P Y T H A G O R I Á D A
45. ročník
2022
ŠKOLNÍ KOLO
KATEGORIE 6.–9. ROČNÍK
Pokyny pro organizaci soutěže, zadání a řešení všech kategorií
Pokyny k soutěži Pythagoriáda
6.-9. ročník, školní kolo
Pravidla soutěže:
1. Účast v soutěži je dobrovolná, zúčastnit se může každý žák příslušného ročníku základní školy, resp.
odpovídajícího ročníku víceletého gymnázia, event. žák nižšího ročníku.
2. Zájemci o soutěž se přihlásí u učitele pověřeného vedením školního kola Pythagoriády (zpravidla
vyučujícího matematiky), který žákům zadá soutěžní úlohy.
3. Zadání a řešení úloh školního a okresního kola Pythagoriády budou zaslána pracovníkům krajských
úřadů zodpovědným za soutěže v jednotlivých krajích elektronickou poštou. Tito zajistí rozeslání úloh
na jednotlivé školy v příslušném kraji. O organizátorech okresních kol jsou informovány také odbory
školství jednotlivých krajských úřadů.
4. Soutěžící řeší 15 úloh. Na jejich vyřešení má 60 minut čistého času. Při řešení úloh NENÍ povoleno
používat kalkulačky ani tabulky.
5. Úlohy pro jednotlivé ročníky a jednotlivá postupová kola jsou závazné a nelze je měnit či vynechávat,
ani jinak upravovat či zaměňovat. Obrázky k úlohám mají pouze ilustrační charakter.
6. Zadání je připraveno pro oboustranný tisk. Soutěžící píší výsledky přímo do zadání, v němž jsou vloženy
řádky pro zápis odpovědi. Je vhodné dát soutěžícím k dispozici volný list papíru pro pomocné výpočty.
7. Za každou správně vyřešenou úlohu získá soutěžící 1 bod. Za nesprávnou odpověď se body neodečítají.
Školní kolo: termín pro 6.–9. ročník ZŠ a odpovídající roč. víceletých gymnázií 17.-21. 10. 2022
1. Soutěž se uskuteční prezenční formou, řešení žáci odevzdávají v listinné podobě. Organizátor školního
kola vyhodnotí řešení úloh školního kola a výsledkovou listinu všech zúčastněných žáků zašle
organizátorovi okresního kola a také krajským koordinátorům. Vyhodnocení školního kola zpracuje
do 4. 11. 2022.
2. Úspěšným řešitelem školního kola je každý soutěžící, který získá 9 a vice bodů.
3. Do okresního kola postupují z každé školy a z každé kategorie úspěšní řešitelé s největším počtem bodů.
O dalších postupujících rozhodne předseda okresní komise dle místních podmínek. Ten může
rozhodnout o případných dalších úpravách bodové hranice a stanovit tak minimální a maximální počet
bodů pro postup do okresního kola.
Pozn: Předseda okresní komise obdrží od organizátorů školních kol výsledkovou listinu ve tvaru počítačově zpracované tabulky. Z
jednotlivých tabulek předseda okresní komise vytvoří celkovou výsledkovou listinu školních kol v okrese* a podle místních podmínek
stanoví minimální počet bodů pro postup do okresního kola, tzn., pokud je počet žáků ŠK nízký, může předseda OK rozhodnout o
snížení počtu bodů nutných pro postup až na hranici 8 bodů. Další snížení bodové hranice se nedoporučuje.
*Pokud v krajích slouží k zápisu výsledků elektronické systémy, pak není nutné zasílat zvláštní výsledkové listiny ŠK organizátorům
vyšších kol soutěží.
Informace k soutěži www.pythagoriada.cz
Připomínky k úlohám zasílejte na adresu: cvrkalova@zssirotkova.cz, budou předány autorům k vyjádření
Jméno a příjmení: ......................................................... Třída: .............. Celkový počet bodů: ................
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 6. ROČNÍK – zadání
1. Káťa s Tomem jsou sousedi, kteří mají společného koníčka – vesmír. Oba rádi navštěvují hvězdárnu, která je
od jejich domu vzdálená jen 750 metrů. Tom navštívil hvězdárnu během léta celkem pětkrát a Káťa dokonce
sedmkrát. Kolik kilometrů při tom oba dohromady celkem urazili?
Dohromady ušli …………… km.
2. Nad hlavní bránou hvězdárny je vyryto MCMLIX. Jedná se o rok založení hvězdárny zapsaný římskými číslicemi.
Zapiš tento letopočet arabskými číslicemi.
Hvězdárna byla založena roku …………………..
3. Káťa se dozvěděla, že světlo z hvězdy Polárky k nám putuje 433 let. Vypočítej, kolik je to dnů. Výsledek správně
zaokrouhli na tisíce (díky zaokrouhlení nemusíš počítat s přesným počtem přestupných let).
Světlo z Polárky k nám letí ........................................... dnů.
4. Tom má dalekohled schovaný v zamčeném kufříku. K jeho otevření slouží čtyřmístný kód. Tím je největší možné
sudé čtyřciferné číslo složené z různých číslic, které má vyšší číslici na místě desítek než na místě stovek.
Kód ke kufříku je .................................
5. O víkendu se na hvězdárně konal festival. Vstupné pro dítě stálo 40 Kč. Káťa platila padesátikorunou. Kolika
způsoby může paní pokladní Káti vrátit? Možnosti se od sebe liší různými druhy a počty mincí. Jedna z možností
je např. pětikoruna, dvoukoruna a tři koruny.
Pokladní může vrátit .......................................... způsoby.
6. Na jednom ze stánků se vyráběly hvězdy z pravidelných papírových šestiúhelníků, které vidíš
na obrázku. Kolik nejvýše takových hvězd je možné vyrobit z deseti šestiúhelníků? Hvězdy
nemusí nutně být jen z jednoho kusu papíru.
Z deseti šestiúhelníků lze vyrobit nejvýše ........................ hvězd.
7. Stánky na festivalu byly očíslovány zvláštní řadou čísel. Prvních sedm mělo následující čísla. Pomocí stejného
pravidla napiš čísla následujících tří stánků.
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, …
Další tři stánky měly postupně tato čísla ……………………….
8. Terasa hvězdárny má tvar čtyřúhelníku (viz obrázek). Je složená ze čtverce a dvou stejných pravoúhlých
trojúhelníků. Kolik na ní může maximálně stát lidí, když budeme na každého člověka počítat 2 m2
plochy?
Na terase může stát maximálně ……………………… lidí.
9. U vchodu hvězdárny jsou zavěšeny prostorové hvězdy. Uprostřed hvězdy je krychle a na každou její
stěnu je přilepený jehlan, jehož podstava přesně odpovídá stěně krychle (viz obrázek). Kolik stěn má
takto vyrobená hvězda?
Jedna hvězda má …………….. stěn.
10. Při pozorování noční oblohy si Káťa vzpomněla na informaci z festivalu, kolik souhvězdí existuje celkem. Když
k celkovému počtu souhvězdí přičteš dvanáct a tento součet následně vydělíš čtyřmi, vyjde ti jako výsledek
pětinásobek čísla pět. Kolik existuje souhvězdí?
Počet souhvězdí je roven …………………….
11. V rámci festivalu děti řešily následující doplňovačku s planetami Jupiter (J), Saturn (S),
Uran (U) a Neptun (N). Úkolem je doplnit do každého prázdného políčka jednu planetu
tak, aby se planety v jednotlivých řádcích, sloupcích a v silně ohraničených čtvercích
neopakovaly. Vyřeš doplňovačku také.
12. Tom si po festivalu připravil pro kamarády matematickou křížovku. Její tajenka udává
letopočet, kdy by u nás měla být opět pozorovatelná Halleyova kometa.
Halleyovu kometu můžeme vidět opět v roce ……………….
13. Káťa si pro ostatní zase připravila hříčku s názvem naší nejbližší hvězdy nacházející se mimo Sluneční soustavu.
Která písmena zbydou, když z jejího názvu vyškrtáš všechna osově souměrná písmena? Pořadí písmen zachovej.
Po vyškrtání zbydou písmena ……………………………
14. Následně si spolu s ostatními dětmi na hřišti zahráli hru na dobývání Měsíce. Potřebovali si ale nejdřív vyrobit
vlajku České republiky. Modrý klín vlajky končí přesně v polovině výšky i šířky vlajky. Vyjádři zlomkem, jaká část
vlajky je bílá.
Bílá je / bílé jsou …………………… vlajky.
15. Tomovo nejoblíbenější souhvězdí je souhvězdí Delfína. Zajímá
ho, jak je vlastně daleko. Na internetu našel vzdálenosti
jednotlivých hvězd tohoto souhvězdí od Země a údaje si zapsal
do tabulky. Urči rozdíl vzdáleností nejbližší a nejvzdálenější
hvězdy.
Rozdíl vzdáleností hvězd je …………………………… světelných let.
Název hvězdy
Vzdálenost od Země
(světelných let)
Rotanev 97
Sualocin 291
Delta Delphini 207
Deneb Dulfim 358
Gamma Delphini 102
PROXIMA CENTAURI
Jméno a příjmení: ......................................................... Třída: .............. Celkový počet bodů: ................
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 7. ROČNÍK – zadání
1. Kolik os souměrnosti mají všechna písmena nápisu dohromady?
Písmena nápisu mají celkem ………………………… os souměrnosti.
2. Které číslice můžeme doplnit na místo hvězdičky v čísle 2*22, aby toto číslo bylo dělitelné třemi?
Na místo hvězdičky můžeme doplnit číslice …………..…………….
3. Kolik litrů vody naprší na čtvercový pozemek o straně dlouhé 10 metrů, jestliže spadne 1 mm srážek?
Na pozemek naprší ………………. litrů vody.
4. Stavba na obrázku byla slepena z 28 kostek a následně natřena na modro. Vyjádři zlomkem, jaká část kostek má
modrou alespoň polovinu svých stěn.
Jde o ….…….. kostek.
5. Jakou velikost má úhel vyznačený v obrázku otazníkem? Obrázek je jen ilustrativní, velikost úhlu neměř, ale
spočítej.
Úhel označený otazníkem má velikost ……….. stupňů.
6. Na turnaj ve fotbale se přihlásilo 10 družstev, které budou hrát systémem každý s každým. Kolik zápasů se bude
na turnaji celkem hrát?
Bude se hrát celkem …………………… zápasů.
7. Urči, jakou číslici nahrazuje v následujícím příkladu písmeno A a jakou číslici písmeno B, jestliže platí:
AB – BA = A
A = ………….., B = …………
8. Kolik sekund uběhne, než minutová ručička opíše úhel 45°?
Uběhne ……………… sekund.
9. Vyřeš početního hada. Jaké číslo patří do políčka s otazníkem?
Do políčka s otazníkem patří číslo ……………….
10. Zákazník si v cukrárně koupil 3 dortíky po 2,45 € a 2 kávy po 3,75 €. Kolik mu má prodavačka vrátit, jestliže platil
20€ bankovkou?
Prodavačka má zákazníkovi vrátit …………………………. €.
11. Jaký je součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku čísel 24 a 36?
Hledaný součin je …………………….
12. Adam si skládal z kamínků trojúhelníkové obrazce. Začal jedním kamínkem (n = 1), v druhém obrazci pod něj přidal
další dva kamínky (n = 2) a v každém dalším obrazci přidal vždy spodní vrstvu, která měla o jeden kamínek více,
než předchozí (viz obrázek). Zjisti, kolik kamínků bude v prostřední vrstvě pro n = 29.
V prostřední vrstvě bude ………………. kamínků.
13. Geometrický útvar na obrázku se skládá ze dvou částí – čtverce a pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku.
Jaké délce odpovídá písmeno x, je-li obsah celého útvaru 24 cm2
?
Písmeno x odpovídá délce …………….. cm.
14. V cukrárně se sešly tři kamarádky – Alenka, Barunka a Dominika. Každá si dala jiný zákusek a jiný nápoj. Barunka
si nedala špičku a Dominika neměla větrník. Ten, kdo si dal větrník, si k němu objednal džus. Kamarádka, která
zvolila špičku, si k ní nedala čaj. Dominika nepila kávu. Která z kamarádek tedy snědla špičku?
Špičku snědla ………………………………
15. Jaký aritmetický průměr známek vychází Kryštofovi, který si známky získané během pololetí zaznamenal
do následující tabulky?
Známka 1 2 3 4 5
Počet známek 4 8 6 2 0
Kryštofovi vychází průměr ……………………
Jméno a příjmení: ......................................................... Třída: .............. Celkový počet bodů: ................
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 8. ROČNÍK – zadání
1. Napiš, jaké číslo patří na místo otazníku v následující řadě čísel:
2; 6; 12; 20; 30; ?
Na místo otazníku patří číslo ……………………
2. V číslech A i B chybí vždy jedna číslice: A = 62 _64, B = 7 70_.Obě čísla jsou dělitelná třemi. Když
čísla A a B sečteme, výsledek bude dělitelný šesti. Urči číslo B.
B = …………………
3. Napiš, kolik je právě teď hodin, když v zrcadle vidíš odraz hodin, které visí na stěně za tebou (viz obrázek). Čas
uveď ve tvaru např. 11:25.
Je právě ……………….
4. Kuba narýsoval kosodélník ABCD a trojúhelník XYZ. Délka strany AB i délka strany XY se rovná 6 cm. Kosodélník
ABCD má výšku va dlouhou 3 cm. Obsah trojúhelníku XYZ je pětkrát menší než obsah kosodélníku ABCD.
Spočítej výšku vz trojúhelníku XYZ.
Výška vz trojúhelníku XYZ měří …………………. cm.
5. Kolik je jedna a půl třetiny z dvaceti? Výsledek napiš nejjednodušším možným způsobem.
Jedna a půl třetiny z dvaceti = ………………….
6. Na úsečce AD, která má délku 7 cm, jsme vyznačili postupně body B a C. Pro délky tří vzniklých úseček
(AB = a, BC = b, CD = c) platí: a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5. Urči délku úsečky CD (obrázek je jen ilustrativní, délku
neměř, ale spočítej).
Úsečka CD má délku …………… cm.
7. Urči, čemu se rovná součet △ + □ + ○, jestliže platí:
△ + □ = – 15
□ + ○ = – 20
○ + △ = – 19
△ + □ + ○ = .....................
A B C Da b c
8. Doplň do prázdných políček čísla 1, 2, 3 a 4 tak, aby v každém řádku, každém sloupci a každém silně
ohraničeném čtverci bylo každé z těchto čísel právě jednou. Dále musí platit, že malá
kolečka mezi jednotlivými políčky označují všechny dvojice sousedních políček, jejichž
čísla se liší o 1. Jinými slovy, pokud je mezi políčky kolečko, je v těchto políčkách jedna
z dvojic čísel 1 a 2, 2 a 3 nebo 3 a 4 (v jakémkoli pořadí), pokud mezi políčky kolečko
není, rozdíl mezi čísly v těchto políčkách je větší než 1.
Poslední řádek mřížky vypadá po doplnění takto:
9. Trojúhelníky ABC a CDE jsou rovnostranné. Bod D leží přesně uprostřed strany AB. Urči velikost vyznačeného
úhlu BDE (obrázek je jen ilustrativní, velikost úhlu neměř, ale spočítej).
Úhel BDE má velikost …………………. stupňů.
10. Řada čísel začíná číslem 0. Další čísla v řadě vznikají tak, že k předchozím číslům přičítáme postupně lichá čísla,
která jdou hned za sebou: druhé číslo v řadě je 0 + 1 = 1, třetí číslo 1 + 3 = 4, čtvrté číslo 4 + 5 = 9, páté číslo
9 + 7 = 16 atd. Jaké číslo bude v této řadě na 31. místě?
Na 31. místě řady bude číslo ……………….
11. Kolik procent obdélníku je vybarveno šedě?
Šedě je vybarveno …………. procent obdélníku.
12. Monika, Jitka a Adéla mají dohromady 555 Kč. Jitka má přitom dvakrát víc peněz než Monika a Adéla má ještě
o 5 Kč více než Jitka. Kolik korun má Adéla?
Adéla má ……………….. Kč.
13. Ve čtvercové síti jsme vyznačili písmena F a H. Obsah písmene H je o 18 cm2
větší než obsah písmene F. Urči,
o kolik cm má písmeno H větší obvod než písmeno F.
Písmeno H má o ……….……… cm větší obvod než písmeno F.
14. Najdi takové dvojciferné prvočíslo, jehož obě číslice jsou prvočísla a součet jeho číslic je také prvočíslo.
Hledané prvočíslo je ……………..
15. Krychle byla slepena z 64 stejných malých krychliček. Poté z ní bylo odebráno všech osm rohových krychliček.
Vypočítej povrch tělesa, které vzniklo z krychle odebráním osmi rohových krychliček, jestliže objem tohoto
tělesa je o 216 cm3
menší než objem původní krychle.
Těleso má povrch …………..……. cm2
.
3
A
B
C
D
E
Jméno a příjmení: ......................................................... Třída: .............. Celkový počet bodů: ................
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 9. ROČNÍK – zadání
1. Kryštofovi je 18 roků. Stáří jeho otce je o 150 % vyšší než jeho. Za kolik let bude mít Kryštof 50 % věku svého otce?
Kryštof bude mít 50 % věku svého otce za ………………. let.
2. Po dálnici jel kamion průměrnou rychlostí 80 km/h. Ze stejného místa o 50 minut později vyjel osobní automobil.
Automobil dohonil kamion po 200 km jízdy. Jakou rychlostí se automobil pohyboval?
Automobil se pohyboval rychlostí ……………….. km/h.
3. Liduška přeloží pětkrát tentýž list papíru na polovinu, nakonec udělá doprostřed díru. Kolik otvorů bude mít
v papíru, když ho rozloží?
V papíru bude ……………….. otvorů.
4. V říjnu před několika lety připadly tři středy na liché datum. Který den v týdnu mohl být v tomtéž roce státní svátek
28. října? Najdi všechny možnosti.
Státní svátek 28. října mohl být v …………………………………………………..
5. V Dlouhé ulici bydlí Karel vedle Břéti, Hynek naproti Evelíny, Timotej vedle Franty a Gertruda vedle Karla. Franta
naproti Gertrudy a vedle Hynka. Láďa pak bydlí vedle Timoteje. Kdo bydlí vedle Gertrudy z druhé strany než Karel?
Vedle Gertrudy bydlí ……………………..…………
6. Na obrázku vidíš tenisový kurt. Kolik je na něm obdélníků (žádný z čtyřúhelníků není čtverec)?
Na obrázku je celkem ………………………. obdélníků.
7. V rodině jsou dva bratři. Každý z nich má jednu sestru. Kolik dětí je v rodině?
Rodina má ………….. děti / dětí.
8. Kolikrát je větší součin
7
2
𝑎
2
5
než polovina rozdílu čísel
3
5
𝑎
2
15
?
Součin je ……………………….. krát větší.
9. Strom vysoký 8 m byl větrem nalomen tak, že se jeho vrchol dotýká země 4 m od paty kmene. V jaké výšce byl
strom nalomen?
Strom se nalomil ve výšce …………………….. metrů / metry nad zemí.
10. Vyjádři zlomkem v základním tvaru, jakou část pravidelného šestiúhelníku tvoří vyšrafovaný rovnoramenný
trojúhelník, který má vrchol ve středu protější strany (viz obrázek).
Vyšrafovaná část tvoří ………………….. šestiúhelníku.
11. Jaký je objem hrnce, naplní-li ho 0,5 litru vody do dvou pětin jeho objemu? Výsledek zapiš v cm3
.
Hrnec má objem ……………………….. cm3
.
12. Které číslo zmenšené o svou jednu devítinu dá 40?
Jde o číslo ……………………………..
13. O kolik procent se zvětší obsah obdélníka, když jeho délku i šířku zvětšíme o 30 %?
Obsah obdélníka se zvětší o ……………………… procent.
14. Do čtverce zapište čísla od - 7 do 8 tak, aby se součty v každém řádku, sloupci i v obou úhlopříčkách rovnaly číslu 2.
15. V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB byl na straně BC narýsován bod F tak, že |AB| = |BF|. Určete
velikost úhlu ACB, jestliže víte, že velikost úhlu AFC je 124°. Obrázek je pouze ilustrativní, velikost úhlu neměř, ale
spočítej.
Velikost úhlu ACB je ………………….. stupňů.
-6 5
-3 0
-1 -2
6 7
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 6. ROČNÍK – řešení
1. 18 km
2. rok 1959
3. 158 000 dnů
4. kód je 9786
5. 11 způsoby
6. 15 hvězd
7. 29, 37, 46
8. 108 lidí
9. 24 stěn
10. 88 souhvězdí
11.
12. v roce 2061
13. písmena PRNR
14.
3
8
vlajky
15. 261 světelných let
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 7. ROČNÍK – řešení
1. 12
2. 0, 3, 6, 9 (4 možnosti)
3. 100
4. 9/28
5. 60°
6. 45
7. A = 9, B = 8
8. 450 s
9. 2
10. 5,15 €
11. 864
12. 15
13. 4 cm
14. Alenka
15. 2,3
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 8. ROČNÍK – řešení
1. 42
2. 7 704
3. 4:45 nebo 16:45
4. 1,2 cm (nebo
6
5
𝑐𝑚)
5. 10
6. 3 cm
7. - 27
8.
9. 30°
10. 900
11. 40 %
12. 225 Kč
13. o 12 cm
14. 23
15. 864 cm2
PYTHAGORIÁDA 2022/2023
ŠKOLNÍ KOLO PRO 9. ROČNÍK – řešení
1. za 9 let
2. 120 km/h
3. 32
4. úterý nebo neděle (obě odpovědi)
5. Evelína
6. 31 obdélníků
7. 3 děti
8. šestkrát
9. 3 m
10.
1
3
11. 1250 cm3
12. 45
13. o 69 %
14.
15. 44°