Mechanika VE FYZICE JAN HORSKÝ • JAN NOVOTNÝ • MILAN ŠTEFÁNIK dL ACADEMIA Mechanika VE FYZICE JAN HORSKÝ • JAN NOVOTNÝ • MILAN ŠTEFANÍK ACADEMIA PRAHA 2001 OBSAH Předmluva.................................................9 Seznam symbolů..........................................11 NERELATIVISTICKÁ MECHANIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ / Základy newtonovské mechaniky 1.1 Pohyb hmotného bodu v kartézské soustavě.............................17 1.2 Pohyb hmotného bodu v křivočarých souřadnicích .........................20 1.3 Rychlost a zrychlení relativního pohybu...............................25 1.4 Inerciální vztažné systémy. Galileiho transformace.........................28 1.5 Síla a hmotnost...........................................31 1.6 Newtonovy pohybové rovnice....................................34 1.7 Hmotný bod v neinerciálním systému................................36 1.8 Zákon zachování energie ......................................37 1.9 Zákon zachování hybnosti. Střed hmotnosti.............................42 1.10 Zákon zachování momentu hybnosti.................................44 1.11 Příklady...............................................46 II Lagrangeovská formulace mechaniky 11.1 Hmotný bod vázaný na plochu a křivku...............................52 11.2 Klasifikace vazeb. Virtuální posunutí................................54 11.3 D'Alembertuv princip .......................................56 11.4 Lagrangeovy rovnice 1. druhu ...................................57 11.5 Lagrangeovy rovnice 2. druhu ...................................59 11.6 První integrály Lagrangeových rovnic. Cyklické souřadnice....................63 11.7 Zobecněná energie.........................................64 11.8 Základy variačního počtu. Hamiltonův princip...........................65 11.9 Teorém E. Noetherové.......................................68 11.10 Příklady ..............................................73 III Hamiltonovská formulace mechaniky III. 1 Hamiltonova funkce. Hamiltonovy rovnice ............................79 111.2 Cyklické souřadnice. Routhova funkce...............................82 111.3 Kanonické transformace......................................84 111.4 Poissonovy závorky........................................88 111.5 Pohyb jako kanonická transformace................................90 111.6 Liouvilleova věta .........................................92 111.7 Příklady..............................................94 5 IV Hamiltonova-Jacobiho teorie IV. 1 Hamiltonova-Jacobiho rovnice...................................97 IV.2 Separace času...........................................98 IV.3 Separace proměnných...................................... 100 IV.4 Od klasické ke kvantové mechanice............................... 101 IV. 5 Příklady............................................. 106 V Tuhé těleso VI Kinematika tuhého tělesa..................................... 109 V. 2 Moment hybnosti a kinetická energie............................... 111 V3 Tenzor setrvačnosti........................................ 113 V.4 Pohybové rovnice......................................... 119 V.5 Volný setrvačník ......................................... 121 V.6 Příklady.............................................. 124 VI Vybrané aplikace VI. 1 Pohyb hmotného bodu s proměnnou hmotností......................... 128 VI.2 Malé kmity ........................................... 130 VI.3 Těžký symetrický setrvačník................................... 133 VI.4 Srážky částic........................................... 136 VI.5 Problém dvou těles ....................................... 141 VI.6 Příklady............................................. 146 NERELATIVISTICKÁ MECHANIKA KONTINUA VII Pohybové rovnice kontinua VII. 1 Kinematika kontinua...................................... 155 VII.2 Deformace kontinua ...................................... 158 VII.3 Tenzory a tenzorová pole.................................... 161 VII.4 Derivování tenzorových polí.................................. 165 VII.5 Integrování polí......................................... 169 VII.6 Gaussova a Stokesova věta................................... 172 VII.7 Rovnice kontinuity....................................... 174 VII.8 Plošné a objemové síly. Tenzor napětí..........................■ • ■ • 177 VII.9 Symetrie tenzoru napětí..................................... 180 VII. 10 Zákon zachování energie v kontinuu .............................. 182 VII. 11 Termodynamické vztahy a veličiny............................... 184 VII. 12 Systém rovnic pro pohyb kontinua............................... 187 VIL 13 Příklady............................................. 188 VIII Teorie pružnosti VIIl.l Základní rovnice........................................ 190 VIII.2 Hookův zákon......................................... 192 VIII.3 Rovnice rovnováhy izotropních těles.............................. 195 VIII.4 Pohybové rovnice izotropního pružného tělesa. Vlnění..................... 198 V1II.5 Kmity struny.......................................... 201 VIII.6 Příklady............................................ 204 6 IX Ideálni tekutiny IX. 1 Pohybové rovnice........................................ 207 IX.2 Hydrostatika........................................... 209 IX.3 Izoentropický pohyb....................................... 212 IX.4 Eulerovy rovnice. Rovnice Bernoulliho............................. 214 IX.5 Tok hybnosti a energie...................................... 217 IX .6 Cirkulace rychlosti. Potenciálový pohyb............................. 218 IX.7 Obtékání tuhých těles. Odpor a vztlak.............................. 221 IX.8 Zvukové vlny................................... ...... 224 IX.9 Nadzvukové rychlosti. Rázové vlny............................... 227 IX. 10 Příklady............................................. 232 X Vazké tekutiny X.l Nedostatky teorie ideálni tekutiny ................................ 234 X.2 Tenzor napětí vazké tekutiny................................... 235 X.3 Navierovy-Stokesovy rovnice.................................. 237 X.4 Termodynamika vazkých tekutin................................. 238 X.5 Proudění trubicí. Hagenův-Poiseuilleův zákon.......................... 239 X.6 Turbulentní proudění....................................... 242 X.7 Teorie podobnosti ........................................ 244 X.8 Obtékání těles vazkou tekutinou................................. 246 X.9 Příklady ............................................. 250 RELATIVISTICKÁ MECHANIKA XI Základní pojmy a zdroje speciální teorie relativity XI. 1 Princip relativity v předrelativistické fyzice........................... 255 XI.2 Principy speciální teorie relativity................................ 267 XI. 3 Lorentzova transformace. Skládání rychlostí........................... 269 XI.4 Časový interval. Prostorová vzdálenost ............................. 276 XI.5 Některé kinematické důsledky teorie relativity.......................... 281 XI.6 Pohybové rovnice. Energie částice................................ 289 XI.7 Aplikace pohybových rovnic .................................. 295 XI. 8 Zákon ekvivalence hmotnosti a energie............................. 298 XI.9 Příklady............................................. 300 XII Speciální teorie relativity v Minkowskiho prostoročase XII.l Interval............................................. 304 XII.2 Geometrie Minkowskiho prostoru. Tenzory........................... 311 XII.3 Lorentzova a Poincarého grupa................................. 321 XII.4 Čtyřrozměrná mechanika.................................... 324 XII.5 Srážky částic.......................................... 328 XII.6 Tenzorová pole......................................... 333 XII.7 Integrály tenzorových polí................................... 338 XII. 8 Tenzor energie a hybnosti.................................... 344 XII.9 Pohybové rovnice ideální tekutiny ............................... 348 XII. 10 Variační princip v relativistické mechanice........................... 351 XII. 11 Příklady............................................. 355 7 XIII Mechanika v obecné teorii relativity XIII. 1 Gravitační pole v nerelativistické mechanice.......................... 357 XIII.2 Gravitační pole v relativistické mechanice........................... 359 XIII.3 Tenzorová pole v křivočarých souřadnicích. Lokálně geodetická soustava........... 360 XIII.4 Vztažné soustavy a soustavy souřadnic............................. 366 XIII.5 Měření času a délek...................................... 367 XIII.6 Měření metrických koeficientů................................. 370 XIII.7 Riemannův tenzor křivosti................................... 371 XIII.8 Einsteinovy gravitační rovnice................................. 375 XIII.9 Pohyb částic v gravitačním poli................................ 376 XIII. 10 Rovnice geodetiky ve stacionárním a slabém gravitačním poli................. 377 XIII. 11 Limitní tvar Einsteinova gravitačního zákona ......................... 379 XIII. 12 Pohybové rovnice částic ve Schwarzschildově poli....................... 380 XIII. 13 Ohyb světla ve Schwarzschildově poli............................. 386 XIII. 14 Rudý posun spektrálních čar.................................. 389 XIII. 15 Zpožďování radarových signálů................................ 390 XIII. 16 Příklady............................................ 391 Literatura................................................. 397 Rejstřík.................................................. 401 8 PŘEDMLUVA Teoretická mechanika vytváří vstupní bránu pro každého, kdo chce porozumět moderní teoretické fyzice. V mechanice vznikly jak základní fyzikální pojmy, tak i matematické metody, které umožňují s těmito pojmy pracovat. Každý, kdo zamýšlí hlouběji porozumět zákonitostem přírody, se proto musí podrobněji seznámit s obsahem teoretické mechaniky i s jejím matematickým aparátem. Předkládaná kniha vznikla po mnohaletých zkušenostech autorů z jejich přednášek, seminářů, besed i diskuzí. Tyto zkušenosti nás vedly k rozhodnutí spojit do jediného textu různé oblasti mechaniky. Doufáme, že toto zpracování pomůže lépe osvětlit obecnost principů mechaniky a vzájemnou souvislost jejích různých oblastí. Tak rozsáhlou tematiku nelze ovšem vždy vyložit do všech podrobností a studium proto předpokládá aktivní přístup, samostatné uvažování, prověřování a řešení problémů. Laskavý čtenář nechť se proto na nás nezlobí. Jeho případné upozornění na nedostatky či nejasnosti textu uvítáme. Kniha je rozdělena do tří na sebe navazujících částí. Část první se zaměřuje na předrelativistickou mechaniku soustavy hmotných bodů. Na tuto část plynule navazuje mechanika spojitých prostředí a poslední část je věnována základům relativistické mechaniky. I když rozvoj fyziky podstatně překročil hranice teoretické mechaniky, není mechanika ani zdaleka uzavřenou, již provždy hotovou oblastí vědy. Moderní matematika umožňuje nové hlubší pochopení jejích principů, výpočetní technika podstatně rozšiřuje oblast jejích aplikací. Žádná kniha pochopitelně nemůže zachytit všechny směry, v nichž se dnes mechanika rozvíjí. Radu dalších informací najde čtenář uvedeny v literatuře. Zejména upozorňujeme na problematiku deterministického chaosu, kde můžeme zájemcům doporučit hlavně dvojdílné skriptum doc. J. Slavíka, CSc. Autoři děkují předsedovi AV ČR prof. Ing. R. Zahradníkovi, DrSc, a předsedovi komise AV ČR prof. PhDr. P. Spunarovi, CSc, za jejich zcela fundamentální pomoc a stálou podporu. Za spoustu cenných rad děkujeme paní redaktorce Ing. J. Zykánové, paní sekretářce V. Langhamerové a panu redaktorovi Mgr. A. Baďurovi. Jsme přesvědčeni o tom, že naše poděkování 9 patrí i řadě našich přátel a kolegů, kteří nám svými poznámkami, technickou pomocí i podněty účinně a nezištně pomáhali. Recenzent knihy, prof. RNDr. M. Brdička, vložil hodně svého úsilí do celkového vylepšení rukopisu. Za jeho rady, za jeho upozornění na řadu chyb děkujeme a jsme mu velmi vděčni. Autoři 10 SEZNAM SYMBOLŮ Není-li uvedeno jinak (jak je tomu například v části B), indexy řecké abecedy nabývají hodnot 1, 2, 3 a indexy latinské abecedy hodnot 0, 1, 2, 3. a zrychlení částice (bodu) an normálová složka zrychlení •£> Vi % kartézské souřadnice částice (bodu) ÔXi složky vektoru virtuálního posunutí A amplituda A (r, t) vektorový potenciál Aik kontravariantní tenzor 2. řádu Aik kovariantní tenzor 2. řádu A\ smíšený tenzor 2. řádu B indukce magnetického pole tenzor pružnosti (elastické koeficienty) D disipativní funkce D úhrnný moment síly E mechanická energie soustavy částic; Youngův modul E intenzita elektrického pole Ep energie elektromagnetického pole e celková energie systému; zobecněná energie F vytvořující funkce kanonické transformace F síla působící na částici T volná energie Fm čtyřvektor Minkowskiho síly Qik Einsteinův tenzor Q termodynamický potenciál H Hamiltonova funkce (hamiltonián) Ŕ operátor energie (hamiltonián) n entalpie i funkcionál 81 variace funkcionálu Ia(3 tenzor setrvačnosti J jakobián J úhrnný moment hybnosti K koeficient všestranného stlačení L Lagrangeova funkce M úhrnná hmotnost; Machovo číslo N počet částic soustavy P úhrnná hybnost konfigurační prostor P čtyřrozměrná hybnost, čtyřhybnost, čtyřimpulz Qj komponenty vektoru zobecněné síly, j = 1,..., n R Routhova funkce; skalární křivost R střed hmotnosti daného systému; vazebná síla 12 Rik Ricciho tenzor křivosti n klm Riemannův tenzor křivosti n Reynoldsovo číslo s akce systému So redukovaná akce Sk,K kartézská soustava souřadnic s entropie T kinetická energie; teplota; čas rpij tenzor energie a hybnosti U zobecněná potenciálová funkce v, w potenciální energie v rychlost hmotného středu Vn fázový objem oblasti Í2 X, Y, Z kartézské souřadnice částice (bodu) X čtyřrozměrný polohový vektor a strhávací koeficient aap koeficienty tepelné pružnosti (elastické koeficienty) 7 Lorentzův faktor Kroneckerovo delta € úhlové zrychlení tenzor malé deformace Levi-Civitův permutační symbol čijkl Levi-Civitův permutační symbol Va? tenzor rychlosti deformace K Einsteinova gravitační konstanta A vlnová délka Lagrangeův multiplikátor modul pružnosti ve smyku; klidová hustota klidové hmotnosti A^turb koeficient turbulentní vazkosti ľ frekvence úhel rozptylu P hustota; záměrná vzdálenost a Poissonův koeficient tenzor absolutních napětí der diferenciální účinný průřez T vlastní čas Ta(3 tenzor napětí fáze; Newtonovský gravitační potenciál íp(r,t) skalární potenciál (p, ý, d Eulerovy úhly UJ kruhová frekvence U) úhlová rychlost r cirkulace rychlosti pi Christoffelovy symboly A; A Laplaceův operátor; změna hodnoty veličiny 13 A kosmologická konstanta $ reaktivní síla \P (r, ť) vlnová funkce Q oblast fázového prostoru; oblast prostoročasu di7 integrační element v prostoročase d parciální derivace V operátor nabla 14 Cast A NERELATIVISTICKÁ MECHANIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ I ZÁKLADY NEWTONOVSKÉ MECHANIKY Nápadnou vlastností fyzikálního světa okolo nás je existence těles, která se v prostoru pohybují, přičemž si během pohybu zachovávají svou identitu. Vzájemně ovlivňují svůj pohyb jak přímými nárazy, tak i „působením na dálku". Rozměry těles jsou často zanedbatelné vůči oblastem prostoru, v nichž se pohybují. Lze proto v abstrakci nahradit tělesa bezrozměrnými částicemi čili hmotnými body. Tato abstrakce má ovšem širší platnost. I tělesa, jejichž rozměry nelze zanedbat a která dokonce výrazně mění svůj tvar (kontinuum), mohou být v myšlenkách rozdělena na malé části, na něž můžeme v limitě nahlížet jako na hmotné body. Ukazuje se, že obecné fyzikální principy je nejlepší formulovat pro interagující hmotné body, zatímco eventuální přechod od diskrétního ke spojitému se stává záležitostí matematiky. V této úvodní kapitole se budeme zabývat soustavami libovolného konečného počtu hmotných bodů, jejichž pohyby jsou v prostoru a v čase přesně určeny. Úkolem mechaniky je nalézt zákony pohybu těchto hmotných bodů. Řešení této úlohy se přirozeně štěpí na dvě části. Nejprve si v kinematice vybudujeme prostředky pro matematický popis pohybu bez ohledu na to, odpovídá-li fyzikálním zákonům. Stanovením těchto zákonů, tj. omezením třídy kinematicky možných pohybů na pohyby dynamicky možné, se zabývá dynamika. V rámci kinematiky studujeme pohyb hmotného bodu v kartézských a křivočarých souřadnicích a závislost popisu pohybu na volbě vztažného systému. Zabýváme se otázkou rovnoprávnosti vztažných systémů a definujeme třídu inerciálních systémů, v nichž jsou zákony mechaniky nejprostší. Matematickým vyjádřením těchto zákonů jsou Newtonovy pohybové rovnice, které určují časový vývoj mechanických systémů. Tyto rovnice formulujeme i pro pohyb v neinerciálních systémech. Všímáme si principů symetrie, jimiž se řídí silové působení mezi hmotnými body. Nakonec studujeme zákony zachování a podmínky jejich platnosti. Zavádíme nejdůležitější zachovávající se veličiny: energii, hybnost a moment hybnosti. 1.1 Pohyb hmotného bodu v kartézské soustavě Pro účely kinematiky stačí umět popsat pohyb kteréhokoliv hmotného bodu. Tento pohyb je spojitou řadou událostí (křivkou) v prostoročasovém kontinuu. Pro jeho kvantitativní popis můžeme v souladu s běžnou zkušeností předpokládat, že máme k dispozici tuhé tyče pro měření prostorových vzdáleností a ideální hodiny pro měření časových intervalů mezi událostmi. Pro newtonovskou fyziku je specifickým předpokladem, že existuje absolutní sou- 17 časnost1. Údaje o vzdálenostech se pak odečítají v této absolutní současnosti, kterou tvoří třírozměrný prostor v daném okamžiku, zatímco čas je čtvrtým rozměrem prostoročasového kontinua. Dále se předpokládá, že geometrie prostoru je euklidovská. Zaplníme-li prostor dostatečně hustě hmotnými body (které se vzájemně nesrážejí), vzniká vztažná soustava, resp. vztažný systém. V matematické abstrakci lze oddělit pojem vztažné soustavy od reálných hmotných bodů a nahradit je nekonečně hustě rozloženými body myšlenými. Zvláštní význam mají takové soustavy, v nichž se nemění vzájemné vzdálenosti vztažných bodů. Nazývají se tuhými a mohou být fyzikálně realizovány pomocí tuhých těles2. V dalším výkladu budeme předpokládat, že jednotka délky i jednotka času jsou pevně zadány. Přiřadíme-li bodům tuhého vztažného systému S trojice reálných čísel xa (a = 1, 2,3) tak, že pro vzdálenost mezi nimi platí (A,)2 = J2 (Axa)2 , (1.1) Q=l dostáváme kartézskou souřadnicovou soustavu Sk- Takováto soustava není zřejmě určena jednoznačně. K její specifikaci je třeba zvolit počátek O a ortonormální troj hran vektorů ve směrech souřadnicových os {ea}. Pak polohu hmotného bodu X určuje polohový vektor r mající počátek v bodu O a konec v X. Platí 3 r = xiei + x2e2 + x3e3 = ^2 xaea , (1.2) a=l kde xa jsou souřadnice daného hmotného bodu. Poloha hmotného bodu v Sk je obecně časově proměnná, tj. r = r (t) . (1.3) Koncové body r (t) tvoří trajektorii hmotného bodu, která je parametrizována časem t. Délku trajektorie (od jejího pevně zvoleného bodu) nazýváme dráhou. 1 V části C ukážeme, že tento požadavek není dobře fyzikálně odůvodněn. Lze jej ovšem používat, pokud se všechna uvažovaná tělesa pohybují malými relativními rychlostmi ve srovnání s rychlostí světla. 2 Vztažný systém může být eventuálně zadán pouze lokálně. V praxi a historii jsou důležité zejména tyto tuhé vztažné systémy: a) soustava spojená se Zemí, jíž se užívá v běžném životě, b) soustava spojená se stálicemi (jež lze přibližně považovat za vzájemně nehybné), které se užívá v astronomii. 18 Pro formulaci pohybových zákonů je potřebné zavést kromě polohového vektoru jeho prvé a druhé derivace. Rychlostí hmotného bodu nazýváme (časově proměnný) vektor dr v = — = ř (1.4) dt K 1 a zrychlením vektor a = = r = v . (1.5) Kartézské složky rychlosti a zrychlení jsou zřejmě va = xa , aa = xa = i)a . (1-6) Pro fyzikální studium pohybu je často vhodné rozložit zrychlení na tečnou a normálovou složku. Nechť 5 = s(t) značí dráhu hmotného bodu. Platí zřejmě dr kde l = — je jednotkový tečný vektor k dané trajektorii v bodě r. Zderi-ds vujeme-li (1.7) podle času, dostáváme o = sl + si = sl + š2^- (1.8) ds a užitím Prenetovy formule kde n je jednotková normála k trajektorii v rovině tvořené vektory a,v (R je poloměr křivosti trajektorie), obdržíme i2 a = šl + — n. (1.10) R v2 Je tedy at — š = v tečná složka a an = — normálová složka zrychlení. R Vektor b = lxn (1.11) nazýváme binormálou; ortonormální trojice /, n, b tvoří tzv. přirozený troj-hran. Složka zrychlení ve směru binormály je zřejmě nulová. 19 1.2 Pohyb hmotného bodu v kŕivočarých souřadnicích Konkrétní situace se často vyznačuje určitým typem symetrie, který může způsobit, že je výhodné užít jiné než kartézské soustavy (například soustavy souřadnic sférických či válcových). Je proto vhodné mít k dispozici aparát, který dovoluje pracovat s křivočarými souřadnicovými soustavami. Bodům o kartézských souřadnicích xa (jak dále uvidíme, bude z formálních důvodů výhodné psát indexy u souřadnic nahoře) přiřadíme trojice čísel q@ podle vztahů q13 = q? (xa) . (1.12) Indexy řecké abecedy a,j3,... nabývají hodnot od 1 do 3. Předpokládáme, že existuje i inverzní transformace x° = xa(qfi) , (1.13) takže čísla q^ umožňují odlišit jednotlivé body a hrají tak úlohu souřadnic3. V těchto nových souřadnicích však již obecně neplatí vztah (1.1), charakteristický pro kartézské souřadnice. Místo něho máme diferenciální vztah d*2 = £ VdfV = dřV ~VděV' (L32) v-ž-v = . (L33) dqa dqa l 2 ' v ' Užitím (1.30), (1.27) v prvním a (1.31), (1.33) v druhém členu (1.29) máme (1.34) d d d 1 f v2 a [dtdqa dqa_ V praxi se často setkáváme s případem ortogonálních souřadnic. Vyznačují se tím, že je 9a/3=0 pro a/^, (1.35) 23 jinými slovy souřadnicové čáry jsou kolmé k souřadnicovým plochám a vektory kovariantní a kontravariantní báze mají stejný směr. V tomto případě je vhodné zavést ortonormální, tzv. fyzikální bázi, která vznikne normováním vektorů kovariantní (eventuálně kontravariantní) báze. Označíme-li fyzikální komponenty libovolného vektoru A vlnovkou, získáme5 Äa = ^Aa = haAa . (1.36) Zde podle (1.24) s přihlédnutím k (1.35) a (1.15) jsme označili Veličiny ha, které jsou funkcemi souřadnic qa, označujeme jako Laméovy koeficienty. V případě ortogonálních souřadnic je užití fyzikálních složek vhodné u rychlosti a zrychlení, a to jak z matematických důvodů (užití ortonormální báze zjednodušuje výpočty), tak i z důvodů fyzikálních (k této bázi se nejčastěji vztahují měřené veličiny). Zavádíme proto 1 oQ = — K á d d át dqa dqa v2 , (1.39) Ilustrujme vyloženou teorii na případě válcových souřadnic, kde transformační vzorce (1.13) jsou ve tvaru x = pcos(p, y = ps'm(p, z = z . (1-40) Vzorec (1.28) dává přepočtem do křivočarých souřadnic V2 = x2 + y2 + z1 = p2 + p2(f2 + Ž2 . (1.41) Odtud vidíme, že Laméovy koeficienty jsou hp = l , h

xA + — . (1.54) Vektor u> zavedený vztahy (1.52) nazýváme vektorem úhlové rychlosti systému S' vůči systému S. Uvažujeme-li vektory A, které jsou pevné v 5", d'A tj. pro něž je —-— = 0, vidíme z (1.54), že u; má směr okamžité osy rotace dt a velikost rovnou úhlové rychlosti otáčení kolem této osy6. Vzorec (1.54) nyní aplikujeme na rychlost a zrychlení. Přitom označíme dr° d2r° ÍJ ZtL\ jako translační rychlost a translační zrychlenípočátku soustavy S' vůči soustavě S. Platí _ dr dr' dro _ V~~ďt~~át~{'~ďt~ dV + wxr' + % = í;' + wxr' + %) (1.56) čímž je dán vztah mezi rychlostmi hmotného bodu v v S a v ' v S'. Pro body pevně spojené s S' je v' = 0, a tudíž jejich rychlost je vq = u) x r' + vtT . (1.57) 6 Přesně vzato, poněvadž cjxA jakožto rozdíl dvou vektorů musí být vektorem a vektorový součin dvou vektorů je pseudovektor (jeho smysl závisí na volbě orientace), musí být u> pseudovektor. Z (1.54) plyne, že v pravotočivé soustavě souvisí smysl u> se smyslem otáčení podle pravidla pravotočivého šroubu. 26 Rychlost vo nazýváme rychlosti unášivou. Lze ji rozložit na rotační rychlost u; x r' a translační rychlost vtr. Pro zrychlení dostaneme obdobným postupem n _ dv _ dv' , d{wx r') , dv^ _ a -"dT-"dT+ dl + = ^+ u;XT;' + exr, + u;x +Wxr'j+atr= (L58) = o' + 2w x v' + e x r' + w x (w x r') + % , kde e = u> je úhlové zrychlení S' vůči S. Je tedy a — a' = clq , (1.59) kde ao se skládá z Coriolisova zrychlení 2lo x v' (1.60) a unášivého zrychlení c x r' + w x (w x r') + (Hr. (1-61) Unášivé zrychlení se dělí na tři členy, které v uvedeném pořadí nazýváme Eu-lerovým, dostředivým a translačním zrychlením. Je ovšem třeba poznamenat, že tento rozklad (stejně jako rozklad (1.57)) závisí nejen na samotném pohybujícím se systému 5', ale i na tom, jak v něm zvolíme počátek. Vhodnou volbou počátku lze vždy dosáhnout toho, aby translační rychlost měla v daném okamžiku stejný směr jako rychlost úhlová. K tomu stačí posunout počátek do bodu r> = , (1.62) v němž je podle (1.57) unášivá rychlost dána vztahem v0 = —5- u . (1.63) Unášivá rychlost počátku je však rovna rychlosti translační, takže vztah (1.63) dokazuje uvedené tvrzení. Pohyb tuhého vztažného systému (resp. tuhého tělesa) je tedy v každém okamžiku pohybem šroubovým (systém se pohybuje ve směru jisté osy a zároveň se kolem ní otáčí). Poznámka: Levi-Civitův permutační symbol. Tento symbol ea/j7 představuje 33 čísel, definovaných tímto způsobem 27 = 1 pro sudé permutace indexů 1, 2, 3 -a/?7 ^ = — 1 Pro liché permutace indexů 1, 2, 3 = 0 pokud jsou aspoň dva indexy stejné. Z této definice je zřejmé, že Levi-Civitův symbol mění znaménko při libovolné výměně indexů, tj. je úplně antisymetrický. Je snadné ukázat, že součin dvou Levi-Civitových symbolů se dá vyjádřit pomocí determinantu z Kroneckerových matic 3a\ fiocß $av 3ß\ Ößß Sßv Óry\ ^ifi fiyis (1.64) Sečtením přes jeden či více indexů odtud dostáváme Ca/37eA/37 = ^aX , (1.65) taflyča/Sy = 6 . Je také snadné se přesvědčit, že Levi-Civitův symbol umožňuje jednoduchý zápis komponent vektorového součinu {A x B)a = ea/97i4/3B7 . (1.66) Užití Levi-Civitova symbolu ve spojení se vzorci (1.65) je velmi výhodné při odvozování různých identit vektorové algebry a analýzy. Jako příklad si zde ukážeme převedení dvojnásobného vektorového součinu na skalární součiny, kterého jsme užili při výpočtu (1.63). Je [A X (B X C)]a = tapyApeyfieBgCe = t^t^A^B^Ce = - Ba (ApCp) - Ca {ApBp) , takže Ax[B x C} = {AC) B - {AB) C . (1.67) 1.4 Inerciální vztažné systémy. Galileiho transformace Je zřejmé, že pro formulaci zákonů mechaniky budou nejvhodnější tuhé vztažné systémy a v jejich rámci zavedené kartézské souřadnice. Vzniká 28 ovšem otázka, zda mezi všemi tuhými systémy neexistují některé (popř. alespoň jeden), které jsou fyzikálně privilegovány. Tato otázka se vine celými dějinami fyziky, Newton ji řešil předpokladem o existenci absolutního prostoru. Podle toho by měl být jistý vztažný systém privilegován tím, že se nepohybuje vůči absolutnímu prostoru. Fyzikální charakteristiku tohoto systému (resp. samotného absolutního prostoru) podává 1. Newtonův zákon. Podle něho se volný hmotný bod vůči tomuto systému pohybuje bez zrychlení. K jeho praktickému nalezení je tedy třeba vědět, co je to volný hmotný bod. Rozumíme jím hmotný bod, na nějž nepůsobí pravé (tj. skutečné) síly, mající původ ve vzájemné interakci hmotných bodů. Lze předpokládat, že pravé síly se s rostoucí vzdáleností interagujících objektů blíží k nule, takže volné hmotné body mohou být v rozumném časovém intervalu s dostatečnou přesností realizovány, a lze se pak přesvědčit, že systém splňující požadavek 1. Newtonova zákona vskutku existuje. Podobným způsobem můžeme v astronomii zavést inerciální systém spojený se stálicemi a vztahovat k němu pohyby planet ve sluneční soustavě, anebo systém spojený se středy okolních galaxií a vztahovat k němu pohyby hvězd naší galaxie. Takovýto systém se nazývá inerciální. (Poznamenejme však, že toto zavedení inerciálního systému by bylo zcela uspokojivé, jen kdyby kosmické hmoty tvořily ostrovní systém v prázdném prostoru. Uvažujeme-li v rámci ne-wtonovských představ nekonečný vesmír zaplněný hmotou, nelze gravitační působení jeho vzdálených částí nikdy zanedbat a uvedené inerciální systémy musíme proto považovat pouze za „místní" a nerozšiřovat je na celý vesmír.) Nyní ovšem vzniká otázka, je-li inerciální systém určen jednoznačně. To jest předpokládáme, že jsme nalezli systém, v němž jsou zrychlení všech volných hmotných bodů rovna nule, a tážeme se, existuje-li jiný systém o téže vlastnosti. Pohlédneme-li na vzorec (1.59), vidíme, že je k tomu třeba, aby pro všechna r' a v' platilo To je možné jen tehdy, když u; i Otr jsou rovny nule, takže vztah (1.56) se redukuje na kde V je konstantní vektor. Integrací (1.69) dostáváme (za předpokladu, že v čase t — 0 počátky obou soustav splývají) oo = 2wxt)'4-exr'-fwx (u> x r') + atr = 0 . (1.68) v = v' + V , (1.69) (1.70) 29 To je Galileiho transformace ve vektorovém tvaru. Doplňujeme ji ještě vztahem t = ť (1.71) vyjadřujícím v klasické nerelativistické mechanice předpokládanou existenci absolutní současnosti. Vzorec (1.70) vyjadřuje, že máme-li jeden inerciální systém, jsou inerciálními též všechny systémy, které se vzhledem k němu pohybují rovnoměrně a přímočaře libovolnou rychlostí V. Skládání Galileiho transformací (1.70), (1.71) lze chápat jako operaci, která splňuje axiomy grupy (jednotkovým prvkem je identická transformace V = 0 a inverzní prvek dostaneme záměnou V za — V). Lze říci, že vztah o = 0 (1.72) je vůči této grupě invariantní. Vzhledem k předešlému výkladu je vhodné nahradit 1. Newtonův zákon, vztahující se ve své původní formulaci k fyzikálně neprokázanému absolutnímu prostoru, principem setrvačnosti, tj. postulátem, že existuje inerciální systém. V tomto systému se pak obvykle pracuje při formulaci mechanických zákonů. Dodejme ještě, že volíme-li souřadnicové soustavy v systémech spojených Galileiho transformací tak, aby v čase t = 0 splývaly a aby osa x měla směr rychlosti V, pak z (1.70) dostaneme x = x' + Vt, y = y' , z = z' , (1.73) což je speciální Galileiho transformace. Poznámka: Galileiho, Newtonovo a Machovo hledisko. Privilegovaná třída inerciálních systémů, odvozovaná z díla Galileiho, je jakousi střední cestou mezi dvěma krajními stanovisky, která se v dějinách fyziky objevují. Jedním je již zmíněné původní stanovisko Newtonovo, jehož vzniku a udržování zřejmě napomáhala skutečnost, že z praktického hlediska vskutku existuje „privilegovaný" systém (spojený se stálicemi, event. s galaxiemi). Bylo vyvíjeno značné, avšak zcela neúspěšné úsilí určit pohyb Země vůči absolutnímu prostoru pomocí laboratorních experimentů. Jiné hledisko, zastávané zejména E. Machem, vycházelo z názoru, že fyzikální význam by měly mít pouze přímo pozorovatelné relativní vzdálenosti těles. Proto by měly být k formulaci zákonů mechaniky stejně vhodné všechny tuhé vztažné systémy. Nepochybná výlučnost inerciálních systémů by se 30 měla vysvětlit tím, že je vzhledem k nim (zhruba) nulové zrychlení kosmických hmot, jež jsou skutečným zdrojem setrvačných sil projevujících se v „neinerciálních" systémech. 1.5 Síla a hmotnost Pro formulaci pohybových zákonů je třeba dodat k již probraným kinematickým pojmům dynamické pojmy hmotnosti a síly. Třebaže jde o pojmy tak základní a široce užívané, jejich přesný smysl není snadné vysvětlit. Nelze je totiž definovat „předem", odděleně od zákonů, v nichž vystupují; jejich pravý význam je zřejmý jedině v rámci těchto zákonů, které je vlastně definují implicitně. Poněvadž teoretická mechanika je ve své podstatě fyzikální (na experimentu založenou) teorií, je vhodné se o povaze a zavedení těchto základních pojmů alespoň stručně zmínit. Mějme soubor N hmotných bodů (částic), které budeme popisovat z hlediska inerciálního systému. Je prokázáno, že v širokém rozmezí naší zkušenosti platí se značnou přesností, že zrychlení kteréhokoliv (například prvního) bodu závisí jednak na poloze a rychlosti tohoto bodu samého, jednak na polohách a rychlostech bodů ostatních. Lze tedy psát a\ = oi (n, 7*2, »2,0:2; • • •; ^jv, vn,q:n) , (1.74) kde q>í (pro každý index i) znamená soubor parametrů7 charakterizujících i-tý hmotný bod. Mezi těmito parametry existuje jeden, který je univerzální, tj. má pro všechny body nenulovou hodnotu, a tato hodnota je vždy kladná. Zrychlení je tomuto parametru nepřímo úměrné, takže lze psát Fi (n, vijčxi; r2, v2,a2;...; rN,vN,aN) a\ =-. (1.7 o) mi Veličina m\ se nazývá hmotností daného bodu a funkce jPi silou působící na tento bod se strany bodů ostatních. Ve vztahu (1.75) poznáváme 2. Newtonův zákon. Aby měl vskutku charakter zákona, který slouží k určení zrychlení z polohy a rychlosti částice, musíme být schopni přiřadit částici její hmotnost a sílu na ni působící bez ohledu na pozorované zrychlení. V newtonovské mechanice se předpokládá platnost principu nezávislosti sil, podle něhož lze psát = F12 (n, 7*2, vi, V2,ai,a2) + ... + Fm {ri,rN,vL,vN, ai,aN) , (1.76) 7 O těchto parametrech obvykle předpokládáme, že jsou to reálná čísla (skaláry), která se s časem nemění. 31 tj. síly působící mezi dvojicí částic nejsou ovlivněny přítomností dalších částic a sčítají se jako vektory. To znamená, že každou interakci můžeme rozložit na interakce párové. Pro tyto interakce předpokládáme platnost 3. Newtonova zákona, nazývaného tradičně zákonem akce a reakce F12 = -F21 ■ (1.77) Tento zákon je pro výstavbu mechaniky velmi důležitý, neboť přepíšeme-li jej využitím vztahu (1.75) do tvaru mia\ = —771202 , (1-78) vidíme, že ze znalosti zrychlení dvou interagujících částic (na něž jinak žádná síla nepůsobí) je možné určit poměr hmotností. Poněvadž jednotka hmotnosti může být volena libovolně, znamená to, že hmotnosti lze určit z pozorovaných zrychlení. Před mechanikou pak stojí úkol určit jednotlivé typy sil, které mezi částicemi působí, a stanovit jejich zákony. Soustava Newtonových zákonů se tak stala obecným schématem, do něhož by měl být (podle představ přetrvávajících až do počátku tohoto století) uložen popis veškerých interakcí. Další omezující požadavky na tento popis, a tedy na funkční tvar síly působící mezi dvojicí částic, kladou principy symetrie. Principu homogenity času jsme již užili v (1.74), když jsme předpokládali, že zrychlení explicitně nezávisí na čase. Jinak řečeno, formulace fyzikálních zákonů nezávisí na tom, jak zvolíme počátek v čase. Obdobně homogenita prostoru znamená, že formulace těchto zákonů nezávisí na volbě počátku v prostoru, a izotropie prostoru, že nezávisí na volbě směru souřadnicových os. Moderní fyzika jednoznačně rozhodla, že k těmto univerzálním principům symetrie je třeba přiřadit i princip relativity požadující fyzikální rovnoprávnost všech inerciálních soustav. Byla s tím ovšem spojena zásadní přestavba našich znalostí o prostoru a čase, jíž se budeme zabývat až v závěrečné části této knihy. Je však možné postulovat princip relativity i v rámci newtonovské mechaniky a uvažovat o důsledcích takového postulátu. Tyto otázky můžeme formulovat ještě poněkud jinak. Lze zapsat vztahy pro transformace odpovídající příslušným symetriím, tj. pro posun v čase, posun v prostoru, otočení v prostoru a přechod k jiné inerciální soustavě, tj. v rámci newtonovské fyziky transformaci Galileiho, a požadovat, aby fyzikální zákony byly vůči těmto transformacím invariantní (tj. formálně stejně vyjádřeny). Je zřejmé, že všechny uvedené transformace tvoří grupu 32 °i ~ K~,-3 ri2 = 9 , (1-80) — grupu Galileiho8. V rámci popsaného programu se již samotnému Newtonovi podřilo velmi dokonale vystihnout gravitační interakci. Newtonův gravitační zákon „ m\m2 Fu = K-^-l fl2 (1.79) (kde ri2 = r2 — r*i, k je konstanta, jejíž hodnota závisí na volbě jednotek) zřejmě vyhovuje všem uvedeným požadavkům. Je velmi pozoruhodné a závažné, že parametr, který je mírou gravitace — tíhová hmotnost m — je identický s dříve zavedenou hmotností, která charakterizuje setrvačnost částice a může být proto nazvaná hmotností setrvačnou. To vede ve spojení s (1.75) ke vztahu m2 takže zrychlení částice g při gravitační interakci nezávisí na její hmotnosti a má význam intenzity gravitačního pole buzeného ostatními částicemi. Důvod rovnosti hmotnosti tíhové a setrvačné nebyl Newtonovi znám9. Další interakcí, jejíž zákony se fyzikové snažili v rámci newtonovského programu formulovat, byla interakce elektromagnetická. Parametrem jí příslušným je elektrický náboj e. Coulombův zákon pro působení elektrických nábojů v klidu je formálně (až na odlišné znaménko) obdobou Newtonova gravitačního zákona. Pohybem nábojů vzniká navíc magnetické pole, které působí jen na pohybující se náboje. Toto působení vyjadřuje Lorentzova síla. Pro lineární nekonečný vodič protékaný elektrickým proudem je magnetické pole určeno Biotovým-Savartovým zákonem. Spojení všech uvedených zákonů napovídá, že síla vznikající vzájemným působením nábojů by mohla mít tvar F = eie2 47rr3 v --h fi0vi x (v2 x r) d (E + «i x B) , (1.81) v němž r = r2 — eo,/io jsou konstanty, E značí intenzitu elektrického pole a B indukci magnetického pole buzeného nábojem e2. Takto konstruovaný vztah je však nevyhovující, nesplňuje zákon akce a reakce ani 8 Kromě uvedených transformací patří k transformacím symetrie prostoročasového kontinua ještě obrácení času a inverze (zrcadlení) prostoru. V rámci newtonovské fyziky je přirozené předpokládat invarianci fyzikálních zákonů i vůči těmto diskrétním transformacím a zahrnout je do grupy Galileiho. Podgrupu neobsahující diskrétní transformace pak nazýváme vlastní grupou Galileiho. 9 Newton určil ms/mr = 1 ± 10-2. Klasické Eótvosovo měření (1889) dalo pro tuto veličinu 1 ± 10~9, nejnovější měření dosáhla přesnosti 1 ± 10~~12. 33 princip relativity. Snahy o vyjádření elektromagnetické interakce pomocí sil okamžitě působících na dálku nebyly úspěšné a ukázalo se, že její zákony lze uspokojivě formulovat pomocí Maxwellovy teorie elektromagnetického pole. Tato teorie dává možnost formulovat zákony elektromagnetické interakce pomocí retardovaného (časově zpožděného) vzájemného působení nábojů. Pouze v případě relativních rychlostí nábojů malých ve srovnání s rychlostí světla lze z Maxwellovy teorie obdržet popis interakce nabitých částic „na dálku", který je ovšem pouze přibližný. V klasické mechanice se často setkáváme se silovým působením, jehož zákony nejsme schopni odvodit ze znalosti zákonů základních interakcí. V těchto případech se opíráme o empirické poznatky a o úvahy na nich založené. Musíme přirozeně počítat s tím, že rovnice, k nimž takto dospějeme, budou mít jen přibližnou platnost. 1.6 Newtonovy pohybové rovnice Rovnice (1.76) popisují, jak se interakce hmotných bodů projevují na jejich pohybu. Často však nastává situace, kdy se zajímáme o pohyb jediného hmotného bodu, jehož vliv na ostatní objekty můžeme považovat za zanedbatelný. To znamená, že v (1.76) jsou r2,..., r/v, V2,..., vjv zadanými funkcemi času a pro náš hmotný bod máme prostě ma = F(r,v,t) (1.82) (index 1 vynecháváme). Mluvíme pak o pohybu hmotného bodu vlivem vnější síly F (r, v, č), popřípadě ve vnějším silovém poli. Přitom často není třeba vědět, jak F (r, v, t) závisí na elementárních interakcích, a lze se spokojit s tím, že tvar této funkce byl určen experimentálně. Vektorová rovnice (1.82) představuje soustavu tří rovnic mx = Fx {x,y,z,x,y,z,t) , mý = Fy (x,y,z,x,ý,z,t) , mž - Fz (x,y,z,x,ý,ž,t) , (1.83) v nichž jsme kartézské souřadnice daného bodu označili x,y,z. Je to tedy soustava tří obyčejných diferenciálních rovnic, které jsou lineární vzhledem ke druhým derivacím. Tyto rovnice se nazývají Newtonovými pohybovými rovnicemi pro hmotný bod. Z těchto rovnic je třeba určit r = r (č), čili x — x(t), y = y (t), z = z (t), tj. pohyb daného hmotného bodu. Tento 34 pohyb je dán partikulárním řešením rovnic (1.82), popř. (1.83), splňujícím počáteční podmínky r \t=t0 = r0 , v \t=to = v0 . (1.84) Obvykle je nejvýhodnější brát to — 0. Jak víme z teorie soustav obyčejných diferenciálních rovnic, obecné řešení rovnic (1.83) obsahuje 6 libovolných konstant a lze je psát jako r = r(í,ci,...,c6) . (1.85) Hodnoty těchto konstant v závislosti na počátečních podmínkách lze zjistit ze šesti rovnic (1.84) a obdržet tak z obecného řešení partikulární řešení pro daný konkrétní případ. Zderivováním (1.85) obdržíme v = v (í,ci,... ,c6) . (1.86) Z rovnic (1.85) a (1.86) lze určit 6 funkcí ci = ci (r, v,ť) , c6 = c6{r,v,t) , (1.87) které v důsledku platnosti pohybových rovnic (1.82) nabývají pro skutečný pohyb konstantních, tj. na čase nezávislých, hodnot. Funkce o této vlastnosti se nazývají první integrály pohybových rovnic. Prvních integrálů se často využívá při řešení pohybových rovnic. Podařili se z pohybových rovnic vyvodit, že ^(P(x01x01t) = O1 (1.88) plyne odtud zřejmě, že x r') a na sílu translační —motr- Fiktivní síla Fq je podle (1.93) úměrná hmotnosti, což ji činí analogickou gravitační síle. Zrychlení volných hmotných bodů v neinerciálním systému, právě tak jako v gravitačním poli, nezávisí na jejich hmotnostech. Tato podobnost neinerciálního systému a gravitačního pole je důsledkem rovnosti tíhové a setrvačné hmotnosti a posloužila jako východisko k obecné teorii relativity. Pro praxi nej důležitějším neinerciálním systémem je systém pevně spojený se Zemí. Jeho neinerciálnost je v podstatě způsobena tím, že se Země otáčí okolo své osy úhlovou rychlostí oj — 27r/hvězdný den. Položme Fgrav 4" Fsetr m Zde g je efektivní gravitační zrychlení (měřené například reverzním kyvadlem); v důsledku rovnosti tíhové a setrvačné hmotnosti nelze lokálními experimenty rozeznat, jaká část tohoto zrychlení je dána gravitací a jaká ne-inerciálností systému (tzv. princip lokální ekvivalence). Rovnice pro pohyb hmotného bodu v gravitačním poli Země je tedy10 F a = g-2uxv-\--, (1.97) m kde F značí výslednici pravých sil negravitačního původu. V malých oblastech prostoru lze zřejmě g považovat za konstantní. Přítomnost Coriolisova členu v rovnici (1.97) má řadu známých geografických a meteorologických následků (vymílání pravých břehů řek na severní polokouli a levých na jižní polokouli, stáčení větrů a mořských proudů). (1.96) 1.8 Zákon zachování energie Mezi prvními integrály pohybových rovnic, o kterých jsme se zmiňovali, mají zvláštní význam ty, jejichž existence vyplývá z jistých obecných principů. Jsou to integrály energie, hybnosti (impulzu) a momentu hybnosti (momentu impulzu, resp. točivosti). Mějme systém N interagujících částic a jejich pohybové rovnice (1.90). Vynásobme každou rovnici skalárně rychlostí příslušné částice v\ a takto 10 U vektorů a a. v vynecháme čárky, kterými jsme předtím vyznačovali neinerciálnost. 37 vzniklé rovnice sečtěme. Dostáváme tak n n ^rriiaiVi = ]T FíVí . (1.98) »=i »=i Levou stranu (1.98) můžeme napsat ve tvaru časové derivace N d N Vi2 Y^miOiVi = — ^2 m*~^~ • (L") i—\ i=l Veličinu n T = lÍ2mivi2 (1.100) nazýváme kinetickou energií daného systému částic. Je to zřejmě veličina aditivní, tj. platí N 1 T = £Ti, Ti = -mlvi2. (1.101) *=i z Provedeme-li integraci (1.98) v čase od počátečního okamžiku po libovolný okamžik t, dostáváme v důsledku (1.100) n * n b T - To = E / F^dt = E / ^dr* > (L102) *=1ío Í=1A kde A značí počáteční, J5 koncovou polohu systému a integrál se počítá podél křivky spojující body A a B, jde tedy o křivkový integrál. Jednotlivé křivkové integrály se počítají podél skutečných trajektorií jednotlivých částic systému. Vztah (1.102) říká, že přírůstek kinetické energie systému je roven součtu prací všech sil, které v systému působí. Jestliže pro síly Fi existuje funkce V {r\,..., r/y, i) taková, že /. dV . dV , dV\ /T . Fl = -gI*átV =-^-+J- + k-) , (1.103) řekneme, že tyto síly jsou potenciálové, a funkci V (r*i,... , r/y, t) nazveme potenciální energií. Pokud tato funkce závisí pouze na průvodičích, což lze v důsledku homogenity času a izolovanosti systému očekávat, nazýváme síly odvozené z potenciální energie podle (1.103) konzervativní. 38 Jsou-li síly konzervativní, obdržíme pro pravou stranu vztahu (1.102) výraz V (A) — V(B), čili potenciální energie v libovolné zvolené poloze B je V Fiárt + V (A) . (1.104) Potenciální energie je tedy určena až na aditivní konstantu V (a), což je potenciální energie, kterou můžeme libovolně připsat nějaké „výchozí" poloze systému. Je-li tato výchozí poloha polohou v čase to, je V (a) = Vq a spojením s (1.102) dostáváme Mechanická energie soustavy částic, tj. veličina E = T + V, se v tomto případě zachovává. Na i-tý hmotný bod nechť působí konzervativní síly F( a nekonzerva-tivní síly F/7, takže výsledná síla Fi je jejich součtem. Protože nekonzerva-tivním silám nemůžeme připsat potenciální energii, ze vztahu (1.102) nyní dostáváme což znamená, že změna (mechanické) energie soustavy hmotných bodů je rovna práci nekonzervativních sil. Je patrné, že v tomto případě zákon zachování mechanické energie soustavy hmotných bodů neplatí. Zkušenost i fyzikální teorie na nich založené však učí, že zákon zachování energie je univerzálně platným přírodním zákonem. Nezachování mechanické energie můžeme připsat několika faktorům. Předně náš systém nemusí být izolovaný a může si vyměňovat energii se svým okolím. Dále náš makroskopický popis nemusí zachycovat mikroskopické formy energie spojené s pohybem a interakcemi přímo nepozorovatelných složek systému. Konečně se nelze vždy omezit na mechanickou energii a v bilanci energie je třeba uvažovat též energii polí, jejichž prostřednictvím na sebe hmotné body působí. Například uzavřený systém elektricky nabitých částic může být v rámci mechaniky popsán pouze přibližně. Přesnější popis musí počítat se samostatnou existencí elektromagnetického pole a jeho energie Ep, přičemž platí T + V = TQ + V0 d{T + V) dt = 0. (1.105) (1.106) Em + Ep = konst (1.107) 39 kde Em značí mechanickou energii částic, jíž je v tomto případě energie kinetická. Z předchozího vztahu snadno dostaneme, že ^ = EFľvtdt = .^l. (1.108) Práce nekonzervativních sil se tedy děje na účet změny nemechanické energie a působí změnu mechanické energie soustavy. Podle předpokladu o párovém charakteru interakcí je potenciální energie systému součtem potenciálních energií jednotlivých dvojic hmotných bodů n n V = E E ViJ > (1.109) kde Vij = Vij (ri, rj). Stačí se proto omezit na určení potenciální energie dvojice hmotných bodů 1 a 2, kterou budeme značit prostě V. Podle zákona akce a reakce je Zaveďme nové proměnné a = r2 — ri, b = r2+r\. Přepisem (1.110) do těchto proměných zjistíme, že V nezávisí na 6 a je tedy funkcí pouze relativního polohového vektoru V = V{r) , r = r2 - rx . (1.111) Speciálně důležitý je případ, kdy potenciální energie párové interakce závisí pouze na velikosti relativního polohového vektoru, tj. V = V(r). Pak platí dV dV dr dV _ . /T F> = -F> = -d^ = -i»i^ = -i»l' = F{r)l'' (L1I2) kde v je jednotkový vektor ve směru spojnice bodů 1 a 2. To znamená, že jde o sílu centrální. Potenciální energii dvojice bodů působících na sebe silami typu (1.112) snadno vypočítáme jako B r V - V {A) = - j (Fľári + F2ár2) = - j F{r)ár . (1.113) A ro Konstantu V (A) často volíme tak, aby byla nulová při nekonečné vzdálenosti interagujících částic. Například pro gravitační sílu (1.79) potom je v = -«12112*. (I.H4) 40 Sledujme dále pohyb jediného hmotného bodu popsaný rovnicí (1-82), působení ostatních objektů je vyjádřeno pomocí zadané funkční závislosti síly F = F (r, v, t). V tomto případě (1.98) dává 4~T = Fv. (1.115) át Veličinu na pravé straně nazýváme výkonem síly. Pokud síla F v tomto vztahu nezávisí na rychlostech, vzniká otázka, kdy lze tuto sílu odvodit z potenciální energie, tj. psát F = -gradl/ (r, t) . (1.116) Ze vztahu (1.116) vyplývá (pokud lze druhé derivace V podle prostorových souřadnic považovat za záměnné), že lotF = 0 . (1.117) Tento vztah je tedy nutnou podmínkou pro existenci potenciální energie. Naopak předpokládejme, že platí (1.117). Spojme dva body r*o,r dvěma různými křivkami a, {3. Platí j Fár - j Fár = j Fár = j rotFáS = 0 , (1.118) a (3 S když jsme užili Stokesovy věty převádějící křivkový integrál po uzavřené křivce na plošný integrál přes plochu, kterou tato křivka ohraničuje11 (aby bylo možné tuto plochu křivkou proložit, musí být zkoumaná oblast prostoru, v níž platí (1.117), jednoduše souvislá, což budeme dále předpokládat). Z rovnice (1.118) plyne, že křivkový integrál síly nezávisí na integrační cestě a potenciální energie může tedy být určena jako r V{r) = V{r0) - j Fár . (1.119) Podmínka (1.117) je tedy pro existenci potenciální energie (v jednoduše souvislé oblasti) též postačující. Tuto podmínku lze použít také na případ interakce dvou částic, je-li síla mezi nimi působící závislá pouze na relativním polohovém vektoru r = r2 — r\. 11 O diferenciálních operátorech grad, rot, div a o Stokesově větě pojednáváme podrobněji později. 41 Nezávisí-li silové pole F, resp. potenciální energie V na čase, lze pak přepsat (1.115) na zákon zachování energie pro daný bod d(r + v) = Q ^ em r + y = konst (I120) dt Často je výhodné psát potenciální energii ve formě V = oxj), kde a je parametr odpovídající dané interakci (hmotnost v gravitačním poli, náboj v poli elektrostatickém). Funkce n, (U28) kde jsme jako M označili úhrnnou hmotnost systému n M = J2mi- (L129) t=l Vektor n R = i=\, (1.130) M nazýváme polohovým vektorem středu hmotnosti daného systému. Dále označíme R = V rychlost hmotného středu, takže úhrnou hybnost lze psát jako P = MV. (1.131) Pomocí středu hmotnosti lze 1. impulzovou větu přepsat do tvaru P = MR = F , (1.132) který se formálně shoduje s 2. Newtonovým zákonem pro hmotný bod. Lze tedy říci, že zákon pro částice se reprodukuje na úrovni systému. Tato shoda nám umožňuje aproximovat složité systémy (například planety) hmotnými 43 body. Ze vzorce (1.132) plyne i obdoba zákona setrvačnosti pro hmotný bod: v nepřítomnosti vnějších sil se střed hmotnosti systému pohybuje rovnoměrně a přímočaře. Povšimněme si ještě, že v homogenním tíhovém poli o intenzitě g je potenciální energie systému částic rovna n V = konst — migri = konst — MgR , (1.133) i=l tj. je rovna potenciální energii středu hmotnosti. Proto se pro střed hmotnosti užívá v tomto případě názvu těžiště. Zvolíme-li počátek ve středu hmotnosti, pak pro polohové vektory vedené z tohoto počátku a označené hvězdičkou zřejmě platí n n £^• = 0, X>,V=0. (1.134) »=i »=i Využijeme tohoto vztahu k úpravě výrazu pro kinetickou energii systému částic. Protože je n = R + r* , ví = V + v* , (1.135) lze psát n 1 ľ n •. T = E 2mi*2 = 2MV2 + £ 2miV'2 ' (L136) i=l i=l když jsme využili (1.134). Kinetická energie systému je tedy rovna součtu kinetické energie středu hmotnosti a kinetické energie systému vůči středu hmotnosti. 1.10 Zákon zachování momentu hybnosti Vynásobme každou rovnici (1.76) vektorově zleva vektorem ri a obdržené vztahy sečtěme. Na levé straně dostaneme n ^ n E (rť x uiiOi) = — x m*vi) = ' (1.137) i—l i—l kde n J = Y,(rtxPi) (1.138) 44 je vektor úhrnného momentu hybnosti systému. Na pravé straně dostáváme za předpokladu párových interakcí a platnosti zákona akce a reakce součet členů typu n x F12 + r2 x F2i = (n - r2) x Fn . (1.139) Pokud jsou síly centrální, jsou tyto členy rovny nule a platí tedy zákon zachování momentu hybnosti di =0 ■ ^ Stejně jako kinetická energie a hybnost je i moment hybnosti veličinou aditivní. Na rozdíl od nich však závisí na volbě počátku. Pro jediný hmotný bod ve vnějším silovém poli se moment hybnosti zachovává tehdy, je-li toto pole vzhledem k danému počátku centrální. V případě, že je náš systém podroben také působení vnějších sil Fi, dostáváme namísto (1.140) vztah dj N it=Y,(ri*F,) = D, (1.141) i—l kde D je úhrnný moment síly působící na systém. Vztah (1.141) je označován jako 2. impulzová věta. Vyjádříme-li moment hybnosti pomocí středu hmotnosti, pak užitím (1.136), (1.131) a (1.134) dostaneme n n J = Y,(R + O x (ml V + m^*) ^xP + ^r/x Pi*) , (1.142) 2=1 »=1 čili moment hybnosti je roven součtu momentu hybnosti středu hmotnosti a momentu hybnosti vzhledem k tomuto středu. Podobně i moment síly lze rozepsat jako n D = RxF + Y,(r*xFi) , (1.143) i=l tj. jako součet momentu výslednice s působištěm ve středu hmotnosti a úhrnného momentu sil vzhledem k tomuto středu. Stejně jako zákon zachování energie mají i zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti význam a platnost daleko přesahující oblast klasické mechaniky. 45 1.11 Příklady 1. Empiricky bylo zjištěno, že při pohybu tělesa v zemské atmosféře je odpor vzduchu přibližně úměrný druhé mocnině rychlosti pohybujícího se tělesa. Integrujte za tohoto předpokladu pohybové rovnice pro svislý volný pád. Řešeni: Orientujeme osu x svisle vzhůru. Pohybová rovnice je pak ve tvaru x = v = -g(l-(32v2} , (1.144) kde P je pro dané těleso konstantní. První integraci provedeme separací proměnných. Získáme -9 (t - tQ) 1 2 v u ľ dv ľ dv J 1 + Bv + i 1-dv vo 1 ln l + Pv -ln 1+Pvo" w 1-Pv (1.145) Volíme-li počáteční podmínky to = 0, vq = 0, máme 1 + Pv 1-Pv a integrací dostaneme = e~2í3gt v = x = --tgh(Pgt) (1.146) x — xq — 9$' ;ln cosh(/5yť) (1.147) Pro malé Pgt se můžeme omezit na prvé členy Taylorových řad a obdržíme 1 2 x = x0- -gt 1 " l (Pfft)'' (1.148) v = -gt i -1 (Pgtý (1.149) Ze vztahu (1.149) plyne, že rychlost je shora omezena a konverguje k limitní hodnotě i>(oo) = — (/3)_1. 2. Uvažujme prostor mezi dvěma souosými válci o poloměrech Rq,R. Mezi válci je elektrické pole E kolmé na osu, jehož velikost je nepřímo úměrná vzdálenosti od osy, tj. E = k/r, a magnetické pole B o konstantní velikosti ve směru osy. Jakou rychlostí musí vyletět elektron z povrchu vnitřního válce kolmo na osu, aby dosáhl pláště vnějšího válce? 46 Řešení: Pohybové rovnice částice v elektromagnetickém poli jsou ma = eE + e {v x B) , (1.150) kde e je náboj částice. Tyto rovnice by bylo nejvýhodnější rozepsat a řešit ve válcových souřadnicích. Daná úloha si však jejich řešení nevyžaduje, poněvadž pro ni stačí znalost dvou prvních integrálů. Protože Lorentzova síla (druhý člen na pravé straně vztahu (1.150)) nekoná práci, platí zákon zachování energie ve tvaru 1 r 1 S = -mv2 — ek ln— = -mvo 2 , (1.151) 2 Rq 2 kde r je vzdálenost od osy válce. Vypočítejme nyní časovou změnu momentu hybnosti. Platí (jde o rovinný pohyb) d d r2 — (r x mv) = r x F = -eB — — . (1.152) át y ' át2 y ' Je proto r2 Rq 2 mvr sin a — eB— — konst = —eB—— , (1.153) £ & kde a je úhel mezi r a v. Hodnota konstanty je určena z počátečních podmínek. Na plášti válce je r = R a pro mezní případ pohybu, kdy se částice právě dotkne válce, siná = 1. Takto ze (1.151) a (1.153) dostaneme m 4^ (R2 - Ro2)2 - 2k\n^-4mi?2 v ' R0 (1.154) Hlubší důvod existence integrálu (1.153) se vyjasní později. 3. Řešte rovnice pro pohyb hmotného bodu v neinerciálním systému spojeném se Zemí. Řešení: Příslušné rovnice jsou podle předchozího výkladu a = g - 2u) x v . (1.155) První integrace dává v = vq + gt - 2w x (r - ro) . (1.156) Po zvolení vhodného vztažného systému by bylo možné tuto rovnici vyřešit. Toto přesné řešení by však bylo zdlouhavé a jeho formální zápis by nedával 47 žádnou přímou informaci. Použijeme proto iterační metodu. Zanedbáme-li vliv zemské rotace, dostáváme integrací (1.156) řešení v „nultém přiblížení" °r = r0 + v0t+^gt2 . (1.157) Dosadíme-li toto nulté přiblížení do (1.156), dostáváme první přiblížení pro rychlost 1v = v0 + gt-2ux (vQt+^gt2^j , (1.158) odtud integrací 1r = r0 + v0t + X-gt2 -wťx (vot + ~gt2^j . (1.159) Pokračováním tohoto postupu bychom mohli získat libovolně přesné řešení. Fakticky je ovšem možné se spokojit s (1.159), poněvadž další opravy jsou už překrývány faktory, jež rovnice (1.155) nebere v úvahu (nehomogenita zemského gravitačního pole, vliv Měsíce apod.). 4. Posuďte správnost tohoto vysvětlení jevů přílivu a odlivu, které se někdy vyskytuje v učebnicích geografie: „Měsíc a Země obíhají kolem společného těžiště, které je blízko povrchu Země. Pod Měsícem je tíhové zrychlení menší o přitažlivou sílu Měsíce a na protilehlém místě o odstředivou sílu, která je tu dvakrát větší než měsíční gravitace." Řešeni: Dané vysvětlení předpokládá, že pro vysvětlení podstaty jevu stačí pokládat gravitační pole Měsíce za homogenní. Složíme-li toto homogenní pole s polem odstředivé síly, zjistíme, že výsledné pole má válcovou symetrii vzhledem k ose procházející středem Země kolmo na rovinu oběhu Měsíce. Toto pole nemůže způsobovat příliv a odliv již proto, že je vzhledem k Zemi časově neproměnné. Je fakticky součástí odstředivé síly, která vzniká rotačním pohybem Země a nemá k jevům mořského dmutí žádný vztah. Pro správné vysvětlení těchto jevů je třeba se omezit pouze na translační část pohybu Země (tj. na pohyb, při němž střed Země obíhá kolem společného těžiště, ale Země sama se přitom neotáčí vůči inerciálnímu systému). Ve středu Země se pak pole fiktivní síly vyvolané jejím pohybem ruší s měsíční gravitací a je zřejmé, že pohyb mořských vod ovliňuje pouze nehomogenita gravitačního pole Měsíce, která v systému spojeném se Zemí vyvolá sílu o intenzitě f r + R r \ Ag = g - g0 = -KM (j-^ - -j) * - ""'n™), (1.160) ^»3 \ tjpjL 48 kde M je hmotnost Měsíce, r vektor spojující středy Měsíce a Země, R polohový vektor vůči středu Země. Mluvíme o slapové síle. Povšimněme si, že tato síla ubývá jako r~3, čímž se vysvětluje, proč má Měsíc na mořská dmutí větší vliv než Slunce. Příklady k samostatnému řešení 1. Kolo poloměru R se valí bez prokluzování po přímé dráze rychlostí v. S kolem je pevně spojen bod ve vzdálenosti r od středu. Určete jeho pohyb a rychlost jako funkce času. Může být rychlost v určitém okamžiku nulová? 2. Pes běžící rychlostí v honí zajíce běžícího rychlostí c po přímce. Pes neustále běží ve směru k zajíci. Počáteční polohy jsou zadány. Určete pohyb psa a dobu, po níž dohoní zajíce. Užijte vztahu pro délku křivky y(x) pomocí integrálního počtu. Hledaná doba je (vL + bc) / (v2 — c2), kde L je vzdálenost psa a zajíce, 6 její průmět do směru pohybu zajíce. 3. Při pohybu hmotného bodu platí r x v — 2P, kde P je konstantní vektor. Ukažte, že tento vztah vyjadřuje zachování plošné rychlosti a najděte vyjádření P pomocí kartézských souřadnic v rovině pohybu. Ít, 1 / • -N 1 4. Určete Laméovy koeficienty, složky rychlosti a zrychlení ve sférických souřadnicích. äp = p- p (sin2 ů (p2 + é2) , äv = —(p2 sin2 ů ip) , v / psmv dt \ ' 5. Ukažte, že dvě koule o sféricky symetrických rozloženích hmotnosti na sebe gravitačně působí stejným způsobem, jako by jejich hmotnosti byly soustředěny v centrech. Uvažujte nejprve působení bodu na kouli. 6. Kolem kosmického tělesa hmotnosti M obíhají po kružnici tři satelity o stejných hmotnostech tak, že jsou neustále ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Rychlost pohybu satelitů je v. Určete jejich hmotnosti. 7. Povšimněte si ekvivalence mezi rovnoměrně zrychleným systémem a homogenním gravitačním polem a) Střelec míří na terč, který v daném okamžiku začíná volně padat. Pod jakým úhlem musí vystřelit? b) Na stropě výtahu, jehož kabina má výšku L a který je zvedán kon- 49 stantní tažnou silou F, visí břemeno. Za jak dlouho dopadne na podlahu kabiny, jestliže se závěs přetrhne? c) V rychle jedoucím vozidle se vznáší u stropu balónek naplněný vodíkem. Kterým směrem se pohne, jestliže vozidlo prudce zabrzdí? 8. Představme si, že Zemí je provrtán tunel od pólu k pólu. Do tunelu spadne předmět. Za jak dlouho se opět objeví (je-li v tunelu vakuum)? Rozložení hmotnosti Země charakterizujte pomocí M(r). Proveďte dolní a horní odhad. 9. Elektrický dipól vzniká v limitě, přibliž ujeme-li k sobě dva elektrické náboje opačné velikosti tak, že součin této velikosti a vzdálenosti zůstává konstantní e Ar = p. Dokažte, že silové působení mezi dipólem a nábojem (v klidu) splňuje zákon akce a reakce, ačkoliv síly nejsou centrální. Užijte Taylorova rozvoje a zanedbání členů vyššího řádu. -p 3 (pr) r Intenzita pole dipólu je E (r) = —x- -\--=— . 10. Na hmotný bod pohybující se rychlostí v působí síla odporu prostředí úměrná rychlosti. Určete pohyb bodu. Jakou dráhu urazí, než se zastaví? 11. Elektricky nabitá částice se pohybuje v homogenním elektrickém a magnetickém poli, která mají stejný směr. Určete pohyb částice. 12. S ohledem na neinerciálnost systému spojeného se Zemí určete pro zeměpisnou šířku ip a) Místo dopadu hmotného bodu, který je puštěn z výšky h. b) Místo jeho dopadu a rychlost v maximální výšce h, je-li vržen kolmo vzhůru rychlostí vq. Užijte (1.158). Při stejném h je západní odchylka v případě b) čtyřikrát větší než východní odchylka v případě a). 13. Vysvětlete tento „paradox": Pohybuje-li se stroj (automobil, raketa) rychlostí v a jeho motor vyvíjí tažnou sílu F, je výkon motoru (práce vykonaná za jednotku času) Fv. Vhodnou volbou inerciálního vztažného systému lze této veličině dát libovolnou hodnotu. Na druhé straně výkon by měl být roven energii získané z paliva za jednotku času, která nezávisí na volbě vztažného systému. cv 14. Dokažte, že při pohybu v poli Coulombova potenciálu = — se r aer zachovává veličina v x J H--, kde J je moment hybnosti částice, e její r náboj. 15. Vypočítejte potenciální energii částice v a) v silovém poli F — —C— , b) v poli odstředivé síly F = —mu) x (w x r) . 50 M c) Jaký je vztah mezi Newtonovým gravitačním potenciálem ý = —k— . , r a „školským" vzorcem pro potenciální energii částice v gravitačním poli W = mgh. 16. Hmotný bod se pohybuje po nakloněné rovině, která přechází ve svislý závit o poloměru R. Z jaké výšky musí být spuštěn, aby od závitu neodpadl? 51 II LAGRANGEOVSKÁ FORMULACE MECHANIKY Newtonovy rovnice, jak byly probrány v minulé kapitole, umožňují úplný popis pohybu soustav hmotných bodů a v tomto smyslu vyčerpávají fyzikální stránku tematiky. Ukazuje se však, že je možné dát mechanice podstatně odlišné a velmi efektivní matematické zpracování, které lze navíc zobecnit i do oblastí, v nichž Newtonovy rovnice již nejsou použitelné. Prvním takovýmto zpracováním je lagrangeovská formulace mechaniky, jejíž základy byly vytvořeny J. L. Lagrangem na konci 18. století. Jak již bylo řečeno, fyzikální systémy se speciálními symetriemi je výhodné popisovat v křivočarých souřadnicích. Často se také setkáváme se situací, kdy kartézské souřadnice soustav hmotných bodů jsou vázány předem zadanými podmínkami (tzv. vazbami) a nejsou vzájemně nezávislé. Chceme-li úsporně popsat pohyb systému nezávislými parametry, jsme nuceni zavést křivočaré souřadnice. Z předchozí kapitoly vyplývá, že přepis Newtonových rovnic do křivočarých souřadnic je obecně velmi komplikovaná záležitost. Navíc v případě vazeb je třeba učinit jisté hypotézy o silách, jimiž tyto vazby na systém působí. Všechny tyto komplikace nám ušetří lagrangeovská formulace, která umožňuje najít pohybové rovnice v křivočarých souřadnicích formálně jednotným a prostým způsobem. Kromě toho se ukazuje, že tato formulace mechaniky těsně souvisí s variačním počtem, což zařazuje klasickou mechaniku do širší třídy fyzikálních teorií vyvoditelných z variačních principů. Konečně nám lagrangeovská formulace mechaniky poskytuje účinné metody integrace pohybových rovnic. Náš výklad vede od nejprostších typů vazeb k obecnému diferenciálnímu principu mechaniky, k d'Alembertovu principu, z něhož odvodíme Lagrangeovy rovnice 1. a 2. druhu. Rovnicemi 2. druhu, platnými v libovolných křivočarých souřadnicích, se budeme zabývat podrobněji. Ukazujeme, že vyplývají z integrálního principu: Hamiltonova principu minimální akce. Tato souvislost je aplikací variačního počtu, v jehož rámci dospíváme k 1. teorému E. Noetherové, vyjadřujícímu souvislost mezi Hamiltonovým principem, symetriemi zkoumaného mechanického systému a platností zákonů zachování. 11.1 Hmotný bod vázaný na plochu a křivku Nejprostší typy vazeb, vazbu hmotného bodu na plochu a křivku, je vhodné probrat zvlášť, poněvadž nám dají vodítko pro obecnější postup. Vazba hmotného bodu na plochu je vyjádřena rovnicí této plochy12 f(x,y,z,t)=0, (II.l) 12 Pro obecnost zahrnujeme v (II.l) i případnou závislost vazby na čase, tj. pohyb vazebné plochy. 52 kterou musejí být souřadnice bodu x, y, z vázány. Nepřihlížíme-li k tření (jež může být eventuálně započítáno zvlášť), působí vazebná plocha na hmotný bod silou R, která je k této ploše kolmá, tj. R = X grad/ . (II.2) Pohybové rovnice bodu na ploše jsou tedy F + A grad/ = ma , (II.3) v nichž F je výslednice všech dalších sil na hmotný bod působících. V rovnicích (II.3) vystupuje kromě neznámých x, y, z ještě další neurčená funkce času A. Máme však navíc k dispozici rovnici (II. 1), takže počet neznámých je stejný jako počet rovnic a lze najít řešení. Upozorněme, že by nebylo správné představovat si bod vázaný na plochu jako kuličku, která se po této ploše kutálí. Taková kulička by si i v limitním případě podržela nenulovou kinetickou energii své rotace, kterou u hmotného bodu nepředpokládáme. Hmotný bod přibližně odpovídá tělísku, které po ploše klouže. Dále je třeba poznamenat, že někdy má podmínka vazby tvar nerovnosti f{x,y,z,t) <0. (II.4) Jde o vazbu jednostrannou na rozdíl od oboustranné vazby (II. 1). Pokud se jednostranná vazba projevuje na pohybu, její efekt se neliší od působení vazby oboustranné, a můžeme se proto v dalším výkladu omezit na oboustranné vazby vyjadřované rovnostmi. Přejdeme nyní k hmotnému bodu vázanému na křivku. Tuto vazbu lze vyjádřit rovnicemi fi (x, y, z, ť) - 0 , f2(x,y,z,t) = 0 (II.5) pro dvě plochy /i, /2, jejichž průsečnicí je daná křivka. Nepřihlížíme-li k tření, působí vazba na hmotný bod silou (vazebná síla), která je kolmá na křivku, a je tudíž lineární kombinací vektorů kolmých k protínajícím se plochám R = Aigrad/i + A2grad/2 . (II.6) Pohybové rovnice F = Aigrad/i + A2grad/2 = ma (II.7) spolu se dvěma rovnicemi vazby (II.5) dávají úplný systém iovnic pro určení pohybu hmotného bodu vázaného na křivku. 53 11.2 Klasifikace vazeb. Virtuální posunutí Zabývejme se nyní otázkou vazeb obecněji. Mějme soustavu N hmotných bodů; označme jejich kartézské souřadnice xí = (xi,yi,zi;x2,y2,Z2;- ■ ■ ;xN,yN,zN) . Protože každý hmotný bod má tři souřadnice, bude index i probíhat hodnoty od 1 do 3iV. Prostor popsaný souřadnicemi x{ se nazývá konfiguračním prostorem dané soustavy (za předpokladu, že není podrobena vazbám). Budeme jej označovat P3N. V konfiguračním prostoru je poloha systému dána jediným bodem x{. Obdobně můžeme v konfiguračním prostoru zavést rychlost o složkách xi,..., X3M, zrychlení o složkách x\,..., x^n a sílu o složkách ^1 > • • • > Fsn • V nejprostším případě jediného hmotného boduje konfiguračním prostorem obyčejný třírozměrný prostor. Vazba v tomto prostoru omezuje pohyb systému (a tedy i konfigurační prostor) na plochu či křivku. Podobně mohou vazby omezovat i vícerozměrný konfigurační prostor. Fyzikálně jsou vazby v něm realizovány různými způsoby například spojovacími tyčemi, lany, kloubovými mechanismy. Pro „činku", dva hmotné body o souřadnicích xi,X2,xs a £4,£5,£6, spojené tyčí délky L o zanedbatelné hmotnosti, je vazba vyjádřena rovnicí (xi - x4)2 + (x2 - xb)2 + (x3 - x&)2 - L2 = 0 . (II.8) Obecně se vazba vyjádřená vazebnou podmínkou /(*i,*) = 0 (II.9) nazývá vazbou holonomní. Pokud neobsahuje explicitně čas (podobně jako je tomu v (II.8)), mluvíme o vazbě skleronomní, v opačném případě jde o vazbu rheonomní. Vazebným podmínkám mohou být podrobeny také rychlosti hmotných bodů. Takovéto vazby se nazývají anholonomní15. Praktický význam mají pouze vazby lineární v rychlostech. Jsou vyjádřeny vztahy typu 3N ]T Ai {xj, t)Xi + K {xj,t) = 0 . (11.10) i-l Pokud lze levou stranu rovnice (11.10) přepsat jako totální derivaci podle času, tedy ^£ÍEÍl}.^ můžeme (11.10) nahradit vztahem dt f{xj1t) = tp(xj,t)-C = 0, (11.11) 13 Anholonomní vazby se vyskytují hlavně v mechanice tuhých těles (valení). 54 kde C je konstanta závislá na počátečních podmínkách. To znamená, že vazba byla integrací převedena na vazbu holonomní. V tomto případě nazýváme (11.10) semiholonomní vazbou. Platí zřejmě * = wr * = §■ (II12) V dalším textu budeme předpokládat, že eventuální semiholonomní vazby jsou již zintegrovány, a nebudeme je odlišovat od vazeb holonomních. Mějme nyní r holonomních vazebních podmínek fA(xi,t) = 0, A =l,...,r. (11.13) Každá taková podmínka totiž představuje rovnici (3iV — l)-rozměrné nad-plochy v prostoru P3N, r podmínek vymezuje v tomto prostoru nadplochu (varietu) dimenze (37Y — r), která je konfiguračním prostorem systému podrobeného vazbám14. Budeme jej značit Q3N~r. Prostor Q3N~r je tudíž vnořen do prostoru P3N. V každém bodě nadplochy Q3N~T můžeme zavést r-tici 3iV-rozměrných vektorů, z nichž každý je kolmý k jedné z vazebních nadploch. Jsou to vektory Označme Sxí složky vektoru, který je tečný ke konfigurační nadploše Q3N~~r (v daném časovém okamžiku). To znamená, že je kolmý na všechny gradienty vazebních ploch a splňuje proto r podmínek m a f £ T^Sxí = 0 (11.15) vyjadřujících nulovost skalárního součinu v prostoru P3N. Vektor o této vlastnosti se nazývá vektorem virtuálního posunutí. V případě skleronom-ních vazeb se virtuální posunutí pro malé hodnoty ÔXi blíží posunutí skutečnému. Pojem virtuálního posunutí může být rozšířen i na anholonomní vazby typu (11.10). Mějme s anholonomních vazebních podmínek typu (11.10) 3N Y^>AbíXí+1Cb = 0, B = l,...,s. (11.16) i=l Za předpokladu, že podmínky jsou vzájemně nezávislé a nejsou v rozporu. 55 První vztah (11.12) napovídá, že podmínky (11.15) definující virtuální posunutí v případě holonomních vazeb mohou být zobecněny doplněním o 37V J2Abiôxí = 0. (11.17) z=l U nejjednodušších typů vazeb jsme předpokládali, že síly působené vazbami jsou kolmé k vazebním plochám, a tudíž i k virtuálním posunutím. Označíme-li virtuální posunutí v 3-rozměrném prostoru jako <5r, můžeme to zapsat jako Rór = 0, (11.18) neboli virtuální práce vazebních sil je zde nulová. (Poznamenejme, že skutečná práce vazebních sil je obecně nulová pouze v případě skleronomních vazeb, poněvadž u rheonomních vazeb nemusejí být nekonečně malá skutečná posunutí tečná k vazebné ploše.) V souladu se zkušeností a výsledky experimentu budeme předpokládat, že omezení na vazební síly kladené vztahy (11.18) má univerzální platnost pro virtuální posunutí odpovídající libovolným vazbám typu (11.13) a (11.16). Je tudíž 3JV ^Riôxi = 0. (11.19) i=i 11.3 D'Alembertuv princip Newtonovy pohybové rovnice pro pohyb systému v P3N můžeme psát jako miai = Fi + Ri , i = l,2,...,3iV , (11.20) kde vždy m^p — m3p-\ = mzp-2 pro P = 1, ...,JV značí hmotnost příslušného hmotného bodu. Síly na pravé straně dělíme na vtištěné síly Fi a vazebné síly Ri. Vynásobme (11.20) virtuálním posunutím 5xí a sečtěme pro všechna i. S uvážením předpokladu (11.19) dostáváme 3N ^2 (Fi - miaz) ÔXi = 0 . (11.21) i=l Požadavek, aby (11.21) platilo pro všechna virtuální posunutí, vyjadřuje ďAlembertův princip. Pokud by systém nebyl podroben vazbám, byla by 56 virtuální posunutí Sxí vzájemně nezávislá a ďAlembertův princip by byl tudíž ekvivalentní Newtonovým pohybovým rovnicím pro vtištěné síly Fi - mlai = 0 . (11.22) Za přítomnosti vazeb nejsou ovšem posunutí bxi nezávislá a koeficienty (11.22) v nich tudíž nejsou rovny nule, což je přirozeným důsledkem existence vazebních sil. CAlembertův princip nám umožňuje hledat řešení pohybových rovnic systému, aniž se musíme zabývat vazebními silami Ri, které v tomto principu vůbec nevystupují. Předpokládáme-li existenci r vazeb (11.13) a s vazeb (11.16), máme celkem k = s +r podmínek (11.15) a (11.17) na virtuální posunutí. Vybereme-li libovolně 3N — k nezávislých složek virtuálního posunutí Sxí, umožňují nám rovnice (11.15) a (11.17) vyjádřit zbývajících k složek jakožto funkce těchto 3N — k složek již nezávislých. Dosadíme-li tato vyjádření do (11.21), můžeme anulovat 3N — k koeficientů u nezávislých složek a obdržíme tak 3N — k diferenciálních rovnic 2. řádu pro SN neznámých xi(i),... , £3jv(í). Abychom dostali soubor 3AT rovnic pro 3N neznámých, doplníme je k rovnicemi vazeb (11.13) a (II.16)15. Často nás speciálně zajímá rovnovážná poloha systému podrobeného skleronomním vazbám. V tom případě položíme v (11.21) a; = 0 a dostáváme 3N X>^ = 0, (11.23) i=l čili virtuální práce vtištěných sil je v rovnovážné poloze nulová. Toto tvrzení vyjadřuje princip virtuální práce. Nalezení rovnovážné polohy lze provést stejným postupem, jaký byl již popsán pro určení pohybu systému z d'Alem-bertova principu. Namísto diferenciálních rovnic dostáváme ovšem rovnice algebraické. Na závěr poznamenejme, že ďAlembertův princip lze chápat jako princip virtuální práce pro efektivní síly Fi — micii zahrnující i síly setrvačné. 11.4 Lagrangeovy rovnice 1. druhu Pohybové rovnice lze odvodit z d'Alembertova principu ve fyzikálně názorném a symetrickém tvaru, který je výhodný zejména tehdy, když chceme znát nejen pohyb systému, ale i velikosti vazebních sil. 15 Je vhodné konkretizovat si tento postup na příkladech. 57 Předpokládáme opět r holonomních vazeb (11.13) a s anholonomních vazeb (11.16). V důsledku definice virtuálního posunutí (11.15) a (11.17) můžeme ďAlembertův princip (11.21) přepsat do tvaru 3N / r rsr s \ 52 [V- mm + E + E VbAbí )6xí = 0, (11.24) t=l V A=l °xi b=l / kde jsme zavedli k — s + r tzv. Lagrangeových multiplikátorů \a, Pb, jež jsou zatím neurčenými funkcemi času. Za předpokladu nezávislosti vazeb lze vybrat 3iV — k nezávislých komponent virtuálních posunutí 5x{. Koeficienty u zbývajících k komponent v součtu (11.24) anulujeme volbou multiplikátorů. Požadavek nulovosti těchto koeficientů dává k rovnic, z nichž lze vypočítat k neznámých Aa, (J>b jako funkce poloh, rychlostí, zrychlení, popř. i času. Ze součtu (11.24) pak zbude lineární kombinace nezávislých složek, jejíž koeficienty musejí být rovny nule v důsledku této nezávislosti. Po dosazení multiplikátorů je to 3N — k rovnic, z nichž lze vypočítat SN — k nezávislých složek zrychlení soustavy jako funkce poloh i rychlostí a popř. i času tak, že je splněn ďAlembertův princip. Rovnice T n r S miai = Fi + 52 xa4^ + 52 VbAbí , (H.25) A=l ÚXi B=l kde clí = Xi, jsou tedy pohybovými rovnicemi daného systému. Tyto rovnice nazýváme Lagrangeovými rovnicemi 1. druhu. Jako neznámé v nich vystupují souřadnice X{ a Lagrangeovy multiplikátory A/i,/i#, tedy celkem 3N + k neznámých funkcí. Pro jejich určení je třeba dodat k rovnicím (11.25) rovnice s + r vazeb f a — 0 , 52 AbíXí + Kb = 0 . (11.26) í=i V případě, že existují pouze holonomní vazby, se Lagrangeovy rovnice 1. druhu často píší ve vektorovém tvaru mj r3 = Fj+52 Xa gradjfA , (11.27) a=l kde index j — 1,..., N se vztahuje k hmotnému bodu a grad; = drj 58 Porovnáme-li (11.25) nebo (11.27) s (11.20), vidíme, že ^ = E X^ + É PbAbí , (11.28) A=l °xl b=l resp. r Äj= E AAgrad^/A (H.29) A=l u holonomních vazeb. Členy s Lagrangeovými multiplikátory v rovnicích (11.25) a (11.27) tedy udávají vazebné síly. Lagrangeových rovnic 1. druhu je možné užít i k určení rovnovážných poloh systémů, klademe-li v nich x{ — 0. 11.5 Lagrangeovy rovnice 2. druhu Pro systémy podrobené pouze holonomním vazbám mají dosud probrané metody řešení pohybových rovnic zřejmou nevýhodu. Popisujeme v nich pohyb systému pomocí 3iV souřadnic konfiguračního prostoru P3N a zavádíme navíc ještě r multiplikátorů, ačkoliv počet nezávisle proměnných určujících jednoznačně polohu systému je pouze n = 3N-r . (11.30) Číslo n nazýváme počtem stupňů volnosti daného systému. Za n nezávisle proměnných qi můžeme zvolit libovolné křivočaré souřadnice na konfigurační varietě Qn, na niž je pohyb systému omezen vazbami. V souřadnicích xl na P3N je tato varieta zapsána parametricky jako16 xi = xi (V, ŕ) . (11.31) Chceme nalézt formální aparát, který by umožňoval zapsat pohybové rovnice pouze pomocí zobecněných souřadnic qJ. Vyřešení této úlohy bude mít zřejmě význam i pro systémy bez vazeb, pro něž je z nějakých důvodů výhodné zavést křivočaré souřadnice. Snažme se proto vyjádřit pomocí souřadnic q% ďAlembertův princip. Z hlediska geometrie prostoru P5N tento princip říká, že skalární součin vektoru efektivní síly a vektoru virtuálního posunutí vázaného vztahy (11.15) je nulový. 16 Tento zápis je obecně pouze lokální, poněvadž nemusí být možné pokrýt Qn jedinou souřadnicovou soustavou. 59 K matematickému vyjádření tohoto faktu můžeme užít některých výsledků 1.3, uvědomíme-li si, že jejich převážná většina nezávisí na dimenzi uvažovaného prostoru. Varieta Qn je obecně zakřivena, takže v ní neexistují kartézské souřadnice. Nic nám však nebrání zavést na Qn vektory ko-variantní báze tečné k souřadnicovým čarám. Označíme tyto vektory e^, kde j = 1,... ,n. Poněvadž vztahy (11.15) požadují pouze tečnost vektoru virtuálního posunutí ke Qn, jsou tyto složky vzájemně nezávislé. Kartézské složky těchto vektorů jsou na základě (1-16) {ejý = g . (11.32) Kontravariantní složky vektoru virtuálního posunutí v této bázi označíme ôqi. D'Alembertuv princip (11.21) můžeme nyní zapsat jako17 [Fí - (ma)J 61 Pak je rovněž dxi dv(qk,t) z nichž potenciální energii v křivočarých souřadnicích určíme dosazením (11.31). Pak lze namísto vztahu (11.42) psát d dL dL „ /T_ A„. kde L = T-V (11.46) je Lagrangeova funkce daného mechanického systému. Z Lagrangeovy funkce můžeme odvodit rovnice (11.45) i v obecnějším případě, když «~£ ♦ á£. přičemž U — u(xk,xk,ŕj je zobecněná potenciálová funkce. Potenciální energii můžeme chápat jako její speciální případ, kdy U nezávisí na rychlostech. Opět se snadno dokáže užitím (11.37) a (11.39), že dU d_dU dqi dt dqi ' v nichž zobecněnou potenciálovou funkci přepíšeme do křivočarých souřadnic pomocí (11.31) a (11.36). Lagrangeova funkce je pak L = T-U . (11.49) S tímto případem se setkáváme například při studiu pohybu nabitých částic v elektromagnetickém poli. Konečně se vyskytuje případ, kdy díl (xk,xk,t) Fi = —4* • (IL50) Funkce 7Z se nazývá disipativní funkce. Setkáváme se s ní zejména u sil tření. V tomto případě lze dát Lagrangeovým rovnicím 2. druhu tvar18 d dT dT dli % = + (n.48) dt dqi dqi dqi (11.51) 18 Může ovšem nastat i případ, kdy část síly je odvoditelná z Lagrangeovy funkce a část z disipativní funkce. 62 Na závěr poznamenejme, že pro určení rovnovážných poloh v poli potenciálových sil se rovnice (11.45) redukují na dV W = 0 (IL52) a říkají tedy, že rovnovážná poloha odpovídá extrému potenciální energie. Před principem virtuální práce (11.23) má (11.52) tu výhodu, že umožňuje lehce rozhodnout i o stabilitě rovnovážné polohy, která odpovídá pouze minimu funkce V. 11.6 První integrály Lagrangeových rovnic. Cyklické souřadnice V dalším výkladu se soustředíme téměř výhradně na Lagrangeovy rovnice ve tvaru (11.45). Řešení těchto rovnic je často usnadňováno nalezením prvních integrálů, tj. funkcí zobecněných souřadnic q3, zobecněných rychlostí q3 a (popřípadě) času í, které zůstávají během pohybu konstantní. Znalost Lagrangeovy funkce L = L(q\q\t) (11.53) často umožňuje tyto integrály určit přímo bez vypisování rovnic. Tak je tomu zejména v případě, kdy funkce L nezávisí na některé ze souřadnic q3 (ale závisí ovšem na příslušné rychlosti q3). Takováto souřadnice se nazývá cyklická. Podle (11.45) je pak drdL^=0 (11.54) a tedy dí \dq3 dL Cj (11.55) dq3 je konstantní v čase. V kartézských souřadnicích v inerciálním systému v případě, že potenciálová funkce nezávisí na rychlostech, je N 1 L = Y^~rnlvi2-V(rl,t) (11.56) i=i 1 a tudíž — =miVi = Pi, (11.57) OVi 63 což je hybnost i-tého hmotného bodu. Tato hybnost se zachovává, je-li V nezávislé na souřadnicích tohoto bodu. Obecně proto nazýváme veličiny ft■ = g ■ (II-58) zachovávající se v případě cykličnosti q3, zobecněnými hybnostmi či impulzy. Poznamenejme ovšem, že obecně mohou mít p j velmi rozmanitý fyzikální význam, jak se lze přesvědčit propočtením konkrétních příkladů. V případě existence zobecněné potenciálové funkce závislé na rychlostech se zřejmě ani v kartézských souřadnicích neshodují zobecněné hybnosti s běžnými hybnostmi počítanými podle vztahu (1.128). 11.7 Zobecněná energie Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, tj. platí-li § = 0 , (11.59) existuje mimořádně důležitý integrál pohybových rovnic E = - L . (11.60) Toto tvrzení lze snadno dokázat přímým výpočtem. Platí d£ _ .2d_5L (IL89) kde X(t) a Yl(q^,t) jsou generující funkce (generátory) dané transformace. Je tedy 5t = r]X , Sq* = r/F* (11.90) a po dosazení do (11.85) obdržíme v důsledku vztahu ÔS =0 zákon zachování ±(piYi-£X) = 0 (11.91) pro každou jednoparametrickou grupu transformací invariance (11.89). Jinými slovy veličina Z =piYi-8X (11.92) 71 je prvním integrálem pohybových rovnic. Toto tvrzení tvoří obsah 1. teorému E. Noetherové umožňujícího systematické vyvození zákonů zachování. V důsledku homogenity času je transformací invariance transformace ť = t + r) (11.93) s generujícími funkcemi X = 1, Yl = 0. Pak veličina (11.92) je (až na znaménko) zobecněnou energií. Obdobně homogenitě prostoru odpovídá transformace invariance n* = ri + riv, X = 0, Yi = v (11.94) pro všechny polohové vektory r^, i = 1,...,7V, přičemž u je jednotkový vektor udávající směr prostorové translace. Zachovávající se veličina je Z = £ g„ , (11.95) i=l vzhledem k libovolnosti v to značí, že se zachovává vektor hybnosti N dL d v. P = £ ^ . (11-96) což pro Lagrangeovu funkci typu (11.56) vede k běžnému výrazu pro hybnost. Obdobně izotropii prostoru odpovídá transformace invariance r/ = n + 7][y x n) , X = 0 , yť = i/ x r* , (II.97) kde v je jednotkový vektor ve směru osy otáčení. Odtud snadno dostáváme zákon zachování pro vektor momentu hybnosti N J = ^rtxPl. (11.98) i=l Konečně zachování zobecněné hybnosti pí je spojeno s transformací invariance q* = qi + rf (H.99) pro cyklickou souřadnici g1. Je třeba ještě upozornit, že transformace invariance zachovává množinu řešení pohybových rovnic, opačné tvrzení však neplatí (transformace zachovávající množinu řešení pohybových rovnic nemusí být transformací invariance). Například pro jednorozměrný pohyb volné částice při transformaci Galileiho platí L (v*) = \mv*2 = \m (v - V)2 ^ L{v) . (11.100) 72 V tomto případě se „transformovaná" a „původní" Lagrangeova funkce (levá a pravá strana (11.88)) liší o totální derivaci podle času. Snadno se prověří, že to nemá vliv na pohybové rovnice, neboť po dosazení L = Ttf(qijt) (IL101) do levé strany (11.45) vychází identicky nula. Lagrangeovy funkce lišící se o totální časovou derivaci, resp. výrazy Lát lišící se o totální diferenciál vedou tedy ke stejným pohybovým rovnicím. Transformace zachovávající tvar pohybových rovnic nazýváme zobecněnými transformacemi invariance. 1. teorém E. Noetherové se dá snadno zobecnit i na tuto situaci. Podrobnější rozbor v případě Galileiho transformace vede k zákonu zachování, který vyjadřuje rovnoměrnost a přímočarost pohybu středu hmotnosti izolované soustavy. 11.10 Příklady 1. Určete zrychlení tělesa z obr. 3. Hmotnosti lan, rozměry kladek a tření zanedbáme. Řešeni: Na tomto příkladě ukážeme všechny tři popsané metody řešení pohybových rovnic. 7T 7T" Xi O 777,2 x2. X M Obr. 3: Soustava kladek. Těleso o hmotnosti M je zavěšeno na dvou lanech. Levé lano má délku L\, pravé L2, odpovídající hmotnosti volných kladek jsou m\ am2. Označíme x\, X2 souřadnice volných kladek, X souřadnici břemene. Vazebné podmínky jsou vyjádřeny rovnicemi fí=2x1 + X-Li = 0, (11.102) f2 = 2x2 + X-L2 = 0. (11.103) 73 Systém má tedy jeden stupeň volnosti. Jako nezávislou souřadnici zvolíme X. Virtuální posunutí volných kladek jsou podle podmínek (11.15) 6xi= ~, ôx* = -S-§- (IL104) a pro jejich zrychlení dostaneme derivováním vazebných podmínek Äi = -y. Í2 = ~f- (IL105) D'Alembertuv princip 3 Y,(K-rniai)ôri = 0 (11.106) »=i po rozepsání dává mi (g - xi) Sxi + M (g - Í") SX + m2 (g - x2) Sx2 = 0 , (11.107) což po dosazení (11.104) a anulování koeficientu u ÔX vede k řešení x = 4f,:2(mi + m2)g ■ ("los) Lagrangeovy rovnice 1. druhu 2 Fi + ^ Ai Srad/A = mi* (11.109) dávají m\Xi = ni\g + 2Ai , MX = Mg + \1+\2, (11.110) m2Í2 = rn2g + 2A2 . Rovnice (11.110) spolu s rovnicemi (11.105) vzniklými derivováním vazebných podmínek tvoří úplnou soustavu pro neznámé x\, x2, X, X\, X2. Jejím řešením dostáváme opět výsledek (11.108) a navíc pro napětí lan Lagrangeovy rovnice 2. druhu se pro náš případ redukují na jedinou rovnici tvaru % + T*=0. (11.112) dX dtdX V ' 74 Využitím vazebných podmínek (11.102) a (11.103) dostáváme pro kinetickou energii T = \mixi2 + \m2x22 + X-MX2 = i (4M + mi + m2) X2 (11.113) 2 2 2 o a pro potenciální energii V = g {mixi + m2x2 + MI) = ^ (2M - mx - m2) + konst , (11.114) což po dosazení do (11.112) vede ihned k výsledku (11.108). 2. Kloubový mechanismus (odstředivý regulátor) znázorněný na obr. 4 se točí kolem svislé osy úhlovou rychlostí a;. Hmotnosti spojovacích tyčí a kloubů lze zanedbat. Určete úhel 1, je stabilní řešení (11.118), a pokud je ( < 1, je stabilní řešení (11.119). 3. Dokažte, že pohybové rovnice pro částici v elektromagnetickém poli ma = e(E + v x B) (11.122) plynou z Lagrangeovy funkce L = ]-mv2 - e + eAv , (11.123) Za kde 4>(r,t) a -4. (r, í) jsou tzv. skalární a, vektorový potenciál pole. Užijte tohoto výsledku k řešení příkladu 2, který jsme v předešlé kapitole řešili pomocí Newtonových rovnic. Řešení: Výpočet pohybových rovnic z Lagrangeovy funkce (11.123) dává —•(-£-£)♦•(£-£)<»■ «™ Užitím prvního ze vzorců (1.65) dostáváme ÔAj dAi _ ÔAm takže užitím (1.66) a definice operace rotace [rotA]ť = [y x A\ = eijk-fcAk (11.126) přepíšeme (11.124) do vektorového tvaru -grad - — J -I- e (v x rot A) . (11.127) 76 Je tedy E = —grad dA dt ' B = rot A (11.128) pro vztah intenzit a potenciálů. Snadno se dokáže, že v důsledku (11.128) musejí intenzity splňovat 1. pár Maxwellových rovnic dB divB = 0 , TotE = dt (11.129) Nyní se zabývejme příkladem 2. Omezme se na pohyb v rovině kolmé k ose válce. Vzhledem k symetrii úlohy lze předpokládat, že vektorový potenciál je tečný ke kružnicím se středem v ose a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od osy. Vzhledem k druhé rovnici (11.128) můžeme užít Sto-kesovy věty j> Ads = j BdS , (11.130) kde 5 je hranice kruhu S se středem v ose. Velikost vektoru A pak je rB A = (11.131) Skalární potenciál se určí snadno jako r Ro Edr = -ek ln— Ro (11.132) Dosazením (11.131) a (11.132) do (11.123) a přepisem do polárních souřadnic r,if> dostáváme r2B L - \m (r2 -|- r2ip2) + ek ln~ + e'—^-ý 2 ^ ' Rq První integrály této Lagrangeovy funkce jsou E = im (ř2 + r2ip2) - ek ln— = i 2 v / Rq 2 mvQ (11.133) (11.134) r2B Píp = mr ip + e—— = eB Rn 2 2 - 2 ■ (IU35) kde konstantám dáváme hodnotu odpovídající zadaným počátečním podmínkám. Dosazením z (11.135) do (11.134) dostaneme 2" 1 ■mvo 1 2m .2 e2r2B2 Rq2 T + 4m2 l R2 ek ln Ro (11.136) 77 což pro pohyb s nulovou radiální složkou rychlosti na plášti válce, tj. f = 0, r = R, dává výsledek (1.154). Další příklady k řešení Lagrangeových rovnic nalezne čtenář ve „Vybraných aplikacích" těchto učebních textů. Příklady k samostatnému řešení 1. Žebřík váhy G je opřen o svislou hladkou stěnu, se kterou svírá úhel (p. Jaká vodorovná síla musí působit na dolním konci žebříku, aby jej udržela y rovnováze? Podle předchozí úlohy lze žebřík nahradit nehmotnou tyčí, jejíž G G konce jsou zatíženy vahami —. Potřebná síla je F — — tg

o. Určete, v kterém místě se odpoutá od povrchu koule. Lze užít Lagrangeových rovnic 1. druhu a hledat podmínku nulovosti multiplikátoru. K odtržení dojde ve výšce z = + ^ nad 3# 3 středem koule. 3. Najděte Lagrangeovu funkci volné částice v neinerciálním systému. Užijeme vztahu (1.56) a přepisu v'vtr = ^ (r'vtT) - r' (atr - oj x vtr) . Výsledek 1 /9 m , ,.9 L = -mt)'2 + — {oj x r') & Li m r'otr + mv' {oj x r') . (Čárky znamenají, že příslušné veličiny a operace se vztahují k neinerciálnímu systému.) 4. Homogenní provaz délky L a hmotnosti /i leží napjat na stole. Na jeho koncích jsou upevněny hmotnosti m a, M tak, že m je právě na okraji stolu a začíná padat. Určete dráhu h jako funkci času. mL . . h —-(coshAt — 1) , kde A L(m + M + /i) 78 III HAMILTONOVSKÁ FORMULACE MECHANIKY V první polovině minulého století nalezl W. Hamilton novou formulaci klasické mechaniky, v níž pohybové rovnice nabývají mimořádně prostého tvaru. Hamiltonovská formulace se stala pro další rozvoj teoretické fyziky stejně významnou jako formulace lagrangeovská. Čtenář se s ní bude setkávat při dalším studiu zejména v oblasti kvantové mechaniky a statistické fyziky. V Hamiltonově formulaci vystupují souřadnice a jim příslušné zobecněné hybnosti jako rovnoprávné dvojice proměnných ve fázovém prostoru. Zatímco v Lagrangeově formulaci bylo možné libovolně zaměňovat křivočaré souřadnice, v Hamiltonově formulaci lze transformacemi „mísit" souřadnice a hybnosti za podmínky, že Hamiltonovy rovnice si zachovají svůj obecný tvar. Příslušným transformacím se říká kanonické. Charakterizujeme kanonické transformace a zavádíme jejich důležitý invariant, Poissonovy závorky. Ukazujeme, že i pohyb třídy mechanických systémů může být chápán jako kanonická transformace, a dospíváme k Liouvilleově větě, o niž se opírá statistická fyzika. 111.1 Hamiltonova funkce. Hamiltonovy rovnice Hamiltonův formalismus se vztahuje na tytéž příklady, v nichž je možné odvodit pohybové rovnice z Lagrangeovy funkce podle (11.45). Namísto La-grangeovy funkce se však stává základem nové formulace zobecněná energie S z (11.60), v níž ovšem z rovnic dL Pi=dý' « = 1,2, ...,n, (III.l) vyjádříme zobecněné rychlosti q1 jako funkce zobecněných souřadnic q\ zobecněných hybností^ a (popřípadě) času t, tj. 21 ? = qi(qj1pj,t) . (III.2) (d2L \ ^ ,.q .. J ^ 0. Z Lagran- geových rovnic vidíme, že je to zároveň podmínka pro to, aby zrychlení ql byla určena polohami q1 a rychlostmi q1. V případech, kterými se zabývá klasická mechanika, je tato podmínka regularity obvykle splněna. 79 Zobecněná energie v nových základních proměnných q^pj^t se značí H a nazývá se Hamiltonovou funkcí mechanického systému. Je tedy H{qj,Pj,t) =Plql-L. (III.3) Vypočtěme diferenciál funkce H z levé i pravé strany rovnice (III.3). Jednak JG JIT dH. i dH J 0fT /TTT/A dH = Wáq+dp-jdP> + lHát (IIL4) a jednak platí dH = q'dpi + Pldql - —dq1 - t~dq* - ^dt , (III.5) kde druhý a čtvrtý člen na pravé straně by bylo možné vyjádřit pomocí diferenciálů qi,Pj a t na základě (III.2). Vzhledem k platnosti Lagrangeových rovnic (11.45) se však tyto členy ruší a vzhledem k (III.l) lze tedy psát dH = qldPi - - — dt . (III.6) Porovnáním (III.4) a (III.6) zjišťujeme, že platí \dt/Piq \dtJqA (III.7) a dále ■1 ^H • ^H /TTT r>\ «=^' """ä?" (IIL8) Pro mechanický systém s n stupni volnosti představují rovnice (III.8) 2n diferenciálních rovnic 1. řádu pro 2n neznámých funkcí času ql{ť) a Pi(t). Jsou to tedy rovnice nižšího řádu než rovnice Lagrangeovy, navíc jde o rovnice mimořádně jednoduché, poněvadž pravé strany (III.8) nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Rovnice (III.8) se nazývají Hamiltonovými kanonickými rovnicemi daného systému. 2n-rozměrný prostor proměnných ql,pi se nazývá fázovým prostorem a o dvojici q\pi se stejným indexem i se mluví jako o kanonicky sdružených veličinách. Pro ilustraci uvedeme nejjednodušší případ jednorozměrného pohybu volného hmotného bodu. Zde *=«-í = é (IIL9) 80 a Hamiltonovy rovnice mají tvar 4=^-, p = 0. (III. 10) m Další příklady nalezne čtenář na konci kapitoly. Opačně z Hamiltonovy funkce H (q3, p j, t) můžeme vypočítat Lagran-geovu funkci L (q3, q3, t) L=Piql-H , (111.11) kde za p; dosadíme funkci zobecněných souřadnic, rychlosti a času určenou z prvního páru rovnic (III.8)22. Vypočteme diferenciál L a užitím Hamil-tonových rovnic lze pak odvodit Lagrangeovy rovnice 2. druhu; tím je dokázána ekvivalence obou druhů pohybových rovnic. Popsaný přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci a od proměnných ql,ql k proměnným q1,pi se nazývá Legendreovou duální transformací & setkáváme se s ní i mimo klasickou mechaniku. Snadno se přesvědčíme, že Hamiltonovy rovnice (III.8) mohou být odvozeny z variačního principu 8 J Fát = 0, (111.12) h kde F (V, qj, P j ,t)=piqi-H {q3, Pj, t) . (III. 13) Zde 5 značí izochronní variaci a v okamžicích íi,Í2 se požaduje 8ql = 0. Na rozdíl od Hamiltonova principu (11.75) se tento princip vztahuje k fázovému a nikoliv ke konfiguračnímu prostoru. V případě, že Hamiltonova funkce nezávisí explicitně na čase a platí tedy zákon zachování energie, je pro pohyby se stejnou energií S S = jFdt = J pifdt -£{t2- íi) = S0-£(t2- h) . (111.14) ti *i Veličinu So nazýváme redukovanou akcí. Uvažujme nyní o pohybech splňujících zákon zachování energie při pevné počáteční a koncové poloze v libovolných časech. Variace (III. 14) je 8S = 8S0-S [8t2 -8ti) , (III. 15) 22 Příslušná podmínka řešitelnosti rovnic vzhledem k »; je nyní Det [ ——— j ^ 0. Tato \dpidpj J podmínka nemusí být splněna ani ve fyzikálně zajímavých případech, viz IV.4. 81 zatímco podle (11.85) je (protože jsou splněny Lagrangeovy rovnice a 6ql = 0 na okrajích) 6S = -£{6t2-ôti) . (111.16) Srovnáním obou předchozích vztahů dostáváme SSo = ô yPidgť = 0, (III. 17) c kde C je křivka v konfiguračním prostoru spojující počáteční a koncovou polohu systému. Zapíšeme ji jako q1 = q1 (cr), kde a je parametr. Pak vyjádříme z (III.2) a z (III.3) Ze vztahu (III. 19) vypočteme der fát jako funkci g-7, dq^/der a £ a tu dosadíme do (III. 18) a poté do (III. 17). Tak dostaneme variační princip ve tvaru 6 J f(qJ,Cda~'£) da = ° (IIL20) pro určení trajektorie systému qx (cr) mezi počáteční a koncovou polohou při dané energii £. Čtenář si může ověřit, že pro Lagrangeovu funkci (11.63) je f = \l2(£-V) oí*:^^, (IH.21) kde V i dik jsou funkcemi ql. Vztah (III. 17), resp. (III.20) je historicky nejstarší podobou variačního principu mechaniky a nazývá se Maupertuisův princip. 111.2 Cyklické souřadnice. Routhova funkce Integrace Hamiltonových rovnic je usnadněna v případě, že se mezi souřadnicemi ql vyskytují souřadnice cyklické, tj. takové, že na nich Hamiltonova funkce nezávisí. Ze vztahu (III.3) mezi Hamiltonovou a Lagrangeovou funkcí 82 vyplývá, že souřadnice je cyklická vzhledem k Hamiltonově funkci právě tehdy, když je cyklická vzhledem k funkci Lagrangeově. Podle (III.8) pro cyklickou souřadnici q3 platí dH W = -í>J = 0 (111.22) a kanonicky sdruženou zobecněnou hybností je Pj = aj , (111.23) kde ctj je konstanta určená počátečními podmínkami. V případě, že všechny souřadnice jsou cyklické a Hamiltonova funkce nezávisí na čase, platí .{ dH dH (ai,... ,an) ql = —- =---= ují («!,..., an) , (111.24) opi dai q{ = ujH + (3l , (111.25) kde oj1 a (3l jsou konstanty. Rovnice (III.23) a (III.25) představují řešení Hamiltonových rovnic. V případě, že jsou cyklické pouze souřadnice q1,..., qs, kde s < n, ukazuje se výhodným zavést Routhovu funkci s R (qs+\ ... , qn,pu ... ,Ps, qs+\ ..., což nemusí být vždy splněno. Existence inverzní transformace (III.38) si žádá pouze splnění podmínky / dqi cV \ Det dQJ dPj dpi_ dp^ V dQi dP1 I ^ 0 . (111.41) dq1 \ ( dql Pokud Det j ~řyp ) = 0> a^e Je nenulový subdeterminant Det I ^—■ J, lze z (III.38) vypočítat Q jako funkce q,P,t. Vztah (III.37) přepíšeme na tvar Piaf + QldPt + (#-#) dí = d (PiQ1 + ) (111.42) 85 a položíme PiQ1 (q, P, t) + (P, Q (9, P,t),t) = F (q, P, ŕ) , (111.43) kde F (g, P, í) je další typ vytvořující funkce. V tomto případě bude dF dF — dF P- = W> Q' = dpr H = H+m- (IIL44) Bylo by možné zavést ještě vytvořující funkce F (P,p, ť) a F (p, Q, t), což ponecháváme na čtenáři. Uveďme nyní příklady kanonických transformací: a) Z vytvořující funkce F = fi{q,t)Pl (111.45) dostáváme podle (111.44) dfi — dľ Qť = /\ Pi = ltrPj, H = H + -±rPi, (111.46) což jsou již uvedené transformace (111.31) v konfiguračním prostoru, doplněné odpovídajícími transformacemi hybnosti a Hamiltonovy funkce. Povšimněme si, že zatímco pro Lagrangeovu funkci platilo L = L, viz (111.32), hodnoty Hamiltonovy funkce H a H se pro transformace závislé na čase liší. b) Z vytvořující funkce F = ýQ1 (111.47) dostáváme podle (III.40) Pi = Q\ Pi = ~q\ H = H. (111.48) Transformace tedy vede (až na znaménko) k vzájemné výměně souřadnic a hybností. Vidíme tedy, že rozdělení na souřadnice a hybnosti nemá v Ha-miltonově teorii absolutní význam. c) Z vytvořující funkce F = ^(jg2cotgQ (111.49) získáme podle (III.47) po malé úpravě 2P q = \ - s'rnQ , p = V2mu)P cos Q . (III.50) 86 Pro Hamiltonovu funkci harmonického oscilátoru dostáváme H = wP . (111.52) Nová souřadnice Q je vzhledem k nové Hamiltonově funkci H cyklická a řešením Hamiltonových rovnic je tedy P = a, Q = u>t + {3, (111.53) kde a, (3 jsou konstanty. Pro původní souřadnici získáme dosazením do (111.50) 2£ sm(ut + /3) , (111.54) mu;2 kde E = uja je konstantní energie oscilátoru. Z posledního příkladu vidíme, že kanonickou transformací je možné dát Hamiltonově funkci a tím i Hamiltonovým rovnicím mimořádně jednoduchý tvar, který usnadní jejich řešení. Aby bylo možné této výhody využívat, je třeba umět vhodnou kanonickou transformaci nalézt. Na závěr si ukažme, že kanonické transformace tvoří grupu. Především je zřejmé, že identická transformace je kanonická. Složíme-li dvě kanonické transformace (p,q) —> (P*,Q*) —>• (P,Q), máme piáqi - P-dQ* + (h* - E) dt = dV>* , (111.55) P*dQ*{ - PidQ1 +(h- iT) dt = dip** (111.56) a sečtením obou vztahů dostaneme pldqi - PidQi + (H - H) dt = d {i/>* + ý**) . (111.57) Odtud vidíme, že i výsledná transformace je kanonická s vytvořující funkcí xjj = ifr* -f '0**. Konečně inverzní transformace ke kanonické transformaci (III.34) splňuje vztah PidQi - Pidq1 +(H-H)dt = d {-ip) (111.58) a je tedy rovněž kanonickou transformací s vytvořující funkcí —ip. 87 III.4 Poissonovy závorky Mějme dvě funkce ve fázovém prostoru, které se eventuálně mění s časem, označme le u {p, q, t) a v(p,q,t). Poissonovou závorkou těchto funkcí nazýváme funkci24 r , du dv du dv ,TTT . [uv]™ = W,dč~Wi- (III59) Později ukážeme, že hodnota funkce [uv] je invariantní vůči kanonickým transformacím, tj. HM = Hp, cm x = xo H--[t-to) • (111.86) t — to m Namísto přímého řešení pohybových rovnic je proto možné postavit si úlohu nalezení akce ve tvaru (111.80). II 1.6 Liouvilleova věta Mějme ve fázovém prostoru oblast Q. Pak integrál Vn = Jáq1... dqndPl ...dpn (111.87) Í2 je nezávislý na volbě kanonických proměnných, tj. platí (při užití stručnějšího zápisu) J dqdp = J dQdP . (111.88) Můžeme proto hovořit o Vn jako o fázovém objemu oblasti Q. Fázový objem je důležitým příkladem integrálního invariantu kanonických transformací. Tvrzení vyjádřené vztahem (III.88) se nazývá Liouvilleovou větou. Pro její důkaz postačí ukázat, že jakobián libovolné kanonické transformace, který stručně zapíšeme jako 92 je roven jedné. S uvážením, že lze psát (doporučujeme čtenáři, aby se o tom přesvědčil podrobným rozepsáním determinantů) d(Q,P) d(Q,P)d(q,P) fdQ\ fdP\ d(q,p) d(q,P) d(q,p) \dq)P\dp)q ' K * > Podle (111.44) je však dQ{ d2F dPi (111.92) dqJ dqWpi dPj pro všechny prvky determinantu J, a tudíž z (111.91) plyne J = 1 (111.93) (obdobný důkaz by bylo možné provést i v případě, že musíme použít jiného typu vytvořující funkce). Tvrzení Liouvilleovy věty je fyzikálně zvlášť zajímavé v souvislosti s tím, co bylo uvedeno v předchozím odstavci. Zde jsme dokázali, že řešení pohybových rovnic zapsané ve tvaru (III.77) představuje kanonickou transformaci. Dosud jsme interpretovali kanonické transformace jako záměny souřadnic ve fázovém prostoru, tj. P, Q byly nové souřadnice bodu, který měl předtím souřadnice p, q. U vztahu (111.77) je však názornější tzv. aktivní interpretace. Představujeme si množinu systémů (množinu mechanických soustav) o všech možných počátečních podmínkách z jisté oblasti í2q fázového prostoru v čase to. Pak časový vývoj těchto systémů popsaný rovnicemi (III.77) představuje pro každý čas t zobrazení oblasti i?o na jinou oblast Q{ť). Podle Liouvilleovy věty však toto zobrazení zachovává fázový objem, tj. platí Vm = Vn0 (111-94) pro všechna t. Toto tvrzení můžeme vyjádřit také v diferenciálním tvaru. Zavedeme-li rozdělovači funkci p(p, q, t) udávající počet (mechanických) systémů na jednotkový objem fázového prostoru, platí pro ni obecný vztah (III.66), tj. Ž-S + I*rf. (HI.95) 93 Zachování fázového objemu během pohybu znamená, že p se nemění podél trajektorií systémů ve fázovém prostoru, jinými slovy rozdělovači funkce je integrálem pohybových rovnic ft = 0 . (111.96) Je-li uvažovaný soubor systémů v rovnovážném stavu, nemění se rozdělovači funkce s časem ani v daném bodě fázového prostoru, proto je i % = 0 (IH.97) a tedy [Hp] = 0 . (111.98) Nejprostší způsob, jak splnit vztah (111.98), je volba p = p{H), tj. rozdělovači funkce závisí pouze na energii. Tohoto předpokladu se využívá ve statistické fyzice. Platnost Liouvilleovy věty pro pohyb souboru systémů je ovšem omezena na případ, že pohybové rovnice lze vyvodit z Hamiltonovy funkce. Pro disipativní systémy se silami tření věta neplatí. Tak například pohybová rovnice pro tlumený pohyb mx + 7i = 0 (111.99) má obecné řešení x = XQ + TE2. (l - e-'M , p = p0e-í/r , (III.100) m kde r = — a výpočet jakobiánu dává 7 J = e~ť/T , (III.101) tj. fázový objem exponenciálně klesá s časem. 111.7 Příklady 1. Určete Hamiltonovu funkci a Hamiltonovy rovnice pro matematické kyvadlo délky l. Řešení: Máme L = -ml2p2 + mgl cos

x r') 2. Ve speciální teorii relativity je Lagrangeova funkce pro volnou částici v L — —mc\ 1--5-, kde c je rychlost světla. Najděte Hamiltonovu funkci. H = cy/p2 + m2c2 , kde p mv 1 - v 3. Dokažte vztahy pro Poissonovy závorky kartézských komponent hybnosti pi a momentu hybnosti ji [jbPc] = -čabcPa , [jbjc] — ~^abcja ■ Čtenář se dále může pokusit řešit metodami vyloženými v této kapitole řadu jiných příkladů. 96 IV HAMILTONOVA-JACOBIHO TEORIE Nalezli jsme již nejprostší diferenciální rovnice vyjadřující zákony klasické mechaniky — Hamiltonovy rovnice — a třídu transformací, které zachovávají tvar těchto rovnic. Zbývá ještě nalézt obecnou a účinnou metodu integrace pohybových rovnic. Tato úloha je řešena Hamiltonovou-Jacobiho teorií. Teorie vede k parciální diferenciální rovnici — Hamiltonově-Jacobiho rovnici, jejímž řešením dospějeme k akci jako funkci souřadnic a času a odtud využitím poznatků o kanonických transformacích k obecnému řešení pohybových rovnic. Explicitní vyřešení Ha-miltonovy-Jacobiho rovnice je možné v případě, že proměnné lze separovat. Pokud je separovatelnou proměnnou čas, dospíváme k speciálnímu tvaru Hamiltonovy-Jacobiho rovnice. Na závěr stručně diskutujeme vztah Hamiltonovy-Jacobiho teorie k základní rovnici kvantové mechaniky — Schrodingerově rovnici. IV.1 Hamiltonova-Jacobiho rovnice Hlavní myšlenka byla již nastíněna v závěru III.5. Jde v ní o nalezení akce mechanického systému jakožto funkce souřadnic a času, z níž se pak získá řešení pohybových rovnic. Akce splňuje rovnici (111.85), do níž můžeme dosadit z první série vztahů (111.83), takže dostáváme když jsme v Hamiltonově funkci zaměnili hybnosti parciálními derivacemi akce podle souřadnic. Rovnice (IV. 1) se nazývá Hamiltonovou-Jacobiho rovnici. Na rozdíl od obyčejných diferenciálních rovnic, s nimiž jsme se dosud setkávali, je to parciální diferenciální rovnice 1. řádu pro neznámou funkci S(ql,t). Jak známo, obecné řešení parciální diferenciální rovnice obsahuje libovolné funkce, které se pak určují z počátečních a okrajových podmínek. Zde nám však stačí nalézt úplné řešení, obsahující tolik libovolných konstant, kolik je nezávisle proměnných, tj. v tomto případě n + 1. Hledáme tedy řešení ve tvaru (IV.l) (IV.2) 97 (jedna z konstant může být vždy volena jako aditivní). Zvolíme-li S za vytvořující funkci kanonické transformace a a j budeme považovat za nové hybnosti, bude podle (III.44) *=!?■ ff=0- (IV-3) Protože nová Hamiltonova funkce je rovna nule, jsou podle Hamiltonových rovnic f33 konstantami. Vztahy P = (IV.4) představují n algebraických rovnic, které implicitně udávají q'^qtfaa^p) , (IV.5) tj. obecné řešení daného mechanického problému obsahující 2n libovolných konstant. Na závěr se přesvědčme, že S vskutku představuje akci systému. Využitím (IV. 1), první série (IV.3) a (III. 11) vypočteme óS OS dS ,a , . a tudíž S — J Lát. IV.2 Separace času Hamiltonova funkce často neobsahuje explicitně čas. V tomto případě lze Hamiltonovu-Jacobiho rovnici zjednodušit. Hledejme akci v separovaném tvaru S = So (ql) + St(t) . (IV.7) Dosazením do (IV. 1) dostáváme Pravá strana je pouze funkcí času, zatímco levá je funkcí pouze souřadnic. To znamená, že (IV. 8) může platit pro všechna q\t pouze v případě, že obě 98 strany se rovnají téže konstantě, kterou označíme S. Namísto (IV.8) tak dostáváme dSt dt = S , (IV.9) * (iv.io) Vztah (IV. 10) představuje Hamiltonovu-Jacobiho rovnici pro funkci souřadnic 5o, přičemž pro úplnou akci podle (IV.7) a (IV.9) platí s = -et + s0 (/) . (iv.ii) Z rovnice (IV. 10) je navíc vidět, že í má význam zachovávající se energie daného systému. Ukažme si nyní jako nejjednodušší ilustraci řešení Hamiltonovy-Jacobi-ho rovnice pro jednorozměrný volný pohyb. Zde je rovnice (IV. 10) tvaru 1 ídSo^=£. (IV.12) 2m V dx Jejím řešením je S q = \/2mE x . (IV. 13) (Vynechali jsme aditivní konstantu A, která nemá zřejmě vliv na výsledek.) Celková akce je tedy S = -8t + V2^£ x . (IV.14) Řešení pohybové rovnice v implicitním tvaru je dáno vztahem p de' odkud jednoduchou úpravou dostaneme x = \l— (t + p) , (IV.15) m což je zřejmě obecné řešení úlohy. 99 IV.3 Separace proměnných V předešlém odstavci popsaná separace času je speciálním případem obecnějšího postupu. Pro funkci S (£1,... , £s, rj) nechť má parciální diferenciální rovnice tvar 4'f<4'S))=°' (IV-16) kde nezávisle proměnná rj a derivace podle ní se vyskytuje pouze ve funkci ip. Pak hledáme řešení v separovaném tvaru S = S0 (M + Sv (ti) , (IV.17) což po dosazení do (IV. 16) dává (IV18) f (V, ^ 1 = «, , (IV.19) Aby vztah (IV. 18) platil pro všechna musí být funkce cp konstantní, tj- dr] kde ctr) je konstanta a 4>^^,a^=0. (IV.20) Rovnice (IV. 16) se tak rozpadla na obyčejnou diferenciální rovnici (IV. 19) pro Sjj, jejíž řešení obsahuje konstantu ft^ana parciální diferenciální rovnici (IV.20) pro So, která již nezávisí na proměnné n. Ve speciálním případě, kdy 77 v (IV. 16) explicitně nevystupuje (jde tedy o cyklickou souřadnici), lze klást (99 ¥> = , Sv = a^rj . (IV.21) V řadě důležitých problémů klasické mechaniky můžeme vhodnou volbou křivočarých souřadnic dosáhnout toho, že po separaci času je popsaným způsobem postupně proveditelná i separace všech zbývajících proměnných, takže akce je ve tvaru n s = -et + ^sl (y) , (iv.22) i=l 100 v němž každá funkce Si závisí pouze na jedné proměnné g\ V případě, že jde o cyklickou souřadnici, je podle (IV.21) Sl (V) = Piqi , (IV.23) kde pi je zachovávající se zobecněná hybnost. IV.4 Od klasické ke kvantové mechanice Význam Hamiltonovy-Jacobiho teorie není jen v tom, že poskytuje efektivní metodu integrace pohybových rovnic. Sehrála také historicky významnou roli, když posloužila E. Schrôdingerovi jako odrazový můstek k formulaci rovnice, která je základem nerelativistické kvantové (vlnové) mechaniky. Pokusíme se jednu z možných cest od klasické ke kvantové mechanice alespoň nastínit. Uvažujme nejprve o částicích stejného druhu, které „startují" z daného místa v daném čase s různými rychlostmi. Na svém pohybu přiřazují bodům r v čase t akci, která jim v té chvíli přísluší. Tak je definována akce jako funkce souřadnic a času, splňující Hamiltonovu-Jacobiho rovnici | + ff(g,,„ŕ)=0, (IV.24) OS v níž jsme v Hamiltonově funkci nahradili hybnosti pi výrazy ——. Určíme-li OXi z (IV.24) akci S(r,t), jsou hybnosti a energie částic určeny vztahy28 P = VS, H = ~^- (IV-25) Plochy konstantní akce S se pohybují v čase a hybnosti jsou gradienty těchto ploch. (Například v nejprostším případě prostoru bez silového pole jsou plochy S = konst soustřednými rozpínajícími se kulovými plochami, jejichž poloměr roste úměrně odmocnině z času.) S pohybem částic v daném silovém poli tak můžeme spojit obraz vln šířících se prostorem. Není ovšem zřejmé, jaký fyzikální význam by mohly tyto vlny mít, zvláště uvážíme-li, že předešlý výklad lze snadno rozšířit na 28 Pro zkrácení zde budeme užívat operátoru nabla V = —— a Laplaceova operátoru OXi d2 A = V2 = -jT—7j—. O těchto operátorech podrobněji pojednáváme v dalším výkladu. CřXi(jXi 101 systémy s větším počtem stupňů volnosti, kde se příslušné vlny pohybují nikoliv ve fyzikálním třírozměrném prostoru, ale v konfiguračním prostoru daného systému. V minulém století se však rozvinulo odvětví fyziky, v němž vlnový a časticový obraz plodně koexistují. Byla to optika či obecněji teorie elektromagnetického pole. Pro šíření elektromagnetického vlnění v izotropním, ale obecně nehomogenním prostředí platí vlnová rovnice n2d2f 4/-^ = 0, (IV.26) kde / představuje kteroukoli z komponent pole či jeho potenciálu, c je rychlost světla ve vakuu a n index lomu daného prostředí, jehož změny v prostoru a čase jsou pomalé ve srovnání se změnami elektromagnetického pole. V případě, že je tento index konstantní, je nejprostším řešením vlnové rovnice rovinná monochromatická vlna29 / = Ael^-Ut) = Aeitp . (IV.27) Zde k = —v je vlnový vektor, A vlnová délka, v jednotkový vektor ve A směru šíření vlny, u> kruhová frekvence. Vlnový vektor je spojen s frekvencí disperzní relací u=-c (IV.28) n a platí Uvažujme nyní o vlně, která je jen přibližně rovinná a monochromatická. Tato vlna může existovat i v prostředí s proměnným indexem lomu, pokud jsou jeho změny zanedbatelné v intervalu vlnové délky a periody kmitů. Pro vlnu / lze pak psát / = Aé* , (IV.30) kde A'op jsou reálné funkce souřadnic, amplituda A se však mění v prostoru i v čase mnohem pomaleji než fáze ip. Dosadíme-li (IV.30) do vlnové rovnice (IV.26), členem podělíme ji eltp a omezíme se na reálnou část výrazu na levé straně, dostáváme rovnici 29 Fyzikální význam má jen reálná část výrazu (IV.27). 102 Vzhledem k uvedeným vlastnostem A,

2 + F-—A> = 0, (IV.44) ^ + £-AS + -VSVa = o . (IV.45) ot 2m m První z nich přechází v Hamiltonovu-Jacobiho rovnici po zanedbání posledního, kvantového členu, tj. v limitě h -» 0. Druhou rovnici můžeme po vynásobení výrazem 2a přepsat na tvar 105 což je rovnice kontinuity . Tato rovnice znamená, že integrál / a2áV přes v daný objem se může měnit jen tokem j=a2—= a2^- (IV.47) m m přes hranice objemu, a vyjadřuje tak zákon zachování. To naznačuje fyzikální interpretaci veličiny a2 =| W \2= VV* (IV.48) (povšimněme si, že na rozdíl od optiky je v kvantové mechanice i imaginární část vlnové funkce fyzikálně podstatná). Je to hustota pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě a čase, přičemž v případě systému o více stupních volnosti se „místo" vztahuje ke konfiguračnímu prostoru daného systému. Podle této Bornovy interpretace, která byla nalezena až po zformulování Schrôdingerovy rovnice, popisuje vlnová funkce „vlnu pravděpodobnosti" v konfiguračním prostoru. Vlnová funkce udává stav kvantového systému a nahrazuje tak klasický popis stavu zadáním veličin q\pi. Obdobně Schrô-dingerova rovnice pro časový vývoj vlnové funkce nahrazuje pohybové rovnice klasické mechaniky. IV.5 Příklady 1. Řešte problém volného pádu v homogenním gravitačním poli pomocí Hamiltonovy-Jacobiho rovnice. Řešení: Orientujeme osy x,y vodorovně a osu z svisle vzhůru. Pak Ha-miltonova-Jacobiho rovnice (IV. 10) je 1 2ra aSo\2' dz J -f- mg z = £ . (IV.49) Napíšeme akci v separovaném tvaru S = — St +pxx +pyy + Sz(z) a řešením rovnice pro Sz(z), kterou získáme dosazením do (IV.49), obdržíme S = -£t + pxx + pyy + (2m£ —px2 — Py2 — 2m2gz)3/2 3m2g (IV.50) 32 O rovnici kontinuity a jejím významu pojednává VII.7. 106 Konstanty £,px,Py považujeme za nové hybnosti; s nimi spojené nové souřadnice označme j3,^x,Py. Podle (IV.4) platí /3 = -í+— N, (3x = x-^-N, (3y = y-^-N, (IV.51) mg mzg rnzg kde N = ^2m£-px2 -Py2-2m2gz . (IV.52) Odtud vypočteme X = Px H--H--1 j y = Py + ~3— + —t , mm mm z = 2mS-PS-tf + (ff9mÝ _ gpf _ l_gŕ (Iy 53) 2. Nabitá částice se pohybuje v elektromagnetickém poli, které je superpozicí centrálního elektrického pole a homogenního magnetického pole. Ukažte, že Hamiltonovu-Jacobiho rovnici je možné separovat ve sférických souřadnicích za předpokladu, že magnetické poleje slabé (lze zanedbat členy obsahující mocniny velikosti pole). Řešení: Homogenní magnetické pole má vektorový potenciál A = \{Bxr) , elektrické pole skalární potenciál r Nyní můžeme využít Lagrangeovy funkce (11.123) a provést její přepočet do sférických souřadnic, načež podle (III.3) přejdeme k Hamiltonově funkci. Anebo vyjdeme z Hamiltonovy funkce (III.109), kterou přepíšeme do sférických souřadnic užitím transformačních vztahů (111.46). V obou případech máme ^ 2m \ rsin v rL ) " I^ÍV + i~ (Brsmti)2 . (IV.54) r 2m 8m Poslední člen podle předpokladu zanedbáváme, takže Hamiltonova-Jacobi-ho rovnice je 1 2m dSo\2 + 1 fdSo\2 + i_ /dSo\2' dr ) r2 sin2 ů \ d(p J r2 \ dů J 107 r 2m d(p Řešením této rovnice dostáváme m eBdS°=£. (IV.55) S = -£t + pv

= ipk' , (V.4) a změna úhlu $ je otočením okolo uzlové přímky, tedy $ = ůu = ů [(ui') i' + (ti/) i' + (ufc') fc'] = ů cos ^ »' - ů sin / . (V.5) Sečtením obdržíme u = (p + ý + ů (V.6) a tedy u'x — sin ip sin ů ip -\- cos -0 i? , o;ý = cos tp sin$ v? — sin ip $ , (V.7) u;^ = cos ů (p + if) . Tyto vztahy se nazývají Eulerovy kinematické rovnice. V.2 Moment hybnosti a kinetická energie Důležitou charakteristikou rotačního pohybu tuhého tělesa je jeho moment hybnosti vzhledem k vybranému pevnému bodu, určený jako J = J (rxpv)dV , (V.8) v když uvedený výraz integrujeme přes celý objem tuhého tělesa. Užijeme nyní vzorce (1.44) a vztahu (1.56), v němž položíme v' = 0. Po jednoduchých úpravách dostaneme J = Rx MvtT + rQxM(uxR') + Jrot (w) , (V.9) 111 kde M v je úhrnná hmotnost tělesa, = f páV (V.10) *-/£-v tv.ii) i? = V V jsou polohové vektory středu hmotnosti vzhledem k O a k O', ro značí polohový vektor O' vzhledem k O a Jrot(u;) je vektor o složkách JT = Iaß Uß , (V. 12) kde laß = J (440, pokud A^O. (V.20) Díky tomu je možné zvolit ortonormální bázi vektorů ea, pro něž g(ea,eß) = 6aß . (V.21) Nadále budeme pracovat pouze s ortonormálními bázemi. Vzhledem k linearitě (V.17) je tenzor určen svým působením na vektory báze. Označíme T{ea,eß) = Taß (V.22) a nazveme soubor veličin Taß komponentami tenzoru 2. řádu v dané bázi33. Pak působení tenzoru na libovolnou dvojici vektorů lze vyjádřit jako T(A,B)=T(Aaea,Bßeß) = TaßAaBß . (V.23) 33 Upozorňujeme čtenáře, že existují různé definice tenzoru, které jsou sice vzájemně ekvivalentní, ale na první pohled mohou působit značně odlišně. Zejména v dřívější fyzikální literatuře se tenzory definují pomocí transformačních vztahů (V.25), které u nás vyplývají z definice. 113 Při záměně báze e'a = caßeß (V.24) se komponenty tenzoru mění podle vztahu T'aß = T (e'a, e'ß) = cailcß„TßU . (V.25) Povšimněme si, že komponenty metrického tenzoru jsou podle (V.20) v ortonormální bázi rovny 5aß a vzhledem k relacím ortonormality (1.46) se při záměně báze nemění (izotropní tenzory). Symetrický tenzor se vyznačuje tím, že Taß = Tßa . (V.26) Každý tenzor 2. řádu lze rozložit na symetrickou a antisymetrickou část T«ß = KT + TSß = \ (T«ß + + \ (T«ß ~ T**) • (v-2?) S bilineární formou spojená kvadratická forma T(A,A)=TaßAaAß (V.28) závisí zřejmě pouze na symetrické části bilineární formy. Existuje proto vzájemně jednoznačná korespondence mezi symetrickými bilineárními formami a kvadratickými formami. Můžeme tedy ztotožnit symetrický tenzor 2. řádu s kvadratickou formou. Tato skutečnost umožňuje podat názornou geometrickou interpretaci symetrického tenzoru 2. řádu. Rovnice TaßXaXß = ±1 (V.29) představuje rovnici kvadriky (plochy druhého stupně) se středem v počátku. Podle věty o převedení dvojice kvadratických forem na diagonální tvar (uvedené v dalším výkladu) lze vždy k danému symetrickému tenzoru Taß najít takovou ortonormální bázi, že v ní budou všechny nediagonální komponenty nulové. Směry vektorů báze se v tomto případě nazývají hlavními osami symetrického tenzoru. Nyní se vraťme ke konkrétnímu případu tenzoru setrvačnosti Iaß. Tenzorový charakter veličin Iaß je patrný například ze vztahu (V. 16), kde tenzor vystupuje jako kvadratická forma přiřazující vektoru úhlové rychlosti číslo, 114 jímž je dvojnásobek kinetické energie. Jak již bylo řečeno, je Iap tenzor symetrický. Jeho komponenty34 se rovnají / J{y2 + z2)páV -JxypdV v v laß = JxypdV J (x2 + z2) pdV v v — / xzpdV \ v -1 yzpdV v \ — j xzpdV v I yzpdV J {y2 + x2) pdV v (V.30) / Veličiny v diagonále jsou momenty setrvačnosti vzhledem k osám x, y, z, veličiny mimo diagonálu se nazývají deviačními momenty. Podle již vyložené obecné teorie může být tenzor setrvačnosti převeden k hlavním osám, kde / Ix 0 \ lap — \ 0 (V.31) Protože momenty setrvačnosti jsou zřejmě vždy kladné, je kvadratická forma příslušná tenzoru setrvačnosti pozitivně definitivní, představuje tedy elipsoid IXX2 + IVY2 + IZZ2 = 1 . (V.32) Tento elipsoid se nazývá elipsoidem setrvačnosti. Veličiny Ix,Iy,Iz jsou zřejmě převrácené hodnoty kvadrátů velikostí hlavních poloos. Nazývají se hlavními momenty setrvačnosti. Jak se snadno ukáže, je součet dvou hlavních momentů setrvačnosti vždy větší než třetí hlavní moment. (Rovnost může nastat jen v degenerovaném případě rotátoru, tvořeného částicemi rozloženými na přímce, takže jeden z hlavních momentů setrvačnosti je nulový.) Ukažme na závěr, že je-li znám tenzor setrvačnosti vzhledem ke středu hmotnosti, lze již snadno určit tento tenzor vzhledem ke každému jinému bodu, aniž bychom museli znovu počítat integrály (V.30). Označme R polohový vektor středu hmotnosti O* vzhledem ke zvolenému počátku O. Pak mezi polohovými vektory r vzhledem k O a r * vzhledem k O* platí vztah r = R + r* . Po dosazení do (V. 13) bez obtíží dostaneme laß — laß + M (X^XySaß - XaXß) , (V.33) (V.34) 34 čárky ve výrazech (V. 13) vyznačovaly, že veličiny se vztahují k počátku O' pevně danému v tělese. Ve zbývající části tohoto odstavce užíváme vždy jen soustavy spojené s tělesem a proto čárky vynecháváme. 115 kde X7 jsou složky vektoru R. Znamená to, že tenzor setrvačnosti vůči bodu O je součtem tenzoru setrvačnosti vůči středu hmotnosti a tenzoru setrvačnosti hmotnosti M soustředěné ve středu hmotnosti vůči bodu O. Toto často užívané tvrzení se nazývá Steinerová věta. Poznámka: Převedení dvojice kvadratických forem na diagonální tvar. V teoretické fyzice se často využívá obsahu této věty: Nechť T, V jsou dvě kvadratické formy na reálném vektorovém prostoru libovolné dimenze n, přičemž forma T je pozitivně definitní. Pak lze najít bázi, v níž T i V mají současně diagonální tvar. Podáme důkaz této věty, který je zároveň návodem, jak najít transformaci k dané bázi. Připomeňme nejprve, že T (A, B) = TlkAiBk , i, k = 1,..., n , (V.35) kde Tik = Tki = T (cj, ek) , (V.36) přičemž e*, ek jsou vektory kovariantní báze. Obdobné vztahy platí pro formu V. Pro T máme navíc požadavek pozitivní definitnosti, tj. T (A, A) > 0 , pokud (V.37) Poznamenejme, že můžeme chápat jako kovariantní komponenty metrického tenzoru, jehož kontravariantní komponenty jsou dány inverzní maticí Ttk, vzorec (V.35) je pak vyjádřením skalárního součinu. Budeme hledat vektory Ak splňující podmínku (Ví* - ATiJfc) Ak = 0 , (V.38) kde A je zatím neurčeno. Aby rovnice (V.38) měly netriviální řešení, musí platit Det (Vit - ATU) = 0 . (V.39) Rovnice (V.39) se nazývá sekulární rovnicí. Je to algebraická rovnice n-tého stupně a má tedy obecně n kořenů Ai,...,An. Ukažme, že všechny tyto kořeny jsou reálné. Vynásobme proto (V.38) komplexně sdruženými veličinami A1*. Pak lze psát A = (V.40) 116 za předpokladu, že jmenovatel ve vztahu (V.40) není nulový, což však snadno dokážeme. Napišme Ak = ak + ij3k , (V.41) kde ak, j3k jsou reálná čísla. Využitím pozitivní definitnosti (V.37) zjišťujeme, že vskutku platí TikAkAu = Tik (ďcř + > 0 . (V.42) Protože Tik, Vik jsou symetrické a reálné matice, dostáváme, aplikací komplexního sdružení na (V.40), že VikAk*Ai TikA^A* A* = T^k^J = A , (V.43) což jsme chtěli dokázat. Protože kořeny sekulární rovnice jsou reálné, je možné hledat v oboru reálných čísel i komponenty vektorů Ak. Předpokládejme nejprve, že všechny kořeny sekulární rovnice jsou různé. Pak ke každému kořenu určíme jeden vektor A (který může být vynásoben libovolnou konstantou). Vektory příslušné různým kořenům sekulární rovnice nemohou být stejné. Kdyby totiž bylo například (Vik - AiTifc) Ak = 0 a (Vik - \2Tik) Ak = 0 , platilo by i (Xi-X2)TikAk = 0 a vynásobením A1 bychom se dostali do sporu s požadavkem pozitivní definitnosti. Můžeme proto zvolit vektory Aa za vektory nové báze; složky vektorů a tenzorů v této bázi budeme označovat vodorovnou čarou nad příslušným symbolem. V této nové bázi bude Äka = 6k, a = l,...,n. (V.44) Podle vzorce (V.38) musí v této bázi platit Fn-AiTn = 0, V12 - A2Ť12 = 0 , ... V21 - AiT2i = 0 , V22-X2T22 = 0, ... (V.45) coz znamená, ze V11 - AiTn , ... Vnn = XnŤnn , (V.46) 117 Vik = Tik = 0 pro každé i^k . (V.47) Po vhodném normování vektorů Aa mají tedy matice forem T&V tvar / 1 T ik 0 v o 17 vik = í Ax \ A. 0 o An J (V.48) Veličiny Ai,..., An se nazývají vlastními hodnotami formy V vzhledem k formě T, vektory AQ jsou vlastní vektory. Směry vlastních vektorů určují hlavní osy. Komponentám vektorů v bázi určené vlastními vektory se říká normální komponenty. Je zřejmé, že vlastní vektory jsou vzájemně ortogonální vzhledem k formě T, tj. platí = 0 pro a jí 13. (V.49) Může se ovšem stát, že sekulární rovnice má jeden či více násobných kořenů. Pak lze uvažovat takto: Podle základní věty algebry má sekulární rovnice vždy alespoň jeden kořen. Najdeme vlastní vektor A odpovídající tomuto kořenu Ai a budeme se zabývat podprostorem vektorů k němu ortogonálních, tj. takových vektorů B, pro něž platí TikAlBk — 0. V tomto podpros-toru řešíme rovnici (V.38), tj. (Vik ~ XTik)Bk — 0. Ukažme, že vektory VikBk,TikBk leží v tomto podprostoru, tj. že jejich skalární součin s vektorem A je nulový. Vskutku užitím vztahů (V.35), (1.25) a (1.21) získáme TlkAlTklVlmBm = VlmAlBm = XiTlmAlBm = 0 , l r>rn il r>m. TikAlTklTlmBm = TlmÄBm = 0 . T i V tedy působí v rámci uvažovaného podprostoru. Můžeme proto opět najít alespoň jeden kořen příslušné sekulární rovnice, jemu příslušný vlastní vektor a ortogonální podprostor k oběma zatím nalezeným vlastním vektorům. Tak lze postupovat, dokud nevyčerpáme všechny kořeny, takže bez ohledu na násobnost kořenů dospíváme opět k n-tici vlastních vektorů, které jsou vzájemně ortogonální vzhledem k formě T. Jinými slovy matice Tik je v dané bázi diagonální a podle (V.46) musí totéž platit i pro matici Vik-Kořenu sekulární rovnice s násobností k odpovídá k lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární kombinace je opět vlastním vektorem, takže vlastní vektory fc-násobného kořene tvoří podprostor dimenze k. 118 Věta vyslovená v úvodu je nyní úplně dokázána. Ukažme ještě, jak jsou spojeny komponenty libovolného vektoru X1 s jeho normálními komponentami (9Q. Je X = SotAa = Xlei a podle předchozího výkladu Aa = Alaei. Proto 6a = BfX1 , (V.50) kde matice B f je inverzní k matici A1^ udávající i-tou komponentu (3-tého vektoru ve výchozí bázi, tj. B?4 = 6$ . (V.51) Častý je případ, kdy jednou z uvažovaných kvadratických forem je metrický tenzor 3-rozměrného euklidovského prostoru. V kartézských souřadnicích má tento tenzor automaticky diagonální tvar a naše věta tedy říká, že libovolné kvadratické formě v euklidovském prostoru lze dát diagonální tvar ortogonální transformací. Převádění symetrických tenzorů (anebo z geometrického hlediska kvadrik) k hlavním osám je tedy aplikací diskutované věty. Jejím dalším důležitým použitím je teorie kmitů. V.4 Pohybové rovnice Jako pro každou soustavu hmotných bodů platí i pro tuhé těleso první a druhá impulzová věta (1.127) a (1.141), tj. dP ďF = F ' (v'52) tr = D' ^ kde F je úhrnná síla a D úhrnný moment síly působící na těleso. Protože má tuhé těleso 6 stupňů volnosti, stačí šest rovnic (V.52) a (V.53) k určení jeho pohybu. Je-li tuhé těleso podrobeno vazbám, jsou v pravých stranách rovnic zahrnuty i vazebné síly a momenty vazebných sil a rovnice musíme doplnit vazebnými podmínkami, aby mohly být určeny i tyto síly a momenty. Obtížnost řešení rovnic (V.52) a (V.53) závisí na složitosti výrazů pro síly a momenty na pravých stranách. Mohou nastat případy velmi komplikované, například nehomogenní silové pole působící na každý element tělesa či odpor prostředí působící na každý element povrchu, kdy síly a momenty jsou zadány objemovými a plošnými integrály. V řadě případů je však možné zapsat pravé strany rovnic relativně jednoduchým způsobem. 119 Tak je tomu zejména v nej důležitějším případě, kdy se těleso nachází v homogenním gravitačním poli. Pak je F = j pgdV = Mg , (V.54) v D — j (r x pg) dV = R x Mg = R x F , (V.55) v kde R představuje polohový vektor středu hmotnosti. Protože úhrnná hybnost je P = M Ŕ , (V.56) můžeme rovnice (V.52) zapsat jako MR = F . (V.57) Volíme-li počátek S' ve středu hmotnosti, lze podle (V.9) a (V.56) zapsat levou stranu rovnic (V.53) jako d J „ dP dJrot /xrro. — = R x —- + —— . (V.58 dt dt dt v ' Vynásobíme-li (V.52) vektorově zleva R a odečteme od (V.53), dostaneme A 7rot ^V— = Drot , (V.59) dt kde Drot = D - R x F (V.60) představuje moment síly vzhledem ke středu hmotnosti. V případě, že rovnice (V.53) vztahujeme k nehybnému bodu, je podle (V.9) J = JTOt a oz-načíme-li v tomto případě DTOt moment síly vzhledem k nehybnému bodu, platí opět (V.59). Nahradíme proto rovnice (V.53) rovnicemi (V.59) vztahujícími se pouze k rotační složce pohybu. Pro rotační část momentu hybnosti užijeme vzorce (V. 12). Je patrné, že derivaci podle času je výhodné počítat v systému S' spjatém s tělesem, kde komponenty tenzoru setrvačnosti zůstávají konstantní. Musíme si ovšem připomenout vzorec (1.54) pro rozdíl časových derivací vektoru v systémech S a S'. S jeho uvážením zapíšeme (V.59) ve složkách systému S' (nadále vynecháváme čárky a index „rot") jako ^a^~dŕ + ^plp* = Da • (V.61) 120 Osy spjaté s tělesem je vhodné zvolit tak, aby byly hlavními osami tenzoru setrvačnosti. Pak je tenzor setrvačnosti vyjádřen trojicí hlavních momentů (V.31) a rovnice (V.61) tedy dávají Ix^x + (Iz — ly) WyUJz = Dx , ly^y (Ix — Iz) wxojz — Dy , IzCúz -V (Iy - Ix) ojxojy = Dz . (V.62) Tyto rovnice se nazývají Eulerovými dynamickými rovnicemi pro pohyb tuhého tělesa. Představují soustavu diferenciálních rovnic 1. řádu pro určení časové závislosti složek vektoru uj v systému spojeném s tuhým tělesem. Chceme-li popsat pohyb tuhého tělesa pomocí časové závislosti Eulerových úhlů, užijeme vztahy (V.7), čímž převedeme Eulerovy rovnice na diferenciální rovnice 2. řádu pro Eulerovy úhly. Často je výhodné konstruovat pohybové rovnice tuhého tělesa nikoliv způsobem zde popsaným, ale pomocí Lagrangeovy funkce. Klíčovým krokem je přitom napsání rotační části kinetické energie (V. 16) a vyjádření komponent úhlové rychlosti u) pomocí Eulerových úhlů a jejich derivací z Eulerových kinematických rovnic (V.7). Je zřejmé, že toto vyjádření se velmi zjednoduší, v případě, že jde o osově symetrické těleso a použije-li se soustavu souřadnic spojenou s tělesem. V této soustavě souřadnic je jedna z os (obvykle osa z) osou symetrie a pak •rot (sin2ů . Pro průmět vektoru úhlové rychlosti do směru momentu hybnosti platí u J _ Iq/3 UgU(3 _ 2T J J J ' což je konstanta. Zachování veličin (V.64) a (V.65) znamená, že s tělesem spojený elipsoid setrvačnosti proložený koncovým bodem vektoru u; v počátečním okamžiku a upevněný ve středu otáčení se valí po rovině, jejíž normála je dána konstantním vektorem momentu hybnosti J. Dotykový bod elipsoidu a roviny stále udává koncový bod vektoru u;, viz obr. 6. Odtud vidíme, že změna vektoru u; vůči tělesu je periodickým dějem. Vektor u si zachovává svůj směr (v prostoru i v tělese) pouze tehdy, jde-li o směr některé z hlavních os. Pak platí J = 1 u , (V.66) kde I je příslušný hlavní moment setrvačnosti. Dá se rovněž ukázat, že stabilní je rotace pouze okolo osy s největším či nejmenším hlavním momentem setrvačnosti. V případě, že je setrvačník symetrický (dva hlavní momenty setrvačnosti jsou si rovny), velikost vektoru úhlové rychlosti a jeho úhel s vektorem J se nemění. Dochází k jevu tzv. regulární precese osy setrvačníku. 122 Obr. 6: Rotační pohyb volného setrvačníku. J je zachovávající se moment hybnosti, u> je úhlová rychlost tělesa, jejíž průmět do směru J se zachovává. Analytické řešení pohybu volného setrvačníku pomocí Eulerových rovnic (V.61) je v obecném případě dosti komplikované a vyjadřuje se pomocí eliptických funkcí. Zde si uvedeme pouze řešení jednoduchého případu symetrického setrvačníku. Položíme-li Ix = Iy, dostáváme z Eulerových rovnic pro složky úhlové rychlosti v systému spojeném s tělesem cjx = —Qu)y , ujy = —Qlúx , uz = konst , (V.67) kde Í2 = uz^^ . (V.68) Výraz (V.68) udává zřejmě kruhovou frekvenci již zmíněné regulární precese osy otáčení v tělese. Je zajímavé, že k popsanému jevu dochází i u naší Země, avšak její rotační osa se jen velmi málo odchyluje od osy hlavní, proto je její precese zjistitelná jen přesnými astronomickými měřeními. Perioda jevu (asi 14 měsíců) se poněkud liší od periody vypočtené ze vztahu (V.68), v němž se hlavní momenty setrvačnosti určují z geofyzikálních dat a jež činí asi 10 měsíců. Tato diference a značné nepravidelnosti, jimiž je jev doprovázen, svědčí o tom, že se Země svými vlastnostmi znatelně odlišuje od tuhého tělesa. Pohyb setrvačníku vůči inerciálnímu systému, vyjádřený pomocí změny Eulerových úhlů, bychom mohli zjistit na základě (V.7). Zájem o setrvačníkové jevy v poslední době vzrůstá v souvislosti s plánovanými experimenty na družicích a s objevem velmi rychle rotujících astronomických objektů — pulsarů. 123 V.6 Příklady 1. Určete frekvenci malých kmitů homogenního poloválce ležícího na vodorovné rovině, viz obr. 7. Obr. 7: Kmity poloválce na rovině. Poloměr poloválce je r, M jeho hmotnost. Obrázek zachycuje svislý řez poloválcem ve vychýlené poloze,

2g (V.73) (V.74) (V.75) r (9tt - 16) ' 2. Vysvětlete funkci setrvačníkového kompasu (gyroskopu), viz obr. 8. sever Obr. 8: Setrvačníkový kompas. Setrvačníkový kompas je symetrický setrvačník upevněný ve středu hmotnosti, pohyb jeho osy je omezen na rovinu. Nechť je tato rovina vodorovná. Pak situaci znázorňuje obrázek. íi je vektor úhlové rychlosti Země, který neleží v rovině obrázku, f udává zeměpisnou šířku, okamžitý stav setrvačníku popisují úhly i? a ip. Řešeni: Pro úhlovou rychlost setrvačníku vůči inerciálnímu systému platí kde u = íi + w , w — dj + ifik 125 (V.76) (V.77) je úhlová rychlost setrvačníku vzhledem k Zemi. Úhlová rychlost Země je v soustavě dané obrázkem rovna Í2 = —Q cos ip sin ů i + Q sin

o At dt dt v ' (znaménko minus před druhým členem je dáno tím, že jde o úbytek hmotnosti). Zcela analogickou úvahou lze ukázat, že vztah (VI.4) je správný i pro připojovanou hmotnost. Podle 2. Newtonova zákona tedy platí „ dv dm /T7T F=mďľ - ďrVrel ■ (VL5) což je základní rovnice pro pohyb s proměnnou hmotností za působení vnější síly F. Tuto rovnici lze také přepsat jako m~ = F + <ř , (VI.6) dí kde vektor interpretujeme jako reaktivní silu. Fyzikálně význačnými případy aplikace rovnice (VI.5) jsou: a) ^rei = 0 , tj. hmotnost se odlučuje či připojuje beze změny rychlosti, b) vTe\ = —v , tj. odlučovaná či připojovaná hmotnost je v klidu vůči prostředí, v němž se studovaný objekt pohybuje. V případě a) je F - m^- (VI.8) dt a v případě b) je F = ^ir • (VI-9) což jsou tvary formálně analogické 2. Newtonovu zákonu. Rozdíl je ovšem v tom, že ve vztazích (VI.8) a (VI.9) je hmotnost proměnnou veličinou. Často se uvažuje případ, kdy současně dochází k odlučování hmotnosti (relativní rychlostí Virei) i k připojování hmotnosti (relativní rychlostí «2rel)-Odlučovanou hmotnost za čas dt přitom označíme dmi (dmi = _|dmi|), 129 dm2 budiž za tento časový interval připojená hmotnost (dm2 > 0). Pohybová rovnice zřejmě nabude tvaru dv „ dmi dm2 m— = F + Virei—— + V2reľ dí dt dt (VI. 10) a nazývá se rovnicí Meščerského. Proměnná hmotnost „základní částice" v čase í je rovna m(í) = m0 + j y ( dme dí dmi ~ďt dt (VLll) VI.2 Malé kmity Uvažujme o konzervativní soustavě o n stupních volnosti a takové, že pro ni existuje stabilní rovnovážná konfigurace. Zobecněné souřadnice ql zaveďme tak, že jsou rovny nule právě v rovnovážné konfiguraci. Potenciální energii soustavy, která má v rovnovážném stavu minimum, rozložíme v řadu podle mocnin q1 a omezíme se pouze na první tři členy, tj. budeme psát ^MSl^Kw)/9*' '•fc=i--n' (vli2) kde se index „0" vztahuje k rovnovážné poloze, v níž má potenciální energie minimum. Druhý člen na pravé straně (VI. 12) je proto roven nule a zvolí-me-li minimální hodnotu U za její nulovou hladinu, bude U - , (VI.13) kde *ik=*ki= (^i^kj^ ■ (VL14) V případě, že vazby nejsou závislé na čase, má kinetická energie tvar T = , (VI.15) kde 7jjfe jsou funkce proměnných qi. V námi uvažovaném přiblížení budeme výraz (VI. 15) psát ve tvaru T = ľf-čfčf , (VI.16) 130 kde Vik = 7i*(0) (VI.17) jsou konstanty získané jakožto hodnoty funkcí 7^ v rovnovážné poloze. La-grangeova funkce má tedy tvar odtud zjistíme, že dL = dq{ (jJLikqk) - dql {^ikqk) , (VI.18) neboli dL Vikq dL -Kikq dql dql Lagrangeovy rovnice jsou tedy fMkr + «ifc9* = 0 , i = 1,2,...,n (VL19) (VI.20) (VL21) Obdržená soustava rovnic je systémem lineárních a homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Z tvaru těchto rovnic je vidět, že hledané funkce qk{t) lze psát ve tvaru n2, některé z nich se ovšem mohou 131 vzájemně rovnat. Veličiny u>a (a = 1,..., n) se nazývají vlastními frekvencemi soustavy. Jakmile jsou hodnoty uja nalezeny, dosazujeme je postupně do (VI.23) a získáme postupně koeficienty Ak (vlastní vektory). Jsou-li všechny kořeny vzájemně různé, jsou (jak známo z algebry) koeficienty Ak úměrné minorům A^, které odpovídají prvkům (k^ — wa2fJ>ik) v determinantu soustavy (přitom i musí být voleno tak, aby všechny minory nebyly rovny nule, což je v případě různých kořenů splnitelné). Protože fyzikální význam má pouze reálná část výrazů, lze psát obecné řešení soustavy (VI.21) jako V* = Re { 52 AkaCae[ujQt \ = 52 A*@a • (VL25) Tento tvar zůstává v platnosti i v případě násobných kořenů, kdy ovšem již koeficienty A1^ nemají význam minorů (tyto minory jsou rovny nule). Veličiny Ca značí libovolné komplexní konstanty, veličiny Oa jsme zavedli vztahem 0a = Re{cae[u}at} . (VI.26) Z (VI.25) tedy plyne, že časová změna každé ze zobecněných souřadnic představuje superpozici n harmonických kmitů 6>1,...,0n s libovolnými amplitudami a fázemi, avšak s určitými frekvencemi. Hodnoty amplitud a fází se určí z počátečních podmínek. Vraťme se zpět k výrazu qk = 52 Aka@a (VL27) a veličiny &a považujme za nové zobecněné souřadnice. Jsou to normální souřadnice, jak jsme o nich mluvili v poznámce o převedení kvadratických forem na diagonální tvar. V těchto nových souřadnicích mají pohybové rovnice (VI.21) tvar Ša + ua20a = 0 (VI.28) a odpovídající Lagrangeova funkce je a (VI.29) kde ma jsou kladné konstanty. V normálních souřadnicích Oa se tedy původní úloha převedla na řešení soustavy n nezávislých diferenciálních rovnic pro n harmonických oscilátorů. 132 Užití normálních souřadnic rovněž dovoluje převést úlohu o vynucených malých kmitech soustavy s více stupni volnosti k úlohám o jednorozměrných vynucených kmitech. Lagrangeovu funkci naší soustavy, na kterou působí vnější síly, můžeme totiž najít a zapsat ve tvaru L = L0(VI.30) k kde Lq je Lagrangeova funkce „volných" kmitů a Fk(t) jsou působící vnější síly. Po zavedení normálních souřadnic Qa pro ni obdržíme L=\j2 - "a2Qa) + £ fa(t)Qa , (VI.31) a a kde jsme zavedli označení (VI.32) Odpovídající pohybové rovnice jsou opět jednoduché Qa+UQ1Qa = fa(t) . (VI.33) Připomeňme, že vzhledem ke kinetické energii, která zde hraje roli metrického tenzoru, jsou souřadnice 0a souřadnicemi ortogonálními a jejich zvláštní případ Qa je obdobou souřadnic kartézských, což naznačujeme dolní polohou indexu. VI.3 Těžký symetrický setrvačník Těžký setrvačník je tuhé těleso v homogenním gravitačním poli upevněné mimo střed hmotnosti. Studium pohybu tohoto setrvačníku si zjednodušíme předpokladem, že má osu symetrie a že je upevněn v bodě ležícím na této ose. Zvolíme počátek v pevném bodě, osu z orientujeme kolmo vzhůru a osu z' položíme do osy symetrie tělesa, R představuje vzdálenost středu hmotnosti od počátku, moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie tělesa označíme A a vzhledem k ose x' (resp. y') B. Užijeme Lagrangeovy funkce. Využitím vztahů (V. 16) a (V.9) dostáváme pro kinetickou energii T = i \b (sin2 ů ip2 + i?2) + A (cos ů (p + )2j , (VI.34) 133 zatímco potenciální energie je V = jpgz áV = MgRcosů . (VI.35) v K Lagrangeově funkci L = T — V lze najít první tři integrály. Prvním je integrál energie E = - ib (sin2ů ip2 + é2) + A (cost? tp + -ijíf + MgRcosů, (VI.36) dalšími jsou zobecněné hybnosti příslušné cyklickým souřadnicím ip a (p, které označíme jako p a v. Platí v = A (cos $ if + ipj , p — B sin2 ů

0 . (VI.45) Podle (VI.43) v bodech —1,1 je však / (£) < 0. Aby bylo možné splnit (VI.45), musejí v uzavřeném intervalu mezi —1 a +1 ležet dva kořeny rovnice / (£) = 0, jež označíme £i, £2- Příslušné úhly ů\ a $2 udávají hranice, mezi nimiž se pohybuje osa tělesa z'. Řešení rovnice (VI.39) lze zapsat jako t - t0 = í -~=~ , ů = arccos ( . (VI.46) / v/ vs) Po uplynutí doby 2 /" -7=|== (VI.47) P v7R) se vrací úhel $ ke své dřívější hodnotě. Ze vztahů (VI.40) a (VI.41) je vidět, že dřívějších hodnot nabývají i ip a ip. To znamená, že dochází k opakování děje s úhlem (p posunutým o veličinu V závislosti na tom, zda výraz p — v intervalu mezi £1 a £2 nemění či mění znaménko, je přírůstek úhlu monotónní anebo dochází k obdobím „retrográdního" pohybu. Vcelku lze říci, že pohyb osy těžkého setrvačníku je složen z precese (změny úhlu (p) a nutace (změny úhlu $). Je-li nutace malá (úhly $1 a $2 jsou si blízké), mluvíme o pseudoregulární precesi. K obdobnému jevu dochází u naší Země. Rotace Země vyvolává její zploštění. Sklon zemské osy (úhel ti = 23,5°) vzhledem k ekliptice (rovině jejího oběhu kolem Slunce) pak působí, že Slunce v dlouhodobém průměru působí na Zemi momentem síly, který je kolmý jak na normálu k ekliptice, tak i na zemskou osu, a který je úměrný siní?, viz obr. 9. 135 Obr. 9: Působení Měsíce a Slunce na rotující Zemi. Moment síly vzniká působením Měsíce a Slunce v těžištích „přebytečných" hmot, jež jsou dány zploštěním rotující Země. Měsíc i Slunce si vzhledem k dlouhé časové periodě precesního jevu můžeme představit rozmazány do „pneumatik" obklopujících Zemi zhruba v horizontální rovině. Z formálního hlediska je to stejná situace jako v případě těžkého setrvačníku, moment se snaží „vzpřímit" zemskou osu a ta „uhýbá". Obdobně jako Slunce působí na Zemi i Měsíc. Protože rovina oběhu Měsíce kolem Slunce není shodná s ekliptikou (odchylka asi 5°), není výsledný jev totožný s pseudoregulární precesí, jaká nastává u těžkého setrvačníku, jde však rovněž o precesi zemské osy doprovázenou malou nutací. Mluvíme o astronomické precesi, která se projevuje změnou polohy pólu otáčení na obloze a pohybem jarního bodu (bodu, v němž se Slunce v době jarní rovnodennosti nachází mezi souhvězdími). Perioda tohoto jevu je asi 26 000 let (platónský rok). Pohybové rovnice nesymetrického těžkého setrvačníku se zdařilo efektivně integrovat jen za jistých speciálních předpokladů. Případy integrace pohybových rovnic tuhého tělesa získané Lagrangem a Eulerem byly dlouho jedinými známými. Jiný a nový způsob integrace pochází od S. Kovalevské z 80. let minulého století. Výsledky Kovalevské tuto kapitolu mechaniky uzavřely. VI.4 Srážky částic Pozorujeme-li srážku dvou částic v laboratoři, je tomu obvykle tak, že jedna z částic je do srážky v klidu v soustavě souřadnic pevně spojené s laboratoří. Tato soustava se nazývá laboratorní, hovoří se o ní jako o L-soustavě. Vedle L-soustavy se při studiu srážek užívá ještě tzv. těžišťové soustavy, T-sou-stavy, která je pevně spojena se středem hmotnosti srážejících se částic. 136 V T-soustavě je úhrnná hybnost srážejících se částic rovna nule. Částice před srážkou a veličiny k nim se vztahující označíme indexy 1,2, částice po srážce indexy 3,4. Nechť je před srážkou v L-soustavě druhá částice v klidu a první má rychlost v$ (je to tedy relativní rychlost částic před srážkou). Rychlost T-soustavy vůči L-soustavě je rovna V =———vQ . (VI.49) mi + m2 Všimneme si nejprve nepružných srážek. Nepružnou srážkou se rozumí taková srážka, při které část kinetické energie srážejících se částic přechází na vnitřní stupně volnosti. Budeme uvažovat obecný případ, kdy srážkou dojde k přestavbě vnitřní struktury (proběhnou například jaderné reakce), takže částice po srážce mohou mít jiné hmotnosti, než měly před srážkou. Rychlost první částice vzhledem k T-soustavě před srážkou je m2v0 vit = vq — V =- (VI. 50) m\ + 7712 a pro rychlost druhé částice v této soustavě dostáváme v2t = ~ V =--■-, (VI.51) takže platí mi vit + 772.2 í^t = 0 , (VI.52) jak musí být. Kinetická energie částic v T-soustavě je rovna mim2 2 MoV nn rQN = 07-T-;vo = —7T- , VI.53) kde jsme redukovanou hmotnost fi označili indexem proto, že se podle předchozí úvahy může v důsledku srážky změnit. V důsledku například probíhající reakce se uvolní či pohltí jistá energie Q, tato energie „přejde" z vnitřní energie (odpovídající vnitřním stupňům volnosti) v kinetickou energii částic (Q > 0) nebo naopak z kinetické energie částic v energii vnitřního stavu (Q < 0). S ohledem na energii Q má zákon zachování energie tvar ^f + Q = if, (VI.54) kde = m^H_ 7713 + 7714 137 je redukovaná hmotnost částic po srážce, v značí jejich novou relativní rychlost. Vektory Vzt a *>4t jsou rychlosti obou částic po srážce a máme pro ně m3v m3v V3T = -;- , v4T =--■- , (VI.56) 7713 + 1714 7713 + m\ takže opět platí mi^3T 2 m4viT 2 pv2 m3V3T + m4v4T = 0 ,---+---= — . (VI.57) označímo Z předchozího textu je zřejmé, že k určení vektorů v^t a t>4T je třeba znát vektor v a hmotnosti 7723,7724. Vrátit se zpět k laboratorní soustavě je jednoduché. Rychlosti obou částic po srážce zde budou V3 V3T ^ v m3 + m4 ^ mi +777,2 ' , , V4 = V4T + v = —mr + mro . 4 41 ^ Í7Í3 4- 77i4 ^ 7711 + 1T12 Podle klasické fyziky by se měl součet hmotností částic před srážkou rovnat součtu hmotností po srážce. V důsledku relativistických jevů může být část hmotnosti při jaderných reakcích předána záření, většinou však rozdíl činí ne více než desetiny procenta původní hodnoty a lze proto i v takovýchto případech zaměnit 777,3 -f 777,4 za m\ 4- 777,2. Výpočty se zjednoduší, budou-li srážky pružnými, bude Q = 0 a hmotnosti částic se nezmění. Ze vztahu (VI.54) potom plyne, že vq = v, takže se velikost relativní rychlosti částic nezmění. Vektor v nechť je natočen vzhledem k vektoru vq o úhel £. Osu x položíme do směru vektoru vo a osa y budiž v rovině určené vektory vq a v. Zřejmě platí vx = vq cos £ , vy = vq sin £ (VI.59) a pro složky rychlosti V3 a v4 dostáváme _ (mi + 7772 COs£) Vq _ 7712^0 SÍn£ V3x ~ mi + m2 ' V'MJ ~ m i 4- ra2 — mi (1 ~ cos£) _ ttii-uq sin£ V4x ~ 7711 -|- 7712 ' V4y ~ 7711 + 7712 (VI.60) Pomocí těchto vzorců lze spojit úhel odchýlení prvé částice při srážce v laboratorní soustavě, který označíme 6, s úhlem £ (tj. s úhlem jejího odklonu v těžišťové soustavě) vztahem tgg=^= m2sin{ V3x mi 4- 7712 cos £ 138 Druhá částice, která se v laboratorní soustavě nacházela před srážkou v klidu, bude mít po srážce rychlost, jejíž směr je určen vztahem V4Z 1 — cos £ 2 2 Znaménko „minus" užité při zavedení funkce tg#' bylo vybráno proto, že projekce v$y a v$y mají opačné znaménko. Vzorec (VI.61) bude ještě jednodušší v případě srážky dvou stejně hmotných částic. V tomto případě dostaneme, že tg0=í|í, 0 = |, 0 + 0' = f ■ (VL63) Částice se rozletí pod pravým úhlem a úhel odchýlení v laboratorní soustavě je roven polovině úhlu odchýlení v těžišťové soustavě. Energie, kterou získá druhá částice při srážce, se rovná r. m2 / 2 , 2\ rn2mi2 (1 - cos f) vo2 ftnfi,v #4 = -7T (U4x + V4y Z) = -j-1--f1- • (VI.64) ^ v ; (mi + rn2) Její poměr k energii prvé částice je E4 2m 1777,2 (1 — cos £) Eo (mi + ^2)2 Bude-li mi = 777,2, obdržíme odtud (VI.65) |i = sin2 f = sin2 0 (VI.66) a tedy §• = cos2 0 . (VI.67) Pro čelní srážku, kdy £ = 180°, je E$ = 0 a E4 — Eo, jak je možné očekávat. Všimneme si poněkud podrobněji pružných srážek v T-soustavě. Na centrální pole nechť z nekonečna nalétá částice s hmotností jjl, viz obr. 10. Její trajektorii charakterizujeme záměrnou vzdáleností p a polárním úhlem 0 . (VI.95) 2p,rz Rovnost přitom nastává zřejmě v bodech obratu. V případě íinitního pohybu existují dva takové body obratu, ro = rmjn a ro = rmax, rmjn < r < rmax- Finitní pohyb se tedy děje v mezikruží omezeném hodnotami rm\n a rmax- Za čas, který odpovídá změně r právě od rmin do rmax> se rádius-vektor otočí o úhel T"max 0 = 2 f o t Jár (VI.96) 9 J r2^2p(E-Ue{) K ] '"min 143 Odpovídající trajektorie však obecně nemusí být uzavřenou křivkou. Pro uzavřenou křivku musí být úhel 4> racionálním násobkem čísla 2n. Tato situace nastává v případě, kdy U(r) je úměrno -, a v případě, kdy U(r) je r úměrno r2. Je-li oblast možných hodnot proměnné r omezena pouze podmínkou t > r*min, hovoří se o infinitním pohybu částice, částice se pohybuje z nekonečna a do nekonečna se vrací. Vraťme se nyní ke vztahu (VI.95), který přepíšeme na tvar r2U{r) 4- < Er2 . (VI.97) Znaménko rovnosti neuvažujeme, neboť nás zajímá situace, kdy bod může spadnout do středu. Je patrné, že proměnná r může nabývat hodnoty r = 0 pouze při splnění podmínky r2U(r)\^0 < ~ ■ (VI.98) a J2 Odtud plyne, že U(r) se musí při r —> 0 blížit k — oo buď jako —^ s a > —, nebo úměrně —— s n > 2. d) Zvláště důležitým příkladem je Keplerův problém, kdy potenciální energie má tvar U(r) = -- , (VI.99) r přičemž a > 0 odpovídá vzájemnému přitahování a a < 0 vzájemnému odpuzování. V prvém případě (a > 0) má efektivní potenciální energie Uef(r) tvar křivky z obr. 11. V případě, kdy bude E > 0, jde zřejmě o pohyb infmitní, bude-li E < 0, půjde o pohyb finitní. Konkrétní tvar trajektorie se zřejmě získá dosazením U(r) = -2 r do (VI.94) a provedením naznačené integrace. Výsledkem je vzorec P = l + ecosy? , (VI.100) r položíme-li y>o = 0. Přitom bylo zavedeno označení p=^, e = ,/l + ^. (VI.101) 144 r Obr. 11: Závislost efektivní potenciální energie na vzdálenosti těles. Složením potenciální energie gravitační síly a odstředivé síly v neinerciálním systému dostáváme efektivní potenciální energii, jejíž graf má minimum odpovídající stabilnímu kruhovému pohybu. Je to rovnice kuželosečky s ohniskem v počátku souřadnic. Veličina p je parametrem a e excentricitou této kuželosečky. Bod s tp = 0 je bod nejbližší k centru, nazývá se periheliem této trajektorie. Bude-li (při a > 0) platit, že E < 0 , 0 < e < 1 , (VI.102) půjde o elipsu, bude-li však e = 0, půjde o kružnici. Bude-li (při a > 0) E > 0 , (VI.103) bude e > 1 a trajektorií bude větev hyperboly bližší k ohnisku. Bude-li (při a > 0) E = 0 , (VI.104) bude e = 1 a trajektorií je parabola. V tomto případě infinitního pohybu se rychlost unikající částice bude asymptoticky blížit k nule. Bude-li a < 0, bude energie částice pouze kladná a pohyb vždy bude infinitní, trajektorií bude (protože se jedná o odpudivou sílu) vzdálenější větev hyperboly. Konkrétnější rozbor včetně vyvození Keplerových zákonů lze již přenechat každému čtenáři. 145 VI.6 Příklady 1. Odvoďte rovnici určující časovou závislost rychlosti rakety při působení výlučně reaktivní síly za stálé relativní rychlosti vyhořelého paliva. Řešení: Raketa se potom bude pohybovat přímočaře a pohybovou rovnicí (VI.6) je dv dm m— = -vrd-^- ■ (VI.105) Po integraci odtud dostaneme t v =v0- [ —dm . (VI. 106) J m Bude-li reaktivní rychlost vie\ konstantní, bude mp m{t) v =VQ + VrelinJH^ , (VI.107) což je hledaná Ciolkovského rovnice. 2. Zkoumejte charakter pohybu v centrálním poli í7(r) = ---4- (VL108) Řešení: Energií částice o hmotnosti m a momentu hybnosti J je E = l-mř2 + JL; - - - 4 (VL109) 2 2mr2 r r3 v 1 a pro efektivní potenciální energii tedy platí = Ä - 7 - Ž • (VU10) pricemz lim Ue{(r) = -oo , lim Ueí = 0 . (VI.lll) i—►() r—>oo Rovnice ř7ef (r) = 0 má kořeny 32 ± \ -As-laß n2 = 2m V 4m2- ^ m) 146 • d£/ef(r) . , , „ a rovnice —;-= 0 ma kořeny dr Íl±W^-l2a/J ri2 =-L__-. (VI. 113) Sledujeme-li polohu nulových bodů a extrémů funkce Uef (r), zjišťujeme, že j4 v závislosti na hodnotách parametru —~ nastává pět kvalitativně odlišných m případů. Můžeme je konkrétně popsat, získáme-li tvar křivek ř/ef(r), což lze pro konkrétní hodnoty parametrů učinit pomocí počítače. Na základě postupu uvedeného v textu lze určit i příslušné trajektorie. 3. Dokažte platnost viriálové věty36 Ť=~\£F^a (VL114) a pro střední hodnotu kinetické energie T systému částic, jehož pohyby se dějí v omezené oblasti prostoru s omezenými rychlostmi. Dále dokažte, že je-li potenciální energie U systému homogenní funkcí souřadnic fc-tého stupně37, je T=^U. (VI. 115) K jakému výsledku vede viriálový teorém pro newtonovskou gravitační interakci? Při důkazu užijte Eulerovy věty o homogenních funkcích Y,JTxi = kf- (VL116) i °Xi Řešeni: Protože kinetická energie T je homogenní, kvadratickou funkcí rychlostí, platí podle Eulerovy věty (VI. 116) £g»0 = 2r (vi.n7) 36 Viriálem se nazývá veličina na pravé straně (VI. 114) 37 Připomeňme definici homogenní funkce k-tého stupně f(axi,.. .,axn) = ak f(xi,... ,x„). 147 čili 2T = 52 p*Va = ^ 52 p°-r°- ~ 52 raPa = = ft52p*r"-52r»F"- (VL118) Aby platila viriálová věta, musí být střední hodnota prvního členu na dF pravé straně (VI.118) rovna nule. To však skutečně platí, je-li / = —, lze pro časovou střední hodnotu funkce / psát t t 7 = lim - í f{t)dt = lim - í ^fdt = j t->00 r J t->oo t J dt = ]im F{r) - F(0) = Q t->oo T Pokud se pohyb děje v omezené oblasti prostoru omezenými rychlostmi, je F(t) konečná veličina a příslušná limita je rovna nule. Jestli máme pro dU silu výraz Fa = — ——, plyne užitím Eulerovy věty v případě gravitační ora energie, kdy k = — 1, 2Ť=-U. (VI. 120) 4. Vyšetřujte malé kmity dvou matematických kyvadel vázaných pružinou o zanedbatelné hmotnosti, viz obr. 12. Řešení: Nejdříve je třeba najít výraz pro potenciální energii U; v rovnovážné poloze ji budeme klást rovnu nule. Obdržíme, že U = mgl (1 — cos cpi) + mgl (1 — cos i = de^ , & = C2éut - Sekulární rovnice je mgl + kb2 — ml2u2 —kb2 —kb2 mgl + kb2 — ml2u)2 musí tedy být splněna podmínka (mgl + kb2 - ml2u2)2 - (-kb2f = 0 Vlastní frekvence tedy jsou 0 }q nk b2 l ml1 2 x.4 (VI.125) (VI.126) (VI.127) (VI.128) (VI. 129) Do rovnice odpovídající (VI.23) dosadíme za u> čtverec první frekvence u\ Rovnice nabude tvaru kb2Ci-kb2C2 = 0, -kb2Ci+kb2C2 = 0. 149 (VI.130) Její řešení je jednoduché d = C2 = ci = aieiÔ1 , (VL131) kde ci je libovolní komplexní konstanta, a\ je její modul, S\ je její argument. Reálné části řešení odpovídající ui tedy jsou Vi^ = ai cos (^í* 4- íi) , <£>2^ — ai cos + <^i) • (VI.132) Stejně musíme nyní postupovat pro frekvenci u>2- Pro reálné části obdržíme 2Í + £2) j (VI. 133) takže obecné řešení má tvar ipi — a\ cos (u)\t + 61) 4- <22 cos (u>2£ + ^2) , (VI.134) (/32 = rn vně koule , V . (VI. 140) U(r) = oo pro r < ro uvnitř koule . Ať je kinetická energie rozptylující se částice jakákoliv, nemůže proniknout do oblasti r o At át Ať-*o Aí dŕ v ' kde limitní přechod je abstrakcí, která je fyzikálně uskutečnitelná jen v jistém přiblížení a znamená vlastně nahrazení fyzikálně nekonečně malých veličin veličinami nekonečně malými ve smyslu matematické analýzy. Tato abstrakce je základním krokem k vytvoření matematického modelu kontinua, v němž nadále pracujeme s fyzikálně nekonečně malými částicemi, jako by to byly hmotné body o přesně určené poloze v přesně určeném okamžiku. V analogii s mechanikou soustavy hmotných bodů, kde pohyb soustavy byl určen zadáním časové závislosti průvodičů, můžeme proto v mechanice kontinua popsat pohyb pomocí závislostí r = r{r0,t) (VII.2) čili v souřadnicích x = x(x0,y0,z0lt) , y = y(xo,yo,z0,t) , z = z {x0,y0, z0,t) , (VII.3) anebo stručněji38 Xi = xí {x0i,t) , (VII.4) kde ro = (xo, yo,zo) udává počáteční polohy částic kontinua spojitě vyplňujících jistou oblast prostoru. Veličiny xqí se nemění s časem a hrají roli 38 Latinských indexů užíváme v každé části knihy pro souřadnice 3-rozměrného prostoru, který má pro danou partii základní význam. V mechanice systému o konečném počtu stupňů volnosti to byl konfigurační prostor daného systému, na odlišení jsme proto užívali pro 3-rozměrný euklidovský prostor řeckých indexů. Při výkladu nerelativistické mechaniky kontinua vystačíme s 3-rozměrným euklidovským prostorem a budeme proto jeho souřadnice značit latinskými indexy. 156 „spojitého indexu" označujícího jednotlivé častice kontinua. Nahrazují tak diskrétni index, kterým jsme odlišovali hmotné body v první části knihy. Kontinuum je tedy soustavou o nekonečném počtu stupňů volnosti, což vede k tomu, že matematický aparát mechaniky kontinua je podstatně složitější než matematický aparát mechaniky soustavy hmotných bodů či tuhých těles. Rychlostmi a zrychleními částic kontinua jsou podle (VILI) vztahy áxi (dxi\ dví (d2Xi\ ,,m,v Tyto veličiny závisí na počátečních polohách a na čase. Uvedenému popisu pohybu kontinua se říká Lagrangeův. Informace o pohybu jednotlivých částic, obsažená v Lagrangeově popisu, není mnohdy pro řešení konkrétních problémů potřebná. Budeme proto často užívat Eulerova popisu, který udává, jak se mění rychlost kontinua v prostoru a čase. Je tedy dáno rychlostní pole v = v (r,t) čili ví = v{ (xj,t) . (VII.6) Protože polohy částic kontinua r se obecně mění s časem, je pole zrychlení kontinua (VILI) ávi dvi dvi dxj dv{ dví ai=át=-ät+ärj-ďt=-dt+tejv'' (VIL7) což můžeme po zavedení označení V = (-J-, \ zapsat ve vekto- \ox\ 0x2 0x3/ rovem tvaru jako a = ^ = ^ + {vV)v' (VIL8) Zrychlení částice kontinua dané totální derivací rychlosti podle času se tedy obecně liší od změny rychlosti v daném místě vyjádřené parciální derivací. Eulerův popis je možné získat z popisu Lagrangeova, zderivujeme-li vztahy (VII.3) podle času a poté v nich vyjádříme xqí pomocí x{,t užitím inverzních vztahů k (VII.3). Naopak z Eulerova popisu získáme Lagrangeův dxi popis integrací rovnic Ví = -3— za počátečních podmínek x{ = xqí. dt Křivky, jejichž tečné vektory mají směr rychlostního pole, nazýváme proudnicemi. Proudnice jsou totožné s trajektoriemi částic pouze pro případ stacionárního proudění, kdy 157 VII.2 Deformace kontinua Jak již víme, tuhé těleso koná obecně translační a rotační pohyb. Kontinuum se může navíc deformovat, tj. měnit svůj tvar a objem. Pro posouzení elastických vlastností kontinua je potřebné oddělit tuto část jeho pohybu od pohybu celkového. Obr. 14: Rychlostní pole v v kontinuu. Rychlosti v bodech r, r' se obecně liší. Obdobné bychom mohli znázornit i pole posunutí u. Porovnejme proto rychlosti v a v' kontinua ve dvou blízkých bodech r a r' = r + Ar, viz obr. 14. Omezíme-li se na lineární členy Taylorova rozvoje, platí dv ■ ví = ví + j^-Axj ■ (VII.10) OXj dv' Rozkladem matice —— na část symetrickou a antisymetrickou dostáváme dxj W = ví + rjijAxj + UijAxj , (VII.ll) kde Vij = 2 Kj + > (VII. 12) "ij = \ {"U ~ • (VH.13) Pro stručnost zde označujeme parciální derivaci podle souřadnice čárkou a indexem této souřadnice, tj. klademe39 •;=£ ■ 39 Tohoto výhodného označení budeme v dalším výkladu často využívat. 158 Všimněme si nejprve posledního členu na pravé straně (VILU). Lze jej zapsat ve vektorovém tvaru jako i rot v x Ar = w x Ar (VII.15) a odpovídá tedy otáčení kontinua s úhlovou rychlostí u> = ^ rot v. Pohyb, při němž je rot v ^ 0, se nazývá vířivým. Protože první člen v (VIL 10) představuje zřejmě translační pohyb (stejná rychlost ve všech místech), dospíváme k rozkladu rychlostního pole na část translační, rotační a deformační. Při čisté deformaci je Vi^rjikAxk, (VII.16) veličiny nazýváme složkami tenzoru rychlosti deformace. Tento tenzor je zřejmě symetrický a vytváří v prostoru tenzorové pole, které se obecně mění v čase. Pro součet jeho diagonálních členů platí •nu = div v . (VIL 18) Uvažujme nyní o kontinuu, které se působením vnějších sil vychýlilo ze své původní rovnovážné polohy, takže každý jeho bod se posunul o vektor u. Pole vektoru u, které se obecně mění v čase, nazýváme polem posunutí. Abychom z něj oddělili část způsobenou deformací, budeme opět uvažovat situaci z obr. 14, v němž však nahradíme rychlostní pole v polem posunutí u (r, t). Deformační část posunutí se vyznačuje tím, že se při ní mění vzdálenosti mezi jednotlivými body kontinua (zatímco při translačním a rotačním pohybu se zachovávají). Porovnejme kvadrát vzdálenosti dvou blízkých bodů kontinua po deformaci a před deformací. Protože v prvním přiblížení Taylorova rozvoje platí du Ui' = Ui + dŕAxj ' (VIL 19) je 9 (Ar + u' - u) - (Ar)2 = 2e^AxíAxj , (VIL20) kde eij = 2 (Ui>i + U3,i + uk,iUk,j) (VII.21) 159 jsou složky symetrického tenzoru deformace tvořícího v prostoru pole, které se obecně mění v čase. Analogicky k (VILU) lze proto psát Ui = «i + eijAxj + ij není již matice (pij antisymetrická. Často se ovšem setkáváme s případem, kdy se pole posunutí mění v prostoru jen pomalu, takže hodnoty derivací v (VII.21) jsou malé ve srovnání s jedničkou a jejich kvadrát lze zanedbat. Pak mluvíme o tenzoru malé deformace (VIL24) Nadále se budeme zabývat jen tímto případem a slovo „malé" budeme obvykle vynechávat. Poznamenejme, že rychlost a zrychlení částic deformovaného kontinua počítáme jako dui (dui \ ávi f d2Ui Xi protože nyní se souřadnice Xi vztahují k rovnovážné poloze, která se s časem nemění. Pro malé deformace je tedy tenzor rychlosti deformace dán časovou derivací tenzoru deformace Vysvětleme geometrický význam tenzoru deformace. Mějme v daném bodě kontinua ortonormální trojhran ei, e2, €3. Deformací se každý bod kontinua o poloze Axí posune do bodu Axi+EijAxj (VIL 27) a vektory e-^eí, e2def, e3def vytvoří trojhran o komponentách / 1 + £11 £12 £13 \ £12 1 + £22 £23 V £13 £23 1 + £33 ] (VII.28) 160 Jde-li o malou deformaci, jsou všechny komponenty eik malé oproti jedničce. Vidíme, že diagonální komponenty tenzoru deformace mají význam relativních prodloužení ve směru souřadnicových os a nediagonální komponenty určují odchýlení těchto os od původního směru. Trojhran v původně jednotkovém objemu má po deformaci objem rovný determinantu matice (VII.28), tedy (po zanedbání členů vyššího řádu) je relativní přírůstek objemu ^ = en = div u . (VII.29) Důležitý je rozklad tenzoru deformace £ij = (^ij ~ T^Sijčaa^ + ^ij^aa • (VII.30) První člen má nulovou stopu (součet diagonálních prvků) a odpovídá proto deformaci beze změny objemu — čistému smyku. Tento člen se nazývá de-viátorem příslušného tenzoru. Druhý člen má nulové nediagonální prvky a odpovídá proto čistě objemové deformaci. Při řešení praktických problémů teorie pružnosti se často setkáváme s úlohou rozřešit rovnici (VIL 24) vzhledem k neznámým složkám posunutí Ui. Tato úloha není řešitelná pro libovolný tvar Eíj, ale vyžaduje splnění rovnic kompatibility tilmtjrsS £}ľ = 0 • (VII.31) Přímým výpočtem lze ověřit, že tyto rovnice plynou z definice (VII.24). Důkaz, že rovnice kompatibility jsou také postačujícími podmínkami pro řešitelnost dané úlohy, najde čtenář v rozsáhlejších učebnicích mechaniky kontinua. VII.3 Tenzory a tenzorová pole Jak jsme viděli v předchozích odstavcích, hrají v mechanice kontinua významnou úlohu časově proměnná vektorová a tenzorová pole, z nichž můžeme pomocí algebraických a diferenciálních operací vytvářet pole další. Než přejdeme k dynamice kontinua, bude proto vhodné seznámit se s tenzorovým počtem poněkud podrobněji. Neklademe si ovšem za cíl nahradit speciální literaturu tomuto předmětu věnovanou. Čtenář s hlubším zájmem o teoretickou fyziku nepochybně dříve či později dospěje k nutnosti si své znalosti doplnit a prohloubit. Je vhodné upozornit, že existuje řada rozdílných přístupů 161 k tomuto tématu, které jsou sice matematicky ekvivalentní, ale značně se liší stylem, postupem i použitou symbolikou. Každý z těchto přístupů má své specifické přednosti i nevýhody a je proto vhodné, když se fyzik neváže na přístup jediný, ale osvojí si postupně schopnost vidět jejich společnou podstatu a dovede si volit nejvhodnější formulaci podle vlastních potřeb. Tenzor 2. řádu jsme definovali v V.3. Rozšíření definice na libovolný řád je zřejmé: Tenzorem p-tého řádu a dimenze n nazveme multilineární zobrazení z kartézského součinu p n-rozměrných vektorových prostorů40 do prostoru reálných čísel. Tedy tenzor p-tého řádu přiřazuje uspořádané p-tici vektorů R\, ... , Rp číslo T (Ri,Rp), přičemž T (..., aA + 62?,...) =oT(...,A,...) + 6T (..,£,...) (VIL32) pro libovolný argument. Tenzor lze tedy chápat jako „černou skříňku" s p vstupními kanály, které zaplníme vektory a na výstupu dostáváme číslo, přičemž platí uvedený vztah multilinearity. Proto je tenzor plně určen svým působením na vektory báze, tj. svými komponentami v dané bázi. Abychom se vyhnuli komplikovanému značení tenzoru libovolného řádu, vezměme konkrétní případ tenzoru 4. řádu. Jeho komponenty jsou T(ei,ej,ek,ei) = Tijkl , (VII.33) kde ei je n-tice ortonormálních vektorů. Změní-li se báze podle vztahu e'k = ckiei, (VII.34) transformují se komponenty tenzoru podle vztahu Zobecnění na tenzory libovolného řádu je zřejmé, stejně jako fakt, že vektory jsou tenzory 1. řádu. Za tenzory 0. řádu můžeme považovat čísla — v této souvislosti se nazývají skaláry. Tenzory stejného řádu lze sčítat tak, že sečteme jejich komponenty, čímž obdržíme nový tenzor. Například součtem tenzorů 3. řádu U a V je tenzor téhož řádu Z, přičemž o komponentách platí %ijk = Uijk + Vij k ■ (VII.36) 40 Většina dále uvedených výsledků platí pro tenzory libovolné dimenze, v této části je ovšem potřebujeme pro 3-rozměrný prostor. (VII.35) 162 Tenzory libovolných řádů p a q lze násobit tak, že znásobíme jejich komponenty a dostaneme tak tenzor řádu p+q. Například součinem tenzoru 2. řádu M a tenzoru 3. řádu N je tenzor 5. řádu O, přičemž o komponentách platí Oijklm = MijNkim . (VII.37) Tenzory řádu p > 2 je možné zúžit, čímž dostaneme tenzor řádu p — 2. Úžení se provede sečtením přes vybranou dvojici indexů. Například zúžením tenzoru 4. řádu R v prvním a čtvrtém indexu dostáváme tenzor 2. řádu 5, přičemž o komponentách platí Sij — Raija • (VIL 38) Z relací ortonormality CikCjk = CkiCkj = Sij (VII.39) a z transformačního vztahu typu (VII.35) vyplývá, že výsledek úžení nezávisí na použité bázi, takže definice úžení je korektní. Speciálně důležitým tenzorem 2. řádu je tenzor o komponentách ôij, který hraje úlohu metrického tenzoru. Jeho komponenty jsou ve všech ortonormálních bázích stejné, jde tedy o tzv. izotropní tenzor. Vzhledem k ortonormálním transformacím s determinantem rovným jedné je izotropním tenzorem také Levi-Civitův tenzor e^-*. Je-li determinant roven minus jedné, násobí se pravá strana transformačního vztahu typu (VIL35) navíc tímto determinantem, tj. dojde ke změně znaménka. Takové veličiny se nazývají pseudotenzorem, popř. pseudovektorem, pseudoskalárem. Rozdíl mezi tenzory a pseudotenzory je důležitý při studiu chování fyzikálních veličin vzhledem k operaci zrcadlení. Často se setkáváme s kombinací operace tenzorového součinu a operace úžení. Příkladem oe působení tenzoru na vektory, jimiž jsme tenzor definovali. Například tenzor 2. řádu o komponentách definuje bilineární formu TíjAíBj, ale také kvadratickou formu TíjRíRj a dvojici lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory zadanými v komponentách jako TíjRj a TíjRí, jakož i lineární zobrazení prostoru tenzorů 2. řádu do prostoru reálných čísel TíjSíj. Fyzikálně a geometricky významné tenzory nebývají vždy zaváděny podle obecné definice pomocí multilineární formy, ale pomocí některého z takovýchto přidružených zobrazení. Například tenzor setrvačnosti vystupuje jako kvadratická forma přiřazující vektoru úhlové rychlosti kinetickou energii rotace, popř. jako lineární zobrazení přiřazující této úhlové rychlosti vektor momentu hybnosti, jak uvádíme v V.2. V mechanice kontinua se setkáváme s dalšími příklady tohoto druhu. 163 Je-li tenzor (vektor, skalár) dán v každém bodě euklidovského prostoru, přičemž jeho komponenty jsou spojitými funkcemi souřadnic, mluvíme o tenzorovém poli. Sečítání, násobení a úžení tenzorových polí provádíme tak, že sečítáme, násobíme či úžíme příslušné tenzory v každém bodě prostoru. Stejně jako v mechanice hmotného bodu bývá i v mechanice kontinua někdy výhodné použít křivočarých souřadnic. Pak lze užít aparátu, který jsme již uvedli v 1.3. Báze spojená s křivočarými souřadnicemi není ortonormální, skalární součiny Ci e j = gij = g(ei,ej) (VII.40) definují kovariantní komponenty metrického tenzoru, duální kontravariantní báze e 3 je definována vztahy eie3 = ô{ . (VII.41) Při transformaci vektorů kovariantní báze e[ = Cikek, Det(Cífc)^0, (VII.42) se kontravariantní báze transformuje vztahem e'i = dkiek , (VII.43) v němž matice c a d jsou vzájemně inverzní, tj. dikckl = 5\. (VII.44) Vzhledem k tomu lze definovat kovariantní, kontravariantní i smíšené komponenty tenzorů. Například Rijkt = R(e\e 3, e k, e,) (VIL45) a transformačním zákonem je R'w^d/d^dScjR^. (VII.46) Úžení lze provádět přes horní a dolní index Ski = Riki. (VII.47) v důsledku relací (VII.44). 164 Snadno lze ukázat, že kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů se vzájemně převádějí pomocí metrického tenzoru stejně jako komponenty vektorů v 1.3. Je tedy například 9*^=1*^ gikTl3=Tkj, řgkbSj = Sikl (VII.48) apod., přitom gik = elek (VII.49) je matice inverzní k matici gki- Mluvíme o zvedání či spouštění indexů, popř. o „tenzorové gymnastice". Ukažme ještě, jak souvisí transformační matice užité v (VII.46) se záměnami křivočarých souřadnic xn = xn (x3). Podle 1.3 můžeme psát pro vektory kovariantní báze e* a e \ ve dvou systémech souřadnic X di X = = (VIL50) čili dx3 c' = ů • (m51» Podobně pro vektory kontravariantní báze máme dxa dx3 ■ e" = Ú^ = ^, (VII.52) čili dx'1 dx3 Matice Cjl, df jsou obecně funkcemi souřadnic pomocí něhož zavádíme gradF = VF = F^a , div A = V A = Aiti , (VII.58) rot A = V x A = €ijkAkjei (poslední operace je na rozdíl od předchozích možná jen v 3-rozměrném prostoru). Připomeňme na tomto místě Helmholtzovu větu dokazovanou v učebnicích vektorové analýzy: Každé spojité a diferencovatelné vektorové pole můžeme jednoznačně (až na pole konstantní v prostoru) rozložit na součet částí, z nichž jedna má nulovou rotaci a druhá nulovou divergenci, tj. lze psát A = Ai + A2 , div^i = 0 , rotA2 = 0 . (VIL59) Dvojí aplikací operátoru V a zúžením dostaneme Laplaceův operátor A = aí-' (m60) který lze aplikovat na libovolné tenzorové (vektorové, skalární) pole. Aplikací tohoto operátoru se řád pole nemění. 41 Operátor se nazývá „nabla". Je to název hebrejského hudebního nástroje, který svým tvarem připomíná. 166 Použití křivočarých souřadnic si vyžaduje přepsání pohybových rovnic kontinua, které jsou parciálními diferenciálními rovnicemi pro vektorová a tenzorová pole. Potíž, na niž přitom narážíme, spočívá v tom, že derivace polí podle křivočarých souřadnic již tenzorové pole netvoří, protože nekonstantnost transformačních matic narušuje tenzorové transformační vztahy. Označme kartézské souřadnice JQ, křivočaré souřadnice x3, kartézské komponenty polí značme hvězdičkou. Vezměme pro konkrétnost vektorové pole A*. Jeho derivováním v kartézských souřadnicích získáme tenzorové pole A*j. Veličiny Aíj vypočtené v křivočarých souřadnicích však již tenzorové pole netvoří. Označíme proto komponenty derivovaného pole přepsané do křivočarých souřadnic jako Aí-j. Podle transformačních vztahů typu (VII.46) je A*=x±aís. (VII.61) k dXk ' dxl k ' J dxl dx3 M v ; Protože je zřejmě porovnáním s předchozími vztahy vidíme, že Avó = Aíj - IÍjAi , (VII.63) kde jsme označili rl d2Xk dx1 /VTTfi^ F* = dJdxl dXk • (VIL64) Pro tenzorové pole s libovolným počtem indexů bychom obdobně dostali T%j = T%j + ... + TkTakj + ... - Tkr% - ... . (VII.65) Funkce souřadnic rijk = i"1 lfc ■ nazýváme Christoffelovými symboly a operaci značenou středníkem kovariantni derivaci. Její zavedení umožňuje rozšířit operaci derivování i na křivočaré souřadnice. Poznamenejme, že samotné ChristofFelovy symboly netvoří tenzorové pole, což je zřejmé už z toho, že v kartézské soustavě jsou rovny nule. Je vhodné vyjádřit Christoífelovy symboly způsobem, který by nás nevázal na původní kartézské souřadnice. Za tím účelem aplikujeme (VII.65) na komponenty metrického pole a využijeme toho, že jeho kovariantni derivace musí být rovna nule, protože metrické pole je v kartézských souřadnicích konstantní. Dostáváme tak 9ik,l = Brnkly + 9mirmkl (VII.66) 167 a další dvě rovnice téhož typu pro gn^ a g^j cyklickou záměnou indexů. Jestliže první z těchto rovnic přičteme a druhou odečteme od (VII.66), dospějeme k vyjádření Christoffelových symbolů pomocí metrického pole ve tvaru Ái = ž9™ (9mk'1 + 9ml'k ~ 9kl'm) ' (VH.67) Ukažme ještě, že zúžené Christoffelovy symboly lze vyjádřit pomocí determinantu metrického tenzoru g = Det(p^). Z definice determinantu vyplývá, že ň" = 99*, (VIL68) dgik tudíž gtk = ggtrngim,k a r- = Tg Ž • «VII69) Nyní je již snadné zapsat tenzorové diferenciální rovnice, známé v kartézských souřadnicích, takovým způsobem, aby platily v souřadnicích libovolných. K tomu stačí nahradit parciální derivace derivacemi kovariantními a dále, pokud se v těchto rovnicích vyskytuje úžení přes dvojici indexů, umístit jeden index nahoře a druhý dole. Abychom mohli vyjádřit v křivočarých souřadnicích i vektorový součin či operaci rotace, uvažme, jak se v nich vyjadřuje Levi-Civitův tenzor. Tento tenzor může být pouze násobkem Levi-Civitova permutačního symbolu. Je-li v souřadnicích xl roven Keijk a v souřadnicích xH roven K'e^ je transformační vztah dán relací K'eijk = ITeMřcipci V . (VII.70) Vynásobením dostáváme K' = cK, (VII.71) kde c = Det (c^)- Z transformačního vztahu pro komponenty metrického tenzoru plyne pro jeho determinant g' = c2g , (VIL72) přitom v kartézských souřadnicích g — 1. Odtud je zřejmé, že je třeba položit K = yfg a pro Levi-Civitův (pseudo)tenzor v křivočarých souřadnicích platí eijk = Vgtijk • (VII.73) 168 Využitím předchozích vztahů můžeme přepsat do křivočarých souřadnic operace grad, div, rot. Je tedy [grad F]i = F.i = Fti div A = A [rot A\ = eijkAk;j = y/g eijkAkj . (VII.74) Povšimněme si, že pro výpočet těchto operací není třeba znát Christoffe-lovy symboly. Poznamenejme ještě, že v případě ortogonálních souřadnic se složky gradientu, rotace i jiných vektorových a tenzorových polí někdy uvádějí v tzv. fyzikální bázi, jež vzniká normováním vektorů kovariantní (popř. kontravariantní) báze. O tom jsme již hovořili v závěru 1.3. VII.5 Integrování polí Jak uvidíme v dalším textu, základní rovnice mechaniky kontinua jsou těsně spojeny se zákony zachování jistých úhrnných veličin, které dostáváme z veličin lokálních (hodnot polí v daném místě prostoru) integrací přes objem. Budeme se proto zabývat integrováním polí v euklidovském prostoru, kde nám usnadňuje situaci fakt, že lze definovat rovnost vektorů či tenzorů v různých bodech. Dva vektory (tenzory) v různých bodech jsou si rovny, jsou-li si rovny jejich komponenty v kartézských souřadnicích. Sčítání tenzorů definovaných v různých bodech, které v limitě přechází v integraci, lze proto provádět tak, jako by šlo o prvky jediného vektorového prostoru. Je-li například dáno vektorové pole A = Ai (xj) e{ v jisté oblasti euklidovského prostoru, pak jeho integrál přes tuto oblast je kde píšeme di? = dxi da^da^. Je zřejmé, že komponenty Bi se při záměně kartézských souřadnic transformují jako komponenty vektoru (transformační matici lze vytknout před integrál). Vektor B nezávisí na souřadnicích a může být umístěn v kterémkoliv bodě prostoru. Je to tedy volný vektor na rozdíl od vázaného vektoru A jakožto hodnoty pole v jistém bodě. Zcela analogicky můžeme přes oblast Q integrovat tenzorové pole libovolného řádu tak, že integrujeme jeho kartézské komponenty. Výsledkem je opět „volný" tenzor, který může být umístěn v kterémkoliv bodě. (VII.75) 169 I v rámci euklidovského prostoru se však setkáváme s integrály přes vnořené plochy, které jsou zakřiveny a nejsou již tedy euklidovskými prostory. S ohledem na pozdější využití v čtyřrozměrném prostoročase teorie relativity se budeme nejprve zabývat problémem integrace na vnořených plochách v plochém prostoru obecněji. Tyto plochy jsou (lokálně) zadány parametricky jako rTj = Xi (qa) , i = l, ...,n, a = l,...,m, m < n . (VII.76) Zde qQ mají význam souřadnic na vnořené m-rozměrné nadploše. Vzdálenost mezi blízkými body nadplochy lze vyjádřit v kartézských souřadnicích x; i v křivočarých souřadnicích qa, je tedy ds2 = dxióxi = ^ 0 dqadq^ . (VII.77) Odtud vidíme, že metrické pole nadplochy je Povšimněme si, že pro případ m = n by šlo prostě o přepis metrického pole do křivočarých souřadnic. Při záměně souřadnic q'a — q'a (c[^ splňuje odmocnina z determinantu metrického tenzoru transformační vztah y/F=\c\V9 (VII.79) plynoucí z (VII.72), kde c je jakobián transformace od qa ke . Naopak pro integrační element dĽ = áq1...dqrn platí dĽ' = IcpMiľ, (VII.80) takže hodnota integrálu S = J yfg dĽ = J dS , dS = y/g dS (VII.81) ľ s přes oblast Ľ nadplochy nezávisí na volbě souřadnic. Veličina S (VII.81) je přirozeným zobecněním objemu oblasti v euklidovském prostoru. Můžeme proto zavést integrál skalární funkce F (xí [qa)) přes nadplochu s metrickým polem jako J Fy/g dĽ = J FdS . (VII.82) ľ ľ 170 Tyto integrály nazýváme integrály 1. druhu. Ve fyzikálních aplikacích jsou důležité i integrály 2. druhu, které zavedeme zatím jen pro plochy a křivky v 3-rozměrném euklidovském prostoru. Vezměme nejprve křivku o parametrickém vyjádření xi (a). Zaveďme pole jednotkového tečného vektoru l ke křivce (zřejmě je možná dvojí volba odpovídající dvojí možné orientaci křivky). Pak lze definovat křivkový integrál vektorového pole A přes oblast (interval parametru) na křivce c = j Alás = j Ads , ds = Z ds , (VII.83) s s tj. AI hraje úlohu integrované funkce ve vztahu (VII.82). Metrické pole má na křivce jedinou komponentu g a podle (VII.78) platí g = dxi, dz; (vn g4) Je tedy der der 1 dx- ds = Jg do , k = —— ľ — , dsi = dxi . (VII.85) y/9 dá Lze tedy psát = J A dr = j Aidxi . (VII.86) V případě, že integrační oblastí je uzavřená křivka (hranice jisté 2-rozměrné omezené oblasti), píšeme často = j A dr (VII.87) c s a číslo c nazýváme cirkulací pole A podél uzavřené křivky 5. Znaménko cirkulace záleží na volbě orientace křivky. Vezměme nyní plochu, kterou lze lokálně zapsat jako xí (u,v). Zaveďme pole jednotkové normály k ploše n (u orientovatelných ploch je dvojí volba, odpovídající tomu, že plocha má dvě strany; u neorientovatelné plochy se omezíme na její orientovatelnou oblast). Pak lze definovat plošný integrál vektorového pole A přes oblast Ľ na ploše d = j AndS = J AdS , dS = n dS . (VII.88) 171 Podle vztahů (VII.78) a (VII.81) platí dS = VEF - G2 du dv , (VII.89) kde jp _ __ ^ - 9UU - o rs 1 ou ou dxi dxi dxi dxi nm nn\ F = gvv = — — , G = guv = — — . (VII.90) ov ov ou ov Vektor jednotkové normály vypočteme jako normovaný vektorový součin vektorů kovariantní báze na ploše, tj. * = 7ll9í ' (VIL91) takže lze psát dSl = eijk^^dudv. (VII.92) Integrál (VII.88) se nazývá tokem vektorového pole A plochou Ľ. Jeho znaménko závisí na volbě orientace plochy42. Často se setkáváme s případem, že Ľ je uzavřená plocha (hranice jisté 3-rozměrné omezené oblasti). V tomto případě obvykle píšeme A dS (VIL93) E a není-li řečeno jinak, počítáme integrál pomocí vnější normály. VII.6 Gaussova a Stokesova věta Gaussova a Stokesova věta mají zásadní význam jako most mezi diferenciálními a integrálními zákony ve fyzice. Jsou zvláštními případy zobecněné Stokesovy věty spojující jistý integrál přes oblast libovolné dimenze s integrálem přes její hranici, která se podrobně probírá v kurzu matematické analýzy. Jde o zobecnění základní věty integrálního počtu / b ^dx = F(b)-F(a) , (VII.94) do: 42 Ve vzorci (VII.91) byl směr normály určen souřadnicovým systémem na ploše. 172 kdy integrál z derivace funkce přes interval je roven rozdílu funkčních hodnot na hranicích intervalu. Vztah (VII.94) lze snadno zobecnit na případ křivky v 3-rozměrném prostoru 6 grad F ár = F (b) - F (a) . (VII.95) a o / Mějme nyní namísto křivky 2-rozměrnou omezenou oblast Ľ či 3-roz-měrnou omezenou oblast J?.43 Pak lze dokázat, že pro spojité vektorové pole A se spojitými prvními derivacemi platí j div A dV = J A dS , (VII.96) J rot A dS = J A dr . (VII.97) Ľ dĽ Vztah (VII.96) je věta Gaussova (někdy též Gaussova-Ostrogradského), vztah (VII.97) věta Stokesova. Jako dQ, popř. dĽ, jsme označili hranice příslušných oblastí, které třeba mohou sestávat i z více uzavřených křivek či ploch (například v případě mezikruží či mezikoulí). V integrálu na pravé straně (VII.96) míří normála n ven z oblasti Q, v integrálech (VII.97) jsou orientace plochy Ľ a její hranice dĽ sladěny tak, že tečný vektor k hranici Z = n x m, kde m je vektor tečný k Ľ, kolmý k d Ľ a mířící ven ze Ľ. Užíváme-li pravotočivého systému kartézských souřadnic, znamená to, že hranice obíhá normálu k ploše proti směru hodinových ručiček. Gaussovy a Stokesovy věty lze užít k tzv. integrální definici divergence a rotace. Je div A = lim — , (VII.98) v->o V kde V je objem oblasti obklopující daný bod, a plošný integrál se počítá přes uzavřenou plochu tento objem obklopující. Podobně je n rot A = lim ŽA^L (VII.99) 5-»0 S kde S je velikost plochy o jednotkové normále n obklopující daný bod, a křivkový integrál se počítá přes uzavřenou křivku obcházející tuto plochu. 43 Požaduje se, aby Ľ byla orientovatelná a po částech hladká, přičemž její hranice je tvořena po částech hladkými křivkami; hranice Q je tvořena po částech hladkými plochami. 173 Integrální definice zřetelně ukazují geometrický a fyzikální význam divergence jako zřídla a rotace jako víru. Helmholtzovu větu zmíněnou v VII.4 lze tedy slovně formulovat tak, že každé vektorové pole lze rozložit na část nezřídlovou a nevírovou. Poznamenejme ještě, že Gaussovy věty se často užívá v obecnější podobě, kterou však lze z (VII.96) snadno odvodit. Vezměme speciální vektorové pole o komponentách A = (A (xí) , 0,0). Pak Gaussova věta dává f ^-A áV - j> A dSx (VII.100) Í2 díl a protože podobnou úvahu můžeme provést i pro pole s nenulovou komponentou y či z, vyjadřuje Gaussova věta v nejobecnější podobě možnost záměny / é~i{-)dV=f {-)dSi (VIL101) Í2 % díl pro každé i, přičemž v závorkách stojí funkce souřadnic, jejichž transformační zákon není pro platnost vztahu podstatný. VI 1.7 Rovnice kontinuity Nyní se můžeme obrátit k zákonům pohybu kontinua. Chování hmotných bodů podrobených silám záviselo na jejich hmotnosti, o níž jsme předpokládali, že se během pohybu nemění. V mechanice kontinua je rozložení hmotnosti popsáno její hustotou. Dojdeme k ní tak, že vystředujeme v čase Ať hmotnosti všech molekul nacházejících se v objemu A V (Ať i AV jsou fyzikálně nekonečně malé). Střední hodnota celkové hmotnosti dělená objemem P = |^ (VII.102) závisí na místě a čase, v němž bylo středování prováděno, a vytváří tak časově proměnné skalární pole hustoty hmotnosti /?(r,ť). Zákon zachování hmotnosti vyžaduje, aby se veličina = J páV (VIL103) M V(t) 174 Obr. 15: Objem unášený kontinuem. Soubor částic proudícího kontinua zaujímá v čase to objem V(to) a v čase t objem V(t). Oblasti V(to) a V(t) se obecně liší jak velikostí, tak i varem. neměnila v čase pro libovolný objem, který se pohybuje spolu s kontinuem (je jim „unášen", viz obr. 15). Jinak řečeno musí platit dM = ^ j pdV = 0. (VII. 104) dt V(t) Tento integrální zákon chceme nahradit parciální diferenciální rovnicí. Nejprve je třeba přesunout derivaci za integrál. To nemůžeme přímo učinit vzhledem k časové proměnnosti objemu. Lze však psát s využitím transformace proměnných podle vztahu (VII.3) J pdV = j pJdV , (VII. 105) V(t) V(tQ) kde J = Det (j^- j = 1 + (t - tQ) div v + ... . (VII.106) Přitom jsme užili prvního přiblížení Taylorova rozvoje pro pohyb kontinua (VII.3), tj. xí = xi [xoi, t) = xoi + v0i (t - tQ) + ... . (VIL 107) Nyní již lze uvést derivaci za integrál a psát ítl"dv= I ít^dV= J (¥ + 'H áv = o- V(t) V(t0) V(t0) (VIL 108) Pomocí vztahu ^ = ^ + v grad p , (VIL 109) 175 který se dokáže analogicky jako (VIL7), a identity p div d + v grad p = div pv (VIL 110) lze také psát A J páV= J ^+diypvsj dV = 0. (VIL111) V(t) V (to) Poznamenejme, že tento vztah pro derivaci integrálu přes časově proměnnou oblast platí nejen pro integrál z hustoty p, ale i pro integrál libovolné funkce f (r,t). Protože rovnice (VIL 108), (VIL 111) platí pro libovolný objem a pro libovolný počáteční čas to, dostáváme ^■+pdivv = 0, resp. ~ + div pv = 0, (VII.112) dt ot což jsou dva ekvivalentní zápisy hledané rovnice kontinuity vyjadřující zákon zachování hmotnosti v diferenciálním tvaru. Zavedeme-li hustotu toku hmotnosti j = pv, můžeme ji také zapsat jako ^ + divj=0. (VII.113) Integrujme tuto rovnici přes objem V pevně vytyčený v prostoru, kterým kontinuum protéká. Využitím Gaussovy věty (VII.96) dostáváme jJpdV = -fjdS, (VII.114) v Ľ kde Ľ je hranice objemu V. Užitím parciální derivace podle času vyznačujeme, že máme na mysli derivaci při nehybné oblasti integrace V. Vztah (VII.114) vyjadřuje rovnici kontinuity v integrálním tvaru, časová změna hmotnosti v objemu, kterým kontinuum protéká, je daná tokem hmotnosti přes hranici tohoto objemu. Diferenciální (VII.113) i integrální (VII.114) tvar rovnice kontinuity vyjadřuje nejen zákon zachování hmotnosti, ale i dalších spojitě rozložených fyzikálních veličin o hustotě p a hustotě toku j. Například p může být hustota elektrického náboje a j hustota elektrického proudu. 176 VII.8 Plošné a objemové síly. Tenzor napětí Pohyb soustav hmotných bodů se podle vztahu (1.10) řídí 1. impulzovou větou, podle níž je časová změna úhrnné hybnosti soustavy rovna součtu vnějších sil na ni působících. To musí zůstat v platnosti i v rámci newto-novské mechaniky kontinua. Je tedy d_ dt J pvdV = F, (VII.115) v(t) kde F je výslednice vnějších sil působících na objem V unášený kontinuem. Užijme vztahu typu (VILI 11), kde úlohu integrované funkce hrají namísto p jednotlivé komponenty pv{. Dostáváme tak é /—-1 +í?) av ■ <™"> V(t) V(ťo) V 7 Výraz za integrálem lze s přihlédnutím k rovnici kontinuity (VIL 112) a výrazu pro zrychlení (VIL7) přepsat jako dpvi dpviVj dp dpvj\ j dví dnL . ii>7\ -W + ^-^{di + ^-)v' + p{m+d^v']=l>ai- (VIL117) Platí tedy 44 ^ J pvdV= j padV, (VIL 118) V{t) V(t0) kde a je pole zrychlení v kontinuu. Věnujme se nyní pravé straně rovnice (VII.115). Síly působící na kontinuum lze obvykle rozdělit na dva základní typy. První typ tvoří síly dalekého dosahu, jak je již známe z mechaniky soustav hmotných bodů. V běžných aplikacích jsou tyto síly buzeny vzdálenými hmotami mimo sledované kontinuum, jindy (například v astrofyzice a v kosmologii) však mohou být způsobeny i samotným kontinuem. Zůstává však vždy v platnosti, že podíl bezprostředního okolí dané části kontinua je na těchto silách zanedbatelný, takže její izolací by se nezměnily, působí v celém objemu kontinua, a proto se jim říká síly objemové. 44 Stručněji, i když méně korektně, lze způsob uvedení derivace za integrál odůvodnit tím, že element hmotnosti dm = pdV na čase nezávisí. 177 Typickým příkladem tohoto druhu je gravitace, lze sem však zařadit i makroskopické elektromagnetické pole působící na elektricky nabité kontinuum či setrvačné síly v neinerciálních systémech. Výslednici objemových sil lze vyjádřit jako integrál její hustoty přes objem, přičemž hustota se obvykle vztahuje k jednotce hmotnosti, takže Fi = JpfdV, (VII. 119) v kde / je obecně časově proměnné vektorové pole. Například u gravitace / = g je to intenzita gravitačního pole. Druhý typ sil je způsoben vzájemnou interakcí mikroskopických elementů (molekul) kontinua. Dosah těchto interakcí je řádově roven mezi-molekulárním vzdálenostem, které lze v mechanice kontinua již považovat za fyzikálně nekonečně malé. Na větších vzdálenostech je působení těchto sil zanedbatelné a lze je proto považovat za síly krátkého dosahu. Působí proto na danou část kontinua pouze přes plochu, která tuto část obklopuje a jejich výslednici lze proto vyjádřit jako Fn jip&S, (VII. 120) kde (p je síla připadající na jednotku plochy a integrál se počítá přes hranici uvažovaného objemu. Mluvíme proto o silách plošných. Na druhé straně musí být výslednice plošných sil vyjádřitelná i jako integrál přes objem, tj. Fn = j <č dV , (VII.121) v kde ^ je objemová hustota plošných sil. Aby byla obě vyjádření shodná, musí být možné převést jedno na druhé podle Gaussovy věty (VII.101). To znamená, že musí platit *ť = , (VH.122) kde Tik je tenzorové pole, které nazýváme polem tenzoru napětí. Zároveň vidíme, že můžeme pomocí tenzoru napětí vyjádřit sílu kterou působí kontinuum na své bezprostřední okolí přes jednotkovou plošku o normále n orientované dovnitř kontinua. Je totiž ^ , (VII.153) entropie izolovaného systému tedy při nevratných dějích roste a dosahuje maxima ve výsledném stavu termodynamické rovnováhy. Statistická fyzika vysvětluje růst entropie jako tendenci fyzikálních systémů přecházet do pravděpodobnějšího stavu. Pro podrobnější informaci o vlastnostech a významu entropie a teploty musíme odkázat čtenáře na učebnice termodynamiky a statistické fyziky. Položme TdS-6Q = ÔQ* , (VII.154) kde ÔQ* > 0 je ta část energie, která se nevratně mění z makroskopicky pozorovatelné kinetické a potenciální energie ve vnitřní energii mikroskopických pohybů a interakcí. Tyto nevratné děje, projevující se přítomností nekonzervativních sil, nazýváme disipativními procesy. 184 Zatímco tepelná výměna probíhá přes hranici systému, disipace probíhá v celém jeho objemu. Předpokládejme, že objem je dostatečně malý. Abychom teplotu v něm mohli považovat za konstantní, podělme (VII. 154) infinitesimálním časovým intervalem dt a vyjádřeme veličiny v ní vystupující jako objemové či plošné integrály. Dostáváme tak T-Í J ps dV = - j q dS + j D dV , (VII.155) V (t) S(t0) V(t0) kde s je entropie připadající na jednotku hmotnosti, q je hustota tepelného toku a Z) je disipativní funkce určující energii disipovanou v objemové jednotce za jednotku času. Z integrálního vztahu (VII.155) dospějeme k diferenciální rovnici obdobně jako v dříve diskutovaných případech, když užijeme rovnice kontinuity a Gaussovy věty. Docházíme tak k rovnici pro změnu entropie ds div q D ,..TTirM 'ďt = ~Ť- + T ■ (VIU56) Připomeňme ještě, že platí ds ds — = — + v grad s . (VII.157) Potom využitím rovnice kontinuity lze (VII.156) také psát jako dps div q D ,,rTT___. = -div psv - + - . (VII.158) Zdůrazněme, že v rovnicích (VII.158) a (VII.156) již nepovažujeme teplotu T za jedinou veličinu charakterizující rovnovážný stav celého systému, ale za funkci souřadnic vztahující se k lokálním rovnovážným stavům. I v případě, že D = 0 (tj. nenastávají-li disipativní procesy), jde tedy v případě prostorové proměnnosti teploty a nenulovosti tepelného toku q, který je touto proměnnosti způsoben, o nevratný proces. Pouze v dostatečně malém elementu daného systému lze pak mluvit o posloupnosti rovnovážných stavů a vratnosti procesu. I v dalším výkladu se budeme někdy odvolávat na základní poznatky a vztahy z termodynamiky. Pro pohodlí čtenáře uvedeme proto na závěr tohoto odstavce definice základních termodynamických veličin, které budeme nadále vztahovat k objemové jednotce. Spojením obou termodynamických vět (VII.150) a (VII.152) a využitím vztahu (VII.151) plyne pro přírůstek energie při vratných procesech dS = T dS + tik feik • (VII.159) 185 V nejčastěji diskutovaném případě ve všech směrech stejného tlaku je m = -pSik , m deik - -pdeu . (VIL 160) Podle vztahu (VII.29) je en změna jednotkového objemu a pro daný případ nastává d£ = TdS-pdV. (VII.161) Veličina T = £-TS, dT = -S dT + rik deik = -SdT-pdV (VII.162) se nazývá volná energie. Veličina Q = T - TikEik =F + pV, dQ = -SdT-SikdTik = -SdT + Vdp (VII.163) se nazývá termodynamický potenciál. Veličina ri — £ - Tikeik = £ + pV , dU = TdS - eikdrik = TdS + V dp (VIL 164) se nazývá entalpie. Každá z uvedených termodynamických veličin £,T,G,1-L se tedy spojuje s dvojicí proměnných vystupujících v diferenciálech na pravé straně příslušných vztahů, například volná energie T je takto spojena s teplotou T a objemem V. Při nevratných procesech se diferenciály veličin £, T% £/, % doplní podle vztahů (VIL 150) a (VII.154) o — 6Q* < 0. To znamená, že například pro přírůstek volné energie při konstantním objemu a teplotě platí dJF = -dQ* < 0 . (VIL165) Volná energie tedy při takovýchto disipativních procesech klesá a v rovnovážném stavu dosahuje své nejmenší hodnoty. Podobné závěry lze učinit i o dalších uvedených termodynamických veličinách. Minimalizací termodynamických veličin se vysvětlují například fázové přechody. V tomto smyslu termodynamika rozhoduje o tom, jaké mechanické vlastnosti bude zkoumaná látka při daných vnějších podmínkách mít. Pro t a q bývá také užíván název Helmholtzova a Gibbsova volná energie. 186 VII.12 Systém rovnic pro pohyb kontinua Nyní můžeme shrnout všechny základní rovnice pro pohyb kontinua, které vlastně postupně vyjadřují bilanci hmotnosti, hybnosti, energie a entropie. Jsou to tyto rovnice: rovnice kontinuity ^ = -pdivv , (VII.166) dt pohybové rovnice rovnice vnitřní energie "dí de P~T7 = nkVik - div q , (VIL 168) rovnice entropie ds 1 PTt=Ť{~áWq + D) ■ (VII.169) Objemové síly na jednotku hmotnosti f i jsou v těchto rovnicích zpravidla zadány vnějším působením na systém. Pokud jsou působeny samotným systémem (jako například gravitační síly v astrofyzice), musíme k jejich určení dodat další rovnice, například Poissonovu rovnici Aip = áirnp spojující hustotu hmotnosti p s potenciálem gravitačního pole (p. Zrychlení ai a tenzor rychlosti deformace 77^ jsou dány časovými a prostorovými derivacemi rychlostního pole podle dříve uvedených vztahů (VIL 7) a (VIL 17), tj. dvi dví 1 / dví dvk ^ Připomeňme ještě, že ve všech uvedených rovnicích d d d /TrTT A . ét = m+v^- (VIU71) Všechny tyto rovnice můžeme snadno přepsat do křivočarých souřadnic náhradou obyčejných derivací derivacemi kovariantními. Neznámými jsou tedy: hustota hmotnosti p , rychlostní pole v , symetrický tenzor napětí tíj , energie hmotnostní jednotky e , entropie hmotnostní jednotky s , teplota T , tepelný tok q , disipativní funkce D . 187 Celkově tedy máme 17 neznámých, které jsou vázány pouze šesti parciálními diferenciálními rovnicemi 1. řádu. Je zřejmé, že jen v krajně idealizovaných případech se nám podaří snížit počet proměnných tak, abychom se obešli bez termodynamických veličin e,s,T,q,D a mohli rozřešit daný problém v rámci čisté mechaniky (rovnice (VII.166) a (VII.167)) s proměnnými p,v,Tij. Ve složitějších případech musíme zavádět řadu dalších předpokladů o vzájemných vztazích veličin vystupujících v rovnicích, v souvislosti s tím se ale mohou objevit další neznámé, vyžadující nové předpoklady. Dospíváme tak k velmi složitým systémům rovnic, které zpravidla již nejsou vyvozeny „z prvních principů", ale opírají se o empirické poznatky, a stupeň jejich použitelnosti může být opět prověřen jen empiricky. Vzhledem k tomu, že kontinua jsou prostorově omezené soustavy, je pro dosažení jednoznačné řešitelnosti rovnic třeba zadat nejen počáteční podmínky, ale i okrajové podmínky platné na hranicích kontinua. S různými konkrétními příklady počátečních a okrajových podmínek se setkáme v dalším výkladu. Na závěr této kapitoly můžeme konstatovat, že jsme se seznámili s fyzikálními principy mechaniky kontinua asi ve stejném rozsahu, jako jsme to učinili pro mechaniku hmotných bodů. Čtenář by proto mohl očekávat, že v dalším textu přikročíme k pokročilejším formulacím zákonů mechaniky kontinua založeným na variačních principech a Lagrangeově a Hamil-tonově formalismu. Takové formulace skutečně existují, jsou však mnohem složitější a často také méně propracované než obdobné formulace mechaniky s konečným počtem stupňů volnosti. Proto se jimi v tomto textu nebudeme zabývat a přikročíme nyní k detailnějšímu studiu konkrétních typů kontinuí. VII.13 Příklady 1. Ve válcové nádobě se kapalina otáčí kolem osy tak, že úhlová rychlost otáčení oj je funkcí vzdálenosti r od osy. Určete rychlostní pole v. Může při vhodné závislosti uj(r) platit rot v = 0 ? Řešení: Zvolme za osu otáčení osu z. Pak v = (-ojy, ojx, 0) (VII.172) a tedy rotv = ^0, 0, 2w + r^ . (VII.173) 188 K nulovosti rotace rychlostního pole dojde při závislosti « = J , (VII.174) kde C je konstanta. 2. Nechť tenzor rychlosti deformace 77^ má v kartézské soustavě souřadnic nenulové pouze komponenty 7711,7722,7712- Najděte hlavní osy a diagonální komponenty tenzoru v těchto osách 771, 772, 973. Řešení: Jedna hlavní osa je zřejmě osa £3, dvě další leží v rovině (xi, x2). Řešením sekulární rovnice dostáváme r?3 = 0 , 771,2 = i (r?ii + ^22) ± T^y/ilu - ^22) + 47712 2 . (VII. 175) Směr hlavních os v rovině (£1,2:2) Je určen rovnicí tg 2a = 27)12 , (VII.176) f)u - 7722 kde a je úhel mezi hlavní osou a osou 2:1. Příklady k samostatnému řešení 1. Vypočtěte gradient, divergenci, rotaci a Laplaceův operátor ve válcových a sférických souřadnicích. 2. Určete složky tenzoru deformace ve sférických souřadnicích. 189 VIII TEORIE PRUŽNOSTI Tělesa tvořená pevnými látkami nejsou sice dokonale tuhá, ale běžná silová působení a běžné změny teploty zpravidla jen málo mění relativní polohy jejich elementů. Tyto elementy se vlivem sil a teplotních změn vychylují ze svých původních poloh. Tělesa se tak deformují a zároveň v nich vznikají síly krátkého dosahu bránící zvětšování deformace a po zániku vnějších vlivů obnovující původní stav. Mluvíme proto o pružných tělesech. Formulujeme pohybové rovnice pro tato tělesa za předpokladu malosti deformací a zanedbání nevratných procesů. V dalším výkladu se omezujeme na lineární závislost mezi tenzorem napětí a tenzorem deformace, vyjádřenou Hookovým zákonem. Tento zákon formulujeme pro krystalická tělesa vyznačující se jistými symetriemi, poté se však omezujeme na tělesa izotropní. Nalézáme rovnice jejich rovnováhy v deformovaném stavu a rovnice pro podélné a příčné vlnění, které v nich může probíhat. V závěru se zabýváme kmity struny jakožto příkladem chování jednorozměrného kontinua. VIII.1 Základní rovnice Pro řadu v praxi důležitých problémů se ukazuje jako dostatečné přiblížení, považujeme-li kontinuum za ideálně pružné. Znamená to, že tenzor napětí (v libovolném místě a libovolném čase) závisí pouze na tenzoru deformace a na teplotě (v temže místě a čase), nezávisí však na rychlosti deformace. Zanedbáváme tím vazké vlastnosti pružných těles související s nevratnými procesy (síly tření a jimi způsobenou disipaci energie) a rovněž trvalé změny vlastností tělesa vyvolané jeho deformací. Nechť se kontinuum nejprve nachází v rovnovážném stavu s nulovým tenzorem napětí při hustotě hmotnosti po a teplotě To (tyto veličiny mohou být funkcemi souřadnic). Vznik objemových sil v kontinuu či plošných sil a teplotních změn na jeho hranicích způsobuje deformaci kontinua popsanou tenzorem e^. Zabývejme se nyní rovnicemi pro pohyb pružného kontinua (VII. 166) až (VII. 169). Připomeňme nejprve, že hodnoty tenzoru deformace a všech dalších užívaných polí vztahujeme k rovnovážným polohám Xi nedeformovaného kontinua a nikoliv k okamžitým polohám jeho elementů, které mají souřadnice Xi + uí. To znamená, že totální derivace podle času jsou rovny 190 parciálním derivacím při pevných hodnotách X{, například áv _ fdv\ _ (d2u áu _ (du\ v = "ď7= \ dt)Xi ' V části věnované teorii pružnosti budeme mít vždy na mysli tyto parciální derivace a nebudeme již na to způsobem zápisu upozorňovat. Budeme předpokládat, že deformace jsou malé a vedou tedy jen k malým změnám hustoty, tj. platí p = po + Ap , Ap po • (VIII.2) Začněme rovnicí kontinuity (VII. 166). Tu můžeme po zanedbání Ap oproti po zapsat jako ^ + po div v = 0 (VIII.3) a s přihlédnutím k prostřední rovnici (VIII.l) upravit na tvar ^ (p + po div u) = 0 . (VIII.4) To znamená, že veličina v závorce se v daném místě kontinua nemění s časem, takže p + po div u = po , (VIII.5) popřípadě = -div u , (VIII.6) Po což umožňuje určit hustotu hmotnosti ze známého pole posunutí. Přejděme k rovnicím kontinua v užším smyslu slova (VIL 167). Po zanedbání Ap oproti po dostáváme d2Ui drik /itttt ~\ p0^F=dx-k+pofl- (VIIL7) Zbývají ještě rovnice (VIL 168) a (VII.169). Protože uvažujeme pouze vratné procesy bez disipace, položíme D = 0. Obě rovnice je pak možné spojit tím, že z nich vyloučíme tepelný tok q. Po zanedbání Ap oproti po 191 a využití vztahu (VII.26) spojujícího tenzor rychlosti deformace s tenzorem malé deformace dostáváme Rovnice (VIII.6), (VIII.7) a (VIII.8) tvoří systém rovnic pro určení pohybu ideálního pružného kontinua. Aby mohly být (za daných počátečních a okrajových podmínek) řešeny, je ovšem třeba je doplnit materiálovými vztahy vyjadřujícími souvislosti mezi tenzorem napětí a posunutím (popř. tenzorem deformace). VIII.2 Hookův zákon Budeme uvažovat o situaci, kdy deformace tělesa i změny jeho teploty jsou dostatečně malé a lze tedy předpokládat, že tenzor napětí závisí jak na deformacích, tak i na rozdílu teplot lineárně, takže Tik = Ciklm€lm - Ciik (T - To) , (VIII.9) kde Cikim a &ik jsou tzv. elastické koeficienty, jejichž hodnoty se vztahují k teplotě To; v prvním případě se mluví o modulech pružnosti, ve druhém případě jde o koeficienty tepelné pružnosti. Vztah (VIII.9) je obecným tvarem Hookova zákona. Omezením se na (VIII.9) zanedbáváme nelineární pružné efekty. Protože Tik,Eik jsou tenzory a teplota je skalár, tvoří koeficienty Cikim tenzor 4. řádu, nazývaný tenzorem pružnosti. Tento tenzor charakterizuje pružné vlastnosti těles při konstantní teplotě. V homogenním tělese v kartézských souřadnicích jsou komponenty Cikim konstantní, jejich hodnoty ovšem závisí na zvolené souřadnicové soustavě. Rovněž veličiny č*^ tvoří tenzor. Zabývejme se nejprve tenzorem pružnosti. V obecném případě má tenzor 4. řádu 34 = 81 nezávislých komponent. V případě tenzoru pružnosti je ovšem maximální počet nezávislých komponent roven 21. Ze symetrie totiž přímo plyne Cikim = Ckilm ■ (VIII. 10) Ze symetrie Sik vyplývá, že i kdyby Cikim mělo antisymetrickou část v poslední dvojici indexů, nepřispívala by tato část k tenzoru napětí a byla by proto fyzikálně bezvýznamná. Můžeme proto předpokládat, že platí i Cikim = Cikml . (VIII.ll) 192 Tím se snížil počet nezávislých komponent na 36. Další informaci o komponentách tenzoru pružnosti můžeme získat z termodynamiky. Protože nás zajímá závislost tenzoru napětí na deformaci a na teplotě, použijeme z termodynamických funkcí uvedených na konci VII. 11 volnou energii, jejíž diferenciál je dF = rikdeik-SdT . (VIII. 12) Odtud plynou vztahy t*=(£). • (vnLi3) T (VIII. 14) určující napětí a entropii jako funkce deformace a teploty. Samotná volná energie objemové jednotky pružného tělesa je tedy F = ]^Cikim£ikeim - aik£ik (T - T0) 4- (T) , (VIII. 15) neurčená funkce Tq (T) je volná energie objemové jednotky při nulové deformaci, cnik nezávisí na e^. Odtud plyne, že můžeme bez újmy na obecnosti klást Ciklm = Cimik , (VIII. 16) neboť část antisymetrická vzhledem k výměně první a druhé dvojice indexů zřejmě nepřispívá k volné energii a podle (VIII.9) tedy ani k tenzoru t^. To je dalších 15 vztahů, což zmenšuje počet nezávislých komponent pro obecné pružné těleso na 21. Těleso, jehož koeficienty pružnosti jsou vázány podmínkami uvedenými ve výrazech (VIII.10), (VIII. 11) a (VIII.16), je obecně anizotropní, tj. jeho mechanické vlastnosti jsou v různých směrech různé. Pokud má pružné těleso určitou symetrii, dojde k dalšímu snížení počtu nezávislých komponent tenzoru pružnosti. Například pro krystal kubické struktury bude roven třem. Je-li uvažované pružné těleso zcela izotropní, znamená to, že komponenty tenzoru Cikim mají stejné hodnoty ve všech kartézských soustavách souřadnic. Takovou vlastnost má Kroneckerův tenzor ó~íj a tenzor 4. řádu o této vlastnosti získáme proto nejjednodušeji vynásobením dvou Kronec-kerových tenzorů. S ohledem na pořadí indexů dostáváme tři tenzory Pijki — ôijSki , Qijki = SikSji , Rijki — Siiôjk ■ (VIII.17) 193 První z nich má vlastnosti symetrie (VIII. 10) a (VIII. 11). Druhý a třetí tyto vlastnosti nemají samy o sobě, máje však jejich součet. Tyto vlastnosti má i lineární kombinace Cijki = Xäijôki + /i (ôikôji + Sud j k) . (VIIL18) Podrobnější matematický rozbor by potvrdil, že (VIII. 18) je jedinou možností, jak vyhovět podmínce izotropie i podmínkám symetrie v první i ve druhé dvojici indexů. Veličiny X,p,, které v homogenním tělese nezávisí na souřadnicích, se nazývají Laméovy koeficienty. Izotropní těleso má tedy pouze dva nezávislé koeficienty pružnosti, například Cxxyy = X 5 Cxyxy ~ • (VIII. 19) Pro případ konstantní teploty T — To můžeme tedy (VIII. 13) psát ve tvaru nj = tekhôij + 2/2£íj (VIII.20) anebo též tíj = 2fi (eíj - ^ekk^ij^j + Kekk^ij , (VIII.21) kde K = A + \p (VIII.22) je izotermický koeficient všestranného stlačení, koeficientu p, se rovněž říká modul pružnosti ve smyku. Zúžením rovnice (VIII.21) dostáváme m = 3Keu . (VIII.23) Využitím vztahu (VIII.23) snadno dostáváme inverzní vztah k (VIII.21) £ij = ^KTkkôij + Yp ~ \Tkk6il) ■ (VIII.24) Veličiny K, p jsou vždy kladné, tj. K > 0 , p > 0 , (VIII.25) jak zjistíme dosazením (VIII.24) do výrazu pro volnou energii (VIII. 15) a uvážením, že podle závěru VILU má volná energie ve stavu termodynamické rovnováhy minimum. V technické praxi se u pružných těles zavádí ještě dva jiné koeficienty pružnosti: Youngův modul E E = (VIII.26) 3K + p, v 7 194 a Poissonův koeficient Pomocí nich lze Hookův zákon (VIII.21) přepsat na tvar E ( __a_ 1+Z + T^2cr rik = TZ— (eik + i—KZ€nSik • (VIII.28) Inverzní vztah k (VIII.28) lze snadno získat. Uvažme ještě možnou teplotní závislost pružných deformací izotropních těles. V izotropním tělese musí být aij=a6ij (VIII.29) a tedy podle (VIII. 13) Tij = ^ekkôij + 2fjtSij - K a (T - T0) ôij . (VIII.30) Význam konstanty a jakožto konstanty tepelné roztažnosti odtud získáme, položíme-li Tij = 0 (to odpovídá čistě tepelné pružné deformaci, kdy napětí jsou rovna nule, nepůsobí-li na těleso vnější síly) a rovnici (VIII.30) zúžíme. Dostaneme tak en = a(T-T0) (VIII.31) a uvážíme-li, že podle (VII.29) je stopa tenzoru deformace rovna relativnímu přírůstku objemu, je již význam a zřejmý. VIII.3 Rovnice rovnováhy izotropních těles V rovnováze je zrychlení kontinua nulové. Rovnice rovnováhy proto plynou ze (VIII.7) jako In* + Po f i = 0 (VIII.32) oxk a vyjádříme-li tenzor napětí užitím Hookova zákona (VIII.21) a definičního vztahu (VII.24), dostáváme podmínky rovnováhy ve tvaru E d2Ui E d2uk + , W1 o ^ * +Poň = 0 (VIII.33) 2(l + a)dxkdxk 2 (1 + a) (1 - 2a) dxidxk neboli, ve vektorové symbolice, Au + —?— grad div u = -2^ j"^ Pof . (VIII.34) 1 — 2c E 195 Využitím vztahů (VIII.22), (VIII.26), (VIII.27) můžeme tyto rovnice vyjádřit také pomocí jiných elastických koeficientů. Omezíme-li se na případ, kdy deformace není způsobena objemovými silami (tj. / = 0), nýbrž jen silami plošnými působícími na povrch tělesa, můžeme je přepsat také ve tvaru (A + n) grad div u + fiAu = 0 , (VIII.35) nebo, využijeme-li identity grad div u = Au + rot rot u , (VIII.36) také ve tvaru 2(1-0") grad div u - (1 - 2a) rot rot u = 0 , (VIII.37) kde jsme se opět vrátili k elastickému koeficientu o. Ze znalosti pole u můžeme zjistit změnu hustoty kontinua (VIII.6), komponenty tenzoru deformace (VII.24), a poté z Hookova zákona komponenty tenzoru napětí. Aby naopak rovnice (VII.24) byly při daných veličinách řešitelné vzhledem k Ui, musí splňovat rovnice kompatibility (VII.31). Základním problémem teorie pružnosti (v oblasti statiky) je nalezení pole posunutí a pole tenzoru napětí při zadaném působení objemových sil a při daných okrajových podmínkách (například zadání posunutí či plošných sil na hranici kontinua). K dispozici jsou tři rovnice rovnováhy a šest rovnic Hookova zákona, v němž lze vyjádřit tenzor deformace pomocí posunutí (VII.24), tedy devět rovnic pro devět neznámých tíj a uk. Nebudeme se zabývat obecnými typy okrajových úloh, ilustrujme způsob řešení na konkrétním příkladě. Půjde o to, určit deformaci a napětí v duté kouli z izotropního materiálu s vnitřním poloměrem R\ a vnějším poloměrem R2, je-li uvnitř koule tlak pi a vně koule tlak p2. Zavedeme si sférické souřadnice r, ů, ip s počátkem ve středu koule. Pro vektor posunutí u vzhledem k izotropii zřejmě platí, že u = u(r)- (VIII.38) r a tedy rot u = 0 , takže rovnice (VIII.37) se redukuje na grad div u = 0 . (VIII.40) (VIII.39) 196 To znamená, že (užitím (VII.74) a (VIII.38)) div u = jLlílM = konst (VIII.41) ri dr a po integraci u = ar + ^ , (VIII.42) kde a, 6 jsou integrační konstanty, které je třeba určit z okrajových podmínek kladených na složky tenzoru napětí. Vypočteme proto nejprve nenulové složky tenzoru deformace ve sférických souřadnicích 2b b err = a — ^3 , e#ti = ew = a + ^ (VIII.43) (jde o fyzikální složky, které lze určit pomocí aparátu vyloženého v VII.4 a 1.2 anebo tak, že vypočteme kartézské složky rxx, ryy na ose x a využijeme symetrie problému). Hookův zákon (VIII.28) tak dává pro radiální komponentu tenzoru napětí Trr = (1 + ^1-2(7) [(1 " a) £rr + 2 (VIII.47) (VIII.48) Ä23-Äi3 Tím je úloha vyřešena. Lze ovšem sledovat i speciální případy tohoto problému, například, že tloušťka h vrstvy je malá, tj. h = R2 — R\ ci-8 = ^ , ^ = r. . (VIII.61) Po Po Tuto rovnici přepišme na systém dvou rovnic použitím Helmholtzovy věty (viz (VII.59)) o vyjádření vektorového pole ve tvaru součtu potenciálového (nevířivého) a solenoidálního (nezřídlového) pole. Položíme tedy u = t*i + «2 , (VIII.62) kde rot «i=0, (VIII.63) 199 div «2 = 0. (VIII.64) Dosadíme-li (VIII.62) do (VIII.60), s ohledem na (VIII.63) a (VIII.64) a na identitu (VIII.36), obdržíme O2 u d2 u + = ci2 grád div ui - c22 rot rot u2 ■ (VIII.65) Vylučme odtud 1*2- Z tohoto důvodu aplikujeme na rovnici (VIII.65) operaci div. Obdržíme tak, že div - Cl2Au^j = 0 . (VIII.66) Zároveň je však podle (VIII.63) rot (liF ~ c^Au^j = 0 • 0 vede k jednorozměrné vlnové rovnici pro kmity struny S4S = °' (VHI.T6) kde c=f (VHI.77) Tuto rovnici je třeba doplnit okrajovými a počátečními podmínkami. Počátek struny nechť se nachází v bodě x = 0, konec v bodě x = l a nechť je struna na obou koncích upevněna. Příslušné okrajové podmínky pak jsou u\x=o = 0 > u\x=i = 0 Pro všechna t > 0 . (VIII.78) Počáteční podmínky mohou například odpovídat zadání počátečních poloh a rychlostí všech bodů struny, tj. jsou tvaru du «(M)i«=o = f(x)» dt = F(x) , (VIII.79) í=0 kde 0 < x < l. Řešení rovnice (VIII.76) lze provést metodou separace proměnných. Řešení se hledá ve tvaru součinu dvou funkcí u = X{x) T{t) . (VIII.80) 202 Dosadírae-li (VIII.80) do (VIII.76), dostáváme 1 d2X 1 d2T (VIII.81) X áx2 c2T át2 ' Protože každá strana rovnice závisí na jiné proměnné, lze rovnici vyhovět jen tak, že obě její strany jsou rovny téže konstantě. Vzhledem k okrajovým podmínkám (VIII.78) nemůže být tato konstanta kladná, jak uvidíme z dalšího výkladu. Označíme ji proto —A2. Tak dostáváme obyčejné diferenciální rovnice T" + A2c2T = 0 , (VIII.82) X" + X2X = 0 , (VIII.83) kde čárkami značíme derivace podle příslušné proměnné. Obecné řešení rovnic (VIII.82) a (VIII.83) je T = Acos Xct + B sin Xct, X = C cos Xx + D sin Xx . (VIII.84) Aplikace okrajových podmínek (VIII.78) vede poté k závěru, že C = 0, L>sinAZ = 0. (VIII.85) Druhá podmínka je splněna, bude-li A/ = Jbr, k = 0,1,2,... , (VIII.86) přitom k = 0 odpovídá rovnovážné poloze struny. Konstanta A může tedy nabývat jen určitých hodnot Afc = j- . (VIII.87) Tyto hodnoty se nazývají vlastními hodnotami příslušného okrajového problému. K hodnotám A* přísluší odpovídající funkce Tjt(ť), Xk (x) a tedy i Uk (x,t). Funkce uk (x,t) se nazývají vlastními funkcemi příslušejícími vlastní hodnotě A*. Frekvence w* = ^ (VIII.88) se nazývají vlastními frekvencemi struny. Pro nejnižší vlastní frekvenci struny máme 203 a to odpovídá základnímu tónu struny. Vzhledem ke tvaru rovnice (VIII.76) může být obecné řešení zapsáno ve tvaru lineární kombinace oo u(x,t) = Y,Akuk(x,t) . (VIII.90) k=l Na toto řešení je pak nutné ještě aplikovat počáteční podmínky. Tento problém je studován v rámci Fourierovy analýzy. VIII.6 Příklady 1. Krychle o elastických konstantách E, a je uložena v rámu, jehož stěny lze považovat za absolutně tuhé, ale úhly mezi nimi se mohou měnit, jak je ukázáno na obr. 17. Nechť spodní podstava rámu je pevně fixovaná a na horní působí smyková síla F. Stěna krychle nechť má plochu A, úhel zkosení budiž (3. Dokažte, že platí /i = F/A(3. y \ . F u / w / 7 Obr. 17: Smyková deformace kvádru. Deformace je charakterizována úhlem zkosení (3. Řešení: Za předpokladu malé deformace je u = (A/, o, o) a tedy podle (VII.24) £xy - 2 • Podle Hookova zákona (VIII.28) _ E(3 Txy~ 2(1 + 0 (látka ohraničená plochou vždy působí na kapalinu silou ve směru vnější normály). V případě kapaliny s nezanedbatelným příspěvkem trvalého vzájemného silového působení může nastat i případ p < 0. Záporný tlak, tj. napětí, v látce má ovšem za následek, že dutiny v ní vzniklé, popř. mezery mezi ní a jejími stěnami se spontánně zvětšují. To znamená, že buď nemůže vůbec dojít k rovnováze, anebo je tato rovnováha pouze metastabilní a bývá obvykle snadno narušena malými náhodnými vlivy. Obraťme pozornost k soustavě pohybových rovnic kontinua (VII. 166) až (VII.169) za předpokladu (IX.1). Vzhledem k nepřítomnosti vnitřního tření v ideální tekutině je přirozené předpokládat nulovost disipace D = 0 . (IX.2) Tepelný tok působící vyrovnávání teplotních rozdílů je funkcí komponent gradientu teploty. Obvykle se lze spokojit s prvním přiblížením Taylorova rozvoje, kdy je vzhledem k izotropii tekutiny g = -/cgradT, (IX.3) k udává koeficient tepelné vodivosti, obecně závislý na stavu tekutiny, například na jejím tlaku a teplotě. Z druhé věty termodynamické vyplývá jeho kladnost, tj. k(p,T)>0. (IX.4) V dalším výkladu však budeme tepelný tok zanedbávat, tj. budeme klást q = 0. (IX.5) Za předpokladů (IX. 1), (IX.5) a (IX.2) mají pohybové rovnice (VII.166) až (VII. 169) pro ideální tekutinu tvar ^ = -p div v , (IX.6) dv , , p— = -grad p + pf , p— = -p div v , (IX.7) (IX.8) 208 1=0. (IX.9) Tento systém rovnic musí být doplněn stavovými rovnicemi. Budeme studovat lokálně rovnovážné stavy, kdy všechny parametry kontinua jsou funkcemi tlaku a teploty, a tedy e = e(p,T), p = p(piT). (IX.10) První z těchto rovnic se nazývá kalorimetrickou stavovou rovnicí, druhá pak stavovou rovnicí termickou. Příslušné závislosti se určují z experimentálních údajů. Rovnice (IX.6) a (IX.9) spolu se stavovými rovnicemi (IX. 10) tvoří uzavřenou soustavu osmi parciálních diferenciálních rovnic pro osm neznámých /9, p, v, e, s, T, kterou musíme doplnit vhodnými počátečními a okrajovými podmínkami. Vratnost zákonů pohybu ideální tekutiny je patrna z toho, že tyto rovnice zůstanou v platnosti při záměně t —> —t, v -> — v. Jak uvidíme v dalším textu, je při důležitých typech termodynamických dějů hustota hmotnosti kontinua funkcí tlaku51 p = p{p) . (IX.ll) V tomto případě mluvíme o barotropnich tekutinách. Pro určení jejich rychlostního pole a rozložení tlaku a hustoty se lze omezit na rovnice (IX.6), (IX.7) a druhou rovnici (IX. 10), které představují soustavu pěti rovnic pro pět neznámých p,p,v. IX.2 Hydrostatika Položíme-li v pohybových rovnicích tekutiny (IX.7) zrychlení o = 0, dostáváme pro ni rovnice mechanické rovnováhy grzdp = pf. (IX. 12) Jestliže objemové síly nepůsobí, mají podmínky rovnováhy tvar gradp = 0 , tj. p = konst . (IX.13) 51 Jak uvidíme, může k tomu dojít i tehdy, když termická stavová rovnice (IX. 10) teplotu obsahuje. 209 Tlak v kapalině je tedy stejný ve všech bodech tekutiny. Rovnice (IX. 12) se snadno integruje v jednoduchých případech, například u ideálního plynu nacházejícího se v homogenním gravitačním poli (zde máme g (0,0, —g)) ve stavu tepelné rovnováhy v každém bodě (T = konst). Stavová rovnice zde má jak známo tvar kT P = P — , (IX.14) m kde k značí Boltzmannovu konstantu a m hmotnost molekuly plynu. Dosazením do (IX. 12) dostáváme —- = —- = 0 , — — = -pg . (IX.15) ox oy m oz Integrace vede k výslednému vztahu (barometrické formuli) mg p = po exp kT {z - Zq) (IX.16) pro rozložení hustoty plynu v závislosti na výšce. Konstanta po značí hodnotu hustoty hmotnosti v zadané výšce zq. Napišme ještě rovnice rovnováhy ideální tekutiny o velké hmotnosti, jejíž části se udržují pohromadě přitažlivými silami gravitační interakce (hvězda). Nechť ip značí newtonovský gravitační potenciál, který budí uvažovaná tekutina. Tento potenciál je spojen s hustotou síly / vztahem / = -grad<^, (IX. 17) takže rovnice rovnováhy má tvar grad p = —p grad ip . (IX. 18) Z této rovnice vyloučíme potenciál ip. Newtonův gravitační zákon pro bodovou částici o hmotnosti M lze zapsat v integrálním tvaru jako fdS = -4nGM , (IX. 19) s kde S je plocha obklopující danou částici, G značí Newtonovu gravitační konstantu. Vzhledem k principu superpozice pro gravitační působení lze obecný integrální vztah zapsat jako ffdS = -4ttG J pdV , (IX.20) s v 210 pro libovolné rozložení hustoty p(r). Užitím Gaussovy věty a libovolnosti objemu V o hranici S obdržíme div/ = -AnGp (IX.21) a užitím (IX. 17) dostaneme Poissonovu rovnici pro potenciál A(p = InGp . (IX.22) Vydělíme-li rovnici rovnováhy (IX. 18) hustotou p, aplikujeme-li na obě její strany operaci div a užijeme-li rovnice (IX.22), obdržíme \P / Pro centrálně symetrickou hvězdu bude mít předcházející rovnice mechanické rovnováhy (IX.23) ve sférických souřadnicích tvar Tuto rovnici je možné rozřešit v případě, že je dána závislost p = p(p) neobsahující další neznámé. Tak je tomu zejména ve stavu termodynamické rovnováhy, kdy T = konst a kdy lze tedy užít přímo termické stavové rovnice. Dalším případem je konstantnost hustoty entropie s v uvažované látce. Tomuto případu se budeme věnovat v dalším textu. V jiných případech je nutné kombinovat rovnici rovnováhy se stavovými rovnicemi. Mechanická rovnováha bez rovnováhy termodynamické nemusí být ovšem stabilní, jak se lze přesvědčit například postavením hrnce s vodou na horkou plotnu. Podmínkou stability rovnováhy se zabývají podrobnější učebnice mechaniky kontinua. Zmiňme se ještě o nejstarším poznatku hydrostatiky, který se týká plovoucích těles. Výslednice plošných sil působících na těleso ponořené do tekutiny je podle (VII. 120) a (VII. 123) kde n je vnější normála, S povrch tělesa (u těles plovoucích na hladině ovlivňuje hodnotu integrálu jen ponořená část). V ideální tekutině je tedy (IX.23) (IX.24) (IX.25) 5 (IX.26) s 211 Výsledný moment plošných sil je podle (VII.136) A = j> tijkXjTkini d£ (IX.27) a v ideální tekutině D = - jpr x ndS . (IX.28) s Budeme předpokládat, že tekutina se nachází v homogenním gravitačním poli, čili / = g. Síla a její moment jsou zřejmě stejné, jako kdyby na místě tělesa byla tekutina, kterou těleso „vytlačilo". Užijeme-li pro tuto situaci Gaussovu větu (VIL 101) a rovnici rovnováhy (IX. 12), dostáváme F = -j gradpdV = - j pgdV = -Mg (IX.29) v v pro výslednici sil (M je hmotnost vytlačené tekutiny) a Di = - J (€ijkpxj)tk dV (IX.30) v čili D = -JrxpgdV = -MR xg = RxF , (IX.31) v kde fi je polohový vektor středu hmotnosti vytlačené tekutiny. Vztah (IX.29) představuje Archimédův zákon. Poloha tělesa v tekutině je rovnovážná v případě, že síla F (hydrostatický vztlak) a její moment D se ruší silou a momentem síly gravitačního působení na těleso. Tato rovnováha nemusí být nutně stabilní. IX.3 Izoentropický pohyb Při zanedbání tepelné výměny, tj. za předpokladu adiabatičnosti probíhajících procesů, platí v ideální tekutině podle (IX.9) s = s0 (IX.32) podél pohybu každého jejího elementu. Přepíšeme-li rovnici (VIL 161) do tvaru vztaženého k jednotce hmotnosti jako Tds = de+pd(^j , (IX.33) 212 můžeme odtud při znalosti stavových rovnic určit entropii jako funkci hustoty hmotnosti a tlaku a = 8(piP). (IX.34) Z konstantnosti s, viz (IX.32), pak plyne, že podél pohybu elementu kontinua platí určitá závislost mezi p a p. Pokud je na počátku hustota entropie v celé tekutině stejná, je tento vztah stejný všude v tekutině, tj. p = p(p) . (IX.35) Pohyb probíhající při konstantním s v prostoru i v čase se nazývá izoentropický. Izoentropickým pohybem je například vlnění v látce, která byla na počátku v homogenním stavu, čímž byla zaručena nezávislost s na souřadnicích. S dobrým přiblížením lze považovat za izoentropické děje v atmosféře, kde dochází k neustálé adiabatické výměně vzdušných mas, takže stav atmosféry můžeme přibližně popsat jako stav izoentropické rovnováhy. Ilustrujme předchozí závěry příkladem ideálního plynu, jehož stavové rovnice mají tvar kT e = CVT, p = p— , (IX.36) m kde Cy = konst je izochorická tepelná kapacita plynu (derivace vnitřní energie jednotky hmotnosti podle teploty počítaná při konstantním objemu). Rovnice (IX.33) pro tento případ dává ds = Cv Vyloučíme-li odtud T pomocí termické stavové rovnice (IX.36), dospějeme k výrazu pro entropii jakožto funkci p a p s = Cvln{j%)' (IX-39) kde =1+ik (IX-40) je Poissonova konstanta. Užijeme-li ještě Mayerova vztahu (Cp je tepelná kapacita jednotky hmotnosti při konstantním tlaku) Cp - Cv = - , (IX.41) m 213 obdržíme pro 7 výraz 7 = ä • (IX'42) Vzhledem ke konstantnosti s podél pohybu elementu plyne z (IX.39) vztah mezi tlakem a hustotou hmotnosti p = Ap1 , (IX.43) kde A je konstanta. Pokud jde o izoentropický proces, je hodnota konstanty A stejná pro všechny elementy dané tekutiny, takže předchozí vztah může sloužit jako stavová rovnice. Procesy řídící se rovnicí (IX.43) (s libovolným 7) se nazývají polytropními. Příkladem polytropního děje je i děj izotermický, kdy 7 = 1. IX.4 Eulerovy rovnice. Rovnice Bernouiliho Pohybové rovnice v užším slova smyslu (IX.7) se v případě ideální tekutiny nazývají Eulerovy rovnice. Pokud mají objemové síly potenciál U (jako je tomu v případě působení gravitace), lze tyto rovnice psát jako dv p — — -grad p — p grad U , (IX.44) dí popřípadě využitím (VII.8) — 4- (v V) v = — grad p — grad U . (IX.45) ot p Pro izoentropický pohyb můžeme také napsat + („ y) v = -grad (h + U) , (IX.46) kde (IX-47) píp) je entalpie jednotky hmotnosti. Tato interpretace veličiny h plyne z rovnic (VIL 164), které mají pro jednotku hmotnosti tvar h = e + - , d/i = Tás 4- — . (IX.48) P P 214 Další zápis Eulerových rovnic obdržíme užitím vzorce z vektorové analýzy - grad v2 = v x rot v + (v V) v . (IX.49) Rovnice (IX.46) má pak tvar d v 1 — + - grad v2 - v x rot v = -grad (h + U) . (IX.50) Aplikujeme-li na obě strany této rovnice operaci rotace, obdržíme formuli Q — rot v — rot (v x rot v) (IX.51) ot obsahující pouze rychlost tekutiny. Připomeňme si pojem proudnice. Proudnicí se rozumí taková myšlená křivka, jejíž tečné vektory jsou zároveň rychlostmi částic na této křivce se nacházejících. Platí tedy, že ^ = * = ?1 . (Dí.52) VX Vy VZ Nadále se budeme zabývat stacionárním (ustáleným, časově neproměnným) pohybem tekutiny, kdy platí S=° (ix-53) a proudnice splývají s trajektoriemi částic tekutiny. Parametrizujme proudnici její délkou / a vynásobme rovnici (IX.50) skalárně jednotkovým vektorem l tečným k proudnici. Pro projekce příslušných členů v této rovnici vystupujících zřejmě platí Z grad {h + U) = d U) , (IX.54) dt / (v x rot v) = 0 , (IX.55) takže z rovnice (IX.50) pro stacionární proudění dostáváme, že podél proudnice platí ji(j+h+u)=° a tedy v2 + h + U = konst . (IX.57) 215 Hodnota konstanty se, obecně řečeno, může měnit při přechodu k jiné proud-nici. Rovnice (IX.57) se nazývá rovnici Bernoulliho. Vzhledem k obtížné stlačitelnosti tekutin je často možné pokládat zkoumanou tekutinu za zcela nestlačitelnou a klást dv ~dt p = konst (IX.58) v prostoru i v čase. Pak rovnice kontinuity přechází na tvar div v = 0 , (IX.59) Eulerovy rovnice dávají + („ V) v = grad + (IX.60) a Bernoulliho rovnice je 2 *L + t + u = konst . (IX.61) 2 p Pro určení mechanického pohybu nestlačitelné tekutiny (proměnné v,p) stačí tedy rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice; tj. tento pohyb může být určen na základě zákonů mechaniky bez přihlížení k termodynamickým zákonům a stavovým rovnicím. Povšimněme si, že i v této nejjednodušší formě jsou rovnice hydrodynamiky nelineární, což je způsobeno členem (vV)v. Součet dvou řešení Eulerových rovnic již proto není jejich řešením (srovnej například zkřížené svazky vody tryskající z hadic a zkřížené světelné svazky, které se na rozdíl od nich řídí lineárními rovnicemi). Nelineárnost Eulerových rovnic značně komplikuje nalézání jejich řešení. Poznamenejme ještě, že na základě (IX.47) bychom mohli člen p/p považovat za hustotu entalpie. V případě stavové rovnice ideální tekutiny (IX.58) však užití (IX.47) neumožňuje zachytit závislost entalpie na entropii a musíme proto užít prvního vztahu (IX.48). Veličiny h a p/p se tedy liší o hustotu vnitřní energie e, která je však za předpokladu zanedbání tepelné výměny během pohybu daného elementu kontinua konstantní de ^ = 0 , (IX.62) jak to vyplývá z (IX.8) a (IX. 1). 216 IX.5 Tok hybnosti a energie Připomeňme si tvar pohybových rovnic (VII. 129) d (pvi) daik dt dxk = Pfi ■ (IX.63) Zde G{k představuje tenzor absolutních napětí, který má pro ideální tekutinu tvar o~ik = -pviVk - pôik . (IX.64) Za předpokladu, že objemové síly jsou nulové, je rovnice (IX.63) rovnicí kontinuity pro komponenty hybnosti pv{ (vztažené na jednotku hmotnosti tekutiny). Integrací přes objem V pevný v prostoru a užitím Gaussovy věty lze odtud obdržet integrální vztah j pvidV = j> pv dS (IX.69) získaného integrací rovnice (IX.67) a užitím Gaussovy věty za předpokladu nulovosti objemových sil. První člen na pravé straně je energie, která prošla za jednotku času uzavřenou nehybnou plochou S. Druhý člen je práce vykonaná tlakovými silami působícími na hranici daného objemu. Pro izolované a prostorově ohraničené kontinuum dostáváme stejným způsobem jako v případě hybnosti zákon zachování energie -MH E = j p\— + e] dV . (IX.70) v Přítomnost objemových sil / v rovnicích (IX.63) a (IX.67) na první pohled narušuje platnost rovnic kontinuity a tím i zákonů zachování energie a hybnosti. Teorie pole však umožňuje vyjádřit tyto síly takovým způsobem, že jejich poli rovněž přísluší hustota a tok hybnosti, popř. energie, a členy s objemovými silami lze tak zahrnout do celkových rovnic kontinuity pro soustavu látka + pole. IX.6 Cirkulace rychlosti. Potenciálový pohyb Mějme v kontinuu uzavřenou křivku tvořenou částicemi, které se účastní jeho pohybu. Cirkulací rychlosti podél této křivky s se nazývá integrál (IX.71) s 218 Při pohybu částic tekutiny dochází i k pohybu celé křivky. Zkoumejme, jak se mění cirkulace s časem, tj. vypočtěme derivaci cl / VÚr ' (IX.72) s(t) Výpočet můžeme provést i pro obecnější situaci, kdy je podél libovolné (třeba i neuzavřené) časově proměnné křivky zadáno vektorové pole P(r, t). Jde o obdobnou úlohu, jakou jsme se zabývali v VIL 7 pro pohyblivý objem. Chceme tedy vypočíst s(t) s(0) kde a je parametr, který je „unášen" spolu s křivkou, takže má pro každý bod unášené křivky konstantní hodnotu. Vzhledem k tomu lze derivaci uvést za integrál a psát d ľ _. ľ íáPár „ d dr\ , + P---- dcr = dt J J V dí der do dt) 8(t) 5(0) ľ fdPdr di/\ J = / UoV+^J^ (IXJ4) s(Q) Užitím pravidla pro derivování součinu ve druhém členu a rozepsáním totální derivace v prvém členu dostaneme A j Pdr - j - v x rotP + grad (Pvfj dr = s(t) s(0) = J (j£ -v x rotp) dr + [P»]J , (IX.75) s(0) kde A, B jsou krajní body křivky. Pro uzavřenou křivku druhý člen vymizí a klademe-li navíc P — v, máme pro časovou změnu cirkulace íiF = j {% ~VXľ0t v) dr (IX.76) s 219 (užili jsme toho, že počáteční okamžik mohl být zvolen libovolně). Protože však (spojením (VII.8) a (IX.49)) áv dv 1 l9 /T__ _„x ~ďt='di + 2S V V X r0t V ' ( ^ můžeme také psát WS*- ™ Pro izoentropický pohyb v potenciálovém poli však platí (IX.48), tj. ^ = -grad (h + U) (IX.79) dť a tedy integrál na pravé straně (IX.78) je nulový. Proto f = 0 . (IX.80) V ideální tekutině za daných předpokladů je tedy cirkulace rychlosti podél uzavřené „tekoucí" křivky konstantní veličinou (Thomsonova věta). V ba-rotropní, popř. nestlačitelné, tekutině stačí pro její odvození předpokládat potenciálnost sil. V řadě případů je pohyb ideální tekutiny pohybem potenciálovým (ne-vířivým), kdy v celé tekutině platí rot v = 0 . (IX.81) Je-li oblast zaplněná tekutinou jednoduše souvislá (tj. pokud lze každou křivkou proložit plochu ležící zcela v této oblasti), dostáváme užitím Stoke-sovy věty pro libovolnou uzavřenou křivku r = j>vár = J rot v áS = 0 . (IX.82) s S V jednoduše souvislé oblasti tedy nemohou při nevířivém proudění existovat uzavřené proudnice. Z rovnice (IX.81) plyne, že rychlost v tekutiny lze vyjádřit jako gradient nějakého skalárního pole, tedy v = grad

(IX-86) kde / (t) je libovolná funkce času. Potenciál (p je určen až na libovolnou funkci času, takže funkci / lze do něho zahrnout. Pro stacionární pohyb tekutiny, kdy | = 0 , (IX.87) lze vybrat funkce

eijkXjpnk áS . (IX.97) s Na závěr si ukažme překvapivý důsledek vyložené teorie. Nechť je obtékané těleso zrcadlově symetrické vzhledem k rovině kolmé na směr proudění (tuto podmínku splňuje koule nebo válec s osou ve směru proudění či s osou na směr proudění kolmou). Z vratnosti proudění ideální tekutiny vyplývá, že tuto symetrii bude mít též rychlostní pole a na základě Bernoulliho rovnice i rozložení tlaků (předpokládáme, že v tekutině nepůsobí objemové síly). Vzhledem k popsané symetrii je integrál (IX.96) roven nule, na těleso obtékané kapalinou tedy nepůsobí žádná výsledná síla, popř. kapalina neklade rovnoměrnému a přímočarému pohybu tělesa žádný odpor. Tomuto závěru, který je v zřejmém rozporu se zkušeností, se říká ďAlembertův paradox. Uvedený rozpor svědčí o nesplnitelnosti uvedených předpokladů. V každé reálné tekutině existuje v důsledku její vazkosti v blízkém okolí obtékaného tělesa hraniční oblast, v níž již nelze považovat pohyb tekutiny za potenciálový (nevírový) a samotnou tekutinu nelze pokládat za ideální. 223 IX.8 Zvukové vlny Ideální tekutina nechť se nejprve nachází v rovnovážném stavu s konstantními hodnotami hustoty a tlaku po, po- Objemové síly nechť na kontinuum nepůsobí. Z nějakého důvodu nechť v kontinuu dojde k malým odklonům (malým poruchám) od hodnot po,po, takže pro „porušené" hodnoty hustoty p a tlaku p platí p = p0 + p'(xi,t) , (IX.98) p = Po+p'(xitt) , (IX.99) přičemž \p'\ c). Z obrázku je pak patrné, že příslušné vektory v + cn mohou ležet pouze uvnitř kužele o vrcholu v bodě O, jehož plášť je tvořen tečnami ke kouli. Pro vrcholový úhel 2a zřejmě platí sina = - = ~ , (IX. 122) v M v ' kde výrazu M = - (IX. 123) C se říká Machovo číslo. Porucha vzniklá v bodě o nemůže zřejmě nikdy zasáhnout oblast vně tohoto kužele. Plochy ohraničující oblasti, které mohou být ovlivněny poruchou vzniklou v daném bodě, se nazývají charakteristikami. Není obtížné 52 Mohlo by se zdát, že zvláštní povaha nadzvukového proudění je v rozporu s principem relativity, který vždy dovoluje zavést místní klidový systém beze změny tvaru fyzikálních zákonů. Ve skutečnosti, jak si čtenář sám rozmyslí, jde dále vždy o relativní rychlosti (rychlost zdroje poruch či rázové vlny vůči tekutině). 227 Obr. 18: Šíření poruch při nadzvukové rychlosti. Je-li rychlost plynu v > c, mohou poruchy vzniklé v bodě O zasáhnout pouze vnitřek charakteristického kužele o vrcholovém úhlu a. vidět, že v případě obecného stacionárního proudění již nejsou charakteristické plochy kužely. Nakreslí-li si čtenář obr. 18 pro případ v < c, okamžitě se přesvědčí, že v případě podzvukového proudění může porucha zasáhnout celý prostor, takže zde žádné charakteristické plochy neexistují. Jinou závažnou specifickou vlastností nadzvukového proudění je možnost vzniku rázových vln. Předpokládejme, že se v kontinuu z nějakých důvodů vytvořila plocha, na níž se některé fyzikální veličiny mění skokem. Uvažujme o elementu této plochy nespojitosti, zvolme vztažný systém, v němž se tento element v daném okamžiku nepohybuje v normálovém směru, a zaveďme osu x ve směru normály. Kontinuum může plochou nespojitosti protékat, přičemž změny veličin při průchodu přes ni jsou vázány univerzálně platnými fyzikálními zákony — zákonem zachování hmotnosti, energie a hybnosti. Především je třeba, aby množství plynu vtékajícího do plochy nespojitosti bylo rovno množství plynu vytékajícího z této plochy. Vztáhneme-li naše úvahy na jednotku plochy a času, musí platit neboli kde jsme zavedli označení PlVlx = P2V2x [pvx] = 0 , [pvx] = piVix - p2V2x (IX. 124) (IX.125) (IX.126) (indexy 1,2 odlišujeme veličiny na obou stranách plochy nespojitosti). Dále 228 musí být spojitý i tok energie (IX.68), tedy v pvx\—+h = 0 (IX.127) Konečně se žádá, aby byl spojitý i tok hybnosti. Tok hybnosti jednotkovou plochou je dán výrazem (IX.64), tj. pni + pviVkrik. Pro komponentu x toku hybnosti tedy musí platit 'p + pVx2] =o (IX.128) a pro komponenty y a, z obdržíme [pvxvy] = 0 , [pvxvz] = 0 . (IX. 129) Rovnice (IX.125), (IX.127), (IX.128) a (IX.129) tvoří úplný systém hraničních podmínek na ploše nespojitosti. Z těchto podmínek lze vyvodit, že existují dva typy ploch nespojitosti. Prvním typem nespojitosti, tangenciálními nespojitostmi, při nichž vrstvy tekutiny po sobě „sklouzávají", se vůbec nebudeme zabývat53. Druhý případ je charakterizován tím, že plochou nespojitosti plyn protéká a rychlosti v\x a v2x jsou od nuly různé. Z podmínek (IX.125) a (IX.129) plyne, že [vy] = 0 , [vz] = 0 , (IX. 130) tangenciální rychlost je spojitá na ploše nespojitosti. Hustota hmotnosti, tlak (a tedy i další termodynamické veličiny), normálová rychlost se mění skokem, tyto skoky jsou určeny uvedenými vztahy. Rovnici (IX.127) lze vykrátit výrazem pvx a místo v2 psát vx2 (vzhledem ke spojitostem vy a^). V uvažovaném případě mají tedy na ploše nespojitosti hraniční podmínky tvar [pvx] = 0 , + h = 0 , [p + pvx2] = 0 (IX.131) Nespojitosti tohoto druhu se nazývají rázovými vlnami. Rázové vlny vznikají v důsledku náhlého a intenzivního silového působení, například elektrického výboje, exploze či pohybu tělesa nadzvukovou rychlostí (blesku, špičky biče, tryskového letadlo). Toto působení může vyvolat rázovou vlnu okamžitě anebo uvést kontinuum do takového pohybu, že se v něm rázová vlna po krátké době utvoří. Rázové vlny se dnes mnohostranně využívají v praxi, například v lékařství. 53 Tyto nespojitosti jsou dosud teoreticky i experimentálně málo prozkoumány. 229 Vzhledem ke spojitosti tečné složky rychlosti na rázové vlně můžeme vybrat takovou vztažnou soustavu, ve které je tato složka rovna nule. Dále budeme předpokládat, že plyn protéká z oblasti 1 (x < 0) do oblasti 2 (x > 0). Místo normálové komponenty vx lze pak prostě psát v a podmínky (IX. 131) mají tvar P\v\ = P2V2 - 3 » Pi +P1V12 =P2 +P2V22 , ^1 + ^ = ^2 + ^, (IX.132) kde j značí hustotu toku plynu plochou nespojitosti. Zavedeme-li specifické objemy Vi = - , V2 = - , (IX.133) Pl P2 z druhé rovnice (IX.132) obdržíme ŕ = • CDU*) Tento vzorec spolu s prvními rovnicemi (IX.132) přepsanými jako vi=jVlt v2=jV2 (IX.135) váže rychlosti pohybujícího se plynu s tlakem a hustotou plynu vždy na obou stranách plochy nespojitosti. V další části si budeme všímat pouze reálně možné situace, kdy P2>Pi, (IX. 136) Vi > V2 , (IX.137) tj. plyn prošlý plochou nespojitosti se stává hustším a je v něm větší tlak. Zapišme nyní třetí rovnici (IX.132) ve tvaru hi + J-^- = h2 + J-f~ ■ (IX.138) Dosadíme-li sem za j2 z (IX. 134), obdržíme h2 - hx = \ (p2 -pí) (- + -) ■ (IX.139) 2 \p2 Pi) 230 Tento vztah nazývaný Hugeniotovou-Rankinovou adiabatou (rázovou adia-batou) určuje vztah mezi P2, P2 při zadaných pi, p\. Spolu s jinými termodynamickými veličinami je v rázové vlně nespojitá i hustota entropie s. Vzhledem k zákonu růstu entropie může entropie plynu při uvažovaném pohybu pouze vzrůstat. Entropie plynu s2, který prošel rázovou vlnou, musí být větší než entropie s\ tohoto plynu před průchodem s2 > si . (IX. 140) S uvážením empirického poznatku, že adiabatická stlačitelnost látek vždy klesá s rostoucím tlakem, tj. (IX.141) lze podrobnějším rozborem odvodit, že musí, vedle (IX. 136) a (IX. 137), platit nerovnosti vi > ci , v2 < c2 , (IX. 142) «i > v2 , (IX. 143) kde ci, C2 jsou rychlosti zvuku na obou stranách plochy nespojitosti. Vidíme, že vůči plynu v oblasti 1, který dosud neprošel rázovou vlnou, se plocha nespojitosti pohybuje nadzvukovou rychlostí. K růstu entropie v rázových vlnách dochází disipací energie v tenkých vrstvách plynu, v nichž se odehrávají rychlé změny hodnot fyzikálních veličin a které fakticky tvoří rázovou vlnu. Nyní si stručně všimneme rázových vln v ideálních plynech. Poměr teplot na obou stranách plochy nespojitosti získáme ze stavové rovnice ideálního plynu jako ^ = ^- (IX.144) Dále poměr specifických objemů lze získat z Hugeniotovy-Rankinovy adia-baty (IX. 139), vypočteme-li entalpii h ideálního plynu z její definice a ze stavové rovnice jako h = e+- = -^-- . (IX.145) p 7-1 Dostaneme tak Yl = (7 + l)Pi + (7-l)P2 /IX 146} Vi (7-l)Pi + (7 + l)l>2 231 a tedy ľ2 Ti P2 Pl (7 + l)pi + (7-l)p2 (IX. 147) .(7- l)Pi + (7+ 1)P2. Poměr rychlostí i>i a i>2 je podle (IX. 135) stejný jako poměr specifických objemů. Pro rázové vlny velké intenzity platí 7 + 1 P2 >--- Pl 7-1 Bude pak a Yi Vi Ti Ti 7-1 7 + 1 7 - 1 P2 Pl P2 (IX.148) (IX.149) (IX.150) 7 + 1 pi Poměr T2/T1 tedy neomezeně roste spolu s poměrem P2/P1, zatímco poměr hustot hmotnosti se blíží ke konstantě. Například pro jednoatomový ideální plyn 7 = 5/3, bude Vi v2 = - P2 = 4/9l , a pro dvouatomový plyn, kdy 7 = 7/5, platí P2 = Qpi , v2 = Ví (IX.151) (IX.152) IX. 10 Příklady 1. Určete tvar povrchu nestlačitelné kapaliny nacházející se v gravitačním poli ve válcové nádobě. Nádoba nechť rotuje kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí Í2. Řešení: Osu válce označme z, pak platí vx — —Í2y, vy = Í2x, vz = 0 a Eulerovy rovnice jsou stf-ij*. yífi = -^, l^ + 9 = 0. (IX.153) p ox p oy p oz Obecný integrál těchto rovnic můžeme psát ve tvaru l = i Q2 (x2 + y2) -gz + konst . (IX. 154) p 2 \ ' ■ 232 Na povrchu vody zřejmě platí p = konst, takže hledaná plocha je paraboloidem 2 (X.3) kde Cijki představují komponenty tenzoru 4. řádu (protože t{j+ i nki představují komponenty tenzoru). Vzhledem k symetrii tjj+ platí Cijki = Cjiki (X.4) a vzhledem k symetrii 77^/ lze předpokládat i Cijki — Cijik (X.5) (vzhledem k symetrii r}ki antisymetrická část Cijki v indexech k, l neovlivňuje tenzor napětí). Vzhledem k izotropii (ekvivalenci směrů) v tekutině musí být vztah mezi tenzory tíj+ a r)ki stejný ve všech kartézských systémech souřadnic. Stojíme tedy před formálně zcela analogickým problémem, jakým jsme se již zabývali v VIII. 2. Proto můžeme převzít i řešení a tenzor Cíjm bude mít tvar Cijki = > —v). Podobně jako Eulerovy rovnice mohou být i rovnice Navierovy-Stokesovy za jistých předpokladů přepsány na tvar obsahující pouze rychlost a určující tedy kinematiku proudění. Mají-li objemové síly působící na tekutinu potenciál, tj. je-li / = -grad U , (X.14) využijeme toho, že rotace gradientu je rovna nule, a aplikujeme na obě strany (X.13) operaci rot. Tak dostaneme čistě kinematické rovnice — - rot (v x H) = -AÍ2 , kde íi = rot v . (X.15) dt K ' p ' v ' I když jde o šest rovnic pro šest neznámých, nestačí k úplnému určení pohybu, protože zadání počátečních hodnot v, Í2 určuje pouze časovou změnu rotace rychlostního pole a neříká nic o chování jeho divergence. Proto je třeba využít i rovnice kontinuity vyplývající z nestlačitelnosti tekutiny div v = 0 . (X.16) 237 Povšimněme si ještě okrajových podmínek k Navierovým-Stokesovým rovnicím. Nejčastěji se zabýváme tekutinou proudící mezi pevnými stěnami. U vazké tekutiny dochází v důsledku tření k zastavení tekutiny u stěny a okrajová podmínka (IX.91) platná v ideální tekutině je tedy nahrazena silnější podmínkou v = 0 (X.17) platnou v místě dotyku tekutiny s nehybnou stěnou. V případě, že se stěna pohybuje, je rychlost vazké tekutiny na stěně rovna rychlosti stěny ve styčném bodě. X.4 Termodynamika vazkých tekutin U vazké nestlačitelné tekutiny stačí Navierovy-Stokesovy rovnice spolu s rovnicí kontinuity k určení rychlostního pole a tlaku v tekutině. I v tomto případě však může být důležité znát rozložení termodynamických veličin v tekutině. V obecnějším případě pak termodynamické procesy ovlivňují i kinematiku proudění a rozložení tlaku v tekutině. Najděme proto konkrétní podobu rovnice pro vnitřní energii (VII. 168) a rovnice pro entropii (VII. 169). Pro tepelný tok budeme předpokládat q — —k grad T , (X.18) kde k > 0, tj. teplo „teče" proti směru gradientu teploty. Pro koeficient tepelné vodivosti k se předpokládá závislost k = k{p,T) , (X.19) konkrétní tvar závislosti se najde z experimentu. Vyjdeme z rovnice (VII. 147) pro změnu vnitřní energie, do níž dosadíme (X.l), (X.8) a (X.18). Dostaneme tak de ,. „ ,,. .o /dvi dví dv; dv«\ ,. ,, , m. Pďt =~P^^^ (*v .,- + ,^5. + _^J+dw(* grad T) . (X.20) Užijeme-li termodynamického vztahu54 (IX.33) de = Tds + ^dp (X.21) P 54 Mohlo by se namítnout, že tento vztah platí jen v rámci rovnovážné termodynamiky, pozor však na text spojený se vzorcem (X.10). 238 a rovnice kontinuity (VII. 166) Yt = -P div v > (X-22) dostaneme dosazením těchto vztahů do (X.20) což je rovnice (VII. 169) pro entropii, v níž je disipativní funkce určena jako D — X (ď v)2 + (-+■ ^Vj] (X 24) P \dxj dxj dxj dxi J a v nestlačitelné tekutině se v důsledku (X.16) redukuje na druhý člen. Disipativní funkci je možné vyjádřit také pomocí tenzoru rychlosti deformace D = X (m)2 + 2prjikriik . (X.25) Protože podle druhé věty termodynamické nemůže být disipativní funkce záporná, musí pro koeficienty vazkosti platit A > 0, /i > 0. (X.26) Všimněme si, že pro nestlačitelnou tekutinu v klidu dostáváme z (X.20) rovnici vedení tepla v této tekutině. Za předpokladu, že koeficient tepelné vodivosti k a tepelnou kapacitu Cy lze v uvažovaném rozmezí teplot a tlaků považovat za konstantní, je tato rovnice ve tvaru pCy = kAT . (X.27) X.5 Proudění trubicí. Hagenův-Poiseuilleův zákon Zmínili jsme se již o tom, že řešení Eulerových rovnic je komplikováno jejich nelinearitou. U vazkých tekutin přináší další komplikaci člen odpovídající vazkosti, který obsahuje druhé derivace rychlostního pole podle souřadnic a zvyšuje tak řád rovnic. Není proto divu, že jejich analytické řešení se podaří nalézt jen v nejjednodušších případech. Velmi prostým, ale prakticky důležitým případem proudění vazké nestlačitelné tekutiny je její protékání válcovou trubicí. Nechť délka trubice 239 je /, poloměr R a tlakový rozdíl na počátku a na konci trubice (tj. přetlak, jimž je tekutina do trubice vháněna) činí 5p. Položme osu kartézského systému z do osy trubice a zaveďme válcové souřadnice r, + V)' = 0, (X.32) kde jsme čárkou označili derivaci podle r. Trojí integrací dostáváme v = Ar2 + B\nr + C. (X.33) Pro určení integračních konstant užijeme okrajových podmínek v (r) = 0 , v (0) = V (X.34) (druhá podmínka vyjadřuje, že rychlost na ose trubice má jistou konečnou hodnotu). Z těchto podmínek vyplývá V (H2-r2) . (X.35) Vzhledem ke kvadratické závislosti rychlosti na vzdálenosti od středu trubice mluvíme o parabolickém zákonu, viz obr. 19. 240 2R = L Obr. 19: Parabolický profil rychlostí. Na obrázku je osový řez trubicí protékanou vazkou tekutinou a rychlostní pole v tomto řezu. Zajímáme-li se i o rozložení tlaků, je nutné užít Navierových-Stokeso-vých rovnic ve tvaru (X.13). Objemové síly / budeme pokládat za nulové (v dostatečně tenké vodorovné trubici je vliv gravitace zanedbatelný). Pak máme gradp = pAv (X.36) a vypočteme-li pravou stranu této rovnice užitím (X.35), zjistíme, že p = po - óp- , (X.37) přičemž ? - *ř ■ (X-38) Využitím vztahů (X.35) a (X.38) můžeme nyní vypočítat průtok trubicí za jednotku času R Q = í v {r) 27rrdr = -j-R* . (X.39) 0 Tento vztah se nazývá zákon Hagenův-Poiseuilleův. Vypočtěme ještě střední rychlost tekutiny v trubici. Je tj. střední rychlost tekutiny je rovna polovině rychlosti na ose. Platnost vztahů (X.35) až (X.38) se však experimentálně potvrzuje pouze v jistém oboru parametrů. Předpokládejme například, že prostřednictvím změny přetlaku Sp měníme maximální rychlost proudění V. Pak při malých hodnotách této rychlosti odpovídá rozložení rychlostního pole parabolickému zákonu (X.35). Mluvíme o laminárnim (tj. vrstevnatém) proudění, 241 poněvadž jednotlivé vrstvy tekutiny o daných vzdálenostech od osy se spolu nemísí, trajektorie částic jsou rovnoběžné s osou trubice. Po překročení jisté kritické hodnoty rychlosti se však charakter proudění náhle změní. Trajektorie částic se začnou chaoticky proplétat, takže tekutina se rychle mísí. Dříve odvozené vztahy pro laminární proudění ztrácejí platnost. Nový typ proudění se nazývá proudění turbulentní. Experiment ukazuje, že stejného efektu dosáhneme také zvětšováním rozměrů trubice či hustoty tekutiny anebo snižováním její vazkosti. X.6 Turbulentní proudění Vznik turbulentního proudění neznamená, že by Navierovy-Stokesovy rovnice přestaly platit. Svědčí pouze o tom, že jejich jednoduché řešení, vyjádřené parabolickým zákonem, přestalo být stabilní vzhledem k poruchám, které se v tekutině vyskytují v důsledku malých odchylek počátečních i okrajových podmínek od ideální symetrie. Nestabilita řešení znamená, že při malé změně v počátečních a okrajových podmínkách se řešení změní podstatně. Setkáváme se jak s nestabilitou vůči poruchám přesahujícím jistou minimální mez — v tom případě je uvažované řešení metastabilní, tak i s absolutní nestabilitou vůči libovolně malým poruchám. Je zřejmé, že absolutně nestabilní řešení má čistě matematický charakter a nemůže odpovídat realitě. Metastabilní řešení se může realizovat jen tehdy, je-li zaručeno, že poruchy budou dostatečně malé. Vidíme tedy, že pro teoretické posouzení reality řešení nestačí znát toto řešení samo, ale je třeba zkoumat jeho postavení v celé množině řešení. To je ovšem úloha mnohem obtížnější než nalezení jistého konkrétního řešení a není divu, že nemůže být (alespoň za současné úrovně matematiky) zpravidla rozřešena v celé obecnosti. Tak je tomu i v případě proudění vazkých tekutin. Vylíčený vznik turbulence ve válcových trubicích je jen speciálním případem jevu mnohem obecnějšího. Také při proudění mezi stěnami nej různějšího typu anebo při obtékání těles dochází při růstu délkových rozměrů, rychlostí a hustot a při klesání vazkosti ke vzniku turbulence, tj. k přeměně uspořádaného a v případě vnější symetrie této symetrii odpovídajícího la-minárního proudění v chaotické proudění turbulentní. S turbulencí se setkáváme v širokém rejstříku jevů jak v přírodě, tak i v lidské praxi. Je důležitá v technických zařízeních (mosty, turbíny, letadla), v biologických systémech (krevní oběh), v atmosférických dějích (předvídání počasí) i v situacích astrofyzikálních a kosmologických (vývoj hvězd, raná stadia vesmíru). 242 U problémů tohoto typu nejde zřejmě o nalezení konkrétního chaotického řešení, které má v mnohém náhodný charakter, ale o zjištění statistických vlastností množiny řešení, které jedině mohou být experimentálně ověřeny. Nemůžeme se zde těmito otázkami zabývat podrobněji. Některé knihy o jevu chaosu uvádíme v seznamu literatury. My se omezíme na výklad základní myšlenky, které se používá pro studium turbulence ve vazké nestlačitelné tekutině. Předpokládáme, že v turbulentním proudu tlak i rychlost kolísají okolo jistých středních hodnot, takže lze psát v — v + v* , p = p + p* , (X.41) přičemž střední hodnoty pulzačních složek v*, p* jsou nulové. Provedeme středování Navierových-Stokesových rovnic, které využitím rovnice kontinuity přepíšeme do tvaru V lineárních členech stačí při středování nahradit okamžité hodnoty hodnotami středními. Pro kvadratický výraz V{Vj platí (využitím (X.41)) V{Vj = (ví + ví*) (vj + vj*) = ViVj 4- ví*vj* . (X.43) Vystředované Navierovy-Stokesovy rovnice jsou tedy dvi 1 dp u . d ,-v .„r Á Á. dŕ p oxi p oxk Tyto rovnice se nazývají rovnice Reynoldsovy. Porovnáním s obecnými rovnicemi pro pohyb kontinua tedy vidíme, že vliv turbulence na střední hodnoty hydrodynamických veličin je ekvivalentní zavedení nového efektivního tenzoru napětí tíj* = -pvfvj* . (X.45) Z matematického hlediska to znamená, že v Reynoldsových rovnicích je oproti rovnicím Navierovým-Stokesovým zvýšen počet neznámých o 6 složek symetrického tenzorového pole (X.45). Aby bylo možné rovnice rozřešit, je tedy třeba dodatečné hypotézy o souvislosti r^* se středními hodnotami hydrodynamických veličin. Často se postupuje tak, že se v analogii s tvarem tenzoru vazkých napětí tíj+ postuluje Tij* = A*turb (Vij + Vjti) , (X.46) 243 takže již zbývá jediná neurčená veličina, koeficient turbulentní vazkosti Ptmb- O závislosti tohoto koeficientu na poli středních rychlostí jsou opět činěny různé hypotézy. Pro ilustraci uveďme hypotézu Prandtlovu — podle ní je _ Ptmb = pl2Vř}ikřjik , (X.47) kde fjik je tenzor rychlosti deformace určený ze středních rychlostí a l udává tzv. směšovací délku, o níž se předpokládá, že je úměrná vzdálenosti d daného bodu tekutiny od stěn, tj. I = Kd , (X.48) přičemž bezrozměrná konstanta k se určí empiricky. I když pro tuto hypotézu lze uvést jisté důvody, je zřejmé, že výsledky o ni se opírající mají daleko k vyvození „z prvních principů", které je ideálem teoretické fyziky. Existuje také řada dalších hypotéz umožňujících řešit Reynoldsovy rovnice. Lze říci, že užitím různých hypotéz dospíváme při jejich praktické aplikaci často k podobným výsledkům, které skutečnost dosti dobře potvrzuje. X.7 Teorie podobnosti Obtížnost či nemožnost matematického řešení úloh dynamiky vazkých tekutin vede k tomu, že jsme často odkázáni na zmenšené modely, na nichž studujeme průběh proudění experimentálně a získané výsledky přenášíme na situaci, jež nás původně zajímala. To ovšem neznamená, že by se teorie stávala zbytečnou, protože jedině teorie nám umožní závěry získané na modelu přenést správně. Přírodní zákony nejsou totiž invariantní vůči záměně měřítka a nelze se proto omezit na triviální násobení získaných dat. Modelováním hydrodynamických a aerodynamických jevů se zabývá teorie podobnosti. Stejně jako dříve, se při jejím výkladu omezíme na některé základní výsledky a myšlenky. Zajímejme se o kinematickou stránku proudění vazké nestlačitelné tekutiny, tj. o rovnici — + rot (Í2xv) = -AÍ2 . (X.49) ot p Mějme jistou hydrodynamickou situaci, kterou chceme modelovat. Nechť je charakterizována délkovým rozměrem L a rychlostí V (charakteristická délka a rychlost). U problému proudění válcovou trubicí můžeme volit za tuto délku průměr trubice a rychlost proudění na ose, v případě obtékání tělesa některý z jeho rozměrů a rychlost proudu v dostatečné vzdálenosti 244 od tělesa. Zaveďme nyní nové jednotky vzdálenosti a času tak, aby v nich byla charakteristická délka i rychlost rovny jedné. Toho zřejmě dosáhneme zavedením nových proměnných r', v' tak, že r = r'L, v = v'V. (X.50) Mějme nyní model zkoumané situace, tj. geometricky podobné uspořádání obtékaných stěn a těles. Tento model je opět charakterizován jistými hodnotami L a, V. Provedením transformací (X.50) dáme i těmto veličinám jednotkovou velikost. V proměnných r', v' je tedy ve všech modelech stejná (jednotková) délka L i rychlost V. Názorně lze říci, že natočíme-li děj probíhající v různých modelech na film a změníme měřítko obrazu a tempo promítání podle (X.50), máme naději, že uvidíme ve všech případech totéž. Není však zaručeno, že bude stejně vypadat i celé rychlostní pole v tekutině. K tomu je nutné, aby po přepisu Navierových-Stokesových rovnic do čárkovaných proměnných byly tyto rovnice ve všech modelech identické. Proveďme tento přepis. Je zřejmě d V d 1 , 1 rLä?' rot=zrot, 4 = -^, V V Q = rot v = — roť v' = — Q' (X.51) Li Li a dosazením do rovnic (X.49) je tak převedeme na tvar ^ + roť (O' x v') = -^-A'Í2' . (X.52) Ol p Li V Kinematické Navierovy-Stokesovy rovnice mají tedy stejný tvar, je-li stejná hodnota bezrozměrné veličiny 11 = e2Ĺ . (X.53) Tato veličina se nazývá Reynoldsovo číslo a je nej důležitější ze všech parametrů podobnosti. Při její rovnosti v různých modelech si budou proudění geometricky i kinematicky podobná; například k přeměně laminárního proudění v turbulentní bude docházet při jisté kritické hodnotě Reynoldsova čísla. U proudění válcovou trubicí, kde volíme L = 2r, V = vmax, bylo experimentálně zjištěno, že kritická hodnota činí asi 2200. Tato hodnota však není prahem absolutní nestability laminárního proudění. Odstraněním 245 zdrojů malých poruch v počátečních a okrajových podmínkách je možné udržet existenci laminárního proudění i při mnohem vyšších hodnotách Rey-noldsova čísla. Pokud nás zajímá nejen kinematická stránka proudění, ale i tlakové poměry v homogenním gravitačním poli o intenzitě g, stává se dalším podobnostním parametrem Froudého číslo VjLg. V případě proudění v situaci, která se vyznačuje vnější periodicitou s charakteristickým časem T (například otočení vrtule), je podobnostním parametrem Strouhalovo číslo VT/L. Existují ještě další podobnostní parametry. V celé své šíři je teorie podobnosti velmi komplikovaná a musíme zde opět čtenáře odkázat na speciální literaturu. X.8 Obtékání těles vazkou tekutinou Zabývali jsme se již obtékáním těles ideální tekutinou a konstatovali jsme, že může odpovídat realitě jen přibližně. Ukážeme si nyní alespoň v hrubých rysech, co nového přináší pro tento problém použití Navierových-Stokesových rovnic. Je zřejmé, že problém obtékání různých těles kapalinami nebo plyny je velmi důležitý v technické praxi. Vzhledem ke komplikovanosti hydrodynamických rovnic je ovšem řešení těchto problémů velmi obtížné. Složitost Navierových-Stokesových rovnic je způsobena členy dvojího druhu — jednak nelineárními výrazy [v V) v , VjVij , (X.54) jednak vazkými členy -Av , (X.55) P které obsahují druhé derivace rychlostního pole. Jsou-li V a, L charakteristická rychlost a délka, pak členy (X.54) jsou řádově V2/L, zatímco členy (X.55) fiV/pL2. Podíl činí p/pVL, tj. je právě roven převrácené hodnotě Reynoldsova čísla. Lze tedy očekávat, že při malých hodnotách Reynoldsova čísla lze zjednodušit Navierovy-Stokesovy rovnice zanedbáním nelineárních členů (X.54). Pro stacionární proudění v poli potenciálních sil (popř. mimo vnější silové pole) pak dospějeme k rovnici Afí = 0 , n = rot v , (X.56) 246 která je pro speciální případ proudění trubicí vyřešena v X.5. Tuto rovnici lze přesně vyřešit55 rovněž v případě obtékání koule o daném poloměru a proudem tekutiny, který má v dostatečné vzdálenosti od obtékaného tělesa konstantní rychlost Vqq . Vzhledem k zdlouhavosti řešení se omezíme na formulaci problému a uvedení výsledku. Úloha se řeší ve sférických souřadnicích r, vy, a že proudové pole i jeho derivace se mění mnohem rychleji ve směru osy y (od stěny do proudu) než ve směru osy x (podél stěny). Na základě tohoto předpokladu můžeme rozdělit komponenty a derivace rychlostního pole vystupující v (X.64) do čtyř skupin, z nichž každá obsahuje veličiny řádově větší než skupina následující vx , vXty , (X.65) Vx,x > Vx,yy 7 Vy , ^y,y 5 (X.66) 248 vx,xx ) vy,x 5 vy,yy ? (X.67) vy,xx . (X.68) Porovnáním obou rovnic (X.64) pak zjišťujeme, že derivace tlaku podle y je řádově menší než derivace tlaku podle x. Můžeme tedy přibližně položit §^ = 0, tj. p = p(x) . (X.69) To znamená, že tlak se nemění podél kolmice na stěnu. Tím se vysvětluje z literatury známý fakt, že výpočty obtékání prováděné na základě Eule-rových rovnic vedly při vysokých hodnotách Reynoldsova čísla k dobrým výsledkům, co se týče rozložení tlaků. V první rovnici (X.64) ponecháme jen členy nejvyššího řádu a dostaneme tak 1 dP . A* ™\ VxVx,x + VyVXjy = -- — + -Vx,yy , (X.70) kde jsme na základě (X.69) nahradili parciální derivaci derivací totální. Rovnice (X.69) a (X.70) doplňuje rovnice kontinuity Vx,x + Vy,y = 0 . (X.71) Při dalším růstu Reynoldsova čísla se v hraniční vrstvě i ve vírové stopě objevují turbulentní oblasti. Chování turbulentního proudění v závislosti na Reynoldsově čísle je i u jednoduchých těles velmi mnohotvárné (může dojít i k periodickým dějům ve vírové stopě) a při jeho zkoumání jsme většinou odkázáni na experimentální data. Zajímavé a důležité je sledování výslednice síly, kterou proud na těleso působí. Namísto této síly W je vhodné studovat bezrozměrný parametr — tzv. koeficient odporu W C = j-, (X.72) kde S je plocha průřezu tělesa. Vzhledem k tomu, že proudění je plně určeno svým Reynoldsovým číslem, je tato veličina funkcí pouze 71. Pro kouli v oblasti platnosti Stokesova vzorce (X.63) je (X.73) (za charakteristickou délku se bere průměr koule L — 2a, charakteristická rychlost V = Vqo). Experimentálně bylo zjištěno, že C klesá až do 1Z « 5.103, načež opět poněkud vzroste. V intervalu 7Z £ (2.104 — 2.105) je konstantní, tj. sílaje zde úměrná druhé mocnině rychlosti. Nato dochází k prudkému poklesu koeficientu C, který poklesne a to až 5krát. Mluvíme o krizi obtékání Tento jev je způsoben změnou charakteru turbulence (zúžením turbulentní stopy). Později hodnota C opět zvolna vzrůstá. Poznamenejme, že podle principu relativity platí všechny výsledky uvedené v tomto odstavci také pro případ, kdy se rychlostí pohybuje nikoliv tekutina, ale těleso (s tím, že od rychlostního poleje třeba odečíst konstantní vektor rychlosti Vqo). X.9 Příklady 1. Určete stacionární laminární proudění nestlačitelné vazké tekutiny mezi dvěma nekonečnými souosými válci o poloměrech R\,R2, které se otáčejí danými úhlovými rychlostmi u>\,u)2- Řešení: Zaveďme kartézskou soustavu s osou z jako osou válců a válcovou soustavu s touž osou. Kartézské komponenty rychlostního pole budou vzhledem k symetrii problému v = (—v (r) sine/?, v(r)cos(p, 0) . (X.74) Pro určení závislosti rychlosti na poloměru užijeme Navierových-Stoke-sových rovnic (X.13). K tomu budeme potřebovat vyjádření Laplaceova operátoru pomocí válcových souřadnic A = - — (r —) + — — + — (X 75) r dr \ dr J r2 dtp2 dz2 Vzhledem k symetrii postačí k určení rychlosti se zabývat její složkou x, což znamená, že po provedení všech operací derivování položíme 7t Snadno zjistíme, že na ose y je rr-ová složka levé strany Navierových-Stoke-sových rovnic rovna nule, gradient tlaku má vzhledem k symetrii problému směr kolmý na osu x, a je tedy Avx = 0, (X.76) 250 což vede k obyčejné diferenciální rovnici pro v (r). Pro tuto rovnici aplikací (X.75) na (X.74) obdržíme (čárka značí derivaci podle r) (ÍM'y = 0 (X.77) a její dvojí integrací dostaneme v = ~y + 7 ■ (x,78) Zde C, Ä' jsou konstanty, které určíme z okrajových podmínek v (Ei) = wiÄi , v {R2) = CJ2R2 • (X.79) Dostaneme tak (wi#i2 - lú2R22) r + -{u2-u>i) Ri2R2'á 1 u = Ri — R2 (X.80) 2. Řešte stacionární proudění vazké tekutiny mezi dvěma rovnoběžnými rovinami. Jedna rovina se vzhledem ke druhé rovině pohybuje konstantní rychlosti u. Řešení: Za jednu z těchto dvou rovin zvolme rovinu xz, osa x nechť má směr rychlosti u. Všechny veličiny tudíž závisí jen na souřadnici y a rychlost tekutiny míří ve směru osy x. Pro stacionární pohyb z Navierových-Stokesových rovnic máme z čehož plyne p — konst , v = ay + b . (X.82) Okrajové a počáteční podmínky jsou dané vztahy Hy=0 = o, [V]y=h = U > kde h je vzdálenost mezi rovinami. Proto je b = 0, u = ah, v = \y- (X.83) 251 Příklady k samostatnému řešení 1. Určete laminární proudění nestlačitelné vazké tekutiny mezi nekonečnými rovnoběžnými stěnami. 2. Určete disipativní funkci pro proudění odpovídající Hagenovu-Poi-seuilleovu zákonu. Napište rovnici vedení tepla pro tento případ. 3. Určete střední turbulentní proudění ve válcové trubici podle Prandt-lovy hypotézy. 252 Část C RELATIVISTICKÁ MECHANIKA XI ZÁKLADNÍ POJMY A ZDROJE SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY Snaha vybudovat fyziku splňující princip relativity byla sice vždy v souladu s experimentálními poznatky, narážela však na zásadní teoretické potíže. Ty se podařilo překonat až radikální přestavbou našich poznatků o prostoru a čase, kterou přinesla speciální teorie relativity. Sledujeme nejprve historický vývoj teorie i experimentu, který přivedl k formulaci dvou základních principů, na nichž je teorie relativity založena. Z těchto principů vyvozujeme Lorentzovu transformaci spojující inerciální vztažné systémy. Probíráme základní kinematické důsledky teorie relativity: kontrakci délek, dilataci času, relativistický Dopp-lerův jev, Thomasovu precesi. Poté se zabýváme relativistickou dynamikou a ukazujeme modifikace, které přináší teorie relativity v definici hmotnosti, hybnosti a energie. Nakonec se zabýváme zákonem ekvivalence hmotnosti a energie. XI.1 Princip relativity v předrelativistické fyzice Když 1. Newtonův zákon hovoří o klidu nebo rovnoměrně přímočarém pohybu, naznačuje tím možnost, že existuje privilegovaný systém, vzhledem k němuž mají slova klid a pohyb absolutní smysl. Takové bylo stanovisko Newtonovo. Předeslal formulaci svých zákonů předpoklad o existenci absolutního prostoru, který zůstává svou povahou bez vztahu k jakémukoli vnějšímu předmětu vždy stejný a nepohyblivý. Podle názoru opírajícího se o aristotelovskou fyziku se privilegovanost systému spjatého se Zemí projevuje tím, že tělesa uvedená do pohybu vzhledem k Zemi se postupně zastavují. 1. Newtonův zákon tuto základní vlastnost privilegovaného systému ruší. Zastavování těles se vysvětluje silami tření, zatímco pro volný pohyb platí princip setrvačnosti — těleso nepodrobené silám zůstává v klidu nebo v rovnoměrném a přímočarém pohybu (rozumí se vůči Newtonovu absolutnímu prostoru). Pozorováním pohybů těles nepodrobených silám, popř. provedením oprav na tyto síly, jsou-li jejich zákony známy, je tedy možné dospět k vztažnému systému, vzhledem k němuž platí tvrzení 1. Newtonova zákona. (Připomeňme, že vztažným 255 systémem myslíme soustavu skutečných nebo myšlených bodů, které dostatečně hustě vyplňují prostor. V kapitolách o mechanice speciální teorie relativity se budeme omezovat na tuhé systémy, tj. na takové, v nichž se vzdálenosti vztažných bodů s časem nemění.) Vztažný systém o této vlastnosti nazveme inerciálním. Ihned ovšem vidíme, že na rozdíl od situace, jaká byla v antické fyzice, Newtonův princip setrvačnosti necharakterizuje vlastnosti privilegovaného systému natolik, aby tento systém mohl být jednoznačně určen. Tento princip platí také ve všech systémech, které se vůči původně zvolenému systému pohybují rovnoměrně a přímočaře. Neexistuje tedy pouze jediný inerciální systém, který by bylo možné identifikovat s absolutním prostorem, ale celá třída takovýchto systémů, která má nekonečný počet prvků. Z hlediska principu setrvačnosti jsou všechny inerciální systémy rovnoprávné. Vycházejme z jistého inerciálního systému a předpokládejme, že v něm máme zadánu kartézskou soustavu souřadnic K, která je určena počátkem O a vzájemně kolmými osami X, Y, Z. (Předpokládáme, že jednotka délky je dána.) Mějme druhý inerciální systém, jehož vztažné body se vůči K pohybují rychlostí V konstantní v prostoru i v čase. Bez újmy na obecnosti úvah lze předpokládat, že K byla zvolena tak, aby vektor V měl směr osy X, tj. aby bylo V = (V, 0,0). Zaveďme v pohyblivém systému kartézskou soustavu tak, aby v čase T = 0 splývala se soustavou K. Tuto soustavu označme K'. Připomeňme si nyní, že kromě absolutního prostoru předpokládal Newton také existenci absolutního času, který plyne sám o sobě a svou povahou bez vztahu k jakémukoli vnějšímu předmětu stejnoměrně. Představa o absolutním čase je ještě hlouběji zakořeněna než představa o absolutním prostoru a pochybnosti vznášené ohledně existence absolutního prostoru se jí zprvu nijak nedotýkaly. Vzhledem k povaze absolutního časuje současnost v K a v K' totožná (tvoří ji táž množina událostí) a neměníme-li počátek odečítání času ani jeho jednotku, dostáváme zdánlivě samozřejmou rovnost T = T' (XI.l) platnou mezi časy, v nichž nastala jistá událost z hlediska systému Kaz hlediska systému K'. Pod K (popř. K') budeme nadále rozumět inerciální vztažný systém, v němž jsou zadány prostorové souřadnice X, Y, Z, (popř. X',Y',Z') a časová souřadnice T (popř. T'). Za předpokladů, které jsme o K a K' zavedli, můžeme snadno dospět ke vztahům mezi prostorovými souřadnicemi libovolné události v obou soustavách, viz obr. 20, X' = X-VT, Y' = Y, Z' = Z. (XI.2) 256 Vztahy (XI.2) spolu s explicitně často neuváděným vztahem (XI. 1) se nazývají (speciální) Galileiho transformaci. Bylo by možné odvodit i obecnou Galileiho transformaci pro případ, že pohyb K' probíhá v jiném směru, než má osa X. Pokud se však nechceme zabývat skládáním Galileiho transformací, nepředstavuje omezení na tvar (XI.2) žádnou újmu na obecnosti. K K' y X ---- ,1 VT x 1 1 Y = Y' 0 0' Obr. 20: Galileiho transformace. Souřadnice bodu (označeného křížkem) v systémech K a K'. Zabývejme se nyní z hlediska Galileiho transformace matematickým vyjádřením 1. Newtonova zákona pro volný (tj. působení sil nepodléhající) hmotný bod. Platí pro něj dT2 ~ dT2 - dT2 ~ 0 • (XI-3) Přepišme tyto rovnice do čárkovaných souřadnic pomocí Galileiho transformace. Bude zřejmě á2X' = d2^ Vidíme, že v systému K' platí formálně stejné rovnice jako v systému K. Říkáme, že zákon setrvačnosti (XI.3) je invariantní vůči Galileiho transformaci. Poznamenejme, že vůči jiným transformacím vyjadřujícím například přechod k rovnoměrně zrychlenému či otáčivému systému zákon setrvačnosti invariantní není. Nyní si klademe otázku: Mají tuto vlastnost invariance vůči Galileiho transformaci všechny fyzikální zákony? Kladná odpověď by byla v souladu s platností Galileiho principu relativity. Tento princip tvrdí, že všechny inerciální systémy jsou zcela rovnoprávné z hlediska fyzikálních zákonů a žádným pokusem nelze prokázat rovnoměrný a přímočarý pohyb systému jako 257 celku. Některá pozorování ve prospěch tohoto principu v oblasti mechaniky provedl již Galilei. Tento princip souhlasí s Newtonovou mechanikou za předpokladu, že síly vzájemného působení mezi částicemi závisí pouze na jejich relativních polohových vektorech a relativních rychlostech. Byla však jiná oblast fyziky, kterou se nedařilo uspokojivě umístit do rámce Newtonovy mechaniky, takže se vyvíjela svou vlastní cestou. Tato oblast — optika, jež hlavně zásluhou Maxwellovou přerostla v teorii elektromagnetického pole — jako by byla myšlence privilegovaného systému nakloněna mnohem příznivěji. Z Maxwellovy teorie plyne to, co bylo z mnoha důvodů považováno za pravděpodobné již dříve, že totiž světlo (a obecně elektromagnetické vlnění) se šíří ve vakuu jistou rychlostí o velikosti c, která je nezávislá jak na místě a na směru, tak i na frekvenci, intenzitě a polarizaci světla. Na první pohled se zdá být zřejmé, že toto tvrzení předpokládá existenci privilegovaného systému, v němž jedině platí. Šířili se světlo v systému K rychlostí c v kladném i záporném směru osy X, má v systému K' v jednom směru rychlost c — V a v druhém směru c + V. Rozeberme otázku chování rychlosti vzhledem ke Galileiho transformaci poněkud podrobněji. Uvažujme o pohybu bodu, který je zadán jako r = r (t) v soustavě K a r' = r'(t) v soustavě K', přičemž souřadnice X, Y, Z a X', Y', Z' jsou spojeny vztahy (XI.2). Zderivujeme-li tyto vztahy podle času, obdržíme Galileiho transformaci pro rychlost v = (vx,vy,vz) = ( -r=r, -rrr, -r^r ) a obdobně zavedenou v' V dT ' dT' dT J v'x = vx - V , v'y = vy , v'z = vz , (XI.5) což lze zapsat v podobě v = v' + V (XI.6) vyjadřující klasický zákon skládání rychlostí. Vzorce (XI.5), popř. (XI.6), byly odvozeny pro rychlost částice a může proto vzniknout pochybnost o oprávněnosti jejich aplikace na rychlost světla jakožto vlnění. Síří-li se rovinná světelná vlna rychlostí c ve směru osy X, můžeme si představit částici pohybující se společně s hřebenem této vlny v temže směru a uzavřít, že pro rychlost hřebene vlny platí stejné vztahy jako pro tuto částici. Složitější situace však nastane, šíří-li se vlna pod jistým úhlem k ose X. Pak vzhledem k absolutnosti současnosti hřebeny vlny v K a, v K' splývají a fázová rychlost světla (rychlost postupu hřebene vlny) má v K i K' stejný směr, což znamená, že vztahy (XI.5), popř. (XI.6), pro ni neplatí. Částice, která se v K pohybovala spolu s hřebenem vlny ve směru jeho postupu, bude se v K' pohybovat pod jistým úhlem k tomuto směru. 258 Mluvíme-li však o rychlosti světla mezi body ia5, neklademe si otázku: Jaký časový interval uplyne mezi průchodem světelné vlny body A a B, ale: Za jak dlouho dospěje světelný signál z bodu A do bodu Bl Nezajímá nás tedy fázová rychlost světla, nýbrž jeho paprsková rychlost, která je rychlostí šíření energie a informace a může se obecně od fázové rychlosti lišit. Paprsková rychlost se chová analogicky jako rychlost částice a užití vzorců (XI.5) a (XI.6) je pro ni oprávněné. V dalším výkladu budeme rychlostí světla vždy rozumět jeho paprskovou rychlost a budeme proto někdy hovořit i o světelném paprsku jako o signálu, který se pohybuje ze zdroje záření do místa jeho absorpce rychlostí světla. Pozorování interferenčních, difrakčních a polarizačních jevů způsobilo, že v minulém století byla všeobecně přijata vlnová teorie světla. V analogii s jinými vlněními se pak zdálo přirozené chápat i světlo — a později elektromagnetické pole — jako stav napětí jisté substance, která byla nazvána éterem. Soudilo se, že privilegovaný systém splývá s klidovým systémem éteru. Pohybem systému vůči éteru by měl v tomto systému vzniknout „éterový vítr". Rada fyziků zastávala názor, že éter je absolutně nepohyblivý bez ohledu na to, jak se vůči němu pohybují hmotné útvary. Uvažovalo se však také o tom, že je strháván pohybem hmot. Tato koncepce měla více variant, které se lišily předpoklady o charakteru strhávání. Podle některých se éter uvnitř těles pohyboval spolu s nimi, podle jiných bylo strhávání pouze částečné, takže výsledný efekt byl takový, jako by rychlost éteru uvnitř tělesa byla menší než absolutní rychlost tělesa, avšak nenulová. Zdálo by se, že nejprostším způsobem, jak detekovat éterový vítr, je změření rychlosti světla ve dvou opačných směrech. Nechť vzdálenost bodů A, B je L a nechť vztažný systém, vzhledem k němuž jsou oba body v klidu, se pohybuje vůči éteru rychlostí V od A k B. Pak rychlost světla ve směru z A do B je c — V a ve směru z B do A je c + V, takže doby, za něž projde světlo z A do B a z B do A, jsou a jejich rozdíl je Tl = V^v ' T^Úv (XI'7) T:-T2 = -^---^- = ^^, (XI.8) c — Vc+V c c kde jsme se nakonec omezili na Taylorův rozvoj podle V/c do členu prvního řádu. Připomeňme, že Země obíhá kolem Slunce rychlostí 30 km/s, takže i kdyby v daném okamžiku byla vůči éteru v klidu, musel by se éterový 259 vítr projevit v průběhu roku. Popsaný pokus však není snadné uskutečnit, poněvadž si vyžaduje synchronizaci hodin ve vzdálených místech A,B, což nemohlo být v minulém století provedeno s dostatečnou přesností. Klasické úspěšné metody měření rychlosti světla (Fizeau 1849, Foucault 1862) proto užívaly doby, kterou světlo potřebuje, aby urazilo dráhu AB tam a zpět. V tom případě je = -^77 + "Aj = 2- f1 + K\ , (XI.9) kde jsme se tentokrát omezili na Taylorův rozvoj do členu druhého řádu, protože člen prvního řádu se vyrušil. Je vidět, že ve srovnání s (XI.8) je nyní třeba (za předpokladu, že ľ < c) změřit časový interval s daleko větší přesností, aby mohl sloužit k určení V. Dospíváme tak k historicky důležitým pojmům jevů (pokusů) 1. řádu a 2. řádu vzhledem k podílu V/c. Uvedené příklady naznačují to, co se potvrdilo jako obecné pravidlo: jevy 1. řádu jsou buď velmi obtížně pozorovatelné, anebo zanikají vzájemnou kompenzací. Taková situace je i u Dopplerova jevu. Nechť nyní A a B jsou pozorovatelé disponující zdroji světla o frekvenci v, A nechť je v klidu v éteru, zatímco B se od A vzdaluje rychlostí V. Je snadné odvodit, že podle klasických představ frekvence vab přijímaná v bodě A od B bude vab = v -Kŕ ■ (XI. 10) 1 + - c Vzhledem k pozorovateli B se A vzdaluje rovněž rychlostí V, avšak rychlost, kterou se pohybuje jím vyslané světlo, je c — V. Přístroj pozorovatele B by tedy měl zaznamenat frekvenci "BA = y -1-y- = » (l " ^) • (XI.ll) 1 + c-V V prvním přiblížení (XI.10) a (XI.ll) splývají, takže rozdíl frekvencí by měl být jevem druhého řádu. Zájem fyziků se nejprve soustředil na jevy 1. řádu. Nejstarším známým jevem, který má vztah k našemu tématu, je aberace světla stálic, objevená Bradleym roku 1727. Bradley zjistil, že polohy hvězd na nebeské sféře opisují v průběhu roku elipsy, jejichž velká poloosa má pro všechny hvězdy stejnou velikost odpovídající úhlu e = 20,5". Platí přibližně tge=-, (XI.12) 260 kde V je rychlost Země kolem Slunce. Bradley vysvětlil tento jev jako důsledek ročního pohybu Země, který působí změnu úhlu, pod nímž se vůči ní pohybují paprsky hvězd. Jde o aplikaci zákona skládání rychlostí (XI.6), jejíž výsledek je analogický změně směru deště vzhledem k jedoucímu vozidlu. Výsledná aberace závisí na rychlosti hvězdy i Slunce vzhledem k éteru a na rychlosti Země vzhledem k Slunci. V prvním (lineárním) přiblížení Tay-lorova rozvoje jsou vlivy těchto faktorů nezávislé a pozorování může zjistit pouze časově proměnnou složku aberace působenou roční změnou rychlosti Země. Tato složka je největší v době, kdy rychlost Země vzhledem k Slunci je kolmá na směr paprsků hvězdy, k čemuž nutně dochází dvakrát do roka. Vzorec (XI. 12) je pak důsledkem skládání rychlostí, viz obr. 21. V přiblížení prvního řádu jev aberace neumožňuje zjistit absolutní rychlost Země. Větší přesnosti astronomická pozorování nedosahují. H X Obr. 21: Aberace světla. Pohyb Země kolem Slunce způsobuje, že paprsky hvězdy H dopadají v průběhu roku pod různými úhly. Roku 1879 upozornil Maxwell na možnost určit absolutní pohyb Slunečního systému zpřesněním klasické Rômerovy metody pro měření rychlosti světla. Tato metoda se zakládá na pozorování zatmění Jupiterových měsíců v průběhu delšího časového období, kdy se mění vzdálenost mezi Zemí a Jupiterem. Výsledkem měření by měla vlastně být rychlost světla vůči Slunečnímu systému ve směru Jupiter-Země. Pohybuje-li se Sluneční systém vůči éteru, měla by se tato rychlost v průběhu Jupiterova roku měnit. Přesnost astronomického pozorování vedla ovšem pouze k jisté horní hranici pro hledanou rychlost. Roku 1868 provedl Hoek pokus týkající se šíření světla v látkovém prostředí. Nebudeme se zabývat technickými detaily a uvedeme pouze hlavní myšlenku. Vraťme se proto k popsanému pokusu s šířením světla „tam a zpět". Rozdělme paprsek ze zdroje A tak, aby jedna složka procházela z A do B vzduchem a zpět vodou, zatímco druhá z A do B vodou a zpět vzduchem. Po návratu paprsků dojde k interferenci, která bude záviset na 261 časovém rozdílu. Předpověď tohoto rozdílu závisí na teorii, jakou přijmeme o šíření světla v látkovém prostředí. Proto je Hoekův experiment závažným testem takovýchto teorií. V rámci představ o éteru je přirozené předpokládat, že světlo má v látkovém prostředí jistou rychlost c* vůči éteru, která nezávisí na rychlosti prostředí vůči éteru. Prostředí může ovšem éter strhávat. Předpokládejme, že vzduch se v tomto směru neliší od vakua a éter nestrhává. Pak, jak již bylo řečeno, jsou rychlosti světla ve směrech AB a BA rovny c — V a c 4- V. Analogické rychlosti ve vodě označíme zatím jako c\ a c2. Časový rozdíl obou paprsků bude L L L L , AT =----- +---. XI. 13 c-V c + V c2 ci v ' Porovnejme nyní různé hypotézy o rychlostech ci a c2. Podle hypotézy o zcela strhávaném éteru, kterou vyslovil Stokes, je ci = c2 = c*. Podle hypotézy o klidném éteru platí ci = c* — V, c2 — c* + V. Konečně je možné přijmout Fresnelovu-Fizeauovu hypotézu o částečném strhávání éteru, podle níž lze předpokládat, že éter se v tělese pohybuje vůči éteru ve vakuu rychlostí aV, 0 < a < 1, kde a je tzv. strhávací koeficient, jehož velikost závisí na prostředí. Pak ci = c* — (1 — a)V: c2 = c* + (1 — á)V. Hoekův pokus je možné provádět s přístrojem natočeným v různých směrech a během různých ročních období. Výsledek je však takový, že k žádnému posunu interferenčních proužků nedochází. Jak se čtenář sám přesvědčí výpočtem veličiny AT podle (XI. 13) s přesností do prvního řádu, odpovídá to hodnotě strhávacího koeficientu <* = !-- =l--ô, (XI.14) kde n je index lomu látkového prostředí. Vzorec (XI. 14) souhlasí s již dříve známým výsledkem Fizeauova pokusu (1851), kdy se dvě složky světelného paprsku pohybovaly tam a zpět rychle proudící vodou, přičemž trubice byla upravena tak, že jeden paprsek vykonal celou cestu po proudu a druhý proti proudu. Proudění způsobilo posun proužků odpovídající strhávacímu koeficientu (XI. 14). Avšak ani tato fakta nezaručila teorii částečně strhávaného éteru trvalejší přijetí. Jedním z důvodů bylo, že teorie trpěla vnitřním rozporem — index lomu závisí obecně na frekvenci světla a bylo by tedy třeba zavést nekonečné množství různě strhávaných éterů pro různé frekvence. Na konci minulého století dosáhla nej větších úspěchů již zmíněná Loren-tzova elektronová teorie, opírající se o nejnovější poznatky o struktuře látky. 262 Tato teorie předpokládá nehybný éter, určující privilegovanou vztažnou soustavu, v níž platí Maxwellovy rovnice pro intenzity elektromagnetického pole. Tyto intenzity jsou jedinými fyzikálními charakteristikami stavu éteru, v Lorentzově teorii je tedy funkce éteru omezena na to, že je nositelem elektromagnetického pole. Lorentzova teorie splnila základní požadavek, který je třeba na novou fyzikální teorii klást — objasnila z jednotného hlediska veškerý experimentální materiál vysvětlovaný staršími teoriemi. Tak výsledek Hookeova a Fizeauova pokusu se v ní vysvětluje nikoliv strháváním éteru, ale změnou elektrických vlastností látek, k níž dochází pohybem soustavy nábojů v éteru. Navíc Lorentzova teorie vysvětlila neúspěch dosud provedených pokusů 1. řádu a předpověděla, že žádný interferometrický pokus 1. řádu neumožní ani v budoucnu detekovat éterový vítr. Q OM Obr. 22: Michelsonův pokus. Obrázek znázorňuje základní schéma pokusu. Podrobnější vysvětlení je v textu. Avšak současně dospěla i experimentální fyzika do stadia, kdy mohla úspěšně uskutečnit pokus 2. řádu a vystavit tak teorii tvrdé zkoušce. Roku 1881 provedl Michelson poprvé pokus, který pak ve spolupráci s Morleyem opakoval s průkaznějším výsledkem roku 1887. Jde nesporně o jeden z nej-významnějších pokusů v dějinách fyziky. Popíšeme jej proto poněkud podrobněji, i když pomineme řadu technických detailů. Světlo ze zdroje Q, viz obr. 22, se rozdělí polopropustným zrcadlem Zq na dva svazky, které pak urazí stejné dráhy L v navzájem kolmých směrech k zrcadlům Z\ a Z2, od nichž se odrazí zpět a vytvoří posléze interferenční obrazec v interferometru M. 263 Předpokládejme, že celá experimentální souprava se pohybuje rychlostí V vzhledem k éteru ve směru ramene / od Z$ k Z\. Pak rychlost paprsku / byla před odrazem c — V a po odraze c + V. Doba íi, kterou paprsek spotřeboval na proběhnutí dráhy ZqZiZq, je L L h =-- + 2Lc c-V c + V (XI.15) Ve směru ramene II se paprsek pohybuje jistou rychlostí c+. Z Galileiho transformace pro rychlosti (XI.5) zjistíme, že vzhledem k éteru má tato rychlost komponentu —V ve směru ramena I a c+ ve směru kolmém. Její velikost v éteru musí být c, a tedy = Vc2 - V2 (XI.16) Doba t2, kterou spotřeboval paprsek II na dráhu ZqZ2Zo, je tedy 2L t2 = Vc2 - V2 (XI.17) Rozdíl činí ôt = h-t2 = 2L Vc~2 V2 1 l /y- c V c . (XI.18) kde jsme nakonec vyjádřili přiblížení druhého řádu. Tím vzniká dráhový rozdíl A = c ôt = L (j\ (XI.19) a je-li vlnová délka použitého světla A, posune se interferenční obrazec o 2 A L (Vs (XI.20) proužků oproti stavu, v němž nevane éterový vítr. Otočíme-li nyní do směru pohybu vůči éteru druhé rameno, posune se obrazec o stejný počet proužků na opačnou stranu, takže výsledkem srovnání by mělo být posunutí o 2m = 2L A Ví (XI.21) 264 Pokus byl opakován v různých ročních obdobích, takže během jeho trvání musela rychlost V dosáhnout hodnoty nejméně 30 km/s, tzn. (V/c)2 ~ 10-8. Při vlnové délce A = 500 nm a dráze L = 10 m by mělo být 2m = 0,4 , (XI.22) což je pro registraci Michelsonovým interferometrem více než postačující. Výsledek pokusu byl však negativní. V mezích pozorovacích chyb nebyl žádný posun zjištěn. To postavilo tehdejší fyziku do velmi delikátní situace. Nejprostším výkladem neexistence éterového větru by bylo strhávání éteru Zemí do velké vzdálenosti od jejího povrchu. Ovšem ani opakování pokusu v různých nadmořských výškách a vysoko nad zemským povrchem nevedlo k měřitelnému posunu. Kromě toho bylo z Lodgeova pokusu (1892) známo, že rychlost světla v okolí rychle se pohybujících těles není jejich pohybem ovlivněna, a to ani v případě, že tělesa budí ve svém okolí silná elektrická a magnetická pole. Jednou z cest k vysvětlení uvedených rozporů byla změna dosavadních představ o šíření světla. Nejzajímavějším pokusem v tomto směru byla Ritzova a Tolmanova balistická hypotéza, která opustila princip, že ve vakuu světlo nemůže předehnat světlo, a předpokládala, že rychlost světla je závislá na rychlosti jeho zdroje asi jako rychlost střely vypálené z jedoucího vozidla. Na základě této hypotézy byla zformulována teorie invariantní vůči Galileiho transformaci. Tato teorie byla vypracována až po vzniku speciální teorie relativity a po nějakou dobu se rozvíjela jako její alternativa. Bezprostřední reakcí na výsledek Michelsonova pokusu byly zejména snahy o modifikaci Lorentzovy teorie. Lehko se ověří, že tento výsledek by se dal vysvětlit zkrácením ramena interferometru ve směru jeho pohybu v éteru na délku _ (XI.23) kde Lq byla délka vzhledem k éteru. Tuto kontrakční hypotézu poprvé vyslovil Fitzgerald roku 1891. Na první pohled se zdá být velmi podivné, že by se délky všech předmětů na Zemi včetně Země samotné měly zkracovat a prodlužovat podle toho, jak se Země pohybuje vzhledem k éteru. Uvažujme však, že díky své univerzálnosti je kontrakce pro pozemského pozorovatele nezjistitelná, i kdyby byla sebevětší, protože se ve stejném poměru (XI.23) zkracují i všechna používaná měřítka. Michelson nemohl zjistit různost délek ramen svého přístroje žádným interferometrickým měřením, protože, podle nyní diskutované hypotézy, se vliv kontrakce ruší vlivem éterového větru. 265 Lorentz ovšem nepřijal kontrakci jako pouhou ad hoc hypotézu, ale ukázal, že jsou-li atomy a molekuly látky udržovány elektromagnetickými silami, je kontrakce důsledkem povahy těchto sil. Avšak ani takto zdokonalená Lorentzova teorie by nevyloučila úspěch jiných pokusů 2. řádu při určení absolutního pohybu. Stačilo by například, aby ramena Michelsonova přístroje nebyla stejně dlouhá. Podle kontrakční hypotézy by se sice neprojevila různá orientace ramen přístroje vůči éterovému větru, ale bylo by možné indikovat změny jeho velikosti během roku. K těmto změnám by nedošlo pouze za (nepravděpodobného) předpokladu, že Sluneční systém se vůči éteru nepohybuje. Tento pokus byl proveden Kennedym a Thorndi-kem až v roce 1932 s negativním výsledkem. Lorentz si však již roku 1899 položil otázku, jaké předpoklady by zaručily, že žádný takový pokus 2. řádu neprokáže pohyb vzhledem k éteru. Dospěl k závěru, že kromě kontrakce délek je třeba předpokládat i dilataci času podle vztahu (XI.24) v systémech pohybujících se v éteru, kde To je doba, po niž by daný proces trval v klidném éteru. Dále je třeba uvážit, že synchronizují-li se hodiny v soustavě pohybující se vůči éteru například tak, že se stejnou rychlostí roznášejí ve všech směrech, pak z hlediska éteru tato rychlost stejná není a závislost chodu hodin na rychlosti (XI.24) způsobí, že vzhledem k éteru hodiny synchronizovány nebudou. Složením všech těchto vlivů dochází k tomu, že žádný popsaný pokus 2. řádu ani řada pokusů dalších, o nichž jsme se zde nezmínili, neumožní detekovat absolutní pohyb. Vznikla zvláštní situace, protože na jedné straně má pohyb vůči éteru řadu významných a neobvyklých následků, na druhé straně jsou však tyto následky takové, že ve svém souhrnu pohyb vůči éteru perfektně zamaskují, takže navzdory existenci éteru všechna pozorování a pokusy souhlasí s principem relativity. Lze říci, že zvláště ve své práci z roku 1904 Lorentz dospěl až na práh teorie relativity. Eter byl vlastně již jen pomocným lešením, které stačilo odstranit. K tomuto kroku se však již Lorentz neodhodlal. Ještě dále dospěl ve svých pracích z roku 1905 Poincaré, který zdokonalil Lorentzovu teorii a vyslovil názor, že princip relativity — tj. princip naprosté rovnoprávnosti všech inerciálních systémů — může být základním přírodním zákonem. Přesto i u Poincarého vystupuje princip relativity jako jistý důsledek konkrétního tvaru Maxwellových-Lorentzových rovnic. Sám Poincaré vyslovuje nespokojenost s tím, že formule spolu souhlasí jen dík šťastné náhodě, a vyjadřuje 266 víru, že se původ jejich souhlasu podaří pochopit hlouběji. Podle názoru naprosté většiny fyziků se dílo podařilo téhož roku Albertu Einsteinovi, který je proto právem považován za hlavního tvůrce a dovršitele speciální teorie relativity. XI.2 Principy speciální teorie relativity Einstein založil speciální teorii relativity na dvou výchozích tvrzeních, na dvou principech. Podle prvního nejen v mechanice, ale i v elektrodynamice žádné vlastnosti jevů neodpovídají pojmu absolutního klidu ... pro všechny souřadnicové soustavy, pro něž platí rovnice mechaniky, platí tytéž elektro-dynamické a optické zákony. Druhý princip zní u Einsteina takto: Světlo se ve vakuu vždy šíří určitou rychlostí c, která nezávisí na pohybovém stavu vyzařujícího tělesa. V původní formulaci 1. principu se odráží konflikt mezi mechanikou a elektrodynamikou, jehož odstranění bylo bezprostředním cílem nové teorie. Je ve shodě s názory samotného Einsteina i s dalším vývojem fyziky dát prvnímu principu tuto obecnější formulaci: Všechny fyzikální děje probíhají z hlediska kteréhokoliv inerciální soustavy podle týchž zákonů. V této podobě se princip zdánlivě ničím neliší od principu relativity Ga-lileiho. Odlišným se však stává díky svému spojení s 2. principem, který je s ním zdánlivě v rozporu. Mějme dva body A, B (pro názornost mluvme o počátku a konci nástupiště), nehybné v inerciálním systému K, a bod C, který leží uprostřed mezi nimi. Střed nástupiště C nechť se v okamžiku T = 0 stává zdrojem světla. Podle 2. principu světlo dorazí současně do bodů A a B v jistém čase T. Mějme dále vagon, který se pohybuje rovnoměrně a přímočaře ve směru BA tak, že jeho počátek a konec v čase T právě koincidují s body A, B. Podle 1. principu musí v systému K' spojeném s vagonem platit rovněž 2. princip. Odtud plyne, že zdroj světla v okamžiku jeho vyslání koincidoval se středem vagonu. To je však absurdní, protože v okamžiku T = 0, kdy bylo světlo vysláno, střed vagonu do bodu C ještě nedojel. Lze najít cestu, jak rozpor překonat. V 1. ani v 2. principu není nic, co by nás nutilo předpokládat, že okamžiky příchodu světla do bodů A, B současné z hlediska systému K jsou současné i z hlediska systému K'. Naopak, protože předpoklad jejich současnosti v K' vedl ke sporu, vyplývá z našich principů, že současné nejsou a že tedy současnost je relativní. Tím ovšem opouštíme vztah (XI. 1), z něhož téměř samozřejmě vyplynuly vztahy 267 (XI.2). To znamená, že lze opustit i tyto vztahy, tj. Galileiho transformaci i zákon skládání rychlostí (XI.6). Neinvariance 2. principu vzhledem ke Galileiho transformaci není tedy ve sporu s principem relativity, ale znamená, že tento princip požaduje invarianci fyzikálních zákonů vůči jiné transformaci, než je transformace Galileiho. I dnes si může čtenář při prvním zamyšlení nad těmito závěry položit otázku, zda opravdu máme dostatečné důvody rozejít se tak radikálně s názory, které zdánlivě souhlasí s naší intuicí. Uváží-li však, oč svou představu absolutní současnosti opírá, uvědomí si pravděpodobně, na jak nepevných základech je založena. Představa absolutní současnosti splývá v běžném životě s představou „toho, co právě vidíme". Její praktická vžitost a užitečnost se zakládá na tom, že v běžném životě můžeme rychlost světla považovat za nekonečně velkou ve srovnání s rychlostmi pohybů, které nás zajímají. Tato představa současnosti není tedy použitelná ani v rámci před-relativistické fyziky, která prokázala měřením, že rychlost světla je konečnou veličinou, newtonovská fyzika sice předpokládá existenci nekonečné rychlosti (přímé působení na dálku například podle gravitačního zákona), ale představa nekonečné rychlosti se v ní vyvinula v závislosti na představě absolutní současnosti a nejsou pro ni žádné experimentální důkazy. Vidíme tedy, že kromě své „vžitosti" neměla fakticky představa absolutní současnosti ve fyzice žádnou oporu. Rozhodující slovo pro přijetí nové fyzikální teorie musí ovšem povědět experiment. V XI.1 jsme sledovali, jak všechny experimenty usilující o zjištění absolutního pohybu potvrzovaly platnost 1. principu. V době vzniku teorie relativity však nebylo přímých potvrzení platnosti 2. principu, speciálně nezávislosti rychlosti světla na rychlosti zdroje. Proto mohla Einsteinově teorii po nějakou dobu konkurovat balistická teorie, která řešila rozpor mezi optikou a principem relativity přestavbou optiky (vztáhla 1. princip ke Galileiho transformaci za cenu opuštění 2. principu). Avšak roku 1913 de Sitter rozborem pozorování zákrytových dvojhvězd ukázal, že průběh změn jejich jasnosti balistické teorii odporuje. Později následovala řada dalších astronomických pozorování. Například Brecherův rozbor z roku 1977 ukazuje, že záření rentgenového zdroje Hercules X-l nezávisí na rychlosti zdroje s relativní chybou řádu 10~9. Rychlosti astronomických objektů vůči pozemskému pozorovateli jsou většinou velmi malé ve srovnání s rychlostí světla. Byly však konány také experimenty se zdroji o velkých rychlostech, jako bylo například měření Alwägera a jeho spolupracovníků v roce 1964. Při něm byla určována rychlost paprsků 7 vysílaných pohybujícími se piony. Také tyto experimenty 268 potvrdily nezávislost rychlosti světla na rychlosti zdroje s relativní chybou 10~4. Pro úplnost dodejme, že se několikrát vyskytly i experimentální pochybnosti o správnosti relativistických principů (Millerova pozorování 1925, Kantorův experiment 1962). Zdánlivé rozpory byly však postupně vysvětleny. Lze proto říci, že dnes nelze mít o platnosti Einsteinem formulovaných postulátů žádné rozumně zdůvodněné pochybnosti. XI.3 Lorentzova transformace. Skládání rychlostí Jak jsme viděli, vyžadují si Einsteinovy postuláty nahrazení Galileiho transformace jinou transformací, která bude spojovat prostorové souřadnice a čas v inerciálních systémech K a K' takovým způsobem, aby vůči ní byly fyzikální zákony invariantní. Einstein odvodil tuto transformaci ze dvou uvedených principů a vyjádřil tak její univerzální charakter. Dospěl k transformačním vztahům, které byly známy vlastně již před ním. Přiblížil se jim Voight roku 1887 a v úplné podobě je získali Larmor roku 1900 a Lorentz v roce 1904. Poincaré pro ně roku 1905 zavedl název Lorentzova transformace. Larmor a Lorentz dospěli k této transformaci v rámci úvah o vlastnostech Maxwellových rovnic. Pro Einsteina byl klíčem k jejímu získání rozbor pojmu současnosti. Klasická (tj. předrelativistická) fyzika předpokládala existenci absolutní současnosti, neměla však v praxi uskutečnitelnou metodu, kterou by absolutní současnost dvou událostí stanovila. Einstein našel jednoduchou metodu synchronizace založenou na přímém použití 2. principu. Mějme hodiny v bodech A a B. Vyšleme v čase To světelný signál z A do B, odrazíme jej zpět a zaznamenáváme čas návratu signálu Tk. Pak v okamžiku přijetí signálu je třeba v B nastavit čas Synchronizace se vztahuje k systému, v němž je bod A v klidu. Bude-li bod B v klidu v temže systému, budou hodiny v A a, v B nadále ukazovat synchronizovaný čas T, který může být uvedenou procedurou nastaven na všech hodinách daného vztažného systému. Uvedený experiment umožňuje zároveň určit vzdálenost B od A (v klidovém systému bodu A v čase T). Tato vzdálenost je zřejmě T = T0 + Tk (XI.25) 2 L=^(Tk-T0) (XI.26) 269 a nazývá se radiolokační vzdáleností, protože její měření se v praxi uskutečňuje nikoliv pomocí viditelného světla, ale rádiovými signály (například při měření vzdáleností těles Sluneční soustavy). Proti Einsteinově metodě synchronizace bylo namítáno, že se při ní užívá argumentu kruhem. Aby mohla být určena rychlost světla, je třeba mít synchronizovány hodiny. Avšak pravidlo synchronizace se stanoví za předpokladu, že rychlost světlaje ve dvou protichůdných směrech stejná. Na hodinách synchronizovaných podle Einsteina pak ovšem nemůžeme ověřit, zda tomu tak skutečně je. I když to zdánlivě vyjde jako výsledek měření, půjde jen o důsledek přijaté definice (XI.25). Přijetí metody měření vzdálenosti podle (XI.26) tuto námitku ještě zvýrazní. Tato metoda předpokládá, že rychlost světla je známa a rovna c ve všech směrech. Současná definice jednotek délky a času také s konstantností c předem počítá — dnes uváděná veličina c již není měřena, ale definována, takže není zatížena žádnou chybou. Jak ale potom můžeme platnost principu konstantní rychlosti světla ověřit? Na tyto námitky lze odpovědět, že pro experimentální potvrzení teorie není nutné přímé ověření všech jejích postulátů. Stačí, když budou potvrzeny všechny jejich experimentálně dostupné důsledky. Dále je třeba uvést, že teorie relativity nevylučuje ani jiné metody synchronizace, jako je například zmíněná metoda pomalého roznášení hodin v daném vztažném systému a jiné metody měření vzdálenosti, například přikládáním tuhých měřicích tyčí. Tyto metody dají podle teorie relativity stejné výsledky jako metoda Einsteinova, takže i nezávislé ověření 2. postulátu je možné. Zabývejme se nyní důsledky formulí (XI.25) a (XI.26) pro vztah souřad- _V _, _c_^ —i-1-,-1- 0, 0 Xq, Tq Xk, Tk X, T Obr. 23: Lorentzova transformace v podélném směru. Pohybující se pozorovatel určuje souřadnice události X, T pomocí hodin a světelného signálu. nic a času v různých inerciálních systémech. Mějme soustavu K s počátkem Oas osami X,Y,Z a synchronizovaným časem T. Dále uvažujme systém K'', který se pohybuje ve směru osy X konstantní rychlostí V. Osy systému K' zvolíme tak, aby jejich směr splýval se směrem os systému K. Počátek 270 O' nechť je totožný s počátkem O v čase T = 0 a nechť v tomto okamžiku ukazují čas T' = 0 také hodiny pohybující se s bodem O'. Jde o situaci analogickou té, kterou jsme měli při vyvození Galileiho transformace (XI.2). Uvažujme nyní jistou událost E na ose X v čase T (X a T mohou být voleny libovolně). Nechť tato událost odpovídá odražení světelného signálu, který vyslal pozorovatel spojený s bodem O' v bodě Xq a v čase To a po odražení jej přijal v bodě Xk a v čase Tk, viz obr. 23, který zachycuje situaci z hlediska systému K. Pozorovatel v O' má stejné právo užívat pravidla ein-steinovské synchronizace a radiolokační metody určování vzdáleností jako pozorovatelé v systému K. Přiřadí proto události E čas r = n±iL 2 a vzdálenost od počátku (v němž se sám nachází) x" = 5 Pí -Tí) ■ V předrelativistické fyzice bychom přirozeně položili T' = To, T'k = Tk. Ukázalo by se však, že takový předpoklad je neslučitelný s Einsteinovými principy, což bude patrné z dalšího postupu. Budeme předpokládat, že 7Í = kT0 , T'k = KTk , (XI.29) kde k = ^(V^, tj. budeme předpokládat, že chod hodin může záviset na velikosti jejich rychlosti. Naším cílem je vyjádřit T' a X' pomocí T a X. K tomu stačí využít kinematických vztahů pro rovnoměrný a přímočarý pohyb. Platí *o = V T0 , a tedy To Dále je Xk = VTk , a tedy Tk (XI.27) (XI.28) X-X0 = c(T-T0) cT-X c-V ' X-Xk = c(Tk-T) cT + X c + V * (XI.30) (XI.31) (XI.32) (XI.33) 271 Dosazením (XI.31) a (XI.33) do (XI.27) a (XI.28) při využití (XI.29) dostaneme VX T' = k-fe- . (XI.34) To jsou hledané transformační vztahy, které však dosud obsahují neurčenou veličinu k. Pro její určení užijeme 1. principu. Zatímco mezi údajem T' na hodinách O' a synchronizovaným časem T systému K v temže místě je podle (XI.29) vztah T' = kT , (XI.35) mezi údajem T na hodinách v bodě (X = 0) a synchronizovaným časem T' systému K' v temže místě je podle (XI.34) vztah T =-. (XI.36) Vztah (XI.35), popř. (XI.36), udává, jak se změní z hlediska klidového systému K, popř. K', tempo chodu hodin pohybujících se rychlostí o velikosti V. Podle 1. principu musí být tato změna tempa v obou případech stejná a musí tedy platit k = ^l-íj . (XI.37) Popsaná metoda synchronizace je možná pouze za předpokladu, že V (XI.46) -5 dostáváme zderivováním druhé rovnice (XI.41) v'x = 7(vx-V)^. (XI.47) Derivováním první rovnice (XI.42) podle T' získáme a po dosazení do (XI.47) a rozřešení této rovnice vzhledem k v'x máme < = ~v ■ 1 - c2 274 Analogickými operacemi z třetí a čtvrté rovnice (XI.41) dostaneme, že V2 / V2 M/1 -72" . Vz\l~~Š2 v' = —±-, vi = —*-. (XI.50) C2 c2 Vypišme i inverzní vztahy, které lze opět dostat výměnou čárkovaných a nečárkovaných komponent rychlosti částice a záměnou V za —V, -2 v2 v: v>+v m1-^ v'zr~v2 v*=^ív' Vy= vxv > v>= ; v>v • (XL51) i + -V i + -v i + -V &■ &■ CÁ Vidíme, že zákon skládání rychlosti v' a V je složitější než klasický zákon v v' (XI.6), ve který přechází pro malá —, —. c c Aplikujme rovnice (XI.49) a (XI.50) na světlo, které se šíří v systému K rychlostí c = (cx,cy,cz), přičemž c2 = c 2 + cy2 + c 2 . (XI.52) Umocníme-li uvedené rovnice na druhou a porovnáme součet levých a pravých stran, s využitím (XI.52), po snadných úpravách obdržíme c'2 = c2 . (XI.53) To znamená, že velikost rychlosti světla je vůči Lorentzově transformaci invariantní. Tím jsme se přesvědčili, že ve všech systémech spojených Loren-tzovou transformací platí 2. Einsteinův princip. Vybudováním teorií konkrétních fyzikálních jevů, které jsou invariantní vůči Lorentzově transformaci, se budeme zabývat v dalším výkladu. Poznamenejme na závěr, že rychlost částice o velikosti v, pro niž v jistém systému K platí v jak si snadno ověříme dosazením (XI.60) a (XI.63). To znamená, že dospíváme opět ke vztahu (XI.59). Tento výsledek bylo možné s jistotou předvídat. Speciální teorie relativity se nemusí vyhýbat problému ani v jeho původní formulaci. Omezení na inerciální soustavy neznamená, že bychom v jejich rámci nemohli studovat zrychlený pohyb hodin. Je přirozené přijmout hypotézu, že vzorec (XI.57) platí i v diferenciálním tvaru a že tedy hodiny pohybující se proměnnou rychlostí v(T) ukáží interval vlastního času T2 /-2~ Ar = j dr = j Jl - dT < T2 -Tľ . (XI.66) Ti Hypotetické hodiny, pro něž vztah (XI.66) platí přesně, nazýváme ideálními hodinami. Chod ideálních hodin tedy nezávisí na jejich zrychlení. Skutečné hodiny ovšem v závislosti na své konstrukci jeví odchylky od ideálnosti (od malých korekcí až po úplnou destrukci). Je znám teoretický model ideálních hodin založený na trvalé výměně světelných signálů mezi dvěma pozorovateli, jejichž vzdálenosti se nemění. V praxi však můžeme předpokládat, že velmi dokonalou realizací ideálních hodin jsou atomy vysílající záření o přesně definovaných frekvencích. V pevných látkách za běžných teplot mají kmitající atomy zrychlení až 104 g (g je gravitační zrychlení na povrchu Země), aniž to má jakýkoliv vliv na frekvence vysílané jejich jádry, 278 jak to potvrzuje pozorování Mossbauerova jevu. Totéž pozorování potvrzuje závislost frekvence na teplotě, která přesně odpovídá dilataci času působené růstem střední rychlosti atomů s teplotou. Pro atomové hodiny můžeme proto vztah (XI.66) užívat v zásadě bez omezení. To znamená, že u hodin, které jsou na počátku a na konci děje v temže místě neinerciálního systému, můžeme vypočítat jejich zpoždění i v případě křivočarých a zrychlených pohybů. Pokud jsou však neinerciální fáze pohybů zanedbatelně krátké oproti inerciálním, můžeme oprávněně zanedbat i jejich vliv v integrálu (XI.66). Poněvadž popis z hlediska kterékoliv inerciální soustavy podává úplnou informaci o daném ději, není užití neinerciální soustavy spojené s hodinami B nezbytné. Ovšem i takovýto popis je možný a lze jej podat v rámci teorie neinerciálních systémů. Zpravidla se tak děje v rámci výkladu obecné teorie relativity. Poznamenejme, že v literatuře se často mluví o paradoxu dvojčat v souvislosti s představou kosmického letu s návratem, po němž se cestující dvojče bude věkem lišit od dvojčete, jež zůstalo „doma", tj. v klidu vůči soustavě, která je inerciální. Zde bývá vznášena otázka, zda i biologický čas životních pochodů se nutně řídí vzorcem (XI.57). Je nepochybné, že biologické jevy probíhají v souladu s principy speciální teorie relativity a časová data s nimi spojená musejí podléhat dilataci času. Při posuzování vlivu kosmického letu na lidský organismus by však bylo třeba uvážit i faktory, jimiž se situace kosmonauta nutně liší od situace pozemské (stavy beztíže či přetížení, úroveň záření apod.) a které mohou mít vliv na biologické pochody. Jev dilatace času byl vícekrát přímo i nepřímo potvrzen experimenty. O změně frekvence záření atomů s teplotou (tzv. teplotní rudý posuv) jsme se již zmínili. Důležité přímé ověření podali roku 1941 Rossi a Hall pozorováním doby života mionů. Tyto částice (s kladným či záporným nábojem velikosti náboje elektronového a s asi 200krát větší hmotností, než má elektron) vznikají reakcí primárního kosmického záření s horními vrstvami atmosféry ve výši asi 30 km. Později se rozpadají na pozitron a dvě neutrina, přičemž jejich klidová doba života činí průměrně Ar = 2,1.10-6 s. Již odtud je zřejmé, že bez dilatace času by se naprostá většina mionů nemohla dostat k zemskému povrchu, ani kdyby se pohybovaly rychlostí světla. Proto už jejich registrace zde je argumentem ve prospěch teorie relativity. Rossi a Hall měřením dob života mionů o různých rychlostech potvrdili vzorec (XI.57) i kvantitativně. Roku 1952 byly provedeny pokusy zjišťující dobu života 7t mezonů se stejným výsledkem. Vzorec (XI.66) pro neinerciální pohyb byl patrně poprvé prověřen náročným pokusem v oblasti fyziky elementárních částic roku 1966. V roce 1971 byl proveden experiment se dvěma 279 letadly, která byla vybavena atomovými hodinami a obletia Zemi v opačných směrech. Po přistání byly údaje obou hodin porovnány s hodinami, které zůstaly v klidu na Zemi. Vzhledem k rotaci Země zde šlo o trojí druh ne-inerciálního pohybu56. Výsledkem experimentu bylo, že rozdíly v údajích hodin (řádově stovky nanosekund) odpovídají předpovědím speciální teorie relativity s přesností asi 15 %. Malou přesnost experimentu lze vysvětlit řadou vedlejších vlivů, které se při něm uplatňují. Obdobný pokus byl proveden ještě roku 1976, kdy byl registrován i vliv, který má na plynutí času výška hodin nad Zemí a který předvídá obecná teorie relativity. Přejděme nyní k problému srovnávání prostorových vzdáleností v různých inerciálních systémech. Nechť v systému K' leží v klidu ve směru osy X' tyč délky Lq. Je tedy Lq = X'2 - X[ , (XI.67) kde X[,X'2 jsou souřadnice začátku a konce tyče v K'. Chceme-li určit délku tyče L v systému K, vůči němuž se tyč pohybuje rychlostí V, musíme zaznamenat polohu jejího počátku a konce v temže čase, tj. klást 2\ = T2 . (XI.68) Užijme druhé rovnice Lorentzovy transformace (XI.41). Vzhledem k (XI.68) platí L0 = X'2 - X{ = Xf~Xl = jL . (XI.69) Yl Vlastní délka tyče Lq v systému, v němž je tyč v klidu, je tedy největší. Mluvíme proto o kontrakci délky pohybující se tyče. Kontrakce délek může vyvolat podobné námitky jako dilatace času. Nechť jsou spuštěny závory, vzdálenost mezi nimi se právě rovná klidové délce vagonu, který pod nimi projíždí ve směru kolmém k závorám. Nechť zadní závora dopadla právě na konec vagonu. Dopadla přední závora před vagon anebo narazila na jeho střechu? Na první pohled se zdá, že užitím vzorce (XI.69) v systému závor Z a v systému vagonu W dospějeme ke dvěma protichůdným výsledkům. V systému Z je vagon kratší než vzdálenost mezi závorami a přední závora dopadne před něj. V systému W je vzdálenost závor menší než délka vagonu a přední závora dopadne na střechu vagonu. Chybou, která se často vyskytuje i v jiných paradoxech, je zde opomenutí relativní povahy současnosti. Předpokládá-li se, že závory dopadly současně 56 V experimentu hraje roli nejen pohyb letadel vůči Zemi, ale i rotace Země, která způsobuje, že systém s ní spojený není inerciální 280 v systému Z, nemohly dopadnout současně v systému W. Přední závora dopadla v tomto systému dříve než zadní a mohla tedy dopadnout před vagon bez rozporu s tím, že vagon je delší než vzdálenost mezi závorami. Kontrakce délek je prokázána řadou nepřímých dokladů, mezi něž patří například zmíněný Michelsonův pokus. Také popsané pozorování dopadu mionů na povrch Země lze v systému spojeném s mionem vysvětlit tak, že doba života mionu zůstala stejná, ale v důsledku kontrakce je menší vzdálenost mezi místem vzniku mionů a Zemí. Přímé ověření vzorce (XI.69) pro rychle se pohybující tělesa nebylo dosud podáno pro technické obtíže, s nimiž by byl takový experiment spojen. Upozorněme v této souvislosti, že například při fotografování rychle se pohybujících těles by vystoupil problém rozdílu mezi jejich skutečným a viditelným tvarem, způsobený tím, že vzhledem ke konečné rychlosti světla nevidíme všechny body obrysu tělesa ve stejném čase. Při posuzování otázky, jak by se pozorovateli jevilo rychle se pohybující těleso, je tedy třeba uvážit nejen relativistickou kontrakci, ale i zmíněný efekt. Na tuto skutečnost upozornil Terrell až roku 1959, ve starší literatuře je opomíjena. XI.5 Některé kinematické důsledky teorie relativity Kinematickými nazýváme v teorii relativity ty jevy, které lze odvodit přímo z Lorentzovy transformace, aniž se odvoláváme na změny, kterým teorie relativity podrobila dynamické pojmy hmotnosti, hybnosti, energie, síly aj. Je ovšem třeba mít na paměti, že v důsledku těsné souvislosti mezi prostorem a časem a fyzikálními jevy je v teorii relativity rozdělení na kinematiku a dynamiku mnohem méně striktní než v klasické mechanice. Mezi kinematické jevy se řadí již probraná kontrakce délek a dilatace času. Nyní se seznámíme s dalšími kinematickými jevy. a) Změna úhlů a objemu pohybujících se těles Tento jev je přímým důsledkem kontrakce délek. Nechť je těleso v klidu v soustavě K' a přímka v něm vytyčená nechť zde svírá úhel (po se směrem pohybu K' vůči K. Pak z hlediska soustavy K jsou délky v podélném směru zkráceny v souladu s (XI.69), zatímco v příčném směru se nezmění. Příslušný úhel z hlediska soustavy K je tedy určen vztahem tgv? = 7tgo . (XI. 70) O směru daném úhlem (po můžeme mluvit jako o klidovém směru. 281 Analogickou úvahou dostaneme vztah mezi objemem Vo v klidové soustavě K' a objemem V v soustavě K V = — . (XI.71) 7 b) Fázová a paprsková rychlost rovinné vlny. Aberace světla Nechť hřeben rovinné vlny postupuje rychlostí u pod úhlem a k ose X. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že rychlost u leží v rovině XY a že hřeben procházel počátkem v čase T = 0. Pak pro postup hřebene, viz obr. 25, platí rovnice Y = -— + ^-. (XI.72) tg a sin a Pohyb hřebene vlny v systému K' najdeme dosazením ze vztahu (XI.42). Dostáváme Y' 7 sin a cos a uV X' + {Vcosa-u) T' (XI.73) Porovnáním (XI. 73) a (XI.72) vidíme především, že je tg a = srna 7,cosa_ (XI.74) Dále bychom mohli obdržet vztah mezi u a v!. 282 Nechť se v systému K spolu s hřebenem vlny pohybuje částice ve směru normály k hřebeni, tj. platí v = it, kde v je rychlost částice. Jaký úhel s osou X' bude svírat rychlost částice v' v systému K'l Platí . vv sin a ,,rT tga = i = -(-n- ( T5) 7(«>sa--j kde jsme užili vztahů (XL49) a (XI.50) a toho, že v = (v cos a, v sin a). Pravé strany (XI.74) a (XI.75) se při v = u obecně liší. To znamená, že shoduje-li se fázová rychlost u a paprsková rychlost v v systému K, budou v systému K' rychlosti rozdílné. Avšak v případě, že jde o světelné vlnění, kde v = u = c, vztahy (XI.74) a (XI.75) splývají ve vztah * S1X1 Qĺ , _ _ _ _ tga' = —-(XI.76) 7 (cosa--J jež popisuje jev aberace světla v rámci speciální teorie relativity. Situaci, kterou jsme se zabývali v souvislosti se vztahem (XI.12), odpovídá a = —, ti a — — + e, takže je tg £ = -!— , sine = — , (XI.77) c c což v prvním přiblížení splývá s (XI. 12). c) Dopplerův jev Nechť zdroj periodického signálu o frekvenci vz a šířícího se rychlostí u se pohybuje rychlostí V, která svírá úhel a se směrem od zdroje k pozorovateli P, viz obr. 26. Všechny uvedené veličiny se vztahují ke klidovému systému tohoto pozorovatele (systému K). Za periodu 5T urazil první signál dráhu u ÔT směrem k pozorovateli P. Vzdálenost zdroje od pozorovatele se však za tuto dobu zmenšila (popř. zvětšila v případě, že a > tt/2) o V^Tcosa (změnu vzdálenosti danou příčným pohybem lze v reálných situacích zanedbat). Pozorovatel P tedy registruje periodu cm uST -VSTcosa / V \ 6TP =-= ÔT 1--cos a XI.78 u \ u ) a pro pozorovanou frekvenci vv tedy platí Up =-y--. (XI.79) 1--cos a u 283 p Obr. 26: Dopplerův jev. Zdroj vlnění Z se pohybuje rychlostí V vzhledem k nehybnému pozorovateli. Rychlost vlnění je u. Předešlá úvaha platí jak v klasické fyzice, tak i v teorii relativity. Zde je však potřeba dodat, že vzhledem k dilataci času (XI.57) frekvence vz souvisí s klidovou frekvencí jak je měřena v systému K' pohybujícím se spolu se zdrojem, vztahem vx=voyi--p, (xi.80) takže výsledný vzorec pro Dopplerův jev je u Nejčastěji se setkáváme se vzorcem (XI.81) v případě světla ve vakuu, kde u = c. Pro tento případ si všimněme situace, kdy a = ir, tj. zdroj se vzdaluje od pozorovatele pro kladné V. Pak máme ^ i + - c f , (XI.82) což se liší od klasického vzorce (XI. 10). V případě, žea = 7r/2,je podle (XI.79) vv — vz. Pozorovaná frekvence se však přesto liší od klidové frekvence zdroje na základě (XI.80). To je příčný Dopplerův jev, který není ničím jiným než projevem relativistické dilatace času. Jeho zjištění (poprvé Ives a Stilwell v roce 1941, později další potvrzení s přesností asi 5 % je proto důležitou součástí experimentálního ověření kinematických vztahů speciální teorie relativity. 284 Nechť je v bodě P registrována monochromatická rovinná vlna o frekvenci v a nechť se bod Z pohybuje rychlostí V pod úhlem a ke směru postupu vlny. Jaká frekvence v' v něm bude zjištěna? Každý průchod maxima vlny bodem Z lze ztotožnit s vysláním signálu v předchozí úvaze (nezáleží zřejmě na tom, že Z není původcem signálu). Proto lze užít vzorec (XI.81) a klást v něm vp = v , vq = v', čímž dostáváme v 1--cos a .i \ u j v — (XI.83) Nejčastěji se tento vzorec užívá pro světlo, kde u = c. Je důležité si uvědomit, že v případě světla (viz (XI.82)) může frekvence v závislosti na volbě vztažného systému (rychlost V) nabývat libovolné hodnoty mezi 0 a oo . Mluvíme-li například o červeném světle či Rôntge-nově záření, mají tato slova jen relativní význam v rámci našeho vztažného systému. Existují systémy, pro než je naše viditelné světlo Rontgenovým zářením či naopak. 1 d) Rychlost světla v pohybujícím se prostředí Nechť se látkové prostředí pohybuje vůči systému K rychlostí V, rychlost světla vzhledem k němu nechť je c*. Pak podle vzorce pro relativistické skládání rychlostí (XI.51) se světlo ve směru pohybu prostředí šíří vůči K rychlostí c* 4- V u = —. (XI.84) & Předpokládejme, že V = v7 f1 - 7) • (XL94) Dělíme-li tuto rovnici časovým intervalem AT a přejdeme-li v limitě k derivaci, dostáváme, že dochází k stáčení klidového směru vektoru s úhlovou rychlostí « = § = -^(1-7). <»•<«) dV kde A = —— je zrychlení setrvačníku. Zpravidla je rychlost 7«c. Pak lze dT (XI.95) zjednodušit užitím prvního přiblížení Taylorova rozvoje podle V Q = -^V x A. (XI.96) Jev popsaný vzorcem (XI.95), popř. (XI.96), se nazývá Thomasova precese. Jak vidíme, jeho výklad i pochopení je obtížnější než u ostatních kinematických jevů zde diskutovaných, nicméně je to výsledek stejně zásadní povahy. U makroskopických těles je přirozeně efekt popsaný vzorcem (XI.96) zanedbatelný. Uplatňuje se však v atomové fyzice, kde úlohu vektoru s hraje spin elektronu v atomu. Zde Thomasova precese sehrála významnou roli, poněvadž umožnila mimořádně přesné experimentální ověření dalšího konkrétního závěru speciální teorie relativity. 288 XI.6 Pohybové rovnice. Energie částice Nyní přikročíme k budovaní relativistické dynamiky. Její pojmy a zákony musí splňovat požadavek invariance vůči Lorentzově transformaci, zároveň se však zachovává co nejvíce ze stavby klasické fyziky, pokud je to s relativistickým pojetím slučitelné. Ponechává se pojem částice, která je matematicky popsána jako hmotný bod. V klasické mechanice jsme definovali inerciální systém jako systém, v němž je pro volné částice splněn princip setrvačnosti o = ^ = 0. (XI.97) dí Ze vztahů (XI.49) a (XI.50) je patrné, že je-li rychlost v konstantní v jistém inerciálním systému K, je taková i v systému K' spojeném s K Loren-tzovou transformací. Vztah (XI.97) vyjadřující 1. Newtonův zákon je tedy vůči Lorentzově transformaci invariantní a hraje v teorii relativity obdobnou roli, jakou měl v Newtonově mechanice — slouží k praktickému určení inerciálního systému. Dále uvažujme o srážkách částic, tj. o interakcích, které jsou omezeny na tak malou prostorovou a časovou oblast, že lze pominout jejich detaily a omezit se na srovnávání dat pro volné částice před srážkou a po srážce. V klasické mechanice je univerzálním zákonem platným pro srážky zákon zachování hybnosti, který říká, že zůstane zachován vektorový součet hybností částic P = ]Tr7W. (XI.98) i Přitom se pokládá za samozřejmé, že zůstane zachován i součet hmotností M = Y,m, (XI.99) i přičemž hmotnost je takovou charakteristikou částice, která nezávisí na jejím pohybovém stavu. Zákony (XI.98) a (XI.99) stačí v klasické mechanice k vyřešení případu dokonale nepružné srážky dvou částic, tj. srážky, v jejímž důsledku dochází ke spojení částic. Uvažujme zvlášť jednoduchý případ takové srážky, kdy částice mají v jistém inerciálním systému K' před srážkou opačné rychlosti a stejné hmotnosti, takže spojená částice bude po srážce v klidu. Pro rychlosti v[, v'2 před srážkou a v' po srážce lze tedy psát v[ = -u, v'2=u, v' = 0 . (XI.100) Popišme tento děj z hlediska systému K, který je s K' spojen vztahy (XI.42). 289 Podle (XI.51) budou příslušné rychlosti v K VI = -^y, V2 = -^y, V = V. (XI.101) c2 c2 Odtud je již jasné, že zákony zachování hybnosti a hmotnosti nemohou být převzaty do teorie relativity bez modifikací. Položíme-li totiž mivi + 7712v2 — (mi + 777,2) ^ j (XI. 102) dostaneme ve spojení s m\ — 777.2, že 7; = íľlJlľ2^ což je ve sporu s (XI. 101). Nejprostší možná korekce je taková, že podržíme definici hybnosti částice p = mv (XI.103) i zákony zachování hybnosti a hmotnosti, nebudeme však již považovat hmotnost m za veličinu konstantní během pohybu, nýbrž připustíme její závislost na rychlosti m = m(v). Pak ovšem již nelze v systému K klást 777,1 = 777,2. Z rovnice (XI. 102) vypočteme užitím (XI. 101) poměr hmotností mi V — v 2 r2 777,2 Vi — V ij_uV ' (XI. 104) c2 Nyní užijeme transformační vztah pro Lorentzův faktor 7«=h/l-^| , (XI.105) platí vztah Iv = l'vl (l + ^) , (XI.106) jak lze prověřit přímým výpočtem. Máme y'v = j'V2, v[x = —u, v'2x = u a tedy rai m2 \ 1-^ c2 c2 (XI.107) 290 Pro v\ = 0 musí být m\ rovno své klidové hodnotě, kterou nyní označíme mo- Pro hmotnost druhé částice tedy platí m = m° , (XI.108) kde jsme vynechali index částice, protože tento vztah musí být za našich předpokladů univerzálně platným vztahem pro závislost hmotnosti na rychlosti. Hmotnost tedy v teorii relativity s rychlostí roste, přičemž pro v -» c je m —>• co. Hybnost částice můžeme nyní napsat jako p = -£SL- . (XI.109) Opět platí, že pro v —>• c velikost hybnosti roste nade všechny meze. Porovnejme ještě klidovou hmotnost Mq částice vzniklé srážkou se součtem klidových hmotností před srážkou. Podle předchozího výkladu M0 = ml+m2= ,2m° , (XI.110) tedy pro klidové hmotnosti zákon zachování neplatí. Tento výsledek je z hlediska klasické fyziky zcela nový a neočekávaný. Dalším krokem k budování relativistické dynamiky je formulování pohybových rovnic. V klasické mechanice vyjadřuje tyto rovnice 2. Newtonův zákon F = ma . (XI.lll) Působení pole na částici budeme i v teorii relativity popisovat pomocí síly. Připomeňme si však, že kromě (XI.lll) existuje v klasické mechanice ještě zápis pohybových rovnic F - % (XI.112) odpovídající Newtonově formulaci, že síla je rovna časové změně hybnosti. V klasické mechanice jsou oba zápisy ekvivalentní, v teorii relativity se však v důsledku vztahů (XI.103) a (XI.108) budou lišit. Je proto třeba se rozhodnout projeden z nich, tj. vlastně zavést pojem síly v rámci teorie relativity. Přednost je třeba dát vyjádření, které vede k jednodušší formulaci zákonů dynamiky. Z dalšího výkladu vyplyne, že je to vyjádření (XI.112). 291 Uvažujme nyní o zavedení pojmu energie do teorie relativity. V klasické mechanice platí pro přírůstek kinetické energie částice pod vlivem síly vztah dT = Fv (XI. 113) Budeme předpokládat, že tímto vztahem je určen přírůstek kinetické energie i v teorii relativity. Pak užitím (XI. 112) a (XI. 109) získáme vdv -S (XI. 114) a po integraci 1 v* (XI.115) Integrační konstantu b zvolíme tak, aby pro v = 0 platilo Ek = 0. Tím dostáváme Ek = m0ď v 1 v = -rriQV + -m0-2 + 2 8 c1 (XI. 116) Jak je vidět, v prvním přiblížení pro malé v/c splývá relativistický výraz pro kinetickou energii s výrazem klasickým, avšak pro v -> c roste kinetická energie nade všechny meze. Vraťme se nyní ke vzorci (XI. 110). Pro rozdíl klidových hmotností Mq a 2mo lze psát Mq — 2mo = 2rao v (XI.117) kde Ek byla kinetická energie částic před srážkou. Po srážce se tato kinetická energie zřejmě „proměnila" ve vnitřní energii spojené částice. Ze vzorce (XI.117) vidíme, že to bylo spojeno se vzrůstem klidové hmotnosti 292 p2 + m0 V =-3-. (XI. 120) částice, který je úměrný této energii. Můžeme předpokládat, že je to projevem univerzálního zákona a že klidová hmotnost a vnitřní klidová energie jsou spojeny vztahem E0 = m0c2 . (XI. 118) Celková energie částice je tedy 2 E = Eo + Ek = ™°C = mc2 . (XI.119) Tento vztah vyjadřuje, v běžné terminologii, zákon ekvivalence hmotnosti a energie. Užitím (XI. 109) a (XI.119) se snadno ověří, že energie a hybnost částice jsou v teorii relativity spojeny vztahem E2 Kromě toho existuje ještě velmi hluboká souvislost mezi energii a hybností, která se odhalí zkoumáním jejich transformačních zákonů. Pro stručnost budeme opět užívat Lorentzových faktorů 7 a jv, tj. (XI.46) a (XI. 105). Bude tedy ( VE\ Px = 7Í ™o v'x = 7 í Vx - —2- ) • (XI.121) Obdobně dostaneme p'y = vy , p'x=pz, E' = 1{E- VPx) . (XI.122) Porovnáním s (XI.41) vidíme, že veličiny E/c2, px, py, pz se při Loren-tzově transformaci chovají obdobně jako soubor prostoročasových souřadnic T, X, y, Z. Význam této formální symetrie rozebereme podrobněji později. Poznamenejme, že z transformačních vztahů (XI.121) a (XI.122) je patrné, že zachovává-li se hybnost a energie částice v inerciálním systému K, zachovává se také v systému K' spojeném s ním Lorentzovou transformací. Pro úhrnnou hybnost a energii souboru volných částic platí opět transformační vztahy (XI.121) a (XI.122), jak se přesvědčíme sečtením vztahů pro jednotlivé částice souboru. Proto také zákony zachování pro úhrnnou hybnost a energii systému budou invariantní vůči Lorentzově transformaci. Vraťme se nakonec k pohybovým rovnicím (XI. 112) a odvoďme transformační zákon pro sílu. Lze psát F> = ^?L (XI.123) x áT dT' v ; 293 Dále užijeme (XI. 121), (XI.48) a vztahu dE =; = Fv, (XI.124) který plyne z (XI. 113) vzhledem k tomu, že Eq je konstanta. Po krátkém výpočtu obdržíme v - j? _ v vypy+ VzFz c2 K = f Fy t/\ > K = / ^ t/x • (XI.125) Na základě (XI. 103) lze pohybovým rovnicím dát tvar dv „ dm ,,rT . m— = F - -—v XI.126 dT dT v ; a protože podle (XI. 119) a (XI.124) dT c2 dT c2 dostáváme dm 1 dE 1 „ ,„rT „ fv„. ^Fv , (XI.127) m° a = F-^ (Fv) v (XI.128) -5 ' pro zápis pohybových rovnic vyjadřující explicitně vztah mezi silou, rychlostí a zrychlením. Porovnáním s (XI. 111) vidíme, že pohybové rovnice se staly oproti případu klasické mechaniky složitějšími. Zrychlení nyní již nemá obecně směr působící síly. V okamžitě klidové soustavě dané částice, kde v = 0, však platí mQao = Fo, (XI. 129) tj. vztah (XI. 111) klasické mechaniky zde zůstává v platnosti. Dovedeme-li určit sílu v klidové soustavě, můžeme najít její obecné vyjádření podle transformačních vztahů (XI.125). Jak je z našeho přehledu základních vztahů relativistické dynamiky zřejmé, uplatňuje se všude tam, kde částice či tělesa nabývají relativních rychlostí srovnatelných s rychlostí světla. Rychlosti makroskopických těles 294 vyrobených člověkem za současného stavu techniky tento předpoklad nesplňují, a proto při studiu jejich pohybů vystačíme s newtonovskou mechanikou. Avšak v mikrofyzice a v jejích technických aplikacích jsou rychlosti srovnatelné s rychlostí světla zcela běžné. Pozorování pohybů a srážek částic mikrosveta nezanechává žádné pochybnosti o tom, že relativistická dynamika je zde nesrovnatelně lepším přiblížením k realitě nežli dynamika newto-novská. Používání relativistických vztahů pro hmotnost, hybnost a energii částic je samozřejmým předpokladem pro technické aplikace i další výzkumy v oblasti mikrosveta. XI.7 Aplikace pohybových rovnic a) Rovnoměrně zrychlený pohyb Nejprostším příkladem pohybu působením síly je případ, kdy síla má směr pohybu částice, přičemž v okamžitě klidovém systému částice je velikost této síly v kterémkoliv čase stejná. Podle (XI. 129) zůstává pak konstantní i zrychlení vzhledem k okamžitě klidové soustavě, které je pro pozorovatele spojeného s částicí mírou neinerciálnosti jeho pohybu. Daný pohyb můžeme proto nazvat rovnoměrně zrychleným pohybem ve speciální teorii relativity (třebaže zrychlení vzhledem k pevnému inerciálnímu systému při něm konstantní není). Volme počáteční podmínky tak, že v čase T = 0 je částice v bodě X = 0 s nulovou rychlostí a síla má směr osy X, tj. F = (F, 0,0). Transformační vztah (XI. 125) dává, že tato síla je i během pohybu rovna síle v okamžitě klidovém systému. Zůstává proto během pohybu konstantní a na základě (XI.112) nebo (XI.128) můžeme psát kde g = F/ttiq je klidové zrychlení. První integrací (XI. 130) dostaneme d v (XI.130) v (XI.131) neboli áX 9T (XI.132) v = dT 295 Další integrace při zadaných počátečních podmínkách dává X = — (XI.133) Je-li (gT)2 oo z (XI. 132) plyne, že v —>• c. Na rozdíl od klasické mechaniky, kde by rychlost částice rostla nade všechny meze, se její rychlost v teorii relativity asymptoticky blíží rychlosti světla. Tato skutečnost je projevem obecné zákonitosti. Podle (XI. 112) a (XI. 124) může síla konečné velikosti dodat částici za konečnou dobu pouze konečnou energii a hybnost. To ovšem podle předchozího výkladu znamená, že částice nemůže dosáhnout rychlosti světla. Řešení (XI.133) můžeme zapsat ve tvaru z čehož vidíme, že grafem studovaného pohybu v rovině X, T je hyperbola na rozdíl od klasické paraboly (XI.134). Mluví se také proto o hyperbolickém pohybu. Tento pohyb bývá často diskutován v souvislosti s posuzováním možností kosmických letů mimo hranice Sluneční soustavy. b) Pohyb v homogenním magnetickém poli Z teorie elektromagnetického pole je známé, že v magnetickém poli o indukci B působí na částici s elektrickým nábojem e síla Později ukážeme, že tento vztah zůstává v platnosti i v teorii relativity, zatím to budeme předpokládat. Budeme se zabývat případem, kdy magnetické pole je homogenní, časově neproměnné, a má směr osy Z. Omezíme se na pohyb v rovině X, Y. Pro tento pohyb podle (XI.112) dostaneme (XI.135) F = ev x B . (XI.136) dpz — evyB , Úpy = —evxB . (XI.137) dT dT 296 Rovnice (XI. 137) platí i v nerelativistické fyzice, kde ovšem p = m^v. V tomto případě lze soustavu snadno vyřešit a dospějeme k závěru, že částice se pohybuje po kružnici úhlovou rychlostí eB ujq = — . (XI. 138) m0 V teorii relativity, kde p = mojyV, postupujeme takto: Vynásobíme první rovnici soustavy (XI. 137) vx, druhou rovnici vy a sečteme. Dostaneme tak ápx ápy d m0c2 ďřw*+ ďrVy = ďr-7=^ = 0 (XL139) neboli 2 m—— = mc2 = konst . (XI. 140) To je vlastně zákon zachování energie, který jsme mohli obdržet také přímo z (XI. 124) vzhledem k tomu, že platí Fv = 0, tj. síla (XI. 136) nekoná práci. Na základě (XI. 140) je ve vztahu p = mv hmotnost konstantní a (XI. 137) se formálně neliší od nerelativistického případu, nahradíme-li klidovou hmotnost rao relativistickou hmotností m = ymo. Pohyb se tedy opět děje po kružnici, úhlová rychlost však je m mo tj. zmenšuje se s rostoucí rychlostí částice na kruhové dráze. Postupná rychlost má pro poloměr kružnice R hodnotu v = ivR, odtud vypočteme kde ujq je klasická frekvence daná (XI. 138). Pro R -> oo platí, že v —> c, tj. rychlost částice opět nemůže dosáhnout rychlosti světla. Lze také psát po rozřešení (XI. 142) vzhledem k R a užití (XI. 138) R = H , (XI. 143) 297 kde po je konstantní hodnota hybnosti částice daná počátečními podmínkami. Vztah (XI. 143) umožňuje určit po na základě změření B a R. Zjišťováním energetických ztrát při brzdění částice je pak možno určit i její klidovou hmotnost. Pohyb nabitých částic v magnetickém poli má i řadu dalších vědeckých a technických aplikací. XI.8 Zákon ekvivalence hmotnosti a energie Zákon (XI. 119) o vzájemné souvislosti hmotnosti a energie patří nepochybně k nejzávažnějším objevům teorie relativity a má řadu pozoruhodných aspektů od mimořádného významu pro moderní energetiku až po souvislost se základními otázkami filozofickými. Budeme se mu proto věnovat podrobněji. Uveďme nejprve několik konkrétních případů aplikace tohoto zákona. a) První experimentální ověření podali Cockcroft a Walton roku 1932. Jestli dopadne na jádro lithia proton o dostatečně vysoké energii, vznikne nestabilní jádro berylia, které se rozpadá na dvě částice a, tj. dochází k procesu Li£ + Hj —> Be\ —> 2He4, . (XI. 144) Velikost klidových hmotností jednotlivých složek reakce je možno určit metodou zmíněnou v závěru předešlého odstavce. Ukazuje se, že rozdíl klidových hmotností před procesem a po procesu, tzv. hmotnostní defekt, je Am0 = 0,309.10_28kg . (XI. 145) Tomu odpovídá energie A£ = 27,7.1(T13J. (XI. 146) Tato energie musí být rovna rozdílu kinetické energie částic a po reakci a protonu před reakcí. I tyto veličiny lze změřit a výsledek přesně souhlasí s předpovědí teorie relativity. b) Je-li jádro uranu U2,!5 zasaženo neutronem o dostatečné energii, dojde k jeho rozštěpení na dvě jádra patřící prvkům ze střední části periodické soustavy. Přitom se v průměru uvolní 2-3 neutrony, které mohou rozbít další uranová jádra, takže dojde k řetězové reakci. Tato reakce může vést ke katastrofální explozi (atomová bomba), nebo může být regulována a stát se zdrojem užitečné energie v jaderných reaktorech. Vazebná energie (tj. 298 energie, kterou je třeba dodat pro rozložení jádra na jednotlivé komponenty) činí pro prvky ze střední části periodické soustavy asi 8,5 MeV na jednu částici jádra, kdežto pro uran je analogická veličina 7,5 MeV. Při popsané jaderné přeměně se tedy uvolní energie AE = (8,5 - 7,5) .235MeV = 3,8.KrnJ . (XI.147) V jaderných reaktorech se naprostá většina této veličiny získá ve formě tepla. Pro 1 kg uranu to činí AQ = 9,6.107J, (XI. 148) což představuje energii získanou spálením asi 3.106 kg uhlí. c) Za jistých podmínek — především za vysoké teploty — se lehká jádra slučují v jádra těžších prvků. Tyto reakce mají velký význam v kosmologii a v astrofyzice. Vděčíme jim i za energii, kterou nám trvale poskytuje Slunce. Lidstvo dovede zatím energii tohoto původu získávat, bohužel, pouze ve vodíkových bombách, avšak ovládnutí řízené termonukleární reakce je jednou z největších nadějí pro energetiku budoucnosti. Jako reprezentativní příklad uveďme slučování jader deuteria a tritia na helium podle vzorce H? + H? —He| + nj . (XI. 149) V tomto případě je hmotnostní defekt roven 3,0.10-29 kg čili uvolněná energie činí 2,7.10~12 J. Pro 1 kg směsi deuteria a tritia činí získaná energie Q = 3,1.108J, (XI.150) tj. je asi 3krát větší než v předchozím případě. Uvedené příklady ukazují, že je možné čerpat z malého množství látky obrovská množství energie (ve srovnání s tím, co se zdálo možné v před-relativistické fyzice). Již 1 gram látky je ekvivalentní energii 9.1013 J. Je ovšem třeba si uvědomit (což se při populárních výkladech často přehlíží), že tato energie má pro nás praktický význam jen natolik, nakolik je možné ji uvolnit, tj. převést ve využitelnou formu kinetické energie. To však z teorie relativity bezprostředně neplyne. Víme z ní pouze, že je-li energie uvolněna, je toto uvolnění provázeno odpovídajícím poklesem součtu klidových hmotností — a naopak je-li možný přechod mezi stavy s různými součty klidových hmotností, uvolní se přitom odpovídající množství energie. Jaké přeměny mohou skutečně nastat, je nutné studovat v rámci kvantové teorie stavby mikrosveta. Platí zde speciální zákony zachování, které 299 musí být splněny při reakcích a které vylučují řadu procesů, jež by byly energeticky výhodné. Existuje ovšem proces, který umožňuje přeměnit veškerou hmotnost částice a antičástice v energii elektromagnetického pole (tj. fotonů, jejichž klidová hmotnost je nulová)57. Vzhledem k nesymetrii výskytu částic a antičástic v nám známé části vesmíru může však dnes tento proces anihilace podstoupit jen nepatrná část látky. Při fyzikálních a chemických dějích, které ponechávají nedotčenu stavbu atomových jader, jsou uvolněné energie natolik malé, že jim odpovídající změny klidových hmotností lze zcela zanedbat. Tak například zahřátí 1 kg vody z 0°C na 100°C zvýší její hmotnost jen o 5.10-12 kg. Sloučením 1 kg směsi kyslíku a vodíku na vodu poklesne hmotnost látky o 10~32 kg. Nelze se proto divit, že v rámci newtonovské fyziky mohly být formulovány a v rámci dostupné přesnosti i ověřeny dva nezávislé zákony zachování — zákon zachování energie a zákon zachování hmotnosti. Teprve teorie relativity spojila tyto dva zákony v jediný univerzální zákon — zákon zachování hmotnosti-energie, platný pro všechny formy hmoty a pro všechny přírodní procesy. XI.9 Příklady 1. Odvoďte relativistický zákon skládání rychlostí pro obecný případ libovolné vzájemné orientace skládaných rychlostí. Řešeni: Nejprve napišme Lorentzovu transformaci pro případ obecné orientace os inerciálních systémů K a K', a v čase T — T' = 0 jejich počátky spolu splývají. Relativní rychlost K' vůči K budiž V = (Vx, Vy, Vz). Průvodič r rozložíme na část rovnoběžnou s rychlostí V (XI.151) \ v / v a na část k rychlosti V kolmou r - (^-) ■ (XI.152) 57 Zánik nebo úbytek klidové hmotnosti při fyzikálních procesech budil v minulosti pozornost filozofů hlásících se k materialismu. Bylo proto zdůrazňováno, že celková hmotnost ekvivalentní energii se nemění. Ve skutečnosti ovšem jde o fyzikální veličiny, jejichž chovaní nemá žádné bezprostřední filozofické důsledky. Někteří fyzikové míní slovem „hmotnost" pouze hmotnost klidovou a v rámci této terminologie mohou mluvit například o přeměně hmotnosti částic v energii pole. 300 Veličina (XI. 151) se transformuje jako souřadnice X při speciální Lorentzově transformaci, veličina (XI. 152) se transformuje jako Y či Z, tedy y r'y + VT' rV\ V r — V J V = r — r'V\ V_ V V ' (XI. 153) (XI. 154) T = T + \ (r' V) c Z rovnic (XI. 153) a (XI. 154) obdržíme řešení první části úkolu (r'V) V , r , (,V\ V , V2 +VT Diferencováním formulí (XI.156) a (XI.155) dostaneme V ^(Vár')+VáT' d r = ár'--—í Vár') + —-, - ar ar y2Kvur )^ yjl -/32 áV + Vár' áT = Odtud konečně obdržíme, že (XI.155) (XI.156) (XI. 157) (XI.158) u = V + u'^l-(32 + ár ár . (Vu') V V2 1 + Vu'~ kde u = — a u = — jsou rychlosti častice v K a K . Povyšime-h obě dí dr strany předchozího transformačního vztahu na kvadrát, získáme pro absolutní hodnotu rychlosti výraz u = 1 + u'V (XI.159) 301 2. Určete trajektorii pohybu nabité relativistické částice v homogenním magnetickém poli B kolmém na počáteční rychlost částice, kde kromě Lo-rentzovy síly působí na částici vazká síla F = — nu. Řešení: Osu Z orientujeme ve směru magnetického pole B. Pohyb částice se děje v rovině Z = konst. Pohybové rovnice mají tvar m°X 1 = eBY — nX , (XI. 160) Odtud obdržíme dT \y/T^W moX = eBX - 7]Ý . (XI.161) mpÝ = eBY-r}X, (XI. 162) = eBX-r]Y, (XI. 163) takže eB (XX + YÝ) = 7/ (XÝ - YX) . (XI. 164) Přepíšeme vztah (XI. 164) do polárních souřadnic (r,ip). Je x*+YÝ = é;{lr2)=rf' (XL165) XÝ - YX = \r x u\ = r2ip , (XI.166) takže eBř = rjrip . (XI. 167) Integrací odtud dostáváme hledanou rovnici trajektorie. Příklady k samostatnému řešení 1. Částice s klidovou hmotností mo se pohybuje rychlostí 4/5c a dojde k nepružné srážce s klidovou částicí o stejné hmotnosti. a) Čemu je rovna rychlost vzniklé částice? b) Čemu je rovna její klidová hmotnost? c 4m0l 302 2. Částice o klidové hmotnosti rao se pohybuje podél osy X tak, že platí X = \/b2 + c2T — 6, kde b je konstanta. Čemu je rovna síla, která takovýto pohyb vyvolala? [F = m^C , síla je konstantní ]. 3. Částice o hmotnosti M se rozpadla na dvě částice o hmotnostech m\ a 7712- Najděte energii rozpadnuvších se částic v těžišťové soustavě. Ei = & M2 + mi 2 m2 ,E2 = ď M2 - mi 2 + 777,2 2 2M " 2M 4. Vypočtěte rychlost u a kinetickou energii Ek elek kolmo do homogenního magnetického pole B = 0,084 V . s/mz a opsal kruž nici o poloměru r = 0,03 m (e/mo = l,76.10n C. kg-1) ;ronu, který vletěl 2 U — J5k = ,4MeV + 1 5. Klidný 7r-mezon, mo(7r) = 273m0(e), se rozpadá na neutrino, ra0(j,) = 0, a mion, m0(M) = 207mo(e). Vypočtěte v MeV kinetickou energii i hybnost mionu a neutrina. \p{li) = 29,8MeV , Ek{fl) = 4, IMeV , \p{u) \ = |p(At) | , Ek{l/) = c\p{u) \ 303 XII SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY V MINKOWSKI-HO PROSTOROČASE Vyšším poschodím speciální teorie relativity je její čtyřrozměrná formulace, dovršená Minkowskim roku 1910. Klíčovým pojmem pro toto vyjádření je pojem intervalu mezi událostmi v prostoročase. Zabýváme se Minkowskiho čtyřrozměrnou geometrií a jejími grupami symetrie — Lorentzovou grupou a Poincarého grupou. Získaných poznatků využíváme k čtyřrozměrné formulaci relativistické mechaniky částic. Poté studujeme vektorová a tenzorová pole v relativistickém prostoročase z hlediska diferenciálního a integrálního počtu. Otvíráme si tak cestu k vyjádření základních pojmů a zákonů relativistické mechaniky kontinua. Jejím ústředním pojmem je tenzor energie a hybnosti. Vysvětlujeme význam jeho komponent a souvislost se zákony zachování, jejichž čtyřrozměrný tvar uvádíme. Nakonec probíráme relativistický variační princip pro pohyb nabitých částic ve vnějším elektromagnetickém poli. a napíšeme jej podle (XI.42) pomocí veličin X', Y', Z', T'. Dostáváme postupně XII.1 Interval Utvořme výraz (XII.l) s (XII.2) 304 tj. veličina s2 se vyjádří stejným způsobem pomocí prostoročasových souřadnic systému K i K', jinými slovy je invariantní vůči Lorentzově transformaci. Dá se proto očekávat, že tato veličina bude mít hlubší význam. Abychom tento význam určili, povšimněme si, že (XII.l) lze nyní zapsat jako s2 = c2T2 - L2 , (XII.3) kde L je vzdálenost od počátku vyjádřená v kartézských souřadnicích 3-roz-měrného euklidovského prostoru. Tato vzdálenost je invariantní vůči otočení kartézského souřadnicového systému vzhledem k počátku. Ve vzorci (XII.3) je kvadrát prostorové vzdálenosti L spojen s kvadrátem časové vzdálenosti T od počátku. Ani veličina L ani veličina T není sama o sobě neměnná při Lorentzově transformaci, avšak veličina s2 z nich složená ano. To napovídá, že bychom mohli s považovat za zobecnění vzdálenosti od počátku pro případ 4-rozměrného prostoročasu a Lorentzovu transformaci za 4-rozměrnou obdobu otočení kartézského systému souřadnic. Vůči otočení kartézského systému v 3-rozměrném prostoru je invariantní nejen vzdálenost od počátku, ale i vzdálenost mezi libovolnými dvěma body AL2 = AX2 + AY2 + AZ2 , (XII.4) kde AX = X2 — X\ a podobně pro AY, AZ. Snadno se přesvědčíme, že obdobnou vlastnost vůči Lorentzově transformaci má „vzdálenost" mezi událostmi, definovaná nyní vztahem As2 = c2AT2 - (AX2 + AY2 + AZ2) = c2AT2 - AL2 . (XII.5) Veličinu As budeme v dalším výkladu nazývat intervalem mezi událostmi o prostoročasových souřadnicích X\, Y\, Z\, T\ a X2, Y2, Z2, T2 ve čtyřrozměrném prostoročase. Kromě toho, že je definován na prostoru odlišné dimenze, se interval As liší od euklidovské vzdálenosti L (XII.4) ještě jinak. Zatímco vzdálenost mezi dvěma různými body a tedy i její kvadrát AL2 je vždy kladné číslo, veličina As2 může zřejmě v závislosti na volbě událostí nabývat kladné, nulové i záporné hodnoty. To znamená, že geometrie prostoročasu s intervalem vyjádřeným vztahem (XII.5) není geometrií euklidovskou. Nazýváme ji pseudoeuklidovskou geometrii Minkowskiho a o prostoročase s intervalem (XII.5) mluvíme jako o prostoru Minkowskiho. Pro pochopení základních vlastností této geometrie se stačí omezit na události probíhající v libovolném čase T na ose X, tj. na dvojrozměrný 305 cT \ \ \ I / III \ / \ / \ / \ / \ / \ / / \ / \ / \ / \ / \ / \ -III--X II \ \ \ Obr. 28: Minkowskiho diagram. Obrázek zachycuje světelný kužel (přerušované čáry) oddělující budoucnost (I), minulost (II) a kvazisoučasnost (III) vzhledem k počáteční události. prostor ve 4-rozměrném prostoru. Tento prostor můžeme zobrazit do euklidovské roviny s kartézskými osami, na nichž vynášíme souřadnice X a cT, viz obr. 28. Tomuto znázornění se říká Minkowskiho diagram. V Minkowskiho diagramu mají důležitou úlohu dvě přímky X = cT a X = —cT, které půlí jeho kvadranty. Z fyzikálního hlediska odpovídají tyto přímky paprskům světla šířícím se v kladném a záporném směru osy X tak, že v čase T = 0 procházejí počátkem zvoleného systému. Tyto přímky rozdělují Minkowskiho rovinu na tři oblasti I. s2 = C2T2 - X2 > 0 , T > 0 , II. s2 = c2T2 - X2 > 0 , T < 0 , III. s2 = c2T2 - X2 < 0 . (XII.6) Počátek můžeme považovat za společný bod oblastí I a II. Hranice oblastí se vyznačují tím, že je na nich 8 = 0. (XII.7) Tato podmínka je invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci a odtud je patrné, že rozdělení do oblastí (XII.6) zůstává v platnosti i při volbě jiných souřadnic X', T' spojených s X, T Lorentzovou transformací. 306 Zakresleme do Minkowskiho diagramu osy X', cT' systému K', který se pohybuje vůči systému K rychlostí V ve směru osy X. Osa X' je zadána rovnicí cT' = 0, tj. podle (XI.41) cT = -X (XII.8) c a osa cT' má rovnici X' = 0, tj. cT=C-X. (XII.9) Součin směrnic obou přímek je roven jedné a tudíž osy cT' a X' svírají stejné úhly s přímkami X = ±cT půlícími kvadranty. Protože podle předpokladu V < c, leží osa X' vždy v oblasti III, zatímco osa cT' prochází oblastí II a oblastí I, viz obr. 29. Vhodnou volbou rychlosti V lze dosáhnout toho, aby osa X' procházela kteroukoliv událostí oblastí III, anebo osa cT' kteroukoliv událostí uvnitř oblasti I nebo II. Obr. 29: Lorentzova transformace v Minkowskiho diagramu. Silně vytažené osy odpovídají systému K'. Z hlediska Minkowskiho geometrie jsou tyto osy na sebe kolmé stejně jako osy původní. Lorentzovou transformací lze tedy vždy dosáhnout, aby událost uvnitř oblasti II, popř. I, ležela na časové ose. To znamená, že v systému K' k ní dojde v temže místě X' = 0 jako k události zvolené za počátek. Interval mezi touto událostí a počátkem je tedy tzn. interval může být měřen hodinami, které jsou (z hlediska K') v klidu. Pro událost v oblasti III lze Lorentzovou transformací vždy dosáhnout toho, s = c\T' (XII. 10) 307 že bude ležet na prostorové ose, tj. že k ní v systému K' dojde ve stejném čase T' = 0 jako k události zvolené za počátek. V tomto případě je interval vzhledem k počátku veličinou ryze imaginární a jeho velikost je rovna prostorové vzdálenosti v systému K' \s\ = Ľ = ^Xf2 + Y,2-rZ'2 . (XII.ll) Intervaly typu (XII. 10) nazýváme časupodobnými a intervaly typu (XII.ll) prostorupodobnými. Mezním případem jsou světelné intervaly splňující podmínku (XII.7). Fyzikální význam mají pouze velikosti intervalů (XII. 10) a (XII.ll). Znaménko jejich kvadrátu umožňuje pouze rozlišení mezi intervaly časového a prostorového charakteru, ale žádný další fyzikální význam nemá. Bylo by možné definovat s2 také s opačným znaménkem než (XII.l), což se v literatuře rovněž vyskytuje. U událostí oddělených od počátku časupodobným nebo světelným intervalem nelze Lorentzovou transformací dosáhnout toho, aby k nim docházelo v temže čase jako k události zvolené za počátek. Události v oblasti I mají ve všech systémech spojených Lorentzovou transformací kladnou časovou souřadnici, tj. dochází k nim později než k události zvolené za počátek. Proto se této oblasti říká absolutní budoucnost (vzhledem k počáteční události). Z analogických důvodů se oblast II nazývá absolutní minulostí. Událost v oblasti III může v závislosti na volbě inerciálního vztažného systému nastat dříve či později nežli událost počáteční, není však možné, aby nastala v temže místě. Mluvíme proto o III jako o oblasti událostí absolutně odlehlých anebo jako o oblasti událostí kvazisoučasných s událostí počáteční. Libovolný pohyb bodu podél osy X můžeme v Minkowskiho diagramu znázornit křivkou. Pokud je rychlost pohybu nenulová, lze tuto křivku zapsat jako cT = f(X) . (XII. 12) Přímka na diagramu odpovídá pohybu, který se děje konstantní rychlostí, tj. pohybu rovnoměrnému. Uvažované křivce se říká světočára daného bodu. Má-li se pohyb dít rychlostí v < c, musí pro směrnici světočáry platit c (g) > 1 , (XII.13) tj. světočára procházející danou událostí míří z její minulosti do její budoucnosti. Kdyby světočára nesplňovala podmínku (XII.13), nebylo by možné 308 události na ní jednoznačně uspořádat v čase — která ze dvou událostí je dřívější a která pozdější, by záviselo na volbě vztažného systému K. Je přirozené předpokládat, že časové pořadí příčiny a následku, a tedy i libovolných příčinně spojených událostí, je určeno jednoznačně, a že proto jakákoliv interakce spojená s přenosem hmotnosti, energie a informace se nemůže šířit rychlostí přesahující rychlost světla. Platí tedy princip maximální rychlosti šíření interakcí v 0), zatímco její minulost tvoří události, které ji mohly v principu ovlivnit (lze je s ní spojit světočárou splňující (XII. 13), přičemž T < 0). Poznamenejme, že princip maximální rychlosti šíření interakcí vylučuje existenci tuhých těles ve smyslu klasické mechaniky, kde vzdálenost libovolných dvou bodů tuhého tělesa zůstávala během pohybu konstantní. Uved-la-li například síla do translačního pohybu zadní konec tuhé tyče, musel se okamžitě začít pohybovat i konec přední. Odtud je patrné, že klasický pojem tuhého tělesa předpokládal nekonečnou rychlost šíření interakcí a tím vlastně existenci absolutní současnosti. Proto jej nelze do teorie relativity přenášet. Při zkoumání silových účinků na tělesa musíme předpokládat, že při změně svého pohybového stavu se tělesa deformují a deformace se v nich šíří rychlostí, která je v souladu s (XII. 14). Opomenutí této skutečnosti se může stát zdrojem zdánlivých „paradoxů". Teorie relativity ovšem nevylučuje nadsvětelné rychlosti čistě geometrické povahy. Otáčí-li se například světlomet danou úhlovou rychlostí, bude rychlost pohybu světelné stopy na stínítku úměrná vzdálenosti stínítka od světlometu a může rychlost světla překročit. Avšak polohy stopy v různých časových okamžicích nejsou vzájemně příčinně spojeny a nejde tedy o rozpor s principem maximální rychlosti šíření interakcí. Vysvětleme nyní pomocí Minkowskiho diagramu paradox hodin. Povšimněme si nejdříve, jak vypadají v Minkowskiho diagramu množiny bodů o konstantní hodnotě intervalu vzhledem k počátku. Jsou zřejmě popsány rovnicí X2 - C2T2 = konst (XII.15) a tvoří tedy dvě soustavy rovnoosých hyperbol, jejichž asymptotami jsou přímky X = cT, X = —cT, viz obr. 30, jeho levá část. Srovnání levé části 309 Obr. 30: Minkowskiho geometrie a euklidovská geometrie. Množinami bodů stejně vzdálených od počátku jsou v euklidovské rovině kružnice, v Minkowskiho rovině rovnoosé hyperboly. obr. 30 s jeho pravou částí ukazující analogické množiny v euklidovské geometrii ilustruje zásadní rozdíl mezi euklidovskou geometrií a geometrií Minkowskiho. Nyní již znázorníme v Minkowskiho diagramu situaci „paradoxu hodin" za předpokladu, že zrychlené fáze letu lze pro jejich krátkost zanedbat, viz obr. 31. Přímka OK je světočárou hodin, které zůstaly v klidu vzhledem k inerciálnímu systému daného diagramu. Lomená čára ORK je světočarou hodin, které se pohybovaly rovnoměrně a přímočaře „tam a zpět" rychlostí o velikosti V. Z hlediska klidového pozorovatele je událost R současná s událostí G, avšak z hlediska systému vzdalujících se hodin je současná s událostí E a z hlediska systému vracejících se hodin s událostí E*. Přímka ER má podle (XII.8) směrnici V/c a je tedy tečnou k hyperbole (XII. 15) v bodě R. Diferencováním (XII. 15) totiž obdržíme ~ďT = ďr = 7 ■ (XIL16) Z hlediska prostoročasového se rovnají intervaly OR a OF (hodiny v bodech R Si F ukazují stejný čas). Zakreslíme-li (vzhledem k symetrii obou fází letu) bod F* tak, aby platilo F G = GF*, odpovídá interval FF* času, který (při závěrečném srovnání hodin v bodě K) uplynul na „necestujících" hodinách navíc. V rozporu se situací, jakou známe z euklidovské geometrie, je tedy přepona trojúhelníka OK v geometrii Minkowskiho delší než součet jeho odvěsen OR a RK. Délku libovolné světočáry můžeme určit tak, že ji aproximujeme přímkovými úseky a v limitě pro nekonečně husté dělení přejdeme k integrálu. 310 o x Obr. 31: Paradox hodin v Minkowskiho diagramu. V Minkowskiho geometrii jsou úsečky OF a KF* stejně dlouhé jako úsečka OR. Základna trojúhelníku OK je proto delší než součet ramen OR a KR. Pro světočáry odpovídající pohybům s podsvětelnou rychlostí můžeme psát s využitím infinitesimálního zápisu pro interval ds2 = c2dT2 - (dX2 -f dY2 + áZ2) , (XII.17) takže ds = v^dr^-dL* dT = c]Jl_^dT = cdT. (XII.i8) Délka světočáry je tedy s = (XII. 19) kde r je vlastní čas měřený ideálními hodinami pohybujícími se podél světočáry. Čas, který ukazují ideální hodiny, je tedy úměrný délce jejich světočáry — lze říci, že ideální hodiny měří tuto délku. XII.2 Geometrie Minkowskiho prostoru. Tenzory Spojení prostoru a času v intervalu otevírá cestu k novému a hlubšímu pohledu na fyzikální zákony formulované v rámci teorie relativity. Nežli 311 přikročíme k jeho výkladu, musíme se detailněji seznámit s geometrií Min-kowskiho prostoru. Pro jednoduchost a symetrii zápisu zavedeme prostoročasové souřadnice X°, X1, X2, X3, X° = cT , X1 = X , X2 = Y , X3 = Z , (XII.20) udávající vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi čtveřicemi reálných čísel a událostmi v prostoročase. Nadále budeme užívat výhradně těchto souřadnic. Mějme dvě libovolné události P, Q o prostoročasových souřadnicích P1 Q1. Uspořádané dvojici událostí lze přiřadit čtyřrozměrný vektor Vpq o komponentách Ql — Pl, tj. lze psát 3 Vpq = £ (<ľ - P1) e* , (XII.21) z=0 kde ei jsou čtyřrozměrné vektory báze, e<, = (1,0,0,0) , ei = (0,1,0,0) , e2 = (0,0,1,0) , e3 = (0,0,0,1) , (XII.22) odpovídající jednotkovým úsekům na osách X°, X1, X2, X3. Přiřazení (XII.21) má tyto význačné vlastnosti: 1. Nechť bod P je zvolen za počátek souřadnicového systému (XII.20), tj. klademe Pl = 0, a bod Q nechť probíhá celý prostor, tj. klademe Q1 = X1. Pak každé události X o souřadnicích X1 je přiřazen její „polohový vektor" X vzhledem k počátku 3 X = Y^Xiei. (XII.23) i=0 Tato korespondence mezi vektory a událostmi je zřejmě vzájemně jednoznačná. 2. Pro libovolné události P, Q, R a příslušné vektory je splněna „trojúhelníková rovnice" Vpq + Vqr - Vpfí . (XII.24) Položíme-li v (XII.24) nejprve Q = P a potom R — P, dostáváme další charakteristické vlastnosti popsané korespondence VpP = 0 , Vpq - -VQP . (XII.25) Množina bodů spojená s vektorovým prostorem tak, že je splněn 1. a 2. bod, se nazývá afinním prostorem. Volbou počátku se podle (XII.23) afinní prostor ztotožní s prostorem vektorovým. 312 Zabývejme se nyní tímto vektorovým prostorem. Kvadrát intervalu události X vzhledem k počátku můžeme považovat — v analogii se situací v euklidovském prostoru — za skalární součin vektoru X se sebou samým. Libovolné dvojici vektorů A, B tedy přiřadíme „skalární součin" AB = a°b° - albl - a2b2 - a3b3 , (XII.26) který pro A = B = X přechází v kvadrát intervalu. Pro vektory báze (XII.22) platí zřejmě e0e0 = 1 , eiei = e2e2 = e3e3 = -1 , e^- = 0 prožij. (XII.27) Tyto podmínky ortonormality jsou poněkud komplikovanější než v případě euklidovské geometrie. Formální shody s euklidovskou geometrií by bylo možné dosáhnout, kdybychom namísto X° = cT ve vztahu (XII.20) položili X° = icT, kde i je imaginární jednotka, a definovali kvadrát intervalu s opačným znaménkem než (XII.l). Pak by se kvadrát intervalu stal součtem kvadrátů souřadnic a skalární součin (XII.26) by se formálně shodoval se skalárním součinem v čtyřrozměrném euklidovském prostoru. Právě popsané úmluvy se často užívá zejména ve starší literatuře. Cenou za formální zjednodušení je to, že časové komponenty vektorů v (XII.21) se stávají imaginárními a imaginární jednotka vstupuje do řady fyzikálně významných veličin a vztahů. V obecné teorii relativity by užívání imaginární souřadnice přineslo další nevýhody. Protože očekáváme, že pro řadu našich čtenářů může být tento text vstupní branou ke studiu obecné teorie relativity, budeme pracovat se skalárním součinem (XII.26). Vektorový prostor s tímto skalárním součinem nazýváme vektorovým prostorem Minkowskiho. Vyjádření (XII.26) přepíšeme do tvaru více připomínajícího euklidovskou geometrii, zavedeme-li ještě bázi o vektorech el jako e° = e0 , e1 = -ei , e2 = -e2 , e3 = -e3 . (XII.28) Bázi el nazveme kontravariantní, e^ kovariantní. Obě báze jsou spojeny vztahy duality Jej = 5) , (XII.29) kde 6j je Kroneckerův symbol ( Sj = 1 pro i — j a 5^; — 0 pro i ^ j ). Podle vztahů duality (XII.29) je zobecněním běžných vztahů ortonormality z euklidovské geometrie, kde ortonormální báze splývá s bází duální. Libovolný vektor A lze vyjádřit buď pomocí kontravariantních komponent 313 Ä1 v kovariantní bázi, anebo kovariantních komponent A{ v kontravariantní bázi jako 3 3 A = Aiei = Yl Aiei ■ (XII.30) Pro zjednodušení zápisů budeme nadále používat Einsteinova sumačního pravidla. Nebudeme tedy vypisovat sumy přes všechny hodnoty indexů a budeme automaticky předpokládat, že přes index opakovaný dole a nahoře se sčítá od 0 do 3. Sčítací index může být zřejmě během výpočtů libovolně přejmenován, tj. lze psát například A = A*ei = Ajej . (XII.31) Proto se někdy sčítací index nazývá indexem němým. Vzhledem k (XII.29) můžeme pro skalární součin psát AB = A^iBjeP = A^jôi = A{Bi = A°B0 + ÁlBí + A2B2 + A3B3 . (XII.32) Po zavedení Minkowskiho vektorového prostoru lze na něm definovat tenzory libovolného řádu. Tenzor 2. řádu T je bilineární forma na vektorovém prostoru, tj. zobrazení, které přiřazuje každé uspořádané dvojici vektorů A, B číslo T (A, B), přičemž platí T (pC + gD, B) = pT (C, B) + qT (D, B) , (XII.33) podobný vztah platí i pro druhý argument. Vzhledem k linearitě zobrazení lze vyjádřit tenzor pomocí jeho hodnot na vektorech báze, například T (A, B) = T (yťeť, Bjej) =T(el, e7) AlBj = TijAiBj , (XII.34) kde jsme označili Tlj=T(el,ej) (XII.35) kovariantní komponenty tenzoru Tíj. Obdobně lze zavést kontravariantní komponenty Tij =T(e\eJ) (XII.36) a smíšené komponenty T) = T (e\ ej) , popř. T-J =r(eh e*") . (XII.37) Podobně jako vektory, zapisujeme často tenzory pomocí jejich komponent, tj. mluvíme například o tenzoru Tíj. 314 Velmi důležitý tenzor je spojen se skalárním součinem (XII.26). Tento součin je zřejmě bilineární formou g (A, B) = AB = gijAW , (XII.38) kde gij představuje podle předchozího výkladu kovariantní komponenty tenzoru g, určené maticí 9ij — 6 je j — Pro tento tenzor platí g(A,B)=g(B,A) , / 1 0 0 0 \ 0 -1 0 0 0 0 -1 0 \ 0 0 0 -1) (XII.39) fy- 9ij — 9ji (XII.40) Tenzor o vlastnosti (XII.40) se nazývá symetrický. Smíšené komponenty tenzoru g jsou podle (XII.37) a (XII.29) g{ = g(ei,e?} = = 8\ a kontravariantní komponenty jsou (XII.41) gij = ev' = / 1 0 0 0 \ 0-100 0 0-10 V o o o -i y (XII.42) Tenzor g umožňuje přiřadit každému vektoru A jeho velikost \A\ = yl\g(A,A)\ = yJ\gijAW\ (XII.43) Na rozdíl od situace v euklidovském prostoru není kvadratická forma g (A, A) pozitivně deíinitní, tj. kladná pro všechny nenulové vektory. Bere-me-li za A polohový vektor X, platí g(X,X) = s2, (XII.44) kde s je interval mezi událostí X a počátkem. Tento interval je nulový pro vektory splňující vztah 315 (XII.45) které zřejmě odpovídají událostem (minulým i budoucím) spojeným s počátkem světelným paprskem. Takovéto vektory nazveme světelnými. Rovnice (XII.45) představuje rovnici kužele ve čtyřrozměrném prostoru. Mluvíme míří dovnitř světelného kužele, a to do budoucnosti pro X° kladné a do minulosti pro X° záporné. Tyto vektory nazýváme časupodobnými. Konečně vektory, pro než je míří vně světelného kužele a nazývají se prostorupodobnými. Vektory P, Q, R na obr. 32 představují světelný, časupodobný a prostorupodobný vektor v rovině X°Xl, přitom vektory P i Q jsou orientovány do budoucnosti. Rozdělení vektorů na světelné, prostorupodobné a časupodobné se vztahuje i na vektory, které nemají význam polohových vektorů událostí. Tenzor gij nazýváme vzhledem k jeho geometrickému významu metrickým tenzorem Minkowskiho prostoru. Pomocí metrického tenzoru lze vyjádřit převodní vztahy mezi kova-riantní a kontravariantní bází a mezi různými typy komponent tenzorů. Většina těchto vztahů byla již uvedena dříve. Pro pohodlí čtenáře je však zopakujeme a doplníme do systematické podoby. Pro vyvození těchto vztahů se nebudeme odvolávat na konkrétní vyjádření gij v bázi (XII.22) splňující relace ortonormality (XII.27). Použijeme pouze vztahů duality bází (XII.29) a definičního vztahu pro metrický tenzor (XII.38). Naše výsledky budou proto platit i pro libovolné sdružené báze v libovolném vektorovém prostoru se skalárním součinem (jímž rozumíme bilineární formu (XII.38) za předpokladu, že determinant matice g^ je nenulový). Vektory kovariantní báze jsou jistými lineárními kombinacemi vektorů kontravariantní báze Vynásobme tuto rovnici vektorem ej. Užitím (XII.29) máme, že = gij, a tedy <7(X,X)<0, tj. Xv =/?7. (XII.83) cosh -0 = 7, Pak můžeme matici (XII.82) přepsat jako / cosh?/? — sinh^ c t = V -sinhí/; 0 0 cosh V> 0 0 0 0 1 o o \ o o 1) (XII.84) Veličinu yj je možné nazvat „hyperbolickým úhlem", o nějž se otočí souřadnicový systém v Minkowskiho rovině X°, X1. Přejděme nyní k obecným úvahám o Lorentzově grupě. Vypočteme-li determinant obou stran rovnice (XII.74), pak vzhledem k tomu, že determinant součinu matic je roven součinu determinantů, dostáváme 2 [Det(c* k) c2 = l (xii.85) 322 Množina Lorentzových matic se tedy dělí na dvě podmnožiny podle toho, je-li c = +1 nebo c = —1. Z (XII.56) vyplývá, že se ortonormální báze v Minkowskiho prostoru dělí na dvě třídy. Jednu třídu tvoří báze, pro něž je c = +1 a které nazveme shodně orientovanými s výchozí bází. Druhou tvoří báze s opačnou orientací, pro něž je c = —1. Jde o analogii pravotočivých a levotočivých systémů v 3-rozměrném prostoru. Transformaci s c = — 1 můžeme vždy získat tak, že k transformaci s c = 1 přidáme inverzi některé z os, například X'1 = —X1. K dalšímu rozšíření množiny Lorentzových matic (a transformací) dojdeme, položíme-li v (XII.74) i = j = 0 a rozepíšeme součet na pravé straně. Dostaneme tak tj. (XII.86) (c°„) 2 > 1 . (XII.87) Získáme tedy opět dvě podmnožiny podle toho, je-li c°0 > 1 anebo c°0 < —1. Význam tohoto rozdělení zjistíme, vynásobíme-li (XII.56) e7, užijeme (XII.29) a položíme i = j = 0. Uvážíme-li, že zvednutím a spuštěním indexu 0 se v ortonormální bázi výrazy nemění, máme e0e'0 = c°0 . (XII.88) Protože eo = (1,0,0,0), znamená kladnost součinu na levé straně, že vektor e'o míří dovnitř téže poloviny světelného kužele jako vektor eo, tj. transformace nemění směr času. Transformaci, pro niž je c°0 < — 1, lze vždy obdržet složením transformace s c°0 > 1 a časové inverze X'° = —X°. Transformace, pro něž je současně c = 1 , c°0 > 1 (XII.89) a které tedy nemění ani orientace báze ani směr času, tvoří zřejmě podgrupu Lorentzových transformací. Tato grupa se nazývá vlastni Lorentzovou grupou. Lze ukázat, že každou transformaci vlastní Lorentzovy grupy lze získat složením otočení prostorových os (jehož speciálním případem je (XII.81)) a Lorentzovy transformace jakožto přechodu k rovnoměrně a přímočaře se pohybujícímu systému (speciálním případem je (XII.84)). Transformace vlastní Lorentzovy grupy lze tedy dosáhnout spojitou změnou původního směru os, zatímco k transformacím, pro něž je splněna aspoň jedna z podmínek c = -1 , c°0 < -1 , (XII.90) 323 spojitě přejít nelze. V praxi zpravidla za výchozí volíme systém s pravotočivou orientací prostorových os a časem počítaným kladně pro budoucí události. Dodržení podmínek (XII.89) pak znamená, že se omezujeme na transformace, které tuto prostorovou a časovou orientaci zachovávají. Otočení prostorových os je vždy otočením okolo jisté osy. Můžeme je proto popsat třírozměrným vektorem ve směru této osy, jehož velikost je rovna úhlu otočení. Lorentzova transformace je popsána třírozměrným vektorem rychlosti, jíž se pohybuje nový inerciální vztažný systém. Celkově je tedy každá transformace vlastní Lorentzovy grupy popsána šesti parametry. Říkáme proto, že Lorentzova grupa je šestiparametrická. Princip relativity můžeme matematicky vyjádřit jako tvrzení, že všechny fyzikální zákony jsou invariantní vůči transformacím vlastní Lorentzovy grupy. Kromě principu relativity jakožto principu rovnoprávnosti všech inerciálních systémů je v tom obsažen ještě požadavek izotropie prostoru jakožto rovnoprávnosti všech prostorových směrů. Poznamenejme zde, že moderní fyzika prokázala, že fyzikální zákony na úrovni mikrosveta nejsou invariantní vůči transformacím úplné Lorentzovy grupy, která zahrnuje i prostorové a časové inverze. Obraťme se nyní k transformacím (XII.75) zahrnujícím i translaci počátku. Tyto transformace tvoří zřejmě opět grupu, která se nazývá grupou Poincarého. Podrobíme-li matici c1 k podmínkám (XII.89), kdežto bl ponecháme libovolné, dostáváme její podgrupu, která se nazývá vlastní grupou Poincarého a fyzikální zákony jsou invariantní vzhledem k vlastní grupě Poincarého. Kromě principu relativity a izotropie prostoru je v tom navíc zahrnut požadavek homogenity prostoru a homogenity času, tj. nezávislosti fyzikálních zákonů na místě a čase, v nichž se fyzikální děje odehrávají. Prostoročasové posunutí bl je popsáno čtyřmi veličinami, takže vlastní Poincarého grupa je desetiparametrická. XII.4 Čtyřrozměrná mechanika Pro moderní fyziku mají velký význam grupy transformací a invariance fyzikálních zákonů a veličin vůči transformacím těchto grup. Požadavky invariance slouží často jako vodítko při budování nových fyzikálních teorií. Tak je tomu i u teorií fyzikálních jevů v rámci Minkowskiho prostoročasu, kdy je základním požadavkem požadavek invariance vůči transformacím vlastní grupy Poincarého. Protože translace této grupy se podstatně neliší od translací v newtonovském prostoročase, soustřeďuje se náš zájem na otázky invariance vzhledem k Lorentzově grupě. 324 V minulé kapitole jsme formulovali zákony relativistické mechaniky pomocí veličin vztahujících se k 3-rozměrnému prostoru daného vztažného systému. Invariance těchto zákonů není často na první pohled patrná, poněvadž transformační vlastnosti třírozměrných veličin vzhledem k Loren-tzově transformaci jsou složité a různorodé (srovnej například vzorce (XI.49) a (XI.50) pro rychlost a (XI. 125) pro sílu, které jsou odlišné, ačkoliv v obou případech jde o 3-rozměrné vektory). Povšimněme si nyní transformačních vztahů pro 4-rozměrné vektory a tenzory (XII.58), (XII.62) až (XII.64) a (XII.66). Vidíme, že každému prvku Lorentzovy grupy (matici c1 k = dkl) je přiřazena lineární transformace komponent tenzorů libovolného řádu a typu. Tyto transformace tvoří opět grupu, která je homomoforním obrazem Lorentzovy grupy, tj. jednotkovému prvku a součinu prvků Lorentzovy grupy je přiřazen jednotkový prvek a součin prvků grupy transformující komponenty tenzorů. Říkáme proto ve shodě s matematickou terminologií, že jde o reprezentaci Lorentzovy grupy v prostoru tenzorů, který je reprezentačním prostorem Lorentzovy grupy. Rovnice vyjadřující rovnost prvků reprezentačního prostoru jsou automaticky invariantní vůči transformacím Lorentzovy grupy a je tedy velmi výhodné zobrazit fyzikální veličiny pomocí těchto prvků. Fyzikální zákony pak budou vyjádřeny ve formálně prostém a zjevně invariantním čtyřrozměrném tvaru, od něhož je možné přejít ke tvaru třírozměrnému, pokud je to potřebné například pro srovnání s nerelativistickou teorií. Tenzorové reprezentace nejsou jedinými reprezentacemi Lorentzovy grupy. Existují rovněž reprezentace spinorové, které jsou nezbytné pro vybudování relativistické kvantové mechaniky (Diracova teorie). Klasické partie fyziky je však možné přebudovat do relativisticky invariantního tvaru pouze pomocí reprezentací tenzorových, tj. fyzikální veličiny jsou v nich vyjádřeny pomocí čtyřrozměrných tenzorů (popř. vektorů, skalárů). V dalším výkladu se omezíme na tento případ. Studujme nejprve libovolný pohyb částice s podsvětelnou rychlostí. Ve 4-rozměrné formulaci lze tento pohyb zapsat jako Xi = X{ (s) , (XII.91) kde jako parametru užíváme intervalu s rostoucího směrem do budoucnosti. Definujeme i _. AXl dXÍ ldXÍ ,VTrn«x ul = hra —— = —— = —— . (XII.92) As-»o As ds c dr Protože AXl jsou komponenty čtyřrozměrného vektoru a As je skalár, jsou veličiny u1 komponentami čtyřrozměrného vektoru, který je zadán v každém 325 bodě světočáry dané částice (lze říci, že tvoří pole podél křivky v prostoročase). Tento vektor nazveme čtyřrychlostí částice. Uvážíme-li, že podle (XII. 18) dT = 7 dr, XQ — cT, máme (Lorentzův faktor se zde vztahuje k rychlosti částice, tj. vynecháváme index u yv) u = tiť = 1 (C ,Vi ,v2 ,w3) = - (c , v) , (XII.93) c c kde v je vektor třírozměrné rychlosti. Velikost vektoru ul určíme podle (XII.51) jako |u| = sjgiku^ = 1 . (XII.94) Vektor čtyřrychlosti má tedy konstantní velikost a z jeho čtyř komponent jsou proto pouze tři nezávislé. Jeho zadání je ekvivalentní zadání komponent třírozměrné rychlosti. Z (XII.92) je zřejmé, že čtyřrychlost je vektorem tečným ke světočáře. Vynásobíme-li ji veličinou moc, kde mo je klidová hmotnost částice (skalár), dostáváme čtyřvektor o komponentách áXi P = pi = moc—— = m07 (c , v) . (XII.95) ds Srovnáme-li tento vzorec s (XI.109) a (XI.119), vidíme, že je P'= (f ,p) , (XII.96) kde p je relativistická hybnost a E relativistická energie částice. Čtyřvektor P% — čtyřhybnost či čtyřimpulz částice — tedy v sobě spojuje energii a hybnost podobným způsobem, jakým polohový vektor X1 spojuje časovou souřadnici a souřadnice prostorové. Tím se geometricky vysvětluje shoda mezi transformačními vlastnostmi energie a hybnosti a transformačními vlastnostmi prostoročasových souřadnic, s níž jsme se již setkali v (XI. 120) až (XI. 122). Velikost vektoru Pl je zřejmě |P| = m0c |u| = m0c , (XII.97) tj. je úměrná klidové hmotnosti částice. Vyjádříme-li tuto velikost pomocí komponent (XII.96) jako \ZgncPlPk, dostaneme umocněním důležitý vztah mezi klidovou hmotností, energií a hybností částice m0 V = %■ - p2 . (XII.98) 326 Má-li částice nenulovou klidovou hmotnost, platí pro ni p2 < =2- • (XII.99) Předpokládejme nyní, že veličiny E, p, mo lze zavést i pro „částice", tečný vektor k jejich světočáře je vektorem světelným, a že přitom zůstává v platnosti vztah (XII.98). Protože velikost světelného vektoru je nulová, musí být m0 = 0 , (XII. 100) tj. částice pohybující se rychlostí světla musejí mít nulovou klidovou hmotnost. Dále pro ně platí E2 p2 = -5- . (XII.101) Příkladem takovýchto částic jsou světelná kvanta — fotony. Protože podle kvantové teorie, která dovoluje pojem fotonu důsledně zavést, platí pro energii fotonu vztah E = hv , (XII. 102) kde h je Planckova konstanta a v frekvence fotonu, je hybnost fotonu rovna p= — . (XII. 103) c Teoreticky lze připustit i existenci „částic", pro které platí E2 p2 > -5- . (XII. 104) Tyto hypotetické částice se nazývají tachyony. Tečný vektor ke světočáře ta-chyonu míří vně světelného kužele. Světočáry tachyonů spojují absolutně odlehlé (kvazisoučasné) události, což má za následek, že časové pořadí událostí na světočáře tachyonů může být obráceno vhodnou volbou vztažného systému (pomocí Lorentzovy transformace). Tato skutečnost činí existenci tachyonů nepravděpodobnou, i když se vyskytly snahy interpretovat ji tak, aby nedošlo k paradoxům. Experimentálně se existenci tachyonů prokázat nepodařilo, a proto se jimi dále zabývat nebudeme. Přikročme nakonec ke čtyřrozměrné formulaci pohybových rovnic částice. Zderivováním vektoru Pl podle intervalu obdržíme (je-li mo = konst) vektor dPl diŕ —i— = moc—— = mGcwl , (XII.105) ds ds E2 327 kde uř = —— je vektor čtyřzrychlení. Čtyřzrychlení souvisí s obyčejným d zrychlením a = — vztahem w = ?// = ^(c,í;) + ^(0,7a) = c2 2 2 - , O + -y (VOJ V C cz (XII. 106) Vhodnou volbou vztažného systému můžeme dosáhnout toho, aby časová složka čtyřzrychlení byla rovna nule. Odtud je patrné, že čtyřzrychlení je prostorupodobný vektor. Pohybové rovnice částice můžeme nyní napsat jako Api — = m0cV = FlM , (XII.107) dr kde FlM je čtyřvektor Minkowskiho síly, který souvisí s třírozměrnou silou vztahem (viz (XII.96), (XI. 112) a (XI. 124)) Kromě třírozměrné pohybové rovnice (XI. 112) je tedy v (XII. 108) zahrnut ještě vztah (XI. 124) pro časovou změnu energie. Poznamenejme ovšem znovu, že tento vztah, a tedy i poslední výraz v (XII.108), platí jen za předpokladu, že klidová hmotnost uvažované částice se s časem nemění, tj. je-li dmo/dr = 0. Procesům tohoto druhu se říká procesy mechanické. Příkladem odlišného, nemechanického procesu, je například ohřívání částice (uvažované jako „částice" z makroskopického hlediska), kdy dochází ke změně klidové energie, a tedy i klidové hmotnosti. V případě mechanických procesů platí, že v Minkowskiho geometrii je čtyřsíla kolmá na čtyřrychlost FMu = gikFiMuk = 0. (XII. 109) To znamená, že pouze tři komponenty čtyřrychlosti jsou nezávislé. XII.5 Srážky částic Pro klasickou i moderní fyziku má velký význam studium srážek, tj. interakcí, které jsou omezeny na tak malou prostoročasovou oblast, že je můžeme 328 považovat za jedinou událost v 4-rozměrném prostoročase. V Minkowskiho prostoru je tedy srážka znázorněna bodem, v němž se setkávají světočáry neinteragujících částic a z něhož opět světočáry neinteragujících částic vystupují — interakcí však dojde ke změně jejich čtyřhybností a případně i ke změně počtu částic. Do srážky zpravidla vstupují dvě částice, ale jejím výsledkem může být i rozpad na velké množství částic. Také rozpad jediné částice lze považovat za speciální případ srážky. Základním zákonem, který musí být při srážce splněn, je zákon zachování úhrne čtyřhybnosti £ň = £ň, (xii. no) A B kde na levé straně se sčítá přes částice před srážkou a na pravé straně přes částice po srážce. X2 Pi Obr. 33: Srážka částic. Částice 1 naráží na částici 2, která byla do srážky v klidu. Výsledkem jsou částice 3 a 4. V dalším výkladu se omezíme na nejběžnější případ, kdy počet částic do srážky vstupujících i počet částic, které ze srážky vystoupí, bude roven dvěma. Částice před srážkou označíme indexy 1, 2 a po srážce indexy 3, 4. Užijeme možnosti zvolit vztažný systém a souřadnice tak, abychom pokud možno omezili počet proměnných. Budeme proto předpokládat, že částice 2 je před srážkou v klidu a částice 1 se pohybuje ve směru osy X1. Podle zákona zachování hybnosti budou pi, P3 a p\ ležet v jedné rovině, za niž zvolíme rovinu XlX2, viz obr. 33. Srážka je tedy charakterizována úhly 'm4-m°|. (XII.119) y (m3 -I- m0) (m4 + m0) Pokud se obě částice po srážce pohybují (tj. je-li úhel ip definován), je zřejmě l>cost/>>0 (XII.120) neboli 0 < t/> < | . (XII.121) To znamená, že v relativistické dynamice budou trajektorie částic po srážce svírat ostrý úhel. (Ve zvláštním případě, kdy p3 nebo^4 je rovné nule, dojde k výměně hybnosti částic stejně jako v klasické mechanice.) V přiblížení klasické mechaniky je 777,3 = 777,4 = mo, a tudíž <9 = I . (XII. 122) Experimentální potvrzení zákonů srážek rychlých částic bylo podáno F.C. Championem roku 1932 v plném souladu s předpovědí speciální teorie relativity. Tyto pokusy byly vícekrát úspěšně opakovány. Fotografie stop srážejících se částic v mlžných komorách vykazují zřetelně ostré úhly a mluví tak jednoznačně ve prospěch relativistické mechaniky. b) Comptonův jev — pružná srážka elektronu a fotonu. Nechť je elektron před srážkou v klidu, tj. hraje roli částice 2. Částice 3 po srážce je foton a částice 4 po srážce je elektron. Platí 777,01 = 777,03 = 0 , m02 = ™04 = me , (XII. 123) kde me je klidová hmotnost elektronu. Zajímá nás vztah mezi změnou frekvence fotonu a jeho odchylkou (p od původního směru. V rovnicích (XII. 111) a (XII. 112) převedeme členy s p3 na levou stranu, načež rovnice umocníme na druhou a sečteme. Máme PÍ ~ 2pip3 cos ip + pi = pi . (XII.124) Užijeme rovnic (XII. 118) a vyloučíme 777,4 pomocí (XII. 113), tak dostaneme (mi — 777,3) me — 777,17773 (1 — cos po, m > m,Q, plyne ze zákona zachování hmotnosti Mo > po + m0 . (XII. 131) Veličina AE {po + mo) - M0 = (XII. 132) cL se nazývá hmotnostní defekt. Zde — AE je energie, která se uvolní ve formě kinetické energie. Aby mohlo dojít k samovolnému rozpadu, musí být hmotnostní defekt záporný. 332 XII.6 Tenzorová pole Nadále se budeme zabývat relativistickou mechanikou spojitých prostředí. Vzhledem k tomu je potřebné poněkud rozšířit matematický aparát vybudovaný v XII.2. Spojité prostředí se vyznačuje tím, že jeho charakteristiky se mění v prostoru a v čase. Využíváme proto faktu popsaného na začátku XII.2 (srov. (XII.23)), že s každým bodem afinního prostoru lze spojit vektorový prostor. Tento prostor budeme nazývat tečným prostorem k afinnímu prostoru v daném bodě. Zadáním pseudokartézského systému souřadnic v prostoročase je podle (XII.22) určena zadána kovariantní báze ve všech tečných prostorech, která se při transformaci Poincarého grupy (XII.75) mění podle (XII.56). Je-li v jisté prostoročasové oblasti zadán v každém jejím bodě — tj. v tečném prostoru každého bodu — tenzor (ev. vektor, skalár), mluvíme o tenzorovém (vektorovém, skalárním) poli v dané oblasti. Pole předepisujeme pomocí jeho komponent, které jsou funkcemi prostoročasových souřadnic ve zvoleném systému. Například pole tenzoru 4. řádu (XII.65) bude mít komponenty R'jkÁX*) • (XII.133) Po přechodu k souřadnicím X's získá pole nové komponenty (srov. (XII.66)) R'ljkl (Xfa) = ^Vcí sR\rs (Xb (X'")) • (XII.134) Zderivováním (XII.75) podle X3 zjistíme, že je kde d? k Je inverzní matice k matici č j. Odtud podle (XII.72) plyne pro matice vystupující v transformačních vztazích typu (XII.134) 1 dX'1 1 dXl v ' Obdobně se transformují také jiná tenzorová a vektorová pole. Pro skalární pole / je prostě f (X's) = f (Xk (X,s)) , (XII.137) tj. hodnota pole se nemění. Stručněji píšeme /' = /. Zpravidla se předpokládá, že komponenty polí jsou spojité funkce s jistým stupněm hladkosti, který může být specifikován s ohledem na konkrétní situaci. 333 Uveďme příklady polí. Je-li oblast v prostoročase vyplněna kontinuem, jehož elementy mají čtyřrychlosti u\ dostáváme vektorové pole čtyřrychlosti ul (X7). Podobně i čtyřzrychlení tvoří vektorové pole w1 (X7). Metrický tenzor má (v pseudokartézských souřadnicích) v každém bodě prostoročasu složky (XII.39). Jeho pole — nazývané metrickým polem — má tedy konstantní komponenty, jejichž hodnoty se nemění transformacemi Poincarého grupy. Poznamenejme, že v literatuře se často užívá slova tenzor i tam, kde se přesně vzato jedná o tenzorové pole. Zkracují se tím formulace v případě tvrzení, která platí jak pro tenzorová pole, tak i pro jejich hodnoty v daném bodě, tj. pro tenzory. Proto i my budeme někdy užívat tohoto způsobu vyjadřování. Zaveďme další geometricky i fyzikálně důležité pole v prostoročase. Mějme uspořádanou čtveřici čtyřvektorů , kde index v závorce udává pořadí vektoru (a = 0,1,2,3). Za (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu tvořeného těmito vektory označíme — v analogii se situací v 3-rozměrném prostoru — determinant matice sestavené z komponent vektorů -K|a), tj. V = Det (tf»a)) . (XII.138) Při přechodu k jiné ortonormální bázi platí podle (XII.58) a (XII.72) K'U = C* 3KÍa) (XIL139) a tedy V' = Det (c^) V = ±V , (XII. 140) tj. jak bylo třeba očekávat, orientovaný objem nezávisí na volbě báze, jednali se o báze se stejnou orientací, a mění znaménko při změně orientace báze. S odvoláním na definici tenzoru můžeme proto říci, že pomocí (XII.138) je definován tenzor 4. řádu, jehož znaménko se mění při změně orientace. Takto modifikovaný tenzor nazýváme pseudotenzorem. Jeho komponenty najdeme, uvážíme-li, že lze psát V = eijuKi^K^K^ , (XII.141) kde složky Levi-Civitova symbolu jsou ve čtyřrozměrném prostoru definovány takto: eijki = 1 pro sudou permutaci indexů 0, 1,2, 3. eijki = — 1 pro lichou permutaci těchto indexů a = 0 ve zbývajících případech (tj. jsou-li aspoň dva indexy stejné). 334 Podle předchozího textu se e^/ chovají jako komponenty tenzoru při transformacích Lorentzovy grupy s determinantem rovným jedné, speciálně při transformacích vlastní Lorentzovy grupy. Omezíme-li se, jak často činíme, na tyto transformace (popř. doplněné translacemi Poincarého grupy, které komponenty tenzorů nemění), můžeme je považovat za složky tenzoru. Tento tenzor nazýváme Levi-Civitovým tenzorem. Zadáním Levi-Civitova tenzoru v každém bodě afinního prostoru vzniká tenzorové pole, jehož komponenty mají (podobně jako komponenty gij) konstantní hodnoty cíjm nezávislé na volbě souřadnicového systému. Toto pole se nazývá elementem objemu. Povšimněme si některých vlastností Levi-Civitova tenzoru. Tento tenzor je úplně antisymetrický —jeho znaménko se mění s každou záměnou dvojice indexů (popř. s každou záměnou dvojice vektorů v (XII. 138)). Zvednutí indexů Levi-Civitova tenzoru pomocí metrického tenzoru (XII.39) by vedlo ke změně znaménka komponent. Obvykle se však pod eljkl rozumí opět Levi-Civitův symbol, tj. klademe Jjkl _ = €ijjw = -g"gJHg g e pqrs (XII. 142) Součin Levi-Civitových symbolů lze vyjádřit pomocí determinantu z Kro neckerových symbolů jako čijkl cpqrs st (XII. 143) Platnost tohoto vztahu je patrna z toho, že jsou-li dva horní či dolní indexy stejné, jsou obě strany (XII. 143) rovny nule, při záměně indexů mění obě strany znaménko a eoi23č0123 = 1. Zúžením (XII. 143) přes jednu nebo více dvojic indexů dostáváme další vztahy, které jsou často užitečné při výpočtech. Připomeňme, že rovněž v 3-rozměrném euklidovském prostoru se užívá Levi-Civitova symbolu €Q/g7, který je definován zcela analogicky jako symbol čtyřrozměrný. Umožňuje například zápis vektorového součinu C = A x B jako (XII. 144) V čtyřrozměrném prostoru je přirozeným zobecněním vektorového součinu ortogonální doplněk trojice vektorů ks~il Di = €ijkiA3B O (XII. 145) 335 jehož skalární součin s vektory A3\ Bk, C1 je v důsledku antisymetrie cíjm roven nule. Pro úplnost uveďme, jak vypadá Levi-Civitův tenzor v případě, že se neomezujeme na transformace s jednotkovým determinantem. Z transformačního vztahu (XIL64) pro tenzor gij zjišťujeme, že pro jeho determinant g platí g' = Det2 (c.J) g = Det"2 (c>ť) g . (XII.146) Odtud je patrné, že objem rovnoběžnostěnu v neortonormální bázi musí být definován jako V = yf\g~\ Det (K{a)) , (XII.147) neboť tento výraz se nemění při záměně báze, která zachovává orientaci, a přechází v (XII. 138) při \g\ — 1. Levi-Civitův tenzor proto zavedeme jako Eijki = \A9~\eijki a obdobný tenzor s kontravariantními komponentami jako Eijkl = -?=ei3kl (aby pro jejich součin zůstal v platnosti vztah (XII.143)). y m Nyní se vraťme k obecným úvahám o tenzorových polích. Je zřejmé, že nad nimi můžeme provádět všechny algebraické operace (XII.67) až (XII.70) tak, že tyto operace provedeme s hodnotami polí ve všech bodech uvažované oblasti. Navíc však můžeme s tenzorovými poli provádět analytické operace derivování a integrování. V tomto odstavci budeme se zabývat pouze derivováním. Sledujme například, jak se mění pole čtyřrychlosti podél světočar jednotlivých elementů kontinua v závislosti na intervalu (který má, jak víme, význam délky světočáry). Dostáváme tak pole čtyřzrychlení ,■ dú1 dul dXk dul k .,rTT ^ dn. W=JI = äxf-ďT = Ix*u ■ {XIU48> Zkoumejme transformační vlastnosti veličin Je i4 = ^ľ!l^l (XII.149) dX'k dXs dX'k } a vzhledem ke konstantnosti transformačních matic a (XII. 136) je dále 'tem- (XIL15°) Veličiny jsou tedy smíšenými komponentami tenzorového pole 2. řádu. Zcela obdobně se ukáže, že zderivováním komponent každého tenzorového 336 pole podle prostoročasových souřadnic dostáváme pole, jehož řád je o 1 vyšší než řád pole původního. Operaci derivování můžeme provádět vícekrát a spojovat ji s algebraickými operacemi. Například a2 cikl p' = äxW (XIU51) je vektorové pole, je-li Slkl tenzorové pole 3. řádu. Často se užívá stručnějšího označení .*=ä|f- (xii-152> Pak můžeme (XII.151) zapat jako Pi = Sik\kl . (XII. 153) Podobně jako v klasické mechanice kontinua jsou i ve špeciálni relativitě fyzikální zákony mechaniky kontinua vyjádřeny pomocí parciálních diferenciálních rovnic obsahujících jisté funkce polohy a času i derivace těchto funkcí podle prostoročasových souřadnic. Základním požadavkem, který speciální teorie relativity na tyto rovnice klade, je jejich invariance vůči transformacím vlastní Poincarého grupy — tj. rovnice musejí mít ve všech systémech spojených transformacemi (XII.75) stejný tvar (stejnou formu). Vidíme nyní, že ke splnění tohoto požadavku stačí, aby fyzikální veličiny byly komponentami tenzorových polí a aby fyzikální zákony měly formu parciálních diferenciálních rovnic platných pro tyto komponenty. V řadě fyzikálně důležitých rovnic vystupuje diferenciální operátor ik d2 d2 d2 d2 d2 M i d2 ° gl dxidx* d(xiý + d(x2)2*d(x3)2 d(x°)2 A c2dr2' (XII. 154) kde A je Laplaceův operátor. Operátor □ se nazývá dAlembertův operátor. Jeho aplikací na komponenty libovolného tenzorového pole dostáváme pole téhož řádu a typu. Úvahy o „rozštěpení" prostoročasových tenzorů (viz (XII.77) a příslušný text) platí přirozeně i pro tenzorová pole. Tak čtyřvektorové pole A1 (X7) dává prostorové vektorové pole Aa (x@,T^j a skalární pole A° (x&,T) apod. Tato pole závisejí na čase T = X°/c jako parametru. Aa, A° se ovšem chovají jako vektorové a skalární pole pouze vůči prostorové transformaci X'a = ťpXf + ^ . (XII. 155) 337 Při obecných transformacích (XII.75) se transformují jako složky prostoročasového vektorového pole. Proto například obecný transformační zákon pro T0a je jiný než pro Aa. Pole metrického tenzoru v 3-rozměrném prostoru zavádíme podle vztahu (XII.78) a v souladu s tam uvedeným výkladem píšeme všechny indexy prostorových polí dole. V tomto případě budeme za Xa považovat složky prostorového polohového vektoru (tj. X, Y, Z) a nikoliv kovariantní složky čtyřvektoru X\ které by podle (XII.54) měly opačné znaménko. Připomeňme, že v 3-rozměrném prostoru mají speciální důležitost diferenciální operace div A = Aa,a , (grad qr (XII.160) n (poněvadž transformační matice jsou konstantní, dají se vytknout před integrál). Veličiny Spqr jsou tedy komponenty tenzoru. Tento tenzor se nevztahuje k určitému bodu prostoru, ale charakterizuje celou oblast, přes niž se počítá. Je definován na vektorovém prostoru, který je sdružen s afinním prostorem podle XII.2. Můžeme jej proto nazvat volným tenzorem pro odlišení od hodnoty tenzorového pole v bodě afinního prostoru, kterou nazýváme vázaným tenzorem. Pro teorii zákonů zachování, o které se dále zajímáme, je velmi důležitá souvislost mezi „objemovými" integrály typu (XII.159) a integrály přes hranici dané oblasti (tj. zobecněnými plošnými integrály). Proto se musíme zabývat i těmito integrály. Hranice čtyřrozměrné oblasti může být aspoň po částech zapsána parametricky jako X1 = Xi{u,v,w) , (XII.161) kde u, v, w jsou parametry sloužící jako souřadnice na třírozměrné ploše v 4-rozměrném prostoru. Tuto plochu nazýváme hyperplochou či nadplochou. Označme parametry jako qa, kde a = 1,2,3, a zapišme (XII.161) jako = X'(ga) . (XII. 162) Zápisu (XII.162) můžeme dát obecnější platnost. Nechť jest a = l,...,fc, i = l,...,iV, přičemž k < N, pak (XII.162) představuje nadplochu A:-tého Det dXn dXJ df2 = Det (cij^dí2 = dí2 339 řádu v iV-rozměrném prostoru. Speciálně pro k = 1 je tato plocha křivkou, pro k = 2 obyčejnou plochou atd. Pro k = N jde o zavedení nových (obecně křivočarých) souřadnic namísto původních souřadnic X1. Připomeňme si, že s křivkou parametrizovanou jediným parametrem q jako X* = X1 {q) (XII.163) je spojen její tečný vektor AV! A VÍ Č = lim =- = . (XII.164) Ag->0 Aq áq Dále si připomeňme, že vektory kovariantní báze (XII.22) v pseudokartéz-ských souřadnicových soustavách byly jednotkové úseky na osách příslušné soustavy, tj. tečné vektory k souřadnicovým čarám, podle nichž se mění jen jedna ze souřadnic a které jsou touto souřadnicí parametrizovány. Také v souřadnicích qa můžeme v každém bodě nadplochy (XII. 162) zavést A>tici tečných vektorů k souřadnicovým čarám. Tyto vektory mají podle (XII.164) kontravariantní komponenty «{„, = W , (XII.165) i je číslo komponenty, a číslo vektoru. Tvoří bázi v prostoru vektorů tečných k dané nadploše, který je fc-rozměrným podprostorem iV-rozměrného vektorového prostoru. Zadáním této báze ve všech bodech nadplochy (XII. 162) vzniká fc-tice vektorových polí tečných k souřadnicovým čarám, která přejímá úlohu kovariantní báze spojené se systémem souřadnic qa. Při záměně souřadnic q,a=q'a(q = . (XII.169) 340 Podle první rovnosti (XII.39) můžeme v nadploše zavést metrické pole / \ dXi dXk ~9ap (qS) = eae? = 9ik-^-^ • (XII.170) Povšimněme si, že metrické pole (XII.170) odpovídá přepisu diferenciálního vztahu (XII. 17) do souřadnic qa na dané nadploše ás2 = 9ikdXidXk = ^ — —d^d^ = gQfláťáď . (XII.171) (V případě, že všechny vektory tečné k dané nadploše jsou prostorupodobné, může být vhodné změnit znaménko metrického pole jako v (XII.78). Pro úvahy tohoto odstavce to však není podstatné.) Na vektorová a tenzorová pole na dané nadploše jsou nyní aplikovatelné vztahy a definice (XII.56) až (XII.70), v nichž jsme nespecifikovali ani transformační matici, ani metrický tenzor. Tato pole můžeme zkoumat v souřadnicích qa bez odvolání na prostor vyšší dimenze, do něhož je zkoumaná nadplocha vnořena. Studujeme tak vnitřní geometrii dané nadplochy, v níž je metrické pole obecně závislé na souřadnicích. To znamená, že souřadnice jsou křivočaré. Obecně neexistuje transformace, která by dala metrickému poli konstantní hodnoty, tj. samotná nadplocha je zakřivena. Vzhledem k tomu nemáme důvod omezit se na zvláštní třídu souřadnicových soustav s konstantními transformačními koeficienty. Nemůžeme proto beze změny přenést do zakřivených prostorů, jejichž příkladem naše nadplocha je, operace derivování a integrování polí, které jsme zavedli za předpokladu konstantnosti těchto koeficientů. Základy teorie integrování připomeneme jen v té míře, v níž jsou nezbytné pro pochopení dalšího fyzikálního výkladu. Při integrování přes oblast nadplochy platí pro její integrační element, sestavený z diferenciálů souřadnic, dĽ' = dg'\..dg'fc = \J\ dqK..dqk = \J\ dĽ , (XII.172) kde J=Det{w) (XII173) je jakobián transformace (XII. 166). Na druhé straně z transformačního vztahu / dq7 dq5 ^"äj^** (XIL174) 341 výpočtem determinantu dostaneme 9 = j2-9 , (XII.175) kde g je determinant metrického pole gap (srov. obdobný vztah (XII. 146)). Tudíž integrační element dS = y/\g~\ dĽ (XII.176) bude skalárem vůči záměnám souřadnic qa. Tento element proto hraje úlohu integračního elementu v zakřivených souřadnicích (srov. úlohu yf\g\ ve vztahu (XII. 147)). Integrál z (XII.176) má význam „objemu" nadplochy S = J ^/jiídg1...^ (XII.177) Povšimněme si, že integrálem tohoto typu je i délka světočáry X1 (T), o níž jsme diskutovali v XII.l. Vzorec (XII. 19) lze totiž přepsat jako = /VÍÍÍdr = /^ 9ik' dX* dXk dT cdT = cr dT dT f (XII.178) Dále se omezíme na konkrétní případ 3-rozměrné nadplochy ve 4-roz-měrném prostoročase. Zde je často důležitý integrál toku vektorového pole nadplochou j A^iáS , (XII.179) ľ kde ni je pole jednotkové normály k nadploše a dS je dáno vztahem (XII.176). Vektor mající směr normály najdeme podle (XII. 145) a (XII. 165) jako vektor kolmý ke všem tečným vektorům nadplochy, tj. dXi dXk dXl V% — Cijkl~h q h ou ov ow (XII.180) Tento vektor musíme normovat. Užitím vztahů (XII. 142) a (XII. 143) se snadno ukáže, že v{ul — — g a tedy vzhledem k (XII.176) m dS = ^y\/í^ áS = dĽi ' (XII.181) Je tedy ,„ dX*dXkdXl , , , dLi = UidE = tijici-z--ô--5— dudvdw ou ov ow 342 (XII.182) nový integrační element sloužící k výpočtu integrálů 2. druhu na rozdíl od integrálů 1. druhu s integračním elementem (XII. 176). Nyní můžeme bez důkazu zformulovat větu Gaussovu-Ostrogradského, která má zásadní význam pro teorii zákonů zachování. Podle této věty platí následující vztah spojující integrál přes oblast Í2 s integrálem přes uzavřenou plochu Ľ tuto oblast ohraničující / IW^P (*0 áQ = jP {XÍ ^a)) áĽk ■ (XII.183) n ľ Přitom souřadnice qa na E musejí být voleny tak, aby vektor V{ směřoval ven z dané oblasti. Gaussova-Ostrogradského věta platí za jistých předpokladů o hladkosti funkce P a hranici oblasti, které jsou ve fyzikálních aplikacích zpravidla splněny. V uvedeném tvaruje (XII.183) větou matematické analýzy, která nezávisí na tom, jak se funkce P chová vzhledem k transformacím souřadnic X1. V praxi je ovšem nejdůležitější případ, kdy P představuje komponenty vektorového či tenzorového pole s jedním sčítacím indexem, takže / ^ĚiáQ = fAÍáĽi> (XII.184) — dO = JTikáĽk. (XII. 185) n s V prvním případě představují dané integrály skalár, v druhém případě volný vektor. Slovy můžeme říci, že integrál z divergence přes oblast se rovná toku přes hranici oblasti. Gaussova-Ostrogradského věta platí v prostoru libovolné dimenze, tedy i v třírozměrném prostoru, kde se nejčastěji používá ve tvarech J div A dV = J A dS , (XII. 186) v s dTa£ I liŕ dV = j>T«PáĽP > (XII.187) v přičemž dV = dXldX2dXz , dĽK = eKX(JL^^dudv . (XII.188) 343 XII.8 Tenzor energie a hybnosti Uvažujme nyní o spojitém rozložení a pohybu hmoty. Jeho nej důležitější charakteristikou je zřejmě hustota hmotnosti, která je podle principu ekvivalence hmotnosti a energie úměrná hustotě energie. Tuto hustotu energie označíme w. Zahrnuje-li veličina w všechny druhy energie, které se v daném systému uplatňují, musí být podle zákona zachování energie její přírůstek za jednotku času v libovolném prostorovém objemu V roven toku energie přes hranici tohoto objemu (směrem dovnitř), tj. musí platit 1% dV = -/s"dr"> (XII. 189) dw V Ľ kde jsme jako sa označili prostorový 3-vektor hustoty toku energie. Užitím Gaussovy-Ostrogradského věty (XII. 186) převedeme pravou stranu na objemový integrál a protože daný vztah platí pro libovolný objem, dostáváme rovnici kontinuity pro energii Další dynamickou veličinou charakterizující spojité rozložení hmoty je hustota hybnosti 7rQ. Budeme předpokládat, že bilanci všech forem hybnosti lze zachytit obdobnou rovnicí jako pro energii — změna každé komponenty hybnosti v objemu V za jednotku času je dána tokem této komponenty přes hranici objemu, tj. platí IWÚV== -fn*PáSP ' (XII.191) dT v s kde veličiny nap jsou komponenty prostorového tenzoru. Tento tenzor nazveme hustotou toku hybnosti. Z (XII.191) plyne opět rovnice kontinuity pro hybnost Sestavme nyní veličiny w, sa, 7rQ, IIap do 4-rozměrné matice takto Tij = í w S"/c ) , (XII. 193) ^ C7ra nap J kde indexy i, k probíhají hodnoty 0, 1, 2, 3. 344 Rovnice kontinuity (XII.190) a (XII. 192) můžeme napsat souhrnně jako dXk=°> (XIL194) pro i = 0 dostáváme (XII.190) a pro i = a (XII.192). Uvažujme nyní o hmotném systému, který se nachází v jisté oblasti prostoru, takže mimo tuto oblast jsou veličiny Tlk rovny nule, tj. v prostoročase jsou veličiny Tlk nenulové uvnitř jisté „trubice", viz obr. 34. Obr. 34: Světová trubice v čtyřrozměrném prostoročase. Řezy trubicí ľ\, £2 představují oblast třírozměrného prostoru v časech Ti, T2, zatímco £3 je třírozměrná nadplocha obsahující události na hranici uvedené oblasti v časovém intervalu od t\ do T2. Zintegrujme předchozí rovnice kontinuity přes čtyřrozměrnou oblast J?, jejíž hranice sestává ze dvou nadploch Ľ\, Ľ2 protínajících danou trubici a ze „spojující" plochy Z3, která trubici „obaluje", takže veličiny jsou již na ní nulové, popř. klesají k nule se zvětšováním E$ tak rychle, že příslušný příspěvek k integrálu v limitě vymizí. Užitím Gaussovy věty dospíváme k závěru, že má-li být integrál přes hranici oblasti Q nulový, musejí se rovnat (při souhlasné orientaci normál) integrály přes S\ a Ľ2, tj. dospějeme k integrálnímu vyjádřeni zákona zachování. Podle něho jsou veličiny Ki = J TikáEk (XII.195) stejné pro všechny plochy Ľ. Volíme-li Ľ jako prostorový objem v daném okamžiku, přechází (XII.195) v Ki = J TiOdv ? (XII.196) v 345 přičemž veličiny Kl se zachovávají v čase. Podle (XII. 193) pak je Pi = -cKi = f (™, 7ra) dV = (|,pa) . (XII.197) v čili Pl představuje totální čtyřhybnost systému, jehož složkami jsou celková energie (dělená c) a celková hybnost. Protože čtyřhybnost je čtyřvektor, lze předpokládat, že Tlk tvoří tenzorové pole (či tenzor v daném bodě prostoročasu). Tento tenzor se nazývá tenzorem energie a hybnosti daného systému. Předpokládejme nyní, že v uvažovaném systému má smysl mluvit o rychlosti každého jeho elementu, takže lze definovat rychlostní pole. V tomto případě lze z toku hybnosti vydělit tok daný unášením hybnosti, přičemž hustota toku a-té komponenty hybnosti je 7rQv. Tenzor hustoty toku hybnosti je ve tvaru n (XIL202) kde čtyřvektor /* zachycuje vnější vlivy narušující platnost rovnic kontinuity (XII. 190) a (XII. 192) pro veličiny odvozené pouze z Tlk. Tyto rovnice nyní nabudou tvaru ^ + OgsĚ. = f ■ (XII.204) Porovnáme-li (XII.204) s odpovídajícími rovnicemi klasické mechaniky kontinua, vidíme, že /" má význam hustoty síly působící na systém. Z (XII.203) vidíme, že c/° je přírůstek energie objemové jednotky za jednotku času způsobený vnějším vlivem, tj. hustota výkonu. Pišme f = f = (X/) , (XII.205) kde tj je zmíněná hustota výkonu a / je prostorová hustota síly. U mechanických procesů platí r? = fv , (XII.206) což má za následek, že čtyřvektor hustoty čtyřsíly /* je kolmý na čtyřrychlost (srov. (XII. 109)) fu = git/W = 0 . (XII.207) 347 U nemechanických procesů se energie dodává nejen ve formě práce podle vztahu (XII.206), ale i ve formě tepla, a proto zde (XII.207) již neplatí. Tyto procesy studovat nebudeme. Povšimněme si ještě situace, kdy spolu interagují dva systémy vytvářející uzavřený systém, přičemž každý z nich má tenzor energie a hybnosti závislý pouze na svých vlastních parametrech. Pak platí ffpik dT^k Hustoty sil, kterými na sebe systémy působí, jsou tedy stejné velikosti, ale opačného směru. To můžeme považovat za relativistické vyjádření zákona akce a reakce. Relativistická teorie polí (např. elektromagnetického pole) ukazuje, že tenzor energie-impulzu může být přiřazen i těmto polím. Pole tak nabývají základních mechanických atributů — jsou nositeli energie a hybnosti, jež se šíří jejich prostřednictvím a mají podobně jako kontinuum tenzor napětí. XII.9 Pohybové rovnice ideální tekutiny U ideální tekutiny neexistují v klidovém systému jejího libovolného elementu smykové síly a tlak p je zde podle Pascalova zákona ve všech směrech stejný. V tomto klidovém systému je (XII.209) Tenzor energie a hybnosti má v něm tedy tvar / e 0 0 0 \ 0 p 0 0 0 0 p 0 V 0 0 0 p ) (XII.210) což můžeme zapsat pomocí čtyřrychlosti ul — (1,0,0,0) jako (p + e) uluk - pg Ak (XII.211) Protože p, e jsou podle definice veličiny nezávislé na výběru souřadnicové soustavy (hustota energie a tlak v klidovém systému), platí zápis tenzoru 348 energie a hybnosti (XII.211) v libovolné soustavě. Vypišme veličiny w, sa, 7ra, TIaß podle (XII. 193). Máme C2 2 p + £ rr .r W — -V" , SQ = C 7TQ = -5- Va , iia/3 = 7TaW/3 + pda3 . V V (XII.212) Zapišme nyní rovnice (XII.202) pro tenzor energie a hybnosti (XII.211). Je Tik,k = («i*)ffc«ť + " [P fa* " |Jfc = ľ • (XII.213) Přitom pro stručnější zápis užíváme opět (XII. 152). Tyto rovnice můžeme přepsat do jednoduššího tvaru. Vynásobíme-li je U{ a užijeme-li vztahů iiťuť = 1 , (iŕm) = 2u\kui = 0 (XII.214) a omezíme-li se na mechanické procesy, při nichž je flUi = 0, dostáváme (euk) + pukk = 0 . (XII.215) Dosazením do (XII.213) s využitím vztahu (XII. 148), tj. i. dul u\kuk = — , (XII.216) obdržíme {£ + p) IT = Pint — ^ " Kintc J{ip- Av) dT . (XII.243) Ti Zvolíme-li konstantu úměrnosti Kint = , (XII.244) c dostáváme akci elektrického náboje e v elektromagnetickém poli o skalárním potenciálu tp a vektorovém potenciálu A, jak je nám již známa z části A. Vidíme tedy, že klasický výraz pro interakční část akce v elektromagnetickém poli lze zachovat i v teorii relativity, takže tato akce je L{r>%>T) --moc2 Jl-^ + e(Av~ Je Pe?7 = 0 . Ale v klidové soustavě elektronu před danou událostí, kde Pe = (mec, 0) , P7 = (E/c, p) , by musela být energie fotonu nulová, tj. nemohl by to být foton, což je spor. Proto takový proces není možný. Příklady k samostatnému řešení 1. Nechť Flk je antisymetrické tenzorové pole. Dokažte, že platí rp i rpl _ _171 rpik rm ,lr i — rmi,hr (Čárka označuje parciální derivaci.) 2. Ukažte, že komponenty Kroneckerova symbolu 6j tvoří tenzor, popř. tenzorové pole, a to vzhledem k libovolné transformaci souřadnic. 3. Ukažte, že křivka x y = t = J r cos 9 cos (f) á\ , j r cos 9 sin á\ , j r sin 9 dA , /rdA, kde r, 9 a 0 jsou libovolné funkce parametru A (afinní parametr, například vlastní čas), je nulovou křivkou, tj. interval počítaný podél této křivky je nulový. 4. Nechť se dvě soustavy pohybují rychlostmi Vi a V2 (třírozměrné rychlosti). Ukažte, že jejich relativní rychlost je daná vztahem (Vi - v*) - j (1 - V2)2 356 XIII MECHANIKA V OBECNÉ TEORII RELATIVITY Obecná teorie relativity (1915) je výsledkem Einsteinovy snahy nalézt relativistický tvar gravitačního zákona. Ukázalo se, že to vyžaduje podstatný krok za hranice speciální teorie relativity — zavedení zakriveného prostoročasu. Na tomto základě vznikla teorie gravitace, která je dodnes v naprostém souladu s experimenty a aplikuje se s úspěchem v astrofyzice i v kosmologii. Nebudeme se zabývat touto teorií v celé šíří, ale omezíme se na její „mechanickou" stránku: pohyby částic s nenulovou i s nulovou klidovou hmotností v gravitačním poli. Ukážeme nejprve myšlenkové zdroje a matematický aparát obecné teorie relativity. Uvedeme Einsteinovy gravitační rovnice a jejich vztah k Newtonovu gravitačnímu zákonu. Seznámíme se s řešením těchto rovnic pro případ centrálně symetrického zdroje — Schwarzschildovo řešení — a ukážeme, jak se pohyb částic a fotonů v tomto řešení liší od předpovědí newtonovské teorie. XIII.1 Gravitační pole v nerelativistické mechanice Z Keplerových zákonů založených na pozorování pohybů planet Sluneční soustavy Newton vyvodil gravitační zákon ve tvaru p , MiM2 /VTTT. F =-k-3—r, (XIII.l) kde k značí (Newtonovu) gravitační konstantu, Mi, popř. M2} udávají tíhové (těžké, gravitační) hmotnosti zdroje síly (XIII.l), popř. jejího detektoru (zkušební částice). Tyto hmotnosti mají v rámci newtonovské teorie obdobný význam jako náboje v Coulombově zákonu elektrostatiky. Působí-li na uvažovanou částici gravitační pole, udílí ji zrychlení a, které se silou (XIII.l) souvisí vztahem F = m2a , (XIII.2) kde 77i2 značí setrvačnou hmotnost částice. Uvažovaná částice nechť se nachází na povrchu Země mající poloměr R a těžkou hmotnost Mi. Pro poměr 357 těžké hmotnosti M2 a setrvačné hmotnosti 7712 uvažované částice z předchozího textu snadno obdržíme, že — =9 TTF • (XIII.3) 777,2 /cMí Výraz R2/kM\ je stejný pro všechny možné takovéto zkušební částice v tomto místě se nacházející, a to zcela bez ohledu na jejich různá složení, tvar apod. Z (XIII.3) je poté patrné, že poměr těžké a setrvačné hmotnosti částice je určen výlučně jejím gravitačním zrychlením. Nebude-li toto zrychlení záviset ani na složení částic, ani na jejich tvaru apod., bude poměr na levé straně konstantní. Můžeme pak volit pro těžkou a setrvačnou hmotnost stejnou jednotku a psát m = M (XIII.4) a lze hovořit o ekvivalenci hmotnosti těžké a setrvačné. Zda a proč je tomu tak, nemůže newtonovská teorie gravitace objasnit. Experimenty prověřující, jak přesně je rovnost (XIII.4) splněna, se mnohokrát realizovaly vlastně již od dob Newtonových. Ve skupinách R. Dickeho a V. Braginského se v průběhu šedesátých a sedmdesátých let našeho století podařilo dosáhnout obdivuhodné přesnosti a díky jim dnes víme, že S = l±2.10-12. M V inerciální soustavě K (cT, X, Y, Z) nechť se zkušební částice nachází v homogenním gravitačním poli intenzity g. Pohyb tohoto bodu je zde popsán rovnicí d2J? m ďř2 = M<> • (xnL5> Od inerciální soustavy K přejděme k rovnoměrně zrychlené (neinerciální) soustavě S (cí, re, y, z) pomocí transformace r = R-lgt2, t = T, (XIII.6) kde g značí konstantní vektor. Z (XIII.5) poté obdržíme, že d2r m ďí2" = Mg ~ mg ' (XIII.7) a bude-li platit (XIII.4), pak v S bude d2r ■3^2=0. (XIII.8) 358 Silový gravitační člen Mg v (XIII.5) se tak plně zkompenzoval polem setrvačné síly (—mg) vzniklým přechodem k neinerciální soustavě S. Pozorovatel nacházející se v neinerciální soustavě S určené transformačními vztahy (XIII.6) nezjistí tudíž žádný rozdíl v zákonech mechaniky ve srovnání s případem, že by se nacházel v inerciální soustavě bez gravitačního pole. Můžeme tedy říci, že působení homogenního gravitačního pole lze zrušit, přejdeme-li do soustavy volně v tomto gravitačním poli padající. Nebude-li gravitační pole homogenní, půjde-li například o gravitační pole Země, předchozí závěry budou patrně platit jen v malých prostorových oblastech a krátkých časových intervalech, a to takových, že pole v nich lze považovat za homogenní. Zcela přesně platí v daném bodě prostoročasu, kde lze vždy dosáhnout vymizení intenzity gravitačního pole podle (XIII.8). Říkáme proto, že gravitační pole lze zrušit lokálně. Toto jeho zrušení znamená přechod k lokálně inerciálnímu systému. Původní systém s gravitačním polem se tedy projevuje jako systém neinerciální. Pozorovatel v kabině rakety, která se pohybuje v prostoru bez gravitace zrychleně vlivem tažné síly, si může vykládat výsledky svých pozorování pohybu volných částic tím, že se kabina nachází v klidu v gravitačním poli. Lze proto vyslovit princip tzv. lokální ekvivalence: Neinerciální vztažná soustava je lokálně ekvivalentní nějakému gravitačnímu poli. XIII.2 Gravitační pole v relativistické mechanice Vyjděme z experimentálního faktu rovnosti těžké a setrvačné hmotnosti a z principu lokální ekvivalence. Znamená to, jak jsme uvážili, že v okolí každého bodu prostoročasu lze zavést tzv. lokálně inerciální systém. Nechť K značí takový lokální inerciální systém a přejděme od něho transformací souřadnic k jinému systému 5, který již nebude inerciálním ani v okolí uvažovaného (prostoročasového) bodu. Takovou transformaci pišme ve tvaru kde se souřadnice X1 vztahují k soustavě K a souřadnice xk k soustavě formace (XIII.9) nechť je nenulový, takže existuje transformace inverzní. Diferencováním (XIII.9) a dosazením do ds2 = c2dT2 - áX2 - dY2 - dZ2 dospějeme pro čtverec intervalu k výrazu (XIII.9) necht jsou spojité a dostatečně hladké, jakobián trans- (XIII. 10) 359 kde gik \ x ) jsou funkce prostorových souřadnic xa a časové souřadnice x°. Podle principu lokální ekvivalence jsou silová pole v neinerciálních soustavách lokálně ekvivalentní gravitačnímu poli. Z (XIII. 10) vidíme, že ne-inerciálnost systému (tj. silová pole, která se v něm objeví) je popsána 10 funkcemi souřadnic (xm). Podle principu lokální ekvivalence musíme předpokládat, že v relativistické teorii gravitace je veličinami (xm) popsáno gravitační pole. Přitom však nemusí existovat v celém prostoročase (ani v jeho konečné oblasti) transformace souřadnic, kterou by metrické pole získalo hodnoty tj. není možné zrušit gravitační pole globálně. To znamená, že geometrie prostoročasu s gravitačním polem se liší od geometrie Minkowskiho, ve kterou přechází pouze lokálně. Prostoročas s gravitačním polem je tedy zakřivený na rozdíl od plochého prostoročasu speciální teorie relativity. Nadále budeme vycházet z toho, že gravitační pole je popsáno deseti funkcemi gik (xm), komponentami pole metrického tenzoru (metrikou) prostoročasu. XIII.3 Tenzorová pole v křivočarých souřadnicích. Lokálně geodetická soustava Z předchozího výkladu je vidět, že se musíme zabývat souřadnicovými soustavami, v nichž jsou komponenty metrického tenzoru gik funkcemi souřadnic. Souřadnicím, ve kterých tyto komponenty nemají konstantní hodnoty, říkáme kňvočaré souřadnice. Není-li možné dát jim konstantní hodnoty ani přechodem k jiným souřadnicím, říkáme, že je zakřiven příslušný prostor. S kritériem zakřivenosti prostoru se seznámíme později v XIII.7. Zatím budeme studovat geometrii v zakřivených souřadnicích bez ohledu na to, zda sám prostor je plochý či zakřivený. S některými prvky geometrie v zakřivených souřadnicích jsme se již seznámili. Uveďme nyní konkrétní příklad z oblasti euklidovské geometrie 3-rozměrného prostoru. Nechť ve vzorci (XII. 162) probíhají indexy i a a hodnoty 1, 2, 3 a je X1 = (X, Y, Z), qa = (r, (p, ů), přičemž 9ik = / 1 0 0 0 \ 0-100 0 0-10 \ 0 0 0 -1 / (XIII.11) X — r cos ip sin ů , 360 Y = r sin (p sin ů, Z = r cos ů . (XIII. 12) S výjimkou osy Z, kde neexistuje inverzní transformace, přiřazuje (XIII. 12) každému bodu prostoru jeho polární souřadnice (r,(p,ů). Euklidovské metrické pole můžeme v těchto souřadnicích zapsat jako ds2 = dX2 + dY2 + dZ2 = dr2 + r2 (sin2 -ódy2 + dt?2) . (XIII. 13) Komponenty metrického pole jsou tedy grr = 1, gw — r2sin2$, = r2, ostatní se rovnají nule. K témuž výsledku bychom zřejmě došli i užitím transformačních vztahů (XII.64) pro komponenty tenzoru s transformační maticí ca = dXl/dqa. Zajímejme se nyní o kulovou plochu o jednotkovém poloměru, tj. položme r = 1, dr = 0, z (XIII. 13) pak dostáváme, že ds2 = sin2 tfdip2 + dtf2 . (XIII. 14) Vztah (XIII. 14) udává metrické pole na kouli v souřadnicích

da k —dxr---dTi--w FiíAh' (XIIU6) odkud je vidět, že absolutní derivace podle křivky závisí pouze na hodnotách pole na dané křivce. Lze proto definovat paralelní přenos vektoru podél křivky rovnicí ~Í-=0. (XIII.37) dA Aplikujme (XIII.37) na tečný vektor k dané křivce = dxl/dX, tj. hledejme křivku, podél níž se tečný vektor paralelně přenáší. Takovou křivku můžeme nazvat „nejpřímější", tj. jde o přímku v plochém prostoru a o její přirozené zobecnění v prostoru zakřiveném. Po rozepsání pomocí (XIII.36) máme Čára x% (A) určená rovnicí (XIII.38) se nazývá geodetickou čárou, touto rovnicí je zároveň určena její kanonická parametrizace61. Vynásobíme-li rovnice (XIII.38) výrazem gik£l a uvážíme (XIII.31), dostáváme ^ (guČC1) = o, (xiii.39) tj. veličina guC€l Je podél geodetiky při kanonické parametrizaci konstantní. To znamená, že se zachovává kvadrát velikosti tečného vektoru ke geodetice. Změnou měřítka parametru mu můžeme dát hodnotu 1 (pro časupodobný 61 Až na lineární transformaci, tj. na volbu počátku a měřítka. 365 vektor) nebo —1 (pro prostorupodobný vektor). V prvém případě je vektor £l čtyřrychlostí častice, jejíž pohyb je zobrazen danou světočárou, tj. C = u1 = —- , gikuluk = 1, (XIII.40) as parametrem je tedy interval a (XIII.38) lze psát jako Diŕ d2x1 dx3dxk „ . . w =ď7 = ^ + r^ďľď7 = 0' (XIIL41) kde wl značí čtyřzrychlení. V lokálně geodetické soustavě přechází (XIII.41) ve vztah a = 0, tj. v zákon setrvačnosti platný pro volnou částici. Z principu ekvivalence lze tedy usoudit, že (XIII.41) je zákon pohybu částice, která je podrobena pouze gravitačním silám, tj. pohyb takové částice je zobrazen geodetickou čárou v prostoročase (a proto její pohyb nezáleží na vlastnostech částice, ale jen na gravitačním poli, pro což v Newtonově teorii nebylo zdůvodnění). Clen s Christoffelovými symboly v (XIII.41) dává po vynásobení klidovou hmotností částice gravitační čtyřsílu, která na částici působí. V lokálně geodetické soustavě je tato čtyřsíla nulová — tento systém je tedy lokálně inerciálním systémem. V případě, že tečný vektor ke světočáře je světelný, tj. je-li 9ikČŕ = 0, (XIII.42) jsou všechny kanonické parametrizace rovnocenné. Geodetiku nelze parametrizovat intervalem, protože ten je podél ní nulový62. V tomto případě předpokládáme, že geodetika (XIII.38) odpovídá pohybu fotonu (světelného paprsku) v gravitačním poli. XIII.4 Vztažné soustavy a soustavy souřadnic Vztažnou (referenční) soustavou R nazýváme libovolný soubor reálných či myšlených hmotných bodů, které dostatečně hustě vyplňují vyšetřovanou oblast. Když těmto bodům přiřadíme vzájemně jednoznačným způsobem trojice reálných čísel xa, říkáme, že jsme ve vyšetřované oblasti zavedli soustavu prostorových souřadnic Sp. Abychom ještě určili časový okamžik, ve kterém v daném pevném referenčním bodě nastala nějaká událost, musíme v každém referenčním bodě časové okamžiky očíslovat, tj. přiřadit jim reálné 62 Pomocí kanonické parametrizace lze srovnávat délku úseků „v životě" daného fotonu, ale nikoliv dvou různých fotonů. 366 číslo, které se monotónně mění podél světočáry. Říkáme, že jsme zavedli souřadnicový čas x° = ct; soubor myšlených souřadnicových hodin, které tento čas určují, označíme St- Konkrétní realizací souřadnicových hodin může být budík či přesýpací hodiny, podstatným je ono vzájemně jednoznačné přiřazení. Je-li v uvažované referenční soustavě provedeno obojí přiřazení, říkáme, že jsme v R zavedli soustavu prostoročasových souřadnic Spt (pro stručnost budeme značit S). Souřadnicovou soustavou S je referenční soustava určena jednoznačně. V konkrétní referenční soustavě R můžeme užívat nejen různých 5P, ale i různých St- Vedle transformací typu x'a = x'a (a^) , (XIII.43) lze tedy uvniř R užívat i transformací typu x'° = x'° (xP, x°) = x'° (xk) , (XIII.44) které znamenají přechod k jinému (obecně s odlišnou synchronizací i tempem chodu) souboru souřadnicových hodin. Transformace (XIII.43) a (XIII.44) jsou podmnožinou obecných transformací typu xH = xH (xk) , (XIII.45) kde funkce xn jsou spojité, vzájemně jednoznačné a dostatečně hladké. Těmito transformacemi je určen přechod od referenční soustavy R k jiné referenční soustavě R' (tj. přechod mezi soustavami, které se vzájemně po-hybují)63. XIII.5 Měření času a délek Uvažujme o dvou blízkých událostech, které nastaly ve vztažném bodě A referenční soustavy R systému S (x1). V tomto bodě nechť se nachází v klidu ideální hodiny H měřící vlastní čas. Interval jejich světočáry má tvar ds2 = <7oo(dx0)2 , (XIII.46) 63 Obvykle se omezujeme na vztažné soustavy realizovatelné částicemi s nenulovou klidovou hmotností. 367 neboť dxa = 0 (hodiny H jsou v R v klidu). Zavedeme-li lokálně inerciální soustavu K° takovou, že je zároveň momentálně klidovou soustavou ideálních hodin H, z invariance intervalu dostáváme, že v K° platí ds2 = c2(dT0)2 . (XIII.47) Čas T° je udáván ideálními hodinami soustavy K°, které jsou v bodě A v klidu. Můžeme tedy psát, že dT° = dr, (XIII.48) kde dr je interval vlastního času. Ze vztahů (XIII.46) až (XIII.48) obdržíme dr = ^dt. (XIII.49) Komponenta goo > 0, (XIII.50) tedy zprostředkuje vztah mezi souřadnicovým časem t a vlastním časem r v pevném bodě referenční soustavy. Uvažujme o dvou blízkých událostech v referenčním bodě A a o dvou blízkých událostech v jiném referenčním bodě B téže vztažné soustavy. Podle vzorce (XIII.49) můžeme psát drA = yjgoo (A) dtA , dm = yjg00 (B) díB (XIII.51) a bude-li díA = dt&, dostáváme vztah drB = J^MdrA (XIII.52) V 900 (A) spojující intervaly vlastního času mezi dvojicemi událostí, které nastaly v různých referenčních bodech vztažné soustavy R, v týchž souřadnicových časech. Najděme nyní výraz pro vzdálenost mezi dvěma blízkými referenčními body. Z bodu B o souřadnicích xa + dxa nechť je vyslán světelný signál do bodu A o souřadnicích xa. Signál se zde odrazí a putuje zpět do bodu B. Časový interval, který signál na tuto cestu spotřeboval, změřený ideálními hodinami v bodě B, vynásobený veličinou c a dělený dvěma, je vzdáleností der mezi body A, B určenou radiolokační metodou. Interval (XIII. 10) napišme ve tvaru ds2 = ga^dx13 + 2^oada;0drca + g00 (dx0)2 . (XIII.53) 368 Řešíme-li rovnici ds2 = 0 (XIII.54) vzhledem k dx°, obdržíme dva kořeny dx0^ = — (-g0adxa - J(g0agOi3 - ga09oo) dxadxA , (XIII.55) 900 \ v / áxo(2) = j_ í-gQQdxa + J(g0a9oi3 - 9a(39oo) dxadxA . (XIII.56) 9oo \ v / Bude-li x° značit okamžik, v němž světelný signál dorazil z bodu B do bodu A, bude x° + dx°W (XIII.57) značit okamžik jeho vyslání z bodu B a x° + da;0<2> (XIII.58) bude značit okamžik jeho zpětného návratu do tohoto bodu. Interval souřadnicového času mezi odesláním a příchodem signálu je tedy roven dx°& - áx°M = — J(goa9oß ~ 9aß9oo) dx»dxß . (XIII.59) #00 v Interval vlastního času obdržíme vynásobením výrazem y/göö /ca vzdálenost da pak ještě vynásobením c/2. Jakožto výsledek bude da2 = (-gQß + ^EM.) dxadxP . (XIII.60) V 9oo / Tento vztah se často přepisuje na tvar do-2 = i _ km kl i ni pn rn nn /YTTT 8^^ fc/m ~~ --+ 1 nl1 km~ 1 nm1 kl • Vzhledem k tenzorové povaze všech ostatních veličin v (XIII.79) musí být taky R%kim tenzor. Tento tenzor se nazývá (Riemannův) tenzor křivosti. Vidíme, že nulovost Riemannova tenzoru v daném bodě P je nutnou a postačující podmínkou jednoznačnosti paralelního přenosu v infinitesimálním okolí tohoto bodu. Poněkud složitěji lze ukázat, že nulovost pole tenzoru křivosti je nutnou a postačující podmínkou jednoznačnosti paralelního přenosu v celém prostoru, popř. v určité jeho oblasti (za předpokladu, že tato oblast je jednoduše souvislá, tj. že v ní lze každou uzavřenou křivku „stáhnout" spojitou deformací do bodu). Nulovost pole tenzoru křivosti je tedy ekvivalentní možnosti zavedení pseudokartézských souřadnic v daném prostoru (popř. v dané oblasti či její jednoduše souvislé podoblasti). Z fyzikálního hlediska lze říci, že nulové pole tenzoru křivosti udává přítomnost skutečného (žádnou transformací souřadnic globálně neodstra-nitelného) gravitačního pole. Přítomnost tohoto pole se projevuje například v existenci slapových jevů (příliv a odliv), které nemohou být zrušeny přechodem k lokálně geodetické soustavě. Tenzor křivosti má řadu důležitých matematických vlastností. Jejich ověření se snadno provede přímým výpočtem využitím lokálně geodetické soustavy, v níž jsou ľk[ (nikoliv však jejich derivace) rovny nule a výraz (XIII.80) se tedy zjednodušuje na první dva členy. Především platí vztahy symetrie a antisymetrie Riklm = —Rkilm = ~Rikml 5 Riklm = Rlmik • (XIII.81) 373 Dále platí, že je nulový součet cyklických permutací přes libovolnou trojici indexů, například Riklm + Rimkl + Rilmk = 0 • (XIIL82) Lze ukázat, s uvážením (XIII.81) a (XIII.82), že tenzor křivosti má v 4-roz-měrném prostoročase pouze 20 nezávislých komponent. Rovněž platí tzv. diferenciální identita Bianchiho Rnikl;m + Rnimk;l + ^lím;*; = 0 , (XIII.83) jejímž zúžením přes i k a. In dostáváme Rlm;l = \R,m- (XIII.84) Zajímavý a důležitý je vztah Ai-k-t - Al;l;k = AmR™kl (XIII.85) a obdobné „komutační vztahy" pro jiná pole, které ukazují, že na rozdíl od obyčejných parciálních derivací není pořadí kovariantních derivací v zakřiveném prostoru zaměnitelné. Zúžením Riemannova tenzoru křivosti obdržíme další fyzikálně a geometricky důležité tenzory. Je to Ricciho tenzor křivosti Rik = Rki = Rlilk (XIII.86) a skalární křivost R = gikRik ■ (XIII.87) Einsteinovým tenzorem se nazývá symetrický tenzor Gik = Rik_}_ Rgik (XIII.88) Jeho význačnou vlastností je nulovost jeho kovariantní divergence G% = 0, (XIII.89) která se dokáže užitím (XIII.84). 374 XIII.8 Einsteinovy gravitační rovnice V newtonovské teorii gravitace získáme gravitační potenciál ip buzený zadanou hmotností s hustotou p řešením Poissonovy rovnice Aip = Aixkp , (XIII.90) kde A značí Laplaceův operátor, k je Newtonova gravitační konstanta. V teorii relativity je gravitační pole popsáno deseti funkcemi gik (xm). Relativistické rovnice pro gravitační pole, které je buzeno zdrojem popsaným tenzorem energie a hybnosti budeme, v pevně zvolené referenční soustavě, předpokládat ve tvaru Xik = KTik , (XIII.91) kde k je konstanta a Xik je dosud neznámých deset funkcí, které nechť obsahují pouze metrické koeficienty v nejvýše druhých parciálních derivacích podle xk. Dále budeme požadovat, aby funkce Xik byly v proměnných gik invariantními co do formy při každé transformaci (XIII.45) mezi referenčními systémy. Můžeme též říci, že požadujeme, aby gravitační zákon splňoval tzv. obecný princip relativity. Do třetice požadujeme, aby vymizela tenzorová divergence tenzoru Xik, aby tedy platilo X% = 0, (XIII.92) čímž budou automaticky splněny zákony zachování (XIII.32). Uvedené požadavky již vedou k jednoznačnému určení tvaru tenzoru Xik. Tyto úvahy provádět nebudeme, ale zapíšeme ihned odpovídající výsledek ve tvaru Rik - 2 R9ik ~ ^9ik = *Tik , (XIII.93) kde Rik je Ricciho tenzor křivosti vytvořený z Riemannova tenzoru křivosti Rjki- Invariant R je definován vztahem (XIII.87), konstanta A značí tzv. kosmologickou konstantu. Pokud jde o problematiku, která není kosmologického charakteru, klade se A = 0 a Einsteinovy gravitační rovnice se proto píší ve tvaru Rik — ^ Rgik = *Tik. (XIII.94) V prázdném prostoru (ve fyzikálním vakuu) platí, že Tik = 0. (XIII.95) 375 Zúžením tenzorové rovnice (XIII.94) dostáváme v tomto prípade, že R = 0 a Einsteinovy rovnice ve vakuu mají tedy tvar Rik = 0. (XIII.96) Kdybychom Einsteinovy gravitační rovnice rozepsali pro hledané funkce 9ik (#m), zjistíme, že je to složitý systém deseti nelineárních parciálních diferenciálních rovnic pro deset neznámých funkcí (xm) při zadaném splňujícím (XIII.92). Einsteinovy gravitační rovnice jsou jádrem obecné teorie relativity asi tak, jako je Poissonova rovnice (XIII.90) jádrem newtonovské teorie gravitace. XIII.9 Pohyb částic v gravitačním poli Zákony newtonovské teorie gravitace se dělí do dvou skupin. V první skupině se nachází Newtonův gravitační zákon (Poissonova rovnice), podle kterého zadaná hmotnost budí gravitační pole. Do druhé skupiny patří pohybové rovnice určující pohyb zkušebních částic64 ve vnějším gravitačním poli. V Einsteinově teorii gravitace je situace jiná. Levá strana Einsteinova gravitačního zákona vyhovuje čtyřem diferenciálním identitám (XIII.92), z nichž plynou čtyři podmínky na tenzor energie a hybnosti 2^=0. (XIII.97) To je však zároveň přirozené zobecnění rovnic (XII. 194), které vyjadřují zákony zachování energie a hybnosti hmoty ve speciální teorii relativity. Einsteinovy rovnice tedy obsahují i zákony pohybu hmoty. Lze proto očekávat, že pohybové rovnice částic v gravitačním poli, (XIII.41), které jsme dosud chápali jako zobecnění rovnic ze speciální teorie relativity, vyplývají z Einsteinova gravitačního zákona. Ukažme, že tomu tak opravdu je. Nechť uvažované částice tvoří nekohe-rentní prach, který se nachází v gravitačním poli g^, k němuž sám přispívá. Příslušný tenzor energie a hybnosti má tvar Tik = nc2u{uk , (XIII.98) kde (i = e/c2 značí klidovou hustotu klidové hmotnosti uvažovaného kontinua (nekoherentního prachu) a u% je čtyřrychlost dxl/ds. Rovnice (XIII.97) dává v* Luk) + nuku\k = 0. (XIII.99) 64 Zkušební částicí míníme částici, na niž nepůsobí žádné jiné síly než gravitační a jejíž vlastní vliv na gravitační pole je zanedbatelný. 376 Po vynásobení vektorem U{ odtud dostáváme Luk) +/i«V;i = 0, (XIII. 100) kde jsme užili jednotkovosti čtyřrychlosti vŤuí = 1 . (XIII. 101) Zderivováním tohoto vztahu dostáváme Uiu\k = 0 (XIII.102) a srovnáním s (XIII. 100) vidíme, že (fiuk) =0, (XIII. 103) což je rovnice kontinuity, která je tedy rovněž důsledkem Einsteinových rovnic. Dosazením (XIII. 103) do (XIII.99) vzhledem k libovolnosti ul dostáváme uku\k = 0. (XIII. 104) Vzhledem k tomu, že platí A*.i — =u\kuk, (XIII. 105) můžeme rovnici (XIII. 104) psát ve tvaru áir "ďľ nebo též ve tvaru + r)ku3uk = 0, (XIII. 106) To jsou však zároveň rovnice pro světočáry x1 = x% (s) volných testovacích částic v gravitačním poli gik, tedy rovnice geodetických čar. XIII.10 Rovnice geodetiky ve stacionárním a slabém gravitačním poli Často nás zajímá pohyb částic v gravitačních polích kosmických těles, která jsou časově neproměnná (stacionární) a ne příliš silná, takže částice v nich nenabývají velkých rychlostí. 377 Bude-li se uvažovaná testovací částice pohybovat dostatečně pomalu, lze zanedbat člen (dxa/dr) ve srovnání se členem dt/ár a rovnici (XIII. 107) můžeme proto psát ve tvaru S+r°°(ir)2 = 0' (XIIU08> Ze stacionárnosti (nezávislosti metrického pole na x°) plyne ňo = -\9*j^. (XIII. 109) Vzhledem ke slabosti pole je možné zavést téměř Minkowskiho souřadnice, ve kterých platí 9ik = 9$ + hik , \hik\ «1. (XIII. 110) Veličiny (XIII. 109) pak v prvním řádu vzhledem k hik dávají r00 = -\/»* f^, (xiii.ni) takže rovnice geodetiky naší testovací částice jsou d2r c2 /dt\2_. ,VTTT = -t (ď;) Vfe°°■ (XIIL112) 0 = 0. (XIII. 113) Druhou rovnici rozřešíme a dosazením do první rovnice pak obdržíme ^ = -fv/i00. (XIII. 114) Newtonova pohybová rovnice má tvar ^L = -V co. Konstanta v (XIII.116) bude tudíž rovna nule a můžeme psát, že <7oo = (l + |f) • (XIII.117) 378 XIII.11 Limitní tvar Einsteinova gravitačního zákona Hledejme limitní tvar Einsteinova gravitačního zákona pro případ, že gravitační pole je slabé a jeho zdrojem je pomalu se pohybující látka. Vyjdeme z upraveného tvaru rovnic (XIII.94) = * (r* - i Ta*) , (XIII.118) kde T značí stopu tenzoru T^. U tenzoru energie a hybnosti zanedbáme vliv tlaku a píšeme tedy T? = pc2u{uk . (XIII. 119) Látka nechť se pohybuje, jak jsme si řekli, nerelativistickými rychlostmi. Položíme tedy ua = 0, u° = u0 = l. (XIII.120) T0° = p,c2 , (XIIL121) Ze všech komponent tenzoru Tik Pak nenulovou zůstane pouze komponenta Tg, pro niž obdržíme \ takže T = /íc2. (XIII.122) Einsteinovy rovnice (XIII.118) pro i = k = 0 dávají ÄJJ = ^/i. (XIII.123) Pro výpočet složky Rq Ricciho tenzoru užijeme vzhledem k slabosti pole vyjádření metrického koeficientu #oo ve tvaru (XIII. 117). Tak v potřebném přiblížení obdržíme = iJo„ = ?£k (XIII.124) a dxa 1 dep Je tedy ^ - ? ě£ • (XIIL125) a Einsteinovy rovnice v daném přiblížení dávají 2 379 A(p=—p.. (XIII. 127) V newtonovské teorii gravitace, jak víme, se gravitační potenciál tp buzený zadanou hmotností získá řešením Poissonovy rovnice A

oo přechází tato metrika v Minkowskiho prostoročas zapsaný ve sférických souřadnicích. Naším cílem je studovat pohyby částic a fotonů ve Schwarzschildově poli a obdržet tak relativistické opravy k Newtonově teorii, které umožňují experimentální prověření obecné teorie relativity. Schwarzschildovo řešení (XIII. 130) napíšeme proto ve tvaru ds2 = A (r) c2át2 - A'1 (r) dr2 - r2 (dů2 + sin2 ů dy>2) , (XIII.133) kde 4(r) = l-^, (XIII. 134) r a vypíšeme pro ně pohybové rovnice volné zkušební částice Přímým výpočtem po nalezení Christoffelových indexů r^k zjistíme, že rovnice (XIII. 135) dávají S*é(S,-'«"(55)'-"(S),*T(Ž)'-- (XIII.137) ^ + ^ = 0, (XIII.138) dsz r ds ds \ ds / d2

(XIII.155) j\ n>Q c můžeme pak hledat metodou postupných aproximací. Předpokládáme, že řešení (XIII.155) nabývá tvaru u (ip) = u0 ( + — cos2 ip A A (XIII. 160) B2\ B2 A + — 1 + 2B cos

, lze psát v jako součet v = v& -f i>b + vc, kde va, v^, vc jsou řešením rovnic v'l + va = ^ + £4, vb + vb — 2J3 cos y>, v" + vc = ^7 cos 2. (XIII. 162) Takže partikulární řešení (XIII. 160) je tvaru ( B2\ B2 v= [A+ — + Bpsiny?- — cos2y?. (XIII.163) y 2AI oA Omezíme-li se na řešení do prvního řádu v e včetně, máme u = un + v = A + eA+ —— I + \ B cos

= cos (p + e

, (XIII. 165) 384 můžeme řešení (XIII. 164) psát ve tvaru u = A + B cos (

oo (XIII.177) ve vzorci (XIII. 146). Rovnice trajektorie pro fotony je tedy u" + u = ^u2. (XIII.178) Budeme se opět zabývat pouze případy, kdy lze člen e = —=- (XIII. 179) c2 považovat za malý ve srovnání s ostatními členy v rovnici (XIII.178). Budeme opět psát u" + u = eu2 (XIII. 180) a znovu užijeme standardní poruchovou metodu k řešení této rovnice. Řešení rovnice (XIII. 180) předpokládáme ve tvaru u = u0+ev + O (e2) , (XIII.181) 386 takže po dosazení do (XIII.180) dostaneme ixj + u0 + ev" + ev = eu02 + O (e2) . (XIII. 182) Porovnání členů nultého řádu v (XIII. 182) vede k rovnici uJ + uq = 0, (XIII. 183) která má řešení u0 = A cos {(p + ô) , (XIII. 184) kde A je integrační konstanta. Vhodnou orientací souřadnicových os lze dosáhnout toho, že ô = 0, takže uQ = A cos , (XIII.189) kde a a jsou neznámé konstanty. Derivování vede ke vztahu v" = -4/3 cos 2v? , (XIII.190) a tedy v" + v = a- 3/3cos2v?. (XIII.191) 387 Porovnáním s (XIII. 188) dostáváme, že musí být a = 2r02' 0 = 1 6r ft2' (XIII.192) tudíž 2r02 6r0 1 « 2 1 2 2 C0S2<^=—2-—2 cos 3r0^ 3r0 (XIII.193) Řešení původní rovnice do členů prvního řádu v e včetně má tedy tvar u = — cos v? — — ro 3r, -2 cos

(XIII. 199) 388 takže pro první asymptotu obdržíme s'mô = , (XIII.200) neboli přibližně 6 = ^. (XIII.201) Podobný postup provedeme pro druhou asymptotu. Pro ni budeme psát r a a místo (XIII.210) můžeme psát ^ = ™ 1. (xra.211) Po dosazení příslušných veličin vychází teoretická hodnota rudého posunu čar ve spektru záření vyslaného atomy z povrchu Slunce rovna — = -2.10"6. (XIII.212) v Položíme-li tuto teoretickou hodnotu opět za rovnu jedné, pak lze uvést, že měření vedou k hodnotě 1,01 ±0,06. (XIII.213) S přesností jednoho procenta byl vzorec (XIII.210) ověřen v čistě pozemských podmínkách užitím Móssbauerova jevu, kdy byl gama zářič umístěn asi dvacet metrů nad povrchem Země. XIII.15 Zpožďování radarových signálů Posun perihelií, ohyb světla a rudý posuv spektrálních čar tvoří tři klasické testy obecné teorie relativity. V novější době rozvoj techniky umožnil ještě 390 čtvrtý test66. Vyšleme-li ze Země elektromagnetický (radarový) signál a necháme jej odrazit od planety či družice, pak čas íe mezi jeho vysláním a opětným přijetím na Zemi je podle obecné teorie relativity poněkud větší než čas t^t plynoucí z Newtonovy teorie. Zpoždění můžeme propočítat podobným způsobem jako v předchozích kapitolách. Uvedeme pouze výsledek *e = *n + Aí, (XIII.214) kde At=^Jr' + r> + *) (XIII.215) je zmíněný relativistický korekční člen. Zde M je hmotnost Slunce, re či rp značí radiální souřadnice Země, popř. tělesa, od něhož se radarový signál odráží, R je vzdálenost mezi oběma tělesy. Před srovnáním s realitou se ještě přepočítává souřadnicový čas (XIII.215) na vlastní čas měřený ideálními (atomovými) hodinami, provádí se korekce na pohyby obou těles a na disperzi elektromagnetických signálů v okolí Slunce. Po jejich provedení vychází teoretická hodnota časového zpoždění (pro signál vyslaný ze Země a odražený Venuší) rovna Ar = l,6.10~4s (XIII.216) pro signál, který se téměř dotýká okraje Slunce. Experimenty byly provedeny u planet Merkur a Venuše i u družic Mariner, Viking, Voyager. Označili se teoretická hodnota zpoždění plynoucího z obecné teorie relativity za rovnu jedné, měření časového zpoždění radarových signálů odražených družicí Viking ukázala, že platí 1,002 ±0,004. (XIII.217) Voyager 2 prověřil odpovídající vzorec (XIII.215) s přesností 0,1%. Tento experiment je patrně dnes nejpřesnějším potvrzením předpovědí obecné teorie relativity (nemluvíme-li o rovnosti tíhové a setrvačné hmotnosti, kterou newtonovská teorie gravitace předpokládala, ale nevysvětlila). XIII.16 Příklady 1. V souřadnicovém systému se souřadnicemi xm mějme délkový element ds2 = 7]abdxaáxb. Ukažte, že po transformaci xm —>■ x'm bude mít délkový 66 Existence čtvrtého jevu, zpožďování radarových signálu, unikla Einsteinově pozornosti. Na tento jev upozornil Shapiro až roku 1964. 391 interval tvar ds2 = gmndx,Tndx'n, a vyjádřete gmn pomocí parciálních derivací dxm/dx'n. Řešení: d^ = ,akdxW = Vab (gL) dx'~ (jg) dx'" = I **|£í = 9m„dx""dx'" . Odtud vyplývá, že 9mn ~ Vabdx^ dx'n 2. V polárních souřadnicích v rovině ds2 = dr2 + r2d$2 najděte Chris-toffelovy symboly třemi různými způsoby: a) z rovnic geodetik d2xm dxa dxb _ ' ~--~ 1 ab - U ds2 ds ds a s využitím faktu, že geodetikami jsou přímky, b) na základě transformačních vztahů přepočtem z kartézských souřadnic, kde jsou jejich hodnoty nulové, c) pomocí definičního vztahu (XIII.25). Řešení: a) Nejdřív uvažujme přímky ů = 0, r = s, kde s je kanonický parametr (délka). Rovnice geodetiky dává + r™ = o rrTT = růrr = o. dr2 Neradiální přímky parametizujeme pomocí nekanonického parametru ů. Rovnice geodetiky přepsány pomocí ů dávají d2x™ d^/ds2 dx- dx" dx" _ ~ď^~ + Jdůjďlf ~dů + ďtf ď* r'h - ° • (XIII.218) Obecná rovnice přímky v polárních souřadnicích je rcos(tf-c*) = Rq, (XIII.219) 392 kde a, Ro jsou libovolné konstanty. Tato rovnice spolu s ds2 = dr2 + r2d#2 dává ds/dů = Rq/cos2 kde & = $ — a, což nakonec vede k rovnici ds2 'dtf\2 = -2tg<řr Rovnice geodetiky pak jsou d2zm _ , dxm dxa dxb dů2 2tg<řr dů + dů di? (XIII.220) Uvažujme bod $ = a (tj. = 0) a r = i?o na přímce. Pak rovnice (XIII.220) přejde do tvaru d2a;m + r% = 0 dů2 ' * ** Z této rovnice získáme fj^ = 0 a = -r. Protože aai?o jsou libovolné, platí to v celé rovině. Nakonec uvažujme libovolný bod na přímce a rozepišme rovnice geodetiky (XIII.220)s využitím již spočtených Christoffelových symbolů. Pro komponentu m = ů získáme, že r^r = 1/r. b) Ze vztahů r2 = x2 + y2 a cotgi? = x/y získáme transformační matici m — x m = y cos ů sinů = sinů cos ů a k ní inverzní matici r 171 b' =r b' = ů cos ů —r sin ů sin ů r cos ů m Příklad: x = r cos ů dx = dr cos ů — r sinůdů => první řádek v matici cb Transformační vztah pro Christoffelovy symboly má tvar pď _ j a' m n pq , j a' m i brpl — aq cbi cp,i mn -+- am cb,p,. V tomto transformačním vztahu je nenulový pouze druhý člen, protože rqmn = 0 v kartézských souřadnicích. Po dlouhých, ale přímočarých výpočtech obdržíme nenulové Christoffelovy symboly JT^ = — r a růT$ = 1/r. 393 c) Použitím vztahu (XIII.25) F\l — (9mk,l + 9lm,k ~ 9kl,m) a výrazu pro délkový element ds2 = dr2 + r2dů2 dostáváme nenulové Chris-toffelovy symboly přímo růů = 9rr (-^Stftf.r) = -r - 9ůů(\9M,r)=l/r. ů 3. V souřadnicovém systému (t, r, 0, $>) mějme zadán sféricky symetrický délkový interval ds* = e"dt2 - eAdr2 - r2d6>2 - rz sin* 6d