Od Newtona ke Keplerovi geometricky*
Jiří Podolský
Už od základní školy všichni známe Newtonovy zákony mechaniky a od střední školy také Keplerovy zákony pohybu planet. Bez velké nadsázky lze říct, že tyto dvě trojice zákonů tvoří základní kameny fyzika ÍÍÍÍÍÍU poznání světa. Víme také, že sehrály k 11LUVUU roli v historii přírodovědy. Zmíněné zákony - klenoucí se jako duchovní oblouk mezi počátkem a koncem 17. století — vymezují první úspěšný pokus v dějinách o matematické vystižení složitých dějů, které se odehrávají ve vesmíru. V jistém smyslu právě jimi lidstvo překročilo stín středověkých dogmat a vstoupilo do éry novověku, ve kterém rozum a racionalita přinesly své překvapivé a netušené plody.
Připomenutí
V tomto příspěvku se chceme věnovat souvislosti mezi Keplerovými a Newtonovými zákony, a proto logicky začneme jejich stručným připomenutím (v dnešní „neškolometské" formulaci).
Keplerovy zákony: geometrie planetárních orbit
Kl („elipsy"): Planety se pohybují po elipsách v jejichž společném ohnisku je Slunce.
K2 („plochy"): Spojnice Slunce a planety opíše za stejný čas vždy stejnou plochu.
K3 („T2~ R3 "): Druhá mocnina obežné doby planety je úměrná třetí mocnině hlavní poloosy její trajektorie.
První dva zákony byly Keplerem objeveny během jeho plodného pobytu v Praze a poprvé otištěny ve slavném díle Astronómia nova (Nová astronomie, 1609), třetí zákon objevil 15. 5. 1618 a publikoval o rok později v práci Harmonice mundi (Harmonie světa, 1619).
Newtonovy zákony: dynamika pohybu
NI („setrvačnost"): Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrně přímočarém pohybu, není-li nuceno vnějšími silami tento stav změnit.
N 2 („zákon síly'4): Časová změna hybnosti hmotného bodu je (co do velikosti i směru) rovna působící síle, Dro naše účelv tedv Dlatí vzorec    m4^ = F.
N 3 („akce a reakce"): Tělesa na sebe působí stejně velkými silami opačného směru.
K těmto základním zákonům mechaniky ještě připojíme významný „čtvrtý Newtonův zákon", jímž je zákon všeobecné gravitace. Označme no pro naše účely symbolem
NG („gravitační síla"): Dvě tělesa hmotnosti m\ a mi vzdálená R se vřitahun silou
mim2
1   '■" ir ■
která leží na spojnici obou těles.
Gravitační zákon a jeho souvislost s Keplerovými zákony Newton poprvé prezentoval ve svém krátkém pojednání De motu corporum in gyrum (O pohybu těles po oběžných drahách, listopad 1684). Úplná verze pohybových zákonů a zákona gravitačního je pak vlastním obsahem jeho slavných Principií, tedy díla Philosophi<£ naiuralis principia mathematica (Matematické základy přírodní filosofie, červenec 1687).
Od Keplera k Newtonovi a nazpátek
Newtonův důvtipný postup fyzikálně-geometrických úvah, které vedou od Keplerových zákonů k zákonům dynamickým, je fascinující a v minulosti zaujal řadu lidí, mezi nimi i Feynmana. Ten 13. 3. 1964 proslovil na Caltechu přednášku právě na toto téma. Nebyla ovšem zařazena do jeho známého kurzu Feynmanových přednášek z fyziky. Fey-nmanovy stručné rukopisné poznámky se záhy „ztratily", byly znovu oDjeveny az v roce iyyz v pracovne jeno oyvaieno spoiupracovniKa Leightona. Podařilo se je rekonstruovat a vydat knižně [1] (nedávno
z.
vyšel slovenský překlad [2]). Kniha vyvolala značný ohlas v odborných pedagogických časopisech [3, 4, 5, 6], záhy se objevil i český článek [7j. Náš příspěvek je inspirován právě zmíněnou knihou |1J. Přebíráme zde jak logiku argumentací, tak klíčové obrázky.
Postup, kterým zde ukážeme geometrickou souvislost Keplerových a Newtonových zákonů, lze rozdělit do dvou částí. V první nejprve z Kepierova druhého a třetího zákona odvodíme Newtonův gravitační zákon. Následně pak z Newtonových zákonů odvodíme Keplerův první zákon, čímž se ověří správnost Newtonovy teorie a její predikativní schopnost. Poutavá je především skutečnost, že posloupnost úvah do značné míry odpovídá historickému Newtonovu postupu.
K2 implikuje dostřednost gravitační síly
Ukážeme nejprve, že za předpokladu platnosti Newtonových dynamických zákonů N1-N3 je Keplerův zákon ploch K2 ekvivalentní skutečnosti, že gravitační síla působí vždy směrem ke Slunci. Newtonův postup spočívá v tom, že dráhu planety nejprve „diskretizujeme", tedy spojitou trajektorii aproximuje na sebe navazujícími úsečkami, které planeta uběhne za stejné časové intervaly Ať, viz Obr. 1.
^ €
Obrázek 1: Newtonův originální diagram z Principů.
V nepřítomnosti Slunce by se planeta v souladu se zákonem setrvačnosti NI pohybovala rovnoměrně přímočaře z bodu Á do bodu B a pak dále za stejný čas z bodu B do bodu c (v detailu viz Obr. 2). Slunce umístěné v bodě S však planetu gravitačně přitahuje k sobě. přičemž jeho působení můžeme soustředit do okamžiku, kdy se planeta nachází v bodě B. Protože gravitační síla je dostředná, bude v souladu s N2 zrychlení a tedy i změna rychlosti mířit na spojnici BS. Z prostého skládání rychlostí plyne, že planeta se nedostane do bodu e, ale do bodu C, přičemž úsečka Cc je rovnoběžná s BS. To ale nutně implikuje, že plocha trojúhelníka SAB je stejně velká jako plocha trojúhelníka SBC. Opravdu: Trojúhelník SAB má stejnou plochu jako (na Obr. 2 nezakresiený) trojúhelník SBc (poněvadž mají stejné základny AB resp. Bc a totožné výšky, neboť mají společný vrchol v S), a ten má zase stejnou plochu jako trojúhelník SBC (neboť mají společnou základnu SB a také stejnou výšku právě proto, že úsečka Cc je rovnoběžná s S B). Stejný postup můžeme aplikovat i dále na úseku CD, jen s tím rozdílem, že síla nyní působí na spojnici CS, a podobně na všech následujících úsecích. Můžeme tedy shrnout, že dostřednost gravitační síly implikuje platnost zákona ploch. Protože pořadí výše uvedených argumentů můžeme snadno obrátit, lze také naopak odvodit, že z Keplerova zákona K2 plyne fakt, že gravitační síla Slunce působí vždy centrálně, tedy ve směru od planety ke Slunci.
S A
Obrázek 2: Plocha trojúhelníka SAB je stejně velká jako plocha trojúhelníka SBC.
4
K3 implikuje ubývání gravitační síly se čtvercem vzdálenosti
Nyní je vhodné zavést pojem rychlostního diagramu. Zatímco obvyklý diagram znázorňuje závislost polohového vektoru Ä planety vůči Slunci na čase, rychlostní diagram (zvaný též hodograf) znázorňuje časový vývoj vektoru okamžité rychlosti v, přičemž posloupnost vektorů v vykreslujeme vůči společnému počátku, viz Obr. 3.
Obrázek 3: Polohový diagram (vlevo) a odpovídající rychlostní diagram (vpravo).
Z pouhé kinematiky plyne, že rychlost je okamžitá změna polohy, a proto například vektor rychlosti v^a' Je rovnoběžný s úsečkou AA' atd. Uvažme nyní speciální případ kruhové orbity. Představme si, že planeta obíhá po kružnici poloměru R, a to rovnoměrně konstantní rychlostí v. Rychlostní diagram proto bude také kružnice ovšem poloměru v. Když planeta oběhne Slunce právě jednou dokola, polohový vektor R opíše úplný kruh a vektor rychlosti v rychlostním diagramu také, a to za stejný čas oběhu T. Protože rychlost je změna polohy a zrychlení je změna rychlosti — a navíc jde o pohyb rovnoměrný — platí elementární vztahy v = 2irR/T a a = 2irv/T, takže dosazením z první rovnice do druhé dostáváme a = 4n2R/T2. Když nyní použijeme třetí Kepierův zákon T2~ Rz, dostáváme ihned a ~ R/R3 = 1/R2. Podle N2 je ovšem síla F úměrná zrychlení a, a tak velikost gravitační síly ubývá s druhou mocninou vzdálenosti planety od Slunce, F - 1/R2.
Shrneme-li oba předchozí body, můžeme tedy uzavřít, že NG je ekvivalentní K2 a K3
5
h inále: odvozeni Kl z Newtonových zákonů
jjva, i\epierovy zaKony nam tedy umožnily naiezt správnou podobu zákona gravitační síly. Zbývá provést klíčový test, totiž ověřit, že z Newtonových zákonu mechaniky N1-N3 a z gravitačního zákona NG plyne také hlavní Keplerův zákon Kl. Jinými slovy, zbývá odvodit, že dráha planety kolem Slunce je elipsa. Podobně jako v předchozích úvahách použijeme i zde výhradně geometrické argumenty.
Geometrické konstrukce elipsy
Musíme pochopitelně začít tím, co to vlastně elipsa je a jak se dá zkonstruovat. Všichni známe ze školy, že elipsa je množina bodů, které mají konstantní součet vzdáleností od dvou privilegovaných bodů — ohnisek, viz Obr. 4 vlevo nahoře. Další důležitou (avšak méně známou) charakteristikou elipsy je skutečnost, že každý paprsek vyslaný z jednoho ohniska se na eliptické křivce odrazí přesně do druhého ohniska. (Tento fakt známe v limitním případě: extrémně excentrická elipsa přechází v parabolu, jejíž druhé ohnisko leží v nekonečnu. Proto je rovnoběžný svazek paprsků parabolou soustředěn do jejího ohniska.)
Pro náš další výklad je ovšem nutné připomenout ještě další zajímavou geometrickou konstrukci elipsy. Ta nám navíc umožní podat elegantní důkaz platnosti obou výše zmíněných vlastností. Kolem bodu F opišme tzv. řídící kružnici a uvnitř ní zvolme další bod F', jak je znázorněno na Obr. 4 dole. Spojme oba body s libovolným bodem G na ležícím na kružnici. Průsečík osy úsečky GF' s úsečkou GF je bod P, který leží na elipse. Provedeme-li tuto konstrukci pro každý bod G na řídící kružnici, opravdu dostaneme elipsu s ohnisky F a F'.
Tuto skutečnost snadno dokážeme. Trojúhelníky GOP a F'OP jsou zjevné identické, takže i strany PG a PF' jsou stejně dlouhé. Součet vzdáleností F P + PF' je roven F P + PG. což je konstanta rovná poloměru kružnice. Body P odpovídající všem bodům G na řídící leží lid cupoc. Nyní dokážeme také cirunou viatnost.
trotiž že světlo vyslané z ohniska F se nutně odrazí do ohniska F'. Ze shodnosti trojúhelníků GOP a F'OP plyne, že úhel a je roven úhlu 3. Dále zjevně platí, že úhel a je roven úhlu 7. Je tedy jasné, že f3 — 7. což je právě hledaný zákon odrazu. Stačí pouze dokázat, že osa OP úsečky GF' je tečna k elipse v bodě P. To je ovšem snadné: vezmeme-li kterýkoli jiný bod na této ose, evidentně bude (opět díky shodností
příslušných trojúhelníků) součet jeho vzdáleností od ohnisek větší než FP+PG, což je poloměr kružnice. Každý takový bod proto musí ležet vně elipsy, takže osa úsečky GF' je opravdu tečna.
Rychlostní diagram planety
Po této krátké geometrické předehře se můžeme vrátit k naší fyzikální úloze, totiž odvození Keplerova zákona Kl. Celou dránu planety kolem Slunce, jež leží v bodě S, rozdělíme na pevně daný počet úseků takových, že jejich středové úhly jsou všechny stejné a mají konstantní hodnotu Aó, viz Obr. 5 vlevo nahoře. Podle zákona ploch K2 proletí planeta příslušný úsek dráhy za čas Ač, který je přibližně (v limitě Aé —> 0 pak přesně) úměrný ploše příslušného trojúhelníka, tedy At ~ AS ~ iť2A$ ~ ž?2, kde R je (průměrná) vzdálenost planety
od Slunce na daném úseku.
Uvažme nyní, jaká je změna rychlosti Av na těchto úsecích. Podle Newtonova pohybového zákona N2 je změna hybnosti rovna působící síle co do směru i velikosti, takže Au ~ FAt. Změna velikosti rychlosti A i; je tedy úměrná FAt, přičemž Aŕ ~ R2, zatímco podle N G je F ~ 1/it2, takže Av je na všech úsecích vymezených Acp stejná. Pokud jde o směr změny rychlosti Av, je podle NG přesně dostředný, tedy působí ve směru okamžité spojnice R Slunce a planety. Z těchto informaci již snadno odvodíme, že rychlostní diagram pohybu planety musí být pravidelným mnohoúhelníkem,, viz Obr. 5 vpravo dole. Změna velikosti
Obrázek 5: Rychlostní diagram pohybu planety je pravidelný mnohoúhelník, ve spojité limitě pak kružnice.
rychlosti Av je totiž na každém úseku rychlostního diagramu stejná, takže úsečky jk, kl, Im atd. mají stejnou délku. Navíc směry těchto úseček odpovídají směrům Av, která jsou rovnoběžné se směry R. tedy úsečkami KS, LS, MS atd. v polohovém diagramu. Tyto směry jsou ovšem vzájemně otočené vždy o konstantní úhel Acj). Rychlostní diagram je tedy pravidelný mnohoúhelník. Ve spojité limitě Aé ^ 0 se rychlostní diagram stává kružnicí. To je docela překvapivá skutečnost!
Viasíní důkaz
Dospěli jsme tedy k obrázku znázorněném na Obr. 6. Nechť se planeta při svém pohybu kolem Slunce dostala do bodu P, který svírá s periheliem v bodě J úhel 9. Její okamžitou rychlost vP můžeme zjistit v rychlostním diagrmu, jenž má podobu kružnice. Stanovíme bod p, aby úhel určený body pCj byl právě 9. Spojnice excentrického bodu O a bodu p v rychlostním diagramu pak určuje okamžitou rychlost planety vp (co do směru i velikosti), která je tečnou k trajektorií.
Obrázek 6: Poloha planety a odpovídající rychlost jejího pohybu.
Nyní stačí provést poslední elegantní trik: otočme rychlostní diagram o 90 stupňů ve směru hodinových ručiček a vykresleme ho do stejného obrázku, v němž znázorňujeme trajektorii planety (ztotožníme body C a S). Dostaneme tím Obr. 7. Oba úhly 6 v polohovém i otočeném rychlostním diagramu splynuly. Nyní stačí si jen uvědomit, že rychlostní diagram se stal řídící krušící pro konstrukci eliptické trajektorie': Opravdu: osa úsečky Op v otočeném rychlostním diagramu určuje okamžitou rychlost, která je tečnou k trajektorii planety v bodě P. Jak jsme ale již dříve ukázali, takto zkonstruovaný bod P musí ležet na elipse, a to pro každou hodnotu úhlu 9.
Obrázek 7: Rychlostní diagram planety otočený o 90 stupňů kreslený do stejného obrázku jako diagram polohy ukazuje, že trajektorie planety musí být elipsa, protože osa přímky Op určující směr okamžité rychlosti je tečnou k elipse v bodě P (srovnej s Obr. 4).
Tím jsme dokázali, že trajektorií planety v gravitačním poli Slunce popsaném Newtonovými zákony je opravdu elipsa. 1 první Kepíerův zákon je tedy důsledkem zákonů Newtonových.
Reference
[1] D. L. Goodstein and J. R. Goodstein: Feynman's lost lecture, Norton, New York, 1996 a 1999.
[2] slovenský překlad knihy [1]: J. Hanč and S. Tuleja, Feynmanova stratená přednáška, Enigma, Nitra, 2001. Viz též webové stránky www.lostlecture.host.sk
[3] S. K. Stein: Exactly how did Newton deal with his planets?, The Mathematical Intelligencer 18 (1996) 7 11.
[4] A. Gonzales-Villanueva et al: From circular paths to elliptic orbits: a geometric approach to Kepler's motion, Eur. J. Fhys. 19 (1998) 431-438.
i n
[5] E. í. Butikov: The velocity hodograph for an arbitrary Kepíerian
motion, Eur. J. Phys. 21 (2000) 297 302. [6] Ľ). Debres: Reinventing the wheel: Hodographic solutions to the
Kepler problems, Am. J. Phys. 69 (2001) 481-489. [7] J. Kuběna: O Newtonových a Keplerových zákonech, aneb jak
asi Newton na své zákony přišel, Matematika-fyzika-informatika
7 (1997/98) 409 416, 472 482.