Speciální teorie relativity Doc. RNDr. Petr Sládek, CSc. Pedagogická fakulta Masarykova Univerzita Poříčí 7, 603 00 Brno Pro potřeby přednášky zpracováno s využitím http://www.fyzika007.cz/specialni-teorie-relativity, a dalších materiálů např. zde uvedených Úvodem §Klasická mechanika § § §Klasická mechanika - vznik v 17. století (Newton, Galileo) §shrnutí veškerých poznatků o pohybu těles do tří Newtonových pohybových zákonů: §zákon setrvačnosti §zákon síly §zákon akce a reakce 2 Úvodem §Klasická mechanika X nové teorie § §Na počátku 20. století se objevily dvě teorie, zcela popírající samotné základy klasické fyziky a tvořící základ fyziky moderní: §● teorie relativity (speciální a později obecná) – makroskopické předměty, popis chování při velmi vysokých rychlostech, chování ve velmi silných gravitačních polích, §● kvantová teorie – mikroskopické jevy. §Společné rysy obou teorií: §● vychází z předpokladů, které v základech popírají klasickou fyziku, §● pro jevy z běžného života (malé rychlosti, větší rozměry) dávají velmi podobné výsledky jako klasická fyzika (a proto se jednodušší klasická fyzika v těchto situacích používá pořád), §● v oblastech, kvůli kterým vznikly (velké rychlosti, mikroskopické rozměry), dávají §předpovědi, které jsou v příkrém rozporu s běžnou zkušeností, §● jejich přijetí znamená „zahození“ mnohého, na co jsme zvyklí se spoléhat. 3 Prostor a čas v klasické mechanice § § §Pojmy rychlost, zrychlení, klid, přímočarý pohyb mohou být definovány pouze tehdy, když je předem daná vztažná soustava vzhledem k níž se pohyb tělesa vyšetřuje. §Pod vztažnou soustavou se rozumí soustava prostorových souřadnic udávajících polohu tělesa v prostoru § - dostatečně tuhé a přesné měřící tyče § § a hodiny sloužící ke stanovování časových intervalů § - periodický proces, který souhlasí s periodičností jiných procesů 4 Prostor a čas v klasické mechanice § § §Obecně známé poznatky v klasické mechanice o prostoru a času: §polohu tělesa v prostoru určujeme vždy vzhledem k okolním tělesům (vztažné soustavě): §pomocí souřadnic (x,y,z v prostoru; x,y v rovině) §událost je děj, který nastane v určitém místě prostoru a v určitém čase §popisujeme jí 4 souřadnicemi (x, y, z - místo; t - čas konání) 5 Prostor a čas v klasické mechanice § §Čas a prostor jsou v klasické fyzice absolutní, představují jeviště, na kterém se odehrávají fyzikální jevy, ale žádný z těchto jevů toto jeviště nijak neovlivňuje. §⇒ •● Čas běží stejně rychle pro všechny pozorovatele (všechny správně běžící hodinky ukazují stejně). •● 1 metr je všude stejná vzdálenost, bez ohledu odkud se na ní díváme. •● atd. §⇒ Není problém zavést soustavu souřadnic. §Přesto všichni nevidí to samé. 6 Prostor a čas v klasické mechanice §V klasické mechanice o prostoru a čase platí: (pro v << c) §ČAS JE ABSOLUTNÍ - plyne stejně rychle ve všech vztažných soustavách §SOUČASNOST JE ABSOLUTNÍ - 2 události v různých místech současné v jedné soustavě, potom musí být současné ve všech soustavách (plyne z předchozího tvrzení) §VZDÁLENOST JE ABSOLUTNÍ - v jedné soustavě je vzdálenost dvou míst 50 km, v ostatních soustavách vzdálenost stejných míst je také 50 km §HMOTNOST TĚLESA JE STÁLÁ a nezávislá na velikosti rychlosti, kterou se pohybuje §PLATÍ KLASICKÝ PRINCIP SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ 7 Prostor a čas v klasické mechanice §Galileiho (mechanický) princip relativity: §Žádným mechanickým pokusem nemůžeme rozlišit, zda je soustava v klidu nebo v pohybu. § §Př. Nádraží a vlak §⇒ Na nádraží naměříme u všech mechanických pokusů stejné výsledky jako ve vlaku, který nádražím rovnoměrně projíždí (předměty budou padat kolmo dolů, kyvadla budou kývat se stejnou frekvencí, kuličky se budou srážet stejným způsobem...). § §Sledujeme libovolný fyzikální pokus: §Při pohledu z libovolného místa uvidíme stejný děj, ale souřadnice se budou lišit. 8 Prostor a čas v klasické mechanice §Galileiho (mechanický) princip relativity § -tvrdí, že zákony mechaniky jsou stejné pro každou inerciální vztažnou soustavu -všechny inerciální soustavy jsou z hlediska klasické mechaniky rovnocenné -žádným vnitřním mechanickým pokusem nelze zjistit, ujak rychle se daná soustava pohybuje. 9 Prostor a čas v klasické mechanice 10 Z obrázku je vidět, že platí: x= x´+ vt . Prostor a čas v klasické mechanice 11 §GALILEIHO (speciální) TRANSFORMACE §udává přechod od souřadnic v jedné IVS k souřadnicím v jiné IVS §platí pouze v klasické mechanice •x = x' + v.t •y = y' •z = z' •t = t' Prostor a čas v klasické mechanice 12 Vývoj fyziky v 19. století 13 §Experimentální a zejména teoretické výsledky získané především v průběhu 19. století v optice ale zejména v oblasti elektřiny a magnetismu § §1873 skotský fyzik James Clerk Mawxwell (1831 – 1879) § rovnice elektromagnetického pole § § §Tyto rovnice však nebyly invariantní vůči Galileiho transformaci. § §Počátkem 20. století - holandský fyzik A. Lorenz §rovnice elektromagnetického pole jsou invariantní vůči jisté transformaci souřadnic a času, kterou dnes nazýváme Lorentzovou transformací. § Vývoj fyziky v 19. století 14 §Rovnice mechaniky a elektromagnetického pole by měly být invariantní vůči stejné transformaci a bylo nutné uvedený rozpor řešit. § §Rovnice elektromagnetického pole existence elektromagnetických vln šířících se rychlostí světla - světlo je elektromagnetickým zářením. §(existence byla potvrzena pokusy německého fyzika Heinrich Hertz) § §Mechanické představy - „nosič“ elektromagnetického vlnění § Huygensův pojem éteru. § §Současně s tím představa klidného a celý vesmír vyplňujícího éteru umožňovala ztotožnit éter s Newtonovým absolutním prostorem. §Fyzikům se tak zdánlivě otevřela možnost určení absolutního pohybu těles vůči nehybnému éteru optickými metodami. Vývoj fyziky v 19. století 15 §Úsilí fyziků koncem 19. století bylo tak soustředěno na experimentální důkaz §existence éteru a podpory výběru jedné ze dvou možností: §- buď upravit Maxwellovy rovnice tak, aby byly invariantní vůči Galileově transformaci §- nebo upravit Newtonovy pohybové rovnice tak, aby respektovaly invariantnost vůči Lorenzově transformaci. §Klíčový experiment: MICHELSON – MORLEYŮV POKUS §Předpoklad: Rychlost světla šířícího se klidným éterem je závislá na rychlosti a směru pohybu pozorovatele. §O svém pohybovém stavu vůči klidnému éteru by tedy pozorovatel mohl rozhodnout podle jím naměřené rychlosti světla. Navrhnul proto pokus, při kterém se porovnávaly časové intervaly, během nichž světlo proběhne dvě stejné dráhy různě orientované vzhledem k Zemi, pohybující se s pozorovatelem vůči klidnému éteru. MICHELSON – MORLEYŮV POKUS 16 §První pokus, při kterém se porovnávaly časové intervaly, během nichž světlo proběhne dvě stejné dráhy různě orientované vzhledem k Zemi, pohybující se s pozorovatelem vůči klidnému éteru, provedl Albert Abraham Michelson v Postupimi, opakován byl r. 1887 s Edwardem Morleym v Cleevelandu. MICHELSON – MORLEYŮV POKUS 17 1.paprsek 2. 2. 2. 2.paprsek 3. 3. §Časový rozdíl Po otočení o 90° § § § §Při otočení celého zařízení by tedy mělo dojít k posunutí interferenčních proužků, které odpovídá časovému rozdílu §K překvapení experimentátorů i napjaté fyzikální veřejnosti však ani při opakování pokusu nedošlo k žádnému posunutí interferenčních proužků. Einsteinovy postuláty STR 18 §K překvapení experimentátorů i napjaté fyzikální veřejnosti však ani při opakování pokusu nedošlo k žádnému posunutí interferenčních proužků. § §Řešení i vysvětlení problému Albert Einstein v r.1905. §Jeho speciální teorie relativity byla založená na dvou základních postulátech: § §I. postulát speciální teorie relativity – princip relativity §Pro formulaci všech fyzikálních zákonů jsou všechny inerciální soustavy §rovnocenné. § §II. postulát speciální teorie relativity – princip konstantní rychlosti světla §Světelné signály se šíří ve všech inerciálních soustavách konstantní rychlostí §(pro vakuum c= 299 792 458 ms-1). Lorentzova transformace 19 §Důsledkem Einsteinových postulátů nalezení transformace souřadnicové soustavy, která má tu vlastnost, že ponechává nezměněnu rovnici kulové vlnoplochy světelné vlny vyslané z bodového zdroje. § §Je-li z počátku souřadnicové soustavy x; y; z vyslán v okamžiku t = 0 světelný signál, pak v okamžiku t je jeho vlnoplocha určena rovnicí § (x)2 + (y)2 + (z)2 = (ct)2 § §2.Einsteinův postulát v jiné inerciální soustavě x′; y′; z′ musí být rovnice §téže vlnoplochy § (x´)2 + (y´)2 + (z´)2 = (ct´)2 §přičemž čas už nepokládáme za veličinu absolutní, plynoucí ve všech inerciálních soustavách stejně a v nové soustavě jej značíme t′. Lorentzova transformace, prostoročas 20 §Zavedeme-li „časovou souřadnici (ct) r2= (x)2 + (y)2 + (z)2 § § s2 =(x)2 + (y)2 + (z)2 - (ct)2 = 0 § s´2=(x´)2 + (y´)2 + (z´)2 - (ct´)2 = 0 § §Z matematického hlediska začínáme tak pracovat s čtyřrozměrným prostorem se třemi prostorovými a jednou časovou souřadnicí, tzv. prostoročasem, jeho jednotlivé body označujeme jako události. § §Výraz s nazýváme intervalem mezi dvěma událostmi, §(V případě s = 0 mezi událostí v počátku souřadnicové soustavy v okamžiku t = 0 (vyslání světelného signálu) a událostí v bodě vlnoplochy v okamžiku t (příchod světelného signálu)). § § Interval může být zaveden pro libovolné události, jež nemusí být nutně spojeny světelných signálem sAB2 =(xB-xA)2 + (yB-yA)2 + (zB-zA)2 - c2(tA-tB)2 § Lorentzova transformace, prostoročas 21 §Pro dvě blízké události. § ds2 =dx2 + dy2 + dz2 - c2 dt2 §(pseudoeukleidovská metrika – záporné znaménko u časové souřadnice) § § sAB2 =(xB-xA)2 + (yB-yA)2 + (zB-zA)2 - c2(tA-tB)2 = lAB2 –c2tAB2 § §Protože (sAB)2= (sAB´)2 (viz dále) pak lAB2 –c2tAB2 = l´AB2 –c2t´AB2 § §Existuje inerciální vztažná soustava, v níž budou obě události soumístné? §Z podmínky lAB = 0 pak dostáváme (sAB)2= –c2t´AB2 < 0: §Intervaly mezi takovými událostmi nazýváme intervaly časové povahy (časupodobné). Intervaly spojené se světočárami částic jsou vždy časupodobné (v < c), neboť částice v daném intervalu urazí vždy menší vzdálenost než světlo. §U časupodobných intervalů se pozorovatelé ve všech inerciálních soustavách shodnou na jejich pořadí v čase, tj. např. událost A nastala před událostí B ve všech soustavách. § Lorentzova transformace, prostoročas 22 § §Existuje inerciální vztažná soustava, v níž budou obě události současné? §Z podmínky tAB = 0 pak dostáváme (sAB)2= l´AB2 > 0: §Intervaly mezi takovými událostmi nazýváme intervaly prostorové povahy (prostorupodobné). §Pro takové události jsou pojmy „dříve“, „současně“ a „později“ relativní.. § §I v případě, že lAB ≠ 0 i tAB ≠ 0, může být splněna podmínka sAB2 = lAB2 –c2tAB2=0 §Tj. lAB= ctAB §Vidíme, že vzdálenost mezi událostmi u takového intervalu odpovídá šíření světelného signálu, proto takové intervaly nazýváme intervaly světlupodobné (nulové). Lorentzova transformace, prostoročas 23 §Kauzální struktura prostoročasu: § §Přímky odpovídající pohybům částic procházejících §počátkem a pohybujících se přímočaře musejí ležet ve §Vybarvených oblastech. Pro kteroukoliv událost z této §oblasti a událost v počátku bude platit c2t2 - l2 < 0 , §tj. intervaly mezi těmito událostmi jsou časové povahy. § Dá se proto najít soustava, v níž kterákoliv událost §z této oblasti proběhne v tomtéž místě prostoru jako §událost v počátku, ale nedá se najít soustava, v níž by obě události byly současné. Pro oblast nad vodorovnou osou je t > 0, takže události z vyplněné oblasti nad osou proběhnou ve všech soustavách po události v počátku; tato oblast je proto oblastí absolutní budoucnosti vzhledem k události v počátku (i když zde používáme termín „absolutní“, vztahuje se tento pojem k určité události a nemá tedy význam absolutního budoucího času ve smyslu newtonovské fyziky). Podobně události z vyplněné oblasti pod osou představují absolutní minulost vzhledem k události v počátku. §Podobnou úvahou zjistíme, že události z nevyplněné oblasti mají tu vlastnost, že interval mezi §kteroukoliv z nich a událostí v počátku je prostorupodobný (bez příčinné souvislosti). Lorentzova transformace, prostoročas 24 Lorentzova transformace, prostoročas 25 Lorentzova transformace 26 Lorentzova transformace 27 Obsah obrázku mapa Popis byl vytvořen automaticky Lorentzova transformace 28 Důsledky Lorentzovy transformace 29 §Relativita současnosti a soumístnosti §Zatímco relativnost soumístnosti – tj. skutečnost, že když v jedné soustavě nastanou události na stejném místě, v jiné soustavě na místech různých – zažíváme denně v dopravních prostředcích, §relativnost současnosti patří základním důsledkům Lorentzových transformací §Uvažujme dvě současné události A a B, které v soustavě S nastanou v místech xA, xB v časech tA = tB = 0. § § § §Vidíme, že pokud budou události A a B v soustavě S nesoumístné, tj. Δx≠0, bude také Δt′≠ 0 neboli události v soustavě S′ nebudou současné. § Důsledky Lorentzovy transformace 30 §Relativita současnosti a soumístnosti §https://youtu.be/aZI0klbG4o4?list=PLLOs9FbkODkI8T_5sFJ6-uqU61EHJErci Důsledky Lorentzovy transformace 31 Důsledky Lorentzovy transformace 32 §Dilatace času §https://youtu.be/Md28i1mqRUQ?list=PLLOs9FbkODkI8T_5sFJ6-uqU61EHJErci § Důsledky Lorentzovy transformace 33 Důsledky Lorentzovy transformace 34 Důsledky Lorentzovy transformace 35 §Kontrakce délek §https://youtu.be/ZCGR8oibgNI?list=PLLOs9FbkODkI8T_5sFJ6-uqU61EHJErci § Důsledky Lorentzovy transformace 36 §Objem § Důsledky Lorentzovy transformace 37 Důsledky Lorentzovy transformace 38 Důsledky Lorentzovy transformace 39 O O´ P α Důsledky Lorentzovy transformace 40 O O´ P α Důsledky Lorentzovy transformace 41 O O´ P α