hmotnosti m je zavěšeno v automobilu, který se pohybuje rychlostí stálé velikosti v po kruhové dráze poloměru R. Kyvadlo se pohybuje v radiálním směru (kmitá ve svislé rovině, procházející bodem závěsu a středem kruhové dráhy). Určete frekvenci jeho pohybu. 78Ú. Nalezněte úhlovou amplitudu matematického kyvadla Bm, pro kterou činí odchylka skutečné velikosti vratného silového momentu a silového momentu, který jc předpokládán při harmonickém pohybu kyvadla, 1,0%. (Při řešení můžete použít „Rozvoje goniometrických funkcí" v dodatku E.) 79U. Hmotný bod matematického kyvadla se pohybuje po oblouku kružnice o poloměru R. (a) V okamžiku, kdy hmotný bod právě prochází rovnovážnou polohou, udílí mu vlákno dostředivé zrychlení (mir/R), kde v je okamžitá rychlost hmotného bodu. Ukažte, že v tomto okamžiku činí napětí ve vlákně mg(\ + 0^), ^e #m je úhlová amplituda pohybu. (Viz „Rozvoje goniometrických funkcí" v dodatku E.) (b) Je při jiných úhlových výchylkách matematického kyvadla napětí ve vlákně větší, menší, nebo stejné jako v části (a)? 80Ú. Kolo bicyklu sc otáčí kolem pevné osy. K jednomu z jeho drátů je připevněna ve vzdálenosti r od osy kola pružina tuhosti k. Druhý konec pružiny je uchycen v pevné stěně; uspořádání je znázorněno na obr. 16.44. (a) Předpokládejte, že kolo lze považovat za tenkou obruč poloměru R a hmotnosti m. Vyjádřete úhlovou frekvenci malých kmitů soustavy pomocí veličin m, R, r a tuhosti k. Jak se změní úhlová frekvence, jestliže (b) r = R a (c) r = 0? k -r Obr. 16.44 Úloha 80 81Ú. Kruhový disk hmotnosti 2,5 kg a průměru 42 cm je pevně spojen s nehmotnou tyčí délky 76 cm. Jak je znázorněno na obr. 16.45, soustava je zavěšena na konci tyče. (a) Nehmotná torzní pružina na obrázku je nejprve odpojena. Jaká jc perioda kmitů kyvadla? (b) Nyní připojíme ke kyvadlu torzní pružinu. V rovnovážné poloze nové soustavy je tyč opět svislá. Jaká musí být torzní konstanta pružiny, aby nová perioda kmitů byla o 0,50 s kratší než perioda původní'? 76 cm 82Ú. Jisté fyzické kyvadlo má dva možné body závěsu: A a B. Bod A je umístěn pevně, poloha bodu B podél délky kyvadla je nastavitelná. Kyvadlo je znázorněno na obr. 16.46. Nejprve zavěsíme kyvadlo v bodě A; perioda pohybu činí T. Poté kyvadlo obrátíme a zavěsíme jej v bodě B. Jeho poloha je však nastavena tak, aby kyvadlo mělo nyní opět periodu T. Vzdálenost takto definované polohy bodu B od bodu A činí L. Dokažte, že pomocí veličin L a T lze vyjádřit tíhové zrychlení jako _ 4tu2L (Všimněte si, že tímto způsobem můžeme měřit tíhové zrychlení g i v případě, že neznáme moment setrvačnosti kyvadla ani jeho rozměry, kromě vzdálenosti L.) Obr. 16.46 Úloha 82 83U*. Homogenní tyč délky L je v jistém bodě zavěšena, takže vytváří fyzické kyvadlo. Pro jakou vzdálenost bodu závěsu od těžiště je perioda kyvadla nejmenší? Vyjádřete hledanou vzdálenost pomocí délky ODST. 16.8 Tlumený oscilátor 84C. Během každého pohybového cyklu klesla amplituda slabě tlumeného oscilátoru o 3 %. Kolikrát se zmenší celková mechanická energie tohoto oscilátoru během každého úplného kmitu? CVIČENÍ & Úl .OHY 437 85C. Vyjděte ze zadání pf. 16.9 a určete, kolikrát se zmenší amplituda tlumených kmitů po provedení 20 úplných kmitů? 86C. V uspořádání na obr. 16.17 mějme těleso o hmotnosti 1,50 kg a pružinu tuhosti 8,00N-m~'. Třecí sílaje určena výrazem —b(dx/dt), kde b = 230g-s~'. Předpokládejme, že těleso je nejprve vysunuto ze své rovnovážné polohy směrem dolů o 12,0 cm a poté uvolněno, (a) Vypočtěte, za jakou dobu se amplituda kmitání zmenší na jednu třetinu své počáteční hodnoty, (b) Kolik úplných pohybových cyklů uskuteční kmitající těleso během této doby? 87Ú. Těleso o hmotnosti m = 2,00 kg kmitá na pružině tuhosti k = 10,0 N-m-1. Těleso je navíc vystaveno působení třecí síly F = —bv. Počáteční amplituda kmitů byla 25,0 cm; v důsledku tlumení se však po provedení čtyř úplných kmitů zmenšila na tři čtvrtiny své původní hodnoty, (a) Určete součinitel útlumu b. (b) Jak velká mechanická energie se „ztratila" během uvedených čtyř kmitů? 88Ú. (a) V rov. (16.39) vystupuje třecí síla -b(dx/dt) a síla pružnosti — kx. Vyjděte z údajů, uvedených v zadání př. 16.9, a určete v průběhu prvního úplného kmitu poměr nejvčtší hodnoty třecí síly k největší hodnotě síly pružnosti, (b) Dochází k citelné změně uvedeného poměru, jestliže jej vypočteme pro některý z následujících kmitů? 89TJ. Představte si, že provádíte zkoušku tlumičů u automobilu. Automobil má hmotnost 2 000 kg. Při současném zatížení tlumičů všech čtyř kol celkovou tíhou automobilu sc každý z nich zkrátí o 10 cm vzhledem ke své nezatížené délce. Jestliže vyvoláte kmitání karosérie, zmenší se po vykonání jednoho kmitu amplituda o 50 % své původní hodnoty. Odhadněte hodnoty konstant k a b pro tlumící soustavu jednoho kola. Přitom předpokládejte rovnoměrné rozložení tíhy automobilu na jednotlivá kola. ODST. 16.9 Nucené kmity a rezonance 90C. Amplituda nucených kmitů xm v rovnici (16.43) je určena vztahem ___Fm_ kde Fm je (konstantní) amplituda oscilující vnější síly, kterou působí pevný nosník na obr. 16.17 na pružinu. Jaká je (a) amplituda výchylky a (b) amplituda rychlosti v případě rezonance? 91Ú. Ve vozidle o hmotnosti 2 200 lb se nacházejí čtyři osoby, každá o hmotnosti 180 lb. Při jízdě po nerovné silnici překonává vozidlo přibližně rovnoměrně rozmístěné nerovnosti; vzdálenost sousedních nerovností je 13 ft. Vlivem nerovností dochází ke kmitání karosérie vozidla vzhledem k podvozku. Při rychlosti vozidla 10mi/h má houpání největší amplitudu. O kolik se zvedne karosérie auta, jestliže z něj po zastavení všechny osoby vystoupí? PRO POČÍTAČ 92Ú. Uvažme kmitající soustavu dvou vozíků spojených pružinou. Vozíky se pohybují bez tření na vodorovné koleji. Tuhost pružiny známe: k - 50,0 N-m . Použijte druhý Newtonův zákon a dokažte, že perioda kmitání je pro oba vozíky stejná. Závislost periody na hmotnosti vozíků je určena vztahem / m ii T = 2t. -—-. \ k(m\ + ni2) Detektorem polohy byly určeny závislosti poloh vozíků na čase. Lze je vyjádřit vztahy x\(ť) — 2,70(1 — cos(18.0/)) a x2(f) = 10,70 + l,29cos(18,0f), kde souřadnice jsou vyjádřeny v centimetrech a čas v sekundách, (a) Použijte zákon zachování hybnosti a nalezněte hmotnosti jednotlivých vozíků, (b) Vytvořte tabulku hodnot x\ a xi v závislosti na čase. Čas zvětšujte od t = 0 do t = 35 s s krokem 0,01 s. Pro každý časový okamžik tabelujte také polohu těžiště, celkovou hybnost soustavy dvou vozíků a sílu, kterou působí pružina na jednotlivé vozíky. Ověřte, že těžiště soustavy se nepohybuje, že celková hybnost sc zachovává a že obě síly, působící na jednotlivé vozíky, jsou stejně velké a opačně orientované, (c) Použijte údaje v tabulce a nalezněte klidovou (rovnovážnou) délku pružiny. 93Ú. Na těleso o hmotnosti 2,0 kg, připevněné na konec pružiny tuhosti 350 N-m-1, působí vnější budicí síla F = (15 N) sm(coť), kde co = 35 rad-s-1. Konstanta tlumení b má velikost 15 kg-s-1. V čase t = 0 je těleso v klidu a pružina má svou klidovou délku, (a) Použijte numerické integrace a nakreslete graf závislosti výchylky tělesa na čase během první sekundy pohybu. Použijte získaný průběh výchylky ke konci tohoto intervalu a odhadněte amplitudu, periodu a úhlovou frekvenci. Výpočet opakujte pro (b)w = Jk/m a (c) w = 20rad-s~'.