Shrnutá fyzika (mechanika NMFY 160 L)
(předběžná pracovní verze)
Jan Obdržálek, Jitka Houfková
2017-06-10
2
Obsah
1 O fyzice obecně 2018-02-23 9
1.1 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Fyzika coby věda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Fyzika v rámci ostatních věd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Výchozí představy fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Fyzika klasická, relativistická, kvantová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Klasická fyzika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 „Moderní fyzika , současný pohled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Filozoﬁe a fyzika (informativní body) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Cesty rozvoje fyziky (indukce vs. dedukce) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Zdůvodnění (kauzální, teleologické; statistika) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.3 Klasiﬁkace vědy: fenomenologická, fundamentální . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.4 „Je foton částice nebo vlna? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.5 Co s rozpory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.6 Resumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Základní pojmy („mechanikopis ) 2017-06-10 17
2.1 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Použité matematické pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Základní fyzikální pojmy a termíny (připomenutí) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Rámec popisu; terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Zkoumané objekty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Vlivy působící na zkoumané objekty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Porovnání: vektorová (newtonovská) mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Porovnání: analytická mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Matematický aparát: vektorová algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Skalár α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Vektor v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Vektorová funkce, vektorové pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.4 Pojetí geometrické a složkové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.5 Součiny vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.6 Volný, vázaný, klouzavý vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.7 Tenzor Tij; Ti,...,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Matematický aparát: vektorová analýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 Parciální derivace (∂, nabla ∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Gradient (grad, ∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.3 Totální derivace (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.4 Součiny operátoru nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.5 Laplaceův operátor (laplacián △) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Kinematika hmotného bodu 2016-05-30 29
3.1 Předmět kinematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Vztažná soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Poloha, r (bodu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Trajektorie (= křivka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.4 Křivost κ (křivky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.5 Délka křivky, dráha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
4 OBSAH
3.2.6 Rychlost v, posuvná rychlost (bodu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.7 Zrychlení a (bodu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Poloha a rychlost obecných objektů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Úhlové veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Úhlová poloha ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.2 Úhlová rychlost ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3 Úhlové zrychlení ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Plošné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Plošná rychlost w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.2 Plošné zrychlení ˙w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Více vztažných soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.1 Problematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.2 Dopplerův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.3 Kadence pohybující se zbraně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Dynamika hmotného bodu 2016-09-19 35
4.1 Předmět . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Základní veličiny dynamiky hmotného bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 Hmotnost m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 Poloha r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Rychlost v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.4 Hybnost p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.5 Síla F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.6 Síla: různé typy klasiﬁkace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Silový diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Newtonovy pohybové zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.1 Rámec: Newtonův absolutní prostor a čas (původní pojetí) . . . . . . . . . . 37
4.4.2 Newtonovy pohybové zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.3 Nultý Newtonův zákon – (přísně tajný) zákon výslednice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.4 První Newtonův zákon – zákon setrvačnosti (1NZ) . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.5 Druhý Newtonův zákon – zákon síly (2NZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.6 Třetí Newtonův zákon – zákon akce a reakce (3NZ) . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Princip relativity; Galileo, Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Další příbuzné mechanické veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.1 Silové pole F(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.2 Hustota síly f(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.3 Intenzita pole I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.4 Moment síly M (vůči bodu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.5 Moment hybnosti b (vůči bodu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.6 Impulz síly J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7 Práce, energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7.1 Potenciálová síla; potenciální energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7.2 Intenzita I; potenciál ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7.3 Práce W; d−W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7.4 Zákon zachování mechanické energie; konzervativní síla . . . . . . . . . . . . 42
4.7.5 Konzervativní síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.7.6 Výkon P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8 Tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8.1 Klasiﬁkace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8.2 Tření dynamické (kinetické) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.8.3 Tření statické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Řešení pohybové rovnice: kmity 2017-03-16 45
5.1 Matematický aparát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.2 Nehomogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.3 Pohybová rovnice – 2. Newtonův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Konkrétní tvary síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1 Nulová síla: F = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
OBSAH 5
5.2.2 Konstantní síla: F = F0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3 Netlumený harmonický oscilátor: F = −kx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.4 Harmonický oscilátor s předpětím: F = −kx + F0 . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.5 Tlumený harmonický oscilátor: F = −kx − h ˙x . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.6 Vynucené kmity: F = −kx − h ˙x + F(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.7 Skládání kmitů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.8 Vázané kmity. Kvazičástice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.9 ←֓Řetízek oscilátorů (podélné kmity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.10 ←֓Struna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.11 ←֓Řetízek s bází . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Speciální pohyby 3D: centrální pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Deﬁnice centrálního pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.2 Obecné vlastnosti centrálních polí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.3 Prostorový harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Relaxační kmity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Setrvačné (zdánlivé) síly 2017-03-23 63
6.1 Mechanika v nenormálních situacích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.1 Pohyb částice v normální situaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.2 První nenormální situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.3 Druhá nenormální situace: neinerciální soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.4 Čtyři vysvětlující poznámky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1.5 Jak popisovat co nejvýhodněji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Neinerciální vztažné soustavy – analytická metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Populárně: Neinerciální vztažné soustavy graﬁckou metodou . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.1 Diskretizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.2 Parametrizovaná trajektorie (označkovaná cesta) . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.3 Rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3.4 Zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3.5 Výsledná síla (výslednice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Společné vlastnosti setrvačných sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6 Slovní zmatky; dostředivá síla a jiná „odstředivá síla . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.6.1 (Vazbová) dostředivá síla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.6.2 Odstředivá síla (působící na vazbu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.7 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.7.1 Košíková na kolotoči: zvláště názorný příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.7.2 Střelba na židličce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.7.3 Odklon pasátů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.7.4 Pád z velké výšky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.7.5 A nakonec Cimrmanovo „Tudy cesta nevede, přátelé! . . . . . . . . . . . . . 74
7 Soustava HB a tuhé těleso 2017-04-12 75
7.1 Soustava hmotných bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.1.1 Zavedení, základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.1.2 Střed hmotnosti, hmotný střed; těžiště, metacentrum . . . . . . . . . . . . . . 76
7.1.3 Věta o hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.4 Věta o momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.5 Kinetická energie; Königova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.6 Zákony zachování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.7 Srážka (ráz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Pojem tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.1 Základní představy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.2 Popis tuhého tělesa. Stupně volnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Kinematika tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.1 Přemístění tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.2 Kinematický šroub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.3 Ekvivalence rotace kolem bodu a kolem osy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Dynamika TT: skládání sil, silová dvojice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.4.1 Volný, vázaný a klouzavý vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.4.2 Klouzavý vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 OBSAH
7.4.3 Skládání dvou klouzavých vektorů. Silová dvojice . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4.4 Skládání libovolného počtu klouzavých vektorů a silových dvojic . . . . . . . 85
7.4.5 Těžiště; metacentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.5 Dynamika tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.6 Rovnováha tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.7 Rotace kolem pevné osy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.8.1 Tenzor setrvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.8.2 Eulerovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8 Základy teorie relativity 2017-06-10 93
8.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Co je a co není teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.2 Důvod pro STR: nyní, začátkem 21. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.3 Důvod pro STR v době jejího vzniku: začátek 20. století . . . . . . . . . . . . 94
8.2 Klasické pojetí času a prostoru (připomenutí) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.1 Vztažná soustava; synchronizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.2 Událost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.3 Synchronizace vztažných soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.4 Současnost a soumístnost; relativní a absolutní . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.5 Galileova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.6 Měření dob a délek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.7 Klasické skládání rychlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Princip konstantní světelné rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.4 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.4.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.4.2 Speciální Lorentzova transformace (1D prostor x a čas t) . . . . . . . . . . . 98
8.4.3 Obecná Lorentzova transformace (pro 3D prostor x; y; z a čas t) . . . . . . . 98
8.5 Vlastnosti a důsledky speciální Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.5.1 Transformace rychlostí („skládání rychlostí ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.5.2 Interval jako invariant Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5.3 Časová proměnná; metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5.4 Relativita současnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 Klasické interpretace: kontrakce délek, dilatace času, éter . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.6.1 Kontrakce délek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.6.2 „Dlouhé auto projíždí krátkou garáží . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.6.3 Dilatace času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.6.4 Éter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.6.5 Měření rychlosti světla v různých směrech; Michelson-Morley . . . . . . . . . 105
8.6.6 „Strhování světla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.6.7 Světlo v látkovém prostředí a relativita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.7 Vektorový formalismus, čtyřvektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.7.1 Základní idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.7.2 Čtyřskaláry, čtyřvektory, čtyřtenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.7.3 Vlastní čas (vlastní doba) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.7.4 Polohový čtyřvektor X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.7.5 Čtyřvektor rychlosti – čtyřrychlost U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.7.6 Čtyřvektor hybnosti P; klidová m0 a relativistická m hmotnost . . . . . . . . 108
8.7.7 Čtyřvektor zrychlení A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.7.8 Čtyřvektor síly. Pohybová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.7.9 Relativistická hmotnost; jiné odvození . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A Keplerova úloha – problém dvou těles 2016-09-03 115
A.1 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.1 Cíl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.2 Co záměrně zanedbáme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.3 Vztah k reálné situaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.4 Další možný rozvoj teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.2 Problém dvou těles – Keplerova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.3 Těžišťová vztažná soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.4 Redukovaná úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
OBSAH 7
A.5 Rovinný problém; moment hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.6 Zákony zachování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.7 Řešení rovinného problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.7.1 Polární souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.7.2 Výpočet závislosti vzdálenosti r a času t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.7.3 Výpočet trajektorie kvaziplanety r = r(ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.7.4 Pohyb planety a slunce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.7.5 Shrnutí a diskuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.8 Keplerovy zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.8.1 1. Keplerův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.8.2 2. Keplerův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.8.3 3. Keplerův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.9 Označení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.9.1 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.9.2 Označení užitá v Keplerově úloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Kinematika graﬁcky 2017-05-27 125
B.1 Graﬁcký popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.1.1 Graﬁcký popis obecně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.1.2 Graﬁcký popis událostí a dějů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.1.3 Změna vztažné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.1.4 Graﬁcký popis homogenní Galileovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.1.5 Graﬁcký popis homogenní Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . 127
B.2 Omyly způsobené nekonzistencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C Srážka (ráz) 2016-08-24 129
C.1 Srážka obecně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.2 Srážka dvou těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.2.1 Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.2.2 Těžišťová soustava T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.2.3 Označení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.3 Srážka dvou hmotných bodů podél přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.3.1 Příklad úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.3.2 Popis v těžišťové soustavě T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.3.3 Popis srážky v laboratorní soustavě L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.4 Aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.4.1 Pružná srážka stejných těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.4.2 Kolmý odraz míčku od pevné zdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.4.3 Kolmý odraz pingpongového míčku od pálky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.4.4 Necentrální srážka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.4.5 Gravitační prak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.5 Co ovlivňuje srážku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.5.1 Geometrie srážky těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.5.2 Povrch těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.5.3 Materiál těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
D Jedinečnost Lorentzovy transformace 2017-05-27 137
D.1 Záměr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.2 Odvození Lorentzovy transformace pro 1D prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.2.1 Zachování zákona setrvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.2.2 Soustava S′ má vůči soustavě S rychlost W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.2.3 Soustava S má vůči soustavě S′ rychlost −W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.2.4 Má-li bod v soustavě S rychlost c, pak má v S′ rovněž rychlost c. . . . . . . . 138
D.2.5 Inverzní transformace k Lorentzově transformaci je rovněž Lorentzova. . . . . 138
E Veličina, měření, zápis hodnot 2015-09-21 139
E.1 Veličina: pojem, hodnota veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
E.2 Zápis číselných hodnot veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
E.3 Popis os grafu, nadpis sloupce tabulky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
E.4 Měření – základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8 OBSAH
Kapitola 1
O fyzice obecně 2018-02-23
1.1 Literatura
Doporučenou literaturou pro přednášku Fyzika pro matematiky (FyM002-3) je základní učebnice
• Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. VUTIUM Brno, 2013 (dřívější překlad VUTIUM
Brno + Prometheus Praha, 2001, dotisky 2003, 2006), dále uváděná jako HRW
Zajímavou literaturou o fyzice všeobecně je
• The Feynman lectures on physics. Addison-Wesley, 1963, 1966
existuje i překlad český (2000) a slovenský (1990, Alfa, Bratislava)
Hlavně ale využijte texty ze stránky ÚTF, např. výborné výklady doc. Langera a prof.
Podolského k mechanice nebo skriptum doc. Semeráka k relativitě. Text této své přednášky (zhruba)
dávám průběžně na svou webovou stránku utf.mﬀ.cuni.cz/∼jobdr, tamtéž je i shrnutí Kalkul aj.
Občas jsou v textu zařazeny otázky; jejich řešení je na konci dále uvedené kapitoly.
??? Otázka: Jakou že to má webovou stránku ÚTF? (→str. 10)
1.2 Fyzika coby věda
Fyzika je objektivní věda (vědecký postup, přístup, pohled atd., versus umění, umělecký přístup;
tedy objektivní vs. subjektivní) Snaží se proto o co nejmenší vliv subjektu, který vědu tvoří nebo
ji přijímá, a maximální vliv objektu, který je vědou studován.
Věda formuluje model a vytváří pojmy vhodné pro popis reality, přiřazuje jim názvy – termíny;
studuje vlastnosti tohoto modelu a porovnává ho s pozorováním či (dokonce) experimentem.
Ideálem je pak možnost předvídat (na základě modelu), co se stane v budoucnu. V tomto
modelu požívá (fyzikální) veličiny popisující ty vlastnosti objektů, které lze vyjádřit číslem (a
referencí, viz str. 139) a měřit.
Objektivita: velký význam měření.
Galileo: Co lze změřit, máme změřit; co změřit nejde, máme převést na měřitelné.
Lord Kelvin (1906, IEC): If you can’t measure it, you can’t improve it. Viz též kap. E.1.
Kritérium pravdivosti teorie: koneckonců soulad teorie s pozorováním reálného světa. (Dílčí
kritéria: vnitřní logická konzistence, jednoduchost teorie, vyvratitelnost . . . )
1.3 Fyzika v rámci ostatních věd
Fyzika je přírodní věda (vs. společenské, humanitní vědy o člověku a lidské společnosti). Další
přírodní vědy jsou např. chemie, biologie, ale i mineralogie, geofyzika, astrofyzika, technické vědy
apod.. V aplikované fyzice se můžeme setkat s ﬁlozoﬁckými kategoriemi jako jsou příčina či
důsledek1, ale předmětem našich úvah nebudou kategorie typu vůle, vědomí, myšlenka, víra,
Bůh, smysl (života, věcí), dobro, zlo apod. (Mohou se samozřejmě vyskytnout ve styčných oblastech
s historií vědy, didaktikou, v aplikacích apod.)
1
Akce a reakce vyskytující se ve 3. Newtonově zákonu nemají charakter příčiny a důsledku. Viz str. 39.
9
10 KAPITOLA 1. O FYZICE OBECNĚ 2018-02-23
Fyzika zkoumá nejzákladnější procesy v přírodě, zejména neživé (i když biofyzika vykládá fyzikálními
metodami i chování živých objektů). Je ze všech přírodních věd nejvíce „matematizovaná
(fakticky: axiomatizovaná, má nejpřesněji formulované předpoklady i pracovní metody). V tomto
smyslu je i „nejhlubší přírodní vědou: např. kvantová fyzika vysvětluje pojem chemické vazby
(klíčový pro chemii), který chemie jen postuluje z experimentu.
Samozřejmě existují mezní obory: fyzikální chemie, kvantová chemie, biofyzika (fyzikální základy
základních projevů živých organismů), biomechanika (mechanika člověka — balet, sport).
V historii šel velmi často ruku v ruce vývoj fyziky a matematiky (např. Newton — diferenciální
počet pro popis pohybu hmotného bodu; Cauchy, Riemann — parciální diferenciální rovnice
pro popis mechaniky kontinua). Fyzika jednak využívala hotového matematického aparátu (např.
teorie grup, zejména teorie reprezentací má rozsáhlé a klíčové aplikace v kvantové teorii), ale současně
inspirovala matematiky pro aktivitu v nových oblastech (ve fyzice užívaná, ale matematicky
nekorektní Diracova δ−funkce vedla v matematice k teorii distribucí).
!!! Odpověď ze str. 9: http://utf.mﬀ.cuni.cz/
1.4 Výchozí představy fyziky
1.4.1 Fyzika klasická, relativistická, kvantová
Základní je rozdělení na
• teorie nerelativistické vs. relativistické podle popisu prostoročasu; srovnání se světelnou
rychlostí c = 299 792 458 m/s;
• teorie nekvantové vs. kvantové podle popisu hmoty a energie (při malých rozměrech a
energiích), když se uplatní Planckova konstanta h = 6, 624 · · · · 10−34J·s.
nerelativisticky relativisticky
nekvantově c → ∞ → 0 c < ∞ → 0
kvantově c → ∞ > 0 c < ∞ > 0
Většinou „klasicky = „nekvantově & nerelativisticky , nyní často „klasicky = „nekvantově .
Označení „velké či „malé u veličin s rozměry: nutno srovnat s hodnotou jiné veličiny mající týž rozměr (např.
srovnávání s člověkem a jeho možnostmi — antropomorﬁsmus).
1.4.2 Klasická fyzika
Rámec popisu:
Prostor (3D). Z geometrie: euklidovská metrika (prostor je plochý – není zakřivený)
Čas (1D) plyne jen jedním směrem. Z ﬁlosoﬁe přebíráme princip kauzality: nejprve nastane
příčina, po ní teprve důsledek; ve vlastní fyzice se však kauzalita vyskytuje zřídka2.
V klasické fyzice jsou prostor a čas nezávislé na sobě a vytvářejí pevný rámec pro popis
přírodních dějů zajímajících fyziku. V moderních partiích fyziky tomu tak už není: ve STR
jsou prostor a čas svázány na prostoročas, v OTR má prostoročas aktivní účast na dynamice
těles: vystihuje a tím nahrazuje dosavadní gravitaci. Z hlubších teorií: superstruny.
Objekt, který sledujeme:
Těleso je obvyklým modelem objektu. Má jistý tvar a jistou polohu v prostoru (vs. objekty
abstraktní, jako např. MŠMT). Tvar se může s časem měnit: těleso deformovatelné
(materiál: kontinuum), nebo se nemění: tuhé těleso (něco jiného je pevná látka, viz dále).
Látka = hmota = materiál (synonyma).
2
Jak už bylo na str. 9 pod čarou podotknuto a na str. 39 bude vysvětleno, síly vystupující ve 3. Newtonově zákonu
jako akce a reakce nejsou v kauzálním vztahu.
1.4. VÝCHOZÍ PŘEDSTAVY FYZIKY 11
Tvar tělesa: nejjednodušší situace je, když na tvaru nezáleží a těleso lze pokládat za bodové
(např. jeho vlastní rozměry jsou zanedbatelně malé vůči jeho vzdálenosti od ostatních uvažovaných
objektů): hmotný bod (HB). Jeho poloha v prostoru je určena jen třemi souřadnicemi,
např. kartézskými. Jako synonymum pro „hmotný bod zde často používáme kratší,
jednoslovné označení „částice . (Zde nejde o „elementární částice kvantových teorií.)
Soustava (= systém) několika částic (hmotných bodů).
Spojité prostředí (kontinuum), např. voda v moři, vs. diskrétní soustava (částice, tuhá
tělesa), např. písek a kameny na pláži.
Kontinuum předpokládáme v klasické fyzice za prakticky nekonečně jemně dělitelné; moderní
člověk ovšem ví, že nemůže dělit do oblastí co do rozměrů srovnatelných s molekulami příslušné
látky. Kontinuum lze také získat abstrakcí, když počet částic v soustavě zvětšujeme do
nekonečna a současně tyto částice zmenšujeme tak, aby vhodné veličiny (např. hustota látky)
měly rozumnou limitu. Naopak kontinuum při popisu často diskretizujeme na inﬁnitezimální
„částice , dostatečně malé s velikostí výchozí oblasti, ale přitom řádově větší, než jsou rozměry
molekul. V klasické matematické analýze předpokládáme pak u těchto částic následný
limitní přechod, v alternativní analýze pracujeme s inﬁnitezimálními veličinami přímo.
Atributy těles: zejména hmotnost m a náboj q, na úrovni elementárních částic dále zejména
spin s coby vlastní moment hybnosti elementární částice či jejich soustavy.
Interakci mezi látkovými objekty popisuje klasická fyzika pojmem síla; jejím spojitým zobecněním
je silové pole: gravitační pole, elektromagnetické pole.
To je pole v užším smyslu. V širším smyslu se polem ve fyzice nazývá každá fyzikální veličina Q deﬁnovaná
v části prostoru, tj. Q(r). Může samozřejmě ještě záviset i na čase t a dalších fyzikálních či geometrických
veličinách (teplotní pole, rychlostní pole proudící kapaliny apod.)
Měření veličiny je realizováno interakcí měřeného objektu a měřicího přístroje. V klasické fyzice
však předpokládáme, že proces měření buď vůbec neovlivňuje měřenou veličinu (např. „bezkontaktní
měření délky), nebo ji ovlivňuje známým, pro daný účel „nezávadným způsobem
(„řehtačka u mikrometru).
Klasická teorie elektromagnetického pole však už v sobě obsahuje veškerou matematiku teorie
relativity (např. invariantnost vůči Lorentzově a nikoli Galileova transformaci). Chybí jí k relativitě
jen Einsteinův krok – zavedení pojmu prostoročasu, tj. pochopení, že např. Lorentzova kontrakce
pohybujících se objektů není vlastností těchto objektů (či jejich materiálu), ale vlastností prostoročasu,
v němž tyto objekty popisujeme a měříme.
V klasické fyzice jsou tedy dvojí základní „stavební kameny , částice (korpuskule) a pole. Jsou
diametrálně odlišné, proto byl rozpor mezi korpuskulární a vlnovou teorií světla. Tento rozdíl setře
kvantová fyzika, která jak částice, tak pole popisuje stejně (např. vlnovou funkcí) a rozdíl je jen
v tom, že pro „částice je m > 0, pro „pole je m = 0.
1.4.3 „Moderní fyzika , současný pohled
Co nového
Termín „moderní fyzika se užívá zpravidla jako protiklad ke klasické fyzice a zahrnuje teorii
relativity a zejména kvantovou fyziku (tedy obě discipliny jsou už více než jedno století staré!).
U relativity nastává podstatná změna názoru na prostor a čas (spojují se v prostoročas,
současnost se stává relativní, naproti tomu rychlost světla je absolutní, tedy stejná v každé inerciální
soustavě).
V kvantové teorii nastává podstatná změna v pohledu na částici (korpuskule) a pole (objekt
doposud „vlnové povahy ), tj. mění se i představa a pojem hmoty. Kvantová částice se chová stejně
jako kvantové pole, liší se jen jediným parametrem – klidovou hmotností m0, která je kladná pro
dosavadní částice (např. elektron) a nulová pro dosavadní pole (např. foton).
Nerozlišitelnost: Částice ztrácejí svou individualitu: částice téhož druhu jsou navzájem nerozlišitelné,
asi jako jednotlivé koruny na elektronickém bankovním účtu nebo vlny na vodě. Vkládáte-li
každý den po koruně, nemá smysl otázka, zda příští týden vybraná koruna je pondělní či páteční.
Jdou-li proti sobě dvě vlny na rybníce, nemá smysl rozlišovat, zda se vlny od sebe odrazily nebo
zda jedna prošla druhou („která je která ).
Kvantování: Podobně jako je kvantována hmota (např. molekulami), jsou kvantovány i fyzikální
veličiny, např. energie. Atom vodíku tvořený navzájem se přitahujícími elektronem a protonem
12 KAPITOLA 1. O FYZICE OBECNĚ 2018-02-23
má povoleny jen některé stabilní stavy (se zápornou energií, bereme-li nulovou hodnotu energie pro
situaci, kdy jsou obě částice od sebe tak daleko, že už na sebe prakticky nepůsobí). Při interakci
atomu vodíku s okolím se energie vodíku mění jen o dané rozdíly energií jednotlivých stavů, nikoli
tedy spojitě.
Měření je v principu interakce objektu s měřicím přístrojem, a to zcela jiného typu, než jeho
„běžný časový vývoj. Zatímco v klasické fyzice se předpokládá možnost provést měření tak „šetrně
, aby tato interakce znatelně neovlinila měřený objekt, v kvantové fyzice je nutno počítat
s tím, že v principu každé měření změní měřený objekt. (Jedinou výjimkou je opakované měření,
které však zase nepřináší novou informaci o měřeném objektu.)
Stav: vlnová funkce, stavový vektor; reprezentace
Soustava např. 5 klasických částic je popsána 2 × 3 × 5 = 30 funkcemi času t v 3D prostoru, např.
jejich polohami ri(t) a hybnostmi pi (jde o vektory, každý má 3 nezávislé složky). Naproti tomu
soustava 5 kvantových částic je popsána jedinou vlnovou funkcí v prostoru o 5 × 3 + 1 = 16
rozměrech: Ψ(ri, t). Tato funkce se též nazývá stavový vektor, zejména je-li opravdu reprezentována
vektorem – svým rozvojem ve vhodné soustavě ortogonálních funkcí. Je-li tedy Ψ = j ajψj, kde ψj
jsou vlastní funkce operátoru ˆQ, pak se (stavový) vektor aj nazývá Q-reprezentací vlnové funkce
Ψ. Vlnová funkce je komplexní, komplexní sdružení se značí hvězdičkou: ψ∗, někdy pruhem: ¯ψ.
U vlnové funkce není podstatná amplituda; funkce ψ a (−5 + 2 i)ψ by popisovaly přesně stejný
stav. Pracujeme proto většinou s vlnovými funkcemi normalizovanými, zpravidla na jednotku, tj.
aby např. ψ|ψ = ψ∗(x)ψ(x)dx = 1.
Koherentní směs vlnových funkcí je popsána jejich lineární kombinací: ψ = akφk. Nejobecnějším
popisem kvantového systému je pak matice hustoty Mik popisující nekoherentní směs vlnových
funkcí.
Veličina: operátor
Každé fyzikální veličině L je přiřazen operátor, tedy předpis přiřazující jedné funkci obecně jinou
funkci; značí se stříškou: ˆL. V maticové reprezentaci, kde je vlnová funkce popsána vektorem (v Hilbertově
prostoru), je operátor popsán maticí Lik. Střední hodnota ¯L veličiny L ve stavu ψ(x) je
pak
¯L ≡ ψ|ˆL|ψ = ψ∗
(x)L(x)ψ(x)dx (1.1)
Měřitelné fyzikální veličiny L jsou popsány hermitovskými operátory (samosdruženými, Lik = L∗
ki).
Možné naměřitelné hodnoty jsou pak vlastní hodnoty λk tohoto operátoru; vlastní funkce φk vyhovují
rovnici
ˆLφk = λkφk (nesčítá se přes k) (1.2)
Vlnová funkce φk popisuje stav mající hodnotu λk veličiny L. Při měření veličiny L ve stavu
popsaném funkcí ψ = akφk dostáváme jako výsledek měření náhodně veličiny λk, každou s pravděpodobností
a∗
kak.
Teorie „skrytých parametrů , předpokládající, že stav „ve skutečnosti má nějakou přesnou hodnotu měřené
veličiny a že je jen otázkou naší (ne)dokonalosti ji naměřit, se ukázaly z principu nepravdivé a byly vyvráceny i
experimentálně (Bellův teorém).
Z nerozlišitelnosti kvantových částic plynou symetrie kladené na jejich vlnovou funkci, viz dále.
Fermiony, bosony; Pauliho vylučovací princip
Kterákoliv z elementárních částic je buď fermion, nebo boson, podle statistiky (buď FermihoDiracova,
nebo Boseho-Einsteinova), kterou se řídí. Tytéž částice (např. čtyři elektrony) jsou nerozlišitelné.
Jsou popsány jedinou funkcí Ψ(r1, r2, r3, r4) (zpravidla stručně Ψ(1, 2, 3, 4), nevypisujeme
pro jednoduchost možnou závislost na čase t), která je funkcí 4*3 =12 proměnných, tedy v 12D
prostoru, a tato funkce Ψ při záměně dvou trojic proměnných popisujících dvě vybrané částice téhož
druhu (např. 2. a 3.) buď změní znaménko (fermiony, Ψ(1, 3, 2, 4) = −Ψ(1, 2, 3, 4)), nebo nezmění
(bozony, Ψ(1, 3, 2, 4) = Ψ(1, 2, 3, 4)). Z toho plyne pro fermiony Pauliho vylučovací princip:
dva fermiony v jednom systému nemohou být v tomtéž stavu. To by totiž záměnou dvou stejných
fermionů změnila jejich vlnová funkce Ψ znaménko na −Ψ, ale vzhledem k nerozlišitelnosti těchtýž
částic by musela zůstat stejná, tedy Ψ = −Ψ, takže Ψ by musela být nulová.
1.4. VÝCHOZÍ PŘEDSTAVY FYZIKY 13
Nebylo by na místě zde vykládat kvantovou mechaniku. Ale důkaz, že pro kvantovou částici není jiná možnost
než být bosonem nebo fermionem, je tak jednoduchý a názorný, že stojí za uvedení:
Zaveďme zde operátor ˆT23 záměny druhé částice s třetí (transpozice) a hledejme vlastní funkce ψ(1, 2, 3, 4) a vlastní
hodnoty λ tohoto operátoru, tedy funkce, pro něž vede aplikace operátoru na pouhé vynásobení číslem λ:
ˆT23ψ(1, 2, 3, 4) ≡ ψ(1, 3, 2, 4) = λψ(1, 2, 3, 4) . (1.3)
Opakovaná aplikace ˆT23 však vede k původní funkci, tedy
ˆT23
ˆT23ψ(1, 2, 3, 4) ≡ ˆT23ψ(1, 3, 2, 4) ≡ ψ(1, 2, 3, 4) = λ2
ψ(1, 2, 3, 4) , (1.4)
odkud plyne
λ2
= 1 (1.5)
λ = −1 anebo λ = 1 , (1.6)
vlastní hodnota λ operátoru částice je buď −1 a částice je fermion (záměna částic mění znaménko vlnové funkce),
anebo +1 a částice je boson (záměna částic nemění znaménko vlnové funkce).
Standardní model
Základními prvky hmoty jsou podle současných představ tzv. standardního modelu fermiony, a
to dvě šestice leptonů a kvarků (a ke každé částici ještě existuje antičástice s opačným nábojem,
značka s pruhem nahoře: k elektronu to je pozitron, ¯e = e+, k protonu antiproton ¯p = p−). Tabulka
shrnuje jejich značky, zaokrouhlené hmotnosti m (v MeV/c2), náboje q a názvy. Hmotnost neutrin
je nepatrná a není dosud (2016) spolehlivě zjištěna, je však nenulová. Všechny tyto částice jsou
fermiony, mají tedy poločíselný spin a platí pro ně Pauliho vylučovací princip.
Kvarky se v přírodě nikdy nevyskytují samostatně, ale jen ve dvojicích nebo trojicích držených
spolu gluony a bosony W, Z vždy tak, aby výsledná „barva 3 byla neutrální – „bílá . Nukleony
(tvořící jádro atomu) a jiné baryony (těžší částice) jsou tvořeny trojicemi kvarků (např. proton
p+ = uud, neutron n = udd, Λ = uds, Ω− = sss), mezony jsou tvořeny kvarkem a antikvarkem
(pion π+ = u¯d, kaon K− = s¯u).
Leptony
zn. m q vůně zn. m q vůně zn. m q vůně
e− 0,511 -1 elektron µ− 106 -1 mion τ− 1 777 -1 tauon
νe < 10−3 0 e-neutrino νµ < 0, 2 0 µ-neutrino ντ < 20 0 τ-neutrino
Kvarky
zn. m q vůně zn. m q vůně zn. m q vůně
u 3 +2
3
nahoru
up c 1 300 +2
3
půvabný
charm t 175 000 +2
3
svrchní
top
d 6 −1
3
dolů
down s 100 −1
3
podivný
strange b 4 300 −1
3
spodní
bottom
Interakce mezi fermiony – a tedy obecně mezi libovolnými hmotnými částicemi – se kvantově
vykládá jako výměna bosonů coby kvantovaných polí příslušné interakce. Podle našich znalostí
existují čtyři4 interakce, z nichž nejslabší, ale v makrosvětě na velké vzdálenosti prakticky jediná
významná, gravitační interakce, se popisuje v obecné teorii relativity zakřivením prostoru, tedy
geometricky; to bohužel zatím vzdoruje snahám o úspěšné kvantování. Přehledně:
3
Tato charakteristika kvarku a gluonu nabývá jedné z hodnot červená, zelená, modrá a samozřejmě nemá s optickou
barvou nic společného.
4
Tzv. výměnná interakce není skutečnou interakcí, ale jen názornou interpretací principu nerozlišitelnosti kvantových
částic.
14 KAPITOLA 1. O FYZICE OBECNĚ 2018-02-23
jméno interakce „síla dosah zprostředkuje důsledek (např.)
gravitační 10−40 makro ??? (graviton) stabilita sluneční soustavy
elektromagnetická 10−2 makro γ (foton) stabilita atomu
silná 10+1 mikro g (gluon) stabilita atom. jádra, protonu
slabá 10−5 mikro W+, W−, Z0 stabilita elementárních částic
Makroskopické interakce: síla klesá se vzdáleností r jako r−2, tedy energie jako 1
r .
Mikroskopické interakce: závislost energie je jiná: r e−r, proto je srovnání jen velmi přibližné.
Uvedená hodnota „síla je řádová velikost energie na vzdálenost poloměru atomového jádra.
Interakce mezi fermiony jsou popsány kvantovými poli; jejich kvantováním dostáváme rovněž
částice, ale bozony: pro elektromagnetickou interakci jsou to fotony (s nulovou hmotností),
pro slabou interakci jsou to částice W (elektricky nabité) a Z (elektricky nenabitá) s hmotnostmi
80,6 GeV/c2 a 91,2 GeV/c2 (tedy cca tisíckrát těžší než proton!), pro silnou interakci mezi kvarky
jsou to gluony (s nulovou hmotností, elektricky nenabité) popsané kvantovou chromodynamikou
QCD.
Interakci elektromagnetickou a slabou se podařilo sjednotit na interakci zvanou elektroslabá.
Velké sjednocení bude její spojení se silnou interakcí (GUT = grand uniﬁcation theory).
Gravitaci se zatím kvantovat nedaří, lze ji však v obecné teorii relativity popsat geometrií
prostoru (gravitace jako zakřivení prostoru). O její spojení se silnou a elektroslabou interakcí se
snaží tzv. teorie všeho (TOE = theory of everything). Problémy: rovnice obecné teorie gravitace
jsou výrazně nelineární. Zatím však umíme pohodlně kvantovat jen lineární teorie.
1.5 Filozoﬁe a fyzika (informativní body)
1.5.1 Cesty rozvoje fyziky (indukce vs. dedukce)
Indukce: Konkrétní, jednotlivé zkušenosti zobecňujeme na výroky s obecnou platností. Jejich
důsledky pak ověřujeme pozorováním, event. experimentem, abychom teorii potvrdili. (Přesněji
řečeno: abychom tím teorii vyvrátili, je-li pozorování s ní v rozporu.)
Příklady:
• J. Kepler ze svých pozorování planet induktivně odvodil své tři Keplerovy zákony pro
pohyb planet.
• Na základě pozorování pádu pozemských těles (legendární jablko) a pohybu těles „nebeských
(Měsíc) I. Newton induktivně odvodil Newtonův gravitační zákon a indukcí usoudil, že
v „nebeské sféře platí stejné zákony jako na Zemi, což byl v té době významný fyzikální i
ﬁlosoﬁcký zlom.
• J. J. Thomson objevil, že katodové záření je tvořeno zápornými částicemi (elektrony) vytrženými
z neutrálních atomů. Na základě indukce proto navrhl tzv. pudingový model atomu,
v němž elektrony jsou jako záporně nabité hrozinky plovoucí v kladně nabitém pudingu tvořícím
atom látky. Protože se však kladně nabité α-částice po dopadu na látku občas odrazí
do ostrého úhlu zpátky (experimentální vyvrácení představy řídkého kladného pudingu), vyslovil
Rutherford doměnku (indukce), že i kladný náboj je v látce nikoli spojitě rozestřen, ale
soustředěn do velmi malého jádra atomu, kolem kterého lehký a záporný elektron obíhá, tzv.
planetární model atomu.
Dedukce: Z dané soustavy zákonů (principů, v matematice z axiomů) logicky přesně odvodíme
zákon nový. (Jeho případné experimentální popření pak popírá nejen nový zákon, ale i výchozí
axiomy, případně postup odvození.)
Příklad:
• Z Newtonových pohybových zákonů + Newtonova gravitačního zákona lze deduktivně odvodit
Keplerovy zákony, a to v obecnějším a přesnějším tvaru, než byly formulovány indukcí
z pozorování:
1. vedle eliptických trajektorií přibydou i parabolické a hyperbolické (např. pro komety);
2. v ohnisku kuželosečky je nikoli Slunce, ale hmotný střed soustavy Slunce + planeta.
1.5. FILOZOFIE A FYZIKA (INFORMATIVNÍ BODY) 15
1.5.2 Zdůvodnění (kauzální, teleologické; statistika)
Kauzální (příčinné) vysvětlení má důvod YY: „Děje se XX, protože je a bylo YY (teď či dříve) .
Příklady:
• Světlo (ale také částice) se na rozhraní odráží tak, že úhel odrazu = úhel lomu. Protože
v okamžiku dopadu dopadá pod jistým úhlem, tak se v následujícím okamžiku odráží pod
určeným úhlem odrazu.
• Částice se pohybuje pod vlivem síly (příčina) F tak, že její zrychlení a (důsledek) je rovno
a = F/m (odkud získám r pomocí dvojí integrace).
Teleologické (účelové) vysvětlení přináší cíl YY: „Děje se XX, aby nastalo YY v budoucnosti .
Příklady:
• Světlo (ale také částice) se pohybuje při odrazu po takové trajektorii, aby se z výchozího do
cílového bodu dostalo (rychlostí odpovídající místnímu indexu lomu) v co nejkratším čase.
• Částice se pohybuje po takové trajektorii q(t) a takovou rychlostí ˙q(t), aby při dodržení
zákona zachování energie byla minimální akce, tj. integrál
A = L q(t), ˙q(t), t dt . (1.7)
kde lagrangián L je rozdíl kinetické a potenciální energie částice.
Statistický výklad rovnovážných stavů.
• Popis rovnovážného systému pomocí pravděpodobnostního výkladu dějů. Přechod k rovnováze
je přechodem k makrostavu majícímu největší pravděpodobnost (makrostav realizovaný
největším počtem mikrostavů). Popis fázových přechodů. Termodynamika. Statistická fyzika.
Vzájemný vztah Mezi kauzálním a teleologickým popisem není v rámci klasické fyziky ﬁlozoﬁcký
rozpor, protože jak mechanika, tak optika je přísně deterministická a není v ní tedy prostor pro
vlastní vůli. Oba výklady jsou ve svých důsledcích — jak se ve fyzice dokazuje — ekvivalentní, a
jak již bylo ostatně řečeno, fyzika jev svobodné vůle neuvažuje a nezkoumá.
Ve vědách zkoumajících život je naopak zpravidla přirozenější teleologické vysvětlení:
• Zvíře jde na lov, aby se nasytilo.
• Motýli v březovém háji časem zbělají, aby unikli pozornosti predátorů.
Vysvětlení kauzální, s výčtem faktů a případně s použitím statistiky, zní těžkopádně a svou délkou
odvádí pozornost jinam:
• Zvíře jde na lov, protože má hlad a protože má k tomu v paměti uloženu zkušenost, že hlad
přejde po úspěšném lovu.
• I motýli v březovém háji podléhají přirozenému výběru. Jejich tmavé mutace, pozorujícím
predátorem lépe viditelné na bílé kůře břízy, mají nižší pravděpodobnost přežítí než světlé.
Proto po několika generacích výrazně převáží či úplně přežijí jen světlé mutace motýlů.
Kauzálně založený teoretický fyzik či matematik se o tom poučí např. v úvodních kapitolách v populární
verzi učebnice „Úvod do evoluční biologie , J. Flegr, Praha, Academia 2007.
1.5.3 Klasiﬁkace vědy: fenomenologická, fundamentální
Tato klasiﬁkace je spíše záležitostí historie fyziky a je relativní, tj. v tomto případě závislá na
výběru dvou uvažovaných disciplin; sama o sobě by striktně vzato byla snad každá disciplína
fenomenologická.
Příklad: při zkoumání jevů „teplo , „teplota apod. je termodynamika onou vědou fenomenologickou,
tedy vycházející jen z popisu těchto jevů a ze zkoumání jejich vzájemných vztahů.
Naproti tomu molekulová fyzika uvedené jevy převádí na jevy jiné, „hlubší , totiž na mechanické
vlastnosti a chování molekul. Je tedy vůči termodynamice vědou fundamentální.
(Ovšem koneckonců i té „nejhlubší vědě je vždy nutné něco předpokládat, z toho vycházet a
na základě toho vykládat pozorované jevy.)
16 KAPITOLA 1. O FYZICE OBECNĚ 2018-02-23
1.5.4 „Je foton částice nebo vlna?
Fyzika především popisuje jevy a hledá v jevech zákonitosti. Úspěšnou metodou přitom bývá redukcionismus.
Jev popisujeme na základě modelu tím, že ho převedeme či rozložíme na souhrn
jiných (jednodušších) jevů. Tak např. pohyb Země kolem Slunce převedeme s vyhovující přesností
na gravitační zákon a pohybové rovnice pro dva hmotné body. (Chceme-li přesnost zvýšit, vezmeme
jiný model, zahrneme další vlivy.) Redukcionismus má ovšem své meze i svá úskalí.
Vyslovíme-li otázku typu „Co je to plyn , „Co je to hmota , „Je foton částice nebo vlna? , „Co
je to kvark , očekáváme úplné převedení daného objektu či jevu na objekty či jevy jednodušší. To jde
celkem úspěšně u první otázky: prakticky vždycky nám stačí představa, že plyn je soubor obrovského
počtu částic (molekul), které se na nejbližších vzdálenostech (menších než rozměr molekuly) silně
odpuzují, na větších vzdálenostech naopak jen slabě přitahují silou klesající jako dipólová interakce.
U otázky na podstatu hmoty stačí fakticky jen podat výčet leptonů a kvarků a interakcí mezi nimi,
i když to asi zpravidla tazatele moc neuspokojí. U třetí otázky jsou však podsunuty pouhé dva
klasické modely, z nichž ani jeden nevyhovuje úplně; foton sám však můžeme výstižně popsat
v kvantové elektrodynamice. Otázka typu „Co je to kvark však v tomto kontextu nemá ani
smysl, protože kvark není na co jednoduššího převést. Smysl však má otázka jiná: „Jak se chová
kvark, když . . . , nebo „Co se stane s protonem (složeným ze 3 kvarků), když . . . , a podobně.
Zjednodušující otázka typu „Co to je . . . navádí v takovém případě k jednoduché, případně
elegantní, ale bezobsažné odpovědi užitím jiných nedeﬁnovaných nebo záměrně vágních pojmů typu
„Hmota je nesmírně zhuštěná energie . (A co je pak ta energie? A z čeho je ta? Jak lze tuto deﬁnici
použít, co z ní lze odvodit?) Takové pseudo-odpovědi se ovšem snažte vyhnout (alespoň nejste-li
profesionální politik).
1.5.5 Co s rozpory
Rozpory teorie a přístup k nim:
• Rozpor teorie s praxí:
– revize měření (Weberovo měření s rychlostí světla cca o 10 % větší; zřejmě šlo o omyl v ex-
perimentu);
– revize toho, která teorie a jak byla použita (např. byl použit příliš zjednodušený model);
– revize teorie samé (Rozbor Michelsonova-Morleyova pokusu vedl ke vzniku teorie relativity).
• Vnitřní rozpory a nekonzistence teorie.
Neměly by být, ale proces poznávání je opravdu obtížný. Občas jsou známa „bolavá místa
teorie, kde jistá pragmatická nekonzistentnost je nejjednodušším (příp. zatím jediným známým)
řešením. Tak v chemii předkvantového věku byl rozpor v chování celkem velmi stabilního
benzenu popsaného jako vysoce nenasycený cyklohexatrien se třemi dvojnými vazbami
v uhlíkovém cyklu; teprve kvantová mechanika vysvětlila jeho stabilitu pomocí úplné delokalizace
π-elektronů vytvářejících tyto vazby. Podobně o historickém Bohrově modelu vodíku
se žertem říkávalo, že podle něj se počítá jedním způsobem v pondělí, středu a pátek, jiným
způsobem v úterý, čtvrtek a sobotu, a že v neděli se nepočítá.
1.5.6 Resumé
Víme toho na jednu stranu překvapivě mnoho, ovšem zdaleka ne ani to, co bychom dost urgentně
potřebovali. To je samozřejmě docela dobře — je to šance pro mladé fyziky, ale i pro matematiky:
Nobelovovu cenu za fyziku dostal v roce 1961 matematik Rudolf Ludwig Mössbauer za rezonanční
absorpci γ-záření a s tím spojený jev po něm nazvaný.
Kapitola 2
Základní pojmy („mechanikopis ) 2017-06-10
2.1 Literatura
Jde hlavně o připomenutí známých věcí a zasazení do kontextu. Mnohé z toho je v úvodním kurzu
HRW. Důraz klademe na fyzikální představy, v žádném případě memorování vzorců či velký objem
látky.
Pro rozšíření lze využít zejména webové stránky ÚTF (Langer, Podolský, Semerák), a dále
standardní učebnice teoretické mechaniky
2.2 Použité matematické pojmy
Připomeňme, že vektorový počet i inﬁnitezimální počet (limita, derivace, integrál) se vyvíjely
souběžně s mechanikou a ve svých počátcích byly vytvořeny víceméně „na zakázku pro ni.
Vektorová (newtonovská) mechanika
Derivace: Graﬁcký význam: určuje směrnici tečny. Fyzikální význam: derivace podle času dává
obecně rychlost (pro souřadnici {speed}, {velocity}: v = ds/dt; pro jinou veličinu {rate}: rychlost koroze,
růstu krystalu daná např. dm/dt apod.). Derivace podle prostorových souřadnic dává hustotu,
např. hustotu hmotnosti (dm/dV ), hustotu energie apod.. Pečlivěji viz str. 19.
Pro více nezávislých proměnných, např. v poli, zavádíme parciální derivace podle jednotlivých
proměnných; všechny musí být uvedeny, např. (∂f/∂x)y,z nebo ∂f(x, y, z)/∂x).
Integrál = „spojitý součet . Určitý integrál
b
a f(x)dx udává obsah plochy pod křivkou f(x) od
x = a do x = b. Integrál jako funkce horní meze = primitivní funkce
x
a f(ξ)dξ = F(x), často psáno
F(x) = f(x)dx; potom platí dF(x)/dx = f(x) („opak derivace ).
Viz též Kalkul na mé webové stránce.
Analytická mechanika
Funkcionál: přiřazuje funkci číslo. Typická úloha: která funkce minimalizuje daný funkcionál a
vyhovuje přitom jistým podmínkám (např. ve dvou bodech má dané funkční hodnoty)? Nový pojem:
variace δf funkce f. Variační počet zkoumá vliv malé změny δf průběhu funkce f na vhodný
funkcionál (např. na akci, rov. (1.7)).
Operátor ˆL, např. ˆL(f) = g přiřazuje funkci g k funkci f. Rovněž transformace T (f) = g
přiřazuje funkci g k funkci f.
2.3 Základní fyzikální pojmy a termíny (připomenutí)
2.3.1 Rámec popisu; terminologie
• prostor{space}, 3D-prostor1; 3D kontinuum. Polohu v něm určuje polohový vektor r; jeho
změnu (vektor) posunutí d = rf − ri;
1
3D je běžná zkratka za „trojrozměrný ; podobně 2D atp.
17
18 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY („MECHANIKOPIS ) 2017-06-10
oblast{domain}; 3D-doména je 3D část prostoru (oblast i doména jsou objekty, nikoli veli-
činy);
objem{volume} V je jedna z veličin charakterizujících oblast, míra oblasti (dalšími charakteristikami
oblasti jsou např. poloha jejího těžiště, hranic, geometrický tvar apod.);
plocha{surface}; 2D-doména je 2D část prostoru (plocha i doména jsou objekty, nikoli veli-
činy);
povrch{surface}, hladina je plocha, někdy jen myšlená, většinou oddělující dvě různá prostředí
(povrch i hladina jsou objekty)
obsah{area} A je veličina charakterizující plochu, míra plochy.
• čas{time} (1D kontinuum). Slovo „čas se často používá v různých blízkých významech, nedorozumění
zpravidla nehrozí. Přesto pro úplnost uvádíme:
okamžik{instant} je bod na časové ose (okamžik je objekt, nikoli veličina);
časový údaj; datum{date} je veličina t charakterizující okamžik; počáteční čas (initial time)
ti, koncový čas (ﬁnal time) tf;
(časový) interval{interval} je úsek na časové ose (interval je objekt);
doba{duration}; doba trvání ∆t, t je jedna z veličin charakterizujících časový interval.
Speciálně pro „hodinu rozlišují angličtina i němčina časový údaj (it is 5 o’clock, es ist 5 Uhr)
od doby (during 5 hours, innerhalb 5 Stunden); čeština nikoli (pro obojí slouží „hodina : je
5 hodin, během 5 hodin).
• prostoročas{spacetime} (v STR; 4D) je sjednocením prostoru a (k němu ortogonálního) času.
I v zakřiveném prostoru v OTR je čas vždy lokálně ortogonální k prostoru.
Sv. Augustin v „De tempore („O čase ) odpovídá na otázku, co to je čas: když se mne neptáte, vím, co to je; když
se mne zeptáte, nevím.) To ovšem nevysvětlí pojem času, ale ilustruje potíže s deﬁnicemi právě těch nejzákladnějších
pojmů, kdy již „není z čeho vycházet . Výkladem pojmu či jevu rozumíme jeho převedení na pojmy a vztahy pokládané
na dané úrovni za známé, tj. nevysvětlované hlouběji, nanejvýš přiblížené příkladem.
2.3.2 Zkoumané objekty
• prostředí{medium} je nejobecnější pojem pro vše, co je rozloženo v prostoru a má nějakou
fyzikálně podstatnou vlastnost; může to být hmota (látka), pole (např. elektromagnetické) i
vakuum;
– látka{matter}; hmota{mass} (vs. pole): materiál, z něhož je vytvořena většina objektů,
které ve fyzice sledujeme. Termín látka se užívá zpravidla tam, kde je hmotnost materiálu
málo podstatná (např. v elektrostatice: látkové prostředí vs. vakuum).
– substance{substance}: Látku zpravidla pokládáme za substanci, tj. za něco, co trvá, nevzniká
ani nezaniká a jehož části se nanejvýš jen přesunují v prostoru. Matematickým
vyjádřením této vlastnosti (zachování substance v lokálním tvaru) je rovnice kontinuity
pro hustotu ρ substance:
div(ρv) +
∂ρ
∂t
= 0 . (2.1)
– kontinuum{continuum} je deformovatelné, spojité prostředí. To může být v jednom ze tří
skupenství:
– skupenství{state} je pevné, kapalné nebo plynné. Ostřejší dělení dává fáze:
– fáze{phase} je homogenní prostředí fyzikálně odlišitelné od jiné fáze, např. dvě krystalické
modiﬁkace, třebas i téže látky (CaCO3: vápenec a aragonit). Různá skupenství vytvářejí
vždy různé fáze.
Speciﬁka různých skupenství:
∗ pevná látka{solid}, s, má jistý tvar, ale obecně je schopná deformace (otázky pružnosti,
pevnosti)
Pod vlivem malé konstantní síly se pevné těleso deformuje, tj. jeho části získají
v rovnovážném stavu jinou polohu, ale pak zůstanou v klidu.
Mikroskopicky: molekuly v typické pevné látce jsou uspořádány pravidelně až do
značných vzdáleností.
2.3. ZÁKLADNÍ FYZIKÁLNÍ POJMY A TERMÍNY (PŘIPOMENUTÍ) 19
Populárně řečeno: molekuly jsou „v dotyku v jisté rovnovážné poloze. Pevná látka
má proto vysokou hustotu, je málo stlačitelná a je soudržná.
∗ kapalina{liquid}, l, neudrží smykové napětí („nebrání se stříhání ).
Je málo soudržná – pod vlivem i malé stálé síly (tíže) převezme tvar nádoby, v níž
se nachází, při zachování svého objemu, případně pod vlivem povrchového napětí
zaujme kulovitý tvar.
Pod vlivem konstantní síly získá v rovnovážném stavu jistou rychlost (závislou na
vazkosti, tj. vnitřním tření v kapalině), a pohybuje se tedy stále dál („teče ).
Má zpravidla jen o málo nižší hustotu a je trochu více stlačitelná než pevná látka.
Ideální kapalina{ideal liquid} se pokládá za nestlačitelnou.
Mikroskopicky: molekuly v typické kapalině jsou pravidelně uspořádány jen do malých
vzdáleností.
Populárně řečeno: molekuly jsou skoro v dotyku, ale kloužou po sobě jako zrnka
písku.
∗ plyn{gas}, g, také získá pod vlivem konstantní síly v rovnovážném stavu jistou rychlost.
Plyn má řádově 1 000× menší hustotu než kapalina či pevná látka, není soudržný
(vyplní celý prostor nádoby) a je-li v uzavřeném prostoru, je celkem snadno stlačitelný.
(Na druhou stranu, vzduch v otevřeném ovzduší se za obvyklých rychlostí cca
do 30 m/s pohybuje jako prakticky nestlačitelný.)
Mikroskopicky: molekuly v plynu jsou rozloženy chaoticky a ve velkých vzdálenostech
(za obvyklých podmínek asi 10× více, než je jejich vlastní velikost).
Populárně řečeno: molekuly rychle létají a jsou od sebe asi desetkrát dál, než je
jejich vlastní velikost, takže kromě vlastního okamžiku srážky na sebe nepůsobí
vůbec (ideální plyn{ideal gas}) nebo jen slabě (neideální plyn{non-ideal gas}).
∗ kondenzovaná fáze{condensed matter} je společný název pro pevnou látku a kapalinu
(obě mají vysokou hustotu a malou stlačitelnost).
∗ tekutina{ﬂuid} je společný název pro kapalinu a plyn (obě mají chaotickou mikroskopickou
strukturu).
∗ kritický stav{critical state}(teplota tkr, tlak pkr, molární objem Vm kr), resp. hustota:
stav, v němž mizí rozdíl mezi plynem a kapalinou. Blíže viz termodynamika.
• těleso{body} je prostorově vymezená část látky. V daném čase je určena poloha každé jeho
části v prostoru.
– individualita vs. nerozlišitelnost{indistinguishability}: U těles zpravidla předpokládáme,
že mají svou individualitu (vs. nerozlišitelné{indistinguishable},{indiscernible} objekty, jako
vlna na vodě, kvantové částice, text na displeji PC). Např. při srážce dvou stejných
klasických částic lze po srážce odlišit, která byla která; u vln na vodě, u kvantových
částic či u obrázků na displeji taková otázka ztrácí smysl.
– Charakteristiky tělesa: „míra hmoty
∗ hmotnost{mass} m > 0, [m] = 1 kg je v mechanice nejčastější mírou.
Poznámky:
· „Hmotnost jako míra množství hmoty – vhodné pro fyziku, nikoli pro ﬁlosoﬁi.
Klidová hmotnost se v TR nezachovává, pohybová hmotnost je různá v různých
inerciálních soustavách. Vhodnější mírou je látkové množství s jednotkou mol
(značka rovněž mol).
· Setrvačná hmotnost: vyskytuje se ve vztahu F = ma ;
· Gravitační hmotnost: ve vztahu |F| = Gm1m2
r2 , G ≈ 6, 67 · 10−11 m3 kg−1
s−2.
· Rovnost setrvačné a gravitační hmotnosti je v klasické mechanice náhodná shoda,
stává se významnou v obecné teorii relativity.
∗ látkové množství{amount of matter} N, [N] = 1 mol je výstižnější mírou zejména
tam (např. v termodynamice), kde se vyšetřuje i změna hmoty (např. chemickými
reakcemi);
∗ objem{volume} V , [V ] = 1 m3 (za daného tlaku a teploty) je výhodný pro měření
v praxi, zejména kapalin.
– Hustota: Hustota ρ(r) hmotnosti m je deﬁnována tak, aby hmotnost dm inﬁnitezimální
oblasti dΩ kolem bodu určeného polohou r o objemu dV byla rovna dm = ρdV .
20 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY („MECHANIKOPIS ) 2017-06-10
Obecně: hustota q(r) aditivní veličiny Q (lhostejno, zda skalární, vektorové atp.) je
deﬁnována tak, aby dQ = q(r)dV , kde dQ je celková hodnota veličiny Q v inﬁnitezimální
oblasti dΩ(r) o objemu dV kolem bodu r. Častý zápis derivací q(r) = dQ
dV může snadno
mást (např. v termodynamice), pak je nutné vyjasnit souvislost V a závislosti V na r.
– Některé speciální druhy těles:
∗ hmotný bod{mass point} (HB) je nejjednodušší těleso: jeho vlastní rozměry můžeme
v dané úloze zanedbat a je tedy popsán hmotností (m > 0) a polohou v čase:
r = r(t). Pro zjednodušení textu ho zde nazýváme často částice.
∗ Soustava N hmotných bodů; příklady:
- planety kolem slunce;
- hmotné body s vazbami → pákové mechanismy; tuhé těleso.
Pro N → ∞: kontinuum; molekulová fyzika; statistická fyzika.
∗ Tuhé těleso: takové těleso, které se může přemísťovat, ale nedeformuje se (v dané
úloze), tj. vzájemné vzdálenosti jeho částí se s časem nemění, bez ohledu na event.
působící síly.
∗ deformovatelné{deformable} těleso, kontinuum{continuum}:
- elastické{elastic}, vrací-li se do původního tvaru poté, co síly přestaly působit,
- plastické{plastic}, zůstává-li po působení sil trvalá deformace.
2.3.3 Vlivy působící na zkoumané objekty
• síla{force} popisuje vnější působení na těleso. Síla může měnit polohu částí tělesa v prostoru
(pohyb) nebo i jejich polohu navzájem (deformace). Síla je matematicky popsána vektorem:
F. U částice a soustavy částic viz vázaný vektor, u tuhého tělesa klouzavý vektor.
• pole, silové pole{ﬁeld},{force ﬁeld}: F = F(r, t), popis spojitě rozloženého silového působení.
• vazba{constrain}, které je těleso podrobeno, omezuje jeho pohyb. Nechceme se přitom zabývat
tím, jak je realizována (zda je těleso přivázáno, ve žlábku, na kolejích apod.), ale tím, jak
se toto omezení projeví na pohybu tělesa prostorem. Pro úlohy s vazbami je zvláště vhodná
analytická mechanika.
2.4 Přístup
V klasické mechanice jsou dva základní přístupy: vektorová (newtonovská) mechanika vs. analytická
mechanika (např. Lagrangeův či Hamiltonův formalismus).
• vektorová (newtonovská) mechanika používá pohybové rovnice, které určují časovou
změnu fyzikálních veličin popisujících zkoumané objekty (zpravidla diferenciální rovnice podle
času t). Umožňují tak předpovídat (predikovat) chování systémů v časovém vývoji. Veličiny
mají charakter vektorů (poloha, rychlost, síla);
• analytická mechanika formuluje principy, což jsou obecné výroky o vztazích či o chování
fyzikálních veličin, natolik mohutné, aby v dané oblasti fyziky umožnily určit stav systému či
jeho vývoj. Veličiny jsou zpravidla skalární a mají rozměr energie.
My se zde o analytickém přístupu zmíníme, ale nebudeme se mu věnovat systematicky.
2.4.1 Porovnání: vektorová (newtonovská) mechanika
vykládá chování mechanických systémů (pohyb, rovnováha apod.) užitím základních pojmů
• Hmotný bod (částice), tuhé těleso (TT), těleso;
• Síla (působící na částici);
• Nepoužíváme však pojem vazba (které je objekt podroben), ale podle principu uvolnění
doplníme vazbovou sílu takového směru a velikosti, aby výsledný pohyb vyhovoval vazbě.
2.4. PŘÍSTUP 21
• Pohybové rovnice: především 2. Newtonův zákon, tj. zákon síly: časová změna hybnosti
p = mv hmotného bodu je rovna výslednici F sil, které na hmotný bod působí.
¶ Veličiny popisující soustavu, např. síla, polohový vektor, rychlost, hybnost, zrychlení, . . . jsou matematicky popsány
vektory; odtud označení „vektorová mechanika . Newton ve svých Principiích jako první podal systematický
výklad mechaniky s užitím zejména diferenciálního počtu, který pro tento účel vytvořil.
✻
y
✲x
❅
❅
❅
❅❅
r
①m
ϕ
❅❅■
Fv
l0
❄G
1. příklad: Matematické kyvadlo v rovině – hmotný bod o hmotnosti m na nehmotné tyči
délky l0. Na bod působí dvě síly: jednak tíže G = (0, −mg), jednak vazbová síla
Fv = (2λx, 2λy) vystihující vazbu x2 + y2 − l2
0 = 0. K vyřešení problému řešíme
soustavu 2 rovnic pro 2 neznámé r, λ (neboli po rozepsání do složek 4 rovnice pro
4 neznámé x, y, z, λ):
m¨r = G + Fv ; r2
− l2
0 = 0 (2.2)
(Vazbová síla Fv zde realizuje potřebnou dostředivou sílu Fd = mω2r; toho lze
použít pro zjednodušení řešení). Analytický přístup je naznačen v kap. 2.4.2.
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✻
❄
r1
F1
✻F3
❄F2
r2
ϕ
2. příklad: Rovnováha na páce. Můžeme vyšetřovat čistě newtonovsky jako tuhé těleso;
rovnováha nastane právě tehdy, bude-li rovna nule i výsledná síla, i výsledný moment sil. Odtud
F3 = −(F1 + F2) (2.3)
F1r1 cos ϕ = F2r2 cos ϕ . (2.4)
Analytický přístup je naznačen rovněž v kap. 2.4.2.
2.4.2 Porovnání: analytická mechanika
zkoumá mechanický objekt spíše jako celek, popisovaný vhodně zvolenými proměnnými. Formuluje
různé principy, popisující jeho chování, např. (zjednodušeně):
• princip virtuálních posunutí, resp. virtuální práce (virtuální posunutí je inﬁnitezimální posunutí
splňující vazby):
Soustava je v rovnováze, je-li práce vtištěných sil vykonaná při virtuálním posunutí nulová.
• d’Alembertův princip: I dynamický vývoj soustavy lze popsat principem virtuálních prací,
doplníme-li ke vtištěným silám síly „setrvačné , tj. člen (−ma) ze 2NZ. Protože a = ¨r, přejdou
tím algebraické rovnice na diferenciální, ale přístup zůstává stejný.
• Hamiltonův princip: Mezi všemi myslitelnými pohyby, splňujícími tytéž podmínky počáteční
a koncové, je skutečným pohybem takový, při němž časový integrál z lagranžiánu L(r, v, t) =
Ek − Ep (tj. rozdílu kinetické a potenciální energie) nabývá minimální hodnoty.
Obecně ovšem principy nemohou vést k odlišným výsledkům ani navzájem, ani ve srovnání s vektorovým
popisem a (např.) s Newtonovými pohybovými rovnicemi. Jejich tvar a formulace však
• mohou být v konkretních případech podstatně výhodnější či nevýhodnější jak pro popis zkoumaného
systému, tak i pro proces jeho řešení, tj. zpravidla nalezení rovnovážného stavu či
popisu časového vývoje pro nás zajímavých parametrů;
• mohou umožňovat snadnější rozšíření do nových oblastí mechaniky či fyziky vůbec;
• umožní najít nejlepší aproximaci na třídě funkcí, do níž skutečné řešení nemusí patřit.
22 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY („MECHANIKOPIS ) 2017-06-10
Někdy umožní zodpovědět globální otázku (např. stability řešení), aniž musíme detailně počítat
celý dlouhý časový vývoj soustavy.
Veličiny charakterizující systém v analytické mechanice (např. energie, lagranžián, hamiltonián)
jsou zpravidla skalární a mají rozměr energie.
1. příklad: Matematické kyvadlo z předchozí úlohy bychom analyticky řešili např. zavedením
polárních souřadnic r, ϕ, kde vazba je identicky splněna podmínkou r = l0. Protože rovnovážná
poloha bude pro y = −l0, bude zřejmě výhodné odečítat úhel ϕ od této polohy, tedy
např. zavést x = r sin ϕ, y = −r cos ϕ. Pomocí neznámé souřadnice ϕ vyjádříme potenciální energii
Ep = −mgl cos ϕ a kinetickou energii Ek = 1
2ml2
0 ˙ϕ2, z nich lagranžián L(ϕ, ˙ϕ) = Ek − Ep a z něj
pomocí tzv. Lagrangeových rovnic 2.druhu pohybovou rovnici
ml2
0 ¨ϕ + mgl0 sin ϕ = 0 . (2.5)
Jiný přístup: Analytické ideji je rovněž blízký postup, kdy vycházíme ze zákonů zachování. Zde
(1D případ) postačí jediný zákon zachování, např. energie:
E0 =
1
2
mv2
+ mgy =
1
2
ml2
0 ˙ϕ2
− mgl0 cos ϕ , (2.6)
což můžeme též získat z výše uvedené rovnice vynásobením ˙ϕ a jednoduchou integrací.
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✻✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘
❄
r1
F1
❄F2
r2
ϕ
δϕ
②
❅❅
✁
✁
2. příklad: Rovnováha na páce. Při vyšetřování páky principem virtuální práce si představíme
malý pohyb soustavy kolem rovnovážné polohy (o úhel δϕ) a spočteme vykonanou práci;
poloha bude rovnovážná, je-li úhrnná vykonaná práce rovna nule:
δA = F1r1 cos ϕ δϕ − F2r2 cos ϕ δϕ = 0; tedy F1r1 = F2r2 . (2.7)
To vede samozřejmě k témuž výsledku jako dříve, ale jinou cestou a s jinou interpretací.
Příklad snadný analyticky, ale obtížný newtonovsky (nezmýlit se ve volbě sil): liftboy
vytahuje sám sebe i s výtahem přes pevnou vnější kladku. (Obrázek vedle.)
Jak vektorové, tak i analytické pojetí je použitelné i mimo mechaniku, např. v teorii
pole. Analytický popis lze zpravidla snadněji zobecňovat (systém je popsán jedinou
veličinou).
2.5 Matematický aparát: vektorová algebra
Tato kapitola není výkladem, pouze připomíná užívaný aparát a označení.
2.5.1 Skalár α
Skalár2 nabývá jediné číselné hodnoty (s event. rozměrem). Příkladem z fyziky může být teplota,
energie, hmotnost, z geometrie třeba délka úsečky, objem tělesa. Rovněž obyčejná čísla jako −7.25,
π apod. můžeme pokládat za skaláry.
V teoretické fyzice zužujeme pojem skalár na takovou veličinu, která se navíc nemění při změně vztažné soustavy
(tj. zůstává invariantní při transformaci souřadnic). Velikost vektoru v = |v| je tedy skalár, zatímco složka vektoru Fx
nebo energie E nikoli, třebaže jsou popsány jediným číslem (s rozměrem). Pseudoskalár je skalární veličina, která
při inverzi jedné prostorové osy změní znaménko, např. orientovaný objem V = a · (b × c).
Skaláry budeme zde ve vzorcích značit malými řeckými písmeny: α, β, γ.
V konkretních aplikacích můžeme být samozřejmě vázáni jinými zvyklostmi co do označení skaláru.
Součet skalárů α + β, rozdíl α − β. Součin nejčastěji prostým zápisem po sobě αβ, případně
hvězdičkou α ∗ β tam, kde by mohlo dojít k nedorozumění (např. součin dvou čísel: 3 ∗ 2π).
Tečku (α · β) a křížek (α × β) ponecháme pro jiné účely, totiž pro skalární a vektorový součin vektorů.
Připomeňme, že násobení skalárů je:
2
lat. scala = žebřík, schody, „škála ; skaláry nabývají takových hodnot, které lze uspořádat do řady.
2.5. MATEMATICKÝ APARÁT: VEKTOROVÁ ALGEBRA 23
— komutativní: α ∗ β = β ∗ α resp. αβ = βα
— asociativní: (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ) resp. (αβ)γ = α(βγ)
a lze je tedy psát i bez závorek:
α ∗ β ∗ γ resp. αβγ
— distributivní: α ∗ (γ + δ) = α ∗ γ + α ∗ δ resp. α(γ + δ) = αγ + αδ
(α + β) ∗ δ = α ∗ δ + β ∗ δ resp. (α + β)δ = αδ + βδ
Skalární funkce: nabývá číselné hodnoty (s event. rozměrem). Např. teplota T se může měnit
s časem t: píšeme T = T(t).
Pole: funkce, závisející na prostorových souřadnicích. Příklad skalárního pole: teplota ovzduší T
závisející na souřadnicích x, y a na nadmořské výšce z, tedy T = T(x, y, z) (ev. dalších parametrech:
T = T(r, t, α)). Ekviskalární čáry, příp. plochy (vrstevnice, izobary, izotermy apod.), na nichž je
hodnota příslušného skaláru konstantní.
2.5.2 Vektor v
Popis složkový – trojice čísel (v1, v2, v3), resp. (vx, vy, vz) s deﬁnovanými operacemi rovnosti a
sčítání (= skládání). Popis geometrický (směr a velikost).
V teoretické fyzice zužujeme pojem vektor na takovou veličinu, která se navíc při změně vztažné
soustavy transformuje jako inﬁnitezimální posunutí dr. Pseudovektor při inverzi jedné prostorové
osy nezmění znaménko, např. úhlová rychlost ω či magnetická indukce B (při jeho deﬁnici musíme
užít nějakou konvenci typu pravidla pravé ruky apod.. Někdy se pseudovektor nazývá axiálním
vektorem, „obyčejný vektor pak polárním vektorem.
✆
✆
✆
✆
✆
✆
✆ aa2
a2
a1a1O
 
 
 
 
  ✒
✆
✆
✆
✆
✆✆
❤❤❤❤❤
Zde se zabýváme jen ortonormálními (kartézskými) souřadnicemi. V kosoúhlých
souřadnicích je nutno rozlišovat složky kovariantní ai od kontravariantních
ai podle obrázku vedle. Totéž rozlišení je ovšem i u tenzorů
libovolného řádu: Tij
klm.
Souřadnice, složky vektoru
Jestliže vektor a ve vztažné soustavě s jednotkovými vektory ik rozložíme
na a = k akik, pak ak se nazývají souřadnice vektoru a, zatímco akik jsou
složky vektoru a.
Tato terminologie se často nedodržuje, zpravidla to však nevede k nedoro-
zumění.
Polohový vektor r popisuje bod v prostoru („koncový bod polohového vektoru; u jiného než
polohového vektoru – např. rychlost v, síla F – nemá „koncový bod smysl).
Nulový vektor složkově: 0 = (0, 0, 0). Geometricky: velikost 0, směr není deﬁnován. Prakticky:
lze zvolit libovolný směr, který nám v úloze vyhovuje.
Jednotkové vektory j, někdy je značíme exponentem 0, tedy např. a0 = a/a. Platí |j| = 1.
Rovnost vektorů a, b: složkově ak = bk, geometricky stejné směry i velikosti.
Sčítání (na SŠ skládání) vektorů: po složkách resp. pravidlo rovnoběžníka. Sčítání vektorů je
komutativní, asociativní, existuje nulový prvek 0, opačný prvek (vektor −v).
Odčítání: přičítání opačného prvku. Odčítání není asociativní, je antikomutativní.
Násobení vektoru skalárem: je distributivní v obou smyslech, tj.
(a + b)v = av + bv (2.8)
a(v + w) = av + aw (2.9)
2.5.3 Vektorová funkce, vektorové pole
Zobrazení vektorového pole siločárami (vektorovými liniemi): v je deﬁnováno všude, kde je v = 0,
je spojité – každým bodem prochází právě jedna siločára, vystihuje směr. K vystižení velikosti lze
použít hustotu siločar: zvolím jednu siločáru,
−→
dΣ kolmé k ní, skrz
−→
dΣ nechť prochází N siločar; pak
hustota N/dΣ určuje číselnou hodnotu pole. Tyto (vybrané) siločáry ovšem už nemusí být spojité.
2.5.4 Pojetí geometrické a složkové
V geometrickém pojetí je vektor určen svou velikostí r ≥ 0 a směrem (pro r > 0).
24 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY („MECHANIKOPIS ) 2017-06-10
Ve složkovém pojetí má vektor tři kartézské složky; značíme je indexy.
• volný index ai; podobně tenzor akbj, Tklmn apod.
• sčítací index 3
k=1 akbk; lze pro něj užít jakékoli ve členu dosud neužité písmeno.
Einsteinova konvence sčítacího indexu: akbk ≡ 3
k=1 akbk.
Index vyskytující se ve členu jen jednou je volný; index vyskytující se dvakrát je sčítací; index vyskytující se třikrát či
vícekrát je chybný.
2.5.5 Součiny vektorů
Mezi vektory zavádíme součin skalární, vektorový a přímý (neboli direktní, tenzorový, dyadický).
Lze je aplikovat i na tenzory libovolných řádů; násobení vektoru skalárem je pak přímý součin
skaláru a vektoru.
Deﬁnice
• Skalární součin dvou vektorů: α = δikviwk = viwi; výsledkem je skalár.
• Vektorový součin dvou vektorů: bi = εijkvjwk; výsledkem je vektor (přesněji: pseudovektor,
kap. 2.5.2).
• Přímý součin dvou vektorů: Tij = viwj; výsledkem je tenzor řádu 2.
Asociativita
• u skalárního a · (b · c) nemá smysl, a rovněž a(b · c) = (a · b)c;
• u vektorového smysl má, ale neplatí: a × (b × c) = (a × b) × c
• přímý součin je asociativní: ai(bjck) = (aibj)ck = aibjck.
Komutativita
• skalární součin je komutativní, a · b = b · a = aibi
• vektorový součin je antikomutativní, a × b = −b × a = εijkajbk
• přímý součin není ani komutativní, ani antikomutativní: obecně aibj = ajbi
Distributivní zákon platí pro všechny tři součiny.
Smíšený součin [a, b, c] — objem rovnoběžnostěnu.
[a, b, c] = a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) (2.10)
= (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b (2.11)
Dvojnásobný vektorový součin a × (b × c) = b (a · c) − c (a · b)
Řešení rovnic Předpokládejme známý vektor a = 0. Jestliže
a · v = γ , (2.12)
a × v = b , (2.13)
pak v =
1
a2
aγ − a × b = v + v⊥ (2.14)
Interpretace: rozklad vektoru v na složku v⊥ kolmou k a a složku v rovnoběžnou s a.
2.5. MATEMATICKÝ APARÁT: VEKTOROVÁ ALGEBRA 25
2.5.6 Volný, vázaný, klouzavý vektor
Pojem vektoru rozšiřujeme v mechanice tuhého tělesa (str. 83) tímto postupem:
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘
pF
✘✘✘✿r
F
B
rB
✘✘✘✿r
F
B’
rB’
❍❍
❍❍
❍❍❨
✻
O
• Volný vektor F je dosavadní vektor, tj. veličina určená velikostí a orientovaným směrem,
skládající se podle pravidel vektorového počtu.
• Vázaný vektor3 [F; B] je dvojice volný vektor F a bod B, nazývaný umístěním vektoru F,
případně působištěm, jde-li o sílu. Bod B může být zadán svým polohovým vektorem RB.
Libovolná algebraická operace ⊗ mezi vázanými vektory [F; B] a [G, C] má smysl jen tehdy,
když B = C; pak je jejím výsledkem
[F; B] ⊗ [G; B] = [F ⊗ G; B]. (2.15)
• Klouzavý vektor F; B (síla působící na TT) je třída ekvivalentních (∼) vázaných vektorů
s týmž volným vektorem F a s umístěním B’ kdekoli na vektorové přímce pF vektoru F.
Označíme-li F0 jednotkový vektor se směru vektoru F, pak pro libovolné λ deﬁnovaný bod
B’ podle vztahu
RB’ = RB + λF0 (2.16)
může být použit jako umístění pro klouzavý vektor:
F; B ∼ F; B’ . (2.17)
2.5.7 Tenzor Tij; Ti,...,k
Řád tenzoru (počet volných indexů). Skalár je tenzor řádu 0, vektor je tenzor řádu 1. Tenzor 2.
řádu zpravidla zapisujeme maticí, tenzor libovolného řádu n složkově jako Ti, j, . . . , s
n
.
Nulový tenzor má všechny prvky rovny nule: Tik = 0 pro vš. i, k.
Jednotkový tenzor Iik má na diagonále 1, mimo ni 0, tedy Iik = δik.
Tenzor je symetrický ve dvojici indexů i, k, když T...i,...k,... = T...k,...i,.... Někdy značíme T(ik).
Tenzor je antisymetrický ve dvojici indexů i, k, když T...i,...k,... = −T...k,...i,.... Někdy značíme T[ik].
Je-li tenzor v jednom páru indexů symetrický a v druhém se společným indexem antisymetrický,
je nulový: Je-li Tijk = Tjik a také Tijk = −Tikj, pak Tijk = 0 pro všechna i, j, k.
Úžení sníží řád vektoru o 2: Tij → Tkk.
Kronecker: δik. Skalární součin: a · b = aibkδik = akbk.
Pozor, δii = 3, nikoli 1! Proč? (Einsteinova sčítací konvence).
Lévi-Cività: εikl. Vektorový součin c = a × b: pak ci = εijkajbk.
εijkεpqr = δipδjqδkr + δiqδjrδkp + δirδjpδkq − δipδjrδkq − δiqδjpδkr − δirδjqδkp (2.18)
εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp (2.19)
εijkεijp = 2δkp (2.20)
εijkεijk = 6 (2.21)
3
Vzájemné rozlišení těchto vektorů není obecně kodiﬁkováno a vyrozumí se (nebo by se aspoň mělo vyrozumět)
z kontextu. Zde používáme závorky [ ] pro vázaný a pro klouzavý vektor.
26 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY („MECHANIKOPIS ) 2017-06-10
2.6 Matematický aparát: vektorová analýza
2.6.1 Parciální derivace (∂, nabla ∇)
Vektorový operátor4 nabla:
−→
∇ ≡ ∂
∂x , ∂
∂y , ∂
∂z ≡ (∂x, ∂y, ∂z).
2.6.2 Gradient (grad, ∇)
u =
−−−→
grad ϕ ≡ ∇ϕ (přímý součin), neboli uk = ∂kϕ.
Je-li T(r, t) pole teploty, udává
−−−→
grad T(r0, t) směr největšího růstu teploty T v místě r0 v čase t.
Vrstevnice na mapě jsou ekviskalární křivky h(x, y) = h0 k funkci „nadmořská výška h(x, y).
Spádnice zobrazují směr jejího 2D gradientu.
2.6.3 Totální derivace (d)
neboli úplná derivace veličiny q, zpravidla podle času, značí se dq
dt , podle Newtona tečkou nad
písmenem: ˙q; jde o derivaci podle jediné proměnné t. Ve fyzice a v technice se užívají zápisy
˙q = ˙q(r, t) =
dq(r, t)
dt
=
∂q
∂x
dx
dt
+
∂q
∂y
dy
dt
+
∂q
∂z
dz
dt
+
∂q
∂t
=
−−−→
grad q · v +
∂q
∂t
= v · ∇q +
∂q
∂t
(2.22)
což není matematicky korektní: fyzikálně jde sice o tutéž veličinu, ale je vyjádřena v různých
proměnných (q(t) vs. q(x, y, z, t)) nebo jde o proměnnou jednou závislou, podruhé nezávislou (x(t)
vs. x). Matematicky korektní zápis ukážeme na následujícím příkladu.
Příklad: Po rybníce plave loďka, má souřadnice x(t), y(t). Dá-li se rybník vypouštět, je v něm
v místě [ξ, η] na čase t závislá hloubka h = h(ξ, η, t). Údaj q(t) sonaru na loďce se s časem mění.
Rychlost ˙q(t) změny údaje sonaru s časem je rovna
˙q =
dq
dt
=
∂h
∂ξ
dx
dt
+
∂h
∂η
dy
dt
+
∂h
dt
. (2.23)
Ve fyzice a v technice se obvykle ztotožňují q ≡ h, z ≡ ξ, y ≡ η.
Obvyklé názvy:
˙q ≡
dq
dt
=
∂q
∂x
˙x +
∂q
∂y
˙y +
∂q
∂z
˙z +
∂q
∂t
, neboli
dq
dt
= v ·
−−−→
grad q +
∂q
∂t
. (2.24)
Člen dq
dt se nazývá úplná čili totální derivace; v našem příkladu popisuje změnu údaje sonaru.
Člen v ·
−−−→
grad q se nazývá konvekční čili proudová derivace; je dán pohybem loďky a proﬁlem dna.
Člen ∂q
∂t se nazývá lokální čili místní derivace a popisuje „vypouštění rybníka .
Detaily k této rovnici viz Kalkul.
2.6.4 Součiny operátoru nabla
Derivuje-li vektorový operátor ∇ tutéž veličinu, na kterou se váže coby vektor příslušným součinem,
užívají se pro něj speciální názvy:
Divergence váže-li se skalárním součinem: β = div v ≡ ∇ · v neboli β = δjk∂jvk = ∂ivi.
Je-li v(r, t) rychlost plynu v místě r v čase t, udává div v vydatnost vzniku (zdroj, zřídlo, při
negativní hodnotě nor) plynu v místě r0 v čase t.
4
Omlouvám se čtenáři za své pedantství, se kterým píšu šipku i nad nablou, i nad gradientem a rotací, protože to
jsou vektory. Obvykle se to nedělá, ale aspoň se příslušné značky z tohoto důvodu tisknou tučně.
2.6. MATEMATICKÝ APARÁT: VEKTOROVÁ ANALÝZA 27
Rotace váže-li se vektorovým součinem: a =
−→
rot v ≡ ∇ × v, neboli ai = εijk∂jak .
Je-li v(r, t) rychlost plynu v místě r v čase t, udává
−→
rot v svým směrem osu v prostoru, kolem které
se má tendenci plyn točit (tvořit vír).
Gradient ve všech ostatních případech:
−−−→
grad Θ; (a1 ·
−−−→
grad )(a2 ·
−−−→
grad )ϕ.
2.6.5 Laplaceův operátor (laplacián △)
Skalární operátor:
△ ≡ ∇ · ∇ =
d2
dx2
+
d2
dy2
+
d2
dz2
(2.25)
Pro skalár ϕ bývá vhodný tvar △ϕ ≡ div
−−−→
grad ϕ ;
Pro vektor v bývá vhodné užít relaci
−→
rot
−→
rot v =
−−−→
grad div v − △v .
Fyzikální aplikace: Pole ϕ (gravitační, elektrostatické) se zdrojem hustoty ρ vyhovuje vztahu
△ϕ ∼ −ρ ; (2.26)
součinitel úměrnosti závisí na volbě jednotek pro ϕ a ρ.
Pole ϕ v oblasti beze zdrojů (△ϕ = 0) je harmonickou funkcí a splňuje větu o střední hodnotě:
ϕ(r0) je rovno střední hodnotě z ϕ(r), kde r určují povrch koule se středem v r0, tedy
ϕ(r0) =
1
4πa2
Γa
ϕ(r)dr , (2.27)
kde Γa je povrch koule o poloměru a a středu v r0.
Existenční věta: Znalost △u uvnitř oblasti V + hraniční podmínky na hranici V určují u uvnitř
celé oblasti V jednoznačně.
Odtud plyne: Znalost
−→
rot u a div u uvnitř oblasti V + hraniční podmínky na hranici V určují
pole u uvnitř celé oblasti V jednoznačně.
28 KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY („MECHANIKOPIS ) 2017-06-10
Kapitola 3
Kinematika hmotného bodu 2016-05-30
3.1 Předmět kinematiky
Kinematika se zabývá jen popisem geometrie pohybu (poloha, čas, rychlost. . . ), tedy bez zřetele
k příčinám pohybu. Nepotřebuje proto pojmy jako síla, hmotnost, hybnost, energie . . .
3.2 Základní pojmy
3.2.1 Vztažná soustava
Polohu objektu určujeme vzhledem k jiným tělesům zvaným referenční tělesa. Abstrakcí z referenčních
těles dostáváme pojem referenční systém neboli vztažná soustava. Zde budeme
používat především kartézskou vztažnou soustavu se třemi na sebe kolmými osami x, y, z. Poloha
bodu v okamžiku t je určena jeho polohovým vektorem r(t) = {x; y; z}, viz dále.
Newton předpokládal existenci „absolutního prostoru a „absolutního času jakožto referenční
soustavy pro své zákony. V současném pojetí klasické mechaniky stačí k témuž jakákoli inerciální
soustava (viz kap. 4.4.4).
Řadu úloh z kinematiky, zejména v souvislosti se změnami vztažné soustavy, lze výhodně znázornit
(a často tím i vyřešit) graﬁcky, viz kap. B.1. Dvě úlohy probereme zde na konci, v kap. 3.6.
Problematikou přechodu popisu mezi (inericálními) vztažnými soustavami při všech rychlostech,
i blízkých světelné rychlosti, se zevrubně zabývá speciální teorie relativity, kap. 8.
3.2.2 Poloha, r (bodu)
Polohový vektor r
Polohový vektor se zpravidla značí r (z lat. radius, paprsek) a jeho souřadnice x, y, z, při indexování
x1, x2, x3. Poloha se obecně mění s časem (= pohyb v užším smyslu): r = r(t).
Posunutí ∆r
∆r := rf −ri je deﬁnováno jako vektor rozdílu koncové (ﬁnální) a počáteční (iniciální) polohy bodu.
Elementární posunutí dr
(též inﬁnitezimální posunutí) je popsáno diferenciálem polohového vektoru: dr ≡ d(r). Má
rovněž charakter vektoru. Použití: např. dr = dr
dt dt = vdt. Častá je obrazná interpretace „dva
sousední body (rozumí se velmi blízké z hlediska úlohy).
29
30 KAPITOLA 3. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2016-05-30
3.2.3 Trajektorie (= křivka)
je křivka Γ, kterou bod během svého pohybu prochází, tedy množina všech koncových bodů polohového
vektoru r(t) pro jistý časový interval, tj. pro všechna t ∈ (t1, t2). Může být zadána např.
parametricky: x = x(p), y = y(p), z = z(p). Často se užívají parametrizace časem (p ≡ t) a parametrizace
uraženou drahou (p ≡ s, tzv. přirozená parametrizace, např. kilometrovníky na silnici,
krejčovský metr).
Tečný vektor τ k trajektorii
Tečný vektor je deﬁnován jako τ := dr
ds ; má velikost 1.
Derivací τ · τ = 1 dostaneme 0 = d(τ·τ)
dt = 2τ · ˙τ 0, tedy derivace tečného vektoru je na tečný vektor
kolmá.
Vektor normály ν
je kolmý na tečnu k trajektorii a leží v rovině dané vektory τ a ˙τ. Má proto směr stejný jako ˙τ.
Vektor binormály β
Je deﬁnován jako β := τ0 × ν a je kolmý na τ0 i ν.
3.2.4 Křivost κ (křivky)
Oskulační kružnice prochází třemi „sousedními body křivky.
✫✪
✬✩
  ✠
ss
s
R
??? Otázka: Deﬁnujte tento názorně zavedený pojem přesněji, užitím pojmu limity. (→str. 30)
!!! Odpověď ze str. 30: Např.: Budiž dána parametricky křivka r(t). 0značme Bk(h) bod křivky pro t = tO + kh; ; h > 0.
Pak říkáme, že v bodě B0(0) má křivka oskulační kružnici o středu Br a poloměru r(0), pokud existuje h0 > 0 takové, že pro
všechna h < h0 a pro k = −1, 0, 1 existuje r(h) takové, že BkBr = r(h) a existuje limita limh→0 r(h).
Poloměr křivosti R je poloměr kružnice oskulační k trajektorii. Platí
Rdϕ = ds = (dx)2 + (dy)2 = dx 1 + y′2
tan ϕ = dy
dx = y′; ϕ = arctan y′;
Rd(arctan y′)
dx = R y′′
1+y′2 = 1 + y′2
odkud
R =
(1 + y′2)3/2
y′′
(3.1)
Křivost (křivky) κ je převrácenou hodnotou poloměru křivosti:
κ = 1/R = y′′
/(1 + y′2
)
3
2 . (3.2)
Lze ji uvést na symetričtější tvar
κ =
d2r
ds2
=
d2x
ds2
2
+
d2y
ds2
2
+
d2z
ds2
2
. (3.3)
3.3. POLOHA A RYCHLOST OBECNÝCH OBJEKTŮ 31
3.2.5 Délka křivky, dráha
Element délky křivky určíme podle Pythagorovy věty:
(ds)2
= (dx)2
+ (dy)2
+ (dz)2
(3.4)
např. pro křivku danou vztahy y = y(x), z = z(x) je
ds = |dx| 1 + y′2 + z′2 . (3.5)
Dráha (= délka křivky) s s =
s2
s1
ds = s2 − s1, je závislá na procházené trajektorii Γ, nejen
na koncovém a počátečním bodě (jako posunutí, kap. 3.2.2).
Někdy se užívá slova dráha volně, ve smyslu trajektorie: „Dráhy planet jsou elipsy .
3.2.6 Rychlost v, posuvná rychlost (bodu)
v = ˙r :=
dr
dt
. (3.6)
Podle deﬁnice (3.6) je rychlost vektorem. Angličtina rozlišuje velocity (vektor rychlosti v) a speed
(velikost rychlosti v = |v| tohoto vektoru). Čeština bohužel takové rozlišení nemá, norma doporučuje
termín rychlost pro vektor rychlosti. V zadání fyzikální úlohy proto píšeme raději „Auto jede
rychlostí o velikosti 50 km/h .
Plný termín „posuvná rychlost užíváme, chceme-li zdůraznit, že nejde o rychlost úhlovou ap.
←֓ Rychlost lze rozumně deﬁnovat nejen pro částici, ale i pro nehmotné objekty a abstrakta, lze-li jim přiřadit
význačný bod. Jde-li o těleso (nikoli částici), míní se jeho rychlostí rychlost nějakého jeho význačného bodu (zpravidla
rychlost těžiště, není-li výslovně určeno jinak). Jde-li o substanci (kontinuum), jde zpravidla o pole rychlosti (tj.
o funkci v = v(x, y, z, t)).
U abstrakt není rychlost vůbec samozřejmá a je třeba ji deﬁnovat velmi pečlivě (např. rychlost vlny; fázová
rychlost je deﬁnována jako rychlost pohybu míst stejné fáze, na rozdíl od grupové rychlosti či rychlosti přenosu
energie; podobně u rychlosti obrazce moiré; „rychlost šíření tepla při difuzi je značně komplikovaný pojem). Tyto a
podobné rychlosti je rozumné probrat nikoli obecně zde, ale až tam, kde se opravdu použijí.
3.2.7 Zrychlení a (bodu)
a := ˙v = ¨r. (3.7)
Rozklad zrychlení na tečnou at a normálovou an složku:
v =
dr
dt
=
dr
ds
ds
dt
= vτ 0
;
a =
dv
dt
=
dv
dt
τ 0
+ v
dτ 0
dt
=
dv
dt
τ 0
+ v
dτ 0
ds
ds
dt
=
at
dv
dt
τ 0
+
an
v2
R
ν 0
Význam: at popisuje změnu velikosti rychlosti, an popisuje změnu směru rychlosti.
3.3 Poloha a rychlost obecných objektů
Poloha r i rychlost v = ˙r (i zrychlení a = ¨r) byly jasně deﬁnovány pro bod. Lze je zobecnit i
na jiné objekty (poloha tělesa), které ani nemusejí být substancí (fázová rychlost vlny či moiré
obrazce). Deﬁnice pak ovšem musí být dosti obezřetná, nejde o „samozřejmost . Připomeňme, že
rychlost vlny na vodě, co do velikosti i směru, nesouvisí s pohybem částic tvořících tuto vodu (korek
na hladině rybníka kmitá jen nahoru a dolů, zatímco vlna přeběhne od jednoho kraje rybníka ke
druhému).
Jsou prakticky dvě možnosti tohoto zobecnění:
32 KAPITOLA 3. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2016-05-30
• objekt lze pro danou úlohu popsat jediným bodem (např. těleso jeho hmotným středem nebo
metacentrem). Pak lze snadno mluvit o jeho poloze, rychlosti, zrychlení;
• zavedeme v jednom okamžiku každém bodě r dané oblasti uvažovanou charakteristiku Q (fáze
vlny, polohu jisté „částečky objektu), stanovíme novou polohu r ′, kterou tato charakteristika
má za inﬁnitezimální dobu dt a odtud určíme rychlostní pole
w(r) :=
r − r ′
dt
(3.8)
které přiřadíme veličině Q.
Pokud ve druhém případě je w(r) táž pro všechna r v dané oblasti („rychlostní pole je homogenní ),
lze mluvit přímo o rychlosti veličiny Q bez zavedení pole; to je případ fázové rychlosti rovinné vlny.
Výběr veličiny Q vůbec není samozřejmý např. při pokusu o deﬁnici rychlosti šíření tepla vedením
(kondukcí). Není na místě zde rozebírat detaily, ale je třeba o tomto úskalí obecně vědět.
3.4 Úhlové veličiny
Úhlové veličiny se uplatňují např. při popisu pohybu tuhého tělesa (kap. 7.2) nebo při problému
dvou těles (kap. A). Vždy existuje význačný bod O (počátek souřadnic, těžiště tělesa,. . . ), resp.
orientovaná osa o jím procházející, kolem které probíhá otáčení o měřený úhel ϕ.
3.4.1 Úhlová poloha ϕ
(častěji: natočení, otočení) je charakterizováno dvěma veličinami:
• úhlem ϕ
• orientovanou osou otočení (s orientací např. dle pravidla pravé ruky).
Pozor, dvojice {ϕi; oi} se jako vektor Ωi chová jen ve dvou případech:
• otočení kolem pevné osy o libovolný úhel ϕi) (poloha osy se přitom nemění ani vůči tělesu,
ani vůči prostoru (tj. oi = ok pro všechna i, k) nebo
• inﬁnitezimální otočení dϕi (kolem libovolné osy oi).
V ostatních případech nelze takové otočení popsat vektorem (součet dvou otočení závisí na pořadí,
není tedy komutativní na rozdíl od sčítání vektorů).
3.4.2 Úhlová rychlost ω
Deﬁnice:
|ω| = ˙ϕ, směr ω je dán osou rotace. (3.9)
Úhlová rychlost je vektor, protože byla zavedena z inﬁnitezimálního, nikoli konečného otočení.
(Přesněji řečeno, jde o pseudovektor, kap. 2.5.2).
3.4.3 Úhlové zrychlení ε
Deﬁnice:
ε = ˙ω . (3.10)
3.5 Plošné veličiny
Plošné veličiny se uplatňují např. při problému dvou těles (kap. A).
3.6. VÍCE VZTAŽNÝCH SOUSTAV 33
3.5.1 Plošná rychlost w
Deﬁnice:
w = lim
t′→t
1
2
r(t) × r(t′)
t′ − t
=
1
2
r × v. (3.11)
Závisí na volbě počátku O.
3.5.2 Plošné zrychlení ˙w
Deﬁnice:
˙w =
1
2
r × a (3.12)
Závisí rovněž na volbě počátku O.
3.6 Více vztažných soustav
3.6.1 Problematika
Úlohy, v nichž jsou dílčí vztahy popsány v různých vztažných soustavách, je potřeba převést do
jediné. Jako ukázku zde vyřešíme dvě situace, kdy periodický děj je popsán v jiné vztažné soustavě
než v té, kterou bychom chtěli použít. Dobrodružný čtenář může řešit, jak se z hlediska pronásledujícího
policejního auta jeví bandité, kteří za jízdy střílí a houkají sirénou. Dopad střel a zvuku
bude jistě různý z různých hledisek; my si všimnene jen jednoho – fyzikálního, a to změny frekvence
(tj. kadence zbraně, resp. výšky tónu sirény) pro pozorovatele.
Hlavní rozdíl mezi těmito úlohami je v tom, že zvuk má danou rychlost v ≈ 330 m/s vůči
vzduchu, v němž se šíří, zatímco automatická zbraň má rychlost střely v ≈ 715 m/s vůči ústí
hlavně. Také rozdíl ve frekvenci je cca 2 řády, ale ten nemění postup řešení.
3.6.2 Dopplerův jev
Tón frekvence fzdr vysílaný (na obě strany) zdrojem pohybujícím se rychlostí vzdr vůči Zemi vnímá
pozorovatel, který stojí nebo se pohybuje rychlostí vpoz vůči Zemi, s jinou frekvencí fpoz. Označme
vsig rychlost zvuku ve vzduchu (předpokládáme bezvětří).
Pro zápis (a fakticky i pro řešení) použijeme graﬁcké zobrazení z kap. B.1. Zakreslíme světočáry
zdroje a pozorovatele ve vztažné soustavě spojené se Zemí (viz obr.).
0
t
x
 
 
 
 
 
 ✒
poz.
✁
✁
✁
✁
✁
✁✕
zdr.
✟✟
✟✟
✟✟✯
❍❍❍❨
sig.
❜
A
❜
B
Předpokládejme nejprve, že pozorovatel je rychlejší než zdroj zvuku
(zvuk ho dohání a všechny rychlosti jsou kladné). Počátek zvolíme v okamžiku,
kdy se míjejí (událost 0), a tam bude i první zvukový signál (např.
maximum akustického tlaku). Druhý signál (následující maximum) je vyslán
(A) a přijat (B).
Z deﬁnice rychlosti (rychlost = dráha / doba) dostáváme vztahy
vzdr =
xA
tA
(3.13)
vpoz =
xB
tB
(3.14)
vsig =
xB − xA
tB − tA
, (3.15)
eliminujeme xA, xB z rov. (3.15) a spočteme
tB
tA
. Dosazením (f = 1/T) dostaneme konečně
fpoz
fzdr
=
vsig − vzdr
vsig − vpoz
(3.16)
Je-li naopak zdroj zvuku rychlejší než pozorovatel, je formálně vsig < 0, úloha však má řešení stejné.
??? Otázka: Jak by se na výsledku projevil vítr rychlosti vvítr? (→str. 33)
!!! Odpověď ze str. 33: Rychlost zvuku se ve vzorci zvýší o rychlost větru.
34 KAPITOLA 3. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2016-05-30
3.6.3 Kadence pohybující se zbraně
0
t
x
 
 
 
 
 
 ✒
poz.
✁
✁
✁
✁
✁
✁✕
zbr.
✏✏✏✏✏✏✶
❆
❆❆❑ stř.
❜
A ❜
B
Kadenci fzbr (počet střel vypálených za sekundu) zbraně na vozidle jedoucím
rychlostí vzbr vnímá pozorovatel pohybující se rychlostí vpoz jako
četnost fpoz dopadu střel. Rychlost střely u ústí hlavně označme vstř, odpor
vzduchu zanedbáváme.
Principiální rozdíl mezi předchozím problémem spočívá v tom, že vůči
Zemi má střela nyní rychlost jinou, totiž v′
stř = vstř + vzbr. Platí tedy
fpoz
fzbr
=
vstř
vstř + vzbr − vpoz
(3.17)
??? Otázka: A jakpak by se na tomto výsledku projevil vítr rychlosti vvítr? (→str. 34)
!!! Odpověď ze str. 34: Nijak. Na rozdíl od zvuku, vítr střelu „nenese . I odpor vzduchu jsme v zadání zanedbali.
Kapitola 4
Dynamika hmotného bodu 2016-09-19
4.1 Předmět
Dynamika se zabývá nikoli jen popisem pohybu (to dělá kinematika), ale hlavně jeho příčinou,
přesněji řečeno příčinou změny pohybu; připomeňme, že pohyb je relativní, tedy že jeho popis
je vázán na zvolenou vztažnou soustavu. Příčinu změny pohybu hledáme v interakci (vzájemném
působení) mezi tělesy a v klasické vektorové (newtonovské) mechanice ji popisujeme pojmem síla.
(V analytické mechanice studujeme navíc samostatně i vazby a namísto sil mezi tělesy se staráme
o energii soustavy jako celku.) Síly se chovají jako vektory (mají nejen velikost, ale i směr; skládání
sil vede na sčítání vektorů).
Speciální případ dynamiky je statika. Ta se zabývá soustavami v rovnováze – tj. jaké musí být
síly mezi tělesy, aby soustava těmito tělesy tvořená byla a zůstávala v rovnováze.
Síla je tedy příčinou změny pohybového stavu soustavy; pohybový stav částice {particle}, na
kterou nepůsobí síly, je klid nebo pohyb rovnoměrný přímočarý, jak poznáme z 1NZ.
Stav soustavy je určen tím, že známe polohu a rychlost každé její části.
Těleso (konečných rozměrů) se pod vlivem vnějších sil navíc může deformovat a měnit svou
dosavadní orientaci v prostoru (otáčení = rotace).
Dřívější představy byly jiné: podle Aristotela mají předměty svá přirozená místa v přírodě (země dole, nad ní
voda, ještě výše vzduch, nejvýše oheň) a tato místa se snaží zaujmout.
4.2 Základní veličiny dynamiky hmotného bodu
4.2.1 Hmotnost m
Hmotnost je jedním ze základních atributů hmotných objektů. Vždy platí m ≥ 0.
Hmotnost tělesa se zpravidla uvažuje v čase neproměnná: dm
dt ≡ ˙m = 0. U soustavy s proměnnou
hmotností je nutno zadat, jakou má mizející nebo přibývající hmota hybnost. Např. padající a odpařující
se kapka vody ztrácí s hmotou nejen hmotnost, ale i hybnost (odpařující se molekuly mají
střední počáteční rychlost rovnou rychlosti kapky), zatímco nabývající kapka deště získává s vodou
kondenzující z okolí hmotnost, nikoli však hybnost (střední počáteční rychlost kondenzujících
molekul je nulová vůči okolí, nikoli vůči kapce).
Hmotnost je v nerelativistické fyzice absolutní, tj. nezávislá na volbě vztažné soustavy (VS).
4.2.2 Poloha r
Polohu r(t) známe z kinematiky, kap. 3.2.2. Poloha je relativní, tj. její hodnota závisí na volbě VS.
4.2.3 Rychlost v
Rychlost v(t) := dr
dt známe též z kinematiky, kap. 3.2.6. Rychlost je relativní, závisí na volbě VS.
4.2.4 Hybnost p
Hybnost p(t) := mv je rovněž „mírou pohybu tělesa (další mírou je kinetická energie).
35
36 KAPITOLA 4. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 2016-09-19
Význam: platí zákon zachování hybnosti: Nepůsobí-li na soustavu vnější síly F (nebo je-li
jejich výslednice FΣ nulová), pak se hybnost soustavy zachovává. (Pokud na soustavu působí vnější
síly, pak jejich výslednice FΣ je rovna časové změně hybnosti soustavy.)
Hybnost lze zobecnit i na některá pole (např. elektromagnetické).
Hybnost je relativní, tj. závislá na volbě VS.
I v teorii relativity lze zavést relativistickou hybnost (čtyřhybnost, kap. 8.7.6) analogických
vlastností.
4.2.5 Síla F
Síla popisuje interakci dvou těles nebo tělesa s polem; občas ji pro zdůraznění nazýváme skutečná
síla, pravá síla apod. Součet všech sil působících na těleso nazýváme výslednicí a pro stručnost
ji značíme FΣ. Naproti tomu „síly kinematické (neboli setrvačné, ﬁktivní, zdánlivé atp.), např.
odstředivá, Coriolisova, unášivá, jsou jen pomocné členy doplněné do pohybové rovnice (tj. do 2.
Newtonova zákona, ma = FΣ), aby zákon „platil (= souhlasil s měřením v „nevhodné vztažné
soustavě, kde naměříme jiné zrychlení a). Viz dále kap. 6.
Síla je veličina absolutní, tj. nezávislá na volbě VS. (Na VS ovšem závisí rozklad síly na složky.)
O síle a příbuzných veličinách jsme se zmínili též v kap. 2.3.3.
4.2.6 Síla: různé typy klasiﬁkace
Nebudu zkoušet vaši mechanickou či optickou paměť tím, že bych po vás chtěl vyjmenovat následující
nesystematický a neúplný výčet. Je ale nutné si uvědomit, že existují různá kritéria a není
pak rozumné je míchat stylem „Klobouky dělíme na slaměné, dámské a žluté. .
• podle původu (typ interakce):
– síla gravitační
– síla tíhová
– síla elektromagnetická
– síla třecí
– ...
• podle vztažné soustavy (VS), v níž systém popisujeme:
– síly skutečné (interakce mezi tělesy nebo tělesem a polem)
– síly kinematické = setrvačné, zdánlivé, ﬁktivní, ... (výrazy kompenzující neinerciální VS)
• podle geometrie dráhy (volná částice):
– síla tečná (k dráze částice) – způsobí změnu velikosti rychlosti (a tím změnu energie)
– síla normálová (k dráze částice) – způsobí změnu směru pohybu (zakřivuje trajektorii)
• podle geometrie zadání úlohy (částice vázaná na plochu):
– síla tečná (k vazebné ploše): např. tření
– síla normálová (k vazebné ploše): např. přítlačná síla
• podle způsobu přenosu dovnitř tělesa:
– síly objemové (těleso v silovém poli): gravitace, elektromagnetická síla, ...
– síly plošné (přes povrch tělesa): síly kontaktní, vztlak v tekutině, ...
• silové pole (rozložení v prostoru v rámci zkoumaného objektu):
– konstantní: konstantní pole (silové, rychlostní) se zpravidla nazývá polem homogenním
– proměnné = nehomogenní: je-li v rámci zkoumaného tělesa vnější silové pole dostatečně
nehomogenní, pak rozdíl skutečných místních hodnot od vhodné střední hodnoty nazýváme
slapové síly, případně jen slapy. Např. gravitační pole Měsíce či Slunce takto
působí na rozlehlou Zemi s vodami a atmosférou na povrchu. U pole přitažlivé síly tedy
slapy „natahují těleso v radiálním směru.
4.3. SILOVÝ DIAGRAM 37
4.3 Silový diagram
V praktických úlohách budeme často sledovat síly působící mezi soustavou tuhých těles: třeba míč
ležící na stole stojícím na Zemi. Namalujme si vždy náčrtek – obrázek, abychom rozuměli dobře,
o co jde, a vedle vytvoříme silový diagram zobrazující všechny síly působící na zkoumané těleso.
Takto zanesené síly můžeme pak snadno graﬁcky sečíst, abychom dostali výslednici FΣ sil na dané
těleso působících a mohli lépe formulovat pohybové rovnice.
4.4 Newtonovy pohybové zákony
4.4.1 Rámec: Newtonův absolutní prostor a čas (původní pojetí)
Newton postuluje existenci absolutního prostoru – poloha je v něm určena polohovým vektorem
r ≡ (x, y, z), a absolutního času t). Zavádí je takto:
Newton – Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687): „Absolutní, skutečný a matematický čas plyne
sám od sebe a díky své povaze rovnoměrně a bez ohledu na vnější objekty. Absolutní prostor je vzhledem ke své
podstatě a bez ohledu na vnější objekty stále týž a nepohyblivý.
Toto zavedení je názorné, ale fyzikálně sporné: vůči čemu je absolutní čas rovnoměrný a absolutní
prostor nepohyblivý? V novějším pojetí klasické fyziky se absolutní prostor a absolutní čas neužívá.
Všude nám místo něj stačí kterákoli inerciální soustava (IS, viz dále). Občas (při popularizaci) se
místo IS užívá formulace typu „těleso je v klidu vůči stálicím ; míní se tím, že nerotuje. Jeho
posuvný pohyb tím ovšem popsán není, zejména uvážíme-li, že se „stálice pohybují vůči sobě, a
to slušnými rychlostmi.
4.4.2 Newtonovy pohybové zákony
Tyto zákony jsou základními pohybovými zákony klasické mechaniky.
• Přívlastek „pohybový se používá k odlišení od Newtonova gravitačního zákona; zpravidla se však vynechává,
užijeme-li řadové číslovky;
• Historicky se mluví o tělese, ale v současném (newtonovském) pojetí uvažujeme jen hmotný bod (částici,
tedy těleso mající zanedbatelné vlastní rozměry a tvar). Formulace pro těleso konečných rozměrů by musela
popisovat i jeho možné otáčení, což je ze současného pohledu zbytečná komplikace (třebaže Newton i o tomto
uvažoval a do svých úvah zahrnoval). Nyní pokládáme za jednodušší nejprve formulovat mechaniku (jednoho)
hmotného bodu, poté mechaniku soustavy hmotných bodů a až pak mechaniku tuhého tělesa coby speciální
soustavy hmotných bodů spojených vazbami zaručujícími stálé vzdálenosti.
4.4.3 Nultý Newtonův zákon – (přísně tajný) zákon výslednice
Pozor!!! Nikde neříkejte, že jsem vám toto prozradil!!! Neví o něm nic ba ani sama sv. Wikipedie!!! Jeho číslování odpovídá
obvyklému číslování u zákonů termodynamiky. Newton sám však ctil zákony natolik, že toto tvrzení uvedl jen coby korolár.
0NZ: Síly působící na tutéž částici se chovají jako vektory, zejména je lze sčítat.
Výslednou sílu zpravidla nazýváme výslednicí (těchto sil).
Není to vůbec „samozřejmost . Mimochodem, otočení v prostoru o konečný úhel (kap. 3.4.1) je také popsáno směrem
v prostoru a velikostí, a není to vektor (dvě otočení nejsou komutativní)!
4.4.4 První Newtonův zákon – zákon setrvačnosti (1NZ)
V historickém Newtonově pojetí je zákon formulován takto:
1NZ (klasicky): Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu,
dokud není donuceno působením vnějších sil svůj stav změnit.
• Těleso konečných rozměrů může i bez působení vnějších sil též rotovat; proto je lépe hovořit o částici neboli
hmotném bodu.
38 KAPITOLA 4. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 2016-09-19
Tato formulace předpokládá existenci význačné vztažné soustavy („absolutní prostor a čas ),
vůči níž mluvíme o klidu či pohybu; tuto soustavu však nelze konstruktivně zavést. Proto se v současném
pojetí 1NZ často formuluje jinak, totiž jako existenční výrok na základě deﬁnice inerciální
soustavy{inertial frame}, IS (lat. inertia, -æ, f. = setrvačnost).
Inerciální soustava je vztažná soustava, v níž se volné hmotné body pohybují bez zrychlení.
V současném newtonovském pojetí potom formulujeme 1NZ takto:
1NZ (nověji): Existuje inerciální vztažná soustava (IS).
• Jde tedy o existenční teorém zaručující existenci jisté významné vztažné soustavy; v ní budeme
formulovat všechny další zákony.
• Tím mj. padá námitka E. Macha, že 1NZ je důsledkem 2NZ pro FΣ = F = 0.
Z deﬁnice je zřejmé, že IS není jediná: IS je i každá jiná IS’, která se vůči IS pohybuje bez
zrychlení (a bez otáčení). Neinerciální je však každá vztažná soustava, která se vůči některé IS
pohybuje se zrychlením (nebo se vůči ní otáčí, což implikuje zrychlení bodů mimo osu otáčení).
4.4.5 Druhý Newtonův zákon – zákon síly (2NZ)
2NZ: Časová změna hybnosti částice je rovna výslednici FΣ sil na ni působících.
Jako obvykle, „změnu vystihneme matematicky derivací, tedy
dp/dt = FΣ . (4.1)
• Protože hmotnost m částice je v nerelativistické mechanice stálá, platí též
ma = m¨r = FΣ . (4.2)
• Ani hmotnost, ani síla nezávisejí na volbě vztažné soustavy, ale zrychlení (odvozené od polohy) na ní obecně
závisí; v tom smyslu lze prohlásit, že 2NZ je platný jen v inerciální vztažné soustavě. Aby formálně platil i
při měření v neinerciálních soustavách, lze doplnit k působícím silám ještě tzv. „setrvačné síly kompenzující
rozdíly vzniklé měřením v neinerciální soustavě. Ty budou vyloženy později v samostatné kap. 6.
• Jak zjistíme později (rov. (7.12)), 2NZ platí i pro těleso konečných rozměrů: časová změna úhrnné hybnosti
tělesa je rovna úhrnné síle, což je zostřeno 1. větou o hybnosti (1. impulzová věta) na úhrnnou vnější sílu
(protože součet všech vnitřních sil je díky 3NZ nulový).
4.4.6 Třetí Newtonův zákon – zákon akce a reakce (3NZ)
3NZ: Působí-li těleso T1 na těleso T2 silou F12, pak i těleso T2 působí na těleso T1 silou;
označíme-li ji F21, pak platí F12 = −F21.
• Síla se v rovnosti chápe jako volný vektor, tj. bez ohledu na umístění (na „působiště síly ).
• Zákon má smysl i platnost nejen pro hmotné body, ale i pro tělesa konečných rozměrů,
uvažujeme-li síly jako volné vektory, bez umístění.
4.5. PRINCIP RELATIVITY; GALILEO, EINSTEIN 39
• Zákon platí jen pro skutečné síly. Není použitelný na „setrvačné síly (ty nepopisují vzájemné
působení těles).
• Akce a reakce vystupují plně symetricky: současně vznikají, trvají a zanikají. Je jedno, kterou
ze sil F12, F21 pojmenujeme akcí; ta druhá bude reakce. Proto nesouvisejí s ﬁlozoﬁckými
kategoriemi příčiny (akce) a důsledku (reakce).
• ←֓Zákon platí i pro necentrální síly (např. mezi dipóly).
• ←֓Zákon akce a reakce vypovídá jen o silách, nikoli o silových dvojicích; působí-li těleso Ti
na těleso Tk také silovou dvojicí Mik, je obecně Mik = Mki.
• Zdůrazněme, že obě síly působí vždy na různé objekty: akce F12 na těleso T2, reakce F21 na
těleso T1. Jsou-li tělesa v dotyku, pak obě síly působí v tomtéž bodě (v bodě dotyku), ovšem
opět na různá tělesa. Proto je většinou nemá smysl sčítat.
(Má to smysl jen tehdy, uvažujeme-li obě interagující tělesa za součást jednoho objektu, v němž pak jde o vnitřní síly.)
• Při působení na dálku je nutno předpokládat okamžité působení na dálku (např. klasická,
nerelativistická gravitace). Použijeme-li však jako prostředníka síly pole (např. elektromagnetické),
v němž se šíří signály konečnou rychlostí, pak je nutno připsat tomuto poli i hybnost,
energii a moment hybnosti.
4.5 Princip relativity; Galileo, Einstein
Mechanický princip relativity (též: Galileův princip relativity) znal a formuloval Galileo ještě
před Newtonem. Řečeno naší terminologii, zní takto:
Mechanické jevy probíhají stejně ve všech inerciálních soustavách. (Galileo)
Galileo popisuje, jak na lodi v kajutě za staženými záclonami nerozeznáme mechanickými pokusy – lití čaje, let
komárů –, zda loď stojí (vůči břehu), nebo zda se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Urychlený pohyb však poznáme.
Na základě mechanických dějů tedy není důvod dávat nějaké IS přednost před jinou, a proto na
základě mechanických dějů nelze ani rozlišit, která z IS je absolutní prostor a čas. Zdálo by se, že
nemechanickými ději (elektromagnetismus, světlo) by to mohlo jít, ale v praxi se to také nepodařilo,
viz speciální teorie relativity (STR), kap. 8.
Princip relativity je ekvivalentní s výrokem, že pohybové rovnice (2NZ) jsou invariantní vůči
příslušné transformaci mezi inerciálními soustavami S, S′. Mají-li tyto soustavy rovnoběžné odpovídající
osy a jestliže
• jistá událost B má v S souřadnice r, t
• táž událost B má v S′ souřadnice r ′, t′
• S′ má vůči S rychlost V ,
pak podle Galileova transformace platí:
r ′
− r ′
0 = (r − r0) − V (t − t0) (Galileova transformace) (4.3)
t′
− t′
0 = t − t0 , (4.4)
resp. při synchronizaci soustav, tedy když událost {0, 0}′, tj. (r ′ = 0) & (t′ = 0), je shodná
s událostí {0, 0}, tj. (r = 0) & (t = 0), platí pro všechny události U ≡ {r, t} = {r ′, t′}′
r ′
= r − V t (Galileova transformace) (4.5)
t′
= t . (4.6)
40 KAPITOLA 4. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 2016-09-19
Einsteinův princip relativity zobecňuje tento zákon na všechny fyzikální jevy:
Všechny fyzikální jevy probíhají stejně ve všech inerciálních soustavách. (Einstein)
Aby však byl splněn i pro elektromagnetické jevy (světlo, Maxwellovy rovnice), nemůže platit
transformace ve tvaru rov. (4.5) a je nutno přijmout transformaci Lorentzovu, viz kap. 8. Speciální
teorie relativity jde ještě dále tím, že opouští samostatné pojmy prostor a čas a zavádí místo nich
prostoročas.
4.6 Další příbuzné mechanické veličiny
4.6.1 Silové pole F(r)
Silovým polem nazýváme prostor, kde v nějaké prostorové oblasti Ω působí síla F(r); přitom r ∈ Ω
(viz kap. 2.3.3).
4.6.2 Hustota síly f(r)
Hustota síly f(r) je deﬁnována tak, aby úhrnná síla dF působící na prostorový element dΩ o objemu
dV byla rovna dF = fdV (viz obecněji kap. 2.3.2).
4.6.3 Intenzita pole I
Intenzita I je síla působící na „jednotkovou testovací částici (podrobněji viz kap. 4.7.2).
4.6.4 Moment síly M (vůči bodu)
M = r×F. Nazývá se též „točivost a užívá se v dynamice tuhého tělesa (i ve statice). Referenčním
bodem pro polohový vektor r je zpravidla počátek souřadnic.
4.6.5 Moment hybnosti b (vůči bodu)
je deﬁnován jako b = r × p . Obecně zavádíme moment pro vektorovou veličinu takto:
Moment vektorové veličiny je rameno vektorově vynásobeno touto veličinou.
Rameno se měří od počátku souřadnic k bodu umístění veličiny (u síly k jejímu působišti).
Platí věta analogická 2NZ, ale s momentem hybnosti a momenty sil:
Časová změna momentu hybnosti je rovna součtu momentů sil ( = momentu výslednice sil).
Dokážeme ji snadno:
d
dt
b =
d
dt
(r × p) = v × p
=0
+r × ˙p = r × F = (r × F) (4.7)
protože v × p = mv × v = 0.
Věta platí po vhodném zobecnění i pro tělesa konečných rozměrů a patří mezi základní pohybové
rovnice tuhého tělesa (kap. 7.5).
4.7. PRÁCE, ENERGIE 41
4.6.6 Impulz síly J
J =
t1
t0
Fdt. Způsobí přírůstek hybnosti: J = pf − pi.
Popisuje časový účinek síly; práce popisuje dráhový účinek síly a způsobí přírůstek energie.
4.7 Práce, energie
Motivace: V dobách vlády absolutního prostoru a času byla vznesena otázka, čím vyjádřit „míru
pohybu ; zda hybností p = mv, či „živou silou mv2 (dvojnásobkem kinetické energie). Šlo o nedorozumění,
jde totiž o dvojí pohled na účinek síly – dráhový či časový.
4.7.1 Potenciálová síla; potenciální energie
Sílu F nazýváme potenciálovou, pokud existuje skalární funkce U(r) (zvaná potenciální energie,
též polohová energie) taková, že
F = −
−−−→
grad U neboli (4.8)
Fi = −∂iU neboli (4.9)
F(x, y, z) = −
∂U
∂x
;
∂U
∂y
;
∂U
∂z
(4.10)
Ne každá síla je potenciálová (taky ne každou trojici funkcí – kartézských složek síly – lze vyjádřit
jedinou funkcí skalární). Určitě to nejde u sil závislých nejen na poloze, ale i na rychlosti částice
(např. síla tření nebo magnetická Lorentzova síla F = qv × B). Jsou ale i jiné jednoduché příklady,
např. síla
F(x, y, z) = {1; 0; y} (neintegrabilní) (4.11)
není potenciálová.
4.7.2 Intenzita I; potenciál ϕ
Je-li testovaná síla F působící na zkusmé tělísko lineárně úměrná jeho vhodné charakteristice q,
pak zavádíme intenzitu I = F/q. Ta už charakterizuje silové pole bez ohledu na „velikost (tj.
charakteristiku) zkusmého tělíska.
- Pro gravitační sílu Fg působící na částici o hmotnosti m je intenzita I = Fg/m.
- Pro tíhovou sílu G působící na částici o hmotnosti m je intenzita rovněž I = G/m.
- Pro elektrickou Coulombovu sílu Fe působící na náboj q je elektrická intenzita E = Fe/q.
- Pro oscilátor tvořený částicí na pružině F = −kr nezávisí síla pružiny na žádné charakteristice
částice a intenzita je totožná se sílou, I = F.
Podobně jako jsme zavedli potenciální energii k síle, zavedeme potenciál ϕ k intenzitě I:
I = −
−−−→
grad ϕ neboli (4.12)
Ii = −∂iϕ neboli (4.13)
I(x, y, z) = −
∂ϕ
∂x
;
∂ϕ
∂y
;
∂ϕ
∂z
(4.14)
Potenciál pak stejně jako intenzita popisuje „samotné pole , bez ohledu na charakteristiku zkusmé
částice.
4.7.3 Práce W; d−
W
Předpokládejme, že zkoumaná síla F působí na pohybující se částici po dobu dt. Za tu dobu se
posune částice o dr = v dt a urazí dráhu ds = |dr|. Zaveďme elementární práci coby dráhový
účinek d−W síly působící na částici pohybující se po trajektorii;
d−
W = F · dr = Fds cos α ,
42 KAPITOLA 4. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 2016-09-19
kde α je úhel mezi směrem síly a tečnou k trajektorii částice.
←֓ Značka d−
, přeškrtnuté „d , znamená, že jde o lineární kombinaci diferenciálů, ale výsledek nemusí být sám
diferenciál, tj. nemusí existovat nějaká funkce W , jejímž diferenciálem by pak tento výraz byl.
Pro potenciálovou sílu lze elementární práci d−W upravit takto:
d−
W = F · dr = F · v dt = −
−−−→
grad U · dv dt (4.15)
= −
∂U
∂x
dx
dt
+
∂U
∂y
dy
dt
+
∂U
∂z
dz
dt
dt (4.16)
= −dU (4.17)
neboli elementární práce vykonaná potenciálovou silou je totálním diferenciálem a je rovna úbytku
potenciální energie částice. Obvyklé čtení je „Práce se konala na účet potenciální energie částice
v silovém poli .
Konečná (nikoli elementární) práce W však obecně závisí na trajektorii Γ (nejenom na krajních
polohách), je to tedy dějová veličina (nikoli stavová veličina).
W =
Γ
d−
W ≡
Γ
F · dr =
(2)
Γ
(1)
F · dr ≡
r2
Γ
r1
F · dr (4.18)
Práce je veličina téhož druhu (a samozřejmě i rozměru) jako energie.
4.7.4 Zákon zachování mechanické energie; konzervativní síla
Upravujme pohybovou rovnici (2NZ) takto:
F = ma = m ˙v | · v (4.19)
F · v = m ˙v · v = m
1
2
(˙v · v + v · ˙v) (4.20)
−
i
∂U
∂xi
dxi
dt
= −
dU
dt
=
1
2
d
dt
(v · v) =
d
dt
1
2
mv2
. (4.21)
Zavedeme-li vedle potenciální energie Ep = U částice v silovém pole ještě kinetickou energii
Ek = 1
2mv2 pohybující se částice (též pohybová energie) a celkovou mechanickou energii
E = Ek + Ep částice, zjistíme, že platí
−
dEp
dt
=
dEk
dt
(4.22)
d
dt
(Ep + Ek) =
dE
dt
= 0 (4.23)
E = Ep + Ek = konst (4.24)
tedy celková mechanická energie se při pohybu částice v potenciálovém silovém poli zachovává
(zákon zachování mechanické energie v potenciálovém poli).
4.7.5 Konzervativní síly
Viděli jsme, že pro potenciálovou sílu F platí d−W = −dU, a tedy práce W vykonaná při pohybu
z bodu (1) do (2) (tzn. z bodu o polohovém vektoru r1 do bodu o polohovém vektoru r2) je rovna
U1 − U2 = U(r1) − U(r2) a nezávisí tedy na tvaru trajektorie Γ spojující oba body. To nám také
dává jednoduchou možnost konstruktivního nalezení potenciálu v jednom bodě vůči jinému, totiž
spočíst práci při přechodu mezi těmito body po vhodné křivce.
Dále, práce konzervativní síly po uzavřené trajektorii je rovna nule:
W =
Γ
d−
W = 0 (4.25)
4.8. TŘENÍ 43
pro libovolnou uzavřenou smyčku Γ. Pro konzervativní síly platí rovněž zákon zachování mechanické
energie.
Každá síla, pro kterou platí zákon zachování mechanické energie ve smyslu rov. (4.25), se nazývá
konzervativní. Tento pojem je širší než síla potenciálová: např. výše zmíněná Lorentzova
magnetická síla Fm = qv × B potenciál nemá (závisí na rychlosti náboje), ale je konzervativní,
protože má směr vždy kolmý k rychlosti nosiče náboje a může sice změnit směr letu nabité částice,
ale nikoli velikost její rychlosti. Nemůže tedy ani změnit její kinetickou energii.
4.7.6 Výkon P
S výrazem
P = F · v = −
dU
dt
(4.26)
jsme se sešli už v rov. (4.15), kde znamenal rychlost konání práce, resp. rychlost předávání energie.
Nazývá se (okamžitý) výkon (resp. příkon, podle orientace toku energie vůči uvažovanému
objektu).
4.8 Tření
4.8.1 Klasiﬁkace
Tření je v praxi velmi významný jev doprovázený nekonzervativní třecí silou (často rovněž stručně
nazývanou tření). Je makroskopickým projevem jednak deformací, jednak vyrovnávání vzájemných
rychlostí v mikroskopických oblastech materiálu. Můžeme rozlišit
tření vnitřní – uvnitř zkoumané tekutiny po obou stranách hranice (případně jen myšlené). Je
podstatně menší než tření vnější. Proto se mažou mazadly ložiska a všechny části, kde by
docházelo k vnějšímu tření, zejména vlečnému. Při malých rychlostech (kdy tekutina proudí
laminárně) je tření zhruba úměrné relativní rychlosti v (případně gradientu rychlosti ve spojitém
prostředí), při vyšších rychlostech v turbulentním proudění je zhruba úměrné v2.
tření vnější – mezi zkoumaným objektem a jeho okolím.
U vnějšího tření lze rozlišit:
tření vlečné – tzv. suché tření, když objekt a okolí mají nenulovou vzájmnou rychlost. Třecí
síla Ft je málo závislá na vzájemné rychlosti, ale je zhruba úměrná normálové (přítlačné)
síle Fn:
Ft = µFn (4.27)
Nejde o rovnici vektorovou, protože obě síly mají různé směry! Obvykle činitel smykového
tření µ bývá cca 0,1 až 0,7 podle kvality a materiálu povrchů, činitel statický
(viz dále) je vždy o něco větší než dynamický.
tření valivé – objekt a okolí jsou vůči sobě v klidu. Typickým příkladem je kolo o poloměru
R valící se beze smyku po podložce.
Ft = ξ
Fn
R
(4.28)
Ani zde nejde o rovnici vektorovou. Součinitel valivého tření ξ má rozměr délky (proto
se nazývá součinitel; bezrozměrová veličina µ je zase činitel). Fyzikálně mu porozumíme
představou, že se kolo vtiskne do podložky a vytvoří mělkou jamku; poloměr vtisknutí
udává tento součinitel, protože k otáčení kola musí být moment tažné síly F s ramenem
délky poloměru kola schopný překonat moment normálové síly s ramenem ξ.
Valivé tření je mnohem menší než vlečné, zejména jde-li o tvrdé materiály. Mívá hodnoty
0,001 mm (kulička v ložisku) až 0,3 mm (kolo na písku).
U vnějšího tření je dále potřeba pečlivě odlišit, zda jde o tření dynamické nebo statické:
tření dynamické – objekt se už pohybuje vůči okolí; činitel označíme indexem d.
tření statické – objekt dosud stojí vůči okolí; činitel označíme indexem s.
Jakkoli jsou si číselné hodnoty činitelů blízké, práce s nimi je zcela odlišná, jak ukážeme.
44 KAPITOLA 4. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 2016-09-19
4.8.2 Tření dynamické (kinetické)
Tato situace je jednodušší na zpracování. Uplatní se, pokud se již předmět pohybuje vůči podložce
a my počítáme všechny síly, které ovlivňují jeho pohyb. Je-li přítlačná síla (což je normálová síla,
složka výslednice sil do směru normály k povrchu) známa, je dynamickým činitelem tření jednoznačně
určena velikost třecí síly; její směr je proti směru pohybu. Spočteme a přičteme k ostatním
působícím silám.
4.8.3 Tření statické
Tato situace je složitější. Uplatní se, pokud se předmět ještě nepohybuje vůči podložce a my počítáme,
zda vydrží v klidu, nebo zda se „utrhne . Je-li přítlačná síla známa, pak statický činitel tření
udává nikoli skutečnou třecí sílu, ale její největší možnou hodnotu Fmax. Její směr není znám a
nebude ani podstatný. Sečteme tedy všechny okolní síly kromě reakce podložky na výslednici F
a zjistíme její velikost a směr. Rozložíme ji do složky normálové (tu bude anulovat reakce podložky)
a tečné; tu by měla – pro zachování stavu klidu – anulovat třecí síla. Na směru nezáleží, ale velikost
musí být nanejvýš Fmax; pak zůstane stav klidu zachován. Je-li však tečná složka výslednice větší,
dá se předmět do pohybu a musíme počítat znova – tentokrát ovšem s dynamickým třením.
Kapitola 5
Řešení pohybové rovnice: kmity 2017-03-16
5.1 Matematický aparát
5.1.1 Homogenní rovnice
Pohybová rovnice bývá v nejjednodušších případech homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními
koeﬁcienty, tedy
N
k=0
ak
dkx(t)
dtk
= 0, (5.1)
kde ak jsou konstanty (obecně komplexní), N je řád diferenciální rovnice (v Newtonově zákoně
N = 2) a x(t) je neznámá funkce času – zpravidla souřadnice popisující pohyb částice.
Řešení rov. (5.1) hledáme ve tvaru
x(t) = eλt
. (5.2)
Dosazením do rov. (5.1) získáme
(
N
k=0
akλk
) eλt
= 0, (5.3)
a protože eλt = 0, dostáváme charakteristickou rovnici
N
k=0
akλk
= 0, (5.4)
která má obecně N kořenů λm, vedoucích na N řešení eλmt . Obecné řešení rov. (5.1) je jejich
lineární kombinace
x(t) =
N
m=0
Cm eλmt
, (5.5)
kde (komplexní) konstanty Cm zvolíme tak, aby vyhovovaly počátečním podmínkám (obvykle podmínkám
na x a všechny vyšší derivace v čase t = 0).
Pokud však některé kořeny splývají, např. je-li λ1 = λ2 = . . . λK, neboli K-násobný (také Kkrát
degenerovaný) kořen λ, bylo by K > 1 funkcí eλkt lineárně závislých. Místo nich jsou však
řešením funkce tk eλt pro k = 0, 1, . . . , K − 1. Řešením je tedy
x(t) = PK−1
(t) eλt
, (5.6)
kde PK−1(t) je polynom v proměnné t, jehož stupeň je roven K − 1.
45
46 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
5.1.2 Nehomogenní rovnice
Pokud lineární diferenciální rovnice není homogenní, tj. pokud má tvar
N
k=0
ak
dkx(t)
dtk
= F(t), (5.7)
pak
• vyřešíme nejprve v celé obecnosti rovnici homogenní;
• uhodneme libovolným způsobem jedno řešení rov. (5.7) (tzv. partikulární řešení);
• obecným řešením nehomogenní rovnice je pak součet tohoto partikulárního řešení a obecného
řešení nehomogenní rovnice.
5.1.3 Pohybová rovnice – 2. Newtonův zákon
Budeme řešit pohybovou rovnici pro jednu částici o hmotnosti m > 0, nepodrobenou vazbám, na
kterou působí výsledná vnější síla FΣ = F. Pohybová rovnice má tvar
m¨r = F. (5.8)
V jednorozměrných případech, kterými se budeme dále zabývat, má pohybová rovnice tvar
m¨x = F. (5.9)
Tuto rovnici budeme v dalším řešit pro různé konkrétní tvary síly F(x, t). Řešení uvažujeme pro
t ≥ 0, přičemž pro t = 0 máme zadány (reálné) počáteční podmínky:
počáteční poloha x0 = x|t=0 (5.10)
počáteční rychlost v0 = v|t=0. (5.11)
5.2 Konkrétní tvary síly
5.2.1 Nulová síla: F = 0
Pokud na HB nepůsobí žádná výsledná síla (tedy pokud je výslednice FΣ všech vnějších sil v příslušném
směru nulová), má pohybové rovnice tvar
m¨x = 0 . (5.12)
Tuto rovnici dvakrát integrujeme, čímž dostaneme řešení
¨x = 0 (5.13)
˙x = v0 (5.14)
x(t) = x0 + v0t (5.15)
odpovídající rovnoměrnému přímočarému pohybu (samozřejmě podél zvolené osy x) s rychlostí v0
a počáteční polohou x(t=0) = x0.
5.2.2 Konstantní síla: F = F0
Konstantní síla F0 působící na HB mu uděluje konstantní zrychlení a = F/m. Pohybová rovnice
m¨x = F0 (5.16)
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 47
má rovněž zřejmé řešení (s toutéž interpretací x0 a v0)
¨x =
F0
m
(5.17)
˙x = v0 +
F0
m
t (5.18)
x(t) = x0 + v0t +
1
2
F0
m
t2
. (5.19)
Známým příkladem je volný pád z výšky z = h. Počáteční rychlost je nulová (v0 = 0), působící
síla je F0 = −mg při obvyklé orientaci osy z vzhůru, takže řešení je
z(t) = h −
1
2
gt2
. (5.20)
Podobně svislý vrh z výšky z = h0 vzhůru rychlostí v0 > 0 má řešení
z(t) = h0 + v0t −
1
2
gt2
. (5.21)
5.2.3 Netlumený harmonický oscilátor: F = −kx
Ve fyzice nazýváme harmonickým oscilátorem hmotný bod mající jistou rovnovážnou polohu xr
a podrobený síle, která ho při vychýlení vrací do této polohy, přičemž velikost síly je úměrná výchylce
od rovnovážné polohy; koeﬁcientem úměrnosti je pružnost k > 0. Zvolíme-li pro jednoduchost
počátek osy x právě v bodě xr, má síla tvar
F(x) = −kx, (5.22)
a pohybová rovnice zní
m¨x = −kx. (5.23)
Zapíšeme ji v obvyklém anulovaném tvaru
m¨x + kx = 0, (5.24)
¨x +
k
m
x = 0. (5.25)
Protože platí m > 0 i k > 0, můžeme zavést
ω0 :=
k
m
> 0. (5.26)
Obvyklým postupem hledáme řešení ve tvaru eλt, čímž dostaneme charakteristickou rovnici
λ2
+ ω2
0 = 0 (5.27)
s řešením
λ = ± i ω0 (5.28)
Fyzikálně relevantní řešení je ovšem jen reálná funkce; můžeme ji zapsat kterýmkoli z dále uvedených
tvarů, vždy se dvěma konstantami volitelnými podle počátečních podmínek (označení indexů
1, 2 u ϕ, t, C je libovolné). Okamžitá poloha je
x = xm sin(ω0t + ϕ1) (xm, ϕ1) (5.29)
= xm cos(ω0t + ϕ2) (xm, ϕ2) (5.30)
= xm sin(ω0(t − t1)) (xm, t1) (5.31)
= xm cos(ω0(t − t2)) (xm, t2) (5.32)
= A cos ω0t + B sin ω0t (A, B) (5.33)
= . . .
= ℜ C± e± i ω0t
(komplexní C± = C1± + i C2±) (5.34)
48 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
V posledním případě se velmi často nepíše značka reálné části ℜ a rozumí se jaksi automaticky,
případně se připisuje „+ c.c. , čímž se rozumí součet s komplexně sdruženým výrazem (slušelo by
se doplnit 1
2). Toto není problém při lineárních operacích; pozor je však potřeba dát tehdy, kdy
potřebujeme např. druhou mocninu polohy či rychlosti, třeba pro výpočet energie.
Z časové závislosti polohy určíme snadno všechny ostatní fyzikální veličiny, např. podle rov. (5.30)
rychlost v = −xmω0 sin(ω0t + ϕ2) (5.35)
zrychlení a = −xmω2
0 cos(ω0t + ϕ2) = −ω2
0x (5.36)
Pro harmonické kmity se užívají následující termíny (formulované např. pro rov. (5.30)):
amplituda xm (5.37)
fáze ω0t + ϕ2 (5.38)
počáteční fáze ϕ2 (5.39)
úhlová frekvence ω0 (5.40)
frekvence f = ω0/2π (5.41)
perioda T = 1/f (5.42)
Synonyma: kruhová = úhlová; kmitočet = frekvence; doba kmitu = perioda. Někdy se místo „počáteční
fáze užívá označení „fázová konstanta . Není to moc vhodné, protože nejde o konstantu
ve fyzikálním smyslu.
Připomeňme, že síla F = −kx má potenciál
U(x) =
1
2
kx2
+ U0 =
1
2
mω2
0x2
+ U0 (5.43)
s libovolně zvolenou konstantou U0, protože platí F = −
−−−→
grad U (zde tedy F = −dU /dx). Odtud
plyne, že se při pohybu harmonického oscilátoru zachovává celková mechanická energie.
Potenciál u síly pružnosti splývá s potenciální energií, protože síla pružnosti pružiny nezávisí na hmotnosti (náboji apod.)
kmitajícího objektu.
Harmonický oscilátor se ve fyzice vyskytuje velice často, mj. jako první přiblížení pro chování
soustavy (reprezentované HB) v blízkém okolí stabilní rovnováhy. Je to zřejmé z matematického
hlediska: potenciál v místě xr stabilní rovnováhy (zvolíme xr = 0) musí nabývat minima. Je-li však
potenciál v okolí nuly analytický, lze ho rozvinout v Taylorovou mocninnou řadu:
U(x) = U0 + U1x + U2x2
+ O(x3
) (5.44)
Z podmínky extrému plyne U1 = 0 (pro minimum navíc U2 > 0), takže při zanedbání členů x3
a vyšších dostáváme právě potenciál harmonického oscilátoru (rov. (5.43)). Nelze-li členy O(x3)
zanedbat (např. vyjde-li U2 = 0), jde o anharmonický oscilátor.
Obvyklá realizace je např. závaží hmotnosti m upevněné na pružině s tuhostí k. Zde je však nutno zajistit nesnadnou
podmínku, aby vlastní hmotnost mP pružiny byla zanedbatelná vůči hmotnosti m zkoumané částice. V opačném případě nelze
zanedbat setrvačnost pružiny (resp. jejich částí) oproti setrvačnosti částice a museli bychom zkoumat limitní případ N → ∞
složité soustavy tvořené řetízkem N částic hmotnosti µ = mP/N spojených pružinami, každá o tuhosti k, zakončeným jednou
částicí hmotnosti m.
Počáteční podmínky mohou být nejrůznější. Často se ale vyskytují dva typické případy:
• x0 = 0, v0 = 0: částici drženou mimo rovnovážnou polohu v okamžiku t = 0 volně vypustíme;
• x0 = 0, v0 = 0: částici vychýlíme z rovnovážné polohy úderem v okamžiku t = 0. Má-li
narážející předmět rychlost w a je-li jeho hmotnost M ≫ m podstatně větší než hmotnost m
částice, udělí ji rychlost v0 = 2w.
5.2.4 Harmonický oscilátor s předpětím: F = −kx + F0
Uvažujme sílu poněkud obecnější (např. na nehmotné pružině visí závaží a působí na něj i zemská
tíže). Síla má pak tvar
F(x) = −kx + F0, (5.45)
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 49
a pohybová rovnice (nehomogenní, ale stále lineární) zní
m¨x + kx = F0. (5.46)
Její řešení je opět triviální. Jde o typ rov. (5.7) a její partikulární řešení je zřejmě např.
kxr = F0, tedy xr =
F0
k
. (5.47)
V případě pružiny se tedy závaží posune dolů o délku d =
mg
k
a HB kolem nové polohy xr harmonicky
kmitá s toutéž frekvencí, rychlostí atd. jako dříve, bez předpětí.
Obecné řešení je (např. – viz rov. (5.30))
x − xr = xm cos(ω0t + ϕ2), (5.48)
kde nová rovnovážná poloha je xr =
F0
k
.
V řešení tedy nepřibyl žádný zajímavější jev. V dalším proto opět uvažujeme pro jednoduchost
jen harmonický oscilátor bez předpětí.
5.2.5 Tlumený harmonický oscilátor: F = −kx − h ˙x
Chceme uvažovat realističtější situaci, kdy je pohyb harmonického oscilátoru nějak tlumen. Seznámili
jsme se s třemi jednoduchými modely tlumení:
1. Suché tření (mezi pevnými tělesy; závislé na normálovém tlaku, málo závislé na rychlosti);
2. Odpor tekutého prostředí (kapalina či plyn) při malých rychlostech, kdy se uplatní hlavně
vazkost prostředí; odpor prostředí je úměrný rychlosti pohybu HB;
3. Odpor tekutého prostředí při větších rychlostech, kdy se uplatní hlavně „rozhrnování prostředí;
odpor je úměrný energii rozhrnované tekutiny, tedy čtverci rychlosti pohybu HB.
Označíme-li 1 M (jednotka: mach) velikost rychlosti vln v tekutině, pak cca od 1
10
M se začne zřetelněji projevovat
stlačitelnost tekutiny a s ní zcela nové jevy, jako rázová vlna u zvuku. Lze je hezky pozorovat na rozhraní voda-vzduch,
kde je rychlost povrchových vln velmi nízká, centimetry za sekundu. Rychlost zvuku ve vzduchu je řádově 330 m/s, ve
vodě asi 1 km/s.
Budeme se zabývat případem 2, který je velmi častý v praxi (např. kmitání tlumené vzduchem,
ale i kmitání, kdy se po sobě pohybují pevná tělesa, jejichž styčná plocha je pro snížení odporu
namazána olejem). Pro nás má nyní praktickou výhodu, že vede na lineární rovnici, kterou umíme
vyřešit do všech podrobností.
Síla tření Ftř směřuje proti rychlosti pohybu. Výsledná síla má proto tvar
F(x) = Fpruž + Ftř = −kx − hv , (5.49)
a pohybová rovnice zní
m¨x + h ˙x + kx = 0 . (5.50)
Stejně jako dříve zavedeme
ω0 := k/m (5.51)
a dále součinitel tlumení vztahem
δ := h/2m ; δ > 0 . (5.52)
Jeho převrácená hodnota se často nazývá časová konstanta: τ = 1/δ. (Opět: termín „časový parametr
by byl správnější.) Pohybová rovnice dostane tvar
¨x + 2δ ˙x + ω2
0x = 0 . (5.53)
Řešíme ji opět stejně: hledáme řešení ve tvaru x = eλt. Charakteristická rovnice zní
λ2
+ 2δλ + ω2
0 = 0 . (5.54)
Je to kvadratická rovnice s diskriminantem D = 4(δ2
− ω2
0) a řešení zřejmě závisí na tom, která
z veličin δ a ω0 je větší. Podle toho můžeme rozlišit tři případy:
50 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
1) tlumené harmonické kmity: δ < ω0;
2) aperiodický pohyb: δ > ω0;
3) mezní aperiodický pohyb: δ = ω0.
Probereme je postupně.
1) Tlumené harmonické kmity: δ < ω0
Zavedeme-li
ω := ω2
0 − δ2
> 0 , (5.55)
dostaneme ihned obecné řešení, např.
x(t) = C+ e(−δ+ i ω)t
+C− e(−δ− i ω)t
(5.56)
= (A cos ωt + B sin ωt) e−δt
(5.57)
= C e−δt
cos(ωt + ϕ2) , (5.58)
z něhož je zřejmý tvar pohybu. HB kmitá (teoreticky nekonečněkrát) kolem rovnovážné polohy,
přičemž každý další kmit je oproti předchozímu zeslaben ve stálém poměru
1 : β = 1 : e−δT
= 1 : e− 2πδ
ω . (5.59)
Je zřejmé, že nulové body funkce x(t) jsou od sebe vzdáleny o 1
2T, kde T = 2π
ω je perioda tlumených
kmitů. Výpočtem však ověříme, že i maxima a minima této funkce (zjistíme je obvyklým způsobem,
tj. anulováním derivace) mají tutéž periodu, třebaže neleží uprostřed mezi nulovými body. Obrázek
je podle rov. (5.58) pro δ = 1; C = 1; ω = 2π; ϕ2 = 0.
2 4 6 8 10
-0.5
0.5
1.0
2) Aperiodický pohyb: δ > ω0
Tentokrát zavedeme naopak
∆ := δ2
− ω2
0 > 0 (0 < ∆ < δ) (5.60)
a dostaneme ihned jako obecné řešení např.
x(t) = x1 e−(δ+∆)t
+x2 e−(δ−∆)t
, (5.61)
Protože je zřejmě δ > ∆, jsou oba exponenty v rov. (5.58) pro t > 0 záporné a s rostoucím časem
výchylka x klesá exponenciálně k nule.
Snadno ověříme, že počáteční výchylka x0 je rovna x0 = x1 + x2, počáteční rychlost v0 je rovna
v0 = −δx0 + ∆(x2 − x1).
Okamžitá výchylka má (v závislosti na hodnotách a znaménkách x1, x2) nejvýše jeden extrém
na intervalu ]0, +∞[.
Snadný rozbor ukáže, že jsou právě tři možnosti: HB se z počáteční polohy své rovnovážné
poloze
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 51
1. monotonně přibližuje;
2. vzdaluje až do nejvzdálenějšího bodu trajektorie, odkud se už monotonně vrací do rovnovážné
polohy.
3. přibližuje, přeběhne ji a pokračuje do nejvzdálenějšího bodu trajektorie, odkud se už monotonně
vrací do rovnovážné polohy;
Obrázek je podle rov. (5.61) pro δ = 1; x1 = 2; x2 = −1; δ = 1; ∆ = 0, 5.
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
3) Mezní aperiodický pohyb: δ = ω0
V tomto případě má charakteristická rovnice dvojnásobný kořen 0. Řešení má proto poněkud jiný
tvar (viz rov. (5.6)):
x(t) = C1 e−δt
+C2t e−δt
= (C1 + C2t) e−δt
. (5.62)
Charakter řešení i jeho vlastnosti jsou však podobné předchozímu, tedy aperiodickému pohybu;
speciálně i zde je nejvýše jeden extrém a tři typy přibližování k rovnovážné poloze.
Z praktického hlediska je zvláště významné, že za stejných okolností (m, k) a při různém tlumení
h (resp. δ) vede mezní tlumení k nejrychlejšímu přiblížení rovnovážné poloze.
Přesněji řečeno: Při zadané odchylce ε je to právě mezní tlumení δ = ω0, při kterém je minimální ten čas T(ε, δ), pro který
v každém pozdějším čase t > T(ε, δ) platí
|x(t)| < ε . (5.63)
Obrázek je podle rov. (5.62) pro C1 = 0; C2 = 1; δ = 1.
2 4 6 8 10
-1.0
-0.5
0.5
Společná terminologie pro oscilátor s tlumením
Ve všech třech případech se pro t → ∞ poloha HB exponenciálně blíží rovnovážné poloze xr = 0.
Pro puntičkáře: „blíží se exponenciálně neznamená, že jde o exponenciálu (i součet dvou exponenciál s různými exponenty
již není exponenciála), ale že průběh pohybu lze majorizovat exponenciální funkcí.
Popisujeme-li časový průběh popsaný funkcí
x = xm e−δt
cos ω(t − t0) + ϕ0 , (5.64)
52 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
pak veličinu δ nazýváme součinitel tlumení, součin tohoto součinitele s periodou nazýváme logaritmický
dekrement Λ. Pro čistě exponenciální útlum
x = xm e−δt
(5.65)
zavádíme časovou konstantu (během které poklesne rozkmit na 1/e-násobek) τ. Platí tedy
počáteční amplituda: xm (5.66)
počáteční fáze: ϕ0 (5.67)
úhlová frekvence: ω (5.68)
frekvence: f = ω/2π (5.69)
perioda: T := 1/f = 2π/ω (5.70)
součinitel tlumení: δ (5.71)
logaritmický dekrement: Λ := − ln β = δT = 2πδ/ω (5.72)
časová konstanta (časový parametr): τ := 1/δ. (5.73)
(útlum): β := e−δT
(5.74)
Veličina β (značení ani název není předepsán normou) se často prostě nazývá útlum a udává,
kolikrát poklesne amplituda za jednu periodu.
5.2.6 Vynucené kmity: F = −kx − h ˙x + F(t)
Obecné řešení
Předpokládejme, že na kmitající oscilátor působí vtištěná vnější síla Fvt. Budeme se zabývat silou
konkrétního tvaru
Fvt(t) = F0 cos Ωt , (5.75)
a to z několika důvodů, zejména
• jde o případ velmi častý a významný v praxi;
• protože pohybové rovnice jsou lineární, je každá lineární kombinace jejich řešení rovněž řešením
původních rovnic. Z funkcí typu cos na pravé straně pak lineární kombinací (Fourierova
transformace) můžeme ze získaných výsledků odvodit řešení pro prakticky všechny časově
závislé vtištěné síly Fvt(t) na pravé straně, se kterými se v praxi můžeme setkat.
Pohybová rovnice má tedy tvar
m¨x + h ˙x + kx = F0 cos Ωt , resp. (5.76)
¨x + 2δ ˙x + ω2
0x = a0 cos Ωt , (5.77)
kde jsme zavedli označení
a0 := F0/m . (5.78)
Řešení budeme hledat způsobem uvedeným v kap. 5.1.2. Řešení příslušné homogenní rovnice, tedy
rov. (5.53), známe – jde o jeden ze tří dříve rozebraných případů rov. (5.58), (5.61), (5.62), přičemž
všechny alternativy ubývají s rostoucím časem exponenciálně k nule. Nyní tedy potřebujeme najít
jedno řešení (partikulární integrál) rov. (5.76).
Pomůže nám fyzikální představa. Pod vlivem stále působící periodické síly tvaru F(t) = F0 cos Ωt
bude zřejmě nakonec HB oscilovat s toutéž (vynucenou) úhlovou frekvencí Ω, jen s neznámou amplitudou
xm a fází ϕ0:
x(t) = xm cos(Ωt + ϕ0) (pro t → ∞). (5.79)
Tato funkce se obvykle nazývá řešením v ustáleném stavu. (Úplné řešení vycházející z počátečních
podmínek a zahrnující proto i řešení příslušné homogenní rovnice se nazývá řešením
v přechodovém stavu, zejména pro malé hodnoty t, kdy členy s časem exponenciálně ubývající
ještě nejsou zanedbatelné.)
Dosadíme proto funkci z rov. (5.79) do rov. (5.77), provedeme všechny derivace a upravíme na
tvar
F sin Ωt + G cos Ωt = 0, (5.80)
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 53
z něhož plynou (díky lineární nezávislosti funkcí sin Ωt a cos Ωt) rovnosti
F = 0 , (5.81)
G = 0 . (5.82)
Dosazování je zcela mechanické, ale zabere dosti místa a času. Zjednodušme si proto zápis zkratkami
sin Ωt ≡ S (5.83)
cos Ωt ≡ C (5.84)
sin ϕ0 ≡ s (5.85)
cos ϕ0 ≡ c, (5.86)
takže do rov. (5.77)
¨x + 2δ ˙x + ω2
0x = a0C (5.87)
dosazujeme rov. (5.79) ve tvaru
x = xm cos(Ωt + ϕ0) = xmcC − xms S
˙x = −Ωxm sin(Ωt + ϕ0) = −ΩxmcS − Ωxms C
¨x = −Ω2xm cos(Ωt + ϕ0) = −Ω2xmcC + Ω2xms S
s výsledkem (po vytknutí xm):
−Ω2
cC + Ω2
s S − 2δΩcS − 2δΩs C + ω2
0cC − ω2
0s S =
a0
xm
C (5.88)
To je již naše požadovaná rov. (5.80), takže podle následujících rov. (5.81) a rov. (5.82) dostáváme
dvě rovnice pro dvě neznámé a0 a ϕ0 (prostřednictvím s = sin ϕ0 a c = cos ϕ0):
−(Ω2
− ω2
0)c − 2δΩs =
a0
xm
(podle C) (5.89)
(Ω2
− ω2
0)s − 2δΩc = 0 (podle S) (5.90)
Umocněním každé z těchto rovnic na druhou a následným sečtením dostaneme
(Ω2
− ω2
0)2
+ 4δ2
Ω2
=
a0
xm
2
, (5.91)
takže po konečném dosazení a0 = F0/m dostáváme řešení pro amplitudu výchylky
xm =
F0/m
(Ω2 − ω2
0)2 + 4δ2
Ω2
(amplituda), (5.92)
zatímco z rov. (5.90) vydělením c dostaneme pro fázový posuv vztah
tan ϕ0 = s/c =
2δΩ
Ω2 − ω2
0
(fáze). (5.93)
Tím je partikulární řešení, totožné s ustáleným stavem, nalezeno; přičtením řešení homogenní rovnice,
tedy podle okolností rov. (5.58), rov. (5.61), nebo rov. (5.62) získáme obecné řešení (zvané též
„přechodové řešení , zejména v čase t krátce po počátku:
x(t) =
řešení homogenní rovnice
x00 e−δt
cos(ω + ϕ1) +
ustálený stav
xm cos(Ωt + ϕ0) , resp.
x(t) = x10 e−δt +x11t e−δt + xm cos(Ωt + ϕ0) , resp.
x(t) = x01 e−(δ+∆)t +x02 e−(δ−∆)t + xm cos(Ωt + ϕ0) .
Dva parametry (x00, ϕ1, resp. x10, x11, resp. x01, x02) v přechodovém řešení volíme tak, abychom
splnili počáteční podmínky pro výchylku x0 a rychlost ˙x0 kmitající částice. Ostatní parametry byly
deﬁnovány dříve.
54 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
Rozbor; rezonance výchylky při malém tlumení
Při malém tlumení δ oscilátoru se může stát, že při proměnné úhlové frekvenci Ω vnější síly bude
mít výchylka x (nebo energie E, . . . ) výrazné maximum při jisté hodnotě Ω = Ω0; říkáme, že
dochází k rezonanci výchylky (energie, . . . ). Rozebereme tuto situaci analyticky.
Jde o případ tlumených harmonických kmitů (nikoli o aperiodický pohyb) a řešení je tedy dáno
vzorcem
x(t) = Ce−δt
cos(ωt + ϕ1) + xm cos(Ωt + ϕ0) , (5.94)
v němž zvolíme C, ϕ1 tak, abychom splnili počáteční podmínky pro x(t=0) a v(t=0), zatímco amplituda
xm a fázový posuv ϕ0 v ustáleném stavu jsou určeny rov. (5.92) a rov. (5.93):
xm =
F0/m
(Ω2 − ω2
0)2 + 4δ2
Ω2
, (5.95)
ϕ0 = arctan
2δΩ
Ω2 − ω2
0
. (5.96)
Kdy mají výrazy smysl? Jmenovatel výrazu v rov. (5.96) není nebezpečný, protože i pro Ω → ω0, kdy
se jmenovatel blíží nule, se prostě ϕ0 blíží π
2 . V rov. (5.95) je ale jmenovatel odmocninou ze součtu
dvou čtverců. Výraz má tedy smysl vždy, kromě jediného případu, když platí Ω = ω0 (rezonance
energie, jak uvidíme) a současně δ = 0 (nulové tlumení); v takovém případě roste amplituda kmitů
neomezeně.
Obvykle předpokládáme i Ω > 0. Cvičně uvažte i případ Ω = 0 (tj. stálá, „stejnosměrná síla), kdy výraz v rov. (5.92)
diverguje. Rozeberte si podrobně, co a proč znamená divergence výrazu fyzikálně; příslušná úloha je vám známa už z dřívějška
– z kap. 5.2.2.
1 2 3 4
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Tlumení
Vyšetříme, jak závisí amplituda xm ustálených kmitů na úhlové frekvenci Ω vynucených kmitů.
Na grafu je vynesena též funkce xm(Ω) spojující maxima pro různé δ. V krajních hodnotách platí
Pro Ω → 0 : xm →
F0/m
ω4
0
=
F0/m
k/m
=
F0
k
, (5.97)
a to je, jak se dalo čekat, právě statická výchylka částice pod konstantní silou F0.
Pro Ω → ∞ : xm →
F0/m
Ω4
0
→ 0 ; (5.98)
čím rychlejší vynucené kmity, tím hůř je oscilátor stačí sledovat.
Maximum funkce xm(Ω) nalezneme obvyklou cestou – anulováním derivace:
0 =
dxm
dΩ
=
F0
m
(Ω2
− ω2
0)2
+ 4δ2
Ω2 −1/2
′
(5.99)
=
F0
m
−1
2
(Ω2
− ω2
0)2 2
+ 4δ2
Ω2
−3/2
2(Ω2
− ω2
0) · 2Ω + 4δ2
· 2Ω (5.100)
= konst 4Ω(Ω2
− ω2
0 + 2δ2
) (5.101)
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 55
Vedle krajních bodů (0; ∞) je tedy derivace nulová nanejvýš v jediném bodě Ωr:
Ωr = ω2
0 − 2δ2
(5.102)
pokud ovšem platí
ω0 >
√
2δ (5.103)
Tato podmínka je ostřejší než podmínka ω0 > δ nutná pro existenci tlumených kmitů (a nikoli
aperiodického pohybu). Je-li splněna, pak při úhlové frekvenci Ωr dojde k rezonanci amplitudy.
Limitní případ: nulové tlumení
Pokud by bylo opravdu δ = 0 a vnucená frekvence by se přesně rovnala vlastní Ω = ω0, pak by
pohybová rovnice rov. (5.76) přešla na tvar
m¨x + kx = F0 cos ω0t , resp. (5.104)
¨x + ω2
0x = a0 cos ω0t , (5.105)
opět s označením
a0 := F0/m . (5.106)
Partikulární řešení rovnice by však bylo nyní jiné. Podle toho, že by amplituda měla být s časem
stále rostoucí sinusoida s frekvencí ω0, zkusíme funkci
x(t) = x0t cos(ω0t + ϕ0) (5.107)
a postupem stejným jako výše dostaneme konkrétní hodnoty x0, ϕ0 jako
x(t) =
a0
2ω0
t sin(ω0t) (5.108)
Jak je vidět, amplituda, rychlost i zrychlení by kolísavě rostly do nekonečna, což by jistě rychle
narazilo na limity (působící síla pružnosti přestala být lineární a řídit se tedy vztahem F = −kx,
s rostoucí rychlostí by přestalo být zanedbatelné tření apod.).
Energie
Zabývejme se nyní energií buzených tlumených kmitů.
Celková mechanická energie EΣ se u netlumeného oscilátoru s časem nemění. Uvažujeme-li např.
rov. (5.30): x(t) = xm cos(ω0t + ϕ2), ˙x(t) = −ω0xm sin(ω0t + ϕ2), pak platí
EΣ = Ek + Ep =
1
2
m ˙x2
+
1
2
kx2
=
1
2
mω2
0x2
m . (5.109)
U tlumeného oscilátoru klesá EΣ s časem exponenciálně k nule díky činiteli e−δt:
P =
dE
dt
=
d
dt
1
2
m ˙x2
+
1
2
kx2
= ˙x(m¨x + kx) = ˙x(−h ˙x) = −h ˙x2
. (5.110)
U vynucených kmitů se zabýváme jen ustáleným stavem. Ten má průběh stejného tvaru jako
volný harmonický oscilátor a udržuje si proto i stejnou energii. Je to však vyváženo tím, že vtištěná
síla koná práci a dodává energii, která se díky tlumení ztrácí. Výkon síly je roven skalárnímu součinu
síly a rychlosti (rov. (4.26)).
56 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
Rezonance energie
Energie Ez dodaná vtištěnou silou za dobu T = 2π/Ω jedné periody v ustáleném stavu je rovna
Ez =
T
0
(−h ˙x2
)dt = −2πδΩmx2
m (5.111)
a průměrný ztrátový výkon je
P = −
E
T
= δΩ2
mx2
m =
δΩ2F2
0 /m
(Ω2 − ω2
0)2 + 4δ2
Ω2
. (5.112)
Tato funkce má sice podobný průběh jako amplituda kap. 5.95 vyšetřovaná dříve, obvyklým způsobem
můžeme najít extrémy anulováním derivace podle Ω, ale tentokrát je podmínkou rezonance
(energie)
2Ωω2
0(Ω2
− ω2
0) = 0 ⇒ Ω = ω0 (5.113)
nezávisle na tlumení δ, resp. h.
Činitel jakosti
Činitelem Q jakosti kmitající soustavy (např. rezonančního obvodu) nazýváme poměr průměrné
energie kmitající soustavy ku průměrné energii Ez, kterou vtištěná síla dodá během jednoho cyklu,
aby udržela ustálené kmitání:
Q =
EΣ
Ez
=
2π1
2 mω2
0x2
m
2πδΩmx2
m
(5.114)
v rezonanci: Q =
ω0
2δ
. (5.115)
5.2.7 Skládání kmitů
Princip superpozice
Pokud součet příčin dává prostý součet důsledků, říkáme že platí princip superpozice. Lze snadno
nahlédnout, že tento princip je splněn právě tehdy, jsou-li pohybové rovnice lineární (v proměnných,
které popisují konﬁguraci soustavy). Protože až dosud probírané pohybové rovnice lineární byly,
byl tím splněn předpoklad principu superpozice.
Princip superpozice umožňuje používat plně redukcionismus a řešit namísto složité rovnice
několik jednodušších dílčích rovnic — konkrétně zde namísto složité pravé strany (vtištěné síly)
vyřešit pohybovou rovnici s pravou stranou sinusoidální; pro libovolný jiný průběh pravé strany
použijeme její Fourierovy řady a převedeme tím novou úlohu na součet úloh známých, tj. řešením
složité úlohy bude prostý součet řešení úloh jednodušších.
Kmity ve stejném směru
Úlohy s netlumenými kmity a s ustálenými stavy vynucených kmitů vedly na sinusoidální řešení
typu např.
x1 = xm1 cos(ω1t + ϕ1) (5.116)
x2 = xm2 cos(ω2t + ϕ2) (5.117)
Často se vyskytují dva speciální případy: úhlové frekvence ω1, ω2 jsou
stejné , tj. ω1 = ω2, amplitudy různé
blízké , tj. ω1 ≈ ω2, přesněji ω1 − ω2 ≪ ω1 + ω2, amplitudy stejné.
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 57
Pro stejné úhlové frekvence lze snadno dokázat, že součtem dvou sinusoidálních funkcí s týmiž
frekvencemi je opět sinusoidální funkce téže frekvence, jen s jinou amplitudou i fází:
x1 + x2 = xm1 cos(ωt + ϕ1) + xm2 cos(ωt + ϕ2) (5.118)
= xm12 cos(ωt + ϕ12) (5.119)
kde
xm12 = x2
m1 + x2
m2 + 2xm1xm2 cos(ϕ1 − ϕ2) (5.120)
ϕ12 = arctan
xm1 sin ϕ1 + xm2 sin ϕ2
xm1 cos ϕ1 + xm2 cos ϕ2
(5.121)
Odvození (nemáme-li právě po ruce Wolfram Mathematica):
Označme pro stručnost s := sin ωt, c := cos ωt, Sk := sin ϕk, Ck := cos ϕk, Xk := xmk. Potom máme dokázat, že pravé strany
rov. (5.118),(5.119) jsou si rovny. Upravíme funkce součtu úhlů:
X1cC1 − X1sS1 + X2cC2 − X2sS2 = X12cC12 − X12sS12z (5.122)
Protože s, c jsou lineárně nezávislé, musí platit
X1C1 + X2C2 = X12C12 (5.123)
X1S1 + X2S2 = X12S12 (5.124)
Umocněním rovnic na druhou a sečtením dostáváme rov. (5.120), z podílů obou rovnic pak rov. (5.121).
Amplituda je zřejmě největší, jsou-li oba kmity „ve fázi , tj. ϕ1 = ϕ2 a nejmenší, jsou-li oba
kmity „v protifázi , tj. ϕ1 − ϕ2 = π; ve druhém případu pro xm1 = xm2 kmity vymizí, amplituda
výsledku je nulová.
Pro blízké úhlové frekvence se stejnou amplitudou xm upravíme součet s využitím rovnosti
cos α + cos β = 2 cos α+β
2 cos α−β
2 :
x1 + x2 = xm cos(ω1t + ϕ1) + xm cos(ω2t + ϕ2) (5.125)
= 2xm cos
ω1 − ω2
2
t +
ϕ1 − ϕ2
2
cos
ω1 + ω2
2
t +
ϕ1 + ϕ2
2
(5.126)
Rázy Výsledek rov. (5.126) interpretovat jako modulované kmity, tj. kmity s úhlovou frekvencí
(ω1 + ω2)/2 a s (poměrně pomalu) proměnnou amplitudou, avšak nikoli ω1−ω2
2 (jak by se zdálo
z rov. (5.126)), ale dvakrát vyšší, totiž |ω1 − ω2|. „Záporná amplituda není totiž odlišitelná od
kladné a obalová křivka — funkce typu | cos α| — má periodu dvakrát větší než funkce cos α.
Jsou-li si v akustice úhlové frekvence ω1, ω2 blízké natolik, že odpovídající rozdíl frekvencí
|f1 − f2| = |ω1 − ω2|/2π je menší než cca 10 Hz, dokážeme maxima sluchem vnímat a odlišit. Tento
akustický jev se pak nazývá rázy (dříve též zázněje). Obrázek je podle rov. (5.125) pro xm = 0, 5;
ω1 = 17; ω2 = 15; ϕ1 = ϕ2 = 0 spolu s čárkovanou funkcí cos t (frekvence ω1−ω2
2 ).
2 4 6 8 10
-1.0
-0.5
0.5
1.0
58 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
Kmity ve směrech navzájem kolmých. Lissajousovy obrazce
Kmitá-li částice dvěma harmonickými kmity ve směrech navzájem kolmých, např.
x(t) = xm cos(ω1t + ϕ1) (5.127)
y(t) = ym cos(ω2t + ϕ2)
je zajímavé sledovat její trajektorii F(x, y) = 0, tedy vyloučit čas t z právě uvedených závislostí.
Amplitudy xm, ym jen určují měřítko výsledné křivky a nejsou zajímavé; zvolíme je xm = ym = 1.
Jsou-li úhlové frekvence ω1, ω2 v racionálním poměru ω1 : ω2 = l : m s celými nesoudělnými l,
m, pak je trajektorií uzavřená křivka dotýkající se opsaného čtverce právě v l bodech ve směru x a
v m bodech ve směru y. Označíme-li totiž ω12 = ω1/l = ω2/m, pak doba T12 = 2π/ω12 je nejmenší
společnou periodou funkcí x(t), y(t), tj. platí x(t) = x(t + T12), y(t) = y(t + T12) a částice (poprvé)
znovu pokračuje po své předchozí trase. Protože mezitím nabyla l-krát funkce x(t) = cos(lω12t+ϕ1)
svého minima i maxima, má trajektorie se svou (čtvercovou) hranicí l společných bodů ve směru
osy x a podobně m společných bodů ve směru osy y.
Je-li poměr úhlových frekvencí ω1 : ω2 iracionální, pak trajektorie vyplňuje hustě čtverec, tj. ke
každému bodu B uvnitř čtverce a ke každému ε > 0 existuje čas t takový, že v okamžiku t je bod
trajektorie bodu B blíže než ε.
Generujeme-li na počítači trajektorii tak, že se s plynoucím časem t zobrazuje vždy úsek trajektorie
[t−t0; t] s pevným t0, dostaneme esteticky hezké časově proměnné obrazce — „hada elegantně
se vinoucího uvnitř obdélníka. Viz Wikipedie, Lissajousovy obrazce.
Obrázek je podle rov. (5.127) pro xm = ym = 1; ω1 = 3; ω2 = 4; ϕ1 =; ϕ2 = π/2.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Lissajousových obrazců generovaných dvěma signály na osciloskopu se dříve, kdy nebyla digitální
technika rozvinutá jako nyní, často užívalo pro měření frekvence neznámého signálu porovnáním se
signálem známé frekvence.
5.2.8 Vázané kmity. Kvazičástice
Uvažujme dva stejné oscilátory kmitající samostatně s touž úhlovou frekvencí ωA = k
m. Zavedemeli
mezi nimi vazbu
FP := − kP (x2 − x1) (5.128)
(např. pružinou s tuhostí kP ), pak vedle ωA se objeví i nová úhlová frekvence ωB = k+2kP
m . Pro
slabou vazbu (kP ≪ k) zde může dojít k rázům uvedeným výše; původní oscilátory si navzájem
jakoby přelévají energii. Vše snadno zjistíme řešením soustavy pohybových rovnic:
5.2. KONKRÉTNÍ TVARY SÍLY 59
m¨x1 = −kx1 + kP(x2 − x1) = (k + kP)x1 + kPx2 (5.129)
m¨x2 = −kx2 + kP(x1 − x2) = kPx1 − (k + kP)x2 (5.130)
odkud sečtením a odečtením rovnic dostaneme ihned
m¨x1 + m¨x2 = −k(x1 + x2) (5.131)
m¨x2 − m¨x1 = −(k + 2kP)(x2 − x1) (5.132)
a dosazením ξA = x1 + x2, ξB = x2 − x1
m¨ξA = −k ξA (5.133)
m¨ξB = −(k + 2kP)ξB (5.134)
(5.135)
Soustavu dvou spřažených oscilátorů jsme převedli na dvě nezávislé rovnice popisující nové dva
oscilátory – nezávislé kvazičástice s polohami ξA, ξB, s efektivními hmotnostmi m a s úhlovými
frekvencemi
ωA =
k
m
(5.136)
ωB =
k + 2kP
m
(5.137)
(5.138)
Takto se vyšetřují např. kmity v pevné látce a kvantují se na fonony, viz dále.
Je poučné rozmyslet si zde, jak se to má s „existencí a „neexistencí částic a kvazičástic.
Soustava interagujících částic se pod vlivem vnějších vln opravdu chová (rezonuje či nerezonuje)
jako soustava dvou neinteragujících kvazičástic, jejichž přítomnost v soustavě tedy opravdu můžeme
zjistit přímým měřením. Polohu kvazičástic však přímým měřením nezjistíme. Tu můžeme vypočítat
z poloh skutečných částic se započtením jejich interakcí — a naopak, ze známých hodnot veličin
kvazičástic bychom mohli vypočítat i polohu a ostatní veličiny skutečných částic. A především –
obojí, částice i kvazičástice, jsou modely reality. Každý z nich je někde názornější než druhý.
5.2.9 ←֓Řetízek oscilátorů (podélné kmity)
Uvažujme řetízek N stejných částic pohyblivých jen po ose x; číslujme je 1 až n. Každá nechť je
spojena pružinou s tuhostí k se svým nejbližším sousedem. Předpokládejme, že v rovnováze mají
částice tutéž vzájemnou vzdálenost a (u krystalů „mřížkový parametr ) a tedy n-tá částice má
rovnovážnou polohu xn0 = na , (5.139)
okamžitou polohu (odchýlenou o un(t)) xn(t) = na + un(t) (5.140)
a pohybové rovnice jsou tedy
m¨xn = k (xn+1 − xn) − k (xn − xn−1) (5.141)
resp. ¨un = −ω2
0(un−1 − 2un + un+1) (5.142)
s obvyklým zavedením ω0 := k/m. Rovnice platí pro n = 2 až n = N − 1; krajní body 1 a N
však nemají po jedné straně souseda a tedy by chyběla příslušná síla. Zesymetrizujeme rovnice
cyklickými okrajovými podmínkami1; rozšíříme řetízek, ale periodicky s periodou N. Ztotožníme
tedy N-tou částici s nultou; při větším N si můžeme představit, že řetízek stočíme do kruhu. Pak
budou rov. (5.141),(5.142) univerzálně platné pro všechna n (můžeme je brát mod N). Rovnice
jsou spřažené a potřebovali bychom je separovat. Cítíme přitom, že v cyklickém řetízku si jsou
všechny částice „rovnoprávné , nemělo by záležet na tom, která — v kruhu — bude první. Hledejme
proto un ve tvaru periodické funkce proměnné n se zatím neznámými parametry q, ω
un = um ei(2πqn/N−ωt)
(5.143)
1
Ve 3D případě se takové cyklické okrajové podmínky nazývají Bornovy-Kármánovy.
60 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
Pro celočíselná q má un periodu N v parametru n (jak požadujeme). Dosazením dostaneme
−ω2
un = ω2
0un(− e− i 2πq/N
+2 − e+ i 2πq/N
) (5.144)
= −ω2
0un 2 + 2 cos
2πq
N
(5.145)
ω2
ω2
0
= 2 1 + cos
2πq
N
2
= 4 sin
2πq
2N
2
(5.146)
ω = 2ω0 sin
πq
N
(5.147)
Tím jsme dostali pro různá celá q povolené úhlové frekvence ω(q).
Fyzikální smysl parametru q:
5.2.10 ←֓Struna
5.2.11 ←֓Řetízek s bází
5.3 Speciální pohyby 3D: centrální pole
5.3.1 Deﬁnice centrálního pole
Silové pole f(r) nazýváme centrálním, jestliže
• síla f(r) směřuje vždy k jistému bodu2 O zvanému centrum síly;
• má velikost f závislou jen na vzdálenosti r od tohoto bodu (nikoli na směru r0 ).
V bodě O zpravidla volíme počátek vztažné soustavy; pole f v něm není deﬁnováno. Pak
f(r) = f(r)r0 (5.148)
kde r0 = r/r je jednotkový vektor příslušný nenulovému polohovému vektoru r.
5.3.2 Obecné vlastnosti centrálních polí
Lze dokázat, že každé centrální pole je konzervativní. Nejjednodušší je konstruktivní důkaz:
Označme F(r) primitivní funkci k funkci f(r), tj. platí F(r) = f(r)dr; f(r) = dF (r)
dr .
Pak U(r) = −F(r) + konst = − fdr + konst je potenciální energií silového pole F, tj.
F(r) = −
−−−→
grad U(r) (5.149)
Důkaz si proveďte přímou derivací.
Dále, zadání úlohy je sice 3D, ale dokážeme, že pohyb v centrálním poli je rovinný, tedy jen
2D. Odehrává se v rovině určené centrem a počátečními podmínkami: leží v ní počáteční polohový
vektor r0 a počáteční rychlost ˙r0 = v0. Těmi je totiž určen počáteční moment hybnosti b0 = r0×mv0,
a jak dokážeme, moment hybnosti se při pohybu v centrálním poli zachovává.
Konečně, v rovině pohybu se zachovává plošná rychlost vp, tedy plocha opsaná průvodičem
dělená dobou pohybu (z deﬁnice plošné rychlosti platí totiž vp = 1
2r × v = 1
2b/m).
Zákon zachování momentu hybnosti b := r × p v centrálním poli dostaneme snadno. Moment M
centrální síly vůči centru je totiž vždy roven nule:
M = r × f = r × fr0 = 0 (5.150)
a protože časová změna momentu hybnosti je rovna momentu výslednice sil (rov. (4.7)), nemění se
moment hybnosti s časem, a to ani co do směru (z toho plyne rovinný pohyb), ani co do velikosti
(z toho plyne zachování plošné rychlosti).
Dále probereme dva speciální případy centrálních sil:
2
Pokud je centrální silové pole odpudivé, směřuje síla pochopitelně od centra, nikoli k němu; jinak ovšem platí
totéž. S takovým polem se setkáme např. při rozptylu (kladně nabitých) α-částic na (kladně nabitém) jádru atomu.
5.4. RELAXAČNÍ KMITY 61
pružnost, kde F(r) = −kr. Jde o (prostorový) harmonický oscilátor;
gravitace, kde F(r) = −G 1
r2 r0. Tuto úlohu vyřešíme jako část obecnější úlohy — pohybu dvou
těles, které se gravitačně přitahují (Keplerova úloha).
První úlohu probereme zde, druhou v samostatné kap. A.
5.3.3 Prostorový harmonický oscilátor
Harmonický oscilátor je charakterizován přitažlivou silou přímo úměrnou odchylce z rovnovážné
polohym tedy (vektorově)
F(r) = −k r (5.151)
Z kap. 5.3.2 víme, že půjde o rovinný pohyb. Zvolíme kartézské souřadnice a rozepíšeme pohybové
rovnice do složek:
m¨x = −kx (5.152)
m¨y = −ky (5.153)
s řešením podle kap. 5.2.3, rov. (5.30) a dále u Lissajousových obrazců, kap. 5.2.7, rov. (5.127):
x(t) = xm cos(ωt + ϕ1) (5.154)
y(t) = ym cos(ωt + ϕ2) (5.155)
tedy se stejnou úhlovou frekvencí ω = k
m . Trajektorií je obecně elipsa, jak dostaneme eliminací
času t z těchto rovnic: označíme ξ := x/xm, η := y/ym, ck := cos ϕk, sk := sin ϕk a rozepíšeme:
(a) ξ = c1 cos ωt − s1 sin ωt (5.156)
(b) η = c2 cos ωt − s2 sin ωt (5.157)
a eliminujeme funkci cos ωt kombinací c2(a) − c1(b), funkci sin ωt kombinací s2(a) − s1(b):
c2ξ − c1η = (−s1c2 + c1s2) sin ωt (5.158)
s2ξ − s1η = (c1s2 − s1c2) cos ωt (5.159)
Obě rovnice umocníme na druhou a sečteme. Do výsledku dosadíme s1c2 − c1s2 = sin(ϕ1 − ϕ2),
c1c2 − s1s2 = cos(ϕ1 − ϕ2), ξ = x/xm, η = y/ym a dostaneme
x
xm
2
+
y
ym
2
− 2
x
xm
y
ym
cos(ϕ1 − ϕ2) = sin2
(ϕ1 − ϕ2) , (5.160)
což je rovnice elipsy s poloosami xm, ym ve středové poloze s hlavní osou natočenou o úhel ϕ1 −ϕ2.
Po ní se tedy pohybuje částice realizující prostorový harmonický oscilátor. (Zdůrazněme, že centrum
pole leží ve středu elipsy, zatímco v Keplerově úloze pro gravitační pole řešené v kap. A leží centrum
pole v ohnisku elipsy).
5.4 Relaxační kmity
Podstatou harmonických kmitů částice kolem rovnovážné polohy je, jak jsme viděli, síla navracející
částici zpět s velikostí přímo úměrnou vzdálenosti od této rovnovážné polohy. Nemusí také jít
o čásici; harmonicky kmitat může i jiná fyzikální veličina (např. elektrické napětí či proud), je-li
snadno realizovatelná její druhá derivace podle času.
Kmity tohoto typu mívají v praxi víceméně pevnou frekvenci, vnější rušivé vlivy ovlivní spíše
amplitudu.
Vedle těchto kmitů se v technice i v živé přírodě často vyskytují relaxační kmity vznikající
zcela jiným mechanismem, a to střídáním dvou režimů.
62 KAPITOLA 5. ŘEŠENÍ POHYBOVÉ ROVNICE: KMITY 2017-03-16
Uvažujme např. elektrický obvod podle obrázku. Ze zdroje pevného napětí U0 se přes rezistor
R nabíjí kapacitor s kapacitou C s paralelně zapojenou doutnavkou. Doutnavkou zatím prakticky
neprochází proud. Nabíjením roste napětí U(t) na kapacitoru i doutnavce a exponenciálně by se
blížilo hodnotě U0. Jakmile však dosáhne zápalného napětí UZ doutnavky, nastane v doutnavce
výboj, náboj do té doby kumulovaný na kapacitoru poklesne, až při hodnotě UA nestačí k udržení
výboje a výboj zhasne. Doutnavkou přestane téct proud a kapacitor se opět nabíjí v prvním režimu.
Obě větve děje — nabíjení i vybíjení — mají charakter relaxace, tj. uvolnění, přechod z nerovnováhy
do rovnováhy; odtud název relaxační kmity. (Nejprve je to neúplně nabitý kapacitor zapojený
na nabíjející zdroj napětí, poté nabitý kapacitor z možností vybití náboje přes doutnavku.)
Charakteristická proměnná (zde napětí U kapacitoru) probíhá interval od UA do UZ prvním
režimem (nabíjení kapacitoru); při hodnotě UZ dojde ke změně režimu a napětí se výbojem v doutnavce
mění obráceně, od UZ do UA, v režimu vybíjení. (Může, ale nemusí být tedy symetrický
k režimu prvnímu; zde zřejmě není, vybíjí se přes jiný odpor, než přes který se předtím nabíjelo.)
Při napětí UA se opět situace změní. Přejde se na první režim a celý děj se stále opakuje.
Výsledkem je sice periodický průběh proměnné veličiny x (zde U), ale určitě nikoli harmonický
(který by měl sinusoidální závislost). Je tvořen dvěma větvemi (nárůst, pokles) obecně různé povahy,
a proto obecně různého průběhu. Fáze relaxační bývá dána exponenciálou klesající asymptoticky
k jisté limitní hodnotě, pokud platí, že rychlost ˙x je úměrná odchylce x (u harmonických kmitů
to nebyla rychlost, ale zrychlení odchylky ¨x). Rychlost může být např. i konstantní (pak je větev
popsána parabolickým obloukem) nebo může kmitající objekt získávat impulz jen v okamžiku změny
režimu (pak je větev popsána úsečkou), apod. Podle povahy tohoto průběhu lze např. v biologii
uvažovat a odhadovat podstatu a původ působící zobecněné síly.
U kmitů tohoto typu zůstává stálý rozkmit, tedy amplituda kmitů. Vnější poruchy ovlivňují
zpravidla spíše frekvenci.
Teoretické studium pak spočívá ve zkoumání jednak mechanismů relaxací, jednak mechanismů
změn režimů.
Kapitola 6
Setrvačné (zdánlivé) síly 2017-03-23
Tato kapitola vznikla jako samostatný výklad problematiky v rámci školení učitelů SŠ. Připomíná proto občas (nadbytečně)
některá základní fakta z mechaniky a užívá i elementární graﬁcké konstrukce. Věřím, že mi to čtenář promine.
Motto:
Setrvačné „síly jsou jen přílepek pro to, aby 2. Newtonův zákon platil třeba i na kolotoči.
6.1 Mechanika v nenormálních situacích
K termínům: v hovorovém jazyce se užívá termín pohyb předmětu pro změnu jeho polohy (s časem); je fyzikálně vyjádřen
jeho (nenulovou) rychlostí v. Setrvačnost je vlastnost tělesa vyjádřená jeho (nenulovou) hmotností m > 0; podle prvního
Newtonova zákona lze říct, že se volná částice pohybuje setrvačností. Chybná je formulace, že se pohybuje setrvačnou silou. To
by odpovídalo aristotelovskému pojetí, kdy je k pohybu potřeba síly, zatímco podle Newtona je síla potřeba ke změně pohybu.
Termín setrvačná síla (nepříliš šťastný) je zaveden pro jiný, dále vysvětlený pojem.
Tato kapitola zavádí „setrvačné síly neboli ﬁktivní, zdánlivé, nověji kinematické; je to např. síla Coriolisova, unášivá,
odstředivá, Eulerova. Vysvětluje, že nejde o pravé síly (popisující interakci tělesa s okolím), ale jen o dodatečné členy s rozměrem
síly, doplněné proto, aby pohybové rovnice zachovaly svůj tvar, i když souřadnice, rychlosti a zrychleni měříme ve vztažných
soustavách neinerciálních, třeba vůči rotující Zeměkouli, rozjíždějícímu se rychlíku apod..
6.1.1 Pohyb částice v normální situaci
Zatím budeme provádět veškerá měření v inerciální soustavě a všechny proměnné měřené v inerciální
soustavě budeme značit velkými písmeny: M, R, F, A, V . Omezíme se pro jednoduchost na
nejjednodušší těleso — částici neboli hmotný bod, tedy těleso, jehož vlastní rozměry jsou v dané
úloze zcela zanedbatelné a jehož poloha je plně popsána jediným bodem B, resp. jeho polohovým
vektorem RB.
Říkáme, že částice je volná, když na ni nepůsobí žádné vlivy, tj. ani síly = interakce (např.
magnetismus), ani vazby = omezení v pohybu (např. koleje), resp. když všechny na ni působící
vlivy se navzájem dohromady vyruší. V těchto „normálních situacích dodržuje volná částice první
Newtonův zákon (1NZ) neboli zákon setrvačnosti:
1NZ: Volná částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře (anebo je v klidu).
Co se týče účinku sil, poradí nám druhý Newtonův zákon (2NZ) neboli zákon síly, totiž
Výsledná síla FΣ udělí volné částici s hmotností M zrychlení A, kde MA = FΣ. (1)
Zde je výsledná síla FΣ rovna součtu FΣ skut všech skutečných sil na částici působících:
(2NZ:) MA = FΣ (6.1)
FΣ = FΣ skut (zatím). (6.2)
63
64 KAPITOLA 6. SETRVAČNÉ (ZDÁNLIVÉ) SÍLY 2017-03-23
6.1.2 První nenormální situace
Vedle síly je ještě jiná možnost, jak ovlivnit částici, a to je vazba. Vazbou nazýváme každé omezení
pohybu, ať už co do polohy nebo co do směru. Příklady z technické praxe jsou třeba čepy, klouby,
kladky, kolejnice. Částice podrobená vazbě ovšem už není volná. Pro jednoduchost uvažme časově
neproměnné vymezení povolené trati1 dané např. rovnicí f(X, Y, Z) = 0 vymezující plochu, po níž
se jedině může bod se souřadnicemi X, Y , Z pohybovat a kterou nemůže opustit. Co s tím? Jak
upravit 2NZ, aby platil i nadále, když částice není volná?
Pomůžeme si trikem: naši vazbu nahradíme vhodnou vazbovou silou. Ta bude právě taková, aby
sice udržela částici „na cestě pravé , ale jinak ji nijak neovlivnila, zejména aby jí nedodávala nebo
neubírala energii. Pro zachování energie stačí, když tato síla F bude zásadně kolmá na dráhu, tj.
na posunutí dr částice; pak d−W ≡ F · dr = 0. Tím je určen směr: normála k trajektorii. Velikost je
pak dána jednoznačně: tak „akorát , aby částici „dotlačila přesně na dráhu, ale nepřetlačila o kus
dál.
Příkladem budiž táta s klukem na cestičce v parku; v pozadí bdí hlídač. Jak zaručit, aby kluk dodržel vazbu, tj. nešlapal na
trávník? Stačila by klasická vazba, tj. tyč podél křivolaké cestičky, na ní navlečený kroužek, a ten je přikován k nožičce dítěte.
Otec coby vnější vliv je pak nadbytečný. V praxi ale taková vodítka podél cest nemáme, a proto nezbývá, než aby otec fungoval
jako vazbová síla: při pokusu kluka o vychýlení na něj zapůsobí vhodnou silou FΣ vazb: má směr kolmo k cestičce, a velikost
právě takovou, aby kluka přiměl dojít až na cestičku, ale ne dál.
Vazbovou sílu (nahrazující tedy vazbu), formulujeme snadno:
FΣ vazb = λ
−−−→
grad f , (6.3)
kde f je známá skalární funkce popisující vazbu f(x, y, z) = 0 a λ(x, y, z) je neznámá skalární
funkce; určuje velikost síly a spočte se tak, aby vazba f(x, y, z) = 0 byla splněna pro pohyb
popsaný řešením, tj. funkcemi x(t), y(t), z(t).
Tím jsme zobecnili dosavadní pojem síly: k silám skutečným jsme přidali ještě síly vazbové
FΣ vazb vypočítané tak, aby nahradily jistou „nenormálnost , totiž že částice nebyla volná:
FΣ = FΣ skut + FΣ vazb (6.4)
a i nadále platí 2NZ ve tvaru rov. (4.2), tedy
(2NZ:) MA = FΣ .
6.1.3 Druhá nenormální situace: neinerciální soustava
Někdy však potřebujeme popis pohybu částice v soustavě, která není inerciální. (Takovou soustavu
budeme za trest značit malým písmenem N , malé písmo užijeme taky pro vše, co s ní souvisí: x,
a, . . . .) Zajímá-li nás Foucaltovo kyvadlo nebo stáčení pasátů, musíme uvážit, že Země, na níž
stojíme a vůči níž provádíme měření, se otáčí kolem své osy. Soustava N s ní spjatá proto není
inerciální, jenže popis „mimo Zemi by byl evidentně nepraktický2. Uvažme nyní3, co při novém
popisu v pohybové rovnici zůstává a co se mění:
• (stejné) Hmotnost částice M je na vztažné soustavě nezávislá: m = M. Dále užívejme proto
jen malé písmeno, značku m.
• (stejné) Časy T i t plynou „stejně rychle . Mohou sice mít navzájem posuv (host z jiného
časového pásma má čas t = T − T0), ale protože všude používáme jen dobu ∆T = T2 − T1,
resp. ∆t = t2 − t1, tedy rozdíl dvou časových údajů, toto T0 se nikde neuplatní: ∆t = ∆T.
Užívejme proto i zde nadále jen malé písmeno, t.
1
Tj. plným jménem vazba holonomní, skleronomní, oboustranná.
2
Např. obvodová rychlost bodu na povrchu Země otáčející se kolem své osy je u nás cca 300 m/s, rychlost daná
obíháním Země kolem Slunce je cca 30 000 m/s.
3
Samozřejmě klasicky. V relativitě je M = m a ∆T = ∆t; i s tím bychom si uměli poradit, ale teď se tím
nezdržujme.
6.1. MECHANIKA V NENORMÁLNÍCH SITUACÍCH 65
• (stejné) Skutečné síly F popisují interakci mezi částicemi, a ta rovněž nezávisí na tom, zda
a kdo ji odkud popisuje. Obě dynamické veličiny tedy zůstávají stejné, na volbě vztažné
soustavy nezávislé: f = F.
Rozklad vektoru do složek podle os X, Y , Z anebo x, y, z ovšem na volbě vztažné soustavy závisí, protože vztažné
trojhrany xyz a XY Z mohou být vůči sobě natočené. Proto f = F, ale obecně4 fx = FX, fy = FY a fz = FZ.
• (změna) Zrychlení A je časovou změnou rychlosti V a ta je časovou změnou polohy R. Počítáme
ho z časového průběhu polohy částice jako
A =
∆V
∆t
; V =
∆R
∆t
a podobně a =
∆v
∆t
; v =
∆r
∆t
. (6.5)
Protože je obecně r = R, platí i ∆r = ∆R, v = V , a = A.
• (náprava) Vzájemná poloha RB −RA = rB −rA bodů A, B nezávisí na volbě vztažné soustavy.
Provedeme tedy odvození nikoli pro R, ale pro RB − RA, a za bod A vezmeme konkrétně
počátek oné neinerciální soustavy N . Pak je ovšem rA = rN = 0, RA = RN a platí
RB − RN = rB − 0 , čili (6.6)
R − RN = r (6.7)
d2
dt2
R − RN =
d2
dt2
(r) (6.8)
A − AN = a + a∗
(6.9)
(Jak uvidíme, časová změna v neinerciální soustavě NIS není zcela přímočará, protože sama NIS se
může s časem měnit. To vystihuje člen a∗.) Poslední rovnici vynásobíme hmotností M, využijeme
rovnosti M = m a upravíme:
MA + (−mAN − ma∗
) = ma . (6.10)
V inerciální soustavě S má pohybová rovnice (2NZ) tvar MA = FΣ, kde FΣ je součet všech
(skutečných i vazbových) sil. My bychom tento tvar rádi zachovali i v neinerciální soustavě N , tedy
(rádi bychom:) ma = fΣ .
Tady ale přebývá výraz (−mAN −ma∗). Ten má fyzikální rozměr síly; nazveme ho tedy setrvačnou
silou
„setrvačná síla : fsetr ≡ (−mAN − ma∗
) (6.11)
a při popisu v neinerciální soustavě ho vždy přidáme ke skutečným silám FΣ. Bude tedy
FΣ + fsetr = (6.12)
FΣ skut + FΣ vazb + fsetr = fΣ (6.13)
a s přidanou „setrvačnou silou platí i v neinerciální soustavě N pohybová rovnice
ma = fΣ , (6.14)
Měřeno z neinerciální soustavy se částice pohybuje podle 2NZ tak, jako by na ni vedle všech
skutečných a vazbových sil navíc působila tzv. setrvačná síla fsetr z rov. (6.11) .
4
To úsloví, že „obecně a = b varuje, že někdy může náhodou být i a = b, ale spolehnout se na to nelze. Např.
„Různí lidé mají obecně různá jména.
66 KAPITOLA 6. SETRVAČNÉ (ZDÁNLIVÉ) SÍLY 2017-03-23
Výraz pro zrychlení AN sestává z více členů. Tyto členy mají své názvy a podle nich nazýváme
i jim odpovídající dílčí setrvačné síly: unášivá, odstředivá, Coriolisova, Eulerova, viz kap. 6.2.
←֓ Můžeme totiž jít ještě dále, až k obecné teorii relativity. To nejprve odvodíme pohybové rovnice v nejobecnějších
křivočarých souřadnicích. Pak do nich zahrneme, že prostor a čas spolu úzce souvisejí (přes konstantní rychlost světla).
Nakonec si uvědomíme, že kvůli existenci gravitace5
neexistuje žádná inerciální soustava (S0, tedy ani S). Ale naše
nejobecnější pohybové rovnice pro svou platnost již žádnou inerciální soustavu nepotřebují, a proto platí i tak. Tím
už pak ovšem nejsme v klasické mechanice, ale zvládli jsme obecnou teorii relativity. Ale o tom jinde.
6.1.4 Čtyři vysvětlující poznámky
1) Právě zavedená setrvačná „síla fsetr = (−mAN ) je zřejmě jen kinematickou, z polohy a času
spočítanou berličkou, aby nám zůstal zachován 2. Newtonův zákon coby pohybová rovnice, a nepopisuje
tedy žádnou skutečnou interakci mezi částicí a „něčím okolo – tělesy ani vazbami. Proto
k ní neexistuje žádná reakce; nelze na ni použít 3. Newtonův zákon (zákon akce a reakce). Totéž
ovšem platí i pro všechny dílčí síly, na které ji pro názornost rozkládáme. Speciálně setrvačná síla
odstředivá není reakcí na dostředivou sílu!
Rozmyslete si do důsledků, že „setrvačná síla není nikdy síla ve smyslu interakce, ale jen způsob popisu zrychlení v jiné
(neinerciální) soustavě. Pokud si narazím nos, když tramvaj prudce zabrzdí, pak z hlediska (neinerciální) tramvaje mnou tlačila
setrvačná síla proti stěně, a ta svou pevností (neprohnula se, neprotrhla se) mi způsobila úraz. Z hlediska mého však stěna nebyla
klidná, ale pohybovala se mi vstříc, až mne udeřila. Setrvačnou sílu potřebuji „do počtu – pro soulad s relativním zrychlením,
aby mi vyšel 2NZ při výpočtu vůči tramvaji. Ale úraz mi způsobí vždy nějaká skutečná síla – interakce (zde: kontaktní síla)
mezi mým nosem a zdí!
2) Všimněte si, že důsledně říkáme, že polohu a pohyb částice popisujeme v inerciální nebo
neinerciální soustavě, a vyhýbáme se výrokům typu částice je v inerciální (neinerciální) soustavě.
Řečeno lehčím slohem: částice nepřísluší žádné vztažné soustavě, anebo přísluší stejným právem
všem soustavám – jak si vyberete6. Částice je (existuje) sama o sobě a je jí naprosto jedno, zda ji
někdo popisuje, resp. z jaké vztažné soustavy.
3) Když běžně popisujeme pohyb Slunce (a celé nebeské klenby) vůči Zemi (ve vztažné soustavě
spojené se Zemí), tak říkáme, že se Slunce otáčí kolem Země, a máme pravdu stejně jako zelení
mužíčci na zcela jiné planetě, tvrdící, že (v jejich vztažné soustavě) se naše Slunce s celou oblohou
točí kolem nich. Kolem čeho se tedy opravdu naše Slunce točí? To je jen otázka popisu, a popisů je
tolik, kolik je pozorovatelů, třebaže naše Slunce je jen jediné. (Rozmyslete si krásný výrok „Sluníčko
zašlo za mraky , i když i prostý pasáček ví, že po obloze spíš plují rychleji mraky než sluníčko.)
V heliocentrické soustavě Koperníkově obíhá Země kolem Slunce, v geocentrické Ptolemaiově
obíhá Slunce kolem Země. Běžná hovorová fráze „heliocentrická soustava je správná, geocentrická
je nesprávná není pravdivá: vůbec žádná vztažná soustava není (a z principu ani nemůže být)
nesprávná. Pravda je, že geocentrická soustava není inerciální, a proto popis pohybu, tj. kinematika
ostatních planet v ní vychází složitější, a tím spíš i popis sil – dynamika. Heliocentrická soustava
s počátkem v těžišti sluneční soustavy a s osami neotáčejícími se vůči „stálicím má k inerciální
soustavě mnohem blíže a kinematika i dynamika jsou v ní podstatně jednodušší. To je vše, co se
dá pravdivě říct: ale složitost a tím i „neobratnost neznamená nesprávnost. Můžeme s klidem, jak
je nám libo, užívat kterékoli z obou soustav, anebo třeba soustav ještě divočejších (třeba soustavu
spjatou s kolotočem, rozjíždějícím se na otáčející se Zemi, nebo soustavu spjatou s kývající se
houpačkou). Jen se nám bude dost složitě počítat. . .
4) Konstatujeme-li tedy v rozjíždějící se tramvaji N , že na nás působí setrvačná síla a tlačí nás
do sedadla, pak stejně oprávněně musíme konstatovat, že na domy, koleje, stromy atd. působí v N
tatáž setrvačná síla jako na nás. Protože však tyto objekty nemají za sebou pro opření tramvajové
sedadlo, které by bylo v klidu (vůči N = tramvaji), neopřou se a musejí se pohybovat vůči N se
zrychlením daným touto setrvačnou sílou, a to dozadu (opět vůči N = tramvaji).
5
Žádná volná částice totiž neexistuje: na každou působí gravitace, a tu není čím odstínit, když působí na všechny
hmoty úplně stejně!
6
Asi jako muž, který je věrný všem ženám.
6.2. NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY – ANALYTICKÁ METODA 67
Toto vše si důkladně rozmyslete. Student mívá totiž často zábrany: je ochoten počítat s odstředivou
silou působící na broučka sedícího na podlaze kolotoče, ale váhá o působení setrvačných sil
při popisu pohybu dravé mouchy sledující tohoto broučka a letící stále těsně nad ním, a vůbec si
nepřipouští (byť stále při popisu vůči kolotoči) potřebu použít odstředivé síly pro popis vysoko nad
kolotočem kroužícího kosa zaujatého broučkem i mouchou, nebo dokonce pro popis stromu stojícího
opodál, z něhož vše sleduje se zájmem kosice. Chceme-li ale zkoumat fyziku z kolotoče (rozumí se:
popisovat fyzikální děje z neinerciální vztažné soustavy spojené s otáčejícím se kolotočem), pak
nutně zjistíme, že se např. domy na náměstí točí dokola kolem osy kolotoče. Zdůvodníme to tím,
že na ně (v soustavě kolotoče) působí setrvačná síla odstředivá a Coriolisova, a to stejným právem
jako na broučka, mouchu, kosa, kosici, strom, domy kolem i Slunce nad nimi všemi. Setrvačné síly
jsou prostě univerzální daní odvedenou pohybovým rovnicím za to, že zůstanou platné i při popisu
polohy, rychlosti a zrychlení vůči neinerciální soustavě, jakou je v tomto případě kolotoč.
6.1.5 Jak popisovat co nejvýhodněji
Pro popis dějů v neinerciální soustavě N jsou vhodné takové pohybové rovnice, v nichž se budou
vyskytovat
• souřadnice (a rychlosti i zrychlení) zkoumaných objektů vyjádřené výhradně v neinerciální
soustavě N (např. že na Zemi se na severní polokouli stáčejí pasáty doprava – vůči Zemi N );
• a jenom popis pohybu neinerciální soustavy N (tj. pohyb jejího počátku a její případná rotace)
budou vyjádřeny v soustavě inerciální S, např. že Země N se kolem své osy točí od západu
k východu úhlovou rychlostí Ω (vůči „stálicím , S).
Všechny proměnné v rovnicích budou tedy mít značky buď malé (a) a popisovat zkoumaný objekt
vůči N , nebo velké s indexem N (AN , příp. Ω ≡ ΩN ) a popisovat pohyb celé soustavy N vůči S.
6.2 Neinerciální vztažné soustavy – analytická metoda
Dokážeme, že nejobecnější přemístění N vůči S lze popsat pomocí posunutí ∆RN jejího počátku
ON a otočení ∆Φ kolem směru tohoto posunutí (kinematický šroub, podrobněji viz kap. 7.3.2).
✒✑
✓✏
✉
 
 
 
 
 
  ✒
∆RN
✎✲
∆Φ
✒✑
✓✏✉
o
x
y
z
Obrázek 6.1: Kinematický šroub
Jde-li o přemístění inﬁnitezimální („elementární , ∆ → d) a trvá-li toto přemístění dobu dt,
lze ho popsat vektory rychlosti VN =
dRN
dt ≡ VN j a úhlové rychlosti Ω = dΦ
dt j, kde |j| = 1. Tato
přemístění jsou komutativní. Vliv přechodu popisu z S na N lze tedy rozložit a můžeme studovat
samostatně posunutí a otočení.
68 KAPITOLA 6. SETRVAČNÉ (ZDÁNLIVÉ) SÍLY 2017-03-23
Posuvný pohyb je jednoduchý: každý bod jsoucí v klidu vůči N má vůči S totéž zrychlení AN
a zrychlení se sčítají, takže – jak už víme z rov. (6.8) –
A − AN = a (6.15)
Otáčivý pohyb je složitější: při otáčení je časová změna db
dt N
každého vektoru B (ať už polohy,
rychlosti či síly), měřená v neinerciální soustavě, dána jednak jeho časovou změnou dB
dt S
měřenou
v inerciální soustavě, jednak úhlovou rychlostí Ω neinerciální soustavy N vůči inerciální S, a to
vztahem
db
dt
N
=
dB
dt
S
− Ω × b neboli (6.16)
dB
dt
S
=
db
dt
N
+ Ω × b. (6.17)
Vektorový součin popisuje skutečnost, že i pro vektor časově neproměnný (v S) se mění jeho složky
v N tím, že se otáčí neinerciální vztažný trojhran xyz vůči inerciálnímu XYZ úhlovou rychlosí Ω.
Kinematický šroub Obecný polohový vektor R v S a odpovídající polohový vektor r v N souvisí
s polohovým vektorem RN počátku ON soustavy N vůči S vztahem
R − RN = r (6.18)
Pak aplikace rov. (6.17) na rov. (6.18) vede nejprve na na vztah
V − VN = ˙r + Ω × r (6.19)
= v + Ω × r (6.20)
Zde se často zavádí unášivá rychlost vu vztahem
vu = VN + Ω × r . (6.21)
Další aplikací (rov. (6.17) na rov. (6.20)) dostaneme
A − AN =
d
dt
v + Ω × r + Ω × v + Ω × r (6.22)
= a + (
˙
Ω × r + Ω × ˙r) + (Ω × v + Ω × (Ω × r) (6.23)
= a +
˙
Ω × r + 2Ω × v + Ω × (Ω × r) , odkud (6.24)
A = a + aC + au , kde značíme (6.25)
Coriolisovo zrychlení aC = 2Ω × v (6.26)
unášivé zrychlení au = AN + aE + ado zahrnující (6.27)
unášivé posuvné zrychlení aup = AN (6.28)
Eulerovo zrychlení aE =
dΩ
dt
× r ≡
˙
Ω × r (6.29)
dostředivé zrychlení ado = Ω × (Ω × r) = (r · Ω) Ω − Ω2
r (6.30)
= −Ω2
r⊥ (6.31)
kde vektor r⊥ směřuje kolmo od osy otáčení Ω (nikoli od počátku ON jako r).
6.3. POPULÁRNĚ: NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY GRAFICKOU METODOU 69
Tato zrychlení vynásobíme hmotností a změníme znaménko7, čímž dostaneme
Coriolisovu sílu fCor = −2mΩ × v (6.32)
unášivou sílu fu = −mAN + fE + fod zahrnující (6.33)
unášivou posuvnou sílu fup = −mAN (6.34)
Eulerovu sílu fE = −m
˙
Ω × r (6.35)
odstředivou sílu fod = mΩ2
r⊥ (6.36)
Shrnutí I v neinerciálních soustavách platí 2NZ jako pohybová rovnice, pokud k výslednici FΣ
skutečných a vazbových sil přidáme ještě setrvačné síly: Coriolisovu fCor a unášivou fu, zahrnující
unášivou posuvnou fup, odstředivou fod a Eulerovu fE:
ma = f = FΣ + fCor + fu (6.37)
= FΣ
skutečná
+ (−2mΩ × v)
Coriolisova
+ (−mAN )
unáš. posuvná
+ (mΩ2
r⊥)
odstředivá
+ (−m
˙
Ω × r)
Eulerova
(6.38)
Konkrétně např. při popisu pohybu na otáčející se Zeměkouli (Ω ≈ 7, 3 · 10−5 s−1) zůstanou
zpravidla jen dvě síly:
ma = FΣ
skutečná
+ (−2mΩ × v)
Coriolisova
(6.39)
6.3 Populárně: Neinerciální vztažné soustavy graﬁckou metodou
6.3.1 Diskretizace
Dnes jsou běžné digitální fotoaparáty. Většinou umožňují udělat nejenom jediný snímek, ale i movie
– několik snímků „těsně za sebou (po době dejme tomu τ = 1
10 s), což se nám při pozorování
s troškou tolerance jeví jako pohyb8: jako bychom sledovali živý děj.
Ukážeme si, jak ze dvou po sobě jdoucích snímků poznáme rychlost fotografované částice a ze tří
snímků i jeho zrychlení, a tím z 2NZ (známe-li hmotnost částice) i sílu, která na ni v tom prostředním
okamžiku působila. Tím budeme znát všecko potřebné i pro kinematiku, i pro dynamiku v onom
prostředním okamžiku.
6.3.2 Parametrizovaná trajektorie (označkovaná cesta)
Jak jsme výše naznačili, při graﬁcké metodě vyjdeme z křivky zaznamenávající pohyb částice (ať
už v S nebo v N ), na níž budou vyznačeny i časy, ve kterých částice příslušné místo „navštívila .
Je to parametrizovaná trajektorie, a to konkrétně trajektorie parametrizovaná časem – našimi
elementárními dobami τ.
←֓ Trajektorie by mohla být parametrizovaná i jinak, třeba vlastní délkou – asi jako látkový krejčovský metr nebo
silnice s patníky; byla by to tzv. přirozená parametrizace.
7
Tím se změní i název: dostředivé zrychlení vede na odstředivou sílu.
8
Komu to nestačí, ať vezme τ = 1 µs (a počítá na víc desetinných míst). A kdo to chce úplně přesně, ať udělá
limitní přechod τ → 0. Tím pak s pomocí kalkulu dostane s derivacemi přesně úplně všecko.
70 KAPITOLA 6. SETRVAČNÉ (ZDÁNLIVÉ) SÍLY 2017-03-23
6.3.3 Rychlost
Rychlost popisuje časovou změnu polohy. K jejímu určení nám stačí dva po sobě jdoucí snímky:
částice, která má na prvním snímku polohu r1 a na druhém r2, má rychlost
v =
r2 − r1
τ
. (6.40)
Pokud je na obou snímcích bod na tomtéž místě (tj. r1 = r2), vyjde nám rychlost nulová: v = 0
a bod je ve sledovaném okamžiku v klidu (alespoň s tou přesností, na jaké jsme se dohodli).
K danému času zřejmě můžeme určit jednak „rychlost před z r⊖ a r0, jednak „rychlost po
z r⊕ a r0. A nejlépe je z nich pak vzít střed: v0 = 1
2(r⊕ − r⊖)/τ.
6.3.4 Zrychlení
Zrychlení popisuje časovou změnu rychlosti. Jestliže potřebujeme dva snímky pro zjištění rychlosti,
pak pro určení zrychlení jsou nutné snímky tři: zjistíme, jak se rychlost změnila za danou elementární
dobu. Z trajektorie na obrázku, parametrizované časem t v pěti polohách (tři, B⊖, B0, B⊕ jsou
pojmenované), je z prodlužování úseků zřejmé, jak se částice při pohybu zleva napravo zrychlovala.
Chceme-li určit zrychlení v čase t0, spočteme sousední časy t⊖ = t0 − τ a t⊕ = t0 + τ a pro
všechny tři odpovídající polohy B⊖, B0 a B⊕, resp. polohové vektory r⊖, r0 a r⊕. Z nich určíme
rychlosti „před a „po :
B⊖ B0
B⊕
⊗
Bs
❆
❆
❈❈
✁ v⊖ = (r0 − r⊖)/τ ,
v⊕ = (r⊕ − r0)/τ . (6.41)
Zrychlení je rovno rozdílu těchto rychlostí vydělenému dobou τ mezi snímky:
a0 = (v⊕ − v⊖)/τ = (r⊕ − 2r0 + r⊖)/τ2
. (6.42)
Tento výraz můžeme názorněji vyjádřit geometricky. Najdeme „střední polohu – bod Bs ležící
přesně uprostřed mezi body B⊖ a B⊕. Ten je popsán polovičním součtem polohových vektorů
krajních bodů, tedy
rs =
1
2
(r⊖ + r⊕) (6.43)
a dosazením do rov. (6.42) dostaneme
a =
2
τ2
(rs − r0) . (6.44)
Při pevné volbě doby τ tedy platí:
Zrychlení částice je úměrné odchylce její střední polohy Bs od skutečné polohy B0.
6.3.5 Výsledná síla (výslednice)
Výslednici fΣ působící na částici určíme podle 2NZ ze zrychlení a a hmotnosti m:
fΣ = ma =
2m
τ2
(rs − r0) . (6.45)
Heslovitě řečeno, výslednou sílu působící na částici určíme graﬁcky takto:
6.4. CVIČENÍ 71
Výslednice je podle 2NZ úměrná odchylce střední polohy Bs od skutečné polohy B0.
Konstanta úměrnosti je rovna
2m
τ2
a během celého pozorování se nemění (protože m je hmotnost
částice a τ je dohodnutá „elementární doba mezi snímky = mezi měřeními poloh).
6.4 Cvičení
Na SŠ se řeší úlohy na některé speciální druhy pohybů v S. Graﬁcky se tyto pohyby projeví takto:
• klid: body B⊖, B0, B⊕ splynou v jeden;
• rovnoměrný přímočarý pohyb: B⊖, B0, B⊕ leží na přímce, jsou stejně daleko od sebe:
B⊖B0 = B0B⊕;
• zrychlený přímočarý pohyb: B⊖, B0, B⊕ leží na přímce, jsou různě daleko od sebe:
B⊖B0 = B0B⊕;
• rovnoměrný kruhový pohyb: B⊖, B0, B⊕ neleží na přímce, jsou stejně daleko od sebe:
B⊖B0 = B0B⊕;
• rovnoměrně zrychlený pohyb (třeba volný pád):
B⊖B0 = B0B⊕, ale rozdíl ∆s = B⊖B0 − B0B⊕ se během pohybu nemění;
• obecný pohyb: B⊖, B0, B⊕ neleží na přímce, jsou různě daleko od sebe:
B⊖B0 = B0B⊕ .
Vše, co potřebujeme vědět o pohybu (poloha, rychlost, zrychlení, síla) v jistém okamžiku,
poznáme z oněch třech sousedících bodů na papíře při záznamu v konkrétní vztažné soustavě
(ať už S či N ).
Kdyby můj stůl byl IS a papír by na něm ležel klidně, dokázal bych z každých tří „sousedních
bodů určit sílu F působící v prostředním bodě. Kdyby mi ale někdo během zanášení poloh sledovaného
bodu papírem hýbal, byly by polohy zaneseny jinam, a vyšla mi i jiná síla f = F. Se znalostí
pohybu papíru vůči stolu bych však dovedl polohy „přepočítat a získat pravdivý výsledek o skutečných
působících silách. Totéž interpretováno jinak: můj papír by pak byl obecně NIS, zobrazené
body by se od předchozích lišily a vedly k síle f lišící se od F právě o „setrvačné síly fsetr = F −f.
6.5 Společné vlastnosti setrvačných sil
Setrvačné síly „působí 9 na všechny objekty popisované z hlediska neinerciální soustavy. Tyto síly
tedy např. z hlediska kolotoče „nutí budovy kolem, aby se pohybovaly po kruhových drahách kolem
osy kolotoče apod. Jinými slovy, zavedeme-li je, můžeme i z hlediska kolotoče úspěšně popisovat
svět, a to jak předměty spojené s kolotočem, tak i stojící mimo něj. Odstředivá a Coriolisova síla
tedy (z hlediska Země točící se kolem vlastní osy) správně popíšou pohyb Foucaltova kyvadla,
stáčení pasátů, ale i pohyb stálic na noční obloze. Shrnuto dohromady tedy každá setrvačná síla
• „působí – ve smyslu poznámky pod čarou – na (každý) pozorovaný objekt;
9
Méně emotivně řečeno: Setrvačné síly musíme zahrnout do pohybových rovnic pro libovolný objekt, který popisujeme
v neinerciální soustavě.
72 KAPITOLA 6. SETRVAČNÉ (ZDÁNLIVÉ) SÍLY 2017-03-23
• nepopisuje žádnou interakci (mezi dvěma tělesy), a proto nemá smysl k ní hledat reakci ve
smyslu 3NZ;
• je to fakticky jen umělý přílepek (−mAN ) vymyšlený proto, aby 1NZ i 2NZ platily i při
popisu z neinerciální vztažné soustavy;
• neexistuje (chcete-li, je identicky rovna nule) v inerciální vztažné soustavě.
6.6 Slovní zmatky; dostředivá síla a jiná „odstředivá síla
Pojem odstředivé síly právě vyložený je sám o sobě dosti obtížný. Ale ještě horší je, že podobný
termín – dostředivá síla – je úplně jiné kategorie. A nejhorší je, že stejný termín – odstředívá síla
– se také užívá, ale pro něco zcela jiného.
6.6.1 (Vazbová) dostředivá síla
K tomu, aby se částice pohybovala rovnoměrně po kružnici, musí být výsledná síla kolmá k jejímu
směru pohybu. Obvykle bývá tato síla vazbová (provázek, koleje apod.), u planet je to gravitační síla
centrálního slunce. Při rovnoměrném pohybu částice směřuje tato síla do středu oskulační kružnice,
a proto se nazývá dostředivá síla. Pokud se velikost rychlosti mění, tak „dostředivá síla nemá směr
do středu oskulační kružnice. Shrnutí: dostředivá síla (zajišťující křivočarý pohyb)
• působí na pozorovaný objekt (od vazby či od ostatních okolních objektů);
• popisuje skutečnou interakci (mezi dvěma tělesy), a proto k ní existuje reakce ve smyslu 3NZ;
• existuje i v inerciální vztažné soustavě.
6.6.2 Odstředivá síla (působící na vazbu)
Pokládáme-li vazbovou dostředivou sílu za akci, pak reakcí k ní je síla, kterou obráceně působí
částice na vazbu (provázek, kolejnici . . . ). Někdy se tato síla nazývá odstředivou: „Koleje poškodila
odstředivá síla projíždějících vlaků; ložisko vymlela odstředivá síla špatně vyváženého kola . Není
to moc šťastné z více důvodu. Jednak v případě ložiska ho tato síla poškodí směrem do osy, nikoli
od osy10. Dále, její zavedení pro planetu obíhající kolem slunce by bylo rozporuplné; uvažte nikoli
lehkou planetu, ale dvojhvězdu. A především je tato síla něco úplně jiného než právě vyložená
(setrvačná) odstředivá síla:
• (vazbová) odstředivá síla působí na vazbu (závěs, kolej. . . ), nikoli na částici;
• (vazbová) odstředivá síla je skutečná síla a existuje při popisu v kterékoli vztažné soustavě;
• (vazbová) odstředivá síla je ve vztahu akce – reakce s dostředivou silou, nutící částici k pohybu
po kružnici;
• (vazbová) odstředivá síla nemá jednoduchý smysl, je-li zakřivení dráhy zkoumaného tělesa
dáno nikoli vazbou, ale obecným silovým působením, např. gravitací jiného tělesa; pak se
tímto polem přenáší na jeho zdroj.
Nicméně, říká se to takto, a těžko najít něco jiného, co by se ujalo11. Nezbývá než uvážit vždy,
o co se jedná: výše uvedené rozdíly vám určitě pomohou jednoznačně rozhodnout.
10
No vážně: osa ložiska je prý vymletá odstředivou silou – ale je snad nafouklá od středu osy, ven? Nikoli, je
vmačkaná, a to samozřejmě ke středu osy, dovnitř!
11
Zkuste přemluvit lidi, aby říkali teplotoměr namísto teploměr, protože měří teplotu, a ne teplo!
6.7. PŘÍKLADY 73
6.7 Příklady
6.7.1 Košíková na kolotoči: zvláště názorný příklad
Oblíbeným pouťovým trikem na kolotoči bývá volejbalový koš na ose: během zastavování kolotoče
se vhodí mezi vozící se zákazníky volejbalový míč s tím, že každý, kdo se trefí do koše, se může
vozit znovu zadarmo.
Každý to rád zkusí, přesně zamíří – ale většinou se velice mine: míč namířený na koš se v letu
jaksi zahne doprava a proletí dost daleko od koše. Fyzik sedící na kolotoči si řekne: „Inu, odehnula
ho Coriolisova síla spolu s odstředivou. Fyzik stojící na zemi vedle kolotoče si řekne: „Ten míč letí
ve svislé rovině, a ne po nějaké zahnuté ploše. Ale proč s ním ten člověk míří na koš a ne doleva,
když ví, že se sám pohybuje doprava? On totiž vidí, že házející, který míří na koš, se sám pohybuje
kolmo ke směru, kterým hází. Je to stejné, jako kdyby házel z auta, které projíždí okolo rychlostí
stejnou, jakou má na kolotoči házející, tedy U = RΩ. Je-li míč vržen rychlostí v k ose, má vůči
zemi rychlost W , která je vektorovým součtem těchto rychlostí: W = v + U; rychlosti v, U jsou
k sobě kolmé. Po době τ = R/v proletí ve vzdálenosti D = Uτ = RU/v od osy.
6.7.2 Střelba na židličce
K otáčivé židli je našroubována vzduchová pistole mířící radiálně od osy otáčení a o něco dále terč.
Roztočíme-li židli, dopadnou střely jinam, než když je židle v klidu.
Pozorovatel na židli měří zakřivený let střely a vysvětlí ho Coriolisovou a odstředivou silou,
působící na pohybující se střelu. Pozorovatel na zemi vidí shora přímý let střely. Vidí však, že
střela má vedle své rychlosti w vůči zbrani i složku o velikosti V = RΩ danou tím, že se zbraň
ve vzdálenosti R od osy otáčí úhlovou rychlostí Ω, a dále že během doby letu τ se cíl posune po
oblouku o středovém úhlu Ωτ.
K oběma popisům přistupuje ovšem ještě mírný pokles ve výšce daný volným pádem střely
během letu.
6.7.3 Odklon pasátů
Předmět, který stojí na rovníku, se vůči inerciální, nerotující soustavě S spojené s osou Země
pohybuje úctyhodnou rychlostí. Rovník má zhruba 40 030 km, Země se otočí zhruba jednou za
24 hodin (přesněji ovšem musíme uvažovat hvězdný den, cca 86 164 s), čili předmět má vůči S
nadzvukovou rychlost: V0◦ ≈ 465 m/s. Posune-li se předmět o 30◦ na sever, měl by mít rychlost
nižší: V30◦ = 465 · cos 30◦m/s ≈ 400 m/s, aby byl v klidu vůči Zemi.
Pokud si tedy předmět o hmotnosti m setrvačností ponechal svých 465 m/s, tak přesunem na
sever o 30◦ získal slušnou rychlost ∆v = 65 m/s vůči Zemi, a také tomu odpovídající hybnost
∆p = m∆v (se směrem na východ). Z hlediska Země se předmět urychlil; toto zrychlení aCor,
stejně jako přírůstek ∆p hybnosti, se jeví jako důsledek Coriolisovy síly fCor „působící na točící
se Zemi: aCor = −fCor/m.
A konkrétně k pasátům a vůbec k proudění vzduchu na naší Zemi: když se vzduch přesouvá
na severní polokouli směrem od rovníku k pólu (to nastává v horních vrstvách troposféry), tak se
právě popsaným mechanismem „předbíhá doprava (na východ). Na jižní polokouli při přesunu
směrem od rovníku k jižnímu pólu se předbíhá rovněž na východ, tentokrát je to ovšem z jeho
hlediska doleva. Naopak, proudí-li vzduch obráceným směrem, tedy směrem od pólů k rovníku (to
pozorujeme ve spodních vrstvách atmosféry), pak „nestíhá Zemi , zpožďuje se oproti zemskému
povrchu, a tedy z hlediska svého pohybu se stáčí na západ (opět je to na severní polokouli doprava,
na jižní doleva).
74 KAPITOLA 6. SETRVAČNÉ (ZDÁNLIVÉ) SÍLY 2017-03-23
Obecně vzato je toto „Coriolisovo stáčení při pohybu předmětu na (otáčející se) Zemi tím
výraznější, čím blíže jsme pólu. Na rovníku samotném se Coriolisova síla uplatní jen nepatrně –
tím, že při pádu z výšky se předmět uchyluje na východ, při pohybu po rovníku směrem východním
je předmět nadlehčován. Při pohybu od rovníku směrem k pólu (kterémukoliv) je ovšem přímo na
rovníku Coriolisova síla nulová, protože tam je směr pohybu rovnoběžný s osou rotace Země.
6.7.4 Pád z velké výšky
Kámen padající z Eifellovy věže (ve vakuu) by padal asi 7 s a nepadl by přesně podle olovnice,
ale zhruba 7 cm na východ. Proč? Z hlediska Země : na kámen působila během pádu odstředivá a
Coriolisova síla. Z hlediska inerciální soustavy: vršek věže je od osy otáčení Země dál, a proto má
větší posuvnou rychlost než spodek, takže fakticky nejde přesně o volný pád, ale o vodorovný vrh
na východ, po hlavní kružnici ve směru otáčení Země.
Občas se můžete setkat s „aristotelovským výkladem: během pádu se Země pod kamenem stačí
trochu pootočit (jako by se kámen ve svém rotačním pohybu se Zemí v okamžiku upuštění měl náhle
zastavit!). Za dobu pádu kamene se však spodek i vršek věže posunou o několik kilometrů na východ.
Kdyby tedy „aristotelovsky kámen zapomněl obíhat kolem zemské osy, jakmile ho nedržíte, dopadl
by na obrácenou stranu, a to s pěkně velkou odchylkou – o několik kilometrů.
6.7.5 A nakonec Cimrmanovo „Tudy cesta nevede, přátelé!
Při zájezdu do rovníkové Afriky či Equadoru se na rovníku můžete setkat s ochotnými obchodníky,
kteří vám (za mírný bakšiš) ukážou, jak na severní polokouli se při vytékání vody z nádoby malým
otvorem ve dně tvoří vír doprava, zatímco o metr dále – už na jižní polokouli – v téže nádobě
vytvoří táž voda při vytékání vír levotočivý. Je to velice efektní. (Vy se o to ani nepokoušejte.
Nejspíš se vám ten jejich pokus nějak nepovede zopakovat.)
Když si ale uvědomíte:
• že Coriolisovo zrychlení 2vΩ sin θ je řádu 10−11 m/s2
(odhad: při zemském poloměru 6 378
km a odchylce v poloze 1 m je sin θ ≈ 0, 16 · 10−6; úhlová rychlost Ω otáčející se Země je
Ω ≈ 7, 3 · 10−5 s−1 a rychlost v proudící vody je malá);
• že je značně těžké ustálit čerstvě nalitou vodu v nádobě tak, aby se ani trošinku netočila;
• že s klesající hladinou a poloměrem otáčení se původní úhlová rychlost víru v kapalině výrazně
zvyšuje;
• co dokážou nepatrné mimovolné (ba i nemimovolné) pohyby lidského těla, dané už prostě jen
tepem našeho srdce, chvěním svalstva a podobně,
jmou se vás jisté pochybnosti a věrohodnosti tohoto „důkazu Coriolisovy síly. Docela právem.
Kapitola 7
Soustava HB a tuhé těleso 2017-04-12
7.1 Soustava hmotných bodů
7.1.1 Zavedení, základní pojmy
Uvažujme soustavu N > 1 hmotných bodů; budeme jim pro stručnost říkat částice a budeme je
číslovat indexem, např. n = 1 . . . N. Jsou situace, kdy má rozumný smysl pokládat soustavu za
celek a jako celek ji vyšetřovat. Příklady:
N = 2 Slunce + Země anebo Země + Měsíc; Keplerův problém, kap. A; spřažené oscilátory, vázané
kmity, kap. 5.2.8; molekuly O2, N2, HCl;
N = 3 Slunce + Země + Měsíc; molekuly H2O, CO2, HCN;
N = 9 zjednodušená sluneční soustava – Slunce a planety; molekula ethanolu C2H5OH;
N ≫ 1020 kapka vody, krystal soli, kus křídy, dětská hračka „setrvačník , vzduch v míči.
Pracujeme-li s takovou soustavu jako s celkem, má smysl hledat, zda lze zavést jen několik málo
veličin k jejímu popisu. Některé veličiny budou pouhým součtem dílčích veličin pro každou částici,
jiné budou mít vlastnost „průměrné hodnoty , další z nich mohou být odvozeny. Pro stručnost a
přehlednost nevypisujeme meze při sčítání přes částice: n := N
n=1.
Při součtu přes index číslující částice neužíváme Einsteinovu konvenci.
Základní aditivní veličiny:
Celková hmotnost M soustavy je součet hmotností všech částic:
M :=
n
mn . (7.1)
Celková hmotnost nezávisí na volbě vztažné soustavy, v níž soustavu popisujeme.
Celková hybnost P soustavy je součet hybností všech částic,
P :=
n
pn =
n
mnvn . (7.2)
Celková hybnost závisí na volbě vztažné soustavy, v níž soustavu popisujeme.
Celkový moment hybnosti B soustavy je součet momentů hybností každé částice,
B :=
n
bn =
n
mnrn × vn . (7.3)
Celkový moment hybnosti závisí na volbě vztažné soustavy, v níž soustavu popisujeme.
Spin S V kvantové částice přisuzujeme částicím aditivní atribut spin s; ten má povahu vlastního
(„vrozeného ) momentu hybnosti. Pro něj lze zavést celkový spin S := n sn jako součet
spinů všech částic soustavy.
75
76 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
Celková kinetická energie Ek soustavy je součet kinetických energií všech částic,
Ek :=
n
Ekn =
1
2 n
mnv2
n . (7.4)
Celková kinetická energie závisí na volbě vztažné soustavy, v níž soustavu popisujeme.
Celková síla F působící na soustavu je součet všech sil na soustavu působících. Stačí však sčítat
jen síly vnější:
F :=
n
Fn =
n
F ext
n . (7.5)
Součet všech vnitřních sil je totiž roven nule, protože díky 3NZ ke každé vnitřní síle existuje
síla opačná: Fnk = −Fkn. Celková síla nezávisí na volbě vztažné soustavy, v níž soustavu
popisujeme.
Celkový moment sil M působící na soustavu je součet všech momentů sil na soustavu působících.
Jeho velikost zapíšeme zde vždy |M| pro odlišení od celkové hmotnosti M.
Pokud jsou vnitřní síly centrální, stačí sčítat síly vnější:
M :=
n
Mn =
n
M ext
n , (7.6)
protože momenty vnitřních sil jsou v tom případě rovny nule. Posunutím počátku vztažné
soustavy o r se celkový moment sil zmenší o r × n F; je-li tedy n F = 0, nezávisí celkový
moment sil na volbě vztažné soustavy.
7.1.2 Střed hmotnosti, hmotný střed; těžiště, metacentrum
Střed hmotnosti, hmotný střed Pro každou soustavu lze deﬁnovat střed hmotnosti neboli
hmotný střed {center of mass}1 se souřadnicí
X := k mkxk
k mk
a analog. pro y, z. (7.7)
Platí tedy
MX =
k
mkxk a analog. pro y, z. (7.8)
V angl. textech se často označuje indexem cm: rcm poloha, vcm rychlost středu hmotnosti apod.
Z matematického hlediska jde o střední hodnotu polohy s váhou m. Pro kontinuum nacházející
se v oblasti V lze proto tento pojem zavést typickou limitou – Stieltjesovým integrálem s mírou m:
n
. . . mn →
V
. . . dm(r) (7.9)
Zpravidla lze zavést hustotu ρ(r) pro r ∈ V a ρ(r) = 0 pro r /∈ V, takže dm = ρdxdydz a lze
integrovat přes celý prostor. Integrál se proto píše zpravidla stručně bez oblasti a proměnných:
n
. . . mn → . . . dm = . . . ρdxdydz = . . . ρdV (7.10)
takže
R :=
ρ r dV
ρ dV
. (7.11)
Ačkoliv píšeme ρdV , je ρ funkcí polohového vektoru r, tj. ρ(r), nikoli snad objemu ρ(V ). Zápis ρ(r)dr by ovšem byl
zavádějící; příslušný diferenciál není vektor, ale (pseudo)skalár s rozměrem L3, nikoli L.
1
Přesnější než hmotný střed by bylo hmotnostní střed, jako např. analogický nábojový střed.
7.1. SOUSTAVA HMOTNÝCH BODŮ 77
Těžiště; metacentrum Pojmu „střed hmotnosti je příbuzný pojem těžiště. Zavádí se pro tuhé
těleso v tíhovém poli jako bod, do něhož můžeme umístit výslednou tíhovou sílu G a nahradit tak
spojité rozložení tíhového působení s tíhovým zrychlením g na celé těleso v oblasti V. V homogenním
poli těžiště existuje a splývá se středem hmotnosti, má tedy souřadnice podle rov. (7.7), resp. (7.11).
Jednoslovný termín těžiště a jeho odvozeniny (např. těžišťová vztažná soustava) se proto často
užívají namísto dvojslovného středu hmotnosti, kdykoli nehrozí nedorozumění.
V nehomogenním poli obecně těžiště neexistuje. Pro bod analogických vlastností se pak užívají
jiné termíny, např. metacentrum pro působiště vztlaku na loď. Podrobněji viz 7.4.5.
7.1.3 Věta o hybnosti
Protože síly jsou veličiny aditivní, lze snadno zobecnit 2. Newtonův zákon i na soustavu hmotných
bodů, a opět stačí uvažovat jen vnější síly
dP
dt
= F (7.12)
Časová změna hybnosti soustavy je rovna výslednici vnějších sil.
Dříve se též nazývala první impulzovou větou.
7.1.4 Věta o momentu hybnosti
I momenty sil jsou veličiny aditivní, takže lze snadno zobecnit zákon zachování momentu hybnosti
na soustavu hmotných bodů. Jsou-li navíc vnitřní síly centrální2, opět stačí uvažovat jen vnější síly
dB
dt
= M (7.13)
Časová změna momentu hybnosti soustavy je rovna momentu výslednice vnějších sil.
Dříve se též nazývala druhou impulzovou větou.
7.1.5 Kinetická energie; Königova věta
Celková kinetická energie je součtem dílčích kinetických energií všech částic:
Ek :=
n
Ekn =
1
2 n
mnv2
n (7.14)
Značíme-li un rychlost n-té částice v těžišťové soustavě a V rychlost hmotného středu, pak platí
vn = V + un. Z derivace rov. (7.8) podle t plyne n mnun = 0 a lze tedy zjednodušit
Ek =
1
2 n
mn(V + un) · (V + un) (7.15)
=
1
2
V 2
n
mn +
1
2
V ·
n
mnun +
n
1
2
mnu2
n (7.16)
=
1
2
MV 2
+
n
1
2
mnu2
n . (7.17)
Königova věta:
Celková kinetická energie soustavy částic je rovna součtu (kinetická energie myšleného bodu s hmotností
M a s rychlostí těžiště) + (součet kinetických energií částic vůči těžišti soustavy).
2
Při necentrálních silách typu náboj-dipól, resp. obecně multipól-multipól, mají částice vlastní moment hybnosti
typu spinu a zákony zachování rovněž platí.
78 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
7.1.6 Zákony zachování
Zákon zachování celkové hybnosti Z věty o hybnosti plyne, že celková hybnost soustavy se
zachovává, jestliže výslednice vnějších sil působících na soustavu je rovna nule. (Jakékoli vnitřní
síly nemohou změnit celkovou hybnost soustavy).
Zákon zachování celkového momentu hybnosti Z věty o momentu hybnosti plyne, že celkový
moment hybnosti soustavy se zachovává, jestliže výsledný moment vnějších sil působících
na soustavu je roven nule a vnitřní síly jsou centrální. Zachovává se i tehdy, jsou-li vnitřní síly
necentrální, ale lze-li je popsat zavedením vnitřních momentů hybnosti částic (spinů).
Zákon zachování celkové mechanické energie Celková mechanická energie soustavy (kinetická
+ potenciální) se zachovává, jsou-li vnější síly konzervativní. Vazební síly nekonají práci a
energii tedy nemění.
7.1.7 Srážka (ráz)
Problematika srážek je rozebrána v samostatné příl. C.
7.2 Pojem tuhého tělesa
7.2.1 Základní představy
Tuhé těleso během řešené úlohy nemění svůj tvar, tj. nedeformuje se.
¶ Rozlišujte tuhé těleso {rigid body}, opak: deformovatelné těleso, kontinuum) a pevná látka {solid state}, opak: kapalina,
plyn. Tuhé těleso se studuje v klasické mechanice, pevná látka coby skupenství v termodynamice a v kvantové
teorii.
Jednotlivé body A, B tuhého tělesa tedy mohou měnit s časem svou polohu: rA(t), rB(t), ale
jejich vzdálenost s = sAB = |rA(t) − rB(t)| se s časem nemění: ds/dt = 0.
Každou část tuhého tělesa můžeme zřejmě rovněž pokládat za tuhé těleso.
V deﬁnici tedy nejde jen o vnější tvar, ale i o vnitřní strukturu objektu. Kulové akvárium zcela naplněné vodou
nebude tuhým tělesem, pokud bude uvnitř voda proudit (např. když budeme akvárium roztáčet). Pokud voda zmrzne
(a akvárium to přežije. . . ), bude se celek chovat jako tuhé těleso. Vajíčko natvrdo se vůči roztáčení na špičce chová
jako tuhé těleso a roztočíte ho proto na špičce bez problémů; syrové vejce nikoli. Zkuste si to!
Z „mikroskopického přístupu dojdeme tedy k tuhému tělesu tak, že ho rozložíme na hmotné
body. Tuhé těleso pak bude soustava N hmotných bodů doplněná vazbami, které zaručí, že se vzdálenosti
jednotlivých bodů během úlohy nezmění. Obvykle bude N značně velké číslo, potenciálně
třeba i nekonečné. I proto budeme hledat jiný, „globální popis takový, aby stačil co nejmenší počet
vhodných parametrů pro jednoznačné určení stavu tuhého tělesa.
Nakonec obligátní problém: existuje tuhé těleso? Odpověď – tuhé těleso existuje nebo neexistuje přesně stejně
jako existuje nebo neexistuje hmotný bod. Neexistuje sice reálný objekt, který by při libovolné situaci zachovával svůj
tvar a nedeformoval se (ostatně, z teorie relativity přímo plyne, že žádné těleso nemůže být dokonale tuhé, protože by
přenášelo – uvnitř sebe – informaci nekonečně rychle). Setkáváme se však s řadou úloh, v nichž některý objekt svůj
tvar a vnitřní rozložení hmotnosti zachovává natolik, že ho lze proto pokládat za tuhé těleso. Můžeme tedy odpovědět
tak, že ve smyslu naší deﬁnice v rámečku nahoře tuhá tělesa existují.
A ještě obecněji: tuhé těleso i hmotný existují či neexistují právě tak jako úsečka nebo číslo 7. Jsou to prostě
prvky jednoho z mnoha možných modelů, kterými popisujeme přírodu.
7.2.2 Popis tuhého tělesa. Stupně volnosti
Ukážeme si několik přístupů k problému a jejich vzájemné souvislosti.
Soustava hmotných bodů Jak je zřejmé, je reálné tuhé těleso speciální soustavou prakticky
nekonečného množství bodů. (Pokud se zastavíme na atomární úrovni, pak 1 kg železa obsahuje cca
N = 1025 atomů; stáří Vesmíru je pouhých cca 0, 4·1018 sekund.) Doufáme proto, že pro rozumný
popis polohy tuhého tělesa bude stačit podstatně méně parametrů. Ukážeme, že stačí 6 parametrů,
a to nezávisle na N.
Tuhé těleso můžeme „sestrojit z pevně spojených hmotných bodů:
7.2. POJEM TUHÉHO TĚLESA 79
• Jeden jediný hmotný bod má f1 = 3 stupně volnosti. Můžeme ho co do polohy popsat třemi
spojitě proměnnými parametry (např. 3 kartézské souřadnice x, y, z, nebo ve sférických
souřadnicích analogií nadmořské výšky r, zeměpisné šířky θ a zeměpisné délky ϕ).
Rovněž geometricky vzato je bod A v 3D určen třemi souřadnicemi (např. kartézskými).
• Dvojice spojených hmotných bodů A, B (model „činka ) má f2 = 5 stupňů volnosti. Každý
z bodů má 3 stupně volnosti, ale musíme odečíst 1 stupeň na vazbu zaručující, že jejich
vzdálenost dA,B je pevná.
Geometricky vzato je první bod A určen 3 souřadnicemi, druhý bod B při pevné vzdálenosti
d od A musí ležet na povrchu koule se středem v A a poloměrem d = dA,B; na ní je B určen
dalšími 2 parametry (např. úhly v polárních souřadnicích).
• Trojice spojených nekolineárních3 bodů má f3 = 6 stupňů volnosti. Bod C přidaný k „čince
mimo její osu dodá další 3 stupně volnosti, ale také další 2 nezávislé vazby (vzdálenosti od
bodů A, B tvořících činku); soustava tří HB s pevnými vzdálenostmi má tedy f3 = 6 stupňů
volnosti. Toto platí jen, pokud přidaný bod neleží na podélné ose činky; leží-li na ní, má
soustava i nadále jen 2 stupně volnosti.
Geometricky vzato další bod C, neleží-li ovšem na spojnici bodů AB (na podélné ose činky),
má při daných vzdálenostech dAC, dBC k dispozici kružnici se středem na přímce AB a ležící
v rovině kolmé k přímce AB a jeho poloha je tedy určena jediným dalším parametrem, např.
úhlem ϕ v rovině této kružnice.
• Každý další přidaný bod přidává sice 3 stupně volnosti, ale také přidává 3 vazby určující jeho
vzdálenosti od tří bodů neležících na přímce. Počet fN = 6 stupňů volnosti tuhé soustavy
N ≥ 3 hmotných bodů se tedy již nezvětšuje s přibývajícími dalšími body.
Geometricky vzato, vzdálenosti dAD, dBD, dCD určují každý další bod D dvojznačně (body
D, D’, které se navzájem zrcadlí podle roviny ABC). Při zrcadlení však nejde o spojitě
proměnný parametr, takže počet stupňů volnosti již neroste.
Tuhé těleso má 6 stupňů volnosti.
Při různých úvahách bývá někdy vhodné využít toho, že poloha tuhého tělesa je určena (až na
zrcadlení), znám-li polohu třech jeho bodů neležících na přímce.
Vztažná soustava S tuhým tělesem můžeme spojit vztažnou soustavu S s libovolně zvoleným
počátkem O a libovolně směrovaným pravotočivým trojhranem os x, y, z. Tato vztažná soustava
S se bude pohybovat spolu s tělesem, přičemž jednotlivé body tuhého tělesa budou mít v S stále
stejné, na čase nezávislé souřadnice.
Soustava S není jediná. Stejně dobře nám poslouží libovolná jiná vztažná soustava S′
obecně s jiným počátkem O’
a s jinak směrovaným trojhranem os x′
, y′
, z′
, hlavně že je v klidu vůči S.
Reprezentace tuhého tělesa Někdy bude nejnázornější představa
• tuhé těleso ve svém skutečném tvaru;
• trojice bodů neležících na přímce nehybných vůči tělesu;
• vztažná kartézská soustava pevně spojená s tělesem.
Za šest parametrů určujících polohu tělesa lze s výhodou použít
3 souřadnice vhodného bodu O (zpravidla hmotného středu tělesa či počátku souřadnic),
2 úhly určující v prostoru směr vhodné osy o procházející bodem O (např. osy z vztažné soustavy),
1 úhel určující natočení tělesa kolem této osy o.
3
tj. neležících na jedné přímce
80 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
7.3 Kinematika tuhého tělesa
7.3.1 Přemístění tuhého tělesa
U hmotného bodu bylo nejobecnějším přemístěním posunutí (a to o vektor posunutí l = r ′ − r
z počáteční polohy r do koncové polohy r ′). Pro tuhé těleso je možných typů přemístění z polohy
S do S′ více:
1 Posunutí o l; při něm se každý hmotný bod A tuhého tělesa posune o l do poloha A’, tedy
rA′
= rA
+ l (7.18)
2a Otočení kolem bodu O; při něm je bod O samodružný, tj. O’=O;
2b Otočení kolem osy o o úhel ϕ; při něm každý bod A tělesa ležící na ose o je samodružný:
A’=A a body tělesa ležící mimo osu o se otočí kolem této osy o týž úhel ϕ.
Poznámky:
• Bod O nemusí ležet v tělese (např. pneumatika).
• Osa o nemusí procházet tělesem.
• Při otočení se lze omezit na úhly 0 ≤ ϕ < 2π.
• Body na ose o při otočení nemění svou polohu a lze tedy připustit, že i tyto body se rovněž kolem osy o otočily
o úhel ϕ. Pak lze říct, že otočení o úhel ϕ je společné pro všechny body tělesa.
• Ověřte si, že posunutím ani otočením kolem osy se tuhé těleso „nepoškodí , tj. že i nadále zůstanou splněny
podmínky deﬁnující tuhé těleso (nemění se vzájemné velikosti jeho částí).
V kap. 7.3.3 dokážeme větu d’Alembertovu: každé otočení kolem bodu O (2a) je ekvivalentní
nějakému otočení kolem vhodné osy o (procházející bodem O) o vhodný úhel ϕ (2b).
Inﬁnitezimálním pootočením dϕ kolem osy o procházející počátkem souřadnic a určené jednotkovým
vektorem o0 se bod s polohovým vektorem r posune o vektor posunutí dr = o0dϕ × r. Lze
dokázat, že diferenciální pootočení se skládají jako vektory4:
−→
dϕ := o0dϕ, a lze tedy deﬁnovat vektor
úhlové rychlosti ω :=
−→
dϕ/dt. Posuvná rychlost bodu při otáčení pak je:
v = ω × r . (7.19)
Derivací rov. (7.18) podle času t dostáváme rovnici pro rychlost posuvného pohybu
vA′
= vA
+ V (7.20)
což spolu s předchozími rovnicemi dává základní rovnici kinematiky TT:
v(t) = vA
(t) + ω(t) × r (7.21)
Bohužel, rovnice nám určuje rychlost v a nikoli polohu r bodu, což komplikuje její použití a řešení.
7.3.2 Kinematický šroub
Posunutí a otočení kolem osy lze spolu kombinovat, čímž vznikne kinematický šroub.
Kinematický šroub je přemístění dané osou o, posunutím ∆L a úhlem ∆Φ, kdy každý bod TT
• posuneme o ∆L rovnoběžně s osou o, a poté
• otočíme o úhel ∆Φ kolem osy o.
Poznámky:
4
Přesněji: axiální vektory neboli pseudovektory.
7.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 81
✒✑
✓✏
✉
✒✑
✓✏✉
 
 
 
 
 
  ✒
∆L
o
 
 
 ✒Ω
 
 
 
 ✒
V
∆Φ
✎✲
Obrázek 7.1: Kinematický šroub, rychlost posuvná V a úhlová Ω
• Posunutí lze tedy popsat vektorem ∆L. Protože v celé konstrukci zůstává osa o pevná, lze i
otočení kolem ní popsat vektorem ∆Φ. Z těchto veličin odvodíme dále rychlost posuvnou V
a úhlovou Ω.
• V tomto speciálním případě je posunutí a otočení komutativní, tj. nezáleží na pořadí, v jakém
je vykonáme. Jinak obecně posun a otočení nejsou komutativní.
• Samozřejmě připouštíme i speciální případy, kdy ∆L = 0 (samotné otočení) nebo ∆Φ = 0
(samotný posun) nebo obojí (těleso se nepohnulo z místa; směr o0 osy o je pak libovolný).
Jde o nejobecnější přemístění vztažné soustavy, resp. tuhého tělesa, jak dále dokážeme (Chaslesova
[šálsova] věta).
¶ Michael Chasles [mišel šál], 1793-1880, fr. matematik.
Při době přemístění ∆T a limitě ∆T → 0 lze zavést:
• vektor posuvné rychlosti V = ∆L/∆T
• vektor úhlové rychlosti Ω = ∆Φ/∆T kolem osy O.
Nejobecnější pohyb vytvoříme posloupností takových přemístění postupně po sobě probíhajících
v čase – asi jako kinoﬁlm z jednotlivých snímků. S časem T se pak mohou obecně měnit5 obě
rychlosti V (T), Ω(T) co do velikosti i co do směru (osa O(T)).
V duchu naší úmluvy značíme okamžitou osu kinematického šroubu písmenem O v soustavě S,
ale o v soustavě N . Z hlediska S se soustava N otáčí kolem osy O úhlovou rychlostí Ω(t).
Z hlediska N se naopak otáčí S, a to úhlovou rychlostí ω(T) = −Ω(T). Toho však nebudeme používat – v duchu kap. 6.1.5.
Dokažme, že nejobecnější přemístění tuhého tělesa lze popsat kinematickým šroubem.
Vyjděme z představy 3 bodů A, B, C neležících na přímce a určujících polohu tuhého tělesa
(vztažné soustavy S); po přemístění budou mít polohy A’, B’, C’ (vztažná soustava S′). Je zřejmě
pět možností vzájemných poloh odpovídajících si bodů (po event. přejmenování):
• Všechny body A, B, C zůstaly na svém místě, tj. A=A’ atd. Pak se zřejmě těleso nepohnulo,
kinematický šroub je nulový (l = 0, ϕ = 0).
• Body A, B, zůstaly na svém místě, bod C nikoli. Pak byl posuv nulový (l = 0) a došlo
k otočení kolem osy o=AB; úhel ϕ je dán otočením bodu C.
• Body A zůstal na svém místě, body B, C nikoli. Pak byl posuv nulový (l = 0) a došlo
k otočení kolem bodu A; v kap. 7.3.3 dokážeme, že ho lze převést na otočení kolem jisté osy
o procházející bodem A.
5
Mohou se měnit nespojitě i při spojitém pohybu; polohu totiž získáváme integrací rychlostí. Zejména skoková
změna směru o0 na o0
′
nemění spojitost polohy s časem.
82 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
• Žádný z bodů nezůstal na svém místě a všechny tři se posunuly o týž vektor l; v tom případě
jde o posuv celého tělesa o l bez otočení (ϕ = 0).
• Žádný z bodů nezůstal na svém místě a bod A posunul o jiný vektor než B; pokračujeme
dalším textem.
Přejděme nyní od tří bodů k celé soustavě S. Který bod D z ní se posunul nejméně (lD = min),
a o jaký vektor lD? Jsou zřejmě dvě možnosti:
• Existuje bod D, který zůstal na svém místě, tj. lD = 0. Pak jde o otočení kolem bodu D
a pokračujeme odstavcem kap. 7.3.3.
• Existuje bod D, který se posunul o vektor lD = 0 do bodu D’ a žádný jiný bod se neposunul
o menší vzdálenost l. Pokračujeme dalším textem.
Tvrdíme, že nejen bod D, ale všechny body přímky o=DD’ (osy šroubu) se posunuly o tentýž
vektor lD. Tím odpadne možnost, že by minimální posun l nastal pro dva různé směry.
Uvažme libovolný bod E uvnitř úsečky DD’. Musí si zachovat svou vzdálenost od D (tedy
|D′E′| = |DE|), takže bod E’ leží na povrchu koule s poloměrem |DE| a se středem v D’. Přitom
však bod E’ nemůže být bodu E blíže než |lD|, což byl minimální posun. Leží tedy na povrchu
nebo vně koule s poloměrem |lD| a se středem v E. Obě koule se však dotýkají v jediném bodě,
a to na přímce DD’. To je tedy také jediná možnost, kam se bod E mohl přemístit: o stejný vektor
posunutí |lD| jako D.
Uvažme konečně obecný bod F mimo osu o=DD’. Bod F si po přemístění musí zachovat svou
vzdálenost od bodů D, E na ose o, tj. bod F’ leží na kružnici se středem na ose o, která je průnikem
dvou koulí s poloměry |DF|, resp. |EF| a se středy D’, resp. E’. Na ní zjistíme úhel otočení ϕ.
Tři body D, E, F určují jednoznačně polohu celého tuhého tělesa; vyšetřili jsem tím tedy
nejobecnější přemístění tuhého tělesa.
7.3.3 Ekvivalence rotace kolem bodu a kolem osy
Věta d’Alembertova tvrdí, že nejobecnější otočení tuhého tělesa kolem pevného bodu O=O’ je
ekvivalentní jistému otočení kolem jisté osy o (procházející bodem O). Tuto větu nyní dokážeme.
Konstruktivní důkaz Zvolme v S bod A v jednotkové vzdálenosti od O a proveďme otočení
S⇒S′. Jsou zřejmě dvě možnosti:
• A=A’. V tom případě jde o otáčení kolem osy OA.
• A=A’. V tom případě lze přemístění A do A’ provést otočením kolem libovolné osy procházející
bodem O a ležící v rovině symetrie ρAA′ úsečky AA’. Pokračujeme dalším textem.
Zvolme v S bod B na rovině ρAA′ v jednotkové vzdálenosti od O. Jsou zřejmě opět dvě možnosti:
• B=B’. V tom případě jde o otáčení kolem osy OB.
• B=B’. V tom případě lze přemístění B do B’ provést otočením kolem libovolné osy procházející
bodem O a ležící v rovině symetrie ρBB′ úsečky BB’. Průsečnice rovin ρAA′ a ρBB′ pak
určuje osu o takovou, že otočením kolem ní přejdou body O, A, B v body O’=O, A’, B’.
7.4. DYNAMIKA TT: SKLÁDÁNÍ SIL, SILOVÁ DVOJICE 83
Existenční důkaz Každé otočení z původní polohy X do polohy X′
kolem počátku je v kartézských souřadnicích
popsáno transformací X′
= AX, kde A je ortogonální matice, tj. AT
= A−1
. Stačí ukázat, že existuje invariantní
směr, tedy taková poloha X, která se transformací zachovává: X′
= AX = X.
Z algebry je známo, že homogenní rovnice AX = X má netriviální řešení tehdy, když je nulový determinant
A − E , kde E je jednotková matice. Matice A je ortogonální, takže
A − E = A − AAT
= A(E − AT
) = A E − AT
=
= 1 · (E − A)T
= − (A − E)T
= − A − E ,
takže nutně A − E = 0.
Determinant je tedy nulový, a proto homogenní rovnice AX = X má netriviální řešení X udávající osu rotace o
ekvivalentní uvažovanému otočení z původní polohy X do polohy X′
kolem počátku.
7.4 Dynamika TT: skládání sil, silová dvojice
7.4.1 Volný, vázaný a klouzavý vektor
Volný vektor V mechanice hmotného bodu jsme zavedli pojem vektoru jakožto veličiny určené
směrem a velikostí (geometrické pojetí) anebo jakožto trojice kartézských složek vektorů, které se
při změně vztažné soustavy transformují jistým způsobem (složkové pojetí). Tento vektor budeme
pro určitost nazývat volným vektorem, např. v. Pracujeme s nimi podle pravidel vektorového
počtu z matematiky (skládání vektorů, lineární kombinace, součiny skalární a vektorový atd.).
Vázaný vektor Při studiu hmotného bodu nacházejícího se v jistém místě A (s polohovým
vektorem rA) se všechny vektory týkaly tohoto bodu: poloha bodu r, jeho rychlost v, zrychlení a,
síla F působící na tento bod apod., a nebylo tedy potřeba žádné dodatečné upřesnění. Bod A jsme
jakožto samozřejmost ani nezmiňovali a pracovali jsme tak, jako se pracuje s volnými vektory.
Při studiu soustavy hmotných bodů však potřebujeme vektorům přiřadit určité umístění v prostoru.
Potřebujeme rozlišit sílu působící v bodě A od síly působící v bodě B, rychlost HB nacházejícího
se v místě A od rychlosti jiného HB v místě B apod.. Zavedeme proto několik pojmů:
Vázaný vektor je dvojice {volný vektor; bod}. Značme ji {v; A}, případně stručněji vA či vA.
Umístění vázaného vektoru vA je bod A. (U síly FA se zpravidla nazývá působiště).
Vektorová přímka nenulového vázaného vektoru vA je přímka procházející bodem A a mající
směr v0 vektoru v.
Vektorová přímka je množina bodů s polohovými vektory rA + λv0 pro −∞ < λ < ∞.
Vázané vektory můžeme skládat jen tehdy, mají-li totéž umístění.
Klouzavý vektor Při studiu tuhého tělesa se setkáme se situací, kdy je rozumné mezi vázanými
vektory zavést ekvivalenci: vázané vektory FA a FB s různými umístěními téhož volného vektoru si
budou ekvivalentní, jestliže posunutí l = rB − rA je rovnoběžné s volným vektorem F. Pak vektory
FA a FB budou různými reprezentacemi téhož klouzavého vektoru.
Umístění A klouzavého vektoru FA lze posouvat podél vektorové přímky jeho volného vektoru F.
7.4.2 Klouzavý vektor
Zatím jsme brali jako fakt, že dva body A, B tuhého tělesa zachovávají stále stejnou vzdálenost;
je to jednoduchý případ vazby {constrain}, tedy omezení pohybu kladené na mechanickou soustavu;
vazba se probírá podrobně v analytické mechanice. Vektorová mechanika vycházející z Newtonových
pohybových rovnic nemá prostředek, jak přímo pracovat s vazbou; zná však pojem síly. Nahradíme
proto vazbu vazbovou silou, která bude působit mezi body A, B a bude vždy právě tak velká, aby
kompenzovala všechny možné ostatní síly, které by mohly vzdálenost těchto bodů změnit.
Uvažme tyto okolnosti pro vazbové sily:
84 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
• vazbové síly FBA (působící od tělesa A na B) a FAB (působící od tělesa B na A) musejí
splňovat zákon akce a reakce, tedy FBA = −FAB;
• mají-li vazbové sily pouze zabránit změně vzdáleností obou bodů A, B, musejí být centrální,
tj. musejí mít směry podél relativního polohového vektoru RAB, aby podle okolností tiskly
body A, B k sobě či od sebe.
Z toho ovšem plyne, že k síle FA působící na tuhé těleso v libovolném bodě můžeme kdykoli
přičíst dvojici dalších (vazbových) sil podél vektorové přímky tohoto vektoru; první z nich FBA
se právě vyruší s působící silou FA a druhá FAB představuje sílu, která by vznikla přesunutím
původní síly FA do jiného bodu B ležícího na vektorové přímce FA. Touto úvahou docházíme
k pojmu klouzavého vektoru FA, tedy vlastně třídy navzájem ekvivalentních vektorů (v praxi
uvažujeme vhodně zvoleného reprezentanta této třídy), odpovídajících témuž volnému vektoru F
a s působištěm umístěným libovolně (vhodně) na vektorové přímce, tj. na přímce procházející
bodem A a mající směr vektoru F. Srv. str. 25.
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘
pF
✘✘✘✿r
F
A
rA
✘✘✘✿r
F
B
rB
❍❍
❍❍
❍❍❨
✻
O
7.4.3 Skládání dvou klouzavých vektorů. Silová dvojice
Základní operace s klouzavými vektory (jejich skládání a vznik silové dvojice) jste poznali na střední
škole. Víte, že skládáním klouzavých vektorů můžeme dostat buď opět klouzavý vektor, nebo volný
vektor zcela jiného typu, tzv. silovou dvojici. Zopakujeme a doplňme nyní skládání vektorů; v závěru
uvedeme jinou, univerzální cestu.
Při skládání dvou klouzavých vektorů FA, GB mohou nastat tyto situace:
1. Vektory jsou různoběžné (tj. jejich neorientované směry jsou různé a vektory leží v téže rovině
– volné vektory F, G, rB − rA jsou komplanární);
2. Vektory jsou rovnoběžné, přičemž pro volné vektory platí F = −G;
3. Vektory jsou rovnoběžné, přičemž pro volné vektory platí F = −G; tento případ se nazývá
silová dvojice;
4. Vektory jsou mimoběžné (tj. neleží v téže rovině; to se na SŠ nejspíš nebralo).
Rozeberme tyto případy podrobněji:
1. Různoběžné vektory FA, GB
Různoběžné vektory můžeme posunout až do průsečíku jejich vektorových přímek. Tam je
sečteme jako vázané vektory s týmž působištěm. Nakonec můžeme výsledek posunout podél
jeho vektorové přímky do oblasti, která nás zajímá.
Praktická komplikace nastává při rýsování, protínají-li se vektorové přímky mimo papír. Existují
ovšem obratné konstrukce, jak si počít i v tomto případě; protože my pravděpodobně
nebudeme tento případ muset řešit, spokojíme se s univerzálním řešením uvedeným později.
2. Rovnoběžné vektory FA, GB, kde F = −G
K vektorům doplníme dvojici stejně velkých a opačných sil ±H podél spojnice bodů A, B.
Přičteme-li tyto síly k původním, dostaneme dvojici sil, které jsou různoběžné, čímž jsme
úlohu převedli na předchozí případ.
7.4. DYNAMIKA TT: SKLÁDÁNÍ SIL, SILOVÁ DVOJICE 85
3. Silová dvojice: nesouhlasně rovnoběžné vektory FA, GB, kde F = −G
Tento případ nelze redukovat na jeden klouzavý vektor předchozí metodou, protože i po
přičtení pomocné dvojice sil ±H vznikne táž situace s nesouhlasně rovnoběžnými vektory
téže velikosti. Této soustavě říkáme silová dvojice a přisoudíme jí volný vektor zvaný moment
dvojice M = rAB ×FA, kde rAB je relativní polohový vektor od bodu B k bodu A. Značíme-li
ρ rovinu určenou vektory FA, GB, pak M je k rovině ρ kolmý.
Ověřte si, že silová dvojice má opravdu charakter volného vektoru. Mějme v rovině ρ nenulovou
silovou dvojici FA, −FB. Pak lze vytvořit ekvivalentní silovou dvojici GC, −GD pro bod C
zadaný kdekoli v prostoru a nenulový vektor G zadaný libovolně v rovině ρ’ rovnoběžné
s rovinou ρ. Bod D leží v rovině ρ’ a je tím již určen jednoznačně až na posunutí ve směru F
(bez ohledu na orientaci).
¶ Rozlišujeme termín silová dvojice (výše deﬁnovaná) a sousloví dvojice sil (dvě síly libovolně zvolené, stejně
jako trojice sil, čtveřice sil, obecně n-tice sil).
4. Mimoběžné vektory FA, GB
Tuto kombinaci nemůžeme uvedenou cestou zjednodušit. Můžeme ji však převést na některý
z tvarů
(a) klouzavý vektor s libovolně předem zadaným umístěním + silová dvojice;
(b) dva klouzavé vektory, jeden z nich s libovolně předem zadaným umístěním;
(c) dynamický šroub (klouzavý vektor + silová dvojice s momentem v tomtéž směru, jaký
má klouzavý vektor).
Konkrétní převedení na dynamický šroub popíšeme v dalším odstavci, a to zcela obecně, pro
libovolný počet klouzavých vektorů i silových dvojic. Převod mezi dynamickým šroubem a
ostatními dvěma uvedenými kombinacemi jistě zvládne čtenář samostatně.
7.4.4 Skládání libovolného počtu klouzavých vektorů a silových dvojic
Uvažujme soustavu N1 klouzavých vektorů a N2 silových dvojic. Složíme ji na jediný dynamický
šroub následujícím postupem:
1. Zvolíme libovolný bod O.
2. Klouzavý vektor FA přesuneme rovnoběžně do bodu O tím, že pro něj doplníme do bodu O
jednak sílu GO = FO, jednak sílu přesně opačnou: HO = −FO. Síly G, H mají totéž působiště,
lze je tedy sečíst, a vyjde nulový vektor; jeho doplněním jsme jistě soustavu tvořenou jediným
klouzavým vektorem FA nezměnili.
3. Nyní však interpretujeme sílu GO jako „přesunutou sílu FO, a dvojici FO, HO jako dvojici
sil popsanou volným vektorem – jejím momentem M.
4. Tím je klouzavý vektor v bodě A nahrazen klouzavým vektorem v bodě O a silovou dvojicí
FO, HO.
5. Toto učiníme pro všech N1 klouzavých vektorů v různých bodech prostoru. Tím dostáváme
soustavu N1 klouzavých vektorů umístěných v bodě O a N1 + N2 silových dvojic (ty jsou,
jak víme, popsány volným vektorem svého momentu).
6. Sečteme všech N1 klouzavých vektorů. Výsledkem je jediný klouzavý vektor v O.
7. Sečteme všech N1 + N2 momentů silových dvojic. Výsledkem je jediná silová dvojice s momentem
M (volný vektor).
8. Nyní je celá soustava převedena na jediný klouzavý vektor GO a jedinou silovou dvojici
s momentem M.
86 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
9. Převod na dynamický šroub: Moment M silové dvojice rozdělíme na složku M rovnoběžnou
s G a na složku M⊥ kolmou k G.
10. Složku M⊥ sečteme s klouzavým vektorem GO; vektor se tím rovnoběžně posune jinak, pryč
z bodu O. Zbývá tedy tento posunutý klouzavý vektor, a k němu dvojice G s momentem
stejného směru, jaký má onen posunutý klouzavý vektor — vytvořili jsme tedy dynamický
šroub.
11. Převod na dva klouzavé vektory: vytvoříme dvě síly H1, H2 odpovídající výsledné silové
dvojici tak, aby H1 měla působiště v bodě O. Tu sečteme s výsledným vektorem GO a dostaneme
tak první klouzavý vektor; má umístění v bodě O. Druhým klouzavým vektorem je
H2, „zbylý ze silové dvojice.
Závěrem lze shrnout:
Libovolnou soustavu klouzavých sil a silových dvojic lze převést na dynamický šroub.
7.4.5 Těžiště; metacentrum
Nyní se můžeme podrobněji vrátit k problematice zmíněné v kap. 7.1.2.
Těžiště Střed hmotnosti byl deﬁnován jako jedna z charakteristik tělesa s pevně rozloženou hmotností,
bez použití dynamiky, tedy bez sil jakéhokoli druhu. Analogickým způsobem však lze zavést
i pojem výsledné síly spojitě rozložené (silového pole) v nějaké oblasti V. Uvažujme konkrétně homogenní
tíhové zrychlení g vyvolávající na homogenní tuhé těleso rozložené v oblasti dV s hustotou
ρ sílu (tíhovou sílu) dG = ρgdV . Všechny tyto dílčí síly můžeme sečíst jako klouzavé vektory a
dostaneme rovněž klouzavý vektor
G =
V
dG = ρgdV (7.22)
s vektorovou přímkou zvanou těžnice. Při libovolné poloze tělesa vůči tíhovému poli procházejí
všechny těžnice (vztažené vůči tělesu) jediným bodem zvaným těžiště; jeho souřadnice jsou totožné
se souřadnicemi středu hmotnosti, jak se snadno přesvědčíme výpočtem momentu výsledné síly a
součtu (resp. integrálu) momentů sil dílčích; je-li vztažen vůči těžišti, je nulový:
MGR =
V
ρr × dG = ρr × gdV = 0 (7.23)
V nehomogenním silovém poli lze sice pro každou polohu tělesa jednoznačně najít (klouzavou)
výslednici sil a její těžnici, jenže tyto těžnice se pro různé polohy tělesa obecně neprotínají a
neskýtají tedy možnost deﬁnovat „těžiště .
Podobně reálné gravitační (i tíhové) pole Země se při přesném měření, případně při rozsáhlé
zkoumané oblasti V, projeví jako nehomogenní: těžnice se „ve středu Země neprotínají. Střed hmotnosti
Země samozřejmě existuje i nadále, ale není dán těžnicemi, nýbrž (obecně nehomogenním)
rozložením hustoty ρ.
Zde se nabízí roztomilý didaktický příklad, jak lze užít i neexistujícího pojmu k vysvětlení a správnému pochopení
problému. Při vysvětlování rozdílu mezi gravitací a tíhou se připomene, že tíha GT, reálně měřená na povrchu otáčející
se Země, zahrnuje vedle gravitace GG i (setrvačnou) odstředívou sílu Fo směřující kolmo od osy rotace Země, zatímco
gravitace směřuje do středu Země. Rozdíl mezi nimi je zřejmý a bude určitě správně pochopen, i když, jak víme, střed
Země v tomto smyslu neexistuje. Naopak bych však pokládal za zavádějící mluvit zde namísto „středu Země o jejím
těžišti (to má smysl ve vnějším homogenním poli, navíc nemusí existovat) či středu hmotnosti, který sice existuje, ale
není zde podstatný; ad absurdum: střed hmotnosti S soustavy Země-Slunce leží uvnitř tělesa Slunce, přesto předmět
na povrchu Země je „spojenými silami Slunce a Země přitahován směrem k Zemi, nikoli směrem k bodu S.
Připomeňme konečně, že setrvačná odstředivá síla působící na bod o hmotnosti m, která je
rovna Fo = mrω2 = mv2/r, je výrazně nehomogenní. Proto při vyšetřování otáčejícího se tělesa
nebo tělesa v otáčející se soustavě hraje střed hmotnosti podstatně menší roli. Zejména celková síla
Fo působící na rozlehlejší těleso není rovna MRω2 apod.
7.5. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 87
r
✻Fvz
M
r
❄Ft
T
r
✻
M
Fvz
r
❄
TFt
Metacentrum{metacenter} Speciálním případem takové nehomogenní síly, na niž lze vhodně zobecnit
pojem těžiště, je vztlaková síla Fvz působící na loď ponořenou ve vodě. Ta je podle Archimédova
zákona prakticky konstantní (homogenní)
pro část lodi právě ponořenou ve
vodě, nulová pro zbytek lodi a lze ji umístit
do těžiště M myšleného „vodního tělesa
tvořeného vodou a majícího tvar ponořené
části lodi; nazýváme ho metacentrem
lodi. Jeho poloha je určena jen geometrií
spodního pláště lodi, nikoli např.
rozložením nákladu, které ovlivňuje jen těžiště
T. Vztlaková síla Fvz tvoří s tíhou
Ft lodi silovou dvojici. Pokud tato dvojice
při natočení lodi otáčí loď zpět do původní
„svislé polohy (jako na obrázku), je
dobře; pokud je tomu naopak, loď se otočí
ještě více, a nakonec se převrátí. Pro stabilitu
lodi je pochopitelně žádoucí, aby těžiště T naložené lodi bylo co nejníže pod metacentrem M,
aby tím silová dvojice navracející loď do svislé polohy při vychýlení byla co největší.
7.5 Dynamika tuhého tělesa
Nahližejme na tuhé těleso jako na soustavu N částic s vazbami zaručujícími tuhost tělesa; tyto vazby
newtonovsky nahradíme vnitřními vazbovými silami, kde fAB značí sílu působící od bodu B na
bod A. Tato síla má působiště v bodu A s polohovým vektorem rA a vektorovou přímku AB; bude
podle okolností (tlak či tah na těleso) odpudivá či přitažlivá, ale vždy centrální vůči bodům A, B,
tedy
fAB || rB − rA , neboli fAB × (rB − rA) = 0 . (7.24)
Stejně jako pro soustavu hmotných bodů máme deﬁnovány celkovou hmotnost M tělesa, hmotný
střed s polohou danou váženým polohovým vektorem s vahou ρ, tj. R = 1
M rρdV , rychlostí V a
zrychlením A, a dále hybnost P = ρvdV tělesa. I zde je výsledná síla F působící na celé těleso
dána jen silami vnějšími a vazbové síly se (jakožto vnitřní síly) neuplatní, protože podle 3NZ (zákon
akce a reakce) ke každé vazbové síle – akci fjn existuje právě jedna síla – reakce fnj, a platí pro ni
fjn = −fnj.
To je také asi jediný případ, kdy dává smysl sčítat spolu síly jsoucí ve vztahu akce a reakce. Působí samozřejmě na různé
částice, ale my všechny částice bereme jako součásti jediného objektu.
Při výpočtu výsledné síly působící na tuhé těleso stačí uvažovat jen síly vnější.
Platí opět věta o hybnosti, tj.
Časová změna hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil: dP
dt = Fex
i věta o momentu hybnosti, protože vazbové síly jsou centrální:
Časová změna hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších momentů: dB
dt = Mex
Jak jsme již ukázali dříve, součet libovolné soustavy vnějších sil a momentů sil je ekvivalentní
jednomu dynamickému šroubu.
88 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
7.6 Rovnováha tuhého tělesa
Aby se tuhé těleso nacházelo v rovnováze, musí být výsledná síla na něj působící nulová a
výsledný moment sil rovněž nulový.
Je-li tuhé těleso v jeden okamžik v inerciální soustavě v klidu (má-li postupnou rychlost nulovou
a nerotuje) a je-li v rovnováze, zůstane v klidu stále.
7.7 Rotace kolem pevné osy
Těleso rotující kolem osy o pevné vůči tělesu i vůči laboratoři má jeden stupeň volnosti; jeho polohu
lze jednoznačně popsat např. jedním úhlem ϕ. Tento úhel je týž pro všechny body tělesa (s konvencí
pro body na ose, viz str. 80. Po dalším otočení tělesa kolem osy o o úhel otočení ∆ϕ je tento úhel
otočení pro kterýkoli bod tělesa stejný (dráha posunutí je obecně různá, úměrná vzdálenosti od
osy). Proto také při otáčení kolem osy má každý bod tělesa tutéž úhlovou rychlost ω o velikosti
ω :=
dϕ
dt
(7.25)
směr o0 = ω0 := ω/ω klademe pravotočivě do osy otáčení (prsty pravé ruky jsou ve směru otáčení,
palec má směr vektoru úhlové rychlosti).
Posuvná rychlost v bodu B při otáčení je rovna
v = ω × r = ω × r⊥ , kde zavedeme (7.26)
r⊥ := r − ω0(ω0 · r) , r⊥ ⊥ ω (7.27)
v = ωr⊥ (7.28)
kde r je polohový vektor bodu B, zatímco r⊥ je „polohový vektor vedoucí však nikoli z počátku
soustavy souřadnic, ale z osy o rotace a kolmý na ni.
Moment hybnosti B tělesa vůči ose o je součet všech dílčích momentů hybnosti vůči ose o.
B =
n
bn =
n
rn × pn (7.29)
Podle rov. (7.26) lze tento výraz dále upravit
B =
n
rn × mnvn =
n
mnrn × (ω × rn) (7.30)
= ω
n
mnr2
⊥m = Iω (7.31)
Moment setrvačnosti I vůči ose o je skalár zavedený vztahem
I =
n
mnr2
⊥n , (7.32)
kde r⊥n je kolmá vzdálenost n-tého bodu od osy o rotace. (O něco dále zavedeme i tenzor setrvačnosti.)
Moment setrvačnosti I závisí na volbě počátku souřadnic; minimální hodnotu IT má při
volbě počátku souřadnic v hmotném středu (těžišti) tělesa.
7.8. TENZOR SETRVAČNOSTI, EULEROVY ROVNICE 89
Steinerova věta:
I ′
= IT + Mh2
(7.33)
kde h je vzdálenost osy o ′ rotace od hmotného středu T tělesa.
Důkaz: Zvolme počátek souřadnic v hmotném středu tělesa a orientujme osu z ve směru osy o
rotace, osu x orientujme směrem ke „konkurenční ose o ′ rotace. Pak
IT =
n
mnr2
n =
n
mn(x2
n + y2
n) (7.34)
I ′
=
n
mn((xn − h)2
+ y2
n) (7.35)
=
n
mn (x2
n + y2
n) − 2hx2
n + h2
(7.36)
= IT − 2h
n
mnxn + h2
n
mn = IT + Mh2
(7.37)
záporný člen je roven nule podle deﬁnice hmotného středu a naší volby počátku souřadnic v něm.
Kinetická energie Ek tělesa je součet dílčích kinetických energií a zjednoduší se na
Ek =
n
1
2
mnv2
n =
1
2 n
mnr2
⊥nω2
=
1
2
I ω2
(7.38)
Věta o momentu hybnosti se rovněž zjednoduší na tvar
dB
dt
= I
dω
dt
= Mex , (7.39)
7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice
7.8.1 Tenzor setrvačnosti
Momentem setrvačnosti a celkovou hmotností jsme plně popsali těleso rotující kolem osy o, která
nemění svou polohu ani vůči tělesu, ani vůči laboratoři. Steinerova věta nám umožňuje omezit se
na osy procházející hmotným středem tělesa. Uvítali bychom však charakteristiku tělesa obecnější,
vhodnou pro rotaci kolem osy libovolného směru. Vyjdeme proto z obecně platného vztahu
vn = ω × rn (7.40)
platné obecně pro n-tý hmotný bod v soustavě tvořící těleso. Víme již z rov. (7.30), že moment
hybnosti B je lineárně úměrný úhlové rychlosti ω tělesa, jejich vektory však mohou mít různé
směry. Závislost obou veličin vyjadřují tenzory setrvačnosti – tenzory druhého řádu Ijk (v inerciální
laboratorní soustavě) a Jjk (v neinerciální soustavě spojené s tělesem).
V laboratorní soustavě jsme odvodili a dále upravíme následující vztahy:
B =
n
rn × pn =
n
rn × mnvn =
n
mnrn × (ω × rn) (7.41)
=
n
mn (ω(rn · rn) − rn(ω · rn)) (7.42)
90 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
Nyní chvilku nebudeme psát index n číslující částice; měl by být u všech proměnných m a složek
r, nikoli však u úhlové rychlosti ω, která je všem částicím společná. Takto zjednodušený zápis ve
složkové symbolice bude znít
Bj =
klpq
εjkl xk εlpq m ωp xq (7.43)
= m
klpq
εjkl εlpq xk ωp xq (7.44)
= m
klpq
(δjpδkq − δjqδkp) xk ωp xq (7.45)
= m ωj
k
xkxk − m xj
k
ωkxk (7.46)
=
r
ωrIjr (7.47)
kde tenzor Ijr má složky (a tady si u m, x představte index n, první suma n přes něj sčítá)
I11 =
n
m(x2
2 + x2
3) ; I23 = I32 = −
n
mx2x3 (7.48)
I22 =
n
m(x2
3 + x2
1) ; I31 = I13 = −
n
mx3x1 (7.49)
I33 =
n
m(x2
1 + x2
2) ; I12 = I21 = −
n
mx1x2 (7.50)
Tím bychom dostali pohybovou rovnici tuhého tělesa v inerciální – laboratorní – soustavě ve tvaru
d
dt
k
ωkIjk = Mj (7.51)
Bohužel, tato rovnice není použitelná.
Bereme-li totiž opravdu veličiny v laboratorní soustavě, pak díky otáčení tělesa ukazuje polohový
vektor r pokaždé na jinou částici, s jiným n; ta má jinou hmotnost mn a tedy dává i jiný tenzor
Ijk. Zjistit v čase t > t0, která částice právě leží v bodě r (resp. zda tam zrovna vůbec nějaká část
zkoumaného tělesa je!) vyžaduje ovšem vyřešit pohybovou rovnici dříve, nežli ji začneme řešit.
Náprava je v tom, že budeme uvažovat rov. (7.51) v (neinerciální) soustavě spojené s tělesem.
Tam bude ovšem polohový vektor ξ = r mít jiné složky ξj, ale zato se nebudou měnit částice tvořící
těleso („podbíhat pod rukama ). Časová derivace bude o něco složitější, protože jsme v neinerciální
soustavě: přibude násobení úhlovou rychlostí ω × . . . .
Provedeme proto analogické úpravy znova, jen v jiné vztažné soustavě, a proto s jinými složkami:
• βi budou složky momentu hybnosti B,
• ξi složky polohového vektoru r,
• Ωi složky úhlové rychlosti ω,
• Jjk složky tenzoru momentu setrvačnosti (obvykle jen „tenzor setrvačnosti ) J.
7.8. TENZOR SETRVAČNOSTI, EULEROVY ROVNICE 91
Odvozování bude úplně stejné; jeho výsledek bude tedy
βj = m Ωj
k
ξkξk − m ξj
k
Ωkξk , tedy (7.52)
β1 = Ω1
n
m(ξ2
2 + ξ2
3) − Ω2
n
mξ1ξ2 − Ω3
n
mξ1ξ3 (7.53)
β2 = Ω2
n
m(ξ2
3 + ξ2
1) − Ω3
n
mξ2ξ3 − Ω1
n
mξ2ξ1 (7.54)
β3 = Ω3
n
m(ξ2
1 + ξ2
2) − Ω1
n
mξ3ξ1 − Ω2
n
mξ3ξ2 (7.55)
J11 =
n
m(ξ2
2 + ξ2
3) ; J23 = J32 = −
n
mξ2ξ3 (7.56)
J22 =
n
m(ξ2
3 + ξ2
1) ; J31 = J13 = −
n
mξ3ξ1 (7.57)
J33 =
n
m(ξ2
1 + ξ2
2) ; J12 = J21 = −
n
mξ1ξ2 (7.58)
(sčítací index n přes částice si jistě rádi domyslíte u všech m a ξ, nikoli u Ω).
Složky tenzoru momentu setrvačnosti Jjk mají své speciﬁcké názvy:
momenty setrvačnosti vůči osám jsou diagonální složky, tj. J11, J22, J33. Každá odpovídá momentu
známému z rotace kolem pevné osy x, resp. y, resp. z. (Činka ležící v ose x souměrně
kolem počátku má malý J11 a velké J22, J33.)
deviační složky mají smíšené indexy: J12, J21, J23,J32, J31, J13. Vyvolají namáhání osy, kolem
těleso rotuje, kroucením. (Činka ležící v rovině xy souměrně kolem počátku a svírající přitom
úhel 45◦ s osou x; přestavte si, jak je namáhána osa x či y, má-li činka rotovat kolem ní.)
7.8.2 Eulerovy rovnice
Odvození Jak jsme už uvedli, soustava spojená s tělesem je obecně neinerciální; složky ξj polohového
vektoru v ní však zůstávají pevné a lze tedy konstruktivně vyčíslit tenzor setrvačnosti Jjk.
Pohybová rovnice z věty o momentu hybnosti nebude tak jednoduchá jako rov. (7.51), ale zato bude
použitelná. Jak víme z mechaniky v neinerciálních soustavách (rov. (6.17)), časovou derivaci musíme
doplnit vektorovým součinem s úhlovou rychlosti: při otáčení je časová změna db
dt N
každého
vektoru B (ať už polohy, rychlosti či síly), měřená v neinerciální soustavě, dána jednak jeho časovou
změnou dB
dt S
měřenou v inerciální soustavě, jednak úhlovou rychlostí Ω neinerciální soustavy N
vůči inerciální S, a to vztahem
dB
dt
S
=
db
dt
N
+ Ω × B . (7.59)
Věta o momentu hybnosti tedy nabude tvar (b → β):
dβ
dt
+ Ω × β = µ , (7.60)
značíme-li µi složky výsledného silového momentu v neinerciální soustavě spjaté s tělesem. Rozepsáno
do složek,
dβ1
dt
+ Ω2β3 − Ω3β2 = µ1 , (7.61)
dβ2
dt
+ Ω3β1 − Ω1β3 = µ2 , (7.62)
dβ3
dt
+ Ω1β2 − Ω2β1 = µ3 , (7.63)
92 KAPITOLA 7. SOUSTAVA HB A TUHÉ TĚLESO 2017-04-12
resp. po dosazení βj = k ΩkJjk
J11
dΩ1
dt
+ J12
dΩ2
dt
+ J13
dΩ3
dt
+ Ω2Ω1J31 + Ω2Ω2J32 + Ω2Ω3J33
− Ω3Ω1J21 − Ω3Ω2J22 − Ω3Ω3J23 = µ1 . (7.64)
Tři rovnice vzniklé z rov. (7.64) cyklickou záměnou indexů se nazývají Eulerovy rovnice. Je to
tedy obecně soustava tří nelineárních diferenciálních rovnic pro tři neznámé Ωk(t), k = 1, 2, 3, a není
divu, že řešení v uzavřeném tvaru jsou známa jen v několika málo zvláštních případech (setrvačníky
za zvláštních okolností). Numericky ovšem řešitelné jsou s libovolnou potřebnou přesností.
Kapitola 8
Základy teorie relativity 2017-06-10
8.1 Motivace
Základy teorie relativity jsou zde vysvětleny pro současného čtenáře běžně používajícího techniky
s přesností před sto lety nepředstavitelnou. Proto neklademe příliš důraz na rozbor historických
(byť geniálně vymyšlených!) postupů a např. namísto detailního rozboru Michelsonova-Morleyova
interferometru prostě konstatujeme výsledek: naměřená rychlost světla nezávisí na směru letu světla,
ani na rychlosti jeho zdroje, a tím protivořečí teorému skládání rychlostí.
8.1.1 Co je a co není teorie relativity
Speciální teorie relativity (STR) se zabývá inerciálními vztažnými soustavami. Mění velmi podstatně
naše pojímání prostoru a času. Zejména v oblasti velmi vysokých rychlostí (srovnatelných
se světelnou rychlostí) se totiž při měření ukazuje, že prostor a čas nejsou nezávislé pojmy, ale
souvisejí spolu natolik úzce, že je výstižnější pojímat je spolu jako nový pojem prostoročas a studovat
jeho vlastnosti. STR tuto souvislost vystihuje a popisuje. Přechod od jedné inerciální vztažné
soustavy ke druhé podle STR již není dán Galileova transformací, ale transformací Lorentzovou;
ta je symetričtější v souřadnicích (časové a prostorových) než Galileova.
STR spojuje setrvačnou hmotnost s energií známým vztahem E = mc2. Gravitační hmotností
a gravitačním zákonem se však zabývá až obecná teorie relativity (GTR), nikoli STR.
Ostatní představy klasické mechaniky (např. částice, pole, síla) však zůstávají v STR v platnosti,
dokonce i v tom smyslu, že při opatrné formulaci platí i nadále všechny tři pohybové zákony
Newtonovy, tedy základ klasické mechaniky, používáme-li během práce pouze jedinou vztažnou
soustavu. Např. 2. Newtonův zákon (zákon síly) platí ve znění „V inerciální soustavě je časová
změna hybnosti hmotného bodu rovna výsledné síle na něj působící .
STR je plně kompatibilní (slučitelná) s teorií elektromagnetického pole. Transformační vlastnosti
tohoto pole (Lorentzova transformace) totiž vyhovují představě sjednoceného prostoročasu,
nikoli však představě prostoru samostatného, na čase nezávislého (Galileova transformace). Připomeňme,
že teorie elektromagnetického pole není kompatibilní s klasickou nerelativistickou mechanikou,
konkrétně s Galileovou transformací.
Obecná teorie relativity (GTR; General theory of relativity) se zabývá i neinerciálními vztažnými soustavami a popisuje
gravitaci nikoli jako samostatnou fyzikální sílu, ale jako zakřivení prostoročasu. Zde se jí nezabýváme.
93
94 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
8.1.2 Důvod pro STR: nyní, začátkem 21. století
Na rozdíl od konce 19. století, kdy se začala problematika STR vynořovat spolu s měřením rychlosti
světla, dnes není problém měřit doby vysoce přesně (ceziové hodiny v satelitech pro GPS mají
přesnost 1 : 1015, tj. 1 sekunda za více než 31 milionů let). Měření ukazují, že ve dvou inerciálních
soustavách rychle se vůči sobě pohybujících (např. posuvná rychlost Země při jejím oběhu kolem
Slunce je cca 30 km/s, takže rychlost Země vůči sluneční soustavě na jaře a na podzim se liší o 60
km/s) se na konečné dráze zachovává nikoli současnost dvou událostí (tj. formálně nekonečně velká
rychlost), ale jistá konečná rychlost — rychlost světla ve vakuu neboli světelná rychlost1, cca
300 000 km/s. (Přesně je to c0 = 299 792 458 m/s, protože tak je nyní deﬁnován metr.) Světlo
má tedy touž rychlost c0 v každé inerciální soustavě a Galileův způsob skládání rychlostí prostým
součtem v′ = v − W nemůže platit přesně. Toto lze mít za experimentálně ověřené. Jak to změní
klasickou mechaniku? (Spěcháte-li, přeskočte následující odstavec 8.1.3.)
8.1.3 Důvod pro STR v době jejího vzniku: začátek 20. století
Výchozí situace: Klasická mechanika je už detailně rozpracována nejen ve formě vektorové
(newtonovské), ale i ve svých vyšších partiích — v analytické mechanice, jako je Lagrangeův a Hamiltonův
formalismus. Zůstává však stále Newtonova představa existence absolutního prostoru
a absolutního času, v němž platí zcela přesně Newtonovy zákony; jemu se (pouze) přibližují vztažné
soustavy námi realizované. Ovšem již Galileo Galiei (před Newtonem) věděl, že zákony mechaniky,
platící např. ve vztažné soustavě spojené s klidným mořem (a se Zemí) mají stejný tvar i ve vztažné
soustavě spojené s lodí, která se vůči moři pohybuje rovnoměrně přímočaře. Je tedy zřejmé, že mechanickými
pokusy nelze zjistit, zda daná vztažná soustava je oním absolutním prostorem a časem,
anebo se vůči němu pohybuje rovnoměrně přímočaře.
Také teorie elektromagnetického pole je prakticky hotova. Na podkladě zejména Faradayových
pokusů a jejich matematického zpracování Maxwellem se v ní podařilo sjednotit do té doby
samostatné obory – elektřinu, magnetismus a optiku. Elektromagnetické pole bylo popisováno jako
mechanický stav (vnitřní pnutí) ve speciálním vše prostupujícím prostředí - éteru. Např. elektrická
indukce D – displacement – popisovala podle těchto představ místní posunutí tohoto éteru pod
vlivem příslušné síly – elektrické intenzity E. Bylo by logické předpokládat, že éter je v klidu vůči
absolutnímu prostoru.
Ukázalo se však, že rovnice popisující elektromagnetické pole (Maxwellovy rovnice) nejsou invariantní
vůči Galileově transformaci. Plynou z nich totiž vlnové rovnice, které stanovují, že světelná
rychlost má – rozumí se v absolutním prostoru a čase – jistou konkrétní hodnotu
c0 = c =
1
√
ε0µ0
= 299 792 458 m/s. (8.1)
Protože podle Galileova transformace se rychlosti při přechodu mezi vztažnými soustavami sčítají,
dává to možnost z „kandidátů na absolutní prostor vyloučit ty vztažné soustavy, v nichž by měla
naměřená hodnota světelné rychlosti hodnotu jinou. Otázka nalezení soustavy, vůči níž je éter
v klidu, se stala aktuální a principiálně řešitelná.
H. A. Lorentz nalezl transformaci (po něm nazvanou), vůči níž jsou Maxwellovy rovnice invariantní.
Ukázal také, že nesouhlas experimentu s teorií by šlo vyřešit předpokladem, že předmět
pohybující se vůči éteru se zkracuje (Lorentzova kontrakce délek), doplněný později dalším předpokladem,
že v pohybující se soustavě plyne čas pomaleji (dilatace času). Předpokládal však existenci
éteru a uvedené předpoklady pokládal za vlastnost hmoty, nikoli prostoru a času. Tento krok učinil
až A. Einstein.
1
Užíváme stručný termín „světelná rychlost (luminal speed) pro „rychlost světla ve vakuu (speed of light in
vacuum) podle nejnovější verze normy ISO/IEC 80000-6. Norma předepisuje značku c0 a ponechává c pro rychlost
světla i v jiném prostředí než ve vakuu. Protože zde se všude kromě kap. 8.6.6 zabýváme jedině rychlostí světla ve
vakuu, budeme pro stručnost užívat jednodušší značku c namísto c0.
8.2. KLASICKÉ POJETÍ ČASU A PROSTORU (PŘIPOMENUTÍ) 95
8.2 Klasické pojetí času a prostoru (připomenutí)
8.2.1 Vztažná soustava; synchronizace
Vztažnou soustavou S, S′ nám bude kartézská soustava souřadnic vybavená synchronizovanými
hodinami (tj. různé hodiny v různých místech stanoví pro dvě současné události týž časový údaj),
a to soustava inerciální (platí v ní 1. Newtonův zákon). Soustavu S spojíme s newtonovským
absolutním prostorem a časem a budeme ji občas pro jednoduchost nazývat „stojící , „klidná
apod. Dále se budeme zabývat jinou soustavou S′, která se vůči S pohybuje rychlostí W; pro
jednoduchost zpravidla obě soustavy orientujeme osami x ve směru pohybu. Směry y, z budou
k tomuto směru kolmé a zpravidla se o ně nebudeme zajímat. (Tzv. speciální transformace; tento
termín „speciální nesouvisí s termínem speciální vs. obecná teorie relativity.)
8.2.2 Událost
U důležité události zaznamenáváme místo a čas, kdy k ní došlo: v každém dotazníku např. zapisujeme
den a místo svého narození. V následujících partiích bude termín událost zúžen právě jen na
určení prostorového a časového údaje, tj. dvojice {r; t}, kde a kdy dotyčný jev (výbuch supernovy,
rozsvícení žárovičky, setkání dvou pohybujících se bodů) nastal.
Omezíme se na jevy, které lze dostatečně přesně lokalizovat prostorově i časově. Počátek vztažné soustavy {0, 0} je v tomto
smyslu také „událost : odsud začínáme měřit prostor i čas.
K plné informaci je ovšem potřeba zadat vztažnou soustavu, v níž polohu a okamžik určujeme:
pasažér ve vlaku z Moskvy bude určovat události polohou vůči svému místu v rychlíku a časem vůči
ČR posunutým o 2 hodiny dopředu. Údaje r ′, t′ vztažené k jiné soustavě S′ odlišíme též čárkou
u závorky: {r ′; t′}′, např. {0; 0}′.
!!! Odpověď ze str. 102: {3; 3 β√
1+β2
}.
8.2.3 Synchronizace vztažných soustav
Při sledování dvou různých soustav S, S′ se nám zjednoduší popis, budeme-li je synchronizovat
navzájem: počátku {0; 0} soustavy S přiřadíme i počátek {0; 0}′ soustavy S′.
Prakticky vzato: pokud počátku {0; 0} odpovídala v původní S′ dříve hodnota {R ′; T′}′, pak
tuto hodnotu odečteme od každého údaje v S′ a dostaneme tím soustavu synchronizovanou.
8.2.4 Současnost a soumístnost; relativní a absolutní
Řekneme, že dvě události A, B se souřadnicemi {rA; tA} a {rB; tB} měřenými v některé vztažné
soustavě S jsou v této soustavě současné, jestliže tA = tB, resp. soumístné, jestliže rA = rB.
V logice budeme raději užívat slovo „zároveň namísto slova „současně , nebude-li bezprostřední vztah k času.
Veličinu nazýváme absolutní, resp. relativní, jestliže její hodnota nezávisí, resp. závisí na
volbě vztažné soustavy použité pro popis a měření veličiny.
Současnost je v klasické mechanice absolutní: jestliže nastane výbuch současně na začátku i konci
vlaku, pak nastal současně jak vůči vlaku, tak i vůči Zemi.
Naproti tomu soumístnost dvou událostí je i v klasické mechanice relativní, tj. závisí na volbě
vztažné soustavy užité při popisu. Jestliže si pasažér v jídelním voze u stolku objedná kávu (A) a po
chvíli ji zaplatí (B), pak objednání a zaplacení nejsou současné (ani z hlediska vlaku, ani Země).
Události A, B jsou soumístné z hlediska vlaku (u téhož stolku), nikoli však z hlediska Země (vlak
zatím projel dlouhý úsek). Soumístné v obou vztažných soustavách by A, B byly buď tehdy, kdyby
se soustavy vůči sobě nepohybovaly (kdyby vlak stál), nebo kdyby A, B byly navíc i současné —
tj. kdyby se vlak nestačil mezi oběma událostmi A, B vůči Zemi posunout.
I v teorii relativity bude soumístnost relativní: dvě události v jedné soustavě soumístné, ale nesoučasné, nebudou soumístné
vůči jiné soustavě, pohybující se vůči první. Relativní se však stane i současnost: dvě události v jedné soustavě současné, ale
nesoumístné, nebudou současné vůči jiné soustavě, pohybující se vůči první. Bude to tedy – paradoxně – symetričtější. A také
bude pravda, že dvě události A, B zároveň současné i soumístné v jedné soustavě S jsou současné a soumístné i v každé jiné
soustavě S′.
96 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
8.2.5 Galileova transformace
Zjednodušme si výklad a popis tím, že orientujeme osu x v tom směru, ve kterém se koná pohyb
(„speciální transformace ). Jak určíme pro událost A její souřadnice {x′; t′}′ v S′, známe-li její
souřadnice {x; t} v S?
Přímá transformace Při synchronizaci počátků má transformace tvar
x′ = x − Wt
t′ = t.
(8.2)
Inverzní transformace ke speciální Galileově transformaci rov. (8.2) může být samozřejmě nalezena
triviálním vyřešením soustavy těchto dvou lineárních rovnic vůči neznámým x a t, tedy
x = x′ + Wt′
t = t′.
(8.3)
Můžeme ji však najít i „fyzikálněji , a toto si hluboce rozvažte: z principu relativity plyne, že
inverzní transformace musí mít stejný tvar jako přímá – bude tedy opět Galileovou transformací,
v níž zaměníme t za t′, dále x za x′ a vzájemnou rychlost W za W′ = −W.
8.2.6 Měření dob a délek
Pozorujme meteor2, který někdy někde začal svítit (meteorit se rozežhavil, událost A) a poté jinde
zhasl (meteorit se vypařil, událost Z); nechť mezitím letěl rovnoměrně přímočaře. Zajímá nás jednak
délka trajektorie, tedy dráha ∆r = |rZ − rA|, jakou meteorit urazil, jednak doba ∆t = tZ − tA,
jak dlouho svítil. Protože však hodnoty prostorových i časových údajů závisejí na volbě vztažné
soustavy, zajímá nás také, do jaké míry na této volbě závisejí délka a doba zkoumaného děje, tj.
prostorová a časová odlehlost mezi dvěma událostmi. S meteoritem můžeme spojit inerciální soustavu
S′, inerciální soustavu spojenou se Zemí označíme S. Pro zjednodušení opět předpokládejme
přímočarý let po ose x a synchronizaci obou soustav S a S′.
Letí-li meteorit po dobu ∆t vůči Zemi, pak ve své vlastní inerciální soustavě (v níž stojí v klidu)
letí dobu ∆t′ = t′
Z − t′
A: z transformačních rovnic plyne ∆t = ∆t′. V klasické mechanice je tedy
doba děje absolutní, tj. nezávisí na volbě vztažné soustavy.
Snadno však nahlédneme, že délka coby prostorová vzdálenost mezi dvěma událostmi v různých
okamžicích t, t′ je relativní, tj. na volbě vztažné soustavy závisí. Meteorit v soustavě S′ spojené
s ním samým je ovšem v klidu (má tedy rychlost v′ = 0), takže dráha ∆r′ = v′∆t, po které svítí, je
nulová. V soustavě S spojené se Zemí urazí meteorit nenulovou dráhu ∆r, v případě rovnoměrného
pohybu ∆r = v∆t.
Z toho také plyne samozřejmé „poučení : chceme-li změřit délku předmětu, pak se tento předmět
buď nesmí pohybovat (a jeho kraje pak můžeme měřit kdykoli), anebo – pokud se pohybuje –
musíme změřit oba jeho kraje současně, tedy v tentýž okamžik. (V teorii relativity se ukáže, že
současnost měření ve dvou vzdálených bodech je relativní.)
8.2.7 Klasické skládání rychlostí
Při rovnoměrném přímočarém pohybu není rozdíl mezi průměrnou a okamžitou rychlostí: v obou
případech je rychlost dána vztahem
v =
∆r
∆t
=
rZ − rA
tZ − tA
. (8.4)
Dosazením snadno zjistíme, že mezi rychlostí v naměřenou v S a rychlostí v ′ naměřenou v S′
pohybující se rychlostí W vůči S platí jednoduchý vztah — rychlosti se sčítají jako vektory:
v ′
= v −
−→
W (8.5)
2
Meteor: světelný jev; meteorit: letící těleso.
8.3. PRINCIP KONSTANTNÍ SVĚTELNÉ RYCHLOSTI 97
resp., v našem 1D případě s označením vx = v
v′
= v − W . (8.6)
Odtud ihned plyne, že neexistuje žádná konečná rychlost, která by byla absolutní v tom smyslu, že
by měla stejnou hodnotu bez ohledu na volbu vztažné soustavy. Jedině rychlost nekonečná v jedné
vztažné soustavě je nekonečná v libovolné vztažné soustavě (s prominutím, ∞ = ∞ − W).
Tomto poněkud podezřelému tvrzení však můžeme dát přijatelnější tvar. Nekonečnou rychlostí
bychom se mohli dostat od události A={rA; tA} k události Z= {rZ; tZ} tehdy, kdybychom nenulovou
délku |rZ − rA| překonali během nulové doby, tedy pokud by platilo tZ = tA a obě události
byly současné. Potřeba nekonečné rychlosti ke spojení událostí A a Z je tedy totéž co současnost
těchto událostí. Absolutnost nekonečné rychlosti v galileovské mechanice tedy znamená absolutnost
současnosti. To je srozumitelný – a velmi důležitý – důsledek Galileovy transformace.
Tímto jsme skončili rekapitulaci klasické kinematiky.
A začínáme s relativitou.
8.3 Princip konstantní světelné rychlosti
Z Maxwellovy teorie plyne, že světlo (jakožto forma elektromagnetického záření) by se mělo v absolutním
prostoru a čase (kde platí Maxwellovy rovnice) šířit rychlostí danou rov. (8.1), tedy
c = 1/
√
ε0µ0 = 299 792 458 m/s.
V inerciálních soustavách pohybujících se vůči absolutnímu prostoru by tedy mělo mít světlo rychlost
jinou, podle teorému o vektorovém skládání rychlostí, a tato rychlost by měla záviset na směru
letu světla. Ale i nejpřesnější měření (např. ve své době Michelsonův-Morleyův pokus) naměřila c
stejnou v různých inerciálních soustavách, a to nezávisle na směru letu světla. Protože Země obíhá
kolem Slunce s posuvnou rychlostí 30 km/s, tak by v různých ročních obdobích mělo mít světlo
mimozemských zdrojů rychlosti navzájem odlišné až o 60 km/s, podle ročního období. Nic takového
však nebylo pozorováno. Světelná rychlost byla naměřena stejná v zimě i v létě, a to nezávisle na
zdroji světla (ze Země, ze Slunce, ze Siria). Maxwellův éter, „nositel světla , se tak jeví být v klidu
vůči libovolné inerciální soustavě.
Přesnost měření dostatečně převyšovala přesnost potřebnou pro zjištění odchylek. Dále, většina pokusů (např. Michelson
a Morley) měřila přímo rozdíl mezi rychlostmi v různých směrech; tím se získá výsledek mnohem přesněji než samostatným
měřením rychlostí v obou směrech a pak jejich odečtením.
Pokusy ověřily, že rychlost světla ve vakuu je ve všech inerciálních soustavách stejná.
Nezávisí ani na směru letu světla, ani na druhu, rychlosti či směru pohybu zdroje.
A aby bylo jasno: nejde o nějaké speciﬁkum světla.
Cokoliv má rychlost c0 = 299 792 458 km/s v jedné inerciální soustavě, má tutéž rychlost
i v kterékoli jiné inerciální soustavě.
8.4 Lorentzova transformace
8.4.1 Motivace
Princip konstantní světelné rychlosti a Galileova transformace jsou spolu ve sporu. Ten vyřešíme
nalezením jiné transformace než Galileovy, a to takové, aby při převodu souřadnic vycházela světelná
rychlost c ve všech soustavách stejná, ale jinak aby se měnilo co nejméně.
Protože chceme zachovat platnost Newtonových zákonů v klasické oblasti, musíme se omezit na
lineární transformace mezi prostorovými a časovými souřadnicemi. Jenom tak totiž rovnoměrný
přímočarý pohyb v S zůstane rovnoměrným přímočarým pohybem i v S′.
98 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
Fyzikálně řečeno: z nepřítomnosti výsledné síly (nulového zrychlení) v jedné inerciální soustavě plyne nepřítomnost výsledné
síly i v každé jiné inerciální soustavě.
Taková transformace existuje; nazývá se podle svého objevitele Lorentzova.
!!! Odpověď ze str. 101: UA = {0; 5
4
}′, UB = {20
9
; 0}′.
8.4.2 Speciální Lorentzova transformace (1D prostor x a čas t)
Omezíme-li se na pohyb v jediném směru a orientujeme-li v něm osy x a x′, mluvíme o speciální
Lorentzově transformaci3.
Uvažujme jistou událost (např. výskyt hmotného bodu v jistém místě a čase), popsanou ve
dvou inerciálních soustavách S resp. S′. Prostoročasové souřadnice události označíme {x; t} v S,
resp. {x′; t′}′ v S′.
Označme W rychlost soustavy S′ vůči S; naopak −W bude rychlost soustavy S vůči S′. Od
transformací očekáváme, že budou tvořit grupu: složením dvou transformací dostaneme opět transformaci
téhož typu. Označme c rychlost, mající si transformací zachovat svou velikost. Pak lze
dokázat (kap. D.2), že nejobecnější lineární transformace vyhovující těmto čtyřem požadavkům je
x′ = 1√
1−(W 2/c2)
( x − Wt)
t′ = 1√
1−(W 2/c2)
(−W
c2 x + t).
(8.7)
Všimněme si, že pro c → ∞ je W/c → 0 a transformace přechází na Galileovy transformaci.
Symetrie těchto rovnic vynikne ještě více, jestliže místo času t zavedeme veličinu x0 := ct mající
rozměr délky. Při označení β := W/c a γ := 1/ 1 − β2
dostaneme
x′ = γ( x − βx0)
x′
0 = γ(−βx + x0).
(8.8)
Dokažte přímým výpočtem, že hodnota c je pro transformaci rov. (8.7) samodružná, tj. je-li c = x/t rychlost změřená v S,
pak pro c′ = x′/t′ platí c′ = c.
Speciální Lorentzovy transformace podél téže osy se skládají snadno a tvoří grupu. Skládání
Lorentzových transformací podél různých os je přiměřeně složitější (krychle se převádí na obecný,
nepravoúhlý rovnoběžnostěn) a vede nikoli ke speciální, ale k obecné Lorentzově transformaci
zahrnující i otočení prostorových souřadnic.
Příl. D.1 dokazuje, že požadavky transformace určují rov. (8.7), resp. (8.8) jednoznačně.
8.4.3 Obecná Lorentzova transformace (pro 3D prostor x; y; z a čas t)
Posuv ve směru společném osám x, x′
Zobecnění Lorentzovy transformace pro 3D je snadné, dokud zůstaneme při tom, že soustavy S a S′
mají osy x, x′ ležící na téže přímce a navzájem se pohybují podél ní (jak tomu bylo ve speciální
Lorentzově transformaci). Pak transformace nemění nic ve směru os y a z, takže rovnice mají tvar
x′ = 1√
1−(W 2/c2)
( x − Wt)
y′ = y
z′ = z
t′ = 1√
1−(W 2/c2)
(−W
c2 x + t) .
(8.9)
resp. se značením x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z
x′
0 = γ( x0 − βx1)
x′
1 = γ(− βx0 + x1)
x′
2 = x2
x′
3 = x3 .
(8.10)
Výslovně zdůrazněme, že při pohybu podél jedné z os se ostatní dvě „transformují identitou, tedy
bez jakékoliv změny: žádná kontrakce v nich nenastává.
3
Znovu připomeňme, že tento termín „speciální nesouvisí s termínem speciální vs. obecná teorie relativity.
8.5. VLASTNOSTI A DŮSLEDKY SPECIÁLNÍ LORENTZOVY TRANSFORMACE 99
Posuv v obecném směru, obecná orientace os v S, S′
Obecná Lorentzova transformace (v libovolném směru) shrnuje a zahrnuje tyto dílčí transformace:
• speciální Lorentzova transformace podél jistého směru v 3D prostoru;
• posunutí počátku O souřadnic a času;
• otočení prostorových os kolem počátku O;
• inverze prostorových os;
• inverze času.
Obecné Lorentzovy transformace tvoří grupu. Zde se jí dále nebudeme zabývat.
Pro obecný směr rychlosti β = (β1, β2, β3), při synchronizaci počátků a bez inverzí zní obecná
Lorentzova transformace takto:
x′
0 = γ x0 − γβ1 x1 − γβ2 x2 − γβ3 x3
x′
1 = − γβ1 x0 + 1 +
(γ−1)β2
1
β2 x1 + (γ−1)β1β2
β2 x2 + (γ−1)β1β3
β2 x3
x′
2 = − γβ2 x0 + (γ−1)β1β2
β2 x1 + 1 +
(γ−1)β2
2
β2 x2 + (γ−1)β2β3
β2 x3
x′
3 = − γβ3 x0 + (γ−1)β1β3
β2 x1 + (γ−1)β2β3
β2 x2 + 1 +
(γ−1)β2
3
β2 x3
(8.11)
I tato podmnožina tvoří grupu. Ani jí se dále zabývat nebudeme.
8.5 Vlastnosti a důsledky speciální Lorentzovy transformace
8.5.1 Transformace rychlostí („skládání rychlostí )
Značme
v′
= x′
/t′
= β′
c (8.12)
v = x/t = βc (8.13)
W = Bc . (8.14)
Vydělením rovnic rov. (8.7) pro x′, t′ dostaneme
v′
=
v − W
1 − vW
c2
a inverzní v =
v′ + W
1 + v′W
c2
(8.15)
resp.
β′
=
β − B
1 − βB
a inverzní β =
β′
+ B
1 + β′
B
. (8.16)
To jsou (obecně) lineární lomené funkce vůči proměnným v, v′, resp. β, β′
. Lineární lomená funkce
(8.15) má vždy právě jeden pevný bod v takový, že v′ = v; zde je to, jak víme, v = c, resp. β = 1.
Pokud by bylo c = ∞, redukovala by se rov. (8.15) na lineární rovnici a rov. (8.7) by přešla na
Galileovu transformaci, kdy se rychlosti skládají prostým (vektorovým) součtem:
v′
= v − W resp. v = v′
+ W ; (8.17)
zápis typu (8.16) by neměl smysl.
Protože je hodnota rychlosti c konečná (světelná rychlost), nastane při vzájemné rychlosti W < c
(resp. B < 1) vztažných soustav pro pohyb bodu libovolnou rychlostí v právě jeden z těchto případů:
• |v| < c ⇒ |v′| < c podsvětelné rychlosti
• |v| = c ⇒ |v′| = c světelná rychlost
• |v| > c ⇒ |v′| > c nadsvětelné rychlosti.
Rychlosti v se tedy rozpadají do tří tříd; příslušnost ke třídě se Lorentzovou transformací nemění.
(Bod pomalejší než světlo v jedné vztažné soustavě S zůstane pomalejším než světlo i v libovolné
jiné vztažné soustavě S′ apod.) Případ |v| > c zahrnuje i v = ∞ (současnost).
100 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
8.5.2 Interval jako invariant Lorentzovy transformace
Pro událost U o prostorové souřadnici x a časové souřadnici t deﬁnujme interval ∆s kvadratickou
odlehlostí události U od počátku ve smyslu naší metriky; jeho mírou bude čtverec intervalu
∆s2 ≡ x2 − c2t2. V kap. D.2.4 jsme požadovali, aby z ∆s2 = 0 plynulo i ∆s′2 = 0, tedy aby rovnost
∆s2 = 0 byla invariantní vůči Lorentzově transformaci. Ověříme dokonce, že interval ∆s2, i když
není roven nule, je invariantem Lorentzovy transformace. Platí totiž
∆s′2
= x′2
− c2
t′2
= (x2
− 2βxct + β2
c2
t2
) − γ2
(c2
t2
− 2βctx + β2
x2
) = ∆s2
, (8.18)
což jsme chtěli dokázat.
Je-li ∆s2 < 0, říkáme, že interval má časový charakter – časupodobný interval, pro ∆s2 > 0
má interval prostorový charakter – prostorupodobný interval. Světobody, pro něž je ∆s2 = 0,
tvoří světelný kužel s vrcholem v počátku.
Interval sAB mezi dvěma událostmi A, B zavedeme vztahem s2
AB = (xB − xA)2 − c2(tB − tA)2.
Několik poznámek:
• Při výkladu invariantů se zpravidla jako ilustrace nejprve dokazuje, že při otočení os x, y, z se zachovává délka ∆ℓ
úsečky. Někdy pak může vzniknout dojem, že v Galileově transformaci jsou dva invarianty, totiž délka ∆ℓ a doba ∆t,
zatímco v Lorentzově transformaci jen jediný, totiž interval s2. To ovšem není pravda, délka není invariantem v Galileově
transformaci popisující pohyb, viz kap. 8.2.6; invariantem v Galileově transformaci je jen doba. Délka se zachovává jen
při transformaci mezi dvěma soustavami jsoucími navzájem v klidu (např. při otočení os), a to ať už jde o transformaci
Galileovu nebo Lorentzovu.
• Přísně vzato: tím, že „deﬁnujeme interval ∆s jeho čtvercem ∆s2, tedy fakticky (∆s)2, by byl interval sám určen až na
znaménko. Jak si však snadno rozmyslíte, nikde nám to nevadí. Výraz ∆s2 je vždy reálný, nikdy komplexní, takže ∆s,
pro které je (∆s)2 = ∆s2, je buď reálné, anebo ryze imaginární. Fyzikální význam (vlastní délka či vlastní doba) také
mají jen jeho velikost |∆s| = |∆s2| a údaj, že ∆s2 > 0 (prostorový interval), či ∆s2 < 0 (časový interval), či ∆s2 = 0
(světelný kužel).
• Někdy se v literatuře zavádí čtverec intervalu s opačným znaménkem: σ2 = −s2 = c2t2 − x2.
8.5.3 Časová proměnná; metrika
Sjednocení rozměrů pro prostor a čas
Víme-li již, že čas úzce souvisí s prostorem, bylo by záhodno mít pro ně stejná měřítka4. Víme-li
již navíc, že světelná rychlost c nezávisí na volbě inerciální vztažné soustavy, nabízí se měřit dobu
∆t dráhou ∆s = c∆t, kterou za tu dobu uběhne světlo ve vakuu. Již na str. 98 jsme proto zavedli
novou proměnnou
x0 := ct (8.19)
a nadále budeme pracovat s proměnnými x0 = ct, x1, x2, x3 se stejnou jednotkou: [xµ] = m. Při
speciální Lorentzově transformaci pak užíváme jen dvě proměnné, x0 a x := x1.
Metrika
Metrika prostoru je dána metrickým tenzorem gµν:
ds2
= −dx2
0 + dx2
1 + dx2
2 + dx2
3 =
3
µ,ν=0
gµνdxµdxν, kde (8.20)
gµ,ν = −1 pro µ = ν = 0 (8.21)
= 1 pro µ = ν = 1, 2, 3 (8.22)
= 0 pro µ = ν . (8.23)
Analogicky je skalární součin q dvou čtyřvektorů vµ, wµ deﬁnován vztahem
q = −v0w0 + v1w1 + v2w2 + v3w3 =
3
µ,ν=0
gµνvµwν = gµνvµwν (8.24)
4
Vzpomeňte, že metr byl původně odvozen od rozměrů Země, zatímco sekunda od jejího otáčení, resp. od oběhu
kolem Slunce. To jsou jevy, které spolu nesouvisí.
8.5. VLASTNOSTI A DŮSLEDKY SPECIÁLNÍ LORENTZOVY TRANSFORMACE 101
(poslední zápis s užitím Einsteinovy sčítací konvence).
Zápis skalárního součinu tohoto typu (s metrickým tenzorem) se užívá v obecné teorii relativity
vždy, nyní většinou i v STR.
Minkowského symbolika
Hermann Minkowski (1864-1909) navrhl v r. 1908 využít k popisu prostoročasu komplexních čísel.
Zavedeme-li totiž novou proměnnou x4 = i x0 = i ct, lze rov. (8.20) přepsat do tvaru
ds2
= dx2
1 + dx2
2 + dx2
3 + dx2
4 =
4
κ=1
dxκdxκ (8.25)
zcela analogicky 3D prostoru. Zjistíme, že čtveřice {xκ}4
1 popisující událost se při Lorentzově transformaci
chová jako vektor ve čtyřrozměrném prostoru s obvyklými pravidly pro rovnost, skládání,
skalární součin a velikost vektoru.
Lorentzovu transformaci lze pak interpretovat jako rotaci 4D-vektoru ve 4D-prostoročasu:
x′
ι = Lικxκ (8.26)
kde transformační Lorentzova matice Lικ má tvar typický pro popis rotace
Lικ =




γ i βγ 0 0
− i βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 (8.27)
a je unitární:
ι
LικLιλ = δκλ , (8.28)
takže se při ní zachovává velikost vektoru a invariance intervalu je automaticky splněna.
Formálně jde o euklidovskou metriku při rov. (8.25). Rozdíl je však v tom, že díky imaginární
jednotce ve čtvrté proměnné vektoru vk může být čtverec v2 jeho velikosti nejen kladný nebo nulový,
ale i záporný, a dále že může být roven nule i pro nenulový vektor vk. Proto tuto metriku nazýváme
pseudoeuklidovskou.
Minkowského idea však není vhodná pro GTR, kde je křivost prostoru jeho podstatnou charakteristikou,
nelze ho tedy nahradit prostorem plochým. S rozšířením GTR obliba komplexní symboliky
upadla a dává se přednost formulacím s metrickým tenzorem (8.20). Tak budeme postupovat i zde.
Pro čas budeme užívat proměnnou x0 = ct a metriku bereme (−+), tzn. g00 = −1, g11 = −1,
g01 = g10 = 0.
8.5.4 Relativita současnosti
Na rozdíl od newtonovské mechaniky je v teorii relativity současnost dvou nesoumístných událostí
relativní, tj. závislá na volbě vztažné soustavy. Nebereme-li to v úvahu, dostaneme se snadno do
sporu, který je podstatou řady „paradoxů teorie relativity.
x0
r1 r
x
r
1
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔✔x′
0
r1′
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧✧x′
r
1′
O
rUA
r
UC
r
UB
r
Konkrétně: jsou-li v soustavě S dvě události UA, UB nesoumístné
(xA = xB) a současné (tA = tB), pak v soustavě S′ pohybující se směrem
od xA k xB nastane událost UA později než UB, tedy tA > tB.
Ověřte si to na graﬁckém znázornění.
Ilustrace: obrázek odpovídá β = 3
5, tedy γ = 5
4. Uvažujme událost
UA = {x; x0} = {1; 5
3}. V S je událost UC = {1; 5
2 } soumístná s UA,
událost UB = {25
9 ; 5
3} je současná s UA. Sledujme tyto události v obou
soustavách. Přechodem k S′ se nezachovala současnost ani soumístnost:
v S′ je UB současná s počátkem souřadnic O = {0, 0}′; UA je
soumístná s počátkem souřadnic O = {0, 0}′.
??? Otázka: Spočtěte souřadnice bodů UA, UB v S′ a ověřte je na obrázku. (→str. 98)
102 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
8.6 Klasické interpretace: kontrakce délek, dilatace času, éter
Klasická fyzika byla neobyčejně úspěšná v popisu přírody. Klasické představy jsou nám stále do
té míry blízké a sugestivní (zejména ve srovnání s kvantovou fyzikou), že je užíváme občas i nevědomky,
třebaže je nebereme doslova. Ostatně ještě z ptolemaiovského, geocentrického pojetí běžně
říkáme, že vychází slunce, nebo dokonce že zašlo za mraky, aniž to bereme moc doslovně. Podobně
i v oblasti platnosti STR se užívají některé historické formulace, které by při doslovném
výkladu mohly zavádět. Bylo by ovšem školometské chtít je zakazovat. Můžeme však připomenout,
co znamenají a upozornit na to, co neznamenají.
8.6.1 Kontrakce délek
Problém: Tyč má vlastní délku ℓ0. Jakou délku ℓ naměříme v soustavě S, vůči níž se tyč pohybuje
rychlostí β?
Řešení: Označme S „naši vztažnou soustavu, S′ soustavu, v níž tyč stojí, a synchronizujme
počátky obou soustav. Měříme-li délku (ať už pohybující se nebo stojící) tyče, určíme prostoročasové
souřadnice obou jejich konců, a to v tomtéž čase z hlediska soustavy, v níž měříme. Na obrázku
probíhá měření např. jako události A, B v S a A′, B′ v S′, kde A = A′ = O, tedy xA = 0, xB = ℓ,
x′
A = 0, x′
B = ℓ′ = ℓ0. Lorentzova transformace x′ = γ(x − βct) dává ihned ℓ′ = γℓ, tedy ℓ = ℓ0/γ.
Protože je vždy γ ≥ 1, zjistí pozorovatel P v S vždy, že letící tyč je kratší, a to γ-krát. (Výsledek
ovšem nezávisí na synchronizaci, ověřte.)
Pozorovatele P′ sedícího na tyči (klidného v soustavě tyče S′) však právě provedené měření
neuspokojí. Jednak pro něj akty měření obou konců tyče nebyly současné; přední konec byl vůči S′
měřen dříve o dobu ℓ0β, a za tuto dobu zadní konec urazil rychlostí β vzdálenost ℓ0β2
, o kterou se
pozorovateli P jeví tyč kratší, tedy ℓ = ℓ0(1−β2
). Dále, P používal γ-krát kratší délkovou jednotku,
naměří tedy namísto ℓ0 délku pouhých ℓ = γℓ0(1 − β2
) = ℓ0/γ.
BℓA
ss xA
′
a′
b′
x
′
s
B
′ℓ
′
Graﬁcký výklad (viz obr.) Nechť tyč leží klidně v S′,
zadním koncem A v souřadnici x′ = 0 (světočára a), předním
B na souřadnici x′ = ℓ0 (světočára b, obě červené
hustě tečkované). Proběhne-li měření v S v okamžiku
t = 0, je zadní konec určen událostí A = {0, 0}, přední
konec událostí B = {ℓ0, 0}, protože současnost v S určují
černá plná osa x a její rovnoběžky. Naproti tomu v S′
určují současnost řídce červeně tečkovaná osa x′ a její
rovnoběžky; konce tyče jsou tedy v čase t′ = 0 událostmi
A′
= {0, 0}′ a B′
= {ℓ0
γ , 0}′ a jsou měřeny měřidlem jiné
délky než na ose x. Polohy tyče z hlediska S, resp. S′
v čase t = 0, resp. t′ jsou naznačeny plnou čarou černou,
resp. červenou. Délka AB měřená příslušnou jednotkou
v S je kratší než délka AB′ = ℓ0 měřená jednotkou v S′.
??? Otázka: Určete hodnoty B′ v S. (→str. 95)
8.6. KLASICKÉ INTERPRETACE: KONTRAKCE DÉLEK, DILATACE ČASU, ÉTER 103
8.6.2 „Dlouhé auto projíždí krátkou garáží
❥
❣
A
❣B
garáž
in out
xs s s s
x0
s
s
s
s
auto
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
x′
0
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔✔
s
s
s
x
′
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧✧
s
s
s
s
Auto i garáž mají stejné klidové délky (ℓg = ℓ′
a = 1). Na obrázku červené auto (soustava S′) projíždí
zleva doprava modrou garáží
(soustava S). Počátky S, S′
(větší černý kroužek) odpovídají
události, kdy střed auta projíždí
středem garáže. Časové i délkové
jednotky jsou na osách označeny
tečkami. Tečkovaně (10 dílů) je
vyznačeno auto modře v okamžiku
t = 0 podle S a červeně v okamžiku
t′ = 0 podle S′; všimněte
si, že z hlediska auta má garáž
délku ℓ′
g = 0, 8, a naopak z hlediska
garáže má zase auto délku
ℓa = 0, 8 (délková kontrakce).
Menší černé kroužky označují
- A: záď auta u vjezdu do garáže
- B: příď auta u výjezdu z garáže.
Všimněte si dále, že v soustavě
S garáže nastane napřed A,
potom B (a po tu dobu ∆t = 1/3
je celé auto uvnitř garáže), zatímco
v soustavě S′ auta nastane
naopak napřed B, potom A (a po
dobu ∆t′ = 1/3 je garáž „kolem
auta , auto ji přesahuje).
8.6.3 Dilatace času
Problém: Na hodinách v soustavě S′ uplyne doba t′. Jakou dobu naměří ve „stojící soustavě S?
Řešení: Nechť opět hodiny proletěly společným počátkem obou soustav v čase t = t′ = 0. Až
v S′ uplyne doba T′, bude
0 = x′
= γ(x − βcT) (8.29)
T′
= t′
= γ(T − βx/c) , (8.30)
odkud x = βcT (hodiny letí rychlostí βc) a T′ = γT(1 − β2
), čili T = γT′. V soustavě S uplyne
doba γ-krát delší.
Heslovitě řečeno: „Mezi dvěma událostmi A, B uplyne nejkratší doba v té soustavě, v níž jsou
A, B soumístné (tedy měříme-li tuto dobu hodinami, které právě stihnou zajet od jedné události
ke druhé; předpokládá se, že interval AB je časupodobný).
Experimentální ověření Mikroskopické ověření: mezony µ s poločasem rozpadu τ0 = 2, 2·10−6 s
vznikající ve vrchních vrstvách atmosféry sekundárně z kosmického záření proletí na povrch země
dráhu ℓ cca 30 km. Z „pozemského hlediska letí tedy nejméně dobu τ = ℓ/c ≈ 10−4 ≈ 50 ∗ τ0.
Za tuto dobu vlastního času by se jejich počet zmenšil rozpadem asi 1020-krát, takže bychom je na
Zemi prakticky nemohli registrovat.
Makroskopické ověření dilatace je popsáno mj. v HRW (st. vyd. str. 1013, nov. 1037): v říjnu
1977 Joseph Hafele a Richard Keating nechali čtvery přenosné atomové hodiny 20× obletět
kolem Země na komerčních leteckých linkách v různých směrech. Výsledné zpoždění se shodovalo
s teorií na 10%. O několik let později byla po 15 h oblétání Chesapeakské zátoky potvrzena dilatace
času s přesností lepší než 1%. V dnešní době se při přemísťování přesných atomových hodin vždy
započítávají efekty STR i GTR. Rovněž hodiny na družicích pro GPS se nastavují s uvážením jak
STR, tak i GTR.
104 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
❡O
0
x0
−5
5
r10
x
D
−5 5
r
 
 
 
 
 
  
❅❅  
 
 
 
 
 
  
❅❅  
 
 
 
 
 
 
 
 
❅❅  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❅❅  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❅❅
 
 
 
 
 
 
 
 
  
❅❅
 
 
 
 
 
 
 
  
❅❅
 
 
 
 
 
 
  
❅❅
 
 
 
 
 
  
❅❅
r
❅
❅
❅
  
❅
❅
❅
❅
  
❅
❅
❅
❅
❅❅
  
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅
  
r❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
  ❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅
  ❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅
  ❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅
  ❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
  
Z
xZ
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
x′
0
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧✧
x′
s1′
s
1′′
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚
❚x′′
0
C
s
s
s
s
s
s
s
x′′
❜
❜
❜
❜
❜
❜
❜❜
❜❜
Podrobněji Rozeberme, jak bude probíhat známý „paradox dvojčat , když cestovatel C z počátku
O letí své 4 roky rychlostí β = 3
5 do bodu A, tam se namístě obrátí a letí zpět; doma
v O zjistí, že na výletu zestárl jen 8 roků, tedy
méně než jeho dvojče D — bratr, který zůstal doma
a zestárl o 2γ = 10 roků. Každý z pozemšťanů,
který uvidí po cestě cestovatele C, uvidí, že jeho (jediné)
hodiny ukazují menší čas než místní hodiny
na Zemi, a usoudí, že tedy cestovatelovy hodiny
jdou γ-krát pomaleji. Cestovatel C sleduje (mnohé)
pozemské hodiny a vidí, že i na cestě tam, i na cestě
nazpět
– každé z (mnoha) potkávaných hodin jdou γkrát
pomaleji než jeho (jediné);
– přesto každé následující ukazují čas větší než
jeho.
Z toho usoudí, že sice kterékoli pozemské hodiny
jdou pomaleji než jeho, ale že jsou navzájem rozsynchronizovány
tak, aby vždy ve směru jeho letu
(tam i zpět) ukazovaly čas pozdější.
Obrázek je graﬁckým záznamem (tučně modré)
cesty cestovatele D (pro ruční výpočty oblíbenou)
rychlostí β = 3
5 tam, s lokálními časovými značkami
– tečkami po dobách ∆t′ = 1. Cestou přijímá
signály z majáků se vzdálenostmi ∆x = 4 a
po uplynutí vlastní doby t′ = 4, když se setká se
signálem vyslaným z majáku vzdáleného 8 od základny
O, změní směr na opačný a vrací se rychlostí
−β zpět. Při opětném míjení základny O zjistí, že on zestárl jen o 8 roků, na základně však
o tc = 8γ = 10 roků. Změnou směru letu získal oproti základně dobu (života) tb − ta pozemských
roků.
Situace se jeví paradoxní, pokud si myslíme, že situace cestovatele C by měla stejná jako jeho
dvojčete v D, „podle principu relativity . Ale ona není: D byl celou dobu v klidu vůči inerciální
soustavě, zatímco C jednou zažil obrovské zrychlení, když měnil směr, aby se vrátil domů. Během
tohoto zrychlení C zestárne jen minimálně, zatímco pro něj D zestárne o dobu BC (pro C se mění
koncepce současnosti).
Dá rozum, že D, který opravdu nikdy „nezhřešil neinerciálností , je na tom jinak, než C, který sice nehřešil ani cestou tam,
ani zpátky — ovšem kromě okamžiku (event. kratičké doby) změny směru. Asi jako cestovatel, který chce uklidnit svou ženu
tvrzením, že jí byl věrný celý rok, až na jediný okamžik (event. kratičkou dobu) v půli cesty.
8.6.4 Éter
Klasická fyzika nabízela pro vysvětlení Michelsonova-Morleyova pokusu dva modely světla: korpuskulární
(Newton) a vlnový (Huyghens).
V korpuskulárním modelu se žádný éter nevyskytuje: světlo jsou letící částice (korpuskule)
vystřelované svým zdrojem. Model vysvětlí přesně přímočaré šíření světla a odraz světla. Nesouhlasí
však rychlost v látkovém prostředí (je větší než ve vakuu); směr při lomu souhlasí jen kvantitativně
(neřídí se Snellovým zákonem)5. Nesouhlasí dále rychlost c světla při pohybu zdroje: v tomto
modelu by se měla rychlost zdroje k rychlosti světla vektorově přičítat. Nevysvětlí tedy, proč světlo
pozemské, sluneční nebo ze Siria mají stejnou rychlost (jak bylo experimentálně ověřeno).
Podle vlnové teorie je světlo chvěním éteru, asi jako zvuk je chvěním vzduchu nebo železné
tyče. V soustavě, v níž éter stojí, vysvětlí model vše dobře: přímočaré šíření světla, odraz i lom
(a fyzikální optika vysvětlí i další jevy jako difrakci apod.). Rychlost světla nezávisí na rychlosti
zdroje. Látkou (= hmotným prostředím) je éter ovlivněn tak, že se v něm šíří světlo pomaleji než
ve vakuu. Pohybujícím se prostředím je také strháván éter, ale jen částečně, viz kap. 8.6.6, a není
jasné, proč ne úplně.
5
V prostředí s vyšším indexem lomu, např. ve skle, má podle této teorie světelná částice nižší potenciální energii
než ve vakuu. Při průletu rozhraním je proto urychlena směrem kolmo k rozhraní a její trajektorie se tedy láme
směrem ke kolmici.
8.6. KLASICKÉ INTERPRETACE: KONTRAKCE DÉLEK, DILATACE ČASU, ÉTER 105
Problémy nastávají, když se pozorovatel pohybuje vůči éteru. Pak by měl naměřit nejen Dopplerův
jev, tj. změnu kmitočtu – barvy světla (to naměří), ale i rychlost světla vektorově zvětšenou
o svou vlastní rychlost (to však bylo pokusy vždy vyvráceno).
Samozřejmě, podstata éteru zůstává utajena a jeho vlastnosti jsou velmi pozoruhodné. Protože
světlo je vlnění příčné a nikoli podélné, má éter povahu pevné látky (nikoli plynu či tekutiny). Jeho
modul pružnosti musí být obrovský kvůli obrovské rychlosti světla, přitom se však v něm pohybují
všechny předměty, aniž jim klade měřitelný odpor v pohybu apod.
V teorii relativity nepotřebujeme znát model světla. Lorentzova transformace vysvětlí skládání
rychlostí (z klasického hldiska nepochopitelné) bez ohledu na vlastnosti pohybujícího se objektu
tím, že jde o vlastnost prostoročasu, nikoli světla či materiálu přístrojů.
8.6.5 Měření rychlosti světla v různých směrech; Michelson-Morley
✲
v
  
ℓ2
ℓ1
✟✟ ✟✟ ✟✟✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
❇
ˆℓ
❇
❇
❇
❇
ℓ+ ℓ−
Obrázek 8.1: Pokus Michelsonův-Morleyův a Kennedyův-Thorndikeův
Obr.8.1 ukazuje schematicky pokus Michelsonův-Morleyův (kde ℓ1 = ℓ2) a Kennedyův-Thorndikeův
(kde naopak ℓ1 a ℓ2 mají hodnoty co nejvíce rozdílné). Záporný výsledek Michelsonova-Morleyova
pokusu lze vysvětlit samotným předpokladem Lorentzovy kontrakce; k vysvětlení záporného výsledku
Kennedyova-Thorndikeova pokusu je však potřeba navíc přibrat i dilataci času.
Dráhy paprsků interferometru od polopropustného zrcátka k odrazovému a zpět.
v klidu (vlevo):
vodorovný modrý: ℓ1 + ℓ1 = 2ℓ1
svislý červený: ℓ2 + ℓ2 = 2ℓ2
rozdíl: 2(ℓ1 − ℓ2)
rozdíl po otočení o 90◦: 2(ℓ1 − ℓ2) − 2(ℓ2 − ℓ1) = 0
v pohybu (vpravo):
vodorovný modrý: ℓ± = ℓ1 + vt± = ct± ⇒ ℓ± = cℓ1
c∓v ⇒ ℓ+ + ℓ− = 2ℓ1
1−β2
svislý šikmý červený: ˆℓ2 = (vˆt)2 + ℓ2
2 = (cˆt)2 ⇒ ˆℓ = ℓ√
1−β2
⇒ 2ℓ2√
1−β2
rozdíl: 2ℓ2√
1−β2
− 2ℓ1
1−β2
rozdíl po otočení o 90◦: 2(ℓ2 + ℓ1) 1√
1−β2
− 1
1−β2
8.6.6 „Strhování světla
Rychlost světla ve vakuu značíme c. V klidném prostředí s indexem lomu n má světlo rychlost
v = c/n. Otázkou však je, do jaké míry se éter strhuje v látce s indexem lomu n, která se pohybuje
rychlostí w = βc. Experimenty s tekoucí vodou (Fresnel) ukázaly, že se éter pohybujícím se prostředím
strhuje (pro rychlost v′ světla v pohybujícím se prostředí platí v′ > v), ale jen částečně, a
to s těžko pochopitelným koeﬁcientem cca (1 − 1/n2):
v′
≈ v + w 1 −
1
n2
< v + w (8.31)
106 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
STR řeší všechny uvedené otázky logicky, bez dalších předpokladů a v úplném souladu s experimentem.
„Strhovací koeﬁcient vyjde jako první přiblížení výsledku relativistického skládání
rychlosti světla v látce c/n a rychlosti látky βc, totiž
v′
=
v + w
1 + vw
c2
= c
1
n + β
1 + β
n
, (8.32)
a to můžeme rozvinout v mocninnou řadu podle β:
v′
=
c
n
+ w 1 −
1
n2
+ β2
... . (8.33)
??? Otázka: Proveďte naznačené odvození podrobně a zjistěte úplný člen druhého řádu. (→str. 106)
V současných představách nevymýšlíme mechanický model nebo jiný nositel pro elektromagnetické
pole. Pole popisuje stav prostoru popsaný tak, že každému bodu a času v uvažované oblasti
je přiřazena nějaká hodnota. Kvantová teorie se sice „vrátila k částicovému pojetí světla jako
proudu fotonů, ty ovšem nepojímá mechanisticky, ale jen jako vyjádření toho, že energie pole se
mění o celistvé násobky výrazu E = hf. Ten interpretujeme jako energii vznikající či zanikající
částice – fotonu – s nulovou klidovou hmotností, světelnou rychlostí a hybností p = hf/c.
8.6.7 Světlo v látkovém prostředí a relativita
Nebudeme zde budovat relativistickou teorii elektrodynamiky kontinua, připomeneme jen dva
aspekty, které nesmíme ztratit ze zřetele:
• Studujeme-li chování světla v hmotném prostředí (a nikoli ve vakuu), pak existuje jistá apriori
význačná vztažná soustava, totiž ta, ve kterém prostředí stojí. Není tedy pravda jako ve vakuu,
že všechny inerciální soustavy jsou rovnoprávné a zákony v nich mají stejný tvar.
• Tvrdíme-li že rychlost v světla v látce s indexem lomu n je rovna v = c/n, pak tím rozumíme
rychlost světla6 v ustáleném stavu, nikoli v přechodovém stavu při vniknutí světla
do prostředí. Čelo elektromagnetické vlny rozkmitá nosiče náboje tvořící látku, ty – tím, že
kmitají – vyzařují elektromagnetické pole, to se sčítá se stále dopadající vlnou, a výsledkem
je v rovnovážném stavu situace, kdy zpětná vlna se vyruší a dopředná se pohybuje rychlostí
c/n. Nežli se ovšem k rovnovážnému stavu dojde, trvá to jistou přechodovou dobu (problematiku
tvaru prekurzoru – světelné vlny před dosažením rovnovážného stavu – probírá
podrobně např. Stratton.) Má-li tedy za jistých okolností látka (plasma) index lomu n < 1,
pak to není ve sporu s teorií relativity. V ustáleném stavu bude v takové látce fázová rychlost
světla nadsvětelná. Ovšem tím, že jde o ustálený stav, nepřenáší vlna žádnou (novou) informaci.
Kdybychom poslali pulz (nebo obecně změnili ustálený stav), pak by se šířil světelnou
rychlostí a deformoval by se přitom. Nadsvětelnou rychlost by vlna vykazovala až později,
v informačně sterilním ustáleném stavu.
8.7 Vektorový formalismus, čtyřvektory
8.7.1 Základní idea
Lorentzovu transformace, tedy přechod mezi dvěma navzájem se pohybujícími inerciálními soustavami,
lze interpretovat jako otočení ve 4D-prostoročase s metrikou (8.20). Naše strategie bude
následující: vezmeme klasickou rovnici platnou v jedné inerciální soustavě. Pokud ji zapíšeme veličinami
invariantními vůči Lorentzově transformaci anebo veličinami majícími při této transformaci
jednoduše deﬁnované chování (čtyřvektory, čtyřtenzory...), pak z platnosti této rovnice v jedné inerciální
soustavě plyne platnost i v libovolné jiné inerciální soustavě (po Lorentzově transformaci).
!!! Odpověď ze str. 106: −cβ2
n−1(1 + n−2)
6
Zde myslíme fázovou rychlost monochromatického světla, tj. rychlost přesunu místa se stejnou fází vlny. Jinak je
deﬁnována rychlost grupová, rychlost přenosu energie atp.
8.7. VEKTOROVÝ FORMALISMUS, ČTYŘVEKTORY 107
8.7.2 Čtyřskaláry, čtyřvektory, čtyřtenzory
V klasické mechanice nazýváme skalárem veličinu, která se při otočení vztažné kartézské soustavy
nemění a vektorem 3D veličinu, jejíž složky se při otočení vztažné kartézské soustavy transformují
stejně jako složky diferenciálu dr polohového vektoru.
Veličinu nazveme čtyřskalárem ve 4D prostoročase, jestliže je invariantem při Lorentzově
transformací; jinými slovy, má-li výraz, který ji deﬁnuje, stejný tvar i stejnou hodnotu ve všech
soustavách spojených Lorentzovou transformací. Je to např. elektrický náboj Q, anebo, jak jsme
dříve zjistili, prostoročasový interval s2 z rov. (8.25), a jak v kap. 8.7.3 zjistíme, vlastní čas (s elementem
dτ = dt/γ, což je, přesněji řečeno, vlastní doba, tj. rozdíl dvou časových údajů).
Veličinu {Xλ}3
λ=0 v prostoročase s osami xκ nazveme čtyřvektorem, jestliže se transformuje
Lorentzovou transformací stejně jako „posunutí {dX } = {dx0, dx1, dx2, dx3} události popsané
bodem X. Čtyřvektor zde budeme značit kapitálkou a řeckým indexem, např. Xκ, jeho poslední tři
složky tvořící 3D vektor toutéž minuskulí a latinským indexem, např. xk.
Analogicky, tedy transformačními vlastnostmi, můžeme zavést čtyřtenzory libovolného řádu.
8.7.3 Vlastní čas (vlastní doba)
Čas t byl v klasické mechanice invariantem Galileova transformace a bylo proto možné podle času
t derivovat7. V STR však čas t, resp. veličina x0 = ct, se nechová jako skalár, ale je to jen jedna
ze složek polohového čtyřvektoru (s nepodstatnou multiplikační konstantou c). Ukážeme však, že
veličina zvaná vlastní čas (resp. vlastní doba)
τ =
t
γ
= t 1 − β2
(8.34)
určující údaj hodin v soustavě, ve které hodiny stojí (tedy fakticky to, co hodiny skutečně ukazují),
invariantem je, a je tedy vhodná k použití všude, kde jsme v klasické fyzice potřebovali čas či dobu
(např. pro derivace podle času).
Uvažujme pohybující se hodiny. Události A odpovídá poloha xA a čas tA, události B poloha xB
a čas tB; rozdíly mezi souřadnicemi bodů A a B značme ∆xµ. Pro x0 = ct zřejmě platí
∆x′
= γ(∆x − β∆x0) (8.35)
∆x′
0 = γ(∆x0 − β∆x) (8.36)
V soustavě spojené s hodinami je ovšem ∆x′ = 0, a tedy ∆x = β∆x0, a z druhé rovnice pak plyne
∆x′
0 = γ(∆x0 − β(β∆x0)) = γ(1 − β2
)∆x0 = ∆x0/γ (8.37)
a podle deﬁnice ∆x0 = c∆τ platí i
∆τ =
∆t
γ
= ∆t 1 − β2
, (8.38)
dτ =
dt
γ
= dt 1 − β2
. (8.39)
Protože pro β = 0 je vždy γ > 1, je také vlastní doba ∆τ, kterou změříme hodinami, vždy menší
než doba změřená v libovolné vztažné soustavě S, vůči níž se tyto hodiny pohybují („pohybující se
hodiny jdou pomaleji ).
Uvedený vztah lokálně platí i tehdy, když se hodiny pohybují z bodu A do B s proměnnou
rychlostí; z toho plyne
τAB =
B
A
dt
γ
=
B
A
1 − β2
dt . (8.40)
7
Terminologicky přesněji, jde nikoli o čas, ale o elementární dobu dt, tedy rozdíl dvou časových údajů. Je ovšem
obecný úzus užívat termín „čas v širším slova smyslu, tedy jak pro veličiny časový údaj, doba, tak i pro objekty typu
časový interval apod. Podobně je běžný „vlastní čas , „poločas ap. i tam, kam by terminologicky patřila „doba .
108 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
8.7.4 Polohový čtyřvektor X
Jak lze očekávat, polohový čtyřvektor Xλ odpovídající polohovému vektoru pro 4D prostoročas
bude složen z časové složky x0 = ct a z polohového vektoru xℓ v dalších třech složkách:
Xλ = {x0; x1; x2; x3} = {ct; x1; x2; x3} (8.41)
8.7.5 Čtyřvektor rychlosti – čtyřrychlost U
Ve 3D jsme zavedli rychlost vztahem
vi =
dxi
dt
, (8.42)
protože dt byl vůči Galileově transformaci invariant.
Čtyřrychlost Uλ zavedeme analogicky 3D rychlosti v, ovšem nikoli derivací podle (obyčejného)
času t, ale podle vlastního času τ:
Uλ =
dXλ
dτ
=
dXλ
dt
dt
dτ
= γ
dXλ
dt
= (γc, γv1, γv2, γv3) (8.43)
Všimněme si, že díky záporné časové složce je čtverec čtyřrychlosti konstantní:
Uλ · Uλ = gµνUµUν = γ2
(−c2
+ v2
1 + v2
2 + v2
3) = c2
γ2
(−1 + β2
) = −c2
(8.44)
8.7.6 Čtyřvektor hybnosti P; klidová m0 a relativistická m hmotnost
V klasické mechanice je hybnost p deﬁnována vztahem
p := m0v , (8.45)
kde m0 je charakteristika částice zvaná hmotnost; v STR ji nazýváme klidovou hmotností.
Čtyřhybnost zavedeme proto vztahem
Pλ := m0Uλ = m0γ(c, v1, v2, v3) (8.46)
Zavedeme-li relativistickou hmotnost m vztahem
m := γm0 , (8.47)
můžeme analogicky s klasickou mechanikou psát
P0 = mc ; P1 = mv1 ; P2 = mv2 ; P3 = mv3 , (8.48)
takže platí opět klasická deﬁnice rov. (8.45), jenom s hmotností nikoli klidovou m0, ale relativistickou
m. Časovou složku (mc) budeme později interpretovat jako (E/c), kde E bude celková energie
sledované částice.
8.7.7 Čtyřvektor zrychlení A
Další derivací zjistíme snadno čtyřvektor zrychlení:
Aλ =
dUλ
dτ
= γ
dUλ
dt
, (8.49)
např. pro složku λ = 1
A1 = γ
dv1
dt
γ + v1
dγ
dt
= γ2
a1 +
γ4
c2
v1(v · a)
c2
, (8.50)
jak se zjistí výpočtem dγ/dt.
Derivací rov. (8.44) podle τ dále zjistíme, že čtyřrychost a čtyřzrychlení jsou na sebe kolmé:
0 =
d
dτ
λ
UλUλ = 2
λ
AλUλ , tedyA ⊥ U . (8.51)
Toho využijeme v následujícím odstavci při interpretaci časové složky čtyřvektoru síly.
8.7. VEKTOROVÝ FORMALISMUS, ČTYŘVEKTORY 109
8.7.8 Čtyřvektor síly. Pohybová rovnice
Klasická pohybová rovnice (druhý Newtonův zákon) zněla ve 3D
dp
dt
=
d
dt
mv = f , (8.52)
kde f byla klasická 3D síla. Skalárním násobením rychlostí v jsme dostali zákon zachování energie:
m
dv
dt
· v = f · v , čili
d
dt
1
2
mv2
= f · v . (8.53)
Podobnou analogií jako dříve zavedeme čtyřsílu Fλ tak, aby platilo
dPλ
dτ
= m0
dUλ
dτ
= Fλ . (8.54)
Tři prostorové složky budou s uvážením dt = γdτ odpovídat rovnici
m0
d
dt
(γvλ) = Fλ/γ (8.55)
a budou tedy souhlasit s klasickou rovnicí, zvolíme-li čtyřsílu F tak, aby
F1 = γf1 , F2 = γf2 , F3 = γf3 . (8.56)
K určení a interpretaci časové složky F0 užijeme jednak rov. (8.54), tedy
m0
dU0
dτ
= F0 , neboli F0 = γm0
d
dt
(γc) , (8.57)
jednak skalárního čtyřsoučinu rov. (8.54) se čtyřrychlostí Uλ, o němž dokážeme, že je roven nule:
λ
Fλ · Uλ =
λ
m0
dUλ
dτ
· Uλ (8.58)
=
λ
m0Aλ · Uλ (8.59)
= 0 . (8.60)
Je tedy
0 =
λ
Fλ · Uλ = γ2
λ
fλ · vλ (8.61)
odkud
F0cγ = −γ2
3
k=1
fk · vk (8.62)
Eliminací F0 z rov. (8.57) a (8.62) dostaneme po úpravě
d
dt
(γm0c2
) =
3
k=1
fk · vk (8.63)
Člen v závorce tedy odpovídá kinetické energii z rov. (8.53). Označme ho E; je deﬁnován jako
E = γm0c2
= mc2
. (8.64)
Rozvineme-li γ podle binomické věty, dostaneme
E = m0c2
(1 +
1
2
β2
+
3
8
β4
. . . ) (8.65)
= m0c2
+
1
2
m0v2
+ . . . (8.66)
Nyní je vidět, že skutečně časová složka čtyřhybnosti z rov. (8.48) souvisela s energií, přesněji
P0 =
E
c
, (8.67)
F0 =
γ
c
dE
dt
. (8.68)
110 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
8.7.9 Relativistická hmotnost; jiné odvození
K pojmu relativistické hmotnosti můžeme též přijít rozborem nepružné relativistické čelní srážky
dvou stejných koulí. Uvažujme ráz koule hmotnosti mv s rychlostí v a klidné koule hmotnosti m0;
výsledkem bude těleso hmotnosti Mw s rychlostí w, viz obrázek. Tutéž situaci pak popíšeme jednak
z hlediska druhé koule jako klidné (zrcadlová symetrie), jednak přepočteme rychlosti vzorcem pro
skládání s rychlostí −v.
✚✙
✛✘
mv; v
✚✙
✛✘
m0; 0
✚✙
✛✘
Mw
✚✙
✛✘
✚✙
✛✘
Mw; w
✚✙
✛✘
✚✙
✛✘
mv; −v
✚✙
✛✘
m0; 0
✚✙
✛✘
✚✙
✛✘
Mw
✚✙
✛✘
✚✙
✛✘
Mw; −w
Předpokládáme zákon zachování hybnosti, hmotnosti a k přechodu z S do S′ použijeme relativistické
skládání rychlostí:
p = Mww = mvv + m00 ZZ hybnosti (8.69)
Mw = mv + m0 ZZ hmotnosti (8.70)
−w =
w − v
1 − wv
c2
složení rychlostí w a −v (8.71)
Z prvních dvou rovnic plyne
mv v = (mv + m0) w , odkud (8.72)
w = v
mv
mv + m0
(8.73)
Z transformace rychlostí rov. (8.71) plyne
w 1 −
wv
c2
= v − w (8.74)
odkud dosazením z rov. (8.73) a poté po vykrácení v
m0+mv
dostaneme
mv 1 −
v2
c2
mv
m0 + mv
= m0 + mv − mv (8.75)
vyrušíme mv a rozšíříme m0 + mv
mv m0 + mv −
v2
c2
mv = m0(m0 + mv) (8.76)
m2
v 1 −
v2
c2
= m2
0 (8.77)
mv =
m0
1 − v2
c2
neboli (8.78)
m = γm0 , (8.79)
8.7. VEKTOROVÝ FORMALISMUS, ČTYŘVEKTORY 111
v souladu s rov. (8.47).
112 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
Pro pohodlí čtenáře přikládáme síť pro graﬁcký záznam Lorentzovy transformace při
β = 3
5 = 0,6; γ = 5
4 = 1,25.
❥
−2 −1 0 1 2
−2 −1 0 1 2
2
1
0
−1
−2
2
1
0
−1
−2
0−1−2−3−4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
43210
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
4 3 2
−2 −3 −4
4
3
2
1
0
−1
1
0
−1
−2
−3
−4
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
8.7. VEKTOROVÝ FORMALISMUS, ČTYŘVEKTORY 113
β = 3
5
= 0,6; γ = 5
4
= 1,25;
❥
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
5
4
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
10−1−2−3
−3
−2
−1
2
3
4
5
543210
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
6 5 4
0 −1 −2
−3
6
5
4
3
2
1
3
2
1
0
−1
−2
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
114 KAPITOLA 8. ZÁKLADY TEORIE RELATIVITY 2017-06-10
Příloha A
Keplerova úloha – problém dvou těles
2016-09-03
A.1 Formulace úlohy
A.1.1 Cíl
Chceme vyšetřit v rámci klasické mechaniky pohyb planety, např. Země, v naší sluneční soustavě.
Jako jedinou sílu budeme uvažovat gravitační interakci mezi Zemí a Sluncem.
A.1.2 Co záměrně zanedbáme
Vědomě přitom zanedbáme řadu dalších okolností:
• veškeré relativistické jevy;
• ve sluneční soustavě jsou i jiné planety než Země a působí gravitačně na Zemi i na Slunce;
• Zemi obíhá Měsíc;
• ve sluneční soustavě jsou i jiné objekty než Slunce a planety (komety, asteroidy, meziplanetární
hmota, . . . ) ;
• Slunce i Země jsou nepravidelná tělesa;
• Slunce i Země rotují kolem vlastních os;
• ani Slunce, ani Země nejsou tuhá tělesa: Slunce je celé plynné, Země je pokryta oceány a
ovzduším a má tekutý vnitřek;
• . . .
A.1.3 Vztah k reálné situaci
Budeme se zabývat nejjednodušším případem, a to soustavou složenou ze dvou bodových objektů
– hmotných bodů B1, B2. K tomu nás opravňují tyto skutečnosti:
• Zemi i Slunce můžeme „stáhnout do bodu proto, že gravitační pole po vrstvách homogenní
koule (ať je v klidu nebo ať rotuje) je v klasické mechanice stejné jako gravitační pole hmotného
bodu;
• vlastní rozměry jak Slunce (poloměr 0,7×109m), tak i Země (0,006×109m) jsou zanedbatelné
ve srovnání se vzdáleností Země – Slunce (150×109m).
115
116 PŘÍLOHA A. KEPLEROVA ÚLOHA – PROBLÉM DVOU TĚLES 2016-09-03
A.1.4 Další možný rozvoj teorie
Dalším krokem by bylo uvážit gravitační interakci planet navzájem (včetně pohybu Slunce kolem
společného těžiště) jakožto poruchu a doplnit poruchové, tzv. sekulární členy (lat. saeculum =
století, dlouhé pro člověka, ale přesto zanedbatelné oproti věčnosti).
Mohli bychom také přejít na obecnou teorii relativity; postihli bychom s ní i nepatrnou část
stáčení perihela Merkura (43” za století), která zbývá po započtení všech vlivů klasických (5 557”
za století) do pozorované hodnoty (5 600” za století). To je ovšem daleko vně rámce našich zájmů
zde.
A.2 Problém dvou těles – Keplerova úloha
Vyšetříme pohyb dvou hmotných bodů B1, B2 o hmotnostech m1, m2 a polohových vektorech r1,
r2 pod vlivem vzájemného gravitačního přitahování. Vycházíme z Newtonových pohybových rovnic
m1
¨r1 = F12 (A.1)
m2
¨r2 = F21 = −F12 (A.2)
doplněných Newtonovým gravitačním zákonem
F = G
m1m2
r2
, (A.3)
kde G ≈ 6, 67 · 10−11 m3·kg−1·s−2 je gravitační konstanta. Zavedeme relativní polohový vektor r
❙
❙
❙
❙
❙
❙♦
r1
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚✚❃
r2
B1
B2
O
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✿
r
r := r2 − r1 (A.4)
takže r je vzdálenost obou bodů. Dosazením dostaneme
m1
¨r1 = + G
m1m2
r2
r
|r|
(A.5)
m2
¨r2 = − G
m1m2
r2
r
|r|
(A.6)
(rozmyslete si znaménka obou výrazů – gravitace je přitažlivá).
Úloha je tedy trojrozměrná (3D) a hledáme šest neznámých – šest složek vektorů rk, k = 1, 2.
A.3 Těžišťová vztažná soustava
Zavedeme těžiště (hmotný střed) jakožto bod o souřadnicích
R :=
m1r1 + m2r2
m1 + m2
. (A.7)
Protože jde o soustavu uzavřenou (vnější síly jsou nulové), očekáváme, že se těžiště bude pohybovat
rovnoměrně přímočaře. To skutečně snadno dokážeme součtem (rov. (A.5)+rov. (A.6)), při němž se
vyruší pravá strana a po vydělení součtem (m1 + m2) vyjde rovnou rovnice
¨
R = 0. Tu můžeme
snadno dvakrát integrovat
˙
R = V0, (A.8)
R = V0t + R0, (A.9)
A.4. REDUKOVANÁ ÚLOHA 117
kde integrační konstanty V0, resp. R0 mají fyzikální význam rychlosti, resp. polohy těžiště soustavy
v čase t = 0 (počáteční podmínky).
A.4 Redukovaná úloha
Přejděme od šesti proměnných (složky r1, r2) k šesti proměnným (složky R, r z rov. (A.4),(A.7)).
Pro první tři proměnné (složky R) jsme už úlohu vyřešili (rov. (A.9)). Pravé strany rov. (A.5)
a rov. (A.6) obsahují jen r, nikoli jednotlivá r1, r2. Zkombinujme tedy obě rovnice tak, aby zbylo
samotné r i na levé straně: první rovnici vydělme −m1, druhou m2 a sečtěme. Dostaneme
¨r = −
1
m1
+
1
m2
G
m1m2
r2
r
|r|
(A.10)
a zavedením redukované hmotnosti µ, celkové hmotnosti M a pomocné konstanty g
µ :=
1
1
m1
+ 1
m2
=
m1m2
m1 + m2
(A.11)
M := m1 + m2 (A.12)
g := G
m1m2
µ
= GM, (A.13)
dostaneme vztah
µ¨r = −G
m1m2
r2
r
|r|
(A.14)
= −µg
r
r3
, resp. (A.15)
= −G
µM
r2
r
|r|
, (A.16)
Všimněme si, že síla vyjádřená pravými stranami rov. (A.5), (A.6), (A.14) až (A.16) je (až event.
na znaménko) táž a má i analogický zápis.
Zápis (A.16) lze interpretovat takto: eliminací pohybu těžiště a zavedením relativní vzdálenosti
r jsme úlohu převedli na náhradní úlohu – pohyb tělesa („kvaziplaneta ) s redukovanou hmotností
µ v centrálním silovém poli ve vzdálenosti r(t) od centra. Naše „kvazislunce je nyní nehybné
v počátku souřadnic (jako kdyby mělo setrvačnou hmotnost nekonečnou) a má gravitační hmotnost
M = m1 + m2. Kolem něj obíhá „kvaziplaneta o hmotnosti µ z rov. (A.11).
Jde o stejný trik, který jsme použili v kap. 5.2.8 při vyšetřování harmonických kmitů soustavy navzájem pružně spřažených
částic. Jejich polohy jsme převedli lineárními kombinacemi na polohy redukovaných částic – kvazičástic. Ty se chovají jako
volné (nespřažené) a každá z nich koná harmonický pohyb nezávislý na ostatních kvazičásticích. Zde jsme Slunce a planetu (dvě
závislá tělesa) převedli na dvě nezávislé kvazičástice: „těžiště soustavy (hmotnost M + m, pohyb rovnoměrný přímočarý) a
„kvaziplaneta (hmotnost µ, pohyb rovniný, po kuželosečce – jak dále odvodíme).
Z polohy r kvaziplanety dostaneme skutečné polohy planety i Slunce jednoduchou lineární
transformací (vyřešením rov. (A.4) a (A.7)):
r1 = R +
m1
m1 + m2
r (A.17)
r2 = R −
m2
m1 + m2
r. (A.18)
A.5 Rovinný problém; moment hybnosti
Ukážeme, že náš problém je trojrozměrný jen zdánlivě. Ve skutečnosti se kvaziplaneta pohybuje
pouze v jisté rovině procházející počátkem souřadnic (kde leží centrum síly), počáteční polohou
planety a obsahující směr její počáteční rychlosti. Tato rovina je kolmá k momentu hybnosti L
kvaziplanety:
L ≡ r × p = r × µv = r × µ ˙r
118 PŘÍLOHA A. KEPLEROVA ÚLOHA – PROBLÉM DVOU TĚLES 2016-09-03
přičemž vektor L zůstává s časem neproměnný (vnější síly jsou nulové a mají tedy výsledný moment
nulový): L = L0 =
−−−→
konst.
Dá se ukázat, že i původní Keplerova úloha (tedy se Sluncem a planetou, nejen s kvazisluncem a kvaziplanetou, a nejen
v těžišťové soustavě) se odehrává v rovině procházející počáteční polohou Slunce, planety a jejich těžiště a pohybující se
rovnoměrně přímočaře rychlostí těžiště.
K důkazu vynásobíme rov. (A.16) zleva vektorově polohovým vektorem r. Protože na její pravé
straně je týž vektor r, dostaneme nulu:
r × µ¨r = −G
µM
r2
r × r
|r|
= 0. (A.19)
Dále použijeme vztah
d
dt
(r × µ ˙r) = (˙r × µ ˙r + r × µ¨r) = r × µ¨r (A.20)
a z rov. (A.19) dostaneme zákon zachování momentu hybnosti (ZZMH) planety:
d
dt
L ≡
d
dt
(r × µ ˙r) = 0, (A.21)
(r × µ ˙r) = L0 =
−−−→
konst. (A.22)
Vektor momentu hybnosti L0 tedy nemění svůj směr v prostoru. Protože je roven vektorovému
součinu polohového vektoru r (s rychlostí v), leží polohový vektor kvaziplanety (i její rychlost
v ≡ ˙r) stále v rovině kolmé k L0. Pohyb v centrálním poli je tedy rovinný.
Při odvození jsme nevyužili závislosti síly na čtverci vzdálenosti. Pohyb částice je tedy rovinný, ať je závislost síly na
vzdálenosti jakákoliv.
A.6 Zákony zachování
Zákon zachování momentu hybnosti (ZZMH, rov. (A.22)) platný pro libovolné centrální pole jsme
právě odvodili a použili k důkazu rovinnosti úlohy. Ukážeme, že pro libovolné centrální pole platí
i zákon zachování mechanické energie (ZZE) a využijeme toho ke zjednodušení úlohy.
Využijeme relace
d
dt
(rn
) = nrn−2
r · ˙r (A.23)
d
dt
1
2
v2
=
d
dt
1
2
˙r 2
= ˙r · ¨r. (A.24)
a dosadíme při n = −1 do rov. (A.15) vynásobené skalárně rychlostí v ≡ ˙r:
µ ˙r · ¨r =
d
dt
1
2
µv2
= µg(−r−3 ˙r · r) =
d
dt
µg
r
(A.25)
d
dt
1
2
µv2
−
µg
r
= 0 (A.26)
1
2
µv2
−
µg
r
= konst = E0 (A.27)
Ek + Ep = E0, (A.28)
což je odvození ZZE pro speciální případ síly (pro obecnou centrální sílu).
Ani zde jsme při odvození nevyužili závislosti síly na čtverci vzdálenosti.
A.7 Řešení rovinného problému
A.7.1 Polární souřadnice
Vzhledem k tomu, že uvažované pole je centrální a jeho velikost tedy závisí jen na vzdálenosti r od
počátku souřadnic, budou jistě polární souřadnice výhodnější než kartézské.
A.7. ŘEŠENÍ ROVINNÉHO PROBLÉMU 119
Polární souřadnice jsou ortogonální. Proto je v nich vyjádření čtverce rychlosti jednoduché.
Nejprve vyjádříme obecné posunutí dl pomocí přírůstku dr radiální souřadnice (vzdálenosti od
počátku) a přírůstku dϕ úhlu; při změně o dϕ se poloha změní o rdϕ. Pak dostaneme vztah mezi
přírůstky z Pythagorovy věty:
(dl)2
= (dr)2
+ (rdϕ)2
(A.29)
a odtud vydělením (dt)2 přímo čtverec rychlosti:
v2
= ( ˙r)2
+ (r ˙ϕ)2
≡ ˙r2
+ r2
˙ϕ2
. (A.30)
V polárních souřadnicích má tedy ZZE tvar
1
2
µ( ˙r2
+ r2
˙ϕ2
) −
µg
r
= E0. (A.31)
ZZMH zní velmi jednoduše:
r2
˙ϕ =
L0
µ
≡ λ (A.32)
a umožňuje nám odstranit ˙ϕ z rov. (A.31). V ní se pak vyskytuje jen ˙r, r a t. Můžeme ji tedy řešit
samostatně. Upravíme ji do tvaru
1
2
˙r2
+
λ2
r2
−
g
r
=
E0
µ
, (A.33)
odkud
˙r =
2E0
µ
+
2g
r
−
λ2
r2
. (A.34)
Dále můžeme postupovat dvěma směry:
A.7.2 Výpočet závislosti vzdálenosti r a času t
Jedna možnost je upravit rov. (A.34) na tvar se separovanými proměnnými:
dr
2E0
µ + 2g
r − λ2
r2
= dt (A.35)
a přímo integrovat: dostaneme t = t(r), tedy informaci, ve kterém čase se kvaziplaneta dostane do
dané vzdálenosti r od centra.
t =
dr
2E0
µ + 2g
r − λ2
r2
+ t0. (A.36)
Nás by ovšem zajímala spíše inverzní funkce r = r(t) udávající, kde se částice nachází v daný
okamžik t. Tu bychom dále použili k řešení ϕ(t) integrací z rov. (A.32). Proto se vrátíme k rov. (A.34)
a budeme postupovat jinak.
A.7.3 Výpočet trajektorie kvaziplanety r = r(ϕ)
Jiná možnost řešení redukovaného problému je určit trajektorii (parametrizovanou úhlem ϕ) a
eliminovat čas, tedy ponechat v rov. (A.31) a (A.32) jen proměnné r a ϕ.
Výpočet lze vlastně provést jen v monotonní části trajektorie planety, ale na výsledku se toto omezení neprojeví.
Berme tedy r = r(ϕ). Vyjádříme
dr
dϕ
=
˙r
˙ϕ
= ˙r
r2
λ
(A.37)
dosadíme do rov. (A.34) a separujeme proměnné:
120 PŘÍLOHA A. KEPLEROVA ÚLOHA – PROBLÉM DVOU TĚLES 2016-09-03
dϕ =
drλ
r2 ˙r
=
λdr
r2 2E0
µ + 2g
r − λ2
r2
. (A.38)
Integrace pravé strany je samozřejmě čistě záležitostí matematické analýzy (resp. kalkulu).
Fyzika však může napomoci ideou: víme-li, že se planety pohybují po kuželosečkách v ohniskové
poloze, budeme hledat řešení v tomto tvaru rovnice kuželosečky, tedy
r =
p
1 + ε cos(ϕ − ϕ0)
, resp.
p
r
= 1 + ε cos(ϕ − ϕ0), (A.39)
kde p určuje „velikost (měřítko) kuželosečky a numerická výstřednost (excentricita) ε = 1 − b2/a2
určuje její charakter:
• ε = 0: kružnice;
• 0 < |ε| < 1: elipsa;
• |ε| = 1: parabola;
• |ε| > 1: hyperbola.
Tvar rov. (A.39) nás vede na vhodné substituce v rov. (A.38). Nejprve zavedeme ρ := λ
r , takže
dρ = − λ
r2 dr:
dϕ =
−dρ
2E0
µ + 2g
λ ρ − ρ2
. (A.40)
Výraz pod odmocninou známým způsobem zbavíme lineárního členu: zavedeme σ := ρ − g
λ,
dσ = dρ, K := 2E0
µ + g
λ
2
,
dϕ =
−dρ
2E0
µ + g
λ
2
− −g
λ + ρ
2
=
−dσ
√
K2 − σ2
. (A.41)
a konečně zavedeme s := σ/K, ds = dσ/K:
dϕ =
−ds
√
1 − s2
. (A.42)
K této funkci již primitivní funkci známe (arccos). Do ní pak postupně dosazujeme všechny
předchozí substituce.
ϕ = arccos s + ϕ0 (A.43)
s = cos(ϕ − ϕ0) (A.44)
K =
2E0
µ
+
g2
λ2
(A.45)
σ = K cos(ϕ − ϕ0) (A.46)
ρ =
g
λ
+ K cos(ϕ − ϕ0) (A.47)
λ
r
=
g
λ
+ K cos(ϕ − ϕ0) (A.48)
λ2
g
1
r
= 1 +
Kλ
g
cos(ϕ − ϕ0). (A.49)
A.7. ŘEŠENÍ ROVINNÉHO PROBLÉMU 121
Tato rovnice přesně odpovídá druhé rov. (A.39), jestliže značíme
p =
λ2
g
=
L2
0
Gµm1m2
, (A.50)
ε =
Kλ
g
=
2E0L2
0
µG2m2
1m2
2
+ 1 (A.51)
=
2E0p
Gm1m2
+ 1 (A.52)
Pro délku a velké poloosy, resp. vzdálenost rP perihelia platí
a =
p
1 − ε2
(A.53)
rP =
p
1 + ε
(A.54)
A.7.4 Pohyb planety a slunce
Odvodili jsme, že kvaziplaneta se pohybuje po kuželosečce (rov. (A.39)) s ohniskem v počátku
souřadnic, tedy s rovnicí
r =
p
1 + ε cos(ϕ − ϕ0)
, (A.55)
kde ϕ0 určuje úhel velké osy trajektorie vůči ose x, a rov. (A.50) a další určují parametr p i excentricitu
ε. Charakter trajektorie je zřejmě dán znaménkem energie E soustavy:
• pro E < 0 je ε < 1 (elipsa),
• pro E = 0 je ε = 1 (parabola),
• pro E > 0 je ε > 1 (hyperbola).
Speciálně pro E = −Gm1m2/2p vyjde ε = 0 a trajektorií je kružnice.
Z pohybu kvaziplanety odvodíme pohyb skutečné planety a skutečného Slunce dosazením výsledku
redukované úlohy pro kvaziplanetu do rov. (A.17) a (A.18) s tím, že obvykle předpokládáme
těžiště soustavy v klidu, tedy R = 0. Je tedy
r1 =
− m2
m1 + m2
r = −
µ
m1
r (A.56)
r2 =
m1
m1 + m2
r =
µ
m2
r (A.57)
Snadno nahlédneme, že i v tom případě zůstane charakter kuželosečky zachován a změní se jen
parametry její trajektorie.
A.7.5 Shrnutí a diskuse
Vyřešili jsme pohybové rovnice pro soustavu dvou částic při síle mezi nimi dané Newtonovým
gravitačním zákonem (rov. (A.3)). Zjistili jsme, že v těžišťové soustavě je trajektorií planety (i
Slunce) kuželosečka s ohniskem (nikoli středem!) v těžišti soustavy.
Energie E soustavy určuje charakter trajektorie planety takto:
• pro E < 0 má planeta uzavřenou trajektorii eliptickou (případně kruhovou),
• pro E = 0 by měla planeta trajektorii parabolickou,
• pro E > 0 by měla planeta trajektorii hyperbolickou.
122 PŘÍLOHA A. KEPLEROVA ÚLOHA – PROBLÉM DVOU TĚLES 2016-09-03
Poslední dva případy odpovídají návštěvníkům typu komety s původem mimo Sluneční soustavu.
(U nich, chceme-li být v souladu s realitou, zřejmě nemůžeme zanedbat veškeré ostatní objekty
kromě Slunce a uvažovaného návštěvníka.)
Jde-li skutečně o soustavu Slunce + planeta s hmotností planety zanedbatelnou proti hmotnosti
Slunce, pak je Slunce prakticky v klidu a jeho střed je i těžištěm soustavy. Naše řešení se však hodí
i pro soustavu typu dvojhvězdy tvořené složkami se stejnou či srovnatelnou hmotností, opisujícími
pak eliptické trajektorie kolem společného těžiště.
Připomeňme konečně, že výsledek platí i v případě, že Slunce a planety nejsou bodové, ale že
jde o koule po vrstvách homogenní.
A.8 Keplerovy zákony
A.8.1 1. Keplerův zákon
Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je
Slunce.
Tento zákon je speciálním důsledkem rov. (A.39), přihlédneme-li k tomu, že
• planety jsou vůči Slunci lehké, malé a jsou daleko od sebe, takže jejich vzájemné působení
lze v prvním přiblížení zanedbat a řešit soustavu planet a Slunce jako superpozici soustav
„jediná planeta a Slunce ;
• trajektorií každé z planet je kuželosečka podle rov. (A.39), resp. rov. (A.53). Parabola ani
hyperbola však pro planetu nepřicházejí v úvahu (vedou z nekonečna a nejsou periodické).
Konkrétními počátečními podmínkami bylo dáno, že každá z trajektorií má malou výstřednost (je
blízká ke kružnici) a že leží všechny blízko jediné společné roviny – roviny ekliptiky. Jak ukazují
numerické simulace, byla a bude tato konstelace stabilní ještě několik miliard let; poté se však
ekliptika zbortí, a rovněž Slunce ve svém dalším vývoji se rozroste tak, že pohltí Merkur atp.
A.8.2 2. Keplerův zákon
(Zákon ploch:) Plošná rychlost w planety je podél celé její trajektorie konstantní.
Má-li planeta posuvnou rychlost v(t), pak elementární plocha opsaná jejím průvodičem za dobu
dt je dána plochou dP = |w|dt úzkého trojúhelníku o vrcholu ve Slunci a se stranami danými
vektory r(t), vdt a r(t + dt). Tato plocha je polovinou velikosti vektorového součinu r × vdt a
souvisí jasně s momentem hybnosti L = r × p = r × µv vztahem
w = |w| =
dP
dt
=
1
2µ
|L| =
L0
2µ
(A.58)
Zákon zachování momentu hybnosti byl pro obecné centrální pole odvozen jako rov. (A.22).
A.8.3 3. Keplerův zákon
Poměr třetích mocnin velkých poloos eliptických trajektorií dvou planet je roven poměru
druhých mocnin jejich oběžných dob.
Pro kruhové trajektorie lze tento zákon odvodit na středoškolské úrovni; tam je prostě dostředivá
síla F(r) = µv2/r (nutná pro to, aby planeta konala rovnoměrný kruhový pohyb) dána gravitační
silou podle rov. (A.3), resp. rov. (A.16) a předcházejících:
A.9. OZNAČENÍ 123
µv2
r
= G
Mµ
r2
; r = a; v =
2πa
T
(A.59)
2πa
T
2
1
a
= G
M
a2
(A.60)
Odtud dostaneme hledaný vztah
a3
T2
=
GM
4π2
. (A.61)
Pro obecnou eliptickou trajektorii využijeme toho, že plošná rychlost w je konstantní; za periodu
oběhu tedy planeta urazí plochu elipsy, tedy πab:
wT = πab ( )2
(A.62)
L2
0
4µ2
T2
= π2
a4
(1 − ε2
) = π2
a3
p (A.63)
a po dosazení za p z rov. (A.50) a µ z rov. (A.11) se L2
0 vykrátí:
a3
T2
=
L2
0
4π2µ2p
=
GM
4π2
. (A.64)
A.9 Označení
Pro pohodlí připomeneme z geometrie základní vlastnosti elipsy a shrneme zde užité označení.
A.9.1 Elipsa
r
P
❧
⋆F
a
rQ
frP
p
r
S
r
A
a r
F’
rB
b
r
střed S;
ohniska F, F’; SF = SF’ = f; slunce leží v F
perihelium P; FP = rP = a(1 + ε) (pro Zemi a družici: perigeum)
afelium A; FA = rA = a(1 − ε) (pro Zemi a družici: apogeum)
velká poloosa SA = SP = FB = a
malá poloosa SB = b = a
√
1 − ε2
parametr FQ = p = b2/a = a(1 − ε2)
numerická výstřednost (excentricita) ε = f
a = 1 − b2
a2
124 PŘÍLOHA A. KEPLEROVA ÚLOHA – PROBLÉM DVOU TĚLES 2016-09-03
Rovnice elipsy v kartézských souřadnicích ve středové poloze (střed v počátku souřadnic) s velkou
osou ve směru x:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (A.65)
Rovnice elipsy v polárních souřadnicích v ohniskové poloze (ohnisko v počátku souřadnic):
r =
p
1 + ε cos(ϕ − ϕ0)
, (A.66)
kde ϕ0 určuje úhel velké osy trajektorie vůči ose x.
A.9.2 Označení užitá v Keplerově úloze
m1 hmotnost skutečného slunce
m2 hmotnost skutečné planety
r1 polohový vektor skutečného slunce
r2 polohový vektory skutečné planety
M := m1 + m2 celková hmotnost; gravitační hmotnost kvazislunce
R := m1r1+m2r2
M polohový vektor těžiště soustavy
µ := m1m2
M redukovaná hmotnost (kvaziplanety)
r := r2 − r1 polohový vektor kvaziplanety
v := ˙r vektor rychlosti kvaziplanety
G ≈ 6, 67 · 10−11 m3·kg−1·s−2 gravitační konstanta
g := GM
L := r × µ ˙r moment hybnosti kvaziplanety (zůstává konstantní, roven L0)
L0 := |L0|, např. z perihelia: L0 = rPvP
p :=
L2
0
µ2GM
=
L2
0
µGm1m2
=
L2
0M
G(m1m2)2 parametr elipsy (trajektorie kvaziplanety)
E0 := 1
2µv2 − µGM
r celková mechanická energie kvaziplanety v gravitačním poli kvazislunce (pro
planetu E0 < 0, pro kometu E0 ≥ 0)
ε := 1 − b2
a2 = 1 + 2E0p
Gm1m2
excentricita trajektorie kvaziplanety
rP = p
1+ε vzdálenost kvaziplanety od kvazislunce v periheliu
rA = p
1−ε vzdálenost kvaziplanety od kvazislunce v afeliu
Příloha B
Kinematika graﬁcky 2017-05-27
B.1 Graﬁcký popis
B.1.1 Graﬁcký popis obecně
Uvažujme nejobecnější kosoúhlou soustavu souřadnic S v rovině, s počátkem O a dvěma osami x, t.
Osy nemusí být k sobě kolmé a také jednotky na nich nemusí být stejně velké. Každý bod v rovině
má dvě souřadnice: A = {xA; tA}, např. zde A = {1; 2}, B = {3; 7}.
Zdůrazněme výslovně, že měříme výhradně ve směru některé z os, a to jedině jí příslušnou
jednotkou. Jiný směr měření – např. přímé měření délky úsečky AB na obrázku – nemá žádný
fyzikální smysl.
❡O
r
1
r1
t
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
x
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
❝B
❝A
❡O′
r1′
r1′
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
t′
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
x′
B.1.2 Graﬁcký popis událostí a dějů
Osy interpretujeme jako zobrazení prostoru x a času t. Každá událost UA je zobrazena vzájemně
jednoznačně bodem A = {xA; tA} v rovině.
Pohyb popíšeme dostatečně vysokým počtem událostí. Rovnoměrný přímočarý pohyb se zřejmě
zobrazí orientovanou úsečkou mezi počáteční a koncovou událostí (zde 31 událostí pro rovnoměrný
pohyb z bodu x = 1 v čase t = 2 do bodu x = 3 v čase t = 7). Rychlostí v = ∆x/∆t, zde v = 1/3,
je vzájemně jednoznačně určen směr úsečky na grafu.
Pro popis pohybu zpravidla orientujeme graf tak, aby růst času t na časové ose směřoval vzhůru
a růst souřadnice x směřoval doprava. Nutné to samozřejmě není, ale – jako ostatně každá rozumná
zvyklost – usnadňuje nám to přehled a tím zjednodušuje práci.
125
126 PŘÍLOHA B. KINEMATIKA GRAFICKY 2017-05-27
B.1.3 Změna vztažné soustavy
Zvolíme jinou kosoúhlou soustavu S′ s jiným počátkem O′, osami x′, t′ a měřítky. Nové souřadnice
téhož bodu B = {x′
B; t′
B}′ budou v S′ obecně jiné (zde {−2; 2}′), ale zřejmě vždy budou s dvojicí
xB a tB ze soustavy S spojeny lineárními vztahy: označíme-li souřadnice nového počátku a nových
jednotek na osách
O′
= {0; 0}′
= {p; q} (B.1)
X′
1 = {1; 0}′
= {p + px; q + qx} (B.2)
T′
1 = {0; 1}′
= {p + pt; q + qt} , (B.3)
pak platí
xB = p + pxx′
B + ptt′
B (B.4)
tB = q + qxx′
B + qtt′
B (B.5)
a jednoduše spočteme i transformaci inverzní.
Šestice volitelných parametrů p, px, pt, q, qx, qt umožňuje provést jednoznačně libovolnou lineární
transformaci a zobrazit geometricky. I naopak, libovolná „nová kosoúhlá soustava odpovídá
jednoznačně nějaké lineární transformaci. (Ne každá lineární transformace {x; t} → {x′; t′} má
ovšem fyzikální smysl popisu pohybu.)
Mají-li S a S′ společný počátek, tj. O′
= O, je p = 0, q = 0, jde o transformaci homogenní a vše
se trošku zjednoduší. Toho lze snadno dosáhnout, jak jsme uvedli v kap. 8.2.3: pokud počátek {0; 0}
soustavy S má v S′ souřadnice {X′; T′}′, pak od S′ přejdeme k nové S′′ posunutím – transformací
x′′ = x′ − X′; t′′ = x′ − T′. Dále se budeme proto zabývat jen transformacemi homogenními.
Zatím jsme se nezabývali měřítky os ve výchozí S a metrikou všeobecně. Dále se budeme zabývat
Galileovou a Lorentzovou transformací.
B.1.4 Graﬁcký popis homogenní Galileovy transformace
V Galileově transformaci jsou čas a prostor nezávislé a invariantem je jen ∆t. Nejobecnější homogenní
transformační rovnice jsou
x′
= x − Wt (B.6)
t′
= t . (B.7)
Osy x, x′ tedy splývají a mají i stejné jednotky, osa t′ je skloněna tak, aby odpovídala světočáře
prostorového počátku O’ pohybujícího se vůči S danou rychlostí W a jednotkou takovou, aby
událost T′
1 nastala v čase t = 1. (Pak bude identicky t = t′ pro každou událost.)
Na grafu W = 0,8; B= {3; 2,5} = {1; 2,5}′.
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
t
s
O=O’
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊❊
x=x′
T1 q
X1=X′
1q
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
T′
1
q
rB
B.1. GRAFICKÝ POPIS 127
B.1.5 Graﬁcký popis homogenní Lorentzovy transformace
V Lorentzově transformaci prostor (x) a čas (x0 = ct) souvisí, metrika je ∆s2 = ∆x2 − ∆x2
0 pro
čtverec intervalu; ten je vůči Lorentzově transformaci invariantní (viz vztah (8.20)). K danému
bodu B proto leží body B’ od počátku stejně vzdálené na hyperbolách (či jejich asymptotách pro
∆s2 = 0), což není nijak zvlášť názorné. Ponecháme tedy stanovení čtverce intervalu ∆s2
AB na
dodatečném výpočtu z časových a prostorových souřadnic bodů A, B změřených v použité vztažné
soustavě obvyklým způsobem – rovnoběžným promítáním.
Zvolíme-li (při libovolném vzájemném úhlu os x, x0) pro obě osy stejně velkou jednotku, budou
osy těchto úhlů – asymptoty hyperbol – k sobě kolmé a hyperboly budou rovnoramenné; světelný
kužel má vrcholový úhel pravý (půlí úhly mezi osami x a x0). Je dále zvyklostí (ale ne nutností)
v námi navržené „klidové soustavě S pro přehlednost
• vynášet polohu x na vodorovnou osu;
• na svislou osu vynášet čas t vynásobený světelnou rychlostí, tedy veličinu x0 = ct;
• zvolit v grafu stejně dlouhé jednotky pro x i x0.
Víme, že pro libovolnou další S′ získanou Lorentzovou transformací rov. (D.11) se zachovává
světelný kužel a jeho obě větve opět půlí úhly mezi osami x′ a x′
0. Značíme-li jako obvykle β = W/c;
γ = (1 − β2
)−1/2, pak osy x′, x′
0 určíme jednotkami na nich:
• jednotka na ose x′ má souřadnice X′
1 = {1; 0}′ = {γ; γ/β};
• jednotka na ose x′
0 má souřadnice T′
1 = {0; 1}′ = {γ/β; γ}.
Světelný kužel zachovává svou polohu. Pohybuje-li se soustava S′ vůči S ve směru osy x, pak je
β > 0, takže osy S′ se „sevřou k sobě. Při pohybu S′ proti směru osy x je β < 0; osy se „rozevřou .
Měřítka v graﬁckém zobrazení ilustruje následující obrázek. Údaje v jednotkách S jsou uvedeny
černě, současnost v S je znázorněna černými úsečkami rovnoběžnými s osou x („vodorovnou ).
Délka spodní úsečky („v jednotkové výšce od osy x ) je β.
Údaje o S′ jsou modré (čas) a červené (prostor); současnost v S′ ukazují červené úsečky rovnoběžné
s osou x′. Mají obě stejnou jednotku (značíme ji 1′), ovšem jinou, než má S (tu značíme
1).
O ❢
x0
β
1
r1/γ
❢1
rγ
A
x
r
1
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔
✔x′
0
r
1′
B
r
γ ′
❢
1′/γ ′
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
x′
r
1′
✧
✧
✧
✧
✧
✧✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧
✧✧
Obrázek B.1: Měřítka v grafu
128 PŘÍLOHA B. KINEMATIKA GRAFICKY 2017-05-27
B.2 Omyly způsobené nekonzistencí
Pozor, abychom nemíchali údaje z různých soustav. Značíme-li kroužkem na obr. B.1 události
O = {0; 0} = {0; 0}′, A = {0; 1} a B = {0; 1/γ}′, pak z trojúhelníku OAB neplyne něco jako
z Pythagorovy věty, že by 1 + β2
se rovnalo 1/γ ′2. Čtverec velikosti intervalu OB je roven rozdílu
čtverců odvěsen, tedy v S je to β2
− 12 < 0 a má časový charakter. V S′ vyjde ovšem stejně:
02 − (1/γ2) = −(1 − β2
) = β2
− 12.
Příloha C
Srážka (ráz) 2016-08-24
C.1 Srážka obecně
Srážka {collision} těles (dříve též ráz těles; nesouvisí s termínem „rázy , str. 57), v mikrosvětě
také často zvaná rozptyl {scattering} je děj, při němž se rychlost tělesa (sněrm velikost nbo obojí)
podstatně změní za velmi krátkou dobu1. Představuje velmi důležitou oblast fyziky. V kvantové
fyzice je naším nejsilnějším prostředkem k poznávání vlastností elementárních struktur, svůj velký
význam má i v klasické fyzice, a to jak v každodenní technice, tak i např. v gravitačním praku, kdy
je raketa urychlena průletem gravitačního pole pohybující se planety.
Budou nás zajímat jen dvě situace systému2 srážejících se těles:
1. stav (dávno) před srážkou, zvaný počáteční {initial}, index i; zpravidla v čase t → −∞;
2. stav (dlouho) po srážce, zvaný koncový {ﬁnal}, index f; zpravidla v čase t → +∞,
přičemž v obou těchto stavech jsou tělesa natolik vzdálená, že jejich interakci lze zanedbat.
Vlastní detailní průběh samotné srážky nás co možná nebude zajímat vůbec; bude stačit jen jeho
celková charakteristika (srážka pružná nebo nepružná, centrální nebo necentrální apod.) projevující
se ve vztahu mezi stavem počátečním a koncovým.
♣ Čtenář znalý Cimrmana jistě poznal, že v popisu srážek vycházíme přímo z jeho ﬁlozoﬁe externismu, což je pravý
opak solipsismu: podle externismu neexistuje „já . Naopak existuje všechno, co je kolem tohoto neexistujícího „já .
Tělesa na sebe při srážce pochopitelně působí. Může to být „na dálku – gravitační či elektromagnetické
pole, může to být „na blízko – kontaktní nárazové síly dané materiálem těles:
uplatní se drsnost povrchu, pružnost, vzpruživost (zvaná též činitel restituce, míra, do jaké
srážkou zdeformované těleso obnoví svůj původní tvar). Chceme se však vyhnout řešení pohybových
rovnic (numerickému, krok po kroku s vzrůsajícím časem o dt, anebo takovému, jak jsme
např. řešili v příl. A při parabolickém či hyperbolickém průletu tělesa kolem Slunce). Předpokládáme
jen, že síly, kterými lze interakci popsat, jsou pro pružnou srážku konzervativní (zachovávají
celkovou energii), nemusí však ubývat se čtvercem vzdálenosti, ani nemusí být centrální, mohou
se uplatnit i momenty sil (rozvažte např. silové působení mezi elektrickým nábojem a elektrickým
dipólem: síly nejsou centrální, na dipól působí od náboje kroutivý moment, na náboj od dipólu
nikoli). Předpokládá se dále, že síly ubývají do nekonečna tak, aby dostatečně vzdálená tělesa na
sebe působila jen zanedbatelně málo. Neuvažujeme však žádné vnější vlivy, síly ani vazby; pokud
by byly, vhodně je odtransformujeme. Rovněž předpokládáme, že „v nekonečnu mají srážející se
tělesa tutéž potenciální energii a lze ji položit rovnu nule. Systém tvořený srážejícími se tělesy je
tedy izolovaný.
Pro izolovaný systém platí zákony zachování celkové energie E0, hybnosti P, momentu
hybnosti B a hmotnosti m. Další aditivní integrály pohybu neexistují.
1
Těleso tedy projde velikým zrychlení, zapůsobí na něj náhlá síla. Toto je sice vymezení subjektivní, většinou
antropocentrické, v praxi to však nevadí.
2
Pro větší přehlednost mluvíme o systému srážejících se těles k odlišení od vztažné soustavy.
129
130 PŘÍLOHA C. SRÁŽKA (RÁZ) 2016-08-24
Zde zjistíme, co lze z těchto zákonů odvodit. Užitý přístup připomíná svým použitím integrálů
pohybu analytickou mechaniku. Lze ho použít i ve speciální teorii relativity (s relativistickou hmotností
a Lorentzovým skládáním rychlosti). Také je použitelný v kvantové teorii pro mikrosvět; proto
občas zmíníme jako objekt např. atomy a jejich speciﬁka (vlastní moment hybnosti – spin s, princip
nerozlišitelnosti stejných částic). Výsledky jsou platné pro libovolný počet těles, ale je jich ovšem
málo: v této jednoduché a obecné formě však postačí k vyřešení nejjednodušších případů srážky
dvou těles. Složitější úlohy (srážka výstředná, šikmá, vrtná) vyžadují další rozbor. A už úloha tří
těles může vést na deterministický chaos, změnu vázaných stavů na volné a naopak atp.
C.2 Srážka dvou těles
C.2.1 Strategie
Inerciální vztažnou soustavu L, v níž je úloha zadána, nazýváme laboratorní. (Často v ní bývá
v klidu některé z těles, zvané v tomto kontextu terč; není to však nutné.) V L má těžiště systému
zpravidla nenulovou rychlost Wt. Pro výpočet proto přejdeme (Galileovou transformací) do té
inerciální vztažné soustavy T zvané těžišťová soustava{center-of-mass frame}, kde těžiště systému
leží v počátku souřadnic O v klidu3, má tedy nulovou rychlost. Vzhledem k zákonu zachování
hybnosti zůstane těžiště v bodě O stále, i po srážce.
Při Galileově transformaci s rychlostí Wt se všechny rychlosti v T oproti L zmenší o Wt. Rozdíl
dvou rychlostí — např. vzájemná rychlost W dvou těles — se tedy nezmění. Toho s výhodou
využijeme při formulaci úlohy v těžišťové soustavě.
C.2.2 Těžišťová soustava T
V těžišťové soustavě T má srážka dvou těles tak jasnou symetrii, že řešení je vidět na první pohled:
stačí se prostě od srážky v čase vracet — provést inverzi času t → −t, a celková hybnost
systému (rovná nule v T ) ani energie se nezmění. Do L se pak z T dostaneme zpětnou Galileovou
transformací, tj. přičtením rychlosti těžiště systému.
Rovněž geometrie úlohy v T je podstatně jednodušší než v L: Tečny k trajektoriím těles na
počátku („směry výstřelů )
• buď jsou v L mimoběžné; pak jsou v T rovnoběžné, těžiště leží mezi nimi,
• nebo jsou v L různoběžné; pak v T splývají, těžiště leží na nich,
• nebo jsou v L rovnoběžné; pak jsou i v T rovnoběžné, těžiště leží mezi nimi,
• nebo v L splývají; pak i v T splývají a těžiště leží na nich.
C.2.3 Označení
• Vektory značíme šipkou: V .
V je velikost vektoru V (tedy V ≥ 0)
Vx je složka vektoru V (tedy −∞ < Vx < ∞).
Zabývejme se dále dvěma tělesy: T a t.
• V je rychlost4 tělesa T
• v: malé písmeno značí veličinu tělesa t
• V ′: čárka značí veličinu po srážce
• VT : index T značí veličinu měřenou v těžišťové soustavě T
———
3
Striktně vzato, pro určení rychlostí není nutné se starat o polohu těžiště systému těles vůči počátku O soustavy
T . Hlavně že má v T těžiště systému nulovou rychlost.
4
Přesněji: rychlost těžiště tělesa T.
C.3. SRÁŽKA DVOU HMOTNÝCH BODŮ PODÉL PŘÍMKY 131
• W = V − v je vzájemná rychlost těles (je stejná v každé vztažné soustavě, L i T )
• Wt je rychlost těžiště systému těles (T + t):
Wt =
MV + mv
M + m
(C.1)
• P = MV je hybnost tělesa T
• E0 je celková energie tělesa T
• Ek = 1
2MV 2 je kinetická energie posuvného pohybu tělesa T,
případně ještě obecněji
• B = R × P je moment hybnosti T vůči počátku souřadnic
• S = JΩ je vlastní moment hybnosti rotujícího tělesa, případně jeho spin
Budeme dále předpokládat srážku netříštivou:
M = M′
, m = m′
. (C.2)
Zákony zachování hybnosti, energie a momentu hybnosti celého systému pak znějí
MV + mv = MV ′
+ mv ′
(C.3)
E0 + e0 = E′
0 + e′
0 (C.4)
B + S + b + s = B ′
+ S ′
+ b ′
+ s ′
(C.5)
Zachovává-li se při srážce i samotná kinetická energie posuvného pohybu, mluvíme o (dokonale)
pružné srážce a platí
1
2
MV 2
+
1
2
mv2
=
1
2
MV ′2
+
1
2
mv′2
(pružná srážka) (C.6)
Při dokonale nepružné srážce se po srážce tělesa od sebe vůbec neodrazí, mají tutéž rychlost:
V ′
= v ′
; W′
= 0 (nepružná srážka) (C.7)
Newton zavedl pro charakteristiku reálných, nedokonale pružných srážek vzpruživost{coeﬃcient of
restitution} neboli činitel restituce k deﬁnovaný podílem velikosti skutečné vzájemné rychlosti W′
sk
po srážce ku velikosti vzájemné rychlosti W′ po srážce dokonale pružné:
k =
W′
sk
W′
(vzpruživost, činitel restituce) (C.8)
U makroskopických těles leží k mezi 1 (srážka dokonale pružná; blíží se jí srážka ocelových koulí)
a 0 (srážka dokonale nepružná, např. srážka dvou blátěných koulí).
←֓ Při klasické srážce se sice může rotační energie Er i potenciální energie Ep měnit na posuvnou Ek a naopak,
ale vnitřní energie Ev se proměnit zpět v mechanickou nemůže, protože její nárůst byl spjat i s nárůstem entropie:
∆Ev ≤ T ∆S, a entropie samovolně neklesne. V kvantových srážkách to však je možné: při srážce excitované částice
se excitační energie může uvolnit a urychlit rozptylující se částice. Fenomenologické veličiny jako teplota T či entropie
S postrádají svůj makroskopický smysl. Pokud je k > 1, mluví se o superelastické srážce{superelastic}.
Dále použijeme rov. (C.3) a buď rov. (C.6) (pružná srážka), anebo rov. (C.7) (nepružná srážka).
C.3 Srážka dvou hmotných bodů podél přímky
C.3.1 Příklad úlohy
Uvažujme kouli K, která narazí do jiné, rovněž se pohybující koule k. Koule jsou homogenní, nerotují
a jejich hmotné středy (těžiště) se pohybují po téže přímce p (srážka je přímá a středová, jak později
zavedeme). Koule konají pouze posuvný pohyb a můžeme je tedy modelovat hmotnými body.
132 PŘÍLOHA C. SRÁŽKA (RÁZ) 2016-08-24
C.3.2 Popis v těžišťové soustavě T
V těžišťové soustavě T platí pro souřadnici těžiště systému podle deﬁnice
ξT =
MXT + mxT
M + m
= 0 (stále) . (C.9)
Rychlost WtT těžiště systému v T je rovněž nulová:
˙
ξ = WtT =
MVT + mvT
M + m
= 0 (stále) , (C.10)
a celková hybnost systému také:
PT + pT = MVT − mvT = 0 , (C.11)
Odtud plyne nepřímá úměra velikosti rychlosti tělesa v T a jeho hmotnosti. Při znalosti vzájemné
rychlosti W = VT − vT dostaneme snadno rychlosti každého z těles v T před srážkou:
VT =
m
M + m
W ; vT = −
M
M + m
W . (C.12)
Připomeňme, že W, m i M mají v L tytéž hodnoty jako v T .
Pružná srážka
Při pružné srážce se zachová úhrnná hybnost P + p i úhrnná kinetická energie posuvného pohybu.
Rov. (C.3),(C.6) dostanou tvar
MV + mv = 0 = MV ′
+ mv ′
(C.13)
1
2
MV 2
+
1
2
mv2
= E =
1
2
MV ′2
+
1
2
mv′2
(C.14)
a zřejmě jim vyhovuje řešení, kdy si každé z těles po srážce zachová svou velikost rychlosti (V = V ′,
v = v′ a event. se změní směr vektorů). Zůstaneme-li podél osy x, jsou jen dvě možnosti:
• Rychlosti i hybnosti každého tělesa zůstanou nezměněny (tělesa se buď netreﬁla, nebo prošlo
jedno skrz druhé): V = V ′, v = v ′, W = W ′, a tedy podle rov. (C.12) platí podél osy x
V ′
x = Vx =
m
M + m
Wx (C.15)
v′
x = vx = −
M
M + m
Wx (C.16)
• Rychlosti i hybnosti každého tělesa změní znaménko: V ′ = −V , v ′ = −v, W = −W ′, což
odpovídá inverzi času t → −t. Podle rov. (C.12) platí podél přímky x
V ′
x = −Vx = −
m
M + m
Wx (C.17)
v′
x = −vx =
M
M + m
Wx (C.18)
(Znovu připomeňme, že W, W ′, m i M mají v L tytéž hodnoty jako v T .)
C.4. APLIKACE 133
Nepružná srážka
Při nepružné srážce se vyžaduje zachování úhrnné hybnosti (je v T nulová) a minimální úhrnná
kinetická energie posuvného pohybu; ta bude minimální (nulová), když obě tělesa zůstanou po
srážce v těžišti v klidu:
V ′
x = 0 (C.19)
v′
x = 0 (C.20)
Poznamenejme, že jakýkoliv systém těles má ve své těžišťové soustavě T celkovou kinetickou
energii posuvného pohybu nejmenší (oproti energiím měřeným v jiných inerciálních vztažných sou-
stavách).
C.3.3 Popis srážky v laboratorní soustavě L
Pro popis v L stačí výsledné rychlosti z T zvětšit o rychlost Wt = (MV + mv)/(M + m) těžiště
systému (tedy o rychlost T vůči L). Následující rovnice jsou platné zcela obecně, nejen v 1D:
V = VT + Wt (C.21)
v = vT + Wt (C.22)
V ′
= V ′
T + Wt (dokonale pružná) (C.23)
v ′
= v ′
T + Wt (dokonale pružná) , (C.24)
V ′
= v ′
= Wt (dokonale nepružná) . (C.25)
Jednodušeji to snad zapsat nejde.
V dalším 1D postupu opět nahradíme každý vektor (např. V ) jeho složkou (Vx).
Pružná srážka
Jsou opět dvě možnosti, jak zůstat s pohybem na ose x:
Po dosazení za V ′
T z rov. (C.15) a Wt z rov. (C.1) dostaneme triviální řešení
V ′
x = Wx
m
M + m
+
MVx + mvx
M + m
= Vx , (C.26)
v′
x = −Wx
M
M + m
+
MVx + mvx
M + m
= vx (C.27)
zatímco po dosazení za V ′
T z rov. (C.15) dostaneme po rozepsání
V ′
x = −Wx
m
M + m
+
MVx + mvx
M + m
=
MVx − mVx + 2mvx
M + m
, (C.28)
v′
x = Wx
M
M + m
+
MVx + mvx
M + m
=
mvx − Mvx + 2MVx
M + m
. (C.29)
Nepružná srážka
Dosazením z rov. (C.19) dostáváme řešení
V ′
x = v′
x = Wtx =
MVx + mvx
M + m
. (C.30)
Obě tělesa se po srážce pohybují společně rychlostí rovnou původní rychlosti těžiště systému.
C.4 Aplikace
C.4.1 Pružná srážka stejných těles
Narazí-li pružné těleso rychlostí V x do stejného stojícího tělesa (v = 0), pak se buď minou, anebo
si „vymění rychlosti : V ′
x = 0, v′
x = V x. Jde-li v kvantové mechanice o tytéž (tedy nerozlišitelné)
částice, pak jde o jediný případ, nikoli o dva.
134 PŘÍLOHA C. SRÁŽKA (RÁZ) 2016-08-24
C.4.2 Kolmý odraz míčku od pevné zdi
Pevnou zeď lze pokládat za nekonečně velkou a těžkou kouli, formálně Vx = 0, M ≫ m, W = −vx.
Vzorce z rov. (C.28), (C.29) dávají pak podle očekávání V ′
x → 0 a v′
x → −vx; míček jen změní
znaménko rychlosti, velikost zůstane stejná.
C.4.3 Kolmý odraz pingpongového míčku od pálky
Pevně vedenou pálku lze podobně jako v předchozím případě nahradit pohybující se nekonečně
těžkou koulí, jen tentokrát Vx > 0, M ≫ m, W = Vx − vx. Vzorce z rov. (C.28), (C.29) dávají
tentokrát V ′
x → Vx a v′
x → −vx + 2Vx.
K původní velikosti rychlosti míčku se přičte dvojnásobek rychlosti pálky.
C.4.4 Necentrální srážka
Pokud se tělesa pohybovala v T k sobě po přímce p (procházející těžištěm T systému), mohou se
po necentrální srážce rozletět stejnými rychlostmi jako dříve, ale po libovolné jiné přímce p’, rovněž
procházející T, a neporuší tím žádný ze zákonů zachování.
C.4.5 Gravitační prak
Tzv. gravitační prak{gravitational slingshot} umožňuje raketě prolétající kolem planety přijmout část
její pohybové energie ke svému urychlení ve směru pohybu planety. Je to zřejmé následující úvahy:
Ekliptiku pokládejme během srážky za inerciální laboratorní soustavu L. Planeta obíhá kolem
Slunce posuvnou rychlostí Wt a má hmotnost M, proti níž je hmotnost rakety m zanedbatelná:
M ≫ m. Pokládejme proto soustavu spojenou s planetou po dobu „srážky (průletu rakety v okolí
planety) za rovněž inerciální těžišťovou soustavu T . Raketa přilétá k planetě s rychlostí vůči ekliptice
(L) rovnou v, ovšem vůči planetě T rovnou vT = v − Wt a odlétá rychlostí v T stejně velkou,
jakou přiletěla |v ′
T | = |vT |, ale jiným směrem. Vůči L má ovšem rychlost v ′ = v ′
T + Wt, a ta má
jinou velikost (i směr), než původní v.
C.5 Co ovlivňuje srážku
Problematika srážek je rozsáhlý a dosud živý obor, třebaže se studuje už 400 let; zde jsme naznačili
a vyřešili jen nejjednodušší úlohy. Pro případné další studium připomínáme faktory, které je nutno
uvážit při řešení úloh z reálné praxe.
C.5.1 Geometrie srážky těles
Předpokládejme, že se tělesa srazí tak, že se dotknou v jediném bodě. Obě tělesa pak mají v tomto
bodě společnou tečnou rovinu ρ a k ní kolmou normálu ν. Podle nich klasiﬁkujeme srážky:
středová (centrická) srážka nastane, leží-li těžiště obou těles na vektorové přímce nárazových
sil. Pokud tomu tak není, jde o srážku výstřednou (excentrickou);
přímá srážka nastane, je-li vzájemná rychlost W těles kolmá k ρ (a tedy rovnoběžná s ν). Pokud
tomu tak není, jde o srážku šikmou.
vrtná srážka nastane, pokud tělesa různě rotují kolem normály ν.
tříštivá srážka nastane, pokud se při ní tělesa mění nebo vznikají nová.
C.5.2 Povrch těles
Pokud tělesa rotují nebo pokud srážka není přímá, mají povrchy těles v místě styku nenulovou
složku rychlosti v tečné rovině a záleží i na drsnosti povrchu, např. zda se sdílí vlastní moment
hybnosti rotujícího tělesa.
C.5. CO OVLIVŇUJE SRÁŽKU 135
C.5.3 Materiál těles
Jak již bylo řečeno, materiál těles rozhoduje, do jaké míry se kinetická energie Ek posuvného pohybu
systému srážkou promění v jiné formy energie (zejména vnitřní). Podle toho pak probíhá srážka
(pružná, nepružná; vzpruživost). Uveďme však, že vzpruživost k (str. 131) není úplně konstantní –
klesá s rostoucí relativní rychlostí W a naopak pro W → 0 roste a blíží se obvykle 1.
136 PŘÍLOHA C. SRÁŽKA (RÁZ) 2016-08-24
Příloha D
Jedinečnost Lorentzovy transformace
2017-05-27
D.1 Záměr
V této příloze dokážeme, že Lorentzova transformace je jedinou transformací, která převádí inerciální
soustavu S (s údaji {x; t}) na jinou inerciální soustavu S′ (s údaji {x′; t′}′) tak, aby v obou
soustavách byla světelná rychlost stejná.
Beze ztráty obecnosti předpokládejme, že obě soustavy jsou synchronizovány ve svém prostorovém
a časovém počátku, tj. že {0; 0} = {0; 0}′ (kdyby nebyly a platilo {0; 0} = {R; T}′, stačilo
by namísto S′ vyštřovat S′′ se souřadnicovými údaji posunutými, tedy {x; t}′′ = {x − R; t − T}′).
D.2 Odvození Lorentzovy transformace pro 1D prostor
D.2.1 Zachování zákona setrvačnosti
Newtonův zákon setrvačnost vyžaduje, aby se jakýkoli pohyb bez zrychlení spojitě převáděl opět na
pohyb bez zrychlení a naopak. To bude zřejmě splněno právě tehdy, bude-li transformace lineární,
se čtyřmi zatím neurčenými koeﬁcienty α1, α2, α3, α4.
x′ = α1x + α2t
t′ = α3x + α4t
(D.1)
D.2.2 Soustava S′
má vůči soustavě S rychlost W
Pak tedy pro libovolné časy t musí prostorový počátek {0; t′}′ soustavy S′ mít souřadnice {Wt; t}
v S. Nejobecnější transformace tohoto typu je (s koeﬁcienty γ, φ, ψ šikovnějšími než ai)
x′ = γ( x − Wt)
t′ = γ(φx + ψt);
(D.2)
ještě zbývají neurčené tři koeﬁcienty γ, φ, ψ.
D.2.3 Soustava S má vůči soustavě S′
rychlost −W.
Pak zase pro libovolné časy t, t′ musí počátku {0; t} odpovídat bod {−Wt′; t′}′. Dosazením x = 0
a vydělením obou rovnic dostáváme
x′
/t′
= v′
= −W/ψ , (D.3)
odkud zřejmě plyne ψ = 1. Transformace dostává tvar
x′ = γ( x − Wt)
t′ = γ(φx + t)
(D.4)
se zatím neurčenými dvěma koeﬁcienty γ, φ.
137
138 PŘÍLOHA D. JEDINEČNOST LORENTZOVY TRANSFORMACE 2017-05-27
D.2.4 Má-li bod v soustavě S rychlost c, pak má v S′
rovněž rychlost c.
Vydělíme spolu obě rovnice, levou stranu rozšíříme zlomkem 1/t a dosadíme x′/t′ = v′ resp. x/t = v.
Dostaneme vzorec pro transformaci rychlostí
v′
=
v − W
φv + 1
, (D.5)
odkud po dosazení v′ = v = c jednoduše plyne φ = −W/c2. V transformaci
x′ = γ( x − Wt)
t′ = γ(−W
c2 x + t)
(D.6)
zbývá již jen určit γ.
D.2.5 Inverzní transformace k Lorentzově transformaci je rovněž Lorentzova.
Řešením předchozí soustavy rovnic dostáváme
x = 1
γ(1−(W 2/c2))
( x′ + Wt′)
t = 1
γ(1−(W 2/c2))
(W
c2 x′ + t′).
(D.7)
Je zřejmé, že tato soustava rovnic je opět Lorentzovou transformací odpovídající rychlosti −W
za předpokladu, že platí
γ =
1
γ(1 − (W2/c2))
. (D.8)
To je splněno, pokud je γ = ± 1√
1−(W 2/c2)
. Protože pro W = 0 musí přejít transformace v identitu,
zvolíme řešení s kladným znaménkem, tj.
γ =
1
1 − (W2/c2)
(D.9)
a dostáváme konečně speciální Lorentzovu transformaci
x′ = 1√
1−(W 2/c2)
( x − Wt)
t′ = 1√
1−(W 2/c2)
(−W
c2 x + t).
(D.10)
Jak jsme již uvedli (str. 98), symetrie těchto rovnic vynikne zavedením veličiny x0 := ct namísto
času t, a dále β := W
c , γ := 1√
1−β2
:
x′ = γ(x − βx0)
x′
0 = γ(x0 − βx).
(D.11)
Úkol: Ověřte výpočtem, že speciální Lorentzovy transformace (podél téže osy) tvoří grupu.
Příloha E
Veličina, měření, zápis hodnot 2015-09-21
E.1 Veličina: pojem, hodnota veličiny
Veličina je taková vlastnost jevu (např. zvuk), tělesa (např. tento list papíru) nebo materiálu
(mosaz daného složení), kterou lze vyjádřit číslem a referencí. Toto číslo nazýváme číselná hodnota
(dané veličiny); referencí bývá nejčastěji jednotka (např. milimetr za sekundu, značka mm·s−1
nebo mm/s), může to být též např. měřicí1 postup (tvrdost podle Rockwella C se zátěží 150 kg,
značka HRC(150 kg)).
Podle dřívějšího pojetí (VIM 2; pojetí „chybové či „tradiční ) se předpokládalo, že pro konkrétní
objekt (např. pro tento list papíru) má konkrétní veličina (např. jeho tloušťka l0) jistou zcela
přesnou, ale neznámou hodnotu (např. l0 = 0, 119 827 654 376 . . . mm). Měříme-li ji, dostaneme
vždy nějakou náhodnou hodnotu jinou (např. l = 0, 116 mm), nejspíše blízkou, ale vždy zatíženou
principiálně neznámou chybou (zde je tedy ∆l = 0, 003 827 654 376 . . . mm).
Současné pojetí (VIM 3; pojetí „nejistotové ) je jiné: předpokládá samotnou deﬁnici hodnoty
veličiny pomocí intervalu (např. 0, 115 mm až 0, 121 mm, tedy l0 = 0, 118(3) mm) s nenulovou
nejistotou (zde 0, 003 mm), přičemž libovolná hodnota (např. l1 = 0, 116 425 76 mm anebo l2 =
0, 120 05 mm) uvnitř tohoto intervalu může stejně dobře sloužit pro daný účel (hodnota tloušťky
papíru).
E.2 Zápis číselných hodnot veličin
Zápis číselných hodnot doporučuje norma ISO takto:
s = 23, 386(12) mm (doporučuje se) (E.1)
Tento zápis má stejný význam jako dřívější
s = 23, 386 mm ± 0, 012 mm , nebo (E.2)
s = (23, 386 ± 0, 012) mm, (E.3)
ale se dvěma výhodami:
• je kratší a přehlednější (odpadají úvodní nuly v nejistotě)
• je věcně správný, zatímco zápisy podle rov. (E.2) či (E.3) vlastně správné nejsou: znamenaly
by totiž jen dvě krajní hodnoty, nikoli celý interval mezi nimi (srv. obvyklý zápis řešení
kvadratické rovnice x1,2 = (−b ±
√
D)/2a).
Rozměrově chybné jsou zápisy bez závorek typu
s = 23, 386 ± 0, 012 mm (chybně). (E.4)
1
Rozlišujte „měřicí = určený k měření, od „měřící = ten, který právě měří. Podobně odlišujte čtecí, řídicí,
kropicí od čtoucí, řídící, kropící atp.
139
140 PŘÍLOHA E. VELIČINA, MĚŘENÍ, ZÁPIS HODNOT 2015-09-21
E.3 Popis os grafu, nadpis sloupce tabulky
Pro veličinu Q značí [Q] její rozměr a {Q} její číselnou hodnotu (jednotku lze též udat jako index
u složené závorky). Správné označení v nadpisu číselných hodnot v tabulce či na ose grafu je např.
s/ mm, v/( m · s−1), v/( m/s), v
m/s .
Je také správné, ale méně praktické, psát
{s}mm, {v}m·s−1 , {v}m/s.
Dříve občas užívaný zápis typu s[ mm] je nesprávný a navíc nelogický (platí naopak [s] = mm).
E.4 Měření – základní pojmy
Význam měření pro fyziku coby exaktní vědu jsme zmínili už na str.9. Měření spojitých veličin
nikdy není (a z principu ani nemůže být) absolutně přesné. Dvě naměřené hodnoty téže veličiny,
ať už po sobě či současně dvěma měřicími přístroji, nedají proto absolutně stejný výsledek — už
proto, že každý měřicí přístroj má jen konečnou přesnost a zobrazovací možnost.
Předpokládejme nejjednodušší případ, že jde o opakované měření jediné veličiny, s nejistotou
typu A (tj. získanou z opakovaných měření). Nechť je naměřeno stejnou metodou (tedy i se stejnou
váhou) n veličin {xi}n
i=1.
Nejistotou měření u se rozumí parametr charakterizující rozsah hodnot, tedy interval od x−u
do x+u okolo výsledku měření x; tento interval můžeme důvodně přiřadit hodnotě měřené veličiny.
Výběrový průměr x je deﬁnován vztahem
x =
1
n
n
i=1
xi. (E.5)
Standardní nejistota u = sx je v tom případě rovna výběrové směrodatné odchylce výběrového
průměru, tedy
u = sx =
1
n(n − 1)
n
i=1
(xi − x)2. (E.6)
Výsledek píšeme obecně ve tvaru x ± u, zápis v číselných hodnotách provedeme jako v rov. (E.1).
Pravděpodobnost P, že odchylka skutečné hodnoty od udávané nepřekročí u, závisí na typu rozdělení.
Pro normální (Gaussovo) je to 68,3 %, pro rovnoměrné 57,7 %, pro trojúhelníkové 65 %.
Pravděpodobnost, že odchylka nepřekročí 2u, je pro normální rozdělení 95,5 %, pro rovnoměrné
plných 100 %, pro trojúhelníkové 96,6 %.
Rozšířená nejistota U = kU ·u se zavádí tam, kde se vyžaduje vysoká spolehlivost. Koeﬁcient
rozšíření intervalu pokrytí (stručně koeﬁcient pokrytí) kU se stanovuje zpravidla konvenčně (předpisem
normy apod.). Zpravidla bývá od 2 (nejčastěji) do 3, anebo se určí výpočtem pro známý
typ rozdělení.
Pro velký počet (n > 30) opakovaných měření vycházejí pro různá P různé hodnoty k:
k0,9 = 1, 645 pro P = 90%, (E.7)
k0,95 = 1, 96 pro P = 95%, (E.8)
k0,99 = 2, 576 pro P = 99%. (E.9)
Pro malá n předepisuje norma ISO vztah U = 2knu, kde kn pro n = 2 až 9 je rovno
k2 = 7, 0; k3 = 2, 3; k4 = 1, 7; k5 = 1, 4; k6 = 1, 3; k7 = 1, 3; k8 = k9 = 1, 2.
Zde byly pro jednoduchost zanedbány chyby typu B (tedy ty, které se nevypočítávají, ale jsou
známy odjinud, jiným způsobem); s nimi se mění vztah pro rozšířenou nejistotu U na vztah
U = 2 k2
nu2
A + u2
B a výsledek zapíšeme (E.10)
x = x ± U nebo číselně se závorkou jako výše, viz rov. (E.1). (E.11)
Rejstřík
amount of matter, 19
area, 18
body, 19
center of mass, 76
center-of-mass frame, 130
coeﬃcient of restitution, 131
collision, 129
condensed matter, 19
constrain, 20, 83
continuum, 18, 20
critical state, 19
date, 18
deformable, 20
domain, 18
duration, 18
elastic, 20
ﬁeld, 20
ﬁnal, 129
ﬂuid, 19
force, 20
force ﬁeld, 20
gas, 19
gravitational slingshot, 134
ideal gas, 19
ideal liquid, 19
indiscernible, 19
indistinguishability, 19
indistinguishable, 19
inertial frame, 38
initial, 129
instant, 18
interval, 18
liquid, 19
mass, 18, 19
mass point, 20
matter, 18
medium, 18
metacenter, 87
non-ideal gas, 19
phase, 18
plastic, 20
rate, 17
rigid body, 78
scattering, 129
solid, 18
solid state, 78
space, 17
spacetime, 18
speed, 17
state, 18
substance, 18
superelastic, 131
surface, 18
time, 18
velocity, 17
volume, 18, 19
2D-doména, 18
3D-doména, 18
3D-prostor, 17
bod, hmotný, 20
charakter intervalu, 100
datum, 18
deformovatelný, 20
doba, 18
doba trvání, 18
elastický, 20
fáze, 18
fáze, kondenzovaná, 19
gravitační prak, 134
hladina, 18
hmota, 18
hmotnost, 19
hmotnost, klidová, 108
hmotnost, redukovaná, 117
hodnota, číselná, 139
individualita, 19
interval, 18, 100
interval prostorupodobný, 100
interval časupodobný, 100
kapalina, 19
kapalina, ideální, 19
kmity, relaxační, 61
kontinuum, 18, 20
látka, 18
látka, pevná, 18
metacentrum, 77, 87
metrika, 100
metrika, pseudoeuklidovská, 101
množství, látkové, 19
nejistota, 139
nerozlišitelnost, 19
nerozlišitelný, 19
141
142 REJSTŘÍK
objem, 18, 19
oblast, 18
obsah, 18
okamžik, 18
plastický, 20
plocha, 18
plyn, 19
plyn, ideální, 19
plyn, neideální, 19
pole, 20
pole, silové, 20
povrch, 18
princip relativity, Einsteinův, 40
princip relativity, mechanický, 39
prostor, 17
prostor, absolutní, 37
prostoročas, 18
prostředí, 18
pád, volný, 47
přímka, vektorová, 83
reference, 139
rovnice, charakteristická, 45
rozptyl, 129
ráz - viz srážka, 129
silový diagram, 37
skupenství, 18
soustava, inerciální, 38
soustava, laboratorní, 130
soustava, těžišťová, 130
spin, 75
srážka, 129
srážka tříštivá, 134
srážka vrtná, 134
srážka, centrická, 134
srážka, excentrická, 134
srážka, nepružná, 131
srážka, pružná, 131
srážka, přímá, 134
srážka, středová, 134
srážka, superelastická, 131
srážka, výstředná, 134
srážka, šikmá, 134
stav, koncový, 129
stav, kritický, 19
stav, počáteční, 129
střed hmotnosti, 76
střed, hmotnostní, 76
střed, hmotný, 76
střed, nábojový, 76
substance, 18
synchronizace, 39
síla, 20
síla, nárazová, 129
síla, vazbová, 87
tekutina, 19
tenzor, metrický, 100
terč, 130
těleso, 19
těžiště, 77, 86
těžnice, 86
Umístění, 83
vazba, 20
vektor, klouzavý, 83
vektor, volný, 83
vektor, vázaný, 83
veličina, 139
vrh, svislý, 47
vzpruživost, 129, 131
věta, d’Alembertova, 80
věta, Königova, 77
čas, 18
čas, absolutní, 37
činitel restituce, 129, 131
čtverec intervalu, 100
údaj, časový, 18