Kvantová mechanika
I a II
Čas a místo Úterý 13:10-14:40
Středa 10:40-12:10 cvičení posluchárna ÚČJF3/945
Čtvrtek 10:40-12:10
Přednášející prof. Pavel Cejnar ÚČJF
místnost: A934
telefon: 95155 2472
email: cejnar @ ipnp.troja.mff.cuni.cz
Cvičící dr. Pavel Stránský ÚČJF
místnost: A931
telefon: 95155 2470
email: stransky @ ipnp.troja.mff.cuni.cz
Konzultace dle individuální domluvy
JSF094
Akademický rok 2017-2018
Kvantová
mechanika
↓
Kvantová teorie
pole
Fyzika
kondenzované
fáze Atomová,
molekulová
fyzika
Jaderná
fyzika
Částicová
fyzika
Struny,
sjednocení
polí
Kosmologie
Astrofyzika
Optika
Fyzika
pevných
látek
Nanofyzika
Q-svět
Zimní semestr:
Provázané kapitoly:
Formalismus kvantové teorie … teorie
Jednoduché kvantové systémy … příklady
Hilbertův prostor stavů. Pozorovatelné a operátory. Systémy pozorovatelných.
Transformace a symetrie. Kvantové evoluční rovnice. Klasická limita. Měření.
Čisté a smíšené stavy, otevřené systémy.
Letní semestr:
Základní látka:
Přibližné metody
Srážky částic
Mnohočásticové systémy
Doplňující látka:
Aplikace přibližných metod
Mnohočásticové techniky
Nelokalita, provázanost, důsledky…
Klasická korespondence
Kvantová statistická fyzika
It’s hard to believe it,
but he’s got a PhD in
quantum mechanics
Stručný program pro 2 semestry
http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/cejnar/prednasky/qm.html
Podrobný, průběžně
aktualizovaný
sylabus přednášky
Tato prezentace
a několik dalších
Stránka přednášky
“Essential formulae” (for tough guys only!!!)
soupis základních pojmů a formulek
Stránka přednášky
http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/cejnar/prednasky/qm.html
Knihy
• P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics
(Karolinum, 2013) …. dedikovaná učebnice k tomuto kursu
• J. Formánek: Úvod do kvantové teorie (1983,2004)
• J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (1985,1994)
J.J. Sakurai, J.J.Napolitano: Modern Quantum Mechanics (2011)
• G. Auletta, M. Fortunato, G. Parisi: Quantum Mechanics (2009)
• L.E. Ballentine: Quantum Mechanics. A Modern Development (1998)
• A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods (1995)
• A. Bohm, Quantum Mechanics: Foundations and Applications (1979, 1993)
• W. Greiner: Quantum Mechanics: An Introduction (1989),
W. Greiner: Quantum Mechanics: Special Chapters (1998)
W. Greiner, B. Müller: Quantum Mechanics: Symmetries (1989)
• E. Merzbacher: Quantum Mechanics (1961,1998)
• S. Flügge: Practical Quantum Mechanics (1971,1999)
• J. Pišút, L. Gomolčák, V. Černý: Úvod do kvantovej mechaniky (1983)
• J. Pišút, V. Černý, P. Prešnajder: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky (1985)
• R.P. Feynman: Feynmanovy přednášky 3 (1964,2002/6) ……….…..............
Začínáme…
trajektorie
akce
„Kvantová úroveň“
0=Sδ
0=Sδ][][ ),(),()( ∫=
f
i
t
t
ttqtqLdttqS 
Variační princip klasické mechaniky
Škála rozlišitelnosti trajektorií
1>>
∆

S
1≤
∆

SKritérium pro platnost
klasické mechaniky:
0=Sδ
trajektorie
akce][][ ),(),()( ∫=
f
i
t
t
ttqtqLdttqS  0=Sδ
Škála
Planckovy
konstanty
fsVe66.0
sJ1005.1 34
⋅=
⋅⋅= −

Kvantová mechanika
nastupuje když:
Charakteristická
změna akce
na škále
rozlišitelnosti
S∆
„Kvantová úroveň“
Max Planck
(1858-1947)
Variační princip klasické mechaniky
Pro daný počáteční a koncový bod existují 2 trajektorie splňující
Klasická částice letí buď po I, nebo po II
A
B
I
II
0=Sδ
Co se stane když ?≈− III SS
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
Interference částic
Richard P. Feynman
(1918 -1988)
Dvouštěrbinový experiment je srdcem kvantové mechaniky.
Obsahuje tu jedinou skutečnou záhadu. Této záhady se nelze
zbavit nějakým „vysvětlením“ jejího fungování. My prostě jen
popíšeme, jak ta záhada funguje. A tím vám zároveň sdělíme
základní zvláštnost celé kvantové mechaniky...
Kvantové mechanice nerozumí nikdo.
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3 Fig. 4
elektrony
A
B
A A
BB
Interference částic
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
10
100
3000
20000
70000A. Tonomura et al., Am. J. Phys. 57 (1989) 117
elektrony
50 keV
elektronový
mikroskop
dvouštěrbina
obrazovka
d
l
interferenční
obrazec
λ
d
l
x
2
=∆
… vlnová délka pro částici s hybností p
Pro elektron o kinetické energii 50 keV
λ ≈ 0.0055 nm
p
π
λ
2/
=
d ~ μm, l ~ m
⇒ perioda obrazce ~ μm
Interference částic
Akira Tonamura (1942-2012)
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
10
100
3000
20000
70000
Interference částic
„Každý elektron je v přístroji sám, tedy musí
interferovat sám se sebou…“
© Charles Addams, the New Yorker 1940
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3 Fig. 4
elektrony
A
A A
BB
Interference částic
↑
↓
Principiální rozlišitelnost drah skrze štěrbiny A či B (např. v důsledku měření,
nebo polarizací či interakcí s prostředím) ⇒ zmizení interferenčního obrazce
↑
↓
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3 Fig. 4
elektrony
A
A A
BB
Interference částic
↑
↓
Vylepšení:
1) Experiment se zpožděnou volbou (delayed-choice)
o umístění/neumístění polarizátorů rozhodnuto až když je elektron v přístroji
2) Kvantový vymazávač (quantum eraser)
průchod polarizačním filtrem vymaže informaci o dráze a obnoví interferenci→
↑
↓
→
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
A A
BB
Interference částic
↑
↓
XBAXBXA ∩∪∩∪∩ ≠ )()()(
„interference“ setup„which-path“ setup
X X
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
… a jdeme
opravdu
na to!
Stav kvantového systému
1 3
4
5
6
x
y
z
7
2
Polohy (x, y, z) a hybnosti (px ,py ,pz )
pro N=7 částic
Stav fyzikálního systému: zobrazení reality (jejího sledovaného výseku)
v jednom konkrétním okamžiku do prostoru vhodně zvolených matematických
entit. Požadavek, aby „stav“ v jednom čase t umožňoval odvodit
„stavy“ (ne nutně výsledky pozorování) v libovolných jiných časech (t+Δt ).
Klasická mechanika
Stavovým prostorem pro N částic
je 6N-rozměrný fázový prostor
všech souřadnic a hybností.
Při zachování energie je pohyb
omezen na (6N–1)-rozměrnou
varietu ve fázovém prostoru.
42 D
stavy ≡ body
Stav kvantového systému
2
1
2
1
+=Ψ  

Ψ
( ) ( )PP ==
2
1
 
2/1
2
1
Kvantové stavy jsou reprezentovány vektory stavy ≡ vektory
2Ψβ
11
1Ψα
Vektor vzniklý součtem
(lineární kombinací)
dvou či více vektorů
s nimi má nenulový
překryv, což vede
k možné záměně
odpovídajících stavů.
To je podstata
kvantové
neurčitosti.
pravděpodobnost
vzájemné záměny
obou stavů
=
2
*
21 Ψ+Ψ βα
C, ∈βα
*
Stav kvantového systému
normalizace
1) Komplexní vektorový prostor
Schwarzova nerovnost
2) Skalární součin
3) Úplnost
Každá konvergující posloupnost má limitu uvnitř prostoru (bezpečnostní opatření)
„Vybavenost“ prostoru skalárním součinem umožňuje
počítat
2
)|( ΨΨ′=ΨΨ′P ]1,0[∈
ΨΨΨΨ≤ΨΨ '''
2
21 Ψ+Ψ βα
1 1
C' ∈ΨΨ
Uzavřenost tohoto prostoru vůči operacím:
(a) násobení komplexním číslem, (b) sčítání
⇒ princip superpozice
C, ∈βα
pravděpodobnost „záměny“
stavových vektorů:
David Hilbert
(1862-1943)
Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí
∫
+∞
∞−
∞<
2
)(xfdx
∫
+∞
∞−
≡ )()(* xfxgdxfg
Funkce splňující podmínku
Skalární součin
John von Neumann
(1903-1957)
Prostor nekonečných sekvencí l2
Posloupnosti komplexních čísel
Splňující podmínku
∑
∞
=
∞<
1
2
i
ia 













≡

 2
1
21
** a
a
bbabSkalární součin
L2(R)
Hilbertovy prostory
Interference částic
A
B
2
2
2
|)(|
)'()'('||
x
xxxdxx
ψ
ψδψ
=
−= ∫
)( )()(cos)()(||||2
)(||)(||)( 22
βα
ψ
φφφφρρβα
ρβρα
−−++
+=
xxxx
xxxP
BABA
BA
BA ψβψαψ +=)(
)()( xi
BBB
B
exx φ
ρψψ ==
)(
)()( xi
AAA
A
exx φ
ρψψ ==
βα
φφ
βα
ii
ee ||||
„interference“ setup
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
Interference částic
A
B
↑
↓






=Ψ
0
1
)( )(xi
AA
A
ex φ
ρ






=Ψ
1
0
)( )(xi
BB
B
ex φ
ρ






=Ψ+Ψ=Ψ
)(
)(
x
x
B
A
BA
ψβ
ψα
βα
βα
φφ
βα
ii
ee ||||
( )
( )
22
2
)'(
)'(
)'(0
2
)'(
)'(
0)'(
22
)()(
'
'
||||
xx
dx
dx
xx
BA
x
x
xx
x
x
xx
B
A
B
A
βψαψ
ψψ
βψ
αψ
δ
βψ
αψ
δ
+=
+
=
+








−








−
↓↑
∫
∫
„which-path“ setup
Dvouštěrbinový experiment pro elektrony
)(||)(||)( 22
xxxP BA ρβρα +=Ψ
Pokračování
v dalších
77
dílech