17 m Vlny — / V okruhu několika desítek centimetrů od tohoto písečného štíra se v písku pohybuje brouk. Má smůlu. Stír se k němu okamžitě natočí a uloví ho. Přitom, štír nemůže brouka vidět (loví zásadně v noci), ani slyšet. Jak tedy dokáže tak přesně lokalizovat svou kořisť? 17.3 VLNY PŘÍČNÉ A PODÉLNÉ 439 17.1 VLNY A ČASTICE Když se chcete domluvit se svým přítelem ve vzdáleném městě, můžete mu napsat dopis nebo zatelefonovat. První způsob komunikace (dopis) má povahu „částice": hmotný objekt se pohybuje z jednoho místa na druhé a přenáší přitom energii a informaci. Ve většině předchozích kapitol jsme studovali individuální částice nebo jejich soustavy. Druhý způsob (telefonem) má povahu „vlny"; tou se budeme zabývat v této a v příští kapitole. Také vlny přenášejí informaci a energii z místa na místo. Přitom však nepu-tují žádné hmotné objekty. Během telefonování předávají nejprve zvukové vlny vaši zprávu od hlasivek k mikrofonu. Dále přebírají štafetu elektromagnetické vlny a zpráva je jimi přenášena měděným vodičem, optickým vláknem nebo možná i atmosférou přes komunikační družici. Na druhém konci je zpráva opět transformována na zvukové vlny a putuje od sluchátka k uchu vašeho přítele. Zpráva je předána, avšak váš přítel neobdržel nic z toho, čeho jste se dotkli vy. Tuto vlastnost vln pochopil Leonardo da Vinci, když píše o vlnách na vodní hladině: „Často se stává, že vlna uniká z místa svého zrození, zatímco voda nikoliv; podobně jako větrem vytvořené vlny běží přes obilné pole, zatímco jednotlivé klasy zůstávají na místě." Částice a vlna jsou dva klíčové pojmy klasické fyziky. Tím říkáme, že se jeden nebo druhý z těchto pojmů uplatňuje téměř v každém odvětví klasické fyziky. Přitom jsou to pojmy zásadně odlišné. Slovo částice vyvolává představu materiálního objektu, soustředěného v malém objemu a schopného přenášet energii. Slovo vlna vzbuzuje představu právě opačnou. Vybavuje se nám široce rozložená energie, vyplňující celý prostor, kterým vlna putuje. Před námi je nyní kus práce, při které se dozvíme o vlnách více. Pojem částice přitom na chvíli odložíme stranou. šíří vakuem v kosmu. Všechny elektromagnetické vlny se ve vakuu šíří stejnou rychlostí c: c = 299 792458 m-s~ (rychlost světla). (17.1) 3. Vlny hmoty (de Broglieho vlny). I když se tyto vlny běžně vyskytují v moderních zařízeních, není tento druh vln příliš znám. Elektrony, protony, další elementární částice a dokonce atomy a molekuly sc projevují jako vlny. Protože běžně předpokládáme, že uvedené objekty jsou stavebními elementy hmoty, nazýváme tyto vlny vlnami hmoty nebo častěji de Broglieho. V této kapitole se výklad z velké části týká všech uvedených druhů vln. Nicméně konkrétní jevy budeme vysvětlovat na vlnách mechanických. 17.3 VLNY PŘÍČNÉ A PODÉLNÉ Nejjednodušší mechanická vlna je vlna vyslaná podél napnutého a na jednom konci upevněného provazu (obr. 17.1). Když na druhém konci rychle trhnete provazem jednou nahoru a dolů, začne se podél něj šířit vlna ve formě pulzu jako na obr. 17.1a. Pulz se může šířit jen díky tomu. že 7 Typická hmotná částice provazu sc při průchodu pulzu pohybuje jednou nahoru a dolů. (a) 17.2 DRUHY VLN Setkáváme se se třemi druhy vln: 1. Vlny mechanické. Tyto vlny jsou nej známější, protože se s nimi téměř neustále setkáváme. Běžné příklady jsou vlny na vodní hladině, zvukové vlny a seizmické vlny. Všechny mechanické vlny mají společné základní rysy: řídí se Newtonovými zákony a mohou existovat pouze v určitém látkovém prostředí (voda, vzduch, hornina). 2. Vlny elektromagnetické. Ty jsou již známé o něco méně, avšak používáme je prakticky neustále; běžné příklady jsou viditelné a ultrafialové světlo, rádiové a televizní vlny, rentgenové záření, radarové vlny. Pro svou existenci nevyžadují látkové prostředí. Například světlo hvězd sc k nám \" Typická hmotná částice provazu se při průchodu vlny pohybuje nepřetržitě střídavě nahoru a dolů. (b) Obr. 17.1 (a) Vyslání izolovaného pulzu podél nataženého provazu, (b) Vyslání spojité sinusové vlny podél provazu. Libovolná hmotná částice provazu (na obrázku znázorněná tečkou) kmitá ve směru kolmém ke směru šíření vlny. Vlna je tedy příčná (transverzální). 440 KAPITOLA 17 VLNY —I v provazu lze vyvolat napětí. Když totiž přesouváme rukou nahoru první úsek provazu, je díky napětí v provazu tažen nahoru také přilehlý úsek. A když se již začne nahoru pohybovat tento přilehlý úsek, je jím opět tažen nahoru také následující úsek atd. Mezitím však již naše ruka táhne konec provazu směrem dolů. A tak každý úsek, který se pohybuje nahoru, začíná být tažen dolů sousedními úseky, které se již pohybují směrem dolů. Celkový výsledek vzájemného působení jednotlivých úseků pak spočívá v pohybu změny tvaru provazu (v pohybu pulzu) podél provazu určitou rychlostí v. Když pohybujeme rukou harmonicky nahoru a dolů, je její pohyb popsán funkcí sinus, a vlna obvykle má (při nepříliš velkých výchylkách) také v libovolném okamžiku sinusový tvar, jako na obr. 17.1b. To znamená, že tvar vlny odpovídá křivce, představující funkci sinus nebo kosinus. V naší úvaze vystupuje „ideální" provaz (vlákno, struna), tj. neuvažujeme síly tření, které by šířící se vlnu nakonec utlumily. Navíc předpokládáme, že provaz je dostatečně dlouhý, a nemusíme se tedy zatím zabývat odrazem vlny na vzdáleném, upevněném konci provazu. Dosud jsme studovali vlny na obr. 17.1 tak, že jsme vlastně sledovali tvar vlny při jejím pohybu směrem doprava. Na druhé straně můžeme také sledovat pohyb pevně zvolené částice provazu, tj. sledovat její kmitání nahoru a dolů při průchodu vlny. Jak je vyznačeno na obr. 17.1, výchylka každé částice provazuje kolmá ke směru šíření vlny. Pohyb typické částice je příčný (transverzální), samotná vlna se nazývá vlna příčná (transverzální). Zde se zabýváme jen lineárně polarizovanou vlnou, jejíž výchylka má stálý směr (neorientovaný). Jiné druhy polarizace zavedeme až v čl. 34.6. Obr. 17.2 znázorňuje vznik zvukové vlny v dlouhé trubici, která je vyplněna vzduchem a na jednom konci uzavřena pístem. Jestliže rychle postrčíme píst doprava a pak hned doleva, vyšleme do trubice zvukový pulz. Pohyb pístu doprava vyvolá pohyb vzduchu těsně za pístem také směrem doprava. Těsně vpravo za pístem tak vzniká oblast vyššího tlaku vzduchu. Tato oblast vyvíjí tlak směrem doprava a stlačuje vzduch v sousedním objemovém elementu, umístěném směrem doprava podél osy trubice. Mezitím však již vznikl těsně za pístem podtlak, neboť jsme jej posunuli směrem doleva. Pohyb libovolné částice vzduchu směrem dopřávaje tak následován pohybem směrem doleva. Posunutí jednotlivých částic a současně změny tlaku tak putují jako pulz směrem doprava podél osy trubice. Jestliže nyní pohybujeme pístem střídavě doprava a doleva, uskutečňuje píst harmonický pohyb a podél osy trubice se šíří sinusová vlna. Jak je naznačeno na obr. 17.2, typická částice se w _ pohybuje / a dozadu dopředu V -> I Wzduch Jí Obr. 17.2 Pohybem pístu dopředu a dozadu vyšleme do trubice naplněné vzduchem zvukovou vlnu. Částice vzduchu (na obrázku je znázorněna černou tečkou) přitom kmitá rovnoběžně se směrem postupu vlny. Vlna je tedy podélná {longitudináhú). typická částice vzduchu se přitom pohybuje ve směru rovnoběžném s osou trubice, a tedy také se směrem šíření vlny. Tento pohyb označujeme jako podélný (longitudi-nální), samotnou vlnu nazýváme vlnou podélnou (longitu-dinální). V této kapitole se zaměříme na příčné vlny a speciálně na vlny, vznikající ve strunách. V kap. 18 se budeme věnovat vlnám podélným a speciálně vlnám zvukovým. Zatím jsme probírali vlny postupné; ty postupují z jednoho místa na druhé. Tak například vlna na obr. 17.1 postupuje od jednoho konce provazu směrem k druhému konci, vlna na obr. 17.2 postupuje od jednoho konce trubice směrem k druhému konci. Všimněme si, že postupuje skutečně pouze vlna a nikoliv látka (to jest částice provazu nebo částice vzduchu), kterou se vlna šíří. Štír na úvodní fotografii této kapitoly využívá k zaměření své kořisti jak příčné, tak podélné vlny. Brouk totiž při každém svém pohybu nepatrně pohybuje zrnky písku a vysílá tak podél povrchu písku pulzy (obr. 17.3). Jsou to jednak pulzy podélné, šířící se rychlostí v\ = 150 m-s-1, jednak pulzy příčné, postupující rychlostí vt = 50 m-s-1. í ř příčné n \ 1I Pulzľ I i brouk h Obr. 17.3 Pohybem brouka jsou vyvolány podél povrchu písku rychlé podélné pulzy a pomalejší pulzy příčné. Štír tedy nejprve zachytí pulzy podélné. Na obrázku je znázorněno, jak jsou tyto podélné pulzy nejdříve zachyceny pravou nejzadnější (čtvrtou) končetinou. 17.4 POSTUPNÉ VLNY 441 Osm končetin šlíra je při lovu rozloženo zhruba na kružnici o průměru 5 cm. Štír tedy přijímá svými končetinami nejprve rychleji postupující podélné pulzy. Azimut kořisti je určen končetinou, která zachytila pulzy jako první. Poté štír vyhodnotí časový interval Ar mezi zachycením prvního podélného pulzu a prvního pomalejšího, příčného pulzu. Označíme-li vzdálenost kořisti d, platí d d At =---, t;t v\ a to tedy znamená d = (75m-s_1)Aí. Jestliže vezmeme například Ar = 4,0 ms, vychází d -= 30 cm. Tím je kořist perfektně zaměřena a zbytek je již pro štíra rutinní záležitost. 17.4 POSTUPNÉ VLNY K úplnému popisu vlny ve struně (tj. k popisu pohybu její libovolné částice) potřebujeme znát funkci, která určuje tvar vlny. Formálněji řečeno, potřebujeme znát funkční závislost y = y(x, f). Ta určuje příčnou výchylku určité částice struny jako funkci času t a polohy x této částice podél struny. Pro vlny sinusového tvaru (nazývané též harmonické), jako jsou vlny na obr. 17.1b, je výchylka y dána funkcí sinus (nebo kosinus). Má-li sinusová vlna na obr. 17.1b postupovat stálou rychlostí ve směru osy x, musí být příčná výchylka y částice struny o souřadnici x v čase t určena vztahem y(x, t) = ym sm(kx - cot). (17.2) Zde ym je amplituda vlny; index m znamená maximum. Amplituda vlny udává velikost maximální výchylky libovolné částice struny. (Amplituda ym je tedy vždy kladná veličina.) Veličiny tam jsou konstanty; jejich význam se právě chystáme diskutovat. Veličina kx — cot se nazývá fáze vlny. Patrně si kladete otázku, proč jsme si k podrobnějšímu studiu vybrali právě vlny sinusové, tj. vlny popsané rov. (17.2), když přece existuje nekonečně mnoho vln různých jiných tvarů. Náš výběr je ale moudrý. Jak uvidíme v čl. 17.8, všechny jiné tvary vln — počítaje v to i pulz na obr. 17.1a — lze vytvořit sčítáním sinusových vln. Stačí, když u jednotlivých sčítanců pečlivě vybereme amplitudy a konstanty k. Klíčem k pochopení vln obecného tvaru je tedy studium vln sinusových. y A, (a) y --T--v ■ŕ * (b) Obr. 17.4 (a) Snímek struny, zaznamenaný v okamžiku t = = 0. Na struně postupuje sinusová vlna určená rov. (17.2). Na obrázku je vyznačena vlnová délka: je to podélná vzdálenost mezi dvěma nejblížc po sobě následujícími částicemi struny (jsou vyznačeny tečkami), v nichž se situace opakuje (stejná příčná výchylka ve stejné části křivky). Na obrázku je vyznačena laké amplituda vlny ym, tj. největší příčná výchylka jednotlivých částic, (b) Závislost výchylky částice se souřadnicí .v = 0 na čase při průběhu sinusové vlny tímto místem. Na obrázku je vyznačena typická perioda T: je to doba mezi nejdříve po sobě následujícími okamžiky, ve kterých je stav částice shodný. Tyto časové okamžiky odpovídají dvěma tečkám na obrázku. Funkce v rov. (17.2) má dvě nezávisle proměnné (souřadnici x a čas 1). Úplné znázornění funkční hodnoty y jedinou křivkou v dvojrozměrném obrázku tedy není možné. Ke zviditelnění pohybu celé vlny v reálném čase bychom potřebovali videokameru. Nicméně hodně se můžeme dozvědět i studiem dvojice křivek na obr. 17.4. Vlnová délka a úhlový vlnočet Na obr. 17.4a vidíme změnu příčné výchylky v jednom daném okamžiku v závislosti na poloze částice x. Výchylka je určena rov. (17.2). Uvedený okamžik jsme zvolili libovolně, ale pevně; můžeme jej označit / = 0. Jinak řečeno, uvedená křivka představuje „snímek" vlny v tomto okamžiku. Jestliže tedy v rov. (17.2) položíme t = 0, dostaneme y(x. 0) = yrn sin kx (í = 0). (17.3) Křivka na obr. 17.4a představuje právě tuto funkci; ukazuje tedy okamžitý tvar vlny v čase t = 0. Vlnová délka A vlny je nejmenší vzdálenost (měřená ve směru šíření vlny), na které dochází k opakování tvaru vlny. Typická vlnová délka je vyznačena na obr. 17.4a. Podle uvedené definice je příčná výchylka stejná na obou koncích 442 KAPITOI .A 17 VLNY — I intervalu délky Á, tedy v místech x = x\ a x = X\ + /.. V čase l = 0 je ovšem výchylka v libovolném místě určena rov. (17.3). Dostáváme tedy ym sin(fcci) = _vm siní&Ui + Ä)) = = ymsiľí(kxi+kk). (17.4) Funkce sinus se začíná opakovat, jestliže zvětšíme její argument (úhel) o 2Ttrad; pro nejkratší vzdálenost Ä vyhovující rov. (17.4) tedy platí k k = 2%, tj. 2n k = — (úhlový vlnočet). (17.5) Ä Konstantu k nazýváme úhlovým vlnočtem dané vlny; její jednotkou v soustavě SI je radián na metr. (Zdůrazněme, že symbol k zde nemá význam tuhosti pružiny, jak tomu bylo v předchozích kapitolách.) Perioda, úhlová frekvence a frekvence Na obr. 17.4b vidíme časovou závislost výchylky v částice se souřadnicí x. Závislost je vyčíslena podle rov. (17.2) pro polohu x = 0. Kdybychom mohli nafilmovat pohyb struny, viděli bychom, jak se uvedená částice pohybuje nahoru a dolů. Přesněji: částice uskutečňuje harmonický pohyb. Pohyb částice je tedy popsán rov. (17.2), v níž položíme x = 0: y(0. f) = >'m SÍn(—(tít) = = — ymsmcot (x = 0). (17.6) Zde jsme použili vztahu sin(—a) — — siná, platného pro libovolný úhel a. Obr. 17.4b demonstruje právě uvedenou časovou závislost; není tedy zobrazením tvaru vlny. Periodu kmitů vlny definujeme jako dobu mezi nejdříve po sobě následujícími okamžiky, ve kterých je stav (tj. výchylka i rychlost) určité částice struny stejný (poloha částice x je přitom libovolná, ale pevná). Typická perioda je vyznačena na obr. 17.4b. Když použijeme rov. (17.6) na oba časové okamžiky, ohraničující uvedený interval, musí se oba výsledky shodovat. Tak dostáváme —ymsin'msin(wf| +o)T). (17.7) Pro nejkratší dobu T vyhovující této rovnici tedy platí coT — 2tc, tj. 2r. a) =— (úhlová frekvence). (17.8) Veličina cd se nazývá úhlová frekvence (úhlový kmitočet) dané vlny; její jednotka v soustavě SI je radián za sekundu. Frekvence vlny / je definována jako 1 / T a s úhlovou frekvencí a> souvisí vztahem 1 co f = - = — (frekvence). (17.9) T 2iz Podobně jako frekvence harmonického pohybu v kap. 16 představuje frekvence / počet kmitů za jednotku času. V nynější souvislosti kmitá částice struny při průchodu vlny místem, ve kterém je částice umístěna. Stejně jako v kap. 16 vyjadřujeme frekvenci obvykle v hertzích nebo v jejich násobcích. J^QNTROLA 1: Na obrázku jsou uvedeny snímky tří vln, postupujících podél struny. Fáze těchto vln jsou určeny vztahy (a) 2x - 4t, (b) 4x - 8/ a (c) 8x - 16ř. Přiřaďte uvedené fáze jednotlivým vlnám na obrázku. y r2 , 3 -X 17.5 RYCHLOST POSTUPNÉ VLNY Na obr. 17.5 vidíme dva snímky vlny určené rov. (17.2). Snímky byly vytvořeny v malém časovém odstupu Ar. Vlna postupuje ve směru osy x (na obr. 17.5 směrem doprava). Celá křivka, znázorňující tvar vlny, se tedy posune v uvedeném směru za dobu Aŕ o vzdálenost Ax. Zlomek Ax/At představuje rychlost vlny (v limitě infinitezimálních přírůstků přechází zlomek na derivaci dx/dt). Jak můžeme tuto rychlost určit? v Obr. 17.5 Dva snímky postupné vlny popsané v rov. (17.2). První snímek zachycuje vlnu v čase t = 0, druhý v pozdějším čase ť = Ar. Během časového intervalu Ař se celá křivka posunula o vzdálenost Ax doprava. Při postupu vlny na obr. 17.5 si zachovává každý bod na křivce (jako například bod A) svou výchylku y. (Zde 17.5 RYCHLOST POSTUPNÚ VLNY 443 nehovoříme o částicích vlákna, jejichž výchylka se nepochybně mění s časem, ale o bodech na křivce, mající tvar vlny.) Pro každý takový bod musí být argument funkce sinus v rov. (17.2) konstantní: kx — cot = konst. (17.10) Všimněte si, že ačkoliv je tento argument (zvaný fáze) konstantní, veličiny x a r se mění. Vzrůstá-li čas t, musí vzrůstat i poloha x tak, aby se fáze neměnila. Tím máme potvrzeno, že se bod A a obecněji i celá vlna pohybují ve směru osy x. K určení rychlosti vlny t; zderivujeme podle času obě strany rov. (17.10). Tak získáme áx k--co = 0 dt (17.11) neboli dx co dt ~V ~~ k' Když nyní použijeme rov. (17.5) (tj. vztah k = 2tí/X) a rov. (17.8) (tj. vztah co = 2tí/T), můžeme rychlost vlny vyjádřit jako X Xf (rychlost vlny). (17.12) Rovnice v = X/T nám říká, že rychlost vlny vyjadřuje posuv o jednu vlnovou délku za periodu: za dobu jedné periody postoupí vlna o jednu vlnovou délku. Rov. (17.2) popisuje vlnu, která postupuje ve směru osy x. Jestliže nahradíme v rov. (17.2) proměnnou t výrazem —t, získáme rovnici vlny, která postupuje opačným směrem. To odpovídá podmínce kx + cot = konst.. (17.13) kdy naopak (srovnejte s rov. (17.10)) klesá x s rostoucím t. Vlna, která postupuje proti směru osy x, je tedy popsána rovnicí v(x, t) = >'m sin(£x + cot). (17.14) Kdybychom studovali vlnu určenou rov. (17.14) naprosto stejným postupem, jaký jsme před chvílí použili pro vlnu podle rov. (17.2), dostali bychom pro její rychlost dx co T (17.15) Záporné znaménko (v porovnání se znaménkem plus v rov. (17.11)) zde ukazuje, že vlna nyní skutečně postupuje proti směru osy x. Tímjsme zpětně ověřili správnost změny znamení u časové proměnné. Uvažme nyní vlnu obecného tvaru postupující ve směru osy x stálou rychlostí t;. (Vlnu postupujícíprof; směru osy x lze vyjádřit záměnou v —>■ —v.) Takovou vlnu můžeme vždy popsat rovnicí y(x, t) = h{x - vt), (17.16) kde h je libovolná funkce. Jednou z možností je právě funkce sinus, jako v rov. (17.2) zapsané ve tvaru y(x, I) — = ym sin (k(x — ft)). Z rov. (17.16) je vidět (a dokázali bychom to jako výše), že vlna se beze změny tvaru pohybuje stálou rychlostí v podél osy x (pro v > 0). A také obráceně, rovnici libovolné postupné vlny s konstantní rychlostí v lze zapsat ve tvaru (17.6). Tak například rovnice y(x, ť) = -J a x + bt popisuje možnou (ačkoliv fyzikálně snad poněkud bizarní) postupnou vlnu. Na druhé straně vztah y(x, t) - sin(ax) cos(/?r) není rovnicí postupné vlny. PŘIKLAD 17.1 Uvažme sinusovou vlnu popsanou rovnicí y = 0,003 27sin(72,l,Y -2,72ř), (17.17) což je stručný zápis, běžně užívaný namísto přesnějšího, ale méně přehledného zápisu y(x. t) = (0,003 27 m) sin(72,1 rad-m-1* - 2,72 rad-s-1/)- (a) Jakou má vlna amplitudu? ŘEŠENI: Při srovnání dané rovnice s rov. (17.2) vidíme, že ym = 0.003 27 m = 3,27 mm. (Odpověd) (b) Jakou má vlnovou délku, periodu a frekvenci? ŘEŠENÍ: Vyjdeme z rov. (17.17), ve které jsou zadány hodnoty úhlového vlnočlu a úhlové frekvence. Dále použijeme rov. (17.5): 2ti 2ti rad "~ T ~ (72,lrad-m-1) = 8,71 cm. Periodu dostaneme z rov. (17.9): (Odpověď) 2ti 2ti rad ~ a> ~ (2,72 rad-s-1) = 2,31 s. (Odpověd) Frekvence je podle rov. (17.9) ^ _ 1 (2,31 s) (c) Jak rychle tato vlna postupuje? = 0,433 Hz. (Odpověď) 444 KAPITOLA 17 VLNY —I ŘEŠENÍ: Použijeme rov. (17.12). podle které (2,721-ad-s-1) co 1' ~ ~k ~ (72.1rad-m-') = 3.77 cms -i 0,037 7 ni-s-1 = (Odpověď) (d) Jaká je příčná výchylka v na souřadnici x = 22,5 cm v čase t = 18,9 s? ŘEŠENÍ: Po dosazení za k, x, m a t do rov. (17.17) vyjde argument funkce sinus —35.185 5 rad. Dále probíhá vyčíslení výchylky takto: v = (0,00327m)sin(-35,1855rad) = = (0.003 27 m)(0,588) = = 0.001 92 m = 1,92 mm. (Odpověď) Příčná výchylka jc tedy kladná. (Před vyčíslením funkce sinus se přesvědčte, že kalkulačku máte nastavenu do modu obloukové míry.) PŘIKLAD 17.2 V př. 17.Id jsme studovali vlnu určenou rov. (17.17). Vypo-čctli jsme příčnou výchylku v částice struny o souřadnici x = 0.225 m v čase ř = 18,9 s. Velikost výchylky vyšla 1.92 mm. (a) Jaká je příčná rychlost u téže částice struny v tomtéž čase a pro tutéž vlnu? (Příčná rychlost jc spojena s příčným kmitáním uvedené částice, má tedy stejný směr jako výchylka, tj. směr osy y. Nezaměňujme ji s konstantní rychlostí vlny t>, se kterou postupuje tvar vlny ve směru osy v.) ŘEŠENÍ: Naše vlna jc určena rov. (17.17). Je tedy jednou z vln obecně popsaných rov. (17.2): y(x, t) = ym sin(kx — mt). (17.18) V této rovnici budeme držet proměnnou x konstantní a budeme sledovat změny výchylky v čase. Pro tuto chvíli je tedy jedinou proměnnou čas t. Vypočteme derivaci výchylky podle času. Výsledek má tvar* 3 v 3í —ú>ym cosfkx — wt). (17.19) Nyní stačí dosadit číselné hodnoty z př. 17.1: ii = (-2,72raďs_l)(3,27mm)cos(-35.1855rad) = = 7,20mm-s-'. (Odpověd) V čase / = 18,9 s se tedy částice struny o souřadnici x = = 22,5 cm pohybuje ve směni osy v rychlostí 7,20 min-s . (b) Jaké je příčné zrychlení částice struny o uvedené souřadnici x a v uvedeném čase r? * Jestliže derivujeme funkci více proměnných podle jedné z nich a ostatní proměnné pokládáme za konstantní, používáme termínu parciální derivace. Parciální derivaci označujeme symbolem d/St. ŘEŠENÍ: Tentokrát vyjdeme z rov. (17.19) a budeme (v tomto výpočtu) opět pokládat x za konstantu a t za proměnnou. Parciální derivací podle času dostaneme ay du 07 -a> ym sin(Lic — wt). Avšak po srovnání s rov. (17.18) vidíme, že výsledek můžeme zapsat také takto: Uy = —oj y. Příčné zrychlení kmitající částice struny je tedy úměrné její příčné výchylce, má však opačné znamení. Jinými slovy, uvažovaná částice struny vykonává harmonický pohyb v příčném směru. Po dosazení číselných hodnot dostaneme a, = -(2,72rad-s~')2(1.92mm) — —14.2 mm-s-2. (Odpověd) V čase t = 18,9 s je tedy částice struny o souřadnici x = = 22,5 cm vysunuta z rovnovážné polohy y = 0 ve směru osy y o 1,92 mm a má zrychlení o velikosti 14,2 mm-s-' ve směru opačném k ose y. J^ONTROLA 2: Uvažte tři vlny, popsané rovnicemi (1) y(x, ř) = 2 sin(4,Y - 2f), (2) y{x, t) = sin(3x -4í) a (3) y(x, t) =2 sin(3,\ — 31). Uspořádejte tyto vlny ve vzeslupnčm smyslu (a) podle rychlosti vlny, (b) podle největší příčné rychlosti kmitajících částic. RADYA NAMET Y Bod 17.1: Vyčíslení velkých fází Za určitých okolností, jako třeba v př. 17.Id a 17.2, stojíme před úkolem vyčíslit funkci sinus nebo kosinus pro argument, který je mnohem větší než 2t.rad (mnohem větší než 360°). Když k argumentu přidáme nebo od něj odečteme celočíselný násobek 2n rad. nezmění se funkční hodnota goniometrických funkcí. Tak třeba v př. 17. Id vystupuje úhel —35.185 5 rad. Když k tomuto úhlu přičteme (6)(2itrad), dostaneme -35,185 5 rad + (6) (2-rad) = 2,51361 rad. Tento úhel jc již menší než 2ixrad, přitom je pro něj hodnota goniometrických funkcí stejná jako pro původní úhel -35.1855rad (obr. 17.6). Například sinus úhlu 2.51361 rad i sinus úhlu —35.185 5 rad mají stejnou hodnotu 0.588. Kapesní kalkulátor provádí popsanou redukci velkých úhlů zcela automaticky. Ale pozor: před vyčíslením goniometrických funkcí velké argumenty nezaokrouhlujte. Když totiž počítáte sinus velkého úhlu, velkou část argumentu (příslušnou celočíselnému násobku 2r.rad) odhodíte a pak počítáte sinus toho, co zb\'vá. Například kdybyste zaokrouhlili 17.6 RYCHLOST VLNY NA STRUNĚ 445 —35.185 5 rad na —35 rad (to je při normálním zaokrouhlování rozumné, vzniklá změna představuje 0,5 % z původní 17.6 RYCHLOST VLNY NA STRUNĚ Rov. (17.12) udává souvislost rychlosti vlny s vlnovou délkou a s frekvencí. Z fyzikálního hlediska je však rychlost vlny určena vlastnostmi látky; ve které se vlna šíří. Má-li se totiž vlna šířit ve vodě, ve vzduchu, v oceli nebo na napnuté struně, musí se při jejím postupu částice daného prostředí rozkmitat. K tomu musí prostředí vykazovat jak setrvačnost (aby mohlo být nositelem kinetické energie), tak pružnost (aby na sebe mohlo vázat energii potenciální). Tyto dvě vlastnosti nakonec určují, jak rychle bude vlna danou látkou postupovat. Jinými slovy, rychlost vlny by mělo být možné vypočítat na základě znalosti vlastností prostředí, kterým se vlna šíří. Tento výpočet nyní provedeme pro napnutou strunu. Budeme přitom postupoval dvěma způsoby. Rozměrová analýza Při rozměrové analýze pečlivě zkoumáme rozměry fyzikálních veličin, které se mohou v dané situaci uplatnit (resp. jejich jednotky). V našem případě hledáme rychlost vlny v. Její fyzikální rozměr je tvořen podílem fyzikálních rozměrů délky a času, jednotkou je tedy m-s-1. Setrvačná tendence určitého úseku napnuté struny je určena hmotností tohoto úseku. Rozhodujícím parametrem je zde podíl hmotnosti struny m a její délky /. Tento podíl nazýváme délkovou hustotou struny a označíme jej fi. Máme tedy /x = m j l a fyzikální rozměr této veličiny je podíl fyzikálních rozměrů hmotnosti a délky, tedy jednotkou je kg-m-1. Má-li se na struně šířit vlna, nestačí strunu pouze napřímit. Musíme ji navíc napnout, tj. vytvořit v ní napětí. Napětí vytváří sílu působící proti příčné výchylce jednotlivých úseků struny. Fyzikální veličinou, která představuje pružný aspekt při kmitání jednotlivých úseků struny, je tedy síla napínající strunu a její jednotkou je kg-m-s-2 (vzpomeňte na F — má). Naším úkolem je nyní zkombinovat n (jednotka kg-m ') a t (jednotka kg-ffi-s ) takovým způsobem, abychom získali v (jednotka m-s-1). Když trochu probereme možné kombinace, dospějeme nakonec k výrazu v = C 1^, (17.20) V I1 ve kterém je C bezrozmčrová konstanta. Právě zde je slabé místo rozměrové analýzy: v jejím rámci zůstává konkrétní hodnota takovéto bezrozměrové konstanty neurčena. V průběhu druhého odvození vztahu pro rychlost vlny uvidíme, že rov. (17.20) je skutečně správná; navíc získáme C — 1. Odvození z druhého Newtonova zákona Místo sinusové vlny na obr. 17.1b se nyní zaměříme na jeden symetrický pulz, znázorněný na obr. 17.7. Pro větší pohodlí zvolíme vztažnou soustavu, ve které se tento pulz nepohybuje. Jinak řečeno, poběžíme společnč s pulzem, a tak jej budeme mít stále před očima. V naší soustavě budeme vidět strunu ubíhající do/.adu, přesněji na obr. 17.7 zprava doleva, rychlostí v. Obr. 17.7 Symetrický pulz pozorujeme ve vztažné soustavě, která se pohybuje společně s pulzem. V této soustavě pulz stojí a struna se pohybuje zprava doleva rychlostí v. Při výpočtu vlnové rychlosti v vyjdeme z druhého Newtonova zákona. Příslušnou pohybovou rovnici aplikujeme na elementární úsek struny délky AI. který se právě nachází na temeni pulzu. Uvažme malý úsek struny délky AI. V okamžiku zachyceném na obr. 17.7 vytváří tento úsek kruhový oblouk na kružnici o poloměru R. Na obou koncích úseku působí síla ve směru tečny ke křivce pulzu. Velikosti obou sil jsou rovny velikosti t napětí ve struně. Jejich vodorovné složky se ruší, avšak svislé složky se sčítají. Celkově tak na daný hodnoty), změnili bychom sinus původního úhlu o 27%. Stejně tak, když převádíte velký úhel ze stupňů na radiány, použijte přesný převodní faktor (tj. například 180 = r;rad). Vyhněte se přiblížení typu 57,3" = 1 rad. y y x -35,1855rad +2.5 13.61 rad Obr. 17.6 Tylo dva úhly jsou různé, ale jejich goniometrické funkce se shodují. 446 KAPITOLA 17 VLNY —I úsek působí vratná síla F o velikosti F = 2x smO % r(29) = r Al /T (sila). (17.21) Použili jsme zde aproximaci sin ť? ^ 9, platnou pro malý úhel 9 na obr. 17.7. Z obrázku také vidíme, že platí 29 — = A//Ä. Hmotnost uvažovaného úseku činí Am = /x Al (hmotnost). (17.22) V okamžiku, který je zachycen na obr. 17.7, se úsek AI. pohybuje rychlostí v po obvodu kružnice o poloměru R. Musí mu tedy být udíleno dostředivé zrychlení. Směr zrychlení souhlasí se směrem vratné síly F, jeho velikost činí a — — (zrychlení). R (17.23) Rov. (17.21), (17.22) a (17.23) popisují veličiny, které jsou vázány druhým Newtonovým zákonem síla = (hmotnost) • (zrychlení). Po dosazení tak získáváme rovnici AI (v2 Jejím řešením pro neznámou rychlost vlny v nakonec dostaneme i,1 = — (rychlost vlny na struně), (17.24) V M což přesně souhlasí s rov. (17.20), pokud je konstanta C v rov. (17.20) rovna jedné. Rov. (17.24) tedy určuje rychlost pulzu na obr. 17.7, a tím ovšem i rychlost jakékoliv jiné postupné vlny na stejné struně (stejné (i), podrobené stejnému napětí (stejné z). V případě sinusových vln nám rov. (17.24) říká, že rychlost vlny na ideální napnuté struně závisí pouze na parametrech struny, nikoliv na frekvenci vlny. Frekvence vlny je určena výhradně způsobem, kterým vlnu vybudíme (například osobou na obr. 17.1 b). Jak vyplývá z rov. (17.12), rychlostí vlny a frekvencí je již pevně nastavena vlnová délka: A = v/f. J^ONTROLA 3: Na obrázku jsou znázorněna dvě uspořádání, ve kterých je napětí na stejné struně vytvořeno tíhou závaží o hmotnosti 5 kg. V kterém případě bude rychlost vlny, postupující ve struně, větší? (a) (b) PŘIKLAD 17.3 Na obr. 17.8 se poraněný horolezec zavěsil na vyprošťovací lano, spuštěné jeho zachráncem. Lano mezi horolezcem a zachráncem jc složeno ze dvou úseků: v prvním úseku délky /1 má lano délkovou hustotu fi\, v druhém úseku délky h = 2l\ hustotu /i2 = 4/*i. V určitém okamžiku škubnul horolezec za spodní konec lana (chtěl vyslat signál „připraven"). V tomtéž okamžiku škubnul za horní konec lana zachránce. Obr. 17.8 Příklad 17.3. Poraněný horolezec visí na laně, které se skládá ze dvou úseků. Horní konce lana pevně drží jeho zachránce. (a) Vyjádřete rychlost i>\ vzniklých pulzu v úseku 1 pomocí jejich rychlosti i>2 v úseku 2. ŘEŠENI: Předně budeme předpokládat, že součet hmotností obou úseků lana je zanedbatelný v porovnání s hmotností horolezce. Napětí v laně je tedy určeno pouze tíhou horolezce aje shodné v obou úsecích lana. Podle rov. (17.24) jsou vlnové rychlosti v jednotlivých úsecích lana určeny vztahy Vi= — V Mi VM2 (17.25) První výraz dělíme druhým a dosadíme /i? = 4/x i. Takto 17.7 ENERGIE A VÝKON VLNY 447 získáme neboli V Ml V t '■'I V M i V M i (Odpověď) (17.26) (b) V jaké vzdálenosti od zachránce se oba pulzy setkají? Vyjádřete hledanou vzdálenost pomocí délky lj. ŘEŠENÍ: Pro zjednodušení dalšího výpočtu nejprve rozhodneme, zda místo setkání pulzú leží nad uzlem nebo pod ním. Označme / dobu od vyslání obou pulzú k jejich setkání. Z rov. (17.26) již víme, že pulz horolezce postupuje prvním úsekem lana rychlostí dvakrát větší, než je rychlost pulzu zachránce při postupu druhým úsekem. Protože platí I2 = 2l\, víme také, že pulz horolezce musí proběhnout k uzlu dvakrát menší dráhu, než pulz zachránce. Celkově tedy pulz horolezce dospěje k uzlu jako první a místo setkání obou pulzů leží nutně nad uzlem. Označme symbolem d vzdálenost místa setkání obou pulzů od zachránce. K tomuto místu běží oba pulzy po dobu t. Pulz zachránce tedy postupuje dolů k místu setkání rychlostí t'2 po dobu t a proběhne vzdálenost cl. Platí t = —. (17.27) Pulz horolezce proběhne nahoru nejprve vzdálenost l-\ rychlostí ľ| a potom ještě vzdálenost h — d rychlostí V2. Celková doba jeho pohybu k místu setkání je také t. Máme tedy h h ~ d t = — +--. V] 1'2 (17.28) Do této rovnice nyní dosadíme dobu t. vypočtenou v rovnici (17.27): d l\ I2 — d V2 l-'i 1'2 Dále položíme l\ = h/2 a lj = 2u2: d vi h/2 h - , 2l<2 1)2 Po vynásobení obou stran poslední rovnice rychlostí v2 ji nakonec snadno vyřešíme vzhledem k hledané vzdálenosti d. Výsledek je d = 5/2. (Odpověď) 17.7 ENERGIE A VÝKON VLNY K tomu, aby se na napnuté struně vytvořila vlna, je nutno struně dodat určitou energii, spojenou s pohybem struny. Při pohybu odnáší vlna tuto energii dále. Přenáší přitom jak energii kinetickou, tak potenciální energii pružnosti. Zaměříme se odděleně na každou z těchto dvou forem energie. Kinetická energie Obecný elementární úsek struny má hmotnost dm a při postupu vlny vykonává harmonický pohyb v příčném směru. Má tedy kinetickou energii, spojenou se svou příčnou rychlostí u. Když tento úsek právě probíhá polohou v = 0 (obr. 17.9), je jeho příčná rychlost — a tedy i jeho kinetická energie — největší. Když se právě nachází v bodech obratu v = ±ym, je jeho příčná rychlost — a tedy i jeho kinetická energie — nulová. d.v dx Obr. 17.9 Snímek zachycuje postupnou vlnu na struně v čase T = 0. Elementární úsek struny a má v tomto okamžiku výchylku v = vm, zatímco úsek b má výchylku y = 0. Kinetická energie jednotlivých úseků závisí na jejich příčné rychlosti. Potenciální energie úseků závisí na velikosti jejich protažení, nutného k deformaci strunv do tvaru vlny. Potenciální energie pružnosti K tomu, abychom mohli na struně vybudit vlnu, je nutno strunu nejen napřímit, ale poté také napnout. Když potom úsek napnuté struny délky dx začne kmitat v příčném směru, je to nutně spojeno s periodickými změnami jeho délky. Střídavá prodloužení a zkrácení daného úseku jsou nutná k tomu, aby se struna zformovala do sinusoidy. Podobně jako u pružiny je právě s těmito délkovými změnami spojena potenciální energie pružnosti. Uvažme úsek struny, který se právě nachází v okrajové poloze y = ym (obr. 17.9, úsek a). Jeho okamžitá délka je rovna původní délce, jakou měl u napnuté a nekmitající struny. Jeho potenciální energie je tedy nulová. Naopak, úsek b právě probíhá polohou y = 0 a jeho okamžitá délka je největší. Proto má také největší potenciální energii. V poloze y = 0 má tedy kmitající úsek největší jak kinetickou, tak potenciální energii. Na obr. 17.9 je uveden snímek struny: oblasti struny s největší výchylkou mají nulovou energii, oblasti s nulovou výchylkou mají energii největší. Postupující vlna přenáší energii z těch úseků struny, kde je jí nadbytek, do oblastí bez energie. 448 KAPITOLA 17 VLNY — I Přenášený výkon Kinetická energie dEk, spojená s úsekem struny hmotnosti dm, je určena vztahem d£k i dm u2. (17.29) kde u je příčná rychlost při kmitání uvažovaného úseku. V rov. (17.19) jsme tuto rychlost vyjádřili ve tvaru dy ô t -coym cos(£x — cot). (17.30) Tento výsledek použijeme nyní v rov. (17.29) a současně dosadíme dm = /idx: dEk = \Qi čLx)(-coym)2 cos2(kx - cot). (17.31) Průměrnou kinetickou energii připadající na jednotkovou délku struny vypočteme integrací: í d£k. Jo Dosazením (17.31) do (17.32) dostaneme Ek = \fívco2ym. (17.32) (17.33) Podél struny ovšem postupuje také potenciální energie pružnosti. Při jejím přenosu má průměrná potenciální energie stejnou velikost jako energie kinetická, tedy velikost určenou v rov. (17.33). Důkaz tohoto tvrzení zde neuvádíme. Avšak měli bychom si vybavit obdobnou situaci u kmitajících systémů, jako je například kyvadlo nebo závaží zavěšené na pružině. U nich jsme skutečně dokázali, že (časově) střední kinetická energie a střední potenciální energie pružnosti jsou si rovny. Střední výkon přenášený vlnou je roven energii přenesené strunou za jednotku času (je to součet kinetické a potenciální energie připadající na takovou délku struny, která je číselně rovna rychlosti vlny v): P = (Ěí + Ěp)v = 2Ě~kv. (17.34) Použijeme-li výsledku v rov. (17.33), dostaneme (střední výkon). (17.35) V tomto výsledném vztahu jsou konstanty fx a v určeny látkou, ze které je struna vyrobena, a napětím, které jsme v ní vyvolali. Veličiny co a ym jsou naopak určeny procesem, kterým jsme dané vlnění vybudili. Závislost středního výkonu vlny na čtverci její amplitudy a také na čtverci její úhlové frekvence představuje obecný závěr, platný pro všechny druhy vln. PŘIKLAD 17.4 Struna má délkovou hustotu // = 525 g-m-1 a je v ní vyvoláno napětí t = 45 N. Na struně postupuje vlna, jejíž frekvence / a amplituda ym mají postupně hodnoty 120 Hz a 8,5 mm. Jaký jc výkon přenášený vlnou? ŘEŠENÍ: Chceme-li pro nalezení P použít rov. (17.35), musíme nejprve získat úhlovou frekvenci co a rychlost vlny v. Z rov. (17.9) dostaneme (1) = 2n f - 2-(120Hz) = 754 rad-s"1. V dalším kroku získáme z rov. (17.24) ; r V V- V (45 N) (0.525 kg-m-') = 9.26 m-s" Nyní již rov. (17.35) dává = i(0,525kg-m_1)(9!26m-s"1) ■ (754rad-s-')2(0,008 5m)2 = = 100W. (Odpověd) 17.8 PRINCIP SUPERPOZICE Často postupují určitou oblastí prostoru současně dvě nebo více vln. Když například posloucháme koncert, dopadají na naše ušní bubínky současně zvuky mnoha nástrojů. V anténě rádia nebo v televizní anténě je pohyb elektronů výsledkem působení celé řady signálů různých vysílačů. Na jezeře nebo v kotvišti je voda rozčeřena vlnami, běžícími od mnoha člunů. Předpokládejme, žc v téže struně postupují současně dvě vlny. Označme y\(x, t) (resp. y'2(x, t)) výchylky částic struny, jestliže v ní postupuje jen první (resp. jen druhá) vlna. Při současném šíření obou vln jsou výchylky částic určeny vztahem y'(x, t) = yi (x, f) + >'2(x, f), (17.36) ve kterém znamení plus představuje algebraický součet. Sčítání výchylek podél struny znamená: U překrývajících se vln se výchylky algebraicky sčítají a vytvářejí jednu výslednou vlnu. Máme zde další příklad principu superpozice. Uplatňuje se v situacích, kdy současně působí několik vlivů 17.8 PRINCIP SUPERPOZICE 449 a tvrdí, že výsledný jev jc součtem jevů, vyvolaných individuálně jednotlivými vlivy.* Na obr. 17.10 vidíme sérii pěti snímků dvou pulzů, postupujících opačným směrem na téže struně. Když se překrývají (když sebou probíhají), jc výsledný pulz roven součtu obou pulzú. Navíc, každý z obou výchozích pulzů probíhá druhým, jako by ten druhý vůbec neexistoval: Překrývající se vlny sc při svém postupu navzájem neovlivňují. s— / Obr. 17.10 Série pěti snímků dvou ptilzů, postupujících na napnuté struně v opačném směru. Pokud sebou pulzy právě probíhají, použijeme princip superpozice. Fourierova analýza Francouzský matematik Jean Baptisté Fourier (1786-1830) použil princip superpozice ke studiu vln obecného tvaru. Ukázal, že vlnu libovolného tvaru lze vyjádřit ve tvaru součtu velkého počtu sinusových vln. Stačí jen pečlivě zvolit jejich frekvence, amplitudy a fázové konstanty. Dobře to vyjádřil anglický fyzik Sir James Jeans: (Fourierův) teorém říká, že libovolnou křivku, ať už jsou její vlastnosti jakékoliv nebo ať už byla získána jakýmkoliv způsobem, lze přesně reprodukovat tím, že složíme dostatečný počet jednoduchých harmonických (tj. sinusových) křivek — stručně řečeno, každou křivku lze postavit, když na sebe naskládáme sinusové vlny. Součty tohoto druhu se nazývají Fourierovy řady; na obr. 17.11 vidíte jeden konkrétní příklad. Uvažme po částech lineární křivku na obr. 17.1 la (profil pily). Řekněme, že právě tato křivka představuje časovou změnu výchylky v(r) ***** / (a) i —t~ sinócíí/ ' — ŕ- sin2o;/ (b) Obr. 17.11 (a) Čárkovaná zubatá křivka (profil pily) je aproximována zelenou křivkou, která vznikla součtem prvních šesti členů v rov.(17.37). (Kdybychom sečetli více prvních členu, byla by aproximace přesnější.) (b) Prvních šest členů na pravé straně v rov. (17.37) je zobrazeno jako šest jednotlivých křivek. Každá z nich je sinusová. (v poloze x — 0) při postupu jisté vlny. Lze ukázat, že Fourierova řada, která reprodukuje tento průběh y(t), má tvar 1 1 1 y(t) = — sin(o)ř)--sin(2ftjí)--sm(3cot) — ..., ti 2ti 3ti (17.37) * Neplatil by např., kdyby výchylka vlny byla příliš velká, takže bychom překročili mez pružnosti prostředí. kde to = 2~/ T a T je perioda zubaté křivky. Zelená křivka na obr. 17.11a představuje součet prvních šesti členů na 450 KAPITOLA 17 VLNY —I pravé straně rov. (17.37). Vidíme již docela dobrou shodu s průběhem y(t). Obr. 17.11b ukazuje odděleně závislost uvedených šesti členů na čase. Kdybychom vzali více členů, mohli bychom profil pily reprodukovat s libovolnou přesností. Obdobně jako tento časový průběh lze i prostorový průběh složit ze sinusových vln. Teď je pochopitelné, proč jsme věnovali tolik pozornosti právě vlnám sinusovým. Když jim totiž rozumíme, otevře nám Fourierův teorém cestu ke všem ostatním vlnám. 17.9 INTERFERENCE VLN Předpokládejme, že v téže napnuté struně postupují v souhlasném směru dvě sinusové vlny a že obě mají stejnou amplitudu a stejnou vlnovou délku. Použijeme princip superpozice. Jaká bude výsledná vlna? Tvar výsledné vlny závisí na tom, do jaké míry jsou obě výchozí vlny navzájem ve fázi (jak dalece jsou sfá-zovány). Jinak řečeno, citlivým parametrem je vzájemný posuv křivek, které představují jednotlivé výchozí vlny. Nejprve uvažme případ, kdy jsou obě vlny přesně ve fázi. To znamená, že vrcholy (údolí) první vlny se přesně kryjí s vrcholy (údolími) vlny druhé. Mezi oběma křivkami vln není vůbec žádný posuv. Výchylka každé částice strany je tedy dvojnásobná v porovnání s výchylkou při samostatném šíření jen jedné z vln. Dále uvažme opačný případ: obě výchozí vlny mají přesně opačnou fázi. To znamená, že polohy vrcholů (údolí) jedné vlny se přesně kryjí s polohami údolí (vrcholů) vlny drahé. Křivky vln jsou navzájem posunuty 0 polovinu vlnové délky. Výchylky od obou výchozích vln se navzájem ruší a strana zůstává přímá. Tento jev vzájemného zesilování a zeslabování vln nazýváme interference. Říkáme, že výchozí vlny spolu interferují. (Slovo „interference" zde ovšem neznamená, že by se snad obě vlny navzájem nějak ovlivňovaly; ovlivňují se pouze výchylky částic struny, a to tak, že se sčítají.) Nechť je pro určitost první vlna, postupující na napnuté struně, určena vztahem yi(x, t) = ymÚXí(kx — tot), (17.38) zatímco drahá vlna, posunutá vzhledem k první, vztahem yi(x, t) = ym s\n(kx — ojí + cp). (17.39) Tyto dvě vlny mají stejnou úhlovou frekvenci co (a tedy 1 stejnou frekvenci /), stejný úhlový vlnočet k (a tedy i stejnou vlnovou délku A.) a stejnou amplitudu ym. Obě postupují stejnou rychlostí, určenou v rov. (17.24), stejným směrem, tj. ve směru osy x. Liší se pouze konstantním úhlem cp. Říkáme, že tyto dvě vlny jsou navzájem fázově posunuty o úhel cp. Jinými slovy, vlny mají fázový rozdíl cp. Na základě principu superpozice, vyjádřeného v rovnici (17.36), přísluší výsledné vlně výchylka y'(.v. t) = yi(x, t) + y2(x, t) = = ym sin(l'x — cot) + >'m sin(fex — cot + cp). (17.40) V dodatku E je uveden goniometrický vzorec pro součet dvou funkcí sinus dvou libovolných úhlů a a j3: a + f} a - p sin a + sin — 2 sin—-—cos—-—. (17.41) Po jeho použití v rov. (17.40) dostaneme y'(x, r) = (2ym cos \cp) sin(fcjc — cot + ^cp). (17.42) Výsledná vlna je tedy opět vlna sinusová a postupuje ve směru osy x. Je to ovšem jediná vlna, kterou lze na struně skutečně pozorovat (jednotlivé komponenty, určené v rov. (17.38) a (17.39), již nevidíme). Interferencí dvou sinusových vln o stejné amplitudě a stejné vlnové délce, postupujících v napnuté struně souhlasným směrem, vzniká opět vlna sinusová, postupující stejným směrem, jako obě výchozí vlny. Výsledná vlna se od obou výchozích vln liší ve dvou ohledech: (1) její fáze obsahuje konstantu \cp a (2) její amplituda je určena veličinou uvedenou v rov. (17.42) v závorkách: ->m = 2>'mCOS5^. (17.43) Je-li cp = Orad (neboli 0°), jsou obě výchozí vlny přesně ve fázi (jako na obr. 17.12a). V tomto případě se rov. (17.42) redukuje na y'(x, ť) = 2ym ún(kx - cot) (cp = Orad). (17.44) Všimněme si, že amplituda výsledné vlny je dvakrát větší než amplituda každé z výchozích vln. Je to také největší amplituda, kterou může výsledná vlna vůbec mít. Skutečně, člen s funkcí kosinus v rov. (17.42) a (17.43) má největší hodnotu (rovnou jedné) pro cp = 0. Interference, která vytváří největší možnou amplitudu, se nazývá úplně konstruktivní. 17.9 interference vln 451 y'(x. r) -y,(x,t) ■yi(x,t) -y'(x, t) vu./i (*) Obr. 17.12 Na struně postupují souhlasným směrem dvě identické harmonické vlny yi(.r.r) a y2(x,t). Jejich interferencí vzniká výsledná vlna y'(x, t). (a) Jsou-li výchozí vlny přesně ve fázi, je jejich interference úplně konstruktivní: výsledná vlna má v porovnání s výchozími vlnami dvojnásobnou amplitudu, (b) Jsou-li výchozí vlny přesně v protiťázi, je jejich interference úplně destruktivní: struna přestane kmitat. Je-li tp = -rad (nebo 180°), jsou obě výchozí vlny přesně v protifázi (jako na obr. 17.12b). V tomto případě má cos j

'm = 2),'mCOS ~

=--- = 0.25. 2 2(9,8 mm)

'm částečná 360 2-7, 1,00 2.Vm úplně konstruktivní 865 15,1 2,40 0,60ym částečná " Interferují dvě identické harmonické vlny o amplitudě ym, postupující souhlasným směrem. 452 kapitola 17 vlny — i Máme zde dvě řešení. První vlna může totiž buď předbíhat druhou vlnu (postupovat před ní), nebo se za ní zpožďovat (běžet za ní). V prvním případě je fázový rozdíl +2,6 rad, v druhém —2,6 rad. Vyjádřeno v dráhovém rozdílu, odstup vln činí

'i(x, f) = jmi ún(kx — cot) (17.46) reprezentuje fázor na obr. 17.13a. Velikost fázoru jc amplituda vlny ymi. Jak čas plyne, fázor se otáčí, a to v záporném směru (díky zápornému znaménku u časového členu cot). Při rotaci fázoru s úhlovou rychlostí co kolem počátku si všimněme jeho projekce na svislou osu. Ta se mění sinusově od nej větší hodnoty ymi, přes nulu, až k nejmenší hodnotě —ym\. Její průběh odpovídá sinusovému průběhu výchylky y\(x,t) libovolné částice struny, když přes ni postupuje vlna. Částice struny má pevnou souřadnici x. Obdobně lze znázornit průběh vlny v závislosti na x při daném čase t. Uvažme obecněji dvě vlny postupující souhlasným směrem v téže struně. Obě tyto výchozí vlny lze společně s vlnou výslednou znázornit pomocí fázorového diagramu. Na obr. 17.13b vidíte dva fázory: jeden představuje vlnu v rov. (17.46), druhý odpovídá vlně y%(x, l) = ym2 úa(kx — cůt + , museli bychom sečíst funkci v rov. (17.46) s funkcí v rov. (17.47). To jsme však již vlastně učinili při odvození rov. (17.42). Na druhé straně můžeme výslednou vlnu studovat ve fázorovém diagramu: v libovolném okamžiku během rotace sestrojíme vektorový součet obou fázorů. Postup je znázorněn na obr. 17.13c, kde jsme nejprve posunuli druhý fázor o velikosti ym2. Velikost vektorového součtu se rovná amplitudě y'm v rov. (17.48), úhel mezi ním a fázorem, který popisuje vlnu y\, je roven fázové konstantě p v rov. (17.48). Všimněte si, že na rozdíl od postupu v čl. 17.9 umožňují fázory konstrukci výsledné vlny i v případě, kdy jsou amplitudy výchozích vln rozdílné. PŘÍKLAD 17.6 Na struně postupují souhlasným směrem dvě vlny yi{x, t) a y2(x, t). Obě vlny mají stejnou vlnovou délku, jejich amplitudy jsou vmi =4,0 mm a Vm2 — 3,0 mm, jejich fázové konstanty jsou po řadě Orad a k/3 rad. Určete amplitudu y'm a fázovou konstantu fí výsledné vlny. ŘEŠENI: Obě vlny postupují v téže struně. Podle rovnice (17.24) tedy postupují stejnou rychlostí v. Protože mají 17.11 STOJATÉ VLNY 453 také stejnou vlnovou délku (a tedy i stejný uhlový vlnočct k), musí mít podle rov. (17.12) stejnou úhlovou frekvenci a>. Odpovídající fázory tedy rotují kolem počátku se stejnou úhlovou rychlostí co, jak je znázorněno na obr. 17.13b. Uhel (p mezi oběma fázory je nyní ti/3 rad. Vml _1 vm2 :/3 v:ll 1 (íí) Obr. 17.14 Příklad 17.6. (a) Dva fázory o velikostech ym] a ym2 svírají úhel jt/3. (b) Vektorové sčítání těchto fázorů, provedené v libovolném okamžiku během jejich rotace, poskytuje velikost ý fázoru výsledné vlny. Máme sestrojit vektorový součet obou fázorů. jako na obr. 17.13c. Oba sčítance můžeme nakreslit v libovolném okamžiku během jejich rotace. Pro zjednodušení vektorového sčítání bude tedy výhodné, když jc nakreslíme jako na obr. 17.14a. Nyní fázory sečteme způsobem, který jc obvyklý pro sčítání libovolných dvou vektorů (obr. 17.14b). Vodorovná složka výsledného fázoru je >mv = Vpil COSO + ym2COSTl/3 = = 4.0 mm + (3,0 mm) cos k/3 = = 5.50 mm. Svislá složka výsledného fázoru je ymi sin 0 + ynl2 sin ti/3 = 0 mm + (3,0 mm) sin k/3 = 2,60 mm. Výsledná vlna má tedy amplitudu 7(5,50 mm)2 + (2,60 mm) 6.1 mm (Odpověd) a její fázová konstanta jc (2.60 mm) tg/? =--- = 0,473, (5.50 mm) /3 =0.44 rad. (Odpověd) 17.11 STOJATÉ VLNY V předchozích dvou odstavcích jsme studovali dvě sinusové vlny se stejnou vlnovou délkou a stejnou amplitudou postupující v napnuté struně souhlasným směrem. A co když běží proti sobě? Také v tomto případě použijeme k nalezení výsledné vlny princip superpozice. Východiskem našich úvah bude obr. 17.15, který znázorňuje danou situaci graficky. Vidíme zde dvě výchozí vlny: ta. která postupuje dolévaje na obr. 17.15a. Proti ní, tj. doprava, běží vlna na obr. 17.15b. Na obr. 17.15c vidíme jejich součet, získaný graficky aplikací principu superpozice. Nápadným rysem výsledné vlny je existence určitých míst podél struny, ve kterých je struna neustále v klidu. Těmto místům říkáme uzly vlny. Čtyři takové uzly jsou na obr. 17.15c vyznačeny tečkami. Uprostřed mezi sousedními uzly se nacházejí kmitný; v nich je naopak amplituda výsledné vlny největší. Vlnu na obr. 17.15c nazýváme vlnou stojatou, protože se nepohybuje doprava ani doleva: polohy nulové a maximální výchylky se v čase nemění. (a) XXX = 0 9k t=iT t = iT J Obr. 17.15 Vznik stojaté vlny ze dvou vln postupných. Části (a) a (b) ukazují dvě série snímků dvou vln o stejné amplitudě a se stejnou vlnovou délkou. Vlny běží v opačných směrech a jejich tvary jsou zaznamenány v pěti různých okamžicích v rozmezí jedné periody, (c) Superpozice obou vln v pěti uvedených okamžicích. Všimněte si polohy uzlů a kmiten u výsledné stojatě vlny (c). Uzly jsou označeny černými tečkami. V případě postupných vln (a) a (b) žádné u/.ly či kmitný neexistují. 454 KAPITOLA 17 VLNY —I Jestliže dvě sinusové vlny o stejné amplitudě a se stejnou vlnovou délkou postupují v napnuté struně opačným směrem, vzniká jejich interferencí stojatá vlna. Nyní budeme studovat stojatou vlnu matematicky. Dvě výchozí vlny popíšeme rovnicemi yj (x, f) = ym sin(Lr - a)t), (17.49) y2(x, t) = ym úa(kx + cot). (17.50) Výsledná vlna y' je určena principem superpozice: y'(xj) = yi(x,ť) + y2(x,t) = = ym sin(Lí — cot) + ym ún(kx + cot). Nakonec použijeme identitu (17.41) a dostaneme: y'(x,t) = (2ym sinkx) cos cot. (17.51) Výsledek nemá tvar rov. (17.16) a není to tedy postupná vlna. Rov. (17.51) popisuje vlnu stojatou. Veličina 2ymamkx v první závorce na pravé straně rov. (17.51) vlastně určuje amplitudu kmitů té částice struny, která je umístěna na poloze x. Avšak amplituda musí být vždy nezáporná a sinLv může být i záporný. Amplitudu kmitů částice v místě x tedy vezmeme jako absolutní hodnotu veličiny 2ym sinkx. V případě postupné sinusové vlny máme pro všechny částice struny jednu a tutéž amplitudu kmitů. Pro stojatou vlnu to neplatí: amplituda kmitů se mění s polohou. Tak například u stojaté vlny, popsané rov. (17.51), je amplituda nulová pro všechny částice struny, jejichž polohy splňují rovnici sin Jbc = 0, a tedy také rovnici kx = «71 pro n = 1, 2, 3, .... (17.52) Když do této rovnice dosadíme t = 2i/Ä a provedeme malou úpravu, získáme k x=n- pro n = 1, 2, 3, ... (17.53) (poloha uzlů). To je podmínka pro polohu částic struny s nulovou amplitudou — uzlů — v případě stojaté vlny popsané rov. (17.51). Všimněte si, že sousední uzly jsou vzdáleny o k/2, tj. o polovinu vlnové délky, a uprostřed mezi nimi leží kmitná. Největší z možných amplitud stojaté vlny v rov. (17.51) má velikost 2ym. Vyskytuje se pro ty hodnoty kx, pro které platí |sin ä:jc | = 1. Těmito hodnotami jsou Do rov. (17.54) dosadíme k — 2r./k a provedeme malou úpravu. Tak získáme podmínku pro n =0, 1,2, ... (17.55) (poloha kmiten). To je podmínka pro polohu částic strany s maximální amplitudou — kmiten — v případě stojaté vlny, popsané rov. (17.51). Sousední kmitný jsou vzdáleny o polovinu vlnové délky a uprostřed mezi nimi leží uzel. Odraz na hranici V napnuté struně lze vytvořit stojatou harmonickou vlnu také odrazem postupné vlny na konci struny. Dopadající (původní) vlna a odražená vlna jsou popsány postupně rov. (17.49) a (17.50). Jejich interferencí vzniká stojatá vlna. Obr. 17.16 ilustruje odraz vlny na příkladu odrazu jednoho postupného pulzu. Na obr. 17.16a je struna na svém levém konci upevněna, a tedy i znehybnená. Pulz, který zprava dospěje k tomuto konci, působí na stěnu určitou silou ve směru nahoru. Podle zákona akce a reakce tedy také stěna působí na okrajovou částici struny stejně velkou, ale opačně orientovanou silou. Tato reakční síla vytváří u stěny nový pulz, který postupuje podél struny od konce zpátky. Při takovém „tvrdém" odrazu musí mít vlna u stěny uzel, struna je zde totiž znehybnená upevněním ve stčnč. Výchylky dopadajícího a odraženého pulzu musí být těsně u stěny opačné, interferencí se zde musí nutně vyrušit. Jde-li o harmonickou vlnu, zjistíme toto: Vlna odražená na pevném konci je v protifázi k přicházející vlně. Na obr. 17.16b je levý konec strany připevněn k lehkému prstenci, který může volně a bez tření klouzat po přímé tyči. Dopadající pulz vytáhne strunu i s prstencem na tyči směrem nahoru. Strana se přitom na svém konci prodlouží a vznikne v ní napětí, které má naopak tendenci toto prodloužení zmenšit: výsledkem je pohyb prstence směrem dolů a tím následný vznik odraženého pulzu, jehož výchylka je souhlasně orientovaná s výchylkou pul/u dopadajícího. Při takovém „měkkém" odrazu se tedy dopadající a odražený pulz navzájem zesilují a u konce struny vzniká kmitná; amplituda výchylky prstence je dvojnásobkem amplitudy každého z obou pulzů. Jde-li o harmonickou vlnu, zjistíme toto: Vlna odražená na volném konci je ve fázi s přicházející vlnou. kx = jTI, gjl, ... = = (n + \)r. pron =0. 1,2, .... (17.54) 17.12 VLASTNÍ KMITY 455 r- (a) (b) Obr. 17.16 (a) Zprava nabíhající pulz je na levčm konci struny odražen doprava. Levý konec je pevně zabudován ve stěně. Všimněte si, že výchylky dopadajícího a odraženého pulzu jsou u stěny opačné, (b) Levý konec struny je spojen s prstencem, který může volně a bez tření klouzat nahoru a dolů po přímé tyči. Dopadající a odražený pulz mají nyní stejně orientované výchylky. J^ONTROLA 5: Uvažme interferenci dvou vln stejné amplitudy a vlnové délky. Výsledná vlna má rovnici (1) v iv. 7 1 = 4 sin (5* - 4ř), (2) y'{x, t) = = 4 sin(5x) cos(4r) a (3) y'(x, t) = 4 sin(5x + 4ř). Která z těchto rovnic popisuje výslednou vlnu v situaci, kdy se výchozí vlny šíří (a) obě ve směru osy x, (b) obě proti směru osy x a (c) v opačných směrech? 17.12 VLASTNI KMITY Nechrne jeden konec struny, řekněme levý, sinusově kmitat a druhý upevníme. Na struně bude vlna tedy nejprve postupovat ve směru doprava. Její frekvence se rovná frekvenci kmitů levého konce. Na pevném konci se vlna odrazí a postupuje skrze sebe samu zpět doleva. Vlna běžící doprava a vlna běžící doleva spolu interferují. Pro jisté speciální frekvence vznikne díky interferenci stojatá vlna s uzly a s velkými kmitnami. podobná vlnám na obr. 17.17. Říkáme jí vlastní neboli rezonanční kmit struny. Frekvence, při kterých dochází ke vzniku rezonančních kmitů, nazýváme vlastní neboli rezonanční frekvence struny. Také říkáme, že při těchto frekvencích struna rezonuje. Kdyby se frekvence kmitů levého konce nerovnala některé z. vlastních frekvencí, stojatá vlna by nemohla vzniknout. Interference vln postupujících doprava a doleva by v tomto nepříznivém případě vedla pouze ke vzniku malých, prakticky nepostřehnutelných kmitů částic struny. Uvažme nyní podobnou situaci: určitá struna, například kytarová, je napnuta mezi dvěma pevnými svorkami. Vzdálenost svorek je L. Ve struně vybudíme kmitání na vlastní frekvenci, takže vznikne rezonanční kmit. Protože oba konce struny jsou upevněny, bude zde mít nutně stojatá vlna uzly. Nejjednodušší obrazec, který vyhovuje této podmínce, je na obr. 17.18a. Na něm vidíme strunu ve dvou extrémních polohách (první poloze odpovídá spojitá čára. druhé čárkovaná čára). Všimněme si, že zde máme pouze jednu kmitnu, umístěnou uprostřed struny. Všimněme si také, že na vzdálenosti L (délka struny) se rozložila jedna půl- Obr. 17.17 Stroboskopické snímky odhalují speciální (nedokonalé) obrazce stojatých vln. Tyto rezonanční kmity jsou vybuzeny vibrátorem na levém konci struny. Vznikají pouze při určitých frekvencích vibrátoru. 456 KAPITOLA 17 VLNY — I vlna. Pro tento vlastní kmit tak máme podmínku X/2 = L. Podrobněji řečeno: má-li interferencí dvou výchozích vln, postupujících doprava a doleva, vzniknout takový rezonanční kmit, musí mít tyto vlny touž. vlnovou délku X = 2L. Obr. 17.18 Struna jc natažena mezi dvěma svorkami a jsou v ní vybuzeny vlastní kmity. Jednotlivé vlastní kmity můžeme znázornit obrazci odpovídajících stojatých vln. Každý obrazec je tvořen soustavou půlvln, vznikajících při znázornění dvou krajních poloh struny v průběhu dané stojaté vlny. (a) Nejjednodušší obrazec je tvořen jedinou půlvlnou. Spojitá a přerušovaná čára znázorňují dvě krajní polohy struny, (b) V pořadí složitosti následuje obrazec tvořený dvěma půlvlnami. (c) Následující obrazec má tři půlvlny. Druhý nejjednodušší obrazec stojatých vln při upevněných koncích struny je znázorněn na obr. 17.18b. Tento obrazec má tři uzly a dvě kmitný. Má-li interferencí dvou výchozích vln, postupujících doprava a doleva, vzniknout tento vlastní kmit, musí mít obě výchozí vlny vlnové délky X = L. Třetí obrazec je znázorněn na obr. 17.18c. Odpovídající stojatá vlny má čtyři uzly, tři kmitný a vlnovou délku X = -%L.\ teto posloupnosti bychom mohli pokračovat. Jestliže vyjdeme z daného obrazce, pak následující obrazec stojatých vln má o jednu půlvlnu, o jeden uzel a o jednu kmitnu více. Na délku struny L musíme navíc vložit jednu půlvlnu X/2. V souhrnu můžeme říci, že vlastní kmity v napnuté struně vzniknou, je-li 2L Ä = — pro« = 1,2, 3, .... (17.56) « Těmto vlnovým délkám pak odpovídají příslušné vlastní frekvence. Dostaneme je z rov. (17.12), do které zahrneme podmínku v rov. (17.56): f = l=n^l pro «= 1,2,3, .... (17.57) Zde v je rychlost postupné vlny v dané struně. Podle rov. (17.57) jsou tedy všechny vlastní frekvence celočíselnými násobky jisté nejnižší vlastní frekvence. Tu získáme, když v rov. (17.57) vezmeme n = 1: / = v/2L. Vlastní kmit s touto nejnižší frekvencí nazýváme základním kmitem nebo také prvním harmonickým kmitem neboli první harmonickou. Kmit odpovídající n — 2 je druhý harmonický kmit, pro n = 3 máme třetí harmonický kmit atd. Frekvence jednotlivých vlastních kmitů se často označují /i> Í2, fs, •■■, fn, kde n je číslo harmonického kmitu neboli módu. Jev rezonance je zcela běžný u všech kmitajících systémů. Pozorujeme jej také u dvojrozměrných a trojrozměrných těles. Například na obr. 17.19 vidíte dvojrozměrný obrazec uzlů, vznikajících na kmitající membráně tympánů (Chladniho obrazce). Obr. 17.19 Jeden z mnoha možných obrazců stojatých vln, vznikajících na membráně tympánů (Chladniho obrazce). Obrazec je vytvořen tmavým práškem, původně stejnoměrně rozsypaným na membráně. V levém horním rohu fotograiie je vidět mechanický vibrátor, který v membráně vybudí kmitání určité frekvence. Prášek se samovolně sesypává k uzlům vzniklé stojaté vlny. V dvojrozměrném případě však uzly nejsou izolované body, ale vytvářejí na membráně kružnice a úsečky. PŘÍKLAD 17.7 Na obr. 17.20 je zobrazena struna, spojená na jednom konci v bodě P s generátorem sinusových kmitů a na druhém konci zatížená přes držák Q závažím o hmotnosti m. Vzdálenost L bodů P a Q činí 1,2 m, délková hustota struny je 1,6 g-m"1. PŘF.HI.F.D& SHRNUTÍ 457 Frekvence vibrátoru byla 120 Hz. Amplituda příčného pohybu bodu P je dostatečně malá a bod P lze tedy považovat za uzel. Uzlem jc i bod Q. Při jaké hmotnosti závaží m vybudí vibrátor na struně čtvrtý harmonický kmit? brátor • Q (b) Jakou stojatou vlnu lze vybudit, jestliže strunu napneme závažím o hmotnosti m = 1,00 kg? ŘEŠENI: Uvedenou hodnotu m dosadíme do rov. (17.60) a tuto rovnici vyřešíme vzhledem k proměnné n. Tímto postupem získáme n = 3,7. Číslo harmonického kmitu však musí být celé. Protože toto získané n celé není, nebude vibrátorem vybuzena vůbec žádná stojatá vlna. Kmitání struny bude malé, prakticky nepostřehnutelné. Obr. 17.20 Příklad 17.7. Zatížená struna jc spojena s vibrátorem. Pro pevnou frekvenci vibrátoru se na struně vybudí stojaté vlny jen pro jisté diskrétní hodnoty napětí na struně. ŘEŠENÍ: Rezonanční frekvence jsou určeny v rov. (17.57) jako f=Y'n pro n = 1,2, 3..... (17.58) Napětí ve struně musíme nastavit tak, aby se frekvence vibrátoru rovnala čtvrté harmonické frekvenci, určené právě uvedenou rovnicí. Rychlost vlny na struně je určena rov. (17.24): V V V M kde za napětí ve struně r byla dosazena váha závaží mg. Dosadíme v do rov. (17.58) a vyjádříme m: 4L2f2(i -y n-g (17.60) Do tohoto obecného výsledku dosadíme nyní číslo harmonického kmitu n = 4. Po vyčíslení tak dostaneme _ 4(l,2m)2(120Hz)2(0,0016kg-m~') _ (4)2(9,8m-s-2) = 0,846 kg ~ 0,85 kg. (Odpověd) (17.59) ROLA 6: V následující řadě rezonančních frekvencí jedna z nich (nižší než 400 Hz) schází: 150 Hz, 225 Hz, 300 Hz, 375 Hz. (a) Jaká je chybějící frekvence? (b) Jaká je sedmá harmonická frekvence? RADY A NAMETY Bod 17.2: Harmonické kmity ve struně Když potřebujeme prozkoumat určitý harmonický kmit na napnuté struně dané délky L, nejprve si tento kmit nakreslíme jako na obr. 17.18. Potřebujeme například pátou harmonickou frekvenci. Nejprve si nakreslíme pět půlvln mezi šesti pevnými pomocnými body. Hned uvidíme, že pět půlvln, každá délky X/2, má pokrýval délku struny L. To tedy znamená 5(Á/2) = /,, a tedy Ä = 2L/5. Poté můžeme již použít rov. (17.12) (/ = v/X) a získáme hledanou pátou harmonickou frekvenci. V každém případě si uvědomme, že vlnová délka harmonického kmitu je určena výhradnč délkou struny L. Na druhé straně harmonická frekvence závisí také na rychlosti vlny v a taje podle rov. (17.24) určena napětím struny a její délkovou hustotou. 3ř PŘEHLED SHRNUTI Příčné a podélné vlny Mechanické vlny mohou existovat pouze v látkovém prostředí a jejich pohyb je určen Newtonovými zákony. V případě příčných {transverzálních) mechanických vln, jakými jsou například vlny na napnuté struně, kmitají částice prostředí kolmo ke směru postupu vlny. Při šíření podélných (longitudinálních) vln kmitají částice prostředí rovnoběžně se směrem postupu vlny. Sinusové vlny (harmonické vlny) Sinusová (harmonická) vlna, postupující ve směru osy x, je popsána vztahem y(x, í) = ym sin(/c.r — cat), (17.2) kde ym je amplituda, k je úhlový vlnočet. co je úhlový kmitočet neboli úhlová frekvence a kx — cot je fáze. Vlnová délka X souvisí s k vztahem 2ti *=—. (17.5) /. Perioda 7' a frekvence / vlny jsou s úhlovou frekvencí oj vázány vztahy 1 f' co 2r=f (17.8, 17.9) Rychlost šíření vlny v je uvedenými parametry určena vztahem co A 7 (17.12) 458 KAPITOLA 17 VI ,NY — I Rovnice obecné postupné vlny Jakákoliv funkce tvaru y(.v,ř) = /i(.v - ví) (17.16) popisuje vlnu postupující ve směru osy x stálou rychlostí v (pro v > 0). Její tvar je určen konkrétním tvarem funkce h. Vlna postupující proti směru osy x je popsána funkcí h(x + vt). Rychlost vlny na napnuté struně Rychlost vlny, která postupuje na napnuté struně, jc určena napětím struny r a délkovou hustotou struny /i. Platí v = /-. (17.24) V /' Výkon Střední výkon vlny je střední rychlost změny energie v daném místě v důsledku jejího přenosu touto vlnou. V případě sinusové vlny v napnuté struně jc střední výkon roven P = \nva2yl. (17.35) konstantou t + \zym = 4jt / ym. 10C. Příčná postupná vlna na struně jc určena rovnicí y = (2,00 mm) sin [(20rad-m-l).r - (600rad-s_1)ř]. (a) Určete pro tuto vlnu amplitudu, frekvenci, rychlost a vlnovou délku, (b) Určete nejvčtší příčnou rychlost částic struny při šíření uvedené vlny. 11C. (a) Napište rovnici příčné postupné sinusové vlny, která se šíří na vlákně ve směru osy y s úhlovým vlnočtem 60 cm-1, s periodou 0,20 s a s amplitudou 3,0mm. (b) Předpokládejte, že při šíření léto vlny kmitají jednotlivé částice vlákna ve směru osy z- Jaká jc nejvčtší příčná rychlost částic vlákna? 12U. Příčná postupná vlna, šířící se na velmi dlouhé struně, je popsána rovnicí y = 6.0sin(0,020Tix + 4,0rcř), kde souřadnice x a y jsou vyjádřeny v centimetrech a čas t v sekundách. Pro tuto vlnu určete (a) amplitudu, (b) vlnovou délku, (c) frekvenci, (d) rychlost, (c) směr šíření a (f) nejvčtší příčnou rychlost částic struny, (g) Jaká jc příčná výchylka struny v místě x = 3,5 cm a v čase i =0,26 s? 13Ú. (a) Napište rovnici příčné postupné sinusové vlny, šířící se na vlákně ve směru +x, má-li tato vlna vlnovou délku 10 cm, frekvenci 400 Hz a amplitudu 2,0cm. (b) Jaká je nejvčtší příčná rychlost částic vlákna? (c) Jaká je rychlost vlny? 14U. Uvažte příčnou postupnou sinusovou vlnu v napnuté struně. Ukažte, že v libovolném čase a v libovolném bodě struny je sklon tečny ke tvaru vlny roven poměru příčné rychlosti částic struny v daném bodě a rychlosti vlny. 15U. Na struně se ve směru osy x šíří příčná sinusová vlna vlnové délky 20 cm. Obr. 17.28 znázorňuje časovou závislost příčné výchylky částice struny o souřadnici x — 0. (a) Načrtněte tvar vlny na úseku jedné vlnové délky (mezi x = fla.t = 20 cm) v čase t = 0. (b) Jaká je rychlost šíření vlny? (c) Napište rovnici vlny a explicitně v ní uveďte všechny konstanty, (d) Jaká je příčná rychlost částice struny o souřadnici x = 0 v čase t = 5,0 s? y (cm) 1 Obr. 17.28 Úloha 15 16Ú. Sinusová vlna o frekvenci 500 Hz běží ve struně rychlostí 350 m-s~ '. (a) Jaká je vzdálenost dvou částic struny, které mají při kmitání fázový rozdíl tc/3 rad? (b) Jaký jc fázový rozdíl mezi dvěma výchylkami téže částice struny, jestliže výchylky po sobě následují s časovým odstupem 1,00 ms? ODST. 17.6 Rychlost vlny na struně 17C. Jaká je rychlost příčné postupné vlny na vlákně hmotnosti 60,Og a délky 2,00 m. jestliže napětí ve vlákně činí 500N? 18C. Nejtěžší, resp. nejlehčí struna jistých houslí má délkovou hustotu 3,0g-m , resp. 0,29g-m 1. Jaký je poměr průměru těžší struny k průměru struny lehčí? Předpokládejte, že obě struny jsou vyrobeny z téhož materiálu. 19C. Při napětí 120 N činí rychlost příčné vlny na struně 170 m-s '. Na jakou hodnotu musíme změnit napětí, chceme-li zvýšit rychlost vlny na lSOm-s-1? 20C. U ocelového drátu, který je na obou koncích upevněn ve svorkách, jsme zdvojnásobili napětí, aniž se přitom znatelně změnila jeho délka. Jaký je poměr nové rychlosti šíření příčné vlny k původní rychlosti vlny? 21C. Uvažme drát vyrobený z materiálu o objemové hustotě g. V drátu vyvoláme tah a (sílu na jednotku plochy příčného průřezu). Ukažte, že rychlost příčné vlny u jc určena vztahem [a v = ' —. V Q 22C. Příčná vlna na struně je popsána rovnicí y = (2.00 mm) sin [(20rad-m_1)je - (600 rad-s ')f] . Napětí ve struně je 15 N. (a) Určete rychlost vlny. (b) Vypočtěte délkovou hustotu struny v gramech na metr. 23C. Délková hustota struny jc 1.6-10~4 kg-m-1. Na struně se šíří příčná vlna, popsaná vztahem y = (0,021 m) sin [(2.0 rad-m~])x + (30rad-s_l )t]. (a) Určete rychlost vlny. (b) Vypočtěte napětí ve struně. 24C. Určete největší dosažitelnou rychlost příčné vlny v ocelovém drátu. Při započtení přiměřeného bezpečnostního faktoru lze 462 KAPITOLA 17 VLNY —I v ocelovém drátu vyvolat maximální tah (sílu na jednotku plochy příčného průřezu) 7,0-108 N-m . Objemová hustota oceli je 7 800 kg-m "3. Dokažte, že výsledek nezávisí na průměru drátu. 25Ú. Struna má délkovou hustotu 5,0g-cm~' a je napínána silou 10 N. Síří se v ní příčná sinusová vlna o amplitudě 0.12 mm a frekvenci 100 Hz. Vlna postupuje proti směru osy x. Napište její rovnici. 26ÍJ. Uvažte sinusovou příčnou vlnu v napnutém vlákně. Nalezněte poměr největší příčné rychlosti čáslic vlákna k rychlosti vlny. Dále předpokládejte, že znáte frekvenci a amplitudu vlny. Závisí uvedený poměr rychlostí na materiálu, z něhož je vlákno vyrobeno (například vlákno nylonové, ocelové apod.)? 27U. V napnuté struně se šíří ve směru osy x příčná postupná vlna. Na obr. 17.29 vidíme závislost výchylky částic struny v ca- rs X j 1 \ JM 10 20 30 40 50 60 70 80 x (cm) Obr. 17.29 Úloha 27 se í = 0 na jejich poloze podél struny. Ve struně je napětí 3.6 N, její délková hustota činí 25g-m_1. Nalezněte (a) amplitudu, (b) vlnovou délku, (c) rychlost vlny a (d) periodu vlny. (e) Jaká je největší příčná rychlost částic struny? (i) Napište rovnici vlny. 28Ú. Na struně se šíří rychlostí 40cm-s-i příčná sinusová vlna. Časová závislost výchylky částice struny o souřadnici x = 10 cm je popsána rovnicí y = (5,0cm) sin [l.Orad - (4,0rad-s-1)/]. Délková hustota struny činí 4,0g-cm~'. Vypočtěte (a) frekvenci vlny a (b) vlnovou délku, (c) Nalezněte obecnou rovnici vlny, udávající závislost příčné výchylky částic struny na čase a na jejich souřadnici, (d) Vypočtěte napětí vc struně. 29Ú. Struna 1 na obr. 17.30a má délkovou hustotu 3,00 g-m, , struna 2 má délkovou hustotu 5,00g-m-'. Napětí ve strunách je vyvoláno závažím o hmotnosti M = 500 g. (a) Vypočtěte rychlost vlny na každé z obou strun, (b) Závaží rozdělíme na dvě části (přilom platí M = Mj + Mi) a napínání strun uzpůsobíme podle obr. 17.30b. Jaké mají být hmotnosti M\ a Mj, aby na obou strunách byla slejná rychlost vlny? Obr. 17.30 Úloha 29 30Ú. Drátdélky 10,0mahmotnosti 100 gje napnut silou 250 N. Na každém konci drátu byl s časovým odstupem 30,0ms vytvořen pulz. Kde se oba pulzy poprvé setkají? 31Ú. Uvnitř některých typů baseballových a golfových míčků se používá gumová páska, splňující v širokém rozsahu prodloužení Hookův zákon. Uvažme určitý úsek této pásky hmotnosti m a nezatížené délky /. Působením síly F se daný úsek prodlouží o délku AI. (a) Určete rychlost vlny pro příčné vlnění v napnuté pásce; vyjádřete ji pomocí hmotnosti m, prodloužení AI a tuhosti k. (b) S využitím výsledku části (a) dokažte, že doba postupu příčného pulzu od jednoho konce napnuté pásky k druhému konci je pro AI / jc konstantní. 32Ú*. Ze stropu visí stejnorodé lano délky / a hmotnosti m. V laně se šíří příčná vlna. (a) Ukažte, že rychlost viny je závislá na vzdálenosti y od spodního konce lana a je určena vztahem v = ^fgy. (b) Ukažte, že doba postupu vlny od jednoho konce lana k druhému činí t = 2*Jl/g. ODST. 17.7 Energie a výkon vlny 33C. Jestliže je daná struna napnuta silou tj , přenáší se na frekvenci fi střední výkon P\. (a) Ve struně zvýšíme čtyřikrát napětí, takže T2 = 4ri. Vyjádřete nový střední přenášený výkon P2 pomocí původní hodnoty P\. (b) Ve struně s původním napětím postupuje vlna s dvakrát nižší frekvencí, takže fj = f\/2. Vyjádřete střední výkon, přenášený na frekvenci f%, pomocí původní hodnoty P\. 34C. Struna délky 2,7 m a hmotnosti 260 g je napnuta silou 36,ON. Ve struně postupuje příčná vlna s amplitudou 7,70mm. Jaká musí být její frekvence, jestliže je přenášen střední výkon 85,0W? 35U. Na jednom konci dlouhé vodorovné struny je upevněno vahadlo. Struna má délkovou hustotu 120g-m~' a jc napínána CVIČENÍ & ÚI .OHY 463 silou 90,ON. Vahadlo vykonává 120krát za sekundu spojitý pohyb nahoru a dolů o 1.00cm. Pohybem vahadla se na struně vytváří příčná sinusová vlna. Nalezněte pro libovolnou částici struny (a) největší velikost příčné rychlosti u a (b) největší hodnotu příčné složky napětí, (c) Ukažte, že ohě uvedené maximální hodnoty se objevují se stejnou fází. Jaká je při této fázi příčná výchylka y částice struny? (d) Jaký největší výkon je přenášen danou částicí struny? (e) Jaká je příčná výchylka y částice struny v okamžiku, kdy je jí právě přenášen největší výkon? (f) Jaký nejmenší výkon je přenášen danou částicí struny? (g) Jaká jc příčná výchylka y částice struny v okamžiku, kdy je jí právě přenášen nejmenší výkon? ODST. 17.9 Interference vln 36C. Dvě stejné vlny, postupující souhlasným směrem, mají fázový rozdíl re/2rad. Vyjádřete amplitudu výsledné vlny pomocí společné amplitudy ym obou výchozích vln. 37C. Na napnuté struně postupují souhlasným směrem dvě stejné vlny. Jaký je mezi nimi fázový rozdíl, jestliže amplituda výsledné vlny je l,5krát větší než společná amplituda obou výchozích vln? Výsledek vyjádřete ve stupních, v radiánech a ve vlnových délkách. 38Ú. Na struně se šíří souhlasným směrem dvě stejné sinusové vlny a interferují. Výsledná vlna má rovnici v'(x, í) = = (3,0 mm) sin(20rad-m"'x - 4,0rad-s~'f + 0.820rad). (a) Jaká je společná vlnová délka X obou výchozích vln? (b) Jaký je mezi nimi fázový rozdíl? (c) Jaká je jejich společná amplituda ym? ODST. 17.10 Fázory 39C. Dvě sinusové vlny mají stejnou frekvenci a šíří se stejným směrem. Jejich amplitudy jsou 3.0 cm a 4,0 cm, fázové konstanty mají hodnotu 0 a n/2 rad. Určete amplitudu výsledné vlny. 40C. Amplitudy dvou sinusových vln, které se současně šíří stejným směrem v napnuté struně, jsou 3.0 mm a 5,0mm. Jejich fázové konstanty jsou 0; a 70". Obě vlny mají stejnou vlnovou délku. Jaká je (a) amplituda a (b) fázová konstanta výsledné vlny? 41C. Dvě sinusové vlny o stejné vlnové délce postupují současně souhlasným směrem v napnuté struně. Jejich amplitudy jsou 4,0 mm a 7,0 mm, fázové konstanty mají hodnotu 0 a 0,8r.rad. Jakáje (a) amplituda a (b) fázová konstanta výsledné vlny? 42Ú. Dvě sinusové vlny o stejné periodě se současně šíří stejným směrem v napnuté struně. Jejich amplitudy jsou 5,0 mm a 7,0 mm. Interferencí vzniká výsledná vlna, jejíž amplituda činí 9,0 mm. Fázová konstanta vlny s amplitudou 5,0 mm je 0. Určete fázovou konstantu vlny s amplitudou 7,0mm. 43Ú. Tři sinusové vlny o stejné frekvenci postupují v napnuté struně v kladném směru osy x. Jejich amplitudy jsou postupně yi, yi/2 a yi/3. Fázové konstanty činí postupně 0, r./2 a it. Jaká je (a) amplituda a (b) fázová konstanta výsledné vlny? (c) Nakreslete tvar výsledné vlny v čase í = 0a diskutujte jeho závislost na čase. 44Ú. Čtyři sinusové vlny postupují současně v téže napnutě struně v kladném směru osy x. Jejich frekvence jsou v poměru 1:2:3:4, poměr jejich amplitud je postupně 1 : | t A ; 3. V čase 1 = 0 a na souřadnici x = 0 je první a třetí vlna fázově posunuta o 180° vzhledem k druhé a čtvrté vlně. Nakreslete tvar výsledné vlny v čase r = 0 a diskutujte jeho změny při vzrůstajícím t. ODST. 17.12 Vlastní kmity 45C. Ve struně vyvoláme jisté napětí ra a vybudíme v ní třetí harmonický kmit. Jemu odpovídá vlastní frekvence /) a vlnová délka A.3. Poté zvýšíme napětí ve struně na hodnotu r\, = 4ra a opět v ní vyvoláme třetí harmonický kmit. (a) Vyjádřete novou hodnotu třetí vlastní frekvence pomocí původní hodnoty fa. (b) Vyjádřete novou vlnovou délku odpovídající stojaté vlny pomocí původní vlnové délky I3. 46C. Nylonová kytarová struna délkové hustoty 7.2gm~' je napnuta silou 150 N a natažena přes dva pražec vzdálené 90 cm. Na struně vyvoláme stojatou vlnu znázorněnou na obr. 17.31. Vypočtěte (a) rychlost vlny, (b) vlnovou délku a (c) frekvenci postupných vln, jejichž superpozicí vzniká uvedená stojatá vlna. - 90,0'cm - Obr. 17.31 Cvičení 46 47Ú. V napnuté struně postupují rychlostí 10cm-s~' v opačných směrech dvě sinusové vlny se stejnou vlnovou délkou a stejnou amplitudou. Doba mezi dvěma po sobě následujícími okamžiky, ve kterých je struna zcela rovná, činí 0,50 s. Jaká je společná vlnová délka obou výchozích vln? 48C. Nejnižší vlastní frekvence jisté houslové struny byla rovna 440 Hz (komorní a1). Určete pro tuto strunu druhou a třetí harmonickou frekvenci. 49C. Struna délky 8,40 m a hmotnosti 0,120 kg je napnuta silou 96.0 N a na obou koncích upevněna. Poté jsou v ní vybuzeny vlastní kmity, (a) Určete pro danou strunu rychlost vlny. (b) Jaká je nejdelší možná vlnová délka stojaté vlny? (c) Vypočtěte její frekvenci. 50C. Rovnice postupné příčné vlny v jisté struně má tvar v = 0.15sin(0,79.v - 13f), kde veličiny x a y jsou vyjádřeny v metrech a čas t v sekundách, (a) Jakáje výchylka struny y na souřadnici x = 2,3m v čase t = 0,16 s? (b) Napište rovnici vlny, která vytvoří při interferenci s výše uvedenou vlnou stojaté vlnění, (c) Jaká je výchylka výsledné stojaté vlny na souřadnici x = 2,3 m a v čase í = O.lós? 464 KAPITOLA 17 VLNY —I SIC. Struna délky 120cni je napnuta mezi dvěma pevnými svorkami. Určete tři nejdelší možné vlnové délky postupných vln, které mohou v upevněné struně vytvořit vlnu stojatou. Nakreslete obrazce odpovídajících stojatých vln. 52C. Struna délky 125 cm a hmotnosti 2.00 g je napnuta silou 7,00 N a upevněna mezi dvěma svorkami, (a) Jakou rychlostí se po struně šíří vlny? (b) Jakou má struna nejnižší vlastní frekvenci? 53C. Jaké jsou tři nejnižší vlastní frekvence pro stojaté vlny na struně délky 10,0 m a hmotnosti 100 g. jestliže jc struna napnuta silou 250 N a upevněna mezi dvěma svorkami? 54C. Struna délky 1,50 m a hmotnosti 8,70 g je napínána silou 120 N. Obajejí konce jsou upevněny a struna je rozkmitána, (a) Vypočtěte rychlost vln na struně, (b) Určete vlnovou délku postupné vlny, která vytvoří stojatou vlnu, tvořenou jedinou půl-vlnou. Totéž pro stojatou vlnu s dvěma půlvlnami. (c) Určete frekvence stojatých vln v části (b). 55C. Struna A je napnuta mezi dvěma pevnými svorkami. Vzdálenost svorek je /. Struna B má stejnou délkovou hustotu jako struna A a je napnuta stejnou silou mezi dvěma svorkami, vzdálenými 41. Uvažte prvních osm vlastních frekvencí pro strunu B. Vystupuje v této sérii nějaká vlastní frekvence struny A? 56Ú. Struna jc napnuta mezi dvěma pevnými svorkami, vzdálenými 75,0cm. Vykazuje vlastní frekvence 420 Hz a 315 Hz; mezi nimi již žádná další vlastní frekvence neleží, (a) Jakou má tato struna nejnižší vlastní frekvenci? (b) Jakou rychlostí se po ní šíří vlny? 57U. Na velmi dlouhé napnuté struně postupují proti sobě dvě vlny. Vibrátor na jednom konci struny generuje vlnu, popsanou rovnicí v = (6,0.cm) cos- [(2,0nr').v + (8,0s~')ř]. Vibrátor na opačném konci generuje vlnu y = (6,0 cm) cos ^ [(2,0 m"')* - (8,0s^f] . (a) Vypočtěte pro každou z uvedených dvou vln frekvenci, vlnovou délku a rychlost vlny. (b) Nalezněte pro vznikající stojatou vlnu polohu uzlů. (c) Nalezněte polohu kmiten. 58U. Kmitání struny je popsáno rovnicí y' = (0,50cm) sin [(-cnT1 ) x\ cos [(4(ks_1) /]. (a) Uvedené kmitání vzniklo superpozicí dvou stejných vln (až na směr šíření). Jaká byla jejich amplituda a rychlost? (b) Jaká je vzdálenost mezi sousedními uzly stojaté vlny? (c) Jak velkou příčnou rychlost má částice struny o souřadnici x = 1,5 cm v čase f = | s? 59Ú. Na struně postupují proti sobě dvě příčné sinusové vlny. Obě mají amplitudu 0,30 cm a vlnovou délku 6,0 cm. Rychlost příčných vln v dané struně činí 1,5 m-s"'. Nakreslete tvar vzniklé stojaté vlny v čase t = 0 (libovolný počátek odečítání času), t = 5,0ms, t = lOms, t = 15ms at = 20ms. 60U. Na obr. 17.32 jsou znázorněny dva pulzy, které postupují v napnuté struně proti sobě. Rychlost v příčných vln v dané struně činí 2.0m-s . V čase t = Ojsou pulzy vzdáleny 6,0cm. (a) Načrtněte tvar struny v čase t — 5,0 ms, t = 10ms, í = = 15 ms, / = 20 ms a t = 25 ms. (b) Jak je rozložena původní energie pulzů v čase / = 15 ms? i--6,0cm-m 1 v I I Obr. 17.32 Úloha 60 611). V napnuté struně postupují dvě příčné vlny, popsané rovnicemi yi = (0,10m)sin27t[(0,50m"l).v + (20s-1)í], y: = (0,20m) sin2rc [(0,50m"').v - (20s_1)ř] . Nakreslete, jak se s časem pohybuje částice struny o souřadnici x = 3.0 m. 62Ú. Na struně délky 3,0 m je vybuzena stojatá vlna, jejíž amplituda činí l,0cm. Je tvořena třemi půlvlnami. Po struně se šíří vlny rychlostí 100 m-s-1. (a) Jaká je frekvence stojaté vlny? (b) Napište rovnice dvou výchozích vln, jejichž superpozicí vzniká uvažované stojaté vlnění. 63Ú. Struna, po níž se šíří vlny rychlostí 400 m-s-1. je na obou koncích uchycena v pevných svorkách. Strunu rozkmitáme ladičkou o frekvenci 600 Hz. Vznikající stojatá vlna má amplitudu 2,0mm a je tvořena čtyřmi půlvlnami. (a) Jaká je vzdálenost mezi svorkami? (b) Určete výchylku jednotlivých částic struny jako funkci polohy částic a času. 64Ú. V průběhu pokusu, demonstrujícího vlastnosti stojatých vln, byla struna délky 90cm a hmotnosti 0,044 kg na jednom konci připevněna kc hrotu elektricky buzené ladičky. Hrot kmitá s frekvencí 60 Hz ve směru kolmém ke struně. Jakou silou je struna napínána (závaží je umístěno na opačném konci struny), jestliže stojatá vlna je tvořena čtyřmi půlvlnami? 65Ú. Uvažte stojatou vlnu, vznikající ze dvou postupných vln stejné amplitudy. Ukažte, že největší kinetická energie částic strun}', které jsou rozloženy v rozsahu jedné půlvlny, je určena výrazem 7r?jiy^f v. 66Ú. Hliníkový drát délky l\ = 60,0cm, příčného průřezu l,00-10_2cm2 a hustoty 2,60g-cm-3 je na jednom konci vetknut do stěny. Na druhém konci jej spojíme s ocelovým drátem stejného příčného průřezu a hustoty 7,80g-cm-3. Soustava obou drátů je přes kladku zatížena závažím o hmotnosti m = 10,0 kg. Vzdálenost fa místa spojení obou drátů od kladky je 86,6cm. Popsané uspořádání je znázorněno na obr. 17.33. Pomocí vnějšího zdroje s proměnnou frekvencí lze v soustavě cvičení & úlohy 465 generoval příčné vlnění; přitom je na kladce vždy uzel. (a) Určete nejnižší frekvenci vnějšího zdroje, při které se v soustavě vybudí rezonanční kmity a současně se v místě spojení obou drátů vytvoří uzel. (b) Kolik uzluje při léto frekvenci rozloženo podél celé kmitající soustavy? .h—'i- —Hu- h-H hliník I Obr. 17.33 Úloha 66 PRO POČÍTAČ 67U. V napnutém vlákně postupují dvě vlny: y] (x, r) = (2,50mm) sin(fct — cot), y2(x, t) = (1,50mm) ún(kx + cot), kde k = 25,1 rad-m ' je úhlový vlnočet a a> = 440rad-s-' je úhlová frekvence, (a) Nakreslete funkci y'(x, t) = \\ (x, ť) + + yi(x, t) jako funkci času ; pro x = 0, a/S, a/4, 3a/8 a X/2, kde A. je vlnová délka. Grafické znázornění by mělo zahrnovat časový interval od t = 0 až do doby o málo větší než jedna perioda, (b) Výsledek lze popsat jako superpozici jedné stojaté vlny a jedné postupné vlny. Jaký je směr šíření této postupné vlny? Jak by bylo nutno změnit obě výchozí vlny, aby jejich součet vyjadřoval opěl superpozici jedné stojaté vlny a jedné postupné vlny, které by nyní měly stejné amplitudy jako dříve, avšak směr šíření postupné vlny by byl opačný? (c) Na základě grafického znázornění funkce y' určete polohu míst, ve kterých je amplituda výsledného kmitání největší a nejmenší. (d) Jak souvisí tato maximální a minimální amplituda s původními amplitudami 2,50 mm a 1,50 mm dvou výchozích postupných vln? Netopýr v úplné tmě nejen „vidí" letící hmyz, ale navíc pozná, jak rychle se vůči němu pohybuje. To mu umožňuje hmyz lovit. Na jakém principu funguje jeho detekční systém? jakým způsobem se může hmyz bránit { 18.2 RYCHLOST ZVUKU 467 Obr. 18.1 Snímek pořízený ultrazvukem: plod se snaží nalézt svůj palec. 18.1 ZVUKOVE VLNĚNI V kap. 17 jsme viděli, že pro vznik mechanického vlnění je potřeba nosné médium, hmotné prostředí. Existují dva typy mechanického vlnění: v příčném jsou kmity kolmé ke směru šíření vlny, zatímco v podélném jsou se směrem šíření rovnoběžné. Zvuk se vždy může šířil jako podélné vlnění; v pevných látkách pak navíc i jako příčné. Zvukové viny se používají při hledání ropy v zemské kůře. Lodě jsou vybaveny sonarem, aby se vyhnuly překážkám skrytým pod hladinou. Ponorky využívají zvukových vln ke zjištění nepřátelských ponorek: pátrají po charakteristických zvucích, které vydává jejich pohon. Na počítačovém snímku hlavy dítěte (obr. 18.1) vidíme, jak lze zvukové vlny použít k výzkumu tkání v lidském těle. V této kapitole budeme zkoumat, jak sc zvuk šíří vzduchem. Obr. 18.2 ilustruje některé základní pojmy, které budeme používat. Bod Z představuje zdroj zvuku zanedbatelných rozměrů, tzv. bodový zdroj. Vlnění se od něj šíří rovnoměrně do všech směrů; bodový zdroj je tedy izotropní. Směr šíření a rozložení zvukových vln jsou znázorněny pomocí vlnoploch a paprsků. Vlnoplocha je plocha, na níž mají všechny částice vzduchu stejně velkou výchylku i rychlost (stejnou fázi); tyto plochy znázorňujeme na dvojrozměrném obrázku pomocí kružnic a oblouků. Paprsky jsou čáry kolmé k vlnoplochám a určují směr postupu vlnoploch. Fakt, že kmity podélného vlnění jsou rovnoběžné s paprsky, je vyznačen na obr. 18.2 krátkou oboustrannou šipkou. V blízkosti bodového zdroje jsou vlnoplochy kulové a šíří se do celého prostoru; pak mluvíme o kulové vlně. Se zvětšující se vzdáleností od zdroje se poloměr postupujících vlnoploch zvětšuje a jejich křivost se zmenšuje. Velmi daleko od zdroje lze vlnoplochy dobře aproximovat rovinami; pak mluvíme o rovinných vlnách. ^-vlnoplochy t i / x J - \ z ■ i Obr. 18.2 Zvukové vlny sc šíří trojrozměrným prostředím od zdroje Z. Vlnoplochy vytvářejí koule se středem v bodě Z. Paprsky mají radiální směr od Z. Krátká oboustranná šipka naznačuje smčr kmitů částic prostředí; je rovnoběžný s paprsky. 18.2 RYCHLOST ZVUKU Rychlost libovolného mechanického vlnění (příčného i podélného) závisí jednak na setrvačných vlastnostech prostředí (souvisejí s kinetickou energií částic prostředí), jednak na jeho vlastnostech elastických (souvisí s potenciální energií). Rov. (17.24), která udává rychlost šíření příčného vlnění na struně, můžeme zobecnit: / t / pružnost v — i — = , /-. V p V setrvačnost (18.1) kde (pro příčné výchylky) je t napětí ve struně a p její délková hustota. Je-li nosným prostředím vzduch, lze ze srovnání odvodil, že setrvačnosti vyjádřené // odpovídá hustota vzduchu q. Čím je třeba nahradit r související s pružností? Potenciální energie je u napjaté struny spojena s vychýlením jednotlivých částic struny. Při průchodu vlny strunou sc výchylka každé částice periodicky mění. Při průchodu zvukové vlny vzduchem se periodicky mění v malých oblastech tlak. Veličinou, která udává, jak částice prostředí mění svůj objem se změnou tlaku (síly na jednotku plochy), je modul objemové pružnosti; je definován (porovnejte s rov. (13.36)) K _Ap_ AV/V (definice K), (18.2) kde AV/V je poměrná změna objemu vyvolaná změnou tlaku Ap. Jednotkou tlaku v ST je newton na metr čtverečný (viz čl. 15.3). tj. pascal (Pa). Vidíme, že jednotka K z rov. (18.2) je také pascal. Znaménko Ap je vždy 468 KAPITOLA VLNY — II Tabulka 18.1 Rychlost zvuku Prostředí v Prostředí V Prostředí v. m-s-1 m-s-1 m-s-1 Plyny' Pevné látky" Kapaliny" Vzduch (0°C) 331 Hliník 6420 Voda (0°C) 1402 Vzduch (20 °C) 343 Ocel 5 941 Voda (20 °C) 1 482 Helium 965 Zula 6 000 Mořská voda* 1522 Vodík 1284 " 0°C a tlak 1 atm, pokud neuvedeno jinak. * Při 20 °C a salinitě 3,5%. opačné než znaménko A V; se zvyšujícím se tlakem (Ap je kladné) se objem elementu zmenšuje (A V je záporné) a naopak. V rov. (18.2) vystupuje proto záporné znaménko, aby K bylo vždy kladné. Záměnou K za r a Q za fi dostaneme vztah pro prostředí s modulem objemové pružnosti K a hustotou Q. V tabulce 18.1 jsou uvedeny rychlosti zvuku v různých prostředích. Hustota vody je téměř tisíckrát větší než hustota vzduchu. Kdyby o rychlosti zvuku rozhodovala pouze hustota, dalo by se očekávat vzhledem k rov. (18.3), že se ve vodě bude zvuk šířit asi třicetkrát pomaleji než ve vzduchu. Z tabulky 18.1 ale vyplývá, že je ve vodě zvuk naopak čtyřikrát rychlejší než ve vzduchu. Proto by měl být modul pružnosti vody více než desetitisíckrát větší než u vzduchu. Tak tomu skutečně je, protože voda je v porovnání se vzduchem mnohem hůř stlačitelná. Odvození rov. (18.3) Rov. (18.3) můžeme také odvodit přímo z druhého Newtonova zákona. Předpokládejme, že samostatný pulz vyššího tlaku se šíří zprava doleva rychlostí o velikosti v vzduchem v trubici. Zvolíme nyní soustavu spojenou s pulzem; v ní má tedy pulz nulovou rychlost. Tuto situaci zachycuje obr. 18.3a. Pulz stojí na místě a vzduch se pohybuje zleva doprava rychlostí o velikosti v. Tlak vzduchu v okolí pulzu označíme p a tlak vzduchu uvnitřpulzu bude p + A/?,kde Ap')&kladné, protože vzduch v pulzu je stlačen. Uvažujme nyní tenkou vrstvu vzduchu o šířce Ax a ploše S, která se pohybuje směrem k pulzu rychlostí v. Dostane-li se tato vrstva do oblasti pulzu, změní se díky odlišnému tlaku její rychlost na v + Au, kde Au má záporné znaménko. Ke zpomalení celé vrstvy dojde za dobu Ax At = —. (18.4) proudící vzduch (element objemu) r- p + Ap, v + Av p, V- ■ Ax pulz (a) p, v— ■ pS-l ^A.t-|— '^(p + Ap)S (b) Obr. 18.3 Pulz stlačeného vzduchu se šíří dlouhou trubicí. Vztažná soustava obrázku je zvolena tak, že pulz zůstává na místě, zatímco vzduch se pohybuje zleva doprava, (a) Tenká vrstva vzduchu šířky Aa se pohybuje směrem k pulzu rychlostí v. (b) Přední stěna vrstvy vstupuje do pulzu. Jsou znázorněny síly vyvolané tlakem vzduchu, působící na přední a zadní stěnu vrstvy. Nyní použijeme na vrstvu vzduchu druhý Newtonův zákon. Během doby Ar působí na zadní stěnu vrstvy směrem doprava síla p S a na přední stěnu síla (p + Ap)S doleva (obr. 18.3b). Výsledné silové působení na vrstvu během doby Ar j c tedy F = pS — (p + Ap)S = —ApS (výsledná síla). (18.5) Záporné znaménko znamená, že výslednice sil míří na obr. 18.3b doleva. Objem vrstvy je SAx, a proto vzhledem k rov. (18.4) platí pro její hmotnost Am = Q SAx = gSvAt (hmotnost) Zrychlení vrstvy během doby At je (zrychlení). (18.6) Ad ~A~t Z druhého Newtonova zákonu (F nic (18.5), (18.6) a (18.7) dostáváme Au (18.7) ma) a z rov- -ApS = (QSvAť) At 18.3 ŠÍŘENÍ ZVUKOVÝCH VLN 469 což můžeme zapsat také jako Qv- Av/v' (18.8) Vzduch, který zabírá vně pulzu objem V = SvAt,je stlačen o A V = SAvAt uvnitř pulzu, a tedy A V SAuAr Ar (18.9) SuAř Dosazením rov. (18.9) a (18.2) do rov. (18.8) dostaneme 2 Ap Ap Av/v AV/V K. Z této rovnice dostaneme výraz pro v shodný s rov. (18.3) pro vzduch pohybující se směrem doprava na obr. 18.3, neboli pro rychlost pulzu doleva v klidném vzduchu. PŘIKLAD 18.1 K určení směru, z něhož k nám přichází zvuk, využívá náš mozek časový rozdíl Ař, s nímž. zvuk dorazí k bližšímu a vzdálenějšímu uchu.* Vzdálenost mezi ušima označme Iq. Předpokládejme, že zdroj zvuku je dostatečně vzdálený, takže přicházející vlnoplochy jsou přibližně rovinné. V této situaci: (a) Nalezněme vztah pro Ař vyjádřený pomocí vzdálenosti Iq a úhlu 9 mezi spojnicí uší a čelem vlnoplochy. ŘEŠENÍ: Sledujme obr. 18.4. Vlnění se šíří od zdroje k pozorovateli. Časový rozdíl je způsoben vzdáleností d, kterou musí každá vlnoplocha urazit, aby po dosažení pravého ucha (P) ještě dospěla k levému (L). Z obr. 18.4 vyplývá Ař = /(i sin 9 (Odpověď) (18.10) kde v je rychlost zvuku ve vzduchu. Náš mozek koreluje zaznamenanou dobu zdržení Ař s hodnotou úhlu 9 směru ke zdroji na základě zkušenosti. (b) Předpokládejte, že jste ponořeni ve vodě o teplotě 20 °C a zprava k vám přicházejí zvukové vlny. V jakém směru budete vnímat zdroj zvuku na základě Ař? ŘEŠENI: Pomocí rov. (18.10) dostaneme časový rozdíl A/v pro tuto situaci, tj. pro 6 = 90°, místo rychlosti zvuku ve vzduchu v dosadíme jeho rychlost ve vodě uv: Ařv = l0 sin 90 (18.11) Vzhledem k tomu, že vv je asi čtyřikrát větší než v, bude Ařv čtyřikrát menší než maximum časového rozdílu ve vzduchu. * Uvedený mechanismus lokalizace není ovšem jediný, uplatňují sc např. i nepatrné mimovolné pohyby hlavou. Náš mozek však odhaduje směr na základě zkušenosti získané ve vzduchu. Proto se nám bude zdát, že zvuk přichází pod úhlem 9 menším než 90°. Abychom ho vyjádřili, dosadíme za Ař do rov. (18.10) časový rozdíl 1q/i\ z rov. (18.11): Iq sin 6 (18.12) Dosazením hodnot v = 343 m-s a i\ = 1 482m-s z ta bulky 18.1 do rov. (18.12) dostáváme v (343 m-s-1) sin ŕ? = — = -— Uv (1 482 m-s-1) 0 = 13c. 0,231 (Odpověď) vlnoplochy L /o P Obr. 18.4 Příklad 18.1. K levému uchu musí vlna urazit vzdálenost o d = l(, sin 6 delší než k pravému. 18.3 SIŘENI ZVUKOVÝCH VLN V této kapitole budeme zkoumat polohové a tlakové výchylky částic vzduchu při sinusovém průběhu zvukových vln. Na obr. 18.5 je zobrazena vlna postupující doprava trubicí se vzduchem. Takovou vlnu můžeme vyrobit třeba periodickým pohybem pístu na levém konci trubice (podobně jako na obr. 17.2). Pohyb pístu doprava posune a stlačí nej-bližší infinitezimální vrstvičku vzduchu; obdobně pohyb pístu doleva způsobí pokles tlaku v této vrstvě. Vzruch, tj. změna tlaku a pohyb vzduchu, vyvolaný pístem, se šíří z vrstvy na vrstvu — a tak vzniká vlnění. Uvažujme nyní v trubici tenkou vrstvu vzduchu tloušťky A.v o souřadnici x. Při průchodu vlny tato vrstva harmonicky kmitá okolo své rovnovážné polohy (obr. 18.5b). Podobně jako kmitají částice struny (příčně), kmitají i infinitezimální vrstvy vzduchu při průchodu vlny, s tím rozdílem, že se u vzduchu jedná o podélné kmity. K popisu polohové výchylky s(x, t) vrstvy vzduchu z jeho rovnovážné polohy můžeme použít buď funkci sinus nebo kosinus. V této kapitole použijeme kosinus: s(x, t) = sm cos(&x — cot). (18.13) 470 KAPITOLA 18 VLNY — II vyšší tlak nižší tlak (a) - \— A.v [_.-- kmitající infinitezimální ' i vrstva (b) rovnovážna poloha Obr. 18.5 (a) Zvuková vlna se šíří rychlostí v trubicí se vzduchem. Skládá se z pohybujících se a periodicky se opakujících oblastí s nízkým a vysokým tlakem. Na obrázku je vlna zobrazena v jednom časovém okamžiku, (b) Zvětšený výřez malé části trubice. Elementární vrstva vzduchu tloušťky Ax harmonicky kmitá při průchodu vlny okolo rovnovážné polohy. V daném okamžiku je vrstva vychýlena o vzdálenost s doprava z rovnovážné polohy. Největší výchylka (doleva i doprava) je sm. Symbol sm označuje amplitudu výchylky, tj. maximální výchylku infinitezimální vrstvy vzduchu z rovnovážné polohy (obr. 18.5b).* Úhlový vlnočet k, úhlová frekvence ca, frekvence /, vlnová délka Ä, rychlost v a perioda T jsou pro zvukové, a tedy podélné vlnění definovány stejně jako pro vlnění příčné a platí mezi nimi stejné vztahy. Výjimkou je X, která nyní označuje nejmenší vzdálenost, na níž se začínají oblasti vyššího a nižšího tlaku opakovat (obr. 18.5a). (Předpokládáme, že sm je mnohem menší než X.) Tlak v kterémkoli místě x se mění při postupu vlny harmonicky, jak dále ukážeme. Tato změna probíhá podle vztahu Ap(x, t) = Apm sm(kx 0)t) (18.14) Záporná hodnota Ap v rov. (18.14) odpovídá roztažení, kladná hodnota stlačení vzduchové vrstvy. Symbol Apm označuje amplitudu tlaku, která odpovídá největšímu nárůstu nebo poklesu tlaku způsobeného vlnou; běžně je A pm mnohem menší než tlak p, který odpovídá tlaku v případě, že není přítomna vlna. Ukážeme, že amplituda tlaku Apm je svázána s amplitudou výchylky sm z rov. (18.13) vztahem APm = (vQa>)sn (18.15) * Pro příčnou výchylku elementu napjaté strany jsme užívali označení y(x.t). Zde píšeme s(x,t), abychom se vyhnuli zápisu x(x,ť) pro podélnou výchylku vzdušného elementu. Na obr. 18.6 j sou grafy rov. (18.13) a (18.14) v čase t = — 0. V průběhu času se obě křivky pohybují doprava podél osy x. Povšimněte si, že polohová a tlaková výchylka jsou vzájemně posunuty o fázi k/2 rad (neboli 90"). Výchylka tlaku je tedy nulová, právě když je výchylka polohy největší. t = 0 x (cm) (a) 30 20 10 0 -10 -20 -30 \ / \ j f \ 20 40 \ epJ 80 10» V / ............tV ...........j................ v / x (cm) (b) Obr. 18.6 (a) Graf polohové výchylky (rov. (18.13)) v čase t = 0. (b) Obdobný graf pro výchylku tlaku (rov. (18.14)). Oba grafy odpovídají zvukové vlně o frekvenci 1 000 Hz, jejíž amplituda je na úrovni prahu bolesti. Viz př. 18.2. J^ONTROLA 1: Co se děje s tlakem v případě, že se infinitezimální vzduchová vrstva z obr. 18.5b pohybuje doprava bodem, v němž je polohová výchylka nulová? Je tlak v rovnovážné poloze, nebo právě začíná růst, či klesat? Odvození vztahů (18.14) a (18.15) Mějme kmitající infinitezimální vrstvu vzduchu o ploše S a tloušťce Ax, jejíž střed je z rovnovážné polohy vychýlen o vzdálenost s (obr. 18.5b). Podle rov. (18.2) platí pro výchylku tlaku ve vrstvičce vzduchu Ap K AV ~V~' (18.16) Veličina V v rov. (18.16) je velikost objemu, daná vztahem V = SAx. (18.17) Přitom AV* v rov. (18.16) označuje změnu (výchylku) objemu související s polohovou výchylkou vrstvy. Změna objemu je způsobena tím, že posunutí obou stěn vrstvy nejsou zcela shodná, liší se o vzdálenost A.v. Platí tedy A V = S As. (18.18) 18.4 INTERFERENCE 471 Dosazením rov. (18.17) a (18.18) do vztahu (18.16) dostaneme po provedení limitního přechodu Ap -K As Ax ■K- ds dx' (18.19) Symbol 3 v rov. (18.19) znamená, že se jedná o parciální derivaci, která říká, jak se mění s se změnou x v pevném časovém okamžiku. Z rov. (18.13) tak dostáváme (s t se zachází jako s konstantou) ds -(.vm cos(A".v — Lot)) — —ksm sin(/í.r — ort). dx dx Po dosazení tohoto výsledku do rov. (18.19) vyjde Ap = Kksm sin(/c.r — ort), čímž jsme vztah (18.14) skutečně dokázali; zřejmě je Apm = Kksm. S použitím rov. (18.3) můžeme nyní psát Apm = (Kk)sm = (v2gk)sm. Odtud po dosazení v = co/k (rov. (17.12)) okamžitě plyne rov. (18.15), kterou jsme chtěli dokázat. PŘIKLAD 18.2 Maximální amplituda tlaku Apm hlasitého zvuku, kterou lidské ucho snese, je asi 28 Pa (což je mnohem méně než běžný tlak vzduchu 10 Pa). Jaké je posunutí sm vzduchové částice u takového zvuku s frekvencí 1 000 Hz? Vzduch má hustotu q = 1.21 kg-m . ŘEŠENÍ: Z rov. (18.15) dostaneme odpověď APm = vqců vg(2r.f) (28 Pa) (343 m-r'Klil kg-m-3)(27i)(l 000Hz) = 1,1-10 5 m = 11 ^m. (Odpověď) Výchylka, kterou lidské ucho snese, je i pro nejhlasitější zvuk zjevně velice malá: okolo jedné sedminy tloušťky listu papíru. Amplituda tlaku Apm pro nejslabší slyšitelný zvuk o frekvenci 1 000 Hz je okolo 2,8-10_5Pa. Uvedeným postupem dostaneme odpovídající amplitudu .sm = 1.1-10-'1 m neboli 11 pm. To je asi jedna desetina typického atomového poloměru. Vidíme, že ucho je velice citlivý detektor zvukových vln. Ucho může zaznamenat zvukové pulzy, jejichž celková energie je na úrovni několika clektronvoitů, což odpovídá energii potřebné k vytržení jednoho elektronu z atomu. 18.4 INTERFERENCE Na obr. 18.7 jsou dva bodové zdroje Z| a zvukového vlnění o vlnové délce k. Zdroje jsou ve fázi. což znamená, že vznikající vlny dosahují maximální výchylky současně. Předpokládejme, že zvukové vlny šířící sc zhruba stejným směrem z. obou zdrojů procházejí bodem P. Je-li v P uražená dráha obou vln stejná, budou i v tomto bodě ve fázi. Pokud se ovšem dráhy vzájemně liší jako na obr. 18.7. pak ve fázi nebudou. Jejich fázový rozdíl v bodě P závisí na jejich dráhovém rozdílu AL. Síří-li se dvě vlny po odlišných drahách, může se jejich fázový rozdíl díky dráhovému rozdílu AL změnit. Obr. 18.7 Ze dvou bodových zdrojů Zi a Z: vycházejí kulové zvukové vlny ve fázi. Paprsky ukazují, že bodem P procházejí vlny s fázovým rozdílem. Fázový rozdíl 2ti rad odpovídá jedné vlnové délce (viz čl. 17.4). Proto pro obecný fázový rozdíl cp mezi dvěma vlnami platí cp AL 7^ ~ ~T~' (18.20) odkud plyne AL. -2ti. (18.21) Zvukové vlnění vykazuje, podobně jako příčné vlnění, dva mezní případy interference: konstruktivní a destruktivní. Konstruktivní interference nastává v případě, že jsou vlny ve fázi, takže fázový rozdíl cp je nulový neboje celočíselným násobkem 2ti, tj. cp = 2nm, m = 0. ±1, ±2, ... (18.22) (konstruktivní interference). Je-li ip lichým násobkem ti, tj. (p = 2n(m + \), m = 0, ±1, ±2,. (destruktivní interference), (18.23) jsou vlny v protifázi a nastává destruktivní interference. Podle rov. (18.21) je zřejmé, že uvedené podmínky lze přepsat na tvar AL = mk, m = 0. ±1. ±2, ... (18.24) (konstrukt! vní interferencc), 472 KAPITOLA 18 VLNY —II resp. AL = (m + i)A., 0, ±1. ±2, (18.25) (destruktivní interference). PŘIKLAD 18.3 Jsou dány dva bodové zdroje Z[ aZ2 zvukových vln o vlnové délce X. Zdroje jsou ve fázi a jejich vzájemná vzdálenost je a = 1.5A, (obr. 18.8). a/2 (a) 1,5/. •1,0/. (b) Obr. 18.8 Příklad 18.3. (a) Dva bodové zdroje Z| a Z2 zvukových vln jsou vc vzdálenosti a. Zdroje jsou ve fázi. Dráha, kterou vlnění urazí kbodu P], je od obou zdrojů stejná. Bod P% leží na polopřímce procházející zdroji Z] a Zi. (b) Fázový rozdíl (v násobcích vlnové délky) vln zc zdrojů Zi a Z2 v osmi bodech na kružnici kolem zdrojů. (a) Zjistěte, jaký je v bodě P\ fázový rozdíl vln ze zdrojů Z| a %i. Bod P\ leží na kolmici, která dělí vzdálenost a na dvě stejné části; vzdálenost bodu P] od zdrojů je mnohem větší než a (obr. 18.8a). Který z typů interferencí nastává v P\ ? ŘEŠENÍ: Vlny ze zdrojů Z\ a Z2 sice nedocházejí k bodu P] ze stejných směrů, ale i tak můžeme pro velké vzdálenosti od bodů oba paprsky prohlásit za prakticky rovnoběžné. Vzdálenost bodu P\ je od obou zdrojů stejná, a proto je dráhový rozdíl vln A L nulový. Z rov. (18.21) dostáváme AL cp : 0. Hodnota

, v bodech C a D, kde kružnice protíná přímku procházející oběma zdroji. Odtud vyplývá, že na kružnici musí existovat mezilehlé body, v nichž jc AL = l,0ž. V těchto bodech nastane konstruktivní interference. I když neurčíme polohy těchto bodů přesně, můžeme je alespoň přibližně na obr. 18.8b odhadnout. Spočítáme-li konstruktivní interferenční body na kružnici, dostaneme odpověď N = 6. (Odpověd) Jí^ONTROLA 2: Kdyby byla vzdálenost a mezi zdroji Z| a Z2 z př. 18.3 rovna 4X, jaký typ interference by nastal (a) v bodě P\, (b) v bodě v /V? Zjistěte odpovídající hodnotu m. 18.5 INTENZITA ZVUKU A JEJÍ HLADINA Zkusili jste někdy spát při hlasité hudbě? Určitě jste si všimli, že existuje ještě další vlastnost zvuku kromě vlnové délky, frekvence a rychlosti. Touto vlastností je intenzita. Intenzita zvuku / je dána průměrnou energií vlnění, která projde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru šíření. Platí tedy P 7' (18.26) 18.5 INTENZITA ZVUKU A JEJÍ HLADINA 473 kde P je výkon zvukové vlny dopadající na plochu S. Intenzita / je s amplitudou polohové výchylky sm svázána vztahem / = ieuo)24- (18.27) Tento vztah brzy odvodíme. Změna intenzity se vzdáleností U skutečného zvuku je změna intenzity se vzdáleností velmi složitou záležitostí. Některé zdroje (např. reproduktory') mohou vysílat zvuk jen do určitého směru, skutečné prostředí zase umožňuje odraz zvukových vln a tedy vznik ozvěn. V některých případech však můžeme zanedbat vliv ozvěn a předpokládat, že vlnění se od zdroje šíří izotropně, tj. se stejnou intenzitou do všech směrů. Na obr. 18.9 jsou v jednom časovém okamžiku vlnoplochy z izotropního bodového zdroje Z. Obr. 18.9 Od bodového zdroje Z vycházejí zvukové vlny rovnoměrně do všech směrů. Vlny procházejí myšlenou koulí se středem v Z a poloměrem r. Předpokládejme nyní, že se celková mechanická energie vln při šíření od zdroje zachovává. Do bodu Z položme střed myšlené koule o poloměru r (obr. 18.9). Veškerá energie ze zdroje musí procházet povrchem této koule, a proto bude výkon vln procházející povrchem koule roven výkonu Pz zdroje. Z rov. (18.26) tedy plyne, že intenzita / je v každém bodu na povrchu koule rovna kde 4kt je velikost povrchu koule. Vztah (18.28) znamená, že intenzita zvuku izotropního bodového zdroje klesá se čtvercem vzdálenosti r od zdroje. J^ONTROLA 3: Na obrázku jsou tři malé plošky 1, 2 a 3 ležící na povrchu myšlených koulí, jejichž společný střed leží v bodovém izotropním zdroji Z. Výkon procházející všemi ploškami je stejný. Seřaďte sestupně plošky (a) podle intenzity zvuku a (b) podle jejich plochy. Stupnice v decibelech V př. 18.2 jsme viděli, že amplituda polohové výchylky, kterou může lidské ucho zaznamenat, leží v intervalu hodnot od 10-5m (u nejhlasitějšího snesitelného zvuku) do K)-11 m (u nejslabšího slyšitelného zvuku). Poměr těchto hodnot je 106. Zrov. (18.27) vidíme, že intenzita zvuku závisí na kvadrátu amplitudy vlny. Poměr intenzit odpovídajících hranicím uchem slyšitelných zvuků tedy bude 1012. Lidské ucho slyší zvuky skutečně v ohromném rozpětí intenzit. Zvuk může rozkmitat stěnu sklenice. Pokud vlivem zvuku vznikne stojaté vlnění a intenzita zvuku je dostatečná, sklenice praskne, Abychom mohli zacházet s tak velkou oblastí hodnot, použijeme funkci logaritmus. Uvažujme vztahy x = 1 Qy neboli y = log x, 474 KAPITOLA 18 VLNY II kde x a y jsou proměnné. Logaritmus má tu vlastnost, že když vynásobíme x číslem 10, zvýší se hodnota vol. Pišme pro lepší představu \'i = log IO.t = log 10 + logx — ] + y. Podobně, vynásobíme-li x číslem 1-1012, zvýší se y pouze o 12. Je tedy daleko výhodnější namísto intenzity zvuku / mluvit o hladině intenzity zvuku fi definované jako /3 = (lOdB)log —, (18.29) h kde dB je zkratka pro decibel, jednotku hladiny intenzity zvuku, pojmenovanou na počest Alexandra Grahama Bel-la. Hodnota 7n v rov. (18.29) je standardní referenční intenzita (10~12 W-m~2), vybraná jako zhruba nejnižší lidským uchem slyšitelná úroveň zvuku. Pro I = Iq dává rov. (18.29)/l = lOlogl = 0, referenční hladina odpovídá tedy nulové hodnotě v decibelech. Hodnota 0 se zvyšuje o lOdB pokaždé, vzroste-li intenzita zvuku o jeden řád (zvětší-li se desetkrát). Hodnota p = 40 tedy odpovídá intenzitě 104krát větší než je referenční hladina. Tab. 18.2 ukazuje hladiny intenzity zvuku v různých situacích. Hlasitost zvuku je pak náš subjektivní vjem, související s hladinou intenzity zvuku. Určuje se porovnáváním zkoumaného zvuku s referenčním tónem výšky 1 000 Hz. Tabulka 18.2 Některé hladiny intenzity zvuku v dB Práh slyšitelnosti 0 Rockový koncert 110 Ševelení listů 10 Práh bolesti 120 Běžný hovor 60 Proudový motor 130 Odvození rov. (18.27) Postup je obdobný jako při odvození rov. (17.35). Uvažujme (obr. 18.5a) tenkou vrstvičku vzduchu o tloušťce dx, ploše 5 a hmotnosti dm kmitající v procházející zvukové vlně dle rov. (18.13). Kinetická energie dE^ vrstvičky vzduchu je d£k = idmr>2, (18.30) kde vs není rychlost procházející vlny, ale rychlost kmitání tohoto elementu vzduchu. Obdržíme ji z rov. (18.13) jako ds v s — — = — cosm sm(kx — ctít), dt Užitím tohoto vztahu a dosazením dm = gSdx upravíme rov. (18.30) na tvar d£j( = l(gSdx)(—casm) sin (kx — cůt). (18.31) Průměrnou kinetickou energii připadající na jednotkovou tloušťku vrstvy vzduchu vypočteme integrací: El = I í d£k. (18.32) a Jo Dosazením z rov. (18.31) dostaneme: £k = \qSco2s^. (18.33) Při odvozem tohoto vztahu jsme použili toho, že průměrná hodnota kvadrátu funkce sinus (nebo kosinus) na intervalu délky a je 1 /2. Předpokládejme, že je potenciální energie nesena spolu s vlnou a má stejnou průměrnou hodnotu jako energie kinetická. Intenzita I vlny, což je průměrná hodnota energie (kinetické + potenciální) prošlé jednotkovou plochou za jednotku času, je I = ^(Ek + Ep)v = -EíV = iQvačs^, což je právě rov. (18.27), kterou jsme chtěli odvodit. Elektrická jiskra letící po přímé dráze o délce h = 10 m vysílá zvukový pulz, který se šíří radiálně symetricky od jiskry. Říkáme, že jiskra je v tomto případě čárový zdroj zvuku. Výkon vysílaného záření je Pz = 1,6-104W. (a) Jaká je intenzita /, dosáhne-li zvukový pulz vzdálenosti r = 12 m od jiskry? ŘEŠENÍ: Představme si myšlený válec (s otevřenými konci) o poloměru r — 12 m a výšce h = 10 m, na jehož ose se nachází dráha jiskry (obr. 18.10). Množství energie, které prochází povrchem válce, se musí rovnat výkonu Pz, se kterým zdroj energii vysílá. Podle rov. (18.26) musí být intenzita / na povrchu válce rovna výkonu Pz dělenému velikostí jeho pláště Ir.rh: Pz 1 = T^T- (18-34) Tento vztah nám říká, že intenzita zvuku z. čárového zdroje klesá se vzdáleností jako r (a ne jako r2, jak tomu bylo u bodového zdroje). Dosazením zadaných hodnot dostáváme výsledek (1.6-104W) ~ 2Ti(12m)(10m) ~ = 21,2W-m_2 = 21 W-mT2. (Odpověd) (b) Jak velký výkon registruje akustický detektor o ploše Sd = 2,0cm2 zaměřený na jiskru ve vzdálenosti r = 12 m od ní? 18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU 475 ŘEŠENÍ: Z rov. (18.26) víme, že Sd Odtud dostaneme po dosazení zadané plochy Su a intenzity / z části (a) PD = (21,2W-m_2)(2,0-10"4m2) =4,2mW. (Odpověď) Skupina Who byla opravdu velmi hlučná. Krátkodobý vliv intenzit tak velkých jako u uvedeného bucharu nebo koncertu Who má za následek dočasné poruchy sluchu. Opakovaný a delší vliv takových intenzit muže způsobit jeho trvalé poškození (obr. 18.11). Ztráta sluchu je vážné riziko pro kohokoliv, kdo poslouchá heavy melal nebo jinou velmi hlučnou hudbu. -jiskra Obr. 18.10 Příklad 18.4. Jiskra radiálně vysílá zvukové vlny podél své přímé dráhy délky h. Vlny procházejí povrchem válce o poloměru r a výšce h, jehož osu tvoří dráha jiskry. PŘIKLAD 18.5 V roce 1976 vytvořila skupina Who rekord v hlasitosti koncertu. Hladina intenzity zvuku byla ve vzdálenosti 46 m před reproduktory fii = 120 dB. Jaký je poměr intenzity b zvuku v daném místě ku intenzitě 7| bucharu pracujícího s hladinou intenzity zvuku f}] = 92 dB? ŘEŠENÍ: Napišme poměr obou intenzit jako h h h/k hl k' Logaritmováním a vynásobením hodnotou 10 dB dostáváme (lOdB)log— = (lOdB)log — - (lOdB)log—. h /o h Z rov. (18.29) pak vidíme, že členy na pravé straně rovnice jsou právě $2&P\- Odtud plyne (lOdB)log — =fa-P\ h (18.35) Všimněme si, že poměr dvou intenzit odpovídá rozdílu příslušných hladin intenzit zvuku. Dosazením zadaných dat dostáváme (10dB)log a log ■ 120 dB -92dB = 28 dB 28 dB h 10dB Odlogarilmováním obou stran dostaneme — = 630. h Obr. 18.11 Příklad 18.5. Peter Townshend ze skupiny Who hrající před reproduktory. Opakovaný a dlouhodobý vliv zvuku o nejvyš-ších intenzitách, speciálně při hraní přímo u reproduktoru kvůli zpětné vazbě, mu přivodil trvalé poškození sluchu. 18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU Hudební zvuky mohou být vytvořeny kmitáním strun (kytara, klavír, housle), membrán (bubny, tamburína), vzduchového sloupce (flétna, hoboj, varhany, fujara — obr. 18.12), dřevěných nebo kovových tyček (marimba, xylofon) nebo mnoha jiných těles. Většina nástrojů také obsahuje více než jednu kmitající část. U houslí se např. na tvorbě zvuku nepodílejí pouze struny, ale i celé tělo (korpus) nástroje. Zopakujme z kap. 17, že stojaté vlnění může vzniknout na struně, napneme-li ji mezi dva pevné body. Vznikne z postupných vln, které běží po struně a odrážejí se na jejích pevných koncích. Vlnová délka takových vln musí 476 kapitola 18 VLNY —II odpovídat vlasmi frekvenci struny. Stojaté vlny pak mohou dlouho kmitat s velkou amplitudou, rozechvívají okolní vzduch a vzniká tak dobře slyšitelný tón o frekvenci kmitající struny. Takto vytváří zvuk např. kytarista. Obr. 18.12 Při hře na tradiční slovenský nástroj fujaru kmitá uvnitř vzduchový sloupec. Stojaté vlnění můžeme obdobné vytvořit i v píšťale — ve vzduchem naplněné trubici. Zvuková vlna šířící se v trubici se odráží na jejích koncích. (Takový odraz vzniká, i když jsou konce trubice otevřeny, ale pak není odraz tak dokonalý jako u konce uzavřeného). Pokud délka vlny odpovídá délce trubice, vznikne složením proti sobě běžících vln vlna stojatá. I její vlnová délka musí opět odpovídat vlasmi frekvenci trubice. Stojaté vlny pak opět mohou dlouho kmitat s velkou amplitudou, rozechvívají okolní vzduch a opět vzniká dobře slyšitelný tón. Takto vytváří zvuk např. varhaník. Mnoho dalších vlastností stojatých zvukových vln je podobných vlnám na struně: uzavřený konec trubice odpovídá upevněnému konci struny, ve kterém se nachází uzel (nulový rozkmit). Otevřený konec trubice odpovídá volně pohyblivému konci struny na kroužku podle obr. 17.16b, kde se zhruba nachází kmitná. (Ve skutečnosti je kmitná až kousek za koncem trubice, ale tímto detailem se zde nebudeme zabývat). Nejjednodušší stojaté vlnění můžeme vytvořit v trubici s oběma otevřenými konci, jak ukazuje obr. 18.13a. Na koncích trubice jsou kmitný, uprostřed trubice je tedy uzel. Nejjednodušší vysvětlení vzniku takové podélné stojaté vlny je (obr. 18.13b) analogie se stojatou příčnou vlnou na struně. Stojatá vlna na obr. 18.13a se nazývá základní mód kmitání neboli první harmonická. Aby mohla vzniknout, musí být vlnová délka X takové vlny v trubici o délce L rovna X = 2L. Několik dalších stojatých vln v trubici s otevřenými konci je znázorněno na obr. 18.14a pomocí analogie s vlnami na struně. Druhá harmonická potřebuje vlnovou délku X = L, třeti harmonická vlnovou délku X = 2L/3 atd. ,4 N A (a) (b) Obr. 18.13 (a) Nejjednodušší podélná stojatá zvuková vlna v trubici s oběma otevřenými konci má kmitný na koncích v bodech A a uzel v bodě N uprostřed trubice. (Výchylky jsou znázorněny dvojitými šipkami různé velikosti.) (b) Odpovídající příčná stojatá vlna na struně. Obecněji řečeno, vlastní frekvence pro trubici délky L s oběma konci otevřenými odpovídají vlnovým délkám 2L X = — (71 = 1,2,3,...), (18.36) 71 kde n je pořadové číslo příslušné harmonické. Vlastní frekvence jsou pak dány vztahem f = T = KF (« = 1.2.3, ...). (18.37) (píšťala s oběma otevřenými konci). kde v je rychlost zvuku. Obr. 18.14b ukazuje v analogii se strunou některé stojaté vlny, které mohou vzniknout v trubici s jedním otevřeným koncem. V otevřeném konci se nachází kmitná a v uzavřeném uzel. Pro nejjednodušší stojatou vlnu je třeba, aby vlnová délka splňovala vztah Z. = A./4,tedyA. = 4L.Druhá nejjednodušší stojatá vlna má vlnovou délku L = 3A./4, tedy X = 4L/3 atd. Obecněji řečeno, vlastní frekvence pro trubici délky L jen s jedním otevřeným koncem odpovídá vlnovým délkám 4L X=— (n = 1,3,5, ...), (18.38) n 18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU 477 n = 2 k = 2L/2 = L X = 21. i 3 n = 4 (a) X = 2L/4 = L /. = 4í. « = 3H n = 5 . = 4L/3 X = 4L/5 k = 4L/7 (b) Obr. 18.14 Typy stojatých vln, které známe ze struny, nakreslené přes trubice pro znázornění stojatých zvukových vln. (a) Jsou-li oba konce trubice otevřené, mohou v ní vzniknout všechny harmonické, (b) Je-li však jeden konec uzavřený, mohou vzniknout jen liché harmonické. kde číslo harmonické n musí být liché. Vlastní frekvence jsou pak / nv 4L in = 1.3.5. ...) (18.39) (píšťala s jediným otevřeným koncem). Ještě jednou zdůrazněme, že v trubici s jediným otevřeným koncem mohou existovatjen liché harmonické. Např. druhá harmonická s n = 2 nemůže v takové trubici vzniknout. Všimněme si také, že v takovém případě spojení,,třetí harmonická" stále znamená harmonickou s n = 3, a ne v pořadí třetí možnou harmonickou, vyskytující se v této trubici (zde např. n = 5). Velikost hudebního nástroje je dána rozsahem frekvencí, pro který byl nástroj stavěn: menší velikost odpovídá vyšším frekvencím. Obr. 18.15 ukazuje jako příklad různé druhy saxofonů a smyčcových nástrojů s příslušným frekvenčním rozsahem. Rozsah každého nástroje se překrývá s rozsahy jeho sousedů. V jakémkoli systému, ve kterém vzniká zvuk, ať už je to houslová struna nebo vzduchový sloupec v píšťale varhan, vznikají vedle základní frekvence obvykle i vyšší harmonické; ty se s ní sčítají a vytvářejí barvu tónu. U různých nástrojů mají vyšší harmonické různé intenzity, což způsobuje různé zabarvení téhož tónu hraného různými ná- basový saxofon barytonový saxofon tenorsaxofon altsaxolbn sopránový saxofon f SX s x y v i housle I viola violoncello basa Obr. 18.15 Vztah mezi velikostí hudebního nástroje a jeho frekvenčním rozsahem na příkladu jednak smyčcových nástrojů, jednak různých druhů saxofonů. Frekvenční rozsah každého nástroje je znázorněn vodorovnou linkou podél měřítka frekvencí (zobrazeného klaviaturou dole: frekvence roste zleva doprava). čas Obr. 18.16 Tóny stejné výšky (tedy vlny se stejnou první harmonickou) vytvořené (a) flétnou, (b) hobojem a (c) saxofonem. stroji. Obr. 18.16 ukazuje, jak se vlny se stejnou základní frekvencí mohou u různých nástrojů lišit. PŘIKLAD 18.6 Slabý šum pozadí vytvoří stojatou vlnu v lepenkové trubici s otevřenými konci, jejíž délka je /. = 67.0 cm. Předpokládejme, že rychlost zvuku ve vzduchu v trubici je 343 ms_1. 478 KAPITOLA 18 VLNY —II (a) Jakou frekvenci uslyšíme, když přiložíme ucho ke konci trubice? ŘEŠENÍ: Svým uchem příslušný konec trubice uzavíráme. Základní frekvence je tedy dána rov. (18.39) pro n = 1: v (343 m- s"1) 41 4(0,670 m) 128 Hz. (Odpověď) Jestliže šum pozadí obsahuje i vyšší harmonické, např. třetí, pak můžeme uslyšet také frekvence, jež jsou lichými násobky 128 Hz. (b) Jakou frekvenci uslyšíme, když oddálíme svou hlavu tak, aby trubice měla oba konce otevřené? ŘEŠENÍ: Pro oba konce otevřené je základní frekvence dána rov. (18.37) pro n = 1: v _ (343 m-s-'; 2L ~~ 2(0,670 m) = 256 Hz. (Odpověď) Jestliže šum pozadí obsahuje i vyšší harmonické, jako např. druhou, pak uslyšíme také frekvence, jež. jsou celočíselnými násobky 256 Hz. V každém případě ale již zvuk s frekvencí 128 Hz slyšet nebudeme. K ONTROLA 4: Trubice A délky L a trubice B délky 2 L mají každá oba konce otevřené. Kolikátá harmonická, příslušná trubici B, má stejnou frekvenci jako základní tón trubice A? 18.7 ZÁZNĚJE Když posloucháme po sobě dva tóny, jejichž frekvence jsou řekněme 552 Hz a 564 Hz, většina z nás je od sebe nedokáže odlišit. Když ale oba tóny dorazí do našeho ucha současně, uslyšíme tón, jehož frekvence je 558 Hz, tedy průměr původních dvou frekvencí. Navíc zaznamenáme střídavé změny v intenzitě zvuku: ta roste a opět klesá v poměrně pomalých rázech, které se opakují s frekvencí 12 Hz, tedy rozdíl em obou původních frekvencí. Obr. 18.17 ukazuje tyto rázy neboli zázněje. Nechť je časový průběh výchylek dvou zvukových vln v daném místě určen vztahem íl = Sm COSWif Si = Sm COS (int. (18.40) (Předpokládáme pro jednoduchost, že vlny mají stejnou amplitudu.) Podle principu superpozice jc výsledná výchylka rovna S = 51 + $2 = ím(COS Cú[t + COSO>2t). U v y AAAAAAA/VWW „ i/WV mm, (c) Obr. 18.17 (a, b) Průběh tlaku Ap dvou zvukových vln, měřený pro každou vlnu zvlášť. Frekvence vln jsou téměř stejné, (c) Výsledný průběh tlaku v případě, že jsou vlny měřeny současně. Goniometrická identita (dodatek E) cos a + cos P — 2 cos \ (a — /}) cos i (a + l3) nám umožní přepsat výslednou výchylku do tvaru (18.41) Když ještě položíme S = 2$ra COS ň(a>i — OJ2)t cos h(cO] + a>2)t. co = lj(a)\ — coi) a o) = \{a>\ + 0)2), (18.42) můžeme přepsat rov. (18.41) do tvaru s (t) = (2sm cos co'i) cos cot. (18.43) Předpokládejme nyní, že úhlové frekvence as\ a «2 skládajících se vln jsou skoro stejné, tedy že v rov. (18.42) platí co » 10'. Potom můžeme považovat rov. (18.43) za kosinusoidu, jejíž úhlová frekvence je co a amplituda jc výraz v závorce (který není konstantní, ale pozvolna roste a klesá, a to s frekvencí co'). Tato amplituda bude maximální, kdykoli cos co't v rovnici (18.43) bude roven jedné nebo minus jedné; to nastane během každé periody kosinusoidy dvakrát. Protože cos co't má úhlovou frekvenci co', bude úhlová frekvence, s kterou se budou opakovat rázy, rovna ň;ráZy = 2a/. Potom s pomocí rov. (18.42) můžeme psát -razy 2co' = 2(j)(co\ — C02) — a>\ — ců2- Protože ale platí co = 2ti/, můžeme psát /rázy = h - h (frekvence záznějů). (18.44) 18.8 DOPPLERŮV JEV 479 Hudebníci používají zázněje k ladění svých nástrojů. Když necháme nástroj znít současně s nějakou standardní frekvencí (např. komorním a hraným na první hoboj) a ladíme jej, dokud rázy nezaniknou, bude nástroj sladěn s tímto standardem. Ve Vídni, proslavenou její dávnou hudební tradicí, je komorní a (a1. 440 Hz) zavedeno jako telefonní služba pro potřeby profesionálních i amatérských hudebníků ve městě. J^ONTROLA 5: V př. 18.7 přitáhneme strunu a frekvence rázů vzroste z 6 Hz na 7 Hz. Máme pokračovat s utahováním struny, nebo ji naopak povolit, abychom ji správně naladili? 18.8 DOPPLERŮV JEV Siréna policejního auta zaparkovaného u kraje silnice vydává zvuk o frekvenci 1000 Hz. Jestliže také parkujete u kraje, uslyšíte tutéž frekvenci. Ale v případě, že se vůči policejnímu autu pohybujete, ať už směrem k němu nebo od něj, uslyšíte jinou frekvenci. Například když se k policejnímu autu blížíte rychlostí 120km/h, uslyšíte vyšší frekvenci (1 096 Hz, tedy nárůst o 96 Hz). Když sc od policejního auta vzdalujete stejnou rychlostí, uslyšíte nižší frekvenci (904 Hz. tedy pokles o 96 Hz). Tyto změny frekvence v závislosti na pohybu jsou příkladem Dopplerova jevu. Tento jev byl objeven (i když ne zcela objasněn) v roce 1842 rakouským fyzikem Johan-nem Christianem Dopplerem. Experimentálně jeho existenci potvrdil roku 1845 Buys Ballot v Holandsku (použil přitom ,,... lokomotivu, která táhla otevřený vagon s několika trumpetisty."). Dopplerúv jev se projevuje nejen u zvukových vln, ale také u elektromagnetických vln včetně mikrovln, rádiových vln a viditelného světla. Policie používá Dopplerúv jev u mikrovln k měření rychlosti auta: radarová jednotka vysílá svazek mikrovln jisté frekvence / směrem k přijíždějícímu autu. Mikrovlny, které se odrazí od kovových součástí auta zpět. mají vyšší frekvenci /' úměrnou rychlosti pohybu auta vůči radarové jednotce. Radarová jednotka zachytí rozdíl mezi /' a /" a převede jej na rychlost auta, která se pak přímo zobrazí na displeji. Zobrazená rychlost jc však správná, jen když se auto pohybuje přímo k radarové jednotce nebo přímo od ní; není-li tomu tak. je měřená frekvence /' nižší a tím vyjde nižší i měřená rychlost. x Obr. 18.18 Stacionární zdroj zvuku Z vysílá kulové vlnoplochy (znázorněné ve vzdálenosti jedné vlnové délky), které se rozbíhají rychlostí v. Detektor zvuku D (zobrazený jako ucho) se pohybuje rychlostí vx> ke zdroji. Díky svému pohybu zachytí detektor vyšší frekvenci zvuku. V následujícím rozboru se omezíme na zvukové vlny a za vztažnou soustavu vezmeme vzduch, jímž vlny procházejí. (Pokud není uvedeno jinak, je vzduch v klidu vzhledem k Zemi, takže rychlosti můžeme také měřit vůči Zemi.) Budeme předpokládat, že se Z a D budou pohybovat přímo k sobě nebo přímo od sebe rychlostmi menšími, než je rychlost zvuku. Nejprve odvodíme rovnice pro Dopplerúv jev ve dvou speciálních situacích: (1) pro detektor v pohybu a zdroj v klidu a (2) pro zdroj v pohybu a detektor v klidu. Potom rovnice popisující tyto případy spojíme a dostaneme rovnici obecného Dopplerova jevu, která platí nejen pro oba uvedené případy, ale i pro situace, kdy sc zároveň pohybuje zdroj i detektor. Detektor v pohybu, zdroj v klidu Na obr. 18.18 se detektor D (znázorněný jako ucho) pohybuje rychlostí v o směrem ke klidnému zdroji Z, který vysílá kulové vlnoplochy o vlnové délce X a frekvenci / šířící PŘÍKLAD 18.7 Chcete naladit notu „a" na klavíru na její správnou frekvenci 220 Hz, ale máte k dispozici jen ladičku „a s frekvencí 440 Hz. Jak budete postupovat? ŘEŠENÍ: Tyto dvě frekvence jsou příliš vzdálené na to, aby vytvořily rázy. Připomeňme si naši analýzu rov. (18.43), kde jsme předpokládali, že skládající se frekvence jsou dostatečně blízko. Použijeme ale toho. že 440 Hz = 2 ■ 220 Hz je druhá harmonická frekvence 220 Hz. Předpokládejme, že struna klavíru je rozladěna, tj. její základní frekvence není přesně 220 Hz. Posloucháme rázy mezi základní frekvencí ladičky a druhou harmonickou „a1" tónu „a" na klavíru, přičemž slyšíme rázy s frekvencí např. 6 Hz. Pak povolujeme nebo utahujeme strunu, dokud rázy nezmizí — a struna je naladěna. 480 KAPITOLA 18 VLNY —II se rychlostí v zvuku ve vzduchu. Znázorněné vlnoplochy jsou od sebe vzdáleny o jednu vlnovou délku. Frekvence zaznamenaná detektorem D je dána tím, jak často přicházejí vlny na detektor (resp. počtem vlnových délek, které projdou detektorem za jednotku času). Je-li D v klidu, je tato hodnota rovna /, ale když se D pohybuje vstříc vlno-plochám, bude počet prošlých vlnových délek za sekundu větší, tzn. zaznamenáme frekvenci /' vyšší než /. Uvažujme zatím situaci, kdy je D v klidu (obr. 18.19). Za dobu / se vlnoplochy posunou doprava o vzdálenost vt. Počet vlnových délek na tomto intervalu délky vt odpovídá počtu vlnových délek, které projdou detektorem za dobu ř. tzn. tento počet je roven vt/X. Počet vlnových délek, které projdou detektorem za dobu / (odpovídá frekvenci zaznamenané detektorem), je tedy vt/X v f = — = -. (18.45) r /. Zatím je tedy D v klidu a k Dopplerovu jevu nedochází: frekvence zaznamenaná detektorem jc shodná s frekvencí vyslanou zdrojem. Obr. 18.19 Vlnoplochy z obr. 18.18 (pro jednoduchost rovinné) (a) dosáhnou, (b) opustí detektor D, který jc v klidu; za dobu t se vlny posunou o vzdálenost vt doprava. Vraťme se zpět k situaci, kdy se D pohybuje vstříc vlnoplochám (obr. 18.20). Za dobu t se vlnoplochy posunou doprava o vzdálenost vt jako v předchozím případě, ale zároveň se D posune doleva o vzdálenost v^t. Proto se za tuto dobu t posunou vlnoplochy vzhledem k D o vzdálenost vt + iTjř. Počet vlnových délek na intervalu této délky (vt + vryt) je roven počtu vlnových délek, které projdou detektorem za dobu ř, tedy (vt + vjjt)/X. Počet vlnových délek, které projdou detektorem za jednotku času (je roven frekvenci /' zaznamenané detektorem), je dán vztahem (Vl + v[)t)/A v + l'D Z rov. (18.45) víme, že platí /. rov. (18.46) dostaneme v/f. Dosazením do _ V + VD _ V + 1,'p v/f v (18.47) Všimněme si, že podle rov. (18.47) musí být /' vyšší než /, pokud není urj = 0 (detektor v klidu). (a) (b) Obr. 18.20 Vlnoplochy (a) přicházejí k detektoru, (b) vzdalují se od detektoru D, který se pohyboval proti nim. Za dobu t sc vlnoplochy posunou o vzdálenost vt doprava a D sc posune o vzdálenost vr>t doleva. Podobně odvodíme frekvenci změřenou detektorem v případě, žc sc detektor pohybuje od zdroje. V takovém případě se vlnoplochy posunou o vzdálenost vt— vqí vzhledem k D za dobu t a frekvence /' bude dána vztahem v - vD (18.48) Podle rov. (18.48) musí být frekvence /' nižší než /', ncní-li ovšem vd = 0. Rov. (18.47) a (18.48) můžeme shrnout do tvaru Z' = / v ± l'u (detektor v pohybu; zdroj v klidu). (18.49) (18.46) Znaménko v rovnici rov. (18.49) můžeme určit z fyzikální zkušenosti: pohybuje-li se detektor ke zdroji, je frekvence vyšší (směrem k sobě znamená vyšší), tzn. použijeme znaménko + v čitateli. V opačném případě použijeme znaménko minus. Zdroj v pohybu; detektor v klidu Uvažujme detektor D v klidu vzhledem k okolnímu vzduchu a zdroj Z, který' se pohybuje k D rychlostí vz podle 18.8 DOPPLERŮV JEV 481 obr. 18.21. Pohybem Z se mění vlnová délka vyslaného zvuku, a tedv i frekvence zaznamenaná detektorem. vd = 0 Obr. 18.21 Detektor D je v klidu; zdroj se pohybuje směrem k detektoru rychlostí irj| je rychlost relativního pohybu zdroje vzhledem k detektoru. Pravidlo pro znaménka zůstává stejné: jestliže se detektor a zdroj pohybují směrem k sobě, dostáváme vyšší frekvenci a v rov. (18.54) použijeme znaménko +. V opačném případě, kdy se zdroj a detektor pohybují od sebe, frekvence poklesne a použijeme znaménko minus. K ONTROLA 6: Obrázek znázorňuje pohyb detektoru a zdroje zvuku pro šest situací v klidném vzduchu. 7droj (a) (b) (c) detektor • klid • klid zdroj detektor (d) (e) CO 482 KAPITOLA 18 VLNY— II Pro každou situaci rozhodnete, jestli bude změřena frekvence vyšší, nebo nižší než vyslaná frekvence, nebo zda to nemůžeme určit bez dalších informací. Nadzvukové rychlosti; rázové vlny Jestliže se zdroj pohybuje směrem ke klidnému detektoru právě rychlostí zvuku, tedy v% = v, předpovídá rov. (18.52), že frekvence /' bude nekonečně vysoká. To znamená, že se zdroj pohybuje tak rychle, že se stále dotýká již dříve vyslaných vlnoploch, jak ukazuje obr. 18.22a. A co se stane, když rychlost zdroje překročí rychlost zvuku? Obr. 18.22 (a) Zdroj zvuku Z se pohybuje rychlostí vz právě rovnou rychlosti zvuku, tzn. stejně rychle, jak se pohybují vlno-plochy. (b) Zdroj Z se pohybuje rychlostí větší, než je rychlost zvuku, tzn. rychleji než vlnoplochy. Když byl zdroj v poloze Zj, vyslal vlnoplochu Wy, v poloze Zg vyslal vinoplochu Wg. Všechny tyto kulové vlnoplochy se šíří rychlostí zvuku v a hromadí se podél povrchu kužele zvaného Machův kužel, čímž vytvářejí rázovou vlnu. Vrcholový úhel kužele je 29; kužel je tečný ke všem vlnoplochám. Pro nadzvukové rychlosti už rov. (18.52) neplatí. Takovou situaci popisuje obr. 18.22b, který znázorňuje kulové vlny, vzniklé v různých polohách zdroje. Poloměr každé z vln je na tomto obrázku vt, kde v je rychlost zvuku a / doba, která uplynula od okamžiku, kdy zdroj vlnoplochu vyslal. Všimněme si, že se vlnoplochy hromadí na obálce tvaru V (obr. 18.22b), resp. ve trojrozměrném prostoru na povrchu kužele zvaného Machův kužel (podle Ernsta Macha, rodáka z Chrlic u Brna). Povrch tohoto kužele vytváří rázovou vlnu, protože nahromaděné vlnoplochy způsobují strmý nárůst a pokles tlaku vzduchu v místě, kterým povrch kužele prochází. Z obr. 18.22b je patrné, že poloviční úhel kužele 9, zvaný Machův úhel, je dán vztahem sin# = — = — (Machův úhel). (18.55) 1'zí i'z Poměr vz/v se nazývá Machovo číslo. Jestliže uslyšíte, že letadlo má 2,3 machů, znamená to, že letí 2,3krát rychleji než zvuk ve vzduchu. Rázová vlna způsobená nadzvukovým letadlem nebo střelou (obr. 18.23) vytváří aerodynamický třesk, při kterém tlak vzduchu nejprve náhle vzroste a poté klesne pod normál, než se opět vrátí k původní hodnotě. Obr. 18.23 Obrázek v nepravých barvách. Dvacetimili metrová střela se pohybuje s Machovým číslem 1,3. Všimněte si prvního Machova kužele vytvořeného čelem střely a sekundárních kuželů vzniklých nepravidelnostmi na povrchu střely. PŘÍKLAD 18.8 Maketa rakety se pohybuje rychlostí 242 m-s 1 klidným vzduchem přímo k nehybnému stožáru. Přitom vysílá zvukové vlny o frekvenci / = 1 250 Hz. (a) Jakou frekvenci /' naměří detektor, který je připevněn ke stožáru'.' ŘEŠENÍ: K určení /' použijeme rov. (18.53) pro obecný Dopplerův jev. Protože je detektor v klidu, dosadíme up = 0. Zdroj zvuku (raketa) se pohybuje směrem k detektoru, proto 18.9 doppi.f.rův JEV U světla 483 použijeme ve jmenovateli znaménko minus. Dosazením zadaných hodnol a hodnoty v = 343 m-s-1 z tab. 18.1 zjistíme naměřenou frekvenci ./" = f- - = (1 250 Hz) v — l'z = 4245 Hz = 4 250 Hz. (343 m-s-1) (343 m-s"') (242 m-s"1) (Odpověď) Tento výsledek můžeme zběžně ověřit fyzikální zkušeností: jestliže se zdroj pohybuje směrem ke klidnému detektoru, pak změřená frekvence (zde 4 245 Hz) by měla být vyšší než vysílaná frekvence (1 250 Hz). (b) Část zvukové vlny se od stožáru odrazí zpět k raketě, která má svůj vlastní detektor. Jakou frekvenci f'" zaznamená? ŘEŠENÍ: Stožár nyní slouží jako zdroj zvuku, který působí tak, že odráží zvukovou vlnu, tzn. vytváří ozvěnu. Frekvence vlny odražené od stožáru je stejná jako frekvence /' = 4 245 Hz. kterou „vnímá" stožár. Protože nyní je v klidu zdroj (stožár), pokládáme v rov. (18.53) vz = 0. Detektor (v raketě) se pohybuje k novému zdroji, proto použijeme znaménko + v čitateli. Frekvence zaznamenaná detektorem v raketě je tedy v 7 240 Hz. (4 245 Hz) (343m-s_1) + (242 m-s-1) (343 m-s-1) (Odpověď) Výsledek můžeme opět zběžně ověřit: jestliže se detektor pohybuje směrem k nepohyblivému zdroji, měla by být zaznamenaná frekvence (zde 7 240 Hz) vyšší než vyslaná frekvence (4 245 Hz). J^ONTROLA 7: V př. 18.8 navíc předpokládejte, že se vzduch pohybuje směrem k tyči rychlostí 20m-s-1. Jaká rychlost zdroje vz by měla být použita v řešení části (a) a jakou rychlost i>rj by měl mít detektor v části (b)? PŘIKLAD 18.9 Netopýři se orientují a hledají kořist vysíláním a přijímáním odrazů ultrazvukových vln, jejichž frekvence jsou vyšší než je schopen slyšet člověk. Předpokládejme, žc netopýr letí k mušce rychlostí va = 9,0 m-s-' (vůči zemi), kdežto muška letí k netopýrovi rychlostí vm = 8,0 m-s-1 (také vůči zemi). Netopýr ze svých nozder vysílá ultrazvukové vlny o frekvenci /nv, které se odrážejí od mouchy a vracejí zpět k netopýrovi s frekvencí /„„. Netopýr upraví vysílanou frekvenci /nv takovým způsobem, že odražená vlna bude mít frekvenci fD0 rovnou 83 kHz, na které je sluch netopýra nejcitlivější. (a) Jakou frekvenci fm slyší muška (taková frekvence se od ní také odráží), když fa0 je 83 kHz? ŘEŠENÍ: Vyjdeme z rov. (18.53), kde zdrojem je muška (resp. odražené vlny s frekvencí /m) a detektorem netopýr (vnímá ozvěnu s frekvencí /no = 83 kHz). Protože sc detektor pohybuje ke zdroji (rychlostí yn), použijeme znaménko + v čitateli rov.(18.53). Navíc se zdroj pohybuje k detektoru (rychlostí vm), takže použijeme znaménko minus ve jmenovateli. Tím dostaneme f no — fr V + Vn V - V„ neboli odkud ,„.„ . . (343m-s-1) + (9.0m-s-1 (83 kHz) = /m—-ry-——-- (343m-s ') — (8.0m-s 1 fm = 78,99 kHz = 79 kHz. (Odpověď) (b) Jakou frekvenci fm vysílá netopýr, když slyší frekvenci /no = 83 kHz? ŘEŠENÍ: Opět použijeme rov. (18.53), ale nyní je netopýr zdrojem (o frekvenci fm) a muška detektorem (přijímá frekvenci /m). Protože se detektor pohybuje ke zdroji (rychlostí Dm), použijeme znaménko + v čitateli rov. (18.53). Zdroj se navíc pohybuje k detektoru (rychlostí in). takže použijeme znaménko minus ve jmenovateli. V takovém případě dostaneme fra — fnv V + v„ neboli (78,99 kHz) = j\ (343 m-s ') + (8,0m-s_1) (343 m-s l) - (9.0m-s-')' odkud /„v = 75 kHz. (Odpověď) Netopýr určuje relativní rychlost pohybu mušky (17 m/s) z rozdílu 8 kHz (= 83kHz — 75 kHz), o který musí snížil vysílanou frekvenci, aby slyšel ozvěnu na frekvenci 83 kHz (kde slyší nejlépe). Některé mušky se vyhýbají ulovení tím. že odlétají přímo od směru, ve kterém slyší ultrazvukové vlny. Tato volba dráhy letu zmenšuje rozdíl frekvencí, které netopýr vysílá a přijímá, takže netopýr ozvěnu snadněji přeslechne. Jiné mušky se brání ulovení bzučením, které vytváří jiné ultrazvukové vlny, čímž netopýra zmatou. 18.9 DOPPLERUV JEV U SVETLA Je lákavé pokusit se použít vztah pro Dopplerův jev, odvozený v předcházející kapitole pro zvukové vlny 484 KAPITOLA 18 VLNY —II (rov. (18.53)), také pro světelné vlny, a to jednoduchým dosazením rychlosti světla c místo rychlosti zvuku v. Takovému pokušení je však třeba odolat. Důvod je zajímavý. Zvukové vlny totiž potřebují prostředí, ve kterém se mohou šířit, zatímco světlo ne. Rychlost zvuku se proto také vždy, na rozdíl od rychlosti světla, měří vzhledem k prostředí. Rychlost světlaje ale stejná ve všech inerciálních systémech, a to ve všech směrech. Právě z těchto důvodů, jak ukazuje Einsteinova teorie relativity, závisí Dopplerův jev u světla pouze na vzájemné rychlosti světelného zdroje a detektoru. Přestože se rovnice Dopplerova jevu pro světlo a pro zvuk od sebe liší, lze je při nízkých rychlostech zjednodušit tak, že mají stejný tvar. (Dokonce je pravda, že všechny výsledky získané pomocí teorie relativity přecházejí při nízkých rychlostech na výsledky známé z klasické fyziky). Proto lze po dosazení v = c použít rov. (18.54) i pro světelné vlny, pokud platí u <$C c, kde u je vzájemná rychlost zdroje a detektoru. Jako dobré přiblížení je tedy možné použít /' = f(l ± u/c) (světlo; u « c). (18.56) Jestliže se k sobě zdroj a detektor přibližují, předpokládáme, že frekvence vzroste, a podle naší znaménkové dohody použijeme v rov. (18.56) znaménko plus. Při měření Dopplerova jevu na světelných vlnách v astronomii je snazší měřit vlnovou délku než frekvenci. V rov. (18.56) tedy nahradíme / = c/X a /' = c/ä', čímž získáme ä' = ä(i ±u/cy] %á(i t-m/c). To můžeme upravit na tvar X' — X u —;— = t-X c neboli A ä u = —c (světlo; u « c), (18.57) kde Ak je velikost (bez znaménka) Dopplerova posuvu vlnové délky. Rov. (18.57) ukazuje, jak můžeme zjistit vzájemnou rychlost zdroje a detektoni ze změny vlnové délky. Pokud se vlnová délka zmenšuje („modrý posuv", neboť modrá část viditelného spektra má kratší vlnovou délku), zvětšuje se frekvence a znamená to, že se zdroj a detektor navzájem přibližují. Pokud se vlnová délka zvětšuje („rudý posuv"), zdroj a detektor se vzájemně vzdalují. Astronomové měřící posuvy vlnových délek světla, které k nám přichází z dalekých hvězd a galaxií, zjistili, že světlo ze všech vzdálených galaxií vykazuje rudý posuv. To znamená, že všechny tyto galaxie se od nás vzdalují, a to dokonce tím rychleji, čím jsou od nás dál. PŘÍKLAD 18.10 Obr. 18.24a ukazuje závislost intenzity na vlnové délce světla přicházejícího z mezihvězdného plynu, který se nachází ve dvou protilehlých oblastech galaxie M87 (obr. 18.24b). Jedna křivka má pík (tj. ostré maximum) v 499,8 nm, druhá v 501,6 nm. Plyn obíhá okolo jádra galaxie ve vzdálenosti r = 100 světelných let; při jedné straně se tedy pohybuje směrem k nám, při druhé naopak od nás. (a) Jaká křivka odpovídá pohybu plynu směrem k nám? Jaká je relativní rychlost plynu vzhledem k nám (a vzhledem k jádru galaxie)? vlnová délka (nm) (a) (b) Obr.18.24 Příklad 18.10. (a) Závislost intenzity na vlnové délce svěda vyzařovaného plynem v protilehlých oblastech galaxie M87. (b) Centrální oblast galaxie M87. Kroužky ukazují polohu plynu, jehož intenzita záření je znázorněna v (a). Střed galaxie se nachází uprostřed mezi oběma kroužky. ŘEŠENÍ: Kdyby se plyn nepohyboval okolo jádra galaxie, naměřili bychom světlo s vlnovou délkou X (danou procesem emise a rychlostí pohybu galaxie směrem od nás). Vlnová délka světla vysílaného z pohybujícího se plynu se však díky Dopplerovu jevu posouvá. Při pohybu plynu směrem od nás vlnová délka roste, při pohybu směrem k nám klesá. Křivka s maximem v 501,6 nm tedy odpovídá pohybu plynu směrem od nás a křivka s maximem v 499,8 nm odpovídá pohybu směrem k nám. Předpokládejme, že vzrůst a pokles vlnové délky pohybujícího se plynu je co do velikosti stejný. Potom původní vlnová délka X musí být průměrem obou posunutých vlnových délek: 501.6nm + 499,8nm X = -■- = 500,7 nm. 2 Dopplerův posuv Až světla z plynu pohybujícího se směrem od nás je pak AX = 501,6 nm - 500,7 nm = 0,90 nm. Dosazením tohoto výsledku a hodnoty X = 500,7 nm do rov. (18.57) vypočítáme, že se plyn pohybuje směrem od nás PŘEHLED & SHRNUTÍ 485 rve hl ostí Až (0,90 nm) X (501,6 nm 5,39-105ms '. (3,0-10sm-s_l) (Odpověď) (b) Plyn obíhá okolo jádra galaxie, které na něj, díky své hmotnosti M, působí gravitační silou. Jak velká je tato hmotnost v násobcích hmotnosti Slunce Ms = 1.99-10-10 kg? ŘEŠENI: Z rov. (14.1) vyplývá, že gravitační síla působící na částici plynu o hmotnosti //; obíhající ve vzdálenosti r je G Mm Po použití druhého Newtonova zákona na částici plynu a po dosazení dostředivého zrychlení u2/r za a dostaneme G,M m mu2 Po dosazení známých hodnot dostaneme M u r ~G (5,39-105 m-s" 1 )2(100 ly)(9,46-1015 m/ly) (6,67-lQ-11 N-m2-kg-2) 4.12-1039 kg = 2 • 109MS. (Odpověď) Tento výsledek nám ukazuje, že v jádru galaxie jc namačkána hmota o velikosti dvou miliard Sluncí. To velmi silně nasvědčuje tomu, že jádro galaxie obsahuje supertěžkou černou díru. PŘEHLED & SHRNUTÍ Zvukové vlny Zvukové vlny jsou mechanické vlny šířící se pevným, kapalným nebo plynným prostředím. Mohou být podélné (kdekoliv) anebo příčné (pouze v pevných látkách). Rychlost zvukové vlny i> v prostředí s modulem objemové pružnosti K a hustotou q je ÍK v= i— (rychlost zvuku). (18.3) V e Ve vzduchuje při teplotě 20; C rychlost zvuku 343 m-s-1. Zvuková vina způsobuje podélnou výchylku s částice prostředí podle vztahu s(x, t) = sm cos(fcc - mt), (18.13) kde sm je amplituda výchylky (maximální výchylka z rovnovážné polohy), k — 2k/X, co = 2rc/, Ä je vlnová délka a / frekvence zvukové vlny. Zvuková vlna také způsobuje odchylku tlaku Ap prostředí od rovnovážného tlaku: Ap(x, t) = Apm ún(kx - cot), (18.14) kde amplituda tlaku je Apm = (vQcó)sm. (18.15) Interference Výsledek interference (skládání) dvou vln o stejné vlnové délce procházejících jedním bodem závisí na jejich fázovém rozdílu

2s2 . (18.27) 486 KAPITOLA 18 VLNY —II Intenzita ve vzdálenosti r od bodového zdroje vysílajícího zvukové vlny o výkonu Pz je / = 4wz (18.28) Hladina intenzity zvuku v decibelech Hladina intenzity zvuku v decibelech dB je definována jako P = (10dB)log (18.29) kde /o = l-10-12W-m_2 je referenční hladina, ke které se všechny ostatní hodnoty vztahují. Každému zvýšení intenzity o desetinásobek odpovídá nárůst hladiny zvuku o 10dB. Stojaté vlnění v trubicích V trubicích lze vybudit stojaté vlnění. Trubice délky L otevřená na obou koncích bude rezonovat při frekvencích v n v f = - = —, n — 1.2,3, ... (otevřená trubice). (18.37) X 2L kde u je rychlost zvuku ve vzduchu uvnitř trubice. Trubice, která je otevřená jen na jedné straně a uzavřená na druhé, má vlastní frekvence V n v f=- = —, r = 1,3,5,.,. a AI. (trubice otevřená jen na jedné straně) (18.39) frekvence zdroje / vztahem f = f- (obecný Dopplerův jev), v T i'Z (18.53) kde resp. vz je relativní rychlost detektoru, resp. zdroje vůči prostředí a v je rychlost zvuku v tomto prostředí. Znaménka jsou volena tak, aby /' rostla při vzájemném pohybu zdroje a detektoru k sobě a klesala při jejich pohybu směrem od sebe. Rázová vlna Pokud rychlost zdroje vzhledem k prostředí překročí rychlost šíření zvuku v prostředí, pozbývá Dopplerova rovnice platnosti. V takovém případě dojde ke vzniku rázové vlny. Vrcholový úhel 29 kuželové vlnoplochy (obr. 18.22) je dán vztahem siné? = — (Machův úhel). (18.55) Dopplerův jev pro světlo Pokud se světelný zdroj a detektor pohybují vzájemnou rychlostí u «c, bude naměřená frekvence světla /' rovna f' = f(\±u/c). (18.56) Rázy Rázy vznikají při skládání dvou vln o blízkých frekvencích f\ a fi. Frekvence rázuje rovna /rázv — f' J 2- (18.44) kde / je frekvence, která by byla naměřena, pokud by zdroj a detektor byly navzájem v klidu. Vzájemná rychlost u je spojena s posuvem vlnové délky AÄ vztahem AÁ u = —c, X (18.57) Dopplerův jev Při Dopplerově jevu se mění pozorovaná frekvence vlny tím, že se zdroj nebo detektor (nebo oba) pohybují vzhledem k prostředí. Pro zvuk je pozorovaná frekvence /' vyjádřena pomocí kde X je vlnová délka při vzájemném klidu (u — 0). Pokud se zdroj a detektor pohybují směrem k sobě, je posuv AX záporný (modrý posuv), pokud se od sebe vzdalují, je posuv AA kladný (rudý posuv). OTÁZKY 1. Obr. 18.25 ukazuje dráhy dvou zvukových pulzů, které odstartovaly ve stejný okamžik a závodí spolu ve vzduchu na tratích stejné délky. Jediný rozdíl je v tom, že podél 2. dráhy se nachází oblast horkého vzduchu (nízké hustoty). Který pulz zvítězí? dráha I dráha 2 horký vzduch Obr. í 8.25 Otázka 1 2. Zvuková vlna o vlnové délce X a amplitudě výchylky sm se začne šířit chodbou. Ve chvíli, kdy malé zařízení zachytí tuto vlnu, vyšle samo druhou zvukovou vlnu („antizvuk"), která dokáže odrušit první vlnu tak. že na konci chodby není nic slyšet. Jaký musí být (a) směr šíření, (b) vlnová délka a (c) amplituda výchylky druhé vlny, aby bylo takové odrušení možné? (d) Jaký musí být fázový rozdíl mezi oběma vlnami? (Takováto zařízení se používají k odrušení nežádoucích zvuků v hlučných prostředích.) 3. V obr. 18.26 vysílají dva bodové zdroje Zi a Zi ve fázi stejné zvukové vlny o vlnové délce 2,0 m. Jaký je rozdíl mezi fázemi vln (v jednotkách vlnových délek) přicházejících do bodu P, OTÁZKY 487 pokud (a) Li - 38 m a L2 = 34 m. (b) L\ = 39 m a L2 = 36 m? (c) Za predpokladu, že vzdálenosl mezi zdroji je mnohem menší než L i a L2, jaký druh interference nastáva v bodě P v situaci (a) a (b)? Z,. Zi» Obr. 18.26 Otázka 3 4. V obr. 18.27 jsou zvukové vlny o vlnové délce A vysílány z bodového zdroje Z a šíří se směrem k detektoru D po dvou drahách. První dráha vede přímo, druhá vede přes odraz na desce. Zpočátku jc deska blízko 1. dráhy a vlny přicházející do D po obou drahách jsou skoro ve fázi. Později je panel posunut dál od 1. dráhy tak, aby vlny přicházely do D přesně v protiiazi. Jaký je potom dráhový rozdíl AA mezi oběma drahami? deska -\ \ ^ dráha 2 dráha 1 Obr. 18.27 Otázka 4 5. V obr. 18.28 jsou dva bodové zdroje Zi a Z2 ve stejné fázi, které vysílají stejné zvukové vlny o vlnové délce A. a bod P, Z, 9. Uvnitř trubice se vybudila šestá harmonická, (a) Kolik otevřených konců má trubice? (Alespoň jeden má vždy.) (b) Je uprostřed trubice uzel, kmitná, nebo ani jedno z toho? 10. (a) Když se rozcvičuje orchestr, zahřívají hráči svým dechem vzduch uvnitř dechových nástrojů (a snižují tak hustotu vzduchu). Zvýší se, nebo sníží rezonanční frekvence? Když trombo-nista při hře povytáhne snižec (tj. zatlačí ho směrem od sebe), zvýší se, nebo sníží rezonanční frekvence nástroje? 11. Trubice A má délku /. a jeden otevřený konec. Trubice B má délku 2L a dva otevřené konce. Které harmonické pro trubku B mají frekvence odpovídající rezonančním frekvencím trubice A? 12. Na obr. 18.29 je napnutá struna o délce L a trubice a, b, c a d o délkách L, 2L, L/2 a L/2. Struna jc napnuta tak, aby rychlost vln po ní se šířících byla rovna rychlosti zvuku ve vzduchu. Struna jc rozkmitána v základním módu. Vc které trubici způsobí strunou vydávaný zvuk rezonanci a kolikátá harmonická to bude? Obr. 18.29 Otázka 12 Obr. 18.28 Otázka 5 který je ve stejné vzdálenosti od obou zdrojů. Zdroj Z? je poté posunut směrem od bodu P o vzdálenost A/4. Setkají se vlny v bodě P ve fázi, v protifázi nebo v nějakém jiném fázovém vztahu, jestliže (a) zdroj Zi je posunut směrem k bodu P o vzdálenost rovnou A/4, (b) zdroj Z| je posunut směrem od bodu P o vzdálenost rovnou 3A/4? 6. V př. 18.3 a obr. 18.8a jsou vlny přicházející do bodu P\ přesně vc stejné fázi. To znamená, žc vlny přicházející ze zdrojů Z] a Z 2 vždy pohybují částicí vzduchu stejným směrem. Označme Pj střed spojnice zdrojů Z] aZí. (a) Jsou vlny, které se setkávají v bodě P}. ve fázi, v opačné fázi, nebo v nějakém stavu mezi tím? (b) Jaká bude odpověď, pokud zvětšíme vzdálenost mezi zdroji na 1,7A? 7. Zjistěte bez použití kalkulačky, o kolik se zvýší hladina zvuku, když se intenzita zdroje zvuku zvýší 10'krát? 8. Stojatá vlna v trubici má pčt uzlů a pět tamten, (a) Kolik otevřených konců má trubice (má určitě alespoň jeden)? (b) Jaký mód (kolikátá harmonická) n odpovídá této stojaté vlně? 13. Máme tři ladičky. Ladička s nejnižší frekvencí kmitá s frekvencí 500 Hz. Úderem do dvou ladiček najednou lze vytvořit následující frekvence rázů: 1. 2, 3, 5, 7 a 8 (údaje jsou v Hz). Jaké jsou možné frekvence ostatních ladiček? (Jsou dvě varianty řešení.) 14. Váš kamarád postupně jede na třech různých kolotočích a přitom drží v ruce zdroj, který všemi směry vysílá zvuk jedné frekvence. Frekvence zvuku, který slyšíte během každé z jízd vašeho kamaráda, se během otáčení kolotoče mění. Tyto změny vc frekvencích během tří jízd na třech různých kolotočích jsou zachyceny v obr. 18.30. Seřaďte sestupně křivky (a) podle postupné rychlosti v zdroje zvuku, (b) podle úhlové rychlosti w. s jakou sc otáčejí kolotoče, a (c) podle poloměru r kolotoče. / -3 Obr. 18.30 Otázka 14 488 KAPITOLA 18 VLNY —II CVIČENÍ & ÚLOHY Kdykoliv není jinak řečeno, použijte rychlost zvuku ve vzduchu v = 343m-s~' = 1 125 ft-s—' a hustotu vzduchu g = = 1,21 kg-m"3. ODST. 18.2 Rychlost zvuku 1C. Pravidlo pro určení vzdálenosti v kilometrech od místa, kde udeřil blesk, doporučuje počítat sekundy od chvíle, kdy je vidět blesk, až do chvíle, kdy je slyšet hrom a pak počet sekund vydělit třemi, (a) Vysvětlete toto pravidlo a určete procentuální chybu při teplotě 20 °C za předpokladu, že se zvuk k vám šíří po přímce, (b) Vymyslete podobné pravidlo pro určení vzdálenosti v mílích. 2C. Zástup vojáků pochoduje v rytmu 120 kroků za minutu podle taktu kapely, která kráčí na jeho začátku. Vojáci na konci kolony vykračují levou nohou právě tehdy, když hudebníci vykračují pravou. Jak je zástup přibližně dlouhý? 3C. Jste na velikém hudebním koncertu a sedíte 300 m od reproduktoru. Koncert je také vysílán v přímém přenosu přes satelit (rychlostí světla). Kdo slyší hudbu dřív: vy v sále, nebo posluchač rádia vzdáleného 5 000 km? Jak veliký je časový rozdíl? 4C. Dva diváci fotbalového utkání na stadionu Montjuic uvidí a za malou chvíli uslyší výkop míče na hřišti. Časový rozdíl je pro jednoho z nich 0,23 s apro druhého 0,12 s. Přímky spojující oba diváky s kopajícím hráčem svírají úhel 90°. (a) Jak daleko jsou diváci vzdáleni od hráče? (b) Jak daleko jsou diváci vzdáleni od sebe? 5C. Průměrná hustota zemského pláště lOkm pod kontinenty je 2.7g-cm~3. Rychlost podélných seizmických vln v této hloubce, určená sledováním jejich příchodů ze vzdálených zemětřesení, je 5,4km-s_I. Určete modul pružnosti zemského pláště v dané hloubce. Pro porovnání: modul pružnosti oceli je kolem 16-1010Pa. 6C. Jaký je modul pružnosti kyslíku za standardní teploty (0 DC) a tlaku (1 atm)? Za těchto podmínek zaujímá 1 mol (32,0 g) kyslíku objem 22,41 a rychlost zvuku v něm je 317m-s_1. 7U. Experimentátorka chce změřit rychlost zvuku v 10 cm dlouhé hliníkové tyči. Měří proto čas, za který zvukový impulz překoná celou délku tyče. Jestliže výsledky mají být uvedeny s přesností na 4 platné cifry, jak přesně je potřeba znát délku tyče a s jakou přesností je nutné měřit časové intervaly? 8Ú. Rychlost zvuku v jistém kovu je %. Do dlouhé roury z tohoto kovu na jednom konci silně udeříme. Člověk naslouchající na druhém konci uslyší dva zvuky. Jeden pochází z vlny šířící se podél roury a druhý z vlny šířící se vzduchem, (a) Jestliže vv je rychlost zvuku ve vzduchu, jaký čas / uplyne mezi příchody obou úderů? (b) Položte t = 1,00 s a za kov vezměte ocel. Najděte délku / roury. 9Ú. Do dlouhé hliníkové tyče na jednom konci silně udeříme. Pozorovatel na opačném konci s uchem blízko tyče uslyší úder dvakrát (jednou přes tyč a jednou přes vzduch) s odstupem 0,120 s. Jak dlouhá je tyč? 10U. Zemětřesením vznikají v zemském nitru zvukové vlny. Na rozdíl od plynů se v Zemi šíří jak příčné (S), tak podélné (P) vlnění. Rychlost S-vln je kolem 4,5km-s~1, rychlost P-vln asi 8,0 km-s~'. Seismograf zaznamená první P-vlny tři minuty před příchodem prvních S-vln (obr. 18.31). Předpokládejme, že vlny se šířily přímočaře. V jaké vzdálenosti probíhalo zemětřesení? 11Ú. Do studny hodíme kámen a za 3 vteřiny uslyšíme šplouchnutí. Jak je studna hluboká? 1 2 3 4 5 6 čas (min) Obr. 18.31 Úloha 10 ODST. 18.3 Šíření zvukových vln 12C. Lidské ucho slyší frekvence přibližně od 20 Hz do 20 kHz. Jaké jsou vlnové délky příslušných zvukových vln? 13C. Nejmenší vlnová délka, kterou je schopný vydat netopýr, je 3,3 mm. Jaká je příslušná frekvence? 14C. K vyšetřování nádorů v měkkých tkáních používají lékaři ultrazvuk o frekvenci 4,50 MHz. (a) Jakou vlnovou délku mají tyto vlny ve vzduchu? (b) Jestliže rychlost zvuku v tkáni je 1 500 m-s-1, jaká je v ní vlnová délka? 15C. (a) Kuželový reproduktor má průměr 15,0 cm. Jakou frekvenci musí mít vydávaný zvuk, aby vlnová délka ve vzduchu byla rovna průměru reproduktoru? Desetinásobku průměru? Desetině průměru? (b) Proveďte stejné výpočty pro reproduktor průměru 30,0 cm. 16C. Ultrazvukovým mikroskopem lze získat velmi detailní obrázky tranzistorů. Vlny vysílané mikroskopem mají frekvenci 4,2 GHz a rychlost (v tekutém héliu, ve kterém je vzorek ponořen) 240 m-s~'. Jakou mají vlnovou délku? 17U. (a) Zdroj oscilací je spojen s velmi dlouhou pružinou a vysílá po ní souvislou podélnou sinusovou vlnu. Frekvence zdroje je 25 Hz a vzdálenost mezi dvěma po sobě následujícími body maximálního roztažení pružiny je 24 cm. Určete rychlost vlny. (b) Napište rovnici této vlny, jestliže maximální CVIČENÍ & ÚLOHY 489 podélná výchylka částice v pružině je 0,30 cm a vlna se šíří proti směru osy x. Zdroj nechť leží v bodě x = 0 a nechť výchylka v bodě x = Oje nulová v čase t = 0. 18Ú. Tlak v šířící se zvukove vlně je dán rovnici Ap = (1,5Pa) sinjt((l,00m_1)jt - (330s-1)/). Určete (a) amplitudu tlaku, (b) frekvenci, (c) vlnovou délku a (d) rychlost vlny. 19Ú. Dvě zvukové vlny z rázných zdrojů stejné frekvence 540 Hz se šíří rychlostí 330 ms~'. Zdroje jsou ve fázi. Jaký jc fázový rozdíl vln v bodě vzdáleném 4,40 m od jednoho a 4,00 m od druhého zdroje? Obě vlny putují ve stejném směru. 20U. Dvě vlny vyvolávají v jistém místě prostoru změny tlaku Api = Apm sina>ř, Apj = Apm sin( U 1 cíl Obr. 18.39 Úloha 77 78U. Nehybný detektor pohybu vysílá zvukové vlny frekvence 0,150 MHz proti kamiónu přibližujícímu se rych lostí 45,0 m-s-1. Jaká je frekvence vln dopadajících zpátky na detektor? 79U. Siréna vydávající zvuk frekvence 1 000 Hz se pohybuje směrem od nás ke stěně skalního útesu rychlostí 10 m-s-1. Rychlost zvuku ve vzduchu je 330 m-s-1. (a) Jaká je frekvence zvuku, který slyšíme přímo od sirény? (b) Jaká je frekvence zvuku odraženého od útesu? (c) Jaká je frekvence záznějů? Může lidské CVIČENÍ & ÚLOHY 493 ucho tyto zázněje rozeznat (jejich frekvence musí být nižší než 20 Hz)? 80U. Trubač na železničním vagonu zahraje na trubce tón o frekvenci 440Hz. Vagon sc s rychlostí 20,0m-s~' pohybuje směrem ke zdi. Vypočtěte (a) frekvenci zvuku vnímaného pozorovatelem stojícím u zdi a (b) frekvenci odraženého zvuku V místě jeho zdroje. 81U. Francouzská a americká ponorka plují přímo proti sebe (obr. 18.40) při manévrech v nehybných vodách severního Atlantiku. Francouzská pluje rychlostí 50,0 km/h, americká rychlostí 70,0 km/h. Francouzi vyšlou sonarový signál (zvuková vlna ve vodě) frekvence 1 000 Hz. Sonarové viny se šíří rychlostí 5 470 km/h. (a) Jakou frekvenci signálu zachytí Američané? (b) Jakou frekvenci zachytí Francouzi v signálu odraženém zpátky od americké ponorky? Fr 50,0 km-h- Američané 70.0 km-h 1 Obr. 18.40 Úloha 81 82Ú. Dle zahraničního zpravodajství se zdroj zvukových vin frekvence 1 200 Hz pohyboval doprava rychlostí 98,0ft-s vzhledem k okolí. Před ním sc nacházela odrazová plocha (reflektor) pohybující se doleva rychlostí 216ft-s_1 vzhledem k okolí. Jestliže rychlost zvuku ve vzduchuje 1 080ft-s_1. vypočtěte (a) vlnovou délku zvuku vysílaného směrem k reflektoru, (b) počet vlnoploch dopadajících za sekundu na odrazovou plochu, (c) rychlost odražených vln, (d) vlnovou délku odražených vln a (e) počet odražených vlnoploch dopadajících zpátky na zdroj. 83U. Autoři článku o Dopplerově posuvu ultrazvukových vln. jehož se využívá v lékařské diagnostice, konstatují: „Když se v těle pohybuje nějaký orgán, pak každý milimetr za sekundu v jeho rychlosti způsobí relativní posuv frekvence ultrazvuku o 1.30-10"4% (tj. např. o 1,30Hz při 1 MHz)." Jaká z toho plyne rychlost ultrazvuku v živé tkáni? 84U. Poplašné zařízení obsahuje zdroj zvukových vln o frekvenci 28,0 kHz. Jaká bude frekvence záznějů vln odražených od zloděje jdoucího průměrnou rychlostí 0,950ms~'od alarmu? 85U. V jeskyni poletuje netopýr, orientující se pomocí ultrazvukových signálů. Předpokládejme, že frekvence vysílaného zvuku je 39 000 Hz. Při letu střemhlav na plochou stěnu letí netopýr 0,025násobkem rychlosti zvuku ve vzduchu. Jakou frekvenci zvuku odraženého od stěny zaznamená? 86U. Ponorka se pohybuje na sever těsně pod hladinou moře. Pluje rychlostí 75,0 km/h v mořském proudu směrujícím také na sever, jehož rychlost je 30.0 km/h. Obě rychlosti jsou udány vzhledem k mořskému dnu. Ponorka vyšle sonarový signál (zvukovou vinu) frekvence / = 1 000 Hz o rychlosti 5 470 km/h, který je zachycen válečnou lodí nacházející se severně od ponorky. Jaký jc rozdíl vysílané a zachycené frekvence, jestliže je vá- lečná loď (a) unášena proudem rychlostí 30,0 km/h a (b) v klidu vzhledem k mořskému dnu? 87U. Siréna s frekvencí 2 000 Hz jc připevněna k budově, důstojník civilní obrany sedí poblíž. Jakou frekvenci uslyší důstojník, jestliže vítr fouká rychlostí 12 m-s~' (a) od zdroje k pozorovateli a (b) od pozorovatele ke zdroji? 88U. Dva vlaky jedou směrem k sobě. každý jede rychlostí 30,5 m-s-1 vzhledem k Zemi. Jeden z nich zatroubí s frekvencí 500 Hz. (a) Jakou frekvenci bude slyšel ve druhém vlaku za bezvětří? (b) Jakou frekvenci bude slyšet ve druhém vlaku, jestliže vítr fouká rychlostí 30,5 m-s~' od pozorovatele k houkačce? (c) Jaká bude tato frekvence při opačném směru větru? 891). Ve vlaku, který se pohybuje rychlostí 10,00 m-s 1 směrem na východ, sedí při otevřeném okně děvče. Její strýc ji byl doprovodit na nádraží, takže teďstojí u kolejí a dívá se za odjíždějícím vlakem. Naráz lokomotiva zatroubí s frekvencí 500.0 Hz. Jc bezvětří, (a) Jakou frekvenci slyší strýc? (b) Jakou děvče? Od východu sc zvedne vítr s rychlostí 10.00 m-s-1. (c) Jakou frekvenci slyší teď strýc? (d) A děvče? ODST. 18.9 Dopplerův jev u světla 90C. Obr. 18.41 je graf závislosti intenzity na vlnové délce světla, které k Zemi přichází z galaxie NGC 7 319, vzdálené od nás kolem 3■ 108 světelných roků. Nejjasnější čára ve spektru patří kyslíku. V laboratoři má kyslík spektrální čáru na vlnové délce /. = 513 nm, ale ve světle z NGC 7 319 je tato čára posunuta kvůli Dopplerově jevu (slejnč jako všechny ostatní čáry), (a) Jak rychle se galaxie pohybuje vůči Zemi? (b) Pohybuje se směrem k nám nebo od nás? 800 3 400 20(1 0 400 F laboratorní - AÄ = T = +12nm NGC 7319 vlnová délka 1 1 j U m 450 500 550 600 650 vlnová délka (nm) Obr. 18.41 Cvičení 90 700 750 91C. Vlnové délky spektrálních čar jisté galaxie v souhvězdí Panny jsou o 0,4 % větší než ty, které naměříme ve světle z pozemských zdrojů. Jaká je radiální složka rychlosti léto galaxie vzhledem k Zemi? Přibližuje se k nám. nebo se od nás vzdaluje? 92C. Ve spektru záření vzdálené galaxie jc čára vlnové délky 434 nm. Tato hodnota je ovlivněna rudým posuvem, neboť v záření pozemského zdroje měla táž čára vlnovou délku 462 nm. (a) Jaká je rychlost galaxie (přesněji řečeno její průmět na spojnici se Zemí) vzhledem k zeměkouli? (b) Přibližuje se galaxie k Zemi. nebo se od ní vzdaluje? 494 KAPITOLA I 8 VLNY — II 93C. Za předpokladu, že platí rov. (18.57), vypočtěte, jak rychle byste museli procházet červeným světlem, aby se vám zdálo zelené. Vlnová délka červeného světla je 620 nm a zeleného 540 nm. 94U. Perioda otáčení Slunce na rovníku je 24,7 dne. Jeho poloměr jc 7.00-ÍO3 km. Jaký bude Dopplerův posuv ve vlnové délce světla, které pochází z rovníku a jehož vlnová délka je 550 nm? 95Ú. Umělá družice Země, vysílající přesně na frekvenci 40 MHz, přeletí nad radiostanicí ve výšce 400 km rychlostí 3.0-104km/h. Nakreslete změnu frekvence způsobenou Dop-plcrovým jevem jako funkci času, přičemž / = 0 bude okamžik, když je družice přesně nad stanicí. (Tip: Rychlost u ve vzorci pro Dopplerův jev není skutečnou rychlostí družice, nýbrž pouze její složkou ve směru k radiostanici. Zakřivení Země a dráhy družice zanedbejte.) 96Ú. Mikrovlny, šířící se rychlostí světla, jsou odráženy od letounu letícího k jejich zdroji. Když se odražené vlny složí s vysílanými, frekvence záznějů je 990 Hz. Jestliže vlnová délka mikrovln je 0,100 m, jakou rychlostí se přibližuje letoun? 19 Teplota a teplo Na sluníčku se obvykle více zahřívá předmět s černým povrchem než se světlým. To platí i pro obleky beduínů v Sinaiské poušti: černé obleky se zahřívají více než bílé. Proč je ale tedy beduínové nosí? Nesnižuje to automaticky jejich šanci na přežití v drsném prostředí žhavé pouštěj 496 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO 19.1 TERMODYNAMIKA V této kapitole opustíme mechaniku a začneme se věnovat novému oboru — termodynamice. Mechanika se zabývá mechanickou energií systémů a řídí se Newtonovými zákony. Termodynamika se zabývá vnitřní energií systémů — „tepelnou energií" — a řídí se novými zákony, se kterými se seznámíme v následujících třech kapitolách. Centrálním pojmem termodynamiky je teplota. Toto slovo je nám důvěrně známé: od narození rozeznáme horké a studené, takže o přesnějším významu teploty zpravidla ani neuvažujeme. Ale náš „smysl pro teplotu" není ve skutečnosti vždycky věrohodný. Tak například za studeného zimního dne se nám zdá železné zábradlí na dotyk mnohem studenější než dřevěné, třebaže mají obojí stejnou teplotu. Tento rozdíl v našem vnímání pochází z toho, že železo odebírá energii z našeho prstu rychleji než dřevo. V dalším zavedeme teplotu objektivně, aniž bychom sc spoléhali na své subjektivní pocity. Teplota je jednou ze sedmi základních veličin SI. Fyzikové ji měří v jednotkách zvaných kelvin. Ačkoliv teplota těles, jak se zdá, může být libovolně* vysoká, existuje jistá dolní hranice, zvaná absolutní nula; ta byla vzata jako nula v Kelvinově stupnici. Pokojová teplota je kolem 290 kelvinu, tedy 290 K. Obr. 19.1 ukazuje široké rozmezí, v němž mohou být stanoveny teploty. Když Vesmír před nějakými 10 až 20 miliardami let vznikal, byla jeho teplota kolem 1039 K. Vesmír se rozpínal a tím chladnul; jeho současná průměrná teplota je kolem 3 K. Nám na Zemi je o něco tepleji, protože naštěstí žijeme poblíž hvězdy. Bez našeho Slunce bychom měli také jen teplotu 3 K (a nejspíš bychom ani neexistovali). 19.2 NULTÝ ZÁKON TERMODYNAMIKY Vlastnosti různých předmětů se mění, měníme-li jejich teplotu — třeba přenesením z chladničky do teplé pece. Např.: s rostoucí teplotou se objem kapalin zvětšuje, kovová tyčka se roztahuje, elektrický odpor drátu roste, stejně tak roste tlak plynu uzavřeného v nádobě. Kteroukoli z těchto vlastností můžeme použít jako základ přístroje, který nám pomůže zavést pojem teploty. Obr. 19.2 ukazuje takový přístroj. Každý vynalézavý inženýr by ho mohl navrhnout a postavit na základě kterékoliv z výše uvedených vlastností. Přístroj je vybaven čís- lo" 108 10° 104 g 10-110° 10- 10 -vesmír právě po vzniku -nejvyšší laboratorní teploty - střed Slunce -povrch Slunce -tání wolframu mrznutí vody - vesmír nyní - var helia-3 - chlazení jaderným spinem (rekordně nízká teplota, 1990) Obr. 19.1 Některé teploty na Kelvinově stupnici. Teplota T = 0 odpovídá lO-^ a v našem logaritmickém měřítku proto nemůže být vynesena. lícovým displejem a má následující vlastnost: začnctc-li ho zahřívat (třeba Bunscnovým kahanem), zobrazované číslo se začne zvětšovat; uložíte-li ho do mrazáku, číslo začne klesat. Přístroj není nijak kalibrován a jeho číselný údaj nemá (prozatím) žádný fyzikální význam. Zařízení bychom pojmenovali termoskop, tedy indikátor teploty, ale zatím nikoli termometr, tj. měřič teploty, teploměr*. Obr. 19.2 Termoskop. Číselný údaj roste, když zařízení zahříváme, a klesá, když ho chladíme. Teplotně citlivým prvkem by mohla být např. cívečka drátu, jehož elektrický odpor teplotně citlivý měříme a zobrazujeme. prvek Předpokládejme, že podle obr. 19.3a dáme termoskop (budeme ho nazývat tělesem T) do těsného styku s jiným tělesem (těleso A). Celý systém je uzavřen v silnostčnnč izolující krabici. Čísla na displeji se mění. až se ustálí na hodnotě „137,04" a dále zůstávají stejná. Předpokládáme přitom, že po jisté době dosáhne každá měřitelná vlastnost těles T a A, tedy i teplota, jisté pevné, neproměnné hodnoty. Potom prohlásíme, že obě tělesa jsou navzájem * Nepřiměřenou změnou teploty se může ovšem konkrétní těleso podstatně změnit, např. tato kniha zahřátím na 1 000 C nebo meloun ochlazením na —50 C. * Místo ..teploměr" bychom měli správně říkat ..teplotoměr". Ale tuto historicky danou nedůslednost už asi nikdy nikdo nenapraví. 19.3 MĚŘENÍ TEPLOTY 497 ■ T i -S ■■■ A '- B (a) T ! ■'i ■;■ Ä B 1 T A B Obr. 19.3 (a) Těleso T (termoskop) a těleso A jsou v tepelné rovnováze. (Těleso S je teplotně izolující stěna.) (b) Těleso T a B jsou také v tepelné rovnováze s tímtéž údajem tcrmoskopu. (c) Je-li pravda (a) i (b), pak nultý zákon termodynamiky tvrdí, že i tělesa A a B budou navzájem v tepelné rovnováze. v tepelné rovnováze, tzn. mají tutéž teplotu. A třebaže číselný údaj tělesa T nebyl nijak kalibrován, použijeme ho k jednoznačnému očíslování: obě tělesa mají tutéž teplotu T = 137,04. Předpokládejme, že poté uvedeme těleso T do kontaktu s tělesem B (obr. 19.3b) a zjistíme, že obě tělesa budou v tepelné rovnováze při tomtéž údaji termoskopu. Tělesa T a B tedy budou mít také tutéž teplotu. Budou také tělesa A a B navzájem v tepelné rovnováze, uvedeme-li je do kontaktu podle obr. 19.3c? Experiment potvrzuje, že tomu tak skutečně je. Experimentální fakta z obr. 19.3 jsou shrnuta do nultého zákona termodynamiky: Je-li každé z těles A i B v tepelné rovnováze se třetím tělesem T, budou v tepelné rovnováze také tělesa A a B navzájem. K očíslování stavů tepelné rovnováhy stačí jediný spojitě proměnný parametr — teplota. Pro úplnost bychom měli ještě dodat: „Každé těleso, které se samo nachází v tepelné rovnováze, má vlastnost zvanou teplota. Jsou-li dvě tělesa navzájem v tepelné rovnováze, mají stejné teploty. Také obráceně, mají-li tělesa stejnou teplotu*, budou po uvedení do kontaktu v tepelné rovnováze." Nyní můžeme náš termoskop (třetí těleso T) přejmenovat na teploměr a být si jisti, že jeho údaj má fyzikální smysl. Zbývá ho už jenom vhodně kalibroval. Nultý zákon používáme v laboratoři stále. Chceme-li zjistit, zda kapaliny ve dvou nádobách mají tutéž teplotu, změříme teploměrem teplotu každé z nich. Nemusíme je uvést do kontaktu a zkoumat, zda budou nebo nebudou navzájem v tepelné rovnováze. Nultý zákon, který je vlastně dodatečnou logickou myšlenkou, byl formulován až ve třicátých letech tohoto století, tedy dávno po objevu a očíslování prvního a druhého zákona. Pojem teploty je však pro oba tyto zákony natolik klíčový, že bylo záhodno tento zákon, který činí pojem teploty smysluplným, očíslovat nižším číslem. Proto ho nazýváme nultým zákonem. 19.3 MĚŘENÍ TEPLOTY Podívejme se, jak definujeme a měříme teplotu v Kelvinově stupnici. Jinými slovy — podívejme se, jak kalibrovat náš termoskop. aby sc stal teploměrem. Trojný bod vody Pro nastavení teplotní stupnice vybereme nějaký reprodu-kovatelný teplotní jev a přiřadíme — zcela libovolně — nějakou číselnou hodnotu jemu i jeho okolí, které je s ním v tepelné rovnováze. Vybereme tedy standardní pevný bod a přiřadíme mu jistou teplotu (teplotu standardního hodu). Dlouhou dobu byla užívána Celsiova stupnice stanovená tak, že teplotě tání ledu byla přiřazena hodnota 0 C a teplotě varu vody 100 °C (obojí za obvyklého atmosférického tlaku). Při přesnějším přístupu k měření teplot je zvolena jediná teplota, daná trojným bodem vody. Kapalná voda, pevný led a vodní pára (tj. plynná voda) mohou spolu být v tepelné rovnováze při jediné teplotě a tlaku. Obr. 19.4 ukazuje aparaturu, v níž může být trojný bod vody získán v laboratoři. Podle mezinárodní dohody trojnému bodu vody přiřazujeme hodnotu 273,16 K jakožto standardní teplotu pevného bodu pro kalibraci teploměrů. (Číselná hodnota 273,16 byla zvolena právě proto, aby se nově definovaný kelvin K co nejlépe shodoval s dosavadním Celsiovým stupněmC° ve smyslu setiny rozdílu teplot * K úplnému popisu teploty slučí jediné číslo. To by nestačilo např. pro popis chuti nebo barvy. 498 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO baňka plynového -teploměru f -v\ vodní pára voda Obr. 19.4 Buňka pro trojný bod vody, v níž jsou v tepelné rovnováze led, kapalná voda a vodní pára. Podle mezinárodní dohody je stanovena teplota této směsi jako 273,16 K. Baňka plynového teploměru je na obrázku vsunuta do dutiny buňky. tání ledu a varu vody. Je tedy Tj = 273,16 K (teplota trojného bodu), (19.1) kde index 3 nám připomíná, že jde o trojný bod. Tato dohoda také určuje velikost Kelvinova stupně jako 1 /273.16 rozdílu mezi absolutní nulou a teplotou trojného bodu vody. Všimněme si, že u Kelvinovy teploty neužíváme značky stupně. Je tedy 300 K (nikoli 300 °K) a čteme to „300 kelvinu" a nikoli „300 stupňů Kelvina". Můžeme též používat obvyklých předpon pro jednotky, takže 0,003 5 K je 3,5 mK. V nomenklatuře nečiníme rozdíl mezi Kelvino-vou teplotou a teplotním rozdílem. Můžeme tedy psát „bod varu síry je 717,8 K" a „teplota této vodní lázně stoupla o 8,5 K". Plynový teploměr s konstantním objemem Až doposud jsme se podrobněji nezabývali konkrétní fyzikální vlastností závislou na teplotě, na níž bychom založili s mezinárodním souhlasem náš teploměr. Co máme zvolit — délku kovové tyčky, elektrický odpor drátu, tlak vykazovaný plynem v nádobě nebo něco jiného'? Volba je podstatná, protože různé volby vedou při zvolené teplotě trojného bodu k různým teplotám jiných jevů. např. k různé teplotě varu vody. Z důvodů, které vyplynou dále, je standardní teploměr, vůči němuž by měly být všechny ostatní teploměry kalibrovaný, založen na tlaku, který vykazuje plyn uzavřený v pevném objemu. Obr. 19.5 ukazuje takový plynový teploměr (s konstantním objemem). Sestává z plynem naplněné baňky vyrobené ze skla, taveného křemene nebo platiny (v závislosti na teplotním rozmezí, v němž hodláme teploměr používat). Ta je spojena hadičkou se rtuťovým manometrem. Zvedáním a snižováním zásobníku rtuti R můžeme udržovat hladinu rtuti v levé trubici ve stálé poloze, a tím zajistit, že objem uzavřeného plynu zůstává stejný. Teplotu libovolného tělesa v tepelném kontaktu s baňkou definujeme jako T = Cp, (19.2) baňka naplněná^ plynem Obr. 19.5 Plynový teploměr s konstantním objemem, jehož baňkaje ponořena do lázně o teplotě T, která má být změřena. kde p je tlak, kterým působí plyn, a C je konstanta. Tlak p spočítáme ze vztahu P = PO- QgK (19.3) kde po je okolní atmosférický tlak, q je hustota rtuti v manometru a A je změřený rozdíl výšek hladin rtuti v obou ramenech trubice. Je-li baňka plynového teploměru vnořena do buňky pro trojný bod, tak jako na obr. 19.4, máme Ti = Cpi, (19.4) kde p3 je tlak změřený v těchto podmínkách. Vyloučením C z rov. (19.2) a rov. (19.4) dostáváme P_ Ti = (273,16 K) (i) (prozatím). (19.5) Rov. (19.5) ještě není naší konečnou definicí teploty měřené plynovým teploměrem. Neřekli jsme totiž nic o tom, jaký plyn (ani kolik plynu) se nachází v baňce teploměru. Kdybychom užili náš teploměr pro měření teploty varu vody, zjistili bychom, že různé plyny dávají poněkud různé hodnoty naměřené teploty. Jestliže bychom však používali menšího a menšího množství plynu v baňce (jeho množství měříme např. hmotností m), zjistili bychom, že by se výsledky dobře blížily jisté hodnotě, nezávisle na tom, jaký plyn jsme použili. Obr. 19.6 ukazuje tuto uspokojivou shodu.* * Pro tlak použijeme jednotek zavedených v kap. 15.3. Jednotkou pro tlak v SI je newton na čtverečný metr, nazývaný pascal (Pa). Pascal souvisí s ostatními běžnými jednotkami tlaku vztahy 1 atm = = 101325Pa = 760torr = 14,71b/in2. 19.4 CHLSIOVA A FAHRENHEITOVA STUPNICE 499 Můžeme tedy psát, jakožto konečný návod na měření teploty plynovým teploměrem, T = (273,16K) ( lim — ) . (19.6) 373,50 373,40 „ 373,30 2 373,20 g- 373,10 ...................j............................. .......1 1 373.125 K ____*--" N> / ................ He 0 20 40 60 80 100 120 P3 (kPa) Obr. 19.6 Teploty vypočtené podle rov. (19.5) pro plynový teploměr s baňkou umístěnou ve vařící se vodě. V baňce byly použily různé plyny při různých hustotách (což dává různé hodnoty p3.) Všimněte si, že pro tlak klesající k nule se všechny hodnoty blíží téže limitě: 373,125 K.. Podle toho budeme měřit neznámou teplotu následovně. Naplníme baňku teploměru libovolným množstvím libovolného plynu (například dusíku); jeho hmotnost budiž m. Změříme tlak /n (použitím buňky pro trojný bod) a tlak p odpovídající měřené teplotě. Vypočteme podíl p/p-i- Pak opakujeme obě měření s menším množstvím plynu a opět vypočteme tento podíl. V tomto postupu pokračujeme s menším a menším množstvím plynu v baňce, až budeme moci extrapolovat hodnotu p/p-i, kterou bychom dostali, kdyby už nebyl skoro žádný plyn v baňce. Vypočteme teplotu T dosazením této extrapolované hodnoty do rov. (19.6). (Teplota takto měřená se nazývá ideální plynová teplota.) Má-li být teplota opravdu základní fyzikální veličinou, použitou v termodynamických zákonech, je žádoucí'*, aby byla její definice nezávislá na nějakých konkrétních materiálových vlastnostech. Nebylo by vhodné např. mít veličinu tak základní, jako je teplota, závislou na roztažnosti rtuti, elektrickém odporu platiny nebo jiné takové vlastnosti. Vybereme zatím plynový teploměr jako náš standardní přístroj právě proto, že nezahrnuje žádné speciální materiálové vlastnosti při své činnosti. Použijeme-li libovolný plyn — dostaneme tentýž výsledek. Definitivní upřesnění provedeme v čl. 21.7. * Je to vítané, není to však absolutně nutné. Vždyť i tak základní jednotka jako kilogram je dosud definována jako hmotnost konkrétního odlitku jisté konkrétní slitiny. PŘÍKLAD 19.1 Baňka plynového teploměru je naplněna dusíkem o tlaku 120 kPa. Jakou prozatímní hodnotu (obr. 19.6) by udal teploměr pro bod varu vody a jaká je chyba této hodnoty? ŘEŠENÍ: V obr. 19.6 ukazuje křivka pro dusík, že prozatímní bod varu vody by byl kolem 373,44 K. Skutečná teplota (nalezená extrapolací na obr. 19.6) je 373,125 K. Použití prozatímní teploty by vedlo k chybč 0,315 K neboli 315 mK. 19.4 CELSIOVA A FAHRENHEITOVA STUPNICE Zatím jsme se zabývali jen Kelvinovou stupnicí, užívanou v základních vědeckých pracích. Ve většině zemí na světě se však teplota pro všeobecné, obchodní a často i pro vědecké účely měří v Celsiově stupnici. Teplotní údaj v Celsiově stupnici neboli Celsiova teplota se měří ve stupních a Celsiův stupeň je stejně velký jako kelvin. Celsiova stupnice má však počátek posunut k příhodnějším teplotám. Celsiova teplota jc nyní definována vztahem 7c = T - 273.15C:. (19.7) Při vyjadřování v Celsiově stupnici užíváme symbol stupně °. Navíc v této knize z praktických důvodů rozlišujeme polohu tohoto symbolu vůči písmenu. Týž symbol před písmenem C znamená údaj, např. 20,00 "C (stupně Celsia) neboli 293,15 K (kelviny). Tento symbol za písmenem C znamená rozdíl údajů, např. 3,00 C° neboli 3,00 K. Zapíšeme tedy např., že teplota přes den vzrostla o tři Celsiovy stupně 3 C° (= 3 K) na teplotu 23 UC (= 296 K). Fahrenheitova stupnice používaná v USA užívá menší stupeň než Celsiova a jinou hodnotu nuly. Oba tyto rozdíly snadno zjistíte na pokojovém teploměru, který má obě stupnice. Převodní vztah mezi číselnými hodnotami těchto stupnic je [rF] = |[7c]+32, (19.8) kde Tp je Fahrenheitova teplota. Převod mezi oběma stupnicemi snadno provedeme, známc-li několik odpovídajících si hodnot (jako třeba bod varu vody a bod mrazu, tj. mrznutí vody, viz tab. 19.1) a vzpomeneme-li si, že přírůstek 9 Fahrenheitových stupňuje 5 Celsiových stupňů. Obr. 19.7 porovnává Kclvinovu, Celsiovu a Fahrenheitovu stupnici. Pro rozlišení obou stupnic užíváme písmena C a F. Tedy zápis 0°C = 32 rF znamená, že 0° na Celsiově stupnici udává tutéž teplotu jako 32° na Fahrenheitově stupnici, zatímco zápis 5 C -9 I 500 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO trojný bod" vody absolutní nula 273,16K - OK 0,01 °C U -273.15 °C 32,02 °F -459,67 °F Obr. 19.7 Srovnání stupnice Kelvinovy, Celsiovy a Fahrenheitovy znamená, že teplotní rozdíl pěti Celsiových stupňů (všimněte si, že symbol stupně je za písmenem C, resp. F) je stejný jako teplotní rozdíl devíti Fahrenheitových stupňů. Tabulka 19.1 Některé význačné teploty ve °C a CF TEPLOTA °C °F Teplota varu (vody)0 100 212 Tělesná teplota 37 98,6 Příjemně v pokoji 20 68 Teplota tuhnutí (vody)" 0 32 0°F = -18 0 Shoda stupnic -40 -40 " Přesně měřeno, za tlaku 101 325 Pa je teplota varu vody v Celsiově stupnici 99,975 °C a její teplota tuhnutí 0,00 C. Mezi těmito teplotami je tedy o něco méně než 100C". PŘIKLAD 19.2 Představte si, že listujete starými vědeckými spisy, kde se užívá teplotní stupnice Z. Voda vře při 65,0 °Z a tuhne při -14,0°Z. (a) Jaká změna teploty A T měřená touto stupnicí odpovídá změně o 53,0 F9? ŘEŠENÍ: Abychom našli převodní faktor mezi oběma stupnicemi, použijeme teploty varu a tuhnutí vody. Na stupnici z je rozdíl mezi nimi 65,0°Z - (-14,0°Z) = 79,0Z°. Na Fahrenheitově stupnici totéž činí 212 F — 32CF = 180F". Změna o 79,0Z° je tedy rovna změně o 180Fr'. Změně o 53,0Fc tedy odpovídá AT = 53.OF" = 53,0F° = 23,3Zn. 79.0 Z° (Odpověd) (b) Jaké teplotě Fahrenheita a Celsia odpovídá teplota T = -98,0 °Z? ŘEŠENI: Teplota tuhnutí vody je — 14.0°Z, takže rozdíl mezi ní a hledanou teplotou je 84,0 Zc. Tento rozdíl převedeme do obou stupnic: AT = 84,0ZC = 84,0Z~ 1801 79,0 z; 100 Cc 79.0 Z: = 191 F = = 106.3 C°. Teplota T je tedy 191 F = 106,3 C° pod teplotou tuhnutí a platí T = 32.0CF- 191 F° = —159 F = = 0CC - 106,3CC = -106,3 C. (Odpověd) ONTROLA 1: Na obrázku jsou tři tcploměrné stupnice s vyznačenými teplotami varu a tuhnutí, (a) Uspořádejte je sestupně podle velikosti stupně, (b) Uspořádejte sestupně teploty 50 °X, 50 °Y, 50 Z. 70CX- -20CX- -120 °W- 30 W 90' Y--— teplota varu 0°Y t~ teplota tuhnutí RADY A NAMETY Bod 19.1: Teplotní rozdíly Mezi teplotami varu a tuhnutí vody je (přibližně) 100 kelvinu neboli 100 Celsiových stupňů. Vidíme, že jakýkoliv teplotní rozdíl je v Celsiových stupních a v kelvinech vyjádřen stejným číslem (viz též rov. (19.7)). Například změna teploty o 10K je totéž jako změna o 10C". Mezi varem a tuhnutím vody je 180 Fahrenheitových stupňů. Je tedy 180F; = 100C: a Fahrenheitův stupeň musí být 100K/180F", tedy | velikosti kelvina či Celsiova stupně. Odtud nebo z rov. (19.8) vidíme, že každý rozdíl teplot vyjádřený Fahrenheitovými stupni musí být | z téhož rozdílu vyjádřeného v kelvinech nebo v Celsiových stupních. Např. změna teploty o lOKje (9 F°/5 K)(10K) neboli 18F°. Pozor, abychom nezaměnili teplotu (např. údaj v °C) a teplotní změnu (= teplotní rozdíl, údaj v C°). Teplota 10 K určitě není totéž co teplota 10°Cnebo 18°F,alc—jak jsme viděli výše — teplotní změna o 10 K je totéž co změna o 10C: nebo 18F°. 19.5 TEPLOTNÍ ROZŤAŽNOSŤ 501 19.5 TEPLOTNÍ ROZŤAŽNOSŤ Často můžeme uvolnit kovové víčko na zavařovačce, když na víčko pustíme proud horké vody. Jak kovové víčko, tak skleněná zavařovačka se roztahují tím, že horká voda dodává energii jejich atomům. (S trochou energie navíc mohou atomy částečně překonat meziatomové síly, které je jako pružiny drží pohromadě, a tím se dostat ze své obvyklé polohy o něco dál od sebe.) Protože se však atomy kovu navzájem vzdálí více než atomy tvořící sklo, víčko sc roztáhne více než sklenice a tím se uvolní. í*i| ocel T = 7b T > To (a) (b) Obr. 19.9 Bimetalový proužek (bimetal) je tvořen proužkem mosazi a oceli, svařenými k sobě. (a) Bimetal při referenční teplotě Tq. (b) Bimetal se ohýbá podle obrázku při teplotách vyšších než referenční. Při teplotách nižších se ohýbá na druhou stranu. Mnoho termostatů pracuje na tomto principu tak, že bimetal sepne, resp. rozepne elektrický kontakt (pece, žehličky), když teplota klesne, resp. vzroste. Obr. 19.8 Železniční koleje v Asbury Park, New Jersey, zkroucené vlivem teplotní roztažnosti za velmi horkého červencového dne. Tato teplotní roztažnost není vždy žádoucí, jak je zřejmé z obr. 19.8. Aby se zabránilo vybočení kolejí, umísťují se na mostech expanzní mezery pro kompenzaci roztažnosti za horkých dnů. V leteckém průmyslu se nýty a jiné podobné součásti často zchladí před zasunutím suchým ledem, aby se po rozmrznutí roztáhly a pevně držely. Teploměry a termostaty bývají založeny na rozdílech v teplotní roztažnosti mezi dvěma kovy, tvořícími bimetalový proužek (obr. 19.9). Také běžný skleněný teploměr je založen na tom, že kapaliny (např. rtuť nebo alkohol) se roztahují podstatně více než sklo, z něhož je vyrobena baňka a kapilára teploměru. Délková roztažnost Jestliže teplota T kovové tyčky vzroste o A T. její délka d vzroste o hodnotu Ad — daAT, (19.9) kde a je na materiálu závislá konstanta zvaná teplotní součinitel délkové roztažnosti. Její jednotkou je K_1. což je totéž jako (C°)-'. Jednotku čteme ..na kelvin" neboli ,.na Celsiův stupeň". Přepíšeme-li rov. (19.9) jako Ad/d AT (19.10) vidíme, že a je poměrný (relativní) přírůstek délky při jednotkové změně teploty. Ačkoliv se a mírně mění s teplotou, lze ho pro většinu praktických účelů pro daný materiál brát jako konstantní. Tab. 19.2 udává hodnoty a pro některé látky. Tabulka 19.2 Součinitelé délkové roztažnosti látek" LÁTKA a LÁTKA a 10 6/c° l()-6/C° Led (při 0C) 51 Ocel 11 Olovo 29 Sklo (obyč.) 9 Hliník 23 Sklo (Pyrex) 3,2 Mosaz 19 Diamant 1.2 Měď 17 Invar* 0.7 Beton 12 Tavený křemen 0,5 " Kromě ledu jsou hodnoty udány pro pokojovou teplotu. h Slitina invar byla navržena tak, aby měla co nejnižší součinitel roztažnosti. Slovo samo je zkratkou z lat. „invariabilis" = angl. „invariablc" = neproměnný. Teplotní roztažnost pevných látek je něco jako fotografické zvětšení ve všech třech rozměrech. Obr. 19.10b ukazuje (přehnaně*) roztažení ocelového pravítka při vzrůstu Zvětšení jc zhruba tisíckrát větší, než by odpovídalo ohřátí o 100 C"'. 502 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO teploty oproti stavu na obr. 19.10a. Rov. (19.9) se vztahuje na každý délkový element pravítka: na hrany, tloušťku, diagonálu, průřez vyrytého kroužku i průřez vyvrtané kruhové díry. Kdyby kroužek vyříznutý z pravítka padl těsně do otvoru při jedné teplotě, pak by stejně dobře padl i při libovolné jiné teplotě. ■ li IM[III ll M ! TTTTTTTTTI i 2 3 4 5 O6 o7 (a) kroužek- kruhový \ otvor \ 1 2 11 i ŕ 111111 3; ' Ml'; 4 ■ III 5 lll|lll C\ 6 III |ll!l ~) 7 (b) Obr. 19.10 Totéž ocelové pravítko při dvou teplotách. Při roztažení se mění ve stejném měřítku všechny jeho rozměry. Stupnice, čísla, tloušťka, průměr vyrytého kruhu i průměr kruhového otvoru se mění ve stejném poměm. (Pro názornost je roztažení značně přehnáno, viz pozn. pod čarou na str. 501.) Objemová roztažnost Vzrostou-li při zahřátí všechny rozměry tělesa, musí vzrůst i jeho objem. Pro tekutiny je objemová roztažnost jediný rozumný parametr k měření teplotní roztažnosti. Zvýší-li se teplota pevné látky nebo tekutiny objemu V o hodnotu AT, bude přírůstek objemu A V = Vp AT, (19.11) kde ji je teplotní součinitel objemové roztažnosti materiálu. Součinitele objemové a délkové roztažnosti pevných látek jsou spojeny vztahem = 3a. (19.12) Nej běžnější kapalina — voda — se však chová jinak než ostatní kapaliny. Nad teplotou cca 4 °C se voda zahřátím roztahuje, jak bychom očekávali. Ale mezi 0 °C a 4 °C se voda s rostoucí teplotou smršťuje. Hustota vody prochází tedy kolem 4 °C maximem; při všech ostatních teplotách je její hustota nižší. Toto chovám vody je také důvodem, proč jezírka zamrzají shora dolů a nikoli zezdola nahoru. Když voda na hladině chladne řekněme z 10°C k bodu mrazu, stává se hustší („těžší") než voda níže a klesá proto ke dnu. Ale pod 4 °C se dalším ochlazováním voda na povrchu stává řidší (lehčí) než spodní vrstvy a zůstává tedy na povrchu až do zamrznutí. Kdyby voda jezírka zamrzala ode dna nahoru, pak by i v běžné zimě zamrzla úplně a nemohl by v ní přetrvávat život tak, jak ho známe. Dokonce by mohl u dna zůstávat led i přes léto. J^ONTROLA 2: Obrázek ukazuje čtyři pravoúhlé kovové desky o hranách d, Id a 3d. Všechny jsou z téhož materiálu a jejich teploty se mají zvýšit o tutéž hodnotu. Uspořádejte sestupně desky podle očekávaného přírůstku (a) výšky, (b) plochy. (1) (2) (3) (4) PŘIKLAD 19.3 Ocelový drát o teplotě 830 °C má délku a = 130 cm a průměr d = 1,1 mm. Je upnut mezi dva pevné svěráky. Jaké mechanické napětí v drátu vznikne při ochlazení na 20 °C? ŘEŠENI: Nejprve spočítáme, o kolik by se drát zkrátil, kdybychom ho ochladili neupnutý. Z rov. (19.9) a tab. 19.2 nalezneme, že zkrácení bude Aa = aaAT = (l,3m)(llT0"6/Cc)(830°C - 20°C) = = 1.16-10 2m= 1.16cm. Ale drát je upnut a zkrátit se nemůže. Spočítáme proto, jaká síla by byla zapotřebí, aby drát o tuto délku protáhla. Z rov. (13.34) plyne F AaES AaE(TL/A)d2 kde E je Youngův modul pružnosti pro ocel (viz tab. 13.1) a S je velikost plochy průřezu drátu. Dosazením dostaneme F = (l,16T0"2m)(200T09N/m2)(7i/4) (l,l-10-3m)2 d.3m) 1700N. (Odpověd) Můžete dokázat, že výsledek nezávisí na délce drátu? Někdy se vyboulené stěny starých budov zpevňují stažením ocelovou tyčí, vedoucí skrz budovu z vnější strany jedné zdi na vnější stranu protilehlé zdi: na obou stranách procházejí deskami, za kterými jsou matky. Opraváři tyč zahřejí a utáhnou matky na obou stranách. Když tyč chladne, 19.6 TEPLOTA A TĽPLO 503 smršťuje se; protože je upnutá, vzniká v ní mechanické napětí, které pomáhá držet stěny proti dalšímu vyboulení. PŘIKLAD 19.4 Za horkého letního dne vyjíždí z Las Vegas tanker vezoucí 9785 galonů nafty. Během cesty se ochladí a do přístavu v Paysonu vjíždí za teploty o 41 F° nižší než v Las Vegas. Tam vylodí celý náklad; kolik galonů to vlastně je? Součinitel objemové roztažnosti nafty je 9,5-10~4/C°, součinitel délkové roztažnosti oceli, z níž jsou zhotoveny nádrže, je n-io-6/c°. ŘEŠENÍ: Z rov. (19.11) plyne A V = V/SA7' = = (9785gal)(9,5-10-4/C°)(-41Fn)(^) = = -212 gal. Dodané množství nafty je tedy Vdod = V + AV = 9785gal-212gal = = 9 573 gal = 9 600 gal. Všimněte si, že teplotní roztažnost ocelové nádrže nemá vliv* na výsledek. Otázka: Kdo zaplatí „chybějící" množství? 19.6 TEPLOTA A TEPLO Vezmete-li si láhev piva z chladničky a necháte-li ji na stole, její teplota poroste — nejdřív rychle, potom volněji — až se vyrovná s teplotou místnosti (láhev i místnost budou v tepelné rovnováze). Podobně bude chladnout horký šálek kávy, zapomenutý na stole, až. se jeho teplota vyrovná s teplotou místnosti. Zobecníme tuto situaci: pivo nebo kávu označíme jako systém (s teplotou Ts) a příslušnou část kuchyně jako okolí (s teplotou T0) tohoto systému. Zjistili jsme, že pokud Ts není rovno T0, pak se Ts mění (i Ta se při tom může měnit) tak dlouho, dokud se teploty nevyrovnají; pak bude dosaženo tepelné rovnováhy. Taková změna teploty je způsobena speciálním přenosem energie mezi systémem a jeho okolím. Mění se přitom vnitřní energie, což je souhrn potenciální a kinetické energie spojené s náhodným pohybem atomů, molekul a jiných * To je ovšem jen proto, že se nafta smrští více než tank. Kdyby se tank smrštil více (nebo realističtěji, kdybychom tankovali v mrazu a vykládali v horku), nadbytečné množství nafty by z nádrže vyteklo ven. mikroskopických částí zkoumaného předmětu. Přenos nastává zpravidla tím, že systém a jeho okolí mají různé teploty. Energie takto přenesená se nazývá teplo a značí se Q. Teplo bereme jako kladné, je-li dodáno do systému z okolí (někdy říkáme, že bylo teplo systémem pohlceno). Teplo je záporné, jestliže přešlo ze systému do jeho okolí (říkáme, že bylo teplo uvolněno, předáno, příp. vyzářeno). Ncchceme-li určit směr přenosu energie, mluvíme o teplu vyměněném s okolím. Tento přenos energie je znázorněn na obr. 19.11. V situaci na obr. 19.11a, když je rs > TQ, přechází teplo ze systému do okolí; platí tedy Q < 0. Na obr. 19.11b je 7S — T0 a teplo se nepřenáší*. Platí Q — 0 a teplo se ani neuvolňuje, ani nepohlcuje. Na obr. 19.11c je rs < 7*0. Teplo přechází z okolí do systému, takže Q > 0. okolí rn systém (a) okolí 7„ system (b) 2 = 0 okolí 7; Q (c) n < Tu CJ > 0 Obr. 19.11 Je-li teplota systému vyšší než teplota okolí, jako v případě (a), předává systém teplo do okolí (tj. „ztrácí teplo") tak dlouho, až je dosaženo tepelné rovnováhy, tj. rovnosti teplot (b). Je-li teplota systému nižší než teplota okolí (jako v případě (c)), předává okolí teplo do systému (tj. systém pohlcuje teplo z okolí) tak dlouho, až je dosaženo rovnováhy. * Ve zcela zvláštních případech se může přenášet teplo i zde. Fázový přechod, např. tání ledu, probíhá za téže teploty obou fází. a přitom se v principu vratně přenáší teplo z okolí do tajícího ledu. 504 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO To nás vede k následující definici tepla: Teplo je energie vyměněná mezi systémem a okolím jako důsledek teplotního rozdílu mezi nimi. Připomeňme, že energii mezi systémem a okolím lze vyměňovat také prostřednictvím práce; to spojujeme s působením síly během přemístění v systému. Na rozdíl od teploty, tlaku a objemu nejsou teplo a práce vlastnostmi systému. Mají smysl jen tehdy, pokud popisují děj — výměnu energie mezi systémem a jeho okolím. Má tedy smysl např. prohlásit „Během posledních tří minut bylo přeneseno 15 J tepla z okolí do systému'4 anebo „V poslední minutě jsme dodali systému 12 J práce". Nemá však smysl prohlásit „V systému je 450 J tepla" nebo „Systém obsahuje 385 J práce." Proto také odlišujeme dějové veličiny (jako je teplo či práce), mající smysl jen při popisu konkrétního děje probíhajícího v systému, od stavových veličin (jako je vnitřní energie, teplota, tlak atd.), které mají smysl při popisu konkrétního stavu systému. Než si vědci uvědomili, že teplo je přenesená energie, měřili ho pomocí vzrůstu teploty vody. Jedna kalorie byla definována jako množství tepla, které zvýší teplotu 1 g vody ze 14,5 CC na 15,5 °C. V britském systému je odpovídající jednotkou British thermal unit (Btu), definovaná jako množství tepla, které zvýší teplotu 1 lb vody z 63 °F na 64 °F. Protože teplo je (stejně jako práce) přenesená energie, rozhodlo se v roce 1948, že jednotka tepla v SI bude táž jako jednotka energie, tedy joule. Kalorie je nyní definována jako 4,186 0 J přesně, bez dalšího odkazu na vlastnosti vody. Mezi různými jednotkami tepla platí vztah 1 cal = 3.969-10"3 Btu = 4,186 J. (19.13) 19.7 ZAHŘÍVÁNÍ PEVNÝCH LÁTEK A KAPALIN Tepelná kapacita Tepelná kapacita C nějakého předmětu (např. šálku na kávu nebo mramorové desky stolu) je konstanta úměrnosti mezi množstvím tepla dodaného předmětu a tím způsobenou změnou jeho teploty. Platí tedy Q = C(Tt-Ti), (19.14) kde T\ a Tf jsou počáteční a koncová teplota předmětu. Jednotkou tepelné kapacity C je energie na kelvin (neboli energie na stupeň Celsia). Tepelná kapacita C takové mra- morové desky může být 1790 cal/ C , což můžeme psát také jako 1 790 cal/K nebo 7 470 i/K. Slovo „kapacita" v tomto kontextu poněkud zavádí, protože podsouvá analogii s kapacitou nádrže na vodu. Tato analogie je zavádějící. Předmět především „neobsahuje" žádné teplo (obsahuje energii, ale pojem teplo je spojen s dějem, s jistým způsobem přenosu energie). Dále, na rozdíl od nádrže není předmět omezen v přijímání tepla. Přenos tepla může probíhat bez omezení, pokud dokážeme vytvořit příslušný rozdíl teplot. (V praxi se ovšem konkrétní předmět může během dodávání tepla roztavit, vypařit nebo jinak změnit.) Prostě: tepelná kapacita neurčuje „kolik tepla se vejde do tělesa", ale kolik tepla zvětší jeho teplotu o jednotku. Měrná tepelná kapacita Dva předměty z téhož materiálu, dejme tomu z mramoru, budou mít tepelné kapacity úměrné svým hmotnostem. Je proto výhodné zavést „tepelnou kapacitu na jednotku hmotnosti" neboli měrnou tepelnou kapacitu c (dříve nazývanou měrné neboli specifické teplo). Nevztahuje se už ke konkrétnímu předmětu, ale k jeho materiálu. Rov. (19.14) pak získá tvar Q = cm(Tí-Tí). (19.15) Pokusem zjistíme, že zatímco tepelná kapacita výše zmíněné mramorové desky je 7 470J/K, měrná tepelná kapacita mramoru jakožto materiálu (ať už oné desky nebo čehokoliv jiného) je 880 J/(kg-K). Ze způsobu, jak byly původně definovány kalorie a Btu, plyne měrná tepelná kapacita vody c = 1 cal/(g-Ců) = 1 Btu/(lb-F°) = = 4190J/(kg-K). (19.16) Tab. 19.3 udává měrné tepelné kapacity některých látek za pokojové teploty. Všimněme si poměrně vysoké hodnoty pro vodu. Měrné tepelné kapacity látek závisejí poněkud na teplotě; hodnoty z tab. 19.3 můžete s rozumnou přesností používat okolo pokojové teploty. J^ONTROLA 3: Jisté množství tepla Q ohřeje 1 g materiálu A o 3 Cc a 1 g materiálu B o 4 C°. Který z materiálů má větší měrnou tepelnou kapacitu? Molární tepelná kapacita Nej vhodnější jednotkou k vyjádření množství látky je v mnoha případech mol (symbol mol): 1 mol = 6.02-10"J elementárních jednotek 19.7 ZAHŘÍVÁNÍ PEVNÝCH LÁTEK A KAPALIN 505 Tabulka 19.3 Měrné a molární tepelné kapacity látek za pokojové teploty LÁTKA c c C-'mol cal-g-'-K- J-kg-'-K"1 J-moĽK 1 Pevné prvky Olovo 0,0305 128 26,5 Wolfram 0.032 1 134 24,8 Stříbro 0.0564 236 25,5 Měď 0,092 3 386 24,5 Hliník 0,215 900 24,4 Jiné pevné látky Mosaz 0,092 380 Zula 0,19 790 Sklo 0,20 840 Led (-10 :C) 0,530 2 220 Kapaliny Rtuť 0.033 140 Líh (ethanol) 0.58 2430 Mořská voda 0.93 3 900 Voda 1,00 4190 zkoumané látky. Např. 1 mol hliníku jc 6,02-ÍO2^ atomít (za elementárni jednotku kovu bereme atom), 1 mol oxidu hlinitého je 6,02-ÍO2-* molekul AI7O3 (za elementárni jednotku sloučeniny bereme její molekulu). Elementární jednotka musí být jednoznačně zadána, viz např. bod 20.1. Je-li látkové množství vyjádřeno v molech, je tepelná kapacita vztažena na 1 mol (a ne na hmotnost 1 kg). V tom případě ji nazýváme molární tepelná kapacita (dříve molární teplo). Tab. 19.3 udává příslušné hodnoty za pokojové teploty pro některé prvky sestávající z jednotlivých atomů. Všimněte si, že molární tepelné kapacity všech prvků uvedených v tab. 19.3 mají za pokojové teploty zhruba touž hodnotu, totiž 25 J/(mol-K). Toto zjištění nazýváme Dulongův-Petitův zákon. Molární tepelná kapacita všech pevných látek se s rostoucí teplotou blíží této hodnotě, ale některé látky jako berylium nebo uhlík jí dosahují až za podstatně vyšších teplot. Jiné látky mohou tát nebo se vypařit, dříve než potřebné teploty dosáhnou. Porovnáváme-li dvě látky na molekulové úrovni, srovnáváme vzorky obsahující stejný počet elementárních jednotek. Skutečnost, že za dostatečně vysokých teplot mají všechny pevné látky zhruba tutéž molární tepelnou kapacitu, naznačuje, že atomy všech druhů — ať je to hliník, měď, uran nebo cokoliv jiného — přijímají teplo stejným způsobem. Důležité upozornění Při stanovení a používání hodnot měrné tepelné kapacity látek je nutné vědět, za jakých okolností bylo teplo vyměňováno. U pevných látek a kapalin jde zpravidla o přenos tepla za stálého tlaku (obvykle atmosférického). Lze si však představit i přenos tepla za udržování stálého objemu:, tepelná roztažnost vzorku ovšem musí být kompenzována nějakým dodatečným tlakem. Toto lze pro pevné látky a kapaliny při skutečném pokusu zajistit jen obtížně; výpočtem však lze výsledné hodnoty celkem snadno odvodit z jiných veličin a ukazuje se, že pro každou pevnou látku či kapalinu sc obě veličiny shodují s rozdílem nanejvýš několika procent. Jak však uvidíme, pro plyny má měrná tepelná kapacita za stálého tlaku zcela jinou hodnotu než za stálého objemu. Skupenské teplo Dodáme-li pevné látce nebo kapalině teplo, teplota látky obvykle roste, ale nemusí tomu tak být vždy. Namísto růstu teploty může látka změnit své skupenství (tj. pevné, kapalné nebo plynné) nebo obecněji svou fázi i při zachování téhož skupenství (síra krystalující v soustavě kosočtverečné na jednoklonnou při tomtéž — pevném — skupenství). Tak například led může tát a pohlcovat teplo, aniž sc mění jeho teplota. Voda sc vaří a pohlcuje teplo, aniž roste její teplota. Při obráceném ději (mrznutí vody či kondenzaci páry) naopak teplo ze systému odchází, aniž se mění teplota systému. Množství tepla, které musí být vyměněno pro změnu skupenství celého množství látky, sc nazývá skupenské teplo Q: teplo vztažené na jednotku hmotnosti, resp. najeden mol se nazývá měrné, resp. molární skupenské teplo a značí se L, resp. Lmo\. Jestliže tedy hmotnost m látky změní své skupenství, jc příslušné přenesené množství tepla rovno Q = Lm. (19.17) Jde-li o fázovou změnu z kapaliny na plyn (kapalině je nutno dodat teplo), mluvíme o skupenskéin teplu vypařování Lv, resp. o skupenském teplu varu (tj. vypařování při teplotě varu kapaliny). Pokud naopak dochází ke kapalnění plynu (plynu je nutno teplo odebrat), jedná se o skupenské teplo kondenzace, které je rovno skupenskému teplu vypařování. Pro vodu při 100° C činí Lv = 539cal/g = 2 256kJ/kg, Lvmol = 40.7kJ/mol. (19.18) Jde-li o fázovou změnu z pevné látky na kapalinu (pevné látce je nutno dodat teplo), mluvíme o skupenském teplu 506 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO tání Lt. Pro vodu činí za normálních podmínek (0°C, atmosférický tlak) Lt = 79,5cal/g = 333kJ/kg, L,,moi = 6,01 kJ/mol. (19.19) Skupenské teplo tuhnutí charakterizuje naopak fázovou změnu kapaliny na pevnou látku; má touž hodnotu jako skupenské teplo tání. Tab. 19.4 udává skupenská tepla některých látek. Jdc-li o fázový přechod beze změny skupenství (např. různé krystalické modifikace látky), pak místo skupenského tepla mluvíme ve všech výše uvedených případech o teplu latentním. PŘÍKLAD 19.5 Karamelová tyčinka má uvedenu nutriční hodnotu 350kcal. Kolik kilowatthodin vám dodá, když ji sníte? ŘEŠENÍ: Energie E je rovna E = (350-103cal)(4,19J/cal) = = (1.466 106 J)(l W-s/J) ■ • (lh/3 600s)(lkW/1000W) = = 0.407 kWh. (Odpověd) Tato energie by stačila k tomu, aby 100W žárovka svítila po dobu 4.1 h. Chcete-li takovou energii „vybehať1, běžte nějakých pět až šest kilometrů. Slušná denní dávka energie je pro člověka kolem 3,5 kW-h. Je to také maximální práce, kterou je člověk schopen v jednom dni vykonat. Toto množství energie z elektrické sítě stojí u nás při sazbě N (0,91 Kč/kWh, ncpočítáme-li měsíční paušál) necelé 4 Kč. PŘÍKLAD 19.6 (a) Kolik tepla potřebujeme dodat kusu ledu o hmotnosti m = 720g a o teplotě —10 :C. abychom dostali vodu teploty 15 CC? ŘEŠENÍ: K odpovědi vedou tři kroky. V prvním kroku zahřejeme led z —10 °C na teplotu tání 0°C. Použijeme rov. (19.15) s měrnou tepelnou kapacitou ledu podle tab. 19.3. Počáteční teplota je zde T\ = —10 °C, koncová 7j = 0°C. Tak najdeme Qi = ciCd»i(7f - Ti) = = (2 220 J/(kg-K))(0,720kg)(0°C - (-10°C)) = = 15 984 J = 15,98 kJ. Ve druhém kroku roztavíme všechen led o teplotě 0°C na vodu téže teploty. Použijeme rov. (19.17) a (19.19) a dostaneme Q2 = Ltm = (333 kJ/kg)(0,720kg) = 239,8kJ. Ve třetím kroku zahřejeme vodu z 0CC na 15 =C. Opět použijeme rov. (19.15), ale tentokrát s měrnou tepelnou kapacitou Ckap kapalné vody podle tab. 19.3. V tomto kroku je počáteční teplota L; = 0rC a koncová teplota 7j = 15CC. Dostaneme Qi = Ckap^íLf - Ti) = = (4 190J/(kg-K))(0,720kg)(15°C - 0°C) = = 45 252 J = 45,25 kJ. Celkové potřebné teplo Qy; je součtem dílčích tepel, potřebných pro jednotlivé kroky: Qy. = Qi + 22 + 03 = = 15,98 kJ + 239,8 kj + 45,25 kJ = = 300kJ. (Odpověd) Všimněte si, že teplo potřebné k roztáni leduje mnohem větší, než teplo potřebné ke zvýšení teploty, ať už ledu nebo vody. (b) Jaký bude výsledný stav a teplota, dodáme-li ledu celkové teplo jen 210 kJ? Tabulka 19.4 Měrná skupenská tepla Tání Var LÁTKA T U T U K kJ-kg-1 K kJkg"1 Vodík 14,0 58,0 20,3 455 Kyslík 54,8 13,9 90,2 213 Rtuť 234 11,4 630 296 Voda 273 333 373 2 256 Olovo 601 23,2 2017 858 Stříbro 1235 105 2323 2 336 Měď 1356 207 2 868 4 730 19.8 PODROBNĚJŠÍ POHLED NA TF.PI.O A PRÁCI 507 ŘEŠENÍ: Z prvního kroku víme, zeje potřeba 15,98 kj pro zahřátí ledu na teplotu tání. Zbývající teplo CJzh je tedy 2101J - 15,98kJ neboli něco kolem 194kj. Z druhého kroku vidíme, že toto teplo nestačí k roztáni všeho ledu. Z rov. (19.17) a (19.19) však můžeme najít hmotnost m ledu, který roztaje: 6zb U i 194k.l) (333kJ/kg) :0,583kg = 580g. Hmotnost neroztálého ledu je tedy 720 g — 580 g = 140 g. Protože neroztál veškerý led, musí být teplola směsi led + + voda rovna 0 "C. Výsledný stav tedy je 580 g vody a 140 g ledu při 0 'C. (Odpověd) \ i Měděný váleček o hmotnosti mm = 75 g byl v laboratorní pícce zahřát na teplotu T — 312 °C. Poté byl vhozen do kádinky obsahující mv = 220 g vody. Tepelná kapacita kádinky je C\ = 45 cal/K. Počáteční teplota kádinky s vodou byla 1] — 12 C. Jaká bude koncová teplota 7j válečku, vody a kádinky po dosažení tepelné rovnováhy? ŘEŠENÍ: Náš systém budou tvořit voda, kádinka a měděný váleček. Systém nevymění s okolím žádné teplo, takže algebraický součet celkového přesunu tepla uvnitř systému musí být roven nule. Jde o Iři přesuny: pro vodu: Qv = mvcv(7f — 71); pro kádinku: = Ck(7f — T\)\ pro měď: Qm = mmcm(Tf - T). Teplotní rozdíl je ve všech výrazech zapsán jako rozdíl koncové teploty (T{) a počáteční teploty (71 pro vodu a kádinku, T pro váleček). Značíme to takto, i když víme, že Qv a <2k budou kladná (protože teplo přejde do původně chladné vody a kádinky), zatímco Qm bude záporné (protože teplo odejde z původně horkého měděného válečku). Takto můžeme totiž napsat Gv + Gk + Gm = 0. (19.20) Po dosazení za výrazy pro přenos tepla z rov. (19.20) dostaneme mvcv(71-ri) + Ck(Tf-71) + + mmcm(7f - T) 0. (19.21) V rov. (19.21) se vyskytují teploty pouze v rozdílech. Protože rozdíly teplot ve stupních Celsia a v kelvinech jsou stejné, můžeme užít v rovnicích kterékoliv z jednotek. Rov. (19.21) můžeme vyřešit pro 7j a dostaneme T{ mmcmT + Ck71 + mvcv71 TOmCm + Ck + mvcv Čitatel je při použití Celsiovy stupnice roven (75 g)(0,092cal/(g.K))(312:C) + (45 cal/K)(12DC) + +(220g)(l,00cal/(g-K))(12°C) = = 5 332,8 cal a jmenovatel je (220g)(l,00cal/(g-K)) +45 cal/K + +(75g)(0,092cal/(g-K)) = = 271,9cal/C°. Odtud získáme (5 332,8 cal) 7) 19,6CC = 20°C. (Odpověď) (271,9 cal/ C°) Z uvedených hodnot můžeme najít gv = 1 670 cal, GJk = 342 cal, Qm = -2 020 cal. Algebraický součet těchto tří přenesených tepel je až na za-okrouhlovací chyby opravdu roven nule, v souladu s požadavkem rov. (19.20). 19.8 PODROBNEJŠÍ POHLED NA TEPLO A PRÁCI Nyní se podíváme podrobněji, jak se přenáší teplo a práce mezi systémem a jeho okolím. Uvažujme jako systém plyn ve válci s pohyblivým pístem podle obr. 19.12. Síla působící na píst zdola nahoru, způsobená tlakem plynu, je v rovno- 1 ^—tepelná izolace tepelná lázeň O knoflík ovládání Obr. 19.12 Plyn je uzavřen ve válci s pohyblivým pístem. Teplo Q může být vyměněno s okolím (tj. dodáno nebo odebráno) ovládáním teploty T tepelné lázně knoflíkem ovládání. Práci W lze konat nebo dodávat zvedáním nebo snižováním pístu. 508 KAPITOLA 19 TEPLOTA A TEPLO váze s tíhovou silou, způsobenou váhou pístu a zátěže — misky s olověnými broky. Stěny z válce jsou z izolačního materiálu a zabrání jakékoli výměně tepla s okolím. Dno válce spočívá na rezervoáru tepelné energie, tepelné lázni (třebas na horké plotně), jehož teplotu T můžeme řídit knoflíkem. Systém, tj. plyn, vychází z počátečního stavu č/\, popsaného tlakem pi, objemem Vl a teplotou 7,. Systém chceme převést do koncového stavu S\, popsaného tlakem pi, objemem Vf a teplotou 7'f. Děj popisující tento přechod nazýváme termodynamický děj, příp. termodynamický proces. Během tohoto děje dochází k výměně tepla: teplo může přecházet z lázně do systému (kladné teplo), anebo naopak ze systému do lázně (záporné teplo). Systém také může konat práci: může zvedat píst (kladná práce) anebo píst klesá (záporná práce). Budeme předpokládat, že všechny změny probíhají natolik zvolna, že systém je v každém okamžiku prakticky v tepelné rovnováze (tj., že každá část systému je v tepelné rovnováze s ostatními částmi). Uberme nyní nepatrně zátěže z pístu na obr. 19.12. Tím umožníme plynu nadzdvihnout silou F píst se zbývající zátěží o infinitezimální posunutí ds proti shora působící síle. Vzhledem k tomu, že posunutí je malé, můžeme předpokládat, že během nčho zůstává síla F stejná. Její velikost je F — pS, kde p je tlak plynu a S plocha pístu. Diferenciál práce dW vykonané plynem během posunutí je dW F-ds pdV, (pS)(ds) = p(Sds) = (19.22) kde d V je infinitezimální změna objemu plynu daná posuvem pístu. Ubereme-li zátěže natolik, aby se plyn roztáhl z objemu V\ na Vf, bude celková práce vykonaná plynem rovna W CiW-L Vf pdV. (19.23) Během změny objemu plynu se může měnit také tlak a teplota. Chceme-li tedy vypočítat integrál v rov. (19.23), musíme vědět, jak se mění tlak plynu v závislosti na jeho objemu pro konkrétní děj, vedoucí od počátečního stavu Jzj do stavu koncového čf\. Je mnoho možných způsobů, jak přejít od počátečního do koncového stavu. Několik z nich je zobrazeno na obr. 19.13 formou tzv. p-V diagramu, kde je vynesena závislost tlaku p plynu na jeho objemu V. Jeden způsob je na obr. 19.13a. Křivka ukazuje, že během zvětšování objemu plynu jeho tlak klesá. Integrál z obr. 19.13a, který určuje práci W vykonanou plynem, je dán vybarvenou plochou pod křivkou mezi body Jř\ a č/\-. Bez ohledu na to, jak ■A w >0 ■9\ T w > o (a) ■A W>0 (c) id) w < n o v o