Ústav teoretické fyziky a astrofyziky
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Základy kvantové mechaniky
Tomáš Tyc
Brno 2006
Tento text je určen jako pomůcka pro porozumění přednáškám z předmětu Základy kvantové mechaniky
a nemá ani nemůže nahradit učebnici kvantové mechaniky. Je k dispozici v elektronické podobě na
adrese www.physics.muni.cz/˜tomtyc/kvantovka.pdf (nebo .ps)
2
Obsah
1 Úvod 4
1.1 Co je kvantová mechanika? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Význam kvantové mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Ilustrace QM na příkladu geometrické a vlnové optiky 5
2.1 Souvislost vlnové a geometrické optiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Souvislost kvantové a klasické mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Popis kvantového systému 7
3.1 Amplitudy pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Kvantové stavy a operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Spin 1/2 a Pauliho spinové matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Časový vývoj a Schrödingerova rovnice 14
5 Souřadnicová reprezentace 16
5.1 Operátor hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Hamiltonián a Schrödingerova rovnice v souřadnicové reprezentaci . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Úlohy s jednorozměrným potenciálem (jámy, bariéry atd.) . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Heisenbergovy relace neurčitosti 24
7 Aplikace 26
7.1 Harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Moment hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.2.1 Orbitální moment hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Atom vodíku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Přibližné metody 38
8.1 Poruchová teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1.1 Stacionární poruchová teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1.2 Stacionární poruchová teorie – degenerovaný případ . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.1.3 Nestacionární (na čase závislá) poruchová teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2 Variační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9 Identické částice 47
9.1 Fermiony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.2 Bosony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10 Provázanost (entanglement) 51
11 Matice hustoty 52
12 Měření v kvantové mechanice a kolaps stavu 54
3
1 Úvod
1 Úvod
1.1 Co je kvantová mechanika?
• Kvantová mechanika (QM) se zabývá studiem mikroskopických objektů jako elektrony, neutrony,
atomy, molekuly, fotony atd.
• Fyzikální zákony, které platí pro tyto objekty, se značně liší od těch, kterými se řídí běžná tělesa
kolem nás
• Tyto zákony jsou tak zvláštní, že se s nimi nemohl ztotožnit ani Einstein a Feynman měl za to,
že QM nerozumí skoro nikdo na světě
• Kvantová mechanika dokáže chování mikroskopických objektů velice dobře popsat a patří k nejúspěšnějším
fyzikálním teoriím – její předpovědi jsou s obrovskou přesností potvrzeny experimenty
• Klasická mechanika se dá získat z kvantové limitním přechodem k velkým objektům (nebo přechodem
→ 0) podobně, jako nerelativistická mechanika je limitou relativistické pro malé rychlosti;
přechod ale není triviální
• V čem spočívá zmíněné podivné chování mikroskopických objektů? Projevuje se mnoha způsoby:
– princip superpozice – kvantový objekt může být ve více různých stavech „zaráz – např.
může mít současně několik hodnot energie, souřadnice atd.
– diskrétní spektrum – některé veličiny (např. energie atomu, moment hybnosti elektronu)
nemohou nabývat libovolných hodnot, ale jen hodnot z nějaké diskrétní množiny; odtud
název „kvantová mechanika
– výsledky měření dané veličiny ve známém stavu nelze s jistotou předpovědět, lze jen určit
pravděpodobnosti, s jakými dostaneme jednotlivé výsledky měření (viz příklad se spinem
elektronu);
– vliv měření na pozorovaný objekt nelze eliminovat, měření vede k tzv. redukci (kolapsu)
stavu měřeného objektu – ze superpozice se vybere jen jedna možnost, a to zcela náhodně;
mechanismus tohoto kolapsu není dosud uspokojivě vysvětlen
– tunelový jev – částice mohou pronikat i do míst, kam by se podle klasické mechaniky
nemohly dostat (např. tam, kde by měly zápornou kinetickou energii); naopak částice se
může odrazit od překážky, kterou by měla bez problémů přeběhnout
– dualismus vlna-částice – kvantové objekty se v některých situacích mohou chovat jako
vlny, v jiných jako tělíska
– princip nerozlišitelnosti – stejné částice (např. dva elektrony) nemůžeme od sebe ani v
principu odlišit – nelze je „očíslovat
– kvantová provázanost (entanglement) – nejpodivuhodnější a nejzáhadnější vlastnost
kvantových systémů
1.2 Význam kvantové mechaniky
• QM výrazně a neustále ovlivňuje naš život, aniž si to uvědomujeme
• Enormní pokrok v technice a elektronice za posledních 50 let – možný jen díky znalosti QM
4
2 Ilustrace QM na příkladu geometrické a vlnové optiky
• Tranzistor (počítače, internet, mobily, mikroelektronika) a laser pracují na čistě kvantových prin-
cipech
• Pevné a ultratvrdé materiály, různé plasty a speciální materiály – možno konstruovat díky znalostem
o struktuře látek, opět QM
• Hlubší pohled odhalí, že QM je vlasně nezbytná pro fungování světa
• Chemická vazba – bez QM by se např. molekula H2 s jistou pravděpodobností po čase samovolně
rozpadla (viz chaotické chování problému tří těles), díky zákonům kvantové mechaniky drží pevně
• I samy atomy by byly nestabilní, ve velmi krátké době by se zhroutily – elektrony by vyzářily
svoji energii ve formě rentgenového a gama záření a po velmi krátké době by spadly na jádro
• Bez Pauliho vylučovacího principu by nebyla taková chemická rozmanitost prvků
• Svět by bez QM musel být vystavěn úplně jinak, než je; nevíme ovšem jak, aby vůbec mohl
fungovat
2 Ilustrace QM na příkladu geometrické a vlnové optiky
2.1 Souvislost vlnové a geometrické optiky
B
1
2
B
3
4
?
B
3
4
1
2
A
A
A
b)
a)
c)
• Po které trajektorii půjde světlo na obrázku? (v homogenním prostředí)
• Zjevně po 1, je přímá, po ostatních nepůjde
• V situaci b) bude do B dopadat přibližně tolik světla jako v situaci a). Ovšem v situaci c) nebude
do B dopadat téměř žádné světlo
5
2 Ilustrace QM na příkladu geometrické a vlnové optiky
• Pokud ale štěrbinu zúžíme natolik, aby fáze pro trajektorie 3,4 byly podobné, pak najednou začne
do detektoru opět světlo dopadat – jde vlastně o difrakci na štěrbině
• Šíření po přímkách funguje jen v geometrické optice, když si jsou zdroj a cíl vzdáleny mnohem
víc než λ
• Vlnová optika – Huygensův–Fresnelův princip – světlo se šíří po nejrůznějších trajektoriích, každé
z nich přísluší určitá fáze ϕ = 2πl
λ
vlny, všechny vlny interferují
• Intenzita výsledné vlny je čtvercem velikosti výsledné amplitudy
• Geometrická optika – limita z vlnové optiky pro λ d, kde d je charakteristický rozměr dané
situace
• V interferujících vlnách se projeví jen ty, které mají tzv. stacionární fázi ⇒ Fermatův princip
nejmenšího (stacionárního) času
• Fáze pro dráhy 1 a 2 se liší málo, proto vlny jdoucí po těchto (a dalších jim blízkých) drahách
zinterferují konstruktivně.
• Fáze pro dráhy 3 a 4 se liší hodně, proto vlny jdoucí po těchto (a dalších jim blízkých) drahách
zinterferují destruktivně.
• Pokud ale bude štěrbina velmi úzká, budou fáze podobné a světlo začne dopadat
• To dokazuje, že světlo se šíří po libovolných trajektoriích; čistě po přímkách se šíří jen za určitých
okolností
2.2 Souvislost kvantové a klasické mechaniky
• V podobném vztahu jako geometrická a vlnová optika jsou klasická a kvantová mechanika
• Klasická mechanika: částice se pohybuje z místa A do místa B po trajektorii, pro kterou je akce
stacionární (Hamiltonův princip nejmenší akce)
• Kvantová mechanika: částice se pohybuje z místa A do místa B po nejrůznějších trajektoriích,
každé prísluší fáze
ϕ =
S
=
1 tB
tA
L(r, ˙r, t) dt,
je tzv. Planckova konstanta, = 1,054 × 10−34
Js, tzv. kvantum účinku (akce)
• Tedy kvantová mechanika říká prapodivnou věc: hodím-li kámen, letí ve skutečnosti po nejrůznějších
drahách, ale všechny kromě té, kterou vidím, zinterferují destruktivně
• Je-li typická akce v dané situaci velká ve srovnání s (tak je tomu vždy je pro kámen, který
hodíme), zinterferují konstruktivně jen trajektorie z okolí té, pro kterou je akce stacionární; nám
se pak zdá, že kámen letěl jen po této dráze s nejmenší akcí, a dostáváme tak Hamiltonův princip
nejmenší akce
• V běžných situacích kolem nás jsou typické akce v řádech tisícin až tisíců Js, tedy o 30 – 40 řádů
větší než je Planckova konstanta, a svět se tedy chová „klasicky
6
3 Popis kvantového systému
• Ve světě atomů je ale situace jiná – zde jsou typické akce srovnatelné s , proto se zde svět chová
rozmazaně, kvantově
• Největší objekty, pro které se dosud podařilo vlnové chování přímo pozorovat, jsou halogenfullereny
C60F48 a některé organické molekuly
3 Popis kvantového systému
3.1 Amplitudy pravděpodobnosti
• V kvantové mechanice každé události u (např. nalezení částice na nějakém místě či tomu, že
systém má danou energii) přísluší tzv. amplituda pravděpodobnosti A(u)
• Pravděpodobnost události u je dána druhou mocninou absolutní hodnoty amplitudy:
P(u) = |A(u)|2
• Může-li událost u nastat více způsoby u1, u2, . . . , un, které v daném uspořádání nedokážeme rozlišit,
pak platí
A(u) = A(u1) + · · · + A(un)
• Např. pro n = 2 tedy
P(u) = |A(u)|2
= P(u1) + P(u2) + 2 {A(u1)A∗
(u2)} = P(u1) + P(u2)
• Příklad – foton na tzv. děliči svazků
– uvažujme foton, který dopadl na postříbřené sklíčko, které právě polovinu světla propouští a
polovinu odráží:
1
2
foton
– Dá se ukázat, že amplituda toho, že foton se odrazí (a tedy jej zaregistruje detektor 2),
je i/
√
2, a amplituda toho, že projde (a tedy jej zaregistruje detektor 1), je 1/
√
2. Proto
pravděpodobnost průchodu i odrazu je jedna polovina: |i/
√
2|2
= |1/
√
2|2
= 1/2
– Dalo by se nějak poznat, jestli je foton po dopadu na sklo skutečně v superpozici toho, že se
odrazil a toho, že prošel? Ano! Odstraníme detektory 1 a 2, doplníme dvě obyčejná zrcadla a
jedno další polopropustné zrcadlo (tím vlastně experiment doplníme na tzv. Mach-Zehnderův
interferometr) a budeme zkoumat, jestli foton dopadne do detektoru 3 nebo 4.
4
3
7
3 Popis kvantového systému
– Pokud je ihned po dopadu fotonu rozhodnuto, jestli se foton odrazí nebo projde, pak je pravděpodobnost
dopadu do obou detektorů 3 a 4 stejná a rovná 1/2. Pokud totiž na prvním
děliči foton projde, má poloviční pravděpodobnost toho, že dopadne do detektoru 3, a poloviční
praděpodobnost, že dopadne do detektoru 4. Pokud se na prvním děliči odrazí, dopadne
to stejně, takže výsledkem je stejná šance dopadu do obou detektorů
– Jestliže ale tento experiment provedeme, zjistíme, že foton pokaždé dopadne na detektor 3 a
nikdy na 4. Jak se to dá vysvětlit?
– Zjevně není pravda, že hned po dopadu je foton buď pouze odražen, nebo pouze prošlý. Ve
skutečnosti je v superpozici obou možností, je tedy jaksi zároveň prošlý i odražený
– Pro pochopení toho, co se děje, použijeme kvantovou mechaniku, konkrétně vlastnosti amplitud
pravděpodobnosti
– Aby foton dopadl do detektoru 3, má dvě možnosti, jak se interferometrem pohybovat – na
obrázku jsou označeny a) a b), podobně pro detektor 4 jsou to možnosti c) a d)
4
3
4
3
4
3
4
3
a) b)
c) d)
– Jaké jsou amplitudy pravděpodobnosti jednotlivých možností? U možnosti a) foton na prvním
děliči projde (amplituda 1/
√
2) a na druhém se odrazí (amplituda i/
√
2), takže celková
amplituda je Aa = i/2. U možnosti b) se foton nejprve odrazí a pak projde a celková amplituda
je opět Ab = i/2. U možnosti c) foton dvakrát projde, amplituda Ac = 1/2, a u
možnosti d) se foton dvakrát odrazí, amplituda Ad = −1/2
– Teď se podívejme na amplitudy zaregistrování fotonu v detektorech 3 a 4. Pokud má foton
dopadnout do detektoru 3, má možnosti a) a b), takže celková amplituda je A(dopad do 3) =
Aa+Ab = i a pravděpodobnost pak je P(dopad do 3) = |A(dopad do 3)|2
= 1. Pokud má foton
dopadnout do detektoru 4, má možnosti c) a d), takže celková amplituda je A(dopad do 4) =
Ac + Ad = 0 a pravděpodobnost pak je P(dopad do 4) = |A(dopad do 4)|2
= 0.
– Dostali jsme výsledek, který je ve shodě s experimentem: foton vždy dopadne do detektoru 3
a nikdy do detektoru 4. Vidíme, že jednoduché úvahy s amplitudami pravděpodobnosti nám
daly správný výsledek, který nelze získat pomocí klasické fyziky
• Jiný příklad amplitudy pravděpodobnosti – vlnová funkce
– vlnová funkce ψ(r) – amplituda nalezení částice v daném místě prostoru, čtverec její asolutní
hodnoty je hustotou pravděpodobnosti nalezení částice v tomto bodě
8
3 Popis kvantového systému
– pravděpodobnost nalezení částice v malém objemu dV kolem bodu s průvodičem r je pak
dP = |ψ(r)|2
dV
– Podmínka normování – částice musí někde být:
prostor
dP =
prostor
|ψ(r)|2
dV = 1,
v jedné dimenzi (například částice ve vhodné struktuře v polovodiči)
∞
−∞
|ψ(x)|2
dx = 1
3.2 Kvantové stavy a operátory
• Kvantový systém – určitý objekt nebo soubor objektů, které popisujeme pomocí kvantové teorie.
Například elektron v atomu nebo ve volném prostoru, atom, molekula, foton, elektromagnetické
pole v optickém vlákně, spin elektronu (vnitřní moment hybnosti)
• Každý možný stav kvantového systému je popsán vektorem u z Hilbertova prostoru H
• Jde o komplexní vektorový prostor se skalárním součinem (u, v), který má tyto vlastnosti:
(v, u) = (u, v)∗
(au, bv) = a∗
b(u, v), a, b ∈ C
Kromě toho je H.P. úplný (tj. obsahuje limity všech Cauchyovských posloupností)
• Příklad 1 – Hilbertův prostor pro tzv. dvojhladinový systém, např. spin elektronu nebo polarizaci
fotonu, je prostor dvojic komplexních čísel
c1
c2
• H.P. pro částici na přímce – prostor vlnových funkcí ψ(x)
• Vektory z Hilbertova prostoru značíme často |u , skalární součin značíme u|v (tzv. Diracova
symbolika)
• Hilbertův prostor může mít konečný či nekonečný počet dimenzí. Příklad – H.P. dvojhladinového
systému má dimenzi 2, H.P. částice na přímce – nekonečný počet dimenzí
• Dimenze H.P. je dána počtem různých fyzikálně rozlišitelných kvantových stavů
• Báze H.P. – soubor lineárně nezávislých vektorů |ek , pomocí nichž lze vyjádřit libovolný vektor
|u ∈ H
• Pro konečnou či spočetnou dimenzi je výhodné je reprezentovat vektory v bázi:
|u =
k
uk|ek
9
3 Popis kvantového systému
• Je-li báze {|ek } ortonormální, tj. ei|ek = δik, pak lze skalární součin jednoduše vyjádřit pomocí
složek vektorů:
u|v =
ik
u∗
i vk ei|ek =
ik
u∗
i vkδik =
i
u∗
i vi
(využili jsme vlastnost skalárního součinu vzhledem k násobení prvního a druhého činitele komplexním
číslem)
• Každý vektor |u je jednoznačně určen souborem čísel ui = ei|u
• Vektory |u , |v tedy můžeme reprezentovat pomocí matic obsahujících jejich složky:
|u :





u1
u2
...
un





, |v :





v1
v2
...
vn





• Skalární součin se pak dá zapsat jako
u|v = (u∗
1, u∗
2, . . . , u∗
n)





v1
v2
...
vn





• Můžeme si tedy představit, že u| je objekt sám o sobě, kterému v maticové reprezentaci odpovídá
řádkový vektor se složkami komplexně sdruženými ke složkám vektoru |u . Skalární součin je pak
dán prostým násobením matic
• Matici (B∗
)T
, kterou získáme z matice B transpozicí společně s komplexním sdružením, nazýváme
maticí adjungovanou (hermitovsky sdruženou) s maticí B a značíme B†
• Tedy |u †
= u|
• Pro vyjadřování pravděpodobností je třeba, aby byl stav normován, tj. aby vektor stavu měl
jednotkovou délku: u|u = 1, v našem příkladu |u1|2
+ |u2|2
+ · · · + |un|2
= 1
• Skalární součin má přímý fyzikální význam:
Je-li systém ve stavu |ψ , pak amplituda pravděpodobnosti nalezení systému ve stavu |ϕ je
rovna ϕ|ψ a pravděpodobnost je rovna | ϕ|ψ |2
• To znamená, že pokud provádíme na systému ve stavu |ψ měření, které umožní rozhodnout, zda
je systém ve stavu |ϕ , bude výsledkem měření odpověď „ano s pravděpodobností | ϕ|ψ |2
• Náš příklad s fotonem – označme stav fotonu po dopadu na dělič svazků jako |ψ , dále stav fotonu,
který projde, jako |p , a stav fotonu, který se odrazí, jako |o . Viděli jsme, že foton je po dopadu
v superpozici obou možností, tedy |ψ = (|p + |o )/
√
2 a platí o|ψ = p|ψ = 1/
√
2
• Příklad: nechť je systém ve stavu |u =
1/3
(1 + i)/
√
3
. Jaká je amplituda pravděpodobnosti a
pravděpodobnost, že jej najdeme ve stavu
1
0
, resp.
0
1
?
10
3 Popis kvantového systému
Odpověď: amplitudy jsou (1, 0)
1/3
(1 + i)/
√
3
= 1/3, resp. (0, 1)
1/3
(1 + i)/
√
3
= (1 + i)/
√
3.
Pravděpodobnosti jsou čtverce abs. hodnot amplitud, tedy 1/3 a 2/3.
• Každé fyzikální veličině A (energii, poloze, hybnosti, momentu hybnosti atd.) přísluší lineární
zobrazení (operátor) ˆA na Hilbertově prostoru H.
• Operátor je lineární, což znamená, že pro každé dva vektory |u , |v a komplexní číslo c platí
ˆA(|u + |v ) = ˆA|u + ˆA|v , ˆA(c|u ) = c ˆA|u
• Výsledek působení operátoru ˆA na bázový stav |ek lze vyjádřit opět pomocí bázových stavů:
ˆA|ek =
i
Aik|ei
• Působení operátoru ˆA na stav |u je pak
ˆA|u = ˆA
k
uk|ek =
k
uk
ˆA|ek =
ik
ukAik|ei =
ik
Aikuk|ei
tj. zatímco vektor |u je reprezentován maticí se složkami ui, je vektor ˆA|u reprezentován maticí
se složkami k Aikuk; matici reprezentující vektor ˆA|u tedy dostaneme z matice reprezentující
vektor |u násobením maticí Aik, která reprezentuje operátor ˆA
• Klíčový je význam vlastní hodnoty operátoru:
veličina A může nabývat jen těch hodnot, které jsou vlastními hodnotami operátoru ˆA
• Ve vlastním stavu |α s vlastní hodnotou a (tedy ˆA|α = a|α ) má veličina A přesnou hodnotu
a.
• Existují i veličiny, které mají spojité spektrum vlastních hodnot (např. souřadnice). Tyto veličiny
mohou nabývat libovolné hodnoty (popř. libovolné hodnoty z nějakého intervalu)
• Pravděpodobnost naměření hodnoty ai je dána
P(ai) = |(αi, ψ)|2
= | αi|ψ |2
,
ovšem vektor αi musí být normovaný: αi|αi = 1
• Jestliže vektory αi, αj přísluší různým vlastním hodnotám ai = aj, pak jsou tyto vektory ortogonální,
tj. αi|αj = 0.
Proč? Protože pokud je systém ve stavu αi a veličina A má tedy danou hodnotu ai, nemůže mít
A současně hodnotu jinou, tedy aj. Proto dle předchozího bodu | αj|αi |2
= 0
• Kromě toho musejí být vlastní hodnoty reálné. Tyto dvě vlastnosti splňují tzv. Hermitovské operátory.
Hermitovský operátor je takový, pro nějž platí
u| ˆAv = ˆAu|v
11
3 Popis kvantového systému
• Jakou maticí reprezentujeme stav ˆAu|? Zjevně maticí u|A†
• Proto je hermitovský operátor v maticové reprezentaci dán tzv. samosdruženou maticí, pro kterou
platí A = A†
= (A∗
)T
a pro složky tedy Aik = A∗
ki
• Veličina A musí mít v každém stavu nějakou hodnotu. Tj. nemohu mít stav, v němž bych při
měření veličiny A dostal odpověď, že hodnota neexistuje. Proto je možno každý stav systému
rozložit do vlastních stavů veličiny A, tedy tyto stavy tvoří bázi {|αi } Hilbertova prostoru H
• Vektory báze navíc mohu normovat, aby (αi, αj) = αi|αj = δij. Pak mohu snadno nalézt koeficienty
vektoru |u v bázi {|αi }:
αj|u =
i
ci αj|αi =
i
ciδij = cj,
proto
|u =
i
αi|u |αi =
i
|αi αi|u (1)
• Na sumu i |αi αi| lze pohlížet jako na jednotkový operátor (identitu) – rovnice (1) je vlastně
rozklad jednotkového operátoru do projekčních operátorů na jednotlivé vlastní stavy operátoru ˆA
• Máme-li rozklad (1) pro dané u, je působení operátoru ˆA na stav u snadno zjistitelné:
ˆA|u =
i
ˆA|αi αi|u =
i
ai|αi αi|u
a na sumu i ai|αi αi| = i |αi ai αi| lze pohlížet jako na vyjádření operátoru ˆA; jde o tzv.
spektrální reprezentaci operátoru ˆA
• Po vynásobení rovnice u| zleva dostaneme
u| ˆA|u =
i
ai u|αi αi|u =
i
ai| αi|u |2
• Veličina | αi|u |2
udává pravděpodobnost P(ai) nalezení systému ve stavu αi. Proto u| ˆA|u vyjadřuje
střední hodnotu veličiny A ve stavu u:
A =
i
aiP(ai) =
i
ai| αi|u |2
= u| ˆA|u
• Střední hodnota operátoru má přímý fyzikální význam: budeme-li opakovaně měřit veličinu A ve
stavu |u , budeme dostávat různé (náhodné) hodnoty; hodnotu ai naměříme s pravděpodobností
| αi|u |2
, proto bude průměr naměřených hodnot konvergovat ke střední hodnotě u|A|u
• Uvedené poznatky si ilustrujme na příkladu operátoru ˆA na Hilbertově prostoru dimenze 2 reprezentovaného
komplexní maticí 2 × 2:
ˆA =
0 1
1 0
12
3 Popis kvantového systému
– Vlastní hodnoty operátoru ˆA:
0 − λ 1
1 0 − λ
= 0 ⇒ λ1,2 ± 1
– Vlastní vektory operátoru ˆA jsou |α1 =
1/
√
2
1/
√
2
a |α2 =
1/
√
2
−1/
√
2
, protože
0 1
1 0
1/
√
2
1/
√
2
= 1
1/
√
2
1/
√
2
,
0 1
1 0
1/
√
2
−1/
√
2
= −1
1/
√
2
−1/
√
2
,
z čehož plyne, že ve stavu
1/
√
2
1/
√
2
je hodnota veličiny A rovna 1, ve stavu
1/
√
2
−1/
√
2
pak
−1. Jiných hodnot nemůže veličina nabývat
– Vlastní vektory operátoru ˆA, tj.
1/
√
2
1/
√
2
a
1/
√
2
−1/
√
2
, tvoří bázi Hilbertova prostoru C2
– Rozklad jednotky pomocí vlastních vektorů:
ˆ1 = |α1 α1| + |α2 α2| =
1/
√
2
1/
√
2
(1/
√
2, 1/
√
2) +
1/
√
2
−1/
√
2
(1/
√
2, −1/
√
2)
=
1/2 1/2
1/2 1/2
+
1/2 −1/2
−1/2 1/2
=
1 0
0 1
– Střední hodnota operátoru ˆA v obecném stavu
u1
u2
:
u| ˆA|u = (u∗
1, u∗
2)
0 1
1 0
u1
u2
= u∗
1u2 + u∗
2u1
• Součinem operátorů ˆA a ˆB rozumíme takový operátor ˆC ≡ ˆA ˆB, že platí ˆC|ψ = ˆA( ˆB|ψ ) pro
všechna |ψ
• Jsou-li operátory ˆA a ˆB reprezentovány maticemi, pak operátor ˆA ˆB je reprezentován součinem
obou matic
• Pro dvojici operátorů ˆA a ˆB definujeme jejich komutátor jako [ ˆA, ˆB] = ˆA ˆB − ˆB ˆA; pokud je
[ ˆA, ˆB] = 0, tj. ˆA ˆB = ˆB ˆA, říkáme, že operátory komutují; obecné operátory nekomutují podobně
jako matice
3.3 Spin 1/2 a Pauliho spinové matice
• Spin je vnitřní moment hybnosti částice, která nemá analogii v klasické mechanice. Někdy si jej
představujeme jako rotaci částice kolem její osy, ale tato představa může být zavádějící
• Budeme se nyní zabývat částicí se spinem 1/2, např. elektronem; Hilbertův prostor takovéhoto
spinu má dimenzi 2 a operátory na něm lze tedy reprezentovat maticemi 2 × 2
• Zvolíme si souřadnicovou soustavu x, y, z libovolným, ale pevným způsobem. Po danou osu o lze
definovat veličinu So, „průmět spinu do osy o
13
4 Časový vývoj a Schrödingerova rovnice
• Ukazuje se, že ať je osa o vybrána jakkoli, může průmět So nabývat jen dvou možných hodnot, a
to ± /2; tedy odpovídající operátor ˆSo má tyto dvě vlastní hodnoty
• Zvolme za osu o osu z a jako bázi Hilbertova protoru vezměme vlastní stavy operátoru ˆSz. V této
bázi lze vyjádřit operátory průměty spinu do tří souřadnicových os:
ˆSx =
2
0 1
1 0
, ˆSy =
2
0 −i
i 0
, ˆSz =
2
1 0
0 −1
(2)
Matice v rovnici (2) (tedy matice bez počátečního /2) jsou tzv. Pauliho spinové matice a
značí se σx, σy, σz
• Vlastní stavy operátoru ˆSz jsou |z+ =
1
0
a |z− =
0
1
, protože bázi, ve které vše počítáme,
jsme zvolili právě jako bázi vlastních stavů ˆSz; tyto stavy někdy značíme prostě |+ , |− nebo
| ↑ , | ↓
• Operátor ˆA z předchozího příkladu je právě ˆσx, takže hned vidíme, že operátor průmětu spinu do
osy x má vlastní stavy |x+ =
1/
√
2
1/
√
2
a |x− =
1/
√
2
−1/
√
2
a vlastní hodnoty ± /2
• Podobně vlastní stavy operátoru ˆSy jsou |y+ =
1/
√
2
i/
√
2
a |y− =
1/
√
2
−i/
√
2
a vlastní hodnoty
jsou opět ± /2
4 Časový vývoj a Schrödingerova rovnice
• Dosud jsme se nezabývali časovým vývojem kvantového systému, ale jen jeho stavem v daném
okamžiku
• Pro popis časového vývoje kvantového systému slouží tzv. Schrödingerova rovnice, fundamentální
rovnice QM
• Schrödingerova rovnice má podobný význam jako Hamiltonovy rovnice v klasické mechanice, dá
se říci, že je jejich přímou analogií
• Ve stavovém vektoru kvantového systému je ukryta veškerá informace o systému, proto stav
systému v dané chvíli určuje i všechny pozdější stavy
• Při znalosti počátečního stavu systému a schopnosti vyřešit Schrödingerovu rovnici můžeme v principu
předpovědět budoucnost systému na libovolně dlouho dopředu. V tomto smyslu je kvantová
mechanika deterministická.
• Musí platit
∂ψ
∂t
= O(ψ),
kde O je nějaký předpis, který přiřazuje stavu ψ nějaký jiný stav O(ψ) z téhož Hilbertova prostoru
• Ukazuje se, že tento předpis je lineární a O(ψ) je tedy akcí nějakého lineárního operátoru ˆO na
ψ, O(ψ) = ˆOψ
14
4 Časový vývoj a Schrödingerova rovnice
• Operátor ˆO napíšeme ve tvaru ˆO = ˆH/i , takže
i
∂ψ
∂t
= ˆHψ
což je slavná Schrödingerova rovnice
• ˆH je tzv. Hamiltonův operátor
• Z klasické limity kvantové mechaniky plyne, že fyzikální veličina odpovídající Hamiltonovu operátoru
je Hamiltonova funkce H, ˆH je tedy vlastně operátorem zobecněné energie.
• Schrödingerova rovnice je podobně fundamentální (a v jistém smyslu analogická) jako Hamiltonovy
rovnice v klasické mechanice
• Příklady:
– Částice o hmotnosti m v potenciálovém poli V (r) – klasická Hamiltonova funkce je
H =
p2
2m
+ V (r),
a Hamiltonův operátor je
ˆH =
ˆp2
2m
+ V (ˆr)
– Spin elektronu v magnetickém poli
Se spinem elektronu je spojen magnetický dipólový moment, přes nějž spin interaguje s magnetickým
polem. Je-li velikost dipólového momentu µ, pak Hamiltonův operátor lze vyjádřit
pomocí Pauliho spinových matic
ˆH = µˆσB = µ(ˆσxBx + ˆσyBy + ˆσzBz) = µ
Bz Bx − iBy
Bx + iBy −Bz
• Významné jsou vlastní stavy hamiltoniánu – tzv. stacionární stavy:
ˆHψi = Eiψi
Pro ně má Schrödingerova rovnice jednoduchý tvar i řešení
i
∂ψi
∂t
= Eiψi, ψi(t) = ψi(0) exp −
iEi
t ,
takže časový vývoj spočívá pouze ve změně fáze stavu
• Rovnice pro vlastní stavy Hamiltoniánu, tedy
ˆHψ = Eψ
se nazývá stacionární Schrödingerova rovnice
15
5 Souřadnicová reprezentace
• Je-li systém ve stacionárním stavu |ψi , nemění se s časem pravděpodobnosti nalezení systému v
daném stavu
| ϕ|ψi(t) |2
= | ϕ|e−iEit/
ψi(0) |2
= |e−iEit/
ϕ|ψi(0) |2
= | ϕ|ψi(0) |2
,
ani střední hodnoty fyzikálních veličin:
A(t) = ψi(t)| ˆA|ψi(t) = eiEit/
ψi(0)| ˆA|e−iEit/
ψi(0) = ψi(0)| ˆA|ψi(0) = A(0)
• To je také důvod, proč se těmto stavům říká stacionární – skoro nic se v nich nemění (až na fázi
stavu)
• Příklad časového vývoje – spin elektronu v magnetickém poli se směrem osy y:
– Uvažujme pole ve směru y, tedy B = (0, B, 0). Pak hamiltonián je
ˆH =
0 −iµB
iµB 0
Tento hamiltonián je násobkem Pauliho matice σy, má tedy i stejné vlastní stavy |y+ =
1/
√
2
i/
√
2
(vlastní hodnota µB) a |y− =
1/
√
2
−i/
√
2
(vlastní hodnota −µB).
– Časový vývoj těchto stavů je dle předchozího |y+(t) = |y+ e−iµBt/
a |y−(t) = |y− eiµBt/
.
– Časový vývoj obecného stavu
u1
u2
lze pak získat jeho rozložením v bázi |y+ , |y− , vývojem
bázových stavů a jejich opětovným složením:
u1(t)
u2(t)
=
1
√
2
(u1 − iu2)
1/
√
2
i/
√
2
e−iµBt/
+
1
√
2
(u1 + iu2)
1/
√
2
−i/
√
2
eiµBt/
=
u1 cos(µBt/ ) − u2 sin(µBt/ )
u1 sin(µBt/ ) + u2 cos(µBt/ )
=
cos ωt − sin ωt
sin ωt cos ωt
u1
u2
– Je vidět, že stav v čase t lze získat ze stavu v čase 0 aplikací operátoru reprezentovaného
maticí
cos ωt − sin ωt
sin ωt cos ωt
1
5 Souřadnicová reprezentace
• Zatím jsme uvažovali veličinu (např. spin), která může nabývat diskrétních hodnot. Mnoho fyzikálních
veličin však nabývá hodnot ze spojité množiny – např. souřadnice
1
Toto platí obecně: pro každý systém a dvojici časů t1, t2 existuje unitární operátor ˆU(t2, t1) takový, že platí |ψ(t2) =
ˆU(t2, t1)|ψ(t1) ; ˆU se nazývá evoluční operátor a lze jej vyjádřit jako
ˆU(t2, t1) = exp −
i ˆH(t2 − t1) =
i
exp −
i
Ei(t2 − t1) |ψi ψi|
16
5 Souřadnicová reprezentace
• Uvažujme částici vázanou na přímku, tj. mající jeden stupeň volnosti – např. elektron ve speciální
heterostruktuře v polovodiči, kdy se může pohybovat jen jedním směrem
• Definujeme operátor souřadnice ˆx a jemu příslušné vlastní stavy |x takové, že ˆx|x = x|x .
Například |3 mm je stav, ve kterém má souřadnice přesnou hodnotu 3 mm, tedy ˆx|3 mm =
(3 mm) · |3 mm
• Operátor ˆx je hermitovský a má spojité reálné spektrum
• Jaký bude skalární součin x|y ? Určitě 0 pro x = y (z nám již známého důvodu – jestliže má
částice hodnotu souřadnice s jistotou např. 3 mm, pak nemůže mít současně 4 mm), ale čemu
bude rovno x|y pro x = y?
• Je to věc normování. Především chceme, aby se s bází {|x , x ∈ R} dobře pracovalo. V diskrétním
případě jsme měli
|αi =
j
|αj αj|αi =
j
|αj δij = |αi ,
protože j |αj αj| je jednotkový operátor
• Ve spojitém případě je třeba nahradit sumaci integrací, tedy analogie předchozí rovnice bude
|x =
R
|y y|x dy =
R
|y f(x, y) dy
• Jaká funkce f(x, y) splňuje, že R
g(y)f(x, y) dy = g(x)? Tzv. Diracova δ-funkce δ(x − y)
• Není to funkce v pravém slova smyslu, ale tzv. distribuce (zobecněná funkce) s vlastnostmi
R
δ(x − a)f(x) dx = f(a)
δ(x) = 0 ∀x = 0
Tedy je nenulová jen v bodě x = 0, kde je nekonečná, a to nekonečno je právě tak velké, aby
plocha „pod funkcí byla jednotková
• Máme tedy y|x = x|y = δ(y − x)
• Rozklad jednotky je pak
ˆ1 =
R
|x x| dx
• Pro každý stav |ψ pak platí
|ψ =
R
|x x|ψ dx
• Stav systému jsme tedy vyjádřili v bázi stavů |x podobně, jako jsme to udělali u konečněrozměrného
systému (rovnice (1)), koeficienty rozkladu jsou x|ψ . Zde je však sloupeček nekonečně
dlouhý, takže jde vlastně o komplexní funkci reálné proměnné x: x|ψ ≡ ψ(x)
• ψ(x) se nazývá vlnová funkce částice, popř. souřadnicová reprezentace stavu |ψ ; charakterizuje
úplně stav systému2
, podobně jako |ψ
2
vlnová funkce ovšem nepopisuje spinovou část stavu částice, protože ta není svázána s prostorovým pohybem částice
17
5 Souřadnicová reprezentace
• Vlnová funkce má přímý fyzikální význam: je to amplituda pravděpodobnosti nalezení částice v
bodě x
• Proto je |ψ(x)|2
hustota pravděpodobnosti nalezení částice v bodě x 3
• Podmínka normování vlnové funkce:
R
|ψ(x)|2
dx = 1
• Jaká je souřadnicová reprezentace samotného vlastního stavu souřadnice, např. |y ? Je to δfunkce:
x|y = δ(x − y)
• Jaký je účinek operátoru ˆx na vlnovou funkci, tj. jaká je vlnová fce stavu ˆx|ψ ?
x|ˆx|ψ = ˆxx|ψ = x x|ψ = xψ(x)
Zde jsme působili operátorem ˆx doleva na x| a protože je hermitovský, dalo to x x|. Účinek
operátoru ˆx na vlnovou funkci je tedy násobení souřadnicí
• Jak vyjádříme skalární součin dvou stavů pomocí jejich vlnových funkcí? Vložíme mezi ně
jednotkový operátor, což dá
ϕ|ψ = ϕ|
R
|x x| dx
ˆ1
|ψ =
R
ϕ|x x|ψ dx
=
R
x|ϕ ∗
x|ψ dx =
R
ϕ(x)∗
ψ(x) dx
• Střední hodnotu souřadnice x ve stavu ψ vypočteme vložením dvou jednotkových operátorů:
x = ψ|ˆx|ψ =
R2
ψ|x x|ˆx|y y|ψ dx dy =
R2
ψ|x yδ(x − y) y|ψ dx dy
=
R
x|ψ(x)|2
dx,
jde vlastně o vážený průměr souřadnice x vážený pravděpodobností |ψ(x)|2
• Ve třech dimenzích – vše analogické, ale integrály jsou dx dy dz a integrační obor je R3
• Tok pravděpodobnosti
– Časovou derivaci hustoty pravděpodobnosti ρ = ψ∗
(x)ψ(x) v daném místě vypočteme pomocí
Schrödingerovy rovnice:
∂ρ
∂t
= ψ∗
(x)
∂ψ(x)
∂t
+
∂ψ∗
(x)
∂t
ψ(x) =
i
2m
ψ∗
ψ − (ψ∗
) ψ
– Rovnice kontinuity: úbytek pravděpodobnosti −∂ρ/∂t je dán divergencí ∂j/∂x nějakého vektorového
pole j, které udává „proudění pravděpodobnosti:
∂ρ
∂t
+
∂j
∂x
= 0 =⇒ j =
i
2m
(ψ∗
) ψ − ψ∗
ψ
3
to znamená, že pravděpodobnost nalezení částice v intervalu x, x + ∆x , je rovna |ψ(x)|2
∆x pro malé ∆x.
18
5 Souřadnicová reprezentace
– j – tok pravděpodobnosti, ve třech dimenzích
j =
i
2m
ψ ψ∗
− ψ∗
ψ
– Pro stavy |p s danou hybností p platí
j =
p
m
ρ = vρ,
kde v = p/m je rychlost částice
5.1 Operátor hybnosti
• Z klasické mechaniky víme, že s posunutím v prostoru úzce souvisí hybnost (je generátorem
posunutí)
• Ukazuje se, že i v kvantové mechanice je tomu podobně
• Zkusme najít operátor, odpovídající posunutí vlnové funkce o malou (infinitezimální) vzdálenost
a. Tedy takový, který dává ˆDaψ(x) = ψ(x − a). Pro malé a platí rozvoj
ψ(x − a) ≈ ψ(x) −
∂ψ
∂x
a = ˆ1 − a
∂
∂x
ψ,
tedy Da ≈ ˆ1 − a ∂/∂x. 4
• Tento operátor zachovává skalární součin, protože
ˆDaψ| ˆDaϕ =
R
ψ∗
(x − a)ϕ(x − a) dx =
R
ψ∗
(y)ϕ(y) dy = ψ|ϕ
• Operátory zachovávající skalární součin se nazývají unitární, v kvantové mechanice velice významná
třída operátorů
• Unitární operátory zachovávají skalární součiny a proto i amplitudy a pravděpodobnosti – souvisejí
tedy s vratnými procesy v kvantových systémech (rotace, posunutí, časový vývoj apod.)
• Sdružený operátor k ˆDa značíme ˆD†
a, proto
ˆDaψ| ˆDaϕ = ψ| ˆD†
a
ˆDaϕ = ψ|ϕ
• Proto ˆD†
a
ˆDa = ˆ1 a současně i ˆDa
ˆD†
a = ˆ1 a tedy ˆD−1
a = ˆD†
a – vlastnost každého unitárního
operátoru
• V maticové reprezentaci je unitární operátor reprezentován unitární maticí
4
Operátor posunutí o větší (nikoli infinitezimální) vzdálenost a lze formálně napsat jako ˆD(a) = e−a ∂
∂x , protože
e−a ∂
∂x ψ(x) =
∞
n=0
(−a)n
n!
∂n
∂xn
ψ(x) = ψ(x − a), (3)
což je vlastně Taylorův rozvoj funkce ψ(x − a) kolem bodu x.
19
5 Souřadnicová reprezentace
• Jak působí operátor ˆD†
a na ψ(x)? Posunuje je na druhou stranu:
ˆDaψ|ϕ =
R
ψ∗
(x − a)ϕ(x) dx =
R
ψ∗
(y)ϕ(y + a) dy = ψ| ˆD†
aϕ
• Akce operátoru na vlastní stav polohy je
Da|x = |x + a
– to plyne jednak z definice |x a toho, jak ˆD působí, nebo k tomu lze dojít i jinak:
ˆDax|ψ = x| ˆD†
aψ = ψ(x + a) = x + a|ψ
• Operátor ∂/∂x je přímo úměrný operátoru hybnosti, můžeme napsat ˆp = k ∂/∂x, kde k je
dosud neznámý faktor
• Tento faktor musí být ryze imaginární (viz cvičení) z důvodu hermitovosti ˆp a jak lze zjistit
limitním přechodem ke klasické mechanice, je roven −i
• Operátor hybnosti má tedy tvar
ˆp = −i
∂
∂x
(4)
• V obecném případě trojrozměrného pohybu, kdy vlnová funkce ψ(x, y, z) je funkcí všech prostorových
souřadnic, je
ˆpx = −i
∂
∂x
, ˆpy = −i
∂
∂y
, ˆpz = −i
∂
∂z
, ⇒ ˆp = −i
• Jednotlivé složky hybnosti spolu komutují, protože parciální derivace podle různých souřadnic
jsou záměnné
• Komutátor souřadnice a jí příslušné hybnosti je roven i , tj.
[x, ˆpx] = [y, ˆpy] = [z, ˆpz] = i , ale [x, ˆpy] = 0 (5)
Vlastní stavy hybnosti:
−i
∂ψp
∂x
= pψp ⇒ ψp(x) = exp
ipx
,
ve třech dimenzích
ψp(r) = exp
i
(pxx + pyy + pzz) = exp
ipr
• Vlastní funkce hybnosti má tedy tvar komplexní rovinné vlny
• Vlnová délka vlny – nejmenší vzdálenost, po které se ψ opakuje, tedy pλ/ = 2π ⇒ λ = 2π /p
• Čím větší hybnost, tím menší vlnová délka. Např. pro kámen 1 kg, 1 m/s je λ = 6 × 10−34
m, pro
elektron o rychlosti 1 m/s už ale asi 0,6 mm. Proto se kvantové vlastnosti kamene v milimetrovém
měřítku neprojeví, ale elektronu ano
20
5 Souřadnicová reprezentace
• Vztah λ = 2π /p platí i pro kvanta světla (fotony), lze si z něj snadno vypočítat hybnost fotonu,
známe-li jeho vlnovou délku: pro zelenožluté světlo (λ = 500 nm) je p ≈ 10−27
kgm/s
• Obecně každá částice s hybností p je spojena s určitou vlnou s vlnovou délkou 2π /p – tzv.
deBroglieho vlna
• Vlastní stavy hybnosti nelze normovat na jedničku (souvisí to se spojitým spektrem hybnosti
podobně jako u souřadnice), proto budeme chtít, aby (ψp, ψp ) = δ(p − p ). Odtud dostaneme
normovanou vlnovou funkci
ψp(x) =
1
√
2π
exp
ipx
• Pravděpodobnost nalezení částice je stejná všude: |ψp(x)|2
= 1
2π
= konst. – částice s danou
hybností má zcela neurčitou polohu
• Chceme-li znát přesněji polohu, musíme zmenšit oblast, kde se vlna nachází, ale k tomu potřebujeme
jiné vlnové délky a tedy i hybnosti
• Superpozicí mnoha vln s různými hybnostmi lze vytvořit tzv. vlnové klubko – prostorově ohraničenou
vlnu, která odpovídá víceméně lokalizované částici
• Informaci o tom, jak vypadají možné hybnosti částice, nám dává tzv. impulzová reprezentace
kvantového stavu
• Impulzová reprezentace stavu |ψ , kterou označíme aψ(p), je amplitudou toho, že částice ve stavu
|ψ má hybnost p; je to tedy vlastně součin p|ψ
• Pro přechod od souřadnicové k impulzové reprezentaci využijeme toho, že známe x|p , a vložení
jednotkového operátoru:
aψ(p) = p|ψ =
R
p|x x|ψ dx =
R
x|p ∗
ψ(x) dx =
1
√
2π R
e−ipx/
ψ(x) dx
ψ(x) =
1
√
2π R
eipx/
aψ(p) dp
• Tedy vlnová funkce v souřadnicové a impulzové reprezentaci jsou vzájemně spojeny Fourierovou
transformací; jde o podobné spojení jako má difrakční mřížka s difrakčním obrazcem
• Známá věc z teorie difrakce – čím menší (nebo jemnější) je struktura, na které probíhá difrakce,
tím větší (hrubší) je difrakční obrazec
• Stejná zákonitost platí i v kvantové mechanice: čím menší bude prostorová šířka vlnového klubka,
tím větší bude jeho impulzová šířka a naopak
• Příklad: Gaussovo vlnové klubko
a(p) =
1
4
√
πa2
exp −
(p − p0)2
2a2
⇒ ψ(x) =
1
4
√
πb2
exp −
x2
2b2
exp
ip0x
,
kde b = /a.
21
5 Souřadnicová reprezentace
5.2 Hamiltonián a Schrödingerova rovnice v souřadnicové reprezen-
taci
• Částice v jednom rozměru ve vnějším silovém poli, ve kterém má potenciální energii V (x), má
hamiltonián
ˆH =
ˆp2
2m
+ V (x) = −
2
2m
∂2
∂x2
+ V (x)
a částice ve třech dimenzích
ˆH =
ˆp2
2m
+ V (r) = −
2
2m
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
+ V (r) = −
2
2m
∆ + V (r),
a částice ve třech dimenzích v elektromagnetickém poli
H =
[−i − qA(r)]2
2m
+ qϕ(r),
kde A, ϕ je vektorový a skalární potenciál; tento hamiltonián je analogií klasického hamiltoniánu
H = (p−qA)2
2m
+ qϕ
• Řešme Schrödingerovu rovnici pro volnou částici (při absenci pole V (x)) v jedné dimenzi
i
∂ψ(x, t)
∂t
= −
2
2m
∂2
ψ(x, t)
∂x2
Rovnici řešíme separací proměnných, tedy předpokládáme ψ(x, t) = X(x)T(t). Takto dostaneme
pro T a X rovnice
i Tt = ET, −
2
2m
Xxx = EX,
kde indexy značí derivace podle příslušných veličin (všimněme si, že druhá rovnice je vlastně
ˆHX = EX, tedy rovnice pro stacionární stavy; takovéto rovnici se proto říká stacionární Schrödingerova
rovnice). Odtud obecné řešení rovnic
T(t) = ce− iEt
, X(x) = aeikx
+ be−ikx
, kde k =
2mE
2
Tedy vlnová funkce
ψ(x, t) = (Aeikx
+ Be−ikx
) e−iEt/
= Aei(kx−ωt)
+ Be−i(kx+ωt)
• Je vidět, že jde vlastně o dvě vlny, jedna běží podél osy x a druhá v opačném směru. Současně
vidíme, že tyto vlny jsou i vlastními stavy operátoru hybnosti ˆp s vlastními hodnotami po řadě
p = ± k. S každou vlnou je spojeno vlnové číslo k = p/ (a tedy vlnová délka λ = 2π/k =
2π /p), frekvence ω = E/ a energie E = p2
/2m.
• Máme-li vlnové klubko s relativně úzkým rozdělením hybností (úzkou funkcí | p|ψ |2
) se střední
hybností p0, pak lze definovat tzv. fázovou a grupovou rychlost:
vf =
ω
k
=
E
p
=
p0
2m
, vg =
dω
dk
=
dE
dp
=
p0
m
,
přičemž fázová rychlost nám říká, jak rychle běží jednotlivé vlny v klubku (u vln na vodě vrcholek
nebo údolíčko), zatímco grupová rychlost vyjadřuje rychlost celého klubka
22
5 Souřadnicová reprezentace
• Vidíme tedy, že místo maximální pravděpodobnosti nalezení částice se pohybuje rychlostí vg rovnou
klasické rychlosti odpovídající střední hybnosti klubka p0.
• Uvažujme vlnové klubko, které je v čase t = 0 dobře lokalizované; jak bude vypadat po nějakém
dlouhém čase?
• Je-li dobře lokalizované, pak je velká šířka rozdělení jeho hybností; lze tedy čekat, že po dlouhé
době bude klubko širší, protože obsahuje různé hybnosti a tedy i rychlosti – je neurčitá dráha,
kterou urazí
• Přesně toto chování dává přesný výpočet nebo i experiment (když např. necháme vyletovat elektrony
ze zdroje jen v krátkých časových intervalech, v detektoru je zachytíme naopak s relativně
velkou časovou neurčitostí, protože není jednoznačné, jak dlouho letí)
• Toto chování se nazývá rozplývání vlnového klubka a je dáno disperzí vln odpovídajících
různým hybnostem
5.3 Úlohy s jednorozměrným potenciálem (jámy, bariéry atd.)
• Uvažujme částici vázanou na přímku (která se tedy může pohybovat jen v jednom směru) v
potenciálu V (x), kde x je souřadnice měřená podél přímky
• V souřadnicové reprezentaci budeme hledat stacionární stavy částice, tedy řešení stacionární
Schrödingerovy rovnice částice v jedné dimenzi
ˆHψ = −
2
2m
ψ + V (x)ψ(x) = Eψ(x), (6)
kde ψ = d2
ψ/ dx2
• Požadujeme, aby vlnová funkce pro x → ±∞ nedivergovala (protože divergující funkce by nepopisovala
žádnou fyzikální situaci)
• Zajímají nás nejen řešení rovnice (6) (tj. vlnové funkce ψ(x)), ale také hodnoty energie E, pro
které vůbec nějaké řešení existuje; tyto hodnoty tvoří energiové spektrum
• Podle charakteru potenciálu dostaneme různé typy spektra vlastních hodnot energie
• Finitní pohyb je takový, že pohyb klasické částice se stejnou energií ve stejném potenciálu by
byl omezen na konečnou oblast prostoru (přímky), infinitní pohyb – nekonečná oblast
• Obecně platí, že je-li pohyb finitní, je energiové spektrum diskrétní, pro infinitní pohyb je spojité
• Je-li potenciál takový, že se částice může dostat do nekonečně mnoha oddělených oblastí, z nichž
každá má konečnou velikost (např. periodický potenciál), pak je spektrum pásové – existují intervaly
energií, kterých částice může nabývat, a intervaly, energií z nichž částice nemůže nabývat
• Příklady:
– Harmonický oscilátor – pohyb je finitní pro každou energii, proto je spektrum všude diskrétní
– Nekonečně hluboká potenciálová jáma – pohyb je finitní pro každou energii, proto je spektrum
všude diskrétní
23
6 Heisenbergovy relace neurčitosti
– Volná částice – pohyb je infinitní pro každou energii, proto je spektrum spojité
– Potenciálová jáma konečné hloubky – v jámě je pohyb finitní, vně infinitní, proto jsou energie
v jámě kvantovány, vně jámy pak libovolné
– Elektron v poli atomového jádra – pohyb finitní pro E < 0, infinitní pro E > 0, proto je
spektrum pro E < 0 diskrétní, pro E > 0 spojité
– Periodický potenciál pro elektron v krystalu pocházející od přitažlivosti atomových jader –
pásová struktura známá z fyziky pevných látek, např. vodivostní a valenční pás
6 Heisenbergovy relace neurčitosti
• Veličina A nabývá určité přesné hodnoty jen ve vlastních stavech příslušného operátoru ˆA; v
ostatních stavech je hodnota A více či méně neurčitá
• Některé dvojice veličin nemohou současně nabývat přesných hodnot, neboť neexistuje stav, který
by byl vlastním stavem obou současně, např. pro Pauliho matice ˆσx =
0 1
1 0
a ˆσz =
1 0
0 −1
• To, zda veličiny A, B současně mohou nabývat přesných hodnot, těsně souvisí s tím, zda komutují:
jestliže [ ˆA, ˆB] = 0, pak mohou, jestliže [ ˆA, ˆB] = 0, pak nemohou5
• Existují určité nerovnosti pro neurčitosti takovýchto veličin – tzv. relace neurčitosti
• Uvažujme stav |ψ a dvě veličiny reprezentované hermitovskými operátory ˆA, ˆB
• Budeme zkoumat kvadratickou neurčitost A a B, tedy
(∆A)2
= ( ˆA − ˆA )2
, (∆B)2
= ( ˆB − ˆB )2
• (∆A)2
souvisí s rozptylem naměřených hodnot při opakovaném měření veličiny A
• Zavedeme pomocné operátory
ˆU = ˆA − A ˆ1, ˆV = ˆB − B ˆ1,
kde ˆ1 je jednotkový operátor. Tím si „posuneme veličiny A a B o jejich střední hodnoty – tedy
ˆU, ˆV mají oba nulovou střední hodnotu, ale mají stejnou neurčitost jako ˆA, ˆB
• Definujme (poněkud uměle) stav
|ϕ = ( ˆU + iλˆV )|ψ , λ ∈ R
• Spočteme druhou mocninu velikosti |ϕ , což musí být nezáporné číslo:
0 ≤ ϕ|ϕ = ψ|( ˆU − iλˆV )( ˆU + iλˆV )|ψ = ˆU2
+ λ2 ˆV 2
+ iλ [ ˆU, ˆV ]
5
Poslední tvrzení není zcela přesné; např. pro operátory x-ové a y-ové složky momentu hybnosti existuje jeden společný
vlastní stav, ačkoli nekomutují. Neexistuje ale báze Hilbertova prostoru složená z jejich společných vlastních stavů.
24
6 Heisenbergovy relace neurčitosti
• Zvolme nyní λ = −i [ ˆU, ˆV ]
2 ˆV 2 . Toto číslo je reálné, protože ϕ|ˆV ˆU|ϕ = ( ϕ| ˆU ˆV |ϕ )∗
( ˆU, ˆV jsou
hermitovské!) a tedy [ ˆU, ˆV ] je ryze imaginární. Pak
ϕ|ϕ = ˆU2
−
[ ˆU, ˆV ] 2
4 ˆV 2
+
[ ˆU, ˆV ] 2
2 ˆV 2
= ˆU2
+
[ ˆU, ˆV ] 2
4 ˆV 2
≥ 0
• Proto
ˆU2 ˆV 2
≥ −
[ ˆU, ˆV ] 2
4
• Nakonec tak dostáváme
∆A∆B ≥
| [ ˆA, ˆB] |
2
(7)
• Příklad: pro ˆA = ˆx, ˆB = ˆp máme [ˆx, ˆp] = i ˆ1 ⇒ [ˆx, ˆp] = i , což dává nejznámější relaci
neurčitosti – relaci pro hybnost a souřadnici: ∆x∆p ≥ /2
• Jiný příklad – složky momentu hybnosti: protože [ˆLx, ˆLy] = i ˆLz, platí ∆Lx∆Ly ≥ Lz /2 a
cyklicky; důsledkem je, že pokud má mít moment hybnosti všechny tři složky určité, musí být
všechny nulové
• Lze ukázat, že jsou-li ˆA, ˆB komutující hermitovské operátory, pak existuje báze Hilbertova prostoru
z jejich společných vlastních stavů
• Příklady na relaci neurčitosti pro souřadnici a hybnost
– Odhad velikosti atomu vodíku: Předpokládejme, že elektron je zhruba v oblasti o poloměru
r. Podle relace neurčitosti je neurčitost jeho hybnosti ve všech směrech asi ∆p =
/∆x ≈ /2r. Kinetická a potenciální energie je tedy přibližně
T =
1
2
mv2
=
1
2
m(v2
x + v2
y + v2
z ) ≈
3 2
8mr2
, V = −
e2
4πε0r
Celková energie tedy
E = T + V ≈
3 2
8mr2
−
e2
4πε0r
Elektron by se rád přiblížil co nejtěsněji k jádru, aby snížil svoji potenciální energii, ale pokud
bude jen v malé oblasti okolo jádra, bude zase velká jeho kinetická energie. Celková energie
nabývá minima pro určité r = r0:
dE
dr
= −
3 2
4mr3
+
e2
4πε0r2
= 0 ⇒ r0 =
3πε0
2
me2
Po dosazení hodnot pro elektron vyjde 0.40 × 10−10
m. To jsou asi tři čtvrtiny Bohrova
poloměru atomu, tedy typického poloměru atomu vodíku. Z relací neurčitosti tedy můžeme
získat velmi dobrý odhad velikosti atomu.
– Odhad energie částice v nekonečně hluboké jámě: Částice je v jámě o šířce a. Podle
relace neurčitosti je neurčitost její hybnosti asi ∆p = /a. Kinetická, potenciální a celková
energie je tedy přibližně
T =
1
2
mv2
≈
2
2ma2
, V = 0, E = T + V ≈
2
2ma2
25
7 Aplikace
Jak se dozvíme později, je skutečná energie E = π2 2
2ma2 , tedy π2
krát větší. Vidíme ale, že
relace neurčitosti dává celkem dobrý odhad energie.
– Odhad rozlišovací schopnosti dalekohledu (např. astronomického): Nechť je průměr
objektivu d. Foton přilétající z hvězdy je tedy lokalizován v příčném směru s přesností d.
Jeho příčná složka hybnosti tedy nemůže být určena přesněji než /d. Poměr příčné hybnosti
a podélné hybnosti je ovšem roven úhlu, pod kterým foton dopadá do objektivu. Tedy
neurčitost úhlu je asi
∆ϕ =
∆ppříč.
ppod.
≈ d
2π
λ
=
λ
2πd
Dalekohled tedy nedokáže rozlišit objekty úhlově menší než přibližně λ/2πd, proto čím větší
objektiv, tím lepší rozlišení. Proto se staví velké dalekohledy.
7 Aplikace
7.1 Harmonický oscilátor
• Oscilátor – velice častá situace, kdykoli existuje nějaká síla vracející těleso do rovnovážné polohy
• Většina reálných oscilátorů není harmonických, ale pro malé výchylky je lze často za harmonické
považovat
• Klasický oscilátor – např. závaží na pružině nebo kyvadlo
• Kvantový oscilátor – např. dvouatomové molekuly Cl2, HCl nebo víceatomové molekuly CO2 (to je
spíše systém spřažených oscilátorů); energie soustavy je nejmenší při určité vzdálenosti atomových
jader, při vzdálení či přiblížení jader se tedy objeví síla, která se snaží vrátit situaci zpět; není
přesně harmonický
• Také mód elektromagnetického pole, podobně jako kmitový mód struny, se chová jako HO, tento
oscilátor je přesně harmonický
• Hamiltonián harmonického oscilátoru (H.O.):
ˆH =
ˆp2
2m
+
1
2
kˆx2
=
ˆp2
2m
+
1
2
mω2
x2
, (8)
kde ω = k
m
.
• V souřadnicové reprezentaci
−
2
2m
∂2
ψ(x)
∂x2
+
1
2
mω2
x2
ψ(x) = Eψ(x)
26
7 Aplikace
• Tuto rovnici bychom mohli řešit a najít možné hodnoty energie a stavy; my se ale o totéž pokusíme
algebraicky, bez použití souřadnicové reprezentace
• Definujeme operátory
ˆa =
mω
2
ˆx +
i
√
2 mω
ˆp, ˆa†
=
mω
2
ˆx −
i
√
2 mω
ˆp
• Operátory ˆa a ˆa†
jsou vzájemně hermitovsky sdružené, samy o sobě nejsou hermitovské.
• Komutační relace pro ˆa, ˆa†
:
[ˆa, ˆa†
] = ˆaˆa†
− ˆa†
ˆa = ˆ1
• Pomocí ˆa, ˆa†
vyjádříme hamiltonián takto:
ˆH =
ω
2
(ˆaˆa†
+ ˆa†
ˆa) = ω ˆa†
ˆa +
1
2
(v poslední rovnosti jsme využili komutační relaci)
• Předpokládejme, že jsme našli nějaký stacionární stav ψ s vlastní hodnotou E, tedy
ω
2
(ˆaˆa†
+ ˆa†
ˆa)ψ = Eψ.
Zkusme, jak působí hamiltonián na stavy ˆaψ a ˆa†
ψ, přičemž opět využijeme komutační relaci
[ˆa, ˆa†
] = ˆ1:
ˆHˆaψ =
ω
2
(ˆaˆa†
+ ˆa†
ˆa)ˆaψ =
ω
2
ˆa(ˆaˆa†
+ ˆa†
ˆa − 2)ψ = (E − ω)ˆaψ
ˆHˆa†
ψ =
ω
2
(ˆaˆa†
+ ˆa†
ˆa)ˆa†
ψ =
ω
2
ˆa†
(ˆaˆa†
+ ˆa†
ˆa + 2)ψ = (E + ω)ˆa†
ψ.
• Tedy i stavy ˆaψ a ˆa†
ψ jsou vlastními stavy hamiltoniánu s vlastními hodnotami posunutými
o ω. Z libovolného stacionárního stavu ψ tedy dokážeme generovat nové stacionární stavy
ˆan
ψ, (ˆa†
)n
ψ. Jde to tak ale donekonečna? Asi ne dolů, protože těžko si představit, že by energie
harmonického oscilátoru mohla být záporná. A skutečně: platí
0 ≤ ||ˆa|ψ ||2
= ψ|ˆa†
ˆa|ψ =
E
ω
−
1
2
||ψ ||2
, (9)
proto E ≥ ω/2 = Emin
• Při každé aplikaci ˆa se sníží hodnota energie o ω, takže se někdy musíme dostat pod mezní
hodnotu Emin – není to spor s rovnicí (9)?
• Co když budeme mít stav s energií právě rovnou Emin a zapůsobíme na něj anihilačním operátorem?
Výsledkem bude nulový vektor podle rovnice (9), takže stav s nižší energií již nedostaneme
a spor je odstraněn
• To znamená, že nejnižší vlastní hodnota hamiltoniánu je přesně ω/2 a vlastní hodnoty energie
jsou tedy En = ω(n + 1/2), kde n = 0, 1, 2, . . .
27
7 Aplikace
• Platí ˆH = ω(ˆa†
ˆa + 1/2), proto operátor ˆn ≡ ˆa†
ˆa má vlastní hodnoty 0, 1, 2 . . . , říkáme mu
operátor počtu excitací
• Máme tedy úplný systém vlastních stavů Hamiltoniánu (a současně operátoru ˆn), který označíme
{|0 , |1 , |2 , . . . , }, a platí
ˆH|n = ω n +
1
2
|n , ˆn|n = n |n
• Nejnižší možná hodnota energie je ω/2. Je nějaký fyzikální důvod pro to, že není nulová? Ano,
kdyby byla nulová, musela by být částice v klidu (aby byla nulová kinetická energie) a být v bodě
x = 0 (aby byla nulová potenciální energie). To však není možné kvůli relacím neurčitosti
• Je to věc jakéhosi „kompromisu souvisejícího s relacemi neurčitosti: aby byla co nejmenší potenciální
energie, částice se snaží být blízko bodu x = 0. Ale pokud by byla příliš dobře lokalizovaná,
zase by byla velká neurčitost hybnosti a kinetická energie by byla velká. Minimum celkové energie
nastává pro lokalizaci ani příliš úzkou, ani moc širokou, ale někde mezi
• Žádný H.O. tedy nemůže být úplně v klidu, vždy má nějakou kladnou energii
• Pro běžné oscilátory kolem nás – např. kyvadlo délky 30 cm má frekvenci ω = 5.7 rad/s, proto
kvantum energie ω je asi 6 × 10−34
J – naprosto zanedbatelná energie
• Ale pro molekuly atd. – nesrovnatelně vyšší frekvence: např. molekula HCl má „tuhost vazby
cca 480 N/m a redukovanou hmotnost 0,98 amu, tedy ω = 5 × 1014
Hz a kvantum tedy bude
ω = 0,3 eV
• Energie vibrací molekuly nemůže nabývat libovolných hodnot, ale jen diskrétních – dobře pozorovatelné
ve vibračních spektrech molekul
• Světlo – je ekvivalentní souboru H.O. Tedy celou teorii H.O. můžeme aplikovat na mód (způsob
kmitání) světla v dutině nebo i v otevřeném prostoru
• Důsledek – energie elektromagnetického pole se nemůže měnit po libovolně malých množstvích,
ale po kvantech o velikosti ω(= hν, kde ν je frekvence světla) – tzv. fotonech
• Stav |0 – tzv. vakuum – nejnižší možný stav, přesto je v něm nějaká energie a nenulová fluktuace
elektromagnetického pole
• Stav |n – stav s n fotony a ˆn – operátor počtu fotonů
• Můžeme mít stavy světla, které jsou superpozicí stavů s různým počtem fotonů, např. (|0 +
|1 )/
√
2
• Na základě předpokladu o kvantování světla lze odvodid Planckův vyzařovací zákon, který nám
říká, jak září žhavá tělesa; bez předpokladu kvantování pole bychom dostali nesmyslný výsledek,
tělesa by zářila nekonečně silně, celá fyzika by musela být jiná
• Fotoelektrický jev – jeho charakter rovněž prokazuje, že světlo interaguje s hmotou po kvantech,
tj. že světlo je kvantované
28
7 Aplikace
• Kmity krystalové mřížky – soubor spřažených oscilátorů, každý kmitový mód je kvantován; tato
kvanta – tzv. fonony, daly by se vznešeně nazvat „částice zvuku
• Vraťme se k vlastním stavům hamiltoniánu a uvažujme normovaný n-tý stav |n . Bude stav ˆa†
|n
také normovaný? Nikoli:
n|ˆaˆa†
|n = n|(ˆn + 1)|n = n + 1
• Stav ˆa†
|n tedy není normován a je roven
√
n + 1-násobku normovaného stavu |n + 1 :
ˆa†
|n =
√
n + 1 |n + 1 , ˆa|n =
√
n |n − 1
(druhá rovnice plyne z podobných úvah o stavu ˆa|n )
• Chceme-li nyní získat stacionární řešení Schrödingerovy rovnice v souřadnicové reprezentaci, stačí
si uvědomit, že ˆx → x, ˆp → −i ∂/∂x a proto
ˆa =
1
√
2
√
mω ˆx +
iˆp
√
mω
= √
2mω
mω
x +
∂
∂x
• Pro základní stav ψ0 s energií E = ω/2 platí ˆaψ0 = 0. Nalezneme jej tedy řešením diferenciální
rovnice
mω
xψ0(x) +
dψ0(x)
dx
= 0,
kterou řešíme separací proměnných. Po normování dostáváme vlnovou funkci základního stavu ve
tvaru
ψ0(x) = 4
mω
π
exp −
mωx2
2
• Neurčitosti souřadnice a hybnosti v tomto stavu jsou
∆x =
2mω
, ∆p =
mω
2
• Vlnové funkce dalších stacionárních stavů |1 , |2 , . . . získáme opakovanou aplikací operátoru ˆa†
na ψ0
• Fyzikální význam operátorů ˆa, ˆa†:
– Stav klasického harmonického oscilátoru je dán amplitudou A a fází ϕ, x(t) = (Aeiϕ) a lze ho
reprezentovat jako vektor (tzv. fázor) ve fázovém prostoru (x, p). Časový vývoj je reprezentován
oběhem tohoto bodu po elipse okolo počátku souřadnic fázového prostoru. Vhodným naškálováním
souřadnice a hybnosti (zavedním X = x
√
mω, P = p/
√
mω) lze docílit toho, že bod obíhá po
kružnici kolem počátku (X = 0, P = 0) úhlovou rychlostí ω:
X(t) = X(0) cos ωt + P(0) sin ωt, P(t) = −X(0) sin ωt + P(0) cos ωt
– Ekvivalentně lze reprezentovat stav harmonického oscilátoru tzv. fázorem – komplexním číslem
z = X + iP. Časový vývoj fázoru je dán jednoduchým vztahem z(t) = z(0)e−iωt
– Jak je to s kvantovým harmonickým oscilátorem?
29
7 Aplikace
– Kvůli symetrii ve fázovém prostoru nejprve zavedeme nové operátory ˆX, ˆP, které vzniknou ze
starých ˆx, ˆp stejným naškálováním jako v klasickém případě:
ˆX = ˆx
√
mω, ˆP =
ˆp
√
mω
, =⇒ ˆH =
ω
2
( ˆX2
+ ˆP2
)
– Zavedeme operátor fázoru ˆz = ˆX+i ˆP a k němu sdružený operátor ˆz† = ˆX−i ˆP. Vydělením faktorem
1/
√
2 pak
– Operátor ˆa je vlastně, až na faktor 1/
√
2 , kvantovým operátorem fázoru:
ˆa =
mω
2
ˆx +
i
√
2 mω
ˆp =
ˆX + i ˆP
√
2
=
ˆz
√
2
, ˆa†
=
ˆz†
√
2
• Shrnutí harmonického oscilátoru: jeho energie je kvantovaná, nejnižší hladina má kladnou energii
ω/2, každá další je vzdálena o ω od té předchozí, rozsáhlé důsledky v mnoha oblastech fyziky
7.2 Moment hybnosti
• Jedna z velmi důležitých a zajímavých veličin v kvantové fyzice
• Moment hybnosti (M.H.) je základní veličina požívaná při popisu atomů a molekul, úzce souvisí
s jejich energií
• Moment hybnosti částice bez vnitřní struktury je spojen s jejím pohybem (tj. její polohou a
hybností), jde o tzv. orbitální moment hybnosti ˆLo = ˆr × ˆp
• Existuje i vnitřní moment hybnosti, tzv. spin, který může být nenulový i tehdy, je-li částice v
klidu
• Budeme nyní zkoumat celkový moment hybnosti kvantového systému vzhledem k danému bodu,
bez rozlišování na orbitální nebo spinový
• Podobně jako operátor hybnosti zprostředkoval posunutí vlnové funkce, operátor M.H. zprostředkuje
její pootočení
• Kvantování momentu hybnosti plyne z vlastností našeho trojrozměrného prostoru při rotacích
• I skládání obyčejných rotací v prostoru je málo představitelné, v kvantové fyzice má dalekosáhlé
důsledky
• Při hledání vlastních stavů momentu hybnosti postupujeme algebraicky, obdobně jako u harmonického
oscilátoru
• Vyjdeme z komutačních relací pro operátory složek momentu hybnosti
[ˆLi, ˆLk] = i
3
l=1
εikl
ˆLl,
kde εikl je Levi-Civitův antisymetrický symbol. Tedy
[ˆLx, ˆLy] = i ˆLz, [ˆLy, ˆLz] = i ˆLx, [ˆLz, ˆLx] = i ˆLy
30
7 Aplikace
• Tyto komutační relace plynou z vlastností trojrozměrných těles při rotacích6
• Pro orbitální moment lze navíc komutační relace získat přímým výpočtem z jejich definice (viz
rovnice (11) v následujícím oddílu)
• Protože složky M.H. spolu nekomutují, nemohou současně všechny nabývat přesných hodnot kvůli
relacím neurčitosti7
• Když nemůžeme najít společné vlastní stavy dvou složek momentu hybnosti, zkusme to alespoň
pro jednu složku, např. ˆLz
8
• Ukazuje se ale, že zadání hodnoty samotného ˆLz by nestačilo k jednoznačnému určení stavu;
vezměme proto navíc čtverec velikosti momentu:
ˆL2
= ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z,
který komutuje se všemi složkami momentu: [ˆL2
, ˆLi] = 0; budeme hledat společné vlastní stavy
ˆL2
a Lz
• Definujme vzájemně sdružené operátory
ˆL+ = Lx + iLy, ˆL− = Lx − iLy
• Komutační relace
[ˆLz, ˆL+] = L+, [ˆLz, ˆL−] = − L−, [ˆL2
, ˆL±] = 0
• Předpokládejme, že jsme našli stav ψ, který je vlastním stavem jak ˆL2
, tak ˆLz:
ˆL2
ψ = λψ, ˆLzψ = γψ
• Co se stane, zapůsobíme-li na ψ operátorem ˆL+? Výsledkem bude opět vlastní stav jak ˆL2
, tak
ˆLz, což plyne z komutačních relací:
ˆL2 ˆL+ψ = ˆL+
ˆL2
ψ = λˆL+ψ, ˆLz
ˆL+ψ = ˆL+(ˆLz + )ψ = (γ + )ˆL+ψ,
tedy ˆL+ψ je vlastním stavem ˆL2
se stejnou vlastní hodnotou jako měl ψ a současně vlastním
stavem ˆLz s vlastní hodnotou o větší, než měl ψ.
• Podobně je tomu se stavem ˆL−ψ, ovšem vlastní hodnota ˆLz je o menší, než měl ψ.
• Máme tedy podobnou situaci jako u harmonického oscilátoru. Jakmile nalezneme nějaký vlastní
stav ˆL2
a ˆLz, můžeme vytvářet další a další vlastní stavy opakovaným působením ˆL± na ψ. Přitom
se mění vlastní hodnota ˆLz po skocích , ale vlastní hodnota ˆL2
se nemění
6
Moment hybnosti je generátorem rotace podobně jako hybnost je generátorem translace. Pokud nějaké těleso pootočíme
nejprve kolem osy o1 o úhel ϕ1 a potom kolem osy o2 o úhel ϕ2, dostaneme jinou polohu tělesa, než když rotace
provedeme v opačném pořadí. V případě, že o1 je osa x a o2 je osa y a ϕ1, ϕ2 1, liší se obě výsledné polohy tělesa
natočením kolem osy z o úhel ϕ1ϕ2. To se v kvantové mechanice odráží ve faktu, že [ˆLx, ˆLy] = ˆLx
ˆLy − ˆLy
ˆLx = i ˆLz
7
jedinou výjimkou je případ, kdy všechny složky L jsou rovny nule; pak je na pravé straně relace neurčitosti (7) nula,
proto mohou jednotlivé veličiny mít současně přesnou hodnotu
8
vše, co bude následovat, by fungovalo i pro složky ˆLx a ˆLy; samotnou osu z můžeme vybrat zcela libovolně, nezávisle
na vnějších podmínkách
31
7 Aplikace
• Ovšem časem jistě nastane situace, kdy čtverec vlastní hodnoty ˆLz přeroste vlastní hodnotu ˆL2
,
což by bylo divné, neboť ˆL2
= ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z. Proto asi dojde k podobnému „useknutí jako u
harmonického oscilátoru
• Abychom to ukázali řádně, využijeme identit
ˆL+
ˆL− = ˆL2
− ˆL2
z + ˆLz, ˆL−
ˆL+ = ˆL2
− ˆL2
z − ˆLz
• Protože ˆL− a ˆL+ jsou vzájemně sdružené, platí pro normu vektorů ˆL+ψ a ˆL−ψ následující vztahy:
0 ≤ ||ˆL±ψ||2
= ψ|ˆL ˆL±|ψ = ψ|(ˆL2
− ˆL2
z
ˆLz)|ψ = λ − γ2
γ (10)
• Tedy λ ≥ γ(γ ± ).
• Zřejmě platí λ ≥ 0 9
, proto položíme λ = 2
j(j + 1), kde j je nějaké nezáporné reálné číslo. K
jakémukoli λ ≥ 0 lze nalézt j ≥ 0 tak, aby to platilo.
• Zároveň položíme γ = m, kde m je nějaké reálné číslo.
• Z nerovností λ ≥ γ(γ ± ) pak plyne, že
j(j + 1) ≥ m(m + 1), j(j + 1) ≥ m(m − 1) ⇒ −j ≤ m ≤ j
• Opakovaným působením operátoru ˆL+ na ψ stále zvětšujeme m, ale j zůstává konstantní. Jakmile
nastane m > j, musí už být příslušný stav nulovým vektorem, jinak bychom měli spor s faktem,
že m ≤ j.
• Zároveň podle rovnice (10) víme, že toto nastane, právě když platí rovnost λ − γ2
− γ = 0 neboli
m = j. Pro dané j tedy budou možné hodnoty m tyto: j, j − 1, j − 2, . . .
• Podobnými úvahami o L− zjistíme, že další možné hodnoty m jsou m = −j, −j + 1, . . .
• Tyto dvě řady musejí navazovat, proto rozdíl j − (−j) = 2j musí být celočíselý.
• Proto j může nabývat hodnot 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . a pro dané j může m nabývat hodnot −j, −j +
1, . . . , j − 1, j
• Možné kombinace m, j tedy jsou:
j m
0 0
1
2
−1
2
, 1
2
1 −1, 0, 1
3
2
−3
2
, −1
2
, 1
2
, 3
2
2 −2, −1, 0, 1, 2
5
2
−5
2
, −3
2
, −1
2
, 1
2
, 3
2
, 5
2
3 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
...
...
• Toto kvantování momentu hybnosti má dalekosáhlé důsledky, např. pro rotační spektra molekul,
stavy elektronů v atomu, výběrová pravidla pro přechod mezi stavy atd.
9
lze to ukázat třeba tak, že pro stav |ψ (je-li normován) platí λ = ψ|ˆL2
|ψ = ψ|ˆL2
x|ψ + ψ|ˆL2
y|ψ + ψ|ˆL2
z|ψ a každý
z posledních třech členů je nezáporný – např. ψ|ˆL2
x|ψ = | Lx|ψ |2
atd.
32
7 Aplikace
7.2.1 Orbitální moment hybnosti
• Budeme zkoumat orbitální moment hybnosti spojený s pohybem částice (nikoli s jejím spinem):
ˆL = ˆr × ˆp, tedy
ˆLx = ˆyˆpz − ˆzˆpy
ˆLy = ˆzˆpx − ˆxˆpz (11)
ˆLz = ˆxˆpy − ˆyˆpx
• Budeme hledat vlnové funkce částice, která je ve společném vlastním stavu operátorů ˆL2
a Lz
(moment hybnosti vztahujeme k počátku soustavy souřadnic)
• Od obecného algebraického popisu přejdeme k popisu v souřadnicové reprezentaci
• Chceme-li najít vlastní stavy ˆL2
a Lz v souřadnicové reprezentaci, přejdeme nejprve ke sférickým
souřadnicím, které jsou pro popis momentu hybnosti vhodnější než kartézské:
x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ,
• V těchto souřadnicích lze kartézské složky operátoru momentu ˆL a operátory ˆL2
a ˆL± vyjádřit
takto:
ˆLx = i sin ϕ
∂
∂θ
+ cot θ cos ϕ
∂
∂ϕ
ˆLy = i − cos ϕ
∂
∂θ
+ cot θ sin ϕ
∂
∂ϕ
ˆLz = −i
∂
∂ϕ
ˆL2
= − 2 1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin2
θ
∂2
∂ϕ2
ˆL+ = eiϕ ∂
∂θ
+ i cot θ
∂
∂ϕ
ˆL− = e−iϕ
−
∂
∂θ
+ i cot θ
∂
∂ϕ
všimněme si, že žádný z operátorů neobsahuje derivaci podle r; to znamená, že radiální závislost
vlnové funkce nemá vliv na moment hybnosti
• Už víme, že existují společné vlastní stavy ˆL2
a Lz indexované kvantovými čísly j, m. Označme
jejich vlnovou funkci ve sférických souřadnicích jako Yjm(θ, ϕ) (závislost na r prozatím neuvažu-
jeme)
• Platí tedy ˆLzYjm(θ, ϕ) = mYjm(θ, ϕ) a proto
∂Yjm
∂ϕ
= imYjm ⇒ Yjm(θ, ϕ) = Pjm(θ)eimϕ
(12)
• Můžeme mít m poločísené? Nikoli: chceme-li, aby Yjm(θ, ϕ) byla jednoznačná funkce, pak musí
být periodickou funkcí úhlu ϕ s periodou 2π. Vzhledem k faktoru eimϕ
pak m musí být celé číslo,
m = 0, ±1, ±2, . . . , a následkem toho i j musí být celé, j = 0, 1, 2, . . .
33
7 Aplikace
• Toto odlišuje orbitální moment od spinového nebo celkového momentu hybnosti – spinový nebo
celkový může být celočíselný i poločíselný, orbitální jen celočíselný
• Kvantové číslo j se v případě orbitálního momentu většinou značí jako l, máme tedy funkce
Ylm(θ, ϕ), Plm(θ) atd.
• Jak najdeme Plm(θ)? Snadné to bude pro Pll(θ), protože víme, že musí platit ˆL+Yll = 0:
0 = ˆL+Yll = eiϕ ∂
∂θ
+ i cot θ
∂
∂ϕ
Pll(θ)eilϕ
• Odtud pak dostaneme
dPll
dθ
= l cot θPll ⇒ Pll(θ) = cl sinl
θ,
kde cl je normovací konstanta
• Po normování pak dostáváme pro Yll
Yll(θ, ϕ) =
(−1)l
2ll!
(2l + 1)!
4π
sinl
θ eilϕ
• Další stavy Ylm(θ, ϕ) s m < l dostaneme postupnou aplikací snižovacího operátoru ˆL− na stav
Yll(θ, ϕ)
• Takto získáme (včetně normování)
Ylm(θ, ϕ) =
(−1)l
eimϕ
2ll! sinm
(θ)
(2l + 1)!
4π
(l + m)!
(l − m)!
d
d cos θ
l−m
sin2l
θ
• Prvních několik normovaných Ylm:
Y00 =
1
4π
,
Y10 =
3
4π
cos θ, Y1,±1 =
3
8π
sin θ e±iϕ
,
Y20 =
5
16π
(3 cos2
−1), Y2,±1 =
15
8π
sin θ cos θ e±iϕ
, Y2,±2 =
15
32π
sin2
θ e±2iϕ
,
• Jak je to s radiální částí vlnové funkce? Ta může být libovolná, protože r v operátoru ˆL vůbec
nevystupuje. Celkové vlnové funkce pak budou součiny Ylm(θ, ϕ) s libovolnou funkcí R(r)
7.3 Atom vodíku
• Řešíme úlohu o pohybu elektronu v přitažlivém centrálním poli s potenciální energií V = −α/r,
kde α = e2
/4πε0
34
7 Aplikace
• Stacionární Schrödingerova rovnice má tvar
−
2
2me
∆ψ −
e2
4πε0r
ψ = Eψ, (13)
kde ∆ je Laplaceův operátor
∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂x2
≡ ∂2
x + ∂2
y + ∂2
z
• Vzhledem k symetrii potenciálu budeme rovnici řešit ve sférických souřadnicích, kde je nejjednodušší
tvar potenciálu. Převedeme Laplaceův operátor ∆ do těchto souřadnic:
∆ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
1
r2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin2
θ
∂2
∂ϕ2
• Je zajímavé, že operátor čtverce orbitálního momentu hybnosti ˆL2
= ˆL2
x + ˆL2
y + ˆL2
z má podobný
tvar jako druhá část Laplaceova operátoru, až na faktor −1/ 2
r2
:
ˆL2
= − 2 1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin2
θ
∂2
∂ϕ2
• Pak můžeme Schrödingerovu rovnici přepsat takto:
−
2
2mer2
∂
∂r
r2 ∂ψ
∂r
+
ˆL2
2mer2
ψ −
e2
4πε0r
ψ = Eψ (14)
• Rovnici budeme řešit separací proměnných – předpokládáme, že řešení je ve tvaru součinu radiální
a úhlové funkce:
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ)
• Dosazením do rovnice (14), vydělením ψ a vynásobením 2mr2
dostaneme
ˆL2
Y
Y
=
2
R
∂
∂r
r2 ∂R
∂r
+ 2mr2
E +
e2
4πε0r
• Levá strana nyní závisí na ϕ, θ, pravá pak jen na r. Proto se obě musejí rovnat téže společné
konstantě λ. Tato podmínka nám dává dvě diferenciální rovnice
ˆL2
Y = λY (15)
2 ∂
∂r
r2 ∂R
∂r
+ 2mer2
E +
e2
4πε0r
R = λR, (16)
• Úhlová část: Tím, že v rovnici (15) vystupuje operátor momentu hybnosti, je to vlastně rovnice
pro nalezení vlastních stavů L2
, což jsme již řešili; řešeními jsou nám již známé funkce Ylm(θ, ϕ),
vlastními hodnotami pak λ = 2
l(l + 1), kde l = 0, 1, 2, . . .
• Radiální část: rovnici (16) snadno upravíme za použití λ = 2
l(l + 1) takto
−
2
2mer2
∂
∂r
r2 ∂R
∂r
+
2
l(l + 1)
2mer2
R −
e2
4πε0r
R = ER (17)
35
7 Aplikace
• Pro lepší představu, jak asi budou vypadat řešení této rovnice, nahradíme funkci R(r) novou
funkcí v(r) pomocí substituce R = v
r
a přepíšeme rovnici (17) takto:
−
2
2me
d2
v
dr2
+
2
l(l + 1)
2mer2
−
e2
4πε0r
v = Ev,
• Tato rovnice se dá chápat jako rovnice pro pohyb částice v jedné dimenzi v efektivním potenciálu
Vef =
2
l(l + 1)
2mer2
−
e2
4πε0r
,
což je stejný potenciál, jako se dostane při řešení pohybu klasické částice v Coulombovském poli
jádra (jen místo L2
v klasickém případě máme nyní 2
l(l + 1), což je ovšem skoro totéž, protože
2
l(l + 1) je vlastní hodnota právě operátoru ˆL2
)
• Vrátíme se nyní k rovnici (17) a zavedeme substituce
r =
2
m
4πε0
e2
ρ, E = −
e2
4πε0
2
m
2
ε, R =
u
ρ
• Rovnici tak převedeme na
d2
u
dρ2
+
2
ρ
−
l(l + 1)
ρ2
− u = 0
• Úvahami o asymptotickém chování funkce u(ρ) při ρ → 0 a ρ → ∞ dostaneme
u(ρ) = ρl+1
e−
√
ρ
f(ρ),
kde f(ρ) hledáme ve tvaru mocninné řady f(ρ) = ∞
i=0 aiρi
• Dalšími úvahami dojdeme k tomu, že u mocninná řada pro f(ρ) musí být konečná
• Nakonec zpětným přechodem k R dostaneme
Rnl(ρ) =
1
ρ
ρl+1
e−
√
ρ
f(ρ),
kde f(ρ) je polynom stupně n − l − 1, kde n ∈ N, n > l (tzv. přidružený Laguerrův polynom)
• n se nazývá hlavní kvantové číslo
• Hodnota hlavního kvantového čísla n pro dané l může být l + 1, l + 2, . . .
• Tedy pro dané n existuje n možných hodnot l: 0, 1, 2, . . . , n − 1
• Prvních několik radiálních funkcí Rnl:
R10(r) = 2
1
a0
3/2
e−r/a0
,
R20(r) = 2
1
2a0
3/2
1 −
r
2a0
e−r/2a0
, R21(r) =
1
√
3
1
2a0
3/2
r
a0
e−r/2a0
,
kde a0 = 4πε0
2
/mee2
= 0,53 × 10−10
m je tzv. Bohrův poloměr atomu (přirozená jednotka délky
v atomu vodíku)
36
7 Aplikace
• Vlastní hodnoty energie jsou pak
Enl = −
e2
4πε0
2
me
2 2
1
n2
(18)
• Konstanta v hranaté závorce – 1 Rydberg (R), R = 13,6 eV, je to ionizační energie atomu vodíku
v základním stavu
• Energie závisí jen na n, ale nikoli na l, natožpak na m. Energiové hladiny v atomu vodíku jsou
tedy silně degenerované
• Degenerace energie vzhledem k l není samozřejmá a souvisí s tvarem Coulombovského potenciálu
V = −α/r; pro jiný potenciál by energie závisela i na l. Něco podobného nastává i v klasické
mechanice – jen pro potenciál V = −α/r dostaneme pohyb po uzavřených trajektoriích (elipsách);
pro jiný potenciál by se trajektorie neuzavřely
• Stacionární stavy, které jsme hledali, mají tedy celkovou vlnovou funkci
ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)
• Spin – Jestliže ještě uvážíme, že elektron má spin 1/2, bude vázaný stav elektronu v atomu vodíku
určen čtyřmi kvantovými čísly n (hlavní), l (vedlejší), m (magnetické), s (spinové), jejichž rozsahy
jsou n = 1, 2, 3, . . . ; l = 0, 1, . . . , n − 1; m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l; s = ±1/2, a energie závisí
pouze na n podle vztahu (18)
• Shrneme-li všechny možné kombinace kvantových čísel n, l, m, s elektronu v atomu vodíku, dostaneme
tuto tabulku
n l m s
1 0 0 ±1/2
2 0 0 ±1/2
1 −1, 0, 1 ±1/2
0 0 ±1/2
3 1 −1, 0, 1 ±1/2
2 −2, −1, 0, 1, 2 ±1/2
0 0 ±1/2
4 1 −1, 0, 1 ±1/2
2 −2, −1, 0, 1, 2 ±1/2
3 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ±1/2
. . .
• Při značení stavů elektronů v atomu se vedlejší kvantové číslo nahrazuje písmenem podle klíče
0 → s, 1 → p, 2 → d, 3 → f atd., takže např. stav 3p značí stav s n = 3 a l = 1.
37
8 Přibližné metody
8 Přibližné metody
8.1 Poruchová teorie
• Ne vždy dokážeme přesně vyřešit Schrödingerovu rovnici, ať už stacionární či nestacionární
• Byla by ale škoda, kdyby to znamenalo, že o kvantovém systému nic nedokážeme říci
• Někdy dokážeme Schrödingerovu rovnici řešit pro podobnou, ale trochu jednodušší situaci
• Příklad: umíme pěkně analyzovat atom vodíku bez vnějšího elektromagnetického pole. Jak se
situace změní, když jej dáme do homogenního elektrického pole?
• Přidané pole bude jistě slabé proti Coulombovskému poli jádra (pole protonu ve vzdálenosti
Bohrova poloměru má velikost asi 6 × 1011
V/m). Proto řešení Schrödingerovy rovnice bude asi
docela podobné řešení bez pole
• Přidané pole můžeme nazvat „poruchou , nový Hamiltonův operátor pak „porušeným oproti
původnímu, „neporušenému
• Hledáme rozvoj řešení Schrödingerovy rovnice s porušeným hamiltoniánem pomocí řešení s neporušeným,
přičemž rozvíjíme do prvního, druhého atd. řádu podle velikosti poruchy
• Někdy nás zajímá, jak se posunou energiové hladiny (vlastní hodnoty hamiltoniánu). Tím se
zabývá stacionární poruchová teorie
• Jindy chceme vědět, zda přidané pole či interakce nezpůsobí třeba přechod systému do jiného
stavu, než v jakém se původně nacházel. Tím se zabývá nestacionární poruchová teorie
8.1.1 Stacionární poruchová teorie
• Hamiltonián systému:
ˆH = ˆH0 + λ ˆG,
kde ˆH0 je neporušený hamiltonián a ˆG je porucha. Malost poruchy vyjádříme malým parametrem
λ
• Předpokládejme, že známe vlastní stavy (funkce) hamiltoniánu ˆH0:
ˆH0ψn = Enψn, n = 1, 2, . . .
které tvoří bázi Hilbertova prostoru. Navíc předpokládeme, že energiové hladiny nejsou degenerované,
tedy že En = Em pro m = n
• Rozložme zatím neznámou vlastní funkci ψm hamiltoniánu ˆH v bázi těchto ψn:
ψm =
n
cmnψn
• Protože ψm je vlastní stav ˆH, platí
ˆHψm = Emψm (19)
38
8 Přibližné metody
• Abychom nějak využili toho, že porucha je malá (malé λ), budeme cmn i Em hledat ve tvaru řady,
jejíž jednotlivé členy odpovídají jednotlivým řádům v malosti poruchy:
cmn = c(0)
mn + λc(1)
mn + λ2
c(2)
mn + . . . , Em = E(0)
m + λE(1)
m + λ2
E(2)
m + . . .
(čárku u členů řady pro E už nepíšeme)
• Zatím jsme nic nepředpokládali o stavu ψm. Budeme tedy předpokládat, že při vymizení poruchy
(λ = 0) by stav ψm splýval se stavem ψm, tedy že ψm je porušený stav ψm. To dává podmínku
c
(0)
mn = δmn, kde δmn je Kroneckerovo delta rovné nule pro m = n a rovné jedné pro m = n. Navíc
jistě bude E
(0)
m = Em.
• Spočítejme levou stranu rovnice (19):
ˆHψm = ( ˆH0 + λ ˆG)
n
(δmn + λc(1)
mn + λ2
c(2)
mn + . . . )ψn
=
n
δmnEnψn + λ
n
c(1)
mnEnψn + δmn
ˆGψn + λ2
· · · + . . .
(uspořádali jsme členy podle mocnin λ)
• A dále počítáme pravou stranu rovnice (19):
ˆHψm = Emψm = (E(0)
m + λE(1)
m + λ2
E(2)
m + . . . )
n
(δmn + λc(1)
mn + λ2
c(2)
mn + . . . )ψn
=
n
δmnE(0)
m ψn + λ
n
c(1)
mnE(0)
m + δmnE(1)
m ψn + λ2
· · · + . . .
• Porovnáním členů u stejné mocniny λ v obou rovnicích nyní zjistíme něco o c
(k)
mn a E
(k)
m .
• Nultý řád nám řekne jen to, co už víme:
n
δmnEnψn =
n
δmnE(0)
m ψn ⇒ E(0)
m = Em
• První řád je zajímavější:
n
c(1)
mnEnψn + δmn
ˆGψn =
n
c(1)
mnE(0)
m + δmnE(1)
m ψn
• Odtud dostaneme
n
c(1)
mn(En − Em)ψn = (E(1)
m − ˆG)ψm
• Abychom se zbavili stavů ψn a dostali rovnice jen pro c
(1)
mn a E
(1)
m , vynásobíme rovnici zleva skalárně
stavem ψm. S využitím ortonormality stavů ψn to dá 0 = E
(1)
m − ψm| ˆG|ψm , tj.
E(1)
m = ψm| ˆG|ψm ,
a tedy oprava prvního řádu k energii m-tého stavu je rovna střední hodnotě poruchy v tomto
stavu
39
8 Přibližné metody
• Nyní rovnici vynásobíme zleva skalárně stavem ψk, kde k = m. To dá
n
c(1)
mn(En − Em)δkn = − ψk| ˆG|ψm ⇒ c
(1)
mk =
ψk| ˆG|ψm
Em − Ek
(20)
• Poruchová teorie bude fungovat dobře, jestliže |cmk| je pro k = m malé proti jedničce, tj. jestliže
| ψk|λ ˆG|ψm | |Em − Ek|
• V první aproximaci teorie poruch tedy platí
ψm = ψm +
n=m
ψn|ˆλG|ψm
Em − En
ψn, Em = Em + ψm|λ ˆG|ψm
• Další řád dostaneme tak, že porovnáme členy s λ2
• Čím vyšší řád, tím jemnější opravy dostáváme
• Příklad: Částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě
– Neporušená situace – jáma se rozprostírá od 0 do a, tedy uvnitř intervalu 0, a je potenciál
roven nule, vně intervalu pak +∞
Porucha – na intervalu a−b
2
, a+b
2
přidáme slabý potenciál V
– Neporušené vlastní funkce hamiltoniánu a odpovídající energie jsou
ψn(x) =
2
a
sin
nπx
a
, En =
π2 2
2ma2
n2
(n = 1, 2, . . . )
– První oprava k energii bude E
(1)
n = ψn|G|ψn :
E(1)
n = ψn|G|ψn =
2V
a
a+b
2
a−b
2
|ψn(x)|2
dx =
V b
a
−
V
nπ
cos nπ sin
nπb
a
– Pro malý poměr nb
a
bude sin nπb
a
≈ nπb
a
, zároveň cos nπ = (−1)n
, takže pro malá b bude
E(1)
n = 2V
b
a
(n liché)
E(1)
n = 0 (n sudé)
– Pro malá b tedy posun energie tedy nenastane pro sudé hladiny, kterým odpovídají vlnové
funkce s nulovou hodnotou v bodě x = a
2
. Nemůžeme se divit, že se tyto hladiny vlivem
poruchy neposunou – ve stavech se sudým n si částice ani „nevšimne , že se objevil přídavný
(poruchový) potenciál, protože se v místě objevení poruchy (x = a
2
) nevyskytuje. U lichých n
se ale částice v místě objevení poruchy (x = a
2
) vyskytuje s velkou pravděpodobností, proto
porucha její stav (a energii) ovlivní silně.
– Koeficienty c
(1)
mk:
c
(1)
mk =
2V
a(Em − Ek)
a+b
2
a−b
2
ψ∗
k(x)ψm(x) dx
40
8 Přibližné metody
– Při výpočtu se ukáže, že c
(1)
mk je nenulové jen tehdy, když m i k jsou obě lichá čísla. V tomto
případě (při b a) pak
c
(1)
mk =
2V
Em − Ek
b
a
(−1)
m−k
2
– Je vidět, že s rostoucím |m − k| bude velikost c
(1)
mk klesat kvůli rostoucímu výrazu Em − Ek
ve jmenovateli
8.1.2 Stacionární poruchová teorie – degenerovaný případ
• Důležitý je případ, že některé energiové hladiny neporušeného hamiltoniánu jsou degenerované
(jako např. v atomu vodíku – o energii rozhoduje jen kvantové číslo n, nikoli l či m).
• Porucha mění energii těchto degenerovaných hladin a může se stát, že tato změna bude různá pro
různé stavy v rámci jedné degenerované hladiny
• Je zřejmé, že výše vysvětlený postup nemůžeme přímo použít, protože např. v rovnici (20) by nám
vyšly ve jmenovateli některých členů nuly právě kvůli degenerovaným vlastním hodnotám energie
• Výběr bázových stavů s danou energií není jednoznačný, lze vybrat různé lineární kombinace
• Je třeba nalézt takové bázové stavy, které se pod vlivem poruchy nezačnou „míchat .
• Index i nám bude rozlišovat jednotlivé stavy s toutéž energií:
ˆH0ψ(i)
n = Enψ(i)
n
– například u atomu vodíku by i rozlišovalo hladiny s různými l, m
• Rozložme neznámou vlastní funkci ψm hamiltoniánu ˆH v bázi těchto ψ
(i)
n :
ψm =
i
αiψ(i)
m + λ
n
c(1)
mn
i
βiψ(i)
n + . . .
• Přibyly nám neznámé koeficienty αi, βi atd., což je odrazem skutečnosti, že zatím nevíme, které
by měly být ty „pravé stavy
• Dosazením do rovnice (19) a skalárním násobením s ψ
(j)
m dostaneme
i
αi ψ(j)
m |λ ˆG|ψ(i)
m = λE(1)
m αj
• Za předpokladu, že bychom znali E
(1)
m , je to soustava homogenních lineárních rovnic pro αi, která
má vždy nulové řešení. Nás ale zajímá řešení nenulové, které existuje, právě když jsou rovnice závislé,
tj. odpovídající determinant je roven nule (zcela analogická situace jako při hledání vlastních
frekvencí soustavy spřažených oscilátorů)
• Označíme-li gji = ψ
(j)
m | ˆG|ψ
(i)
m , vede tato podmínka na vynulování determinantu
g11 − E
(1)
m g12 . . . g1d
g21 g22 − E
(1)
m . . . g2d
...
...
...
gd1 gd2 . . . gdd − E
(1)
m
= 0, (21)
kde d je dimenze podprostoru vlastních stavů ˆH0 s energií Em
41
8 Přibližné metody
• Tato rovnice nám dá d hodnot E
(1)
m , což jsou opravy prvního řádu k neporušené energii Em
• Tyto opravy jsou obecně různé, takže původně degenerovaná hladina se rozštěpí na několik
(maximálně d) hladin – říkáme, že porucha snímá degeneraci
• Nalezením kombinací (α(1)
, α(2)
, . . . , α(d)
) dostaneme „správné stavy neporušeného hamiltoniánu,
které se poruchou v první aproximaci již nemíchají
• Pro ty zvídavější – šlo vlastně o diagonalizaci poruchy ˆG v podprostoru vlastních stavů ˆH0 s
energií Em
• Praktická aplikace – např. atom vodíku v homogenním elektrickém nebo magnetickém poli už
nemá hladiny tolikrát degenerované jako měl bez pole, dochází k jejich rozštěpení a tedy i k
rozštěpení spektrálních čar ve světle vysílaném atomem
• Pro aplikaci poruchové teorie na atom vodíku ale ani není třeba dávat atom do vnějšího pole;
ve skutečnosti hamiltonián pro atom vodíku, který jsme použili v rovnici (13), není zcela přesný.
Pro jeho zpřesnění by bylo třeba zahrnout tzv. relativistickou korekci kinetické energie T, protože
přesný vztah je
T = m2c4 + p2c2 − mc2
=
p2
2m
−
p4
8m3c2
+ . . .
a člen −p4
/8m3
c2
lze chápat jako poruchu. Výsledkem prvního řádu poruchové teorie pak je
E
(1)
n,l = −
E2
n
2mc2
4n
l + 1/2
− 3
– vidíme, že energie již závisí na l a tedy sejmula se degenerace. Podobně by bylo třeba zahrnout
tzv. spin-orbitální interakci a také hyperjemnou strukturu vlivem interakce spinu jádra se spinem
elektronu, což by dalo další štěpení hladin
• Rozštěpení hladin atomu v elektrickém poli – tzv. Starkův jev, v magnetickém poli – Zeemanův
jev
8.1.3 Nestacionární (na čase závislá) poruchová teorie
• Zajímá nás nyní situace, kdy hamiltonián závisí explicitně na čase (jako např. v případě elektronu
v proměnném elektromagnetickém poli)
• Nezajímáme se tolik o stacionární stavy (protože ty vlastně ani neexistují, neboť se hamiltonián
mění), ale spíše o to, jak se daný stav bude měnit s časem
• Hamiltonián systému:
ˆH(t) = ˆH0 + λ ˆG(t),
kde ˆH0 je časově neměnný neporušený hamiltonián a ˆG(t) je porucha obecně závislá na čase.
• K rozkladu obecné vlnové funkce ψ(t) budeme používat stacionární stavy neporušeného hamiltoniánu
ˆH0 včetně jejich časové závislosti:
ˆH0ψn = Enψn, ψn(t) = ψne−iEnt/
, n = 1, 2, . . .
Opět předpokládeme, že energiové hladiny nejsou degenerované
42
8 Přibližné metody
• Rozložme vlnovou funkci ψ(t) v bázi těchto stavů ψn(t):
ψ(t) =
n
cn(t)ψn(t)
• Ze Schrödingerovy rovnice i ˙ψ(t) = ˆHψ(t) dostaneme
i
n
ψn
dcn
dt
= λ
n
cn
ˆG(t)ψn (22)
• Skalárním vynásobením se stavem ψm(t) pak
i
dcm
dt
= λ
n
ψm(t)| ˆG(t)|ψn(t) cn = λ
n
Gmn(t) ei(Em−En)t/
cn, (23)
kde Gmn(t) = ψm(0)| ˆG(t)|ψn(0) je maticový element poruchy ˆG(t)
• Předpokládejme, že se systém původně (v čase t = 0) nacházel ve stavu ψk. Jaký bude jeho
přibližný časový vývoj?
• Napišme cn(t) = δnk + λc
(1)
n (t), přičemž c
(1)
n (0) = 0 (neboť v čase t = 0 je systém ve stavu ψk)
Dosazením do (23) a porovnáním členů s první mocninou λ dostáváme
i
dc
(1)
m
dt
= Gmk(t) ei(Em−Ek)t/
(24)
– toto je důležitý výsledek: je vidět, že systém bude přecházet ze stavu ψk do stavu ψm tím rychleji,
čím větší je maticový element ψm(t)| ˆG(t)|ψk(t) ; pokud bude tento element nulový, nebude systém
v prvním přiblížení přecházet vůbec10
• Tuto rovnici můžeme integrovat:
c(1)
m (t) = −
i t
0
Gmk(t )ei(Em−Ek)t /
dt (25)
Integrál jsme vzali jako určitý s dolní mezí rovnou nule, čímž automaticky započítáváme počáteční
podmínku c
(1)
m (0) = 0
• Kdy bude tento koeficient významně růst s časem (a tedy systém přecházet na m-tou hladinu)?
Jen tehdy, když maticový element Gmk(t) se bude měnit s frekvencí blízkou ωmk = (Em − Ek)/ ;
jinak vlivem rychle oscilujícího členu ei(Em−En)t /
bude integrál stále malý
• Z toho je vidět, že aby systém s rozumnou pravděpodobností přešel z nějaké hladiny na jinou
hladinu vzdálenou o ∆E, musí být porucha periodická s frekvencí blízkou ∆E/ (viz následující
příklad)
• Příklad – harmonická porucha
– Typická situace – atom v poli monochromatického elektromagnetického záření (např. z laseru)
10
může ovšem přecházet ve druhém přiblížení, což odpovídá přechodu přes některý třetí stav, tedy přechodu ψk →
ψl → ψm
43
8 Přibližné metody
– poruchu budeme předpokládat ve tvaru ˆG = ˆFe−iωt
+ ˆF†
eiωt
, kde ˆF je na čase nezávislý
operátor. Potřebujeme oba členy, aby byl výsledný operátor ˆG hermitovský
– Integrál (25) lze snadno spočítat:
c(1)
m (t) = −
i
Fmk
t
0
ei(ωmk−ω)t
dt −
i
F∗
km
t
0
ei(ωmk+ω)t
dt
=
Fmk 1 − ei(ωmk−ω)t
(ωmk − ω)
+
F∗
km 1 − ei(ωmk+ω)t
(ωmk + ω)
(26)
– Koeficient osciluje s frekvencí odpovídající „rozladění – Rabiho oscilace
– Tento výraz pro c
(1)
m (t) lze samozřejmě použít, jen je-li ωmk ± ω = 0, tedy Em − Ek = ± ω;
pro Em − Ek = ± ω ale lze výrazy dodefinovat jejich limitami
lim
ω→ωmk
Fmk 1 − ei(ωmk−ω)t
(ωmk − ω)
= −
iFmk
t
lim
ω→−ωmk
F∗
km 1 − ei(ωmk+ω)t
(ωmk + ω)
= −
iF∗
km
t (27)
– Pravděpodobnost přechodu na hladinu m, kde m = k, spočteme snadno jako Pm(t) =
|cm(t)|2
= |c
(1)
m (t)|2
– Uvažujme nyní situaci, kdy energiová hladina Ek, na které byl systém původně, leží v diskrétním
spektru, zatímco energie Ek + ω leží již ve spojitém spektru
– Budeme nyní hladiny ve spojitém spektru indexovat spojitou proměnnou ν na rozdíl od
diskrétního indexu m
– Navíc ve výrazu (26) pro cm zanedbáme druhý člen proti prvnímu, protože Eν − Ek + ω je
velké proti Eν − Ek − ω. Tak pro pravděpodobnost přechodu Pν(t) dostaneme
Pν(t) = |c(1)
ν (t)|2
= |Fνk|2 |1 − ei(ωνk−ω)t
|2
2(ωνk − ω)2
= 4|Fνk|2 sin2 (ωνk−ω)t
2
2(ωνk − ω)2
(28)
– Zkoumejme nyní tento výraz pro velká t. Jak se lze přesvědčit, platí
lim
t→∞
sin2
αt
πtα2
= δ(α), (29)
– Pomocí rovnice (29) můžeme pro velká t přepsat vztah (28) jako
Pν(t) =
π|Fνk|2
t
2
δ
ωνk − ω
2
. (30)
S využitím vlastnosti δ-funkce δ(ax) = δ(x)/|a| a toho, že ωνk = Eν − Ek, dostaneme
Pν(t) =
2π|Fνk|2
t
δ(Eν − Ek − ω) (31)
– Pro dlouhé časy je tedy pravděpodobnost přechodu nenulová pouze do stavu, který leží energeticky
přesně o ω výše než energie, kterou měl systém původně. Tato skutečnost je známa spíše
obráceně – při přechodu mezi dvěma energiovými hladinami lišícími se o energii ∆E září systém
na frekvenci ω = ∆E/
44
8 Přibližné metody
– Rovnice (31) vyjadřuje tzv. Fermiho zlaté pravidlo pro pravděpodobnost přechodu pod
vlivem periodické poruchy
– Spočítáme nyní pravděpodobnost, že systém za čas t přejde někam do okolí hladiny Em + ω,
ale nezajímá nás, kam přesně
– K tomu budeme integrovat pravděpodobnost Pν(t) přes ν v intervalu obsahujícím takové ν0,
aby Eν0 = Ek + ω. Za index ν nyní bereme přímo energii Eν:
P(t) = Pν(t) =
2π|Fνk|2
t
δ(Eν − Ek − ω) dν =
2π|FEk+ ω,Ek
|2
t
(32)
Zde jsme kvůli jasnosti zavedli označení FEk+ ω,Ek
pro maticový element operátoru ˆF mezi
stavy s energiemi Ek + ω a Ek (původní označení bylo Fνk).
– Rovnice (32) nám říká, že se pravděpodobnost přechodu s časem neustále lineárně zvyšuje.
Po určitém čase t by tedy měla jistě převýšit jedničku, což je ovšem nesmysl. Jak to tedy je?
– Skutečná pravděpodobnost přechodu jistě nikdy nebude větší než jedna. Problém s formulí
(32) je v tom, že jde jen o první aproximaci teorie poruch a nejedná se tedy o přesnou
celkovou pravděpodobnost. Ve skutečnosti je rovnice (32) dobrou aproximací tehdy, jestliže
jí vyjádřená celková pravděpodobnost je mnohem menší než 1. Jakmile se P(t) začne blížit
k jedné, musíme vzít další členy teorie poruch, které nám pravděpodobnost zase „srazí .
• Příklad – porucha ve formě předaného impulzu síly pro harmonický oscilátor
– uvažujme harmonický oscilátor s hamiltoniánem (8) a poruchu ve formě potenciálu −λˆx/∆t,
která začne působit v okamžiku t = 0 a přestane v okamžiku t = ∆t, přičemž ∆t 1/ω
– protože je poruchová potenciální energie úměrná souřadnici, jde o homogenní silové pole,
tedy vlastně o konstantní sílu F = λ/∆t; tato síla na částici působí po dobu ∆t, takže
bychom intuitivně mohli očekávat, že jí předá hybnost F∆t = λ
– předpokládejme, že je systém v čase t = 0 v základním stavu |0 ; pak dosazením do rovnice
(25) dostaneme koeficient c
(1)
m (t) v okamžiku ukončení působení síly jako
c(1)
m (t) = −
i ∆t
0
Gm0ei(Em−E0)t /
dt =
iλ
∆t
m|ˆx|0
∆t
0
eiωmt
dt
– Protože čas ∆t je mnohem kratší než 1/ω, je exponent po celou integrační dobu s dobrou
přesností roven jedné a proto
c(1)
m (∆t) =
iλ
m|ˆx|0 =
iλ
2mω
m|(ˆa+ˆa†
)|0 = iλ
1
2m ω
m|1 = iλ
1
2m ω
δ1m, (33)
kde jsme využili vyjádření operátoru souřadnice pomocí kreačního a anihilařního operátoru
ˆx = 2mω
(ˆa + ˆa†
).
– V okamžiku ∆t tedy bude stav systému přibližně
|ψ(∆t) = |0 +
m
c(1)
m (∆t)|m = |0 + iλ
1
2m ω
|1 (34)
45
8 Přibližné metody
– vypočítejme střední hodnotu hybnosti v tomto stavu:
p =
mω
2
ψ(∆t)|
ˆa − ˆa†
i
|ψ(∆t) = λ
– Jaký je přírůstek hybnosti oproti původnímu (základnímu) stavu? Je známo, že v základním
stavu (a dokonce v každém stacionárním stavu) harmonického oscilátoru je střední hodnota
hybnosti nulová, takže přírůstek je roven λ, tj. impulzu síly, která na systém působila. Dostali
jsme tedy zajímavý výsledek: síla působící na systém vyvolala změnu střední hodnoty
hybnosti stejnou, jako by vyvolala u klasického systému.
8.2 Variační metoda
• Používá se pro nalezení základního stavu (popř. prvního excitovaného stavu) systému, u něhož
tento stav neumíme nalézt analyticky ani pomocí poruchové teorie
• Nesmírně důležitá v chemii při výpočtech konfigurací molekul; dává základní stavy, od nichž se
odvíjí chemické vlastnosti dané látky
• Metoda je založena na nerovnosti
ψ| ˆH|ψ ≥ E0,
kde E0 je energie základního stavu a |ψ je libovolný normovaný stav. Tuto nerovnost není těžké
dokázat, jestliže rozložíme |ψ do vlastních stavů |un Hamiltoniánu: |ψ = n cn|un . Pak
ψ| ˆH|ψ =
m,n
c∗
mcn um| ˆH|un =
n
|cn|2
En ≥ E0. (35)
Zde jsme využili toho, že stav |ψ je normován, tedy že n |cn|2
= 1, a toho, že En ≥ E0, neboť
E0 je nejnižší možná energie systému.
• Minimalizací ψ| ˆH|ψ přes všechny normované stavy tedy lze nalézt základní stav ψ0, pro který
ψ0| ˆH|ψ0 = E0
• Prakticky to provádíme tak, že nehledáme ψ0 v celém Hilbertově prostoru stavů systému, ale jen
v nějaké jeho podmnožině – například předpokládáme určitý tvar ψ0, v němž ponecháme jeden
nebo několik volných parametrů
• Čím více partametrů, tím přesnější aproximaci základního stavu dostaneme. Výpočetní výkon
moderních počítačů umožňuje mít mnoho parametrů, proto jsou nalezené vlnové funkce téměř
úplně přesné
• Variační metodou lze hledat i první a další excitované stavy (pokud již známe základní), ale čím
vyšší stav, tím je hledání obtížnější
• Příklad – hledání přibližného základního stavu harmonického oscilátoru
– Máme harmonický oscilátor s hamiltoniánem
ˆH =
ˆp2
2m
+
1
2
mω2
ˆx2
,
46
9 Identické částice
– Představme si, že bychom neuměli najít základní stav analyticky a že bychom se z nějakého
důvodu domnívali, že základní stav by mohl mít tvar
ψa(x) =
√
a e−a|x|
(lze se přesvědčit, že tato vlnová funkce je správně normovaná)
– Hledáme nyní takové a, pro které ψa(x) nejpřesněji aproximuje vlnovou funkci skutečného
základního stavu
– Spočítáme tedy E(a) = ψ| ˆH|ψ :
E(a) =
R
ψ∗
a(x) ˆHψa(x) dx =
a2 2
2m
+
mω2
4a2
– Derivováním E(a) podle a pak dostaneme podmínku pro a:
dE(a)
da
=
a 2
m
−
mω2
2a3
= 0 ⇒ a0 =
mω
√
2
– Po dosazení a0 do energie dostaneme
E(a0) =
ω
√
2
=
√
2 E0,
tedy energie nám vyšla docela blízká přesné energii základního stavu
– Jak lze spočítat, neurčitost x je pak
∆xvar. = √
2 mω
=
4
√
2 ∆xskut.,
kde (∆x)skut. = /2mω je neurčitost ve skutečném základním stavu; tedy neurčitost polohy
nám vyšla jen nepatrně větší než je skutečná neurčitost v základním stavu
– Výsledek tedy není vůbec tak špatný, a to jsme měli jen jeden paramter a; s více parametry
by to mohlo být ještě lepší
9 Identické částice
• Zajímavá otázka: lze od sebe odlišit dvě částice stejného druhu, např. elektrony?
• Ještě zajímavější odpověď: nelze, a to ani v principu
• Elektrony jsou natolik stejné, že pokud jsme měli v čase t = 0 dva elektrony (označíme je 1 a 2) a
v čase t = T máme dva elektrony (a a b) – například při pružné srážce dvou elektronů, viz obr. –
nemůžeme s jistotou říci, že původní elektron 1 je teď a a 2 je teď b nebo naopak. Ve skutečnosti
nastanou obě možnosti jakoby „naráz – v nám známé kvantové superpozici
b b
221 1
a a
47
9 Identické částice
• Kvantové částice stejného druhu tedy nelze v pravém smyslu od sebe odlišit. Říkáme proto, že
jsou nerozlišitelné
• Rozptylový experiment – dva elektrony letí proti sobě, odchýlí se a jdou detegovány (na obrázku
– elektrony vyletují z bodů 1 a 2 a detektory jsou v bodech a, b)
• Použijeme obecné pravidlo – amplituda detekce elektronů je součtem amplitud obou možností (ale
z jistých důvodů jednu možnost musíme vzít se záporným znaménkem):
A(1, 2 → a, b) = A(1 → a, 2 → b) − A(1 → b, 2 → a)
• Pokud budou detektory a, b velmi blízko u sebe, bude platit A(1 → a, 2 → b) = A(1 → b, 2 → a),
proto A(1, 2 → a, b) = 0 a pravděpodobnost takové detekce = 0; dva elektrony tedy nemůžeme
detegovat ve stejném místě. Pro rozlišitelné částice bychom ovšem dostali nenulovou pravděpo-
dobnost
• Jestliže máme stav s vlnovou funkcí ψ(x1, . . . , xn) nějakých n stejných částic (např. elektronů) a
vyměníme dvě částice i, j (pro ψ(x1, . . . , xn) to odpovídá záměně xi ↔ xj), měli bychom dostat
fyzikálně stejný stav. Ovšem jak známo, fyzikálně stejné stavy se mohou lišit fází:
ψ(x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xn) = eiϕ
ψ(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xn) (36)
• Provedeme-li znovu stejnou záměnu, dostaneme ještě jednou stejný fázový faktor a vrátíme se
k původnímu stavu:
ψ(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xn) = eiϕ
ψ(x1, . . . , xj . . . , xi . . . , xi) = e2iϕ
ψ(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xn)
(37)
• Vidíme, že e2iϕ
= 1, proto musí platit eiϕ
= ±1
• Ukazuje se, že pro jeden druh částic nastává vždy stále stejná možnost
• Částice s eiϕ
= 1 se nazývají Boseho částice (zkráceně bosony; příkladem je foton, atom vodíku,
π mezon) a částice s eiϕ
= −1 pak Fermiho částice (zkráceně fermiony; příklady – elektrony,
nukleony, neutrino)
• Z kvantové teorie pole plyne, že částice se poločíselným spinem jsou fermiony a částice s celočíselným
spinem jsou bosony
• Vidíme tedy, že pro každý stav n bosonů platí
ψ(x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xn) = ψ(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xn), (38)
tedy vlnová funkce je úplně symetrická vzhledem k záměně dvou částic
• Naopak pro každý stav n fermionů platí
ψ(x1, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xn) = −ψ(x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xn), (39)
tedy vlnová funkce je úplně antisymetrická vzhledem k záměně dvou částic
• Máme-li nyní například pět bosonů a tři z nich jsou ve stavu ψ1 a dva ve stavu ψ2, nemá smysl
říkat, které z nich jsou ve stavu ψ1 a které ve stavu ψ2. Důležitý je jen počet částic v daném stavu
48
9 Identické částice
• Proto zavádíme tzv. obsazovací čísla – pro každý možný stav systému řekneme, kolik je v tomto
stavu částic
• Pro náš příklad: |3ψ1 2ψ2 , pokud máme již možné stavy (módy) definovány a očíslovány, pak jej
můžeme značit |3ψ1 2ψ2 ≡ |3 2 0 0 . . . , obecně |mψ1 nψ2 oψ3 pψ4 . . . ≡ |m n o p . . .
• Obsazovací čísla pro fermionový stav mohou být jen z množiny {0, 1}, pro bosonový stav pak z
množiny N0 = {0, 1, 2, 3, . . . },
9.1 Fermiony
• Představme si, že máme k fermionů ve stavech ψ1(x), . . . , ψk(x). Jak jsme viděli, musí být celková
vlnová funkce úplně antisymetrická. Nejlépe ji vytvoříme pomocí determinantu
ψ(x1, . . . , xk) =
ψ1(x1) ψ2(x1) . . . ψk(x1)
ψ1(x2) ψ2(x2) . . . ψk(x2)
...
...
...
ψ1(xk) ψ2(xk) . . . ψk(xk)
(40)
– tzv. Slaterův determinant (nenormovaný)
• Právě determinant má totiž tu vlastnost, že při záměně dvou řádků (což je vzhledem ke tvaru
rovnice (40) totéž co záměna dvou souřadnic xi a xj) změní znaménko.
• Např. pro k = 2 máme
ψ(x1, x2) =
ψ1(x1) ψ2(x1)
ψ1(x2) ψ2(x2)
= ψ1(x1)ψ2(x2) − ψ2(x1)ψ1(x2) (41)
• Jak je vidět, nemá smysl stav, ve kterém jsou dva nebo více fermionů ve stejném stavu. Pak by
totiž dva sloupce determinantu byly totožné a determinant by tudíž byl nulový.
• Podobně amplituda nalezení dvou fermionů ve stejném místě je nulová, protože pak jsou stejné
zase dva řádky
• To je obsahem Pauliho vylučovacího principu – dva fermiony nikdy nemohou být ve stejném
stavu
• Neplést si prosím Pauliho princip s elektrostatickým odpuzováním elektronů – nemá to s tím nic
společného!
• Pauliho vylučovací princip má za následek periodickou strukturu Mendělejevovy tabulky prvků:
elektrony, pokud by mohly, by v atomu všechny obsadily nejnižší hladinu a všechny atomy by si
byly docela podobné. Kvůli Pauliho principu to však nemohou a proto musí obsazovat stále vyšší
hladiny. To je důvodem k chemické rozmanitosti přírody a v posledku i možnosti existence života
• Základní stav skupiny neinteragujících fermionů – jeden fermion je v jednočásticovém základním
stavu, další v prvním excitovaném atd.
• Fermiho energie – až po ni jsou při nulové teplotě vyplněny stavy
• Příklad – stav dvojice elektronů včetně započtení spinu
49
9 Identické částice
– stavový vektor elektronu musí popisovat jak prostorovou, tak spinovou část stavu elektronů
– celkový stav musí být antisymetrický
– toho lze docílit různě: např. udělat spinovou část symetrickou a prostorovou antisymetrickou
nebo naopak
– existují tři nezávislé symetrické spinové stavy dvou částic se spinem 1/2:
|Ψ1 = |+ |+ , |Ψ2 = |− |− , |Ψ3 =
1
√
2
(|+ |− + |− |+ )
a jeden antisymetrický:
|Ψ4 =
1
√
2
(|+ |− − |− |+ )
– trojici symetrických stavů se říká triplet a trojici antisymetrických stavů se říká singlet.
– ve stavech |Ψ1−3 je celkový spin roven 1, ve stavu |Ψ4 je roven nule
9.2 Bosony
• Na rozdíl od fermionů mohou být bosony ve stejném stavu a dokonce se dá říci, že k tomu tíhnou
• Zajímavý experiment prokazující tuto vlastnost – viz [4]
• Nerozlišitelnost fotonů byla mnohokrát experimentálně ověřena
• Čím více už je fotonů v nějakém stavu, tím je větší pravděpodobnost, že se k nim přidá další – to
je např. princip tzv. stimulované emise v laseru
• V laseru – v jednom stavu jsou miliardy, bilióny či ještě mnohem více fotonů
• Bose-Einsteinova kondenzace – nastává např. v extrémně zchlazeném oblaku atomů s celočíselným
spinem, kdy všechny atomy přejdou do téhož kvantového stavu a vykazují makroskopicky
pozorovatelné kvantové chování
• Úplně symetrický bosonový stav vytvoříme podobně jako u fermionů, ale znaménka u všech členů
v sumě budou plus:
ψ(x1, . . . , xk) =
(r1,...,rk)
ψr1 (x1)ψr2 (x2) · · · ψrk
(xk), (42)
kde (r1, . . . , rk) značí permutaci indexů 1, 2, . . . , k a suma probíhá přes všech k! možných permutací.
Např. pro k = 2 máme
ψ(x1, x2) =
(r1,r2)
ψr1 (x1)ψr2 (x2) = ψ1(x1)ψ2(x2) + ψ2(x1)ψ1(x2) (43)
50
10 Provázanost (entanglement)
10 Provázanost (entanglement)
• Ryze kvantový jev, nemá v klasické fyzice obdoby
• Zásadní pro kvantovou informaci a komunikaci
• Uvažujme kvantový systém složený ze dvou podsystémů 1 a 2 – například atom vodíku složený
z protonu a elektronu, nebo dvě prostorově oddělené částice
• Předpokládejme, že podsystém 1 je v čistém stavu |ψ1 a podsystém 2 je v čistém stavu |ψ2
• Stav celého systému je tedy
|ψ = |ψ1 ⊗ |ψ2 (44)
• V tomto případě je stav celého systému tenzorovým součinem stavů obou podsystémů. Říkáme,
že stav je separabilní, tedy není provázaný (entanglovaný)
• Jestliže stav celého systému nelze vyjádřit ve tvaru součinu (44), pak je stav provázaný (entan-
glovaný)
• Příklad: tzv. Bellovy stavy dvojice částic se spinem 1/2
|Ψ+
=
1
√
2
(|z+ |z− + |z− |z+ ), |Ψ−
=
1
√
2
(|z+ |z− − |z− |z+ )
|Φ+
=
1
√
2
(|z+ |z+ + |z− |z− ), |Φ−
=
1
√
2
(|z+ |z+ − |z− |z− ),
kde |z+ a |z− jsou stavy spinové polarizace ve směru a proti změru osy z. Tyto stavy mají
maximální možné provázání
• Provázané stavy vykazují silnou kvantovou korelaci. Například pokud je systém ve stavu |Ψ−
a
měření spinu první částice dá výsledek 0 (spin směru osy z), pak výsledek měření spinu druhé
částice bude 1 a naopak; není to ovšem tak, že by od počátku bylo jisté, jaký spin má která částice.
To se rozhodne až v okamžiku měření spinu první částice a tím a dojde i ke kolapsu stavu druhé
částice. V určitém smyslu to tedy vypadá, jakoby na sebe částice působily na dálku – měření na
jedné silně ovlivní stav druhé, která se mezitím vzdálila třeba o světelný rok
• Ukazuje se však, že toto působení na dálku nelze využít např. ke komunikaci nadsvětelnými
rychlostmi, protože jiné zákony kvantové mechaniky nám to překazí
• Nepochopitelnost a zvláštnost kvantové provázanosti a její zdánlivě paradoxní důsledky podnítila
A. Einsteina se spolupracovníky k silné kritice kvantové mechaniky [5], která se ovšem ukázala
neoprávněnou
• Kvantová provázanost je klíčovým zdrojem pro tzv. kvantové počítání a kvantovou informatiku
(quantum computing and information )
• Provázání mohou vykazovat i různé stupně volnosti téhož systému. Například po dopadu kruhově
polarizovaného fotonu na nikol (dvojlomný krystal islandského vápence) je foton v superpozici
dvou stavů: (1) letí s vertikální polarizací jedním směrem a (2) letí s horizontální polarizací
druhým směrem. Jde tedy o provázání polarizačního a polohového stupně volnosti. Podobně je
tomu u Stern-Gerlachova experimentu11
.
11
podrobně je Stern-Gerlachův experiment rozebrán v [2]
51
11 Matice hustoty
11 Matice hustoty
• Uvažujme kvantový systém složený ze dvou podsystémů, které budeme rozlišovat indexy (1)
a (2)
.
Je-li báze Hilbertova prostoru prvního podsystému {|ui
(1)
} a druhého {|vi
(2)
}, je báze Hilbertova
prostoru celého systému {|ui
(1)
|vj
(2)
} a obecný stav systému v této bázi lze vyjádřit jako
|ψ =
ij
cij|ui
(1)
|vj
(2)
(45)
• Zkoumejme střední hodnotu nějakého operátoru ˆO(1)
, který působí jen na první podsystém (tedy
odpovídající fyzikální veličina je veličinou vztahující se k prvnímu podsystému). Dosazením rovnice
(45) do vztahu pro střední hodnotu dostaneme
ˆO(1)
= ψ| ˆO(1)
|ψ =
ijkl
cijc∗
kl vl|(2)
uk|(1) ˆO(1)
|ui
(1)
|vj
(2)
což díky ortonormalitě stavů |vj můžeme přepsat jako
ψ| ˆO(1)
|ψ =
ijk
cijc∗
kj uk|(1) ˆO(1)
|ui
(1)
=
ik
ρ
(1)
ik O
(1)
ki ,
kde
ρ
(1)
ik =
j
cijc∗
kj, O
(1)
ki = uk|(1) ˆO(1)
|ui
(1)
• Elementy ρ
(1)
ik tvoří tzv. matici hustoty podsystému 1
• Platí tedy ˆO(1)
= Tr (ρ(1)
O(1)
), kde Tr značí stopu matice (součet jejích diagonálních elementů)
• Kdybychom ztratili přístup k podsystému 2 (např. by to byla částice, která se někde absorbovala),
pak matice hustoty je veškerá informace, která nám o systému zbyla. V takovém případě navíc
už nelze popsat stav podsystému 1 vektorem z Hilbertova prostoru, ale úplný popis podává právě
matice hustoty; říkáme, že systém je ve smíšeném stavu
• Matici hustoty lze definovat samozřejmě i tehdy, když ani žádný systém 2 není; Je-li stav systému
popsán stavovým vektorem |ϕ = ci|ui , pak jeho matice hustoty je ˆρik = c∗
i ck. V takovém
případě je systém v tzv. čistém stavu
• Matice hustoty má několik důležitých vlastností:
1) Hermitovost: ρki = j ckjc∗
ij = j c∗
ijckj = ρ∗
ik
2) Jednotkovou stopu: i ρii = ij cijc∗
ij = ij |cij|2
= 1 kvůli normování stavu |ψ .
• Lze definovat tzv. operátor hustoty ˆρ takto:
ˆρ =
ik
ρik|ui uk|
• Elementy ρik jsou vlastně maticové elementy operátoru hustoty: ρik = ui|ˆρ|uk
• Operátor hustoty již nezávisí na zvolené bázi |ui
52
11 Matice hustoty
• Operátor hustoty poskytuje nejobecnější popis jakéhokoli systému při ignorování ostatních sys-
témů
• Pokud je systém ve stavu popsaném operátorem hustoty ˆρ, pak pravděpodobnost jeho nalezení
ve stavu |φ je rovna φ|ˆρ|φ
• Pro stav |ui je tato pravděpodobnost ui|ˆρ|ui = ρii, což dává diagonálním elementů matice
hustoty význam pravděpodobností nalezení podsystému 1 ve stavech |ui
• Předpokládejme, že stav |ψ je součinem nějakého stavu podsystému 1 a nějakého stavu podsystému
2:
|ψ = |ξ (1)
|η (2)
, kde |ξ (1)
=
i
ξi|ui
(1)
, |η (2)
=
i
ηi|vi
(2)
• Pak platí cij = ξiηj a
ρ
(1)
ik =
j
ξiηjξ∗
kη∗
j = ξiξ∗
k
j
|ηj|2
= ξiξ∗
k
kvůli normování stavu |η .
• Operátor hustoty bude v takovémto případě
ˆρ(1)
=
ik
ξiξ∗
k|ui uk| = |ξ (1)
ξ|(1)
,
je tedy dán projekčním operátorem projektujícím na stav |ξ (1)
• Pravděpodobnost nalezení částice ve stavu |φ je pak φ|ˆρ|φ = φ|ξ ξ|φ = | φ|ξ |2
, což víme, že
musí platit
• Lze ukázat, že každý operátor hustoty lze vyjádřit jako
ˆρ =
i
pi|ξi ξi|,
kde pi je pravděpodobnost nalezení částice ve stavu |ξi a platí i pi = 1
• V praxi nelze kvantový systém udržet izolovaný od okolí, bude tedy vždy s okolím interagovat;
často ale nemůžeme zahrnout do popisu celé okolí, takže musíme popsat jen náš systém, a to lze
obecně jen pomocí matice hustoty
• Časový vývoj operátoru hustoty systému, který neintereaguje s jinými kvantovými objekty, je dán
obdobou Schrödingerovy rovnice
i
dˆρ
dt
= [ ˆH, ˆρ]
• Časový vývoj ˆρ systému, který intereaguje s jinými kvantovými objekty, je dán rovnicí zvanou
master equation
• Příklad – dvojice částic se spinem 1/2
– Mám dvoučásticový stav
|ψ = a|+ |+ +b|+ |− +c|− |+ +d|− |− = a|+ (1)
|+ (2)
+b|+ (1)
|− (2)
+c|− (1)
|+ (2)
+d|− (1)
|− (2)
,
kde |a|2
+ |b|2
+ |c|2
+ |d|2
= 1 (normovací podmínka)
53
12 Měření v kvantové mechanice a kolaps stavu
– Tedy koeficienty cik jsou
c11 = a, c12 = b, c21 = c, c22 = d
– pak matice hustoty systému 1 je dána jako
ρ11 =
2
j=1
c1jc∗
1j = |a|2
+ |b|2
, ρ12 =
2
j=1
c1jc∗
2j = ac∗
+ bd∗
ρ21 =
2
j=1
c2jc∗
1j = ca∗
+ db∗
, ρ22 =
2
j=1
c2jc∗
2j = |c|2
+ |d|2
– matice hustoty 1. částice tedy bude
ρ(1)
=
|a|2
+ |b|2
ac∗
+ bd∗
ca∗
+ db∗
|c|2
+ |d|2
– podobě matice hustoty 2. částice bude
ρ(2)
=
|a|2
+ |c|2
ab∗
+ cd∗
ba∗
+ dc∗
|b|2
+ |d|2
12 Měření v kvantové mechanice a kolaps stavu
• V klasické fyzice lze vliv měření na měřený objekt snižovat limitně k nule, takže jej lze většinou
zcela zanedbat
• V kvantové fyzice je tomu jinak: měření má vždy významný vliv na systém, na němž se měření
provádí
• Měřením se nedozvíme celou informaci o stavu, ve kterém se systém nachází, ale jen její malou
část
• Uvažujme měření veličiny A, která má soubor vlastních stavů |αi a vlastních hodnot ai, přičemž
jsou tyto hodnoty nedegenerované
• Pro systém ve stavu |ψ je pravděpodobnost naměření hodnoty ai rovna | αi|ψ |2
• Aktuální naměřená hodnota veličiny A se rozhoduje zcela náhodně
• To, jakou hodnotu veličiny A naměří přístroj, je tedy možné předpovědět pouze pravděpodob-
nostně
• Vlivem měření dojde k přechodu systému do vlastního stavu |αi operátoru A – tzv. kolaps
(neboli redukce) stavu
• Další měření již proto nemá smysl, protože vlivem prvního měření systém přešel do stavu, který
se liší od původního, a proto nám nedá žádnou novou informaci
• Velice významný důsledek pro provázané stavy: kolaps se díky provázání projeví na celém stavu,
takže v určitém smyslu měření na jednom podsystému ovlivní stav druhého
54
Reference
• Příklad – dvojice provázaných částic se spinem 1/2
– vezměme singletový stav dvou částic
|ψ = |Ψ−
=
1
√
2
(|+ (1)
|− (2)
− |− (1)
|+ (2)
)
– provedeme měření spinu ve směru dané osy na první částici; možný výsledek je ± /2 odpovídající
|+ , |− (obě možnosti se stejnou pravděpodobností 1/2)
– nový stav po měření je dán projekcí původního stavu na naměřený stav, tedy v případě
naměření /2:
|ψ = (|+ (1)
+|(1)
)|ψ =
1
√
2
(|+ (1)
+|(1)
)(|+ (1)
|− (2)
− |− (1)
|+ (2)
) =
1
√
2
|+ (1)
|− (2)
v případě naměření − /2 pak
|ψ = (|− (1)
−|(1)
)|ψ =
1
√
2
(|− (1)
−|(1)
)(|+ (1)
|− (2)
− |− (1)
|+ (2)
) =
1
√
2
|− (1)
|+ (2)
– v případě naměření /2 na první částici je tedy jisté, že druhá má průmět spinu rovný − /2
a naopak
– tedy jde o jisté „ovlivňování na dálku , dokonce libovolnými rychlostni
– lze ale ukázat, že toto ovlivnění nelze použít ke komunikaci nadsvětelnou rychlostí
– souvislost s no-cloning theorem – kvantový stav nelze kopírovat – nemohu sestrojit přístroj,
který by dokázal kopírovat kvantový stav
T : |ψ → |ψ |ψ
• Měřicí přístroj je klasický objekt, který se příliš neřídí zákony kvantové mechaniky – především pro
něj neplatí princip superpozice a jeho ukazatel se nemůže nacházet v superpozici dvou naměřených
hodnot (proto také nikdy nenaměříme superpozici, ale jen jednu hodnotu fyzikální veličiny, a na
superpozici usuzujeme pouze nepřímo – viz oddíl 3.1)
• Problém měření v kvantové fyzice není dosud uspokojivě vyřešen, hranice mezi klasickými a kvantovými
objekty je nejasná, snad to dokonce souvisí s naším vědomím
• Problém provázání systému s tělesy v okolí – tzv. dekoherence – žádný kvantový systém není
uzavřený a okolí na něm stále provádí jakási „měření , čímž se systém určitým způsobem stává
klasickým
• To je pravděpodobně důvod pro klasické chování velkých (makroskopických) objektů
Reference
[1] L. D. Landau, E. F. Lifšic, Kurz teoretické fyziky – Kvantová mechanika
[2] R. Feynman, R. Leighton, M. Sands, Feynmanovy přednášky z fyziky
[3] M. Dušek, Koncepční otázky kvantové teorie, Univerzita Palackého Olomouc 2002.
55
Reference
[4] C. K. Hong, Z. Y. Ou, and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two
photons by interference, Phys. Rev. Lett. 59, 2044-2046 (1987).
[5] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality
Be Considered Complete?, Phys. Rev. 47, 777-780 (1935).
56