FC1008 Teoretická fyzika 1 - Speciální teorie relativity
3 Lorentzovy transformace, dilatace času, kontrakce délek
3.1) Kuře se z vajíčka vylíhne za 21 dní. Předpokládejme, že líheň umístíme na kosmickou loď pohybující se
vzhledem k Zemi rychlostí 0,994c. Jakou dobu vylíhnutí kuřete zjistí/naměří:
a) Kosmonaut v kosmické lodi?
b) Pozorovatel na Země?
[a) 21 dní; b) 192 dní]
3.2) Let letadla pohybujícího se rychlostí 1 000 km·h−1
trval podle palubních hodin jednu hodinu. Vypočítejte,
jak dlouho trval tento let z hlediska pozorovatele na Zemi.
[1,000 000 000 005 hodin]
3.3) Dvojčata A a B se po oslavě svých třicátých narozenin rozhodnou, že dvojče A zůstane na Zemi a dvojče
B vyrazí lodí na kosmickou cestu ke hvězdě vzdálené od Země 40 ly (=>Δt, nikoliv Δt0 tak jako v jiných
příkladech). U hvězdy se loď okamžitě otočí a vrací se zpět na Zem. Uvažujte, že kosmická loď se
pohybuje stále konstantní rychlostí 0,99c (vyjma otáčky u hvězdy, což ale neuvažujeme). Kolik bude
oběma dvojčatům po návratu lodi zpět na Zem?
[A) 110 let; B) 41,2 let]
3.4) V kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi probíhal děj, který pro pozorovatele na lodi trval dobu
Δt. Pro pozorovatele na Zemi trval děj probíhající na lodi dvojnásobnou dobu, tj. 2Δt'. Jakou rychlostí se
pohybuje kosmická loď vzhledem k Zemi?
[2,6·108
m·s–1
]
3.5) Na kosmické lodi vzdalující se od Země konstantní rychlostí 0,1c pobíhal děj, který podle měření posádky
na palubě trval jednu hodinu.
a) Jak dlouho trvá tento děj pro pozorovatele na Zemi?
b) Je možné, aby děj, který na kosmické lodi trval jednu hodinu, trval z hlediska pozorovatele na Zemi
1 000 000 hodin?
[a) 1,005 h; b) (3·108
– 1,5·10–4
) m·s–1
]
3.6) Střední doba života částice v její klidové soustavě je 2,5·10−10
s. Jaká je střední doba života této částice,
vzhledem k laboratoři, vzhledem k níž se pohybuje rychlostí 0,95c?
[8,006·10–10
s]
3.7) Jakou rychlostí se vzdaluje od Země raketa, jestliže pro pozorovatele na Zemi je její délka ve srovnání
s klidovou délkou poloviční?
[2,6·108
m·s–1
]
3.8) Tyč o délce 1 metr se pohybuje vzhledem k pozorovateli ve směru své podélné osy rychlostí 0,98c. Jakou
délku tyče pozorovatel naměří?
[0,2 m]
3.9) Obdélník má v klidové soustavě K' strany o délkách 1 m a 0,6 m. Jakou rychlostí se musí pohybovat,
vzhledem k jiné inerciální soustavě K, aby v této soustavě měl tvar čtverce? Soustava K' se pohybuje
vzhledem k soustavě K ve směru delší strany obdélníku.
[2,4·108
m·s–1
]
3.10) Z kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí 0,80c byla ve směru jejího pohybu vypuštěna
raketa rychlostí 0,60c (vzhledem k lodi). Klidová délka rakety je 10 m. Jaká je délka této rakety:
a) Z hlediska pozorovatele v kosmické lodi?
b) Z hlediska pozorovatele na Zemi?
FC1008 Teoretická fyzika 1 - Speciální teorie relativity
[a) 8 m; b) 3,12 m]
3.11) Těleso, které má v klidové soustavě tvar krychle, se pohybuje ve směru osy x rovnoměrně přímočaře
rychlostí v kolmou na stěnu krychle. Velikost rychlosti krychle je v = 0,95c, klidová délka její hrany
a0 = 1 m. Určete objem tělesa ve vztažné soustavě K, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí v.
[0,312 m3
]
3.12) Kosmická loď se pohybuje rychlostí v = 0,98c k hvězdě vzdálené od Země 3·1018
m.
a) Jaká je vzdálenost mezi hvězdou a lodí z hlediska pozorovatele na lodi?
b) Jak dlouho trvá tento let, použijeme-li k měření času hodinami umístěné na Zemi?
c) Jak dlouho trvá tento let podle hodin umístěných na lodi?
[a) 5,97·1017
m; b) 1,02·1010
s; c) 2,008·109
s]
3.13) V čase t' = 2,0·10–5
s od okamžiku, kdy se souřadnicové osy inerciálních soustav K a K' ztotožnily,
vznikla v bodu o souřadnicích x' = 2,4·103
m, y' = 15 m a z' = 30 m jiskra. Jaké jsou souřadnice této
události v soustavě K, pohybuje-li se soustava K' vzhledem k soustavě K v kladném směru osy x rychlostí
o velikosti v = 0,8c?
[x = 12 000 m; t = 4,4·10–5
s]
3.14) Koule o poloměru r0 se vzdaluje od pozorovatele rychlostí 0,5c. Určete poměr délek jejího podélného a
příčného průřezu.
[r/r0 = 0,866]
3.15) Válec, který má poloměr r0 = 5 cm a výšku h0 = 10 cm se nacházel v kosmické lodi, která se od Země
vzdalovala rychlostí v = 0,95c. Určete objem válce z hlediska pozorovatele na Zemi, pokud je válec
orientován:
a) Svojí výškou h0 ve směru pohybu lodě.
d) Svým poloměrem r0 ve směru pohybu lodě.
[a) 245 cm3
; b) 245 cm3
]
3.16) Vlastní doba života určité nestabilní částice je Δt0 = 10 ns. Určete dráhu l, kterou částice proletí od
okamžiku svého vzniku do okamžiku rozpadu v laboratorní vztažné soustavě, ve které je doba jejího
života Δt = 20 ns.
[5,2 m]
3.17) Předpokládejme, že k Michelsonovu pokusu je použito monofrekvenční žluté světlo o vlnové délce
6·10–7
m na vzdálenost středu polopropustné destičky od obou zrcadel je l0 = 15 m. Určete velikost
časového zpoždění paprsku, který se a) šíří ve směru pohybu Země vzhledem k paprsku, b) ve směru
kolmém, a vypočtěte, jaký dráhový rozdíl odpovídá tomuto zpoždění. Jaké posunutí interferenčních
proužků by způsobilo v tomto případě otočení Michelsonova interferometru o pravý úhel?
[a) 5·10–16
s; 1,5·10–7
m; b) 1·10–15
s; 3·10–7
m]
3.18) Na kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi stálou rychlostí 250 000 km·s−1
vysílá bodový zdroj
světlo do všech směrů. Jaký tvar světelných vlnoploch zjistí pozorovatel na této lodi?
[budou stejné]
3.19) Některé kosmické objekty (tzv. kvazary) se od nás vzdalují rychlostí až 0,87c, tj. 260 000 km·s−1
. Jaká je
rychlost elektromagnetického vlnění vysílaného tímto kvazarem v zemské vztažné soustavě?
[postulát]
FC1008 Teoretická fyzika 1 - Speciální teorie relativity
3.20) Fyzik projel vozidlem křižovatku v okamžiku, kdy na semaforu svítilo červené světlo. Když jej policista
zastavil, hájil se tím, že jel tak rychle, že se mu v důsledku Dopplerova jevu jevilo červené světlo
(λ0 ≈ 700 nm) jako zelené (λ ≈ 550 nm). Vypočítejte, jakou rychlostí by se muselo fyzikovo vozidlo
pohybovat.
[70,98·106
m·s–1
]
3.21) Při srážkách částic primárního kosmického záření s atomy vrchní vrstvy atmosféry vznikají miony. Jsou
to nestabilní částice se střední dobou života τ0 = 2,2·10−6
s (měřenou v klidové soustavě mionu) a
s hmotností m = 207me (me je hmotnost elektronu). Pozorování pomocí stratosférických balónů a raket
ukázala, že miony vznikají ve velkých výškách nad povrchem Země (více než 10 km) a odtud se pohybují
k Zemi rychlostí blížící se rychlosti světla. Za střední dobu života 2,2·10−6
s se mion již rozpadá na
elektron a dvě neutrina.
Předpokládejme, že mion vznikl ve výšce 15 km a pohybuje se k Zemi rychlostí v = 0,999 8c. Může tento
mion doletět na povrch Země?
[32,97 km => může být detekován]
3.22) Jakou velikost má úhel mezi uhlopříčkami čtverce, který se pohybuje rychlostí 0,9c ve směru
rovnoběžném s jednou z jeho stran?
[47,1 °]
3.23) Určete vlastní délku tyče pohybující se vzhledem k soustavě K rychlostí 0,5c, pokud je její délka v této
soustavě 1 m a úhel mezi vektorem rychlosti v a tyčí je 45 °.
[1,07 m]