Zrychlená soustava S bez rotace • • • • • • •f •A •L •geff = g - A je vektorová veličina, ( může být považována za efektivní sílu. •Rovnice pohybu je stejná jako pro kyvadlo v IS, jen nahradíme g s geff.) Coriolisova síla Motivace Cvičení z mechaniky Cj kontra Cs Popis z rotující vztažné soustavy •Transformační rovnice mezi soustavou S a S': • •, • •. •Abychom dostali pohybové rovnice pohybů těles v otáčivé soustavě, je třeba provést 1. a 2.derivaci •podle času těchto transformačních rovnic: • • •A •d •a •b •c •z = z' •r •x' •y' •x •y' •x' •y •ωt • •A Mějme pohyb v otáčivé soustavě. Příkladem takové soustavy může být hladká rotující deska. Pokud pozorovatel na desce před sebe položí kuličku, začne se kulička pohybovat směrem k okraji vlivem odstředivé síly a vychylovat z přímé dráhy vlivem Coriolisovy síly. Abychom získali matematické vztahy pro tyto síly, budeme vyšetřovat pohybové rovnice hmotného body k soustavě S', která se vzhledem k inerciální soustavě S otáčí konstantní úhlovou rychlostí •první zdánlivou sílu nazýváme silou odstředivou • a má tyto složky: • • • je kolmá k ose rotace a směřuje od ní. Její velikost vypočteme podle vztahu: • •, •Další zdánlivá síla, která se nám v rotující soustavě objevuje, je síla Fc o složkách: • •Coriolisova síla - uděluje tělesu zrychlení (vůči S') ve směru kolmém k rovině vektorů [USEMAP] http://www.newworldencyclopedia.org/entry/Coriolis_effect Jelikož pohyb vzhledem k otáčející se soustavy souřadnic je popsán pouze Coriolis.silou, to je docela přiléhající se odkazovat na pohybu vzhledem k rotujícím souřadnicovém systému jako nejjednodušší a nejčistší příklad Coriolis účinku. •Změna velikosti •Změna směru •Proč je ve vztahu pro Coriolisovu sílu „dvojka“? •http://www.matfyz.cz/clanky/602-fyzikalni-pokus-coriolisova-sila Coriolisovy síly lze vizualizovat využitím parabolického povrchu postavena v Lab IV. Jestliže se míč, nejprve v klidu v rotujícím rámu, je uveden na tlak, je vychýlen doprava. Můžeme experimentovat dále vytvořením `puku ze` suchého ledu ". Plyn sublimuje na dno téměř eliminuje třecí spojení mezi puku a povrchem parabolické misky. Lze s pukem a studovat jeho trajektorii na parabolické točně a to jak v rotačních NIS a laboratorních IS. Všimněte si, že když se puk se pohybuje v točivém rámu je vychýlen doprava. Níže jsou uvedeny užitečné referenční experimenty: Spustit puk tak, že je nehybně v točivém stanovisku - bude následovat kruhové oběžné dráze kolem středu misky v laboratoři rámu. Zahájí puk po trajektorii, která leží v pevné vertikální rovině obsahující osu otáčení parabolické točny. Při pohledu z laboratorní IS se puk pohybuje dopředu a dozadu podél přímky. Přímka bude expanduje do elipsy v případě, že tření mezi pukem a rotujícím diskem není zanedbatelné. Při pohledu v točivém rámu je však trajektorie jeví jako kružnice tečná k přímce. Podívejte se na film.. Puk se znovu spuštěn tak, že se objeví v klidu v točivém rámu, ale je mírně rozrušen. Do otočného rámu puk prochází oscilace sestávající z malých kruhových drahách procházejících počáteční poloze unperturbed puku. Tyto kruhy se nazývají `inerciální kruhy". Na levé straně vidíme puk v netočivé IS. Na pravé straně vidíme stejný puk, ale v točivé NIS. •http://www.cleonis.nl/physics/graphlets/centrifugal_effect.php Tyto dva kruhy s kvadranty představují rotující disk. V levém pohled ukazuje disku ze stacionárního hlediska IS. Pohled na pravé straně je stejný disk z rotující NIS hlediska. ( videokamera visící nad diskem, v souběžně rotujícím s ním). Při spuštění chodu se bod nejprve společně otáčí s diskem jako objekt, který je upevněn. Po jedné úplné otočce se uvolní a od té doby se pohybuje v přímém směru. On the left we see the puck in the non-rotating frame: on the right we see the same puck but in the rotating frame. •IS NIS inertial circles [USEMAP] •http://www.cleonis.nl/physics/graphlets/centrifugal_effect.php •videa http://iopscience.iop.org/1367-2630/15/11/113055/downloadHRFigure/figure/nj478311f1 http://iopscience.iop.org/1367-2630/15/11/113055/downloadHRFigure/figure/nj478311f3 •Whirling skirts and rotating cones •J Guven, JA Hanna, MM Müller - New Journal of Physics, 2013 Stojatá vlna Jestliže se pružným prostředím šíří vlnění ze dvou nebo více zdrojů, jednotlivá vlnění postupují prostředím nezávisle. V místech, kde se vlnění setkávají, dochází k jejich skládání. Nastává interference vlnění a kmitání bodu v uvažovaném místě je určeno superpozicí okamžitých výchylek jednotlivých vlnění. dvě stejná vlnění – přímé a odražené, která postupují stejnou rychlostí opačnými směry, vzniká stojaté vlnění Jemné třepetání látky jejich oděvů vytváří ve vzduchu pravidelnou zvukomalebnou kulisu promíchanou s mírným vrzáním dřevěné podlahy. Tanečníci se vlní v kruzích v souladu s vytříbenými tóny hudebního tělesa. Oči přihlížejících jsou upřeny na bělostné šaty postav a po chvíli přijímají iluzi vznášejících se dervišů. Pravou dlaň mají vytočenu nahoru a přijímají takto požehnání nebes. Levá dlaň naopak míří směrem dolů a přenáší tak požehnání na zemi. V tuto chvíli derviši prožívají vrcholné okamžiky. Někteří z nich jsou schopni takto v transu kroužit i hodiny mystický duchovní vzestup člověka na jeho cestě myslí a láskou k dokonalosti. Tím, že se obrací k pravdě, roste působením lásky, opouští své ego a nachází pravdu, dospívá k dokonalosti. Síla, která spojuje složitě rotaci Země se směrem povětrnostní podmínky v atmosféře bylo prokázáno, že hrají klíčovou roli při tvorbě hypnotického vzorů vytvořených sukně vířivým Dervishes. to je v souladu s mezinárodní skupinou vědců, kteří prokázali, jak je nezbytné pro vytvoření archetypální, a někdy neintuitivní Coriolisovy síly, vzory, které tvoří na povrchu sukně Vířivá Dervishes tím, že vytvoří sadu velmi jednoduchých rovnic, které upravují, jak pevná nebo sypké kuželovité struktury se chovají při otáčení. Rovnice, která byla zveřejněna 27. listopadu v New Journal of Physics, byla schopná reprodukovat ostré vrcholy a jemné žlábky, které se objevují podél proudící povrchu sukní dervišů 'a vykazovaly významnou podobnost s real-životní obrazů. Pokud jste někdy viděli vířivý derviš v akci, může být uchvácen komplexní trojrozměrné vzory tito tanečníci vytvářejí svými sukněmi. Ukazuje se, že vzory jsou mimo jiné ovlivněny Coriolisovou sílou. Dervishes jsou Sufi muslimové, kteří skládají slib chudoby. Jejich vířivá, rituální tanec, který se datuje do 13. století Persie, se stal turistickou atrakcí v místech, jako jsou Istanbulu v Turecku. Fascinovaně fyzici James Hanna na Virginia Tech v Blacksburg, Jemal Guven a Martinem Müllerem na University of Lorraine v Metz, Francie, rozhodl vypracovat fyziku za pohybu sukně je. • •Fyzika na kolotoči Coriolisova síla graficky (U3V) jan.obdrzalek@mff.cuni.cz •http://phys.org/news/2013-11-dervish-physicists.html • •http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/15/11/113055;jsessionid=B3710B047F601E92CDADE5 0F97368A4C.c2.iopscience.cld.iop.org • •http://www.popscreen.com/v/8nWVt/Whirling-Dervish-skirt-spins-like-a-hurricane • •Zdroje •http://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-003-atmosphere-ocean-and-cl imate-dynamics-fall-2008/labs/lab5/ •Fascinovaně fyzici James Hanna na Virginia Tech v Blacksburg, Jemal Guven a Martinem Müllerem na University of Lorraine v Metz, Francie, rozhodl vypracovat fyziku za pohybu sukně je. Zejména tým stanoveny, aby se pokusila vysvětlit, proč matematicky sukně někdy trvá na tvaru jehlanu na bázi trojúhelníkového - nebo čtyřstěnu - s vrcholem v blízkosti břicho tanečnice. Materiál tvoří tři lehce konkávní plochy, které jsou odděleny třemi pozoruhodně ostré hřebeny, které sahají dolů z opasku derviš je. "Chtěli jsme jednoduchý model, který by mohl produkovat kvalitativní znaky sukně," říká Hanna. , To znamenalo, že ignorování složitosti, například vlivem gravitace, tuhosti sukni materiálu a jeho interakce s okolním vzduchem. Místo toho považovány pouze setrvačnost sukně a pnutí v materiálu. •S •Coriolisova síla působí na všechny předměty, které v is stojí. Nepůsobí jen na předměty, které nis stojí nebo lezou nahoru. Coriolisova síla působí na všechny předměty, které v is stojí. Nepůsobí jen na předměty, které nis stojí nebo lezou nahoru. •Změna velikosti •Změna směru •stejný tvar • • • •Příčiny •Coriolisův efekt existuje jen v rotující vztažné soustavě. Neodpovídá žádnému skutečnému zrychlení nebo síle, ale pouze jeho zdání z pohledu rotujícího vztažného systému. •Projev Coriolisovy síly na objektu v pohybu může být interpretován jako součet dvou stejně velkých efektů s různými příčinami: •První příčina je změna rychlosti tělesa v čase. Neměnná rychlost (v inerciální vztažné soustavě, kde platí běžné fyzikální zákony) představuje dvě různé rychlosti ve dvou různých okamžicích z pohledu rotující soustavy. Zrychlení, které se projevuje, je úměrné úhlové rychlosti vztažné soustavy (rychlost, s jakou mění osy souřadnic svou polohu) a rychlosti tělesa. Odtud vztah . Znaménko minus je dáno definicí vektorového součinu (pravidlo pravé ruky) a znaménkovou konvencí vektoru úhlové rychlosti. •Druhá příčina je změna rychlosti v prostoru. Různé body rotující soustavy mají různé rychlosti (z pohledu inerciální vztažné soustavy). Aby se objekt pohyboval po přímé dráze, musí mít určité zrychlení, které způsobuje od jednoho bodu k druhému změnu rychlosti stejnou, jaká je změna rychlosti ve vztažné soustavě. Tento efekt je úměrný úhlové rychlosti (která určuje relativní rychlost dvou různých bodů rotující vztažné soustavy) a rychlosti tělesa kolmo na osu rotace (která určuje, jak rychle se těleso pohybuje mezi těmito body). Odtud opět vztah . • Zelená šipka představuje sílu, která se působí na pohybující se objekt. Tato síla je v každém okamžiku směřujícími ke středu otáčení. Síla dostředivá síla se zvyšuje úměrně se vzdáleností do centra. To znamená, že při dvojnásobku vzdálenosti síla je dvakrát tak silná. Stručně řečeno, objekt dojde proporcionální dostředivé síly. https://cs.wikipedia.org/wiki/Coriolisova_s%C3%ADla NotesCh11.pdf •November 17, 2009 9.4 Time Derivatives in a Rotating Frame •Let’s explicitly take the Earth as the rotating frame. The angular frequency of rotation of the Earth is • • •We will assume that the inertial frame So and rotating frame S share the same origin, so the only motion of S relative to So is a rotation with angular velocity W. For example, the common origin could be the center of the Earth. •Now consider an arbitrary vector Q. The time rate of change of Q in frame So is related to its time rate of change in S by • • • •This says that even if Q is not changing length or direction in frame S, it is still changing in frame So by virtue of its rotation. • •November 17, 2009 9.5 Newton’s Second Law in a Rotating Frame •Let’s now see what Newton’s second law looks like. Obviously, in frame So, it is just • • • where, as usual, F is the net force on the particle as identified in the inertial frame. •We can now use our result from the previous slide, identifying Q and the position vector r, i.e. • •Differentiating a second time • • •Now the vector Q is the entire quantity in square brackets, hence: • •November 17, 2009 Newton’s 2nd Law in a Rotating Frame-2 •We will use the dot notation for vectors in frame S, hence: • • • •Thus, Newton’s second law, which was • • is now •Once again, we just have Newton’s second law, but this time with two inertial force terms on the right: • • • •We will look at each of these in more detail. • • •November 17, 2009 Centrifugal Force •You are already quite familiar with the centrifugal force (centripetal force in the inertial frame). You know it as mv2/r, but you may protest that this expression: looks nothing like that. •But if you recall that v = wr, and that we are using capital letters for quantities related to motion of one frame relative to another, then v = Wr. So you see that mv2/r = mW2r, which does have the right variables. •But what do we make of these complicated looking • cross-products? First, let’s look at the magnitude: • • and since the cross-product of two vectors is • perpendicular to both of the two vectors, the • angle between W × r and W is p/2, so • • where r is as shown in the figure. •Now look carefully at the directions. Fcf points • radially outward from its circular path. • •W •q •r •r •W × r •November 17, 2009 Non-Vertical Gravity •Due to the centrifugal force, a plumb bob does not actually point in the direction to the center of the Earth except at the pole or equator. •Because a plumb bob will respond to both the force of gravity Fgrav downward, and Fcf outward, the effective force is • • from which we can identify an effective gravity • •The centrifugal term is zero at the pole, and largest • at the equator, where it is W2R = 0.034 m/s2. The • tangential component of this effective gravity is • gtang = W2R sinq cosq and is maximum at q = 45o. •The maximum angular deviation is grid •W •q •Fgrav = mgo •Fcf •R •November 17, 2009 Coriolis Force •The Coriolis force may seem mysterious at first, but its origin is almost trivial. Before examining the equation, let me start by considering a missile at the equator. It’s speed in the inertial frame is just that of the Earth, • •If we fire the missile straight north, heading for latitude l = p/2 - q (q is called the colatitude), it will, of course, maintain its (the equator’s) sideways velocity, but it will be traveling over land for which the sideways • velocity of the Earth is less: • •Because of that difference in speed, the rocket • seems to drift to the east in the frame of Earth. •This appears as an inertial force, the Coriolis • force Note that it depends on the • velocity of the moving object (the missile), and • if you are used to finding the direction of • v × B in E&M, note Fcf ~ v × W. grid •W •attempted path •actual path •Sideways distance traveled •by launch point at equator during flight •November 17, 2009 Direction of the Coriolis Force •The Coriolis force also acts in a flat geometry, such as movement on a rotating disk. •The force is always perpendicular to the velocity, so the force • and velocity have the relationships shown in the figure. • Check the direction using the right-hand rule. •You can see how the Coriolis force works in the flat geometry • by imagining a puck on a frictionless surface, kicked radially • from the center of the rotating platform. From an inertial frame • the puck will follow a straight line. However, from the rotating frame the path is a curve, as shown in the figures below. • • • • • •v •v •Fcor •Fcor •W • • • •W • • • •W •A •A •B •B •C •C •View from •inertial frame •View from •rotating frame •November 17, 2009 Effect of Coriolis Force on Free-Fall •Let’s do a simple example that exercises the calculation of Coriolis force and introduces the useful technique of successive approximations. •Consider an object at the surface of the Earth in free-fall with no other forces acting (i.e. no air resistance). We have to include both Fcor and Fcf. • •Since we are at the surface of the Earth, we can let r = R. Let’s also combine the first two terms as mg, the effective gravity force. Then • •Since this does not depend on position r, only on its • derivatives, we can move the origin to the surface of • the Earth. Let’s now write the components of the • vectors in east-north-up coordinates. • •Thus •W •q •R • •O •r •z (up) •y (north) •x (east) •November 17, 2009 Successive Approximations •The equation of motion resolves to the three equations: • • • •Let’s solve these using the method of successive approximations. First, write the equations for small W (i.e. set W to zero). This is the zeroeth-order approximation. This gives the equations you have solved in freshman Physics: • •These lead to the solutions • • where we have used initial conditions appropriate to dropping the object from rest from high h. We then plug these back into our original equations to get the first-order approximation: •The last two equations have not changed, but the x equation has. Integrating twice, we get which shows that there will be an eastward deviation. We could repeat to get second-order approx., etc. •An object dropped down a 100-m mine shaft at the equator will move east by: • •November 17, 2009 Coriolis Force and Weather •You may think that, since Coriolis force depends on the velocity, the force would be miniscule for something moving as slowly as a cloud in the atmosphere—and you would be right. However, a small force does not necessarily mean a small effect. The force on a slowly moving body can act over a long period of time (weeks in the case of a weather pattern), and so the effect can be important. •It is the Coriolis force that causes the cyclonic (counter-clockwise) weather patterns seen in the northern hemisphere. Consider a low pressure system that draws air from the North and South. The air moving south will be turned to the west, while the air moving north will be turned to the east. •Although not directly due to Coriolis force, the flows from east and west also turn due to the turning of the north and south flows. •To properly understand this, you have to consider the • motions on a sphere, i.e. the north and south flows • are not parallel to W. •What is the flow pattern like in the southern hemisphere? •L